概率与统计练习题
第七章直线回归与相关分析
一.填空题
1. 相关系数的取值范围是。
2. 用来说明回归方程代表性大小的统计分析指标是U 。
3. 统计上常用分析来研究呈因果关系的两个变量间的关系，用分析来研究呈平行关系的两个变量间的关系。
4. 对于简单直线回归方程，其回归平方和的自由度为。
5. 在直线回归方程中，自变量改变一个单位，依变量平均增加或减少的单位数可用来进行表示。
二．判断题
1.当直线相关系数r=0时，说明变量之间不存在任何相关关系。
2.如果两个变量的变动方向一致，同时呈上升或下降趋势，则二者是正相关关系。
3.相关系数r有正负、大小之分，因而它反映的是两现象之间具体的数量变动关系。
4.回归系数 b的符号与相关系数r的符号，可以相同也可以不同。
5.回归分析和相关分析一样，所分析的两个变量都一定是随机变量。
6.在直线回归分析中，两个变量是对等的，不需要区分因变量和自变量。
7.正相关指的是两个变量之间的变动方向都是上升的。
三．选择题
1. 在回归直线中y=a+bx 中，b<0，则x与y之间的相关系数。
A. r=0 B r=1 C 0< r <1 D -1 r <0
2 由样本求得r=-0.09，同一资料做回归分析时，b值应为。
A. b<0 B b>0 C b=0 D b≥0
3. 简单线性回归系数t检验，其自由度为。
A. n-2 B n-1 C n D 2n-1
4. 回归系数和相关系数的符号是一致的，其符号均可用来判断现象。
A. 线性相关还是非线性相关 B 正相关还是负相关 C 完全相关还是不完全相关 D 单相关还是负相关
5. 相关分析是研究。
A. 变量之间的数量关系 B 变量之间的变动关系 C 变量之间的相互关系的密切程度 D 变量之间的因果关系
6. 在回归直线y=a+bx 中，b 表示 。
A. 当x 增加一个单位时，y 增加a 的数量 B 当x 增加一个单位时，y 增加b 的数量
C 当x 增加一个单位时，y 的平均增加量
D 当x 增加一个单位时，x 的平均增加量
7. 当相关系数r=0时，表明 。
A. 现象之间完全无关 B 相关程度较小
C 现象之间完全相关
D 无直线相关关系
8. 若计算得一相关系数r=0.94，则 。
A. x 与y 之间一定存在因果关系 B 同一资料做回归分析时，求得回归系数一定为正值 C 同一资料做回归分析时，求得回归系数一定为负值 D 求得回归截距a>0
9. 根据样本计算得一相关系数r ，经t 检验，P<0.01，说明 。
A. 两变量有高度相关 B r 来自高度相关的相关总体
C r 来自总体相关系数ρ的总体
D r 来自ρ≠0的总体
10 若r A. 不存在任何关系 B 有直线相关关系 C 有确定的函数关系 D 不存在直线关系，但不排除存在某种曲线关系 11. 在X 和Y 的直线相关分析中，r 越大，则 。 A. 各散点越靠近回归直线 B 散点越离开回归直线 C 回归直线对X 轴越倾斜 D 回归直线对X 轴越平坦 12. 如果直线相关系数r=1,则一定有 。 A. SS 总=SS 残 B SS 残=SS 回 C SS 总=SS 回 D SS 总>SS 回 13. 直线回归分析中，回归系数b 的绝对值越大，则 。 A. 用回归直线估计的效果越好 B 用回归直线估计的效果越差 C 回归直线的斜率越大 D 回归直线越远离坐标原点 14. 最小二乘估计方法的本质要求是 。 A. 各点到直线的垂直距离的和最小 B 各点到x 轴的纵向距离的平方和最小 C 各点到直线的垂直距离的平方最小 D 各点到直线的纵向距离的平方和最小 15. 在简单线性回归分析中，剩余平方和反映了 。 A. 应变量y 的变异度 B 自变量x 的变异度 C 扣除x 影响后y 的变异度 D 扣除y 影响后x 的变异度 第八章可直线化的非线性回归分析 一填空题 1. 确定两个变量间曲线类型的常用方法有和。 2. 在进行非线性回归曲线的直线化时，对原始数据进行转换的方法通常有和 3. 可以反映回归曲线拟合程度的高低。 二．判断题 1. 直线关系是两变量间最简单的一种关系，但这种关系通常仅在变量一定的取值范围内成立 2.所有的曲线类型都可以通过变量转换成直线形式。 3. 对曲线进行直线化，必须结合双变量资料本身的特性。 第5章 概率与概率分布 练习题 5.1 写出下列随机事件的基本空间： （1） 抛三枚硬币。 （2） 把两个不同颜色的球分别放入两个格子。 （3） 把两个相同颜色的球分别放入两个格子。 （4） 灯泡的寿命（单位：h ）。 （5） 某产品的不合格率（%）。 5.2 假定某布袋中装有红、黄、蓝、绿、黑等5个不同颜色的玻璃球，一次从中取出3个球， 请写出这个随机试验的基本空间。 5.3 试定义下列事件的互补事件： （1） A ={先后投掷两枚硬币，都为反面}。 （2） A ={连续射击两次，都没有命中目标}。 （3） A ={抽查三个产品，至少有一个次品}。 5.4 向两个相邻的军火库发射一枚导弹，如果命中第一个和第二个军火库的概率分别是、， 而且只要命中其中任何一个军火库都会引起另一个军火库的爆炸。试求炸毁这两个军火库的概率有多大。 5.5 已知某产品的合格率是98%，现有一个检查系统，它能以的概率正确的判断出合格品， 而对不合格品进行检查时，有的可能性判断错误（错判为合格品），该检查系统产生错判的概率是多少 5.6 有一男女比例为51：49的人群，已知男人中5%是色盲，女人中%是色盲，现随机抽中 了一个色盲者，求这个人恰好是男性的概率。 根据这些数值，分别计算： （1） 有2到5个（包括2个与5个在内）空调器出现重要缺陷的可能性。 （2） 只有不到2个空调器出现重要缺陷的可能性。 （3） 有超过5个空调器出现重要缺陷的可能性。 5.8 设X 是参数为4=n 和5.0=p 的二项随机变量。求以下概率： （1）)2( 5.9 一条食品生产线每8小时一班中出现故障的次数服从平均值为的泊松分布。求： （1） 晚班期间恰好发生两次事故的概率。 （2） 下午班期间发生少于两次事故的概率。 （3） 连续三班无故障的概率。 5.10 假定X 服从12=N ，7=n ，5=M 的超几何分布。求： （1）)3(=X P 。（2）)2(≤X P 。（3）)3(>X P 。 5.11 求标准正态分布的概率： （1）)2.10(≤≤Z P 。 （2）)49.10(≤≤Z P 。 （3）)048.0(≤≤-Z P 。 （4）)037.1(≤≤-Z P 。 （5）)33.1(>Z P 。 5.12 由30辆汽车构成的一个随机样本，测得每百公里的耗油量数据（单位：L ）如下： 试判断该种汽车的耗油量是否近似服从正态分布 5.13 设X 是一个参数为n 和p 的二项随机变量，对于下面的四组取值，说明正态分布是否 为二项分布的良好近似 （1）30.0,23==p n 。（2）01.0,3==p n 。 （3）97.0,100==p n 。（4）45.0,15==p n 。 概率与统计 大题练习3 1．某校决定为本校上学所需时间超过30分钟的学生提供校车接送服务(所有学生上学时间均不超过60分钟)．为了解学生上学所需时间，从全校600名学生中抽取50人统计上学所需时间(单位：分)，将600人随机编号，为001,002，…，600，将抽取的50名学生的上学所需时间分成六组：第一组(0,10]，第二组(10,20]，…，第六组(50,60]，得到如图所示的频率分布直方图． (1)若抽取的50个样本是用系统抽样的方法得到的，且第一个抽取的编号为006，则第5个抽取的编号是多少？ (2)若从50个样本中属于第四组和第六组的所有人中随机抽取2人，设他们上学所需时间分别为a 分钟，b 分钟，求满足|a －b |>10的概率． (3)设学校配备的校车每辆可搭载40名学生，请根据抽样的结果估计全校应有多少辆这样的校车？ 解析：(1)因为600÷50＝12，且第一个抽取的编号为006， 所以第5个抽取的数是6＋(5－1)×12＝54，即第5个抽取的编号是054. (2)第四组的人数为0.008×10×50＝4，设这4人分别为A ，B ，C ，D ，第六组的人数为0.004×10×50＝2，设这2人分别为x ，y ， 随机抽取2人的可能情况有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，xy ，Ax ，Ay ，Bx ，By ，Cx ，Cy ，Dx ，Dy ，共15种，其中他们上学所需时间满足|a －b |>10的情况有Ax ，Ay ，Bx ，By ，Cx ，Cy ，Dx ，Dy ，共8种． 所以满足|a －b |>10的概率P ＝8 15 . (3)全校上学所需时间超过30分钟的学生约有600×(0.008＋0.008＋0.004)×10＝120(人)， 所以估计全校应有120÷40＝3辆这样的校车． 2．某教师统计甲、乙两位同学20次考试的数学成绩(满分150分)，根据所得数据绘制茎叶图如图所示． (1)根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数； (2)根据茎叶图比较甲、乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)； (3)现从甲、乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个，设事件A 为“选出的2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A 发生的概率． 解析：(1)甲同学成绩的中位数是116＋1122＝119，乙同学的中位数是128＋128 2 ＝128. (2)从茎叶图可以看出，乙同学成绩的平均值比甲同学成绩的平均值高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定． 第一章 1.设P （A ）=31，P （A ∪B ）=21 ，且A 与B 互不相容，则P （B ）=____6 1_______. 2. 设P （A ）=31，P （A ∪B ）=21 ，且A 与B 相互独立，则P （B ）=______4 1_____. 3．设事件A 与B 互不相容，P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，则P （B A ）=___0.5_____. 4．已知P （A ）=1/2，P （B ）=1/3，且A ，B 相互独立，则P （A B ）=________1/3________. 5．设P （A ）=0.5，P （A B ）=0.4，则P （B|A ）=___0.2________. 6．设A ，B 为随机事件，且P(A)=0.8，P(B)=0.4，P(B|A)=0.25，则P(A|B)=____ 0.5______． 7．一口袋装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这两只恰为一红一黑的概率是________ 0.6________． 8．设袋中装有6只红球、4只白球，每次从袋中取一球观其颜色后放回，并再放入1只同 颜色的球，若连取两次，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率等于____12/55____. 9．