北京市西城区2018届九年级上期末考试数学试题含答案
北京市西城区九年级数学2018-2019学年上学期期末试卷(带答案解析)
；
②将抛物线 C1 向右平移使它经过点 F，此时得到的抛物线记为 C2，直接写出抛物线 C2 的
表达式．
24．
（6 分）如图，AB 是⊙O 的直径，△ABC 内接于⊙O．点 D 在⊙O 上，BD 平分∠ABC
交 AC 于点 E，DF⊥BC 交 BC 的延长线于点 F．
（1）求证：FD 是⊙O 的切线；
23．
（6 分）如图，直线 l：y＝﹣2x+m 与 x 轴交于点 A（﹣2，0）
，抛物线 C1：y＝x2+4x+3
与 x 轴的一个交点为 B（点 B 在点 A 的左侧），过点 B 作 BD 垂直 x 轴交直线 l 于点 D．
（1）求 m 的值和点 B 的坐标；
（2）将△ABD 绕点 A 顺时针旋转 90°，点 B，D 的对应点分别为点 E，F．
（x﹣4）
（2）
（x+2）＞0 的解集为
②不等式（x﹣9）
（x﹣8）
（x﹣7）2＞0 的解集为
．
．
26．
（6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y＝ax2﹣4ax+3a．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）当 a＞0 时，设抛物线与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧）
，顶点为 C，若△ABC
A．
（3，5）
B．
（1，5）
【考点】H3：二次函数的性质．
）
C．
（3，1）
D．
（﹣1，5）
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【解答】解：因为 y＝3（x﹣1）2+5 是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，5）
．
北京市西城区九级第一学期期末数学试题(含答案)
北京市西城区2018— 2018学年度第一学期期末试卷九年级数学 2018.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．二次函数()257y x =-+的最小值是 A ．7- B ．7 C ．5-D ．52．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，则cos A 的值为A ．35B ．53C ．45D ．343．如图，⊙C 与∠AOB 的两边分别相切，其中OA 边与⊙C 相切于点P ．若∠AOB =90°，OP =6，则OC 的长为A ．12B ．C ．．4．将二次函数265y x x =-+用配方法化成2()y x h k =-+的形式，下列结果中正确的是 A ．2(6)5y x =-+ B ．2(3)5y x =-+C ．2(3)4y x =--D ．2(3)9y x =+-5．若一个扇形的半径是18cm ，且它的弧长是12π cm ，则此扇形的圆心角等于 A ．30° B ．60° C ．90°D ．120°6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1-，2)，AB ⊥x 轴于点B ．以原点O 为位似中心，将△OAB 放大为 原来的2倍，得到△OA 1B 1，且点A 1在第二象限，则点A 1 的坐标为 A ．(2-，4)B ．(12-，1)C ．(2，4-)D ．(2，4)7．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东37°方向，距离灯塔40 海里的A 处，它沿正北方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P 的正东方向上的B 处．这时，B 处与 灯塔P 的距离BP 的长可以表示为 A ．40海里B ．40tan37°海里C ．40cos37°海里D ．40sin37°海里8．如图，A ，B ，C 三点在已知的圆上，在△ABC 中， ∠ABC =70°，∠ACB =30°，D 是 的中点， 连接DB ，DC ，则∠DBC 的度数为 A ．30° B ．45° C ．50°D ．70°9．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x 元后，每星期售出商品的总销售额为y 元，则y 与x 的关系式为A ．60(30020)y x =+B ．(60)(30020)y x x =-+ C．300(6020)y x =- D ．(60)(30020)y x x =--10．二次函数228y x x m =-+满足以下条件：当21x -<<-时，它的图象位于x 轴的下方；当67x <<时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为 A ．8 B ．10- C ．42-D ．24-二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．若34a b =，则a bb+的值为． 12．点A (3-，1y )，B (2，2y )在抛物线25y x x =-上，则1y 2y ．（填“>”，“<”或“=”）13．△ABC 的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF 的最小边长为15，则△DEF 的周长为．14．如图，线段AB 和射线AC 交于点A ，∠A =30°，AB =20．点D 在射线AC 上，且∠ADB 是钝角，写出一个满足条件 的AD 的长度值：AD =．15．程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？” 【注释】1步=5尺． 译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是5尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA 是秋千的静止状态，A 是踏板，CD 是地面，点B 是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹．已知AC =1尺，CD =EB =10尺，人的身高BD =5尺．设绳索长OA =OB =x 尺，则可列方程为． BAC16．阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下：老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA ，OB 后，可证∠OAP =∠OBP =90°，其依据是；由此可证明直线P A ，PB 都是⊙O 的切线，其依据是．三、解答题（本题共72分，第17﹣26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：24cos30tan60sin 45︒⋅︒-︒．18．如图，△ABC 中，AB =12，BC =15，AD ⊥BC 于点D ，∠BAD 求tan C 的值．19．已知抛物线223y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧．（1）求A ，B 两点的坐标和此抛物线的对称轴；（2）设此抛物线的顶点为C ，点D 与点C 关于x 轴对称，求四边形ACBD 的面积．20．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =∠BDC ．（2）若AB =12，AD =8，CD =15，求DB 的长．21．某小区有一块长21M ，宽8M 的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x M 的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方M ，人行通道的宽度应是多少M ？22．已知抛物线1C ：2124y x x k =-+与x 轴只有一个公共点．（1）求k 的值；（2）怎样平移抛物线1C 就可以得到抛物线2C ：222(1)4y x k =+-？请写出具体的平移方法；（3）若点A （1，t ）和点B （m ，n ）都在抛物线2C ：222(1)4y x k =+-上，且n t <，直接写出m 的取值范围．23．如图，AB 是⊙O 的一条弦，且AB =C ，E 分别在⊙O 上，且OC ⊥AB 于点D ，∠E =30°，连接OA ． （1）求OA 的长；（2）若AF 是⊙O 的另一条弦，且点O 到AF 的距离为直接写出∠BAF 的度数．24．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B 处测得最高塔塔顶A 的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90M 到达C 处，再次测得最高塔塔顶A 的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD 约为多少M ．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）25．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径．PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PD ⊥AB 于点D ，交AC 于点E ．（1）求证：∠PCE =∠PEC ； （2）若AB =10，ED =3，sin A =3，求PC 的长．26．阅读下面材料：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y ax b =+双曲线2ky x=交于A （1，3）和B （3-，1-）两点． 观察图象可知：①当3x =-或1时，12y y =； ②当30x -<<或1x >时，12y y >，即通过观察函 数的图象，可以得到不等式kax b x+>的解集． 有这样一个问题：求不等式32440x x x +-->的解集．某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式32440x x x +-->的解集进行了探究． 下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整： （1）将不等式按条件进行转化 当0x =时，原不等式不成立；当0x >时，原不等式可以转化为2441x x x +->； 当0x <时，原不等式可以转化为2441x x x+-<；（2）构造函数，画出图象设2341y x x =+-，44y x=中分别画出这两个函数的图象．双曲线44y x=如图2所示，请在此坐标系中 画出抛物线．．．．．2341y x x =+-；（不用列表）（3）确定两个函数图象公共点的横坐标观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解读式验证可知：满足34y y =的所有x 的值为；（4）借助图象，写出解集结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式32440x x x +-->的解集为．27．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数212y x bx c =-++的图象经过点A （1，0），且当0x =和5x =时所对应的函数值相等．一次函数3y x =-+与二次函数212y x bx c =-++的图象分别交于B ，C 两点，点B 在第一象限．（1）求二次函数21y x bx c =-++的表达式；（2（328．在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC = 4，M 为AB 的中点．D 是射线BC 上一个动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，连接ED ，N 为ED 的中点，连接AN ，MN ．（1）如图1，当BD =2时，AN =_______，NM 与AB 的位置关系是____________； （2）当4<BD <8时，①依题意补全图2；②判断（1）中NM 与AB 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接ME ，在点D 运动的过程中，当BD 的长为何值时，ME 的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．图1 图2 备用图29．在平面直角坐标系xOy中，过⊙C上一点P作⊙C的切线l．当入射光线照射在点P处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l的夹角和入射光线与切线l的夹角相等，点P 称为反射点．规定：光线不能“穿过”⊙C，即当入射光线在⊙C外时，只在圆外进行反射；当入射光线在⊙C内时，只在圆内进行反射．特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线．光线在⊙C外反射的示意图如图1所示，其中∠1=∠2．图1 图2 图3（1）自⊙C内一点出发的入射光线经⊙C第一次反射后的示意图如图2所示，P1是第1个反射点．请在图2中作出光线经⊙C第二次反射后的反射光线；（2）当⊙O的半径为1时，如图3，①第一象限内的一条入射光线平行于x轴，且自⊙O的外部照射在其上点P处，此光线经⊙O反射后，反射光线与y轴平行，则反射光线与切线l的夹角为__________°；，0)出发的入射光线，在⊙O内不断地反射．若第1个反射点P1在②自点A(1第二象限，且第12个反射点P12与点A重合，则第1个反射点P1的坐标为______________；（3）如图4，点M的坐标为(0，2)，⊙M的半径为1．第一象限内自点O出发的入射光线经⊙M反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点P的纵坐标的取值范围．图4北京市西城区2018— 2018学年度第一学期期末试卷九年级数学参考答案及评分标准2018.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）三、解答题（本题共72分，第17﹣26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：原式=24………………………………………………………3分=162-=112．…………………………………………………………………………5分18．解：∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵在Rt△ABD中，AB=12，∠BAD=30°，∴BD=12AB=6，…………………………………1分AD=AB·cos∠BAD =12·cos30°=2分∵BC=15，∴CD= BC－BD=15－6=9．………………………………………………………3分∴在Rt△ADC中，tan C=ADCD……………………………………………………4分=9=3．………………………………………5分19．解：（1）令0=y ，则2230x x -++=．解得 11-=x ，32=x ．………………………………………………………1分 ∵点A 在点B 的左侧，∴A （1-，0），B （3，0）．…………………………………………………2分 对称轴为直线1=x ．…………………………………………………………3分 （2）∵当1x =时，4=y ，∴顶点C 的坐标为（1，4）．…………………………………………………4分∵点C ，D 关于x 轴对称，∴点D 的坐标为（1，4-）．∵AB =4，∴=ACB DCB ACBD S S S ∆∆+四边形1442162=⨯⨯⨯=．………………………………5分20．（1）证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC ．……………………1分 ∵∠A =∠BDC ，∴△ABD ∽△DCB ．……………………3分（2）解：∵△ABD ∽△DCB ，∴AB ADDC DB=．…………………………………………………………4分 ∵AB =12，AD =8，CD =15， ∴12815DB=． ∴DB =10．………………………………………………………………5分21．解：根据题意，得 (213)(82)60x x --=．…………………………………………2分整理得 211180x x -+=．解得 12x =，29x =．…………………………………………………………3分 ∵9x =不符合题意，舍去，∴2x =．……………………………………………………………………………4分答：人行通道的宽度是2M ．