2015年普通高校招生全国统一考试仿真模拟全国卷(六)数学(文)试题(扫描版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试(陕西文)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）文科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.1. 设集合{}{}2,lg 0M x x x N x ===≤，则MN =（A ）[]0,1 （B ）(]0,1 （C ）[)0,1 （D ）(],1-∞ 答案：A解析：由{}2M x x x ==可得{}0,1M =，由{}lg 0N x x =≤可得(]0,1N =，所以[]0,1MN =.2. 某中学初中部共有110名老师，高中部共有150名老师，其性别比例如图所示，则该校女老师的人数为（A ）93 （B ）123 （C ）137 （D ）167答案：C解析：11070%150(160%)137⨯+⨯-=.3. 已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点()1,1-，则该抛物线焦点坐标为（A ）()1,0- （B ）()1,0 （C ）()0,1- （D ）()0,1 答案：B解析：有题可知焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程2p x =-且准线过点()1,1-，解得12p =.所以焦点坐标为()1,0. 4. 设()102,0xx f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则()()2ff -=（A ）1- （B ）14 （C ）12 （D ）32答案：C解析：()211122,((2))()1.442f f f f --==-=== 5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A ）3π （B ）4π （C ）24π+ （D ）34π+答案：D解析：由三视图可知该几何图形如下图该几何体的表面积2112222342S πππ=⨯+⨯+⨯⨯⨯=+ 6. “sin cos αα=”是“cos 20α=”的充分不必要条件 必要不充分条件 充分必要条件既不充分也不必要条件 答案：A解析：()22cos2cos sin cos sin (cos sin )0ααααααα=-=+-=可得(c o ss i nαα-=或()cos sin αα+0=，因为sin cos αα=⇒cos 20α=，sin cos αα=/⇐cos 20α=，所以“sin cos αα=”是“cos 20α=” 的充分不必要条件.7. 根据如图所示的框图，当输入x 为6时，输出的y =（A ）1 （B ）2 （C ）5 （D ）10答案：D解析：63x x x ==-，代入 30x =≥，3x x =-代入 00x =≥，3x x =-代入30x =-<，21,10y x y =+=代入解得8. 对任意平面向量,a b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是 （A ）a b a b ≤ （B ）a b a b -≤- （C ）22()a b a b +=+ （D ）22()()a b a b a b +-=- 答案：B解析：当,=22,0a b a b a b a b -=-=为相反向量时. 9. 设()sin ,()f x x x f x =-则（A ）既是奇函数又是减函数（B ）既是奇函数又是增函数（C ）是有零点的减函数 （D ）是没有零点的奇函数 答案：B解析：()sin =f x x x -=-+因为()f x -，所以()f x 是奇函数. 因为'()1cos 0f x x =-≥，所以()f x 是增函数. 10. 设1()ln ,0,(),(()())22a b f x x a b p f q f r f a f b +=<<===+若，则下列关系式中正确的是（A ）q r p =< （B ）q r p => （C ）p r q =< （D ）p r q => 答案：C解析：1ln .()ln 222a b a bp f ab q f ++=====0a b <<ln2a ba b q p +∴+>∴>∴> 111(()())(l n l n )l n 222r f a f b a b a b p=+=+== r p q ⇒=<11. 某企业生产甲、乙两种产品均需,A B 两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获最大利润为（A ）12万元 （B ）16万元 （C ）17万元 （D ）18万元答案：D解析：设生产甲产品x0404321228x y x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩ ，283212x y A x y +=⎧⇒⎨+=⎩代入34x yz += ， max 18z =.12. 设复数(1)i(,),1,z x y x y R z y x =-+∈≤≥若则的概率为 （A ）3142π+ （B ）112π+ （C ） 1142π- （D ）112π- 答案：C解析：22(1)i(,)(1)1z x y x y R z x y =-+∈⇒=-+≤22(1)1z x y y x⎧=-+≤⎪⇒⎨≥⎪⎩1114242p πππ-==-.二、填空题：把答案填写在横线上（本大题共4小题，每小题5分，工20分）.13. 中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 .答案：5 解析：11210102015,202020155a a ⨯=+=-=14. 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++.据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为 .答案：8解析：由图象可知min 23,5y k k ==-+=max 3sin()53586y x y πϕ∴=++=+=.15. 函数xy xe =在其极值点处的切线方程为 . 答案：1y e=-解析：'01x xy e xe x =+=⇒=- 所以极值点坐标为1(1,)e--.因为极值点的斜率为零，所以极值点处的切线方程为1y e=-. 16. 观察下列等式y /h11122-= 11111123434-+-=+11111111123456456-+-+-=++. . . . . .据此规律，第n 个等式可为 .答案：111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++………… 解析：有前三列等式可知等式右边项数个数为n ，首相分母为为项数1n +，分子为1，所以可知第n 个等式可为111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++………….三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤（本题共6小题，共70分）.17. （本小题满分12分）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c 向量(3)m b =与(cos ,sin )n A B =平行.（1）求A ；（2）若2a b ==，求ABC ∆的面积.