2020年陕西省高考数学二模试卷(理科)含答案解析
第1页（共19页） 2020年陕西省高考数学二模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合M={x|}，函数f（x）=ln（1﹣）的定义域为N，则M∩N为（ ）
A．[，1] B．[，1） C．（0，] D．（0，） 2．已知命题p：∃x∈R，log3x≥0，则（ ） A．￢p：∀x∈R，log3x≤0 B．￢p：∃x∈R，log3x≤0 C．￢p：∀x∈R，log3x＜0D．￢p：∃x∈R，log3x＜0
3．若tanα=，则sin4α﹣cos4α的值为（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D． 4．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（ ） A． B． C． D． 5．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ）
A．28π B．32π C．36π D．40π 6．将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三个小朋友，且每个小朋友
至少分得一个球的分法有 （ ）种． A．15 B．18 C．21 D．24
7．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|=x0，则x0等于（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 8．如果执行如图所示的框图，输入N=5，则输出的数S等于（ ） 第2页（共19页）
A． B． C． D． 9．曲线y=e在点（6，e2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A． B．3e2 C．6e2 D．9e2 10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，且f（α）=1，α∈（0，），则cos（2）=（ ）
A． B． C．﹣ D． 11．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有
，则（ ） A．f（﹣2）＜f（1）＜f（3） B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3） C．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）
D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2） 12．若直线l1：y=x，l2：y=x+2与圆C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0的四个交点把圆C分成的四条
弧长相等，则m=（ ） A．0或1 B．0或﹣1 C．1或﹣1 D．0
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（x+cosx）dx=_______．
14．已知单位向量，的夹角为60°，则向量与的夹角为_______． 15．不等式a2+8b2≥λb（a+b）对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为_______．
16．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，若P是C的左支上一点，A（0，6）是y轴上一点，则△APF面积的最小值为_______． 三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知a+c=3，b=3． （I）求cosB的最小值； （Ⅱ）若=3，求A的大小． 第3页（共19页）
18．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的
门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手大多在以下两个年龄段：21～30，31～40（单位：岁），统计这两个年龄段选手答对歌曲名称与否的人数如图所示． （1）写出2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为答对歌曲名称与否和年龄有关，说明你的理由．（下面的临界值表供参考） P（K2≥k0） 0.1 0.05 0.01 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 （2）在统计过的参考选手中按年龄段分层选取9名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中在21～30岁年龄段的人数的分布列和数学期望．
（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）
19．如图①，在△ABC中，已知AB=15，BC=14，CA=13．将△ABC沿BC边上的高AD折成一个如图②所示的四面体A﹣BCD，使得图②中的BC=11． （1）求二面角B﹣AD﹣C的平面角的余弦值； （2）在四面体A﹣BCD的棱AD上是否存在点P，使得•=0？若存在，请指出点P的位置；若不存在，请给出证明．
20．设O是坐标原点，椭圆C：x2+3y2=6的左右焦点分别为F1，F2，且P，Q是椭圆C上
不同的两点， （I）若直线PQ过椭圆C的右焦点F2，且倾斜角为30°，求证：|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列； （Ⅱ）若P，Q两点使得直线OP，PQ，QO的斜率均存在．且成等比数列．求直线PQ的斜率． 21．设函数f（x）=ex﹣lnx． （1）求证：函数f（x）有且只有一个极值点x0； （2）求函数f（x）的极值点x0的近似值x′，使得|x′﹣x0|＜0.1； （3）求证：f（x）＞2.3对x∈（0，+∞）恒成立． （参考数据：e≈2.718，ln2≈0.693，ln3≈1.099，ln5≈1.609，ln7≈1.946）． 第4页（共19页）
[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，已知AB为⊙O的直径，C，F为⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切
线FD交AB的延长线于点D，连接CF交AB于点E．求证：DE2=DA•DB．
[选修4-4：坐标系与参数方程] 23．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4． （Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C1与圆C2的极坐标方程及两圆交点的极坐标； （Ⅱ）求圆C1与圆C2的公共弦的参数方程．
[选修4-5：不等式选讲] 24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x|． （1）求不等式f（x）≤﹣6的解集； （2）若存在实数x满足f（x）=log2a，求实数a的取值范围． 第5页（共19页）
2020年陕西省高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合M={x|}，函数f（x）=ln（1﹣）的定义域为N，则M∩N为（ ）
A．[，1] B．[，1） C．（0，] D．（0，） 【考点】交集及其运算． 【分析】先分别求出集合M和集合N，然后再求出集合M∩N．．
【解答】解：集合M={x|}=[，3），函数f（x）=ln（1﹣）=[0，1），
则M∩N=[，1）， 故选：B．
2．已知命题p：∃x∈R，log3x≥0，则（ ） A．￢p：∀x∈R，log3x≤0 B．￢p：∃x∈R，log3x≤0 C．￢p：∀x∈R，log3x＜0D．￢p：∃x∈R，log3x＜0 【考点】复合命题的真假． 【分析】利用命题的否定即可判断出． 【解答】解：命题p：∃x∈R，log3x≥0，则￢p：∀x∈R，log3x＜0． 故选：C．
3．若tanα=，则sin4α﹣cos4α的值为（ ） A．﹣ B．﹣ C． D． 【考点】同角三角函数基本关系的运用． 【分析】由条件利用平方差公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
【解答】解：∵tan，则sin4α﹣cos4α=（sin2α+cos2α）•（sin2α﹣cos2α）=sin2α﹣cos2α
===﹣， 故选：B． 4．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（ ） A． B． C． D． 【考点】等比数列的前n项和． 第6页（共19页）
【分析】设等比数列{an}的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到，解出即可． 【解答】解：设等比数列{an}的公比为q， ∵S3=a2+10a1，a5=9，
∴，解得．
∴． 故选C．
5．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ）
A．28π B．32π C．36π D．40π 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由三视图可知几何体是一个圆柱和一个圆台的组合体，求解其体积相加即可． 【解答】解：图为三视图复原的几何体是一圆台和一个圆柱的组合体，圆柱的底面半径为2，高为2，体积为：22π•2=8π．
圆台的底面半径为4，上底面半径为2，高为3，体积为： =28π， 几何体的体积为：36π． 故选：C．
6．将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三个小朋友，且每个小朋友
至少分得一个球的分法有 （ ）种． A．15 B．18 C．21 D．24 【考点】计数原理的应用． 【分析】把4个小球分成（2，1，1）组，其中2个小球分给同一个小朋友的有4种方法（红红，红黄，红白，白黄），分两类，根据分类计数原理可得． 【解答】解：把4个小球分成（2，1，1）组，其中2个小球分给同一个小朋友的有4种方法（红红，红黄，红白，白黄）， 若（红红，红黄，红白）分给其中一个小朋友，则剩下的两个球分给2个小朋友，共有3×3×A22=18种， 若（白黄两个小球）分给其中一个小朋友，剩下的两个红色小球只有1种分法，故有3×1=3种， 根据分类计数原理可得，共有18+3=21种．
2020年陕西省渭南市高考数学二模试卷(二)(有答案解析)
2020年陕西省渭南市高考数学二模试卷（二）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={1，2，3}，B={x|x2-2x+m=0}，若A∩B={3}，则B=（）A. {-1，3}B. {-2，3}C. {-1，-2，3}D. {3}2.复数z满足z-1=（z+1）i（i为虚数单位），则z的值是（）A. 1+iB. 1-iC. iD. -i3.设函数f（x）（x∈R）满足f（x）-f（-x）=0，f（x）=f（x-2），则y=f（x）的图象可能（）A. B.C. D.4.已知,则( )A. B. C. D.5.设，b=log23，c=2-0.3，则（）A. b＞c＞aB. a＞b＞cC. b＞a＞cD. a＞c＞b6.在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足=2，则•（+）等于（）A. B. C. D.7.设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是（）A. y与x具有正的线性相关关系B. 回归直线过样本点的中心（，）C. 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD. 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg8.费马素数是法国大数学家费马命名的，形如+1（n∈N）的素数（如：+1=3）为费马素数，在不超过30的正偶数中随机选取一数，则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是（）A. B. C. D.9.已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度10.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.11.抛物线y2＝4x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又点A（﹣1，0），则的最小值是（）A. B. C. D.12.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，若球O的表面积为20π，则直线PC与平面PAB所成角的正切值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知双曲线的一条渐近线为,则焦点到这条渐近线的距离为______.14.函数y=axe x的图象在x=0处的切线与直线y=-x互相垂直，则a=______．15.△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则∠C=______．16.已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点（1，1）对称，g（x）=（x-1）3+1，若函数f（x）图象与函数g（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x2019，y2019），则（x i+y i）=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}，其公比q＞1，且满足a2+a3=12，a2和a4的等差中项是10．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=na n，T n是数列{b n}的前n项和，求使T n-n•2n+1+14=0成立的正整数n 的值．18.每年3月20日是国际幸福日，某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取18名，用“10分制”记录了他们的幸福度指数，结果见如图所示茎叶图，其中以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于8.5分，则称该人的幸福度为“很幸福”．（Ⅰ）求从这18人中随机选取3人，至少有1人是“很幸福”的概率；（Ⅱ）以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记X表示抽到“很幸福”的人数，求X的分布列及EX．19.已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=，AC=2．D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥A1-BCDE．（Ⅰ）求证：平面A1DC⊥平面A1BC．（Ⅱ）当三棱锥C-A1BE的体积取最大值时，求平面A1CD与平面A1BE所成角的正弦值．20.已知定点A（-3，0）、B（3，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为，记动点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过点T（1，0）的直线l与曲线C交于P、Q两点，是否存在定点S（s，0），使得直线SP与SQ斜率之积为定值，若存在求出S坐标；若不存在请说明理由．21.已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若m＞n＞0，且m n=n m，求证：mn＞e2．22.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ；（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C交点分别为A，B，点P（1，0），求的值．23.设函数f（x）=|x+a|+|x-a2-a|（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≤5的解集；（Ⅱ）若存在a∈[-1，0]，使得不等式f（x）≥b对一切x∈R恒成立，求实数b的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】3是方程x2-2x+m=0的一个根，从而得到m=-3，B={x|x2-2x-3=0}，由此能求出集合B．本题考查集合的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x|x2-2x+m=0}，A∩B={3}，∴3是方程x2-2x+m=0的一个根，∴9-6+m=0，解得m=-3，∴B={x|x2-2x-3=0}={-1，3}满足A∩B={3}，∴B={-1，3}。
2023年陕西省安康市高考数学二模试卷(理科)+答案解析(附后)
第1页，共20页2023年陕西省安康市高考数学二模试卷（理科）
1. 已知，则( )
A. iB. C. 1D. 2. 若集合，，则( )
A. B. C. D. 3. 如图，在矩形ABCD中，M是CD的中点，若
，则( )A. B. 1
C. D. 2
4. 已知x，y满足约束条件，则的最大值为( )
A. B. C. 2D. 5. 已知函数的最小正周期为，则下列说法不正
确的是( )A.
