2016年专项练习题集-指数式与对数式的互化
2016专项练习题集-指数式与对数式的互化
选择题
1．已知lg 2≈0.301 0，若正整数m 满足5121512(210)(210)0m m ---<，则m ＝ ( )
A ．122
B ．153
C ．154
D ．155
【分值】5
【答案】D
【考查方向】本题主要考查指数与对数之间的互化关系，在近几年的各省高考题出现的频率较高。
【易错点】常用对数的正确使用.
【解题思路】对非负数取常用对数其大小顺序不变.
【解析】5121512(210)(210)0m m ---<可以等价变形为10m －1＜2512＜10m
不等式两边同时取以10为底的对数．
则?
????
m －1＜512 lg 2m ＞512 lg 2，∴154.112＜m ＜155.112，∴m ＝155..
2．设函数f (x )＝12-x ,则f (log 212)＝( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
【分值】5
【答案】B
【易错点】指数与对数的混合运算
【考查方向】本题主要考察对数恒等式和幂运算.
【解题思路】代入表达式再利用对数恒等式与指数运算法则
【解析】f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6，
3．已知函数f (x )＝122,0log (1),10
x x x x +?≥??+-<
B ． 3
C ． 4
D ．14
【分值】5
【答案】C
【考查方向】本题主要考查指数与对数之间的互化关系，在近几年的各省高考题出现的频率较高。
【易错点】分段函数的分类讨论.
【解题思路】先对a 进行分类讨论，再根据指数与对数的互化关系求解.
【解析】当a ≥0时，f (a )＝2a －1＝－3，
即2a －1＝－3，不成立，舍去；
当0〉a ＞-1时，f (a )＝log 2(a ＋1)＝－3，
即log2(a＋1)＝-3，解得a＝-7/8，
此时f(1
－a)＝f(1)＝4故选C.
8
4．若集合A＝{x|1≤2x≤16}，B＝{x|log2(x2－x)＞3log31}，则A∩B＝( )
A．(2，4]
B．[2，4]
C．(－∞，0)∪(0，4]
D．(－∞，－1)∪[0，4]
【分值】5
【答案】A
【考查方向】本题主要考查指数与对数之间的互化关系和指数对数不等式，在近几年的各省高考题中经常出现。
【易错点】构造同底幂和同底对数.
【解题思路】先正确构造同底幂和同底对数，在利用函数单调性求解.
【解析】因为A＝{x|1≤2x≤16}＝{x|20≤2x≤24}＝{x|0≤x≤4}，B＝{x| log2(x2－x)＞3log31}＝{x|x2－x＞2}＝{x|x＜－1或x＞2}，所以A∩B＝{x|0≤x≤4}∩{x|x＜－1或x＞2}＝{x|2＜x≤4}＝(2，4].
.
5．已知10c=b，3d＝10，log b3＝a则下列等式一定成立的是( )
A．d＝ac
B．acd=1
C．c＝ad
D．d＝a＋c
【分值】5
【答案】B
【考查方向】本题主要考查指数与对数之间的互化关系，在近几年的各省高考题出现的频率较高.
【易错点】指数时与对数式的互化.
【解题思路】先画第一个对数式为指数式，并带入第二个式子，再把这个式子和第三个式子同时取常用对数进行比较.
【解析】由已知b a＝5得alg b＝lg3；10c=b得lgb=c；3d＝10得lg3=1
d
，
∴ac= lg5，∴ac＝1
d，即
adc＝1.
填空题
6．若a＝log45，则4a＋2-a＝________. 【分值】3
【答案】5+
3 3
【考查方向】本题主要考查对数恒等式. 【易错点】对数恒等式的变形使用.
【解题思路】直接带入用对数恒等式解决. 【解析】∵a＝log43＝log23，
∴4a=5, 2a= 3
4a＋2－a＝5＋2－log23＝5＋1
3
＝5+
3
3
..
7．若log a 23
>1(a ＞0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________.
【分值】3 【答案】? ??
??23，1∪(1，＋∞) 【考查方向】构造同底对数.
【易错点】分类讨论单调性.
【解题思路】正确构造同底对数，再分类讨论单调性..
【解析】当0＜a ＜1时，log a 23>log a a ＝1，
解得1>a >23；当a ＞1时，log a 23＜log a a ＝1，解得a ＞1.
.
8．设函数f (x )＝?????2x －1，x ＜1，(x-1)13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________.. 【分值】3
【答案】(－∞，9]
【考查方向】对数不等式与对数函数的单调性.
【易错点】分类讨论.
