天津市南开中学2015届高三数学(理)统练2
1
一、选择题（共12个小题，每题5分）
1. 函数212log617yxx的值域是（ ）
.A R .B8, .C,3 .D
3,
2.设函数()fx满足()(4)(fxfxxR,且当2x时()fx为增函数，记
0.51.1
0.5
1
1.1,0.5,log16afbfcf
，则abc、、的大小关系为（ ）
.Acba .Bcab .Cbac .Dabc
3. 若2log1log20aaaa,则a的取值范围是（ ）
.A0,1 .B10,2 .C1,12 .D
1,
4.已知函数212logyxaxa在2,上是减函数，则a的取值范围是（ ）
.A22,4 .B22,222 .C,22 .D
22,
5.若不等式2log0axx对任意的10,2x恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
.A0,1 .B1,116 .C1, .D
1
0,
16
6.当0,x时，幂函数2531mymmx为减函数，则m的值为（ ）
.A2m .B1m .C 1m或2m .D
以上答案都不对
7.
若ln2ln3ln5,,235abc,则 ( )
.A< 8. 若关于x的方程)lg(12axx有正数解，则实数a的取值范围（ ） 9. 已知=+1>0,1agxlogxaa在-1,0上有>0gx，则+1=xfxa是（ ） .C在（-，-1）上的增函数 .D 10.函数yfx与2xgxe的图像关于原点对称，则fx的解析式为（ ） .C2xfxe .D 11. 设1232 2log 21xexfxxx，则不等式2fx的解集为( ) 二、填空题（共6个小题，每题5分） 14. 如果函数13443xxaaxf是奇函数，则a= 17.化简4133332233381242aabbaababa的结果是 . 三、解答题（共有4个题，每题15分） （1）若fx的定义域是R，求a的取值范围； 20.设0a且1a，求函数1210,2xxfxaaax的值域 21. 已知函数()log11.afxxa若函数()ygx的图象上任意一点P关于原点的对 22. 设函数,223,2)1(,)(2bcaafcbxaxxf且求证： 2015届高三数学统练2答案 16. logloglogbbababa 17. a 18. ①②③④ 21. 已知函数()log11.afxxa若函数()ygx的图象上任意一点P关于原点的对 ，得解集0,1 (3) log1log1aaxxm恒成立 （1）4330aba且； ∴函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点. ∴abacxxabxx23,2121 2)2()23(4)(4)(||222122121abababxxxxxx 433a 57
.A-100a .B-1<0a .C0<1a .D
0<10a
.A在（-，0）上的增函数 .B
在（-，0）上的减函数
在（-，-1）上的减函数
.A2xfxe .B
2xfxe
2xfxe
.A(1,2)(3,).B(10,) .C(1,2)(10,) .D
(1,2)
12. 已知函数()fx是定义在R上的奇函数,0x时,2221232fxxaxaa.若
对,1xRfxfx,则实数a的取值范围是（ ）
.A11,66 .B66,66 .C1133 .D
33
33
2
13.函数3123log1xxyx的定义域为_______________
15. 方程12321log3xx的解是
16. 若21aba，则logbba，logba，logab从小到大依次为 ；
18. 已知函数fxxxpxqxR，给出下列四个命题：
①fx为奇函数的充要条件是0q；
②fx的图象关于点0,q对称；
③当0p时，方程fx=0的解集一定非空；
④当0p或24pq或24pq时，方程fx=0的解的个数一定不超过2．
其中正确命题序号为 .
19. 对于函数212log23fxxax，解答下列问题：
（2）若fx的值域是R，求a的取值范围；
（3）若fx在1,内上有意义，求a的取值范围；
（4）若fx的值域是,1，求a的取值范围；
（5）若fx在,1内为增函数，求a的取值范围.
3
称点Q的轨迹恰好是函数()fx的图象
（1）写出函数()ygx的解析式；
（2）求不等式2()()0fxgx的解集A；
（3）当xA时，总有()()fxgxm成立，求m的取值范围.
（1）4330aba且；
（2）函数)(xf在区间（0，2）内至少有一个零点；
（3）设21,xx是函数)(xf的两个零点，则125724|xx|.≤
4
一、选择题 CDCCBA CACCCB
二、填空题： 13. 1, 14. 2 15. -1
三、解答题
5
称点Q的轨迹恰好是函数()fx的图象
（1）写出函数()ygx的解析式；
（2）求不等式2()()0fxgx的解集A；
（3）当xA时，总有()()fxgxm成立，求m的取值范围.
21. 解:(1) log1agxx
(2) 2log1log10aaxx
2
1log0111axxx
即1log1axmx恒成立，1log1axx在0,1上值域0,
所以0m.
22. 设函数,223,2)1(,)(2bcaafcbxaxxf且求证：
（2）函数)(xf在区间（0，2）内至少有一个零点；
（3）设21,xx是函数)(xf的两个零点，则125724|xx|.≤
6
综合①②得f（x）在（0，2）内至少有一个零点
（3）∵x1，x2是函数f（x）的两个零点
则0,221cbxaxxx是方程的两根
b
12
24|xx|≤
天津市南开区2015届高三第二次高考模拟考试数学(文)试题带答案
南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）数 学 试 卷（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．祝各位考生考试顺利！第 Ⅰ 卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．本卷共8小题，每小题5分，共40分． 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么 ·球的体积公式V 球=34πR 3， P (A ∪B )=P (A )+P (B )． 其中R 表示球的半径．·棱柱的体积公式V 柱体=Sh ，其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）设i 是虚数单位，则复数ii65-=（ ）． （A ）6–5i （B ）6+5i （C ）–6+5i （D ）–6–5i （2）已知命题p ：x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≥0，则⌝p 是（ ）．（A ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≤0 （B ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≤0 （C ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)＜0 （D ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)＜0（3）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（ ）．（A ）10 （B ）11 （C ）12（D ）13（4）下列函数是奇函数的是（ ）．（A ）f (x )=–|x | （B ）f (x )=lg (1+x )–lg (1–x )（C ）f (x )=2x +2–x （D ）f (x )=x 3–1（5）如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32×64”的值，则判断框内可以填入（ ）．（A ）k ＜132? （B ）k ＜70? （C ）k ＜64? （D ）k ＜63?（6）已知双曲线C ：22x a –22y b=1的焦距为10，点P (2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为（ ）．（A ）220x –25y =1 （B ）25x –220y =1（C ）280x –220y =1 （D ）220x –280y =1（7）已知函数f (x )=sin (ωx +4π)（x ∈R ，ω＞0）的最小正周期为π，将y=f (x )的图象向左平移|ϕ|个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的一个值是（ ）． （A ）2π（B ）83π（C ）4π （D ）8π（8）在△ABC 中，若|AB +AC |=|AB –AC |，AB=2，AC=1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE •AF =（ ）．（A ）98 （B ）910 （C ）925（D ）926南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）答 题 纸（文史类）第 Ⅱ 卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2．本卷共12小题，共110分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。
天津市南开中学届高三校模拟考试
天津市南开中学2015届高三校模拟考试数学试卷（文）说明：1．本试卷分第І卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.2．请将选择题的答案填涂在答题卡上，填空题、解答题答在答题纸上.第І卷（选择题共40分）一、 选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填涂在答题卡上．．．．．．．．．．．!) 1. 复数22 ()1i i-（其中i 为虚数单位）的虚部等于( )． A ．i -B ．1-C ．1D ．02. 设集合{|2}A x x =>，若ee m ln =（e 为自然对数底），则( ).A.A ∅∈B.A m ∉C .A m ∈ D.{}m x x A >⊆3. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为( )． A.7 B.6 C.5 D .44.在等差数列{a n }中，若a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＝6，则a 9＋a 10等于( )． A ．9 B ．10 C ．11 D ．125.“a >3”是“函数f (x )＝ax ＋3在(－1,2)上存在零点”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6. 已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y的最小值是( ). A.53B.83C ．8D ．24 7.在如图所示的空间直角坐标系O －xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )．A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②8. 已知21,F F 分别为双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 的左右焦点，如果双曲线右支上存在一点P ,使得2F 关于直线1PF 的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为( ).A .332>e B.3321<<e C.3>e D.31<<e第Ⅱ卷（非选择题共110分）二．填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上．．．．．．．．．．!) 9. 公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，某人8:15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为____________．10. 已知变量x ，y 满足约束条件错误!则z ＝2x ·4y 的最大值为________． 11. 如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC ＝________m.12. 如图，P 为圆O 外一点，由P 引圆O 的切线PA 与圆O 切于A 点，引圆O 的割线PB 与圆O 交于C 点.已知AC AB ⊥，1,2==PC PA .则圆O 的面积为.第11题第12题13. 已知1OA =u u u r，2OB =u u u r ，0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，点C 在AOB ∠内，且45AOC ∠=︒，设() OC mOA nOB m n =+∈u u u r u u u r u u u r R ,，则mn的值为________．14. 已知函数243,0()22,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. (本小题满分13分)随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶CAP B图如图，其中甲班有一个数据被污损．（Ⅰ）若已知甲班同学身高平均数为170cm ，求污损处的数据； （Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学，求身高176cm 的同学被抽中的概率． 16. (本小题满分13分)已知函数f (x )＝2sin ωx ·cos ωx ＋23cos 2ωx －3(其中ω>0)，且函数f (x )的周期为π.(1)求ω的值； (2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小到原来的12倍(纵坐标不变)得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π24上的单调区间． 17. (本小题满分13分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD ＝2，AD ＝2，PA ＝PD ＝5，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点． (1)证明：EF ∥平面PAB ； (2)若二面角P －AD －B 为60°， ①证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；②求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．18. (本小题满分13分)已知各项均为正数的数列{}n a 满足22124n n n n n a a a a a ++++=-（n *∈N ），且11a =，24a =．