第3章 线性方程组的直接解法
第三章 线性方程组的数值方法在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为求解线性代数方程组.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++nnnn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111当它的系数行列式不为零时，由克莱姆法则可以给出方程组的唯一解，但是这一理论上完 善的结果，在实际计算中可以说没有什么用处。
因此如何建立在计算机上可以实现的有效而实用的解法，具有极其重要的意义。
这些方法大致可分为两类：一类是直接法，就是经过有限步算术运算,可求得方程组精确解的方法(如果每步计算都是精确进行的话)；另一类是迭代法，就是用某种极限过程去逐步逼近其精确解的方法.本章将阐述这两类算法中最基本的高斯消元法及其变形、矩阵分解法、雅可比迭代法、高斯 -塞德尔迭代法等.第一节 高斯消元法一 回代过程设系数矩阵为n 阶上三角矩阵的线性方程组(1)2222211212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=++nn nn n n n n b x a b x a x a b x a x a x a如果a ,...a ,a nn 2211都(1)自下而上可以逐次求出x ,...x ,x n n 11-为()21211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=∑-==+=,...n ,n k ,a x a b x a b x kk jn k j kj k k nn n n按上述公式求方程组(1) 解的过程称为回代过程.不难看出，解方程组(1)共需()121+n n 次加法和()121-n n 次乘法.这恰好是用一个n 阶三角方阵乘n 维向量所需的运算次数。
当n 较大时,n n >>2，同时加法运算速度远快于乘法的运算速度，所以，可用n 221次乘法来近似表示回代过程的运算量.二 消元过程设有线性方程组()322112222212*********⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 为了符号统一，记()()()n ...,j ;n ,...,i b a ,a a i in ij ij2121010====+, 则原方程组改写成()()()()()()()()()()()()()301020*******2022*********10120121011'nnnnn n n n )n nn n a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+++++如果()0011≠a ，那么就可以保留其中第一个方程并利用它分别与其余方程消去第一个未知量.令()()n,..,,i ,a a l i i 32011011==()4则以l i 1-乘第一个方程加到第i个方程中，就把方程组()3'化为()()()()()()()()()()()51112121121221220110120121011⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+++++a x a x a a x a x a a x a x a x a nn nnn n n nn n n n其中()()()1323201101+==-=n ,...,j ,n ,...,i ,a l a a j i ij ij ()6由方程组(3′)化为(5)的过程中，元素()a 011起着特殊的作用，特把元素()a 011称为主元素.如果方程组(5)中()0122≠a , 则以()a 122为主元素，并利用类似的方法消去第n ,...,43个方程中的第二个未知量，即令()()n ,..,,i ,a a l i i 43122122== ()7则以l i 2-乘以第二个方程加到第i 个方程中,于是得到新的方程组()()()()()()()()()()()()()()()()8212323213233233112123123212201101301320121011⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=+++=++++++++a x a x a a x a ....x a a x a x a x a a x a x a x a x a nn n nn n n n n n n n n n n其中()()()13312212+==-=n ,...j ,n ,...i ,a l