第08章 有无卖空限制下的有效边界
证券组合的可行域和有效边界
证券组合的可行域和有效边界（一）证券组合的可行域1.两种证券组合的可行域。
如果用前述两个数字特征——期望收益率和标准差来描述一种证券，那么任意一种证券都可用在以期望收益率为纵坐标和标准差为横坐标的坐标系中的一点来表示；相应的，任何一个证券组合也可以由组合的期望收益率和标准差确定出坐标系中的一点。
这一点将随着组合的权数变化而变化，其轨迹是经过A和B的一条连续曲线，这条曲线称为证券A和证券B的组合线。
可见，组合线实际上在期望收益率和标准差的坐标系中描述了证券A和证券B所有可能的组合。
根据公式（11.1）和公式（11.2）及x A+x B=1，A、B的证券组合P的组合线由下述方程所确定：给定证券A、B的期望收益率和方差，证券A与证券B的不同的关联性将决定A、B的不同形状的组合线。
（1）完全正相关下的组合线。
在完全正相关下，ρAB=1，方程（11.5）和（11.6）变为：因为，E（r P）与x A是线性关系，而σp与x A是线性关系，所以，σp与E（r p）之间也是线性关系。
因此，证券A、B构成的组合线是连接这两点的直线（见图11-1）。
（2）完全负相关下的组合线。
在完全负相关情况下，ρAB=-l，方程（11.5）和（11.6）变为：这时，σp，与E（r p）是分段线性关系，其组合线如图11-2。
从图11-2可以看出，在完全负相关的情况下，按适当比例买入证券A和证券B可以形成一个无风险组合，得到一个稳定的收益率。
这个适当比例通过令公式（11.8）中σp=0可得：因为x A和x B均大于0，所以必须同时买入证券A和B。
这一点很容易理解，因为证券A 和B完全负相关，二者完全反向变化，因而同时买入两种证券可抵消风险。
所能得到的无风险收益率为：（3）不相关情形下的组合线。
当证券A与B的收益率不相关时，p AB=0，方程（11.5）和（11.6）变为：该方程确定的σp与E（r p）的曲线是一条经过A和B的双曲线，如图11-3所示。
有效边界的名词解释
有效边界的名词解释在金融投资领域中，有效边界（Efficient Frontier）是一个重要的概念，指的是在给定的投资对象下，通过不同资产的组合来达到风险和回报之间的最佳平衡点。
有效边界的理念对于投资者来说具有重要的意义，它能帮助投资者在风险控制和回报最大化之间做出明智的决策。
1. 有效边界的基本概念与意义有效边界最初由经济学家Harry Markowitz引入，是他在20世纪50年代提出的现代投资组合理论的核心概念之一。
有效边界代表了在给定的资产组合中，投资者可以达到最高预期收益的最低风险水平。
具体而言，有效边界通过探讨不同资产和不同权重的组合，找到了一系列在给定风险水平下，投资者可以选择的最优投资组合。
这些组合位于有效边界上，而超出有效边界的组合则被认为是无效的，因为它们要么具有更高的风险和相同的预期收益率，要么具有同样的风险但更低的预期收益率。
有效边界的引入使得投资者能够在风险控制和预期回报之间进行权衡。
通过选择有效边界上的投资组合，投资者可以达到在给定风险水平下最大化预期收益，或者在给定预期收益率下最小化风险的目标。
有效边界也为构建多资产投资组合提供了指导，帮助投资者优化资产配置，降低投资组合的风险。
2. 构建有效边界的方法构建有效边界的过程可以通过以下几个步骤来实现：a) 收集资产历史数据：通过收集资产的历史价格和收益数据，可以计算出各个资产的平均收益率、方差和协方差矩阵等关键指标。
b) 生成投资组合：根据给定的资产，生成一系列投资组合，将不同资产按照不同权重进行组合。
通过遍历不同的权重，可以生成各种多资产的投资组合。
c) 计算预期收益和风险：对于每个生成的投资组合，可以分别计算出其预期收益和风险，其中风险通常用标准差来衡量。