()I 证明：数列{}n a 是等差数列；()II 设121n n n n b a a ++=，{}n b 的前n 项和为n S ，求证：1n S <． 19. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 和CD ，当直线AB 斜率为0时，32AB CD +=（1）求椭圆的方程；（2）求由,,,A B C D 四点构成的四边形的面积的取值范围. 20. (本小题满分14分)已知函数()ln 2mf x x x=+，()2g x x m =-，其中m ∈R ，e 2.71828=L 为自然对数的底数．（Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）对1[,1]e x ∀∈，是否存在1(,1)2m ∈，使得()()1>+f x g x 成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设()()()F x f x g x =，当1(,1)2m ∈时，若函数()F x 存在,,a b c 三个零点，且a b c <<，求证：101ea b c <<<<<．21.南开中学2015届高三文科数学校模拟参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 B C D C A C D A （9）41（10）32（11）120(3－1)（12）π49（132（14）(423-三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.解析：（Ⅰ）15816216316816817017117918210a x +++++++++=170=解得a =179所以污损处是9（Ⅱ）设“身高为176cm 的同学被抽中”的事件为A ，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173cm 的同学有：{181,173}，{181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}，{178,176}，{176,173}共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件，∴P(A)＝410＝2516.解 (1)因为f (x )＝2sin ωx ·cos ωx ＋23cos 2ωx －3＝sin2ωx ＋3cos2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3，又因为函数f (x )的周期为π，且ω>0， 所以T ＝2π2ω＝πω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位后得到函数y ＝2sin2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数g (x )＝2sin(4x －π6)的图象．由－π2＋2k π≤4x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，得k π2－π12≤x ≤k π2＋π6(k ∈Z )； 由π2＋2k π≤4x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )， 得k π2＋π6≤x ≤k π2＋5π12(k ∈Z )． 故函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π24上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π24，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π12.17.(1)证明 如图， 取PB 中点M ，连接MF ，AM .因为F 为PC 中点，故MF ∥BC 且MF ＝12BC .由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD .又由于E为AD 中点，因而MF ∥AE 且MF ＝AE ，故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF ∥AM .又AM ⊂平面PAB ，而EF ⊄平面PAB ，所以EF ∥平面PAB .(2)①证明 连接PE ，BE .因为PA ＝PD ，BA ＝BD ，而E 为AD 中点，故PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以∠PEB 为二面角P －AD －B 的平面角．在△PAD 中，由PA ＝PD ＝5，AD ＝2，可解得PE ＝2.在△ABD 中，由BA ＝BD ＝2，AD ＝2，可解得BE ＝1.在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60°，由余弦定理，可解得PB ＝3，从而∠PBE ＝90°，即BE ⊥PB .又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC .又BE ⊂平面ABCD ，所以，平面PBC ⊥平面ABCD .②解 连接BF .由①知，BE ⊥平面PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角．由PB ＝3及已知，得∠ABP 为直角．而MB ＝12PB ＝32，可得AM ＝112.故EF ＝112.又BE ＝1， 故在直角三角形EBF 中，sin ∠EFB ＝BE EF ＝21111.所以，直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为21111. 18.（Ⅰ）214n n n a a a +++=Q 且0n a >22∴==∴1=的等差数列21(1)1,n n n a n =+-⨯==()()2222211111n n b n n n n +∴==-++ 2221111223n S ∴=-+-+…()22111n n +-+ ()21111n =-<+19.（Ⅰ）由题意知，c e a==，则c b c a ==,2，2322222||||2=+=+=+∴c c ab a CD AB ， 所以1c =．所以椭圆的方程为2212x y +=．（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在， 由题意知22222121=⨯⨯=⋅=CD AB S 四边形；②当两弦斜率均存在且不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，且设直线AB 的方程为(1)y k x =-，则直线CD 的方程为1(1)y x k=--．将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得2222(12)4220k x k x k +-+-=，所以2222221221)1(22211221||1||k k k k k x x k AB ++=++⋅+=-+=．同理，2)1(2221)11(22||2222++=++=k k kk CD ．所以24222222522)1(42)1(2221)1(222121k k k k k k k CD AB S +++=++⋅++⋅=⋅⋅=四边形()()()2221422112121k k k k k k+==-++++，9112211222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k k k Θ当且仅当1±=k 时取等号 ∴)2,916[∈四边形S 综合①与②可知，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,916四边形S20.解：（Ⅰ）1m =时，1()ln ,02=+>f x x x x． ∴221121()22-'=-=x f x x x x由()0'>f x ，解得12>x ；由()0'<f x ，解得102<<x ；∴()f x 在1(0,)2上单调递减，1(,)2+∞上单调递增．∴=极小值)(x f 11()ln 11ln 222f =+=-．（II ）令1()()()1ln 21,,12⎡⎤=--=+-+-∈⎢⎥⎣⎦m h x f x g x x x m x x e ，其中1(,1)2m ∈由题意，()0h x >对1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，∵2221221()1,,122-+-⎡⎤'=--=∈⎢⎥⎣⎦m x x m h x x x x x e ∵1(,1)2m ∈，∴在二次函数222=-+-y x x m 中，480∆=-<m ，∴2220-+-<x x m 对∈x R 恒成立∴()0'<h x 对1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，∴()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减．∴min 5()(1)ln11212022==+-+-=->m h x h m m ，即45>m ． 故存在4(,1)5∈m 使()()f x g x >对1,1⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦x e 恒成立．（III ）()(ln )(2),(0,)2mF x x x m x x=+-∈+∞，易知2x m =为函数()F x 的一个零点，∵12>m ，∴21>m ，因此据题意知，函数()F x 的最大的零点1>c ，下面讨论()ln 2mf x x x=+的零点情况，∵2212()22m x mf x x x x -'=-=．易知函数()f x 在(0,)2m 上单调递减，在(,)2m+∞上单调递增．由题知()f x 必有两个零点，∴=极小值)(x f ()ln 1022=+<m m f ，解得20<<m e，∴122<<m e ，即(,2)2∈eme ． ∴11(1)ln10,()ln 11102222=+=>=+=-<-=m m em emf f e e ．又10101010101()ln 10100224---=+=->->m m f e e e e e ．101()0,()0,(1)0f e f f e -∴><>．10101e a b c e -∴<<<<<<．101a b c e∴<<<<<，得证．。
天津市南开中学2015届高三数学统练13 文
cos y xω=天津市南开中学2015届高三数学统练13 文说明：1．本试卷分第І卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.2．请将选择题的答案填涂在答题卡上，填空题、解答题答在答题纸上. 第І卷（选择题共40分）一．选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填涂在答题卡上!)i 是虚数单位，复数131ii --=（ ）A ．2i -B ．2i +C ．12i --D ．12i -+3()2x f x x =+的零点所在区间为( )A ．(0，1)B ．(-1，0)C ．(1，2)D ．(-2，-l)阅读如图的程序框图，若运行相应的程序,则输出的S 是（ ）A 21．B 39．C 81．D 102．若把函数sin y x ω=图象向左平移3π个单位，则与函数的图象重合，则ω的值可能是 （ ）A ．13B ．32C ．23D ．12设2log 3a =，4log 3b =，1.21()2c =，则它们的大小关系是（ ） A. b a c << B.b c a << C.c a b << D. a b c <<已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．()∞1，+ B ．()1，2C ．()21，1+D ．()22，1+已知A={||21|5x x -<}，B={2|540x x x -+<}，C=(1，3)，则“x A B ∈”是“x C ∈”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件已知函数1|1|,[2,0]()2(2),(0,)x x f x f x x -+∈-⎧=⎨-∈+∞⎩，若方程()f x x a =+在区间[2,4]-内有3个不等实根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{|20}a a -<< B ．{|20}a a -<< C ．{|20a a -<<或12}a << D ．{|20a a -<<或1}a = 第Ⅱ卷（非选择题共110分）二．填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上!)实数x ，y 满足不等式组10,1220y y x y W x x y ≥⎧-⎪-≥=⎨+⎪--≤⎩若,则W 的范围是 _________．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是 . 已知{}n a 为等差数列，nS 为其前n 项和，*n N ∈，若32016,20,a S ==则10S 的值为_______.如图,已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且2,::4:2:1.DF CF AF FB BE ===若CE 与圆相切，则CE 的长为__________.已知1x >，1y >，且1ln 4x，14，ln y 成等比数列，则xy 的最小值是_______.已知点M 为等边三角形ABC 的中心,=2AB ,直线l 过点M 交边AB 于点P ，交边AC 于点Q ，则BQ CP ⋅的最大值为 .三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） （本小题满分13分)2013年春节，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾驶摩托车沿321国道返乡过年，为保证他们的安全，交管部门在321国道沿线设立多个驾乘人员休息站，交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车，就进行省籍询问一次，询问结果如下图所示（Ⅰ）问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？（Ⅱ）用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？（Ⅲ）在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求至少有一名驾驶人员是广西籍的概率．（本小题满分13分)已知函数222263f (x )sin(x )cos(x )cos xππ=+-++．