东北三省三校2020年高三第一次联合模拟考试理科数学试题及参考答案
【附加15套高考模拟试卷】东北三校(哈尔滨师大附中等)2020高三第一次联合考试数学(理)试题含答案
东北三校（哈尔滨师大附中等）2020高三第一次联合考试数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在平面斜坐标系xOy 中，45xOy ∠=︒，点P 的斜坐标定义为“若0102OP x e y e =+u u u v(其中12,e e 分别为与斜坐标系的x 轴、y 轴同方向的单位向量)，则点P 的坐标为()00,x y ”.若()11,0F -，()21,0F ，且动点(),M x y 满足12MF MF =u u u u v u u u u v，则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为( )A．0x -= B．0x += C0y -= D0y +=2．已知函数()1ln ,111,122x x f x x x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，若12x x ≠，且()()122f x f x +=，则12x x +的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．[)1,e -+∞C ．[]32ln 2,-+∞ D ．[]32ln3,-+∞3．已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =（ ） A ．2B．C ．6D．4．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，若||8AB =，则线段AB的中点M 到直线10x +=的距离为( ) A ．2B ．4C ．8D ．165．若函数()2sin(2)cos (0)2f x x x πθθ=+⋅<<的图象过点(0,2)，则（ ）A ．点(,0)4π是()y f x =的一个对称中心 B ．直线4x π=是()y f x =的一条对称轴C ．函数()y f x =的最小正周期是2πD ．函数()y f x =的值域是[0,2]6．设()f x 为定义在R 上的函数,当0x ≥时，()22()x f x x b b =++为常数，则(1)f -= A ．-3B ．-1C ．1D ．37．设直线0x y a -+=与圆222420x y x y ++-+=相交于A ，B 两点，若||2AB =，则a =（ ）A ．-1或1B ．1或5C ．-1或3D ．3或58．已知()()sin f x A B ωϕ=++ (0,0,)2A πωϕ>><部分图象如图，则()f x 的一个对称中心是（ ）A ．5,16π⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．5,06π⎛⎫⎪⎝⎭ 9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()121,223n n na S a n S =-++=≥，则下面选项为等差数列的是（ ） A ．{}1n S +B ．{}1n S -C ．11nS ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭ D ．11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭ 10．已知||()2x f x x =g ，3(log 5)a f =，31(log )2b f =，(3)c f ln =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>11．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若23MN ≥，则k 的取值范围是( )． A ．3[,0]?4-B ．(－∞，34-]∪[0，＋∞) C ．33[,]- D ．2[,0]3-12．已知集合{}2lgsin 9A x y x x==+-，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦ D ．2,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年东北三省三校高三第一次模拟考理科数学试卷含解析
D.VS
第 H 卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分 ，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上． 13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大．动力
蓄电池技术作为新能源、汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源、汽车发展的主要动力． 假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池 充放电循环次数达到2000次的概率为 85字号，充放电循环次数达到2500次的概率为 35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了 2000次充电，那么他的车能够充电 2500次的概率为
f(x
）＝
I ri
斗
一 lx-21,xξ［1,3)
／工 ← 1\
\2f（丁），巾，＋∞）
’ 则函数
f(x ）的图象与函数
rlnx,x二三1 g(x)=j＼ln(2,--x）以1的图象
在区间［-5,7］上所有交点的横坐标之和为
A. 5
B. 6
C. 7
11.己知数列｛a＂｝的通项公式为ι ＝ 2η十2，将这个数列中的项摆
AB_lBC,AB = 2,BC二 l,BB I 二3,D是CC1 的中点，
E是AB 的中点．
C I ）证明：DE／／平面C1 BA1 ;
t C II) F是线段CC1 上一 点，且直线 AF与平面ABB1 A1 所成角的正弦值为 ，求二面角F BAi A的余 A
弦值．
D
C1
19.（本小题满分12分） 为了研究 55 岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽 取了100万个样本，调查 了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状， A 症状：人睡困 难；B症状：醒得太早；C症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下： 数据l：出现A 症状人数为8.5万，出现B 症状人数为9.3万，出现C症状人数为6. 5万，其中 含 AB 症状同时出现1.8万人，AC症状同时出现1 万人，BC症状同时出现2万人，ABC症状 同时出现0.5万人； 数据2：同时有失眠症状和忠心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人 数为73万人．
2020年东北三省四市教研联合体高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
2020年东北三省四市教研联合体高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={2,3,4,5,6,7}，集合A={4,5,7}，B={4,6}，则A∩(∁U B)=()A. {5}B. {2}C. {2,5}D. {5,7}2.已知复数z=2−i1+2i，则z=()A. 4+3iB. 4−3iC. −iD. i3.以下茎叶图记录了甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况．乙队记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以m表示．那么在3次比赛中，乙队平均得分超过甲队平均得分的概率是()A. 35B. 45C. 710D. 9104.若(x2−a)(x+1x)10的展开式x6的系数为30，则a等于()A. 13B. 12C. 1D. 25.用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为()A. 9√3πB. 18πC. 6πD. 3√3π6.已知公差不为零的等差数列{a n}的首项a1=50，a7、a15、a17成等比数列，则使{a n}的前n项和S n取得最大值的n的值为()A. 16B. 17C. 18D. 197.下列说法正确的是()A. 若命题p，￢q都是真命题，则命题“p∧q”为真命题B. 命题“∀x∈R，2x>0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0，”C. 命题：“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0或y≠0”D. “x=−1”是“x2−5x−6=0”的必要不充分条件8.设双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)，若双曲线的渐近线被圆M：x2+y2−10x=0所截的两条弦长之和为12，则双曲线的离心率为()A. 54B. 53C. 43D. √529. 如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP =θ，则点P 的坐标是( )A. (cosθ,sinθ)B. (−cosθ,sinθ)C. (sinθ,cosθ)D. (−sinθ,cosθ) 10. 已知双曲线x 2a−3+y 22−a =1的焦点在y 轴上，若焦距为4，则该双曲线渐近线方程为( )A. y =±√3xB. y =±√33xC. y =±√153x D. y =±√155x 11. 设函数f(x)={2x ,x ≤0log 2x ,x >0，若关于x 的方程[f(x)]2−af(x)=0恰有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围为( )A. (0,1]B. (0,1)C. [1,+∞)D. (−∞,1)12. 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2，则a 4=( )A. −7B. −9C. 7D. 9二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线y =(ax +1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为−2，则a =______．14. 函数f(x)=sinx +cosx 的图象向左平移m(m >0)个单位后，与y =cosx −sinx 的图象重合，则实数m 的最小值为______ ．15. 如图，正方形中ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，沿AE ，EF ，AF 把这个正方形折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为G.若四面体A −EFG 外接球的表面积为6π，则正方形ABCD 的边长为________．16.如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右焦点为F2，点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于两点.若△PF2Q的周长为4，则椭圆C的方程为．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，点D在BC边上，且满足CD=√2AD=3√2，cos∠CAD=2√55．(1)求∠ADC；(2)若AB=√5，求BD．18.某校从高三年级学生中随机抽取40名学生，将他们的月考数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50),[50,60)，…，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图，其中前三段的频率成等比数列．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)若该校高三年级共有学生640人，试估计该校高三年级期中考试数学成绩不低于80分的人数；(Ⅲ)若从样本中数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，记这两名学生成绩在[90,100]内的人数为X，求随机变量X的分布列和期望值．19.过点E(−1,0)的直线l与抛物线C：y2=4x交于A，B两点，F是C的焦点．(1)若线段AB中点的横坐标为3，求|AF|+|BF|的值；(2)求|AF|⋅|BF|的取值范围．20.如图所示，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，线段AC与BD交于点O，E为线段CC1的中点．(1)若点F在线段A1C上，且∠FOA1=90°，求证：OF⊥A1B；(2)若3AB=4AA1，∠ABC=120°，求直线EO与平面A1CD所成角的正弦值．+ax，x>1．21.已知函数f(x)=xlnx(1)若f(x)在(1,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若a=2，求函数f(x)的极小值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(ρ>0,θ∈[0,2π)，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA|⋅|OB|=8，点B的轨迹为C2．(1)求C1，C2的极坐标方程．)，求△ABC面积的最小值．(2)设点C的极坐标为(2,π223.已知函数f(x)=|x|+|x+1|．(Ⅰ)解关于x的不等式f(x)≥2；(Ⅱ)若a，b，c∈R+，函数f(x)的最小值为m，若a+b+c=m，求证：ab+bc+ac≤1．3【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查集合的交集与补集运算，属于基础题．根据题意，求解即可．解：全集U={2,3,4,5,6,7}，B={4,6}，所以∁U B={2,3,5,7}，因为集合A={4,5,7}，所以A∩(∁U B)={5,7}；故选D．2.答案：C解析：解：z=2−i1+2i =(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5i5=−i，故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.答案：D解析：解：由茎叶图知，甲的平均成绩为13×(78+82+83)=81；乙的平均成绩为13×(80+83+80+m)=81+m3，又∵81<81+m3，∴m>0，又m∈N，∴m的可能取值集合为{1,2，3，4，5，6，7，8，9}．∴乙队平均得分超过甲队平均得分的概率是P=910．故选：D．由茎叶图中的数据，求出甲、乙二人的平均成绩，列不等式求出m的取值集合，再计算所求的概率值．本题考查了茎叶图与平均数的应用问题，也考查了概率的计算问题，是基础题．4.答案：D解析：解：(x+1x)10展开式的通项公式为：T r+1=C10r⋅x10−r⋅(1x)r=C10r⋅x10−2r；令10−2r=4，解得r=3，所以x4项的系数为C103；令10−2r=6，解得r=2，所以x6项的系数为C102；所以(x2−a)(x+1x)10的展开式中x6的系数为：C103−aC102=30，解得a=2．故选：D．根据题意求出(x+1x )10展开式中含x4项、x6项的系数，得出(x2−a)(x+1x)10的展开式中x6的系数，再列出方程求出a的值．本题考查了利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特定项问题问题，是基础题目．5.答案：A解析：本题考查了圆锥的体积，设圆锥底面的半径为r，圆锥的高为h，由题意得2πr=6π，解得r=3，进而可得ℎ=√62−32=3√3，从而得出结果．解：设圆锥底面的半径为r，圆锥的高为h，由题意得2πr=6π，解得r=3，∴ℎ=√62−32=3√3，∴V圆锥=13Sℎ=13×π×32×3√3=9√3π．故选A．6.答案：B解析：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的性质，考查方程思想和函数思想，以及运算能力，属于中档题．运用等比数列的性质和等差数列的通项公式，解方程可得d，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最大值．解：公差d不为零的等差数列{a n}的首项a1=50，a7、a15、a17成等比数列，可得a152=a7a17，即(50+14d)2=(50+6d)(50+16d)，解得d=−3(d=0舍去)，则前n项和S n=50n+12n(n−1)⋅(−3)=−3n2+103n2=−32(n−1036)2+103224，由于n为整数，17<1036<18，且1036−17<18−1036，则当n=17时，前n项和S n取得最大值，故选：B．