江苏省苏州市2019-2020学年高一下学期学业质量阳光指标调研卷数学试题含答案
苏州市2019—2020学年第二学期学业质量阳光指标调研卷
高一数学
2020．7
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为
16 B. 20D C..40 36.A π
π
π
π
2．苏州市6月1日起正式实施的《生活垃圾分类管理条例》将城市生活垃圾分为“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃吸”和“其他垃圾”四人类．某社区为了分析不同年龄段的人群对垃圾分类知识的了解情况，对辖区内的居民进行分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、900人、700人，若在老年人中的抽样人数是35，则在青年人中的抽样人数是
A ．20
B ．40
C ． 60
D ． 80
3．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，则这两个数之和等于5的概率为
1112
.
B.
C.
D. 20
10
55
A 4．在同一平面直角坐标系中，两直线
1x y m n -=与1x y
n m
-=的图象可能是
5．围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒， 2粒都是黑子的概率为13，都是白子的概率为2
15
，则取出的2粒颜色不同的概率为
1178
A.
B.
C.5
D 31.5
51 6．如图，在平行六面体1111
ABCD A B C D -中，点E 是棱1BB 上靠近B 的三等分点，点F 是棱CC 1的中点，且三棱锥1A AEF -的体积为2，则平行六面体1111ABCD A B C D -的体积为
A ．8
B ． 12
C ．18
D ． 20
7．已知在锐角△ABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，60B ︒= ，且△ABC 的面积为3，则b 的取值范围是
A. [2,6)
B. [2,6)
C. [2,6)
D. [4,6)
8．在平面立角坐标系xOy 中，两圆12,O O 均过点（3，0） ，它们的圆心分别为12(,0),(,0)x x ，满足
12112
3
x x +=，若两圆与y 轴正半轴分别交于12(0,),(0,)y y ，则12y y 的值为
A ．2
B ．6
C ． 9
D ．与12,x x 的取值有关
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分，每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分、请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 9．党的十九大为新时代农业农村改节发展明确了重点、指明了方向，报告中提出了“实施乡村振兴战略”．某地区农村经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入增加了一倍。
为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区实施乡村振兴建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中正确的有
A ．乡村振兴建设后，种植收入减少
B ．乡村振兴建设后，其他收入增加了倍以上
C ．乡村振兴建设后，养殖收入增加了一倍
D ．乡村振兴建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
10．已知函数()sin(2)6
f x x π
=+在区间[,0]a -上单调递增，则实数a 的可
能值为
3 A.
B.
C.
D.
8
4
8
2
π
π
ππ
11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知
23,3
b B π
=∠=
，若添加下列条件来解三角形，则其中三角形只有一解的是
79 A. 3 B. C. 4 D. 2
2
c c c c ==
==
12．如图，点E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱DD 1的中点，点M
在线段BD 1上运动，则下列结论正确的是 A ．直线AD 与直线C 1M 始终是异而直线 B ．仔在点M ，使得B 1M ⊥AE C ．四面体EMAC 的体积为定值
D ．当12D M MB =时，平面EAC ⊥平面MAC 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动，现从参 加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将 他们的比赛成绩（满分为100分）分为5组： [50， 60) ， [60，70) ， [70，80) ， [80 ，90) ，[90 ， 100]，得到如图所示的频率分布直方图，则该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的人数为________
14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
若1
3,2,cos 3
a b C ===，则△
ABC
的面积为________
15．已知A ， B 两点分别在两条互相垂立的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝5上，且线段AB 的中点为P (0，5)，则|AB |＝________
16．已知在球O 的内接长方体1111ABCD A B C D -中，
12,
3AB AA AD ===，则球O 的表面积为________，若P 为线段AD 的中
点，则过点P 的平面截球O 所得截面面积的最小值为________． （本小题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17． （本小题满分10分）
如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥， M ，N 分别为BC ， AC 的中点，侧面11A ACC 是菱形， 160A AC ︒∠=
（1）求证： AB ∥平面A 1MN ； (2)求证：平面11A ACC ⊥平面A 1MN ．
18． （本小题满分12分）
已知圆C 经过两点(1,1),(1,1)P Q --，且圆心C 在直线x ＋y －2－0上． （1）求圆C 的方程；
（2）过点M （0，3）的直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且||AB =求直线l 的方程．
19． （本小题满分12分）
随着我国中医学的发展，药用昆虫的需求愈米愈多．每年春暖花开后，昆虫大量繁殖．研究发现某类药用昆虫的个体产则数y （单位：个）与温度x （单位：℃）有关，科研人员随机挑选了3月份中的5天进行研究，收集了5组观测数据如下表：
科研人员确定的研究方案是：先用前三组数据建立y 关于x 的线性回归方程，再用后两组数据进行检验．
（1）求y 关于x 的线性回归方程；
（2）若由线性回归方程行到后两组的估计数据与实际观测数据的误差均不超过2个，则认为线性同归方程足可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？
（附：回归直线的斜率和截距的公式分别为
1
2
1
()()
ˆˆˆ,()
n
i
i
i n
i
i x x y y b
a
y bx x x ==--==--∑∑ 20． （本小题满分12分）
在①cos 0b A c -=， @cos cos a B b A =， ③cos 0a C b +=这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在下面的问题中，并求解。
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ．b ，c
．已知4b c ==，满足________
（1）请写出你的选择，并求出角A 的值；
（2）在（1）的结论下，已知点D 在线段BC 上，且34
ADB π
∠=，求CD 长．
21． （本小题满分12分）
如图所示，等边三角形ABC 的边长为3，点D ，E 分别是边AB ， AC 上的点，满足AD ＝1， DE ⊥A B ．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使二面
1A DE B --为二面角，连接11,A B A C ．
（1）求二面角1C A B D --的余弦值；
（2）线段A 1E 上是否存在点P ，使得直线CP 与平面A 1BC 所成的角为60°？若存在，求出A 1P 的长；若不存在，请说明理由．
22． （本小题满分12分）
如图，点00(,)P x y 是圆22:9O x y +=上一动点，过点P 作圆0的切线l 与圆221:()(4)100(0)O x a y a -+-=>交于A ，B 两点，已知当直线l 过圆心O 1时，
1||4O P =
(1)求a 的值；
（2）当线段AB 最短时，求直线l 的方程； (3)问：满足条件!
||1
||3
AP BP =的点P 有几个?请说明理由．。
2018-2019学年江苏省苏州市第二学期期末学业质量阳光指标调研卷高一数学试题
2019~2019学年苏州市第二学期学业质量阳光指标调研卷高一数学2019．6一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：0x y -=的倾斜角为A ．0°B ．45°C ．90°D ．135° 2．从A ，B ，C 三个同学中选2名代表，则A 被选中的概率为 A ．13 B ．14 C ．12 D ．233．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，异面直线AA 1与BC 所成角的大小为 A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°4．甲、乙、丙、丁四名运动员参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示，从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 5．在平面直角坐标系xOy 中，点P(2，﹣1)到直线l ：4340x y -+=的距离为A ．3B ．115C ．1D ．6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝2，A ＝3π，则sin C c 的值为A ．4B ．3 C ． D ．47．如图，已知△ABC 是边长为2的正三角形，那么它的斜二测画法所画直观图的面积为A ．2 B ．4C ．4 D ．2第7题 8．某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：则至少有两人排队的概率为A ．0.16B ．0.26C ．0.56D ．0.74 9．在△ABC 中，若sin A ：sin B ：sinC ＝2：3：4，则cosC ＝ A ．13-B ．14-C ．23-D ．2310．若长方体三个面的面积分别为2，3，6，则此长方体的外接球的表面积等于 A ．49π B ．494π C ．14π D ．143π11．已知平面α⊥平面β，直线m ⊂平面α，直线n ⊂平面β，αβ＝l ，则下列说法中，①若m ⊥n ，则m ⊥l ；②若m ⊥1，则m ⊥β；③若m ⊥β，则m ⊥n ．正确结论的序号为A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③12．已知△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，CA ＝4，则BC 边上的中线AM 的长度为A ．2 B C ． D ．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 13．在平面直角坐标系xOy 中，若直线22x ay a +=+与直线10x y ++=平行，则实数a 的值为 ．14．如图，某人在高出海平面h 米的山上P 处，测得海平面上航标A 在正东方向，俯角为30°，航标B 在南偏东60°，俯角45°，且两个航标间的距离为200米，则h ＝ 米．15．一个封闭的正三棱柱容器，该容器内装水恰好为其容积的一半（如图1，底面处于水平状态），将容器放倒（如图2，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点分别为E ，F ，E 1，F 1，则AEEB的值是 ． 16．在平面直角坐标系xOy 中，已知直角△ABC 中，直角项点A 在直线60x y -+=上，顶点B ，C 在圆2210x y +=上，则点A 横坐标的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是直线20x y -=与直线30x y +-=的交点． （1）求点P 的坐标；（2）若直线l 过点P ，且与直线3210x y +-=垂直，求直线l 的方程．18．（本题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知A ＝30°，B ＝105°，a ＝10．（1）求c ；（2）求△ABC 的面积． 19．（本题满分12分）某地区2012年至2018年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如下表：（1）已知y 与x 线性相关，求y 关于x 的线性回归方程； （2）利用（1）中的线性回归方程，预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入．（附：线性回归方程 中， ，a y bx =-，其中x ，y 为样本平均数）． 20．（本题满分12分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，AB ＝2，AA 1，点N 为A 1B 1中点，点M 在边AB 上．（1）当点M 为AB 中点时，求证：C 1N ∥平面A 1CM ； （2）试确定点M 的位置，使得AB 1⊥平面A 1CM ．21．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P(0，6)，圆C ：2210100x y x y +++=． （1）求过点P 且与圆C 相切于原点的圆的标准方程；（2）过点P 的直线l 与圆C 依次相交于A ，B 两点．①若AO ⊥PB ，求l 的方程；②当△ABC 面积最大时，求直线l 的方程． 22．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(2，0)，B(10，0)，C(11，3)，D(10，6)．（1）①证明：cos ∠ABC ＋cos ∠ADC ＝0；②证明：存在点P 使得PA ＝PB ＝PC ＝PD ，并求出P 的坐标；（2）过C 点的直线l 将四边形ABCD 分成周长相等的两部分，产生的另一个交点为E ，求点E 的坐标．参考答案1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．B 7．C 8．D 9．B 10．C 11．D 12．A16．[﹣4，﹣2]13．1 14．200 15117．18．19．略20．21．22．。
江苏省苏州市2020-2021学年高一下学期学业质量阳光指标调研卷数学试题(word版含答案)
江苏省苏州市2020—2021学年高一下学期学业质量阳光指标调研卷数学试题2021．06注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．cos 275°﹣sin 275°的值为A ．B ．12-C ．12D2．某工厂6名工人在一小时内生产零件的个数分别是11，12，13，15，15，18，设该组数据的平均数为a ，中位数为b ，则A ．a ＝14，b ＝15B ．a ＝14，b ＝14C ．a ＝14.5，b ＝14D ．a ＝14.5，b ＝15 3．已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为2m ，则该圆锥的高为A ．1BCD ．24．已知i 为虚数单位，1＋i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q ∈R)的一个根，则p ＋q ＝ A ．﹣2 B ．0 C ．2 D ．45．已知△ABC 外接圆的圆心为O ，且2AO AB AC =+，AB AO =，则向量CA 在向量CB 上的投影向量为A ．3CB 4 BCD ．1CB 26．我省高考从2021年开始实行“3＋1＋2”模式，“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科．高一学生小明和小亮正准备进行选科，假如他们首选科目都是物理，再选科目选择每个科目的可能性均相等，且选择互不影响，则他们的选科完全相同的概率为A ．16B ．12C ．34D ．567．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在鳖臑A —BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，△PBD 的面积为S ，则S ＝()f x 的大致图象是8．如图，某侦察飞机沿水平直线AC 匀速飞行，在A 处观测地面目标P ，测得俯角∠BAP＝30°，飞行3分钟后到达B 处，此时观测地面目标P ，测得俯角∠ABP ＝60°，又飞行一段时间后到达C 处，此时观测地面目标P ，测得俯角∠BCP 的余弦值为41919，则该侦察飞机由B 至C 的飞行时间为A ．2分钟B ．2.25分钟C ．2.5分钟D ．2.75分钟二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的有 A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α B ．若m ⊥n ，m ∥α，则n ⊥α C ．若α∥β，m ⊥α，则m ⊥β D ．若α⊥β，m ⊥α，则m ∥β 10．已知i 为虚数单位，复数z ＝(a ＋i)(1﹣i)(a ∈R)，则下列命题正确的有 A ．若a ＝1，则z 为实数 B ．若a ＝﹣1，则z 为纯虚数 C ．若z ＝2，则实数a 的值为1D ．复数z 在复平面内对应的点不可能在第三象限11．在△ABC 中，若a ＝22，b ＝2，B ＝30°，则△ABC 的面积可能为 A ．31+ B ．62+ C ．31- D ．62-12．如图，在棱长为4的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1D 1，A 1B 1的中点，则A ．A 1C ⊥平面AMNB ．二面角A 1—MN —A 的正切值为22C ．三棱锥A 1—AMN 的内切球半径为12D ．过直线BD 与平面AMN 平行的平面截该正方体所得截面 的面积为18三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知向量a ＝(﹣1，2)，b ＝(x ，﹣6)，且AB 23a b =+，BC 2a b =+，若A ，B ，C 三点共线，则实数x 的值为 ．14．若复数z 在复平面内对应的点在第一象限内，且1z z+∈R ，则符合条件的一个复数为． 15．若sin(α＋12π)＝35，则sin(23πα-)的值为 ． 16．已知三棱锥S —ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝2，异面直线SC 与AB 所成，则三棱锥S —ABC 的体积为 ，三棱锥S —ABC 的外接球的表面积为 （本小题第一空2分，第二空3分）．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的用电量都在170kWh 至290kWh 之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示．（1）求a 的值；（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯式递增电价（第一档电量满足居民基本用电需求，电价最低；第二档电量反应正常合理用电需求，电价较高；第三档电量体现较高生活质量用电需求，电价最高）定价，希望使不少于85%的居民缴费在第一档，求第一档月均用电量的最低标准值（单位：kWh ）18．（本小题满分12分）如图，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，侧面CDD 1C 1是菱形，∠CDD 1＝60°，平面CDD 1C 1⊥平面ABCD ，E ，F 分别为CD 1，AB 的中点．（1）求证：EF ∥平面ADD 1A 1；（2）求EF 与平面ABCD 所成角的正切值．19．（本小题满分12分）在条件①a cosC﹣12c＝b；②(b＋c)2＝a2＋bc；③sin(A﹣6)＝﹣2cosA中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．问题：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若sin2B＋sin2C＝1，求角B的大小．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）20．（本小题满分12分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，F为AD的中点．（1）若E为AB的中点，求tan∠CEF的值；（2）若E为线段AB（不含端点）上的一个动点，请探究：当AE长为多少时，可使得∠CEF最大？21．（本小题满分12分）如图，在△ABC中，已知D，E分别是BC，AB的中点，AB＝BAC＝45°，AD与CE交于点O．（1）若BC＝2，求AD BC⋅的值；（2）若8OA OB OB OC OC OA3⋅+⋅+⋅=-，求AC的长．22．（本小题满分12分）如图1，在矩形ABCD中，已知AB＝BC＝2，E为AB的中点．将△ADE沿DE向上翻折，进而得到多面体A1—BCDE（如图2）．（1）求证：DE⊥A1C；（2）在翻折过程中，求二面角A1—DC—B的最大值．。