a a j i ij ij ()9重复上述过程1-n 步后，我们得到原方程组等价的系数矩阵为三角形方阵的方程组()()()()()()()()()()()()()()()10111213233233112123123212201101301320121011⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==++=+++=++++-+-+++a x a a x a ....x a a x a x a x a a x a x a x a x a n nn n n nn n n n n n n n n n其中()()a a l k kk k ikik 11--= ()11()()()⎪⎩⎪⎨⎧+++=++=-=-=--1212112111n ,...k ,k j ;n ,...k ,k i n ,...,k a l a a k kj ik k ij k ij()12把方程组(3)逐步化为方程组(10)的过程称为消元过程.最后，由回代过程可求得原方程组的解为()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=∑-==-+=--+--+122111111111,,...n .n k ,a x a a x a a x k kk n k j j k kjk kn k n nnn nn n ()13这种通过消元、再回代的求解方法称为高斯(Gauss)消元法(其特点是始终消去主对角线下方的元素).注意到，上标k 仅仅用来识别一次消元前后系数矩阵的变化，而()a k ij 变为()a k ij 1+后,()a k ij不再使用，所以在计算机存贮中只要用()a k ij1+冲掉()a k ij即可；另一方面，主元素所在列中主元素下面的各元素在消元过程中必然是零，而且在后面将要列出的回代过程中也不用它们，所以没有必要通过计算得到它们，从而在消元过程中j 就可从1+k 开始，这样做还可以节约计算时间.例1 用高斯消元法求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=++52213614282321321321x x x x x x x x x解 用第一个方程消去后两个方程中的x 1，得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=++9962214282232321x x x x x x 再用第二个方程消去第三个方程中的x 2，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=++18962214282332321x x x x x x 最后，经过回代求得方程组的解为52281412262918321323=--==+=-=-=x x x x x x 三 高斯消元法的条件与运算量从消元过程可以看出，对于n 阶线性方程组，只要各步主元素不为零，即()01≠-a k kk ，经过1-n 步消元，就可以得到一个等价的系数矩阵为上三角形阵的方程组，然后再利用回代过程可求得原方程组的解.因此,有下面结论.定理1 如果在消元过程中A 的主元素不为零，即()01≠-a k kk (k=1,2,…,n),则可通过高斯消元法求出b Ax =的解.矩阵A 在什么条件下才能保证()01≠-a k kk ,下面的定理给出了这一条件.引理 在高斯消元过程中系数矩阵A 的主元素不为零，即()01≠-a k kk (k=1,2,…，n)的充要条件是矩阵A 的各阶顺序主子式不为零，即n...,k ,a ...a .........a ...a D a D kkk kk 32001111111=≠=≠=证明 首先利用归纳法证明引理的充分性，显然 ，当1=n 时，引理的充分性是成立的，现假设引理对1-n 时也成立，求证引理对n 也成立，由归纳法假设有()01≠-a k kk , 121-=n ...,k于是可用高斯消元法将A 化为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→--------)n (nn)n (n ,n )n (n n)(n )(n )()(n )(n )()(a a a a a a a a a a A 1212111211212201011012011且()()a a D 0110111==()()()()()a a a a a D 1220111220120112==()()()a ...a a a a a a a a a a D n nn)n (nn )(n )(n )()(n )(n )()(n 112201111211212201011012011----=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=由假设,n ,...,k ,D k 210=≠所以有()01≠-a n nn .