【解题思路】先分类讨论，再取对数或开方.
【解析】当x ＜1时，e x －1≤2成立，解得x ≤1＋ln 2，
∴x ＜1.当x ≥1时，()13
1x -≤2，解得x ≤9，∴1≤x ≤9.
综上可知x ∈(－∞，9].
综合题
9．计算：(1)log 222
和2log 23+log 43 【分值】6 【答案】－12和3 3.
【考查方向】对数运算与幂运算
【易错点】没有变成同底对数算
【解题思路】先变成同底幂或对数
【解析】
log 222＝log 22－log 22＝12－1＝－12
； 2log 23+log 43＝2log 23·2log 43＝3×2log 43＝3×2log 2
3＝3 3.
(2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25
【分值】6 【答案】－12和3 3. 【考查方向】对数运算法则
【易错点】逆用对数运算法则
【解题思路】先把真数变成质数再合并运算
【解析】原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52 ＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5
＝(1＋1)lg 2＋2lg 5
＝2(lg 2＋lg 5)＝2.
10．已知b a ==5log 7log 1414，
，用a 、b 表示log 3528 【分值】6 【答案】b
a a +-2
【考查方向】换底公式.
【易错点】逆用对数运算法则 .
【解题思路】先用换底公式换底为14，再化真数为质数 【解析】log log log 351414282835
= b a a b a a a b
a a
b a a b
a a +-=+-+=+-+=++=++=++=212712714222574714141414141414)()log (log log log log log log
高中数学,指数式与对数式的运算考点题型总结
第八节指数式、对数式的运算 ?基础知识 1.指数与指数运算 (1)根式的性质 ①(n a)n＝a(a使 n a有意义)． ②当n是奇数时，n a n＝a； 当n是偶数时，n a n＝|a|＝ ?? ? ??a，a≥0， －a，a<0. (2)分数指数幂的意义 分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键． ①a m n＝ n a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)． ②a - m n＝ 1 a m n ＝ 1 n a m (a>0，m，n∈N*，且n>1)． ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (3)有理数指数幂的运算性质 ①a r·a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)； ②a r a s＝a r－s(a>0，r，s∈Q)； ③(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)； ④(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)． (1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算． (2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂． 2．对数的概念及运算性质 一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，就是a b＝N，那么，数b就叫做以a 为底N的对数，记作：log a N＝b. 指数、对数之间的关系
(1)对数的性质 ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1. (2)对数的运算性质 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a (N n )＝n log a N (n ∈R)． ? 常用结论 1．换底公式的变形 (1)log a b ·log b a ＝1，即log a b ＝ 1 log b a (a ，b 均大于0且不等于1)； (2)log am b n ＝n m log a b (a ，b 均大于0且不等于1，m ≠0，n ∈R)； (3)log N M ＝log a M log a N ＝log b M log b N (a ，b ，N 均大于0且不等于1，M >0)． 2．换底公式的推广 log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a ，b ，c 均大于0且不等于1，d >0)． 3．对数恒等式 a log a N ＝N (a >0且a ≠1，N >0)． 考点一 指数幂的化简与求值 [典例] 化简下列各式：
指数式和对数式比较大小
指数式和对数式比较大 小 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-
指数式和对数式比较大小五法 方法一：利用函数单调性 同底的指数式和对数式以及同指数的指数式的大小,可以利用函数的单调性来比较. 核心解读： 1.比较形如m a 与n a 的大小,利用指数函数x y a =的单调性. 2.比较形如log a m 与log a n 的大小,利用对数函数log a y x =的单调性. 3.比较形如m a 与m b 的大小,利用幂函数m y x =的单调性. 例1：比较下列各组数的大小 （1）0.30.3,30.3 （2）2log 0.8,2log 8.8 （3）0.30.3,0.33 [解]（1）利用函数0.3x y =的单调性. 因为函数0.3x y =在R 上单调递减,<3,所以0.30.3>30.3. （2）利用函数2log y x =的单调性. 因为函数2log y x =在(0,)+∞单调递增,<,所以2log 0.8<2log 8.8. （3）利用函数0.3y x =的单调性. 因为函数0.3y x =在(0,)+∞单调递增,<3,所以0.30.3<0.33. 方法二：中间桥梁法 既不同底又不同指的指数式、对数式比较大小,不能直接利用函数的单调性来比较,可利用特殊数值作为中间桥梁,进而可比较大小. （1）比较形如m a 与n b 的大小,一般找一个“中间值c ”,若m a c <且m c b <,则m n a b <；若m a c >且n c b >,则m n a b >.常用到的特殊值有0和1.(0log 1a =，1log a a =，01a =) （2）比较形如m a 与n b 的大小,一般可以取一个介于两值中间且与题目中两数都能比较大小的一个中间值,即n a 或者m b ,进而利用中间值解决问题. 例2：比较下列各组数的大小 （1）0.41.9, 2.40.9 （2）124()5,139()10 [解]（1）取中间值1. 因为0.4 01.9 1.91>=, 2.400.90.91<=,所以0.4 2.41.90.9>. （2）取中间值1 29()10 . 利用函数910 x y =（）的单调性比较139()10和129()10的大小,易知139()10>129()10.利用函数12y x =单调性比较124()5和129()10的大小,易知124()5<129()10.所以139()10>1 24()5. （补充:对于指数相同底数不同的两指数式比较大小,也可以通过做比与1比较大小的方法比较两数的大小.）
