固体物理的思考题
1.解理面是面指数低的晶面还是面指数高的晶面，为什么？答：解理面是指面与面之间的相互作用力比较弱，容易解离的面，若面间距比较大，则容易形成解理，晶面指数越大，面间距越小，晶面指数越小，面间距越大，所以是面指数低的晶面容易解离。
2.高指数的晶面族与低指数的晶面族相比，对于同级衍射，那一晶面族衍射光弱？为什么？答：由布拉格衍射公式，其中θ为入射x射线的掠射角，高指数的晶面族晶面间距d比较小，对于同级衍射，d越大，则越小，光的透射能力就越弱，此时形成的衍射光就比较弱。
也可以从另一方面考虑，晶面指数越大，晶面间距越小，原子密度也越小，此时对入射光的反射作用就比较弱，所以高指数晶面组的衍射光弱。
3.对于x射线衍射，可否将入射光改为可见光？答：不可以，主要由于原子的间距在Å的数量级，根据布拉格衍射公式，可知入射光波的波长也应在Å的数量级，然而可见光的波长一般为几百nm所以不可以改为可见光入射，常用的入射光一般为Cu的线1.54Å。
4.在一般的单式格子中是否存在强烈的红外吸收，为什么？答：在离子晶体中的长光学支格波有特别重要的作用，因为不同离子间的相对振动产生电偶极矩，从而可以和电磁波相互作用，长光学波与红外光波的共振，引起对入射波的强烈吸收，但是对于单式格子（简单晶格）而言，由于是只包含单个原子，并不存在光学支格波，所以不会引起对红外光波的强烈吸收。
5.色散曲线中，能否判断哪知格波的模式密度比较大，是光学支格波还是声学支格波？答：在色散曲线中，光学支格波的色散曲线比较平缓，而声学支的色散曲线比较陡峭，模式密度表示在频率ω附近单位频率间隔内的格波数，由于光学支格波色散曲线变化平缓，对应小的ω区间就具有了较大的波矢q的变化，所以光学支格波的模式密度比较大。
6.拉曼散射中光子会不会产生倒逆散射？答：拉曼散射是长光学波声子与光子（红外光）的相互作用，长光学波声子的波矢很小，响应的动量小，产生倒逆散射的条件要求波长小，波矢大，散射角大，拉曼散射不满足条件所以不会产生倒逆散射。
7.长声学支格波能否产生离子晶体的宏观极化？答：光学支格波描述了原子的相对运动，在离子晶体中，它使正负离子之间产生了相对位移，所以使晶体呈现宏观极化，但是长声学支格波描述了原子的同向运动，原子之间的位移相同，没有相对位移，所以长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化。
8.在绝对零度时还有格波存在吗？若存在，格波间还有能量交换吗？答：格波能量，当时，，此时格波能量为零点能，此时格波的能量只剩下零点能，格波之间的能量交换是以为单位进行交换的，即是声子的产生的湮灭，但是此时声子数为零，所以格波间没有了能量交换。
9.晶体中的声子数目是否守恒？答：平均声子数目，利用德拜模型，总的声子数目N=，此时容易推得声子数n与成正比。
第三章晶格振动这一章主要介绍了晶体内原子的运动形式以及能量的传输特性，并且引入了格波和声子的概念。
一．不考虑格波之间的相互作用1.以一位双原子链为例介绍晶体内原子的运动形式（在牛顿经典力学的框架内考虑F=ma）：采用的模型：一维双原子链的振动模型；近似条件：近邻近似（只考虑近邻原子之间的相互作用）以及简谐近似（只考虑是势能函数的二级偏倒）在求解过程中假设波长，此时将一个非连续的方程转变为连续方程，并且经过推导得到了波动方程利用波动方程求得方程的解，即：，但是此时是根据得到的解，假若与a比较接近时，则晶体不可以看成是连续的得到了试探解，但是在周期性晶体结构中波长为不连续的分立的，从而引入了玻恩卡曼边界条件，进而得到10.格波的性质a.波速，群速度以及相速度之间的关系；b.色散关系之间的关系声学支格波和光学支格波声学支格波与光学支格波最显著的区别在对于光学支格波而言而声学支格波。
最重要的区别在于描述了晶体内格波的不同运动状态。
c.格波数此时以三维晶体为例来说明，假设初级元胞中包含了s个原子，此时一个q对应3s个频率，对应3s支格波，其中包含3支声学支格波，支光学支格波，由于在第一布里渊区中包含有N（初级元胞树目）个波矢q，则总的格波数为3NS。
d.格波态密度的概念在附近，单位频率间隔内的格波数目求解格波态密度是很困难的，主要体现在两个方面：一是色散关系不确定，二是曲面不一定是规范的图形，有可能是不规则的。
11.对晶格振动的简谐近似的量子修正a.晶体中简谐振动的3NS个格波的总能量，通过引入简正坐标消去交叉项后很容易的证明了晶格振动能量可以看成3NS个谐振子的能量，从而进行量子力学修正，谐振子的能量利用量子力学的结果表示：相邻状态的能量差为，它为谐振子哦能量量子，称为声子。
声子同样遵循能量守恒与准动量守恒。
此时三维晶体的3NS个格波与3NS个量子谐振子一一对应，所以上式描述了频率为的格波的能量。
总体而言，对于晶格振动的考虑是基于牛顿力学+量子力学修正的综合，简称为半经典理论，其中量子力学的修正就体现在谐振子的能量采用的是量子谐振子能量。
12.考虑晶体的热容定容热容：单位质量的物体在定容过程中，能量升高，系统内能的增量。
此时的主要困难就是求解十分复杂。
所以引入了两个模型——爱因斯坦模型以及德拜模型a.爱因斯坦模型的基本思想晶体内所有原子都以相同的频率独立振动，则晶体内所有格波的频率均相同。
同时引入了爱因斯坦温度。
b.德拜模型的基本思想把晶体视为各向同性的连续弹性媒质，此时的色散关系为线性的，，根据态密度函数得，代入热容公式求得。
c.两种模型之间的对比1．高温情况下两者均与杜隆-柏替定律相一致，热容为一个常数；2．低温情况下对平均声子数进行讨论的过程中，定性的认为，当的那些格波在温度T时才会被激发，并且只有这些格波才会对热容有贡献，而的格波将会被冻结，对热容无贡献。
在爱因斯坦模型中假设所有的格波均以相同的频率独立的振动，也就是说在任何温度下所有的格波均会被激发，所以这也是爱因斯坦模型在低温下定量上与试验不相符的原因。
固体中的原子之间存在很强的相互作用，一个原子不可能孤立的振动而不带动近邻原子。
因此爱因斯坦模型中把固体中各原子的振动视作相互λ波的频率分布，把晶体当作弹性媒质来处理，在低温情况下，温度越低，被激发的格频率也越低，对应的波长越长，把晶体视作连续媒质的近似程度越好。
所以温度越低，德拜模型近似程度越好。
二．非简谐近似利用简谐近似以及量子理论修正成功的描述的晶体内原子的运动状态（格波）以及相应的色散关系，引入了声子，并且成功解释了宏观热容（爱因斯坦模型以及德拜模型），但是这一近似却不能解释热膨胀与热传导等宏观现象。
但是会发现，假若晶体内部的格波之间为相互独立的不发生任何的相互作用或者能量交换，这与宏观材料的热膨胀现象以及热传导现象相矛盾，所以将理论进行进一步的修正，引入了势能的高次项。
a.晶体体膨胀系数等压条件下，当温度升高一度时提及的相对增量，即。
通过求解得到b.热传导热能流密度：单位时间垂直通过单位面积的热能，为热导率，衡量晶体导热性能的物理量，负号表示热能是逆着温度梯度的方向传播。
经过一系列的推倒之后，l固体能带理论1．基本思想固体能带理论主要讨论晶体中电子的状态与能谱，基本思想就是首先采用绝热近似以及单电子近似，将多体问题首先简化为多电子问题，进而再简化为单电子问题。
具体方法就是就接薛定谔方程，求解本征能量之间的关系，其中求解薛定谔方程首先需要确定的是：周期势场是什么形式以及采用何种本征波函数。
2．Bloch定理Bloch发现在周期势场（不管周期势场是何种形式）中运动的电电子波函数，不再是简单的平面波而是按照周期势场进行调幅的平面波。
具体形式，其中具有正晶格的周期性，晶体中的电子波称为布洛赫波，晶体中的电子称为布洛赫电子。
晶体中的电子满足布洛赫定理具有以下的性质：a.电子出现的机率具有正晶格周期性b.布洛赫定理可以表示为c.波函数本身并没有正晶格周期性所以说波函数本身并没有实际的物理意义。
d.态与态相同，利用公式表示即是，e.，在倒空间选用合适的坐标系，能量具有的中心反演对称性。
f.电子的能量具有正晶格相同的对称性。
3．需要根据实际的物理特性选用合适的周期势场函数以及波函数主要介绍的几种模型：近自由电子模型、紧束缚模型（原子轨道的线性组合模型）以及克隆尼克-潘纳模型a.近自由电子模型的发展特鲁德模型（自由电子气模型）：价电子构成自由电子气，无规则的热运动与原子实碰撞，满足经典的波尔兹曼统计分布，并且采用的是牛顿方程；两次碰撞之间，电子不受力的作用，电子能量只有动能，同时假设受到边界条件的限制，由周期边界条件K不连续。
成功解释了金属的导电、导热线性，但是忽略了原子实周期势场和电子间的相互作用，不能正确解释金属的比热。
索末菲模型（自由电子费米气模型），在特鲁多模型的基础上进行量子修正，假设周期势场很弱并且是一个常数（假设为0），满足周期性边界条件，满足费米-狄拉克分布，而不是经典的玻氏分布，满足泡利不相容原理，采用了薛定谔方程进行求解。