(I)求12f ()π的值；(Ⅱ)求f (x )的最大值及相应x 的值． (本小题满分13分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点，M 是棱PC 的中点,2PA PD ==，112BC AD ==，3CD =.（Ⅰ）求证：PE ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线BM 与平面ABCD 所成角的正切值； （Ⅲ）求直线BM 与CD 所成角的余弦值. (本小题满分13分)设0),(),,(222211>+b x a y y x B y x A 是椭圆是椭圆)0(1),(),,(222211>>=b a y x B y x A 是椭圆上的两点，已知向量11(,)x y b a =m ，P ABC DE M22(,)x y b a =n ,若0=⋅n m 且椭圆的离心率,23=e 短轴长为2，O 为坐标原点.( 1)求椭圆的方程；（2）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值； (本小题满分14分) 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*22()n n S a n N =-∈，数列{}n b 满足11b =，且12n n b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式，并求数列{}n n a b ⋅的前n 项的和nD ；（Ⅱ）设22*sin cos ()22n n n n n c a b n N ππ=⋅-⋅∈，求数列{}n c 的前2n 项的和2n T ．（本小题满分14分) 已知函数()()32 0f x ax bx cx d x a =+++∈≠R ,，2-是()f x 的一个零点，又()f x 在0x =处有极值，在区间()6,4--和()2,0-上是单调的，且在这两个区间上的单调性相反． （Ⅰ）求c的值； （Ⅱ）求ba 的取值范围；（Ⅲ）当3b a =时，求使(){}32A y y f x x ==-≤≤，，[]3,2A ⊆-成立的实数a 的取值范围．南开中学2015届高三文科数学统练13参考答案 一、选择题：二、填空题：（9）113W -≤≤（10）2π （11）110（12） （13）e （14）229-三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15 （I ）系统抽样 （II ）2名 （III ）16．H17.（1）∵PD PA =，E 为AD 的中点，AD PE ⊥∴又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，⊂PE 平面PADPE ∴⊥平面ABCD -------4分（2）连接EC ，取EC 中点H ，连接HB MH , ∵M 是PC 的中点，H 是EC 的中点，MH ∴∥PE 由（1）知PE ⊥平面ABCD ，MH ∴⊥平面ABCDHB ∴是BM 在平面ABCD 内的射影 MBH ∠∴即为BM 与平面ABCD 所成角∵AD ∥BC ，AD BC 21=，E 为AD 的中点，090=∠ADC∴四边形BCDE 为矩形，∴121,2===EC HB EC ，又∵,2321==PE MH MHB ∆∴中，23tan ==∠HB MH MBH∴直线BM 与平面ABCD 所成角的正切值为23-------9分(3) 由（2）知CD ∥BE ∴直线BM 与CD 所成角即为直线BM 与BE 所成角连接ME ，MHE Rt ∆中，,27=ME MHB Rt ∆中，,27=BM 又3==CD BE MEB ∆∴中，7213272473472cos 222=⨯⨯-+=⋅-+=∠BE BM ME BE BM MBE∴直线BM 与CD 所成角的余弦值为721-------13分18. 解：（1）2 2.1,2,c 2c b b e a a a =====⇒==椭圆的方程为1422=+x y（2）由题意，设AB 的方程为3+=kx y222212122(4)10.................4 141. .................5 4y kx k x y x x x x x k ⎧=+⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩-+==+分分由已知0=⋅n m 得：1212121222212121(43(1)().................6 444x x y y x x kx kx b a k x x x x +=+++=++++分22413()0,444k k k +=-+==+解得19．解：（Ⅰ）当1=n ，21=a ； …………………………1分 当2≥n 时，1122n n n n n a S S a a --=-=- ，∴12n n a a -=， ……………2分∴{}n a 是等比数列，公比为2，首项12a =， ∴2nn a = ………3分由12n n b b +=+，得{}n b 是等差数列，公差为2. ……………………4分又首项11=b ，∴21n b n =- ………………………………5分∴(21)2nn n a b n ⋅=-⨯∴1231123252(23)2(21)2n nn D n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ①①×2得23412123252(23)2(21)2n n n D n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ②…6分①—②得：123112222222(21)2n n n D n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯………7分114(12)22(21)212n n n -+-=+⨯--⨯- ……8分12(32)6n n +=--， ……9分 1(23)26n n D n +=-+ ………10分（Ⅱ）2(21)nn c n ⎧=⎨--⎩ 为偶数为奇数n n ………11分 321222[37(41)]n n T n -=+++-+++-． ………13分2122223n n n+-=-- ………14分20 解：（Ⅰ）∵()32f x ax bx cx d=+++，()232f x ax bx c'=++，()f x 在0x =有极值，∴()00f '=即0c =，……………………3分（Ⅱ）()232f x ax bx'=+，由()()320f x x ax b '=+=，得0x =或23bx a =-，()f x 在区间()6,4--和()20-,上单调且单调性相反,2423b a -≤-≤-，故36b a ≤≤．…………………6分（Ⅲ）3b a =，且2-是()f x 的一个零点，()28120f a a d -=-++=，4d a =-，()3234f x ax ax a=+-，()()23632f x ax ax ax x '=+=+，由()0f x '=得0x =或2x =-，…………….8分（ⅰ）当0a >时所以 当0a >时，若32x -≤≤，则()416a f x a-≤≤，…………………10分（ⅱ）当0a <时所以 当0a <时， 若32x -≤≤，则()164a f x a≤≤-，…………………12分得0 16 2 4 3 a a a >⎧⎪≤⎨⎪-≥-⎩，，， 或0 16 3 4 2 a a a <⎧⎪≥-⎨⎪-≤⎩，，， 即108a <≤或3016a -≤<，故a 的取值范围是31,00,168⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．…………………14分。
天津市南开中学2015届高三数学(理)统练9
一、二、 选择题（共8个小题，每题5分）1.ω为实数，函数()2sin f x x ω=在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，那么（ ） .A 302ω<≤.B 02ω<≤.C 32ω≤.D 2ω≥2. 在钝角ABC 中，AB =1AC =，90B =，则ABC 的面积是（ ）.A .B .C 32.D 343. 函数sin 1tan tan2x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ） .A 2π.B π.C 2 π.D 3π4. 要得到函数cos 24x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将sin 2x y =的图象（ ）.A 向右平移2π个单位.B 向右平移4π个单位 .C 向左平移2π个单位.D 向左平移4π个单位 5.ABC 中,()cos2cos cos 1B B A C ++-=，则（ ）.A ,,a b c 成等比数列.B ,,a b c 成等差数列 .C a b c ==.D 以上均不对6. 关于x 的方程22cos cos cos02Cx x A B --=有一个根为1，则ABC 一定是（ ） .A 等腰三角形 .B 直角三角形 .C 锐角三角形 .D 钝角三角形7. 已知[]()()0,,sin cos x f x x π∈=的最大值为a ,最小值为b ,()()cos sin g x x =的最大值为c ,最小值为d ,则,,,a b c d 的大小关系为（ ）.A b d c a <<< .B d b c a <<< .C d c b a <<< .D b d a c <<<8. 方程sin 2cos xx =在[)0,2π上的解的个数是（ ）.A 1个.B 2个.C 3个.D 4个三、 填空题（共6个小题，每题5分）9.ABC 中，60A =，a =，b =B =__________10. ()sin sin cos y x x x =-02x π⎛⎫<< ⎪⎝⎭的值域是__________ 11. 若()sin 3sin 44f x a x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数，则a =__________ 12. ABC 中，120A =，5AB =，7BC =，则sin sin BC=__________ 13.ABC 中，10a =，9cot2AS =，则b c -= __________ 14. 函数sin cos y a x b x c =++的图象上有一个最低点11,16π⎛⎫⎪⎝⎭，现纵坐标不变，将横坐标缩小到原来的3π，再向左移1个单位得()y f x =的图像，且()3f x =的所有正根依次构成一个公差为3的等差数列，则()f x =__________三、解答题（共有6个题）15. 从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球（不放回），则实验结束（1）求第一次实验恰好摸到1个红球和1个白球的概率； （2）记实验次数为X ，求X 的分布列及方差()D X16. 已知3cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 13ββ-=，其中344ππα<<，04πβ<<， 求()sin αβ+的值17. 四边形ABCD 中，1AD =，2CD =，AC（1）求cos CAD ∠；（2）若cos BAD ∠=，sin 6CBA ∠=，求BC 18. 已知函数213sin cos 22y x a x a =+--的最大值为1，求a19.ABC 中，cos a C b += （1）求A ；（2）若1a =21b -=，求B 20. 已知0a >，函数()()2ln 12xf x ax x =+-+ （1）讨论()f x 在区间()0,+∞上的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，且()()120f x f x +>，求a 的取值范围班级 姓名 学号 成绩天津南开中学2015届高三数学统练9（理科） 答题纸一、选择题二、填空题9._____________ 10.______________ 11._____________12.______________ 13._____________ 14.______________三、解答题15.16.17.18.1920. 1.解：2131cos cos 22y x a x a =-+--，令c o s t x =，则[]1,1t ∈-，问题转化为求a 的范围，使得函数()21122g t t at a =-+--221112422a t a a ⎛⎫=--+-- ⎪⎝⎭在[]1,1t ∈-上最大值为。
天津市南开中学2015届高三数学(理)统练6
天津市南开中学2015届高三数学统练6一、选择题（共12个小题. 每小题5分，共60分）1. 0a <，0b <，则22b a p a b=+与q a b =+的大小关系为 （ ） A.p q > B. p q ≥ C. p q < D. p q ≤ 2. 已知a b c >>，则114a b b c c a++---的值是 ( ) A .非负数 B .非正数 C .正数 D . 不确定 3. 关于函数()ln 2f x x =-下列描述正确的有（ ）个①函数()f x 在区间()12，上单调递增； ②函数()y f x =的图象关于直线2x =对称； ③若12x x ≠，但()()12f x f x =，则124x x +=； ④函数()f x 有且仅有两个零点.A. 1B. 2C. 3D. 4 4. 已知函数()()11x xx a f x a -=+（0,1a a >≠），则A. 函数()f x 在()0,+∞上是增函数B. 函数()f x 在()0,+∞上是减函数C. 函数()f x 是奇函数D.函数()f x 是偶函数5. 设0a >，()2f x ax bx c =++，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线的倾斜角的范围是0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则点P 到曲线()y f x =对称轴距离的取值范围是（ ） A ．10,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 0,2b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 10,2b a ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦6. 若(1,2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -<恒成立，则a 的取值范围是（ ）A.(0,1) B ．(1,2) C. (1,2] D. [1,2]7. 不等式221log 1log x x +>-的解集为（ ）A ．[2,)+∞B ．(1,8)C ．(2,)+∞D ．(1,)+∞8. 若1927x ≤≤，则33()log log (3)27x f x x =⋅（ ） A ．有最小值329-，最大值3- B. 有最小值4-，最大值12C. 有最小值329-，无最大值 D. 无最小值，有最大值129. 已知：a ，b ，c ，d 满足：12log 3a a =，12log 2b b =，21log 3c c =，21log 2d d =. 