(完整)2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用(四)

2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用（四）

23.已知函数()32

23log 32

a f x x x x =

-+（0a >且1a ≠）． （Ⅰ）若()f x 为定义域上的增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）令a e =，设函数()()3

24ln 63

g x f x x x x =--+，且()()120g x g x +=，求

证：122x x +≥

24.已知函数()2x f x e x ax =--. (1)R x ∈时，证明：1->x e x

；

(2)当2a =时，直线1y kx =+和曲线()y f x =切于点()(),1A m n m <，求实数k 的值； (3)当10<x f 恒成立，求实数a 的取值范围.

25.已知函数()ln a

f x a x x x

=-+-(a 为常数)有两个不同的极值点. (1)求实数a 的取值范围；

(2)记()f x 的两个不同的极值点分别为12,x x ，若不等式()()()2

1212f x f x x x l +>+恒成立，求实数l 的取值范围.

26.已知函数()1ln f x ax x =--（a ∈R ）. （1）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；

（2）若1x ?>，()2xf x ax ax a <-+恒成立，求a 的最大整数值.

27.已知函数()()()()2

21,2ln 1f x x x g x a x a R =-+=-∈.

（1）求函数()()()h x f x g x =-的极值；

（2）当0a >时，若存在实数,k m 使得不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立，求实数a 的取值范围.

28.设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+. （1）求()y f x =的表达式；

（2）若直线()01x t t =-<<，把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值.

29.已知函数()1

ln 2

f x x x =+（a ∈R ）. （1）若曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线经过点()2,3，求a 的值； （2）若()f x 在区间1,14??

???

上存在极值点，判断该极值点是极大值点还是极小值点，并求a 的取值范围；

（3）若当0x >时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围.

30.已知函数()ln f x x a =+，()(),b

g x x a b R x

=

-?. (1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在点()()

1,1f 处的切线方程相同，求实数,a b 的值； (2)若()()x g x f ≥恒成立，求证：当2≠a 时，1≠b .

31.()2x

f x e ax =--，其中e 是自然对数的底数，a R ∈.

（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若k 为整数，1a =，且当0x >时，()11

k x

f x x -'<+恒成立，其中()f x '为()f x 的导函数，求k 的最大值.

32.已知f （x ）=2x ln x ，g （x ）=﹣x 2+ax ﹣3． （1）求函数f （x ）的单调区间；

（2）若存在x ∈（0，+∞），使f （x ）≤g （x ）成立，求实数a 的取值范围．

33.已知数列{x n }按如下方式构成：x n ∈（0，1）（n ∈N *），函数f （x ）=ln （x x

-+11）在点

（x n ，f （x n ））处的切线与x 轴交点的横坐标为x n +1 （Ⅰ）证明：当x ∈（0，1）时，f （x ）＞2x （Ⅱ）证明：x n +1＜x n 3

（Ⅲ）若x 1∈（0，a ），a ∈（0，1），求证：对任意的正整数m ，都有log n x a +log 1+n x a +…+log m n x +a ＜21?（3

1

）n ﹣2（n ∈N *）

34.已知函数f （x ）= ?????∈--∈-]3,1[),1(55

]

1,0[,2x x f x x x

（Ⅰ）求f （

2

5

）及x ∈[2，3]时函数f （x ）的解析式 （Ⅱ）若f （x ）≤x

k

对任意x ∈（0，3]恒成立，求实数k 的最小值．

35.已知函数

1()(2)a f x a x x a -?

?=-- ?