7.答案：B解析：本题考查考查命题真假的判断，考查复合命题、全称命题、特称命题、充分条件、必要条件、充要条件等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．在A中，若命题都p，￢q是真命题，则命题“p∧q”为假命题；在B中，利用全称命题的否定是特称命题知B是真命题；在C中，否命题为“若xy≠0，则x≠0且y≠0”；在D中，“x=−1”是“x2−5x−6=0”的充分不必要条件．解：在A中，若命题p，￢q都是真命题，则p真q假，则命题“p∧q”为假命题，故A错误；在B中，命题“∀x∈R，2x>0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0，”利用全称命题的否定是特称命题知B是真命题，故B正确；在C中，命题：“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0且y≠0”，故C 错误；在D中，解x2−5x−6=0，得x=−1或x=6，故“x=−1”是“x2−5x−6=0”的充分不必要条件，故D错误．故选：B．8.答案：A解析：解：双曲线的渐近线方程为ax±by=0，圆M：x2+y2−10x=0可化为(x−5)2+y2=25，圆心M(5,0)，半径为5．∵双曲线的渐近线被圆M：x2+y2−10x=0所截的两条弦长之和为12，∴圆心到直线的距离为√25−9=4，∴√a2+b2=4，∴e=ca=54故选：A．确定双曲线的渐近线方程，圆心M(5,0)，半径为5，求出圆心到直线的距离，建立方程，即可求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．9.答案：A解析：本题考查任意角的三角函数的定义，是基础题．直接利用任意角的三角函数的定义求得点P的坐标．解：设P(x,y)，由任意角的三角函数的定义得，sinθ=y ，cosθ=x ． ∴点P 的坐标为(cosθ,sinθ)． 故选A ．10.答案：D解析：本题考查双曲线的概念和性质，属于基础题．由条件可得(2−a )+(3−a )=4，求得a ，继而可得结果． 解：因为双曲线x 2a−3+y 22−a =1的焦点在y 轴上，所以{2−a >0a −3<0，解得：a <2．因为焦距为4，所以(2−a )+(3−a )=4，解得：a =12． 所以双曲线方程为：y 232−x 252=1，其渐近线方程为：y =±√155x ．故选D ．11.答案：A解析：本题考查函数零点与方程根的关系，分段函数，考查数形结合的解题思想方法，是基础题． 画出函数f(x)的图象，数形结合求解是本题的关键． 解：函数f(x)={2x,x ≤0log 2x,x >0的图象如图，由方程[f(x)]2−af(x)=0，可得f(x)=0或f(x)=a ， 由图可知，f(x)=0只有一个解x =1，要使方程[f(x)]2−af(x)=0恰有三个不同的实数解，则f(x)=a有两个均不为1的解，结合图象可知a∈(0,1]．故选：A．12.答案：C解析：解：数列{a n}的前n项和S n=n2，则a4=S4−S3=42−32=7．故选：C．直接利用已知条件求解即可．本题考查数列的函数的特征，基本知识的考查．13.答案：−3解析：本题考查函数的导数的几何意义，属于基础题．求函数的导数，利用切线的斜率列出方程求解即可．解：曲线y=(ax+1)e x，可得y′=ae x+(ax+1)e x，曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为−2，可得：a+1=−2，解得a=−3．故答案为−3．14.答案：π2解析：解：函数f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，y=cosx−sinx=√2sin(x+3π4)，所以函数至少向左平移π2个单位，即m的最小值为：π2．故答案为：π2，化简两个函数的表达式为正弦函数的形式，按照平移的方法平移，即可得到m的最小值．本题考查两角和的正弦函数以及三角函数图象的平移，考查计算能力．15.答案：2解析：本题考查平面图形的折叠、棱锥的外接球问题，属中档题．依题意折叠后的四面体如图1，将四面体补成如图2所示的长方体，它们具有共同的外接球，即可求半径．解：依题意折叠后的四面体如图1，设正方形边长为a，外接球半径为R，则AG=a，EG=FG=a2，将四面体补成如图2所示的长方体，它们具有共同的外接球．由4πR2=6π得4R2=6.而4R2=AG2+EG2+FG2=32a2，所以6=32a2，解得a=2．故答案为2．16.答案：x24+y23=1解析：本题考查了椭圆的性质及几何意义和圆锥曲线中的综合问题，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，分别求出|F2P|，|F2Q|，结合相切的条件可得|PM|2=|OP|2−|OM|2求出|PQ|，利用△PF2Q的周长为4，可得结论．解：椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，则a=2c，b=√3c，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，∴|PF2|2=(x1−c)2+y12=14(x1−4c)2，∴|PF 2|=2c −12x 1， 连接OM ，OP ，由相切条件知：|PM|2=|OP|2−|OM|2=x 12+y 12−3c 2=14x 12，∴|PM|=12x 1，∴|PF 2|+|PM|=2c ， 同理可求|QF 2|+|QM|=2c ， ∴|F 2P|+|F 2Q|+|PQ|=4c ． ∵△PF 2Q 的周长为4， ∴c =1，∴a =2，b =√3， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．故答案为x 24+y 23=1．17.答案：解：(1)在△ACD 中，∠CAD ∈(0,π)，∵cos∠CAD =2√55，∴sin∠CAD =√55，∵CD =√2AD =3√2，∴CDAD =√2，∴sin∠CADsin∠DCA =√2，∴sin∠DCA =√1010， ∴cos∠DCA =3√1010(∵∠DCA <∠CAD)，∴cos∠ADC =−cos(∠ACD +∠CAD)=−√22，∴∠ADC =3π4．(2)由(1)得，∠ADB =π4，在△ABD 中，∴5=BD 2+9−2×3×BD ×√22，∴BD =2√2或√2．解析：(1)结合正弦定理，平方关系，两角和的余弦公式可得； (2)由余弦定理可得．本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．18.答案：解：(Ⅰ) 由直方图及题意得(10b)2=0.05×0.20.∴b =0.010，(Ⅱ) 成绩不低于80分的人数估计为(Ⅲ) 样本中成绩在[40,50)内的人数为40×0.005×10=2；成绩在[90,100] 内的人数为40×0.010×10=4，X 的所有可能取值为0，1，2， P(X =0)═115；P(X =1)=815；P(X =2)=25；所以X 的分布列为： X 0 1 2 P11581525所以解析：本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量期望以及分布列的求法，考查计算能力． (Ⅰ)由直方图，直接求解b ，a 即可．(Ⅱ)利用频率转化求解成绩不低于80分的人数．(Ⅲ)样本中成绩在[40,50)内的人数为40×0.005×10=2；成绩在[90,100]内的人数为40×0.010×10=4，X 的所有可能取值为0，1，2，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．19.答案：解：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=6，由抛物线的定义可知|AF|=x 1+1，|BF|=x 2+1， ∴|AF|+|BF|=x 1+x 2+2=8， (2)设直线l 的方程为x =my −1，由{x =my −1y 2=4x ，消y 可得可得y 2−4my +4=0 即y 1+y 2=4m ，y 1y 2=8， 则△=16m 2−16>0，可得m 2>1，由抛物线的定义可知|AF|=x 1+1，|BF|=x 2+1， 则|AF|⋅|BF|=(x 1+1)(x 2+1)=m 2y 1y 2=4m 2>4， 故|AF|⋅|BF|的取值范围为(4,+∞)．解析：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=6，根据抛物线的定义可得|AF|+|BF|=x 1+x 2+2=8， (2)由抛物线的定义可知||AF|⋅|BF|=(x 1+1)(x 2+1)=m 2y 1y 2，再根据韦达定理和判别式即可求出．本题考查了直线和抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档题20.答案：(1)证明：因为ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC ．因为A 1A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以A 1A ⊥BD ． 又AC ∩A 1A =A ，AC ⊂平面A 1AC ，A 1A ⊂平面A 1AC ， 所以BD ⊥平面A 1AC ．因为OF ⊂平面A 1AC ，故BD ⊥OF ； 又∠FOA 1=90°，即OF ⊥OA 1，又BD ∩OA 1=O ，BD ⊂平面A 1BD ，OA 1⊂平面A 1BD ， 故OF ⊥平面A 1BD ；而A 1B ⊂平面A 1BD ，故OF ⊥A 1B ；(2)以O 为坐标原点，OC 、OB 所在直线分别为x 、y 轴，过点O作垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O −xyz ，设AB =4，AA 1=3， 则A 1(−2√3,0,3)，C(2√3,0,0)，D(0,−2,0)，E (2√3,0,32)， 则A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4√3,0,−3)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,2,0)，OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,0,32)， 设平面A 1CD 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4√3x −3z =0,m⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3x +2y =0,令x =√3，得m ⃗⃗⃗ =(√3,−3,4)为平面A 1CD 的一个法向量； 记直线EO 与平面A 1CD 所成角为θ，故sin θ=|OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=4√399133．解析：本题考查了线面垂直的判定和利用空间向量求线面的夹角，是中档题。
2020年东北三省四市高三高考第一次模拟考试数学(理)试题+Word版含答案
东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（一）数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|||1A x x =<，{}|(3)0B x x x =-<，则A B =U （ ） A ．(1,0)- B ．(0,1)C ．(1,3)-D ．(1,3)2.若复数11iz ai+=+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．0C ．12-D ．1-3.中国有个名句“运城帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示）表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示，以此类推，例如3266用算筹表示就是≡||⊥T ，则8771用算筹可表示为（ ）4.如图所示的程序框图是为了求出满足2228n n ->的最小偶数n ，那么在X空白框中填入及最后输出的n 值分别是（ ）A ．1n n =+和6B ．2n n =+和6C ．1n n =+和8D ．2n n =+和85.函数2tan ()1xf x x x=++的部分图象大致为（ ）6.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．43B 1033C ．23D 8337.6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种 A ．24B ．36C ．48D ．608.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，2b =，ABC ∆面积的最大值是（ ）A ．1B 3C ．2D ．49.已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将ABC ∆折成直二面角B AD C --，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为（ ） A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π10.将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向右平移a 个单位得到函数()cos(2)4g x x π=+的图象，则a 的值可以为（ ） A ．512π B ．712πC ．924π1 D ．4124π11.已知焦点在x 轴上的双曲线222211x y m m -=-的左右两个焦点分别为1F 和2F ，其右支上存在一点P 满足12PF PF ⊥，且12PF F ∆的面积为3，则该双曲线的离心率为（ ）A ．52B ．72C ．2D ．312.若直线10kx y k --+=（k R ∈）和曲线:E 3253y ax bx =++（0ab ≠）的图象交于11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y （123x x x <<）三点时，曲线E 在点A ，点C 处的切线总是平行，则过点(,)b a 可作曲线E 的（ ）条切线 A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设实数x ，y 满足约束条件0,40,5,y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩则25z x y =++的最大值为．14.为了了解居民天气转冷时期电量使用情况，某调查人员由下表统计数据计算出回归直线方程为$ 2.1161.13y x =-+，现表中一个数据为污损，则被污损的数据为 ．（最后结果精确到整数位）15.已知函数()f x 满足1()(1)1()f x f x f x ++=-，当(1)2f =时，(2018)(2019)f f +的值为 ．16.已知腰长为2的等腰直角ABC ∆中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若||2PC =u u u r ，则()()PA PB PC PM ⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r的最小值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n S n n =-+，正项等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且22b a =，45b a =．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）数列{}n c 中，11c a =，且1n n n c c T +=-，求{}n c 的通项n c ．18.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（2）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求这2组恰好抽到2人的概率；（3）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设其中关注环境治理和保护问题的人数为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望．19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，1PA AB ==．（1）证明：//EF 平面DCP ；（2）求平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值．20.