……………………………………………………5分 22．解：（1）∵抛物线1C ：2124y x x k =-+与x 轴有且只有一个公共点，∴方程2240x x k -+=有两个相等的实数根．∴2(4)420k ∆=--⨯=．……………………………………………………1分 解得 2k =．…………………………………………………………………2分（2）∵抛物线1C ：21242y x x =-+22(1)x =-，顶点坐标为（1，0），抛物线2C ：222(1)8y x =+-的顶点坐标为（-1，-8）， ………………3分∴将抛物线1C 向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度就可以得到抛物线2C ．…………………………………………………………………4分（3）31m -<<．……………………………………………………………………5分 23．解：（1）∵OC ⊥AB 于点D ，∴AD =DB ， ……………………………………1分∠ADO =90°．∵AB =∴AD =∵∠AOD =2∠E ，∠E =30°，∴∠AOD =60°．………………………………………………………………2分∵在Rt △AOD 中，， ∴OA =︒=∠60sin 32sin AOD AD =4．………………………………………………3分 （2）∠BAF =75°或15°．……………………………………………………………5分24．解：（1）∵在Rt △ADB 中，∠ADB =90°，∠B =45°，∴∠BAD =90°—∠B =45°． ∴∠BAD =∠B ．∴AD =DB ．……………………………1分 设AD =x ，∵在Rt △ADC 中，tan ∠ACD =ADDC，∠ACD =58°， ∴DC =tan 58x．………………………………………………………………3分∵DB = DC + CB =AD ，CB =90，∴tan 58x+90=x ．……………………………………………………………4分将tan58°≈1.60代入方程，解得x ≈240．…………………………………………………………………5分答：最高塔的高度AD 约为240M ．25．（1）证明：连接OC ，如图1．∵ PC 是⊙O 的切线，C 为切点，∴OC ⊥PC ．……………………………1分∴∠PCO =∠1+∠2=90°．∵PD ⊥AB 于点D ，∴∠EDA =90°．∴∠A +∠3=90°．∵OA =OC ，∴∠A =∠1．∴∠2=∠3．∵∠3=∠4，∴∠2=∠4．即∠PCE =∠PEC ．…………………………………………………………2分（2）解：作PF ⊥EC 于点F ，如图2．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°．∵在Rt △ABC 中，AB =10，3sin 5A =， ∴BC =AB ·sin A =6．∴AC =22BC AB -=8．………………………………………………………3分∵在Rt △AED 中，ED =32， ∴AE =sin ED A =52． ∴EC=AC －AE =112． ∵∠2=∠4，∴PE=PC ．∵PF ⊥EC 于点F ，∴FC=124分 ∠PFC =90°．图1 图2∴∠2+∠5=90°．∵∠A +∠2=∠1+∠2=90°．∴∠A =∠5．∴sin ∠5 =35． ∴在Rt △PFC 中，PC =sin 5FC ∠=1255．……………………………………5分26．解：（2）抛物线如图所示； ……………………1分（3）x =4-，1-或1； ……………………3分（4）41x -<<-或1x >．……………………5分27．解：（1）∵二次函数212y x bx c =-++， 当0x =和5x =时所对应的函数值相等， ∴二次函数212y x bx c =-++的图象的对称 轴是直线52x =． ∵二次函数212y x bx c =-++的图象经过点A （1，0）， ∴10,25.2b c b ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………………………………………………1分 解得 2,5.2c b =-⎧⎪⎨=⎪⎩∴二次函数的表达式为215222y x x =-+-．………………………………2分 （2）过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，如图1．∵一次函数3y x =-+与二次函数212y x bx c =-++的图象分别交于B ，C 两点， ∴2153222x x x -+=-+-． 解得 12x =，25x =．………………3分∴交点坐标为（2，1），（5，2-）．∵点B 在第一象限，∴点B 的坐标为（2，1）．∴点D 的坐标为（2，0）．在Rt △ABD 中，AD =1，BD =1，∴AB 2．…………………………………………………4分（3）结论：四边形ABCN 的形状是矩形．………………………………………5分证明：设一次函数3y x =-+的图象与x 轴交于点E ，连接MB ，MN ，如图2．∵点B 绕点M 旋转∴M 是线段BN 的中点．∴MB = MN ．∵M 是线段AC 的中点，∴MA = MC．∴四边形ABCN 是平行四边形．……∵一次函数3y x =-+ 当0y =时，3x =．∴点E 的坐标为（3，0）．∴DE =1= DB ．∴在Rt △BDE 中，∠DBE =∠DEB =45°．同理∠DAB =∠DBA =45°．∴∠ABE =∠DBA +∠DBE =90°．∴四边形ABCN 是矩形．……………………………………………7分28．解：（1 …………………………2分（2）①补全图形如图所示； ………………3分②结论：（1）中NM 与AB 的位置关系不变．证明：∵∠ACB =90°，AC =BC ，∴∠CAB =∠B =45°．∴∠CAN +∠NAM =45°．∵AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，∴AD =AE ，∠DAE =90°．∵N 为ED 的中点，∴∠DAN =12∠DAE =45°， AN ⊥DE ． ∴∠CAN +∠DAC =45°，∠AND =90°．∴∠NAM =∠DAC ．………………………………………………4分在Rt △AND 中，AN AD =cos ∠DAN在Rt △ACB 中，AC AB =cos ∠CAB∵M 为AB 的中点， ∴AB =2AM． ∴22AC AC AB AM ==∴AM AC ． ∴AN AD =AM AC． ∴△ANM ∽△ADC ．∴∠AMN =∠ACD ．∵点D 在线段BC 的延长线上， ∴∠ACD =180°－∠ACB =90°．∴∠AMN =90°． ∴NM ⊥AB ．………………………………………………………5分（3）当BD 的长为 6 时，7分29．解：（1）所得图形，如图1所示．……………………1分（2）①45°； ………………………………………3分②(，12)或(12-)； ……………5分 （3）①如图2，直线OQ 与⊙M 相切于点Q ，点Q 在第一象限，连接MQ ，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ．∵直线OQ 与⊙M 相切于点Q ，∴MQ ⊥OQ ．∴∠MQO =90°．∵MO =2，MQ =1， ∴在Rt △MQO 中，sin ∠MOQ=21=MO MQ ． ∴∠MOQ =30°．M Q∴OQ =OM ﹒cos ∠MOQ =3．∵QH ⊥x 轴，∴∠QHO =90°．∵∠QOH =90°-∠MOQ =60°，∴在Rt △QOH 中，QH = OQ ﹒sin ∠QOH =23．…………………………6分 ②如图3，当反射光线PN 与坐标轴平行时，连接MP 并延长交x 轴于点D ，过点P 作PE ⊥OD 于点E ，过点O 作OF ⊥PD 于点F ．∵直线l 是⊙M 的切线，∴MD ⊥l ．∴∠1+∠OPD =∠2+∠NPD =90°．∵∠1=∠2，∴∠OPD =∠NPD ．∵PN ∥x 轴，∴∠NPD =∠PDO ．∴∠OPD =∠PDO ．∴OP =OD ．∵OF ⊥PD ，∴∠MFO =90°，PF =FD ．∵cos OMF ∠=MFMOMO MD =，设PF =FD =x ，而MO =2，MP =1， ∴12212x x +=+．解得x =∵0x >，∴34x -+=．∵PE ⊥OD ，∴∠PED =90°=∠MOD ．∴PE ∥MO ．∴∠EPD =∠OMF ．∴cos ∠EPD = cos ∠OMF ． ∴MO MFPD PE=． ∴PD MO MFPE ⋅= =122xx +⋅(1)x x =+=158-．…………………………………………………………7分． 可知，当反射点P 从②中的位置开始，在⊙M 上沿逆时针方向运动，到与①中的点Q 重合之前，都满足反射光线与坐标轴无公共点，所以反射点P 的纵坐标的取值范围是15382P y <．………………………………8分。
九年级上期末2018西城区数学试题及答案
北京市西城区2021-2021学年度第一学期期末试卷一、选择题〔此题共16分，每题2分〕1. 如图，在△中，∠90°，如果3，5，那么等于〔 〕．A.35B. 45C. 34D. 432. 点1(1,)A y ，2(3,)B y 是反比例函数6y x=-图象上的两点，那么1y ，2y 的大小关系是〔 〕．A.12y y >B.12y y =C.12y y <D.不能确定 3. 抛物线2(4)5y x =--的顶点坐标和开口方向分别是〔 〕.A.(4,5)-，开口向上B.(4,5)-，开口向下C.(4,5)--，开口向上D.(4,5)--，开口向下4. 圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于〔 〕. A.48π B.24π C.4π D.2π5. 如图，是⊙O 的直径，是⊙O 的弦，如果∠34°， 那么∠ 等于〔 〕．A ．34° B．46° C ．56° D．66°6. 如果函数24y x x m =+-的图象及x 轴有公共点，那么m 的取值范围是〔 〕.≤4 B.<4m C. m ≥4- D.>4m - 7. 如图，点P 在△的边上，如果添加一个条件后可以得到 △∽△，那么以下添加的条件中，不．正确的选项是〔 〕．A ．∠∠CB ．∠∠C ．2AB AP AC =⋅D ．ABACBP CB =8. 如图，抛物线32++=bx ax y (a ≠0)的对称轴为直线1x =，如果关于x 的方程082=-+bx ax (a ≠0)的一个根为4，那么该方程的另一个根为〔 〕．A ．4-B ．2-C ．1D ． 3二、填空题〔此题共16分，每题2分〕9. 抛物线23y x =+及y 轴的交点坐标为 .10. 如图，在△中，D ，E 如果23=DBAD ，10，那么 .11. 如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点(,)P x y及点(2,2)A 在同一个反比例函数的图象上，⊥y 轴于点C ，⊥x 轴于点D ，那么矩形的面积等于 .12. 如图，直线1y kx n =+(k ≠0)及抛物22y ax bx c =++(a ≠0)分别交于(1,0)A -，(2,3)B -两点，那么当12y y >时，x 的取值范围是 .13. 如图，⊙O的半径等于4，如果弦所对的圆心角等于120︒，那么圆心O到弦的距离等于 .14.2021年9月热播的专题片?辉煌中国——圆梦工程?展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！〞片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥〔如图1所示〕主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨的中点为E，最长的斜拉索长577 m，记及大桥主梁所夹的锐角∠为α，那么用的长和α的三角函数表示主跨长的表达式应为 (m) .15.如图，抛物线2 (0)=++≠及y轴交于点y ax bx c aC，及x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为(4,0)B，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，∥，并及抛物线的对称轴交于点E .现有以下结论：①0a >；②0b >；③420a b c ++<；④4AD CE +=.其中所有 正确结论的序号是 .16. 如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B 在⊙O 内，4tan 3APB ∠=，AB AP ⊥.如果⊥，那么的长为 .三、解答题〔此题共68分，第17－20题每题5分，第21、22题每题6分，第23、24题每小题5分，第25、26题每题6分，第27、28题每题7分〕 17．计算：22sin30cos 45tan60︒+︒-︒．18．如图，∥，及的交点为E ，∠∠．〔1〕求证：△∽△；〔2〕如果6，4，求，的长．19．在平面直角坐标系中，抛物线1C ：22y x x =-+．〔1〕补全表格：〔2〕将抛物线1C向上平移3个单位得到抛物线2C，请画出抛物线1C，2C，并直接答复：抛物线2C及x轴的两交点之间的距离是抛物线1C及x轴的两交点之间距离的多少倍．20．在△中，2，45BAC∠=︒．将△绕点A逆时针旋转α度〔0<α<180〕得到△，B，C两点的对应点分别为点D，E，，所在直线交于点F．〔1〕当△旋转到图1位置时，∠〔用α的代数式表示〕，BFC∠的度数为︒；〔2〕当α=45时，在图2中画出△，并求此时点A到直线的距离．21．运发动将小球沿及地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h〔m〕及它的飞行时间t〔s〕满足二次函数关系，t及h的几组对应值如下表所示．图1 图2〔1〕求h 及t 之间的函数关系式〔不要求写t 的取值范围〕； 〔2〕求小球飞行3 s 时的高度；〔3〕问：小球的飞行高度能否到达22 m ？请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系中，双曲线k y x=〔k ≠0〕及直线12y x =的交点为(,1)A a -，(2,)B b 两点，双曲线上一点P 的横坐标为1，直线，及x 轴的交点分别为点M ，N ，连接． 〔1〕直接写出a ，k 的值； 〔2〕求证：，PM PN ⊥．23．如图，线段长为13，以C 为顶点，为一边的α∠满足5cos 13α=．锐角△的顶点A落在α∠的另一边l 上，且满足4sin 5A =．求△的高及边的长，并结合你的计算过程画出高及边．〔图中提供的单位长度供补全图形使用〕24．如图，是半圆的直径，过圆心O 作的垂线，及弦的延长线交于点D ，点E 在上，=DCE B ∠∠．〔1〕求证：是半圆的切线；〔2〕假设10，2tan 3B =，求半圆的半径．25．抛物线G ：221y x ax a =-+-〔a 为常数〕．〔1〕当3a =时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标； 〔2〕假设记抛物线G 的顶点坐标为(,)P p q ．①分别用含a 的代数式表示p ，q ；②请在①的根底上继续用含p 的代数式表示q ；③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，但点P 总落在 的图象上．A ．一次函数B ．反比例函数C ．二次函数〔3〕小明想进一步对〔2〕中的问题进展如下改编：将〔2〕中的抛物线G改为抛物线H：22y x ax N=-+〔a为常数〕，其中N为含a的代数式，从而使这个新抛物线H满足：无论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：〔用含a的代数式表示〕，它的顶点所在的一次函数图象的表达式y kx b=+〔k，b为常数，k≠0〕中，，．26．在平面直角坐标系中，抛物线M：2 (0)=++≠经过(1,0)y ax bx c aA-，且顶点坐标为(0,1)B．〔1〕求抛物线M的函数表达式；〔2〕设(,0)F t为x轴正半轴．．．上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M．1①抛物线M的顶点1B的坐标为；1②当抛物线M及线段有公共点时，结合函数的图象，求t的取1值范围．27．如图1，在△中，∠90°，∠30°，点C在线段上，2，边上的一点D满足∠30°．将△绕点O逆时针旋转α度〔90°<α<180°〕得到△OC D''，C，D两点的对应点分别为点C'，D'，连接AC'，BD'，取AC'的中点M，连接．〔1〕如图2，当C D''∥时，α=°，此时和BD'之间的位置关系为；〔2〕画图探究线段和BD'之间的位置关系和数量关系，并加以证明．28．在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为(2,2)A，(2,2)B-．对于给定的线段及点P，Q，给出如下定义：假设点Q关于所在直线的对称点Q'落在△的内部〔不含边界〕，那么称点Q是点P关于线段的内称点．〔1〕点(4,1)P-．①在1(1,1)Q-，2(1,1)Q两点中，是点P关于线段的内称点的是；②假设点M在直线1y x=-上，且点M是点P关于线段的内称点，求点M的横坐标Mx的取值范围；〔2〕点(3,3)C，⊙C的半径为r，点(4,0)D，假设点E是点D关于线段的内称点，且满足直线及⊙C相切，求半径r的取值范围．西城区2021-2021学年度第一学期期末试卷九年级数学参考答案及评分标准一、选择题〔此题共16分，每题2分〕1 2 3 4 5 6 7 8二、填空题〔此题共16分，每题2分〕9. 〔0，3〕 10.4 11.4 12. -1<X<2 13.214. 1154α或2•α15. ②④15.如图，抛物线2 (0)=++≠及y轴交于点y ax bx c aC，及x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为(4,0)B，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，∥，并及抛物线的对称轴交于点E .现有以下结论： ①0a >；②0b >；③420a b c ++<；④4AD CE +=.其中所有 正确结论的序号是 .解析：图像开口向下，∴ a<0 ①错对称轴在Y 轴右侧，根据"左同右异"，b>0 ②对 当2时，2 (0)y ax bx c a =++≠=42>0 ③错【 ∵(4,0)B , 由图估计3 D(1，0) 】3， 1 3+1=4 ④对16. 如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B 在⊙O 内， 4tan 3APB ∠=，AB AP ⊥.如果⊥，那么的长为 .。