指数对数概念及运算公式
指数函数及对数函数重难点 根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n . ②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 幂的有关概念： ①规定：1）∈???=n a a a a n ( N * ， 2）)0(10 ≠=a a ， n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）， 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）， 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ） （注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 例 求值 （1） 3 28 （2）2 125 - （3）()5 21- （4）() 43 8116- 例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1)43a a ? （２）a a a （３）32 )(b a - （４）43 )(b a + （５）32 2b a ab + （6）42 33 )(b a + 例.化简求值
（1）0 121 32322510002.08 27）（）（）（）（-+--+---- （2）2 11 5 3125.05 25 .231 1.0)32(256) 027.0(?? ????+-+-????? ?-- （3）=?÷ ?--3133 73 32 9a a a a （4）21 1511336622263a b a b a b ??????-÷- ??? ??????? = （5）6323 1.512??= 指数函数的定义： ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞， 3）当10<a 时函数为增函数. 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）2 2 x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）2 4y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 例：比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.1 0.8 -与0.2 0.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 例：已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求 (0),(1),(3)f f f -的值. 思考：已知0.7 0.9 0.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 例 如图为指数函数x x x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则 d c b a ,,,与1的大小关系为 O x y a d c b
指数式与对数式的运算
指数式与对数式的运算 指数与指数幂的运算 教学目标：理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算. 知识点回顾： 1. 若n x a =，则x 叫做a 的n 次方根，记为n a ，其中n >1，且n N *∈.（n 叫做根指数，a 叫做被开方数）n 次方根具有如下性质： （1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零. （2）n 次方根（*1,n n N >∈且）有如下恒等式： ()n n a a =；,||,n n a n a a n ?=?? 为奇数为偶数；np n mp m a a =，（a ≥0）. 2.规定正数的分数指数幂：m n m n a a = （0,,,1a m n N n *>∈>且）； 注意口诀：（根指 数化为分母，幂指数化为分子）， 11 ()()(0,,,m m m n n n a a m n N a a -+==>∈且1)n >. 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．0的负分数指数幂没有意义。 3.指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 范例解析 例1求下列各式的值： （1）3n n π-（）（*1,n n N >∈且）； （2）2()x y -. 解：（1）当n 为奇数时，33n n ππ-=-（）； 当n 为偶数时，3|3|3n n πππ-=-=-（）. （2）2()||x y x y -=-. 当x y ≥时，2()x y x y -=-；当x y <时，2()x y y x -=-. 例2已知221n a =+，求33n n n n a a a a --++的值. 解：332222()(1)1121122121 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ------++-+==-+=+-+=-+++. 例3化简：（1）2 115113366 22(2)(6)(3)a b a b a b -÷-； （2）3322 114 4 23 ()a b ab b a b a ?（a ＞0，b ＞0）； （3）24 3 819?.