解析：（1）由//sin cos m n a B A ⇒， s i n s i n 3s i n c o s A B B A⇒=,,A B C 是三角形内角sin tan 3A AA A π∴=⇒==（2）sin sin sin sin a b b A B A B a =⇒== 11sin sin()22ABC S ab C ab A B ∆==+ sin()sin cos cos sin A B A B A B +=+1sin cos sin cos 2277A AB B ====11222ABC S ∆=⨯+=18. （本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，1//,,,22AD BC BAD AB BC AD a π∠====E 是AD O AC BE ABE ∆的中点，是与的交点，将沿BE 2折起到图中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -.（1）证明： 1C D A O C ⊥平面（2）当平面 1A B E B C D E ⊥平面时，四棱锥1A BCDE -的体积为，求a 的值.解析：（1）1,//22AE AD a AD BC BAD π==∠=且ABCD AC BE EO AO EO CO ∴⇒⊥⇒⊥⊥为正方形1EB AOC ∴⊥平面 又//CD BE∴1CD AOC ⊥平面.（2）1112633A BCDE V Sh a a a -====. 19.（1）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨．．．的概率. （2）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不． 下雨．．的概率. BCDO E1()A A解析：（1）413=1=1=43015P --不下雨下雨天数月份总天数（2）271168P =-=. 20. （本小题满分12分）如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)A，且离心率为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q （均异于点A ），证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.解析：（1）将点(0,1)A 代入椭圆E 得21b =，c e a ==， 2222222112:122c b x a E y a a ==-⇒=⇒+=.（2）由题意知k 2≠，设:1PQ l y kx k =+-22222211()2(1)(1)10212y kx kk x k k k x y =+-⎧⎪⇒++-+--=⎨+=⎪⎩ 设11(,)P x y ，22(,)Q x y 1222(1)12k k x x k-+=-+ 2122(1)112k x x k --=+111PA y k x +=221QA y k x +=211212121212(2)()22PA QA x y x y x x k x x k k k x x x x +++-++==+=.21.（本小题满分12分）设2()1,, 2.n n f x x x n N n =+++-∈≥…… （1）求'()(2);n f（2）证明：()()n f x 在2(0,)3内有且只有一个零点（记为n a ），且1120()233n n a <-<. 解析：（1）'21()()123n n f x x x nx -=++++…… '21()(2)122322n n f n -=++++…… ① '23()2(2)1222322nn f n =++++…… ②①-②，'21(2)12222n n n f n --=++++-……'(2)2(1)1n n f n =-+（2）因为(0)10f =-<222133222()112()1()0233313nn n f ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-=-⨯≥->- 所以()n f x 在2(0,)3内至少存在一个零点.又'21()()123n n f x x x nx -=++++ 0所以()()n f x 在2(0,)3内单调递增，因此()()n f x 在2(0,)3内有且只有一个零点n a .由于()()n f x =111n x x x +---，所以1()011n n n nn a na a f a +-==--，由此可得1111,222n n n a a +=+>故1223n a <<. 所以111112120()().222333n n nn n a a ++<-=<⨯=考生注意：请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 切O 于点B ，直线AO 交O 于D ，E 两点，BC DE ⊥，垂足为C . （1）证明：CBD DBA ∠=∠；（2）若3,AD DC BC ==求O 的直径.解析：（1）连接DB ，AB O 切2OBA π∴∠=EO B O 是直径，是上一点2EBD π∴∠=EBO DBA ∴∠=∠EOB OEB EBO ∆∠=∠在中，EBO OEB DBA ∴∠=∠=∠CDB CBD CDB BEO ∠+∠=∠+∠ ∴CBD DBA ∠=∠（2）由题意知221()2x r r x r x =-⇒=+12xOC r x x =-=-21()4212x OC CA BC x x x =⇒-=⇒=223d r x x==+=. 23.（本小题满分10分）选修4—4坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为132()x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数.以原点为极点，x 轴为正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为.ρθ=（1）写出C 的直角坐标方程；（2）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标. 解析：（1）222sin x y ρθρρθ=⇒=⇒+= 22(0x y ⇒+=（2）l 0y --=E当且仅当CP l ⊥时距离最短设CP 所在直线为m1m l m m l k k k ⊥∴=-⇒=其直角坐标方程为：(0)33y x y x =--⇒=-+y x y =+⎧⎪⎨⎪=-⎩(3,0)P ⇒. 24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<.（1）求实数,a b 的值；（2.解析：（1）x a b +<b x a b ∴-<+<b a x b a ∴--<<-2341b a a b a b --==-⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩ （2=≤4==，1=，即1t =时等号成立，故max 4=.。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷Ⅰ)数学(文科)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷Ⅰ）数学（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，8，10，12，，则集合中元素的个数为( )A. 5B. 4C. 3D. 22.已知点，，向量，则向量A. B. C. D.3.已知复数z满足，则A. B. C. D.4.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为A. B. C. D.5.已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则A. 3B. 6C. 9D. 126.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米如图，米堆为一个圆锥的四分之一，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛7.