北京西城区初三数学期末考试题及答案北区
北京市西城区 2018—2018 学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学考1．本试卷共 6 页，共五道大题，25 道小题，满分120 分。
考试时间120 分钟。
生 2．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
须 3．在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其余试卷用黑色笔迹署名笔作知答。
一、选择题（此题共32 分，每题 4 分）下边各题均有四个选项，此中只有一个．．是切合题意的．1．二次函数y ( x 1) 2 2 的最小值是A． 1 B．1C． 2 D．22．如图，⊙ O 是△ ABC 的外接圆，若∠ ABC＝ 40°，则∠ AOC的度数为A．20°B． 40°C． 60° D． 80°3．两圆的半径分别为 2 和 3，若圆心距为 5，则这两圆的地点关系是A ．订交 B．外离C．外切D．内切4．三角尺在灯泡O的照耀下在墙上形成的影子以下图.A A'若 OA 20cm ， OA50cm ，则这个三角尺的周长O与它在墙上形成的影子的周长的比是A．5： 2B．2：5灯泡三角尺C． 4： 25D． 25： 4影子5．如图，正方形 ABCD 的内切圆和外接圆的圆心为O ，GEF 与 GH 是别的接圆的直径，EF=4，AD⊥GH，A DEF⊥ GH，则图中暗影部分的面积是E OA．π B ．2πFC．3πD． 4πB CH6．某学校组织艺术拍照展，上交的作品要求以下：七寸照片（长 7 英寸，宽 5 英寸）；将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片周围外露衬纸的宽度同样；矩形衬纸的面积为照片面积的3 倍．设照片周围外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下边所列方程正确的选项是A．(7x)(5 x) 375 B ．(7 x)(5x) 3 75C．(72x)(52x)375 D．(72x)(52x) 3 7 57．如图，直线 y4x 4 与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、 B 两点， △ AOB 绕点 A 顺时针旋转390°后获得 △ AO B ，则点 B 的对应点 B 坐标为 A ．（ 3，4）B ．（ 7，4）C ．（ 7， 3）D ．（ 3， 7）8．如图， △ ABC 中，∠ B=60 °，∠ ACB=75 °，点 D 是 BC 边上一动点，以 AD 为直径作⊙ O ，分别交 AB 、 AC 于 E 、 F ，若弦 EF 的最小值为 1，则 AB 的长为A.22B.26 C. 1.5D. 4333二、填空题（此题共16 分，每题4 分）9．扇形的半径为 9，且圆心角为 120 °，则它的弧长为 _______. 10．已知抛物线y x 2 x 3 经过点 A(2，y 1 ) 、 B(3，y 2 ) ，则 y 1 与 y 2 的大小关系是 _______．11．如图， PA 、 PB 分别与⊙ O 相切于 A 、B 两点，且OP=2，∠ APB=60°.若点 C 在⊙ O 上，且 AC= 2 ，则圆周角∠ CAB 的度数为 _______．12．已知二次函数 y ax 2bx c 的图象与x 轴交于 (1, 0)和 ( x 1 , 0)，此中 2 x 11，与 y 轴交于正半轴上一点．以下结论：①b 0 ；② ac1 b 2；③ a b ；④ ac2a ．此中4全部正确结论的序号是 _______．三、解答题（此题共 30 分，每题 5 分）13．计算：2 sin 60 4cos 230 +sin 45 tan60 ．14．已知抛物线（1）用配方法将y x 2 4x 1．yx 2 4x 1化成 y a( x h)2k 的形式；（2）将此抛物线向右平移 1 个单位，再向上平移2 个单位，求平移后所得抛物线的解读式．15．如图，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，点 D 在 AC 边上．若 DB =6， AD=1CD ， sin ∠ CBD = 2，求 AD 的长和 tanA 的值．2316．如图， AB 是⊙ O 的直径， CD 是⊙ O 的一条弦，且CD ⊥ AB于点 E ．（ 1）求证：∠ BCO=∠ D ；（2）若 CD= 4 2 ，AE=2，求⊙O的半径．17．如图，在□ABCD 中，点 E 在 BC 边上，点 F 在 DC 的延伸线上，且∠DAE=∠ F．（1）求证：△ ABE∽△ ECF ；（2）若 AB=5，AD =8， BE=2，求 FC 的长．18．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向，距离灯塔100 海里的 A 处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P 的北偏东 30°方向上的 B 处.（ 1）B 处距离灯塔P 有多远？（ 2）圆形暗礁地区的圆心位于PB 的延伸线上，距离灯塔200 海里的 O 处 .已知圆形暗礁地区的半径为50 海里，进入圆形暗礁地区就有触礁的危险.请判断若海轮抵达B处能否有触礁的危险，并说明原因．四、解答题（此题共20 分，每题 5 分）19．已知抛物线y x 2 2 x 3 .（ 1）它与 x 轴的交点的坐标为_______；（ 2）在座标系中利用描点法画出它的图象；（3）将该抛物线在x 轴下方的部分(不包括与 x 轴的交点)记为G，若直线 y x b 与G只有一个公共点，则 b 的取值范围是_______．20．如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C 在⊙ O 上，过点 C 的直线与 AB 的延伸线交于点 P，∠ COB =2∠ PCB.（1）求证： PC 是⊙ O 的切线；（2）点 M 是弧 AB 的中点， CM 交 AB 于点 N，若MN ·MC =8 ，求⊙ O 的直径 .21．平面直角坐标系xOy 中，原点O 是正三角形ABC 外接圆的圆心，点 A 在y轴的正半轴上，△ ABC 的边长为6．以原点O 为旋转中心将△ ABC沿逆时针方向旋转角，得到△ ABC ，点 A 、 B 、C 分别为点A、B、C的对应点．（1）当=60°时，①请在图1中画出△ ABC ；②若 AB 分别与 A C 、 A B 交于点 D、 E，则 DE 的长为 _______；（2）如图 2，当 A C ⊥AB 时， A B 分别与 AB、 BC 交于点 F、G，则点 A 的坐标为_______ ，△ FBG 的周长为 _______ ，△ ABC 与△ A B C 重叠部分的面积为_______ ．22．阅读下边的资料：小明在学习中碰到这样一个问题：若1≤ x≤ m，求二次函数y x26x7的最大值．他绘图研究后发现，x 1 和 x 5 时的函数值相等，于是他以为需要对m 进行分类讨论．y他的解答过程以下：∵二次函数y x26x7 的对称轴为直线x 3 ，∴由对称性可知， x 1 和 x5时的函数值相等．O15x ∴若 1≤ m＜5，则x 1 时， y 的最大值为2；若 m≥ 5，则x m时，y的最大值为26m 7 ．x=3 m请你参照小明的思路，解答以下问题：（ 1）当2≤ x≤ 4 时，二次函数y2x241的最大值为_______；x（ 2）若 p≤ x≤ 2，求二次函数y2x24x1的最大值；（ 3）若 t ≤x≤ t+2 时，二次函数y 2x241的最大值为31，则t的值为_______．x五、解答题（此题共 22分，第 23 题 7 分，第 24题 7分，第 25题 8 分）23y 1 x2 2(1 m) x n经过点（1， 3m1 ）．．已知抛物线2（1）求 nm 的值；（ 2）若此抛物线的极点为（ p ， q ），用含 m 的式子分别表示p 和 q ，并求 q 与 p 之间的函数关系式；（3）若一次函数y 21，且关于随意的实数x ，都有 y 1 ≥ 2y 2 ，直接写出 m2mx8的取值范围 .24．以平面上一点 O 为直角极点，分别画出两个直角三角形，记作△ AOB 和△ COD ，此中∠ ABO=∠ DCO=30°．（ 1）点 E 、 F 、 M 分别是 AC 、CD 、 DB 的中点，连结 FM 、 EM ．①如图 1，当点 D 、 C 分别在 AO 、 BO 的延伸线上时，FM=_______ ；EM②如图 2，将图 1 中的 △ AOB 绕点 O 沿顺时针方向旋转 角（ 060 ），其他条件不变，判断FM的值能否发生变化，并对你的结论进行证明；EM （2）如图 3，若 BO= 33 ，点 N 在线段 OD 上，且 NO=2. 点 P 是线段 AB 上的一个动点，在将 △AOB 绕点 O 旋转的过程中，线段 PN 长度的最小值为 _______，最大值为 _______．AABEOMEOBM CFDCF D图 1图 225．如图1，平面直角坐标系xOy 中，抛物线y1 x2bx c与x轴交于A、B两点，点2C 是 AB 的中点， CD ⊥AB 且 CD =AB.直线 BE 与y轴平行，点F 是射线 BE 上的一个动点，连结 AD、AF、DF.（ 1）若点 F 的坐标为（9，1），AF=17. 2①求此抛物线的解读式；②点 P 是此抛物线上一个动点，点Q 在此抛物线的对称轴上，以点A、 F 、P、 Q 为极点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点Q 的坐标；（2）若2b c 2 ， b 2 t ，且AB的长为 kt ，此中 t0 .如图2，当∠DAF =45°时，求 k 的值和∠DFA的正切值.。
北京市西城区九级(上)数学期末试卷
北京市西城区2018-2018 学年度第一学期期末试卷九年级数学考1．本试卷共 7 页，共五道大题，25 道小题，满分120 分。
考试时间120 分钟。
2．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
生须3．在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其余试卷用黑色笔迹署名笔作知答。
一、选择题（此题共32 分，每题 4 分）下边各题均有四个选项，此中只有一个．．是切合题意的．1．抛物线的极点坐标是A．B．C． D ．2．如图，⊙ O 是△ ABC 的外接圆，若，则∠ ACB 的度数是A．40°B． 50°C． 60°D． 80°3．若两个圆的半径分别为 2 和 1，圆心距为3，则这两个圆的地点关系是A．内含B．内切C．订交 D ．外切4．以下图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B C D5．在 Rt △ ABC 中，∠ C＝ 90°，若 BC＝1， AC＝ 2，则 sinA 的值为A．B．C．D．26．如图，抛物线的对称轴为直线．以下结论中，正确的选项是A． a＜0B．当时，y随x的增大而增大C．－1D ．当时，y的最小值是7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ ABC 极点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC 以某点为旋转中心，顺时针旋转90°获得△ DEF ，则旋转中心的坐标是A．B．C．D．8．若抛物线（m是常数）与直线有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的双侧，则的取值范围是A．B．C．D．二、填空题（此题共16 分，每题 4 分）9．如图，△A BC 中，点 D， E 分别在 AB， AC 边上， DE∥ BC，若，，，则BC的长是．10．把抛物线向右平移1个单位，再向下平移 3 个单位，获得抛物线．11．如图，在△ABC 中，∠ ACB＝ 90°，∠ ABC ＝ 30°，BC ＝2．将△ ABC 绕点 C 逆时针旋转角后获得△A′B′C，当点 A 的对应点 A' 落在 AB 边上时，旋转角的度数是度，暗影部分的面积为．xOy 中，过点作AB⊥x轴于点12 ．在平面直角坐标系B．半径为的⊙ A 与 AB 交于点 C，过 B 点作⊙ A 的切线BD，切点为 D ，连结 DC 并延伸交 x 轴于点 E.（ 1）当时，EB的长等于；（ 2）点 E 的坐标为（用含r的代数式表示）．三、解答题（此题共30 分，每题 5 分）13．计算：．14．已知：二次函数的图象经过点．（1）求二次函数的解读式；（2）求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标；（ 3）将（ 1）中求得的函数解读式用配方法化成的形式．15．如图，在梯形ABCD 中， AB∥ DC，∠ A＝ 90°，点P 在 AD 边上，且．若 AB＝6， DC ＝ 4， PD＝ 2，求 PB 的长．16．列方程或方程组解应用题：“美化城市，改良人民居住环境”是城市建设的一项重要内容．某市最近几年来，通过植草、栽树、修筑公园等举措，使城区绿地面积不停增添，2018 年末该市城区绿地总面积约为75 公顷，截止到2018 年末，该市城区绿地总面积约为108 公顷，求从2018 年末至 2018 年末该市城区绿地总面积的年均匀增添率．17．如图，为了估量某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥ BD ，∠ ACB ＝ 45°，∠ADB ＝ 30°，并且点B，C， D 在同一条直线上．若测得CD＝30M ，求河宽AB（结果精准到1M ，取，取）．18．如图， AB 是⊙ O 的弦， OC⊥ AB 于点 C，连结 OA， AB＝ 12，．（1）求 OC 的长；（2）点 E， F 在⊙ O 上， EF∥ AB．若 EF＝ 16，直接写出 EFO 与 AB 之间的距离．CA B四、解答题（此题共20 分，每题 5 分）19．设二次函数的图象为 C ．二次函数的图象与 C11对于 y 轴对称．（ 1）求二次函数的解读式；（ 2）当≤ 0 时，直接写出的取值范围；（ 3）设二次函数图象的顶点为点 A，与 y 轴的交点为点B，一次函数( k， m 为常数， k≠ 0)的图象经过 A， B 两点，当时，直接写出x 的取值范围．20．如图，在矩形ABCD 中， E 是 CD 边上随意一点（不与点C，D 重合），作AF ⊥AE 交 CB 的延伸线于点F ．（1）求证：△ ADE ∽△ ABF ；（2）连结 EF ， M 为 EF 的中点， AB ＝ 4， AD ＝2，设 DE＝x，①求点 M 到 FC 的距离（用含x 的代数式表示）；②连结 BM ，设，求y与x之间的函数关系式，并直接写出BM 的长度的最小值．21．如图， AB 是⊙ O 的直径，点C 在⊙ O 上，连结 BC， AC，作 OD∥ BC 与过点 A 的切线交于点 D ，连结 DC 并延伸交 AB 的延伸线于点 E．