江苏省苏州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试 数学含答案
苏州市2023~2024学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高一数学（答案在最后）2024.6注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第11题）､填空题（第12题~第14题）､解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名､调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，已知复数11i z =+，则||z =（）A.12B.2C.D.22.sin164sin 44cos16sin 46-= （）A.12-B.2C.12D.23.某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（）A.极差为10B.中位数为7.5C.平均数为8.5D.4.某科研单位对ChatGPT 的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第75百分位数为（）A.78.5B.82.5C.85D.87.55.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若6b =，2c =，60B =︒，则A =（）A.45︒B.60︒C.75︒D.105︒6.已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//l m ，//l α，//m β，则//αβB.若l m ⊥，l α⊥，//m β，则//αβC.若//αβ，l ⊂α，m β⊂，则//l mD.若l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥7.在ABC 中，已知2cos 2cos 22cos A B C +=，则ABC 的形状一定为（）A .等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形8.长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹､爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇､《认母》篇､《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M ，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N ，则下列说法正确的是（）A.M 与N 互斥B.()()P M P MN = C.M 与N 相互独立D.()()1P M P N +<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数2()sin 2233f x x x =+-，则（）A.()f x 的最小正周期为2π B.()2f x ≥-C.()f x 的图象关于直线π6x=对称 D.()f x 在区间π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增10.已知复数1z ，2z ，3z ，则下列说法正确的有（）A.1212||||||z z z z = B.若120z z ->，则12z z >C.若120z z =，则1212||||z z z z -=+ D.若1213z z z z =且10z ≠，则23z z =11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G ，H 分别为AB ，1CC ，11A D ，1DD 的中点，则（）A.1B D ⊥平面EFGB.//AH 平面EFGC.点1B ，D 到平面EFG 的距离相等D.平面EFG 截该正方体所得截面的面积为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设向量(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，若m p ⊥ ，则实数λ的值为___________.13.在直角三角形ABC 中，已知CH 为斜边AB 上的高，AC =2BC =，现将BCH V 沿着CH 折起，使得点B 到达点B '，且平面B CH '⊥平面ACH ，则三棱锥B ACH '-的外接球的表面积为___________.14.在ABC 中，已知cos 21sin 2cos 212C C C =++，则3sin 2sin A B +的最大值为___________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E ，F ，G 分别为线段AD ，BC ，PB 的中点.（1）求证：AG ⊥平面PBC ；（2）求证：//PE 平面AFG .16.一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件A =“第一次摸到红球”，B =“第二次摸到黑球”，C =“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”.（1）用数组()12,x x 表示可能的结果，1x 是第一次摸到的球的标号，2x 是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间Ω；（2）分别求事件A ，B ，C 发生的概率；（3）求事件A ，B ，C 中至少有一个发生的概率.17.如图，在平面四边形ABCD 中，已知AC 与BD 交于点E ，且E 是线段BD 的中点，BCE 是边长为1的等边三角形.（1）若sin 14ABD ∠=，求线段AE 的长；（2）若:AB AD =AE BD <，求sin ADC ∠.18.如图，在平行四边形ABCD 中，已知3A π=，2AB =，1AD =，E 为线段AB 的中点，F 为线段BC 上的动点（不含端点）.记BF mBC =.（1）若12m =，求线段EF 的长；（2）若14m =，设AB xCE yDF =+ ，求实数x 和y 的值；（3）若CE 与DF 交于点G ，AG EF ∥，求向量GE 与GF的夹角的余弦值.19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知侧面11CDD C 为矩形，60BAD ABC ∠=∠=︒，3AB =，2AD =，1BC =，1AA =，12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB = .（1）求证：平面DEF 平面1A BC ；（2）求证：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（3）若三棱锥1E A BC -的体积为33，求平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.苏州市2023~2024学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高一数学2024.6注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第11题）､填空题（第12题~第14题）､解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名､调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，已知复数11i z =+，则||z =（）A.12B.2C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用复数的商的运算法则求得z ，进而可求||z .【详解】11i 1i 1i 1i (1i)(21i)z --====-++-，则2||2z ==.故选：B .2.sin164sin 44cos16sin 46-= （）A.12-B. C.12D.32【解析】【分析】利用诱导公式与两角差的正弦公式化简求值.【详解】()()sin164sin 44cos16sin 46sin 18016sin 9046cos16sin 46-=---()1sin16cos 46cos16sin 46sin 1646sin 302=-=-=-=-.故选：A.3.某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（）A.极差为10B.中位数为7.5C.平均数为8.5D.【答案】D 【解析】【分析】利用极差、中位数、平均数、标准差的定义，根据条件逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】某射击运动员射击6次，命中的环数从小到大排列如下：6，7，7，9，9，10，对A ，极差为1064-=，故A 错误；对B ，中位数为7982+=，故B 错误；对C ，平均数为677991086+++++=，故C 错误；对D ，标准差为=，故D 正确.故选：D4.某科研单位对ChatGPT 的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第75百分位数为（）A.78.5B.82.5C.85D.87.5【答案】B【分析】根据百分位数计算规则计算可得.【详解】因为()0.010.0250.035100.70.75++⨯=<，()0.010.0250.0350.02100.90.75+++⨯=>，所以第75百分位数位于[)80,90，设为x ，则()()0.010.0250.035100.02800.75x ++⨯+-=，解得82.5x =.故选：B5.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若b =，2c =，60B =︒，则A =（）A.45︒B.60︒C.75︒D.105︒【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理求出C ，即可求出A .【详解】由正弦定理sin sin c b C B=，则32sin 22sin 2c B C b ⨯===，又c b <，所以60C B <=︒，所以45C =︒，所以180604575A =︒-︒-︒=︒.故选：C6.已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//l m ，//l α，//m β，则//αβB.若l m ⊥，l α⊥，//m β，则//αβC.若//αβ，l ⊂α，m β⊂，则//l mD.若l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.【详解】对于A ：若//l m ，//l α，则//m α或m α⊂，又//m β，则//αβ或α与β相交，故A 错误；对于B ：若l m ⊥，l α⊥，则//m α或m α⊂，又//m β，则//αβ或α与β相交，故B 错误；对于C ：若//αβ，l ⊂α，则//l β，又m β⊂，则l 与m 平行或异面，故C 错误；对于D ：若l m ⊥，l α⊥，则//m α或m α⊂，若//m α，则在平面α内存在直线c ，使得//m c ，又m β⊥，则c β⊥，又c α⊂，所以αβ⊥；若m α⊂，又m β⊥，所以αβ⊥；综上可得，由l m ⊥，l α⊥，m β⊥，可得αβ⊥，故D 正确.故选：D7.在ABC 中，已知2cos 2cos 22cos A B C +=，则ABC 的形状一定为（）A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形【答案】C 【解析】【分析】利用二倍角公式及正弦定理将角化边，即可判断.【详解】因为2cos 2cos 22cos A B C +=，所以22212sin 12sin 22sin A B C -+-=-，所以222sin sin sin A B C +=，由正弦定理可得222+=a b c ，所以ABC 为直角三角形.故选：C8.长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹､爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇､《认母》篇､《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M ，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N ，则下列说法正确的是（）A.M 与N 互斥B.()()P M P MN = C.M 与N 相互独立D.()()1P M P N +<【答案】B 【解析】【分析】计算事件M 和事件N 的概率，由互斥事件的性质和相互独立事件的定义，对选项进行判断即可.【详解】三个人随机选三篇文章研究，样本空间共33327⨯⨯=种，事件M ：“三人都没选择《子归》篇”共有：2228⨯⨯=，所以()827P M =，事件N ：“至少有两人选择的篇目一样”共有27621-=种，所以()1272P N =，()()1P M P N +>，所以M 与N 不互斥，A 错误，D 错误；事件MN 共有2338++=种，所以()782P MN =，B 正确；因为()()()P MN P M P N ≠，所以C 错误.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数2()sin 2f x x x =+-，则（）A.()f x 的最小正周期为2π B.()2f x ≥-C.()f x 的图象关于直线π6x =对称 D.()f x 在区间π,04⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增【答案】BD 【解析】【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，在根据正弦函数的性质计算可得.【详解】因为2()sin 2sin 22f x x x x x=+=+132sin 2cos 222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 错误；因为π1sin 213⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭x ，所以()2f x ≥-，故B 正确；因为πππ2sin 2663f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线π6x =对称，故C 错误；当π,04x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则,ππ233π6x ⎛⎫-∈ ⎝+⎪⎭，又sin y x =在ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在区间π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故D 正确.故选：BD10.已知复数1z ，2z ，3z ，则下列说法正确的有（）A .1212||||||z z z z = B.若120z z ->，则12z z >C.若120z z =，则1212||||z z z z -=+ D.若1213z z z z =且10z ≠，则23z z =【答案】ACD 【解析】【分析】A 项，表达出12||z z 和12||||z z ，即可得出相等；B 项，作出示意图即可得出结论；C 项，写出12||z z -和12||z z +的表达式，利用120z z =得出两复数的实部和虚部的关系，即可得出结论；D 项，对1213z z z z =进行化简即可得出结论.【详解】由题意，设12i,i,,,,Rz a b z c d a b c d =+=+∈A 项，()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++=12z z ==∴1212||||||z z z z =,A 正确；B 项，当120z z ->时，若两复数是虚数1z ，2z 不能比较大小，B 错误；C 项，()()1212i,i z z a c b d z z a c b d -=-+-+=+++，12z z -==12z z +==，当120z z =时，12120z z z z ==0=，∴0,0a b ==，,c d 任取，或0,0c d ==，,a b 任取，即12,z z 至少有一个为0∴1212z z z z -=+=（其中至少有两项为0），C 正确；D 项，∵1213z z z z =，∴()1230z z z -=，∵10z ≠，∴230z z -=，即23z z =，D 正确；故选：ACD.11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G ，H 分别为AB ，1CC ，11A D ，1DD 的中点，则（）A.1B D ⊥平面EFGB.