在平面直角坐标系中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，点3(1,)2M 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知(2,0)P -与(2,0)Q 为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值． 21.已知函数2()45xaf x x x e =-+-（a R ∈）． （1）若()f x 为在R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；（2）设()()xg x e f x =，当1m ≥时，若12()()2()g x g x g m +=（其中1x m <，2x m >），求证：122x x m +<．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ：cos 3ρθ=，曲线2C ：4cos ρθ=（02πθ≤<）．（1）求1C 与2C 交点的极坐标；（2）设点Q 在2C 上，23OQ QP =u u u r u u u r，求动点P 的极坐标方程．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||23|f x x x m =+++，m R ∈． （1）当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）对于(,0)x ∀∈-∞都有2()f x x x≥+恒成立，求实数m 的取值范围．2018年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（一）数学答案一、选择题1-5:CDCDD 6-10:BABCC 11、12：BC 二、填空题13.14 14.38 15.72- 16.32-三、解答题17.解：（1）∵21n S n n =-+，∴令1n =，11a =，12(1)n n n a S S n -=-=-，(2)n ≥，经检验11a =不能与n a （2n ≥）时合并， ∴1,1,2(1), 2.n n a n n =⎧=⎨-≥⎩又∵数列{}n b 为等比数列，222b a ==，458b a ==， ∴2424b q b ==，∴2q =， ∴11b =，∴12n n b -=．（2）122112nn n T -==--， ∵12121c c -=-，23221c c -=-，…，1121n n n c c ---=-，以上各式相加得112(12)(1)12n n c c n ---=---， 111c a ==，∴121nn c n -=--， ∴21nn c =-．18.解：（1）由10(0.0100.0150.0300.010)1a ⨯++++=，得0.035a =， 平均数为200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁；设中位数为x ，则100.010100.015(35)0.0350.5x ⨯+⨯+-⨯=，∴42.1x ≈岁． （2）第1,2组抽取的人数分别为2人，3人． 设第2组中恰好抽取2人的事件为A ，则1223353()5C C P A C ==． （3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注环境治理和保护问题的概率为45P =， X 的所有可能取值为0，1,2,3，∴03341(0)(1)5125P X C ==-=，11234412(1)()(1)55125P X C ==-=，2234448(2)()(1)55125P X C ==-=， 333464(3)()5125P X C ===， 所以X 的分布列为：∵4~(3,)5X B ， ∴412()355E X =⨯=． 19.解：（1）取PC 中点M ，连接DM ，MF ，∵M ，F 分别是PC ，PB 中点，∴//MF CB ，12MF CB =， ∵E 为DA 中点，ABCD 为矩形，∴//DE CB ，12DE CB =，∴//MF DE ，MF DE =，∴四边形DEFM 为平行四边形， ∴//EF DM ，∵EF ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ， ∴//EF 平面PDC ．（2）∵PA ⊥平面ABC ，且四边形ABCD 是正方形，∴AD ，AB ，AP 两两垂直，以A 为原点，AP ，AB ，AD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则(1,0,0)P ，(0,0,1)D ，(0,1,1)C ，1(0,0,)2E ，11(,,0)22F ，设平面EFC 法向量1(,,)n x y z =u r ，111(,,)222EF =-u u u r ，11(,,1)22FC =-u u u r ，则110,0,EF n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r 即0,110,22x y z x y z +-=⎧⎪⎨-++=⎪⎩取1(3,1,2)n =-u r ， 设平面PDC 法向量为2(,,)n x y z =u u r，(1,0,1)PD =-u u u r ，(1,1,1)PC =-uu u r ，则220,0,PD n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u r u u u r u u r即0,0,x z x y z -+=⎧⎨-++=⎩取2(1,0,1)n =u u r ， 121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>===⋅u r u u ru r u u r u r u u r所以平面EFC 与平面PDC所成锐二面角的余弦值为14． 20.解：（1）∵12c a =，∴2a c =， 椭圆的方程为2222143x y c c+=，将3(1,)2代入得22191412c c+=，∴21c =， ∴椭圆的方程为22143x y +=． （2）设l 的方程为1x my =+，联立221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，得22(34)690m y my ++-=， 设点11(,)A x y ，22(,)B x y ， 有122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，有2212(1)||34m AB m +==+，点P (2,0)-到直线l点(2,0)Q 到直线l，从而四边形APBQ的面积22112(1)234m S m +=⨯=+（或121||||2S PQ y y =-）令t =1t ≥， 有22431t S t =+2413t t=+，设函数1()3f t t t =+，21'()30f t t =->，所以()f t 在[1,)+∞上单调递增，有134t t+≥，故2242461313t S t t t==≤++，所以当1t =，即0m =时，四边形APBQ 面积的最大值为6． 21.解：（1）∵()f x 的定义域为x R ∈且单调递增， ∴在x R ∈上，'()240xaf x x e =-+≥恒成立， 即：(42)xa x e ≥-，所以设()(42)xh x x e =-，x R ∈， ∴'()(22)xh x x e =-，∴当(,1)x ∈-∞时，'()0h x >，∴()h x 在(,1)x ∈-∞上为增函数， ∴当[1,)x ∈+∞时，'()0h x ≤，∴()h x 在[1,)x ∈+∞上为减函数，∴max ()(1)2h x h e ==，∵max(42)xa x e ⎡⎤≥-⎣⎦，∴2a e ≥，即[2,)a e ∈+∞．（2）∵2()()(45)x xg x e f x x x e a ==-+-， ∵12()()2()g x g x g m +=，[1,)m ∈+∞，∴122221122(45)(45)2(45)2xxmx x e a x x e a m m e a -+-+-+-=-+-， ∴122221122(45)(45)2(45)xx m x x e x x em m e -++-+=-+，∴设2()(45)xx x x e ϕ=-+，x R ∈，则12()()2()x x m ϕϕϕ+=， ∴2'()(1)0xx x e ϕ=-≥，∴()x ϕ在x R ∈上递增， ∴设()()()F x m x m x ϕϕ=++-，(0,)x ∈+∞， ∴22'()(1)(1)m xm x F x m x e m x e +-=+----，∵0x >， ∴0m xm x ee +->>，22(1)(1)(22)20m x m x m x +----=-≥，∴'()0F x ≥，()F x 在(0,)x ∈+∞上递增，∴()(0)2()F x F m ϕ>=，∴()()2()m x m x m ϕϕϕ++->，(0,)x ∈+∞，令1x m x =-，∴11()()2()m m x m m x m ϕϕϕ+-+-+>，即11(2)()2()m x x m ϕϕϕ-+>， 又∵12()()2()x x m ϕϕϕ+=，∴12(2)2()()2()m x m x m ϕϕϕϕ-+->，即12(2)()m x x ϕϕ->，∵()x ϕ在x R ∈上递增，∴122m x x ->，即122x x m +<得证．22.解：（1）联立cos 3,4cos ,ρθρθ=⎧⎨=⎩cos 2θ=±， ∵02πθ≤<，6πθ=，ρ=∴所求交点的极坐标)6π．（2）设(,)P ρθ，00(,)Q ρθ且004cos ρθ=，0[0,)2πθ∈， 由已知23OQ QP =u u u r u u u r ，得002,5,ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴24cos 5ρθ=，点P 的极坐标方程为10cos ρθ=，[0,)2πθ∈． 23.解：（1）当2m =-时，41,0,3()|2||23|21,0,2345,.2x x f x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=++-=-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩当413,0,x x +≤⎧⎨≥⎩解得102x ≤≤；当302x -<<，13≤恒成立； 当453,3,2x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得322x -≤≤-，此不等式的解集为1|22x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）令233,0,22()()2353,,2x m x x g x f x x x x m x x ⎧--++-≤<⎪⎪=--=⎨⎪--+-≤-⎪⎩当302x -≤<时，22'()1g x x=-+，当0x ≤<时，'()0g x ≥，所以()g x在[上单调递增，当32x -≤≤时，'()0g x ≤，所以()g x在3[,2-上单调递减，所以min ()(g x g =30m =+≥，所以3m ≥-， 当32x ≤-时，22'()50g x x =-+<，所以()g x 在3(,]2-∞-上单调递减， 所以min 335()()026g x g m =-=+≥， 所以356m ≥-，综上，3m ≥-．。
2020届东北三省三校(哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学)高三上期第一次联合模拟考数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前东北三省三校(哈师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学) 2020届高三毕业班上学期第一次联合高考模拟考试数学(理)试题(解析版)全卷满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}|22A x x =-<<，{|B x y ==，则A B =（ ） A. ()1,2-B. [1,2)-C. ()2,1--D. ()2,3 【答案】B【解析】【分析】化简集合B ,即可求出A B .【详解】由题意得，()2,2A =-，∵B 中，()()130x x +-≥，∴[]1,3B =-，∴[1,2)A B =-，故选B.【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题.2.设p ：30x x-<，q ：()()20x a x a --+≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()1,0-B. []2,3C. ()2,3D. []1,0- 【答案】C【解析】【分析】解不等式，求出命题p ,q 成立的解集,把p 是q 的必要不充分条件转化为解集间的集合关系，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】由不等式30x x-<，解得03x <<， 由()()20x a x a --+≤得2a x a -≤≤，p 是q 的必要不充分条件，可知203a a ->⎧⎨<⎩, 所以23a <<，故实数m 的取值范围是()2,3.故选C.【点睛】本题考查命题的必要不充分条件,转化为集合间真子集关系,属于基础题3.已知向量()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-= ，若()()a b c a λ+⊥-，则实数λ=（ ） A. 15 B. 5 C. 4 D. 14【答案】A【解析】【分析】先由题意，得到()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，再根据向量垂直，即可列出方程求解，得出结果.【详解】因为()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-=，所以()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，又()()a b c a λ+⊥-，所以()()0λ+⋅-=a b c a ，即32210λλ-++=， 解得：15λ=. 故选：A【点睛】本题主要考查由向量垂直求参数，熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型.4.若θ是三角形的一个内角，且4tan 3θ=-，则3sin cos 22ππθθ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A. 15 B. 15- C. 75 D. 75-。
2020年东北三省三校(辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)