（ 1）求证： DE 是⊙ O 的切线；（ 2）若，求的值．22．阅读下边资料：定义：与圆的全部切线和割线都有公共点的几何图形叫做这个圆的关系图形．．．．．．．．问题：⊙ O 的半径为 1，画一个⊙O 的关系图形．在解决这个问题时，小明以O 为原点成立平面直角坐标系xOy 进行研究，他发现能画出好多⊙ O 的关系图形，比如：⊙ O 自己和图 1 中的△ ABC（它们都是关闭的图形），以（及图 2 中以 O 为圆心的DmE （它是非关闭的图形），它们都是⊙ O 的关系图形．而图 2 中以P， Q 为端点的一条曲线就不是⊙ O的关系图形．参照小明的发现，解决问题：（ 1）在以下几何图形中，⊙ O 的关系图形是（填序号）；① ⊙O 的外切正多边形② ⊙O 的内接正多边形③ ⊙O 的一个半径大于 1 的齐心圆（ 2）若图形G 是⊙ O 的关系图形，而且它是关闭的，则图形G 的周长的最小值是____ ；（DmE（ 3）在图 2 中，当⊙ O 的关系图形 的弧长最小时，经过D ，E 两点的直线为 y=__ ；（ 4 ）请你在备用图中画出一个⊙O 的关系图形，所绘图形的长度 l 小于（ 2）中图形G 的周长的最小值，并写出l 的值（直接画出图形，不写作法）．五、解答题（此题共22分，第 23题 7分，第 24题 7分，第 25题 8分）23． 已知：二次函数（ m 为常数）．（ 1）若这个二次函数的图象与x 轴只有一个公共点 A ，且 A 点在 x 轴的正半轴上．①求 m 的值；②四边形 AOBC 是正方形，且点B 在 y 轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰巧经过B ， C两点，求平移后的图象对应的函数解读式；（ 2）当 0≤ ≤2 时 ，求函数的最小值（用含m 的代数式表示）．24． 已知：△ ABC ，△ DEF 都是等边三角形， M 是 BC 与 EF 的中点，连结AD ， BE.（ 1）如图 1，当 EF 与 BC 在同一条直线上时，直接写出AD 与 BE 的数目关系和地点关系；（ 2）△ ABC 固定不动，将图 1 中的△ DEF 绕点 M 顺时针旋转（ ≤ ≤ ）角，如图 2 所示，判断（ 1）中的结论能否仍旧成立，若成立，请加以证明；若不可立， 说明原因；（ 3 ）△ ABC 固定不动，将图1 中的△ DEF 绕点 M 旋转 （ ≤ ≤ ）角，作DH ⊥ B C 于点 H ．设 BH ＝x ，线段 AB ，BE ，ED ， DA 所围成的图形面积为 S ．当A B ＝ 6， DE ＝ 2 时，求 S 对于 x 的函数关系式，并写出相应的x 的取值范围．25．已知：二次函数的图象与x 轴交于点A， B（ A 点在 B 点的左侧），与y 轴交于点C，△ ABC 的面积为 12．（ 1）①填空：二次函数图象的对称轴为；②求二次函数的解读式；（ 2）点 D 的坐标为（－ 2， 1），点 P 在二次函数图象上，∠ADP 为锐角，且，求点 P 的横坐标；（ 3）点 E 在 x 轴的正半轴上，，点O与点对于EC所在直线对称．作⊥于点 N，交 EC 于点 M．若 EM·EC＝ 32，求点 E 的坐标．北京市西城区 2018-2018 学年度第一学期期末九年级数学试卷参照答案及评分标准一、选择题（此题共 32 分，每题 4 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABDBＡDCA二、填空题（此题共16 分，每题4 分）题号 9101112答案60，阅卷说明：第 11 题、第 12 题每空 2 分．三、解答题（此题共 30 分，每题5 分）13．解：．....................................................................................4 分． ................................................................................................................5 分14．解：（ 1）∵ 二次函数的图象经过点A(2， 5)，∴． ..........................................................................................1 分∴．∴ 二次函数的解读式为． ...................................................2 分（ 2）令，则有．解得，．∴ 二次函数的图象与x 轴的交点坐标为和． ..........................4 分（ 3）． .............................................................................................. 5 分15．解：∵ 在梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ，∠ A=90 °，∴ ∠ D=90°． ∴ ．∵ ， ∴∠ BPC=90°， ．∴∠ DCP=∠ APB ． ................................................ 2 分 ∴．在 Rt △ PCD 中， CD =2， PD=4，∴．在 Rt △ PBA 中， AB =6，∴．∴．∴． ...............................................................................................................4分∴． ...................................................................................5分16．解：设从 2018 年末至 2018 年末该市城区绿地总面积的年均匀增添率是x． ..........1分依题意，得． ......................................................................................2分整理，得． ...........................................................................................3分．解得 x=0.2=20% ， x =－（舍去）． ......................................................................4分12答：从 2018 年末至 2018 年末该市城区绿地总面积的年均匀增添率是20%． .........5分17 ．解：设河宽 AB 为 xM ． ..................................................................................................1分∵AB⊥BC ，∴∠ ABC =90°．∵在 Rt △ ABC 中，∠ AC B=45°，∴ AB = BC = x． ................................... 2 分∵在 Rt △ ABD 中，∠ ADB =30°，∴ BD=． ....................... 3 分∴．∴． ...................................................................................................... 4 分解得41．答：河宽 AB 约为 41M ． ................................................................................................. 5 分18 ．解：（ 1）∵AB 是⊙ O 的弦， OC⊥ AB 于 C，AB =12 ，∴．........................................... 1 分∵在 Rt△ AOC 中，∠ ACO=90°，，O∴． ....................................................... 2 分C∴． ............................... 3 分A B （ 2） 2 或 14． .......................................................................................................... 5 分四、解答题（此题共20 分，每题 5 分）19 ．解：（ 1 ）二次函数图象的极点对于y 轴的对称点坐标为，····································1 分∴ 所求的二次函数的解读式为，················2 分即．（2）≤ ≤ 3．········································4 分（3）．·········································5 分20 ．（ 1）证明：∵在矩形 ABCD 中，∠ DAB =∠ ABC =∠ C =∠ D =90 °．∴．∵ AF⊥ AE，∴ ∠EAF =．∴．∴ ∠DAE =∠ BAF．∴ △ADE ∽△ ABF ．······························2 分（2）解：①如图，取 FC 的中点 H，连结 MH ．∵M 为 EF 的中点，∴ MH∥DC ，．∵在矩形 ABCD 中，∠ C =90 °，∴ MH⊥ FC，即 MH 是点 M 到 FC 的距离．∵DE=x，DC =AB=4．∴EC=，∴．即点 M 到 FC 的距离为MH．.................................................... 3分②∵△ ADE∽△ ABF ，∴．∴．∴，FC=，FH = CH=．∴．∵，∴在 Rt△ MHB 中，．∴（）， .......................................................... 4 分当时， BM 长的最小值是． ....................................................... 5 分21．（ 1）证明：如图，连结OC ．∵AD 是过点 A 的切线， AB 是⊙ O 的直径，∴ AD⊥AB，∴ ∠ DAB =90 °．∵OD ∥ BC，∴ ∠ DOC =∠ OCB，∠ AOD =∠ ABC ．∵OC =OB ，∴ ∠ OCB =∠ABC ．∴ ∠ DOC =∠AOD．在△ COD 和△ AOD 中，OC = OA，∠DOC=∠ AOD，OD=OD ，∴ △ COD ≌△ AOD ． ............................................................................................... 1 分∴ ∠ OCD= ∠DAB = 90°．∴ OC⊥DE 于点 C．∵ OC 是⊙ O 的半径，∴ DE 是⊙ O 的切线． .............................................................................................. 2 分（ 2）解：由，可设，则． .. .........................................3 分∴．∴在 Rt△DAE 中，．∴．∵在 Rt△OCE 中，．∴，∴．∴在 Rt△AOD 中，． .. ..............................................4 分∴． .. ...............................................................5 分22．解：（ 1）①③；.........2 分（ 2）； ............. 3 分（ 3）； ....4 分（ 4 ）答案不独一，所绘图形是非关闭的，长度l 知足≤ l ＜．比如：在图 1 中 l，在图 2 中 l．....... 5分图1图2阅卷说明：在（1）中，只填写一个结果得1分，有错误结果不得分；在（4）中绘图正确且图形长度都正确得 1 分，不然得 0 分．五、解答题（此题共22 分，第23题 7分，第 24 题 7分，第 25题 8分）23．解：（ 1）①∵ 二次函数的图象与 x 轴只有一个公共点A，∴． ....................................................................1 分整理，得．解得，，．又点 A 在 x 轴的正半轴上，∴．∴ m=4． ............................................................................................................ 2 分②由①得点 A 的坐标为．∵四边形 AOBC 是正方形，点 B 在 y 轴的负半轴上，∴点B的坐标为，点 C 的坐标为． ...................................... 3 分设平移后的图象对应的函数解读式为(b， c 为常数 )．∴解得∴平移后的图象对应的函数解读式为． .................................... 4 分（２）函数的图象是极点为，且张口向上的抛物线．分三种状况：(ⅰ )当，即时，函数在0≤≤ 2内y随x的增大而增大，此时函数的最小值为；(ⅱ )当 0≤≤ 2，即 0≤≤4 时，函数的最小值为；(ⅲ )当，即时，函数在0≤≤ 2 内 y 随 x 的增大而减小，此时函数的最小值为．综上，当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为．................ 7 分24．（ 1），． ......................................................................................... 2 分（ 2）证明：连结DM ，AM．在等边三角形ABC 中， M 为 BC 的中点，∴，，．∴．同理，，．∴，．··3分∴ △ADM ∽△ BEM．分∴． (4)延伸 BE 交 AM 于点 G，交 AD 于点 K．∴，．∴．5 分∴． ............................................................................................（ 3）解： (ⅰ) 当△ DEF 绕点 M 顺时针旋转(≤ ≤)角时，∵ △ADM ∽△ BEM，∴．∴∴．∴（ 3≤≤）．........................................................ 6分(ⅱ ) 当△ DEF 绕点 M 逆时针旋转(≤≤) 角时，可证△ ADM ∽△ BEM，∴．∴．∴．∴(≤ ≤3)．综上，(≤ ≤)． ........................................................7 分25．解：（ 1）①该二次函数图象的对称轴为直线； ...............................................1 分②∵当 x=0 时， y=－4，∴点C的坐标为．∵＝12，∴ AB=6．又∵点 A ， B 对于直线对称，∴ A 点和 B 点的坐标分别为，．∴．解得．∴ 所求二次函数的解读式为． ......................................2 分（ 2）如图，作 DF ⊥ x 轴于点 F ．分两种状况：(ⅰ )当点 P 在直线 AD 的下方时，如下图．由（ 1）得点 A，点 D，∴DF =1 ，AF =2 ．在 Rt△ ADF 中，，得．延伸 DF 与抛物线交于点P1，则 P1点为所求．∴点 P1的坐标为． ....................................................................... 3 分( ⅱ)当点 P 在直线 AD 的上方时，延伸P1A 至点 G 使得 AG =AP 1，连结 DG ，作 GH ⊥ x 轴于点 H ，如下图．可证△GHA≌△．∴HA = AF ，GH = P1F ，GA = P1A．又∵，，∴ 点的坐标是．在△ ADP 1中，， DP1＝５，，∴．∴．∴DA⊥．∴．∴．∴．设 DG 与抛物线的交点为 P2，则 P2点为所求．作DK ⊥GH 于点 K ，作 P2S∥ GK 交 DK 于点 S．设 P2点的坐标为，则，．由，，，得．整理，得．解得．∵ P2点在第二象限，∴ P2点的横坐标为（舍正）．综上， P 点的横坐标为－ 2 或．.......................................................... 5分（ 3）如图，连结O，交CE于T．连结 C ．∵点 O 与点对于EC所在直线对称，∴ O⊥CE，CE，∠C E．∴C⊥ E．∵ON⊥ E，∴C∥N．∴ C E．∴． ......................................................................................................... 6 分∴．∵在 Rt△ETO 中，，，在 Rt△中，，，∴．∴．同理．∴．∵，∴．∵点 E 在 x 轴的正半轴上，∴ E 点的坐标为) ． ................................................................................ 8 分。