??，其中0a ≠． （Ⅰ）若1a =，求()f x 在区间[0,3]上的最大值和最小值． （Ⅱ）解关于x 的不等式()0f x >．

36.若实数x ，y ，m 满足

x m y m

-<-，则称x 比y 靠近m ．

（Ⅰ）若1x +比x -靠近1-，求实数x 有取值范围．

（Ⅱ）（i ）对0x >，比较ln(1)x +和x 哪一个更靠近0，并说明理由． （ii ）已知函数{}n a 的通项公式为112n n a -=+，证明：1232e n a a a a

37.已知函数

2

()e (e 1)1x f x ax a x =-+-+-（e 是自然对数的底数，a 为常数）． （1）若函数1

()()()2

g x f x x f x '=-?，在区间[1,+∞)上单调递减，求a 的取值范围．

（2）当(e 2,1)a ∈-时，判断函数()f x 在(0,1)上是否有零点，并说明理由．

38.已知函数()ln f x x x =． （1）求函数()f x 的极值点．

（2）设函数()()(1)g x f x a x =--，其中a ∈R ，求函数()g x 在[1,e]上的最小值．

39.已知函数

1

()ln 2f x x x

=-，(0,)x ∈+∞． （1）求函数()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程． （2）求函数()f x 的单调递增区间．

40.设m ∈R ，函数f （x ）=e x ﹣m （x +1）+41

m 2（其中e 为自然对数的底数）

（Ⅰ）若m =2，求函数f （x ）的单调递增区间；

（Ⅱ）已知实数x 1，x 2满足x 1+x 2=1，对任意的m ＜0，不等式f （x 1）+f （0）＞f （x 2）+

f （1）恒成立，求x 1的取值范围；

（Ⅲ）若函数f （x ）有一个极小值点为x 0，求证f （x 0）＞﹣3，（参考数据ln6≈1.79）

41.已知函数f （x ）=x 2﹣x 3，g （x ）=e x ﹣1（e 为自然对数的底数）． （1）求证：当x ≥0时，g （x ）≥x +

2

1x 2； （2）记使得kf （x ）≤g （x ）在区间[0，1]恒成立的最大实数k 为n 0，求证：n 0∈[4，6]．

42.设函数32

11()(3)332

f x x ax a x =

++++，其中a R ∈，函数()f x 有两个极值点12,x x ，且101x ≤<．

（1）求实数a 的取值范围；

（2）设函数'

1()()()x f x a x x ?=--，当12x x x <<时，求证：|()|9x ?<．

43.已知

14)(2+-=

x t

x x f 的两个极值点为α，β，记A （α，f （α）），B （β，f （β））

（Ⅰ）若函数f （x ）的零点为γ，证明：α+β=2γ． （Ⅱ） 设点 C (

m t -4,0)，D (m t

+4

,0)，是否存在实数t ，对任意m ＞0，四边形ACBD 均为平行四边形．若存在，求出实数t ；若不存在，请说明理由．

44.已知函数ln (),x

f x x

=

() (0)=>g x kx k ，函数{}()max (),(),F x f x g x =其中{}max ,a b ,,

,.a a b b a b ≥?=?

（Ⅰ）求()f x 的极值；

（Ⅱ）求()F x 在[]1, e 上的最大值(e 为自然对数底数).

45.已知函数2

()2ln ,f x x a x a R =+∈．

（Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值；

（Ⅱ）若不等式()0f x >对任意[1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.

参考答案

23.（Ⅰ）()2

1

23ln f x x x x a

'=-+

， 由()f x 为增函数可得，()0f x '≥恒成立，则由

21230ln x x x a -+

≥321

23ln x x a

?-≥-?，设()3223m x x x =-，则 ()266m x x x '=-，若由()()610m x x x '=->和()()610m x x x '=-<可知 ()m x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，

所以()()min 11m x m ==-，所以1

1ln a

-≥-

， 当1a >时，易知a e ≤，当01a <<时，则

10ln a <，这与1

1ln a

≤

矛盾， 从而不能使()0f x '≥恒成立，所以1a e <≤． （Ⅱ）()322332g x x x =

-+32ln 4ln 63x x x x --+23

3ln 62

x x x =--+，因为()()120g x g x +=，

所以211133ln 62x x x -

-++22223

(3ln 6)02

x x x --+=，所以 221212123

()3ln()6()02

x x x x x x -+-++=， 212121

[()2]2

x x x x -+--1212ln()2+=0x x x x +（

）， 212121

()+2

x x x x -+1212ln()2()0x x x x -++=， 所以212121

()+2()2

x x x x -

++1212ln()x x x x =-， 令12x x t =，()ln g t t t =-，()111t

g t t t

-'=-=

，()g t 在()0,1上增，在()1,+∞上减， ()()11g t g ≤=-，所以212121

()2()12

x x x x -+++≤-，整理得

21212()4()20x x x x +-+-≥，

解得122x x +≥122x x +≤（舍），所以122x x +≥

24.(1)记()1x F x e x =--， ∵()'1x F x e =-， 令()'0F x =得0x =， 当(),0x ?

