数学归纳法及其应用举例
- 总结. 数学归纳法及其应用举例 目的要求： 1．了解数学推理的常用方法：演绎法与归纳法； 2．理解数学归纳原理的科学性； 3．初步掌握数学归纳法的适用场合及证明步骤．
内容分析： 1．本课是数学归纳法及其应用举例的第一课时．教师应从已学过的知识中，选择含有归纳思想方法的内容入手，引导学生体验知识形成、发现的过程．例如等差数列通项公式是通过前有限项归纳出一般结论的；凸n边形内角和公式是根据三角形、四边形、五边形、六边形内角和而发现的，……，由此提炼出不同于演绎法的数学推理方法：归纳法（由特殊到一般）． 2．通过学生易于理解的一些问题，说明归纳法的两难境地：完全归纳法结论可靠，但要“完全”归纳，要么不可能做到，要么很难做到；不完全归纳法虽然简单，但结论的可靠性无法保证．通过介绍近现代数学中有名的“哥德巴赫猜想”或“费尔马猜想”，激发学生的数学兴趣，让学生接触近代的数学，感受归纳法在数学发现中的重要应用． 3．通过对不完全归纳法的分析，引导学生寻求保证结论可靠的办法：关键是“传递性”是否具备，若“传递性”具备，正确的结论就会由一而二，由二而三，以至无穷．这方面例子很多，也很有趣，教师应据具体情况，借助“道具”或多媒体技术展现一、二例，详加分析；在分析过程中向“两个步骤，一个结论”靠拢，向数学归纳法原理靠拢． 以下例子，可供选用： ① 古代用烽火台传递军情．结合“烽火戏诸侯”故事，说明数学归纳法两个步骤缺一不可． ② 多米诺（Domino）骨牌游戏．学生大多有过体验，借助道具很好演示． ③ 小孩数数发展过程．引导学生回忆，生动有趣。 4．本节课重点在于讲清数学归纳法的原理、适用范围及证明步骤．指出它对某些与正整数n有关的数学命题往往有用．教师可抓住机会用通俗的例子讲清原理并完整地展示证明步骤。 ① 证明命题对第一个值n0成立（即n＝n0时命题成立）； ② 利用n=k（k≥n0）成立，推出n＝k＋1时命题成立； 根据①、②可知，命题对一切n∈N+，n≥n0均成立． 5．对于例1，教师应规范板书，供学生解题时模仿．严防出现“依此类推”式的不完全归纳法；强调n=k成立必须应用在证明n=k＋1成立的过程中，不可应用等差数列求和公式证明n＝k+1成立． 6．三个课堂练习最好让学生板演．通过板演，发现学生证明过程中的错误．教 - 总结. 师及时纠正、剖析，对书写规范要强调；对学生板演中好的方面予以鼓励．本课中由k到k＋1的推证，不要增加难度，注意它的可接受性．
教学过程 1．介绍归纳法，引出课题 ① 观察：6＝3＋3，8=5＋3，10=3＋7，12=5＋7，14=3＋11，16＝5＋11，…… 78=67＋11，……，我们能得出什么结论（教师启发、引导，注意捕捉学生的议论）？这就是由1742年德国数学家哥德巴赫提出的著明的“哥德巴赫猜想”． ② 教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及格”． 这两种下结论的方法都是由特殊到一般，这种推理方法叫归纳法．归纳法是否能保证结论正确？ ① 是不完全归纳法，有利于发现问题，形成猜想，但结论不一定正确． ② 是完全归纳法，结论可靠，但一一核对困难． 数学中有一种数学归纳法，它也是由特殊到一般，通过它的证明，一定能保证结论正确（出示课题）． 2．讲清原理，得出方法步骤 在等差数列{an}中，已知首项为a1，公差为d，那么a1＝a1＋0×d，a2＝a1＋1×d，a3=a1＋2×d，a4=a1＋3×d，……，an=？
由以上可知，an＝a1＋(n－1)d，结论的猜测运用的是归纳法，是完全归纳法还是不完全归纳法？结论正确吗？如何证明呢？ ① 先看an＝a1＋(n－1)d，对于n=1成立吗？（成立） ② 假设an＝a1＋(n－1)d，对于n=k成立，那么当n=k＋1时，成立吗？
即若ak＝a1＋(k－1)d成立，当 n＝k＋1时，ak+1＝ak＋[(k＋1)－1]d成立吗？（启发学生从等差数列定义入手，ak+1＝ak＋d，……·，进行推导证明） ③ 这就是数学归纳法．它一定能保证结论正确．’ 举多米诺骨牌的例子，形象地说明数学归纳法成立的道理． 让学生回忆自己小时候学数数的经历。 先会数1，2，3；再数到10；再数到20以内的数；再数到30以内的数，……，终于有一天我们可以骄傲地说：我什么数都会数了．为什么呢？（教师注意激活学生原有的学习体验） 因为会数1，2，3，……有了数数的基础，会在前一个数的基础上加1得到后一个数，进行传递，所以，可以说什么数都会数了． ④ 得到数学归纳法的两个步骤： （I）证明当 n＝n0（如 n＝1或2等）时，结论正确； （II）假设n＝k（k∈N+且 k≥n0）时结论正确，证明n＝k＋1时结论也正确． 3．初步应用，让学生形成新的知识体验 例1：用数学归纳法证明1＋3＋5+……＋(2n－1)＝n2. 分析：① 1＋3＋5+……＋(2n－1)=n2是由无数命题组成， 1号命题：1=12； - 总结. 2号命题：1＋3＝22； 3号命题：1＋3＋5＝32； …… k号命题：1＋3＋5＋……＋(2k－1)＝k2；