2018-2019学年北京市西城区九年级上学期期末数学试卷与答案
2018-2019学年北京市西城区九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题3分第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（3分）抛物线y＝3（x﹣1）2+5的顶点坐标是（）A．（3，5）B．（1，5）C．（3，1）D．（﹣1，5）2．（3分）如果4x＝3y，那么下列结论正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．x＝4，y＝3 3．（3分）如图，圆的两条弦AB，CD相交于点E，且＝，∠A＝40°，则∠CEB的度数为（）A．50°B．80°C．70°D．90°4．（3分）下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（）A．它的图象经过点（﹣1，﹣2）B．它的图象的对称轴是直线x＝2C．当x＜0时，y随x的增大而减小D．当x＝0时，y有最大值为05．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．若BC＝24，cos B＝，则AD 的长为（）A．12B．10C．6D．56．（3分）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为（）A．16B．14C．12D．107．（3分）下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：8点（﹣，A．①②B．②③C．②④D．③④二、填空题（本题共16分，每小题3分）9．（3分）如图所示的网格是正方形网格，点A，O，B都在格点上，tan∠AOB的值为．10．（3分）请写出一个开口向下，且与y轴的交点坐标为（0，2）的抛物线的表达式：．11．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC．若AD＝2，AB ＝3，DE＝4，则BC的长为．12．（3分）草坪上的自动喷水装置的旋转角为200°，且它的喷灌区域是一个扇形．若它能喷灌的扇形草坪面积为5π平方米，则这个扇形的半径是米．13．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），则关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为．14．（3分）如图，舞台的面上有一段以点O为圆心的，某同学要站在的中点C的位置上．于是他想：只要从点O出发，沿着与弦AB垂直的方向走到上，就能找到的中点C．老师肯定了他的想法．（1）请按照这位同学的想法，在图中画出点C；（2）这位同学确定点C所用方法的依据是．15．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＞AD，E，F分别是AB，DC的中点，将矩形ABCD 沿EF所在直线对折，若得到的两个小矩形都和矩形ABCD相似，则用等式表示AB与AD的数量关系为．16．（3分）如图，⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥P A．（1）点O到直线l距离的最大值为；（2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：4sin30°﹣cos45°+tan260°．18．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACB，点E，F分别在AB，BC 上，且∠EFB＝∠D．（1）求证：△EFB∽△CDA；（2）若AB＝20，AD＝5，BF＝4，求EB的长．19．（5分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：（1）求这个二次函数的表达式；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当﹣4＜x＜﹣2时，直接写出y的取值范围．20．（5分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．21．（5分）一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离的面的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣x2+x+c，其图象如图所示．已知铅球落的时的水平距离为10m．（1）求铅球出手时离的面的高度；（2）在铅球行进过程中，当它离的面的高度为m时，求此时铅球的水平距离．22．（5分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，以OC，OD为邻边作平行四边形OCED，连接OE．（1）求证：四边形OBCE是平行四边形；（2）连接BE交AC于点F．若AB＝2，∠AOB＝60°，求BF的长．23．（6分）如图，直线l：y＝﹣2x+m与x轴交于点A（﹣2，0），抛物线C1：y＝x2+4x+3与x轴的一个交点为B（点B在点A的左侧），过点B作BD垂直x轴交直线l于点D．（1）求m的值和点B的坐标；（2）将△ABD绕点A顺时针旋转90°，点B，D的对应点分别为点E，F．①点F的坐标为；②将抛物线C1向右平移使它经过点F，此时得到的抛物线记为C2，直接写出抛物线C2的表达式．24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O．点D在⊙O上，BD平分∠ABC 交AC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F．（1）求证：FD是⊙O的切线；（2）若BD＝8，sin∠DBF＝，求DE的长．25．（6分）小明利用函数与不等式的关系，对形如（x﹣x1）（x﹣x2）…（x﹣x n）＞0（n为正整数）的不等式的解法进行了探究．（1）下面是小明的探究过程，请补充完整：①对于不等式x﹣3＞0，观察函数y＝x﹣3的图象可以得到如表格：由表格可知不等式x﹣3＞0的解集为x＞3．②对于不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0，观察函数y＝（x﹣3）（x﹣1）的图象可以得到如表表格：的不等式的解集．（2）请你参考小明的方法，解决下列问题：①不等式（x﹣6）（x﹣4）（x﹣2）（x+2）＞0的解集为．②不等式（x﹣9）（x﹣8）（x﹣7）2＞0的解集为．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3a．（1）求抛物线的对称轴；（2）当a＞0时，设抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C，若△ABC为等边三角形，求a的值；（3）过T（0，t）（其中﹣1≤t≤2）且垂直y轴的直线l与抛物线交于M，N两点．若对于满足条件的任意t值，线段MN的长都不小于1，结合函数图象，直接写出a的取值范围．27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE∽△ABC，连接BD，CE．（1）判断BD与CE的数量关系，并证明你的结论；（2）若AB＝2，AD＝2，∠BAC＝105°，∠CAD＝30°．①BD的长为；②点P，Q分别为BC，DE的中点，连接PQ，写出求PQ长的思路．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形W，如果以P为端点的任意一条射线与图形W最多只有一个公共点，那么称点P独立于图形W．（1）如图1，已知点A（﹣2，0），以原点O为圆心，OA长为半径画弧交x轴正半轴于点B．在P1（0，4），P2（0，1），P3（0，﹣3），P4（4，0）这四个点中，独立于的点是；（2）如图2，已知点C（﹣3，0），D（0，3），E（3，0），点P是直线l：y＝2x+8上的一个动点．若点P独立于折线CD﹣DE，求点P的横坐标x p的取值范围；（3）如图3，⊙H是以点H（0，4）为圆心，半径为1的圆．点T（0，t）在y轴上且t ＞﹣3，以点T为中心的正方形KLMN的顶点K的坐标为（0，t+3），将正方形KLMN在x轴及x轴上方的部分记为图形W．若⊙H上的所有点都独立于图形W，直接写出t的取值范围．2018-2019学年北京市西城区九年级上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题3分第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．【解答】解：因为y＝3（x﹣1）2+5是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，5）．故选：B．2．【解答】解：A．若＝，等式两边同时乘以12得：4x＝3y，A项正确，B．若＝，等式两边同时乘以12得：3x＝4y，B项错误，C．若＝，等式两边同时乘以3y得：3x＝4y，C项错误，D．若x＝4，y＝3，则3x＝4y，D项错误，故选：A．3．【解答】解：∵＝，∴∠A＝∠C＝40°，∴∠CEB＝∠A+∠C＝80°，故选：B．4．【解答】解：A、当x＝﹣1时，y＝2×（﹣1）2＝2≠﹣2，故此选项错误；B、它的图象的对称轴是直线x＝0，故此选项错误；C、当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大，故此选项正确；D、当x＝0时，y有最小值是0，故此选项错误；故选：C．5．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴BD＝BC＝12．在直角△ABD中，∵cos B＝＝，∴AB＝13，∴AD＝＝＝5．故选：D．6．【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，∵BE+CE＝BC＝5，∴BD+CF＝BC＝5，∴△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，故选：B．7．【解答】解：过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，∴HE＝CD＝10，CE＝DH，∴FH＝x﹣10，∵∠FDH＝α＝45°，∴DH＝FH＝x﹣10，∴CE＝x﹣10，∵tanβ＝tan50°＝＝，∴x＝（x﹣10）tan 50°，故选：A．8．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线交y轴的正半轴，∴c＞0，∴ac＜0，故①错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而点（﹣2，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（4，0），∴16a+4b+c＝0，故②正确；∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，∴横坐标是1﹣n的点的对称点的横坐标为1+n，∵若m＞n＞0，∴1+m＞1+n，∴x＝1+m时的函数值小于x＝1﹣n时的函数值，故③错误；∵抛物线的对称轴为﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴抛物线为y＝ax2﹣2ax+c，∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），∴4a+4a+c＝0，即8a+c＝0，∴c＝﹣8a，∴﹣＝4，∵点（﹣2，0）的对称点是（4，0），∴点（﹣，0）一定在此抛物线上，故④正确，故选：C．二、填空题（本题共16分，每小题3分）9．【解答】解：如图，连接AB．在直角△AOB中，∵∠OBA＝90°，AB＝2，OB＝4，∴tan∠AOB＝＝＝．故答案为．10．【解答】解：因为抛物线的开口向下，则可设a＝﹣1，又因为抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），则可设顶点为（0，2），所以此时抛物线的解析式为y＝﹣x2+2．故答案为y＝﹣x2+2．11．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，∴BC＝6．故答案为：6．12．【解答】解：∵草坪上的自动喷水装置它能喷灌的草坪是扇形，面积为5π平方米，圆心角为200°，∴它能喷灌的草坪的面积为：＝5πm2．解得：R＝3故答案为：3．13．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），∴关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为x1＝﹣3，x2＝1．故答案为x1＝﹣3，x2＝1．14．【解答】解：（1）如图所示，点C即为所求．（2）这位同学确定点C所用方法的依据是：垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧，故答案为：垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧．15．【解答】解：由于AB＞AD，E，F分别是AB，DC的中点，∴矩形AEFD≌矩形BEFC，∵两个小矩形都和矩形ABCD相似，∴矩形AEFD∽矩形ABCD，∴，∴AB2＝AD2，∴AB＝AD，故答案为：AB＝AD．16．【解答】解：（1）如图1，∵l⊥P A，∴当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，最大值为AO+AP＝5+2＝7；（2）如图2，∵M，N是直线l与⊙O的公共点，当线段MN的长度最大时，线段MN是⊙O的直径，∵l⊥P A，∴∠APO＝90°，∵AP＝2，OA＝5，∴OP＝＝，故答案为：7，．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．【解答】解：原式＝4×﹣×+（）2＝2﹣1+3＝4．18．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠B＝∠DAC，∵∠D＝∠EFB，∴△EFB∽△CDA；（2）∵△EFB∽△CDA，∴，∵AB＝AC＝20，AD＝5，BF＝4，∴BE＝16．19．【解答】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）2﹣4，把点（0，﹣3）代入y＝a（x+1）2﹣4，得a＝1，故抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3；（2）如图所示：（3）∵y＝（x+1）2﹣4，∴当x＝﹣4时，y＝（﹣4+1）2﹣4＝5，当x＝﹣2时，y＝﹣3，又对称轴为x＝﹣1，∴当﹣4＜x＜﹣2时，y的取值范围是﹣3＜y＜5．20．【解答】解：（1）作OM⊥AC于M，∵AC＝4，∴AM＝CM＝2，∵OC＝4，∴OM＝＝2；（2）连接OA，∵OM＝MC，∠OMC＝90°，∴∠MOC＝∠MCO＝45°，∵OA＝OC，∴∠OAM＝45°，∴∠AOC＝90°，∴∠B＝45°，∵∠D+∠B＝180°，∴∠D＝135°．21．【解答】解：（1）根据题意，将（10，0）代入y＝﹣x2+x+c，得：﹣×102+×10+c＝0，解得c＝，即铅球出手时离的面的高度m；（2）将y＝代入﹣x2+x+＝，整理，得：x2﹣8x﹣9＝0，解得：x1＝9，x2＝﹣1（舍），∴此时铅球的水平距离为9m．22．