一袋中有7个红球和3个白球，从袋中有放回地取两次球，每次取一个，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率p=___0.21_____. 10．设工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量依次占全厂产量的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%.求：（1）从该厂生产的产品中任取1件，它是次品的概率； 3.5% （2）该件次品是由甲车间生产的概率. 35 18 高中数学统计与概率知识点（文） 第一部分:统计 一、什么是众数。 一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数。 众数的特点。 ①众数在一组数据中出现的次数最多；②众数反映了一组数据的集中趋势，当众数出现的次数越多，它就越能代表这组数据的整体状况，并且它能比较直观地了解到一组数据的大致情况。但是，当一组数据大小不同，差异又很大时，就很难判断众数的准确值了。此外，当一组数据的那个众数出现的次数不具明显优势时，用它来反映一组数据的典型水平是不大可靠的。 3.众数与平均数的区别。 众数表示一组数据中出现次数最多的那个数据；平均数是一组数据中表示平均每份的数量。 二、.中位数的概念。 一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据(当有偶数个数据时，为最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。 三 .众数、中位数及平均数的求法。 ①众数由所给数据可直接求出;②求中位数时，首先要先排序(从小到大或从大到小)，然后根据数据的个数，当数据为奇数个时，最中间的一个数就是中位数;当数据为偶数个时，最中间两个数的平均数就是中位数。③求平均数时，就用各数据的总和除以数据的个数，得数就是这组数据的平均数。 四、中位数与众数的特点。 ⑴中位数是一组数据中唯一的，可能是这组数据中的数据，也可能不是这组数据中的数据； ⑵求中位数时，先将数据有小到大顺序排列，若这组数据是奇数个，则中间的数据是中位数；若这组数据是偶数个时，则中间的两个数据的平均数是中位数； ⑶中位数的单位与数据的单位相同； ⑷众数考察的是一组数据中出现的频数； ⑸众数的大小只与这组数的个别数据有关，它一定是一组数据中的某个数据，其单位与数据的单位相同； （6）众数可能是一个或多个甚至没有； （7）平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量。 统计概率大题题型总结 题型一 频率分布直方图与茎叶图 例1.（2013广东理17）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如 图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值; (Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人; (Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有名优秀工人的概率. 例2.（2013新课标Ⅱ理）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出t 该产品获利润500 元,未售出的产品,每t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品,以X (单位:t,150100≤≤X )表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润. (Ⅰ)将T 表示为X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率; 1 7 9 2 0 1 5 3 0 第17题图 (Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若[100,110)X ∈,则取105X =,且105X =的概率等于需求量落入[100,110)的概率),求利润T 的数学期望. 变式1. 【2015高考重庆，理3】重庆市2013年各月的平均气温（o C ）数据的茎叶图如下： 08912 58 200338312 则这组数据的中位数是（ ） A 、19 B 、20 C 、21.5 D 、23 /频率组距0.010 0.0150.0200.0250.030100110120130140150需求量/x t 题目答案的红色部分为更正部分，请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1，理2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B ) A ．14 B ． π8 C ．12 D ． π 4 2.(2017课标3，理3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是( A ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.(2017课标2，理13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。 4.（2016年全国I 理14）5(2)x x + 的展开式中，x 3的系数是 10 .