B. 的单调递增区间为，
C. 将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于y轴对称
D. 6. 已知四面体的四个面均为直角三角形如图所示，则该四面体中异面直线AB与CD所
成角的余弦值为( )第2页，共20页
A. B. C. D. 7. ，，，，则a，b，c，d的大小关系为( )
A. B. C. D. 8. 下列命题正确的是( )
A. “，”的否定为假命题
B. 若“，”为真命题，则
C. 若，，且，则
D. 的必要不充分条件是
9. 设抛物线C：的焦点是F，直线l与抛物线C相交于A，B两点，且
，过弦AB的中点P作的垂线，垂足为Q，则的最小值为( )A. B. 3C. D. 10. 宋代理学家周敦颐的《太极图》和《太极图说》是象数和义
理结合的表达.《朱子语类》卷七五：“太极只是一个混沦底道理，里面包含阴阳、刚柔、奇偶，无所不有”.太极图如下图将平衡美、对称美体现的淋漓尽致.定义：对于函数，若存在圆C，使得的图象能将圆C的周长和面积同时平分，则称是圆C的太极函数.下列说法正确的是( )①对于任意一个圆，其太极函数有无数个
②是的太极函数③太极函数的图象必是中心对称图形④存在一个圆C，是它的太极函数A. ①④B. ③④C. ①③D. ②③第3页，共20页
11. 已知…，则
的值为( )A. 0B. C. D. 12. 已知，恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D. 13. 某服装公司对月份的服装销量进行了统计，结果如下：
月份编号x12345
陕西省2020版高考数学模拟试卷(理科)(2)(II)卷
陕西省2020版高考数学模拟试卷（理科）（2）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）“复数为纯虚数”是“”的（）A . 充分条件，但不是必要条件B . 必要条件，但不是充分条件C . 充要条件D . 既不是充分也不是必要条件2. （2分）已知集合，则（）A . (1,2]B . [2,4)C . (2,4)D . (1,4)3. （2分）“”是“函数为奇函数”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）下列各图均是正六棱柱，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是（）A .B .C .D .5. （2分）执行如图所示程序框图, 则输出的s=（）A . -2013B . 2013C . -2012D . 20126. （2分） (2019高一上·辽宁月考) 庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且 .下列关系中正确的是（）A .B .C .D .7. （2分）(2018·广州模拟) 如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A .B . 7C .D .8. （2分） (2016高二上·郴州期中) 已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2 时，a2+b2的最小值为（）A . 5B . 4C .D . 29. （2分）(2017·山东) 已知命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0．命题q：若a2＜b2 ，则a＜b，下列命题为真命题的是（）A . p∧qB . p∧￢qC . ￢p∧qD . ￢p∧￢q10. （2分） (2019高二下·滦平期中) 函数f（x）=x3+ax2+7ax（a∈R）不存在极值的充要条件是（）A . 0<a≤21B . 0<a<21C . a<0或a>21D . a≤0或a≥2111. （2分）若双曲线的离心率为2，则a等于（）A . 2B .C .D . 112. （2分） (2019高三上·榕城月考) 函数f（x）=log2x﹣的零点所在的区间为（）A . （0，1）B . （1，2）C . （2，3）D . （3，4）二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分） (2017高二上·绍兴期末) 已知平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1 ， l2的距离________；点（0，2）到直线l1的距离________．14. （1分）若不等式组的解集中的元素有且仅有有限个数，则a=________．15. （1分）(2017·衡阳模拟) 已知，数列的前n项和为Sn ，数列{bn}的通项公式为bn=n﹣8，则bnSn的最小值为________．16. （1分） (2019高二上·延边月考) 在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分）(2020高二下·应城期中) 在等比数列中，公比为，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和 .18. （5分） (2017高一下·邯郸期末) 已知，为两个非零向量，且| |=2，| |=1，（ + ）．（Ⅰ）求与的夹角（Ⅱ）求|3 |．19. （15分） (2019高二下·上海期中) 如图，在正三棱柱中，是的中点，是线段上的动点，且 .（1）若，求证：；（2）求二面角的余弦值；（3）若直线与平面所成角的大小为，求的最大值20. （5分） (2017高二下·运城期末) 椭圆（a＞b＞0）与x轴，y轴的正半辆分别交于A，B 两点，原点O到直线AB的距离为，该椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线l与椭圆交于两个不同的点M，N，求线段MN的垂直平分线在y轴上截距的取值范围．21. （10分）已知函数f（x）=x2﹣alnx（常数a＞0）．（1）当a=3时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）讨论函数f（x）在区间（1，ea）上零点的个数（e为自然对数的底数）．22. （10分）(2017·扶沟模拟) 以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2α﹣2cosα=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．23. （10分） (2019高一下·丽水月考) 已知函数 , ．（1）若 ,解不等式；（2）当时，若对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2020年陕西省汉中市高考数学二模试卷(一)(有答案解析)
2020年陕西省汉中市高考数学二模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-5x+4＜0，x∈Z}，B={m，2}，若A⊆B，则m=（）A. 1B. 2C. 3D. 52.设复数z=1-i（i是虚数单位），则的虚部为（）A. B. - C. D. -3.已知向量、的夹角为60°，||=2，||=1，则||=（）A. B. C. 2 D.4.已知，sinα=，则tan（）=（）A. B. C. - D. -5.函数的大致图象是（）A. B.C. D.6.双曲线（a＞0，b＞0）的离心率恰为它一条渐近线斜率的2倍，则离心率为（）A. B. C. D.7.函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数f（x）的单调增区间为（）A. [-+2kπ，+2kπ]（k∈Z）B. [-+kπ，+kπ]（k∈Z）C. [-+2kπ，+2kπ]（k∈Z）D. [-+kπ，+kπ]（k∈Z）8.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就．“更相减损术”便出自其中，原文记载如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．”其核心思想编译成如示框图，若输入的a，b分别为45，63，则输出的a为（）A. 2B. 3C. 5D. 99.如图，在直三棱柱中，,点D为BC的中点，则异面直线与所成的角为（）A. B. C. D.10.一次数学考试中，4位同学各自在选作题第22题和第23题中任选一题作答，则至少有1人选作第23题的概率为（）A. B. C. D.11.已知抛物线y2=8x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A、B两点、交准线于点C．若|BC|=|BF|，则|AB|等于（）A. 12B. 14C. 16D. 2812.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e x（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=e-x（x-1）②函数f（x）有3个零点③f（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞）④∀x1，x2∈R，都有|f（x1）-f（x2）|＜2其中正确命题的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.不等式组所表示的平面区域的面积等于________．14.已知函数f（x）=，方程f（x）-a=0有三个实数解，则a的取值范围是______．15.在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若sin A=2sin B，c=，且cos C=，则三角形ABC的面积为______．16.三棱锥S-ABC中，侧棱SA与底面ABC垂直，SA=1，AB=2，BC=3且AB⊥BC，则三棱锥S-ABC的外接球的表面积等于______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f（x）=x2-2x+2，数列{a n}为等差数列，其中a2=f（3），a3为f（x）的最小值．（1）求{a n}的通项公式．（2）已知{b n}是正项等比数列，b1=a3，b3=a1，求{b n}的通项公式，并求{a n+b n}的前n项和S n．18.社区服务是高中学生社会实践活动的一个重要内容，汉中某中学随机抽取了100名男生、100名女生，了解他们一年参加社区服务的时间，按[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]（单位：小时）进行统计，得出男生参加社区服务时间的频率分布表和女生参加社区服务时间的频率分布直方图．（1）完善男生参加社区服务时间的频率分布表和女生参加社区服务时间的频率分布直方图．抽取的100名男生参加社区服务时间的频率分布表社区服务时间（h）人数频率[0，10）0.05[10，20）20[20，30）0.35[30，40）30[40，50]合计1001不合格的人数合格的人数男女（2）按高中综合素质评价的要求，高中学生每年参加社区服务的时间不少于20个小时才为合格，根据上面的统计图表，完成抽取的这200名学生参加社区服务时间合格与性别的列联表，并判断是否有90%以上的把握认为参加社区服务时间达到合格程度与性别有关，并说明理由．（3）用以上这200名学生参加社区服务的时间估计全市9万名高中学生参加社区服务时间的情况，并以频率作为概率．（i）求全市高中学生参加社区服务时间不少于30个小时的人数．（ⅱ）对我市高中生参加社区服务的情况进行评价．参考公式P（K2≥k）0.1500.1000.0500.0250.0100.0020.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（K2=，其n=a+b+c+d）19.圆O的方程为：x2+y2=9，P为圆上任意一点，过P作x轴的垂线，垂足为D，点Q在PD上，且=.（1）求点Q的轨迹C的方程；（2）过点F（-，0）的直线与曲线C交于A、B两点，点M的坐标为（3，0），△MAB的面积为S，求S的最大值，及直线AB的方程.20.如图所示，四棱锥P-ABCD中，E、F分别为PD、PC中点，PA⊥平面ABCD．（1）若四边形ABCD为菱形，证明：平面PBD⊥平面PAC．