//AH 平面EFGC.点1B ，D 到平面EFG 的距离相等D.平面EFG 截该正方体所得截面的面积为【答案】ACD 【解析】【分析】取BC 的中点L ，11C D 的中点K ，1AA 的中点M ，即可得到正六边形LEMGKF 为平面EFG 截该正方体所得截面，求出截面面积，即可判断D ；根据线面垂直的判定定理说明A ，证明1//AD 平面EFG ，即可说明B ，根据正方体的性质判断D.【详解】如图，取BC 的中点L ，11C D 的中点K ，1AA 的中点M ，连接GK 、KF 、FL 、LE 、EM 、MG 、11A C 、MF 、AC 、1AD ，则11//GK A C ，//EL AC ，11////A C AC MF ，所以//GK MF ，所以G 、K 、F 、M 四点共面，又//EL MF ，所以L 、E 、F 、M 四点共面，同理可证//KF ME ，所以K 、E 、F 、M 四点共面，正六边形LEMGKF 为平面EFG 截该正方体所得截面，又12EL AC ===，所以216sin 602LEMGKF S =⨯⨯⨯︒=D 正确；因为AC ⊥平面11DBB D ，1DB ⊂平面11DBB D ，所以1AC DB ⊥，则1EL DB ⊥同理可证1FL DB ⊥，又EL FL L = ，,EL FL ⊂平面LEMGKF ，所以1DB ⊥平面LEMGKF ，即1B D ⊥平面EFG ，故A 正确；因为1//GM AD ，GM ⊂平面LEMGKF ，1AD ⊄平面LEMGKF ，所以1//AD 平面LEMGKF ，即1//AD 平面EFG ，又1AH AD A = ，1,AH AD ⊂平面11AD A A ，平面EFG ⋂平面11AD A A GM =，所以AH 不平行平面EFG ，故B 错误；设O 为正方体的中心，即O 为1DB 的中点，根据正方体的性质可知1EF DB O = ，即1DB 交平面LEMGKF 于点O ，所以点1B ，D 到平面LEMGKF 的距离相等，即点1B ，D 到平面EFG 的距离相等，故D 正确.故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设向量(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，若m p ⊥ ，则实数λ的值为___________.【答案】15##0.2【解析】【分析】求出p，利用m p ⊥ ，即可求出实数λ的值.【详解】由题意，(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，∴()4,32p λλ=+-∵m p ⊥ ，∴()()143320λλ⨯++-=，解得：15λ=，故答案为：15.13.在直角三角形ABC 中，已知CH 为斜边AB 上的高，AC =2BC =，现将BCH V 沿着CH 折起，使得点B 到达点B '，且平面B CH '⊥平面ACH ，则三棱锥B ACH '-的外接球的表面积为___________.【答案】13π【解析】【分析】证明,,HA HB HC '两两垂直，由,,HA HB HC '的边长，求出外接球半径，求表面积即可.【详解】直角三角形ABC 中，AC =2BC =，则斜边4AB =，30A = ，CH 为斜边AB 上的高，则CH =3AH =，1HB =，平面B CH '⊥平面ACH ，平面B CH ' 平面ACH CH =，B H CH '⊥，B H '⊂平面B CH '，则B H '⊥平面ACH ，又AH CH ⊥，所以,,HA HB HC '两两垂直，HC =3HA =，1HB '=，则三棱锥B ACH '-的外接球半径1322R ==，所以三棱锥B ACH '-的外接球表面积为24π13πS R ==.故答案为：13π.14.在ABC 中，已知cos 21sin 2cos 212C C C =++，则3sin 2sin A B +的最大值为___________.【解析】【分析】利用二倍角公式化简，即可求出C ，从而得到π3A B +=，从而将3sin 2sin A B +转化为A 的三角函数，再利用辅助角公式计算可得.【详解】因为cos 21sin 2cos 212C C C +=++，所以222cos sin 12sin cos 2cos 112C C C C C -+=+-+，即()()()cos sin cos sin 132cos cos sin 2C C C C C C C -+=+，所以cos sin 1113tan 2cos 222C C C C -=-=，所以tan C =，又()0,πC ∈，所以2π3C =，则π3A B +=，所以π3sin 2sin 3sin 2sin 3A B A A ⎛⎫+=+-⎪⎝⎭()ππ3sin 2sin cos 2cos sin 2sin33A A A A A A ϕ=+-==+，取ϕ为锐角，其中sinϕ=，cos ϕ=1sin 2ϕ=>，所以π6ϕ>，所以当π2A ϕ+=时3sin 2sin AB +.【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出C 的值，从而将3sin 2sin A B +转化为A 的三角函数，结合辅助角公式求出最大值.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E ，F ，G 分别为线段AD ，BC ，PB 的中点.（1）求证：AG ⊥平面PBC ；（2）求证：//PE 平面AFG .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先证BC ⊥平面PAB ，有BC AG ⊥，再由AG PB ⊥，可证AG ⊥平面PBC ；（2）连接BE 交AF于点H ，由AHE FHB ≅ ，得H 为BE 中点，可得//GH PE ，线面平行的判定定理得//PE 平面AFG .【小问1详解】底面ABCD 为矩形，所以BC AB ⊥，PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，则PA BC ⊥，AB PA A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，则BC ⊥平面PAB ，AG ⊂平面PAB ，所以BC AG ⊥，又PA AB =，G 为PB 中点，则AG PB ⊥，,BC PB ⊂平面PBC ，BC PB B = ，所以AG ⊥平面PBC .【小问2详解】连接BE 交AF 于点H ，连接GH ，由四边形ABCD 为矩形，,E F 分别为,AD BC 中点，所以AHE FHB ≅ ，则BH HE =，即H 为BE 中点，又因为G 为BP 中点，有//GH PE ，GH Ì平面AFG ，PE ⊄平面AFG ，所以//PE 平面AFG .16.一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件A =“第一次摸到红球”，B =“第二次摸到黑球”，C =“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”.（1）用数组()12,x x 表示可能的结果，1x 是第一次摸到的球的标号，2x 是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间Ω；（2）分别求事件A ，B ，C 发生的概率；（3）求事件A ，B ，C 中至少有一个发生的概率.【答案】（1）()()()()()()()()()()()(){}Ω1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3=（2）()12P A =，()14P B =，()13P C =（3）()34P A B C ⋃⋃=【解析】【分析】（1）根据事件的定义列出样本空间即可；（2）根据古典概型概率计算公式计算即可；（3）根据古典概型概率计算公式计算即可.【小问1详解】样本空间()()()()()()()()()()()(){}Ω1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3=，Ω共有12个基本事件；【小问2详解】事件A 的基本事件为：()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4共6个基本事件，所以()12P A =，事件B 的基本事件为：()()(){}1,3,2,3,4,3共3个基本事件，所以()14P B =，事件C 的基本事件为：()()()(){}1,42,4,4,1,4,2共4个基本事件，所以()13P C =，【小问3详解】事件A ，B ，C 中至少有一个发生的基本事件为：()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,44,1,4,2,4,3共9个基本事件，所以()34P A B C ⋃⋃=.17.如图，在平面四边形ABCD 中，已知AC 与BD 交于点E ，且E 是线段BD 的中点，BCE 是边长为1的等边三角形.（1）若sin 14ABD ∠=，求线段AE 的长；（2）若:AB AD =AE BD <，求sin ADC ∠.【答案】（1）12（2）7【解析】【分析】（1）由sin 14ABD ∠=，有cos 14ABD ∠=，又120AEB ∠= ，AEB △中，()sin sin BAE AEB ABD ∠=∠+∠，求值后由正弦定理求线段AE 的长；（2）在AED △和AEB △中，余弦定理得22222AB AD AE +=+，又:AB AD =解得13AE =，在ACD 中，由余弦定理求cos ADC ∠，再得sin ADC ∠.【小问1详解】因为BCE 为等边三角形，所以120AEB ∠= ，又sin 14ABD ∠=，所以cos 14ABD ∠=，在AEB △中，()()sin sin 180sin BAE AEB ABD AEB ABD ⎡⎤∠=-∠+∠=∠+∠⎣⎦，所以21sin sin cos cos sin 7BAE AEB ABD AEB ABD ∠=∠∠+∠∠=，由正弦定理得sin sin AE BEABD BAE =∠∠，21sin 114sin 2217BE ABD AE BAE ⋅∠===∠.【小问2详解】()cos cos 180cos AED AEB AEB ∠=-∠=-∠ ，1DE BE ==，在AED △中，由余弦定理，2222cos AD AE DE AE DE AED =+-⋅⋅∠，在AEB △中，由余弦定理，2222cos AB AE BE AE BE AEB =+-⋅⋅∠两式相加得222222222AB AD AE DE BE AE +=++=+，因为:AB AD =，所以设AB =，AD =，则AE =，在AEB △中，120AEB ∠= ，由余弦定理得，2222cos AB AE BE AE BE AEB =+-⋅⋅∠，得2211310112m m ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭，化简得23m =由0m >，解得1m =或13m =，当1m =时，3AE BD =>，不合题意，舍去；当13m =时，13AE BD =<，符合题意，所以13AE =，43AC AE EC =+=，73AD ==，在DCE △中，1CE DE ==，120DEC ︒=∠，可得CD =，在ACD中，由余弦定理，222cos 2AD CD AC ADC AD CD+-∠==⋅，所以sin 7ADC ∠=.18.如图，在平行四边形ABCD 中，已知3A π=，2AB =，1AD =，E 为线段AB 的中点，F 为线段BC 上的动点（不含端点）.记BF mBC =.（1）若12m =，求线段EF 的长；（2）若14m =，设AB xCE yDF =+ ，求实数x 和y 的值；（3）若CE 与DF 交于点G ，AG EF ∥，求向量GE 与GF的夹角的余弦值.【答案】（1）2（2）68,1111x y =-=（3）7-【解析】【分析】（1）由向量的线性运算可得1122EF AD AB =+，两边平方可求解；（2）由已知可得34DF DC CF AB AD =+=- ，12CE CB BE AD AB =+=--，可得结论；（3）利用向量的线性关系可得1255GE AB AD =-- ，933510GF AD AB =-+，计算可得结论.【小问1详解】若12m =，则1122BF BC AD == ，12BE AB =-，所以1122EF BF BE AD AB =-=+ ，两边平方可得22222211117()(2)(12122)44424EF AD AB AD AD AB AB =+=++=+⨯⨯⨯+= ，所以2EF =；【小问2详解】若14m =，则1144BF BC AD == ，所以34CF AD =-，34DF DC CF AB AD =+=- ①，12CE CB BE AD AB =+=-- ②，由①②可得681111AB CE DF =-+；【小问3详解】1122EF EB BF AB mBC AB mAD =+=+=+，1122EC EB BC AB BC AB AD =+=+=+ ，设2EG EC AB AD λλλ==+ ，又122AG AE EG AE AB AD AB AD λλλλ+=+=++=+，又AG EF ∥，所以1212m λλ=+①，由EG EC λ= ，可得GE CE λ= ，所以CE CG CE λ-=，所以(1)CG CE λ=- ，所以11(1)(1)()(1)22CG CE AB BC CB CD λλλλ-=-=---=-+ ，由BF mBC = ，可得(1)CF m CB =- ，11CB CF m=-所以11(1)12CG CE CF CD m λλλ--=-=+-，又,,D F G 三点共线，所以11112m λλ--+=-②，联立①②解11,23m λ==，所以1142EG AB AD =+ ，所以1142GE AB AD =--，111111242424CG CB CD BC DC AD AB =+=--=-- ，21111(32464GF CF CG AD AD AB AD AB =-=----=-+ ），所以2211111111····64422412168GE GF AD AB AB AD AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫=-+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111112412484=+--=-，又2222111111113()4216444444GE AB AD AB AB AD AD =--=++=++=，所以||2GE =，同理可得||6GF = ，所以1214cos ,726GE GF -==-.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是用基底表示向量后，求向量模或者夹角就可以利用公式直接计算.19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知侧面11CDD C 为矩形，60BAD ABC ∠=∠=︒，3AB =，2AD =，1BC =，1AA =，12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB =.（1）求证：平面DEF 平面1A BC ；（2）求证：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（3）若三棱锥1E A BC -的体积为3，求平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）19或7.【解析】【分析】（1）由已知可得//EF 平面1A BC ，//DF 平面1A BC ，从而可证结论；（2）由余弦定理可得23DC =，从而可证AD CD ⊥，进而结合已知可证CD ⊥平面11ADD A ，可证结论；（3）延长,AD BC 交于N ，过1A 作1A M AD ⊥于M ，过M 作MH BN ⊥于H ，连接1A H ，可得1A HM ∠为平面1A BC 与平面ABCD 所成二面角的平面角，求解即可.【小问1详解】因为12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB = ，所以1EF A B ∥，又1A B ⊂平面1A BC ，EF ⊄平面1A BC ，所以//EF 平面1A BC ，2AF FB = ，3AB =，可得2AF =，又2AD =，60BAD ∠=︒，所以ADF △是等边三角形，所以2DF =，60AFD ∠=︒，又60ABC ∠=︒，所以DF BC ∥，又BC ⊂平面1A BC ，DF ⊄平面1A BC ，//DF 平面1A BC ，又DF EF F = ，又,DF EF ⊂平面DEF ，所以平面DEF 平面1A BC ；【小问2详解】由侧面11CDD C 为矩形，可得1CD DD ⊥，连接CF ，可得BCF △是等边三角形，所以60BFC ∠=︒，所以60DFC ∠=︒，又2DF =，1CF =，由余弦定理可得22211221232DC =+-⨯⨯⨯=，所以222DC CF DF +=，所以90FCD ∠=︒，所以30FDC ∠=︒，所以90ADC ∠=︒，所以AD CD ⊥，又1AD DD D = ，1,AD DD ⊂平面11ADD A ，所以CD ⊥平面11ADD A ，又CD ⊂平面ABCD ，所以平面11ADD A ⊥平面ABCD ；【小问3详解】延长,AD BC 交于N ，可得ABN 是等边三角形，过1A 作1A M AD ⊥于M ，由（1）可知//EF 平面1A BC ，所以三棱锥1E A BC -的体积即为三棱锥1F A BC -的体积，又三棱锥1F A BC -的体积等于三棱锥1A BCF -的体积，由（2）可知平面11ADD A ⊥平面ABCD ，且两平面的交线为AD ，所以AM ⊥平面ABCD ，所以111111331133223B F BCF A C V S A M A M -==⨯⨯⨯⨯= ，解得14A M =，过M 作MH BN ⊥于H ，连接1A H ，AM ⊥平面ABCD ，BN ⊂平面ABCD ，所以AM BN ⊥，又1HM A M M ⋂=，1,HM A M ⊂平面1A MH ，所以BN ⊥平面1A MH ，又1A H ⊂平面1A MH ，1BN A H ⊥，所以1A HM ∠为平面1A BC 与平面ABCD 所成二面角的平面角，若12A AD π∠<，则点M 在线段AD 上，且为AD 中点，又117AA =，由勾股定理可得1AM =，所以2MN =，所以3MH =131619A H =+=，所以1357cos 1919A HM ∠==，所以平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值为5719；若12A AD π∠>，则点M 在线段DA 延长线上，此时13,7MH A H ==，11321cos 727MH A HM A H ∠===.。
江苏省苏州市2019_2020学年高一数学下学期期末学业质量阳光指标调研试题含解析
可得实施乡村振兴建设后，农村的经济收入为
对A，建设前种植收入为 ，建设后种植收入为
故A错
对B，建设前其它收入为 ，建设后其它收入为
故B正确
对C，建设前养殖收入为 ，建设后养殖收入为
所以乡村振兴建设后，养殖收入增加了一倍，故C正确
对D，
建设后养殖收入与第三产业收入的总和为 ，
所以 的取值X围是
应当选：AB.