近自由电子模型：是在索末菲模型的基础上进行改进，此时将周期势场看作微扰，并且具有倒格子周期性，零级能量和波函数与自由电子的能量和波函数完全相同，最后求解得到的波函数是自由电子平面波与相差倒格矢的散射波的叠加，此时的电子波函数是布洛赫电子波函数，具有布洛赫电子波函数的一切性质。
禁带出现的解释：理论的数学推导，发现当波矢位于布里渊区边界时，由于周期势场的作用，和K态的能量发生变化，具有的能量跳跃，出现了宽度为禁带。
因此说禁带是周期势场作用的结果，两个允许带被禁带隔开，禁带对应的能量状态是晶体中电子不能占据的；物理解释：求解布里渊区边界上的电子波函数，电子波函数模值的平方代表了电子出现的机率，上面两式给出了电子云的驻波分布，对应的电子分布为大部分负电荷远离带正电荷的原子实，对应的电子分布为大部分负电荷靠近带正电的原子实，所以的势能比的势能高，这是布里渊区边界上能量产生不连续跳跃的原因。
在一维情况下布里渊区边界处能量的跳跃一定伴随着禁带的产生，但是对于二维三维晶体而言则不一定，虽然在布里渊区边界产生能量的跳跃，但是由于能量交叠，所以不一定产生禁带。
b.紧束缚模型（原子轨道的线性组合模型）适用于绝缘体电子被紧紧的束缚在原子核周围，当其形成晶体时，各原子核对电子的束缚能力仍然很强，此时晶体中的电子状态和孤立原子中的电子状态很相似，计算晶体能带时，仍然利用微扰理论求解薛定谔方程，波函数的零级近似采用孤立原子的波函数，势能函数为作为微扰，式中为晶体中的所有原子在处的势能函数，为处的孤立原子在处产生的势能函数。
将孤立原子的电子波函数和能量看作零级近似，对于由N个初基原胞组成的晶体（假设为简单晶体），对于每个原子都具有的形式，且每个原子中电子的能量均相同，也就是N重简并的，利用简并微扰理论的处理方法，微扰后的状态时N个简并态的线性组合，即用孤立原子轨道的线性组合来构成晶体中电子运动的轨道，这种方法称为原子轨道的线性组合法。
中山大学固体物理第五章参考答案
定态薛定谔方 程为：
d 2 d2x
2m 2
E
U ( x)
0
U(x)
U0
1区 2区3区
b x
0 ca
1( x) Aeix Beix , 2( x) Aei'x Bei'x , 3( x) eika ( Aeix Beix ), 这里 2mE / , ' 2m(E U0) /
进行一些推导和必要简化，最后可 以得出下式
maU0b
2
sin
a
a
cos(
a)
cos(ka)
式中
2mE
而 k 2
是电子波的波矢。
上式就是电子的能量 E 应满足的方程,也是电子能量 E 与波矢 k 之间的关系式。
f( E)
E
图 5 f(E)函数图
由图看出，在允许取的 E值之间，有一些不允许取 的 E值，称为能隙。
– （2）试讨论分别同A、B两种材料组成的一维 超晶格量子阱的能带变化。*(如下图)
AB
ECA
EVA
8
a
a
ECB
克朗尼格-朋奈模型
EVB (基泰尔，固体物理导论，P119)
克朗尼格-朋奈模型
U(x)
周期性方势阱
U0
2区
1区 3区
b
x
0 ca
在 0 < x < a 一个周期的区域中，电子的势能为
0 (0 x c) U(x) U0 (c x a)
b=0, U0=∞， P=β2ba/2
见 Kittel 8版 p121Biblioteka 于本题，每个能带里有8条 小分能带
AB
8
a
a
固体物理教程答案
固体物理教程答案【篇一：黄昆固体物理课后习题答案4】>思考题1.设晶体只有弗仑克尔缺陷, 填隙原子的振动频率、空位附近原子的振动频率与无缺陷时原子的振动频率有什么差异？[解答]正常格点的原子脱离晶格位置变成填隙原子, 同时原格点成为空位,这种产生一个填隙原子将伴随产生一个空位的缺陷称为弗仑克尔缺陷. 填隙原子与相邻原子的距离要比正常格点原子间的距离小，填隙原子与相邻原子的力系数要比正常格点原子间的力系数大. 因为原子的振动频率与原子间力系数的开根近似成正比, 所以填隙原子的振动频率比正常格点原子的振动频率要高. 空位附近原子与空位另一边原子的距离, 比正常格点原子间的距离大得多, 它们之间的力系数比正常格点原子间的力系数小得多, 所以空位附近原子的振动频率比正常格点原子的振动频率要低.2.热膨胀引起的晶体尺寸的相对变化量?l/l与x射线衍射测定的晶格常数相对变化量?a/a存在差异，是何原因？[解答]la.3.kcl晶体生长时，在kcl溶液中加入适量的cacl2溶液，生长的kcl晶体的质量密度比理论值小，是何原因？[解答]2?2??由于ca离子的半径(0.99a)比k离子的半径(1.33a)小得不是太多, 所以caoo离子难以进入kcl晶体的间隙位置, 而只能取代k占据k离子的位置. 但ca一价, 为了保持电中性(最小能量的约束), 占据k离子的一个ca?2???2?比k高?将引起相邻的一个k?变成空位. 也就是说, 加入的cacl2越多, k?空位就越多. 又因为ca的原子量(40.08)?与k的原子量(39.102)相近, 所以在kcl溶液中加入适量的cacl2溶液引起k空位, 将导致kcl晶体的质量密度比理论值小.4.为什么形成一个肖特基缺陷所需能量比形成一个弗仑克尔缺陷所需能量低?[解答]形成一个肖特基缺陷时，晶体内留下一个空位，晶体表面多一个原子. 因此形成形成一个肖特基缺陷所需的能量, 可以看成晶体表面一个原子与其它原子的相互作用能, 和晶体内部一个原子与其它原子的相互作用能的差值. 形成一个弗仑克尔缺陷时，晶体内留下一个空位，多一个填隙原子. 因此形成一个弗仑克尔缺陷所需的能量, 可以看成晶体内部一个填隙原子与其它原子的相互作用能, 和晶体内部一个原子与其它原子相互作用能的差值. 填隙原子与相邻原子的距离非常小, 它与其它原子的排斥能比正常原子间的排斥能大得多. 由于排斥能是正值, 包括吸引能和排斥能的相互作用能是负值, 所以填隙原子与其它原子相互作用能的绝对值, 比晶体表面一个原子与其它原子相互作用能的绝对值要小. 也就是说, 形成一个肖特基缺陷所需能量比形成一个弗仑克尔缺陷所需能量要低.5.金属淬火后为什么变硬?[解答]我们已经知道晶体的一部分相对于另一部分的滑移, 实际是位错线的滑移, 位错线的移动是逐步进行的, 使得滑移的切应力最小. 这就是金属一般较软的原因之一. 显然, 要提高金属的强度和硬度, 似乎可以通过消除位错的办法来实现. 但事实上位错是很难消除的. 相反, 要提高金属的强度和硬度, 通常采用增加位错的办法来实现. 金属淬火就是增加位错的有效办法. 将金属加热到一定高温, 原子振动的幅度比常温时的幅度大得多, 原子脱离正常格点的几率比常温时大得多, 晶体中产生大量的空位、填隙缺陷. 这些点缺陷容易形成位错. 也就是说, 在高温时, 晶体内的位错缺陷比常温时多得多. 高温的晶体在适宜的液体中急冷, 高温时新产生的位错来不及恢复和消退, 大部分被存留了下来. 数目众多的位错相互交织在一起, 某一方向的位错的滑移,会受到其它方向位错的牵制, 使位错滑移的阻力大大增加, 使得金属变硬.6.在位错滑移时, 刃位错上原子受的力和螺位错上原子受的力各有什么特点?[解答]在位错滑移时, 刃位错上原子受力的方向就是位错滑移的方向. 但螺位错滑移时, 螺位错上原子受力的方向与位错滑移的方向相垂直.7.试指出立方密积和六角密积晶体滑移面的面指数.[解答]滑移面一定是密积面, 因为密积面上的原子密度最大, 面与面的间距最大, 面与面之间原子的相互作用力最小. 对于立方密积, {111}是密积面. 对于六角密积, (001)是密积面. 因此, 立方密积和六角密积晶体滑移面的面指数分别为{111}和(001).8.离子晶体中正负离子空位数目、填隙原子数目都相等, 在外电场作用下, 它们对导电的贡献完全相同吗?[解答]??由(4.48)式可知, 在正负离子空位数目、填隙离子数目都相等情况下, ab离子晶体的热缺陷对导电的贡献只取决于它们的迁移率?. 设正离子空位附近的离子和填隙离子的?a??a?ea?vi振动频率分别为和, 正离子空位附近的离子和填隙离子跳过的势垒高度分别为v????e?和ai, 负离子空位附近的离子和填隙离子的振动频率分别为bv和bi, 负离子空位附近e?e?的离子和填隙离子跳过的势垒高度分别bv为bi, 则由(4.47)矢可得?a??vea2?a?vkbte?e?av/kbt,i?a??iea2?a?kbtea2?b?ve?eai?/kbt, ?b??vkbtea2?b?ie?e?bv/kbt, ?b??ikbte?ebi?/kbt.由空位附近的离子跳到空位上的几率, 比填隙离子跳到相邻间隙位置上的几率大得多, 可e?e?以推断出空位附近的离子跳过的势垒高度, 比填隙离子跳过的势垒高度要低, 即avai,????????eb?eb???vi. 由问题1.已知, 所以有avai, bvbi. 另外, 由于a和b的离子半e??eb??a???b?