（2）若四边形ABCD为矩形，AB=，AP=1，四棱锥P-ABCD的体积为，求三棱锥C-AFD的体积．21.已知函数f（x）=3x2+m ln x+4，且f（x）在x=1处的切线方程为y=nx（1）求f（x）的解析式，并讨论其单调性（2）若函数g（x）=e x-1+3x2+4-f（x），证明：g（x）≥122.已知直线l1的参数方程为（t为参数，a＜0），以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）若直线l1截得圆的弦长为2，求a值．（2）直线l2参数方程为（t参数），若l1⊥l2垂足为P，求P的极坐标．23.（1）求不等式|x+2|+|x-1|≥5的解集；（2）已知两个正数a、b满足a+b=2，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={x|1＜x＜4，x∈Z}={2，3}；又A⊆B；∴m=3．故选：C．可求出集合A={2，3}，根据A⊆B即可得出m=3．考查描述法、列举法的定义，子集的定义，以及一元二次不等式的解法．2.答案：C解析：解：∵z=1-i，∴==．∴的虚部为．故选：C．把z=1-i代入，再由复数代数形式的乘除运算得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：A解析：【分析】本题考查平面向量的数量积的应用，向量的模的求法，是基本知识的考查．直接利用向量的模以及向量的数量积转化求解即可．【解答】解：向量、的夹角为60°，||=2，||=1，则||===．故选：A．4.答案：D解析：解：已知，sinα=，∴cosα=-=-，∴tanα==-，则tan（）==-，故选：D．利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值，再利用两角差的正切公式求得tan（）的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式的应用，属于基础题．5.答案：B解析：【分析】本题考查了函数奇偶性、单调性的判断，属于基础题．判断f（x）的奇偶性，再判断当x＞1时的函数值的符号即可．【解答】解：f（-x）===-f（x），∴f（x）是奇函数，图象关于原点对称，故A，C错误；又当x＞1时，ln|x|=ln x＞0，∴f（x）＞0，故D错误，故选：B．6.答案：A解析：解：双曲线（a＞0，b＞0）的离心率恰为它一条渐近线斜率的2倍，可得，可得c=2b，则c2=4b2=4（c2-a2），∴3c2=4a2，e=＞1，可得e=．故选：A．利用已知条件列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．7.答案：D解析：解：根据函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得•=-，∴ω=2，∴函数的周期为=π，∵图中函数图象的最高点为（，0），故函数的增区间为[-+kπ，+kπ]，k∈Z，故选：D．先根据条件求出函数的周期，结合图象的最高点为（，1），求出它的增区间．本题主要考查余弦函数的周期性，求出函数的周期，是解题的关键，属于基础题．8.答案：D解析：解：由程序框图可知：a=45＜63=b，可得：b=63-45=18，满足a＞b，可得a=45-18=27，满足a＞b，可得a=27-18=9，满足b＞a，可得b=18-9=9，此时，a=b=9，退出循环，输出a的值为9．故选：D．利用程序框图与“更相减损术”，直到a=b时即可输出a．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．9.答案：B解析：【分析】本题考查了异面直线及其所成的角，属中档题．取B1C1的中点E，连A1E，DE，CE，则A1E∥AD，所以异面直线AD与A1C所成角是∠EA1C 或其补角，在三角形A1EC中由余弦定理可得结果．【解答】解：取B1C1的中点E，连A1E，DE，CE，∴A1E∥AD，所以异面直线AD与A1C所成角是∠EA1C或其补角，∵，∴,,,在中，由余弦定理可得,因为，所以，即异面直线与所成的角为，故选B．10.答案：D解析：解：一次数学考试中，4位同学各自在选作题第22题和第23题中任选一题作答，基本事件总数n=24=16，至少有1人选作第23题的对立事件无有人选择第23题，∴至少有1人选作第23题的概率P=1-．故选：D．基本事件总数n=24=16，至少有1人选作第23题的对立事件蝋有人选择第23题，至少有1人选作第23题的概率．本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.答案：C解析：解：过A，B分别作准线的垂线，垂足为M，N，∵|BC|=|BF|，且|BF|=|BN|，所以=，∴直线AB的倾斜角为45°，斜率为1，所以直线AB的方程为y=x-2，⇒x2-12x+4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=12，根据抛物线的定义知：|AB|=x1+x2+p=12+4=16．故选：C．过A，B分别作准线的垂线，垂足为M，N，∵|BC|=|BF|，且|BF|=|BN|，所以=，∴直线AB的倾斜角为45°，斜率为1，所以直线AB的方程为y=x-2，再联立直线与抛物线，根据韦达定理以及抛物线的定义可得．本题考查了抛物线的性质，属中档题．12.答案：A解析：解：对于①，f（x）为R上的奇函数，设x＞0，则-x＜0，∴f（-x）=e-x（-x+1）=-f（x），∴f（x）=e-x（x-1），①正确；对于②，∵f（-1）=0，f（1）=0，且f（0）=0，∴f（x）有3个零点，②正确；对于③，x＜0时，f（x）=e x（x+1），易得-1＜x＜0时，f（x）＞0；x＞0时，f（x）=e-x（x-1），易得x＞1时，f（x）＞0；∴f（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞），③正确；对于④，x＜0时，f′（x）=e x（x+2），x＜-2时，f′（x）＜0，-2＜x＜0时，f′（x）＞0；∴f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（-2，0）上单调递增；∴x=-2时，f（x）取最小值-e-2，且x＜-2时，f（x）＜0；∴f（x）＜f（0）=1；即-e-2＜f（x）＜1；x＞0时，f′（x）=e-x（2-x）；∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；x=2时，f（x）取最大值e-2，且x＞2时，f（x）＞0；∴f（x）＞f（0）=-1；∴-1＜f（x）≤e-2；∴f（x）的值域为（-1，e-2]∪[-e-2，1）；∴∀x1，x2∈R，都有|f（x1）-f（x2）|＜2；④正确．故选：A．根据f（x）为奇函数，设x＞0，得-x＜0，可求出f（x）=e-x（x-1）判定①正确；由f（x）解析式求出-1，1，0都是f（x）的零点，判定②正确；由f（x）解析式求出f（x）＞0的解集，判断③正确；分别对x＜0和x＞0时的f（x）求导，根据导数符号判断f（x）的单调性，根据单调性求f（x）的值域，可得∀x1，x2∈R，有|f（x1）-f（x2）|＜2，判定④正确．本题考查了奇函数的定义与应用问题，也考查了函数的零点以及不等式的解集、根据导数符号判断函数单调性和求函数最值、求函数值域的方法，是综合性题目．13.答案：解析：解：不等式组表示的平面区域如下图所示：A（，），B（1，0），C（2，0）由图可得：该区域的面积S=×1×=，故答案为：．画出不等式组表示的平面区域，代入三角形面积公式，可得答案．本题考查的知识点是二元一次不等式（组）与平面区域，三角形面积公式，画出可行域是解答的关键．14.答案：（1，2）解析：解：∵函数f（x）=，∴作出函数y=2x（x≥0）和y=-x2-2x+1，x＜0的图象，∵方程f（x）-a=0有三个实数解，∴结合图形，得：1＜a＜2．∴a的取值范围是（1，2）．故答案为：（1，2）．作出函数y=2x（x≥0）和y=-x2-2x+1，x＜0的图象，由方程f（x）-a=0有三个实数解，结合图形，能求出a的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查指数函数、一元二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15.答案：解析：解：∵sin A=2sin B，∴由正弦定理可得：a=2b，∵c=，且cos C=，∴sin C===，∴由余弦定理c2=a2+b2-2ab cos C，可得：2=a2+b2-2ab•=（2b）2+b2-2•（2b）•b•，解得：b=1，∴a=2b=2，∴=ab sin C==．故答案为：．由已知利用正弦定理可得：a=2b，利用同角三角函数基本关系式可求sin C的值，由余弦定理可求b的值，进而可求a=2b=2，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.答案：14π解析：【分析】以SA，AB，BC为棱构造一个长方体，则这个长方体的外接球就是三棱锥S-ABC的外接球，求出三棱锥S-ABC的外接球的半径，由此能求出三棱锥S-ABC的外接球的表面积．本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．【解答】解：∵三棱锥S-ABC中，侧棱SA与底面ABC垂直，SA=1，AB=2，BC=3且AB⊥BC，∴SA、AB、BC两两垂直∴以SA，AB，BC为棱构造一个长方体，则这个长方体的外接球就是三棱锥S-ABC的外接球，∴三棱锥S-ABC的外接球的半径：R==，∴三棱锥S-ABC的外接球的表面积：S=4πR2=4=14π．故答案为14π．17.答案：解：（1）因为f（x）=x2-2x+2，所以a2=f（3）=5，因为f（x）的最小值为1，所以a3=1，因为{a n}为等差数列，所以公差d=a3-a2=-4，所以{a n}的通项公式a n=5-4（n-2）=13-4n．（2）b3=a1=9，b1=a3=1，且公比q＞0，所以公比q=3．数列的通项公式，所以=．解析：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法求出数列的和，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．（1）利用已知条件求出数列的通项公式．（2）利用分组法求出数列的和．18.答案：解：（1）由每小组的频率等于每小组的频数除以样本容量，这个公式可以计算出每一时间段所需填写的内容．[0，10）段：人数=0.05×100=5；[10，20）段：频率=20+100=0.2；[20，30）段：人数=0.35×100=35；[30，40）段：频率=30+100=0.3；[40，50）段：人数=100-5-20-35-30=10，频率=1-0.05-0.2-0.35-0.3=0.1．100社区服务时间（h）人数频率[0.10）50.05[10，20）200.2[20，30）350.35[30，40）300.3[40，50）100.1合计1001根据在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1，所以有1-0.01×10-0.025×10-0.02×10-0.01×10=0.35补完频率分布直方图如下图：（2）通过抽取的100名男生参加社区服务时间的频率分布表可知男生合格人数为75人，不合格人数为25人；通过抽取的100名女生参加社区服务时间频率直方图中可知合格人数为65人，不合格人数为35人，列联表如下表．学生社区服务时间合格人数与性别的列联表不合格的人数合格的人数男2575女3565，k2=≈2.38＜2.706∴没有90%以上把握认为社区服务时间达到合格与性格有关．（3）（i）抽取的样本中社区服务时间不少于30个小时的人数为70人，频率为=，所以全市高中生社区服务时间不少于30个小时的概率为，所以全市高中生社区服务时间不少于30个小时的人数为9×=3.15万人．（ii）可从以下四个角度分析，也可以从其它角度分析，角度正确，分析合理即可．A从抽样数据可以得到全市高中生还有一部分学生参与社区服务的时间太少，不能达到高中素质评价的要求．B全市所有学生参与社区服务的时间都偏少．C全市高中学生中，女生参与社区服务的时间比男生短．D全市高中学生，参与社区服务时间的长短集中在20～40h之间．