d) 绘制风险-收益图：将所有的投资组合在风险和收益坐标轴上进行绘制，即可得到风险-收益图。
有效边界上的投资组合将构成曲线上的一系列点。
e) 确定最优投资组合：根据投资者的偏好和目标，可以选择有效边界上的最优投资组合，即在给定风险下拥有最高预期收益率或在给定预期收益率下最低风险的投资组合。
ch9第9章 计算没有卖空限制的有效投资组合
9
FINANCIAL MODELING 金融建模
1.1
第9章 计算没有卖空限制的有效投资组(CAPM)两个版本的所有必要的计算， 这两个版本分别是基于无风险资产和布莱克（Black，1972年）的零-β CAPM（它无需假设一个无风险资产）。你会发现用电子表很容易完成 这些计算。 本章的结构如下：开始我们先做一些预备定义和符号，然后我们说明主 要的结论(其证明过程在本章的附录中)。随后的几节我们实施这些结论 ，并告诉你： 如何计算有效投资组合。 如何计算有效前沿。 与本书的其他章节相比，本章包含较多的理论知识：第9.3节包含有关投 资组合的一些定理，它们是第11章有效投资组合和证券市场线（SML） 计算的基础。如果你觉得第9.3节中的理论比较难，你可以先跳过它，而 去做第9.4节中的实例计算。本章假设方差-协方差矩阵是给定的；我们 将对计算方差-协方差矩阵的各种方法的讨论放到第10章里面。
H
x的比例：-1.0 y的比例：: 2
0.2150
0.2200
0.2250
1.20
这两个投资组合x和y的凸组合组成了包络线，在上面x和y均被标记 出来。被标记的还有其他投资组合，如包含卖空x或y的。注意所有 的凸组合都在包络线上，但并不是每一个凸组合都是有效的。举例 来说，w是一个有效的投资组合，它是两个有效投资组合x和y凸组 合；在这个特例中，x的比例是50%，而y的比例是50%。如图所示 ，其他包络线投资组合包含卖空投资投资组合x和y其中之一，它们 既可能是有效的，也可能不是。因此，虽然每个有效投资组合是任 意两个有效投资组合的一个凸组合， 但反过来就不成立。
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
组合投资中有效边界的一些性质和模型
组合投资中有效边界的一些性质和
模型
组合投资中有效边界也称为最佳组合分配曲线，是一条用来描述投资者在投资组合中投资不同资产的最优配置线。
它显示了投资者可以在多种投资组合间选择最优的投资方案，从而获得最大的收益，并使其投资风险水平达到最低。
性质： 1、有效边界在投资组合空间中是凸的，表示投资者在获取最大收益的情况下，风险也是最小的。
2、有效边界是一维的，即只有一种投资组合可以达到最佳收益和最低风险水平。
3、有效边界是非线性的，因为它受到多重因素的影响，如资产价格波动率，资产相关性等。
模型： 1、Markowitz模型：它是组合投资理论的基础，由美国经济学家Harry Markowitz在1952年提出。
该模型假设投资者只考虑风险和收益之间的权衡，忽略其他因素，并认为投资者对风险具有一致的恐惧心理。
2、CAPM模型：该模型由William Sharpe在1964年提出，它假设市场中的投资者都是理性的，而且只关心投资组合的绝对风险和绝对收益，而不关心投资组合的相对风险和相对收益。
3、Black-Litterman模型：该模型是
Markowitz和CAPM模型的结合，由Fischer Black和Robert Litterman于1990年提出，它既考虑了投资者对风险和收益之间的权衡，又考虑了投资者对相对风险和相对收益之间的权衡。
证券投资分析章节试题库及答案(7、8、9章)
证券投资分析章节试题库及答案（7、8、9章）历年真题精选第7章证券组合管理理论一、单选题(以下备选答案中只有一项最符合题目要求)1．对于偏好均衡型证券组合的投资者来说，为增加基本收益，投资于（）是合适的。