径不同, 质量不同, 所以一般a, .?a???a???b???b?ivi也就是说, 一般v. 因此, 即使离子晶体中正负离子空位数目、填隙离子数目都相等, 在外电场作用下, 它们对导电的贡献一般也不会相同.9.晶体结构对缺陷扩散有何影响?[解答]扩散是自然界中普遍存在的现象, 它的本质是离子作无规则的布郎运动. 通过扩散可实现质量的输运. 晶体中缺陷的扩散现象与气体分子的扩散相似, 不同之处是缺陷在晶体中运动要受到晶格周期性的限制, 要克服势垒的阻挡, 对于简单晶格, 缺陷每跳一步的间距等于跳跃方向上的周期.10.填隙原子机构的自扩散系数与空位机构自扩散系数, 哪一个大? 为什么？[解答]填隙原子机构的自扩散系数1d2??02ae?(u2?e2)/kbt2,空位机构自扩散系数1d1??01ae?(u1?e1)/kbt2.自扩散系数主要决定于指数因子, 由问题4.和8.已知, u1u2,e1e2, 所以填隙原子机构的自扩散系数小于空位机构的自扩散系数.11.一个填隙原子平均花费多长时间才被复合掉? 该时间与一个正常格点上的原子变成间隙原子所需等待的时间相比, 哪个长?[解答]与填隙原子相邻的一个格点是空位的几率是n1/n, 平均来说, 填隙原子要跳n/n1步才遇到一个空位并与之复合. 所以一个填隙原子平均花费n1(u1?e2)/kbtt??2?en1?02的时间才被空位复合掉.由(4.5)式可得一个正常格点上的原子变成间隙原子所需等待的时间 1n2?21(u1?u2?e2)/kbt????epn1n2?02.由以上两式得ntn21.这说明, 一个正常格点上的原子变成间隙原子所需等待的时间, 比一个填隙原子从出现到被空位复合掉所需要的时间要长得多.12.一个空位花费多长时间才被复合掉？[解答]对于借助于空位进行扩散的正常晶格上的原子, 只有它相邻的一个原子成为空位时, ?eu2/kbt??它才扩散一步, 所需等待的时间是?1. 但它相邻的一个原子成为空位的几率是n1/n, 所以它等待到这个相邻原子成为空位, 并跳到此空位上所花费的时间n1(u1?e1)/kbtt??1?en1?01.13.自扩散系数的大小与哪些因素有关?[解答]填隙原子机构的自扩散系数与空位机构自扩散系数可统一写成11d??0a2e??/kbt??0a2e?n0?/rt22.可以看出, 自扩散系数与原子的振动频率?0, 晶体结构(晶格常数a), 激活能(n0?)三因素有关.14.替位式杂质原子扩散系数比晶体缺陷自扩散系数大的原因是什么? [解答]占据正常晶格位置的替位式杂质原子, 它的原子半径和电荷量都或多或少与母体原子半径和电荷量不同. 这种不同就会引起杂质原子附近的晶格发生畸变, 使得畸变区出现空位的几率大大增加, 进而使得杂质原子跳向空位的等待时间大为减少, 加大了杂质原子的扩散速度.15.填隙杂质原子扩散系数比晶体缺陷自扩散系数大的原因是什么?[解答]正常晶格位置上的一个原子等待了时间?后变成填隙原子, 又平均花费时间n?2n1后被空位复合重新进入正常晶格位置, 其中?2是填隙原子从一个间隙位置跳到相邻间隙位置所要等待的平均时间. 填隙原子自扩散系数反比于时间nt????2n1.因为所以填隙原子自扩散系数近似反比于?. 填隙杂质原子不存在由正常晶格位置变成填隙原子的漫长等待时间?, 所以填隙杂质原子的扩散系数比母体填隙原子自扩散系数要大得多.16.你认为自扩散系数的理论值比实验值小很多的主要原因是什么？ [解答]目前固体物理教科书对自扩散的分析, 是基于点缺陷的模型, 这一模型过于简单, 与晶体缺陷的实际情况可能有较大差别. 实际晶体中, 不仅存在点缺陷, 还存在线缺陷和面缺陷, 这些线度更大的缺陷可能对扩散起到重要影响. 也许没有考虑线缺陷和面缺陷对自扩散系数的贡献是理论值比实验值小很多的主要原因.??17.ab离子晶体的导电机构有几种?[解答]??离子晶体导电是离子晶体中的热缺陷在外电场中的定向飘移引起的. ab离子晶体??????中有4种缺陷: a填隙离子, b填隙离子, a空位, b空位. 也就是说, ab离子晶体的导电机构有4种. 空位的扩散实际是空位附近离子跳到空位位置, 原来离子的位置变n?2n?1,????成了空位. ab离子晶体中, a空位附近都是负离子, b空位附近都是正离子. 由此可知, a空位的移动实际是负离子的移动, b空位的移动实际是正离子的移动. 因此, 在外电场作用下, a填隙离子和b空位的漂移方向与外电场方向一致, 而b填隙离子和?????a?空位的漂移方向与外电场方向相反.【篇二：黄昆版固体物理课后习题解答】>黄昆原著韩汝琦改编（陈志远解答，仅供参考）第一章晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
固体物理习题解答
《固体物理学》部分习题解答补充：证明“晶体的对称性定律”。
证明：晶体中对称轴的轴次n并不是任意的,而是仅限于 n=1,2,3,4,6这一原理称为“晶体的对称性定律”。
现证明如下:设晶体中有一旋转轴n 通过某点O,根据前一条原理必有一平面点阵与你n 垂直,而在其中必可找出与 n垂直的属于平移群的素向量a,将a作用于O得到A 点将-a作用于O点得到A’点:若a= ,则L( )及L(- )必能使点阵复原,这样就可得点阵点B,B’,可得向量BB’,显然BB与a平行,因为空间点阵中任意互相平行的两个直线点阵的素向量一定相等,因而向量BB’的长度必为素向量a的整数倍即:BB’= ma由图形关系可得:=即m=0,±1,±2m n-2 -1 p 2-1 - 30 0 41 62 1 2p 1所以 n=1,2,3,4,6综上所述可得结论:在晶体结构中,任何对称轴或轴性对称元素的轴次只有一重,二种,三重,四重或六重等五种,而不可能存在五重和七重及更高的其它轴次,这就是晶体对称性定律。
晶体的对称性定律证明:1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方 。
解 由倒格子定义2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 1231232a a b a a a π⨯=⋅⨯体心立方格子原胞基矢123(),(),()222a a a a i j k a i j k a i j k =-++=-+=-+倒格子基矢231123022()()22a a a ab i j k i j k a a a v ππ⨯==⋅-+⨯+-⋅⨯202()()4a i j k i j k v π=⋅-+⨯+-2()j k a π=+ 同理31212322()a a b i k a a a aππ⨯==+⋅⨯32()b i j a π=+ 可见由123,,b b b为基矢构成的格子为面心立方格子 面心立方格子原胞基矢123()/2()/2()/2a a j k a a k i a a i j =+=+=+倒格子基矢2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 12()b i j k a π=-++同理22()b i j k a π=-+ 32()b i j k a π=-+可见由123,,b b b为基矢构成的格子为体心立方格子1.4 证明倒格子原胞的体积为03(2)v π，其中0v 为正格子原胞体积证 倒格子基矢2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯1231232a a b a a a π⨯=⋅⨯倒格子体积*0123()v b b b =⋅⨯3*23311230(2)()()()v a a a a a a v π=⨯⋅⨯⨯⨯ 3*00(2)v v π=1.5 证明：倒格子矢量112233G hb h b h b =++垂直于密勒指数为123()hh h 的晶面系。
固体物理第五章习题及答案
.
从上式可以看出，当电子从外场力获得的能量又都输送给了晶格时, 电子的有效质量 m* 变 为 . 此时电子的加速度
a= 1 F =0
m*
,
即电子的平均速度是一常量. 或者说, 此时外场力与晶格作用力大小相等, 方向相反. 11. 万尼尔函数可用孤立原子波函数来近似的根据是什么?
[解答] 由本教科书的（5.53）式可知, 万尼尔函数可表示为
m* = 1 m 1 + 2Tn
Vn <1.
10. 电子的有效质量 m* 变为 的物理意义是什么?
[解答] 仍然从能量的角度讨论之. 电子能量的变化
(dE)外场力对电子作的功 = (dE)外场力对电子作的功 + (dE)晶格对电子作的功
m*
m
m
=
1 m
(dE ) 外场力对电子作的功
− (dE)电子对晶格作的功
i 2 nx
V (x) = Vne a
n
中, 指数函数的形式是由什么条件决定的?
[解答] 周期势函数 V(x) 付里叶级数的通式为