2020年东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中）高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x∈Z|x2≤1}，B={-1，0，1，2}，则A∩B=（）A. {-1，1}B. {0}C. {-1，0，1}D. [-1，1]2.命题“∀x∈R，x3-x2+1≤0”的否定是（）A. ∃x∈R，x3-x2+1≥0B. ∃x∈R，x3-x2+1＞0C. ∃x∈R，x3-x2+1≤OD. ∀x∈R，x3-x2+1＞03.已知向量，的夹角为60°，||=2，||=4，则（-）=（）A. -16B. -13C. -12D. -104.已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则C的渐近线方程为（）A. y=±xB. y=±xC. y=±2xD. y=±x5.等比数列{a n}的各项均为正数，a1=1，a1+a2+a3=7，则a3+a4+a5=（）A. 14B. 21C. 28D. 636.某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布N（10，0.12）（单位：kg），现抽取500袋样本，X表示抽取的面粉质量在（10，10.2）kg的袋数，则X的数学期望约为（）参考数据：若X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9973A. 171B. 239C. 341D. 4777.在复平面内，复数z=a+bi（a∈R，b∈R）对应向量（O为坐标原点），设||=r，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为θ，则z=r（cosθ+i sinθ），法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：z1=r1（cosθ1+i sinθ1），z2=r2（cosθ2+i sinθ2），则z1z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+i sin（θ1+θ2）]，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：[r（cosθ+i sinθ）]n=r n（cos nθ+i si n nθ），则（）5=（）A. B. C. D.8.运行程序框图，如果输入某个正数n后，输出的s∈（20，50），那么n的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 69.已知四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD为边长2的等边三角形，BD=DC，BD⊥CD，则异面直线，AC与BD所成角的余弦值为( )A. B. C. D.10.一项针对都市熟男（三线以上城市30～50岁男性）消费水平的调查显示，对于最近一年内是否购买过以下七类高价商品，全体被调查者，以及其中包括的1980年及以后出生（80后）被调查者、1980年以前出生（80前）被调查者回答“是”的比例分别如下：全体被调查者80后被调查者80前被调查者电子产品56.9%66.0%48.5%服装23.0%24.9%21.2%手表14.3%19.4%9.7%运动、户外用品10.4%11.1%9.7%珠宝首饰8.6%10.8% 6.5%箱包8.1%11.3% 5.1%个护与化妆品 6.6% 6.0%7.2%以上皆无25.3%17.9%32.1%根据表格中数据判断，以下分析错误的是（）A. 都市熟男购买比例最高的高价商品是电子产品B. 从整体上看，80后购买高价商品的意愿高于80前C. 80前超过三成一年内从未购买过表格中七类高价商品D. 被调查的都市熟男中80后人数与80前人数的比例大约为2：111.椭圆+y2=1上存在两点A，B关于直线4x-2y-3=0对称，若O为坐标原点，则||=（）A. 1B.C.D.12.如图，直角梯形ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2，AB=BC=1，E是边CD中点，△ADE沿AE翻折成四棱锥D′-ABCE，则点C到平面ABD′距离的最大值为（）A. B. C. D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=24，a8=17，则S8=______．14.函数y=sin（ωx+）（ω∈N*）的一条对称轴为x=，则ω的最小值为______．15.若函数f（x）=在（-∞，+∞）上单调递增，则m的取值范围是______．16.已知f（x）=+b，g（x）=f2（x）-1，其中a≠0，c＞0，则下列判断正确的是______．（写出所有正确结论的序号）①f（x）关于点（0，b）成中心对称②f（x）在（0，+∞）上单调递增③存在M＞0，使|f（x）|≤M④若g（x）有零点，则b=0⑤g（x）=0的解集可能为{1，-1，2，-2}三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，2sin A•sin B（1-tan A•tan B）=tan A•tan B．（Ⅰ）求∠C的大小；（Ⅱ）求sin A-cos B的取值范围．18.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，△ACD是边长为2的等边三角形，且AB=BC=，PA=2，点M是棱PC上的动点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）当线段MB最小时，求直线MB与平面PBD所成角的正弦值．19.现代社会，“鼠标手”已成为常见病．一次实验中，10名实验对象进行160分钟的连续鼠标点击游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为180次/分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化，前臂表面肌电频率（sEMG）等指标．（Ⅰ）10名实验对象实验前、后握力（单位：N）测试结果如下：实验前：346，357，358，360，362，362，364，372，373，376实验后：313，321，322，324，330，332，334，343，350，361完成茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力的平均值下降了多少N？（Ⅱ）实验过程中测得时间t（分）与10名实验对象前臂表面肌电频率（sEMG）的中位数y（Hz）的九组对应数据（t，y）为（0，87），（20，84），（40，86），（60，79），（80，78），（100，78）（120，76），（140，77），（160，75）建立y关于时间t的线性回归方程；（Ⅲ）若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入疲劳状态，根据（Ⅱ）中9组数据分析，使用鼠标多少分钟就该进行休息了？参考数据：（t i）（y i）=-1800参考公式：回归方程=t+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=．20.抛物线x2=4y的焦点为F，准线为l，若A为抛物线上第一象限的一动点，过F作AF的垂线交准线l于点B，交抛物线于M，N两点．（Ⅰ）求证：直线AB与抛物线相切；（Ⅱ）若点A满足AM⊥AN，求此时点A的坐标．21.已知函数f（x）=（2-x）e k（x-1）-x（k∈R，e为自然对数的底数）（Ⅰ）若f（x）在R上单调递减，求k的最大值；（Ⅱ）当x∈（1，2）时，证明：ln＞2（x-）．22.已知曲线C的参数方程为（θ为参数），A（2，0），P为曲线C上的一动点．（Ⅰ）求动点P对应的参数从变动到时，线段AP所扫过的图形面积；（Ⅱ）若直线AP与曲线C的另一个交点为Q，是否存在点P，使得P为线段AQ的中点？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．23.已知函数f（x）=|3x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4-|x-1|；（Ⅱ）已知m＞0，n＞0，m+n=1，若对任意的x∈R，m＞0，n＞0不等式|x-a|-f（x）≤（a ＞0）恒成立，求正数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵集合A={x∈Z|x2≤1}={-1，0，1}，B={-1，0，1，2}，∴A∩B={-1，0，1}．故选：C．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析：解：将量词否定，结论否定，可得∃x∈R，x3-x2+1＞0故选：B．将量词否定，结论否定，可得结论．本题考查命题的否定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．3.答案：C解析：解：向量，的夹角为60°，||=2，||=4，则（-）===-12．故选：C．直接利用向量的数量积的运算法则化简求解即可．本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力．4.答案：B解析：【分析】本题考查双曲线的几何性质，注意由双曲线的标准方程分析焦点的位置，确定双曲线的渐近线方程，属于基础题．根据题意，由双曲线的离心率e=2可得c=2a，由双曲线的几何性质可得b==a，即=，由双曲线的渐近线方程可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：-=1，其焦点在x轴上，其渐近线方程为y=±x，又由其离心率e==2，则c=2a，则b==a，即=，则其渐近线方程y=±x；5.答案：C解析：解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1=1，a1+a2+a3=7，∴1+q+q2=7，解得q=2．则a3+a4+a5=q2+q3+q4=4+8+16=28．故选：C．利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.答案：B解析：解：∵P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545，且μ=10，σ=0.1，∴P（9.8＜X＜10.2）≈0.9545，∴P（10＜X＜10.2）==0.47725，则面粉质量在（10，10.2）kg的袋数Y服从二项分布，即Y～B（500，0.47752），则E（Y）=500×0.47752≈239．故选：B．先根据正态分布求得质量在（10，10.2）kg的袋数的概率，再根据袋数Y服从二项分布可得．本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．7.答案：A解析：解：（）5==+i=-i．故选：A．（）5=，再利用棣莫弗定理即可得出．本题考查了棣莫弗定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：B解析：解：由题意，模拟程序的运行，可得s=0，k=1第1次执行循环体，s=1，k=2第2次执行循环体，s=4，k=3第3次执行循环体，s=13，k=4第4次执行循环体，s=40，k=5第5次执行循环体，s=121，k=6由上可知，若要输出的s∈（20，50），那么n的值为4，即k=5＞4时，退出循环得解．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．解析：【分析】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，过D作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与BD所成角的余弦值．【解答】解：四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD为边长2的等边三角形，BD=DC，BD⊥CD，以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，过D作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，1，），C（2，0，0），B（0，2，0），D（0，0，0），=（2，-1，-），=（0，-2，0），设异面直线AC与BD所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为．故选：A．10.答案：D解析：解：对于选项A，从表中的数据可得都是熟男购买电子产品的比例为56.9%，为最高值，所以A正确；对于选项B，从表中后两列的数据可以看出，前6项的比例均是80后得意愿高于80前的意愿，所以B正确；对于选项C，从表中的最后一列可看出，80前一年内从未购买过表格中7类高价商品的比例为32.1%，约为3成，所以C正确；对于选项D，根据表中数据不能得到被调查者的都是熟男中800后人数与80前人数的比例，所以D 不正确．故选：D．根据表中的数据逐项进行分析可得．本题考查了进行简单的合情推理，属中档题．11.答案：C解析：解：∵椭圆+y2=1上，焦点在x轴上，设椭圆上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线4x-2y-3=0对称，AB中点为M（x0，y0），直线AB的斜率为-，则x12+4y12=4，①x22+4y22=4，②①-②得：（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0，由中点坐标公式可知：x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，即2x0•（x1-x2）+4•2y0•（y1-y2）=0，∴=-=-，∴2y0=x0，代入直线方程4x-2y-3=0，得x0=1，y0=，∴x1+x2=2，y1+y2=1，∴=（x1+x2，y1+y2）=（2，1）∴||==，故选：C．将A，B坐标代入椭圆方程，利用作差法，求得直线AB的斜率，由直线AB的斜率为-，代入求得AB中点M（x0，y0），求出点M的坐标，再根据向量的模计算即可．本题考查作差法求弦的直线方程的斜率，点与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．12.答案：B解析：解：直角梯形ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2，AB=BC=1，E是边CD中点，△ADE沿AE翻折成四棱锥D′-ABCE，当D′E⊥CE时，点C到平面ABD′距离取最大值，∵D′E⊥AE，CE∩AE=E，∴D′E⊥平面ABCE，以E为原点，EC为x轴，EA为y轴，ED′为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，1，0），C（1，0，0），D′（0，0，1），B（1，1，0），=（1，0，0），=（1，-1，0），=（0，-1，1），设平面ABD′的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，1），∴点C到平面ABD′距离的最大值为：d===．故选：B．当D′E⊥CE时，点C到平面ABD′距离取最大值，以E为原点，EC为x轴，EA为y轴，ED′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C到平面ABD′距离的最大值．本题考查点到平面的距离的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.答案：80解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S4=24，a8=17，∴4a1+d=24，a1+7d=17，解得a1=3，d=2，则S8==80．故答案为：80．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.答案：2解析：解：函数y=sin（ωx+）（ω∈N*）的一条对称轴为x=，故：（k∈Z），解得：ω=6k+2（k∈Z），由于：ω∈N*，当k=0时，ω的最小值为2．故答案为：2直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数中正弦型函数性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．15.答案：0＜m≤3解析：解：函数f（x）=在（-∞，+∞）上单调递增，由x≥0时，f（x）=1+2x递增，可得x＜0时，f（x）也递增，即有m＞0，且1+20≥0+m-1，即m≤3，综上可得0＜m≤3．故答案为：0＜m≤3．由指数函数的单调性和定义，可得m＞0且1+20≥0+m-1，解不等式可得所求范围．本题考查分段函数的单调性，注意运用指数函数的单调性和定义法，考查运算能力，属于基础题．16.答案：①③⑤解析：解：对于①，函数y=是定义域R上的奇函数，图象关于原点（0，0）对称，所以函数f（x）=+b的图象关于点（0，b）对称，①正确；对于②，x＞0时，f'（x）==，当-时，f'（x）＞0，当x或x时，f'（x）＜0，所以f（x）在[-，]上单调递增，在（-∞，-）和（，+∞）上单调递减．所以②错；对于③，由②知，函数f（x）在（-∞，-）上单调递减，在[-，]上单调递增，在（，+∞）上单调递减．当x→∞时y=→0，所以当x→∞时，f（x）→b，所以|f（x）|≤max{f（-），}，所以存在存在M＞0，使|f（x）|≤M；对于④若g（x）有零点，只需|f（x）|=1，即b=，b不一定为0，④错误；对于⑤，当a=-20，b=9，c=1时，g（x）=0的解集为{1，-1，2，-2}．故⑤正确；故填：①③⑤．对于①根据y=是定义域R上的奇函数，f（x）是由y=向上平移b个单位得到，故①正确；对于②，求导后讨论f（x）的单调性即可得到结论；对于③结合②的结论，|f（x）|≤max{f（-），}，故③正确；对于④，由g（x）有零点，得b═，b不一定为0，所以④错误；对于⑤举出实例即可．本题考查了函数的奇偶性、函数的单调性、函数的最值、函数的零点等．属于难题．17.答案：解：（Ⅰ）∵在△ABC中，2sin A•sin B（1-tan A•tan B）=tan A•tan B，∴两边同时乘以cos A cos B，可得2sin A•sin B（cos A cos B-sin A sin B）=sin A•sin B，∴2cos A cos B-2sin A sin B=1，即2cos（A+B）=1，即cos（A+B）=，∴A+B=，∴C=．（Ⅱ）sin A-cos B=sin A-cos（-A）=sin A-cos A-sin A=sin A-cos A=sin（A-），∵A∈（0，），∴A-∈（-，），∴sin（A-）∈（-，），sin A-cos B的取值范围为（-，）．解析：（Ⅰ）△ABC中，由题意利用三角恒等变换求得cos（A+B）=，可得A+B=，可得∠C的大小．（Ⅱ）化简sin A-cos B为sin（A-），再利用正弦函数的定义域和值域，求得它的取值范围．本题主要考查三角恒等变换，根据三角函数的值求角，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18.答案：解：（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD，取AC中点O，连接OB，OD，则AC⊥OB，AC⊥OD，∴点O，B，D共线，即AC⊥BD，又∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．