A．较高票面利率的附息债券B．期权C．较少分红的股票D．股指期货2．下列各项中标志着现代证券组合理论开端的是（）。
A．证券组合选择B．套利定价理论C．资本资产定价模型D．有效市场理论3．在证券组合投资理论的发展历史中，提出简化均值方差模型的单因素模型的是（）。
A．夏普B．法玛C．罗斯D．马柯威茨4．资本资产定价模型可以简写为（）。
A．AprB．CAPMC．APMD．CATM5．组建证券投资组合时，个别证券选择是指（）。
A．考察证券价格的形成机制，发现价格偏高价值的证券B．预测个别证券的价格走势及其波动情况，确定具体的投资品种C．对个别证券的基本面进行研判D．分阶段购买或出售某种证券6．证券组合管理方法对证券组合进行分类所依据的标准之一是（）。
A．证券组合的期望收益率B．证券组合的风险C．证券组合的投资目标D．证券组合的分散化程度7．现有一个由两证券W和Q组成的组合，这两种证券完全正相关。
它们的投资比重分别为0．90和0．10。
如果W的期望收益率和标准差都比Q的大，那么（）。
A．该组合的标准差一定大于Q的标准差B．该组合的标准差不可能大于Q的标准差C．该组合的期望收益率一定等于Q的期望收益率D．该组合的期望收益率一定小于Q的期望收益率8．某投资者拥有由两个证券构成的组合，这两种证券的期望收益率、标准差及权数分别为如下表所示数据，那么，该组合的标准差（）。
A．等于25%B．小于25%C．可能大于25%D．一定大于25%9．证券组合的可行域中最小方差组合（）。
A．可供厌恶风险的理性投资者选择B．其期望收益率最大C．总会被厌恶风险的理性投资者选择D．不会被风险偏好者选择10．现代组合投资理论认为，有效边界与投资者的无差异曲线的切点所代表的组合是该投资者的（）。
投资组合之——有效边界(Efficient frontier)
.概述：有效边界是用来描述一项投资组合的风险与回报之间的关系，在以风险为横轴，预期回报率为纵轴的坐标上显示为一条曲线，所有落在这条曲线上的风险回报组合都是在一定风险或最低风险下可以获得的最大回报。
基础：1、追求收益最大化的规律特征这一特征表现在：当风险水平相当时，理性投资者都偏好预期收益较高的交易。
在可能的范围内，投资者总是选择收益率最高的资产；但是另一方面，与之相对的市场资金需求者为了自身收益最大化的要求则要选择成本最低的融资方式。
2、厌恶风险的规律特征这一特征表现在，当预期收益相当时，理性投资者总是偏好风险较小的交易。
风险越大，风险补偿额也就越高。
3、求效用最大化追求效用最大化就是要选择能带来最大满足的风险与收益的资产组合。
效用由无差异曲线表示，可供选择的最佳风险与收益组合的集合由有效益边界表示，效用曲线与有效益边界的切点就是提供最大效用的资产组合。
（1）风险厌恶的资金供应者的无差异曲线。
金融市场的无差异曲线表示在一定的风险和收益水平下，资金供应者对不同资金组合的满足程度无区别的，即同等效用水平曲线。
如下图是一组风险厌恶的资金供应者的无差异曲线。
不同水平的曲线代表着效用的大小，水平越高，效用越大，这里曲线C显然代表这最大效用。
风险厌恶投资者的无差异曲线图曲线的凸向反映着资金供应者对风险的态度，由于X轴是风险变量，Y轴是预期收益变量，因此，曲线右凸反映风险厌恶偏好。
风险厌恶者要求风险与收益成正比，曲线越陡，风险增加对收益补偿要求越高，对风险的厌恶越强烈；曲线斜度越小，风险厌恶程度越弱。
风险中性的无差异曲线为水平线，风险偏好的无差异曲线为左凸曲线。
待续...参考文献：《证券投资学》第二版第10章证券组合管理如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！精品。
投资学之最优投资组合与有效边界
MaxU y
rf
y[E
(rP
)
rf