k＋1号命题：1＋3＋5＋……＋(2k－1)＋(2k＋1)=(k＋1)2；
…… ② 怎样验算n＝1时，等式成立？ ③ 如何实现n=k到n=k＋1的过渡？ ④ 得到什么式子才能称n＝k＋1时等式成立？ ⑤ 书写要体现“两个步骤，一个结论”的模式． 教师边讲边板书，为学生提供一个范例，供证明时模仿． 4．课堂练习，巩固提高 板演①②③，时间紧可采用分组练习，用多媒体平台投影学生解答，教师及时点评，抓住学生板演中“美丽的错误”加深对原理的理解，强调数学归纳法略显“刻板”的证题步骤． 5．归纳小结 ① 归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法； ② 数学归纳法的科学性：基础正确；可传递； ③ 数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论； ④ 数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷．
布置作业 1．教科书习题2．1第1、2题． 2．参考题：① 简析我国古代烽火传递军情的合理性； ② 分析产生“烽火戏诸侯”闹剧的原因． 简答：古代边疆戍兵，每隔一定距离建筑一高台，发现军情，一台燃起狼烟，邻合见后，也立即起火，这样军情就能很快传告全线戍兵．发生烽火戏诸侯闹剧的原因是第一台谎报军情（为买宠妃一笑而点燃烽火），邻台依次迅速起火，造成“谬误传递”． -
总结. 数学归纳法及其应用举例（2） 目的要求 1．进一步理解数学归纳法原理：只有两个步骤正确，才能下结论：对一切n∈N+，命题正确（强调缺一不可）．
2．会用数学归纳法证明一些简单的命题． 3．理解为证n＝k＋1成立，必须用n＝k成立的假设． 4．掌握为证n=k＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．
内容分析 1．本课为数学归纳法的第二课时，重点在于应用数学归纳法原理证明恒等式，在讲具体例子之前，应利用第一课时思考题及教科书例子说明数学归纳法两个步骤的作用，两步相辅相成，缺一不可！ 缺少第一步，递推缺乏正确的基础（即使第一步再简单，也不能省略）；“烽火戏诸侯”中就因为第一步不正确，产生“谬误传递”；在“2＋4＋6+……＋2n=n2
＋n+1的证明中，第二步由n=k推出n＝k＋1的运算虽然符合规则，但是证明了一个不等的恒等式． 缺少第二步，是不完全归纳法，即使验算再多，仅仅是有限的（对“哥德巴赫猜想”，借助计算机，已验证到108以内的偶数均成立，但这不能代替证明）．因此用数学归纳法证题时，必须有两个步骤， 两个步骤完成后，通常还要作一个结论． 2．在证明传递性时，应注意： ① 证n＝k＋1成立时，必须用n＝k成立的结论，否则就不是数学归纳法证明．对于这一点，学生可能难以理解：n=k成立是假设的，用假设来证明可靠吗？应指出，这一步是证明传递性，正确性由第一步保证． ② 证n＝k＋1成立时，可先列出n=k+1成立的数学式子，作为证明的目标，否则，学生在证明时会迷失方向． 如在本课例2中，
第二步证明是“已知：12＋22＋32＋……＋k2=1(1)(21)6kkk，求证
12＋22＋32＋……＋k2+(k+1)2=1(1)[(1)1)[2(1)1]6kkk．
③ 弄清传递性证明的已知和求证后，讲解的关键要抓住三点：由n＝k过渡到n=k＋1，左边相差什么式子？整式恒等变形常用方法有哪些？如何变形？ 3．对初值应验算几个的问题．学生对第一步中仅就n=n0验证不放心，需不需要对n0的后续多个数值进行验证？应向学生指出，一般验算第一个值就行了，因为在传递性作用下，“由一而二，由二而三，以至无穷”． 4．数学归纳法证明恒等式内容丰富，很多整齐美观的恒等式（恒等式系列） - 总结. 可用数学归纳法证明．限于篇幅，不可贪多求全，应尽量讲透一、二例．选题时，应选用由n＝k过渡到n=k+1时只添加一、二项的题，不要涉及添加多项或每项均发生变化的情况，以免增加学生负担． 5．对要证恒等式的“来历”，一般不要主动跟学生讲，以免转移重点（虽然这很有趣）． 教师不可扼制学生的求知欲，有学生提出时，可建议看些课外读物，或在第二课堂安排有关讲座，也可印成阅读材料供有兴趣又学有余力的学生课外探讨．