∵BD⊂平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD．（Ⅱ）解：取CP中点E，连接OE，OE∥PA，∴OE⊥底面ABCD，∴OC，OD，OE两两垂直，以O为原点如图建立空间直角坐标系O-xyz，则B（0，-1，0），C（1，0，0），D（0，，0），P（-1，0，2），∴=（0，+1，0），=（-1，1，2），设平面PBD的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1可得平面PBD的一个法向量=（2，0，1），设=λ（0≤λ≤1），则=+=（1-2λ，1，2λ），∴||==，∴当λ=时，||取得最小值，此时=（，1，），设直线MB与平面PBD所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，∴直线MB与平面PBD所成角的正弦值为．解析：（I）取AC中点O，可证O在直线BD上，得出BD⊥AC，BD⊥PA，于是BD⊥平面PAC，得出平面PAC⊥平面PBD；（II）取PC中点E，证明OE⊥平面ABCD，以O为原点建立空间坐标系，求出||最短时对应的坐标，求出平面PBD的法向量，计算平面法向量与的夹角的余弦值即可得出结论．本题考查了面面垂直的判定，考查空间向量与线面角的计算，属于中档题．19.答案：解：（Ⅰ）根据题意填写茎叶图如下；计算=×（346+357+358+360+362+362+364+372+373+376）=363，=×（313+321+322+324+330+332+334+343+350+361）=333，-=363-333=30（N），所以实验前后握力的平均值下降了30N；---------（4分）（II）=80，=80，（t i-）（y i-）=-1800，=（0-80）2+（20-80）2+（40-80）2+（60-80）2+（80-80）2+（100-80）2+（120-80）2+（140-80）2+（160-80）2=24000；回归系数为===-0.075，==80-（-0.075）×80=86，---------（9分）y关于时间t的线性回归方程为：=-0.075t+86；----------（10分）（III）九组数据中40分钟到60分钟y的下降幅度最大，提示60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，所以使用鼠标60分钟就该休息了．---------（12分）解析：（Ⅰ）根据题意填写茎叶图，计算平均值、，求出-的值；（II）计算平均值，求出回归系数、，写出y关于t的线性回归方程；（III）根据题意知40分钟到60分钟y的下降幅度最大，说明60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，该休息了．本题考查了利用茎叶图求平均数的应用问题，也考查了线性回归方程的应用问题，是中档题．20.答案：解：（I）设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），F（0，1），∴直线AF的斜率为，由已知直线BF斜率存在，直线BF的方程为y=x+1，令y=-1，x=，∴B（，-1），直线AB的斜率为==，由y=知，y′|=，∴直线AB与抛物线相切．（II）A（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），直线AM的斜率为==，直线AN的斜率为=，∵AM⊥AN，∴•=-1，∴x1x2+x0（x1+x2）+x02=-16，∴，∴x2-x-4=0，∴x1+x2=，x1x2=-4∴x02+x0-4=-16，∴y02-2y0-3=0∵y0＞0，∴y0=3，又x0＞0，∴x0=2，∴存在A（2，3），使得AM⊥AN．解析：（I）设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），分别求出直线AF的斜率，可得直线BF的方程，求出点B的坐标，根据直线核对斜率公式和导数的几何意义已即可证明．（Ⅱ）分别设M（x1，y1），N（x2，y2），求出直线AM，AN的斜率，根据直线的垂直可得x1x2+x0（x1+x2）+x02=-16，再根据韦达定理，即可求出点A的坐标．本题考查抛物线的性质，直线的斜率公式，导数的几何意义，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．21.答案：解：（I）∵函数f（x）=（2-x）e k（x-1）-x（k∈R，e为自然对数的底数），∴f′（x）=e k（x-1）[k（2-x）-1]-1≤0恒成立，--------（2分）即-kx+2k-1≤对于∀x∈R恒成立，设g（x）=，则g（x）≥0对于∀x∈R恒成立．则g（1）=2-k≥0，∴k≤2．--------（4分）当k=2时，，g′（1）=0，x∈（1，+∞），g′（x）＞0，g（x）单调递增，x∈（-∞，1），g′（x）＜0，g（x）单调递减，g（x）min=g（1）=0，即g（x）≥0恒成立，故k的最大值为2．--------（6分）证明：（II）当k=2时，f（x）=（2-x）•e2（x-1）-x单调递减，且f（1）=0，--------（7分）当x∈（1，2）时，f（x）＜f（1），即（2-x）•e2（x-1）＜x，ln（2-x）+2（x-1）＜ln x，2（x-1）＜ln，①--------（9分）下面证明：-，②令H（x）=ln（2x-1）-（-），则H′（x）=≥0，∴H（x）单调递增，H（x）＞H（1）=0，故②成立，--------（11分）由①+②得ln＞2（x-）成立．---------（12分）解析：（I）推导出f′（x）=e k（x-1）[k（2-x）-1]-1≤0恒成立，从而-kx+2k-1≤对于∀x∈R恒成立，设g（x）=，则g（x）≥0对于∀x∈R恒成立．推导出k≤2．当k=2时，，g′（1）=0，利用导数性质推导出g（x）≥0恒成立，由此能求出k的最大值．（II）当k=2时，f（x）=（2-x）•e2（x-1）-x单调递减，且f（1）=0，当x∈（1，2）时，（2-x）•e2（x-1）＜x，从而ln（2-x）+2（x-1）＜ln x，2（x-1）＜ln，再证明：-，由此能证明ln＞2（x-）成立．本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查换元法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：（I）设θ=时对应的点为M，θ=时对应的点为N，线段AP扫过的面积=S△AMN+S弓形=S△OMN+S弓形=S扇形OMN=×12×=----（4分）（II）设P（cosθ，sinθ），A（2，0）∵P为线段AQ的中点，∴Q（2cosθ-2，2sinθ）---------（6分）∵Q在曲线C上，曲线C的直角坐标方程为x2+y2=1∴（2cosθ-2）2+（2sinθ）2=1∴8cosθ=7，cosθ=---------（8分）P（，±）---------（10分）解析：（Ⅰ）设θ=时对应的点为M，θ=时对应的点为N，线段AP扫过的面积=S△AMN+S弓形=S△OMN+S2×=；弓形=S扇形OMN=×1（Ⅱ）根据中点公式求得中点坐标代入曲线C的方程可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．23.答案：解：（Ⅰ）不等式f（x）＜4-|x-1|，即|3x+2|+|x-1|＜4，∴①，或②，或③．解①求得-＜x＜-，解②求得-≤x＜，解③求得x∈∅．综上可得，不等式的解集为（-，）．（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），∴+=（m+n）（+）=2++≥2+2=4，当且仅当m=n=时，取等号．再根据|x-a|-f（x）≤+（a＞0）恒成立，可得|x-a|-f（x）≤4，即|x-a|-|3x+2|≤4．设g（x）=|x-a|-|3x+2|=，故函数g（x）的最大值为g（-）=+a，再由+a≤4，求得0＜a≤．解析：（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由条件利用基本不等式求得+≥4，结合题意可得|x-a|-|3x+2|≤4恒成立．令g（x）=|x-a|-|3x+2|，利用单调性求得它的最大值，再由此最大值小于或等于4，求得a的范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2020年东北三省四市教研联合体高考(理科)数学一模试卷 含解析
2020年高考（理科）数学第一次模拟测试试卷一、选择题1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，4，6}，则A ∩（∁U B）＝（）A．{2，5，7}B．{3，5，7}C．{3}D．{5，7}2．已知复数，则z的虚部为（）A．﹣1B．.﹣i C．.1D．.i3．2019年某国迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为径，个位数字为叶）．若甲队得分的中位数是86，乙对得分的平均数是88，则x+y＝（）A．170B．10C．172D．124．（1+2x）（1+x）5的展开式中x2的系数为（）A．5B．10C．20D．305．《算数书》竹筒与上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍．其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算器体积的近似公式．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么近似公式相当于圆锥体积公式中的圆周率近似取为（）A．B．C．D．6．已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，且a1，a3，a9成等比数列，则S8＝（）A．56B．72C．88D．407．下列说法正确的是（）A．命题“∃x0≤0，2x0≤sin x0”的否定形式是“∀x＞0，2x＞sin x”B．若平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ则α∥βC．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若P（0＜ξ＜1）＝0.4，则P（ξ＞0）＝0.8D．设x是实数，“x＜0”是“”的充分不必要条件8．已知双曲线的右焦点与圆M：（x﹣2）2+y2＝5的圆心重合，且圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．39．已知A（x A，y A）是圆心为坐标原点O，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转到OB交圆于点B（x B，y B），则2y A+y B的最大值为（）A．3B．2C．D．10．从集合{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4}中随机选取一个数记为m，从集合{﹣2，﹣1，2，3，4}中随机选取一个数记为n，则在方程表示双曲线的条件下，方程表示焦点在y轴上的双曲线的概率为（）A．B．C．D．11．已知函数，若关于x的方程[f（x）]2﹣2af（x）+3a＝0有六个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（3，4）D．（3，4]12．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足，且当x∈[0，2）时，f（x）＝﹣x2+2x．设f（x）在[2n﹣2，2n]上的最大值为，且数列{a n}的前n项和为S n．若对于任意正整数n不等式k（S n+1）≥2n﹣9恒成立，则实数k的取值范围为（）A．[0，+∞）B．C．D．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分.13．若曲线f（x）＝ae x﹣lnx（其中常数a≠0）在点（1，f（x））处的切线的斜率为1，则a＝．14．若函数的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象．则g（x）在区间上的最小值为．15．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O．剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的外接球的体积为．16．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，如图AB是过F1且垂直于长轴的弦，则△ABF2的内切圆方程是．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.17．在△ABC中，M是BC边上一点，．（1）求sin B；（2）若，求MC．18．某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数，以下茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”．（1）从这20人中任取3人，求恰有1人成绩“优秀”的概率；（2）根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，根据频率分布直方图解决下面的问题．组别分组频数频率频率/组距1[60，70）2[70，80）3[80，90）4[90，100]（ⅰ）估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（ⅱ）若从所有员工中任选3人，记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，求X的分布列和数学期望．分数19．已知函数C：y2＝4x的焦点为F，过C上一点P（1，t）（t＞0）作两条倾斜角互补的直线分别C交于M，N两点．（1）证明：直线MN的斜率是﹣1；（2）若8|MF|，|MN|，|NF|成等比数列，求直线MN的方程．20．如图，在直角△AOB中，OA＝OB＝2，△AOC通过△AOB以直线OA为轴顺时针旋转120°得到（∠BOC＝120°），点D为斜边AB上一点，点M为线段BC上一点，且．（1）证明：OM⊥平面AOB；（2）当直线MD与平面AOB所成的角取最大值时，求二面角B﹣CD﹣O的正弦值．21．已知函数是f（x）的导数．（1）当a＝1时，令h（x）＝f'（x）﹣x+lnx，h'（x）为h（x）的导数，证明：h'（x）在区间存在唯一的极小值点；（2）已知函数在上单调递减，求a的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在22/23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．点p（x0，y0）在曲线C上，点Q（m，n）满足．（Ⅰ）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，求动点Q的轨迹C的极坐标方程；（Ⅱ）点A、B分别是曲线C上第一象限，第二象限上两点，且满足，求的值．[选修4-5不等式选将]23．已知关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥|m﹣2|+m有解．（1）求实数m的最大值t；（2）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c＝t．证明a3b+b3c+c3a≥3abc参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，4，6}，则A ∩（∁U B）＝（）A．{2，5，7}B．{3，5，7}C．{3}D．{5，7}【分析】进行补集和交集的运算即可．解：U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，4，6}，∴∁U B＝{3，5，7}，∴A∩（∁U B）＝{3，5，7}．故选：B．2．已知复数，则z的虚部为（）A．﹣1B．.﹣i C．.1D．.i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵＝，∴z的虚部为﹣1．故选：A．3．2019年某国迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为径，个位数字为叶）．若甲队得分的中位数是86，乙对得分的平均数是88，则x+y＝（）A．170B．10C．172D．12【分析】由茎叶图中的数据，求出甲队得分的中位数和乙队得分的平均数，再计算x+y 的值．解：由茎叶图知，若甲队得分的中位数是86，则x＝6；乙队得分的平均数是×（78+82+80+y+89+91+93+97）＝88，解得y＝6；所以x+y＝6+6＝12．故选：D．4．（1+2x）（1+x）5的展开式中x2的系数为（）A．5B．10C．20D．30【分析】写出二项式（1+x）5的通项，分别求出含x2的项与含x的项，再由多项式乘多项式求解．