上式必须满足势场的周期性, 即
V (x) = Vneinx
n
显然
V (x + a) = Vnein (x+a) = Vneinx (eina ) = V (x) = Vneinx
Es (k)
=
E
at s
− Cs
−
Js
e ik Rn
n
即是例证. 其中孤立原子中电子的能量 Esat 是主项, 是一负值, − Cs和 − J s 是小量, 也是负 值. 13. 紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 哪一个宽? 为什么?
固体与半导体物理思考题
光电信息学院“固体电子学”思考题1．什么是布拉菲格子？基元仅包含一个原子，则形成的晶格为布拉菲格子2．布拉菲格子与晶体结构之间的关系.布拉菲格子是一种数学抽象，它和晶体的几何结构密切相关。
有了布拉菲格子，在格点上加上基元，就构成了晶体结构。
有了晶体结构，把所有的基元抽象为格点，就得到了布拉菲格子。
1．什么是复式格子？复式格子是怎么构成的？基元包含两个或两个以上的原子，则形成的晶格为复式格子。
复式格子是由布拉菲格子套构而成的。
2．原胞和晶胞是怎样选取的？它们各自有什么特点？以一格点为原点，取三个平移矢量，由这三个平移矢量构成的体积最小的周期性平行六面体单元称为原胞。
（原胞的选取不是唯一的，但体积是一样的；原胞是体积最小的周期性重复单元；原胞的格点必须是顶点，原胞只包含一个格点。
）同时考虑晶格周期性和对称性的重复单元称为晶胞。
晶胞的基矢一般选择在一些重要的对称轴上。
3．如何在复式格子中找到布拉菲格子？复式格子是如何选取原胞和晶胞的？布拉菲格子的基元只有一个原子，且原子是等价的。
找到布拉菲格子，我们需要找到周期性排列的等价原子，这些不同的原子构成复式格子。
先选取出布拉菲格子，在选取出原胞和晶胞4．金刚石结构是怎样构成的？虽然由单一C原子构成，但是该结构为复式格子每个基元包含两个C原子，这两个C原子都构成面心立方该结构是两个面心立方沿着体对角线方向位移1/4套构而成5．氯化钠、氯化铯的布拉菲格子是什么结构?钠离子和氯离子分别组成相同的面心立方，是两个面心立方沿基矢方向相互位移1/2套构而成铯离子和氯离子分别组成相同的简单立方，铯离子和氯离子分别组成相同的简单立方6．密堆积有几种密积结构?它们是布拉菲格子还是复式格子?立方密堆积，布拉菲格子六方密堆积，复式格子7．8种独立的基本对称操作是什么?C1、C2、C3、C4、C6、σ、i、S48．7大晶系是什么?9．怎样确定晶列指数和晶面指数？计算（过原点VS不过原点）10．晶面指数与晶面在三坐标轴上的截距之间的关系？待定晶面在三个晶轴上的截距的倒数之比就是晶面指数之比11．通过原点的晶面如何求出其晶面指数？做过原点的晶面的的平行面，使其不过原点，求该平面的晶面指数12．倒格子的定义？正倒格子之间的关系？倒格子是描述晶体结构周期性的另一种类型格子，它是在波矢空间的数学描述。
《固体物理学》房晓勇-思考题03第三章 晶体振动和晶体的热学性质
第三章晶体振动和晶体的热学性质3.1相距为某一常数（不是晶格常数）倍数的两个原子，其最大振幅是否相同？解答：（王矜奉3.1.1，中南大学3.1.1）以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子的振幅A, 另一个原子振幅B, 由《固体物理学》第79页公式，可得两原子振幅之比(1)其中m原子的质量. 由《固体物理学》式（3-16）和式（3-17）两式可得声学波和光学波的频率分别为, (2). (3)将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为, (4). (5)由于=，则由(4)(5)两式可得,1B A . 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常数倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的.3.2 试说明格波和弹性波有何不同？解答：晶格中各个原子间的振动相互关系3.3 为什么要引入玻恩-卡门条件？ 解答：（王矜奉3.1.2，中南大学3.1.2） （1）方便于求解原子运动方程.由《固体物理学》式（3-4）可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.（2）与实验结果吻合得较好.对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N 个原子构成的的原子链, 硬性假定的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(《固体物理学》§3.1与§3.6). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.3.4 试说明在布里渊区的边界上()/q a π=，一维单原子晶格的振动解n x 不代表行波而代表驻波。
固体物理习题及答案汇总整理终极版
11级第一次(作业)请充分利用网络、本校及外校图书馆的相关资料，同时联系相关专业的老师，调查关于固体物理的简史、发展趋势以及当代的热门前沿课题(针对自己感兴趣的某个方面)，形成一份报告，阐述自己的看法，要求2000字以上。
(已经在第一次课布置，11月1日前后上交)11级固体物理第2次习题和思考题1.在结晶学中，我们课堂上讲的单胞，也叫元胞，或者叫结晶学原胞，也叫晶胞，试回忆一下晶胞是按晶体的什么特性选取的？答：在结晶学中，晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性。
2.解释Bravais 点阵并画出氯化钠晶体的结点所构成的Bravais 点阵。
答：晶体的内部结构可以概括为由一些相同的结点构成的基元在空间有规则的作周期性的无限分布，这些结点构成点阵，如果基元只由一个结点构成，这种点阵称为Bravais 点阵。
氯化钠晶体的Bravais 点阵可参照书p8的图1-13，点阵的结点由钠离子和氯离子组成。
3.说明金刚石结构是复式点阵的原因。
答：金刚石结构可这样描述：面心立方的体心向顶角引8条对角线，在互不相邻的四条对角线中点，各有一个原子。
以金刚石为例，顶角和面心处的原子周围情况和对角线上的原子周围情况不相同，因而金刚石结构是复式晶格，可看作两套面心立方子晶格沿体对角线移开1/4体对角线长度而成。
Bravais 点阵包含两个原子。
4.体心立方点阵和面心立方点阵互为正、倒格子，试证明之。
答：面心立方的三个基矢为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=)(2)(2)(2321i k a a k j a a j i a a其体积为43a ，根据倒格矢的定义得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=⨯⋅⨯=++-=⨯⋅⨯=+-=⨯⋅⨯=)(2)(2)(2)(2)(2)(2321213321132321321k j i a a a a a a b k j i a a a a a a b k j i a a a a a a bππππππ 可见，除了系数不同之外，方向正好是体心立方的晶格基矢。
固体物理问答题习题解答
18、你认为简单晶格存在强烈的红外吸收吗？答：实验已经证实, 离子晶体能强烈吸收远红外光波. 这种现象产生的根源是离子晶体中的长光学横波能与远红外电磁场发生强烈耦合. 简单晶格中不存在光学波, 所以简单晶格不会吸收远红外光波.19、爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么？答：按照爱因斯坦温度的定义, 爱因斯坦模型的格波的频率大约为, 属于光学支频率. 但光学格波在低温时对热容的贡献非常小, 低温下对热容贡献大的主要是长声学格波. 也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源.20、在极低温度下，德拜模型为什么与实验相符？答：在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发, 得到激发的只是声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 在甚低温下, 德拜模型与事实相符, 自然与实验相符.21、为什么行程一个肖特基缺陷所需能量比一个弗伦克尔缺陷所需能量低？答：形成一个肖特基缺陷时，晶体内留下一个空位，晶体表面多一个原子，因此形成一个肖特基缺陷所需的能量，可以看成晶体表面一个原子与其他原子的相互作用能，和晶体内部一个原子与其他原子的相互作用能的差值，形成一个弗伦克尔缺陷是，晶体内留下一个空位，多一个填隙原子，因此形成一个弗伦克尔缺陷所需的能量，可以看成晶体内部一个填隙原子与其他原子的相互作用能，和晶体内部一个原子与其他原子相互作用能的差值，填隙原子与相邻原子的距离非常小，它与其他原子的排斥力的相互作用能是负值，所以填隙原子与其它原子相互作用能的绝对值，比晶体表面一个原子与其他原子相互作用能的绝对值要小，也就是说形成一个肖特基缺陷所需能量比形成一个弗伦克尔所需能量要低。
