九年级数学上册第21章一元二次方程21.1一元二次方程课件新版新人教版
二、创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 问题2．有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它 的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分 折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒 的底面积为 3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方 形？
二、创设情境，导入新知
（1）本节课学了哪些主要内容？ （2）一元二次方程、一元二次方程的根的概 念是什么？ （3）如何将一元二次方程转化为一般形式， 一般形式包括哪些项？
九年级
上册
21.1
一元二次方程
• 学习目标： 1．理解一元二次方程及一元二次方程的解的概念； 2．掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项 系数、一次项系数及常数项． • 学习重点： 一元二次方程的概念． • 学习难点： 熟练地把一元二次方程化成一般形式，确定二次项、 一次项系数和常数项。
一、复习准备
思考以下问题如何解决： 问题3．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都 要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参 加比赛？
三、细心观察，归纳定义
思考：观察上述三个方程，它们之间有什么共同点？ x 2 +2x - 4=0 x 2 - 75x +350=0 x 2 - x - 56=0
回顾有关知识，同桌互说： 1. 什么叫做方程? 以前学过哪些方程? 2. 什么叫做一元一次方程? “元”和 “次”的含义是 什么? 举一个一元一次方程的例子。 3. 什么叫做方程的解？解出你所举例的一元一次方程。
二、创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 问题1．要设计一座高 2 m 的人体雕像，使它的上部 （腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全 部（全身）的高度比，求雕像的下部应设计为高多少米？
√
×
√
×
2x 2 + 3 x - 1
关于 ห้องสมุดไป่ตู้ 的方程 mx 2 - 3x + 2 = 0 （m≠0） √
四、变式训练，概念强化
Ｂ
五．动脑思考，巩固训练
3
2
-1
六、类比学习，概念理解
使方程左右两边相等的未知数的值就是这 个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫 做一元二次方程的根。
√
√
七．归纳小结
你能类比一元一次方程给上面三个方程命名吗？
根据以上讨论的结果，你能给一元二次方程下个定 义吗？ 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知 数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程．
四、细心观察，概念辨析
辨别下列各式是否为一元二次方程？ 4x 2 = 81 （x 2 - 1）= 3y 2 3x =5 （ x - 1） （ x +2）
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人教版九年级上册数学 第二十一章 一元二次方程 一元二次方程
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
不同 点
探究新知
素养考点 一元二次方程一般形式的有关概念
例 将方程 3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一 般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常 数项.
二次项、二
解： 去括号，得
次项系数、一次
3x2-3x=5x+10
解：a+b+c=0可转化为 a×12+b×1+c=0
因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1.
课堂检测
(3)若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
解：a-b+c=0可转化为 a×（-1）2+b×（-1）+c=0
因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是-1. 4a+2b +c=0可转化为
a×22+b×2+c=0 因此，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是2.
课堂小结
一元二次 方程
定义 等号两边都是整式，只含一个未知 数且未知数的最高次数是2的方程
概念
判断 ① 是整式方程； ② 含一个未知数；（一元） ③ 最高次数是2.（二次）
巩固练习
（3）4x(x+2)=25
(4)(3x-2)(x+1)=8x-3
解：(3)把4x(x+2)=25 化为一般形式4x2+8x-25=0 ，二 次项系数为4，一次项系数为8，常数项为-25．
九年级数学人教版(上册)21.1一元二次方程课件
练习
7.关于的方程 2m2 m可x能m1是 一3x元 6二次方程吗？
8.若关于x的一元二次方程 (m 1)x2 的2常x 数m项2 为1 0，0 求m的值是多少？
练习
9.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一般形式 ①一个长方形的宽比长少3，面积是75，求长方形的长x
②两个连续偶数的积为168，求较小的偶数x
作业布置
7.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x. （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x. （3）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x.
作业布置
8.已知关于x的方程(m²-1)x²-(m+1)x+m=0． （1）m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系 数、一次项系数及常数项。
例8.若x=3是方程x2+kx=0的一个根，试求常数k的值？
练习
1. 在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．
①3x2 ② 7 0 ax③2 bx c 0④ x 2x 5 x2 1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 2 x2m1 是10关x 于m的一0 元二次方程，则m的值应为（ ）
3.下列各数是方程 1 (x2 解 2的) 是 2（ ） 3
A、6 B、2 C、4 D、0
作业布置
4.如果关于x的方程 m 3xm是27关 x于x3的一0 元二次方程，那么m的值为（ ）
A．±3 B．3 C．-3 D．都不对 5.以-2为根的一元二次方程是（ ） A．x²+2x-x=0 B．x²-x-2=0 C．x²+x+2=0 D．x²+x-2=0 6.方程3(x-1)²=5(x+2)的二次项系数________；一次项系数_________；常数项 _________.