解析：（1）根据公式：每小组的频率等于每小组的频数除以样本容量，进行求解．根据在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1，计算出女生在[20，30）段小长方形的面积，最后补完整频率分布直方图．（2）按照每年参加社区服务的时间不少于20个小时才为合格这一要求，在100名男生参加社区服务时间频率分布表中求出男生合格人数、不合格人数；在100名女生参加社区服务时间频率直方图中，求出女生合格人数，不合格人数，填写列联表．求出k2，得出结论．（3）（i）根据100名男生参加社区服务时间频率分布表和100名女生参加社区服务时间频率直方图，可以求出这200名学生参加社区服务时间不少于30个小时的人数，然后求出全市高中生社区服务时间不少于30个小时的概率，最后求出求全市高中学生参加社区服务时间不少于30个小时的人数．（ⅱ）可以从以下这四个方面做出分析：A全市高中生是不是都达到高中素质评价的要求方面；B全市所有学生参与社区服务的时间多少方面；C全市高中学生中，女生参与社区服务的时间比男生长短方面；D全市高中学生，参与社区服务时间的长短集中哪个时间段方面．本题考查了频率分布表和频率直方图、k2．本题重点考查了应用数学知识解决生活实际问题的能力．属中档题．19.答案：解：（1）设Q（x，y），则可设P（x，y0），D（x，0），又=，∴（0，y）=（0，y0），∴y0=y，把P（x，y）代入圆方程x2+y2=9，得Q的轨迹C的方程为；（2）由题意可知，直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，联立，得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则故,当且仅当时等号成立.∴的面积的最大值为，此时直线AB的方程为或.解析：本题考查轨迹方程的求法，训练了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属于较难题．（1）设Q（x，y），P（x，y0），D（x，0），利用向量等式可得y0=y，把P（x，y）代入圆方程x2+y2=9，得Q的轨迹C的方程为；（2）由题意可知，直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，得到则，利用基本不等式求最值，取等时可求t的值，则直线AB的方程可求.20.答案：证明：（1）由题PA⊥平面ABCD，BD⊆平面ABCD，∴BD⊥PA．由题ABCD为菱形，得BD⊥AC，又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．又BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．解：（2）设AD=a，a＞0．由题，解得a=．∵F为PC的中点，即点F到平面ABCD的距离为，∴V C-AFD=V F-ACD==．解析：（1）要想证明面面垂直，就要证明线面垂直．四边形ABCD为菱形，因此对角线互相垂直即BD⊥AC，通过PA⊥平面ABCD，可以得出BD⊥PA，这样可以证明出BD⊥平面PAC．从而平面PBD⊥平面PAC．（2）通过四棱锥P-ABCD的体积为，可以求出AD的长，利用等积法就可以求出三棱锥C-AFD的体积．本题考查面面垂直的判定定理、等积法求体积，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：（1）f′（x）=6x+，f（1）=7．x＞0．∵f（x）在x=1处的切线方程为y=nx，∴f（1）=n=7，f′（1）=6+m=n，解得n=7，m=1．∴f′（x）=6x+＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（2）证明：g（x）=e x-1+3x2+4-f（x）=e x-1-ln x，（x∈（0，+∞））．g′（x）=e x-1-在x∈（0，+∞）单调递增．且x→0+时，g′（x）→-∞；x→+∞时，g′（x）→+∞．∴存在x0＞0，使得-=0，即=，x0-1=-ln x0．∴g（x）≥g（x0）=-ln x0=+x0-1≥2-1=1．∴g（x）≥1成立．解析：（1）f′（x）=6x+，f（1）=7．x＞0．由f（x）在x=1处的切线方程为y=nx，可得f（1）=n=7，f′（1）=6+m=n，即可得出m，n，进而得出单调性．（2）g（x）=e x-1+3x2+4-f（x）=e x-1-ln x，（x∈（0，+∞））．g′（x）=e x-1-在x∈（0，+∞）单调递增．可得存在x0＞0，使得-=0，即=，x0-1=-ln x0．利用g（x）≥g（x0）即可证明结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.答案：解：（1）由l1得（a＜0，t为参数）得x-y-3-a=0．∵ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，∴由C得x2+y2-4x=0，（x-2）2+y2=4，即圆心为C（2，0），r=2，∴C到直线l距离为d==，又弦长为2，故2=2，解得a=-3或a=1(舍去），故a=-3．（2）由l2的参数方程消去t可得y=k（x-2），又l1⊥l2得l2：y=-x+2，，解P（1，1），=，θ=，则P（，）．解析：本题考查了参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法．考查了直线与圆相交时，弦长、半径、弦心距之间的关系．考查了两直线相交时，求交点的方法．属中档题．（1）把直线l1的参数方程通过消参过程，化为直角坐标方程；利用公式把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，利用弦心距、弦长和圆半径的关系，建立等式，求出a的值．（2）把直线l2的参数方程通过消参过程，化为直角坐标方程，根据l1⊥l2这一条件，可以确定l2，两直线方程联立，求出点P的坐标，最后化成极坐标．23.答案：解：（1）方法一：根据几何意义“|x+2|+|x-1|”表示数轴上x到-2和1的距离之和，所以不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}．方法二：零点分区间讨论如下：①当x≤-2时，-x-2-x+1≥5，即x≤-3，∴x≤-3．②当-2＜x＜1时，x+2-x+1≥5即3≥5，不符合题意；③当x≥1时，x+2+x-1≥5即x≥2，∴x≥2．综上所述，不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}．证明（2）因为a+（b+1）=3，所以+=（+）[a+（b+1）]=（2++）≥当且仅当即a=，b=时取“=”．故．解析：（1）方法一：首先判断“|x+2|+|x-1|”的几何意义，运用数形结合思想，在数轴上找到所求不等式的解集．方法二：根据零点分区间进行分类讨论进行求解．（2）根据要证明式子分母的特点，把a+b=2，变形为a+（b+1）=3，利用基本不等式，证明不等式．本题考查了求绝对值不等式的解集，一般的方法就是根据绝对值的几何意义和零点分区分进行讨论的方法来求解．考查了用基本不等式证明不等式，运用基本不等式，要考虑是定和问题还是定积问题，更要注意的是运用基本不等式要同时满足一正二定三相等这三个条件．。
2020年陕西省铜川市高考数学二模试卷(理科)
2020年陕西省铜川市高考数学二模试卷（理科）、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1 . （5分）设集合A {x| 2剟X 2},x{y | y 3 R}，则A| B2 .3 .4 . A . (1,)（5分）已知复数(5分)(5分)数”的（等比数列已知mz满足zi{a n}中,A .充分不必要条件C .充要条件a3C. 2] 2]i是虚数单位, 则|z| (C. -5“函数y5. （5分）一支足球队每场比赛获胜为b，负于对手（得6. （5分）已知m、A .若I m , IB .若平面9前三项和为S33203xdx，则公比q的值是C.2x1有零点”是“函数y log m x 在(0, ）上为减函（得0分）的概率为1一的最小值为3bB .詩n为两条不同的直线,n，且m , n内有不共线的三点到平面.右m , m必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3分）的概率为a，与对手踢平（得1分）的概率c(a ,（0,1）），已知该足球队进行一场比赛得C. 17 3为两个不同的平面，则下列命题中正确的的距离相等，则//D .若m/ /n , n ，则m7. （5分）在区间［1 , 1］上随机取一个数k，则直线y k（x 2）与圆x2 2y 1有两个不同公共点的概率为（B .仝6C. 38. (5 分)已知f (x)舌®，其中a (2cos x,A . [k ,k](Z)B. [k,k ](k Z)12312 3C. [k尹Z) D . [k-,k -](k6 3Z)（5分）已知函数f(x)x2 ln|x|，则函数y f（x）的大致图象是（)单调递减区间是（）9. (cosx,1) , x R .则f(X)的V7-I O 1 X IAO1X4x的焦点到双曲线x2D.2yb2，则双曲2C.11. （5分）三ABC 中,PA平面ABC ,AC BC ,AC BC PA 3，则该三棱锥外接C.2012. （5分）若对于任意的正实数x , y都有（2x 'jgn',—e x me成立, 则实数m的取值范围1A . (一,1)e1B. (右，1]e C. (g,e]e1D. (0,一] e二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20 分）uur 13. （5分）如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若AD LUTACUULAE，贝U 的值A .C.10. （5分）抛物线y线的虚轴长是（B.1的一条渐近线的距离是14. (5 分)在(x 1)(x1）8的展开式中，x5的系数是2 15. （5分）已知两圆x9 9 9y 10和（x 1）（y a） 20相交于A、B两个不同的点，且直线AB与直线3x y 1 0垂直，则实数a .16. （5分）从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________ 次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10% .三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）（一）必考题（共60分）17. ( 12 分)在ABC 中，BC . 5, AC 3,sin C 2sin A(I)求AB的值；(n)求sin(2A )的值.418. （12分）在某市创建全国文明城市的过程中，创文专家组对该市的中小学进行了抽检，其中抽检的一个环节是对学校的教师和学生分别进行问卷测评. 如表是被抽检到的5所学校A、B、C、D、E的教师和学生的测评成绩（单位：分）：（1）建立y关于x的回归方程? Ibx ?;（2）现从A、B、C、D、E这5所学校中随机选2所派代表参加座谈，用X表示选出的2所学校中学生的测评成绩大于90分的学校数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）.n（X1 x）（y i y）附:b丄—,<? y i? x.2（X i x）i 119. （12分）如图，在三棱柱ABC ABQ1中，侧棱AA 底面ABC , AB BC , D为AC。
2020年陕西省榆林市高考数学二模试卷2（含答案解析）