]
1 2
Ay
2
2 P
最优风险资产配置比例y* E(rP ) rf
A
2 P
7
4.2 两种风险资产的投资组合
设某一风险资产组合P由长期债券组合D和股票基金E组成
则有：E(rP ) wD E(rD ) wE E(rE )
2 P
wD2
2 D
wE2
2 E
2wDwECov(rD , rE )
有效组合 E
F C
B 可行组合，但非有效
D A
0.40
0.60
0.80
组合标准差
1.00
1.20
13
命题1：完全正相关的两种资产构成的机会集 合是一条直线。 证明：由资产组合的计算公式可得
EP(rP
) wD
wD D
E
(rD )
wE E
wE
E
(rE
)
(1) ( 2)
wD wE 1
( 3)
则有：
2 P
(wD D
wE E )2
即： P wD D wE E
令wD D - wE E 0
wD
E D E
, wE
1 wD
D D E
结论： 1时组合P的风险可降至零 10
情况三
若 1 DE 1， 则有： P wD D wE E 结论： 1时组合P的风险可有一定程度降低
11
组合的机会集与有效集
4最优投资组合与有效边界
投资组合优化的五种形式 1C=F+P 2P=D+E 3C=F+D+E 4P=S1+S2+…+Sn 5C=F+ 4P=S1+S2+…+Sn
投资组合管理第二次作业计算有效边界及
第二次作业龚晓飞目录：一、数据说明二、计算有效边界三、计算最小方差点四、计算市场组合五、计算资本市场线六、计算结果一、数据说明这里选取了中国股票市场的四支股票，计算出了其从2004-2012年的年平均收益率及协方差矩阵。
结果如下：编号协方差矩阵预期收益1234假定无风险利率是。
二、计算有效边界假定为资产组合的权重向量，为协方差矩阵，是股票预期收益向量（历史数据的平均值），为资产组合的收益，为资产组合的标准差，为各个分量都为1且与维数相同的列向量，为无风险利率。
对于无卖空限制的市场：对于有卖空限制的市场：对于第一个优化问题，可以使用Lagrange乘子法直接算出解的显式表达，有效前沿的表达式为：利用上面的表达式可以直接用matlab或excel画出有效前沿。
另外对第一个优化问题，可以用更加简单的方法来画有效前沿。
可以证明，给定后，可以得到与之对应的最小方差，只要赋给两个不同的值，同时得到两个相应的最小方差组合，这两个资产组合的凸组合可以形成整个有效前沿。
也就是说，假定及是两个不同的前沿组合，那么，任何其它的前沿组合都可以用来表达。
对于第二个优化问题，无法直接求得显式解，只能使用matlab或excel的二次规划函数（quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)）来求解出不同的所对应的最小方差，然后用这两组数据来画出有效前沿。
三、计算最小方差点以下所用记号的含义与前面相同，计算最小方差点仍然要分下面两种情况。
对于无卖空限制的市场：对于有卖空限制的市场：对于第一个优化问题，与前面一样可以使用Lagrange乘子法直接算出解的显式表达，最小方差点的收益与标准差的表达式为：上面结果也可以直接从下面表达式得到：当然上述最小方差点也可以用matlab或excel的二次规划程序来直接求解，在matlab 中所用的函数为quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
有无卖空限制下的有效边界
有很多软件可以用来找出有效边界。
这里我们将介绍如何运用Excel寻找有效边界的方法。
由于受到可以处理的资产数量的限制，Excel并不是最好的软件，但它非常直观，可以让读者了解全过程，而不象其他软件（如Matlab）那样进行“黑箱”操作。
你将发现即使使用Excel，有效边界的计算也是非常容易的。