人教版九年级数学上册课件：21.1一元二次方程(3)
活动1 一元二次方程的概念和一元二次方程的根的概念的应用
例1 判断下列方程是否为一元二次方程？
(1)2x2 7x 1
否
(2)(x 1)(x 3) 0
是
(3)(x 1)(x 3) x2
否
(4) x2 4 4
否
(5)
1 x2 1
1 5
否
(6)ax2 bx c 0(a, b, c为常数)
探究二：利用一元二次方程的概念解决简单的问题
将x=-3代入原【方程解， 题过程】
解：（2） 为一元一次方程, 探注究意二 有：些利方用程一化元简二前次含方有程二的次概项念，解但决是简化单简的后k问二2题次项1系数2 为x02，这样k的方1程不x是一2元二次0方程．
(2)按照整式中的多项式的规定，它们的最高次数是几次？
③（x-2）（x+5）=x2-1 ④
一元二次方程特殊形式有： (2)按照整式中的多项式的规定，它们的最高次数是几次？
重点、难点知识★▲
活动3 综合应用 探究二：利用一元二次方程的概念解决简单的问题
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）， （2）k为何值时，此方程为一元一次方程?
（1）一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程.
（2）原方程整理得：9x+10=0，因此它不是一元二次方程.
k 2 1 2 x2 k 1 x 2 0
探究二：利用一元二次方程的概念解决简单的问题
（2）k为何值时，此方程为一元一次方程? 【思路点拨】判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等．
③（x-2）（x+5）=x2-1 ④
人教版初中数学九年级上册精品教学课件 第21章 一元二次方程 21.1 一元二次方程
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
8
2.某公园里有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域
栽种鲜花(如图).原空地一边减少了1 m,另一边减少了2 m,剩余空
地的面积为18 m2,求原正方形空地的边长.设原正方形空地的边长
为x m,则可列方程为(
)
A.(x+1)(x+2)=18
B.x2-3x+16=0
m2+m的值等于
.
关闭
6
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
8
7.把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并分别写出它们的二
次项系数、一次项系数和常数项.
(1)8x2-2x=1+2x;
(2)(y-1)(y-2)=1.
关闭
解 (1)一般形式:8x2-4x-1=0,二次项系数、一次项系数和常数项分别为
8,-4,-1.
6.在-4,-3,-2,-1,2,3中,属于方程x2+x-6=0的根的是 -3,2
.
互动课堂理解
1.一元二次方程的识别
【例1】 下列方程中,是关于x的一元二次方程的是(
2
A.3(x+1) =2(x+1)
B.
1 2
)
1
+ -2=0
C.ax2+bx+c=0
D.x2+2x=x2-1
解析:选项A中的方程,整理后符合一元二次方程的概念;选项B中
21.1 一元二次方程
快乐预习感知
1.等号两边都是整式,只含有 一个 未知数(一元),并且未知数的
21.1一元二次方程(教学课件)-2024-2025学年九年级数学上册同步备课系列(人教版)
A．a+b+c＝1
B．a﹣b+c＝0
C．a+b+c＝0
D．a﹣b﹣c＝0
）
已知一元二次方程的解，求未知数的值（易错）
变式4-1 关于x的一元二次方程（a−1）x2＋x＋a2−1＝0的一个根是0，则
a的值为（
）
A．1或-1
B．1
C．-1
D．0
【详解】
把x＝0代入方程得：a2−1＝0，解得：a＝±1，
5
x
m
2m 0 的常数项为0
【解析】∵关于x的一元二次方程
m2 0
∴ 2
，解得：m=0
m
2
m
0
一元二次方程组解的概念
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一
元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
已知一元二次方程的解，求未知数的值
例4 若x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，则（
程可能是（
A．3x+1=0
）
B．x2+3=0
C．3x2﹣1=0 D．3x2+6x+1=0
已知二次项系数、一次项系数、常数项，求一元二次方程
变式3-1 关于x的一元二次方程
则m的值为（
A．1
m 2 x
2
5x m 2m 0 的常数项为0，
2
）
B．2
C．0，2
D．0
2
2
m
2
x
情景导入
正方形桌面的面积是 9 m2，求它的边长？
解：设正方形桌面的边长是
2 = 9
B．a﹣b+c＝0
C．a+b+c＝0
D．a﹣b﹣c＝0
）
已知一元二次方程的解，求未知数的值（易错）
变式4-1 关于x的一元二次方程（a−1）x2＋x＋a2−1＝0的一个根是0，则