已知是公差为1的等差数列，为的前n项和，若，则A. B. C. 10 D. 128.函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为A. ，B. ，C. ，9.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的A. 5B. 6C. 7D. 810.已知函数，且，则A. B. C. D.11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球半径为组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为，则A. 1B. 2C. 4D. 812.设函数的图象与的图象关于对称，且，则A. B. 1 C. 2 D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在数列中，，，为的前n项和，若，则______．14.已知函数的图象在点处的切线过点，则______．15.若x，y满足约束条件，则的最大值为______．16.已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，当周长最小时，该三角形的面积为______．三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）17.已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，．Ⅰ若，求；Ⅱ设，且，求的面积．18.如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，平面ABCD．Ⅰ证明：平面平面BED；Ⅱ若，，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积．19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费单位：千元对年销售量单位：和年利润单位：千元的影响，对近8年的年宣传费和年销售量2，，数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中，Ⅰ根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？给出判断即可，不必说明理由Ⅱ根据Ⅰ的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；Ⅲ已知这种产品的年利润z与x、y的关系为根据Ⅱ的结果回答下列问题：年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据，，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．20.已知过点且斜率为k的直线l与圆C：交于点M、N两点．求k的取值范围；若，其中O为坐标原点，求．21.设函数．Ⅰ讨论的导函数零点的个数；Ⅱ证明：当时，．22.如图，AB是的直径，AC是的切线，BC交于点E．Ⅰ若D为AC的中点，证明：DE是的切线；Ⅱ若，求的大小．23.在直角坐标系xOy中，直线：，圆：，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求，的极坐标方程；Ⅱ若直线的极坐标方程为，设与的交点为M，N，求的面积．24.已知函数，．Ⅰ当时，求不等式的解集；Ⅱ若的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．答案和解析【答案】1. D2. A3. C4. C5. B6. B7. B8. D9. C10. A11. B12. C13. 614. 115. 416.17. 解：，由正弦定理可得：，代入可得，，，，由余弦定理可得：．由可得：，，且，，解得．．18. 证明：Ⅰ四边形ABCD为菱形，，平面ABCD，，则平面BED，平面AEC，平面平面BED；解：Ⅱ设，在菱形ABCD中，由，得，，平面ABCD，，则为直角三角形，，则，三棱锥的体积，解得，即，，，即，在三个直角三角形EBA，EBG，EBC中，斜边，，为等腰三角形，则，，则，从而得，的面积，在等腰三角形EAD中，过E作于F，则，，则，的面积和的面积均为，故该三棱锥的侧面积为．19. 解：Ⅰ由散点图可以判断，适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；Ⅱ令，先建立y关于w的线性回归方程，由于，，所以y关于w的线性回归方程为，因此y关于x的回归方程为，Ⅲ由Ⅱ知，当时，年销售量y的预报值，年利润z的预报值，根据Ⅱ的结果可知，年利润z的预报值，当时，即当时，年利润的预报值最大．20. 由题意可得，直线l的斜率存在，设过点的直线方程：，即：．由已知可得圆C的圆心C的坐标，半径．故由，故当，过点的直线与圆C：相交于M，N两点．设；，由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为，代入圆C的方程，可得，，，，由，解得，故直线l的方程为，即．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．21. 解：Ⅰ的定义域为，．当时，恒成立，故没有零点，当时，为单调递增，单调递增，在单调递增，又，假设存在b满足时，且，，故当时，导函数存在唯一的零点，Ⅱ由Ⅰ知，可设导函数在上的唯一零点为，当时，，当时，，故在单调递减，在单调递增，所欲当时，取得最小值，最小值为，由于，所以．故当时，．22. 解：Ⅰ连接AE，由已知得，，在中，由已知可得，，连接OE，则，又，，，是的切线；Ⅱ设，，由已知得，，由射影定理可得，，即，解方程可得23. 解：Ⅰ由于，，：的极坐标方程为，故C：的极坐标方程为：，化简可得．Ⅱ把直线的极坐标方程代入圆：，可得，求得，，，由于圆的半径为1，，的面积为．24. 解：Ⅰ当时，不等式，即，即，或，或解求得，解求得，解求得．综上可得，原不等式的解集为．Ⅱ函数，由此求得的图象与x轴的交点，，故的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点，由的面积大于6，可得，求得．故要求的a的范围为．【解析】1. 解：5，8，11，14，17，，则，故集合中元素的个数为2个，故选：D．根据集合的基本运算进行求解．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2. 解：由已知点，，得到，向量，则向量；故选：A．顺序求出有向线段，然后由求之．本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．3. 解：由，得，．故选：C．由已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得，进一步求得z．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．4. 解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有2，，2，，2，，3，，3，，4，，3，，3，，4，，4，共10种，其中只有4，为勾股数，故这3个数构成一组勾股数的概率为．故选：C一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可．本题考查了古典概型概率的问题，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件，属于基础题．5. 解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：的焦点重合，可得，，，椭圆的标准方程为：，抛物线的准线方程为：，由，解得，所以，．．故选：B．