（用数字填写答案） 5.（2016年全国I 理14）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.（2016年全国2理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ， ()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )（A ） 4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n 6.（2016年全国3理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.（15年新课标1理10）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投 选修2-3 2.2.1 条件概率 一、选择题 1．下列式子成立的是( ) A ．P (A | B )＝P (B |A ) B ．0 3．已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (AB )等于( ) A.56 B.910 C.215 D.115 [答案] C [解析] 本题主要考查由条件概率公式变形得到的乘法公式， P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝13×25＝215，故答案选C. 4．抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率是( ) A.14 B.13 C.12 D.35 [答案] B [解析] 抛掷红、黄两颗骰子共有6×6＝36个基本事件，其中红色骰子的点数为4或6的有12个基本事件，两颗骰子点数之积包含4×6,6×4,6×5,6×6共4个基本事件． 所以其概率为4361236 ＝13. 5．一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是( ) 专题二概率统计专题 【命题趋向】概率与统计是高中数学的重要学习内容，它是一种处理或然问题的方法，在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用，渗透到社会的方方面面，概率与统计的基础知识成为每个公民的必备常识．概率与统计的引入，拓广了应用问题取材的范围，概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算及应用都是考查应用意识的良好素材．在高考试卷中，概率与统计的内容每年都有所涉及，以解答题形式出现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识别等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识别及概率计算．解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用．由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的，高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法．该部分在高考试卷中，一般是2—3个小题和一个解答题． 【考点透析】概率统计的考点主要有：概率与统计包括随机事件，等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，古典概型，几何概型，条件概率，独立重复试验与二项分布，超几何分布，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望和方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布，线性回归等．【例题解析】 题型1 抽样方法 -）中，在公证部门监督下按照随机抽取的方法确【例1】在1000个有机会中奖的号码（编号为000999 定后两位数为的号码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是（） A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．以上均不对 分析：实际“间隔距离相等”的抽取，属于系统抽样． 解析：题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码，中奖号码依次为：088，188，288，388，488，588，688，788，888，988．答案B． 点评：关于系统抽样要注意如下几个问题：（1）系统抽样是将总体分成均衡几个部分，然按照预先定出的规则从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的一种抽样方法．（2）系统抽样的步骤：①将总体中的个体随机编号；②将编号分段；③在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；④按事先研究的规则抽取样本．（3）适用范围：个体数较多的总体． 例2（2008年高考广东卷理3）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（） A．24B．18C．16D．12 Array 分析：根据给出的概率先求出x的值，这样就可以知道三年级的学生人数，问题就解决了． x=?