?，()'0F x <，()F x 递减；当()0,x ??，()'0F x >，()F x 递增，

∴()()min 00F x F ==， ()10x F x e x =--?，

得1x e x ?.

(2)切点为(),A m n ，()1m <，则

2

1222

m m n km n e m m k e m ì=+??=--í??=--?，∴()2110m m e m --+=， ∵1m <，∴10m e m --=由(1)得0m =. 所以1k =-.

(3)由题意可得20x e x ax --?恒成立，

所以2x e x a x

-￡，

下求()2

x e x G x x -=的最小值，

()()()()

()22

2

2

111

1111'x

x

x x e x x e x x e x G x x

x

x

轾----------臌=

=

=

，

由(1)1x e x ?知10x e x --?且1x ￡. 所以()'0G x <，()G x 递减， ∵1x ￡，∴()()11G x G e ?-.

所以1a e ?.

25.(1)()()22

'0x ax a

f x x x -+=>.

由函数()ln a

f x a x x x

=-+-

(a 为常数)有两个不同的极值点. 即方程20x ax a -+=有两个不相等的正实根.

∴121220040

x x a x x a a a ì+=>??

=>í??D=->?，∴4a >.

(2)由(1)知12x x a +=，12x x a =，4a >， ∴()()()2

121212121212

ln x x f x f x a x x x x a x x x x l ++=-++->+， 所以ln a

a

l <-恒成立. 令()ln a

F a a

=-，4a >. ∵()2

ln 1

'0a F a a

-=

>，()F a 递增， ∴()()ln 2

42

F a F >=-

， ln 2

2

l ?.

26.（1）()f x 的定义域为()0,+∞，且()11

ax f x a x x

-'=-

=

. 当0a ≤时，()0f x '≤在()0,+∞上恒成立，函数()f x 在()0,+∞上单调递减. ∴()f x 在()0,+∞上没有极值点； 当0a >时，令()0f x '=得()1

0,x a

=∈+∞； 列表

所以当1

x a

=

时，()f x 取得极小值. 综上，当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上没有极值点； 当0a >时，()f x 在()0,+∞上有一个极值点.

（2）对1x ?>，()2

xf x ax ax a <-+恒成立等价于ln 1

x x x

a x +<

-对1x ?>恒成立，

设函数()ln 1x x x g x x +=

-（1x >），则()()

2

ln 2

1x x g x x --'=-（1x >），

令函数()ln 2x x x =--?，则()1

1x x

'=-?（1x >）， 当1x >时，()1

10x x

'=-

>?，所以()x ?在()1,+∞上是增函数， 又()31ln30=-?，

所以存在()03,4x ∈，使得()00x =?，即()00g x '=，

且当()01,x x ∈时，()0x ?，即()0g x >，故()g x 在()0,x +∞上单调递增； 所以当()1,x ∈+∞时，()g x 有最小值()000

00ln 1

x x x g x x +=

-，

由()00x =?得00ln 20x x --=，即00ln 2x x =-， 所以()()000

00021

x x x g x x x -+=

=-，

所以0a x <，又()03,4x ∈，所以实数a 的最大整数值为3.

27.（I ）由题意得2

()(1)2ln(1)h x x a x =---，1x >，∴22[(1)]

'()1x a h x x --=-，

①当0a ≤时，则'()0h x >，此时()h x 无极值；

②当0a >时，令'()0h x <，则11x a <<+；令'()0h x >，则1x a >+； ∴()h x 在(1,1]a +上递减，在(1,)a ++∞上递增； ∴()h x 有极小值(1)(1ln )h a a a =-，无极大值；

（II ）当0a >时，由（1）知，()h x 在(1,1]a 上递减，在(1,)a ++∞上递增，且有极小值(1)(1ln )h a a a =-.