【点睛】此题考查三角函数的单调性问题，考查运算能力，是中档题.
11. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ． ， ，假如添加如下条件来解三角形，如此其中三角形只有一解的是〔 〕
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】
利用三角形的性质：大边对大角以与正弦定理即可求解.
A. 20B. 40C. 60D. 80
【答案】B
【解析】
【分析】
假设青年人中抽了 人，然后根据分层抽样的概念，进展计算，可得 ，最后计算可得结果.
【详解】设青年人中抽了 人
由题可知：
所以
应当选：B
【点睛】此题考查分层抽样的概念与计算，属根底题.
3. 从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，如此这两个数之和等于5的概率为〔 〕
如此下面结论中正确的有〔 〕
A. 乡村振兴建设后，种植收入减少
B. 乡村振兴建设后，其他收入增加了一倍以上
C. 乡村振兴建设后，养殖收入增加了一倍
D. 乡村振兴建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【答案】BCD
【解析】
【分析】
采用逐一验证法，假设该地区实施乡村振兴建设前，农村的经济收入为 ，可得实施乡村振兴建设后，农村的经济收入为 ，然后简单计算以此判断即可.
江苏省苏州市2019~2020学年第一学期学业质量阳光指标调研卷
函数 y =
f (x) 为“对 k 的可拆分函数”. 若
f (x) =
a 2x + 1
A
第7题图
为“对 2 的可拆分函数”则非零实数 a 的最大值是
(
B
)
A.
3
√ (2
−
1)
B.
3√ ( 2 + 1)
C.
5
√ (2
−
1)
D.
5√ ( 2 + 1)
2
2
2
2
ニ. 多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选
D. (0, −1)
12.
已知函数
f (x)
=
sin(ωx + φ)(ω
>
0)
的图象经过点
(
π
,
1
) ，
且在区
间
(
π
π) ,
上单调，则
ω,φ
可能的取值
32
12 6
为
()
A. ω = 2, φ = − π 6
B. ω = 2, φ = − π 2
C. ω = 6, φ = π 6
D. ω = 6, φ = 5π 6
a+b
⩾
√ ab
当且仅当
a
=
b
时，式
2
中的等号成立”. 我们将这个结论称为“基本不等式”
请利用“基本不等式”解决下面的问题：
已知
f1 (x)
=
x,
f2(x)
=
1 ,F(x) x
为函数
y
江苏省苏州市2019-2020学年高一下学期期末学业质量阳光指标调研数学试题(wd无答案)
江苏省苏州市2019-2020学年高一下学期期末学业质量阳光指标调研数学试题一、单选题(★) 1. 已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（）A．B．C．D．(★) 2. 苏州市6月1日起正式实施的《生活垃圾分类管理条例》将城市生活垃圾分为“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”和“其他垃圾”四类．某社区为了分析不同年龄段的人群对垃圾分类知识的了解情况，对辖区内的居民进行分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、900人、700人，若在老年人中的抽样人数是35，则在青年人中的抽样人数是（）A．20B．40C．60D．80(★) 3. 从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，则这两个数之和等于5的概率为（）A．B．C．D．(★★) 4. 在同一平面直角坐标系中，两直线与的图象可能是（）A．B．D．C．(★) 5. 围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率为，则取出的2粒颜色不同的概率为（）A．B．C．D．(★) 6. 如图，在平行六面体中，点是棱上靠近的三等分点，点是棱的中点，且三棱锥的体积为2，则平行六面体的体积为（）A．8B．12C．18D．20(★★★) 7. 已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，，且的面积为，则的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★)8. 在平面立角坐标系中，两圆，均过点，它们的圆心分别为，，满足，若两圆与轴正半轴分别交于，，则的值为（）A．2B．6C．9D．与，的取值有关二、多选题(★★) 9. 党的十九大为新时代农业农村改节发展明确了重点、指明了方向，报告中提出了“实施乡村振兴战略”．某地区农村经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入增加了一倍.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区实施乡村振兴建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中正确的有（）A．乡村振兴建设后，种植收入减少B．乡村振兴建设后，其他收入增加了一倍以上C．乡村振兴建设后，养殖收入增加了一倍D．乡村振兴建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半(★★★) 10. 已知函数在区间上单调递增，则实数的可能值为（）A．B．C．D．(★★) 11. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，若添加下列条件来解三角形，则其中三角形只有一解的是（）A．B．C．D．(★★★)12. 如图，点是正方体的棱的中点，点在线段上运动，则下列结论正确的是（）A．直线与直线始终是异而直线B．存在点，使得C．四面体的体积为定值D．当时，平面平面三、填空题(★★) 13. 为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，则该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的人数为 ______ ．(★) 14. 在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则的面积为______．(★★) 15. 已知、两点分别在两条互相垂直的直线和上，且线段的中点为，则______．四、双空题(★★★) 16. 已知在球的内接长方体中，，，则球的表面积为________，若为线段的中点，则过点的平面截球所得截面面积的最小值为______．五、解答题(★★) 17. 如图，在斜三棱柱中，已知，，分别为，的中点，侧面是菱形，（1）求证：//平面；（2）求证：平面平面．(★★★) 18. 已知圆经过两点、，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆相交于、两点，且求直线的方程．(★★★) 19. 随着我国中医学的发展，药用昆虫的需求愈米愈多．每年春暖花开后，昆虫大量繁殖．研究发现某类药用昆虫的个体产则数（单位：个）与温度（单位：℃）有关，科研人员随机挑选了3月份中的5天进行研究，收集了5组观测数据如下表：温度/℃91113128产卵数/个2325302620科研人员确定的研究方案是：先用前三组数据建立y关于x的线性回归方程，再用后两组数据进行检验．（1）求关于的线性回归方程；（2）若由线性回归方程行到后两组的估计数据与实际观测数据的误差均不超过2个，则认为线性同归方程足可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（附：回归直线的斜率和截距的公式分别为，）(★★★) 20. 在① ，② ，③ 这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在下面的问题中，并求解．在中，角，，的对边分别为，，．已知，，满足______．（1）请写出你的选择，并求出角的值；（2）在（1）的结论下，已知点在线段上，且，求长．(★★★) 21. 如图所示，等边三角形的边长为3，点，分别是边，上的点，满足，．将沿折起到的位置，使二面为二面角，连接，．（1）求二面角的余弦值；（2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为60°？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．(★★★★) 22. 如图，点是圆：上一动点，过点作圆的切线与圆：交于，两点，已知当直线过圆心时，（1）求的值；（2）当线段最短时，求直线的方程；（3）问：满足条件的点有几个？请说明理由．。
江苏省苏州市2019-2020学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高一英语试题 (含答案)
江苏省苏州市2019-2020学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高一英语 2020.07注意事项：l. 本试卷分为笫I 卷（选择题）和笫II 卷（非选择题），满分 150 分。
考试时间 120 分钟。
2. 请将笫Ⅰ卷的答案填涂在答题卡上，笫 II 卷请直接在答题卡上规定的地方作答。
答题前，学生务必将自己的学校、姓名、调研序列号等相关信息写在答题卡上规定的地方。
第I卷选择题（共85分）第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话°每段对话后有—个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1.Why did the man make a mistake?A. Because of the woman's height.B. Because of the woman's clothing.C. Because of the woman's hair.2.What will the woman do?A. Call the police.B. Speak to a dog owner.C. Move to another bedroom.3.Who does the man think the baby looks like?A. Her sister.B. Her mother.C. Her twin brother.4.What is the woman's suggestion for thanking the neighbour?A. To cook something for her.B. To buy something for her.C. To fix something for her.5.Who helped the sick old lady?A. Her pet.B. The building owner.C. Her neighbour.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
2021-2022学年江苏省苏州市高一下学期学业质量阳光指标调研数学试题(解析版)
2021-2022学年江苏省苏州市高一下学期学业质量阳光指标调研数学试题一、单选题1．过已知平面α外一点A 作与α垂直的直线的条数有（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．无数【答案】B【分析】由平面的基本性质判断垂直于平面的直线条数.【详解】由过一点垂直于一个平面的直线有且只有一条，故平面α外一点A 作与α垂直的直线的条数有1条. 故选：B2．下表记录了苏州某个月连续8天的空气质量指数（AQI ）.则这些空气质量指数的25%分位数为（ ）A ．24 B ．26 C ．28D ．31【答案】B【分析】把空气指数按从小到大顺序排列后，计算出825%2⨯=，然后求出第2个数和第3个数的平均值即得．【详解】空气指数的8个数从小到大排列为：20，24，28，31，33，35，36，38， 又825%2⨯=， 所以25%分位数是2428262+=． 故选：B ．3．已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1sin ,2sin 3A bB ==，则=a （ ）A ．23B ．32C ．6D ．16【答案】A【分析】利用正弦定理整理代入运算即可． 【详解】由正弦定理sin sin a b A B =，整理得sin 122sin 33b A a B ==⨯=故选：A ．4．平面α与平面β平行的充分条件可以是（ ） A ．α内有无穷多条直线都与β平行B ．直线a //α，a //β，且直线a 不在α与β内C ．直线 a α⊂，直线b β⊂，且b //α，a //βD ．α内的任何直线都与β平行 【答案】D【分析】由平面的基本性质，结合线面、面面间的关系判断是否有面面平行即可. 【详解】A ：α内有无穷多条直线都与β平行，则面α与面β可能平行也可能相交，错误；B ：直线a //α，a //β，且直线a 不在α与β内，则面α与面β可能平行也可能相交，错误；C ：直线 a α⊂，直线b β⊂，且b //α，a //β，则面α与面β可能平行也可能相交，错误；D ：α内的任何直线都与β平行，α内任取两条相交的直线平行于β，由面面平行的判定知//αβ，正确. 故选：D.5．设i 是虚数单位，若复数()122i,cos isin R z z θθθ==+∈，则12z z -的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．9【答案】A【分析】根据复数的减法，求得12cos (2sin )i z z θθ-=-+-，再根据复数的模和三角函数的性质即可求得答案.【详解】解：因为12cos (2sin )i z z θθ-=-+-，所以12z z -， 当sin 1θ=时，12min ()1z z -=. 故选：A.6．已知向量()()3sin ,2,1,1cos a b αα=-=-，若2a b ⋅=-，则tan2α=（ ） A ．1213-B ．613-C ．125-D ．65-【答案】C【分析】根据向量数量积的坐标表示1212a b x x y y ⋅=+，结合题意整理可得tan α，再代入二倍角的正切公式22tan tan21tan ααα=-运算求解．【详解】由题意可得：()3sin 21cos 2a b αα⋅=--=-，整理得3sin 2cos αα=-，即2tan 3α=-∴22222tan 123tan21tan 5213ααα⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭===--⎛⎫-- ⎪⎝⎭故选：C ．7．在ABC 中，已知1,2,60,,AB AC BAC BC AC ∠===边上的两条中线,AD BE 相交于点P ，则cos DPE ∠=（ ） A ．32114B ．714C ．17D ．217【答案】B【分析】由题可得三角形ABC 为直角三角，建立坐标系，将问题转化为求AD 与BE 夹角的余弦即可.【详解】解：因为1,2,60,AB AC BAC ==∠= 所以2222cos603BC AB AC AB AC =+-⋅⋅︒=， 所以3BC =,又因为2224AB BC AC +==, 所以三角形ABC 为直角三角， 建立如图所示的坐标系，则有：(0,1),(0,0),3,0)A B C , 因为,D E 分别为,BC AC 中点，所以1)2D E , 所以3(1)2AD =-,31()22BE =,所以cos cos ,||||AD BE DPE ADBE AD BE ⋅∠=<>=⋅=11⋅. 