教学过程 1．抓住“两个步骤”，进行数学归纳法原理复习．用不完全归纳法说明缺乏 传递性证明不行，那么可以省去第一步吗？ 例证明：2＋4＋6＋……＋2n＝n2＋n＋1， 若n=k时，2＋4＋6＋……＋2k＝k2＋k＋1, 当n＝k＋1时，2＋4＋6＋……＋2 k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2 k＋2 ＝(k＋1)2＋(k+1)＋1. 即n＝k＋1时，原等式成立． 但n＝1时， 2≠3；n＝2时，6≠7．∴ 原等式不正确． 由此，师生共同得到结论：两个步骤，缺一不可．教师补充：两个步骤完成之后，还要下结论． 2．通过例题教学，深化对数学归纳法的认识 （1） 出示例2，用数学归纳法证明：
12＋22＋32＋……＋n2=1(1)(21)6nnn，
分析：① 问学生第一步应做什么？本题的n0应取多少？然后让学生进行验证，以得到证明的基础．学生验证后，教师规范板书，为学生示范． ② 启发学生，认识到在证传递性时，已知什么，求证什么，
在草稿纸上写上：“已知12＋22＋32＋……＋k2=1(1)(21)6kkk,
求证，12＋22＋32＋……＋k2+(k+1)2=1(1)[(1)1)[2(1)1]6kkk”.
比较两个式子的左边，相差什么？启发学生理解，求证式的左边与已知式的左边相差一项：(k＋1)2． ③ 启发学生应用归纳假设（即②中的已知）对上式进行推理变形，放手让学生进行推导，直到得到结论． 证明见教科书第64页～65页．证明过程中，教师边启发，边板书，为学生作证明示范．结束之后，教师引导学生反思整个分析及证明过程．强调传递性证明中，要弄清已知，求证，而且一定要用这里的归纳假设（已知），不用就不是数学归纳法． （2）出示例3，用数学归纳法证明： 1×4＋2 × 7＋3×10＋……+n(3n＋1)=n(n＋1)2．
数学归纳法及其应用
原创性声明本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究成果。
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（保密的论文在解密后应遵守此规定）学生签名：指导教师签名：日期：本科生毕业设计开题报告注：1、学院可根据专业特点，可对该表格进行适当的修改。
【内封面】南通大学毕业论文摘要数学归纳法是一种常用的证明方法，它的应用极其广泛。
本文讨论了数学归纳法的原理，以数学归纳法原理为基础，在不同条件下对数学归纳法原理进行变易，扩大数学归纳法的应用范围。
并对数学归纳法的分类、应用进行总结，给出数学归纳法在初等代数、高等代数中的应用典例。
关键字：数学归纳法、原理、变易、应用。
ABSTRACTMathematical induction is a common method of proof, and its applications is very broad. This article discusses the principle of mathematical induction, promotes the principle of mathematical induction under different conditions, and expands the range of applications induction on the basis of the principle. It summarizes the classification and application of mathematical induction. Typical examples of applications of mathematical induction are given in elementary algebra and advanced algebra.Key words: Mathematical induction,Principle,Variation,Application目录摘要 (I)ABSTRACT.................................................................................................... I I1.引言 (1)2.数学归纳法原理及变易 (1)2.1数学归纳法的本原 (3)2.2数学归纳法原理 (3)2.3数学归纳法原理变易 (4)3．数学归纳法的表现形式 (6)3.1 第一数学归纳法 (6)3.2 第二数学归纳法 (6)3.3 跳跃归纳法 (7)3.4 双向归纳法 (8)3.5 反向归纳法 (8)4.数学归纳法的应用 (10)4.1数学归纳法在初等代数中的典型应用 (10)4.1.1 证明恒等式 (10)4.1.2 证明不等式 (12)4.1.3 证明整除问题 (12)4.1.4 证明几何问题 (12)4.2 数学归纳法在高等数学中的应用 (13)4.2.1 数学归纳法证明德摩根定律推广式 (13)4.2.2 数学归纳法证明行列式 (14)5.结论 (16)参考文献 (17)致谢......................................................................... 错误!未定义书签。