则a ，b ，c ，d 的大小关系是（ ）A. a b c d >>>B. a b c d <<<C. a b d c >>>D. b a c d >>>10. 设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（ ）()A 1ln 2- ()B 2(1ln 2)- ()C 1ln 2+ ()D 2(1ln 2)+11. 对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数()()()222f x x x x =-⊗-，x ∈R ．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )． A ．()3,21,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭ B ．(]3,21,4⎛⎫-∞--- ⎪⎝⎭ C ．111,,44⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ D ．311,,44⎛⎫⎡⎫--+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭12. 设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时，（ ） （A ）有极大值，无极小值 （B ）有极小值，无极大值 （C ）既有极大值又有极小值 （D ）既无极大值也无极小值二、填空题（共6个小题. 每小题5分，共30分）13. 函数()2ln 6y x x =+-的单调递增区间是 .14. 计算定积分(sin cos )x x dx π+⎰_______________=15. 已知函数()()2ln f x ax x x x =+-在区间[)1,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是____________.16. 设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-,记()()f x g x x=,若函数()g x 至少存在一个零点,则实数m 的取值范围是______.17. 已知函数()133+-=x x x f ,()m x g x-=)21(,若对1[1,3]x ∀∈-,2[0,2]x ∃∈,12()()f x g x ≥,则实数m 的取值范围是______.18. 若不等式3ln 1mx x -≥对(]0,1x ∀∈恒成立,则实数m 的取值范围是_______.三、解答题（共有4个题，每题15分）19. 某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有,,,A B C D 四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题,,,A B C D 分别加1分，2分，3分，6分，答错任意题减2分；②每答一题，计分器显示累计分数，当累积分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累积分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；答完四题累计分数不足14分时，答题结束淘汰出局；③每位参加者按,,,A B C D 顺序作答，直至答题结束. 假设甲同学对问题,,,A B C D 回答正确的概率依次为3111,,,4234，且各题回答正确与否相互之间没有影响.（Ⅰ）求甲同学能进入下一轮的概率；（Ⅱ）用ξ表示甲同学本轮答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.20. 设函数2()1xf x e x ax =---．若0a =，求()f x 的单调区间；（2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围．21. 已知函数()e x f x kx x =-∈R ，（Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(e2)()n n F F F n n +*>+∈N ．22. 已知a b ，是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数．班级 姓名 学号 成绩天津南开中学2015届高三数学统练6（理科） 答题纸一、选择题 题号 123456789101112答案 二、填空题13._____________ 14.______________ 15._____________16.______________ 17.__ ___________ 18.______________ 三、解答题 19.20.21.22.天津南开中学2015届高三数学统练6（理科）答案一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D A C D B C D B A B B D二、填空题13.12,2⎛⎫-⎪⎝⎭14. 215.1,2e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭16. 21(,]ee-∞+17.45≥m18.2[,)3e+∞(Ⅱ)由题意可知随机变量ξ可能的取值为2,3,4,.由于每题的答题结构都是相对独立的，所以121(2)()8P P N N ξ===, 1231233113123(3)()()4234238P P M M M P M N N ξ==+=⋅⋅+⋅⋅= 131(3)1(1)(2)1882P P P ξξξ==-=-==--=因此随机变量ξ的分布列为ξ1 2 3P1838 12所以131272348828E ξ=⨯+⨯+⨯=.20. 解：（1）0a =时，()1x f x e x =--，'()1xf x e =-.当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调减少，在(0,)+∞单调增加（II ）'()12xf x e ax =--由（I ）知1xe x ≥+，当且仅当0x =时等号成立.故'()2(12)f x x ax a x ≥-=-，从而当120a -≥，即12a ≤时，'()0 (0)f x x ≥≥，而(0)0f =， 于是当0x ≥时，()0f x ≥. 由1(0)x e x x >+≠可得1(0)x e x x ->-≠.从而当12a >时，'()12(1)(1)(2)x x x x x f x e a e e e e a --<-+-=--，故当(0,ln 2)x a ∈时，'()0f x <，而(0)0f =，于是当(0,ln 2)x a ∈时，()0f x <. 综合得a 的取值范围为1(,]2-∞.21.解: （Ⅰ）由e k =得()e e x f x x =-，所以()e e x f x '=-． 由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，， 由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，． （Ⅱ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数．于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立． 由()e 0x f x k '=-=得ln x k =．①当(01]k ∈，时，()e 10(0)x f x k k x '=->->≥． 此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意． ②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表：x(0ln )k ，ln k(ln )k +∞，()f x ' -+()f x单调递减极小值单调递增由此可得，在[0)+∞，上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥．依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，． 综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<．（Ⅲ）()()()e e x x F x f x f x -=+-=+，12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+， 1(1)()e 2n F F n +∴>+，1(2)(1)e 2n F F n +->+1()(1)e 2.n F n F +>+由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e 2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+故12(1)(2)()(e2)n n F F F n n +*>+∈N ，．22. 解：（1）由32()f x x ax bx =++，得2()32f'x x ax b =++。
天津市南开中学2015届高三数学(理)统练16
一、选择题（共8小题，每题5分）1.已知12F F ，分别是椭圆的两个焦点,点P 在椭圆内部,且120PF PF ⋅=,则椭圆的离心率的取值范围是( )A ．()0,1B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C .⎛ ⎝⎭D. ⎫⎪⎪⎣⎭2.已知点M 为椭圆221259x y +=上一点,12,F F 分别为左,右焦点,点O 是坐标原点,12MF =,N 是线段1MF 的中点,则ON 的值是( )A ．2B ．4C .8 D. 323.已知直线m 、n ，平面α、β,给出下列命题:①若,m n αβ⊥⊥，且m n ⊥，则αβ⊥ ②若//,//m n αβ，且//m n ，则//αβ ③若,//m n αβ⊥，且m n ⊥，则αβ⊥ ④若,//m n αβ⊥，且//m n ，则//αβ 其中正确的命题是（ ）.A ．①③B ．②④C .③④ D.①4.若直线y x b =+与曲线3y =有公共点，则b 的取值范围是( )A.[1-1+B.[1C.D.[1-,3]5.下列命题中，真命题的是（ ）.A ．若)(x f 是定义在上的偶函数，且在上是增函数，)2,4(ππθ∈，则 (sin )(cos )f f θθ> B ．若锐角α、cos sin ,2πβαβαβ>+<满足则C .若2()2cos1,()()2xf x f x f x x R π=-+=∈则对恒成立 D.要得到函数).42sin(π-=x y 的图像，只需将2sin x y =的图像向右平移4π个单位6.函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）.A ．)48sin(4π+π-=x y B ．)48sin(4π-π=x y C .)48sin(4π-π-=x y D. )48sin(4π+π=x y7. 设 ()()12,0F F c -c,0，分别是椭圆22221x y a b +=（0a b >>）是以12F F 为直径的圆与椭圆的一个交点,若12215PF F PF F ∠=∠,A ．2 B ．2 C .3 D. 38.已知直三棱柱111ABC A B C -的各棱长均为1，棱1BB 所在直线上的动点M 满足1BM BB λ=，AM 与侧面11BB C C 所成的角为θ，若λ∈⎣，则θ的取值范围是（ ） A ．,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C . ,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 5,312ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题（共6个小题，每题5分） 9设曲线()1n y x n N ++=∈在点()1,1处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，记2014log n n a x =，则122013a a a +++= .10.在ABC ∆中，角,,A B C 所队的边分别为,,a b c .若cos 4,2A AB AC =⋅=则ABC ∆中的面积为 . 11.已知数列(){}()2log 1n a n N *-∈为等差数列，且123,5a a ==，则21321111n na a a a a a ++++---= .12.已知函数()y f x =的图象是折线段ABC ,其中()()()0,0,1,5,2,0A B C ,函数()()02y xf x x =≤≤的图象与x 轴围成的图形的面积是 .13.已知直线()f x 1y kx =+与圆2240x y kx my +++-=相交于,M N 两点,且点,M N 关于直线y x =-对称.若,y x 满足不等式组1000kx y kx my y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则线段2z x y =-的最小值为 .14.已知直线l 交椭圆2212016x y +=于,M N 两点,椭圆与y 轴的正半轴交于点B ,若MBN ∆的重心恰好是椭圆的右焦点,则直线l 的方程为.三、解答题（共6个小题）15.已知函数()()2-2sin>02xf x x ωωω的最小正周期为3π，（Ⅰ）当3,24x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 时，求函数()f x 的最小值； （Ⅱ）在ABC ，若()1f C =,且()22sin cos cos B B A C =+-,求sin A 的值.16. 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球． （I ）求取出的4个球均为黑球的概率；（II ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望E ξ．17．已知斜三棱柱111ABC A B C -,90BCA ∠=︒, 2AC BC ==,1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ,又知11BA AC ⊥.（Ⅰ） 求证：1AC ⊥平面1A BC ；（Ⅱ）求1CC 到平面1A AB 的距离；（Ⅲ）求二面角1A A B C --的余弦值.18.设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为n S ，对于任意的正整数n 都有等式21142n n n S a a =+()n N *∈成立. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式; （Ⅱ）令数列2n n n c a b =(其中c 为正实数)，T n 为数列{b n }的前n 项和，若8n T >对n N *∈恒成立，求c 的取值范围.19. 