利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B坐标，即可求解所求结果．本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．6. 解：设圆锥的底面半径为r，则，解得，故米堆的体积为，斛米的体积约为立方，，故选：B．根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．7. 解：是公差为1的等差数列，，，解得．则．故选：B．利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8. 解：由函数的部分图象，可得函数的周期为，再根据函数的图象以及五点法作图，可得，，即，由，求得，故的单调递减区间为，，故选：D．由周期求出，由五点法作图求出，可得的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得的减区间．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图求出的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．9. 解：第一次执行循环体后，，，，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，，，，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，，，，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，，，，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，，，，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，，，，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，，，，满足退出循环的条件；故输出的n值为7，故选：C．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10. 解：由题意，时，，无解；时，，，．故选：A．利用分段函数，求出a，再求．本题考查分段函数，考查学生的计算能力，比较基础．11. 解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，其表面积为：，又该几何体的表面积为，，解得，故选：B．通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．12. 解：与的图象关于对称的图象是的反函数，，即，．函数的图象与的图象关于对称，，，，，解得，，故选：C．先求出与的反函数的解析式，再由题意的图象与的反函数的图象关于原点对称，继而求出函数的解析式，问题得以解决．本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法，属于基础题13. 解：，，，数列是为首项，以2为公比的等比数列，，，，．故答案为：6由，结合等比数列的定义可知数列是为首项，以2为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，解题的关键是熟练掌握基本公式．14. 解：函数的导数为：，，而，切线方程为：，因为切线方程经过，所以，解得．故答案为：1．求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．15. 解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在y轴上的截距最大，此时z有最大值为．故答案为：4．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16. 解：由题意，设是左焦点，则周长P，三点共线时，取等号，直线的方程为与联立可得，的纵坐标为，周长最小时，该三角形的面积为．故答案为：．利用双曲线的定义，确定周长最小时，P的坐标，即可求出周长最小时，该三角形的面积．本题考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，确定P的坐标是关键．17. ，由正弦定理可得：，再利用余弦定理即可得出．利用及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18. Ⅰ根据面面垂直的判定定理即可证明：平面平面BED；Ⅱ根据三棱锥的条件公式，进行计算即可．本题主要考查面面垂直的判定，以及三棱锥体积的计算，要求熟练掌握相应的判定定理以及体积公式．19. Ⅰ根据散点图，即可判断出，Ⅱ先建立中间量，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；Ⅲ年宣传费时，代入到回归方程，计算即可，求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题．20. 由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围．由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解．本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力．21. Ⅰ先求导，在分类讨论，当时，当时，根据零点存在定理，即可求出；Ⅱ设导函数在上的唯一零点为，根据函数的单调性得到函数的最小值，只要最小值大于，问题得以证明．本题考查了导数和函数单调性的关系和最值的关系，以及函数的零点存在定理，属于中档题．22. Ⅰ连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得，可得DE是的切线；Ⅱ设，，由射影定理可得关于x的方程，解方程可得x 值，可得所求角度．本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题．23. Ⅰ由条件根据，求得，的极坐标方程．Ⅱ把直线的极坐标方程代入，求得和的值，结合圆的半径可得，从而求得的面积的值．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．24. Ⅰ当时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求Ⅱ化简函数的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得的图象与x轴围成的三角形面积；再根据的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2015年模拟考试数学试卷(6)
2．如图 1，AB∥CD，EF⊥AB于点 E，EF 交
CD于点 F，已知∠ 1=60°，则∠ 2 的度数为
A．20° B．60° C ．30° D ．45°
3．如图 2 是某几何体的三视图，该几何体是 ( )
A．圆锥
B．三棱柱
C．圆柱
D．三棱锥
4．下列计算中，正确的是 ( )
A．x2 ＋x4＝x 6 B ．2x +3y ＝5xy
点 E．过点 D 作 DF⊥AC，垂足为点 F.
（1）判断 DF与圆 O的位置关系，并证明你的结论；
A
（2）过点 F 作 FH⊥BC，垂足为点 H. 若等边△ ABC
的边长为 4，求 FH的长（结果保留根号）． F
D
E
B
O
A 图9
C
x D
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B
F
C
应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1
A．
B．