解：（1+x）5的展开式的通项为T r+1＝x r．取r＝2，得T3＝x2，取r＝1，得T2＝x．∴（1+2x）（1+x）5的展开式中x2的系数为+2＝20．故选：C．5．《算数书》竹筒与上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍．其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算器体积的近似公式．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么近似公式相当于圆锥体积公式中的圆周率近似取为（）A．B．C．D．【分析】设圆锥底面圆的半径r，高h，写出底面周长L，写出圆锥体积，代入近似公式即可求出π的近似值．解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，依题意，L＝2πr，＝，∴π＝，即π＝．即π的近似值为．故选：C．6．已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，且a1，a3，a9成等比数列，则S8＝（）A．56B．72C．88D．40【分析】设公差为d，且d不为0，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得公差d，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和．解：公差d不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，且a1，a3，a9成等比数列，可得a32＝a1a9，即有（2+2d）2＝2（2+8d），解得d＝2（0舍去），则S8＝8a1+28d＝16+56＝72，故选：B．7．下列说法正确的是（）A．命题“∃x0≤0，2x0≤sin x0”的否定形式是“∀x＞0，2x＞sin x”B．若平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ则α∥βC．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若P（0＜ξ＜1）＝0.4，则P（ξ＞0）＝0.8D．设x是实数，“x＜0”是“”的充分不必要条件【分析】在A中，由特称命题的否定可知：命题“∃x0≤0，2x0≤sin x0”的否定形式是“∀x ≤0，2x＞sin x”；在B中，α与β相交或平行；在C中，P（ξ＞0）＝0.4+0.4+0.1＝0.9；在D中，设x是实数，则“x＜0”⇒“”，“”⇒“x＜0或x＞1”．解：在A中，由特称命题的否定可知：命题“∃x0≤0，2x0≤sin x0”的否定形式是“∀x≤0，2x＞sin x”，故A错误；在B中，若平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，如右图的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，平面BCC1B1⊥平面ABCD，平面ADD1A1∥平面BCC1B1；平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面BCC1B1⊥平面ABCD，平面ABB1A1∩平面BCC1B1＝BB1．故B错误；在C中，∵随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），∴正态曲线关于x＝1对称，∵P（0＜ξ＜1）＝0.4，∴P（1＜ξ＜2）＝0.4，∴P（ξ＞2）＝0.5﹣0.4＝0.1，∴P（ξ＞0）＝0.4+0.4+0.1＝0.9，故C错误；在D中，设x是实数，则“x＜0”⇒“”，“”⇒“x＜0或x＞1”，∴“x＜0”是“”的充分不必要条件，故D正确．故选：D．8．已知双曲线的右焦点与圆M：（x﹣2）2+y2＝5的圆心重合，且圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．3【分析】依题意可得c＝2，DF2＝＝．求得a，即可得则双曲线的离心率．解：∵双曲线的右焦点与圆M：（x﹣2）2+y2＝5的圆心重合，∴c＝2，∵圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则圆心（2，0）到渐近线距离DF2＝又DF2＝．∴b＝，a＝则双曲线的离心率为．故选：A．9．已知A（x A，y A）是圆心为坐标原点O，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转到OB交圆于点B（x B，y B），则2y A+y B的最大值为（）A．3B．2C．D．【分析】设A（cosθ，sinθ），则由任意角的三角函数的定义可得B（，），故2y A+y B＝2sinθ+，再利用两角和与差的三角函数公式及辅助角公式化简即可求得y A+y B的最大值．解：设A（cosθ，sinθ），则B（，），∴2y A+y B＝2sinθ+＝2sinθ+sinθcos+cosθsin＝＝＝，∴2y A+y B的最大值为，故选：C．10．从集合{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4}中随机选取一个数记为m，从集合{﹣2，﹣1，2，3，4}中随机选取一个数记为n，则在方程表示双曲线的条件下，方程表示焦点在y轴上的双曲线的概率为（）A．B．C．D．【分析】求得方程表示双曲线共有N＝3×3+4×2＝17种情况．方程表示焦点在y轴上的双曲线共有N0＝3×3＝9种情况．利用条件概率公式即可求解．解：若方程表示双曲线，则mn＜0，共有N＝3×3+4×2＝17种情况．若方程表示焦点在y轴上的双曲线则m＜0．n＞0，共有N0＝3×3＝9种情况．则概率为p＝．故选：A．11．已知函数，若关于x的方程[f（x）]2﹣2af（x）+3a＝0有六个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（3，4）D．（3，4]【分析】令f（x）＝t，则g（t）＝t2﹣2at+3a，作f（x）的图象，观察图象可知，函数g（t）在（2，4）有两不等实根或者其中一根为4，另一根在（2，4）内，由二次函数的根的分布列出不等式组得解．解：令f（x）＝t，则g（t）＝t2﹣2at+3a，作f（x）的图象如下，设g（t））＝t2﹣2at+3a的零点为t1，t2，由图可知，要满足题意，则需g（t）＝t2﹣2at+3a在（2，4）有两不等实根或者其中一根为4，另一根在（2，4）内，故或，解得3＜a＜或a＝．即实数a的取值范围是：（3，]．故选：B．12．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足，且当x∈[0，2）时，f（x）＝﹣x2+2x．设f（x）在[2n﹣2，2n]上的最大值为，且数列{a n}的前n项和为S n．若对于任意正整数n不等式k（S n+1）≥2n﹣9恒成立，则实数k的取值范围为（）A．[0，+∞）B．C．D．【分析】由函数的周期变化知，最大值也成周期变化，求出数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，得到前n项和为S n的表达式，进而求解结论．解：当x∈[0，2）时，f（x）＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，则f max（x）＝1．又∵设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n，∴a1＝1，又∵f（x+2）＝2f（x），则f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为f（x）在[2n﹣4，2n﹣2）上的最大值的2；∴a n＝2a n﹣1，数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列；∴数列{a n}的前n项和为S n＝＝2n﹣1；∴k（S n+1）≥2n﹣9恒成立⇒k≥＝恒成立；记{}为数列{b n}，∵﹣＝；当n≤5时，﹣＞0，即数列{b n}递增；当n＞5时，﹣＜0，即数列{b n}递减；且b5＝＝，b6＝＝＞；∴数列{b n}的最大值为：．故实数k的取值范围为：[，+∞）．故选：C．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分.13．若曲线f（x）＝ae x﹣lnx（其中常数a≠0）在点（1，f（x））处的切线的斜率为1，则a＝．【分析】根据斜率即为切点处的导数，先求出x＝1处的导数，令其等于1，即可解方程求出a的值．解：∴f′（1）＝ae﹣1＝1∴．故答案为：．14．若函数的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象．则g（x）在区间上的最小值为．【分析】先由辅助角公式化简函数f（x）得，再由图象变换法则可得，最后由给定区间结合三角函数的图象及性质求得最小值．解：，函数f（x）向左平移个单位得到函数，∵，∴，∴，即g（x）在区间上的最小值为．故答案为：．15．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O．剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的外接球的体积为8π．【分析】翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为2的正三棱锥O﹣ACD，由此能求出以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的外接球表面积．解：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为2的正三棱锥O﹣ACD，如图，取CD中点E，连结AE，作OF⊥平面ABC，交AE于F，则F是△ACD的重心，由题意知AE＝＝2，AF＝＝，OF＝＝，设G为四面体的外接球的球心、球半径为R，则G在直线OF上，且OG＝AG＝R，∴由AG2＝AF2+GF2，得：R2＝（）2+（﹣R）2，解得R＝，∴以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的外接球表面积为V＝πR3＝8π．故答案为：8π．16．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，如图AB是过F1且垂直于长轴的弦，则△ABF2的内切圆方程是．【分析】设△ABF2内切圆的半径为r，由椭圆的方程分析可得a、b、c的值，由勾股定理分析可得|AF2|2﹣|AF1|2＝16，|AF1|+|AF2|＝2a＝2，解可得|AF1|与|AF2|的值，计算可得△ABF2的周长与面积，由内切圆的性质计算可得内切圆半径，进一步求得圆心坐标，则答案可求．解：设△ABF2内切圆的半径为r，椭圆的方程为，其中a＝，b＝，c＝，则|F1F2|＝2c＝4，AB与x轴垂直，则有|AF2|2﹣|AF1|2＝16，|AF1|+|AF2|＝2a＝，解得：|AF1|＝，|AF2|＝，△ABF2的周长l＝|AF2|+|BF2|+|AB|＝，其面积S＝×|AB|×|F1F2|＝，由内切圆的性质可知，有r×＝，解得r＝．∴圆心横坐标为﹣2+，即圆心坐标为（，0），则△ABF2的内切圆方程是，故答案为：．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.17．在△ABC中，M是BC边上一点，．（1）求sin B；（2）若，求MC．【分析】（1）由三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和，设α，β分别为已知角，所以B角用已知角表示，再由题意可得α，β的正弦值，余弦值，由两角差的正弦公式展开可得B的正弦值．（2）由向量的关系，可得线段MC，MB的关系，由（1）及由正弦定理可得AM的值，再由余弦定理可得MC的值．解：（1）由题意可得设∠BAM＝α，∠AMC＝β，由题意可得sinα＝sin45°＝，cosα＝，B＝β﹣α，cosβ＝，所以sinβ＝，所以sin B＝sin（β﹣α）＝sinβcosα﹣cosβsinα＝﹣＝；（2）因为＝，设MC＝x，BM＝2x，在△ABM中，由正弦定理可得＝，所以＝，所以AM＝x，因为AC2＝AM2+MC2﹣2AM•MC•cosβ，所以42＝x2+x2﹣2x，解得MC＝x＝4，所以MC的值为4．18．某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数，以下茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”．（1）从这20人中任取3人，求恰有1人成绩“优秀”的概率；（2）根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，根据频率分布直方图解决下面的问题．组别分组频数频率频率/组距1[60，70）2[70，80）3[80，90）4[90，100]（ⅰ）估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（ⅱ）若从所有员工中任选3人，记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，求X的分布列和数学期望．分数【分析】（1）从这20人中任取3人，设恰有1人成绩“优秀”为事件A，利用古典概型能求出从这20人中任取3人，恰有1人成绩“优秀”的概率．（2）（ⅰ）根据这20人的分数补全频率分布表，由频率分布表作出频率分布直方图，由此能估计所有员工的平均分数．（ⅱ）从所有员工中任选3人，记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，则X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，），由此能求出X的分布列和数学期望．解：（1）从这20人中任取3人，设恰有1人成绩“优秀”为事件A，则从这20人中任取3人，恰有1人成绩“优秀”的概率：P（A）＝＝．（2）（ⅰ）根据这20人的分数补全频率分布表：组别分组频数频率频率/组距1[60，70）20.10.012[70，80）60.30.033[80，90）80.40.044[90，100]40.20.02由频率分布表作出频率分布直方图：估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）为：65×0.1+75×0.3+85×0.4+95×0.2＝82．（ⅱ）从所有员工中任选3人，记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，则X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，），P（X＝0）＝（）3＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝（）3＝，∴X的分布列为：X0123P∵X～B（3，），∴数学期望E（X）＝3×＝．19．已知函数C：y2＝4x的焦点为F，过C上一点P（1，t）（t＞0）作两条倾斜角互补的直线分别C交于M，N两点．（1）证明：直线MN的斜率是﹣1；（2）若8|MF|，|MN|，|NF|成等比数列，求直线MN的方程．【分析】（1）易求P（1，2），设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意可知，k MP+k NP ＝0，利用斜率公式代入化简得y1+y2＝﹣4，所以＝＝﹣1；（2）由（1）可设直线l的方程为：y＝﹣x+m，所以，|MF|＝x1+1，|NF|＝x2+1，由题意可知|MN|2＝8|MF||NF|，即，将直线l与抛物线C联立，利用韦达定理代入上式得：m2﹣2m+1＝0，故m＝1，从而得到直线l的方程．解：（1）∵点P在抛物线C：y2＝4x上，∴t＝2，∴P（1，2），设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意可知，k MP+k NP＝0，∴，∴，∴，∴y1+y2＝﹣4，∴＝＝﹣1；（2）由（1）可设直线l的方程为：y＝﹣x+m，∴，|MF|＝x1+1，|NF|＝x2+1，∵8|MF|，|MN|，|NF|成等比数列，∴|MN|2＝8|MF||NF|，∴，即①，将直线l与抛物线C联立，可得：x2﹣（2m+4）x+m2＝0，∴△＝（2m+4）2﹣4m2＝16m+16＞0，∴m＞﹣1，且x1+x2＝2m+4，，代入①式得：（2m+4）2﹣8m2﹣4（2m+4）﹣4＝0，化简得：m2﹣2m+1＝0，∴m＝1，满足m＞﹣1，∴直线l的方程为：y＝﹣x+1．20．如图，在直角△AOB中，OA＝OB＝2，△AOC通过△AOB以直线OA为轴顺时针旋转120°得到（∠BOC＝120°），点D为斜边AB上一点，点M为线段BC上一点，且．（1）证明：OM⊥平面AOB；（2）当直线MD与平面AOB所成的角取最大值时，求二面角B﹣CD﹣O的正弦值．【分析】（1）△OBM中，由余弦定理可得：OM．再利用勾股定理对逆定理可得：OM ⊥OB．由题意可知：OA⊥平面OBC，进而得出结论；（2）由（1）可得：OM⊥平面AOB．OD是斜线MD在平面OAB的射影．