=，这样一年级和二年级学生的解析：C 二年级女生占全校学生总数的19%，即20000.19380 +++=，三年级学生有500人，用分层抽样抽取的三年级学生应是总数是3733773803701500 64 50016 ?=．答案C． 2000 点评：本题考查概率统计最基础的知识，还涉及到一点分析问题的能力和运算能力，题目以抽样的等可能性为出发点考查随机抽样和分层抽样的知识． 例3．（2009江苏泰州期末第2题）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系， 2500,3500（元）月收入段应抽要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[) 出人． 概率与统计练习题 (出题人 董贞) 一、填空题 1、小明五次测试成绩如下：91、89、88、90、92，则这五次测试成绩的平均数是_______________。 2五名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下（单位：㎝）：2、-2、-1、1、0，则这组数据的极差为_________________㎝。 3、十位同学分别购买如下尺码的鞋子：20、20、21、22、22、22、22、23、23、24（单位：㎝）这组数据的平均数、中位数、众数三个指标中，鞋店老板最喜欢的是______________。 4、已知一组数据：-2、-2、3、-2、x 、-1，若这组数据的平均数是0.5，则这组数据的中位数是____________。 5、小张和小李去练习射击，第一轮10枪打完后两人的成绩如图所示，根据图中的信息，估计两人中谁的方差小___________________。 6、抛掷两枚分别标有1、2、3、4的四面体骰子，写出这个实验中的一个可能事件是___________________。 7、长度分别是1、3、5、7、9的五条线段，从中任取三条，则恰能围成三角形的概率是______________________。 8、小明和小丽按如下规则做游戏：桌上放有5支铅笔，每一次取一只或两只，有小明先取，最后取完铅笔的人获胜。如果小明获胜的概率为1，那么小明第一次应该取走___________只。 9、下表示对某校10名女生进行身高测量的数据表（单位：厘米），但其中一个数据不慎丢失（有x 表示）。 从这10名女生中任意抽出一名身高不低于162㎝的事件的可能性，可以用下图中的点____表示 (在A 、B 、C 、D 、E 五个字母中选择一个符合题意的) 。 10、某路公交车每20分钟一班，王义由于要急着上班，他最多只有5分钟的候车时间，否则他只能打出租车上班，那么他打出租车上班的概率是_________。 二、选择题 11、十字路口的信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮秒25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率是（ ） 12、一个均匀的立方体六个面上分别标有数1、2、3、4、5、6。如图是这个立方一半的概率是（ ）。 13、甲、乙、丙、丁四名运动员参加4×100米接力赛，甲必须为第一接力棒或第四接力棒的运动员，那么这四名运动员在比赛过程中的接棒顺序有( )。 A 、3种 B 、4种 C 、6种 D 、12种 14、王大爷在工商银行存入5000元人民币，并在存单上留下4位数的密码，每个数字都是0～9这十个数字中的一个，但由于年龄的原因，王大爷忘了密码中间的两个数字，那么王大爷最多可能试验（ ）次，才能正确输入密码。 A 、1次 B 、50次 C 、100次 D 、200次 15、体育课上，八年级一班两个组各10人参加立定跳远，要判断哪一组成绩比较整齐，通常需要知道这两个组立定跳远成绩的是（ ）。 A 、频率分布 B 、平均数 C 、方差 D 、众数 身高/㎝ 156 162 x 165 157 168 165 163 170 159 0 1 23 4 5 6 7 8 9 10 2 4 6 8 10 · · · · · · · · · · ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ·小张 ◎小李 2 1 6 4 5 3 高中数学之概率与统计 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： 计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式 ()m P A n = 求值; 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的 概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质?? ?? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算 ?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 例1． 在五个数字12345，，，，中，。 例2． 若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． [解答过程]0.3提示:13 35C 33. 54C 10 2P ===? 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。 