22、晶体的结合能，晶体的内能，原子间的相互作用势能有何区别。
答：自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量, 或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量, 称为晶体的结合能.原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能.在0K时, 原子还存在零点振动能. 但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多. 所以, 在0K时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能.23、原子间的排斥作用取决于什么原因？答：相邻的原子靠得很近, 以至于它们内层闭合壳层的电子云发生重叠时, 相邻的原子间便产生巨大排斥力. 也就是说, 原子间的排斥作用来自相邻原子内层闭合壳层电子云的重叠.24、原子间的排斥作用与吸引作用有何关系？这两种作用起主导作用的范围是什么起主导的范围是什么？答：在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时, 晶体达到稳定结合状态. 可见, 晶体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力缺一不可. 设此时相邻原子间的距离为, 当相邻原子间的距离>时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离<时, 排斥力起主导作用.25、共价结合为什么有饱和性和方向性？答：设N为一个原子的价电子数目, 对于IV A、V A、VI A、VII A族元素，价电子壳层一共有8个量子态, 最多能接纳(8-N)个电子, 形成(8-N)个共价键. 这就是共价结合的“饱和性”.共价键的形成只在特定的方向上, 这些方向是配对电子波函数的对称轴方向, 在这个方向上交迭的电子云密度最大. 这就是共价结合的“方向性”.（同时参考书本第86页）26、共价结合，两原子电子云交迭产生吸引，而原子靠近时，电子云交迭会产生巨大的排斥力，如何解释？答：共价结合, 形成共价键的配对电子, 它们的自旋方向相反, 这两个电子的电子云交迭使得体系的能量降低, 结构稳定. 但当原子靠得很近时, 原子内部满壳层电子的电子云交迭, 量子态相同的电子产生巨大的排斥力, 使得系统的能量急剧增大.27、为什么许多金属为密积结构？答：金属结合中，受到最小能量原理的约束，要求原子实与共有电子电子云间的库伦能要尽可能的低（绝对值尽可能的大）原子实越紧凑，原子实与共有电子电子云靠的就越紧密，库伦能就越低，所以，许多金属的结构为密积结构28、你认为固体的弹性强弱主要排斥作用决定吗，还是吸引作用决定？答：如上图所示, 附近的力曲线越陡, 当施加一定外力, 固体的形变就越小. 附近力曲线的斜率决定了固体的弹性性质. 而附近力曲线的斜率主要取决于排斥力. 因此, 固体的弹性强弱主要由排斥作用决定.29、在布里渊区边界上电子的能带有何特点？答：电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带一般会出现禁带. 若电子所处的边界与倒格矢正交, 则禁带的宽度, 是周期势场的付里叶级数的系数.不论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零,即电子的等能面与布里渊区边界正交.30、当电子的波矢落在布里渊区边界上时，其有效质量为什么与真实质量有显著区别？答：晶体中的电子除受外场力的作用外, 还和晶格相互作用. 设外场力为F, 晶格对电子的作用力为F l, 电子的加速度为.但F l的具体形式是难以得知的. 要使上式中不显含F l, 又要保持上式左右恒等, 则只有.显然, 晶格对电子的作用越弱, 有效质量m*与真实质量m的差别就越小. 相反, 晶格对电子的作用越强, 有效质量m*与真实质量m的差别就越大. 当电子的波矢落在布里渊区边界上时, 与布里渊区边界平行的晶面族对电子的散射作用最强烈. 在晶面族的反射方向上, 各格点的散射波相位相同, 迭加形成很强的反射波. 正因为在布里渊区边界上的电子与晶格的作用很强, 所以其有效质量与真实质量有显著差别.31、本征半导体的能带与绝缘体的能带有何异同？答：在低温下，本征半导体的能带与绝缘体的能带结构相同，但本征半导体的禁带较窄，禁带宽度通常小于2eV，由于禁带窄，本征半导体禁带下满带项的电子可以借助热激发，跃迁到禁带上面空带的底部，使得满带不满，空带不空，二者都对导电有贡献。
固体密度测量思考题（共7篇）
固体密度测量思考题（共7篇）以下是网友分享的关于固体密度测量思考题的资料7篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
篇11. 天平的操作规则中, 哪些规定是为了保护刀口, 哪些规定是为了保证测量精度?2. 将铜放在水中称衡时有一个气泡附着, 将对结果发生怎样的影响? 为什么？3. 如何消除物理天平不等臂误差？4. 如何测定密度比水小的不规则物体的密度1、调整平衡螺母时，加减砝码时，换取重物时，拨动游码时，以及使用完毕后，都要用止动器止动；使用完毕后，秤盘的挂钩也要从刀口取下，也就是说，能不“劳驾”刀口就尽量不用，这些都是为了保护刀口。
使用前用水准器调水平，用平衡螺母细心调零，左物右码规则，用镊子取放砝码、拨动游码，再用摆针和标尺观察平衡情况，这些是为了保证测量精度。
2、用流体静力称衡法或比重瓶法测固体密度时，固体表面附着的气泡（指比较明显的）必须搅拌驱除，否则造成实验差错（不是“误差”），造成测得的固体视重（或比重瓶总质量）比实际值偏小。
这样，实验结果其实是物块与气泡的平均密度，显然小于物块自身密度。
3、最好的办法是复称法（共轭法中的一种）。
即左物右码称量一次，得到读数M1；再左码右物称量一次，得到读数M2 ，则应用杠杆原理很容易证明：结果为M = 根号下（M1 乘以M2 ），即二者的几何平均值。
这种办法既消除了天平的不等臂误差，又绕过了对天平实际力臂长度的测量，方便而且准确。
4. 用一个已知体积为v1的小铁块和待测物用细绳绑在一起放入装满水的溢水杯, 用量筒量出溢出水的体积V2, 则待测物的体积V=V2-V1,用天平测出待测物的质量m, 根据密度公式ρ=m/v即可求出待测物质量。
篇2固体密度六．思考题1．在天平的操作规则中，哪些规定是为了保护刀口，哪些规定是为了保证测量精度？a. 天平的负载不得超过其最大称量。
b. 在调节天平、取放物体、取放砝码（包括游码）以及不用天平时，都必须将天平止动。
复习-固体物理习题与思考题
第一章晶体结构 思 考 题1. 以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比. ［解答] 设原子的半径为R , 体心立方晶胞的空间对角线为4R ， 晶胞的边长为3/4R , 晶胞的体积为()33/4R , 一个晶胞包含两个原子, 一个原子占的体积为()2/3/43R ，单位体积晶体中的原子数为()33/4/2R ； 面心立方晶胞的边长为2/4R , 晶胞的体积为()32/4R , 一个晶胞包含四个原子， 一个原子占的体积为()4/2/43R , 单位体积晶体中的原子数为()32/4/4R ． 因此， 同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比为2/323⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0.２72.2． 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面?为什么?[解答]晶体容易沿解理面劈裂,说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面.3． 基矢为=1a i a ， =2a aj , =3a ()k j i ++2a 的晶体为何种结构? 若=3a ()k j +2a ＋i 23a , 又为何种结构? 为什么？[解答]有已知条件, 可计算出晶体的原胞的体积23321a =⨯⋅=a a a Ω.