3 C．
5 D． 2 5
A
2
2
5
5
x
16．（满分 5 分）解分式方程：
6 1.
x2 x2
15 题
7．如图 7，∠ACB=9°0 ， D 为 AB的中点，连接
【精校】2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学文
2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学文一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i为虚数单位，i607=( )A. -iB. iC. 1D. -1解析：i607=i606·i=(i2)303·i=(-1)303·i=-i.故选：B.2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石解析：由题意，这批米内夹谷约为石，故选：B.3.命题“∃x0∈(0，+∞)，lnx0=x0-1”的否定是( )A.∃x0∈(0，+∞)，lnx0≠x0-1B.∃x0∉(0，+∞)，lnx0=x0-1C.∀x∈(0，+∞)，lnx≠x-1D.∀x∉(0，+∞)，lnx=x-1解析：命题的否定是：∀x∈(0，+∞)，lnx≠x-1，故选：C4.已知变量x和y满足关系y=-0.1x+1，变量y与z正相关，下列结论中正确的是( )A. x与y负相关，x与z负相关B. x与y正相关，x与z正相关C. x与y正相关，x与z负相关D. x与y负相关，x与z正相关解析：因为变量x和y满足关系y=-0.1x+1，一次项系数为-0.1＜0，所以x与y负相关；变量y与z正相关，设，y=kz，(k＞0)，所以kz=-0.1x+1，得到，一次项系数小于0，所以z与x负相关；故选：A.5. l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则( )A. p是q的充分条件，但不是q的必要条件B. p是q的必要条件，但不是q的充分条件C. p是q的充分必要条件D. p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析：若l1，l2是异面直线，则l1，l2不相交，即充分性成立，若l1，l2不相交，则l1，l2可能是平行或异面直线，即必要性不成立，故p是q的充分条件，但不是q的必要条件，故选：A.6.函数的定义域为( )A. (2，3)B. (2，4]C. (2，3)∪(3，4]D. (-1，3)∪(3，6]解析：要使函数有意义，则，即，，解得2＜x≤4且x≠3，即函数的定义域为(2，3)∪(3，4]，故选：C7.设x∈R，定义符号函数sgnx=，则( )A. |x|=x|sgnx|B. |x|=xsgn|x|C. |x|=|x|sgnxD. |x|=xsgnx解析：对于选项A，右边=x|sgnx|=，而左边=|x|=，显然不正确；对于选项B，右边=xsgn|x|=，而左边=|x|=，显然不正确；对于选项C，右边=|x|sgnx=，而左边=|x|=，显然不正确；对于选项D，右边=xsgnx=，而左边=|x|=，显然正确；故选：D.8.在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x+y≤”的概率，P2为事件“xy≤”的概率，则( )A. p1＜p2＜B.C. p2＜D.解析：由题意，事件“x+y≤”表示的区域如图阴影三角形，；满足事件“xy≤”的区域如图阴影部分所以p2=；所以；故选：B.9.将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m＞0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则( )A. 对任意的a，b，e1＞e2B. 当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C. 对任意的a，b，e1＜e2D. 当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2解析：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=；双曲线C2：c′2=(a+m)2+(b+m)2，e2=，∴，∴当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2，故选：D.10.已知集合A={(x，y)|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={(x1+x2，y1+y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为( )A. 77B. 49C. 45D. 30解析：∵A={(x，y)|x2+y2≤1，x，y∈Z}={(0，0)，(0，1)，(0，-1)，(1，0)，(-1，0)，B={(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，-1)，(0，-2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)(1，-1)，(1，-2)(2，0)，(2，1)，(2，2)(2，-1)，(2，-2)，(-1，-2)，(-1，-1)，(-1，0)，(-1，1)，(-1，2)，(-2，-2)，(-2，-1)，(-2，0)，(-2，1)，(-2，2)}∵A⊕B={(x1+x2，y1+y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，∴A⊕B={(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，-1)，(0，-2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)(1，-1)，(1，-2)(2，0)，(2，1)，(2，2)(2，-1)，(2，-2)，(-1，-2)，(-1，-1)，(-1，0)，(-1，1)，(-1，2)，(-2，-2)，(-2，-1)，(-2，0)，(-2，1)，(-2，2)，(-2，4)，(-2，-3)，(-2，-4)，(-1，-5)，(0，-4)，(0，-3)，(1，-4)，(1，-3)，(2，-4)，(2，-3)，(-2，3)，(-1，3)，(-1，-4)，(-1，-3)，(1，3)，(2，3)(1，4)，(0，3)，(0，4)(2，4)}共45个元素故选：C.二、填空题11.已知向量，，则=_____.解析：因为向量，所以=0；又，所以，即故答案为：9.12.设变量x，y满足约束条件，则3x+y的最大值为_____.解析：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=-3x+z，平移直线y=-3x+z，由图象可知当直线y=-3x+z，经过点C时，直线y=-3x+z的截距最大，此时z最大.由得.即C(3，1)，此时z的最大值为z=3×3+1=10，故答案为：10.13.函数的零点个数为_____.解析：f(x)=2sinxcosx-x2=sin2x-x2，由f(x)=0得sin2x=x2，作出函数y=sin2x和y=x2的图象如图：由图象可知，两个函数的图象有2个不同的交点，即函数f(x)的零点个数为2个，故答案为：214.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示.(1)直方图中的a=_____.(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为_____.解析：(1)由题意，根据直方图的性质得(1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2)×0.1=1，解得a=3 (2)由直方图得(3+2.0+0.8+0.2)×0.1×10000=6000故答案为：(1)3 (2)600015.