概率论与数理统计习题 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） 1．设)4,5.1(~N X ，且8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，则P{-2 课题：1．7概率与统计 教学目的： 1能运用简单随机抽样、分层抽样的方法抽取样本； 2. 能通过对样本的频率分布估计总体分布； 3. 培养学生动手能力和解决实际问题能力通过例题，对本章部分内容进行一次复习．培养学生的探究能力以及分析与解决实际问题的能力 教学重点：统计在实际生活中的应用 教学难点：学生解决实际问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 二、讲解范例： 例1某中学高中部共有16个班级，其中一年级6个班，二年级6个班，三年级4个班.每个班的人数均在46人左右（44人－49人），各班的男女学生数均基本各占一半.现要调查这所学校学生的周体育活动时间，它是指学生在一周中参加早锻炼、课间操、课外体育活动、体育比赛等时间的总和（体育课、上学和放学路上的活动时间不计在内）.为使所得数据更加可靠，应在所定抽样的“周”之后的两天内完成抽样工作.此外还有以下具体要求： （1）分别对男、女学生抽取一个容量相同的样本，样本容量可在40－50之间选择 （2）写出实习报告，其中含：全部样本数据；相应于男生样本的 - - 1 x与 1 s，相 应于女生的 - - 2 x与 2 s，相应于男、女全体的样本的 - - x；对上面计算结果作出分 析. 解：（1）由于各个年级的学生参加体育活动的时间存在差异，应采用分层抽样；又由于各班的学生数相差不多，且每班的男女学生人数也基本各占一半，为便于操作，分层抽样时可以班级为单位.关于抽取人数，如果从每班中抽取男、女学生各3人，样本容量各为48（3×16），符合对样本容量的要求. （2）实习报告如表一所示. 1 .在本班范围内，就每名学生所在家庭的月人均用水量进行调查.调查的具 概率与统计知识点： 1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示。 2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量． 3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x 1,x 2,..... ,x i ,......,x n X 取每一个值 x i (i=1,2,......）的概率P(ξ=x i ）＝P i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列 4、分布列性质① p i ≥0, i =1，2， … ；② p 1 + p 2 +…+p n = 1． 5、二项分布：如果随机变量X 的分布列为： 其中0 高中数学必修三：概率与统计 1．要从已编号(1－50)的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是( ). A．5，10，15，20，25B．3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5D．2，4，8，16，32 2．从鱼塘捕得同一时间放养的草鱼240尾，从中任选9尾，称得每尾鱼的质量分别是1.5，1.6，1.4，1.6，1.3，1.4，1.2，1.7，1.8(单位：千克)．依此估计这240尾鱼的总质量大约是( ).A．300克B．360千克C．36千克D．30千克 3．以下茎叶图记录了甲.乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分) 已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则,x y的值分别为（）A．2,5B．5,5C．5,8D．8,8 4．为了考查两个变量x和y之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立作了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1，l2，已知两人得的试验数据中，变量x和y的数据的平均值都分别相等，且值分别为s与t，那么下列说法正确的是( ). A．直线l1和l2一定有公共点(s，t)B．直线l1和l2相交，但交点不一定是(s，t) C．必有直线l1∥l2 D．直线l1和l2必定重合 5..设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为$y=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是( ).A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（x，y）C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg 《统计与概率》练习题 说明：本卷练习时间120分钟，总分150分 班级 座号 姓名 成绩 一、填空题（每小题3分，共36分） 1. 在2．0012．0022．．0032．0042．0052．006的数字串中,2的频率是__________. 2. 为了解某校初三年级300名学生的身高状况,从中抽查了50名学生, 所获得的样本容量是______________. 3. 若1000张奖券中有200张可以中奖,则从中任抽1张能中奖的概率为_________. 