故选：B.8．已知锐角三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c ABC 的面积为S ，且()22sin 2bc B S -⋅=，若a kc =，则k 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．()0,3C ．()1,3D ．()0,2【答案】A【分析】根据面积公式，余弦定理和题干条件得到2cos c a c B =-，结合正弦定理得到2B C =，由ABC 为锐角三角形，求出ππ,32B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而求出111cos 0,2222a c B k c -⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭，求出k 的取值范围.【详解】因为1sin 2S ac B =，所以()22sin 2sin b c B S ac B -⋅==，即22b c ac -=，所以2222cos ac c a c ac B +=+-， 整理得：22cos ac a ac B =-， 因为0a >，所以2cos c a c B =-，由正弦定理得：sin sin 2sin cos C A C B =-， 因为()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+， 所以()sin sin cos cos sin sin C B C B C B C =-=-， 因为ABC 为锐角三角形， 所以B C -为锐角， 所以C B C =-，即2B C =，由π0,2π0,22ππ0,22B B C B A B ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=--∈⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得：ππ,32B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为a kc =， 所以111cos 0,2222a c B k c -⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭， 解得：()1,2k ∈， 故选：A【点睛】三角形相关的边的取值范围问题，通常转化为角，利用三角函数恒等变换及三角函数的值域等求出边的取值范围，或利用基本不等式进行求解.二、多选题9．定义函数()()*1sin N 2n f x nx nx n =+∈，则（ ）A ．1π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()4f x 的最小正周期为2πC ．()2f x 的图像关于直线π12x =对称 D ．()2f x 在π0,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 【答案】AC【分析】先求出()πsin 3n f x nx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据()n f x 的周期性、对称性与单调性等性质逐项分析即可得到答案.【详解】因为()1πsin sin 23n f x nx nx nx ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭, 所以对于选项A ，1ππππsin 1sin 16623f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故A 正确；对于选项B ，()4πsin 43f x x ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭， 因此2ππ42T ==，故B 错误； 对于选项C ，2ππππsin 2sin 1121232f ⎛⎫⨯+=⎛⎫= ⎪⎝⎭= ⎪⎝⎭，因此()2f x 的图像关于直线π12x =对称，故C 正确；对于选项D ，()2πsin 23f x x ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，由ππ3π2π22π,Z 232k x k k +≤+≤+∈，得()2f x 的单调递减区间为：π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，因为π7πππ0,,π,Z 121122k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎛⎫⊆/ ⎭⎦⎪⎝，所以()2f x 不在π0,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故D 错误. 故选:AC.10．甲箱中有3个红球､3个黄球，乙箱中有4个红球､2个黄球（12个球除颜色外，大小､形状完全相同），先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个球，记事件1A =“在甲箱中取出的球是红球”，事件2A =“在甲箱中取出的球是黄球”，事件B =“从乙箱中取出的球是红球”，则（ ）A ．1A 与2A 互斥B ．2A 与B 独立C ．()227P A B =D ．()914P B =【答案】ACD【分析】根据互斥事件、独立事件的定义判断AB ，求出概率2()P A B 及()P B 后判断CD ． 【详解】摸一个球，红球与黄球不可能同时出现，1A 与2A 是互斥事件，A 正确；2A 发生了，则4()7P B =，2A 没发生，则5()7P B =，因此2A 发生与否对B 的概率有影响，它们不独立，B 错； 2342()677P A B ⨯==⨯，C 正确； 123529()()()67714P B P A B P A B ⨯=+=+=⨯，D 正确； 故选：ACD ．11．下列命题中，正确的有（ ） A ．对于任意向量,a b ，都有a b a b ++B ．对于任意复数12,z z ，都有1212z z z z ++C ．存在向量,a b ，使得a b a b ⋅<D ．存在复数12,z z ，使得1212z z z z < 【答案】ABC【分析】对于A ：根据向量加法的三角形法则分析判断；对于B ：将复数转化为向量分析判断；对于C ：根据数量积的定义分析判断；对于D ：利用复数的三角表示运算判断． 【详解】对于A ：根据向量加法的三角形法则易得a b a b ++，当且仅当,a b 同向或,a b 有为零向量时等号成立，A 正确；对于B ：设复数12,z z 对应的向量为12,OZ OZ ，则1122,z OZ z OZ ==，根据向量可得1212z z z z ++，B 正确；对于C ：∵cos a b a b a b θ⋅=≤，当且仅当cos 1θ=，即a b ∥时等号成立， ∴只要,a b 不共线，则a b a b ⋅<成立，C 正确；对于D ：设()()1122,cos isin cos isin r z r z ααββ=+=+，则1122,z z r r == ∵()()()()112221cos isin cos isin cos isin r r r z r z ααββαβαβ=+⨯+=+++⎡⎤⎣⎦ ∴1212z z z z =，D 错误； 故选：ABC ．12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则下列选项正确的有（ ）A ．若P 为棱1CC 的中点，则异面直线AP 与BCB ．若P 为棱1CC 的中点，则过点P 有且仅有一条直线与直线11AB,AD 都相交 C ．若P 为以1CC 为直径的球面上的一个动点，当三棱锥1P B BC -的体积最大时，三棱锥1P B BC -外接球的表面积为2πD ．若平面1AC α⊥，则α截此正方体所得截面图形的面积越大，其周长越大 【答案】ABC【分析】A 找到异面直线所成角的平面角求正切值；B 利用平面的基本性质找到11A D 与面PAB 的交点，进而确定过P 与直线11AB,A D 都相交的直线是否唯一；C 首先确定P 及△1B BC 外接圆圆心位置，再求外接圆半径及圆心到P 的距离，即可得1P B BC -外接球半径；D 利用正方体截面的性质，动态分析截面α从A 到1C 过程中截面图形面积和周长的变化情况即可.【详解】A ：如下图，由//AD BC 则AP 与BC 所成角即为PAD ∠，而tan PD PAD AD ∠=，正确；B ：若E 为1DD 中点，而P 为棱1CC 的中点，则//EP AB ，故,,,A B E P 共面， 连接AE 并延长交11AD 于F ，连接FP 并延长交AB 于G ， 又11A D ⊄面PAG ，11A D 面PAG F =，FGAB G =，11FG A D F ⋂=，故所得直线FG 过P 与直线11AB,A D 都相交，唯一性说明：若存在过P 与直线11AB,A D 都相交另一条直线，显然该直线也在面P AG 内，则11A D 与面PAG 存在另一个交点(非F )，与直线与平面相交有且仅有一个交点矛盾， 所以直线FG 为过P 与直线11AB,A D 都相交的唯一直线，正确；C ：由题设，当P 到面1B BC 距离最大为球体半径12时1P B BC -的体积最大， 此时P 在面11B BCC 两侧，距离为12，可视为正方形11B BCC 的中心， 而△1B BC 外接圆圆心为1CB 中点，22，且△1B BC 外接圆圆心到P 22，故1P B BC -21P B BC -外接球的表面积为2π，正确； D ：如下图，平面1AC α⊥时，截面α从A 点到面1A BD 过程中，截面面积和周长都越来越大；从面1A BD 到面11CB D 过程中，面积先变大后变小而周长不变；从面11CB D 到1C 过程中，面积和周长越来越小，错误.故选：ABC三、填空题13．若圆台上下底面半径分别为1和23___________. 73π【分析】利用圆台的体积公式直接代入求得结果.【详解】解：设圆台上底面的半径为1r =，下底面的半径为2R =，高为3h = 则圆台的体积()()222211733121233V h r R rR πππ=++=++⨯=73π14．设i 是虚数单位，复数()1i ,z a b a b =+∈R ，212i z =+，请写出一个满足12z z 是纯虚数的复数1z =___________.【答案】2i +（只要满足2a b =，且0a ≠）【分析】利用复数的乘法化简复数12z z ，根据12z z 为纯虚数可出关于a 、b 的等式与不等式，即可得解.【详解】由已知可得()()()()12i 12i 22i z z a b a b a b =++=-++为纯虚数，则220a ba b =⎧⎨+≠⎩. 所以，2a b =且0a ≠，故满足题设条件的复数1z 可以是12i z =+. 故答案为：2i +（只要满足2a b =，且0a ≠）.15．在ABC 中，已知3,2AC BC ==.若D 为边AB 上的一点，且30ACD ∠=，60BCD ∠=，则BD =___________.【答案】273【分析】分别在在BCD △、ACD △中，利用正弦定理用BDC θ∠=表示,BD AD ，进而确定两者之间的关系，即可求出答案．【详解】由题意可得：90ACB ∠=，则227AB AC BC =+= 设BDC θ∠=，则πADC θ=-∠ 在BCD △中，由正弦定理可得sin sin BC BDBDC BCD=∠∠，整理可得sin 3sin sin BC BCD BD BDC θ⋅∠==∠ 在ACD △中，由正弦定理可得sin sin AC ADADC ACD=∠∠，整理可得()sin 33sin 2sin π2sin AC ACD AD ADC θθ⋅∠===∠-∴2BD AD =，则27323BD AC ==故答案为：273．四、双空题16．在ABC 中，已知2,3,60,AB BC ABC D ∠===为边AB 上一动点，过点D 作一条直线交边AC 于点,E ADE ∠θ=.（1）若D 为AB 中点，且60θ=，则DE DC ⋅=___________.；（2）设DE BA BC λμ=+，则DEλμ+的最大值是___________.【答案】154． 21． 【分析】（1）利用DC DB BC =+，将DE DC ⋅展开代入数量积运算； （2）先把2DE λμ+（）化简转化为齐次式，分子分母同除以2μ，构造k λμ=转化为二次式比二次式，分离常数再转化为一次式比二次式，分子分母同除以一次式，再利用基本不等式求出最值．【详解】(1)若D 为AB 中点，且60θ=，则DE 为ABC ∆中位线，3=2DE ∴()331cos1203cos022154DE DC DE DB BC DE DB DE BC ∴=+=+=⨯⨯︒+⨯⨯︒= （2）2222222222222221==2492?23?cos60=496469BA BC DE λλλμλμλλμμλλμμμμλμλμλμλλλμλμμμ++++++++++⨯︒+++++（）（）（）（）（）令k λμ=，则2222222141484125=(144)69469469k k k k k k k k k k k DE λμ+++++-==+++++++（）， 令25t k =-，则()22211=1=11114413495315949413t t t t DE t t t t λμ⎡⎤⎛⎫+⎛⎫⎪++⎢⎥ ⎪=+++⎝⎭++++ ⎪⎢⎥⎣⎦ ⎪++⎝⎭（） 当0t >时，4949=14t t t t+≥，当且仅当49=t t 时取等号，2117(1)=4141327DEλμ+∴≤++（），721=279DEλμ+∴≤，DEλμ+∴的最大值是219， 故答案为：154 219． 【点睛】本题主要考查向量运算和分式函数最值得求解，运算量比较大，属于填空压轴题．五、解答题17．2022年2月苏州新冠肺炎疫情发生后，2月17日，“疫”声令下，江苏省内各大市纷纷闻讯而动，约6000名医务工作者雪夜抱团驰援苏州，为苏州抗疫工作注入坚实而温暖的力量，各方力量按成一股绳，合力“苏”写了守望相助的抗疫故事，现从各市支援苏州某地区的700名医务工作者中随机抽取40名，将这40人的年龄按照[)25,35，[)35,45，[]45,55，这3个区间绘制如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计这40名医务工作者的平均年龄（同一组数据用该组，区间的中点值代表）(2)现需要对居家隔离的居民进行单管核酸检测，防疫指挥部决定在[)35,45，[]45,55两区间段医务工作者中按比例分配分层随机抽样方法抽取5人.假设5人已经选定，现要从这5人中选择2人到某户进行检测，求选中的两人来自不同年龄段的概率. 【答案】(1)37(2)35【分析】（1）根据频率分布直方图可得每组的频率，再根据加权平均数运算求解；（2）先根据分层抽样求每层抽取的人数，再根据古典概型求解．【详解】(1)被抽取的40名医务工作人员的平均年龄300.5400.3500.237x =⨯+⨯+⨯=. (2)40人中年龄在[)[]35,45,45,55内的人数比为12:8，即3:2.按比例分配分层随机抽样，在[)35,45内应抽取3535⨯=人，在[]45,55内应抽取2525⨯=人.设年龄在[)35,45内的3人编号为1,2,3，年龄在[]45,55内的2人编号为4，5，用(),a b 表示选择编号为,a b 的事件，设事件A =“选中的两人来自不同年龄段”，则()()()()()()()()()(){}Ω1,2,1,3,1,4,1,5,2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5=，所以()Ω10n =.因为()()()()()(){}1,4,1,5,2,4,2,5,3,4,3,5A =，所以()6n A =. 所以()()()63Ω105n A P A n ===. ∴选中的两人来自不同年龄段的概率为35.