①当a e >时，(1)(1ln )0h a a a =-<，∴(1)(1f a g a <+， 此时，不存在实数k ，m ，使得不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立； ②当0a e <≤时，(1)(1ln )0h a a a =-≥，

2()21f x x x =-+在1x a =+(2)y ax a a =-，

令()()(2)]u x f x ax a a =--，1x >，

则2()[(1)]0u x x a =-+≥，∴2(2)()ax a a f x -≤，

令()2(2)()v x ax a a g x =-+-=2(2)2ln(1)ax a a a x -+--，1x >， 则2[(1)]

'()a x a v x -+=

，令'()0v x <，则11x a <<+；令'()0v x >，则

1x a >+；

∴()(1)v x v a ≥+=(1ln )0a a -≥，∴()2(2)g x ax a a ≤-+， ∴()2(2)()g x ax a a f x ≤-+≤，

当2k a =，2m a a =--时，不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立， ∴0a e <≤符合题意. 由①，②得实数a 的取值范围为(0,]e . 28.

（I ）设2

()(0)f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+． 由已知()22f x x '=+，得1a =，2b =．2

()2f x x x c ∴=++．

又方程220x x c ++=有两个相等的实数根，

440c ∴?=-=，即1c =．故2()21f x x x =++；

（II ）依题意，得

221

(21)(21)t

t

x x dx x x dx ---++=++?

?，

32320

1

1133t

t

x x x x x x ---????∴++=++ ? ???

??

，

整理，得3226610t t t -+-=，即3

2(1)10t -+=，

3

12t ∴=

29.

（1）对()f x 求导，得()1122f x x

x

'=+-

. 因此()1122

a

f '=

+.又()11f a =+， 所以，曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线方程为()()11122a y a x ??

-+=+- ??

?. 将2x =，3y =代入，得()13122

a

a -+=+.解得1a =. （2）()f x 的定义域为()0,+∞.

(

)112f x x

'=+

-

212x x +=.

设()f x 的一个极值点为m

，则210m +=

，即a =

-所以(

)f x '=

=.

当()0,x m ∈时，()0f x '<；当(),x m ∈+∞时，()0f x '>. 因此()f x 在()0,m 上为减函数，在(),m +∞上为增函数. 所以m 是()f x 的唯一的极值点，且为极小值点. 由题设可知1,14m ??∈ ???

.

因为函数a =

-1,14??

???

上为减函数，

a -<<11a -<<. 所以a 的取值范围是()1,1-.

（3）当0x >时，()0f x >

恒成立，则1

ln 02

x x +>恒成立，

即1

ln x x

a ->0x ?>恒成立.

设(

)1ln x x g x -=(

)11ln x x

g x --'=.

设()1

1ln 2

h x x x =--

（0x >），显然()h x 在()0,+∞上为减函数. 又()10h =，则当01x <<时，()()10h x h >=，从而()0g x '>； 当1x >时，()()10h x h <=，从而()0g x '<. 所以()g x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数.

所以()()max 11g x g ==-，所以1a >-，即a 的取值范围为()1,-+∞. 30.

(1)由()1'f x x =

，()2'1b

g x x

=--. 得()()()()

'1'111f g f g ì=?í?=?，解得3a =-，2b =-.

(2)证明：设()()()ln b

h x f x g x x a x x

=-=+-+， 则()()222

1'10b x x b h x x x x x ++=++=>，

①当0b 3时，()'0h x >，函数()h x 在()0,+?上单调递增，

不满足()()f x g x 3恒成立.

②当0b <时，令20x x b ++=，由140b D=->，

得0x >

，或0x <(舍去)，

设0x ()y h x =在()00,x 上单调递减，在()0,x +?上单调递增，

故()()0min 0h x h x =?，即000ln 0b x a x x +-

+?，得000

ln b a x x x ?-.