已知椭圆22:14y E x +=,过点()0,3M 的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点,.A B （Ⅰ）若直线l 与x 轴交于点N ,且A 是线段MN 的中点,求直线l 的方程;（Ⅱ）若P 为椭圆上一点,且OA OB OP λ+=(O 为坐标原点),当AB <时,求实数λ的取B A CD 1A 1B 1C值范围.20.已知函数()2ln ,f x a x x a R =+∈.（Ⅰ）若存在[]1,x e ∈,使得()()2f x a x ≤+成立,求实数a 的取值范围; （Ⅱ）求函数()f x 在[]1,e 上的最小值及相应的x 的值.天津南开中学2015届高三数学统练16（理科）答案一、选择题 CBDD BACB三、解答题（共6个小题）15.已知函数()()2-2sin>02xf x x ωωω的最小正周期为3π，（Ⅰ）当3,24x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最小值； （Ⅱ）在ABC ，若()1f C =,且()22sin cos cos B B A C =+-,求sin A 的值.(17)解：()1-cos -2+cos -1=2sin +-126x f x x x x x ωπωωωω⎛⎫⋅⎪⎝⎭ 依题意函数)(x f 的最小正周期为3π，即23ππω=，解得23ω=， 所以()2=2sin +-136f x x π⎛⎫⎪⎝⎭.（Ⅰ）由324x ππ≤≤得22+2363x πππ≤≤，所以，当2sin +36x π⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()f x的最小值为2（Ⅱ）由()2=2sin 136f C C π⎛⎫+- ⎪⎝⎭及()1f C =，得2sin C+=136π⎛⎫ ⎪⎝⎭由0<<,C π则25<+<6366C πππ,所以2+=362C ππ,得2C π=. 在Rt ABC 中，由2A B π+=,()22sin =cos +cos B B A C -,整理得2sin +sin -1=0A A ,又由0<sin <1A ,所以sin A =16. 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球． （I ）求取出的4个球均为黑球的概率；（II ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望E ξ． 16.解：（I ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B ．由于事件A B ，相互独立，且23241()2C P A C ==，24262()5C P B C ==．故取出的4个球均为黑球的概率为121()()()255P AB P A P B ==⨯=··． （II ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D ．由于事件C D ，互斥，且21132422464()15C C C P C C C ==··，123422461()5C C PD C C ==·．故取出的4个球中恰有1个红球的概率为417()()()15515P C D P C P D +=+=+=．（Ⅲ）ξ可能的取值为0123，，，．由（1），（2）得1(0)5P ξ==，7(1)15P ξ==，13224611(3)30C P C C ξ===·．从而3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==． ξ的分布列为17317=0+1+2+3=51510306E ξ⨯⨯⨯⨯.17．已知斜三棱柱111ABC A B C -,90BCA ∠=︒, 2AC BC ==,1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ,又知11BA AC ⊥.（Ⅰ） 求证：1AC ⊥平面1A BC ； （Ⅱ）求1CC 到平面1A AB 的距离； （Ⅲ）求二面角1A A B C --的余弦值.17．解法1：（Ⅰ）∵1A D ⊥平面ABC ,∴平面11AAC C ⊥平面ABC , 又BC AC ⊥,∴BC ⊥平面11AA C C ,得1BC AC ⊥,又11BA AC ⊥,∴1AC ⊥平面1A BC . （Ⅱ）∵11AC AC ⊥,四边形11AA C C 为菱形,故12AA AC ==,又D 为AC 中点,知∴160A AC ∠=︒.取1AA 中点F ,则1AA ⊥平面B C F ,从而面1A AB ⊥面BCF .过C 作CH BF ⊥于H ,则CH ⊥面1A AB ,在Rt BCF ∆中,2,BC CF =,故7CH =,即1CC 到平面1A AB的距离为7CH =.另解：等体积法11C A AB A ABC V V --=（Ⅲ）过H 作1HG A B ⊥于G ,连CG ,则1CG A B ⊥,从而CGH ∠为二面角1A A B C --的平面角,在1Rt A BC ∆中,12ACBC ==,∴CGBAC1A1B 1CDGHFBACD1A 1B 1C在Rt CGH ∆中,7sin CHCG CGH ∠==,故二面角1A A B C --的大小为cos θ=.解法2：（Ⅰ）如图,取AB 的中点E ,则//DE BC ,∵BC AC ⊥,∴DE AC ⊥, 又1A D ⊥平面ABC ,以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系, 则(0,1,0)A -,(0,1,0)C ,(2,1,0)B , 1(0,0,)A t ,1(0,2,)C t ,1(0,3,)AC t =, 1(2,1,)BA t =--,(2,0,0)CB =,由10AC CB ⋅=,知1AC CB ⊥,又11BA AC ⊥, 从而1AC ⊥平面1A BC .（Ⅱ）由21130AC BA t ⋅=-+=,得t =设平面1A AB 的法向量为(,,)n x y z =,1(0,1AA =,(2,2,0)AB =,10220n AA y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩, 设1z =,则33(,n =-.∴点1C 到平面1A AB 的距离1||2217||AC n n d ⋅==（Ⅲ）设面1ABC 的法向量为(,,)m x y z =,1(0,CA =-,(2,0,0)CB =,∴1020m CA y m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩. 设1z =,则3(0,m =,故77||||cos ,m n m n m n ⋅⋅<>==-,根据法向量的方向可知二面角1A A B C --的大小为cos θ=18.设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为n S ，对于任意的正整数n 都有等式21142n n n S a a =+()n N *∈成立. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)令数列2n n nc a b =(其中c 为正实数)，T n 为数列{b n }的前n 项和，若8n T >对n N *∈恒成立，求c 的取值范围.18.解：(1)21142n n n S a a =+ 211111(2)42n n n S a a n ---∴=+≥ 221111111()4242n n n n n n n a S S a a a a ---∴=-=+-+ 12n n a a -∴-= 又12a = 2n a n ∴=(2)222n n n n c a nb c ==12n n T b b b =+++=231232()2222n nc ++++设231232222n n n M =++++,2341112322222n n n M +=++++23411111112222222n n n n M +∴=++++- 122[1]2n n n M ++∴=- 124[1]2n n n T c ++∴=-,由题意124[1]82n n c ++->12212n c n +∴>+-对n N *∈恒成立 ,由1212n n ++-单调性,得1121142n n ++≤-< , 1228.212n n +∴<≤+-要使8n T >对n N *∈恒成立，故8c >. ∴c 的取值范围是()8,+∞.19. 已知椭圆22:14y E x +=,过点()0,3M 的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点,.A B （Ⅰ）若直线l 与x 轴交于点N ,且A 是线段MN 的中点,求直线l 的方程;（Ⅱ）若P 为椭圆上一点,且OA OB OP λ+=(O 为坐标原点),当AB <时,求实数λ的取值范围.解：（Ⅰ）设()00,A x y .由A 为MN 的中点,则032y =.又()00,A x y 在椭圆E 上,则220014y x +=,解得0x =,所以342A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或3,42A ⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭.因而直线l 的为k =所以直线l 的方程为60x -=或60x -=.（Ⅱ）设直线AB 的方程为3y kx =+,或0x =,()11,A x y ,()22,y B x ,()33,P x y .当直线AB 的方程为0x =时,4AB =>,不合题意. 当直线AB 的方程为3y kx =+时,由22314y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22465,k x kx +++()()2262040k k ∆=-+>,即25k >.则12122265,,44k x x x x k k +=-=++()()1212224334yy kx kx k +=+++=+. 因为AB =<,即<,解得258k <<.又OA OB OP λ+=,即()()()112233,,,x y x y x y λ+=.由于0λ≠,则()12326,4x x k x k λλ+-==+()1232244y y y k λλ+==+.由()33,P x y 在在椭圆E 上,所以()()222261241444k k k λλ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,解得22364k λ=+,因为258k<<,所以234λ<<,即2λ-<<2λ<<.实数λ的取值范围是()2,2-⋃.（Ⅱ）()22,0x a f x x x+'=>,当[]221,,22,2x e x a a a e ⎡⎤∈+∈++⎣⎦. ①当2a ≥-时, 对[]1,x e ∈,恒有()0f x '≥，当且仅当2,1a x =-=时,()0f x '=.因此,函数()f x 在[]1,e 上是增函数,所以,()()min 11f x f ==.②当2-22e a <<-时,()01f x x '<⇔≤<,()0f x x '=⇔=,()0f x x e '>⇔<≤,所以,()min ln 222a a af x f ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭. ③当22a e ≤-时, 对[]1,x e ∈,恒有()0f x '≤，当且仅当22,a e x e =-=时,()0f x '=.因此,函数()f x 在[]1,e 上是减函数,所以,()()2min f x f e a e ==+.纵上可知,当2a ≥-时,()()min 11f x f ==;当2-22e a <<-时,()min ln 222a a a f x f ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭;当22a e ≤-时, ()()2min f x f e a e ==+.。
天津市南开中学2015届高三数学统练7 数列 文
天津市南开中学 2015 届高三数学统练 7 数列 文一、选择题等差数列{an}中， a1 1 ， a3 a5 14 ，其前 n 项和 Sn 100 ,则 n =（ ）A. 9B. 10C.11D. 12已知等差数列 an 中， a2 a5 a9 a12 60，那么其前 13 项和为（ ）A. 390B. 195C.180D. 120设 an是首项为 a1 ，公差为 1 的等差数列， Sn 为其前 n 项和，若 S1，S2，S4，成等比数列，则 a1 =（ ）11A. 2B. 2C. 2D. 2等差数列{an}的公差是 2，若 a2, a4, a8 成等比数列，则{an}的前 n 项和 Sn （ ）A. n(n 1)B. n(n 1)n(n 1) C. 2n(n 1) D. 2等差数列 an 中的前 12 项的和为 S12 354,其中奇数项之和 S奇 与偶数项之和 S偶 的比为2732 ,则 an的公差 d ().A. 10B. 30C. 5D. 15 设等差数列 an 的公差 d 不为 0， a1 9d ．若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项，则 k （ ）A. 2B. 4C.6D. 8 已知数列 an 的通项公式为 an (1)n1(4n 3) , Sn 为其 n 项和,则 S15 S22 S31 的值为()A. 13B. 76C.46D. 76设等差数列{an}的公差为 d ，若数列{2a1an }为递减数列，则（ ）A. d 0B. d 0C. a1d 0D. a1d 0 数列anan 的通项公式为(2 3)n1(2 3)n11 ,则下列表述正确的是()A.最大项为 a1 ,最小项为 a3B.最大项为 a1 ,最小项不存在C.最大项不存在, 最小项为 a3D. 最大项为 a1 ,最小项为 a4 数列 anan1 满足 2an,0 an 2an 1,1 2 1; 2an 1 .若 a16 7,则 a20 的值为()6531A. 7B. 7二、填空题C. 7D. 7已知数列的通项 an 5n 2 ，则其前 n 项和 Sn ．数列 {an } 的前n项和为Snan，若1 n(n 1)，则S5=．等比数列{an}中,已知 a1 an 66, a2an1 128, Sn 126,则 n ___ .已知{an}等比数列, Sn 是它的前 n 项和, S10 2, S30 S10 12则 S60 S30 ___ .在等差数列 an 中，a1 7 ，公差为 d ，前 n 项和为 Sn ，当且仅当 n 8 时 Sn 取最大值，则 d的取值范围_________.已知{an}是等差数列, Sn 是{an}的前 n 项和,首项 a1 10 ,并且当 n 6 时, Sn 取得最小值,则公差 d 的取值范围是.等 比 数 列 an 的 前 n 项 和 为 Sn ， 已 知 S1 ， 2S2 ， 3S3 成 等 差 数 列 ， 则 an 的 公 比为．等 比 数 列 an 的 各 项 均 为 正 数 ， 且 a1a5 4 ， 则log2 a1 log2 a2 log2 a3 log2 a4 log2 a5 .三、解答题{an}成等差数列， S3 21， S6 24 ，求数列{| an |}的前 n 项和Tn .设 {an } 是等差数列， bn( 1 )an 2b1 b2，已知 b3218b1b2 b3，1 8 ，（1）求证：数列{bn}是等比数列；（2）求等差数列{an}的通项 an .天津南开中学 2015 届高三数学统练 7 参考答案三解答题19解：21 24 3a1 6a1 3d 1 5dda19 2n 5 时， an 0 n 6 时， an 0（1） n 5 Tn a1 an n2 10n（2） n 6 Tn | a1 | | an | a1 a2 a5 a6 an 25 (a6 an ) 25 25 (a1 a2 a5 a6 an ) 50 Sn n2 10n 50∴Tn n2 n2 10n(n 5) 10n 50(n 6)∴ an 2n 5 或 2n 3。