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面,ABCD PD AD =，M 为线段PC 上的动点，N 为线段BC 的中点.(1)若M 为线段PC 的中点，证明：平面PBC ⊥平面MND ； (2)若PA平面MND ，试确定点M 的位置，并说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)点M 为线段PC 的三等分点，且靠近点C 处，理由见解析【分析】（1）根据题意结合线面垂直的性质、判定定理可证DM ⊥平面PBC ，进而证明结果；（2）利用线面平行的性质定理理解分析．【详解】(1)因为底面ABCD 为正方形，PD AD =，所以,PD CD BC CD =⊥. 因为M 为线段PC 中点，所以在平面PCD 中，DM PC ⊥. 因为PD ⊥底面,ABCD BC ⊂底面ABCD ，所以PD BC ⊥.又,,BC CD PD CD D PD ⊥⋂=⊂平面,PCD CD ⊂平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD .因为DM ⊂平面PCD ，所以BC DM ⊥.又,,DM PC PC BC C PC ⊥⋂=⊂平面,PBC BC ⊂平面PBC ， 所以DM ⊥平面PBC .因为DM ⊂平面MND ，所以平面PBC ⊥平面MND . (2)如图，连接AC ，交DN 于点O ，连接OM . 因为在正方形ABCD 中，N 为线段BC 中点， AD BC ∥，所以12CO CN AO AD ==，即2AO CO =. 因为PA平面,MND PA ⊂平面PAC ，平面PAC 平面MND OM =，所以PA OM ∥， 所以12CM CO MP OA ==，即12CM MP =，所以点M 为线段PC 的三等分点，且靠近点C 处.19．已知函数()()21sin 3sin cos R 2f x x x x x =-∈. (1)若函数()f x θ+的图象过点π,03P ⎛⎫⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求θ的值；(2)若()22f α，且π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求5πsin 12α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】(1)π46【分析】（1）利用三角恒等变换整理化简()f x ，根据题意代入整理得cos20θ=，结合角θ的范围求解；（2）根据题意代入整理，以5π12α+为整体运算求解，注意根据角的范围判断三角函数值的符号．【详解】(1)因为()1cos231πsin2sin 22226x f x x x -⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭. 所以()πsin 226f x x θθ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭.因为函数()f x θ+的图象过点π,03P ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2πππsin 2sin 2cos20362θθθ⎛⎫⎛⎫+-=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,πθ∈，所以π22θ=，解得π4θ=.(2)因为π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ2,662α⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.因为()π22sin 263f αα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以2ππ1cos 21sin 2663αα⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以5πππ1cos 2cos 2πcos 26663ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又25π5πcos 212sin 612αα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以25π2sin 123α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5π5π3π,12124α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以5π6sin 123α⎛⎫+=⎪⎝⎭. 20．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 的中点，点,F G 分别在边,AB DC 上，且满足3AB AF =，3DC DG =.(1)当23AD AB =时，求证：⊥EF EG ； (2)若2,2EB EC ==，且1EB EC ⋅=，求EG EB EF EC ⋅+⋅的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)23-【分析】根据平面向量基本定理，以{},AB AD 为基底表示题中其它向量．（1）根据0a b a b ⊥⇔⋅=，运算证明；（2）先1EB EC ⋅=整理运算可得222,4AB AD ==，再代入题中所求问题运算求解．【详解】(1),EF AF AE EG ED DG =-=+. 因为11,,33AF AB DG DC E ==是AD 的中点. 所以1111,3232EF AB AD EG AB AD =-=+. 所以22111111323294EF EG AB AD AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为23AD AB =，所以221910944EF EG AD AD ⋅=⨯-=. 且0,0EF EG ≠≠，所以EF EG ⊥，所以⊥EF EG . (2)11,22EB AB AE AB AD EC ED DC AD AB =-=-=+=+.因为2EB EC ==， 所以222222112,444EB AB AB AD AD EC AB AB AD AD =-⋅+==+⋅+=. 两式相减得1AB AD ⋅=，所以22134AB AD +=. 因为221111224EB EC AB AD AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以222,4AB AD ==.所以111111322322EG EB EF EC AB AD AB AD AB AD AD AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅=+⋅-+-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222121224.32323AB AD =-=⨯-⨯=- 21．如图1，为了测量运动场上探照灯杆CD 的高度h ；某数学兴趣小组进行如下实验：一身高为1.5米的人站在灯杆正前方某点处（用AB 表示站立的人），此时在地面的人影为AP ，此人朝灯杆位置沿直线向前走4米后（用11A B 表示站立的人），此时在地面的人影为1A Q （假设把探照灯看做一个点光源D ）.(1)若12311,1717AP AQ ==，求灯杆的高度h （单位：米）； (2)如图2，在地面上存在点,M N 满足23MCN π∠=，现在探照灯杆上安装一电子屏幕（屏幕中轴线为EF ）播放运动赛况，屏幕的高 2.5EF =米，屏幕底部距离地面6EC =米.此人（用AB 表示站立的人）从CM 上某一位置出发走向CN 上某一位置（行走路线一直落在MCN ∠内），为始终能获得最佳观看效果（眼睛观看屏幕上下沿形成的视角EBF ∠最大），求此人行走的最短路程. 【答案】(1)10米 14π米【分析】（1）由//AB CD ，11//A B CD 得到相似比AB PACD PC=，111A B QA CD QC =，计算得到4651h PC =，2251hQC =，由题可得1111,PC PA AA AC QC QA AC =++=+，建立关系式11PC QC PA AA QA -=+-，代入数量即可求得灯杆的高度h ；（2）将平面ACFB 单独拿出，在Rt EBG △和Rt FBG △中分别求得tan EBG ∠，tan FBG ∠，利用两角差的正切公式求得()tan tan EBF FBG EBG ∠=∠-∠，进而转化成函数，利用基本不等式求最值即可. 【详解】(1)解：因为//AB CD ，所以AB PACD PC=， 因为23, 1.5,17AP AB CD h ===，所以231.517h PC =，所以4651h PC =，同理可得2251hQC =. 由题意可得1111,PC PA AA AC QC QA AC =++=+，14AA =，11117AQ =， 所以11PC QC PA AA QA -=+-，即24118045117171237h =+-=， 所以10h =米；(2)设AC x =，在平面ACFB 内过点B 作BG CD ⊥，垂足为G （如图），1.5AB CG ∴==，BG AC x ==，所以6 1.59tan 2EBG BG x xEG -∠===，67t 2.51n .a 5FG FBG BG x x +-∠===， 所以()tan tan EBF FBG EBG ∠=∠-∠2tan tan 51tan tan 263FBG EBG xFBG EBG x ∠∠∠∠-==+⋅+，因为25551463263842x x x x=≤++（当且仅当632x x =，即3142x =时取等号）， 所以当此人距离灯杆的距离为3142米时始终能获得最佳观看效果， 此时此人行走的路程为以C 为圆心，3142为半径，圆心角为23π的圆弧长，所以最短路程为23141432ππ⋅=米. 22．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，120ADC ∠=，14CC =，M ，N 分别是线段1DD ，BD 上的动点，且()01DN DB λλ=<<.(1)若二面角1M BC C --为60，求DM 的长；(2)当三棱锥M ADC -的体积为233时，求CN 与平面BCM 所成角的正弦值的取值范围.【答案】(1)1； (2)210,7⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 【分析】()1取BC 中点P ，过P 点作PQ BC ⊥，交11B C 于点Q ，连结PM ，根据一直题干信息可知MDB △和MDC △全等，MPQ ∠为二面角1M BC C --的平面角，进而在Rt MDP 中求得DM 的长；()2根据三棱锥M ADC -的体积为233，求得2DM =，可知M 为1DD 中点，利用等体积法和余弦定理的结合，用含λ的式子表示出22444CN λλ=-+，进而求得CN 与平面BCM 所成角的正弦值的取值范围.【详解】(1)解：取BC 中点P ，过P 点作PQ BC ⊥，交11B C 于点Q ，连结PM . 因为底面ABCD 是边长为2的菱形，120ADC ∠=， 所以BCD △为等边三角形.由直四棱柱1111ABCD A B C D -，可得1DD ⊥平面ABCD ， 1CC ⊥平面ABCD ，11//CC DD ，90MDC MDB ∠=∠=︒，BD DC =，MD MD =,所以MDB △和MDC △全等，可得MB MC =. 因为P 为BC 中点，所以MP BC ⊥.又因为PQ BC ⊥，所以MPQ ∠为二面角1M BC C --的平面角，即60MPQ ∠=. 在平面11B BCC 中，PQ BC ⊥，1CC BC ⊥， 所以1//CC PQ ，则有1//DD PQ ， 所以60DMP MPQ ∠∠==.在Rt MDP 中，2BC =，DP == 则3tan tan60DMP DM∠== 解得1DM =.(2)因为1DD ⊥平面ABCD ，所以13M ACD ACDV SDM -=⋅，11sin 2222ACDSDC DA ADC ∠=⋅⋅⋅=⨯⨯=因为三棱锥M ADC -所以13DM =，解得2DM =，所以M 为1DD 中点.因为DM ⊥平面ABCD ，所以1233M NBC NBC NBC V DM S S -=⋅⋅=.在BCD △中，()01DN DB λλ=<<，()())1112212BCN BCDSSλλλ=-=-⨯⨯⨯=-，所以)1M NBC V λ-=-. 设N 到平面BCM 的距离为d ，在MBC △中，MB MC ==2BC =，所以11222MBCSBC ==⨯=所以13N MBC MBCV d S-=⋅⋅=.因为M NBC N MBC V V --=)1λ-=)1d λ=-. 在CDN △中，由余弦定理得2222cos60CN CD DN CD DN =+-⋅⋅， 所以22444CN λλ=-+. 设CN 与平面BCM 所成角为θ.所以)1sin 017d CN λθλ-===<<.第 21 页 共 21 页 令()10,1m λ-=∈，则sin θ==因为01m <<，所以11m >，所以0sin θ<< 所以CN 与平面BCM所成角正弦的取值范围是⎛ ⎝⎭.。
2022-2023学年江苏省苏州市高一年级下册学期期末学业质量阳光指标调研数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省苏州市高一下学期期末学业质量阳光指标调研数学试题一、单选题1．cos105cos45sin105sin45︒︒+︒︒=（）A ．12B ．12-C ．32D ．32-【答案】A【分析】利用两角差的余弦公式及特殊角的三角函数值即可求解.【详解】()1cos105cos45sin105sin45cos 10545cos602+=-︒︒︒︒︒︒=︒=.故选：A.2．已知复数z 是一元二次方程2220x x ++=的一个根，则z =（）A ．0B ．1C ．2D ．2【答案】C【分析】设出i z a b =+，,R a b ∈，代入方程，化简得到22220220a b a ab b ⎧-++=⎨+=⎩，求出,a b ，并求出模长.【详解】设i z a b =+，,R a b ∈，()()220i i 2a b a b ++++=，即()222222i 0a b a ab b +++-+=，故22220220a b a ab b ⎧-++=⎨+=⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩，故1i z =-±，所以112z =+=.故选：C ．3．抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，“既有正面向上，也有反面向上”的概率为（）A ．14B ．38C ．12D ．34【答案】D【分析】利用列举法，列举出所有不同结果以及符合条件的情况，结合古典概型概率公式即可求解.【详解】抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，反），（反，反，反），共有8种不同的结果，既有正面向上，也有反面向上情况：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，反），有6种不同的结果，所以，既有正面向上，也有反面向上的概率为6384=.故选：D.4．已知()2,3A ，()4,3B -，点P 在线段AB 的延长线上，且2AP PB =，则点P 的坐标为（）A ．()0,9B ．()6,9-C ．10,13⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()6,9-或10,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据已知条件及中点坐标公式即可求解.