又由2000x x b ++=，得200b x x =--， 所以()

2200000000

ln 1ln b

a b x x x x x x x x -?

----=---+，

令()2

1ln t x x x x =---+，()()()2211121'21x x x x t x x x x x

+---=--==. 当()0,1x ?时，()'0t x <，函数()t x 单调慈善 当()1,x ??

时，()'0t x >，函数()t x 单调递增；

所以()()min 11t x t ==-，1a b -?即1b a -?， 故当2a ?时，得1b ?. 31.

（1）()x

f x e a '=-，x R ∈

若0a ≤，则()0f x '>恒成立，所以()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增 若0a >，当()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()ln ,a +∞上单调递增 （2）由于1a =，所以

()11

k x

f x x -'时，

10x e ->

故()()

11x k x e x --<+11x x k x e +?<

+-，令()1

1

x x g x x e +=+-（0x >） 则()()

2

1

11x x

xe g x e

-+'=

+=

-()

()

2

21x x x

e e x e

---

函数()2x f x e x =--在()0,+∞上单调递增，而()10h <，()20h >， 所以()h x 在()0,+∞上存在唯一的零点. 故()g x '在()0,+∞上存在唯一的零点. 设此零点为0x ，则()01,2x ∈.

当()00,x x ∈时，()0g x '<，当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>； 所以()g x 在()0,+∞上的最小值为()0g x ，由于()00g x '=，可得0

02x e x =+

所以()()0012,3g x x =+∈，所以整数k 的最大值为2. 32.

【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）问题等价于a≥（2ln x+x+）min ，记h （x ）=2ln x+x+，x ∈（0，+∞），根据函数的单调性判断即可．

【解答】解：（1）f （x ）的定义域为（0，+∞），f′（x ）=2（ln x+1）， 令f′（x ）=0，得x=，当x ∈时，f′（x ）＜0，当x ∈时，f′（x ）＞0， 所以f （x ）在

上单调递减；在

上单调递增．

（2）存在x ∈（0，+∞），使f （x ）≤g （x ）成立， 即2xln x≤﹣x 2+ax ﹣3在x ∈（0，+∞）能成立， 等价于a≥2ln x+x+在x ∈（0，+∞）能成立， 等价于a≥（2ln x+x+）min ．

记h （x ）=2ln x+x+，x ∈（0，+∞）， 则h′（x ）=+1﹣

=

=

．

当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，

当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，

所以当x=1时，h（x）取最小值为4，故a≥4．

33.

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；数列与函数的综合．

【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性求出f（x）＞2x即可；

（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，求出曲线方程，得到x n+1=ln（﹣1）+x n，从而证出结论即可；

（Ⅲ）得到b k=＜a=b k﹣1＜b k﹣2＜…＜b0，问题转化为b0＜，根据（Ⅱ）证出即可．

【解答】证明：（Ⅰ）设g（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x，

则g′（x）=，

故x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，1）递增，

∴g（x）＞g（0）=0，即f（x）＞2x；

（Ⅱ）由f′（x）=+=，

故曲线在点（x n，f（x n））处的切线方程是：y=（x﹣x n）+f（x n），

令y=0，则x n+1=x n+f（x n）（﹣1），

则x n+1=ln（﹣1）+x n，

由（Ⅰ）及﹣1＜0得：x n+1＜（2x n）?（﹣1）+x n=x n3；

（Ⅲ）令=b k，（k=0，1，2，…，m），

∵x n+k＜，且a∈（0，1），x n∈（0，1），

∴log a x n+k＞log a，

从而b k=＜a=b k﹣1＜b k﹣2＜…＜b0，

∴log a+log a+…+log a

=b0+b1+…+b m＜b0（1+++）=b0（1﹣）＜b0，

要证log a+log a+…+log a＜?（）n﹣2（n∈N*），

只需b0＜，

即证b0＜?a＜?x n＜，

由（Ⅱ）以及x1∈（0，a）得：x n＜＜＜…＜＜，

故原结论成立．

34.