数学学案：课前导引数学归纳法应用举例
3。
1。
2数学归纳法应用举例课前导引问题导入用数学归纳法证明x2n—1+y2n-1能被x+y整除.思路分析：（1)当n=1时,x2n—1+y2n-1=x+y能被x+y整除.(2)假设n=k（k≥1）时命题成立,即x2k—1+y2k-1能被x+y整除，那么x2（k+1)-1+y2(k+1）-1=x2k+1+y2k+1=x2(x2k—1+y2k-1）-x2y2k—1+y2k+1=x2(x2k-1+y2k—1)-(x2—y2）y2k-1。
因为x2-y2=(x+y)(x-y)能被x+y整除，所以（x2-y2)y2k—1能被x+y整除,由假设知x2k-1+y2k-1能被x+y整除，所以x2（x2k—1+y2k-1)能被x+y整除，所以x2（k+1）—1+y2(k+1）-1能被x+y整除，即n=k+1时，x2n-1+y2n—1也能被x+y整除，由(1）（2）知,对n∈N＊,x2n—1+y2n—1能被x+y整除。
知识预览证明与正整数有关的命题，可根据具体情况运用数学归纳法。
(1）证明一个代数恒等式时,要先分析清楚_________,解这类题的关键在于将式子转化为与_________的等式结构相同的形式。
(2)证明整除性的问题时,会经常涉及到数（或式）的_________知识. (3）证明几何问题时，会经常用到一些_________的性质。
(4）证明三角恒等式（或不等式）时，常常应用_________进行化简。
（5)证明不等式时,关键仍在第二步；当n=k时命题成立,证明当_________时命题也成立,同证明恒等式比较,证明不等式的难度大,所以往往证明不等式的方法有比较综合法，分析综合法,放缩法等.答案：（1)等式两边的构成情况归纳假设（2）整除性(3）几何图形（4)三角公式(5)n=k+1。
数学归纳法及应用列举
2
已知数列｛an｝的通项公式
an
4 (2n 1)2
数列｛bn｝的通项满足
bn (1 a1)(1 a2 )...(1 an )
用数学归纳法证明:
bn
2n 1
1 2n
2.1 数学归纳法及其应用举例
练习：
课后练习：1，2，3 课堂小结 ①归纳法； ②数学归纳法； ③数学归纳法证题程序化步骤 ； 作业： P67 习题2.1 1，2
新授课
递推基础
数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当 n 取第一个值 n（0 如 n0 1或2等）时结论正确；
（2）假设时 n k(k N且k n0 ) 结论正确，证明
n k 1 时结论也正确．
递推依据
(3)由（1）（2）得最后下结论
练习：
用数学归纳法证明“不等式
1
(3)用数学归纳法证明： 2+4+6+……+2n=n2+n
例题讲解：
题1：用数学归纳法证明：
13 23 33 .... n3 1 n2 (n 1)2 4
例题讲解：
题2：用数学归纳法证明： 122334.....n(n1) 1n(n1)(n2)
3
练习： 用数学归纳法证明以下等式： （1）12 22 32 .... n2 n(n 1)(2n 1)
2.1 数学归纳法及其应用举例
2.1 数学归纳法及其应用举例
先证明当n 取第一个值 n（0 如 n0 1 ）时
命题成立，然后假
设当 n k(k N , k n0 )时命题成立，
再证明当 n k 1 时命题
也成立，那么就证明这个命题成立， 这种证明方法叫做数学归纳法．
数学学案：课堂导学数学归纳法应用举例
课堂导学三点剖析 一,等式证明【例1】求实数a ，使下面等式对一切自然数n ∈N +都成立：3211⨯⨯+4321⨯⨯+…+)2)(1(1++n n n=)2)(1(42+++n n ann 。
思路分析：当n =1时,左式=61,右式=3241⨯⨯+a 。
由3241⨯⨯+a =61,解得a =3.下面用数学归纳法证明当a =3时原式对一切自然数n 都成立。
(1)n =1时,同上述知等式成立。
（2）假设n =k 时，等式成立,即3211⨯⨯+4321⨯⨯+…+)2)(1(1++k k k =)2)(1(432+++k k k k 。
则当n =k +1时，左式=3211⨯⨯+4321⨯⨯+…+)2)(1(1++k k k +)3)(2)(1(1+++k k k =)2)(1(432+++k k k k +)3)(2)(1(1+++k k k =)3)(2)(1(4)45)(1(2++++++k k k k k k =)3)(2)(1(4)1(3)1(2++++++k k k k k 。
∴当n =k +1时等式成立.由(1）(2)可知当a =3时，对n ∈N *时等式成立。