2020年陕西省榆林市高考数学二模试卷2一'选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.挡■=()3-4t'}AW条 C.备+§• D.I2.已知集合遍=(1,2),B={1,3},则4n8=()A.{1}B.{1,2}C. {1,3}D.(1,2,3}3.《九章算术□是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈(1匹=40尺，一丈=10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起.每天比前一天多织相同量的布.第一天织S尺，一月织了九匹三丈.问每天增加多少尺布？"若一个月按30天算，则每天增加量为()A.：尺_BE尺 C.碧尺•芸尺4.已知向乾石=(—1,2)，衣=(x,—5)，若而成=-7,则|花|=()A.5B.4>/2C.6D. 5/2x+y>05.若x,y满足约束条件x-y+3>0.则z=2x-y的最大值为()、0<x<3A.3B.6C.8D.96.已知抛物线y2=2px(p>0)经过点M(2,y°),若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于()A.2控B.2焰C. 2炳D.47.为了检验某厂生产的取暖器是否合格，先从500台取暧器中取50台进行检验，用随机数表抽取样本，将500台取暖器编号为001,002，…，S00.下面提供了随机数表第7行至第9行的数据：844217S33157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954若从随机数表第7行第4列开始向右依次读取3个数据.则抽出第4台取暖器的编号为()A.217B.206C.245D.2128.为计算S=l+2】+22+・・・+2【。
陕西省2020版高考数学模拟试卷(理科)(II)卷
陕西省2020版高考数学模拟试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）在复平面内，复数（i是虚数单位）所对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分） (2018高二上·南阳月考) 已知各项均不为零的数列，定义向量，.下列命题中真命题是（）A . 若∀n∈N* 总有⊥成立，则数列 {an} 是等比数列B . 若总有成立，则数列是等比数列C . 若∀n∈N* 总有⊥成立，则数列 {an} 是等差数列D . 若总有成立，则数列是等差数列3. （2分）设函数f(x)=ln(x-1)(2-x)的定义域是A，函数的定义域是B，若，则正数a的取值范围是（）A . a>3B .C .D .4. （2分）(2018·齐齐哈尔模拟) 执行如下图的程序框图，若输入的值为2，则输出的值为（）A .B .C .D .5. （2分）由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有（）A . 36个B . 42个C . 48个D . 120个6. （2分）已知函数，则实数的值可能是（）A . 2B . 3C . 4D . 57. （2分） (2020高三上·台州期末) 如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，且则异面直线，所成角的大小为（）A .B .C .D .8. （2分）某商场在五一促销活动中，对5月1日9时至14时的销售额进行统计，某频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为（）A . 6万元B . 8万元C . 10万元D . 12万元9. （2分）椭圆的右焦点为F，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高二上·武邑月考) 若，那么下列命题中正确的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）对任意实数 x ，有，则 a3 的值为________.12. （1分）(2019·青浦模拟) 已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为________13. （1分）已知，求sin2β﹣3sinβcosβ+4cos2β的值是________．14. （1分） (2016高一上·景德镇期中) 在等差数列{an}中，a2=5，a6=21，记数列的前n项和为Sn ，若对n∈N+恒成立，则正整数m的最小值为________．15. （1分） (2016高二上·上海期中) 设实数a，b满足a+ab+2b=30，且a＞0，b＞0，那么的最小值为________．三、解答题 (共6题；共40分)16. （10分）已知cosθ= ，θ∈（0，）．（1）求cos（θ+ ）的值；（2）求tan2θ的值．17. （10分） (2016高一下·重庆期中) 已知递增的等差数列{an}，首项a1=2，Sn为其前n项和，且2S1 ，2S2 ， 3S3成等比数列．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn ．18. （5分） (2019高二下·顺德期末) 某高中高二年级1班和2班的学生组队参加数学竞赛，1班推荐了2名男生1名女生，2班推荐了3名男生2名女生.由于他们的水平相当，最终从中随机抽取4名学生组成代表队.（Ⅰ）求1班至少有1名学生入选代表队的概率；（Ⅱ）设表示代表队中男生的人数，求的分布列和期望.19. （5分）(2017·嘉兴模拟) 如图，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB=1，AC= ，BC=BB1=2．（Ⅰ）求证：AC⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值．20. （5分）(2018·南阳模拟) 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交曲线于两点，交圆于两点（两点相邻）.(Ⅰ)若，当时，求的取值范围；(Ⅱ)过两点分别作曲线的切线，两切线交于点，求与面积之积的最小值.21. （5分） (2017高三上·甘肃开学考) 设函数f（x）= x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意a∈（3，4）及任意x1 ，x2∈[1，2]，恒有 m+ln2＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共40分)16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、第11 页共13 页第12 页共13 页21-1、第13 页共13 页。
2023年陕西省咸阳市高考数学二模试卷(理科)+答案解析(附后)
2023年陕西省咸阳市高考数学二模试卷（理科）1. 已知复数z满足，那么( )A. 1B.C.D. 22. 已知集合，，那么( )A. B. C. D.3. 某商场要将单价分别为36元，48元，72元的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等.那么该商场对混合糖果比较合理的定价应为( )A. 52元B. 50元C. 48元D. 46元4. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有以下四个命题：①若，，则②若，，则③若，，则④若，，，则其中正确的命题是( )A. ②③B. ②④C. ①③D. ①②5. 函数的大致图像为( )A. B.C. D.6. 已知函数，当时，取得最小值，则的最小值是( )A. B. C. D.7. 数列的前n项和为，对一切正整数n，点在函数的图象上，且，则数列的前n项和为( )A. B.C. D.8. 已知直角三角形ABC，，，，现将该三角形沿斜边AB旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为( )A. B. C. D.9. 巴塞尔问题是一个著名的级数问题，这个问题首先由皮耶特罗门戈利在1644年提出，由莱昂哈德欧拉在1735年解决.欧拉通过推导得出：某同学为了验证欧拉的结论，设计了如图的算法，计算的值来估算，则判断框填入的是( )A.B.C.D.10. 2022年卡塔尔世界杯足球赛落幕，这是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.有甲，乙，丙，丁四个人相互之间进行传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙，丙，丁中的任何一个人，以此类推，则经过三次传球后乙只接到一次球的概率为( )A. B. C. D.11. 已知双曲线C：，c是双曲线的半焦距，则当取得最大值时，双曲线的离心率为( )A. B. C. D.12. 已知实数，…，对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.13. 二项式的展开式中的系数为______.14. 过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若l的倾斜角为，则线段AB的中点到x轴的距离是______ .15.已知非零向量，，满足，，的夹角为，且，则向量，的数量积为______ .16. 如图，已知在扇形OAB中，半径，，圆内切于扇形圆和OA、OB、弧AB均相切，作圆与圆、OA、OB相切，再作圆与圆、OA、OB相切，以此类推.设圆、圆…的面积依次为，…，那么…______ .17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求；若，求的周长.18. 如图，直四棱柱的底面是菱形，，，E，M，N分别是BC，，的中点.证明：平面；求二面角的正弦值.19. 2023年1月26日，世界乒乓球职业大联盟支线赛多哈站结束，中国队包揽了五个单项冠军，乒乓球单打规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分.在一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10平后，先多得2分的一方为胜方，甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为，乙在一次发球中，得1分的概率为，如果在一局比赛中，由乙队员先发球.甲、乙的比分暂时为8：8，求最终甲以11：9赢得比赛的概率；求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望.20. 椭圆C：的左、右焦点分别为、，且椭圆C过点，离心率为求椭圆C的方程；若点是椭圆上任一点，那么椭圆在点M处的切线方程为已知是中椭圆C上除顶点之外的任一点，椭圆C在N点处的切线和过N点垂直于切线的直线分别与y轴交于点P、求证：点P、N、Q、、在同一圆上.21. 已知函数当时，求函数的零点；对于任意的，恒有，求实数a的取值范围.22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；若直线l与曲线C交于P，Q两点，且点，求的值.23. 已知：，若，求不等式的解集；，若图像与两坐标轴围成的三角形面积不大于2，求正数m 的取值范围.答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为，所以，所以，即，所以，所以故选：根据复数的四则运算求出复数z，即可得的值．本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由，得，所以，由及，得，解得，解得，所有，故选：根据偶次根式要求被开方式大于等于零，求得集合，解分式不等式求得集合，然后求交集得到结果．本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：定价元故选：本质上是求3种糖果单价的加权平均值，只需将三种糖果的单价加权平均即可．本题主要考查加权平均值的求法，考查运算求解能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，①若，，则或，故①错误；②若，，则，故②正确；③若，，则，故③正确；④若，，，则m，n平行、相交或异面，故④错误．故选：由线面的位置关系可判断①；由面面垂直的判定定理可判断②；由线面垂直的性质可判断③；由线线的位置关系可判断④．本题考查空间中线线、线面和面面的位置关系，考查转化思想和推理能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：因为，，当时，，单调递增，当时，，单调递减且，所以只有B选项才满足，故选：求出当和的解析式，再根据指数函数的单调性及值域即可得答案．