a的值为（
）
A．1或-1
B．1
C．-1
D．0
【详解】
把x＝0代入方程得：a2−1＝0，解得：a＝±1，
5
x
m
2m 0 的常数项为0
【解析】∵关于x的一元二次方程
m2 0
∴ 2
，解得：m=0
m
2
m
0
一元二次方程组解的概念
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一
元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
已知一元二次方程的解，求未知数的值
例4 若x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，则（
程可能是（
A．3x+1=0
）
B．x2+3=0
C．3x2﹣1=0 D．3x2+6x+1=0
已知二次项系数、一次项系数、常数项，求一元二次方程
变式3-1 关于x的一元二次方程
则m的值为（
A．1
m 2 x
2
5x m 2m 0 的常数项为0，
2
）
B．2
C．0，2
D．0
2
2
m
2
x
情景导入
正方形桌面的面积是 9 m2，求它的边长？
解：设正方形桌面的边长是
2 = 9
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
人教版九年级上册21.1一元二次方程课件
程，则符合条件的所有整数m之和为______．
6．根据题意，列出方程：
有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另
一边剪短2m，恰好变成一个正方形，设这个正方形
的边长是xm，所列方程为
.化为一般情势
是
.
阅读理解：定义：如果关于x的方程
（a1≠0，a1、b1、c1是
常数）与
a1x2 b1x c1 0
取值范围为 k≠-3 . (2)若关于x的方程xm-3-2x=0是一元二次方程,则m= 5 .
(3)若关于x的方程(m-3)x|m-1|-2x-4=0是一元二次方程，
则m= -1 .
1.一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的
整式方程叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般式： ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)
则m=
.
4.将下列方程化为一元二次方程的一般情势， 并写出a、b、c的值
(1) 2x 2 -3x= 2； (2) 4x 2 = 81-2x； (3) 5x(x-2)=-(x-1)(x+1)
5.如果关于x的不等式组
m
x
4x 3x
4 7
有且仅有三个整数
解，且关于y的方程 m 2 y2 my 1 0是一元二次方
再视察方程： 2x2-13x=0，y2-8y-20=0
它们共同特点： 1.都是整式方程； 2.只含有一个未知数； 3.未知数的最高次数为2；
一元二次方程的定义： 只含有一个未知数的整式方程，未知数的最高次
数是2，并且都可以化成ax2+bx+c=0(a，b，c为常数， a≠0)的情势，这样的方程叫做一元二次方程.
【初+中数学】一元二次方程课件+人教版九年级数学上册+
15下列哪些数是一元二次方程x2＋x－12＝0的根?为什么? －4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4
解：当x＝－4时，有x2＋x－12＝(－4)2＋(－4)－12＝0； 当x＝3时，有x2＋x－12＝32＋3－12＝0. 故方程x2＋x－12＝0的根为－4或3.
(人教9上P4改编)已知关于x的方程x2－6x＋3m－4＝0的一 个根是－1，则m的值为 －1 .
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
学习目标
1.理解一元二次方程的概念.（难点） 2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(重点）
自主学习
自主导学
1.定义：等号两边都是整式，只含有_一___个未知数（一元），并且未知 数的最高次数是_2_（__二__次__）___的方程，叫做一元二次方程. 2.一般形式：关于x的一元二次方程的一般形式为__a_x_2_+__b_x_+__c__=__0_ (a,b,c是常数，且a ≠ 0).其中__a_x_2_是二次项，__a_是二次项系数；__b_x_ 是一次项，__b_是一次项系数；_c_是常数项. 3.一元二次方程的解：使方程_左__右__两__边__相__等___的未知数的值就是这个一
元二次方程的解（根）.
知识要点
一元二次方程的概念 像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，
并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0 (a≠0)
二次项系数
一次项系数
常数项
ax2 + bx +c = 0强调：
➢“ = ”左边最多有三项，一次项、常数项可不出现，但 二次项必须有; ➢ “ = ”左边按未知数 x 的降幂排列; ➢ “ = ”右边必须整理为0.