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=_____m.解析：设此山高h(m)，在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h.答案：设此山高h(m)，则BC=h，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600.根据正弦定理得，解得h=100(m)16.如图，已知圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为_____.(2)圆C在点B处切线在x轴上的截距为_____.解析：(1)确定圆心与半径，即可求出圆C的标准方程；(2)求出圆C在点B处切线方程，令y=0可得圆C在点B处切线在x轴上的截距.答案：(1)由题意，圆的半径为=，圆心坐标为(1，)，∴圆C的标准方程为(x-1)2+(y-)2=2；(2)由(1)知，B(0，1+)，∴圆C在点B处切线方程为(0-1)(x-1)+(1+-)(y-)=2，令y=0可得x=-1-.17. a为实数，函数f(x)=|x2-ax|在区间[0，1]上的最大值记为g(a).当a=_____时，g(a)的值最小.解析：通过分a≤0、0＜a≤2-2、a＞2-2三种情况去函数f(x)表达式中绝对值符号，利用函数的单调性即得结论.答案：对函数f(x)=|x2-ax|=|x(x-a)|分下面几种情况讨论：①当a≤0时，f(x)=x2-ax在区间[0，1]上单调递增，∴f(x)max=g(a)=1-1；②当0＜a≤2-2时，，f(1)=1-a，∵，∴f(x)max=g(1)=1-a；③当2-2＜a≤1时，f(x)max=g(a)=；综上所述，g(a)=，∴g(a)在(-∞，]上单调递减，在[，+∞)上单调递增，∴g(a)min=g()；④当1＜a＜2时，g(a)=f()=；⑤当a≥2时，g(a)=f(1)=a-1；综上，当a=时，g(a)min=3-2.三、解答题18.某同学将“五点法”画函数f(x)=Asin(wx+φ)(w＞0，|φ|＜)在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：(1)请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y=f(x)图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g(x)图象，求y=g(x)的图象离原点O最近的对称中心.解析：(1)由五点作图法即可将数据补充完整，写出函数的解析式；(2)由函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可得g(x)，解得其对称中心即可得解.答案：(1)数据补充完整如下表：函数f(x)的解析式为：f(x)=5sin(2x-).(2)将y=f(x)图象上所有点向左平移(3)个单位长度，得到y=g(x)=5sin[2(x+)-]=5sin(2x+).由2x+=kπ，k∈Z，可解得：x=-，k∈Z，当k=0时，可得：x=-.从而可得离原点O最近的对称中心为：(-，0).19.设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100.(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式(2)当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n.解析：(1)利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；(2)当d＞1时，由(1)知c n=，写出T n、T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可.答案：(1)设a1=a，由题意可得，解得，或，当时，a n=2n-1，b n=2n-1；当时，a n=(2n+79)，b n=9·；(2)当d＞1时，由(1)知a n=2n-1，b n=2n-1，∴c n=，∴T n=1+3·+5·+7·+9·+…+(2n-1)·，∴T n=1·+3·+5·+7·+…+(2n-3)·+(2n-1)·，∴T n=2+++++…+-(2n-1)·=3-，∴T n=6-.20.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE.(1)证明：DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；(2)记阳马P-ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值.解析：(1)证明BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即可得出结论；(2)由已知，PD是阳马P-ABCD的高，所以V1=.由(1)知，DE是鳖臑D-BCE的高，BC⊥CE，所以V2=.即可求的值.答案：(1)证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，因为ABCD为正方形，所以BC⊥CD，因为PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD，因为DE 平面PCD，所以BC⊥DE，因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC，因为PC∩BC=C，所以DE⊥平面PBC，由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB；(2)由已知，PD是阳马P-ABCD的高，所以V1=.由(1)知，DE是鳖臑D-BCE的高，BC⊥CE，所以V2=.因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE=CE=CD，所以21.设函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)+g(x)=e x，其中e为自然对数的底数.(1)求f(x)，g(x)的解析式，并证明：当x＞0时，f(x)＞0，g(x)＞1；(2)设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag(x)+(1-a)＜＜bg(x)+(1-b).解析：(1)运用奇、偶函数的定义，由函数方程的思想可得f(x)、g(x)的解析式，再由指数函数的单调性和基本不等式，即可证得f(x)＞0，g(x)＞1；(2)当x＞0时，＞ag(x)+1-a⇔f(x)＞axg(x)+(1-a)x，＜bg(x)+1-b ⇔f(x)＜bxg(x)+(1-b)x，设函数h(x)=f(x)-cxg(x)-(1-c)x，通过导数判断单调性，即可得证.答案：(1)f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，即有f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，f(x)+g(x)=e x，f(-x)+g(-x)=e-x，即为-f(x)+g(x)=e-x，解得f(x)=(e x-e-x)，g(x)=(e x+e-x)，则当x＞0时，e x＞1，0＜e-x＜1，f(x)＞0；g(x)=(e x+e-x)＞×=1，则有当x＞0时，f(x)＞0，g(x)＞1；(2)证明：f′(x)=(e x+e-x)=g(x)，g′(x)=(e x-e-x)=f(x)，当x＞0时，＞ag(x)+1-a⇔f(x)＞axg(x)+(1-a)x，＜bg(x)+1-b⇔f(x)＜bxg(x)+(1-b)x，设函数h(x)=f(x)-cxg(x)-(1-c)x，h′(x)=f′(x)-c(g(x)+xg′(x))-(1-c)=g(x)-cg(x)-cxf(x)-(1-c)=(1-c)(g(x)-1)-cxf(x)，①若c≤0则h′(x)＞0，故h(x)在(0，+∞)递增，h(x)＞h(0)=0，(x＞0)，即有f(x)＞cxg(x)+(1-c)x，故＞ag(x)+1-a成立；②若c≥1则h′(x)＜0，故h(x)在(0，+∞)递减，h(x)《h(0)=0，(x＞0)，即有f(x)＜cxg(x)+(1-c)x，故＜bg(x)+1-b成立.