温馨提示要先求得a ，这是前提,证明n =k +1时成立是难点,用到假设n =k 时成立是关键. 二，整除问题【例2】 用数学归纳法证明32n+2—8n -9（n ∈N ＊）能被64整除。
证明:(1）当n =1时,32×1+2—8×1—9=64，能被64整除, ∴n =1时命题成立.(2）假设当n =k 时命题成立，即32k+2—8k -9（k ≥1)能被64整除，则当n =k +1时，32(k +1)+2—8（k +1）-9= 9·（32k+2-8k -9)+64(k +1)能被64整除， ∴n =k +1时命题成立.由（1)(2）可知对一切自然数32n+2—8n -9能被64整除.温馨提示整除问题常涉及到数或式子整除知识，且n =k +1时式子变形及假设应用是关键. 三,证明几何问题【例3】 求证：n （n ≥4)棱柱中过侧棱的对角面的个数是f (n ）=21n（n —3)。
高中数学选修2-2《数学归纳法及其应用举例》教案
课题：数学归纳法及其应用举例教材：人民教育出版社A版一、教学目标【知识目标】（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。
（2）初步理解数学归纳法原理。
（3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。
（4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。
【能力目标】（1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。
（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。
【情感目标】（1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。
（2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。
（3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。
二．教学重点、难点【重点】（1）初步理解数学归纳法的原理。
（2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。
（3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。
【难点】（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。
（2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。
板书设计1．数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用．但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重．为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可．你怎么知道n=k时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受．学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题，等等．为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束．把递推思想的介绍、理解、运用放在主要位置，必然对理解数学归纳法的实质带来指导意义，也是在教学过程中努力挖掘、渗透隐含于教学内容中的数学思想的一种尝试．2．在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是在于加强学生对教学过程的参与程度．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，尽快提出适当的问题，并提出思维要求，让学生尽快投入到思维活动中来，是十分重要的．这就要求教师把每节课的课题作出层次分明的分解，并选择适当的问题，把课题的研究内容落于问题中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得新的发展．本节课的教学设计也想在这方面作些研究．。
数学归纳法及其应用PPT优秀课件
不完全归纳法
可能 错误， 如何 避免
穷 举 法 作业：
数 学 归 纳 法
递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉
P67 习题2.1 1，2
谢谢! 请多多指导!!