九年级数学人教版上册课件：第21章 21.1 一元二次方程
14
16．根据下列条件列出一元二次方程，并化成一般形式． (1)三角形的底比这边上的高大2，且它的面积是12cm2，求三角形的这条 底． 解：设三角形的底为xcm，由题意， 得21x(x－2)＝12 即x2－2x－24＝0
15
(2)x支球队参加篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，一共进行了 30场比赛，求参赛的篮球队支数x. 解：由题意，得xx2－1＝30 即x2－x－60＝0
10
8．将方程x(x＋5)＝5x＋9化为一元二次方程的一般形式，下面正确的是
( D)
A．x(x＋5)－5x＝9
B．x2＋5x＝5x＋9
C．x2＋5x－9＝5x
D．x2－9＝0
9．若a(a≠0)是关于x的方程x2＋bx－2a＝0的根，则a＋b的值为( B )
A．1
B．2
C．－1
D．－2
11
10．根据下列表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a、b、c为常 数)一个解x的范围是( C )
13
15．下列方程是不是一元二次方程？是一元二次方程的，指出它的二次项 系数、一次项系数和常数项． (1)x2－3xy＋4y＝0; (2)4x－5x2＝－6； (3)y2＝4y＋1; (4)x12＋x＋4＝0. 解：(1)含有两个未知数，所以不是一元二次方程； (2)含有一个未知数，并且是最高次数为2的整式方程，所以是一元二次方 程．二次项系数为－5，一次项系数为4，常数项为6； (3)含有一个未知数，并且是最高次数为2的整式方程，所以是一元二次方 程．二次项系数为1，一次系数为－4，常数项为－1； (4)不是整式方程，所以不是一元二次方程．
16
17．已知关于x的方程(m－ 3)xm2－1＋(m－1)x＋1＝0，试问： (1)m为何值时，它是一元二次方程？ 解：(1)依题意，得mm－2－13＝≠20 解得m＝－ 3 ∴当m＝－ 3时，它是一元二次方程．
16．根据下列条件列出一元二次方程，并化成一般形式． (1)三角形的底比这边上的高大2，且它的面积是12cm2，求三角形的这条 底． 解：设三角形的底为xcm，由题意， 得21x(x－2)＝12 即x2－2x－24＝0
15
(2)x支球队参加篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，一共进行了 30场比赛，求参赛的篮球队支数x. 解：由题意，得xx2－1＝30 即x2－x－60＝0
10
8．将方程x(x＋5)＝5x＋9化为一元二次方程的一般形式，下面正确的是
( D)
A．x(x＋5)－5x＝9
B．x2＋5x＝5x＋9
C．x2＋5x－9＝5x
D．x2－9＝0
9．若a(a≠0)是关于x的方程x2＋bx－2a＝0的根，则a＋b的值为( B )
A．1
B．2
C．－1
D．－2
11
10．根据下列表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a、b、c为常 数)一个解x的范围是( C )
13
15．下列方程是不是一元二次方程？是一元二次方程的，指出它的二次项 系数、一次项系数和常数项． (1)x2－3xy＋4y＝0; (2)4x－5x2＝－6； (3)y2＝4y＋1; (4)x12＋x＋4＝0. 解：(1)含有两个未知数，所以不是一元二次方程； (2)含有一个未知数，并且是最高次数为2的整式方程，所以是一元二次方 程．二次项系数为－5，一次项系数为4，常数项为6； (3)含有一个未知数，并且是最高次数为2的整式方程，所以是一元二次方 程．二次项系数为1，一次系数为－4，常数项为－1； (4)不是整式方程，所以不是一元二次方程．
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17．已知关于x的方程(m－ 3)xm2－1＋(m－1)x＋1＝0，试问： (1)m为何值时，它是一元二次方程？ 解：(1)依题意，得mm－2－13＝≠20 解得m＝－ 3 ∴当m＝－ 3时，它是一元二次方程．
人教版九年级数学上册《21一元二次方程 公式法 课件
将a，b，c 代入式子
x b
b2 4ac .
2a
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公
式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式
可知，一元二次方程最多有两个实数根.
注意 用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0); 2.b2-4ac≥0.
探究新知
求根公式的推导
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式
ax2+bx+c=0
能否也用配方法得出它的解呢？
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0).
解: 移项，得 ax2 bx c，
方程两边都除以a x2 b x c ，
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
典例精析
例6:若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的
实数根，则k的取值范围是( B )
A.k>-1
B.k>-1且k≠0
C.k<1
D.k<1且k≠0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，
则b2-(4a2c)>20，4同k 时0要求二次项系数不为0，
即
，k≠0.解得k>-1且k≠0，故选B.
∴方程有两个相等的实数根．
例7:不解方程，判断下列方程的根的情况．
(3) 7y=5(y2+1).
解：（3）方程化为：5y2－7y+5=0, ∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0.
∴方程有两个相等的实数根．