反过来,由上式可知必要性是显然的.定理2 如果n 阶矩阵A 的所有顺序主子式均不为零，即,n ,...,k ,D k 210=≠则可通过高斯消元法求出的解.下面考虑求解(3)的高斯消元法的运算量.消元过程需要除法()()()1211221-=+++-+-n n ...n n次，而需要的乘法和加法的次数都是()()()()131122112-=⋅++-⋅-+-⋅n n ...n n n n加上回代过程的运算次数，共需乘、除法的次数为()()()()133112113112122-+=++-+-n n n n n n n n n加、减法的次数为()()()5326112113122-+=-+-n n n n n n n 当n 较大时,n n 23>>,消元过程的运算量远大于回代过程，从而，高斯消元法中乘除法的次数与加减法的次数近似为n331.第二节 第二节 高斯主元素消元法一 问题的提出由高斯消元法可知，在消元过程中如果出现()01=-a k kk 的情况，这时消元法将无法进行；另一方面，即使主元素()01≠-a k kk ，但很小时，用其作除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算结果很不可靠.例1 例1 解方程组⎩⎨⎧=+=+0000100001000010001200003000302121.x .x ..x .x .(它的精确解为323121==x ,x )解法一 用高斯消元法求解(取5位有效数字)，用第一个方程消去第二个方程中的x 1得⎩⎨⎧-=-=+0666609999000120000300030221.x ..x .x . 因而再回代，得000300666700003000120666799990666612=⨯-=≈--=....x ...x 显然，这个解与精确解相差太远，不能作为方程组的近似解其原因是我们在消元过程中使用了小主元素，使得约化后的方程组中的元素量级大大增长，再经舍入使得计算中舍入误差扩散，因此经消元后得到的三角形方程组就不准确了.为了控制舍入误差，我们采用另一种消元过程. 解法二 为了避免绝对值很小的元素作为主元，先交换两个方程，得到⎩⎨⎧=+=+0001200003000300000100001000012121.x .x ..x .x .消去第二个方程中的x 1，得⎩⎨⎧==+9998199972000010000100001221.x ..x .x .再回代，解得()3333066670000010000166670999729998112....x ...x =⨯-=≈=结果与准确解非常接近.这个例子告诉我们，在采用高斯消元法解方程组时,用做除法的小主元素可能使舍入误差增加，主元素的绝对值越小，则舍入误差影响越大。
第3章 线性方程组直接求解
顺序高斯消元法 列主元高斯消元法 全主元高斯消元法 高斯约当消元法 消元形式的追赶法 LU分解法 LU分解法 矩阵形式的追赶法 平方根法
1
3.1 引言
n阶线性方程组的一般形式为： 阶线性方程组的一般形式为： 阶线性方程组的一般形式为 n阶线性方程组一般形式的矩阵形式为： 阶线性方程组一般形式的矩阵形式为： 阶线性方程组一般形式的矩阵形式为 a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 Ax = b a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2 … … … … an1x1+an2x2+…+annxn=bn 阶数在100～150以上的线性方程组为高阶线性方程组 ～ 阶数在 以上的线性方程组为高阶线性方程组 阶数在100～150以下的线性方程组为低阶线性方程组 阶数在 ～ 以下的线性方程组为低阶线性方程组 系数矩阵的大部分元素为零元素的线性方程组为稀疏线性方程组 系数矩阵的大部分元素为非零元素的线性方程组为稠密线性方程组 实际应用中，经常见到高阶稀疏线性方程组，低阶稠密线性方程组， 实际应用中，经常见到高阶稀疏线性方程组，低阶稠密线性方程组， 对称正定线性方程组，带状线性方程组等等。 对称正定线性方程组，带状线性方程组等等。 克莱姆法则并不实用。常用的数值解法主要分为两类： 克莱姆法则并不实用。常用的数值解法主要分为两类： 直接求解方法是指经过有限次四则运算，求出线性方程组精确解的方法。 ① 直接求解方法是指经过有限次四则运算，求出线性方程组精确解的方法。 迭代求解方法是指构造一种迭代方法，由某个（ 迭代初值（粗略解）， ② 迭代求解方法是指构造一种迭代方法，由某个（套）迭代初值（粗略解）， 得到近似解序列，用序列极限逐步逼近线性方程组精确解的方法。 得到近似解序列，用序列极限逐步逼近线性方程组精确解的方法。