【详解】由题意得，点B 为AP 中点，设点(),P x y ，则242332x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，解得69x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为()6,9-.故选:B ．5．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”的“祖暅原理”，其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．如图，已知正六棱台的上、下底面边长分别为1和2，高为23，一个不规则的几何体与此棱台满足“幂势既同”，则该几何体的体积为（）A ．7332B ．163C ．183D ．21【答案】D【分析】首先求出正六棱台的上、下底面面积，再根据台体的体积公式求出正六棱台的体积，根据祖暅原理可得.【详解】因为正六棱台的上下底面为正六边形，所以23336142S =⨯⨯=上，2362634S =⨯⨯=下，所以1333363632321322V ⎛⎫⎪=++⨯⨯= ⎪⎝⎭六棱台，由祖暅原理知该几何体的体积也为21.故选：D ．6．已知平面向量a ，b满足1b = ，2a b ⋅=- ，则3a b - 在b 上的投影向量为（）A ．7bB ．7b -C ．5bD ．5b- 【答案】B【分析】直接利用3a b - 在b上的投影向量公式(3)a b b bbb-⋅⋅ 计算即可得出结果.【详解】3a b - 在b上的投影向量为()22336171a b b b a b b b b b b b b-⋅⋅---⋅=⋅=⋅=- ，故选：B ．7．已知45a =，2sin 3b =，1cos 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c<<D ．b<c<a【答案】C【分析】利用正弦函数、余弦函数的单调性可得答案.【详解】因为2π24π3sin sin sin 342532<=<<=，所以b a <，134cos cos 32π65c a =>=>=，所以c a >，所以b a c <<.故选：C.8．用长度分别为2，3，4，5，6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A ．285cm B ．2610cm C ．2152cm D ．2355cm 【答案】B【分析】根据三角形接近等边三角形时面积最大，或者利用海伦公式3(10)(10)(10)1003()()()10[39a b c S p p a p b p c -+-+-=---≤=故排除CD ,由于等号成立的条件为101010a b c -=-=-，故“=”不成立，推测当三边长相等时面积最大，故考虑当a ，b ，c 三边长最接近时面积最大，进而得到答案．【详解】方法一：因为三角形的周长为20，所以三角形越接近等边三角形，面积越大，所以三边长为6，7，7时面积最大此时边长为6的边上的高为2273210-=，面积为162106102S =⨯⨯=，方法二：设三角形的三边分别为a ，b ，c ，令2a b cp ++=，则10p =．由海伦公式()()()S p p a p b p c =---知3(10)(10)(10)100310(10)(10)(10)10[]2035539a b c S a b c ≤-+-+-=---=<<由于等号成立的条件为101010a b c -=-=-，故“=”不成立，20355S ∴<<．排除CD由以上不等式推测，当三边长相等时面积最大，故考虑当a ，b ，c 三边长最接近时面积最大，此时三边长为7，7，6，用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为6组成三角形，此三角形面积最大，解法同一可知面积为2610cm ，故选：B ．二、多选题9．已知一组数据4，2，a ，10，7的平均数为5，则此组数据的（）A ．众数为2B ．中位数为4C ．极差为3D ．方差为485【答案】ABD【分析】根据数据和平均数、中位数、众数、极差、方差的运算可得答案.【详解】由题意可得42107525a a ++++=⇒=，所以A 正确：2，2，4，7，10的中位数为4，故B 正确，极差为1028-=，故C 错误；对于D ：()()()()()222222452525105754855S-+-+-+-+-==，D 正确．故选：ABD ．10．下列条件中能推导出ABC 一定是锐角三角形的有（）A ．0AC AB ⋅> B ．sin :sin :sin 4:5:6A B C =C ．cos cos cos 0A B C >D ．tan tan 2A B ⋅=【答案】BCD【分析】对于A ，利用向量的数量积判断得角A 为锐角，但确定不了另两个角的范围，由此判断即可；对于B ，利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可判断；对于C ，利用余弦函数的性质与三角形角的范围分析判断即可；对于D ，利用正切函数的性质与和差公式，结合三角形角的范围分析判断即可.【详解】对于A ，因为cos 0AB AB AC AC AC AB ⋅=⋅> ，即cos 0C AB A ⋅>，又0πA A C B <⋅<，故角A 为锐角，但无法确定另两个角的范围，故ABC 不一定是锐角三角形，故A 错误；对于B ：因为sin :sin :sin 4:5:6A B C =，由正弦定理得::4:5:6a b c =，令4a k =，则5,6b k c k ==，显然最大角为C ，且()()()222222456cos 02245k k k a b c C ab k k+-+-==>⨯⨯，所以最大角C 为锐角，所以ABC 一定是锐角三角形，故B 正确：对于C ，因为cos cos cos 0A B C >，若cos 0A <，则cos 0,cos 0B C <>或cos 0,cos 0B C ><，又0,,πA B C <<，则除了角A 为钝角外，还有一角为钝角，矛盾；同理cos 0,cos 0B C <<都不可能，故cos 0A >，cos 0B >，cos 0C >，即三个角均为锐角，故C 正确；对于D ，因为tan tan 20A B ⋅=>，易知tan 0A >，tan 0B >，则,A B 均为锐角，又()tan tan tan tan tan tan 01tan tan A BC A B A B A B+=-+=-=+>-⋅，则C 也为锐角，所以ABC 一定为锐角三角形，故D 正确．故选：BCD ．11．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），打开后形成以O 为圆心的两个扇形（如图2），若150AOB ∠=︒，22OA OC ==，点F 在 AB 上，120BOF ∠=︒，点E 在 CD 上，OE xOC yOD =+（x ，R y ∈），则（）A ．OE EF ⋅的取值范围为[]2,1-B ．OE EF ⋅的取值范围为[]3,1-C ．当OE EF ⊥时，13x y +=+D ．当OE EF ⊥时，23x y +=+【答案】AD【分析】对于A 、B ，利用向量减法的几何意义，结合数量积的定义式，化简OE OF ⋅，根据角的取值范围，可得答案;对于C 、D ，由题意作图，根据几何性质，求得边长，结合向量加法与数乘，可得答案.【详解】对于A ，()212cos 1OE EF OE OF OE OE OF OE OE OF EOF ⋅=⋅-=⋅-=⋅-=∠- ，因为2π0,3EOF ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦．所以1cos ,12EOF ⎡⎤∠∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]2cos 12,1EOF ∠-∈-，即[]2,1OE EF ⋅∈-，A 正确；B 错误；对于C ，如图，当OE EF ⊥时，可判断E 为BF 中点，22OF OE ==，则30OFE AOF ︒∠=∠=，OA BF ∥，作EM OB ∥，则四边形OBEM 为平行四边形，则OE OM OB =+ ，3OM BE EF ===，所以3OM OC = ，2OB OD =，所以32OE OM OB OC OD =+=+．所以23x y +=+，C 错误，D 正确．故选：AD ．12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 在线段AC 上运动，则下列说法正确的有（）A ．11B P BD ⊥B ．三棱锥11C A DP -的体积为定值C ．若Q 为棱BC 上一动点，则1B PQ △的周长的最小值为31+D ．过P 作平面α，使得1A C α⊥，则α截正方体所得的截面可以是四边形【答案】ABC【分析】根据空间几何关系及正方体的性质，对选项逐个判断即可得到答案．【详解】对于A ，在正方体中，1DD ⊥平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，又因为BD AC ⊥，1BD DD D = 且BD ⊂平面1BDD ，1DD ⊂平面1BDD ，所以AC ⊥平面1BDD ，所以1AC BD ⊥，同理可证11⊥AB BD ，又因为1AC AB A ⋂=且AC ⊂平面1AB C ，1AB ⊂平面1AB C ，所以1BD ⊥平面1AB C ，因为1B P ⊂平面1AB C ，所以11B P D B ⊥，A 正确；因为在正方体中，11AA CC ∥且11AA CC =，所以11ACC A 是平行四边形，所以11AC A C ∥，又11AC ⊂平面11A DC ，AC ⊄平面11A DC ，所以AC ∥平面11A DC ，又P AC ∈，所以点P 到平面11A DC 的距离为定值，而11A DC △面积为定值32，所以三棱锥11C A DP -的体积为定值，B 正确；对C ，如图，将1AB C V 绕AC 旋转，1BB C △绕BC 旋转，使得1AB C V 与和1BB C △与ABC 共面，如图点P 在AC 上，点Q 在BC 上，若1B PQ △周长最小，即11B P PQ QB ++最小，当1B ，P ，Q ，1B 四点共线时，11B P PQ QB ++最小，在11CB B 中，由余弦定理得()()2221122222cos150423B B =+-⨯⨯︒=+，所以1131B B =+，C 正确；对于D ，如图，在正方体中，与正方体体对角线垂直的截面只有两种图形，三角形与六边形，所以D 错误．故选：ABC ．三、填空题13．已知事件A 与B 相互独立，()0.6P A =，()0.42P AB =，则()P A B +=．【答案】0.88【分析】根据独立事件乘法公式求出()P B ，从而利用()()()()P A B P A P B P AB +=+-求出答案.【详解】因为事件A 与B 相互独立，所以()()()()()0.60.420.7P AB P A P B P B P B =⨯=⨯=⇒=，所以()()()()0.60.70.420.88P A B P A P B P AB +=+-=+-=．故答案为：0.8814．已知三条不同的直线a ，b ，c 和两个不同的平面α，β满足以下条件：①a α⊥，b β⊥；②m αβ= ；③c a ⊥，c b ⊥，c a ⊄，c β⊄，则c 与m 的位置关系是．（填“相交”，“平行”或“异面”）【答案】平行【分析】由面面垂直的判定定理和性质定理得到结论.【详解】由题意可知，直线a 与直线b 不平行，过a 上一点A 作与直线//b b '，如图所示，则a 与b '确定一个平面γ，由a α⊥，a γ⊂，则γα⊥，由b β⊥，//b b '，则b '⊥β，又b '⊂γ，则γβ⊥，由m αβ= ，得m γ⊥，由c b ⊥，得c b '⊥，又c a ⊥，a b A '= ，,a b '⊂γ，所以c γ⊥，c a ⊄，c β⊄，所以//c m .故答案为：平行.15．已知棱长为4的正四面体A BCD -的四个顶点都在同一球面上，过棱AB 的中点M 的一个平面截此球所得截面面积为πk （*N k ∈），请写出一个符合条件的k 的值：．【答案】4或5或6（答案不唯一）【分析】将正四面体ABCD ，置入到正方体中，正方体的外接球即为正四面体的外接球，从而得到过点M 的截面面积的最值，得到过点M 的截面圆面积取值范围为[]4π,6π，得到答案.【详解】如图，棱长为4的正四面体ABCD ，置入到正方体中，此正方体棱长为22，四面体外接球即为此正方体外接球，球心即为正方体中心O ，半径()()()222222222621R =⨯++=．则过点M 的最大截面圆即为过球心时，此时截面圆半径即为球半径6，截面面积为()2π66π⨯=，当点M 为截面圆圆心时，此时截面圆面积最小，其中2OM =，最小截面圆半径为22622r R OM =-=-=，截面圆面积为2π24π⨯=，所以过点M 的截面圆面积取值范围为[]4π,6π，所以{}4,5,6k ∈．故答案为：4或5或616．已知α，β为一个斜三角形的两个内角，若cos sin cos2cos sin ααβαα-=+，则tan tan αβ+的最小值为．【答案】14-/0.25-【分析】利用同角三角函数的平方和商数关系及二倍角的余弦公式，结合二次函数的性质即可求解.【详解】由题意可知，2222222cos sin 1tan cos sin 1tan cos2tan tan cos sin 1tan cos sin 1tan αααββββαβαααβββ----=⇒==⇒=++++，所以22111tan tan tan tan tan 244αββββ⎛⎫+=+=+-≥- ⎪⎝⎭，由1tan 02β=-<，得2211tan tan 024αβ⎛⎫==-=> ⎪⎝⎭，所以()11tan tan 242tan 0111tan tan 9142αβαβαβ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭+===-<-⋅⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭，因为,αβ为一个斜三角形的两个内角，即π02α<<，ππ2β<<，π3π22αβ<+<，因此ππ2αβ<+<，显然有[π()]παβαβ++-+=，即角,,π()αβαβ-+为一斜三角形的内角，所以当1tan 2β=-时，tan tan αβ+取最小值14-.故答案为：14-四、解答题17．已知i 为虚数单位，复数034i z =+．(1)若复数1z 满足10103z z z z =+，求1z 的虚部；(2)设复数()()242i z x x x =-++（x ∈R ），若复平面内表示复数0z z +的点位于第二象限，求x 的取值范围．【答案】(1)34-(2)()2,3【分析】（1）设1bi z a =+，根据复数相等可得答案；（2）求出0z z +，根据复平面内表示复数0z z +的点位于第二象限可得答案．【详解】（1）设1i z a b =+，则由10103z z z z =+可得()()(i)34i 3i 34i a b a b ++=+++，整理得()4344i 0b a --+-=，所以440430a b -=⎧⎨--=⎩，解得1a =，34b =-，所以1z 的虚部为34-；（2）()()()()22042i 34i 432i z z x x x x x x +=-+++-=-++-，因为复平面内表示复数0z z +的点位于第二象限，所以21343023220x x x x x x ⎧<<-+<⎧⇒⇒<<⎨⎨>->⎩⎩，即x 的取值范围为()2,3．18．数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性．苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标．