综上可得，当x＞0时，a g(x)+(1-a)＜＜b g(x)+(1-b).22.一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN 通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O 为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求椭圆C的方程；(2)设动直线l与两定直线l1：x-2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.解析：(1)根据条件求出a，b即可求椭圆C的方程；(2)联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可.答案：(1)∵|OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4，当M，N在x轴上时，等号成立，同理|OM|≥|MN|-|NO|=3-1=2，当D，O重合，即MN⊥x轴时，等号成立.∴椭圆C的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为.(2)①当直线l的斜率k不存在时，直线l为：x=4或x=-4，都有S△OPQ=，②直线l的斜率k存在时，直线l为：y=kx+m，(k)，由消去y，可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0，∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，∴△=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0，即m2=16k2+4，①，由，可得，同理得，原点O到直线PQ的距离和|PQ|=·|x P-x Q| ，可得S△OPQ=|PQ|d=|m||x P-x Q|=②，将①代入②得S△OPQ=，当k2＞时，S△OPQ=，当0≤k2＜时，S△OPQ=，∵0≤k2＜时，∴0＜1-4k2≤1，，∴S△OPQ=，当且仅当k=0时取等号，∴当k=0时，S△OPQ的最小值为8，综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，三角形OPQ的面积存在最小值为8.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
全国I卷2015高三最后一模数学(文)试题及答案
2021 年高考文科数学押题密卷(全国新课标I 卷)说明：一、本试卷分为第一卷和第二卷．第一卷为选择题；第二卷为非选择题，分为必考和选考两局部．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“考前须知〞，按照“考前须知〞的规定答题． 三、做选择题时，每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案．四、考试完毕后，将本试卷与原答题卡一并交回．第一卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． 〔1〕设集合{}{}21,0,1,|M N x x x =-==,那么M N ⋂=〔A 〕{}1,0,1-〔B 〕{}0,1〔C 〕{}1 〔D 〕{}0〔2〕复数z ＝1－3i1＋2i，那么〔A 〕|z |＝2 〔B 〕z 的实部为1 〔C 〕z 的虚部为－i 〔D 〕z 的共轭复数为－1＋i 〔3〕不等式x －1x 2－4＞0的解集是〔A 〕(－2，1)∪(2，＋∞) 〔B 〕(2，＋∞) 〔C 〕(－2，1) 〔D 〕(－∞，－2)∪(1，＋∞) 〔4〕执行右面的程序框图，假设输出的k ＝2，那么输入x 的取值范围是〔A 〕(21，41) 〔B 〕[21，41] 〔C 〕(21，41] 〔D 〕[21，41) 〔5〕p ： ∀x ∈R ，ax 2－ax ＋1≥0，q ：(a －1)2≤1；那么p 是q 成立的〔A 〕充分不必要条件 〔B 〕必要不充分条件 〔C 〕充要条件 〔D 〕既不充分也不必要条件 〔6〕函数f (x )＝(x ＋2)3－(1 2)x的零点所在区间是 〔A 〕(－2，－1) 〔B 〕(－1，0) 〔C 〕(0，1)〔D 〕(1，2)〔7〕向量a=〔1, 2〕，b=〔2,3〕假设〔c +a 〕∥b ，c ⊥〔b +a 〕，那么c=〔A 〕〔 79 ， 73〕 〔B 〕〔 73 ， 79〕 〔C 〕〔 73 ， 79 〕〔D 〕〔－ 79 ，－ 73 〕〔8〕某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔A 〕1136 〔B 〕 3〔C 〕533 〔D 〕433〔9〕等比数列{a n }的前n 项和为S n ， a 1＋a 3＝ 52，且a 2＋a 4＝ 5 4，那么S n a n＝ 〔A 〕4n －1 〔B 〕4n －1〔C 〕2n －1 〔D 〕2n －1〔10〕函数f (x )＝cos (2x ＋π 3)，g (x )＝sin (2x ＋2π3)，将f (x )的图象经过以下哪种变换可以与g (x )的图象重合〔A 〕向右平移 π12〔B 〕向左平移 π6〔C 〕向左平移 π12〔D 〕向右平移 π6〔11〕过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，假设垂足恰在线段OF 〔O为原点〕的垂直平分线上，那么双曲线的离心率为 〔A 〕 2 〔B 〕2 〔C 〕 5 〔D 〕 3 〔12〕函数，其图像的对称中心是〔A 〕〔1，－1〕 〔B 〕〔－1，1〕 〔C 〕〔0，1〕〔D 〕〔0，－1〕第二卷俯视图二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填写在题中横线上． 〔13〕在等差数列{a n }中，a 7＝8，前7项和S 7＝42，那么其公差是为_________．〔14〕四棱锥P -ABCD 的底面是边长为42的正方形，侧棱长都等于45，那么经过该棱锥五个顶点的球面面积为_________． 〔15〕点P 在△ABC 内部〔包含边界〕，|AC|=3， |AB|=4，|BC|=5，点P 到三边的距离分别是d 1, d 2 , d 3 ，那么d 1+d 2+d 3的取值范围是_________．〔16〕△ABC 的顶点A 在圆O ：x 2＋y 2＝1上，B ，C 两点在直线3x+y+3=0上，假设|AB －AC |＝4，那么△ABC 面积的最小值为_____．三、解答题：本大题共70分，其中〔17〕—〔21〕题为必考题，〔22〕，〔23〕，〔24〕题为选考题．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤． 〔17〕〔本小题总分值12分〕在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ≥b ，sin A ＋3cos A ＝2sin B ． 〔Ⅰ〕求角C 的大小；〔Ⅱ〕求a ＋bc 的最大值．