一次分式函数(人教A版必修第一册) - 副本 - 副本 - 副本

一次分式函数
【方法点拨】
1． 一次分函数的定义
我们把形如(0,)cx d
y a ad bc ax b +=≠≠+的函数称为一次分式函数. 2． 一次分式函数(0,)cx d
y a ad bc ax b
+=≠≠+的图象和性质
（1）图象：.
（2）性质：
①定义域：⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x ；2.3 值域：⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≠
a c y y ； ②对称中心：⎪⎭
⎫
⎝⎛-
a c a
b ,； ③渐近线方程：b x a =-
和c y a
=； ④单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b
a
-∞-和(,)b
a
-
+∞分别单调递减；当ad<bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)b
a
-+∞分别单调递增.
【典型例题】
例 1 设函数)(1)(R x x
x
x f ∈+-
=，区间M=[a ，b ](a <b )，集合N ={M x x f y y ∈=),(}，则使M =N 成立的实数对(a ，b )有几个？
【解析】函数f （x ）= (0)11(0)1x x x x x
x x x
⎧-≥⎪⎪+-=⎨+⎪-<⎪-⎩
其图象如下图所示，由图象可知，y =f （x ）在Ｒ上是连续单调递减函数。

而N =｛y |y =f （x ），x ∈M ｝表示函数定义域为Ｍ＝［a ，b ］时其值域为Ｎ。

由Ｍ＝Ｎ得解得a =b =0，这与a <b 矛盾，所以0个.
例2 已知函数2()1
ax a
f x x +-=
+，其中a R ∈.
(1)当函数()f x 的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a 的值； (2)若函数()f x 在(－1,+∞)上单调递减，求a 的取值范围. 【答案】（1）a ＝3； （2）{}
1a a <. 【分析】(1)部分分式2(1)2222()111
ax a a x a a
f x a x x x +-++--=
==+
+++ 所以()f x 的对称中心为(－1，a )，与P(－1，3)比较得a ＝3.
(2)由2()1
ax a
f x x +-=
+知x ＝－1为()f x 的一条渐近线，又由一次分函数的性质知，当且仅当
1(2)1a a ⨯->⨯，即a <1时，()f x 在(－1,+∞)上单调递减，故a 的范围是{}1a a <.
点评：
一次分式型函数的最常用变形手段“部分分式”（其核心就是分子‘凑’分母），其常用方法有凑配、换元、长除法等.
例3 求函数2121
x x y -=+的值域.
【答案】（－1,1）
【分析】令2(0)x
t t =>，则2121x x y -=+为11
t y t -=+与2(0)x t t =>复合而成
而12
111
t y t t -=
=-
++，故在0t >递增，所以1y >- 又当t →+∞时，1y →
故2121
x x y -=+的值域是（－1,1）
.
【巩固练习】
1．函数y=432
-+x x 的值域 ．
2．函数y=432
-+x x （21><x x 或）的值域 ．
3．函数y=42
-+-x x 的对称中心是 ．
4．函数y=4
2
-+-x x 的单调增区间是 ．
5．已知函数()x f =a
x x -+-2
，若*∈∀N x ，()()5f x f ≤恒成立，则a 的取值范围是 ．
5．若函数2
+-=
x b
x y 在区间()4,+b a ()2-<b 上的值域为()+∞,2，则=b a ______________． 6．记函数)(x f 的定义域为D ，若存在D x ∈0，使()00x x f =成立，则称以()00,y x 为坐标的点是函数)(x f 的图象上的“稳定点”.若函数()a
x x x f +-=1
3的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，求实数a 的取值范围.
【答案与提示】
1．【答案】 13y y ⎧⎫
≠⎨⎬⎩⎭
2．【答案】 ()()2,11,3⋃- 3．【答案】（4，-1）
4．【答案】 ()()+∞∞-,4,4, 5．【答案】65<<a 5．【答案】
16
1
6．【答案】
【解析】由题意：方程
x a
x x =+-1
3，即()0132=+-+x a x 有两个不等于-a 的相异实根， ()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≠+--+->--=∆∴0
130432
2
a a a a 3115-≠<>⇒a a a 且或.。