高三数学指数式与对数式2
教案12：指数式与对数式（2） 一、课前检测 1.已知log 2,log 3a a m n ==，则2m n a += 答案：12 2. 已知532log [log (log )]0x =，那么12 x -等于（ ） A. 13 B. C. 4 D. 答案：C 3. 式子 82log 9log 3的值为 ( ) A.2 3 B.32 C.2 D.3 答案：A 二、知识梳理 灵活运用指数式和对数式解决问题 1．重视指数式与对数式的互化； 2．不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算； 3．运用指数、对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提． 三、典型例题分析 例1．计算：（1 ）1 2 0.50.75163(12427162(8)--+-+-； （2）2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+?+； （3）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+?+． 解：（1 ）原式121 33(1)246324(113 228?-?-??=+-+-? 2 1 3332113222118811?=++-?=+-=． （2）原式22(lg 2)(1lg5)lg 2lg5(lg 2lg51)lg 22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=．
（3）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3( )()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+?+=+?+ 3lg 25lg 352lg 36lg 24 =?=． 小结与拓展： 例2．已知35a b c ==，且112a b +=，求c 的值． 解：由3a c =得：log 31a c =，即log 31c a =，∴1log 3c a =； 同理可得1log 5c b =，∴由112a b += 得 log 3log 52c c +=， ∴log 152c =，∴215c =，∵0c >，∴c =． 例3 设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值． 解：令 log x t y =，∵1x >，1y >，∴0t >． 由2log 2log 30x y y x -+=得2230t t -+=，∴22320t t +-=， ∴(21)(2)0t t -+=，∵0t >，∴12t =，即1log 2 x y =，∴12y x =， ∴222244(2)4T x y x x x =-=-=--， ∵1x >，∴当2x =时，min 4T =-． 例4．设a 、b 、c 为正数，且满足222a b c +=． （1）求证：22log (1)log (1)1b c a c a b +-+ ++= （2）若4log (1)1b c a ++=，82log ()3 a b c +-=，求a 、b 、c 的值． 证明：（1）左边222log log log ()a b c a b c a b c a b c a b a b +++-+++-=+=? 22222222222()22log log log log 21a b c a ab b c ab c c ab ab ab +-++-+-=====； 解：（2）由4log (1)1b c a ++=得14b c a ++=，∴30a b c -++=……………① 由82log ()3 a b c +-=得2384a b c +-==………… ……………②
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指数式与对数式的互化（三） 1．若log x=z，则（ ） A．y7=x z B．y=x7z C．y=7?x z D．x=z7y 【考点】指数式与对数式的互化． 【专题】计算题；函数的性质及应用． 【分析】先把对数化为指数，再两边乘方，即可得出结论． 【解答】解：∵log x=z， ∴x z =， 两边7次方，得x7z=y， 即y=x7z． 故选：B． 【点评】本题考查了把对数化为指数的运算问题，是基础题目． 2．（2014?渝中区校级三模）已知实数a、b满足等式2a=3b，下列五个关系式： ①0＜b＜a ②a＜b＜0 ③0＜a＜b ④b＜a＜0 ⑤a=b=0， 其中有可能成立的关系式有（ ） A．1个B．2个C．3个D．4个 【考点】指数式与对数式的互化． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】画出指数函数y=2x，y=3x，的图象，利用单调性即可得出． 【解答】解：如图所示：画出函数y=2x，y=3x，的图象． 由图象可知： （1）当x＞0时，若2a=3b，则a＞b； （2）当x=0时，若2a=3b，则a=b=0； （3）当x＜0时，若2a=3b，则a＜b． 综上可知：有可能成立的关系式是①②⑤． 故选C．
【点评】熟练画出指数函数的图象并掌握其单调性是解题的关键． 3．（2013春?浦东新区期中）将a2b=N（a＞0，a≠1）转化为对数形式，其中错误的是（ ） A ．B ．C ．D ． 【考点】指数式与对数式的互化． 【专题】规律型． 【分析】根据指数式和对数式之间的关系，以及对数的运算法则分别进行判断． 【解答】解：根据指数式和对数式之间的关系可得，若a2b=N，则2b=log a N ，即，∴A正确． 若a2b=N，则（a2）b=N ，则，∴B正确． 若a2b=N，则（a b）2=N ，则，∴C正确． ∴D错误． 故选D． 【点评】本题主要考查指数式和对数式之间互化，要牢记转化公式：a b=N?b=log?a N． 4．（2013秋?金台区期中）一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）t等于（ ） A． lg B． lg C ．D ． 【考点】指数式与对数式的互化；指数函数的实际应用． 【专题】计算题． 【分析】设这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）t，可以得出一个方程，得两边取对数，再用换底公式变形，求出t； 【解答】解：a千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）为t， a（1﹣8%）t =，两边取对数， lg0.92t=lg0.5，即tlg0.92=lg0.5，