本题考查了指数函数的性质、值域，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：因为当时，取得最小值，即，所以，即，解得：，当时，，当时，，所以的最小值是故选：根据时，取得最小值，列出等式后解出，取k为连续的整数时，刚好正负发生变化，即可得出的最小值．本题主要考查三角函数的最值，正弦函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：由题意知①，当时，，当时，②，①-②得，又，，符合题意，，，故选：根据与的关系求得，进而求出，利用裂项相消求和法即可求解．本题考查根据数列的前n项和求通项公式，裂项求和法的应用，属中档题．8.【答案】C【解析】解：将直角三角形ABC沿斜边AB旋转一周，旋转形成的几何体的如图所示，，，故选：由题意作出旋转体由两个圆锥构成，利用等面积法求出底面圆的半径，即可根据圆锥的体积公式求出旋转体的体积．本题主要考查了圆锥的结构特征，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：若，时，当判断框填入的是，或时，则直接输出，错误，由题意得，，，，，，，，，，当时，则直接输出，若时，则满足，则还需要再循环1次，则输出的结果为，则需要，故选：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：传球的结果可以分为：分别传给3人时：乙丙丁，乙丁丙，丙乙丁，丙丁乙，丁乙丙，丁丙乙，共6种；若传给2人时：乙丙乙，丙乙丙，乙丁乙，丁乙丁，丁丙丁，丙丁丙，共6种；再传给甲的：乙甲乙，丙甲丙，丁甲丁，乙丙甲，乙甲丙，乙丁甲，乙甲丁，丙乙甲，丙甲乙，丁乙甲，丁甲乙，丙丁甲，丙甲丁，丁甲丙，丁丙甲，共15种；共27种，只传乙一次的有16种，所以所求概率为故选：将所有传球的结果列出，再利用古典概型求结果．本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：是双曲线C：的半焦距，，设，，则，令，则，当时，有最大值，，，故选：由题意得，利用三角换元，用c表示a，b，利用三角函数求得最值，结合离心率公式，即可得出答案．本题考查双曲线的性质，考查转化思想和换元法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：因为，所以，即，即，所以，令，，易知在上单调递增，又因为，所以，所以，，所以，，令，，则，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，所以，解得故选：将原不等式变化为，令，，则在上单调递增，故有，即有，，，，令，，求出的最小值即可得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查不等式的恒成立问题，查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．13.【答案】80【解析】解：二项式的展开式的通项公式为，令，，故展开式中的系数为，故答案为在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14.【答案】3【解析】解：由题意得抛物线的标准方程为，则，即直线l为，联立，整理得，设，，则，故线段AB的中点的横坐标为，代入直线l得，线段AB的中点到x轴的距离是3，故答案为：由题意可设直线l的方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理可得AB的中点横坐标，即可得出答案．本题考查抛物线的性质，考查方程思想和转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．15.【答案】0【解析】解：，，又，的夹角为，且，向量，的数量积，故答案为：由题意得，根据向量数量积的性质，即可得出答案．本题考查平面向量数量积的性质及其运算，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：如图，设圆圆，与OA分别切于点C，E，则，，圆，，，⋯⋯的半径为，，，⋯⋯，，因为，所以，在中，，则，即，解得，在中，，则，即，解得，同理可得，所以，，，⋯⋯，是以为首项，为公比的等比数列，因为，所以面积，，，⋯⋯，构成一个以为首项，以为公比的等比数列，则故答案为：分别设圆，，，⋯⋯的半径为，，，⋯⋯，根据题意可得，，，⋯⋯，是以为首项，为公比的等比数列，然后结合圆的面积公式和等比数列求和公式计算即可求解．本题考查数列的求和，考查运算求解能力，属中档题．17.【答案】解：在中，，，，，；在中，，由正弦定理可得，，又，，由余弦定理可得，，，解得，故的周长为【解析】根据已知条件，结合余弦函数的两角和公式，即可求解；根据已知条件，结合正弦定理，以及余弦定理，即可求解．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．18.【答案】解：证明：连接ME，，，E分别为，BC中点，且，又且，四边形为平行四边形，且，又N为中点，且，，，四边形MNDE为平行四边形，，又平面，平面，平面；连接AC，BD，，，设，，则由直四棱柱性质可知平面ABCD，四边形ABCD为菱形，，以O为原点，可建立如图所示的空间直角坐标系，则根据题意可得：，，，，，取AB中点F，连接DF，则，，，四边形ABCD为菱形且，为等边三角形，，又平面ABCD，平面ABCD，，又，，平面，平面，即平面，为平面的一个法向量，且，设平面的一个法向量为，则，取，，，二面角的正弦值为【解析】连接ME，，证明四边形MNDE为平行四边形，可得，再根据线面平行的判定定理即可得证；连接AC，BD，，，设，，以O为原点，可建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解即可．本题考查线面平行的证明，线面平行的判定定理，向量法求解二面角问题，向量夹角公式的应用，属中档题．19.【答案】解：甲以11：9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在最后一次获胜，最终甲以11：9赢得比赛的概率为：；设甲累计得分为随机变量X，X的可能取值为0，1，2，3，，，，，随机变量X的分布列为：X0123P【解析】根据题意可得甲以11：9赢得比赛，则甲再得到3分，乙得到1分，且甲得到最后一分，再根据独立事件的乘法公式求概率即可；根据题意可得X的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率列出分布列，再求其数学期望即可．本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．20.【答案】解：由题意得，解得，，所以椭圆C的标准方程为证明：由题意知：过点的椭圆的切线方程为，令，则；且，则设直线NQ方程为，令，则；又，，则；，即，，，即点N、P、Q、、在以PQ为直径的圆上．【解析】根据离心率和椭圆所过点及得到方程组，求出答案；根据题意得到过点的椭圆的切线方程及直线NQ方程，得到P、Q两点坐标，从而得到，得到，，得到证明．本题主要考查椭圆的性质及标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：当时，，得，令，则，，即，所以在R上单调递增，注意到，故有唯一的零点注意到，只要即可，，，令，则，当时，，有，即，符合题意；当时，，若，即时，，此时，即，符合题意；若，即时，在上单调递减，在上单调递增知，，不合题意，综上，即实数a的取值范围为【解析】的正负不明显时，对其再次求导判断值域，即可得出的正负，从而得出的单调性，再结合函数值即可判断零点个数．注意到，可考虑让在单调递增求出a的范围即可符合题意，然后再检验不单调递增时a的范围即可，此法为端点效应．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的零点以及不等式的恒成立问题，本题第二问的关键在于分类讨论，首先讨论时的情况，然后讨论时，利用端点效应代入求出a的范围，并检验是否符合题意，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：由曲线为参数，消去t得，曲线C的普通方程为，由直线l：，，，可得其直角坐标方程为直线l：化为参数式为为参数，将直线l的参数方程代入，可得，即由根与系数的关系可得，，，【解析】消去参数t，可得曲线C的普通方程，由极坐标和直角坐标间的转化关系可得直线l 的直角坐标方程；写出直线l的参数方程，与曲线C的方程联立，利用参数的几何意义即可得解．本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，参数方程的几何意义及其应用等知识，属于中等题．23.【答案】解：当时，，所以当时，，即，解得，当时，，即，解得，当时，，即，解得，综上，或，所以不等式的解集为，如图所示，图像与两坐标轴交于点，，则，依题意，即，所以实数m的取值范围为【解析】将代入函数，并将函数化为分段函数的形式，再分类讨论解不等式即可；作出函数图象，结合图象得到点A，B的坐标，进而表示出的面积，由此可得解．本题考查分段函数及其运用，考查分类讨论思想，数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．。
2023年陕西省西安市周至县高考数学二模试卷(理科)+答案解析(附后)
2023年陕西省西安市周至县高考数学二模试卷（理科）1. 已知全集，，，则集合( )A. B. C. D.2. 设复数z满足，则复数z的虚部是( )A. B. 5 C. D.3.若非零向量满足，则必有( )A. B.C. D.4. 已知数据，，…，是某市个普通职工的年收入，如果再加上世界首富的年收入，组成个数据，则下列说法正确的是( )A. 年收入的平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B. 年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差变大C. 年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差变小D. 年收入的平均数大大增加，中位数一定变大，方差可能不变5. “双碳”战略倡导绿色、环保、低碳的生活方式年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”，为了实现这一目标，中国持续推进产业结构和能源结构调整，大力发展可再生能源，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展机遇于1898年提出蓄电池的容量单位：，放电时间单位：与放电电流单位：之间关系的经验公式，其中为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为( ) A. 14h B. C. 29h D. 56h6. 是的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数的部分图象如图所示，其中，，则( )A. 1B.C.D.8. 折扇是我国传统文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征如图，图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为l，AB间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为为弧度角，则l、d和所满足的恒等关系为( )A. B. C. D.9. 如图，在正方体中，F为线段的中点，E为线段上的动点，下列四个结论中，正确的是( )A. 平面B. 存在点E，使平面C. 存在点E，使D.10. 某学生在“捡起树叶树枝，净化校园环境”的志愿活动中拾到了三支小树枝视为三条线段，想要用它们作为三角形的三条高线制作一个三角形，经测量，其长度分别为3cm，4cm，6cm，则( )A. 能作出一个锐角三角形B. 能作出一个直角三角形C. 能作出一个钝角三角形D. 不能作出这样的三角形11. 已知是抛物线C：上一点，点M到抛物线C的焦点F的距离为若过点向抛物线C作两条切线，切点分别为A，B，则( )A. 18B. 17C. 16D. 1512. 已知，，，则( )A. B. C. D.13. 双曲线的实轴长为4，则其渐近线方程为______ .14. 若满足约束条件，则的最小值为______ .15. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“现在有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为______平方尺．16. 函数是计算机程序中一个重要函数，它表示不超过x的最大整数，例如，已知函数且，若的图象上恰有3对点关于原点对称，则实数a的最小值为______ .17. 在①；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.已知为等差数列的前n项和，若_____.求数列的通项公式；设，求数列的前n项和注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18. 某学校在假期安排了“垃圾分类知识普及实践活动”，为了解学生的学习成果，该校对全校学生进行了测试，并随机抽取50名学生的成绩进行统计，将其分成以下6组：整理得到如图所示的频率分布直方图.求图中a的值；若将频率视为概率，从全校成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用X表示这3人中成绩在中的人数，求随机变量X的分布列及数学期望.19. 在如图所示的多面体中，，，平面ABCD，四边形ACFE为矩形.求证：平面平面CDF；若，，求直线AD与平面BEF所成角的正弦值.20. 如图，已知椭圆E：的一个焦点为，离心率为求椭圆E的方程；过点作斜率为k的直线交椭圆E于A，B两点，AB的中点为设O为原点，射线OM 交椭圆E于点当四边形OACB为平行四边形时，求k的值.21. 已知函数讨论的零点个数；若有两个零点，，求证：22. 已知圆C的极坐标方程为，直线l的方程为以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系求圆C的圆心坐标及半径；直线l与圆C的交点为A，B，求三角形ABC的面积.23. 已知函数求不等式的解集；若的最小值为k，且实数a，b，c满足，求证：答案和解析1.【答案】C【解析】解：全集，，，，则集合故选：利用补集定义先求出，再由交集定义能求出集合本题考查集合的运算，考查交集、补集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：，则，故复数z的虚部是故选：根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的运算，求出z，再结合虚部的定义，即可求解．本题主要考查复数的运算，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：若非零向量满足，则，即，，故选：把已知向量等式变形，可得，由此得到本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查向量垂直与数量积的关系，是基础题．4.【答案】B【解析】解：数据，，…，是某市个普通职工的年收入，而为世界首富的年收入，则会远远大于，，…，，故这个数据中，年收入平均数大大增大，中位数可能不变，也可能变大，又数据的集中程度也更加离散，则方差变大．故选：根据平均数，中位数及方差的意义判断即可．本题主要考查了数据的平均数及中位数，方差的特征，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：，因为电池容量不变，则有，即有，所以当放电电流时，放电时间为故选：根据给定的条件，列出方程，结合指数、对数运算计算作答．本题考查函数模型的选择及其应用，考查对数的运算，属基础题．6.【答案】C【解析】解：由，可得或，由，一定可以推出，所以是的必要不充分条件，故选：根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查由部分图像求三角函数解析式，考查计算能力，是基础题．利用函数的图象求解，结合五点法作图求解即可．【解答】解：由题意可知：，解得，则，解得，由五点法作图可得，，且，解得，所以，可得故选：8.【答案】A【解析】解：由题意，如图，可得，，设，则在中，，①又，②所以由①②可得：，即故选：由题意，设，在中，解三角形可得，又，联立方程即可求解．本题考查了扇形的弧长公式的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：如图，当E为线段的中点时，，则平面，当E不为线段的中点时，EF 与平面相交，故A错误；若存在点E，使平面，而平面，则平面平面，而平面与平面所成角的正切值为，矛盾，故B错误；当E与重合时，EF与相交，当E不与重合时，又异面直线所成角的定义可知，EF与异面，故C错误；由正方体的结构特征可知，平面，而平面，则，故D正确．故选：由空间中直线与平面的位置关系判定A；利用反证法思想判断B；由异面直线的定义判断C；直接证明D正确．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．10.【答案】C【解析】解：设高分别为3cm、4cm、6cm对应的底边长分别为a、b、单位：，则，设，则，，由三角形三边关系可知，这样的三角形存在，设该三角形的最大内角为，则，则为钝角，故能作出一个钝角三角形．故选：计算出三角形三边的比值，并计算出三角形中最大角的余弦值，可得出结论．本题考查余弦定理的应用，是中档题．11.【答案】B【解析】解：抛物线C：，则抛物线的焦点，准线方程为，是抛物线C：上一点，点M到抛物线C的焦点F的距离为6，，解得，抛物线的方程为，显然不在抛物线C上，，则，设切点，，抛物线在切点A处的切线方程为，将代入得，又，则，同理可得抛物线C在点B处的切线方程为，直线AB的方程为，联立，整理得，，，故选：由题意得抛物线的焦点，准线方程为，求出p，求出在切点A、B的切线方程，可得直线AB的方程为，联立，利用韦达定理，即可得出答案．本题考查抛物线的性质，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：设，则恒成立，所以在R上单调递增，所以，所以，即，所以，设，则，当时，，所以在上单调递增，所以，所以，即，所以，综上，故选：设，，利用导数可证在R上单调递增，在上单调递增，再代入运算，得解．本题考查利用导数研究函数的单调性，构造新函数是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：双曲线的实轴长为4，，解得，即双曲线的渐近线为，即故答案为：由题意得，可得，即可得出答案．本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：因为变量x，y满足约束条件，目标函数，画出图形：点，平移直线可得：z在点A处有最小值：故答案为：线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最小值．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.【答案】【解析】解：将该四棱锥补全成以底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺的长方体，则此四棱锥的外接球为该长方体的外接球，长方体的体对角线即为外接球的直径2R，由长方体的体对角线公式得，，所求球的表面积为，故答案为：先将该四棱锥补全成长方体，则长方体的为接球即为该四棱锥的外接球，长方体的体对角线即为外接球的直径，再利用长方体的体对角线公式求出外接球半径，最后代入球的表面积公式即可求解．本题考查四棱锥的外接球问题，分割补形法，长方体的体对角线公式，球的表面积公式，属基础题．16.【答案】【解析】解：根据新定义，作出的图象如下：要使的图象上恰有3对点关于原点对称，则与的图象恰有3个交点，由图象可得，解得，即实数a的取值范围是故答案为：根据新定义，作出的图象，结合图象即可求解．本题主要考查分段函数及其应用，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：方案一：选择条件①由题意，当时，，当时，，当时，也满足上式，，方案二：选择条件②由题意，设等差数列的公差为d，则，解得，，方案三：选择条件③由题意，设等差数列的公差为d，则，解得，，由可得，，故【解析】在选择条件①的情况下根据题干已知条件并结合公式即可计算出数列的通项公式；在选择条件②的情况下先设等差数列的公差为d，再结合等差数列的通项公式列出关于公差d的方程，解出d的值，即可计算出数列的通项公式；在选择条件③的情况下先设等差数列的公差为d，再结合等差数列的前n项和公式列出关于公差d的方程，解出d的值，即可计算出数列的通项公式．先根据第题的结果计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前n项和本题主要考查数列求通项公式，以及运用裂项相消法求前n项和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，分类讨论，等差数列通项公式与求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．18.【答案】解：由频率分布直方图可得，，解得由图可知，成绩在与的学生比例为2：1，所以从全校成绩在80分及以上的学生中抽取1人，成绩在的概率为，抽取3人，成绩在中的人数为X，，则，的分布列如下：X0123P【解析】根据频率分布直方图中各矩形面积之和等于1，即可求得a的值；确定随机变量X服从于二项分布，根据二项分布的概率计算以及期望公式，即可求得答案．本题主要考查离散型随机变量的分布列及期望，是中档题．19.【答案】解：证明：，平面CDF，平面CDF，平面CDF，四边形ACFE为矩形，，平面CDF，平面CDF，平面CDF，，平面ABE，平面ABE，平面平面易知AB，AD，AE两两相互垂直，以点A为原点，AB，AD，AE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面BEF的法向量为，，且，，取，可得，直线AD与平面BEF所成角的正弦值为【解析】可知，，从而得出平面CDF，平面CDF，从而根据面面平行的判定定理即可得出平面平面CDF；可以A为原点，AB，AD，AE所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后可得出，，的坐标，然后设平面BEF的法向量，根据即可求出的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式可求出，然后即可得出直线AD 与平面BEF所成角的正弦值．本题考查了线面平行和面面平行的判定定理，通过建立坐标系，利用向量求线面角的正弦值的方法，向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，考查了计算能力，属于基础题．20.【答案】解：由椭圆E：的一个焦点为，可得半焦距，又椭圆的离心率为，，则，，椭圆E的方程为由得椭圆E的方程为，由题意得直线AB的方程为，即，联立消去y得，设，，则四边形OACB是平行四边形，设，则，即，，又，即，解得【解析】由题意易求c，a，从而可求椭圆E的方程；联立直线与椭圆方程可得进而可得，求解即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属中档题．21.【答案】解：，因为，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，当，即时，的零点个数为0，当，即时，的零点个数为1，当，即时，注意到，因为，所以，因此，，使得，所以此时的零点个数为2，综上，当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2；证明：由可知，当时，函数有两个零点，且，令，则，当时，，所以在区间上单调递增，所以，所以，因为，所以，又由可知，在区间上单调递增，所以，故【解析】由题意当时，单调递减；当时，单调递增，得，分，，三种情况，讨论得到的零点个数；由可知，当时，函数有两个零点，且，令，求导后利用单调性即可得证．本题考查了导数的综合应用，属于中档题．22.【答案】解：圆C的极坐标方程为，所以，根据得直角坐标方程为所以圆的半径为直线l的极坐标方程为所以，整理得，所以，所以由于为等腰三角形．所以弦AB上的高，所以【解析】利用极坐标与直角坐标的互化，转化求解即可．利用弦长公式求解，然后求解圆的圆心到直线的距离，即可求解三角形的面积．本题考查极坐标与坐标坐标的互化，直线与圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．23.【答案】解：因为函数，所以不等式可化为或或，解得或或，即或，所以不等式的解集为证明：由知时，，时，，时，，所以，所以所以，所以，所以，当且仅当时取等号，所以【解析】利用分段讨论法去掉绝对值，再求不等式的解集．求出，化简，利用基本不等式求出的最小值即可．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是中档题．。