由原胞的体积推断, 晶体结构为体心立方. 按照本章习题14, 我们可以构造新的矢量=-=13a a u 2a ()k j i ++-,=-=23a a v 2a()k j i +-，=-+=321a a a w 2a()k j i -+.w v u ,,对应体心立方结构. 根据14题可以验证, w v u ,,满足选作基矢的充分条件．可见基矢为=1a i a , =2a aj ， =3a ()k j i ++2a 的晶体为体心立方结构．ﻩ若=3a ()k j +2a +i 23a ,则晶体的原胞的体积23321a Ω=⨯⋅=a a a ,该晶体仍为体心立方结构.４． 与晶列[l １l ２l 3]垂直的倒格面的面指数是什么?［解答]ﻩ正格子与倒格子互为倒格子． 正格子晶面(h 1h 2h ３)与倒格式=h K h 11b +h ２2b +h 33b 垂直, 则倒格晶面(l 1l 2ｌ3）与正格矢=l R l 11a + ｌ22a + ｌ33a 正交. 即晶列［ｌ１l 2l ３]与倒格面(l 1l 2l 3） 垂直.5. 在结晶学中, 晶胞是按晶体的什么特性选取的?[解答]在结晶学中, 晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性.６.六角密积属何种晶系? 一个晶胞包含几个原子？ﻩ[解答］六角密积属六角晶系, 一个晶胞（平行六面体)包含两个原子.７.面心立方元素晶体中最小的晶列周期为多大? 该晶列在哪些晶面内?[解答]周期最小的晶列一定在原子面密度最大的晶面内. 若以密堆积模型, 则原子面密度最大的晶面就是密排面. 由图1.9可知密勒指数(１11)［可以证明原胞坐标系中的面指数也为(111）]是一个密排面晶面族， 最小的晶列周期为2/2a . 根据同族晶面族的性质, 周期最小的晶列处于{1１1}面内.8． 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？[解答］晶体中原子间距的数量级为1010-米,要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长应小于1010-米． 但可见光的波长为7.6−４.0710-⨯米, 是晶体中原子间距的10００倍. 因此, 在晶体衍射中，不能用可见光.9. 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比, 对于同级衍射， 哪一晶面族衍射光弱? 为什么？［解答]ﻩ对于同级衍射, 高指数的晶面族衍射光弱， 低指数的晶面族衍射光强. 低指数的晶面族面间距大, 晶面上的原子密度大, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用强. 相反, 高指数的晶面族面间距小， 晶面上的原子密度小， 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用弱. 另外, 由布拉格反射公式ﻩﻩﻩﻩﻩ λθn sin 2=hkl d可知， 面间距hkl d 大的晶面, 对应一个小的光的掠射角θ. 面间距hkl d 小的晶面， 对应一个大的光的掠射角θ. θ越大, 光的透射能力就越强, 反射能力就越弱.10. 温度升高时, 衍射角如何变化? X 光波长变化时, 衍射角如何变化？[解答]温度升高时, 由于热膨胀, 面间距hkl d 逐渐变大． 由布拉格反射公式ﻩ ﻩ ﻩλθn sin 2=hkl d可知, 对应同一级衍射, 当X 光波长不变时， 面间距hkl d 逐渐变大, 衍射角θ逐渐变小.所以温度升高, 衍射角变小.当温度不变， X 光波长变大时, 对于同一晶面族, 衍射角θ随之变大.第2章晶体的结合思考题1.是否有与库仑力无关的晶体结合类型？[解答]ﻩ共价结合中，电子虽然不能脱离电负性大的原子, 但靠近的两个电负性大的原子可以各出一个电子, 形成电子共享的形式，即这一对电子的主要活动范围处于两个原子之间, 通过库仑力, 把两个原子连接起来. 离子晶体中，正离子与负离子的吸引力就是库仑力．金属结合中, 原子实依靠原子实与电子云间的库仑力紧紧地吸引着．分子结合中, 是电偶极矩把原本分离的原子结合成了晶体. 电偶极矩的作用力实际就是库仑力. 氢键结合中, 氢先与电负性大的原子形成共价结合后, 氢核与负电中心不在重合, 迫使它通过库仑力再与另一个电负性大的原子结合．可见，所有晶体结合类型都与库仑力有关.２.如何理解库仑力是原子结合的动力？［解答]ﻩ晶体结合中，原子间的排斥力是短程力, 在原子吸引靠近的过程中，把原本分离的原子拉近的动力只能是长程力, 这个长程吸引力就是库仑力. 所以, 库仑力是原子结合的动力. ３.晶体的结合能, 晶体的内能, 原子间的相互作用势能有何区别?[解答]ﻩ自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量, 或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量，称为晶体的结合能.ﻩ原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能.在０K时, 原子还存在零点振动能．但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多. 所以, 在0K时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能.4.原子间的排斥作用取决于什么原因?[解答]ﻩ相邻的原子靠得很近, 以至于它们内层闭合壳层的电子云发生重叠时, 相邻的原子间便产生巨大排斥力．也就是说, 原子间的排斥作用来自相邻原子内层闭合壳层电子云的重叠．5.原子间的排斥作用和吸引作用有何关系? 起主导的范围是什么?［解答］在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时，晶体达到稳定结合状态. 可见, 晶体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力缺一不可. 设此时相邻原子间的距离为0r, 当相邻原子间的距离r>0r时, 吸引力起主导作用；当相邻原子间的距离r<0r时，排斥力起主导作用.６.共价结合为什么有“饱和性”和“方向性”?［解答]设Ｎ为一个原子的价电子数目, 对于ＩVＡ、VＡ、VI A、VII A族元素,价电子壳层一共有8个量子态, 最多能接纳(8-N)个电子, 形成(8-N)个共价键．这就是共价结合的“饱和性”．共价键的形成只在特定的方向上, 这些方向是配对电子波函数的对称轴方向, 在这个方向上交迭的电子云密度最大. 这就是共价结合的“方向性”.7.共价结合, 两原子电子云交迭产生吸引, 而原子靠近时, 电子云交迭会产生巨大的排斥力, 如何解释?［解答］ﻩ共价结合, 形成共价键的配对电子, 它们的自旋方向相反, 这两个电子的电子云交迭使得体系的能量降低，结构稳定. 但当原子靠得很近时, 原子内部满壳层电子的电子云交迭, 量子态相同的电子产生巨大的排斥力, 使得系统的能量急剧增大.８.试解释一个中性原子吸收一个电子一定要放出能量的现象.[解答]当一个中性原子吸收一个电子变成负离子, 这个电子能稳定的进入原子的壳层中, 这个电子与原子核的库仑吸引能的绝对值一定大于它与其它电子的排斥能. 但这个电子与原子核的库仑吸引能是一负值. 也就是说, 当中性原子吸收一个电子变成负离子后，这个离子的能量要低于中性原子原子的能量. 因此, 一个中性原子吸收一个电子一定要放出能量.9.如何理解电负性可用电离能加亲和能来表征？[解答］ﻩ使原子失去一个电子所需要的能量称为原子的电离能, 电离能的大小可用来度量原子对价电子的束缚强弱. 一个中性原子获得一个电子成为负离子所释放出来的能量称为电子亲和能．放出来的能量越多, 这个负离子的能量越低，说明中性原子与这个电子的结合越稳定. 也就是说, 亲和能的大小也可用来度量原子对电子的束缚强弱. 原子的电负性大小是原子吸引电子的能力大小的度量. 用电离能加亲和能来表征原子的电负性是符合电负性的定义的.10.为什么许多金属为密积结构？［解答]ﻩ金属结合中, 受到最小能量原理的约束, 要求原子实与共有电子电子云间的库仑能要尽可能的低（绝对值尽可能的大)．原子实越紧凑，原子实与共有电子电子云靠得就越紧密, 库仑能就越低. 所以，许多金属的结构为密积结构．１1.你认为固体的弹性强弱主要由排斥作用决定呢, 还是吸引作用决定?［解答]如上图所示，0r附近的力曲线越陡，当施加一定外力, 固体的形变就越小. 0r附近力曲线的斜率决定了固体的弹性性质. 而0r附近力曲线的斜率主要取决于排斥力．因此, 固体的弹性强弱主要由排斥作用决定.12.