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵四边形OCED是平行四边形，∴四边形OCED为菱形，∴CE∥OB，CE＝OB，∴四边形OBCE为平行四边形；（2）解：过F作FM⊥BC于M，过O作ON⊥BC于N，∵FM⊥BC，ON⊥BC，∴ON∥FM，∵AO＝OC，∴ON＝AB＝1，∵OF＝FC，∴FM＝ON＝，∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴∠OAB＝60°，∠ACB＝30°，在Rt△ABC中：∵AB＝2，∠ACB＝30°，∴BC＝2，∵∠ACB＝30°，FM＝，∴CM＝，∴BM＝BC﹣CM＝，∴BF＝＝．23．【解答】解：（1）将A（﹣2，0）代入y＝﹣2x+m，得：0＝﹣2×（﹣2）+m，解得：m＝﹣4．当y＝0时，有x2+4x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1，又∵点B在点A的左侧，∴点B的坐标为（﹣3，0）．（2）当x＝﹣3时，y＝﹣2x﹣4＝2，∴点D的坐标为（﹣3，2），∴BD＝2，AB＝1．①依照题意画出图形，则EF＝BD＝2，OF＝AE＝AB＝1，又∵点A的坐标为（﹣2，0），∴点F在y轴正半轴上，∴点F的坐标为（0，1）．②∵y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，∴设平移后得到的抛物线C2的表达式为y＝（x+m）2﹣1．将F（0，1）代入y＝（x+m）2﹣1，得：1＝（0+m）2﹣1，解得：m1＝，m2＝﹣，∴抛物线C2的表达式为y＝（x﹣）2﹣1或y＝（x+）2﹣1，即y＝x2﹣2x+1或y＝x2+2x+1．24．【解答】解：（1）连接OD，∵BD平分∠ABC交AC于点E，∴∠ABD＝∠DBF，∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠ODB，∴∠DBF＝∠ODB，∵∠DBF+∠BDF＝90°，∴∠ODB+∠BDF＝90°，∴∠ODF＝90°，∴FD是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵BD平分∠ABC交AC于点E，∴∠DBF＝∠ABD，在Rt△ABD中，BD＝8，∵sin∠ABD＝sin∠DBF＝，∴AD＝6，∵∠DAC＝∠DBC，∴sin∠DAE＝sin∠DBC＝，在Rt△ADE中，sin∠DAC＝，∴DE＝．25．【解答】解：（1）②由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）＞0的解集为x＞3或x＜1，故答案为：x＞3或x＜1；③当﹣1＜x＜1时，（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0，当x＜﹣1时，（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＜0，由表格可知不等式（x﹣3）（x﹣1）（x+1）＞0的解集为x＞3或﹣1＜x＜1，故答案为：+，﹣，x＞3或﹣1＜x＜1；（2）①不等式（x﹣6）（x﹣4）（x﹣2）（x+2）＞0的解集为x＞6或2＜x＜4或x＜﹣2，故答案为：x＞6或2＜x＜4或x＜﹣2；②不等式（x﹣9）（x﹣8）（x﹣7）2＞0的解集为x＞9或x＜8且x≠7，故答案为：x＞9或x＜8且x≠726．【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a，∴抛物线的对称轴为直线x＝2．（2）依照题意，画出图形，如图1所示．当y＝0时，ax2﹣4ax+3a＝0，即a（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得：x1＝1，x2＝3．由（1）可知，顶点C的坐标为（2，﹣a）．∵a＞0，∴﹣a＜0．∵△ABC为等边三角形，∴点C的坐标为（2，﹣），∴﹣a＝﹣，∴a＝．（3）分两种情况考虑，如图2所示：①当a＞0时，a（﹣1）×（﹣3）≤﹣1，解得：a≥；②当a＜0时，a（﹣1）×（﹣3）≥2，解得：a≤﹣．27．【解答】解：（1）结论：BD＝CE，理由：∵△ADE∽△ABC，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）①如图1中，作DH⊥BA交BA的延长线于H．∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝135°，∴∠DAH＝45°，∵∠H＝90°，AD＝2，∴AH＝DH＝2，在Rt△BDH中，BD＝＝＝2，故答案为2．（2）如图2中，连接PQ，AQ，AP，作QH⊥P A交P A的延长线于H．在Rt△ABP中，AP＝AB•sin37.5°，在Rt△AQD中，AQ＝AD•sin37.5°，在Rt△AHQ中，根据∠HAQ＝45°，可得AH＝HQ＝AQ，求出HQ，PH，根据PQ＝计算即可．28．【解答】解：（1）由题意可知：在P1（0，4），P2（0，1），P3（0，﹣3），P4（4，0）这四个点中，独立于的点是P2，P3．故答案为P2，P3．（2）∵C（﹣3，0），D（0，3），E（3，0），∴直线CD的解析式为y＝x+3，直线DE的解析式为y＝﹣x+3，由，解得，可得直线l与直线CD的交点的横坐标为﹣5，由，解得，可得直线l与直线DE的交点的横坐标为﹣，∴满足条件的点P的横坐标x p的取值范围为：x P＜﹣5或x P＞﹣．（3）如图3﹣1中，当直线KN与⊙H相切于点E时，连接EH，则EH＝EK＝1，HK＝，∴OT＝KT+HK﹣OH＝3+﹣4＝﹣1，∴T（0，1﹣），此时t＝1﹣，∴当﹣3＜t＜1﹣时，⊙H上的所有点都独立于图形W．如图3﹣2中，当线段KN与⊙H相切于点E时，连接EH．OT＝OH+KH﹣KT＝4+﹣3＝1+，∴T（0，1+），此时t＝1+，如图3﹣3中，当线段MN与⊙H相切于点E时，连接EH．OT＝OM+TM＝4﹣+3＝7﹣，∴T（0，7﹣），此时t＝7﹣，∴当1+＜t＜7﹣时，⊙H上的所有点都独立于图形W．综上所述，满足条件的t的值为﹣3＜t＜1﹣或1+＜t＜7﹣．单词的词性变化动词变为名词cleaner seller player surferjumper speaker traveler teacherfarmer diver driver, writerRunner winner robberVisitor inventor conductor inspector（检查员）cross——crossing wash——washingpark——parking pack——packing（包装）。
北京市西城区届九年级上学期期末考试数学试题(WORD版-有答案)
北京市西城区2０１7-2０18学年度第一学期期末试卷ﻩ九年级数学 2０18.1一、选择题(本题共１6分，每小题2分） １. 如图,在Rt △ABC 中,∠AC Ｂ＝9０°,如果ＡＣ=3，AB =5，那么ｓin B 等于（ )．A.35B. 45C. 34D. 432.点1(1,)A y ，2(3,)B y 是反比例函数6y x=-图象上的两点，那么1y ,2y 的大小关系是（ ）.Ａ.12y y > B.12y y = C.12y y < D.不能确定 3.抛物线2(4)5y x =--的顶点坐标和开口方向分别是（ ）. Ａ．(4,5)-,开口向上 Ｂ.(4,5)-，开口向下 C.(4,5)--,开口向上 D.(4,5)--,开口向下4.圆心角为60︒，且半径为1２的扇形的面积等于( ）.A ．48π B.24π C.4π Ｄ.2π 5．如图，A Ｂ是⊙O 的直径,CD 是⊙Ｏ的弦，如果∠A ＣD =34°,那么∠BAD 等于（ ). A.3４°ﻩ Ｂ.4６° C.56° Ｄ．66° 6．如果函数24y x x m =+-的图象与x 轴有公共点，那么ｍ的取值范围是( ). A ．m ≤4 Ｂ.<4m C. m ≥4- D.>4m - ７.如图，点P 在△ABC 的边ＡＣ上,如果添加一个条件后可以得到 △A ＢＰ∽△AC Ｂ,那么以下添加的条件中,不．正确的是（ )． A ．∠ＡBP =∠C Ｂ.∠ＡＰB =∠ＡＢC Ｃ.2AB AP AC =⋅ D.AB ACBP CB=8．如图,抛物线32++=bx ax y (a ≠０)的对称轴为直线1x =, 如果关于x 的方程082=-+bx ax (a ≠0)的一个根为4，那么 该方程的另一个根为( ）.A.4- Ｂ.2- C.1 D. 3 二、填空题(本题共1６分，每小题2分)9． 抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为 .ﻩ１0． 如图，在△ABC 中,Ｄ,E 两点分别在AB ,AC 边上,DE ∥ＢC , 如果23=DB AD ,ＡC =1０，那么EC = ．11. 如图,在平面直角坐标系ｘOy 中,第一象限内的点(,)P x y与点(2,2)A 在同一个反比例函数的图象上，PC ⊥y 轴于点Ｃ，ＰD ⊥x 轴于点Ｄ,那么矩形ODPC 的面积等于 .12.如图,直线1y kx n =+(ｋ≠０)与抛物22y ax bx c =++(a ≠0） 分别交于(1,0)A -,(2,3)B -两点，那么当12y y >时，x 的取值范围是 .13. 如图,⊙Ｏ的半径等于4,如果弦ＡB 所对的圆心角等于120︒,那么圆心O 到弦AB 的距离等于 .14.2０１７年9月热播的专题片《辉煌中国——圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了,我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中,中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中,两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布,大桥主跨ＢD 的中点为E ,最长的斜拉索C Ｅ长577 ｍ,记CE 与大桥主梁所夹的锐角CED ∠为α,那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨B Ｄ长的表达式应为ＢＤ= (ｍ) .１５.如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点Ｃ,与x 轴 交于Ａ,B 两点,其中点B 的坐标为(4,0)B ，抛物线的对称轴交ｘ轴于点Ｄ，CE ∥ＡＢ，并与抛物线的对称轴交于点E .现有下列结论:①0a >；②0b >；③420a b c ++<；④4AD CE +=.其中所有 正确结论的序号是 .16. 如图,⊙O 的半径为３,A ,P 两点在⊙O 上,点Ｂ在⊙Ｏ内, 4tan 3APB ∠=,AB AP ⊥．如果ＯB ⊥OP ,那么O Ｂ的长为 .三、解答题(本题共６8分,第17-20题每小题5分,第21、2２题每小题6分,第2３、24题每小题5分,第２5、2６题每小题6分,第２７、28题每小题７分) 1７.计算：22sin30cos 45tan60︒+︒-︒.18.如图，ＡB ∥CD ,ＡC 与BD 的交点为Ｅ，∠ABE=∠ACB .(1)求证：△AB Ｅ∽△A ＣB ;（2)如果ＡＢ=6，AE=4，求A Ｃ，CD 的长.1９．在平面直角坐标系ｘＯy 中,抛物线1C ：22y x x =-+.(1)补全表格(2）将抛物线1C 向上平移3个单位得到抛物线2C ,请画出抛物线1C ,2C ，并直接回答：抛物线2C 与x 轴的两交点之间的距离是抛物线1C 与x 轴的两交点之间 距离的多少倍.20.在△ABC 中,AB=AC=２，45BAC ∠=︒．将△A ＢC 绕点A 逆时针旋转α度(０<α＜18０)得到△AD Ｅ,Ｂ，C 两点的对应点分别为点Ｄ,E ，BD ，CE 所在直线交于点F . (1)当△ABC 旋转到图1位置时，∠ＣAD = （用α的代数式表示），BFC ∠的 度数为 ︒;(２)当α=４5时,在图2中画出△AD Ｅ,并求此时点A 到直线ＢE 的距离．2１.运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出,在不考虑空气阻力的条件下,小球的飞行高度h （m)与它的飞行时间ｔ（s ）满足二次函数关系，t 与ｈ的几组对应值如下表所示．ｔ（s ） ０ 0.5 1 1．5 2 … h (m ）０ 8．７5 15 18.75 20…（1）求与t 之间的函数关系式（不要求写的取值范围）; (2)求小球飞行３ ｓ时的高度;(3）问:小球的飞行高度能否达到２2 m ？请说明理由．２2．如图，在平面直角坐标系x Ｏy 中，双曲线ky x=(k ≠0)与直线12y x =的交点为(,1)A a -,(2,)B b 两点，双曲线上一点P 的横坐标为１,直线P A ，P Ｂ与x 轴的交点分别为点M ，N ，连接AN . (１)直接写出a ,k 的值;（2)求证：P Ｍ=ＰN ，PM PN ⊥．23．如图,线段ＢC 长为1３,以C 为顶点，C Ｂ为一边的α∠满足5cos 13α=．锐角△ABC 的顶点Ａ落在α∠的另一边l 上,且 满足4sin 5A =．求△AB Ｃ的高BD 及ＡＢ边的长，并结合你的计算过程画出高ＢD 及AB 边.(图中提供的单位长度供补全图 形使用）24.如图，A Ｂ是半圆的直径,过圆心Ｏ作ＡB 的垂线，与弦ＡＣ的延长线交于点Ｄ,点Ｅ在ＯD 上,=DCE B ∠∠. （1)求证：ＣＥ是半圆的切线;（2）若CD=10,2tan 3B =,求半圆的半径.25．已知抛物线G ：221y x ax a =-+-(ａ为常数). （１)当3a =时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标； (２）若记抛物线Ｇ的顶点坐标为(,)P p q .①分别用含a 的代数式表示p ,q ;②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ;③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化,但点P 总落在 的图象上.A ．一次函数 Ｂ．反比例函数 C.二次函数（3）小明想进一步对(２)中的问题进行如下改编:将(2）中的抛物线G 改为抛物线Ｈ:22y x ax N =-+(a 为常数),其中Ｎ为含a 的代数式，从而使这个新抛物线Ｈ满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路,写出一个符合以上要求的新抛物线Ｈ的函数表达式：(用含a 的代数式表示),它的顶点所在的一次函数图象的表达式y kx b =+（k ，b 为常数,k ≠0）中,k= ,b= .２6．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线Ｍ:2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -，且顶点坐标为(0,1)B ．（１)求抛物线M 的函数表达式；(２)设(,0)F t 为x 轴正半轴．．．上一点，将抛物线M 绕点F 旋转１80°得到抛物线1M ． ①抛物线1M 的顶点1B 的坐标为 ;②当抛物线1M 与线段AB 有公共点时,结合函数的图象,求t 的取值范围.27．如图1，在Ｒｔ△AOB 中,∠AO Ｂ＝９0°,∠OAB =３0°，点C 在线段O Ｂ上,OC =２ＢC ,AO 边上的一点Ｄ满足∠OCD =３0°.将△OC Ｄ绕点O 逆时针旋转α度(９０°<α<１8０°）得到△OC D ''，Ｃ,Ｄ两点的对应点分别为点C '，D ',连接AC ',BD ',取AC '的中点Ｍ,连接OM ． （1)如图２,当C D ''∥ＡB 时,α= °,此时ＯM 和BD '之间的位置关系为 ； (2)画图探究线段OM 和BD '之间的位置关系和数量关系,并加以证明．２8.在平面直角坐标系xO ｙ中，A ，Ｂ两点的坐标分别为(2,2)A ,(2,2)B -.对于给定的线段AB 及点Ｐ,Q ,给出如下定义：若点Ｑ关于AB 所在直线的对称点Q '落在△ＡＢＰ的内部（不含边界)，则称点Ｑ是点Ｐ关于线段A Ｂ的内称点． (1）已知点(4,1)P -．①在1(1,1)Q -,2(1,1)Q 两点中，是点P 关于线段AB 的内称点的是____＿__＿＿__＿; ②若点Ｍ在直线1y x =-上,且点M 是点Ｐ关于线段ＡB 的内称点,求点Ｍ的横坐标M x 的取值范围；（２）已知点(3,3)C ，⊙C 的半径为r ，点(4,0)D ,若点Ｅ是点D 关于线段AB 的内称点，且满足直线ＤＥ与⊙C 相切,求半径r 的取值范围.。
2017--2018西城初三数学期末试题及答案
１２. 如图ꎬ直线 ｙ １ ＝ ｋｘ ＋ ｎ( ｋ ʂ ０) 与抛物线 ｙ ２ ＝ ａｘ ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ( ａ ʂ ０) 分别交于 Ａ( － １ꎬ０) ꎬＢ (２ꎬ － ３) 两点ꎬ那么当ｙ １ > ｙ ２ 时ꎬｘ 的取值范围是 .