解线性方程组的直接方法
解线性方程组的直接方法一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组最常用的方法之一、它通过一系列的消元操作，将线性方程组转化为阶梯型方程组，从而求解未知数的值。
1.确定线性方程组的阶数和未知数的个数。
设线性方程组中有n个未知数。
2.将线性方程组写成增广矩阵的形式。
增广矩阵是一个n行n+1列的矩阵，其中前n列是线性方程组的系数矩阵，第n+1列是等号右边的常数。
3.通过初等行变换（交换行、数乘行、行加行）将增广矩阵化为阶梯型矩阵。
具体步骤如下：a.首先，找到第一个非零元素所在的列，将它所在的行视为第一行。
b.将第一行的第一个非零元素（主元）变成1，称为主元素。
c.将主元所在列的其他元素（次元素）变为0，使得主元所在列的其他元素只有主元素是非零的。
d.再找到第一个非零元素所在的列，将它所在的行视为第二行，并重复上述步骤，直到将增广矩阵化为阶梯型矩阵。
4.根据阶梯型矩阵求解未知数的值。
具体步骤如下：a.从最后一行开始，依次求解每个未知数。
首先，将最后一行中非零元素所在的列作为含有该未知数的方程，将该未知数的系数设为1b.将含有该未知数的方程中其他未知数的系数设为0，并对其他方程进行相应的变换，使得该未知数所在列的其他元素都为0。
c.重复上述步骤，直到求解出所有未知数的值。
高斯消元法的优点是简单易懂、容易实现，但当线性方程组的系数矩阵接近奇异矩阵时，计算精度可能会降低。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是解线性方程组的另一种直接方法。
它通过对系数矩阵求逆，然后与常数矩阵相乘，得到未知数的值。
1.确定线性方程组的阶数和未知数的个数。
设线性方程组中有n个未知数。
2.将线性方程组写成矩阵方程的形式，即Ax=b，其中A是一个n阶方阵，x和b分别是n维列向量。
3.求系数矩阵A的逆矩阵A^-1a. 首先，计算系数矩阵A的行列式det(A)。
b. 判断det(A)是否为0，如果det(A)=0，则该线性方程组无解或有无穷多解；如果det(A)≠0，则系数矩阵A可逆。
线性方程组直接解法
在求解线性规划问题时，高斯消元法 可以用于求解单纯形表中的方程组，
从而得到最优解。
矩阵求逆
通过高斯消元法可以将一个可逆矩阵 化为单位矩阵，从而求出其逆矩阵。
计算机图形学
在计算机图形学中，高斯消元法可以 用于求解三维变换矩阵，实现图形的 旋转、平移等操作。
2023
PART 03
克拉默法则
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2023
PART 02
高斯消元法
REPORTING
高斯消元法的基本思想
通过对方程组的增广矩阵进行初等行 变换，将其化为行阶梯形矩阵，然后 逐步回代求解未知数。
高斯消元法的基本思想是将方程组中 的未知数逐一消去，从而得到一个易 于求解的三角形方程组。
高斯消元法的步骤
将方程组的增广矩阵写出来， 并对其进行初等行变换，化为 行阶梯形矩阵。
未来研究方向
高性能计算
随着计算资源的不断发展，研究如何 在高性能计算环境中更有效地应用直 接解法和迭代解法具有重要意义。
预处理技术
研究更有效的预处理技术，以 改善迭代解法的收敛性和稳定 性。
并行化与分布式计算
探索并行化和分布式计算技术 在解线性方程组中的应用，以 提高计算效率和可扩展性。
自适应算法
开发能够自适应地选择最合适 算法和参数的线性方程组求解 器，以提高求解效率和精度。
2023
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从行阶梯形矩阵中，选取一个 主元，通过行变换将主元所在 的列的其他元素消为0。
重复上述步骤，直到所有未知 数都被消去，得到一个上三角 形方程组。
从上三角形方程组中，逐个回 代求解未知数。
第3章线性方程组的直接解法1PPT课件
(3.5)
u x n1,n1 n1 un1,nxn bn1
unnxn bn
n
u iixi b i (u i,i 1 xi 1 u inxn) b i u ijxj
j i 1
xnbn/unn,
xi bijn i1uijxj/uii8,in1,n2,
返回LU
,2,1. 返回(3.20)
3.2.2 消去法的基本思想
(3.4)
返回式3.19
i1
liixi bi (li1x1li2x2 li,i1xi1)bi lijxj j1
i1
xi bi lijxj /lii, i 1,2, ,n.