固体呈现宏观弹性的微观本质是什么?[解答]固体受到外力作用时发生形变，外力撤消后形变消失的性质称为固体的弹性. 设无外力时相邻原子间的距离为0r, 当相邻原子间的距离r>0r时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离r<0r时，排斥力起主导作用. 当固体受挤压时, r<0r，原子间的排斥力抗击着这一形变．当固体受拉伸时, r＞0r，原子间的吸引力抗击着这一形变．因此，固体呈现宏观弹性的微观本质是原子间存在着相互作用力, 这种作用力既包含着吸引力，又包含着排斥力.１３.固体中的弹性波与理想流体中的传播的波有何差异? 为什么？[解答］理想流体中只能传播纵波. 固体中不仅能传播纵波, 还能传播切变波. 这是因为理想流体分子间距离大, 分子间不存在切向作用力，只存在纵向作用力；而固体原子间距离小，原子间不仅存在纵向作用力，还存在切向作用力.第三章晶格振动与晶体的热学性质思 考 题1. 引入玻恩卡门条件的理由是什么?ﻩ[解答](1) （1) 方便于求解原子运动方程.由本教科书的(3.4)式可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外， 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关， 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难．(2) (2） 与实验结果吻合得较好.对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N 个原子构成的的原子链, 硬性假定0 ,01==N u u 的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解， 必须选取一个边界条件． 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(参见本教科书§3.2与§3.4）. 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明， 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.2. 什么叫简正振动模式?简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？ ﻩ[解答］为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似． 在简谐近似下, 由Ｎ个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成3N 个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线形迭加.简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和， 即等于3N ．３. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别?ﻩ[解答]长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高， 它包含了晶格振动频率最高的振动模式． 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波， 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波．4． 温度一定，一个光学波的声子数目多呢, 还是声学波的声子数目多?[解答］频率为ω的格波的（平均） 声子数为11)(/-=T k B e n ωω .因为光学波的频率O ω比声学波的频率A ω高, (1/-T k B O e ω )大于(1/-T k B A e ω )， 所以在温度一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.5. 对同一个振动模式, 温度高时的声子数目多呢, 还是温度低时的声子数目多? ﻩ[解答]设温度T H ＞T L , 由于(1/-H B T k eω )小于(1/-LB T k e ω ), 所以温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目．6. 高温时， 频率为ω的格波的声子数目与温度有何关系？ﻩ[解答]ﻩ温度很高时, 1/-≈ωω T k B e , 频率为ω的格波的(平均) 声子数为11)(/-=T k B e n ωω ω T k B ≈.可见高温时， 格波的声子数目与温度近似成正比.7. 你认为简单晶格存在强烈的红外吸收吗？ﻩ[解答]实验已经证实， 离子晶体能强烈吸收远红外光波. 这种现象产生的根源是离子晶体中的长光学横波能与远红外电磁场发生强烈耦合. 简单晶格中不存在光学波, 所以简单晶格不会吸收远红外光波．８. 爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么?［解答］按照爱因斯坦温度的定义, 爱因斯坦模型的格波的频率大约为Hz 1013, 属于光学支频率． 但光学格波在低温时对热容的贡献非常小， 低温下对热容贡献大的主要是长声学格波. 也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源．9. 在甚低温下, 德拜模型为什么与实验相符?［解答]在甚低温下， 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发, 得到激发的只是声子能量较小的长声学格波． 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 在甚低温下， 德拜模型与事实相符， 自然与实验相符.10. 在绝对零度时还有格波存在吗? 若存在, 格波间还有能量交换吗？ﻩ[解答] 频率为i ω的格波的振动能为i i i n ωε ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21,其中i i n ω 是由i n 个声子携带的热振动能, （2/i ω ）是零点振动能， 声子数11/-=T k i B i e n ω ．绝对零度时, i n =0. 频率为i ω的格波的振动能只剩下零点振动能．格波间交换能量是靠声子的碰撞实现的． 绝对零度时, 声子消失， 格波间不再交换能量．1１． 温度很低时， 声子的自由程很大， 当0→T 时， ∞→λ, 问0→T 时, 对于无限长的晶体, 是否成为热超导材料？［解答]对于电绝缘体, 热传导的载流子是声子. 当0→T 时， 声子数n 0→. 因此, 0→T 时, 不论晶体是长还是短, 都自动成为热绝缘材料.12. 石英晶体的热膨胀系数很小, 问它的格林爱森常数有何特点?［解答]由本教科书可知, 热膨胀系数V α与格林爱森常数γ成正比. 石英晶体的热膨胀系数很小, 它的格林爱森常数也很小． 格林爱森常数γ大小可作为晶格非简谐效应大小的尺度. 石英晶体的格林爱森常数很小, 说明它的非简谐效应很小.第四章 晶体中电子能带理论思考题1． 波矢空间与倒格空间有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的? ﻩ[解答］波矢空间与倒格空间处于统一空间, 倒格空间的基矢分别为321 b b b 、、, 而波矢空间的基矢分别为32N N / / /321b b b 、、1N , Ｎ1、N 2、Ｎ3分别是沿正格子基矢321 a a a 、、方向晶体的原胞数目.倒格空间中一个倒格点对应的体积为*321) (Ω=⨯⋅b b b ，波矢空间中一个波矢点对应的体积为N N b N b N b *332211)(Ω=⨯⋅，即波矢空间中一个波矢点对应的体积， 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N . 由于Ｎ是晶体的原胞数目, 数目巨大, 所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的. 也就是说, 波矢点在倒格空间看是极其稠密的. 因此, 在波矢空间内作求和处理时, 可把波矢空间内的状态点看成是准连续的．2． 与布里渊区边界平行的晶面族对什么状态的电子具有强烈的散射作用?ﻩ［解答］当电子的波矢k 满足关系式0)2(=+⋅n n K k K时, 与布里渊区边界平行且垂直于n K 的晶面族对波矢为k 的电子具有强烈的散射作用. 此时, 电子的波矢很大， 波矢的末端落在了布里渊区边界上, k 垂直于布里渊区边界的分量的模等于2/n K .