高三数学下学期统练试卷(3)理(含解析)-人教版高三全册数学试题
2015年某某市南开中学高考数学统练试卷（理科）（3）一、选择题（共12个小题.每小题5分，共60分）1．若a=0.33，b=33，c=log30.3，则它们的大小关系为（）A． a＞b＞c B． c＞b＞a C． b＞c＞a D． b＞a＞c2．命题p：|x|＜1，命题q：x2+x﹣6＜0，则￢p是￢q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．设x＞0，若x+＞1恒成立，则a的取值X围是（）A．（，+∞） B．（，+∞） C．（1，+∞） D．（2，+∞）4．已知b＞a＞0，且a+b=1，那么（）A． 2ab＜＜＜b B． 2ab＜＜＜bC．＜2ab＜＜b D． 2ab＜＜b＜5．设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（）A．≥4 B． a3+b3≥2ab2C． a2+b2+2≥2a+2b D．≥6．已知2a+1＜0，关于x的不等式x2﹣4ax﹣5a2＞0的解集是（）A． {x|x＞5a或x＜﹣a} B． {x|﹣a＜x＜5a} C． {x|x＜5a或x＞﹣a} D． {x|5a＜x ＜﹣a}7．设函数，则使得f（x）≥1的自变量x的取值X围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[1，2] B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） C．（﹣∞，﹣2]∪[0，2] D． [﹣2，0]∪[2，+∞）8．当x＜0时，函数的最小值是（）A． B． 0 C． 2 D． 49．不等式≥3的解集是（）A． {x|﹣2≤x≤2} B． {x|﹣2≤x＜﹣1或﹣1＜x＜1或1＜x≤2}C．{x|x≤2且x≠±1} D． {x|﹣2≤x＜﹣1或1＜x≤2}10．已知集合M={x|9x＜27x}，N={x|log（x﹣1）＞0}，则M∩N=（）A．（0，） B．（，2） C．（1，） D．（0，1）11．对于恒成立，则a的取值X围（）A．（0，1） B． C． D．12．设0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数解恰有3个，则（）A．﹣1＜a＜0 B． 0＜a＜1 C． 1＜a＜3 D． 3＜a＜6二、填空题（共6个小题.每小题5分，共30分）13．不等式||＞a的解集为M，且2∉M，则a的取值X围为．14．已知偶函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，则满足f（log x2）＜f（1）的实数x的取值X是．15．若关于x的不等式|x|+|x﹣1|＞|x﹣a|对∀x∈R恒成立，则a的取值X围是．16．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值X围为．17．若正数x，y满足+=2，则xy的最小值是．18．设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则的最小值是．三、解答题（共有4个题，每题15分）19．（15分）（2015•某某校级模拟）已知不等式（a+b）x+（2a﹣3b）＜0的解为x＞﹣，解不等式（a﹣2b）x2+2（a﹣b﹣1）x+（a﹣2）＞0．20．（15分）（2015•某某校级模拟）设不等式x2﹣2ax+a+2≤0的解集为M，若M⊆[1，4]，某某数a的X围．21．（15分）（2005•某某）已知函数（a，b为常数）且方程f（x）﹣x+12=0有两个实根为x1=3，x2=4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设k＞1，解关于x的不等式；．22．（15分）（2014•某某）已知函数f（x）=x2﹣ax3（a＞0），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，求a 的取值X围．2015年某某市南开中学高考数学统练试卷（理科）（3）参考答案与试题解析一、选择题（共12个小题.每小题5分，共60分）1．若a=0.33，b=33，c=log30.3，则它们的大小关系为（）A． a＞b＞c B． c＞b＞a C． b＞c＞a D． b＞a＞c考点：不等式比较大小．专题：计算题．分析：利用幂函数与对数函数的性质即可判断．解答：解：∵y=x3是R上的增函数，∴0＜a＜b，又y=log3x为[0，+∞）上的增函数，∴c=log30.3＜log31=0，∴c＜a＜b．故选D．点评：本题考查不等式比较大小，重点考查学生掌握与应用幂函数与对数函数的单调性质，属于容易题．2．命题p：|x|＜1，命题q：x2+x﹣6＜0，则￢p是￢q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：求出命题的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：由|x|＜1得﹣1＜x＜1，由x2+x﹣6＜0得﹣3＜x＜2，即p：﹣1＜x＜1，q：﹣3＜x＜2，则p是q的充分不必要条件，故答案为：￢p是￢q的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据逆否命题的等价性判断p是q的充分不必要条件是解决本题的关键．3．设x＞0，若x+＞1恒成立，则a的取值X围是（）A．（，+∞） B．（，+∞） C．（1，+∞） D．（2，+∞）考点：基本不等式．专题：不等式．分析：问题转化为+a﹣＞0在x＞0时恒成立，结合二次函数的性质，从而求出a的X围．解答：解：设x＞0，若x+＞1恒成立，则：x2﹣x+a＞0，即+a﹣＞0，∴a﹣＞0，解得：a＞，故选：A．点评：本题考查了二次函数的性质，考查函数恒成立问题，是一道基础题．4．已知b＞a＞0，且a+b=1，那么（）A． 2ab＜＜＜b B． 2ab＜＜＜bC．＜2ab＜＜b D． 2ab＜＜b＜考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析： b＞a＞0，且a+b=1，可得：1＞＞a，利用a2+b2，可得．由＞，可得=．由于﹣b=（a+b）（a2+b2）﹣b=a2+b2﹣b=（1﹣b）2+b2﹣b=2b2﹣3b+1，再利用二次函数的性质即可得出．解答：解：∵b＞a＞0，且a+b=1，∴2a＜1=a+b＜2b，∴1＞＞a，=（a+b）（a2+b2）=a2+b2=，又＞，∴，即=．﹣b=（a+b）（a2+b2）﹣b=a2+b2﹣b=（1﹣b）2+b2﹣b=2b2﹣3b+1=2﹣﹣=0，∴＜b．综上可得：2ab＜＜b．故选：B．点评：本题考查了不等式的基本性质、函数的性质、“作差法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（）A．≥4 B． a3+b3≥2ab2C． a2+b2+2≥2a+2b D．≥考点：基本不等式．分析：根据基本不等式的性质可知．≥排除A，取，判断出B不成立．a2+b2+2﹣（2a+2b）=（a﹣1）2+（b﹣1）2≥排除C；看a＜b和a≥b，时D项均成立排除D．解答：解：∵a＞0，b＞0，∴A．≥≥4故A恒成立，B．a3+b3≥2ab2，取，则B不成立C．a2+b2+2﹣（2a+2b）=（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0故C恒成立D．若a＜b则≥恒成立若a≥b，则=2≥0，∴≥故D恒成立点评：本题主要考查了基本不等式问题．考查了学生对基础知识的掌握．6．已知2a+1＜0，关于x的不等式x2﹣4ax﹣5a2＞0的解集是（）A． {x|x＞5a或x＜﹣a} B． {x|﹣a＜x＜5a} C． {x|x＜5a或x＞﹣a} D． {x|5a＜x ＜﹣a}考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：求出不等式对应的方程的两根，并判定两根的大小，从而得出不等式的解集．解答：解：不等式x2﹣4ax﹣5a2＞0可化为（x﹣5a）（x+a）＞0；∵方程（x﹣5a）（x+a）=0的两根为x1=5a，x2=﹣a，且2a+1＜0，∴a＜﹣，∴5a＜﹣a；∴原不等式的解集为{x|x＜5a，或x＞﹣a}．故选：C．点评：本题考查了含有字母系数的不等式的解法问题，解题时应根据条件，比较对应的方程两根的大小，求出不等式的解集来，是基础题．7．设函数，则使得f（x）≥1的自变量x的取值X围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[1，2] B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） C．（﹣∞，﹣2]∪[0，2] D． [﹣2，0]∪[2，+∞）考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：首先分析题目求函数使得f（x）≥1的自变量x的取值X围，因为函数是分段函数，故需要在两段分别做分析讨论，然后求它们的并集即可得到答案．解答：解：对于求分段函数，f（x）≥1自变量的取值X围．可以分段求解：当x＜1时候，f（x）=|x+1|≥1，解得x≥0或x≤﹣2．根据前提条件故0≤x≤1，x≤﹣2满足条件．当x≥1时候，f（x）=﹣x+3≥1，解得x≤2，根据前提条件故1≤x≤2满足条件．综上所述x的取值X围是x≤﹣2或0≤x≤2．故选C．点评：此题考查了其他不等式的解法，考查了转化的思想以及分类讨论的数学思想．要求学生理解分段函数的意义，即为自变量取值不同，函数解析式不同．8．当x＜0时，函数的最小值是（）A． B． 0 C． 2 D． 4考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题．分析：两次利用均值不等式求出最小值，注意等号成立的条件，当多次运用不等式时，看其能否同时取得等号．解答：解：∵x＜0则﹣x＞0∴﹣x﹣≥2，当x=﹣1时取等号≥2+2=4当且仅当x=﹣1时取等号故选D．点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，解题需要注意等号成立，属于基础题．9．不等式≥3的解集是（）A． {x|﹣2≤x≤2} B． {x|﹣2≤x＜﹣1或﹣1＜x＜1或1＜x≤2}C．{x|x≤2且x≠±1} D． {x|﹣2≤x＜﹣1或1＜x≤2}考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由原不等式可得，即1＜|x|≤2，由此求得x的X 围．解答：解：不等式≥3，即≤0，∴，∴1＜|x|≤2，解得1＜x≤2，或﹣2≤x＜﹣1，故选：D．点评：本题主要考查分式不等式、绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．10．已知集合M={x|9x＜27x}，N={x|log（x﹣1）＞0}，则M∩N=（）A．（0，） B．（，2） C．（1，） D．（0，1）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：M={x|9x＜27x}={x|3＜33x}={x|2x2＜3x}={x|0＜x＜}，N={x|log（x﹣1）＞0}={x|0＜x﹣1＜1}={x|1＜x＜2}，则M∩N={x|1＜x＜}，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，是解决本题的关键．11．对于恒成立，则a的取值X围（）A．（0，1） B． C． D．考点：函数恒成立问题；指数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：先将指数函数化成同底，再根据指数函数的单调性建立不等关系，解决恒成立问题转化成图象恒在x轴上方即判别式小于零即可．解答：解：=根据y=在R上是单调减函数则x2﹣2ax＞﹣3x﹣a2在R上恒成立，即x2+（3﹣2a）x+a2＞0在R上恒成立，△=（3﹣2a）2﹣4a2≤0解得，故选B．点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及根据指数函数的单调性求解不等式，属于基础题．12．设0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数解恰有3个，则（）A．﹣1＜a＜0 B． 0＜a＜1 C． 1＜a＜3 D． 3＜a＜6考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：将不等式变形为[（a+1）x﹣b]•[（a﹣1）x+b]＜0的解集中的整数恰有3个，再由0＜b＜1+a 可得，a＞1，不等式的解集为＜x＜＜1，考查解集端点的X围，解出a的取值X围．解答：解：关于x 的不等式（x﹣b）2＞（ax）2 即（a2﹣1）x2+2bx﹣b2＜0，∵0＜b＜1+a，[（a+1）x﹣b]•[（a﹣1）x+b]＜0 的解集中的整数恰有3个，∴a＞1，∴不等式的解集为＜x＜＜1，所以解集里的整数是﹣2，﹣1，0 三个．∴﹣3≤﹣＜﹣2，∴2＜≤3，2a﹣2＜b≤3a﹣3，∵b＜1+a，∴2a﹣2＜1+a，∴a＜3，综上，1＜a＜3，故选：C．点评：本题考查一元二次不等式的应用，注意二次项系数的符号，解区间的端点就是对应一元二次方程的根．二、填空题（共6个小题.每小题5分，共30分）13．不等式||＞a的解集为M，且2∉M，则a的取值X围为[，+∞）．考点：其他不等式的解法．专题：不等式．分析：根据不等式||＞a的解集为M，且2∉M，可得||≤a，由此即可求a的取值X围．解答：解：∵不等式||＞a的解集为M，且2∉M，∴||≤a，∴|a﹣|≤a∴a2﹣a+≤a2，解得：a≥，∴a的取值X围是[，+∞），故答案为：[，+∞）．点评：本题考查不等式的解法，考查学生的计算能力，属于基础题．14．已知偶函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，则满足f（log x2）＜f（1）的实数x的取值X是（0，）∪（2，+∞）．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用f（x）的奇偶性及在（﹣∞，0）上的单调性可判断其在（0，+∞）上的单调性，由f（x）的性质可把f（log x2）＜f（1）转化为具体不等式，解出即可．