咸阳市2020年高考模拟检测(二)理科数学答案
2020年咸阳市高考模拟考试试题（二）理科数学参考答案CABDC BA一、选择题：BCDAD二、填空题： 13. 014. 2 15. 2 ， 40 16. 3 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）解: (I) 等差数列{a }的公差为d ,由a + a =18,S = 36得n 3 7 6 a = 9,a + a =12 ,即a + 4d = 9, 2a +5d =12,解得a =1,d = 25 16 1 1 1 ∴a = 2n -1, S =1+3+5+⋅⋅⋅+(2n -1) = nn2……………………6分n 1 + 1 + 1 1 1+ (Ⅱ)证明:由(I)得 S = n 2 ,∴n= = = -S n n n 2 n n (n 1) n n 1 + 1 1 11 1 + 1n +1 ∴T =1- + - +⋅⋅⋅+ -=1- <1n 2 2 3n n 1即 T <1……………………12分n 18.（本小题满分12分） 解：(I)根据茎叶图可得40(10⨯4 -10⨯16) 26⨯14⨯20⨯20 2 36091K 2== ≈ 3.956 > 3.841 知有950 以上的把握认为“性别” 与“问卷结果”有关.0 ……………………6分(Ⅱ)从茎叶图可知, 成绩在60 分以下(不含60 分)的男女学生人数分别是4 人和2 人,从中任意选2人,基本事件总数为C 6=15 ,X = 0,1, 2 2C 2 2 1 C 1 4 15 C 1 2 8 C 4 2 6 2P (X = 0) == , P (X =1) = = , P (X = 2) = = = ,15 15 15 15 15 50⨯1+1⨯8+ 2⨯6 43 E (X ) == 15……………………12分19．（本小题满分12分）解:(I)证明: ∵PE ⊥ EB ,PE ⊥ ED ,EB ED = E∴PE ⊥平面EBCD又PE 平面PEB , ∴平面PEB ⊥平面EBCD而BC 平面EBCD , BC ⊥ EB , ∴平面PBC ⊥平面PEB 由PE = EB ,PM = MB 知EM ⊥ PB ,可知EM ⊥平面PBC又EM 平面EMN , ∴平面EMN ⊥平面PBC……………………6分(Ⅱ)法1：假设存在点N 满足题意，过M 作MQ ⊥ EB 于Q ，由PE ⊥ EB 知PE // MQ 易证PE ⊥平面EBCD ，所以MQ ⊥ 平面EBCD过Q 作QR ⊥ EN 于R ，连接MR ，则EN ⊥ MR （三垂线定理）PMDCRN EQB即∠MRQ 是二面角B - EN - M 的平面角不妨设PE = EB = BC = 2，则MQ =1， BN EN= 在Rt ∆EBN 中，设BN = x (0 < x < 2)，由Rt ∆EBNRt ∆ERQ 得，RQ EQx 2 2 + x 2 x即 =，得RQ = RQ 1 2 + x 2 2MQRQ x + 4 2 ∴tan ∠MRQ = =， x6x + 4 2 依题意知cos ∠MRQ = BC 的中点，即tan ∠MRQ = = 5 ，解得x =1∈(0, 2)，此时N 为6 x6综上知，存在点N ，使得二面角B - EN - M 的余弦值 ，此时N 为BC 的中点.6……………………12分法2：假设存在点N 满足题意，取E 为原点，直线EB ,ED ,EP 分别为x , y , z 轴，建立空间直角坐标 系E - xyz ，不妨设PE = EB = 2，显然zPy MD CN xEB平面BEN 的一个法向量为n = (0, 0,1)，设BN = m (0 < m < 2)，则EM = (1, 0,1),EN = (2,m ,0) 1 设平面EMN 的法向量为n = (x , y , z ) ，则由EM ⋅n = EN ⋅n = 02 2 2 ⎧(1, 0,1)⋅(x , y , z ) = 0 ⎧ x + z = 0⎩(2,m , 0)(x , y , z ) = 0 ⎩2x + my = 0得⎨⇒ ⎨ ，取n = (m ,-2,m ) 2 n ⋅n (0, 0,1)⋅(m ,-2,-m )-m2m + 4cos < n ,n >=1 2 ==∴ 1 2 n ⋅ n 12+ 4 22m2-m6依题意,=,解得m =1∈(0,2),此时N 为BC 的中点 + 4 62m26综上知，存在点N ，使得二面角B - EN - M 的余弦值，此时N 为BC 的中点. 6……………………12分20.（本小题满分12分）⎧⎪ a 2 = b 2 + c 2⎪ ⎧ 22= ⎪1a 2 解: （I ）依题意得⎨ ⋅2a ⋅2b = 2 2 ,解得⎨ 2⎩ b 2 = c =1 ⎪ ⎪ c 2= ⎪⎩ a 2 x 2 ∴椭圆C : + y 2=1……………………5分 2（Ⅱ）法1：设点P (2, y ) ，M (x , y ), N (x , y ),0 1 1 2 2 其中x 21+ y 1 2 = 2, x 2 2 + y 2 2= 2 ，由PM ⊥ OM ，y - y y 21 y - y 0 y 1 x -2 x 2 0 PN ⊥ ON 得 ⋅ = -1, ⋅ = -1x - 2 x 2 21 1即 x 21+ y 1 2 -2x - y y = 0, x 2 2 + y 2 2-2x - y y = 0 1 1 0 2 2 0 注意到x 21+ y 1 2 = 2, x 2 2 + y 2 2= 2 ，于是2-2x - y y = 0,2-2x - y y = 0 1 1 0 2 2 0 因此M (x , y ), N (x , y )满足2 - 2x - yy = 0 11 2 2 0 由y 的任意性知,x =1, y = 0 ,即直线MN 恒过一个定点(1,0) .……………………12分 0 法 2：设点P (2, y ) ,过点P 且与圆x2+ y = 2 相切的直线为PM , PN ,切点分别为M , N , 由圆2 0y 0 2 y2的知识知, M , N 是圆以OP 为直径的圆(x -1)2+ (y -) 2=12 + ( )2 和圆x 2+ y = 2 的两个交 2 点,⎧ 2 + y = 22 x ⎪ 由⎨ y 消去二次项得直线MN 方程为 0 2 y 0 2 (x -1) 2+ (y - ) 2 =1 2 + ( ) ⎪ ⎩ 2 2 - 2x - y y = 0,由y 的任意性知,x =1, y = 0 ,即直线MN 恒过一个定点(1, 0) . 0 0……………………12分21．（本小题满分12分）' = + xa ≠ 解: （I ） ( ) 当a > 0 时, f (x ) 在(-∞,-1) (-1,+∞)f (x )在(-∞,-1) (-1,+∞) f x a x ( 1)e (0) ;当a 0 时,< .……………………5分x + ln x +1(Ⅱ)法1： f (x ) g (x )(x 0)，即 ≥ > axe x ≥ x + ln x +1(x > 0) ⇔ a ≥ (x > 0) xexx + ln x +1令F (x ) =(x > 0) ， xe x1(x + )xe x - (x +1)e (xe x (x + ln x +1)-(x +1)(x + ln x ) x ' = = 则F (x ) x ) 2x 2 xe 11 令ϕ(x ) = x +ln x ，显然ϕ(x ) 在(0,+∞)，注意到ϕ( ) = -1< 0,ϕ(1) =1> 0 ，于是存在e e1 x ∈( ,1)使得ϕ(x ) = x +ln x = 0 ，可知F (x )在(0, x ) (x ,+∞)0 0 0 0 0 ex + ln x +1 ∴F (x )max = F (x ) = 0 0 =1 0 x x e 0综上知, a ≥1……………………12分x≥ x + ,令h (x ) = e 1 x - x -1,则h (x ) = e - = - ' x 1 e(0,+∞) ,于是h (x ) ≥ h (0) = 0 ,即e ≥ x +1e x +ln x x ln x 1 x e 0 ,知h (x ) 在(-∞,0) ,法2:先证ex ∴xe x =≥ + + ,当且仅当x +ln x = 0 时取等号 ∴当a ≥1时, 对任意的x > 0 , f (x ) g (x ) 恒成立≥ 综上知, a ≥1 ……………………12分请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程解：（I ）曲线C ：ρ cos2θ -4sin θ = 0 ，即ρ 2 cos 2θ -4ρ sin θ = 0 化为直角坐标方程为：x 2= 4y⎧ρ cos 2 θ - 4 s in θ = 0 4 s in α 4 s in α （Ⅱ）法1：⎨ ⇒ ρ = ，即 OA = ρ = θ = α π1 cos2 α 1 cos α 2⎩4sin(α + )4 c os α sin 2 α 2 同理 OB = ρ == 2 π cos2(α + ) 21 1 4sin α 4 cos α 8 16sin 2α ∴S ∆OAB = OA OB = ⋅ = = ≥16 2 2 cos 2α sin 2 α sin α cos α 当且仅当sin 2α =1，即α = k π + π(k ∈ z )时取等号4即∆OAB 的面积最小值为16……………………5分 1法2：显然l ⊥ l ，设直线l : y = kx ，直线l : y = - x (k ≠ 0) 1 2 1 2k⎧ = 4y2 x ⇒ x 2 - 4kx = 0, x = 0, x = 4k ，得 OA = 1+ k 2 x - x = 4 k 1+ k 2⎨ = 1 2 1 2 ⎩ y kx1 1 4 1+ k 2OB == 4 - 1+ (- ) 2 =同理 k k k 21 2 1 4 1+ k 2k 2 +1 1 ∴S ∆OAB = OA OB = ⋅4 k 1+ k 2 ⋅ = 8 = 8( k + ) ≥16 2 k 2 k k1当且仅当 k = ，即k = ±1时取等号k即∆OAB 的面积最小值为16……………………10分23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（Ⅰ）解：不等式 x + m - 2x ≤ 0 ，即不等式 x + m ≤ 2x ⇔ -2x ≤ x + m ≤ 2x⎧ x ≥ m ⎪m ，而m > 0，于是x ≥ m ∴⎨ x ≥ - ⎪ ⎩ 3依题意得m =1……………………5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知a +b +c =1，原不等式可化为a 2b 2c 2+ + ≥ a + b + c b c a法1：∵a ,b ,c∈R + ，a 2 +b ≥ 2ab 2 ∴ a 2 ≥ 2a -b ，同理 ≥ 2b -c ， ≥ 2c - a b 2 c 2b c a 三式相加得a 2 + b 2 + c 2≥ a + b + c ，当且仅当a = b = c 时取等号b c a a 2 b 2c 2综上 + + ≥1……………………10分 b c aa b c法2：由柯西不等式得1= a + b + c = ⋅ b + ⋅ c + ⋅ ab c aa 2b 2c 2≤ + + ⋅ a + b + cb c a（a ,b ,c ∈R + ，且a +b +c =1）整理得a2+ b 2+ c 2≥1（当且仅当a = b = c = 时取等号）……………………10分1 bc a 31 1 1 法3:不妨设a ≥ b ≥ c> 0,则a 2 ≥b 2 ≥c 2> 0, ≥ ≥ > 0 ,由排序不等式知反序和最小,所以 c b a1 1 1 1 1 1 a2 b 2 c 2a 2 ⋅ +b b 2 ⋅ +c c 2 ⋅ ≥ a 2 ⋅ + b 2 ⋅ + c 2 ⋅ ,即 + + ≥ a + b + ca b b c b c a a 2 b 2c 2综上 + + ≥1……………………10分 b c a。