j1
7
三、上三角方程组（返回Gauss）
u11x1 u12x2 u13x3 u1nxn b1
uiixi ui,i1xi1 uinxn bi
x3
78 26
3
x2 -28 10x3 -28 10(3)
x 1
16
(x2
2
4x 3 )
2
10
16
2 2
4(3)
1
3.2.3 高斯消元过程（即初等行变换） 记方程组（3.1）为
返回矩阵的三角分解
aa12((1111))xx11
a1(12)x2 a2(12)x2
an(11)x1an(12)x2
2
3.1 引 言
自然科学和工程计算中的很多问题的解决常常 归结为求解线性方程组。如三次样条插值函数问 题、用最小二乘原理确定拟合曲线、求解微分方 程的数值解等，最终都要转化为求解线性方程组。
求解线性方程组可采用：
1、直接法——经有限步算术运算可求得方 程组的精确解的方法（若计算过程无舍入误差）。
数值分析第三章线性方程组解法
数值分析第三章线性方程组解法在数值分析中，线性方程组解法是一个重要的主题。
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，其中未知数的次数只为一次。
线性方程组的解法包括直接解法和迭代解法两种方法。
一、直接解法1.1矩阵消元法矩阵消元法是求解线性方程组的一种常用方法。
这种方法将方程组转化为上三角矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。
1.2LU分解法LU分解法是将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，然后通过解两个三角方程组求解线性方程组。
这种方法可以减少计算量，提高计算效率。
1.3 Cholesky分解法Cholesky分解法是对称正定矩阵进行分解的一种方法。
它将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和它的转置的乘积，然后通过解两个三角方程组求解线性方程组。
Cholesky分解法适用于对称正定矩阵的求解，具有较高的精度和稳定性。
二、迭代解法2.1 Jacobi迭代法Jacobi迭代法是一种迭代求解线性方程组的方法。
它通过分解系数矩阵A为一个对角矩阵D和一个余项矩阵R，然后通过迭代更新未知数的值，直至达到一定精度要求为止。
Jacobi迭代法简单易懂，容易实现，但收敛速度较慢。
2.2 Gauss-Seidel迭代法Gauss-Seidel迭代法是一种改进的Jacobi迭代法。
它通过使用新计算出的未知数值代替旧的未知数值，达到加快收敛速度的目的。
Gauss-Seidel迭代法是一种逐步逼近法，每次更新的未知数值都会被用于下一次的计算，因此收敛速度较快。
2.3SOR迭代法SOR迭代法是一种相对于Jacobi和Gauss-Seidel迭代法更加快速的方法。
它引入了一个松弛因子，可以根据迭代的结果动态地调整未知数的值。
SOR迭代法在理论上可以收敛到线性方程组的解，而且收敛速度相对较快。
三、总结线性方程组解法是数值分析中的一个重要内容。
直接解法包括矩阵消元法、LU分解法和Cholesky分解法，可以得到线性方程组的精确解。
数值分析-线性方程组的直接解法
算法 Gauss(A,a,b,n,x)
1. 消元 For k=1,2, … , n-1 1.1 if akk=0 , stop; 1.2 For i=k+1,k+2, …, n 1.2.1 l ik=aik /akk => aik 1.2.2 For j=k+1，k+2, … ,n ai j -aik ak j =>aij 1.2.3 bi -aik bk=> bi 2. 回代 2.1 bn / an=>xn; 2.2 For i=n-1,n-2, …, 2,1 2.2.1 bk => S 2.2.2 For j=k+1，k+2, … ,n S –akj xj =>S 2.2.3 S/ akk => xk a1 1 a1 2 a13 a2 1 a2 2 a23
线性方程组的直接解法
刘 斌
线性方程组的直接解法
§1 Gauss消去法 1.1 顺序Gauss消去法
1.2
§2 2.1 2.2 2.3
列主元Gauss消去法
Gauss消去法的矩阵运算 Doolittle分解法 平方根法