~ 完~
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰· B· 塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔· 卡内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯· 瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士· 雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰] 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿· 休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯· 奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰· 纳森· 爱德瓦兹] 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰· 拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉· 班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳] 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔· 普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉· 彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔· 卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰· 罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳· 厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝· C· 科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔· 卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟· 倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克· 佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根· 皮沙尔· 史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。 ――[阿萨· 赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉· 海兹利特] 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯· 里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可· 汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰· 夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯· 米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子] 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。――[怀特曼] 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron] 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温] 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰· 鲁斯金]
高中数学选修本(理科)数学归纳法及其应用举例2
用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等。5）两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能 成立：。递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉
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12/9/2021
第十三页，共十三页。
证明：1、当n=1时,左=12=1，右= 1(11)(21) 1
∴n=1时，等式成立
6
2、假设n=k时，等式成立，即
1 2 2 2 3 2 k 2 k (k 1 )2 ( k 1 )
那么，当n=k+1时
6
左=12+22+…+k2+(k+1)2= k(k1)2 (k1)(k1)2 6
k ( k 1 )2 k ( 1 ) 6 ( k 1 ) 2 ( k 1 )k ( 2 )2 k ( 3 )
数数数数学数学学学(归s(hshùùx归xu归纳ué)é归)归纳纳法纳纳法法及法及其及其其应其应应用应应用(用yìn用g用举yò举ng举)例举例例例例
第二课时
第一页，共十三页。
复习引入：
找准起点 (qǐdiǎn)
奠基要稳
数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。
其格式主要有两个步骤、一个结论:
第十一页，共十三页。
练习(liànxí)巩固 1.求证:当n∈N*时，
1 1 1 1 1 1 11 1 234 2 n 12 nn 1n 2 2n3n2 n12
4
第十二页，共十三页。
内容(nèiróng)总结
数学归纳法及其应用举例。2、假设n=k时，等式成立，即。那么，当n=k+1时，有。根据①②问可 知，对n∈N＊，等式成立.。＋k(k+1)＝。1）明确(míngquè)首先取值n0并验证命题真假（必不可少）。
数学归纳法及应用列举
数学归纳法及应用列举
（2）1 4 27 310 ... n(3n 1) n(n 1)2
用数学归纳法证明：
1 1 1 ... 1 2 n (n N *)
23
n
13 23 33 .... n3 1 n2 (n 1)2 4
例题讲解：
题2：用数学归纳法证明： 12 23 34 ..... n(n 1) 1 n(n 1)(n 2)
3
练习： 用数学归纳法证明以下等式： （1）12 22 32 .... n2 n(n 1)(2n 1)
2.1 数学归纳法及其应用举例
2.1 数学归纳法及其应用举例
先证明当n 取第一个值 n（0 如 n0 1 ）时
命题成立，然后假
设当 n k(k N , k n0 )时命题成立，
再证明当 n k 1 时命题
也成立，那么就证明这个命题成立， 这种证明方法叫做数学归纳法．
2.1 数学归纳法及其应用举例
新授课
递推基础
数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：
（1）证明当 n 取第一个值 n（0 如 n0 1或2等）时结论正确；
（2）假设时 n k(k N且k n0 ) 结论正确，证明
n k 1 时结论也正确．
递推依据
(3)由（1）（2）得最后下结论
练习：
用数学归纳法证明“不等式
(n N *)时从n=k变成n=k+1时，左边应增添
的因式是（A） (A) 2k+1 (C) (2k 1)(2k 2)
k 1
2k 1
(B)
k 1
(D) 2k 3 k 1
2.1 数学归纳法及其应用举例
(3)用数学归纳法证明： 2+4+6+……+2n=n2+n
公开课教案数学归纳法及其应用举例