∠ODM是直线MD与平面AOB所成的角，取取最大值时，OD⊥AB，垂足为D．可得点D为线段AB的中点．建立如图所示对空间直角坐标系．分别求出平面OCD的法向量为，平面CDB的法向量，利用向量的夹角公式即可得出．【解答】（1）证明：△OBM中，由余弦定理可得：OM2＝22+﹣2×2××cos30°＝，解得OM＝．∴OM2+OB2＝MB2．∴OM⊥OB．由题意可知：OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，∴OA⊥平面OBC，∴OA⊥OM．又OB∩OA＝O，∴OM⊥平面AOB．（2）解：由（1）可得：OM⊥平面AOB．∴OD是斜线MD在平面OAB的射影．∴∠ODM是直线MD与平面AOB所成的角，取取最大值时，OD⊥AB，垂足为D．∴点D为线段AB的中点．建立如图所示对空间直角坐标系．O（0，0，0），B（0，2，0），D（0，1，1），C（，﹣1，0），＝（，﹣1，0），＝（0，1，1），设平面OCD的法向量为＝（x，y，z），则•＝•＝0，∴x﹣y＝0，y+z＝0，取＝（1，，﹣），同理可得平面CDB的法向量＝（，1，1）．∴cos＜，＞＝＝．∴二面角B﹣CD﹣O的正弦值为．21．已知函数是f（x）的导数．（1）当a＝1时，令h（x）＝f'（x）﹣x+lnx，h'（x）为h（x）的导数，证明：h'（x）在区间存在唯一的极小值点；（2）已知函数在上单调递减，求a的取值范围．【分析】（1）把a＝1代入后，先求出函数h（x）的解析式，然后对其求导，结合导数与单调性及极值的关系可证；（2）结合函数单调性与导数的关系及函数的性质，零点判定定理进行求解即可．解：（1）a＝1时，h（x）＝lnx﹣sin x，x＞0，，令g（x）＝，则，当x时，g′（x）单调递增，且g′（1）＜0，＞0，故g′（x）在（0，）上有唯一的零点，设为a，当x∈（0，a）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（a，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，故g（x）在（0，）上有唯一的极小值点即h′（x）在（0，）上有唯一的极小值点，（2）设k（x）＝x﹣sin x，x≥0，k′（x）＝1﹣cos x≥0，所以k（x）在（0，+∞）上单调递增，k（x）≥k（0）＝0，即x≥sin x，从而sin2x≤2x，因为在上单调递减，所以m（x）＝2ax﹣sin2x﹣≤0在上恒成立，令p（x）＝m′（x）＝2a﹣2cos2x﹣4x2，则p′（x）＝4sin2x﹣8x＝4sin2x﹣4×（2x）≤0，所以m′（x）在上单调递减，m′（x）max＝2a﹣2，当a≤1时，m′（x）≤0，m（x）在上单调递减，m（x）≤m（0）＝0，符合题意；当a＞1时，m′（x）在上单调递减，且m′（0）＝2a﹣2＞0，所以一定存在，当0≤x＜x0时，m′（x）＞0即m（x）在[0，x0）上单调递增，m（x0）＞m（0）＝0与题意不符合，舍去．故a的范围（﹣∞，1]．（二）选考题：共10分，请考生在22/23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．点p（x0，y0）在曲线C上，点Q（m，n）满足．（Ⅰ）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，求动点Q的轨迹C的极坐标方程；（Ⅱ）点A、B分别是曲线C上第一象限，第二象限上两点，且满足，求的值．【分析】（Ⅰ）推导出x2+y2＝1（x≠﹣1），，从而＝1，（m≠﹣2），由此能求出动点Q的轨迹C的极坐标方程．（Ⅱ）ρ2＝，设A（ρ1，θ1），B（），＝，＝＝，由此能求出．解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为（t为参数）．点p（x0，y0）在曲线C上，∴x2+y2＝（）2+（）2＝1，∵∈（﹣1，1]，∴x≠﹣1，∴x2+y2＝1（x≠﹣1），∵点Q（m，n）满足．∴，∴＝1，（m≠﹣2），∴动点Q的轨迹C的极坐标方程为：3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ＝12．（﹣π＜θ＜π）．（Ⅱ）ρ2＝，设A（ρ1，θ1），B（），＝，＝＝，∴＝+＝+＝．[选修4-5不等式选将]23．已知关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥|m﹣2|+m有解．（1）求实数m的最大值t；（2）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c＝t．证明a3b+b3c+c3a≥3abc【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，可得函数的最大值，再分类讨论即可求出m 的取值范围，可得t的值；（2）要证a3b+b3c+c3a≥3abc，只要证++≥3，根据基本不等式即可证明．解：（1）f（x）＝|x+1|﹣|x﹣3|＝，∴当m≥3时，f（x）的最大值为4，关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥|m﹣2|+m有解等价于f（x）max＝4≥|m﹣2|+m，当m≥2时，上述不等式转化为4≥m﹣2+m，解得2≤m≤3，当m＜2时，上述不等式转化为4≥﹣m+2+m，解得m＜2，综上所述m的取值范围为m≤3，故实数m的最大值t＝3；证明：（2）根据（1）可得a，b，c均为正实数，且满足a+b+c＝3，要证a3b+b3c+c3a≥3abc，只要证++≥3，∵+++（a+b+c）＝（+a）+（+b）+（+c）≥2+2+2＝2（a+b+c），∴++≥3，那么a3b+b3c+c3a≥3abc．。
2020年东北三省四市教研联合体高考模拟理科数学试卷及参考答案评分标准(13页)
2020年东北三省四市教研联合体高考模拟理科数学试卷数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号． 3．所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效． 4．考试结束，只需上交答题卡．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{2,3,5,7}A =，{1,2,4,6}B =，则()U A B ⋂=ð（ ） A ．{2,5,7} B ．{3,5,7} C ．{3} D ．{5,7} 2．已知复数21iz i =-，则z 的虚部为（ ） A ．1- B ．i - C ．1D ．i3．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）．若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则x y +=（ ）A ．170B ．10C ．172D ．124．5(12)(1)x x ++的展开式中2x 的系数为（ ） A ．5B ．10C ．20D ．305．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136V L h ≈的近似公式，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3．那么近似公式23112V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ）A ．227 B ．15750 C ．289D ．337115 6．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，12a =，且1a ，3a ，9a 成等比数列，则8S =（ ）A ．56B ．72C ．88D ．407．下列说法正确的是（ ）A ．命题“0000,2sin x x x ∃剟”的否定形式是“0x ∀>，2sin x x >” B ．若平面a ，β，γ，满足a γ⊥，βγ⊥，则a β∥ C ．随机变量ξ服从正态分布()21,(0)N σσ>，若(01)0.4P ξ<<=，则(0)0.8P ξ>=D ．设x 是实数，“0x <”是“11x<”的充分不必要条件 8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点与圆22:(2)5M x y -+=的圆心重合，且圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ） A ．2BCD ．39．已知(),A A A x y 是圆心为坐标原点O ，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转23π到OB 交圆于点(),B B B x y ，则2A B y y +的最大值为（ ）A ．3B ．2CD10．从集合{}3,2,1,1,2,3,4---中随机选取一个数记为m ，从集合{}2,1,2,3,4--中随机选取一个数记为n ，则在方程221x y m n +=表示双曲线的条件下，方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线的概率为（ ） A ．917 B ．817 C ．1735 D ．93511．已知函数1222,0,()log ,0,x x f x x x +⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程2[()]2()30f x af x a -+=有六个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．163,5⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．163,5⎛⎤⎥⎝⎦C ．(3,4)D ．(3,4]12．已知定义在[0,)+∞上的函数()f x 满足1()(2)2f x f x =+，且当[0,2)x ∈时，2()2f x x x =-+．设()f x 在[22,2)n n -上的最大值为()*n a n N ∈，且数列{}n a 的前n 项的和为n S ．若对于任意正整数n 不等式()129n k S n +-…恒成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．[0,)+∞ B ．1,32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．3,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．7,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若曲线()ln xf x ae x =-（其中常数0a ≠）在点(1, (1))f 处的切线的斜率为1，则a =_______．14．若函数()sin 2f x x x =-的图像向左平移8π个单位得到函数()g x 的图像，则()g x 在区间3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为________． 15．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，剪去AOB △，将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以A 、（B ）、C 、D 、O 为顶点的四面体的外接球的体积为_______．16．已知椭圆22:162x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，如图AB 是过1F 且垂直于长轴的弦，则2ABF △的内切圆方程是__________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．17．在ABC △中，M 为BC 边上一点，45BAM ∠=︒，cos 5AMC ∠=． （1）求sin B ；（Ⅱ）若12MC BM =u u u u r u u u u r，4AC =，求MC ．18．某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数．以下茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”．（Ⅰ）从这20人中任取3人，求恰有1人成绩“优秀”的概率；（Ⅱ）根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直方图解决下面的问题．（ⅰ）估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（ⅱ）若从所有员工中任选3人，记X 表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，求X 的分布列和数学期望．19．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过C 上一点(1,)(0)P t t >作两条倾斜角互补的直线分别与C 交于M ，N 两点．（Ⅰ）证明：直线MN 的斜率是1-；（Ⅱ）若8||MF ，||MN ，||NF 成等比数列，求直线MN 的方程．20．如图，在直角AOB △中，2OA OB ==，AOC △通过AOB △以直线OA 为轴顺时针旋转120°得到（120BOC ∠=︒），点D 为斜边AB 上一点．点M 为线段BC上一点，且3MB =．（Ⅰ）证明：OM ⊥平面AOB ；（Ⅱ）当直线MD 与平面AOB 所成的角取最大值时，求二面角B CD O --的正弦值． 21．已知函数2()cos ()2a f x x x a R =+∈，()f x '是()f x 的导数． （Ⅰ）当1a =时，令()()ln h x f x x x '=-+，()h x '为()h x 的导数，证明：()h x '在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭存在唯一的极小值点；（Ⅱ）已知函数42(2)3y f x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围． （二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221121t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）．点()00,p x y 在曲线C 上，点()Q m n ⋅满足02m x n =⎧⎪⎨=⎪⎩．（Ⅰ）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点Q 的轨迹1C 的极坐标方程；（Ⅱ）点A ，B 分别是曲线1C 上第一象限，第二象限上两点，且满足2AOB π∠=，求2211||||OA OB +的值．23．[选修4-5不等式选讲]已知关于x 的不等式|1||3||2|x x m m +--≥-+有解． （Ⅰ）求实数m 的最大值t ；（Ⅱ）若,,a b c 均为正实数，且满足a b c t ++=．证明：3333a b b c c a abc ++≥．2020年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．答案解析一、选择题二、填空题13．2e 14． 15． 16．224439x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭17．解：（Ⅰ）sin sin()sin cos cos sin B AMC BAM AMC BAM AMC BAM =∠-∠=∠⋅∠-∠⋅∠∵cos 5AMC ∠=，∴sin 5AMC ∠=，∴sin 22B =-=（Ⅱ）∵12MC BM =u u u u r u u u u r，∴设,2MC x BM x == 在ABM △中，由正弦定理得，sin 45sin BM AMB=︒，210=∴AM x =∵2222cos AC AM MC AM MC AMC =+-⋅⋅∠，∴222445x x x x =+-⋅∴4MC x ==18．解：（Ⅰ）设从20人中任取3人恰有1人成绩“优秀”为事件A124163208()19C C P A C ==，恰有1人“优秀”的概率为819（Ⅱ）（ⅰ）1342657585958210101010⨯+⨯+⨯+⨯=，估计所有员工的平均分数为82（ⅱ）X 的可能取值为0、1、2、3，随机选取1人是“优秀”的概率为41205P == ∴3464(0)5125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；2131448(1)55125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 2231412(2)55125P X C ⎛⎫===⎪⎝⎭； 311(3)5125P X ⎛⎫===⎪⎝⎭∴X 的分布列为∵1~3,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴数学期望13()355E X =⨯=． 19．