１３. 如图ꎬ☉Ｏ 的半径等于 ４ꎬ如果弦 ＡＢ 所对的圆心角等于 １２０ʎ ꎬ那么圆心 Ｏ 到弦 ＡＢ 的距离等于 .
Ｈ:ｙ ＝ ｘ ２ － ２ａｘ ＋ Ｎ( ａ 为常数) ꎬ其中 Ｎ 为含 ａ 的代数式ꎬ从而使这个新抛物线 Ｈ 满足: 请按照小 明 的 改 编 思 路ꎬ 写 出 一 个 符 合 以 上 要 求 的 新 抛 物 线 Ｈ 的 函 数 表 达 式: ( 用 含 ａ 的 代 数 式 表 示)ꎬ 它 的 顶 点 所 在 的 一 次 函 数 图 象 的 表 达 式 .
１６. 如图ꎬ☉Ｏ 的半径为 ３ꎬＡꎬＰ 两点在 ☉Ｏ 上ꎬ点 Ｂ 在 ☉Ｏ 内ꎬ ｔａｎøＡＰＢ ＝ ４ ꎬＡＢ ʅ ＡＰ. 如果ＯＢ ʅ ＯＰ ꎬ那么 ＯＢ 的长为 ３ .
三㊁ 解答题( 本题共 ６８ 分ꎬ第 １７ － ２０ 题每小题 ５ 分ꎬ第 ２１㊁２２ 题每小题 ６ 分ꎬ第 ２３㊁２４ 题每小 题 ５ 分ꎬ第 ２５㊁２６ 题每小题 ６ 分ꎬ第 ２７㊁２８ 题每小题 ７ 分) １７. 计算:２ｓｉｎ３０ʎ ＋ ｃｏｓ２ ４５ʎ － ｔａｎ６０ʎ.
１４. ２０１７ 年 ９ 月热播的专题片« 辉煌中国
现了中国现代化进程中的伟大成就ꎬ大家纷纷点赞 厉害了ꎬ我的国!
圆梦工程» 展示的中国桥㊁中国路等超级工程展 片中提到我国已成
为拥有斜拉桥最多的国家ꎬ世界前十座斜拉桥中ꎬ 中国占七座ꎬ 其中苏通长江大桥 ( 如图 １
所示) 主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列. 在图 ２ 的主桥示意图中ꎬ两座索塔及索塔 两侧的斜拉索对称分布ꎬ大桥主跨 ＢＤ 的中点为 Ｅ ꎬ最长的斜拉索 ＣＥ 长 ５７７ ｍꎬ记 ＣＥ 与大 桥主梁所夹的锐角 øＣＥＤ 为 αꎬ那么用 ＣＥ 的长和 α 的三角函数表示主跨 ＢＤ 长的表达式 应为 ＢＤ ＝ ( ｍ) .
3.2017-2018学年北京市西城区初三第一学期期末数学试题(答案)
市西城区2017-2018学年度第一学期期末试卷九年级数学 2018.1一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的. 1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，如果AC =3，AB =5， 那么sin B 等于（ ）．A.35B. 45C. 34D. 432.点1(1,)A y ，2(3,)B y 是反比例函数6y x=-图象上的两点，那么1y ，2y 的大小关系是（ ）．A.12y y >B.12y y =C.12y y <D.不能确定 3.抛物线2(4)5y x =--的顶点坐标和开口方向分别是（ ）. A.(4,5)-，开口向上 B.(4,5)-，开口向下 C.(4,5)--，开口向上 D.(4,5)--，开口向下 4.圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（ ）. A.48π B.24π C.4π D.2π5.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD =34°，那么∠BAD 等于（ ）．A ．34°B ．46°C ．56°D ．66°6.如果函数24y x x m =+-的图象与x 轴有公共点，那么m 的取值围是（ ）. A.m ≤4 B.<4m C. m ≥4- D.>4m -7.如图，点P 在△ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到 △ABP ∽△ACB ，那么以下添加的条件中，不．正确的是（ ）． A ．∠ABP =∠C B ．∠APB =∠ABC C ．2AB AP AC =⋅ D ．AB ACBP CB=8.如图，抛物线32++=bx ax y (a ≠0)的对称轴为直线1x =， 如果关于x 的方程082=-+bx ax (a ≠0)的一个根为4，那么 该方程的另一个根为（ ）．A ．4-B ．2-C ．1D ． 3 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为 .10. 如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ， 如果23=DB AD ，AC =10，那么EC = .11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，第一象限的点(,)P x y 与点(2,2)A 在同一个反比例函数的图象上，PC ⊥y 轴于点C ，PD ⊥x 轴于点D ，那么矩形ODPC 的面积等于 .12.如图，直线y 1=kx ＋n (k ≠0)与抛物y 2=ax 2＋bx ＋c (a ≠0)分别交于A （－1,0），B （2,－3）两点，那么当y 1＞y 2时，x 的取值围是 .13. 如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 . 14.2017年9月热播的专题片《辉煌中国——圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD 的中点为E ，最长的斜拉索CE 长577 m ，记CE 与大桥主梁所夹的锐角CED ∠为α，那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨BD 长的表达式应为BD = (m) .15.如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴 交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为(4,0)B ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E .现有下列结论：①0a >；②0b >；③420a b c ++<；④4AD CE +=.其中所有正确结论的序号是 .16. 如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B 在⊙O ，4tan 3APB ∠=，AB AP ⊥.如果OB ⊥OP ，那么OB 的长为 . 三、解答题（本题共68分，第17－20题每小题5分，第21、22题 每小题6分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题6分， 第27、28题每小题7分）17．计算：22sin30cos 45tan60︒+︒-︒．18．如图，AB ∥CD ，AC 与BD 的交点为E ，∠ABE=∠ACB ．（1）求证：△ABE ∽△ACB ；（2）如果AB=6，AE=4，求AC ，CD 的长．19．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：22y x x =-+．（1）补全表格：（2）将抛物线1C 向上平移3个单位得到抛物线2C ，请画出抛物线1C ，2C ，并直接回答：抛物线2C 与x 轴的两交点之间的距离是抛物线1C 与x 轴的两交点之间 距离的多少倍．20．在△ABC 中，AB=AC=2，45BAC ∠=︒．将△ABC 绕点A 逆时针旋转α度（0<α<180）得到△ADE ，B ，C 两点的对应点分别为点D ，E ，BD ，CE 所在直线交于点F ．（1）当△ABC 旋转到图1位置时，∠CAD = （用α的代数式表示），BFC ∠的 度数为 ︒；（2）当α=45时，在图2中画出△ADE ，并求此时点A 到直线BE 的距离．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h （m ）与它的飞行时间t （s ）满足二次函数关系，t 与h 的几组对应值如下表所示． t （s ） 0 0.5 1 1.5 2 … h （m ）8.751518.7520…（1）求h 与t 之间的函数关系式（不要求写t 的取值围）； （2）求小球飞行3 s 时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22 m ？请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线k y x =（k ≠0）与直线12y x =的交点为(,1)A a -，(2,)B b 两点，双曲线上一点P 的横坐标为1，直线PA ，PB 与x 轴的交点分别为点M ，N ，连接AN ． （1）直接写出a ，k 的值； （2）求证：PM=PN ，PM PN ⊥．23．如图，线段BC 长为13，以C 为顶点，CB 为一边的α∠满足5cos 13α=．锐角△ABC 的顶点A 落在α∠的另一边l 上，且 满足4sin 5A =．求△ABC 的高BD 及AB 边的长，并结合你的计算过程画出高BD 及AB 边．（图中提供的单位长度供补全图 形使用）24．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上，=DCE B ∠∠．（1）求证：CE 是半圆的切线； （2）若CD=10，2tan 3B =，求半圆的半径．25．已知抛物线G ：221y x ax a =-+-（a 为常数）．（1）当3a =时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标； （2）若记抛物线G 的顶点坐标为(,)P p q ．①分别用含a 的代数式表示p ，q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ；③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，但点P 总落在 的图象上． A ．一次函数 B ．反比例函数 C ．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物线H ：22y x ax N =-+（a 为常数），其中N 为含a 的代数式，从而使这个新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H 的函数表达式： （用含a 的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y kx b =+（k ，b 为常数，k ≠0）中，k= ，b= ． 26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线M ：2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -，且顶点坐标为(0,1)B ． （1）求抛物线M 的函数表达式；（2）设(,0)F t 为x 轴正半轴．．．上一点，将抛物线M 绕点F 旋转180°得到抛物线1M ． ①抛物线1M 的顶点1B 的坐标为 ；②当抛物线1M 与线段AB 有公共点时，结合函数的图象，求t 的取值围．27．如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB =90°，∠OAB =30°，点C 在线段OB 上，OC =2BC ，AO 边上的一点D 满足∠OCD =30°．将△OCD 绕点O 逆时针旋转α度（90°<α<180°）得到△OC D ''，C ，D 两点的对应点分别为点C '，D '，连接AC '，BD '，取AC '的中点M ，连接OM ．（1）如图2，当C D ''∥AB 时，α= °，此时OM 和BD '之间的位置关系为 ； （2）画图探究线段OM 和28．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别为(2,2)A ，(2,2)B -．对于给定的线段AB 及点P ，Q ，给出如下定义：若点Q 关于AB 所在直线的对称点Q '落在△ABP 的部（不含边界），则称点Q 是点P 关于线段AB 的称点．（1）已知点(4,1)P -．①在1(1,1)Q -，2(1,1)Q 两点中，是点P 关于线段AB 的称点的是____________；②若点M 在直线1y x =-上，且点M 是点P 关于线段AB 的称点，求点M 的横坐标M x 的取值围； （2）已知点(3,3)C ，⊙C 的半径为r ，点(4,0)D ，若点E 是点D 关于线段AB 的称点，且满足直线DE 与⊙C 相切，求半径r 的取值围．。
2019.1北京西城区2018-2019学年初三(上)期末数学试题(Word版含答案)
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．抛物线23(1)5y x =-+的顶点坐标是 A ．（3，5）B ．（1，5）C ．（3，1）D ．（1-，5）2．如果4x =3y ，那么下列结论正确的是A ．34x y = B ．43x y= C ．43x y = D ．4x =，3y =3．如图，圆的两条弦AB ，CD 相交于点E ，且=A =40°，则∠CEB 的度数为 A ．50° B ．80° C ．70° D ．90° 4．下列关于二次函数22y x =的说法正确的是A ．它的图象经过点（1-，2-）B ．它的图象的对称轴是直线2x =C ．当x <0时，y 随x 的增大而减小D ．当x =0时，y 有最大值为05．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ．若BC =24，12cos 13=B ，则AD 的长为 A ．12 B ．10C ．6D ．56．如图，△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ， E ，F ，且AD =2，BC =5，则△ABC 的周长为 A ．16 B ．14 C ．12 D ．10AD CB7．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：设铁塔顶端到地面的高度FE 为x m ，根据以上条件，可以列出的方程为 A ．(10)x x =-tan50° B ．(10)x x =-cos50° C ．10x x -=tan50° D ．(10)x x =+sin50°8．抛物线2y ax bx c =++经过点（2-，0），且对称轴为直线，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①； ②；③若，则时的函数值大于时的函数值；④点一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如图所示的网格是正方形网格，点A ，O ，B 都在格点上，tan ∠AOB 的值为 ．10．请写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为（0，2）的抛物线的表达式： ．11．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且DE ∥BC ．若AD =2，AB =3，DE =4，则BC 的长为 ．12．草坪上的自动喷水装置的旋转角为200°，且它的喷灌区域是一个扇形．若它能喷灌的扇形草坪面积为5π平方米，则这个扇形的半径是 米．1x=0ac>1640a b c ++=0m n >>1x m =+1x n =-(,0)2ca-13．如图，抛物线2y ax bx =+与直线y mx n =+相交于 点A （3-，6-），B （1，2-） ，则关于x 的方程2ax bx mx n +=+的解为 ．14．如图，舞台地面上有一段以点O 为圆心的 ，某同学要站在的中点C 的位置上．于是他想：只要从点O 出发， 沿着与弦AB 垂直的方向走到 的中点C ． 老师肯定了他的想法．