解答：解：因为f（x）为偶函数且在（﹣∞，0）上是减函数，所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，若f（log x2）＜f（1），则﹣1＜log x2＜0，或0＜log x2＜1，解得：x∈（0，）∪（2，+∞）所以实数x的取值X围为（0，）∪（2，+∞），故答案为：（0，）∪（2，+∞）点评：本题考查函数奇偶性、单调性的综合运用，解决本题的关键是利用函数的基本性质化抽象不等式为具体不等式，体现转化思想．15．若关于x的不等式|x|+|x﹣1|＞|x﹣a|对∀x∈R恒成立，则a的取值X围是（0，1）．考点：绝对值三角不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：令f（x）=|x|+|x﹣1|=，g（x）=|x﹣a|，由题意可得，函数f（x）的图象（如图实线部分）在函数g（x）（图中虚线部分）的上方，数形结合求得a的X围．解答：解：令f（x）=|x|+|x﹣1|=，g（x）=|x﹣a|，由题意可得，函数f（x）的图象（如图实线部分）在函数g（x）（图中虚线部分）的上方，故有0＜a＜1，故答案为：（0，1）．点评：本题主要考查带有绝对值的函数，函数的恒成立问题，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．16．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值X围为（1，2）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，作出函数y=f（x），y=a|x|的图象，当a≤0，不满足条件，∴a＞0，当a≥2时，此时y=a|x|与f（x）有三个交点，当a=1时，当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣5x﹣4，由f（x）=﹣x2﹣5x﹣4=﹣x得x2+4x+4=0，则判别式△=16﹣4×4=0，即此时直线y=﹣x与f（x）相切，此时y=a|x|与f（x）有五个交点，∴要使函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则1＜a＜2，故答案为：（1，2）点评：本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．17．若正数x，y满足+=2，则xy的最小值是 6 ．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵正数x，y满足+=2，∴，化为xy≥6，当且仅当=1时取等号．则xy的最小值是6．故答案为：6．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．18．设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则的最小值是 3 ．考点：基本不等式．分析：由x﹣2y+3z=0可推出，代入中，消去y，再利用均值不等式求解即可．解答：解：∵x﹣2y+3z=0，∴，∴=，当且仅当x=3z时取“=”．故答案为3．点评：本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，是高考考查的重点内容．三、解答题（共有4个题，每题15分）19．（15分）（2015•某某校级模拟）已知不等式（a+b）x+（2a﹣3b）＜0的解为x＞﹣，解不等式（a﹣2b）x2+2（a﹣b﹣1）x+（a﹣2）＞0．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：根据一元一次不等式的解求出a=3b＜0，利用消参法转化为含有参数b的一元二次不等式，进行求解即可．解答：解：∵（a+b）x+（2a﹣3b）＜0，∴（a+b）x＜3b﹣2a，∵不等式的解为x＞﹣，∴a+b＜0，且=﹣，解得a=3b＜0，则不等式（a﹣2b）x2+2（a﹣b﹣1）x+（a﹣2）＞0．等价为bx2+（4b﹣2）x+（3b﹣2）＞0．即x2+（4﹣）x+（3﹣）＜0．即（x+1）（x+3﹣）＜0．∵﹣3+≤﹣1．∴不等式的解为﹣3+＜x＜﹣1．即不等式的解集为（﹣3+，﹣1）．点评：本题主要考查含有参数的一元一次不等式和一元二次函数不等式的求解，考查学生的运算和推理能力．20．（15分）（2015•某某校级模拟）设不等式x2﹣2ax+a+2≤0的解集为M，若M⊆[1，4]，某某数a的X围．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析： M⊆[1，4]有两种情况：其一是M=∅，此时△＜0；其二是M≠∅，此时△=0或△＞0，分三种情况计算a的取值X围，再取并集，即得所求．解答：解：M⊆[1，4]有两种情况：其一是M=∅，此时△＜0；其二是M≠∅，此时△=0或△＞0，分三种情况计算a的取值X围．设f （x）=x2﹣2ax+a+2，有△=（﹣2a）2﹣4（a+2）=4（a2﹣a﹣2）．…（2分）（1）当△＜0时，﹣1＜a＜2，M=∅⊆[1，4]．…（3分）（2）当△=0时，a=﹣1或2．当a=﹣1时，M={﹣1}⊄[1，4]，故舍去．当a=2时，M={2}⊆[1，4]．…（6分）（3）当△＞0时，有a＜﹣1或a＞2．设方程f （x）=0的两根为x1，x2，且x1＜x2，那么M=[x1，x2]，由M⊆[1，4]可得1≤x1＜x2≤4，故应有f（1）≥0，f（4）≥0，且f （x）=0的对称轴x=a∈[1，4]，即，…（8分）∴，解得2＜a≤．…（10分）综上可得，M⊆[1，4]时，a的取值X围是（﹣1，]．…（12分）点评：本题主要考查集合关系中参数的取值X围问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（15分）（2005•某某）已知函数（a，b为常数）且方程f（x）﹣x+12=0有两个实根为x1=3，x2=4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设k＞1，解关于x的不等式；．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；综合题．分析：（1）将x1=3，x2=4分别代入方程得出关于a，b的方程组，解之即得a，b，从而得出函数f（x）的解析式．（2）不等式即为：即（x﹣2）（x﹣1）（x﹣k）＞0．下面对k进行分类讨论：①当1＜k＜2，②当k=2时，③当k＞2时，分别求出此不等式的解集即可．解答：解：（1）将x1=3，x2=4分别代入方程，得，解得，所以f（x）=．（2）不等式即为，可化为即（x﹣2）（x﹣1）（x﹣k）＞0．①当1＜k＜2，解集为x∈（1，k）∪（2，+∞）．②当k=2时，不等式为（x﹣2）2（x﹣1）＞0解集为x∈（1，2）∪（2，+∞）；③当k＞2时，解集为x∈（1，2）∪（k，+∞）．点评：本题主要是应用分类讨论思想解决不等式问题，关键是正确地进行分类，而分类一般有以下几个原则：1．要有明确的分类标准；2．对讨论对象分类时要不重复、不遗漏，即分成若干类，其并集为全集，两两的交集为空集；3．当讨论的对象不止一种时，应分层次进行，以避免混乱．根据绝对值的意义判断出f（x）的奇偶性，再利用偶函数的图象关于y轴对称，求出函数在（0，+∞）上的单调区间，并且只要求出当x＞0时，函数f（x）=x2﹣2ax（a＞0）最小值进而利用f（x）min≤﹣1解答此题．22．（15分）（2014•某某）已知函数f（x）=x2﹣ax3（a＞0），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，求a 的取值X围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间，从而求出函数的极值；（Ⅱ）由f（0）=f（）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，）时，f（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f（x）＜0．设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，等价于A⊆B，分类讨论，即可求a的取值X围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=2x﹣2ax2=2x（1﹣ax），令f′（x）=0，解得x=0或x=．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，0） 0 （0，）（，+∞）f′（x）﹣ 0 + 0 ﹣f（x）递减 0 递增递减所以，f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，0）和，单调递增区间为，当x=0时，有极小值f（0）=0，当x=时，有极大值f（）=；（Ⅱ）由f（0）=f（）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，）时，f（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f（x）＜0．设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，等价于A⊆B，显然A≠∅下面分三种情况讨论：①当＞2，即0＜a＜时，由f（）=0可知，0∈A，而0∉B，∴A不是B的子集；②当1≤≤2，即时，f（2）≤0，且f（x）在（2，+∞）上单调递减，故A=（﹣∞，f（2）），∴A⊆（﹣∞，0）；由f（1）≥0，有f（x）在（1，+∞）上的取值X围包含（﹣∞，0），即（﹣∞，0）⊆B，∴A⊆B；③当＜1，即a＞时，有f（1）＜0，且f（x）在（1，+∞）上单调递减，故B=（，0），A=（﹣∞，f（2）），∴A不是B的子集．综上，a的取值X围是[]．点评：利用导数可以求出函数的单调区间和极值；解决取值X围问题，很多时候要进行等价转化，分类讨论．。
天津南开中学高三数学理科模拟卷1
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作天津南开中学2015届高三数学理科模拟试卷1第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 复数10i12i=- A. 42i -+ B. 42i - C. 24i - D. 24i +2. 已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且2,1==a b ，则向量a 与b 的夹角为A.6π B. 3π C. 32π D. 65π3. 下列判断错误．．的是 （ ） A ．“22bm am <”是“a<b”的充分不必要条件B ．命题“01,23≤--∈∀x x R x ”的否定是“01,23>--∈∃x x R x ” C ．若p,q 均为假命题,则q p Λ为假命题 D ．若ξ～B （4，0.25）则1=ξD 4. 已知F 1、F 1分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的左、右焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P,则当△PF 1F 2的面积等于a 2时，双曲线的离心率为 （ ） A.2B.3C.26D.2 5. 有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定.技术人员对它们进行一一测试， 直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（ ）A. 16B. 24C. 32D. 486.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有(2)()f x f x +=.当01x ≤≤时，2()f x x =.若直线y x a =+与函数()y f x =的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是A.0B. 0或12-C. 14-或12-D. 0或14-7. 一自来水厂用蓄水池通过管道向所管辖区域供水．某日凌晨，已知蓄水池有水9千吨，水厂计划在当日每小时向蓄水池注入水2千吨，且每x 小时通过管道向所管辖区域供水x 8千吨，当蓄水池存水量少于3千吨时，供水就会出现紧张现象，那么当日出现这种情况的时间有几小时A. 6B. 8C. 8.5D. 9.58. 设不等式组0,0,4x y y kx k ≥⎧⎪≥⎨⎪≤-+⎩在平面直角坐标系中所表示的区域的面积为S ，则当1,1kSk k >-时的最小值为 ( ) A. 24 B. 32 C.D. 48第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上. 9. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .（第10题图）10. 执行如图所示的程序框图，输出的k 值是_________.11.在极坐标系中，曲线ρθ=和cos 1ρθ=相交于点,A B ，则线段AB 的中点E 到极点的距离是 .12. 关于x 的不等式2|1||2|1x x a a --->++的解集为空集，则实数a 的取值范围是13.已知函数213(),2,()24log ,0 2.x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实正视图 侧视图数k 的取值范围是 .14. 某校数学课外小组在坐标纸上，为一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点()k k k P x y ，处，其中1111x y ==，，当2k ≥时，111214441244k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如()3.73T =，()0.40T =.按此方案，在第2012棵树的种植点坐标应为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上.15. （本小题满分13分）已知函数π()cos()4f x x =-.（Ⅰ）若()10f α=，求sin 2α的值； （II ）设()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 16. （本小题满分13分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿； （Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率） 17. （本小题满分13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠︒，EB ⊥平面ABCD ，EF//AB ，=2AB，==1EB EF，=BC M 是BD 的中点.