指数式与对数式
1．指数、对数的运算法则； 2．指数式与对数式的互化：log b a a N N b =?=． 指数式与对数式的底a 取值范围为(0,1)∪(1，+∞). 在底确定的前提下，指数运算与对数运算互为逆运算. 1．重视指数式与对数式的互化； 2．不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算； 3．运用指数、对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提． （三）例题分析： 例1．计算：（1）12131 6 32 4 (1243)27162(8)--+-+-； （2）2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+?+； （3）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+?+． 解：（1）原式12 1 33(1)246 3 2 4 (113 2 28 ? -?-?? =+-+-? 2133 3 2 113222 118811? =++-?=+-=．
（2）原式22(lg 2)(1lg5)lg 2lg5(lg 2lg51)lg 22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=． （3）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3 ( )()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2 =+?+=+?+ 3lg 25lg 35 2lg 36lg 24 =?=． 例2．已知112 2 3x x - +=，求 22332 2 23 x x x x --+-+-的值． 解：∵112 2 3x x -+=，∴112 2 2()9x x - +=，∴129x x -++=，∴17x x -+=， ∴12()49x x -+=，∴2247x x -+=， 又∵331112 2 2 2 ()(1)3(71)18x x x x x x -- -+=+?-+=?-=， ∴22332 22472 3183 3 x x x x -- +--= =-+-． 例3．已知35a b c ==，且11 2a b +=，求c 的值． 解：由3a c =得：log 31a c =，即log 31c a =，∴1log 3c a =； 同理可得 1log 5c b =，∴由11 2a b += 得 log 3log 52c c +=， ∴log 152c =，∴215c =，∵0c > ，∴c =． 例4．设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值． 解：令 log x t y =，∵1x >，1y >，∴0t >． 由2log 2log 30x y y x -+=得2 230t t -+=，∴22320t t +-=， ∴(21)(2)0t t -+=，∵0t >，∴12t =，即1 log 2 x y =，∴1 2y x =， ∴222244(2)4T x y x x x =-=-=--， ∵1x >，∴当2x =时，min 4T =-．
指数式与对数式的互化同步练习
指数式与对数式的互化同步练习 一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ） 1. 溶液酸碱度是通过pH 值刻画的，pH 的计算公式是pH =?lg [H +]，其中[H +]表示该溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔／升．若某种纯净水中氢离子的浓度为[H +]=10?6摩尔／升，则该纯净水的pH 为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 2. 下列计算正确的是( ) A.√2×√23×2 ?56=32 B.2log 23=8 C.log 64+log 69=2 D.2x =10时x =lg 2 3. 若2x =3y =12z >1，则z + 4x+8y xy 的取值范围是( ) A.[1,4] B.[1,+∞) C.(2√2,+∞) D.[4,+∞) 4. 已知2x =3y =k ，且1x +1y =1，则k 的值为( ) A.6 B.√6 C.2 D.3 5. 设(19 )a =16，则a =( ) A.144 B.log 916 C.log 1619 D.?log 34 6. 已知2a =32，3b =32，4c =23，则( ) A.a >b >c B.b >a >c C.a >c >b D.c >a >b 7. 设2a =5b =m ，1a +1b =2，则m =( ) A.√10 B.?√10 C.√10或?√10 D.10 8. 已知2a =5b =10，则下列选项中不正确的是( ) A.a +b >4 B.a +b =ab C.(a ?1)2+(b ?1)2<2 D.a 2+b 2>8 9. 设(12)a =5b =m ，且1a ?1b =2，则m =( ) A.110 B.10 C.√10 D.√1010 10. 若2a =5b =M ，且1a +2b =2，则M =( ) A.50 B.10 C.5√2 D.±5√2 二、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ， ） 11. 设2x =3y =72，则3x +2y =________.