现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组[)15,25，第2组[)25,35，第3组[)35,45，第4组[)45,55，第5组[]55,65，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a 的值和第25百分位数；(2)在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年䯍在[)25,35和[)45,55内抽取6位市民做问卷调查，并从中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在[)25,35内的概率．【答案】(1)0.035a =，第25百分位数为30(2)25【分析】（1）根据频率和为1可求a 的值，判断第25百分位数在第二组，设为x ，列方程可求解；（2）用分层随机抽样的方法抽取年龄在[)25,35的人数为4人，年龄在[)45,55的人数为2人，利用列举法，根据古典概型概率公式求解即可.【详解】（1）()0.030.0150.0121010.035a a +++⨯⨯=⇒=,因为第一组的频率为0.01100.1⨯=，0.10.25<，第二组的频率为0.03100.3⨯=，0.10.30.25+>，所以第25百分位数在第二组，设为x ，则250.10.30.253010x x -+⨯=⇒=，所以第25百分位数为30.（2）年龄在[)25,35的市民人数为2000.360⨯=，年龄在[)45,55的市民人数为2000.1530⨯=，用分层随机抽样的方法抽取年龄在[)25,35的人数为60646030⨯=+人，年龄在[)45,55的人数为30626030⨯=+人，设年龄在[)25,35的4人为A ，B ，C ，D ，年龄在[)45,55的2人为E ，F ，从这6为市民中抽取两名的样本事件为()()()()()()()()()()()()()()(){},,,,,,,,,,,,,,AB AC AD AE AF BC BD BE BF CD CE CF DE DF EF ，共15种，其中2名年龄都在[)25,35内的样本事件有()()()()()(){},,,,,6AB AC AD BC BD CD 种，所以两名幸运市民年龄都在[)25,35内的概率为62155=．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是菱形，平面ABC ⊥平面11BB C C ，AB BC ⊥，M 和N 分别是AB 和11B C 的中点．(1)求证：//MN 平面11AAC C ；(2)求证：11B C AC ⊥．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）取AC 中点为Q ，易证得四边形1MQC N 为平行四边形，得到1//MN C Q ，由线面平行的判定可证得结论；（2）根据菱形的性质、面面垂直和线面垂直的性质可得11B C BC ⊥，1AB B C ⊥，由线面垂直的判定和性质可证得结论.【详解】（1）取AC 中点为Q ，连结1,MQ C Q ，,M Q 分别为,AB AC 中点，//MQ BC ∴，12MQ BC =，11//BC B C ，11BC B C =，又N 为11B C 中点，1//NC BC ∴，112NC BC =，1//MQ NC ∴，1MQ NC =，∴四边形1MQC N 为平行四边形，1//MN C Q ∴，1C Q ⊂ 平面11AAC C ，MN ⊄平面11AAC C ，//MN ∴平面11AAC C .（2）连结1B C ，四边形11BB C C 是菱形，11B C BC ⊥∴，平面ABC ⊥平面11BB C C ，平面ABC ⋂平面11BB C C BC =，AB ⊂平面ABC ，AB BC ⊥，AB ∴⊥平面11BB C C ，又1B C ⊂平面11BB C C ，1AB B C ∴⊥，1AB BC B =Q I ，1,AB BC ⊂平面1ABC ，1B C ∴⊥平面1ABC ，1AC ⊂Q 平面1ABC ，11B C AC ∴⊥.20．已知向量()sin ,cos a x x = ，()cos ,3cos b x x = ，函数()32f x a b =⋅- ．(1)若0123x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且0ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求0sin x 的值；(2)已知()3,2A -，()3,10B ，将()f x 的图象向左平移π12个单位长度得到函数()g x 的图象．在()g x 的图象上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)1266+-(2)存在，点P 坐标为()0,1【分析】（1）利用向量数量积公式计算出()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而得到0π1sin 33x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，结合角的范围得到0πcos 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，从而利用凑角法求出答案；（2）求出()g x ，设()11,cos 2P x x ，由垂直关系利用向量列出方程，令()()22111cos2625h x x x =+--，结合[]1cos21,1x ∈-，得到110cos21x x =⎧⎨=⎩，求出点P 的坐标.【详解】（1）()()233133πsin cos 3cos sin21cos2sin 2222223f x a b x x x x x x ⎛⎫=⋅-=+-=++-=+ ⎪⎝⎭ ，00π1sin 233xf x ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以0ππ5π,366x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，而0π1sin 033x ⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭，所以0ππ,036x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以200ππ22cos 1sin 333x x ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以0000ππ1π3π126sin sin sin cos 3323236x x x x ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（2）由题意得()ππsin 2cos2123g x x x ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，假设()g x 的图象上存在点()11,cos 2P x x 使得AP BP ⊥，因为()113,cos22AP x x =+- ，()113,cos210BP x x =--，因为AP BP ⊥，所以()()()()22111111133cos22cos210cos 212cos2110AP BP x x x x x x x ⋅=+-+--=+-+= ，令()()2222111111cos 212cos211cos2625h x x x x x x =+-+=+--，因为[]1cos21,1x ∈-，所以()()()2222211111cos262516250h x x x x x =+--≥+--=≥，当且仅当110cos21x x =⎧⎨=⎩时取等，所以()10h x =存唯一解10x =，此时1cos21x =，点()0,1P ，综上，符合条件的点P 坐标为()0,1．21．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范．书中第Ⅰ卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯（勾股定理），证明过程中以直角三角形ABC 中的各边为边分别向外作了正方形（如图1）．某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答．问题：如图2，已知ABC 满足22AC =，2AB =，设0BAC ∠=（0πθ<<），四边形ABGF 、四边形ACED 、四边形BCQP都是正方形．(1)当π2θ=时，求EQ 的长度；(2)求AQ 长度的最大值．【答案】(1)6(2)6【分析】（1）利用锐角三角函数的定义及诱导公式，结合余弦定理即可求解；（2）利用余弦定理和正弦定理，结合三角函数的性质即可求解.【详解】（1）在ABC 中，22AC =，2AB =，π2BAC ∠=，则23BC =，2cos 3ACB ∠=，因为πACB ECQ ∠+∠=，所以()2cos cos πcos 3ECQ ACB ACB ∠=-∠=-∠=-在ECQ 中，22CE AC ==，23CQ BC ==，由余弦定理22222cos 812222233663EQ CE CQ CE CQ ACB EQ ⎛⎫=+-⨯⨯∠=+-⨯⨯⨯-=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭所以EQ 的长度为6.（2）在ABC 中，由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC θ=+-⋅⋅，所以21282cos BC θ=-，设ACB α∠=，在ACQ 中，由余弦定理得222π2cos 2AQ AC CQ AC CQ α⎛⎫=+-⋅⋅+ ⎪⎝⎭，所以281282cos 42sin AQ CQ θα=+-+⋅⋅①在ABC 中，由正弦定理得sin sin AB BCαθ=，所以sin sin sin 2sin CQ BC AB ααθθ⋅=⋅=⋅=，代入①可得2π2082cos 82sin 2016sin 4AQ θθθ⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭,因为0πθ<<,所以ππ3π444θ-<-<，当ππ42θ-=即3π4θ=时，2A Q 的最大值为201636+=，所以AQ 长度的最大值为6．22．如图，在四棱锥A BCDE -中，3DE =，2AE =，1BC CD ==，2π3BCD CDE ∠=∠=，π2AEB ∠=．(1)当AB BC ⊥时，求直线AB 与平面BCDE 所成角的大小；(2)当二面角A BE C --为π3时，求平面ABC 与平面ADE 所成二面角的正弦值．【答案】(1)π6(2)45【分析】（1）作出辅助线，由余弦定理求出23BE =，证明出线面垂直，得到ABE ∠即为直线AB 与平面BCDE 的所成角，求出3tan 3ABE AE BE ∠==，得到答案；（2）作出辅助线，得到AEG ∠为二面角A BE C --的平面角，即π3AEG ∠=，设点B 到平面AEF 和边AF 的距离分别为1d ，2d ，由A BEF B AEF V V --=求出1615d =，由ABF AEF S S =△△求出2152d =，从而利用12sin d d θ=求出答案.【详解】（1）延长BC ，ED 交于点F ，连接AF ．因为2π3BCD CDE ∠=∠=，所以π3FCD FDC ∠=∠=，故CDF 为等边三角形，所以1CF DF ==，π3F ∠=．因为3DE =，1BC =，所以112BF =+=，134EF DF DE =+=+=．在BEF △中，由余弦定理得2222cos 12BE BF EF BF EF BFE =+-⋅∠=，所以23BE =，所以222BF BE EF +=，所以由勾股定理逆定理得BC BE ⊥．因为AB BC ⊥，AB BE B = ，AB ，BE ⊂平面ABE ，所以BC ⊥平面ABE ．因为AE ⊂平面ABE ，所以BC AE ⊥．因为AE BE ⊥，BE BC B = ，BE ，BC ⊂平面BCDE ，所以⊥AE 平面BCDE ，所以ABE ∠即为直线AB 与平面BCDE 的所成角，在直角三角形AEB 中，3tan 3ABE AE BE ∠==，故直线AB 与平面BCDE 所成角的大小为π6．（2）过E ，F 分别作BC ，BE 的平行线交于点G ，连接AG ，取EG 的中点H ，连接AH ．则四边形BFGE 为平行四边形，由（1）知，2BF =，故2EG =，因为BC BE ⊥，//EG BC ，所以EG BE ⊥．又因为AE BE ⊥，所以AEG ∠为二面角A BE C --的平面角，即π3AEG ∠=．在AEG △中，因为2AE EG ==，π3AEG ∠=，所以AEG △为等边三角形，所以AH EG ⊥，且3AH =，2AG =．由（1）知BC BE ⊥，所以EG BE ⊥，因为AE BE ⊥，AE EG E = ，AE ，EG ⊂平面A E G ，所以BE ⊥平面A E G ．因为AH ⊂平面A E G ，所以BE AH ⊥．因为EG BE E = ，,EG BE ⊂平面BFGE ，所以AH ⊥平面BFGE，因为//FG BE ，所以FG ⊥平面A E G ，因为AG ⊂平面A E G ，所以FG ⊥AG ，在AFG 中，2AG =，23FG =，π2AGF ∠=，所以4AF =．在AEF △中，2AE =，4EF AF ==，所以222416161cos 22244AE AF EF EAF AE AF +-+-∠===⋅⨯⨯，故215sin 1cos 4EAF EAF ∠=-∠=，所以1sin 152AEF S AE AF EAF =⋅∠=△．易求得23BEF S =△．设点B 到平面AEF 和边AF 的距离分别为1d ，2d ，因为A BEF B AEF V V --=，所以11133BEF AEF S AH S d ⋅=⋅△△，即123315d ⨯=⨯，所以1615d =．在ABF △中，4,2AB AF BF ===，故ABF △≌FEA ，故ABF AEF S S =△△，所以214152d ⨯⨯=，所以2152d =．设平面ABC 与平面ADE 所成二面角的大小为θ，则12624sin 51515d d θ==⨯=．。
江苏省苏州实验中学2019-2020学年度第二学期(期初)4月份学情调研考试高一数学试题
1 sin
2 sin
1 sin
50
(1
sin
2
)
2 sin
50
1 (1 sin ) sin
，
22
2
2
2
22
(0, ),sin (0, 2 ), 当 sin 1 ，即 时， l 取得最小值为 200 ，
2
2
2
22
3
答： l 的最小值为 200 .
… …12 分
22. （1）函数 f (x) a b 1 2sin2 (wx ) 3 cos(2wx) 1＝ sin(2wx) 3 cos(2wx) ＝ 2sin(2wx )
（2）求 l 的最小值.
22.（本小题满分 12 分）已知向量 a (2sin(wx ), 3) ，b (sin(wx ), cos(2wx))(w 0) ，
4
4
函数 f (x) a b 1， f (x) 的最小正周期为 ．
（1）求 f (x) 的单调增区间； （2）方程 f (x) 2n 1 0 在[0, 7 ] 上有且只有一个解，求实数 n 的取值范围；
一.单项选择题：1-8 ABDA ABAC 二.多项选择题：9-12 ABD ABD ABC ACD
三.填空题：13. 10 3
四.解答题：
14. 60
15. 3 3 6 16. [ 3 , 0) (0, 3 ], 3.
2
3
3
------------6 分 --------------10 分
18. （本小题满分 12 分）（Ⅰ）解法一：由已知得，直线 AB 的方程为 x y 1 ，即
2 -1
.
三.填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．