（1）请按照这位同学的想法，在图中画出点C ； （2）这位同学确定点C 所用方法的依据是___________．15．如图，矩形纸片ABCD 中，AB >AD ，E ，F 分别是AB ，DC 的中点，将矩形ABCD 沿EF 所在直线对折，若得到的两个小矩形 都和矩形ABCD 相似，则用等式表示AB 与AD 的数量关系为 ．16．如图，⊙O 的半径是5，点A 在⊙O 上．P 是⊙O 所在平面内一点，且AP =2， 过点P 作直线l ，使l ⊥P A ．（1）点O 到直线l 距离的最大值为 ；（2）若M ，N 是直线l 与⊙O 的公共点，则当线段MN 的长度最大时，OP 的长为 ．三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：24sin302cos45tan 60-+．18．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =∠ACB ．点E ，F 分别在AB ，BC 上，且∠EFB =∠D ．（1）求证：△EFB ∽△CDA ； （2）若AB =20，AD =5，BF =4，求EB 的长．AB AB AB AB19．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表所示：（1）求这个二次函数的表达式；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当42x -<<-时，直接写出y 的取值范围．20．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，OC =4，AC= （1）求点O 到AC 的距离；（2）求∠ADC 的度数．21．一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系212123y x x c =-++，其图象如图所示．已知铅球落地时的水平距离为10m ．（1）求铅球出手时离地面的高度；（2）在铅球行进过程中，当它离地面的高度为1112m 时，求此时铅球的水平距离．22．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，以OC ，OD 为邻边作平行四边形OCED ，连接OE ．（1）求证：四边形OBCE 是平行四边形；（2）连接BE 交AC 于点F ．若AB =2，∠AOB =60°，求BF 的长．23．如图，直线l ：2y x m =-+与x 轴交于点A （2-，0），抛物线：与x 轴的一个交点为B （点B 在点A 的左侧）．过点B 作BD 垂直x 轴交直线l 于点D ． （1）求m 的值和点B 的坐标；（2）将△ABD 绕点A 顺时针旋转90°，点B ，D 的对应点分别为点E ，F ． ①点F 的坐标为____________；②将抛物线沿x ．轴．向右平移使它经过点F ，此时得到的抛物线记为，直接写出抛物线的表达式．24．如图，AB 是⊙O 的直径，△ABC 内接于⊙O ．点D 在⊙O 上，BD 平分∠ABC 交AC 于点E ，DF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ． （1）求证：FD 是⊙O 的切线；（2）若BD =8，sin ∠DBF =35，求DE 的长．25．小明利用函数与不等式的关系，对形如1C 243y x x =++1C 2C 2C12()()()0--->n x x x x x x L （n 为正整数）的不等式的解法进行了探究．（1）下面是小明的探究过程，请补充完整．．．．： ①对于不等式30x ->，观察函数3y x =-的图象可以得到如下表格：由表格可知不等式30x ->的解集为3x >．②对于不等式(3)(1)0x x -->，观察函数(3)(1)y x x =--的图象可以得到如下表格：由表格可知不等式(3)(1)0x x -->的解集为___________________．③对于不等式(3)(1)(1)0x x x --+>，请根据已描出的点画出函数的(3)(1)(1)y x x x =--+图象；观察函数(3)(1)(1)y x x x =--+的图象补全下面的表格：由表格可知不等式(3)(1)(1)0x x x --+>的解集为___________________．…小明将上述探究过程总结如下：对于解形如12()()()0--->n x x x x x x L （n 为正整数）的不等式，先将1x ，2x ，…，n x 按从大到小的顺序排列，再划分x 的范围，然后通过列表格的办法，可以发现表格中y 的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不等式的解集．（2）请你参考小明的方法，解决下列问题：①不等式(6)(4)(2)(2)0x x x x ---+>的解集为_________________； ②不等式2(9)(8)(7)0x x x --->的解集为__________________．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴；（2）当a >0时，设抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点为C ，若△ABC为等边三角形，求a 的值；（3）过点T （0，t ）（其中≤t ≤2）且垂直y 轴的直线l 与抛物线交于M ，N 两点，若对于满足条件的任意t 值，线段MN 的长都不小于1，结合函数图象，直接写出a 的取值范围．27．如图，在△ABC 中，AB =AC ．△ADE ∽△ABC ，连接BD ，CE ． （1）判断BD 与CE 的数量关系，并证明你的结论； （2）若AB =2，AD =，∠BAC =105°，∠CAD =30°． ①BD 的长为____________；②点P ，Q 分别为BC ，DE 的中点，连接PQ ，写出求PQ 长的思路．243y ax ax a =-+1-28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和图形W ，如果以P 为端点的任意．．一条射．线．与图形W 最多只有一个公共点，那么称点P 独立于图形W ．（1）如图1，已知点A (，)，以原点O 为圆心，OA 长为半径画弧交x 轴正半轴于点B ．在，，，这四个点中，独立于的点是________； （2）如图2，已知点C (，)，D (0，3)，E (3，0)，点P 是直线l ：上的一个动点．若点P 独立于折线CD －DE ，求点P 的横坐标P x 的取值范围； （3）如图3，⊙H 是以点H (，)为圆心，半径为1的圆．点T (，t )在y 轴上且3t >-，以点T 为中心的正方形KLMN 的顶点K 的坐标为(0，3t +)，将正方形KLMN 在x 轴及x 轴上方的部分记为图形W ．若⊙H 上的所有点都独立于图形W ，直接写出t 的取值范围．2-01(0,4)P 2(0,1)P 3(0,3)P -4(4,0)P 3-028y x =+040AB一、选择题（本题共16分，每小题2分）三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17．解：原式=2142⨯-…………………………………………………3分=213-+=4．…………………………………………………………………………5分18．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAC =∠ACB．…………………1分∵∠B =∠ACB，∴∠B =∠DAC．………………………2分∵∠EFB =∠D，∴△EFB∽△CDA．…………………3分（2）解：∵△EFB∽△CDA，∴EB BFCA AD=．…………………………………………………………………4分∵∠B =∠ACB，∴AB=AC．∵AB=20，AD=5，BF=4，∴4205EB=．∴EB=16．……………………………………………………………………5分19．解：（1）设二次函数的表达式为2(1)4y a x =+-， …………………………………1分 将点（1，0）代入，得20(11)4a =+-，解得1a =．所以二次函数的表达式为2(1)4y x =+-．………………………………………………………2分 （2）图象如图所示； …………………………………3分 （3）35y -<<． ………………………………………5分 20．解：（1）过点O 作OE ⊥AC 于点E ，如图1， …………1分则∵AC =∴CE = ……………………………………2分 在Rt △OCE 中，OC =4，∴OE∴点O 到AC 的距离为 ………………………3分（2）连接OA ，如图2．∵由（1）知，在Rt △OCE 中，CE =OE ， ∴∠OCE =∠EOC =45°． ∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA =45°． ∴∠AOC =90°． ∴∠B =45°． ……………………………………4分 ∴∠ADC =180°－∠B =180°－45°=135°． ………………5分 21．解：（1）∵铅球落地时的水平距离为10米，∴当x =10时，y =0．∴21201010123c =-⨯+⨯+． ………………………………………………1分 解得 53c =． …………………………………………………………………2分∴21251233y x x =-++．∵当x =0时，y =53，∴铅球出手时离地面的高度为53m ． ………………………………………3分（2）∵212511123312x x -++=，即2890x x --=，解得9x =或1x =-． …………………………………………………………4分∵1x =-不符合题意，舍去，∴此时铅球的水平距离为9m ． ………………………………………………5分22．（1）证明：∵四边形OCED 是平行四边形，∴CE ∥OD ，即CE ∥BO ， …………………………………………………1分CE =OD ．∵矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，∴BO =OD ． ………………………………………………………………2分∴CE =BO ．∴四边形OBCE 是平行四边形． …………………………………………3分（2）解：过点B 作BH ⊥AC 于点H ，如图．∵矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，∴OA =OB =OC ．∵∠AOB =60°，AB =2，∴AB =OA =OB =OC =2．∴OH =12OA =1，BH =2sin60°4分 ∵四边形OBCE 是平行四边形， ∴OF =12OC =1． 在Rt △BHF 中，HF =HO +OF =1+1=2，∴BF …………………………………5分23．解：（1）∵直线l ：2y x m =-+与x 轴交于点A （2-，0），∴02(2)m =-⨯-+，解得4m =-． ………………………………………1分令y =0，即2430x x ++=，解得 3x =-或1x =-． ……………………………………………………2分 ∵点B 在点A 的左侧，∴点B 的坐标为（3-，0）． …………………………………………………3分（2）①（0，1）； ……………………………………………………………………4分②2(1y x =-或2(1y x =-． …………………………………6分24．（1）证明：连接OD ，如图1．∵OB =OD ，∴∠1=∠2．…………………………………1分∵BD 平分∠ABC ，∴∠1=∠3．∴∠2=∠3． …………………………………2分∵DF ⊥BF ，∴∠F =90°．∴∠3＋∠BDF =90°．∴∠2＋∠BDF =90°，即∠ODF =90°．∴OD ⊥DF ．∴FD 是⊙O 的切线． ………………………………………………………3分（2）解：连接AD ，如图2．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°． …………………………4分∵∠1=∠3，sin ∠3=sin ∠DBF =35， ∴sin ∠1=35． ∴在Rt △ABD 中，35=． 设AD =3x ，则AB =5x ，BD4x ==． ∴34=． ∵BD =8，∴AD =384⨯=6． ………………………………………………………………5分 ∵∠3=∠4，∴∠4=∠1．∵在Rt △AED 中，∴DE =tan 4tan 1AD AD ⋅∠=⋅∠=39642⨯=． ………………………………6分 25．解：（1）②3x >或1x <； ……………………………………………………………1分 ③图象如图所示；………………………………………………2分补全表格如下：………………………………………………………………………………3分解集为：3x >或11x -<<；……………………………………………4分（2）①6x >或24x <<或2x <-； ……………………………………………5分 ②9x >或78x <<或7x <． ………………………………………………6分26．解：（1）∵422a x a-=-=， ∴抛物线的对称轴为直线x =2． ……………………………………………1分（2）令y =0，即2430ax ax a -+=，解得 1x =或3x =． …………………………………………………………2分 ∴点A ，B 的坐标分别为（1，0），（3，0）．∴AB =2．当a >0时，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，如图．∵△ABC 为等边三角形，∴AC =2，∠CAD =60°．∴CD =2sin60°=3分∴顶点C 的坐标为（2，．∴22423a a a ⨯-⨯+=．∴a =4分（3）83a ≤-或43a ≥． ……………………………………………………………6分 27．解：（1）BD =CE ； …………………………1分证明：如图1，∵△ADE ∽△ABC ，AE AC=． ∵AB =AC ，∴AD =AE ． ………………………2分∵∠1+∠3=∠2+∠3，∴∠CAE =∠BAD ．在△BAD 和△CAE 中，AB =AC ，∠BAD =∠CAE ，AD =AE ，∴△BAD ≌△CAE ．∴BD =CE ． ………………………3分（2）① …………………………………5分②求PQ 长的思路如下：a ．连接AP ，AQ ，如图2；b ．由AB =AC ，AD =AE ，点P ，Q 分别为 BC ，DE 的中点，可得AP ⊥BC ，AQ ⊥DE ，BAC DAE ； c ．由△ADE ∽△ABC ，可知AP AB AQ AD =，即AP AQ AB AD =； ，则∠1=∠2，APQ ∽△ABD ；d cos 2AQ AD ∠=，则由BD 的长和∠2的7分28．解：（1）2P ，3P ； ………………………………………………………………………2分（2）如图，∵C (，)，D (，3)，∴设直线CD 的表达式为3y kx =+， 将点C 代入，得033k =-+，解得1k =．∴直线CD 的表达式为3y x =+．设直线CD 与直线l 相交于点F ，则3,28,y x y x =+⎧⎨=+⎩ 解得 5,2.x y =-⎧⎨=-⎩∴点F 的坐标为（5-，2-）．…………3分∵点E 的坐标为（3，0)，同理可求直线DE 的表达式为3y x =-+，直线DE 与直线l 的交点G 的坐标为（53-，143）．………………………4分∵点P独立于折线CD －DE ，∴点P 的横坐标P x 的取值范围是5P x <-或53P x >-．……………………5分 （3）31t -<<或17t <．…………………………………………7分3-00。