（Ⅰ）求证：EM//平面ADF ； （Ⅱ）求二面角D-AF-B 的大小；（Ⅲ）在线段EB 上是否存在一点P ， 使得CP 与AF 所成的角为30︒？ 若存在，求出BP 的长度；若不 存在，请说明理由. 18. （本小题满分13分）设函数2e (),1axf x a x R =∈+. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数)(x f 单调区间. 19. （本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为1(F ，2F .点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点N 的坐标为(3,2)，点P 的坐标为(,)(3)m n m ≠.过点M 任作直线l 与椭圆 C 相交于A ，B 两点，设直线AN ，NP ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若 1322k k k +=，试求,m n 满足的关系式. 20．（本小题满分14分）已知各项均为非负整数的数列001:,,,n A a a a ()n *∈N ，满足00a =，1n a a n ++=．若存在最小的正整数k ，使得(1)k a k k =≥，则可定义变换T ，变换T 将数列0A 变为数列00111():1,1,,1,0,,,k k n T A a a a a a -++++．设1()i i A T A +=，0,1,2i =．（Ⅰ）若数列0:0,1,1,3,0,0A ，试写出数列5A ；若数列4:4,0,0,0,0A ，试写出数列0A ； （Ⅱ）证明存在唯一的数列0A ，经过有限次T 变换，可将数列0A 变为数列,0,0,,0n n 个；（Ⅲ）若数列0A ，经过有限次T 变换，可变为数列,0,0,,0n n 个．设1m m m n S a a a +=+++，1,2,,m n =，求证[](1)1m m m S a S m m =-++，其中[]1m S m +表示不超过1m Sm +的最大整数． 天津南开中学2015届高三数学理科模拟试卷1参考答案一、选择题：CA FEB MD[0,)+∞14.解析:由题知：21101444x x T T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦-= 32211444x x T T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=43321444x x T T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦-= …… 1121444k k k k x x T T -⎡⎤--⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=将上式叠加得：110444k k x x T T ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=k-1 1244k k k x k T -⎛⎫∴≥=- ⎪⎝⎭当时， 20122012k x ∴==当时， 4 同理可得：20122012503k ∴==当时，y ，∴第2012棵树的种植点坐标应为：4,503（）注:（1）此题还可以用列举法写出一些项，观察归纳得出周期，利用周期性求解 （2）利用4的剩余类，分类获解三、解答题： （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为π()cos()410f αα=-=， 所以 (cos sin )210αα+=，所以 7cos sin 5αα+= 平方得，22sin 2sin cos cos αααα++=4925，所以 24sin 225α=. ……………6分（II ）因为()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭=ππcos()cos()44x x -⋅+=(cos sin )(cos sin )22x x x x +⋅- =221(cos sin )2x x - =1cos 22x . ……………10分当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 所以，当0x =时，()g x 的最大值为12； 当π3x =时，()g x 的最小值为14-. ……………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.所以 0.0125x =. ………………………………………2分 （Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.0032200.12⨯⨯=， ………………………………………4分 因为6000.1272⨯=， 所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.………………………………………6分（Ⅲ）X 的可能取值为0，1，2，3，4. ………………………………………7分由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14， 4381(0)4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 3141327(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 22241327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,334133(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,411(4)4256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭.812727310123412566412864256EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（或1414EX =⨯=）所以X 的数学期望为1. ………………………………………13分 （17）（本小题满分14分） 证明：（Ⅰ）取AD 的中点N ，连接MN,NF.在△DAB 中，M 是BD 的中点， N 是AD 的中点，所以1=2MN//AB,MN AB ， 又因为1=2EF//AB,EF AB ，所以MN//EF 且MN =EF .所以四边形MNFE 为平行四边形， 所以EM//FN .又因为FN ⊂平面ADF ，⊄EM 平面ADF ，故EM//平面ADF . …………… 4分解法二：因为EB ⊥平面ABD ，AB BD ⊥，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系-B xyz . ……………1分由已知可得 (0,0,0),(0,2,0),(3,0,0),B A D3(3,-2,0),(,0,0)2C E F M （Ⅰ）3=(,0,-3)(3,-2,0)2EM ,AD=， N C A F EB M D=AF . ……………2分 设平面ADF 的一个法向量是()x,y,z n =.由0,0,AD AF n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得32x -y =0,=0.⎧⎪⎨⎪⎩令y=3，则n =. ……………3分又因为3(=3+0-3=02EM n ⋅=⋅， 所以EM n ⊥，又EM ⊄平面ADF ，所以//EM 平面ADF . ……………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面ADF的一个法向量是n =. 因为EB ⊥平面ABD ，所以EB BD ⊥.又因为AB BD ⊥，所以BD ⊥平面EBAF . 故(3,0,0)BD =是平面EBAF 的一个法向量. 所以1cos <=2BD BD,BD n n n⋅>=⋅，又二面角D-AF -B 为锐角， 故二面角D-AF -B 的大小为60︒. ……………10分 （Ⅲ）假设在线段EB 上存在一点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒. 不妨设(0,0,t)P（03t ≤≤），则=(3,-2,-),=PC AF t .所以2cos <2PC AF PC,AF PC AF⋅>==⋅，=， 化简得35-=， 解得0t =<. 所以在线段EB 上不存在点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒.…………14分 （18）（本小题满分13分）解：因为2e (),1ax f x x =+所以222e (2)()(1)ax ax x a f x x -+'=+. （Ⅰ）当1a =时, 2e ()1xf x x =+,222e (21)()(1)x x xf x x -+'=+, 所以(0)1,f = (0)1f '=.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. ……………4分 （Ⅱ）因为222222e (2)e ()(2)(1)(1)ax axax x a f x ax x a x x -+'==-+++， ……………5分 （1）当0a =时,由()0f x '>得0x <；由()0f x '<得0x >.所以函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增, 在区间(0,)+∞单调递减. ……………6分（2）当0a ≠时, 设2()2g x ax x a =-+，方程2()20g x ax x a =-+=的判别式2444(1)(1),a a a ∆=-=-+……………7分 ①当01a <<时，此时0∆>.由()0f x '>得x <,或x >；由()0f x '<x <<.所以函数()f x 单调递增区间是1(,a -∞和1()a ++∞,单调递减区间11(,a a +. ……………9分②当1a ≥时，此时0∆≤.所以()0f x '≥，所以函数()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞. ……………10分 ③当10a -<<时，此时0∆>.由()0f x '>x <<；由()0f x '<得x <,或x >.所以当10a -<<时,函数()f x 单调递减区间是1(,a +-∞和1()a +∞,单调递增区间11(a a +-. ……………12分④当1a ≤-时, 此时0∆≤，()0f x '≤，所以函数()f x 单调递减区间是(,)-∞+∞.…………13分（19）（本小题满分14分）解: （Ⅰ）依题意，c = 1b =，（Ⅲ）显然i a i ≤(1,2,,)i n =，这是由于若对某个0i ，00i a i >，则由变换的定义可知，0i a通过变换，不能变为0．由变换T 的定义可知数列0A 每经过一次变换，k S 的值或者不变，或者减少k ，由于数列0A 经有限次变换T ，变为数列,0,,0n 时，有0m S =，1,2,,m n =，所以m m S mt =(m t 为整数)，于是1m m m S a S +=+1(1)m m a m t +=++，0m a m ≤≤，所以m a 为m S 除以1m +后所得的余数，即[](1)1m m m Sa S m m =-++．………14分。
天津市南开中学2025届高三上学期统练数学试卷7(含答案)
天津市南开中学2025届高三上学期统练数学试卷7一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x ∈N|−1≤x ≤2}，B ={x ∈R|x 3≥x}，则A ∩B =( ) A. {1,2}B. {0,1,2}C. {−1,1,2}D. {−1,0,1,2}2.设a ⃗，b ⃗⃗为两个非零向量，则“a ⃗⃗|a⃗⃗|=b ⃗⃗|b ⃗⃗|”是“a ⃗⃗//b ⃗⃗”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.从1984年第23届洛杉矶夏季奥运会到2024年第33届巴黎夏季奥运会，我国获得的夏季奥运会金牌数依次为15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，这11个数据的60%分位数是( ) A. 16B. 30C. 32D. 514.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为( ) A. f(x)=cos2x ⋅(e x −e −x ) B. f(x)=sin2x ⋅ln x 2+1x 2C. f(x)=e x +e −xx D. f(x)=1x⋅ln x 2x 2+15.已知a =sin 13,b =ln 32,c =3−12，则( ) A. c <b <aB. a <c <bC. a <b <cD. b <a <c6.对于f(x)=cos 2(x −π12)+sin 2(x +5π12)−1，下列选项中正确的是( ) A. f(x)关于直线x =π3对称 B. f(x)是偶函数 C. f(x)的最小正周期为2πD. f(x)的最大值为17.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，还被用做第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m ⃗⃗⃗⃗，DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=n ⃗⃗，AF⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=( )A. 25m ⃗⃗⃗⃗+15n ⃗⃗B. 15m ⃗⃗⃗⃗+25n ⃗⃗C. 34m ⃗⃗⃗⃗+14n ⃗⃗D. 14m ⃗⃗⃗⃗+34n ⃗⃗8.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( ) A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块9.斐波那契数列由意大利数学家斐波那契发现，因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列在很多方面都与大自然神奇地契合，小到向日葵、松果、海螺的生长过程，大到海浪、飓风、宇宙系演变，皆有斐波那契数列的身影，充分展示了“数学之美”.斐波那契数列用递推的方式可定义如下：数列{a n }满足：a 1=a 2=1，a n+2=a n+1+a n (n ∈N ∗)，则下列结论错误的是( ) A. a 2024是奇数B. 3a n =a n−2+a n+2(n ≥3)C. a 12+a 22+a 32+⋯+a 20232=a 2023a 2024D. a 1+a 2+a 3+⋯+a 2022=a 2024+1二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。