直接三角分解方法
2.4
追赶法
引入
在科学计算中，经常需要求解含有n个未知量 的n个方程构成的线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 (1) an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
(1) a12 ( 2) a22 0
(1) (1) a13 a1 n ( 2) ( 2) a23 a2 n ( 3) ( 3) a33 a3 n
0
七年级数学第三章知识点整理
七年级数学第三章知识点整理第三章线性方程组的解法一、线性方程组的概念线性方程组是由多个线性方程组成的方程组。
线性方程是指变量的最高次数为1的方程。
线性方程组的解即使能够使方程组中的每个方程成立的一组数值。
二、线性方程组的解的表示形式1. 有唯一解：线性方程组中的方程个数与未知数个数相等，并且方程组的系数行列式不为0时，方程组有唯一解。
解可以用一个有序数组表示，每个元素对应一个未知数的值。
2. 无解：线性方程组中的方程个数大于未知数个数，并且方程组的系数行列式不为0时，方程组无解。
3. 无穷解：线性方程组中的方程个数小于未知数个数，并且方程组的系数行列式不为0时，方程组有无穷解。
解可以用一个有序数组表示，每个元素对应一个未知数的值，其中有的未知数可以取任意实数值。
三、线性方程组的解的求解方法1. 直接代入法：将一个方程的解直接代入到另一个方程中，求解未知数的值。
2. 消元法：通过方程的等价变形，逐步消去未知数，最终得到解。
- 列主元消元法：选择一个未知数的系数绝对值最大的方程，作为主元方程。
通过主元方程与其他方程的组合，将未知数的系数化为0，逐步消去未知数。
- 斯图姆形式消元法：将线性方程组的系数矩阵化为上三角矩阵，通过回代求解未知数的值。
3. 矩阵法：将线性方程组的系数矩阵与未知数矩阵进行运算，得到方程组的解。
- 逆矩阵法：将线性方程组的系数矩阵A求逆，得到逆矩阵A^-1，方程的解为X = A^-1 * B。
- 初等变换法：通过初等行变换，将线性方程组的系数矩阵化为简化行阶梯形矩阵，再通过回代求解未知数的值。
四、线性方程组的应用线性方程组的解法在实际生活中有广泛的应用，例如：1. 经济学中的生产计划：通过线性方程组的解法，可以确定最优的生产计划，以最大化利润或者最小化成本。
2. 物理学中的力学问题：通过线性方程组的解法，可以求解物体在受力情况下的运动状态。
3. 工程学中的电路分析：通过线性方程组的解法，可以求解电路中的电流、电压等参数。
第三章线性代数方程组的直接解法
由此看出,高斯消去法解方程组基本思想是设
法通消常去把方按程照组的先系消数元矩,阵后A回的代主两对个角线步下骤的求元解素线,而性 将方A程x=组b化的为方等法价称的上为三高角斯形（方G程a组us,s然）后消再去通法过。回
代过程便可获得方程组的解。换一种说法就是用矩 阵行的初等变换将原方程组系数矩阵化为上三角形 矩阵,而以上三角形矩阵为系数的方程组的求解比较 简单,可以从最后一个方程开始,依次向前代入求出 未知变量 xn , xn1 , , x1 这种求解上三角方程组的 方法称为回代, 通过一个方程乘或除以某个常数,以 及将两个方程相加减,逐步减少方程中的变元数,最 终将方程组化成上三角方程组,一般将这一过程称为 消元,然后再回代求解。
3.2.2 高斯消去法算法构造 我们知道,线性方程组(3.1)用矩阵形式表示为
a11 a12 a21 a22 an1 an2
a1n
a2n
ann
x1 b1
x
2
b2
xn bn
每个方程只含有一个未知数,从而得出所求的解。
整个过程分为消元和回代两个部分。
（1）消元过程 第1步:将方程①乘上(-2)加到方程 ②上去,将 方程 ①乘上 1 加到方程 ③上去,这样就消去
2
了第2、3个方程的 x1 项,于是就得到等价方程 组
2x1 x2 3x3 1
2
x1
x2
3x3
1
4x2 x3 2
5 2
x2
3 2
x3
13 2
第三章 线性代数方程组的直接解法1
for
j = n : −1 : 2
y( j ) = y( j ) u( j , j )
y (1 : j − 1) = y (1 : j − 1) − y ( j )u(1 : j − 1, j )