指数式与对数式的互化式
指数式与对数式的互化式: log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. 指数性质： (1)1、1p p a a -= ； （2）、01a =（0a ≠） ； (3)、()m n m n a a = (4)、(0,,)r s r s a a a a r s Q +?=>∈ ； (5) 、m n a = ； 指数函数： (1)、 (1)x y a a =>在定义域内是单调递增函数； （2）、 (01)x y a a =<<在定义域内是单调递减函数。注： 指数函数图象都恒过点（0，1） 对数性质： (1)、 log log log ()a a a M N M N += ；（2）、 log log log a a a M M N N -= ； (3)、 log log m a a b m b =? ；(4)、 log log m n a a n b b m = ? ； (5)、 log 10a = (6)、 log 1a a = ； (7)、 l o g a b a b = 对数函数： (1)、 log (1)a y x a => 在定义域内是单调递增函数； （2）、log (01)a y x a =<<在定义域内是单调递减函数；注： 对数函数图象都恒过点（1，0） (3)、 l o g 0,(0,1), (1, a x a x a x >?∈ ∈+∞或 (4)、log 0(0,1)(1,)a x a x ,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 对数恒等式：log a N a N =(0a >,且1a ≠, 0N >). 推论 log log m n a a n b b m = (0a >,且1a ≠, 0N >). 对数的四则运算法则:若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a M N M N =+; (2) log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈; (4) log log (,)m n a a n N N n m R m =∈。 和角与差角公式 sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ ±±= . sin cos a b αα+ )α?+ (辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b a ?= ). 二倍角公式及降幂公式
第15课时___指数式与对数式
113 课题：指数式与对数式 教学目标：1.理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质； 2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质． 教学重点：运用指数、对数的运算性质进行求值、化简、证明，指数及对数方程的解法 （一） 主要知识： 1.n 次方根的定义及性质：n 为奇数时，a a n n =，n 为偶数时，a a n n =. 2.分数指数幂与根式的互化： n m n m a a = m n a -=(0a >,,*m n N ∈，且1n >) 零的正分数指数幂为0，0. 3.指数的运算性质：r s r s a a a += ，()r r r ab a b = （其中,0a b >，,r s R ∈） 4.指数式与对数式的互化：log b a a N N b =?=．N a N a =log ，log N a a N =. 5.对数的运算法则：如果0,1,0,0a a N M >≠>>有 log ()log log a a a M N M N =+； log log log a a a M M N N =-； log log n a a M n M =； 1log log a a M n = 6.换底公式及换底性质： ()1 log log log m a m N N a = (0a >,1a ≠，0m > , 1m ≠,0N >) () 2a b b a log 1log = ，()3c c b a b a log log log =?， ()4b n m b a m a n log log = 7.指数方程和对数方程主要有以下几种类型： () 1() ()log f x a a b f x b =?=；log ()()b a f x b f x a =?=（定义法） ()2()()()()f x g x a a f x g x =?=；log ()log ()a a f x g x =? ()()0f x g x =>（同底法） ()3()()f x g x a b =?()log ()log m m f x a g x b = (两边取对数法) ()4log ()log ()a b f x g x =?1log ()log ()log a a a f x g x b = (换底法) () 52log log 0a a A x B x C ++=（() 2 0x x A a Ba C ++=）（设log a t x =或x t a =）（换元法） （二）主要方法： 1.重视指数式与对数式的互化； 2.根式运算时，常转化为分数指数幂，再按幂的运算法则运算； 3.不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算； 4.运用指数、对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提． 5.指数方程和对数方程按照不同类型的对应方法解决.
指数式与对数式
指数式与对数式 【复习目标】 1．理解分数指数、负指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质． 2．理解对数的概念，熟练进行指数式、对数式的互化，掌握对数的性质和对数的运算法则，并能运用它们进行化简求值． 【教学重点】 理解理解指数、对数的概念，熟练运用对数的性质和对数的运算法则进行化简求值． 【教学难点】 熟练运用对数的性质和对数的运算法则进行化简求值． 【考试要点】 1．指数幂的运算法则： () _____n m a =； ______m n a a =；()______n ab =；()R n m b a ∈>>,,0,0 2．分数指数幂与根式的相互关系： _________=n m a ； _______ m n a - =；()1,>∈*n N n m 且 3．根式的性质 () ________=n n a ； _______ =； 4．深化对概念的理解与应用．对于分数指数幂中幂指数为负数的情形，要注意底数a 的取值限制，一个可行的方法是：化负分数指数幂为根式及分式的形式． 5．对数的运算法则： 如果0a >且1,0,0a M N ≠>>，则有log ()_________________a M N ?=； log _________________a M N =； l o g ____________ n a M = 6．对数的几个重要公式：（*0,0,1,1,0,,a c a c b m n N >>≠≠>∈） 对数恒等式 log ________a N a =；化 log ___________n m a b =； 对数的换底公式 log _____________a b =； 7．在进行对数运算时，要注意对数的底数与真数的取值范围，特别是真数 大于零的条件不能遗漏．研究对数函数有关问题时，要注意对数函数的定义域． 8．要准确记忆对数的三条运算性质，对数运算是将高一级的运算转化为低一级的运算，要防止产生以下错误．． ： log a (M ±N )=log a M ±log a N ； log a (MN ) =log a M log a N ；N M N M a a a log log log = ； n a n a M M ) (log log =， 【课前预习】 1．在下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是 （ ） A ．(－x )0.5 = －x (x ≠0) B ．)0(31 62 <=y y y C ．)0()() (4 3 4 3≠= -xy x y y x D ．33 1x x -=-