【考点】函数恒成立问题；分段函数的应用．

【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=可求f（）的值，由

x∈[2，3]?x﹣2∈[0，1]，可求得此时函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）依题意，分x∈（0，1]、x∈（1，2]、x∈（2，3]三类讨论，利用导数由f（x）≤对任意x∈（0，3]恒成立，即可求得实数k的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）f（）=﹣f（）=f（）=×=．

当x∈[2，3]时，x﹣2∈[0，1]，所以f（x）= [（x﹣2）﹣（x﹣2）2]=（x﹣2）（3﹣x）．

（Ⅱ）①当x∈（0，1]时，f（x）=x﹣x2，

则对任意x∈（0，1]，x﹣x2≤恒成立?k≥（x2﹣x3）max，

令h（x）=x2﹣x3，则h′（x）=2x﹣3x2，令h′（x）=0，可得x=，

当x∈（0，）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；

当x∈（，1）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，

∴h（x）max=h（）=；

②当x ∈（1，2]时，x ﹣1∈（0，1]，所以f （x ）=﹣ [（x ﹣1）﹣（x ﹣1）2]≤恒成立

?k≥

（x 3﹣3x 2+2x ），x ∈（1，2]．

令t （x ）=x 3﹣3x 2+2x ，x ∈（1，2]．则t′（x ）=3x 2﹣6x+2=3（x ﹣1）2﹣1， 当x ∈（1，1+

）时，t （x ）单调递减，当x ∈（1+

，2]时，t （x ）单调递增，

t （x ）max =t （2）=0，

∴k≥0（当且仅当x=2时取“=”）；

③当x ∈（2，3]时，x ﹣2∈[0，1]，令x ﹣2=t ∈（0，1]， 则k≥（t+2）（t ﹣t 2）=g （t ），在t ∈（0，1]恒成立．

g′（t ）=﹣（3t 2+2t ﹣2）=0可得，存在t 0∈[，1]，函数在t=t 0时取得最大值． 而t 0∈[，1]时，h （t ）﹣g （t ）=（t 2﹣t 3）+（t+2）（t 2﹣t ）=t （1﹣t ）（2t ﹣1）＞0，

所以，h （t ）max ＞g （t ）max ， 当k≥

时，k≥h （t ）max ＞g （t ）max 成立，

综上所述，k≥0，即k min =0． 35.见解析

（Ⅰ）1a =，2()(2)(1)1f x x x x =-=--，()22f x x '=-， ∴

x

(0,1) 1 (1,3) ()f x ' -

+

()f x

↓ 极小 ↑

∴min (1)1f f ==-， max max[(3),(0)]f f f =，

而(3)3(0)f f =>， ∴max 3f =． （Ⅱ）0a >时， 1(2)0a x x a -??--> ??

?，

∵1120a a a a

-+-

=>，

∴

1

2a a

-<， 此时()0f x >解集为：[|2x x >或1a x a -?

， 0a <时，1(2)0a x x a -?

?--< ??

?．

①10a -<<，则12a a

-<

， ()0f x >解集为1|2a x x a -?

?<

．

②1a =-，无解．

③1a <-，解集为1|2a x x a -??<

． 综上：0a >，[|2x x >或1a x a -?

<

??

． 10a -<<，1|2a x x a -?

?<

1a =-，?．

1a <-，12a x a -??

<

． 36.

（1）|1(1)||(1)|x x --<---+ 22|2||1|(2)(1)x x x x <-?<-++， ∴1

2

x <-．

（2）①∵0x >，∴ln(1)0x >+， ∴|ln(1)0||0|ln(1)x x x x ---=-++， 记()ln(1)f x x x =-+， (0)0f =． 1()1011x f x x x

-'=

-=<++， ∴()f x 在(0,)∞+单减．

∴()2(0)0f x f =，即ln(1)x x <+， ∴ln(1)x +比x 靠近0． ②120n ->， 由①得：