３. 一维周期势函数的付里叶级数nx ai n n eV x V π2)(∑=中, 指数函数的形式是由什么条件决定的?[解答］周期势函数V (x ) 付里叶级数的通式为 xi nn n e V x V λ∑=)( 上式必须满足势场的周期性, 即xi n n a i x i n n a x i n n n n n n e V x V e e V e V a x V λλλλ∑∑∑====++)()()()(.显然1=a i n e λ.要满足上式， n λ必为倒格矢n a n πλ2=.可见周期势函数V （x )的付里叶级数中指数函数的形式是由其周期性决定的．４. 在布里渊区边界上电子的能带有何特点？[解答]电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带一般会出现禁带. 若电子所处的边界与倒格矢n K 正交, 则禁带的宽度)(2n K V E g=, )(n K V 是周期势场的付里叶级数的系数．不论何种电子, 在布里渊区边界上， 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零, 即电子的等能面与布里渊区边界正交.５. 当电子的波矢落在布里渊区边界上时, 其有效质量何以与真实质量有显著差别？[解答］晶体中的电子除受外场力的作用外， 还和晶格相互作用. 设外场力为F , 晶格对电子的作用力为F l , 电子的加速度为)(1l m F F a +=.但F l 的具体形式是难以得知的. 要使上式中不显含F l , 又要保持上式左右恒等, 则只有F a *1m =.显然， 晶格对电子的作用越弱, 有效质量ｍ*与真实质量ｍ的差别就越小. 相反, 晶格对电子的作用越强， 有效质量m ＊与真实质量m 的差别就越大. 当电子的波矢落在布里渊区边界上时， 与布里渊区边界平行的晶面族对电子的散射作用最强烈． 在晶面族的反射方向上, 各格点的散射波相位相同, 迭加形成很强的反射波. 正因为在布里渊区边界上的电子与晶格的作用很强, 所以其有效质量与真实质量有显著差别.６． 带顶和带底的电子与晶格的作用各有什么特点?ﻩ[解答]由本教科书得m m ml F F F +=*． 将上式分子变成能量的增量形式m t m t mt l d d d *ννν⋅+⋅=⋅F F F , 从能量的转换角度看, 上式可表述为m E mE m E 晶格对电子作的功外场力对电子作的功外场力对电子作的功)d ()(d )(d *+=．由于能带顶是能带的极大值, 22k E∂∂＜0, 所以有效质量222*k Em ∂∂= <0．说明此时晶格对电子作负功, 即电子要供给晶格能量, 而且电子供给晶格的能量大于外场力对电子作的功． 而能带底是该能带的极小值, 22k E∂∂＞0,所以电子的有效质量222*k Em ∂∂= ＞0.但比ｍ小． 这说明晶格对电子作正功. m*<m 的例证, 不难由（5．3６)式求得 n n V T mm 211*+=＜1. 7. 电子的有效质量*m 变为∞的物理意义是什么?［解答]仍然从能量的角度讨论之. 电子能量的变化m E m E m E 晶格对电子作的功外场力对电子作的功外场力对电子作的功)d ()(d )(d *+=[]电子对晶格作的功外场力对电子作的功)d ()(d 1E E m -=. 从上式可以看出,当电子从外场力获得的能量又都输送给了晶格时， 电子的有效质量*m 变为∞. 此时电子的加速度01*==F a m ,即电子的平均速度是一常量． 或者说, 此时外场力与晶格作用力大小相等， 方向相反.8. 紧束缚模型下， 内层电子的能带与外层电子的能带相比较， 哪一个宽? 为什么?ﻩ［解答]以ｓ态电子为例.紧束缚模型电子能带的宽度取决于积分s J 的大小, 而积分rR r R r r r d )()]()([)(*n at s n at N at s s V V J ----=⎰ϕϕΩ 的大小又取决于)(r ats ϕ与相邻格点的)(n at s R r -ϕ的交迭程度. 紧束缚模型下， 内层电子的)(r at s ϕ与)(n at s R r -ϕ交叠程度小, 外层电子的)(r at s ϕ与)(n at s R r -ϕ交迭程度大． 因此, 紧束缚模型下， 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 外层电子的能带宽.9. 等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交的物理意义是什么？[解答]将电子的波矢k 分成平行于布里渊区边界的分量//k 和垂直于布里渊区边界的分量k ┴. 则由电子的平均速度)(1k E k ∇= ν得到 ////1k E∂∂=ν,⊥⊥∂∂=k E 1ν. 等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交, 则在布里渊区边界上恒有⊥∂∂k E /=０, 即垂直于界面的速度分量⊥ν为零. 垂直于界面的速度分量为零, 是晶格对电子产生布拉格反射的结果. 在垂直于界面的方向上, 电子的入射分波与晶格的反射分波干涉形成了驻波.10. 一维简单晶格中一个能级包含几个电子?ﻩ[解答]设晶格是由N个格点组成, 则一个能带有Ｎ个不同的波矢状态, 能容纳２N个电子．由于电子的能带是波矢的偶函数, 所以能级有(Ｎ/2)个.可见一个能级上包含4个电子.11. 本征半导体的能带与绝缘体的能带有何异同？ﻩ[解答]在低温下, 本征半导体的能带与绝缘体的能带结构相同. 但本征半导体的禁带较窄，禁带宽度通常在２个电子伏特以下．由于禁带窄，本征半导体禁带下满带顶的电子可以借助热激发, 跃迁到禁带上面空带的底部, 使得满带不满,空带不空, 二者都对导电有贡献.第六章 金属电子论思 考 题１．如何理解电子分布函数)(E f 的物理意义是: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率?[解答]金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布, 温度为Ｔ时， 分布在能级Ｅ上的电子数目1/)(+=-T k E E B F e g n ,g 为简并度， 即能级E 包含的量子态数目. 显然, 电子分布函数11)(/)(+=-T k E E B F e E f是温度T 时, 能级E 的一个量子态上平均分布的电子数. 因为一个量子态最多由一个电子所占据， 所以)(E f 的物理意义又可表述为: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率.2.绝对零度时, 价电子与晶格是否交换能量?[解答］ﻩ晶格的振动形成格波，价电子与晶格交换能量，实际是价电子与格波交换能量. 格波的能量子称为声子, 价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量. 频率为i ω的格波的声子数11/-=T k i B i e n ω .从上式可以看出, 绝对零度时, 任何频率的格波的声子全都消失. 因此, 绝对零度时, 价电子与晶格不再交换能量．3.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的?[解答]自由电子论只考虑电子的动能. 在绝对零度时， 金属中的自由(价)电子, 分布在费密能级及其以下的能级上, 即分布在一个费密球内. 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据， 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子， 而绝大多数电子的能态不会改变. 也就是说, 常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近．4.晶体膨胀时, 费密能级如何变化?[解答]费密能级3/2220)3(2πn m E F=,其中n 是单位体积内的价电子数目． 晶体膨胀时, 体积变大， 电子数目不变, n 变小, 费密能级降低.5.为什么温度升高, 费密能反而降低?[解答]当0≠T 时, 有一半量子态被电子所占据的能级即是费密能级． 温度升高, 费密面附近的电子从格波获取的能量就越大， 跃迁到费密面以外的电子就越多, 原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半, 有一半量子态被电子所占据的能级必定降低. 也就是说, 温度升高， 费密能反而降低.6.为什么价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大?[解答］。