第七节 指数式与对数式
第7 课 指数与对数 【考点导读】 1.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算性质； 2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质； 3.能运用指数，对数的运算性质进行化简，求值，证明，并注意公式成立的前提条件； 4.通过指数式与对数式的互化以及不同底的对数运算化为同底对数运算． 【基础练习】 1.写出下列各式的值：(0,1)a a >≠ =3π-； 238=____4____； 3 481-=127 ； log 1a =___0_____； log a a =____1____； l o g 4=__－4__． 2.化简下列各式：(0,0)a b >> （1）2 1 1 1333324()3a b a b ---÷-=6a -； （2）2222 (2)()a a a a ---+÷-=2211a a -+． 3.求值：（1）35 log (84)?=___－38____； （2）33(lg 2)3lg 2lg5(lg5)+?+=____1____； （3）234567log 3log 4log 5log 6log 7log 8?????=_____3____． 4.已知lg 20.3010≈，lg30.4771≈，则18lg 25=___－0.14_____(结果保留2位小数) ． 5.（1）方程3 42115x -=的解集为_____16________； （2）方程32142568x x +-=?的解集为79 ； （3）方程1)3(lg lg =++x x 的解集为_____2____． 【范例解析】 例1. 化简求值： （1）若13a a -+=，求11 22 a a --及442248a a a a --+-+-的值；
指数式与对数式教案
第二章 函数——第14课时：指数式与对数式 一．课题：指数式与对数式 二．教学目标：1．理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质； 2．理解对数的概念，掌握对数的运算性质． 三．教学重点：运用指数、对数的运算性质进行求值、化简、证明． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．指数、对数的运算法则； 2．指数式与对数式的互化：log b a a N N b =?=． （二）主要方法： 1．重视指数式与对数式的互化； 2．不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算； 3．运用指数、对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提． （三）例题分析： 例1．计算：（1 ）1 21 3 1 63 24(12427162(8 )- -+-+-； （2）2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+?+； （3）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+?+． 解：（1 ）原式12 133(1)246 3 2 4(113 2 28 ? -?-?? =+-+-? 21 33 3 2113222 118811? =+ +-?=+ -=． （2）原式22(lg 2)(1lg 5)lg 2lg 5(lg 2lg 51)lg 22lg 5=+++=+++ (11)l g 22l g 52(l g 2l g =++=+=． （3）原式lg 2lg 2lg 3lg 3lg 2lg 2lg 3lg 3()( )( )( )lg 3 lg 9 lg 4 lg 8 lg 3 2lg 3 2lg 2 3lg 2 =+ ?+ =+ ?+ 3l g 2 5l g 35 2l g 3 6l g 24 =?=． 例2．已知1 122 3x x -+=，求 2 23322 23 x x x x -- +-+-的值． 解：∵1 122 3x x -+=，∴1 1222 ()9x x - +=，∴1 29x x -++=，∴1 7x x -+=， ∴12 ()49x x -+=，∴22 47x x -+=， 又∵3 31 11 22 22 ()(1)3(71)18x x x x x x - - -+=+?-+=?-=， ∴2 2332224723183 3 x x x x -- +--==-+-． 例3．已知35a b c ==，且 112a b + =，求c 的值．
根式、指数式、对数式)
综合练习 根式、指数式、对数式 一．基础知识自测题： 1．指数式4 532 -b a 化为根式是 4 5 3 2 b a . 2．根式 b b a 3 4 化为指数式是2 343 - b a . 3．log 3 333＝ 8 7. 4．已知log m 0.3
高考数学专题练习--指数式与对数式
高考数学专题练习--指数式与对数式 【考纲解读】 内容 要求备注 A B C 函数概 念与基 本初等 函数Ⅰ 指数函数的图象与性质 √ 1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义， 掌握幂的运算． 2．了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念， 理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像的特征，知 道指数函数是一重要的函数模型． 【直击考点】 题组一常识题 1．[教材改编] 计算2 1 3 ×4－ 2 3 ＝________． 【解析】2 1 3 ×4－ 2 3 ＝2 1 3 ×(22)－ 2 3 ＝2 1 3 － 4 3 ＝2－1＝ 1 2 . 2．[教材改编] 给出下列函数：(1)y＝5·3x；(2)y＝4x－1；(3)y＝x3；(4)y＝2x＋1；(5)y ＝42x，其中是指数函数的有________个． 据指数函数的定义，只有满足形如y＝a x(a>0，a≠1)的函数才是指数函数．因为y＝42x ＝16x，所以y＝42x是指数函数． 3．[教材改编] 若函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)的图像经过点(－1，3)，则f(2)＝ ________． 4．[教材改编] 函数y＝1－3x的定义域为 ________. 【解析】要使函数有意义，需1－3x≥0，得x≤0. 5．[教材改编] 函数y＝a x－1＋2(a>0且a≠1)的图像恒过定点________． 【解析】令x－1＝0，得x＝1，又y＝a0＋2＝3，所以图像恒过定点(1，3)． 题组二常错题 6．当x∈[－2，2]时，a x<2(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是____________．
【解析】当x ∈[－2，2]时，a x <2(a >0且a ≠1)，当a >1时，y ＝a x 是一个增函数，则有 a 2<2 ，可得－2 22或a <－22(舍)，故有22a >c . 9．设函数f (x )＝则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是 ________． 【解析】当x <1时，e x －1 ≤2，即e x －1 ≤e ln 2 ，得 x ≤1＋ln 2，所以x <1；当x ≥1时，x 12 ≤2＝412 ，得x ≤4，所以1≤x ≤4.综上x ≤4. 10． 若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是________． 【解析】由题意存在正数x 使得a >x －12x 成立，即a >? ????x －12x min .由于y ＝x －12x 是(0，＋∞)上的增函数，故x －12x >0－1 20＝－1，所以a >－1.