解：（Ⅰ）P 在抛物线24y x =上，∴2t =，(1,2)P 设()11,M x y ，()22,N x y 由题可知，0MP NP K K +=，∴121222011y y x x --+=-- ∴1222122201144y y y y --+=-- ∴1244022y y +=++∴124y y +=- ∴1212MN y y K x x -=-1241y y ==-+（Ⅱ）由（Ⅰ）问可设：:l y x m =-+12||MN x =-1||1MF x =+ 2||1NF x =+∵2||8||||MN MF NF =∴)()()21212811x x x -=++即：∴()()21212128440x x x x x x +--+-=（*） 将直线l 与抛物线C 联立，24y x m y x=-+⎧⎨=⎩可得：22(24)0x m x m -++= 122121616024m x x m x x m ∆=+>⎧⎪+=+⎨⎪=⎩， 代入（*）式，可得1m =∴:1l y x =-+20．解：（Ⅰ）在MOB △中，由余弦定理得OM =， ∴222OM OB MB += ∴OM OB ⊥由题意可知：∴OA OB ⊥，OA OC ⊥，OB OC O ⋂= ∴OA ⊥平面COB ，OM ⊂平面COB ，∴OA OM ⊥ OA OB O ⋂=，∴OM ⊥平面AOB ，（Ⅱ）以O 为坐标原点，以OM u u u u r ，OB uuu r ，OA u u u r的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系．∵OM ⊥平面AOB ，∴MD 在平面AOB 上的射影是OD ，∴MD 与平面AOB 所成的角是MDO ∠，∴MDO ∠最大时，即OD AB ⊥，点D 为AB 中点．(0,2,0)B，1,0)C -，(0,0,2)A ，(0,1,1)D计算可得：平面CDB的法向量n =r， 平面CDO的法向量13m ⎛⎫=-⎪⎝⎭r∴cos ,35n m <>=r r ，二面角B CD O --的正弦值为35．21．解：（Ⅰ）()ln sin h x x x =- 设1()()cos g x h x x x '==-，21()sin g x x x-'=+ 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()g x '单调递增，而(1)0g '<，02g π⎛⎫'> ⎪⎝⎭，且()g x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上图像连续不断．所以()g x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一零点α， 当(0,)x α∈时，()0g x '<；当,2x πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '> ∴()g x 在(0,)α单调递减，在,2πα⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故()g x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一的极小值点；即()h x '在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一的极小值点； （Ⅱ）设()sin k x x x =-，[0,)()1cos 0x k x x '∈+∞=-…∴()k x 在[0,)+∞单调递增，()(0)0k x k =…即sin x x ≥从而sin 22x x „ 因为函数42(2)3y f x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减∴34()2sin 203m x ax x x =--„在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立 令2()22cos24()m x a x x p x '=--=∵sin 22x x „∴()4sin 280p x x x '=-„()m x '在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，max ()(0)22m x m a '==- 当1a „时，()0m x '≤，则()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()(0)0m x m =„，符合题意． 当1a >时，()m x '在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， (0)220m a '=->所以一定存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当00x x <„时，()0m x '>，()m x 在[)00,x 上单调递增，()0(0)0m x m >=与题意不符，舍去．综上，a 的取值范围是1a ≤22．解：（Ⅰ）222222212111t t x y t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ∵221(1,1]1t t -∈-+∴1x ≠-∴221(1)x y x +=≠-由题可知：022000221(2)43m x m x m n m n y ⎧=⎪=⎧⎪⎪⇒⇒+=≠-⎨⎨=⎪⎩⎪=⎪⎩22221:3cos 4sin 12()C ρθρθπθπ+=-<< （Ⅱ）222123cos 4sin ρθθ=+ 设()11,A ρθ，21,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭22112113cos 4sin 12θθρ+= 22221111223cos 4sin 13sin 4cos 221212ππθθθθρ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭== 22221211117||||12OA OB ρρ+=+= 23．解：（Ⅰ）4,3()|1||3|22,134,1x f x x x x x x ⎧⎪=+--=--<<⎨⎪--⎩…„∴当3x …时，()f x 的最大值为4．关于x 的不等式|1||3||2|x x m m +--≥-+有解等价于max ()4|2|f x m m =-+…（ⅰ）当2m …时，上述不等式转化为42m m -+…，解得23m 剟（ⅱ）当2m <时，上述不等式转化为42m m -++…，解得2m <综上所述，实数m 的取值范围为3m „，则实数m 的最大值为3，即3t =（Ⅱ）证明：根据（Ⅰ）求解知3t =，所以3a b c t ++==，又∵0a >，0b >，0c >，22233333b c a a b b c c a abc a b c ++⇔++厖222222()2()b c a b c a a b c a b c a b c a b c a b c +++++=+++++=++… 即222b c a a b c a b c ++++…，∴2223b c a a b c++… 那么，3333a b b c c a abc ++…。
东北三省三校2020届高三数学第一次联合模拟考试试题理含解析
A。 B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先由题意，得到点 也在函数图象上，函数 在 上为减函数，将不等式化为 ，根据函数单调性，即可得出结果.
【详解】根据题意, 为偶函数, 且经过点 ,则点 也在函数图象上，
【详解】不等式组 所表示的平面区域如图所示：
表示过可行域内的点 与
点 的直线的斜率的最大值，
由 ，解得 ，
这时 ，
故目标函数 的最大值是 。
故选D。
【点睛】本题考查非线性目标函数最优解，对目标函数的几何意义理解是解题的关键,属于基础题.
11. 的内角 ， ， 的对边为 ， ， ,若 ,且 的面积为 ,则 的最大值为( )
又当 时，不等式 恒成立，
则函数 在 上为减函数,
因为 ，所以
解得 或 .
故选：C
【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性的概念即可，属于常考题型。
10.已知实数 ， 满足不等式组 ，目标函数 的最大值是（ ）
A. B. C。 D。
【答案】D
【解析】
【分析】
作出可行域，利用目标函数的几何意义，即可求出目标函数最大值。
∴ ,∴ ,故选B。
【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题。
2.设 : ， ： ，若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是（ )
A。 B. C。 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
解不等式,求出命题 ， 成立的解集，把 是 的必要不充分条件转化为解集间的集合关系，即可求出实数 的取值范围.
东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中)2020年高三第一次联合模拟考试理科数学试题(简答)
2020年高三第一次联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0322<--=x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=11x xB 则=)(B AC R （ ） A.),3()1,(+∞--∞ B.),3[]1,(+∞--∞ C.),3[+∞ D.),1[]1,(+∞--∞ 2.已知复数),(R b a bi a z ∈+=，1+i z是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为（ ）A.0=+b aB.0=-b aC.02=-b aD.02=+b a 3.已知βα,是两个不同的平面，直线α⊂m ，下列命题中正确的是（ ） A.若βα⊥，则β∥m B.若βα⊥，则β⊥m C.若β∥m ，则βα∥ D.若β⊥m ，则βα⊥4.大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取13=n ，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（ ）A.9B.10C.11D.125.已知e c e b a πlog ,log ,3ln 3===（注：e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是（ ）A.c a b <<B.a b c <<C.a c b <<D.c b a << 6.已知在边长为3的等边ABC ∆的中，DC BD 21=，则AC AD ⋅=（ ） A.6 B.9 C.12 D.6-7.如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，⊥ED 平面ABCD ，⊥FC 平面ABCD ，22==FC ED ，则四面体BEF A -的体积为（ ）A.31 B.32 C.1 D.34 8.已知函数x x x f 2cos 32sin )(+=的图像向右平移)20(πϕϕ<<个单位后，其图像关于y 轴对称，则=ϕ（ ）A.12π B.6π C.3π D.125π 9.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点为)0,(c F ，上顶点为),0(b A ，直线ca x 2=上存在一点P 满足0)(=⋅+AP FA FP ，则椭圆的离心率取值范围为（ ）A.)1,21[B.)1,22[C.)1,215[-D.]22,0( 10.已知定义在R 上的函数)(x f ，满足)1()1(x f x f -=+，当),1[+∞∈x 时⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈--=),3[),21(2)3,1[,21)(x x f x x x f ，则函数)(x f 的图像与函数⎩⎨⎧<-≥=1),2ln(1,ln )(x x x x x g 的图像在区间]7,5[-上所有交点的横坐标之和为（ ）A.5B.6C.7D.911.已知数{}n a 列的通项公式为22+=n a n ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b n 的前2020项和为（ ）A.20201011 B.20202019 C.20212020 D.2021101012.已知双曲线1322=-y x 的左、右焦点分别为21F F 、，点P 在双曲线上，且 12021=∠PF F ，21PF F ∠的平分线交x 轴于点A ，则=PA （ ）A.55 B.552 C.553 D.5 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的 不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为 .14.已知函数xx ae e x f -+=)(在]1,0[上不单调，则实数a 的取值范围为 .15.数列{}n a 满足11=a ，),2(2)12(*2N n n S S a n n n ∈≥=-，则n a = .16.已知函数b x a x x f ----=13)()(222，当 时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可） ①21-≤a ②2523<<a ③02,1<<-=b a ④249,1-<<-=b a 或0=b ⑤4个极小值点 ⑥1个极小值点 ⑦6个零点 ⑧4个零点 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c a C b +=2cos 2（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2=a ，D 为AC 的中点，且3=BD ，求c . 18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC C B A -111中，⊥1BB 平面ABC ，BC AB ⊥，2=AB ，1=BC ，31=BB ，D 是1CC 的中点，E 是AB 的中点.（Ⅰ）证明：DE ∥平面11BA C ；（Ⅱ）F 是线段1CC 上一点，且直线AF 与平面11A ABB 所成角的正弦值为31，求二面角A BA F --1的余弦值. 19.（本小题满分12分）为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B 症状：醒的太早；C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下： 数据1：出现A 症状人数为8.5万，出现B 症状人数为9.3万，出现C 症状人数为6.5万，其中含AB 症状同时出现1.8万人，AC 症状同时出现1万人，BC 症状同时出现2万人，ABC 症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人.（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？参考数据如下：参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=20.（本小题满分12分）已知以动点P 为圆心的⊙P 与直线21:-=x l 相切，与定圆⊙：F 41)1(22=+-y x 相外切.（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；（Ⅱ）过曲线C 上位于x 轴两侧的点N M 、（MN 不与x 轴垂直）分别作直线l 的垂线，垂足记为11N M 、，直线l 交x 轴于点A ，记11ANN AMN AMM ∆∆∆、、的面积分别为321S S S 、、，且31224S S S =，证明：直线MN 过定点.21.（本小题满分12分）已知函数)(21-1ln()1()(2R a x ax x x x f ∈-++=）. （Ⅰ）设)(x f '为函数)(x f 的导函数，求函数)(x f '的单调区间； （Ⅱ）若函数)(x f 在),0(+∞上有最大值，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos y x （其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 2：ϕ得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为2103)4sin(=+πθρ. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设N M 、分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求MN 的最小值.23.[选修4-5：不等式选将] 设函数32)(-++=x x x f （Ⅰ）求不等式9)(>x f 的解集；（Ⅱ）过关于x 的不等式23)(-≤m x f 有解，求实数m 的取值范围.答案： 一、选择题1B ；2B ；3D ；4A ；5B ；6A ；7B ；8D ；9C ；10C ；11D ；12B 二、填空题13.177; 14。