假定美国等7个国家股市的预期收益率、标准差和相关系数的数据如表A所示。
我们如何利用这些数据来计算由这7国股市构成的有效边界呢？
首先，我们可以根据表A的数据运用公式σij=ρijσiσj计算7国股市的协方差矩阵，如表B所示。
其次，我们得为计算有效边界准备一些数据。
为了给有效边界的计算提供一个参照物，我们先建立一个等权重组合，在这个组合中每个国家的权重都等于1/7，即0.1429。
利用表C，我们就可以求出等权重组合的协方差矩阵。
其中各单元格的值等于X i X jσij（其中X i和X j都等于1/7）。
等权重组合的方差就等于各单元格的值之和。
等权重组合的标准差等于方差的平方根。
而等权重组合的预期收益率等于各国股市预期收益率的算术平均数。
通过计算我们发现等权数组合的标准差和预期收益率分别等于17.58%和18.26%。
为了计算有效边界上的点，我们在表D中使用Excel的Solver（你可以在Excel的菜单栏“工具”中找到它，如果没有的话，请点击“工具”中的“加载宏”，并将Office光盘放入电脑的光驱，按提示加载此功能即可。
）。
Solver是一个最优化程序。
当你打开Solver时，弹出的对话框会要求你输入目标（Target）所在的单元格。
在我们这个例子中，目标是投资组合的方差，它在B48单元格。
请选择最小化目标。
然后输入决策变量（各国股市在投资组合中所占的权重）所在的单元格区间（B40：B46）。
最后输入所有限制条件。
当允许卖空时，我们只有两个限制：一是权重之和等于1（B47单元格等于1）；二是组合的预期收益率等于一个给定的值。
我们先让它等于等权重组合的预期收益率18.26%，这样第二个限制条件就是单元格B50=18.26。
这时你就可以点击“Solve”让Solver找出最优的权重了。
Solver会自动将单元格区间B40：B46和C39：I39的数值变为最优数值，并在单元格B49和B50分别显示这个最优组合的标准差和预期收益率。
通过比较这个最优组合和等权重组合我们可以发现，两个组合的预期收益率相等，但最优组合的标准差只有16.49%，降低了1.09%。
而且这两个组合的权重有很大不同。
为了得到完整的有效边界，我们可以不断改变给定的预期收益率的值（限制条件2），并让Solver不断求出新的最优权重和标准差。
并把结果记录在表E。
当我们记录了足够数量的（标准差，预期收益率）点之后，我们就可以让Excel为我们绘制没有卖空限制的有效边界了，如图所示。
如果不允许卖空，那我们就等多加一个限制条件：所有权重都不能是负数（B40：B46≥0）。
重复上述步骤我们就可以得到不允许卖空的有效边界，这条边界位于没有卖空限制的有效边界之内，如图所示。
由此可见，限制卖空将给投资者带来巨大的福利（效用）损失。
值得注意的是，不允许卖空的有效边界无法获得低于14.9%（即加拿大股市的预期收益率，它是7国中最低的）或高于22.1%（即德国股市的预期收益率，它是7国中最高的）的收益率。
图9还显示了7国股市和等权重组合的预期收益率和标准差。
从中我们可以明显看出分散化的效果。
习题:
在表单2习题数据中有1992年4月10日至2001年8月14日上海证交所8只股票的每日收盘价（已复权）。
请根据这些数据找出它们有效边界（不允许卖空）。
提示：先根据每日收盘价计算出各股票每日连续复利收益率。
然后用EXCEL所附的均值和标准差函数求出收益率的均值和标准差。
再转换成年收益率和年标准差。
再用EXCEL“工具”中的“数据分析”中的求相关系数工具求出各股票收益率之间的相关系数矩阵。
然后就可以模仿前面提供的模板来找有效边界了。
答案请见表单4。
本书所附光盘中有上海和深圳证交所2001年8月14日之前所有股票的每日收盘股价（已复权）。
有兴趣的读者可以用这里介绍的方法用更多的股票来建立有效边界。