北京第十八中学高三数学第一轮复习 24 指数式与对数式(2)教案(学生版)
北京第十八中学高三数学第一轮复习 24 指数式与对数式（2） 教案（学生版） 一、课前检测 1.已知log 2,log 3a a m n ==，则2m n a += 2. 已知532log [log (log )]0x =，那么1 2x -等于（ ） A. 1 3 3. 式子82log 9 log 3 的值为 ( ) A.2 3 B.3 2 C.2 D.3 二、知识梳理 灵活运用指数式和对数式解决问题 1．重视指数式与对数式的互化； 解读： 2．不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算； 解读： 3．运用指数、对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提． 解读： 三、典型例题分析 例1 计算：（1 ）1 2 0.50.75163(12427162(8)--+-+-； （2）2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+?+； （3）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+?+．
例2 已知35a b c ==，且11 2a b +=，求c 的值． 例3 设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求22 4T x y =-的最小值． 例4 设a 、b 、c 为正数，且满足222a b c +=． （1）求证：22log (1)log (1)1b c a c a b +-+++= （2）若4log (1)1b c a ++=，82 log ()3a b c +-=，求a 、b 、c 的值． 四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成） 1.知识： 2.思想与方法： 3.易错点：
高考数学专题练习-指数式与对数式
高考数学专题练习-指数式与对数式 班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________ (满分100分，测试时间50分钟) 一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．． 上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1. 【江苏省泰州中学高三摸底考试】已知23112log log a a += ，则a = ． 【答案】6 【解析】 试题分析：223112log 2log 32log 626,06log log a a a a a a a a +=?+=?=?=>?= 2. 【南京市高三年级学情调研】已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且 1()()()2x f x g x +=，若存在01[,1]2 x ∈，使得等式00()(2)0af x g x +=成立，则实数a 的取值范围是 . 【答案】5[22, 2]2 【解析】 min max 252222;22 t a t a ====时，即实数a 的取值范围是5[22,2]2 3. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县高三10月联考】计算121(lg lg 25)1004 --÷= ▲ ． 【答案】－20 【解析】 试题分析：11211(lg lg 25)100lg 10204100 ---÷=÷=-
4. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县高三10月联考】已知1a b >>，若10log log 3a b b a +=，b a a b =，则a b += ▲ ． 【答案】43 【解析】 5.若a >0，2 3a ＝4 9，则23 log a ＝________. 【答案】3 【解析】∵23a ＝4 9，∴23log 2 3a ＝23log 49＝2，∴2 323log a ＝2，∴23 log a ＝3. 6. 42527log 9log 64log 5??＝ . 【答案】1 【解析】42527log 9log 64log 5??lg9 lg 64lg52lg36lg 2lg5 1lg 4lg 25lg 272lg 22lg53lg3=??=??=. 7. (lg2)2＋lg2·lg50＋lg25= ． 【答案】2 【解析】(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52 ＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5 ＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2. 8. 1 .0lg 21036.0lg 21lg600）2lg （8000lg 5lg 2 3--+ · = ． 【答案】34. 【解析】原式分子＝lg5(3＋3lg2)＋3(lg2)2 ＝3lg5＋3lg2(lg5＋lg2)＝3； 原式分母＝(lg6＋2)－lg 36 1000×1 10