end
y(1) = y(1) u(1,1)
加减乘除运算次数之和)均为 两种算法的工作量(加减乘除运算次数之和 两种算法的工作量 加减乘除运算次数之和 均为 n
高斯变换
a 0
(1) 11
取
L = I +l e 1
其中 l i 1
T 1 1
l1 = (0, l21,⋯, ln1)
a
(1) 11
T
=
−1 1
a
(1) i1
i = 2, 3,⋯ , n
−1 1 T 1 1
记
A
( 2)
=L A
(1)
L = I −l e
(1 a11) 0 I n−1 c1 T 1
(i ) ii
的各阶顺序主子式都不等于零 顺序主子式都不等于 A 的各阶顺序主子式都不等于零，即
−1 −1 1 2
1 4 7 0 −3 − 6 = U L2 L1 A = 0 0 1
∴ A = L L U = LU
其中
1 0 0 2 1 0 −1 − 1 L = L1 L2 = 3 2 1
Gauss消去法的矩阵表示 消去法的矩阵表示 设给定 n 阶矩阵 记
1 0 0 −2 1 0 L1 = −3 0 1
设给定矩阵
则有
7 1 4 0 −3 −6 L1 A = 0 −6 −11
第三章 解线性方程组的直接法
第三章 解线性方程组的直接法3.1 引言许多科学技术问题要归结为解含有多个未知量x 1, x 2, …, x n 的线性方程组。
例如，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，三次样条函数问题，解非线性方程组的问题，用差分法或有限元法解常微分方程、偏微分方程的边值等，最后都归结为求解线性代数方程组。
关于线性方程组的数值解法一般有两类：直接法和迭代法。
1. 直接法直接法就是经过有限步算术运算，可求得线性方程组精确解的方法（假设计算过程中没有舍 入误差）。
但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组的近似解。
本章将阐述这类算法中最基本的高斯消去法及其某些变形。
2. 迭代法迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，迭代法需要的计算机存储 单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变，这些都是迭代法的优点；但是存在收敛性和收敛速度的问题。
迭代法适用于解大型的稀疏矩阵方程组。
为了讨论线性方程组的数值解法，需要复习一些基本的矩阵代数知识。
3.1.1 向量和矩阵 用nm ⨯R表示全部n m ⨯实矩阵的向量空间，nm C⨯表示全部n m ⨯复矩阵的向量空间。
()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⇔∈⨯nn n n n n ij nm a a aa a aa a a a212222111211A R A 此实数排成的矩形表，称为m 行n 列矩阵。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⇔∈n n x x x 21x R x x 称为n 维列向量矩阵A 也可以写成)(n 21a ,,a ,a A = 其中 a i 为A 的第i 列。
同理⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T T T n 21b b b A其中T i b 为A 的第i 行。
矩阵的基本运算：（1） 矩阵加法 )( ,n m n m R C ,R B ,R A B A C ⨯⨯⨯∈∈∈+=+=n m ij ij ij b a c . （2） 矩阵与标量的乘法 ij j a ci αα== ,A C （3） 矩阵与矩阵乘法 p nk kjik b acij ⨯⨯⨯=∈∈∈==∑m p n n m R C ,R B ,R A AB C ( ,1（4） 转置矩阵 ji ij T nm a c ==∈⨯ , ,A C RA（5） 单位矩阵 ()n n ⨯∈=R e ,,e ,e I n 21 ，其中 ()Tk e 0,0,1,0,0 = k=1,2,…,n（6） 非奇异矩阵 设nn ⨯∈RA ，nn ⨯∈RB 。