4. 一射击运动员在一次射击练习中打出的成绩（单位:环）是： 7,8,9,8,6,8,10,7,这组数据的众数是_____ ____. 5. 一口袋中放有3只红球和4只黄球,这两种球除颜色外没有任何区别. 随机从口袋中任取一只球,取到黄球的概率是________. 6. 如果一组数据3,x ,1,7的平均数是4,则x=__________. 7. 某班的联欢会上,设有一个摇奖节目,奖品为钢笔、图书和糖果, 标于一个转盘的相应区域上（转盘被均匀等分为四个区域，如图）. 转盘可以自由转动。参与者转动转盘，当转盘停止时，指针落在哪一区域，就获得哪种奖品,则获得钢笔 的概率为____________. 8. 下表给出了某市2005年5月28日至6月3日的最高气温, 9. 掷一枚各面分别标有1,2,3,4,5,6的普通的正方体骰子, 掷出的数字为偶数的概率是_______________. 10. 某学生在一次考试中,语文、数学、英语三门学科的平均成绩是80分,物理、化学两门学科的平均成绩为 85分,则该学生这五门学科的平均成绩是___________分. 11. 对甲、乙两台机床生产的零件进行抽样测量,其平均数、方差计算结果如下： 机床甲 :x 甲=10，2 S 甲=0.02；机床乙：x 乙=10，2 S 乙=0.06， 由此可知：________（填甲或乙）机床性能好. 12. 掷一枚均匀的硬币两次,两次正面都朝上的概率是__________. 二、选择题（每小题4分，共24分） 13. 六个学生进行投篮比赛,投进的个数分别为2、3、10、5、13、3, 这六个数的中位数为（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 14. 下列事件中,为必然事件是（ ）． （A ）打开电视机，正在播广告. （B ）从一个只装有白球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球. （C ）从一定高度落下的图钉，落地后钉尖朝上. （D ）今年5月1日，泉州市的天气一定是晴天. 15. 下列调查方式合适的是（ ） （A ）了解炮弹的杀伤力,采用普查的方式. （B ）了解全国中学生的睡眠状况,采用普查的方式. （C ）了解人们保护水资源的意识,采用抽样调查的方式. (第7题) 概率与统计 1.如果一个整数为偶数的 概率为 (1)a+b 为偶数的概率； (2)a+b+c 为偶数的概率。 0.6 ，且 a,b,c 均为整数，求 2.从 10 位同学 (其中 6 女，4 男)中随机选出 3 位参加测验，每位女同学能通过测验的概率 43 均为，每位男同学能通过测验的概率均为，求55 (1)选出的 3 位同学中，至少有一位男同学的概率； (2)10 位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率。 3.袋中有 6 个白球， 4 个红球，甲首先从中取出 3 个球，乙再从余下的 7 个球中取出 4 个球，凡取得红球多者获胜。试求 (1)甲获胜的概率； (2)甲，乙成平局的概率。 4.箱子中放着 3 个 1 元硬币， 3 个 5 角硬币， 4 个 1 角硬币，从中任取 3 个，求总钱数超过 1 元 8 角的概率。 5.有 10 张卡片，其号码分别位 1，2，3?，10，从中任取 3 张。 (1)求恰有 1 张的号码为 3 的倍数的概率； (2)记号码为 3 的倍数的卡片张数为ξ，求ξ的数学期望。 6.某种电子玩具按下按钮后，会出现白球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球 1 的概率都是，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下次出现红球、绿球的概率2 1 2 3 2 分别为, ；若前次出现绿球，则下次出现红球、绿球的概率分别为, ，记第 n(n ∈ 3 3 5 5 N,n ≥1) 次按下后，出现红球的概率为P n (1)求P2的值； (2)当 n∈N,n ≥2 时，求用P n 1表示P n的表达式； (3)求P n关于 n 的表达式。 7.有甲、乙两个盒子 ,甲盒子中有 8 张卡片 ,其中两张写有数字 0,三张写有数字 1 ，三张写有数字 2 ；乙盒子中有 8 张卡片，其中三张写有数字 0，两张写有数字1，三张写有数字 2 ， (1) 如果从甲盒子中取两张卡片，从乙盒子中取一张卡片，那么取出的 3 张卡片都写有 1 的概率是多少？ (2)如果从甲、乙盒子中各取一张卡片，设取出的两张卡片数字之和为ξ，求ξ的分布列和期望。 8.甲、乙两位同学做摸球游戏，游戏规则规定：两人轮流从一个放有 1 个白球， 3 个黑球， 2 个红球且只有颜色不同的 6 个小球的暗箱中取球，每次每人只取一球，每取出一个后立即放回，另一个人接着取，取出后也立即放回，谁先取到红球，谁为胜者，现甲先取 (1) 求甲摸球次数不超过三次就获胜的概率； (2) 求甲获胜的概率。 9.设有均由 A,B,C 三个部件构成的两种型号产品甲和乙，当A或 B 是合格品并且 C 是合格 品时，甲是正品；当 A， B 都是合格品或者 C 是合格品时，乙是正品。若 A 、 B、C 合格的概率均是 P，这里 A ，B，C 合格性是互相独立的。 (1) 产品甲为正品的概率P1是多少？ (2)产品乙为正品的概率P2 是多少？ (3)试比较P1与P2的大小。 10.一种电路控制器在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入了一箱，为了找出该箱的二等品，我们对该箱中的产品逐一取出进行测试。 (1) 求前二次取出的都是二等品的概率； (2) 求第二次取出的是二等品的概率； (3)用随机变量ξ表示第二个二等品被取出时共取的件数，求ξ的分布列及数学 概率与统计练习题 1．某省重点中学从高二年级学生中随机地抽取120名学生，测得身高情况如下表所示. （1）请在频率分布表中的①，②位置上填上适当的数据，并补全频率分布直方图; （２）现从180cm～190cm这些同学中随机地抽取两名，求身高为185cm以上(包括185cm)的同学被抽到的概率. 2．某校为了更好地落实新课改，增加研究性学习的有效性，用分层抽样的方法从其中A、B、C三个学习小组中，抽取若干人进行调研，有关数据见下表（单位：人） （1）求表中,x y的值 （2）若从B、C学习小组抽取的人中选2人作感想 发言，求这2人都来自C学习小组的概率. 3．为加强中学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进教育教学改革，教育部门主办了全国中学生航模竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序．通过预赛，选拔出甲、乙、丙和丁四支队伍参加决赛． （Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率； （II）求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率． 4．学校推荐学生参加某著名高校的自主招生考试，初步确定了文科生中有资格的学生40人，其中男生10名，女生30名，决定按照分层抽样的方法选出一个4人小组进行培训。（1）求40人中某同学被选到培训小组的概率,并求出培训小组中男,女同学的人数； （2）经过一个月的培训，小组决定选出两名同学进行模拟面试，方法是先从小组里选出一名同学面试，该同学面试后，再从小组里剩下的同学中选一名同学面试，求选出的同学中恰有一名男同学的概率； （3）面试时，每个同学回答难度相当的5个问题并评分，第一个同学得到的面试分数分别为：68,70,71,72,74，第二个同学得到的分数分别为69,70，70,72,74，请问那位同学的成绩更稳定？并说明理由. 概率与统计 一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数：一组数据中，出现次数最多的数。 ２、平均数：①、常规平均数：12n x x x x n ++???+= ②、加权平均数:112212n n n x x x x ωωωωωω++???+=++???+ 3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。 4、方差：2222121 [()()()]n s x x x x x x n = -+-+???+- 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积:f S y d ==?距；频率=频数／总数 2、频率之和:121n f f f ++???+=;同时 121n S S S ++???+=; 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。 ２、平均数: 112233n n x x f x f x f x f =+++???+ 112233n n x x S x S x S x S =+++???+ 3、中位数：从左到右或者从右到左累加,面积等于0.5时x 的值。 4、方差：22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+???+- 四、线性回归直线方程：???y bx a =+ 其中:1 1 2 22 1 1 ()() ?() n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---∑∑== --∑∑ , ??a y bx =- １、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ； 2、?0:b >正相关;?0:b <负相关。 3、线性回归直线方程：???y bx a =+的斜率?b 中,两个公式中分子、分母对应也相等;中间可以推导得到。 五、回归分析 １、残差：??i i i e y y =-(残差=真实值—预报值)。分析:?i e 越小越好； 2、残差平方和：21?()n i i i y y =-∑, 分析：①意义:越小越好; ②计算:222211221 ????()()()()n i i n n i y y y y y y y y =-=-+-+???+-∑ ３、拟合度(相关指数）:221 2 1 ?()1() n i i i n i i y y R y y ==-∑=- -∑,分析:①．(]20,1R ∈的常数; ②．越大拟合度越高； 4、相关系数 ：()() n n i i i i x x y y x y nx y r ---?∑∑= = 分析：①．[r ∈-的常数； ②.0:r >正相关；0:r <负相关 ③.[0,0.25]r ∈;相关性很弱; (0.25,0.75)r ∈；相关性一般; [0.75,1]r ∈；相关性很强; 六、独立性检验 1、２×２列联表： 2、独立性检验公式 ①．2 2() ()()()() n ad bc k a b c d a c b d -=++++统计学统计学概率与概率分布练习题
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