课题：数学归纳法及其应用举例怀远县常坟中学教学目标1．使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质．2．掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题．3．培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想．4．努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．5．通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神．教学重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析教学难点：数学归纳法中递推思想的理解教学方法：类比启发探究式教学方法教学手段：多媒体辅助课堂教学教学程序第一阶段：输入阶段——创造学习情境，提供学习内容1．创设问题情境，启动学生思维(1) 不完全归纳法引例：明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的．(2) 完全归纳法对比引例：有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些．他给每人一筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案．大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生．显然，二徒弟先给出答案，他比大徒弟聪明．在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用．例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法．这些归纳法却不能用完全归纳法．2．回顾数学旧知，追溯归纳意识（从生活走向数学，与学生一起回顾以前学过的数学知识，进一步体会归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳．）(1) 不完全归纳法实例：给出等差数列前四项, 写出该数列的通项公式．(2) 完全归纳法实例：证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况．3．借助数学史料, 促使学生思辨（在生活引例与学过的数学知识的基础上，再引导学生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性．同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大家都可能如此．那么，有没有更好的归纳法呢？）问题1 已知n a ＝22)55(+-n n （n ∈N ）， (1)分别求1a ；2a ；3a ；4a ． (2)由此你能得到一个什么结论？这个结论正确吗？（培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力．概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，我找的突破口就是学生的概括过程．）问题2 费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n ∈N 时，122+n一定都是质数，这是他对n ＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了1252+＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n ＝5这一结论便不成立．问题3 41)(2++=n n n f , 当n ∈N 时，)(n f 是否都为质数？验证： f （0）＝41，f （1）＝43，f （2）＝47，f （3）＝53，f （4）＝61，f（5）＝71，f （6）＝83，f （7）＝97，f （8）＝113，f （9）＝131，f （10）＝151，…，f （39）＝1 601．但是f （40）＝1 681＝241，是合数． 第二阶段：新旧知识相互作用阶段——新旧知识作用，搭建新知结构4． 搜索生活实例，激发学习兴趣（在第一阶段的基础上，由生活实例出发，与学生一起解析归纳原理, 揭示递推过程．孔子说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者．”兴趣这种个性心理倾向一般总是伴随着良好的情感体验．）实例：播放多米诺骨牌录像关键：(1) 第一张牌被推倒； (2) 假如某一张牌倒下, 则它的后一张牌必定倒下． 于是, 我们可以下结论： 多米诺骨牌会全部倒下．搜索：再举几则生活事例：推倒自行车, 早操排队对齐等．5． 类比数学问题, 激起思维浪花类比多米诺骨牌过程, 证明等差数列通项公式d n a a n )1(1-+=： (1) 当n ＝1时等式成立； (2) 假设当n ＝k 时等式成立, 即d k a a k )1(1-+=, 则d a a k k +=+1=d k a ]1)1[(1-++, 即n ＝k ＋1时等式也成立． 于是, 我们可以下结论： 等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=对任何n ∈*N 都成立． (2) （布鲁纳的发现学习理论认为，“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程．这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习．）6． 引导学生概括, 形成科学方法证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：(1) 证明当n 取第一个值0n 时结论正确；(2) 假设当n ＝k (k ∈*N ，k ≥0n ) 时结论正确, 证明当n ＝k ＋1时结论也正确．完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都正确． 这种证明方法叫做数学归纳法．第三阶段：操作阶段——巩固认知结构，充实认知过程7． 蕴含猜想证明, 培养研究意识（本例要求学生先猜想后证明，既能巩固归纳法和数学归纳法，也能教给学生做数学的方法，培养学生独立研究数学问题的意识和能力．） 例题 在数列{n a }中, 1a ＝1, nn n a a a +=+11(n ∈*N ), 先计算2a ，3a ，4a 的值，再推测通项n a 的公式, 最后证明你的结论． 8． 基础反馈练习, 巩固方法应用（课本例题与等差数列通项公式的证明差不多，套用数学归纳法的证明步骤不难解答，因此我把它作为练习，这样既考虑到学生的能力水平，也不冲淡本节课的重点．练习第3题恰好是等比数列通项公式的证明，与前者是一个对比与补充．通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况．）(1)（第63页例1）用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2n －1）＝2n ．(2)（第64页练习3）首项是1a ，公比是q 的等比数列的通项公式是11-=n n q a a ．9． 师生共同小结, 完成概括提升(1) 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；(2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法；(3) 数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推(递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；(4) 本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想．10． 布置课后作业, 巩固延伸铺垫(1) 课本第64页练习第1, 2题； 第67页习题2.1第2题．(2) 在数学归纳法证明的第二步中，证明n ＝k ＋1时命题成立, 必须要用到n ＝k 时命题成立这个假设．这里留一个辨析题给学生课后讨论思考：用数学归纳法证明： 1222221132-=+++++-n n (n ∈*N )时, 其中第二步采用下面的证法：设n ＝k 时等式成立, 即1222221132-=+++++-k k , 则当n ＝k ＋1时, 12212122222111132-=--=++++++++-k k k k ． 你认为上面的证明正确吗？为什么？教学设计说明1．数学归纳法是一种用于证明与自然数n 有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用．我认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．为此，我设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．2．在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是加强学生对教学过程的参与．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，本节课按照思维次序编排了一系列问题，让学生投入到思维活动中来，把本节课的研究内容置于问题之中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展．3．运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n＝k＋1命题成立时必须要用到n＝k时命题成立这个条件．这些内容都将放在下一课时完成，这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向．。