〔18〕〔本小题总分值12分〕〔Ⅱ〕从乙比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进展失误分析，求抽到恰好有1场得分缺乏10分的概率．〔19〕〔本小题总分值12分〕如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面ABB 1A 1为正方形，侧面BB 1C 1C 为菱形，∠CBB 1＝60 ，AB ⊥B 1C ．〔Ⅰ〕求证：平面ABB 1A 1⊥BB 1C 1C ；〔Ⅱ〕假设AB ＝2，求三棱柱ABC -A 1B 1C 1体积．B CB 1BAC 1A 1A〔20〕〔本小题总分值12分〕椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1〔a ＞b ＞0〕经过点M (－2，－1)，离心率为22．过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P 、Q ． 〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；〔Ⅱ〕试判断直线PQ 的斜率是否为定值，证明你的结论．〔21〕〔本小题总分值12分〕函数 x 轴是函数图象的一条切线． 〔Ⅰ〕求a ； 〔Ⅱ〕 ．请考生在第〔22〕，〔23〕，〔24〕三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 〔22〕〔本小题总分值10分〕选修4-1：几何证明选讲如下图，AC 为⊙O 的直径，D 为BC ︵的中点，E 为BC 的中点．〔Ⅰ〕求证：DE ∥AB ； 〔Ⅱ〕求证：AC ·BC ＝2AD ·CD ．〔23〕〔本小题总分值10分〕选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系Ox 中，直线C 1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M 是C 1上任意一点，点P 在射线OM 上，且满足|OP |·|OM |＝4，记点P 的轨迹为C 2． 〔Ⅰ〕求曲线C 2的极坐标方程；〔Ⅱ〕求曲线C 2上的点到直线ρcos (θ＋4)＝2距离的最大值．〔24〕〔本小题总分值10分〕选修4-5：不等式选讲设f (x )＝|x －3|＋|x －4|． 〔Ⅰ〕解不等式f (x )≤2；〔Ⅱ〕假设存在实数x 满足f (x )≤ax －1，试求实数a 的取值范围．2021 年高考文科数学押题密卷(全国新课标I 卷)参考答案一、选择题：BDACB BDCDA A C二、填空题：〔13〕23；〔14〕100π；〔15〕[ 125，4]；〔16〕1．三、解答题：〔17〕解：〔Ⅰ〕sin A＋3cos A＝2sin B即2sin(A＋π3)＝2sin B，那么sin(A＋π3)＝sin B．…3分因为0＜A，B＜π，又a≥b进而A≥B，所以A＋π3＝π－B，故A＋B＝2π3，C＝π3．……………………………6分〔Ⅱ〕由正弦定理及〔Ⅰ〕得a＋b c＝sin A＋sin Bsin C＝23[sin A＋sin(A＋π3)]＝3sin A＋cos A＝2sin(A＋π6)．…10分当A＝π3时，a＋bc取最大值2．……………………………12分〔18〕解：〔Ⅰ〕x-甲＝18(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，x-乙＝18(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，s2甲＝18[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，s2乙＝18[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25．甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大〔乙的方差较小〕．…4分〔Ⅱ〕题设所述的6个场次乙得分为：7，8，10，15，17，19．……………………………7分从中随机抽取2场，这2场比赛的得分如下：(7，8)，(7，10)，(7，15)，(7，17)，(7，19)，(8，10)，(8，15)，(8，17)，(8，19)，(10，15)，(10，17)，(10，19)，(15，17)，(15，19)，(17，19)，共15种可能，……………………………9分其中恰好有1场得分在10分以下的情形是：(7，10)，(7，15)，(7，17)，(7，19)，(8，10)，(8，15)，(8，17)，(8，19)，共8种可能，所求概率P＝815．……………………………12分〔19〕解：〔Ⅰ〕由侧面ABB 1A 1为正方形，知AB ⊥BB 1．又AB ⊥B 1C ，BB 1∩B 1C ＝B 1，所以AB ⊥平面BB 1C 1C ， 又AB ⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥BB 1C 1C ．…4分〔Ⅱ〕设O 是BB 1的中点，连结CO ，那么CO ⊥BB 1．由〔Ⅰ〕知，CO ⊥平面ABB 1A 1，且CO ＝32BC ＝32AB ＝3． 连结AB 1，那么V C -ABB 1＝ 1 3S △ABB 1·CO ＝ 1 6AB 2·CO ＝233． …8分因V B 1-ABC ＝V C -ABB 1＝ 1 3V ABC -A 1B 1C 1＝233，故三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V ABC -A 1B 1C 1＝23． ………………………12分 〔20〕解：〔Ⅰ〕由题设，得4a 2＋1b2＝1， ①且a 2－b 2a ＝22， ②由①、②解得a 2＝6，b 2＝3，椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1．………………………………………………5分〔Ⅱ〕记P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)．设直线MP 的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，与椭圆C 的方程联立，得 (1＋2k 2)x 2＋(8k 2－4k )x ＋8k 2－8k －4＝0，－2，x 1是该方程的两根，那么－2x 1＝8k 2－8k －41＋2k 2，x 1＝－4k 2＋4k ＋21＋2k 2．设直线MQ 的方程为y ＋1＝－k (x ＋2)，同理得x 2＝－4k 2－4k ＋21＋2k 2．………………………………………………9分因y 1＋1＝k (x 1＋2)，y 2＋1＝－k (x 2＋2)，故k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1＋2)＋k (x 2＋2)x 1－x 2＝k (x 1＋x 2＋4)x 1－x 2＝8k1＋2k 28k 1＋2k 2＝1，因此直线PQ 的斜率为定值． ……………………………………………12分 〔21〕解：〔Ⅰ〕f '(x ) =BCB 1BAC 1A 1A O当x ∈(0，a )时，f '(x )＜0，f (x )单调递减，当x ∈(a ，＋∞)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增． …………………………2分 ∵ x 轴是函数图象的一条切线，∴切点为〔a ，0〕．f (a )=lna ＋1=0，可知a =1. ……………………………5分 〔Ⅱ〕令1＋，由x>0得知t>1，，于是原不等式等价于： . ……………………………7分 取，由〔Ⅰ〕知：当t ∈(0，1)时，g '(t )＜0，g (t )单调递减， 当t ∈(1，＋∞)时，g '(t )＞0，g (t )单调递增． ∴ g (t )> g (1)=0，也就是.∴ . ……………………………12分 〔22〕证明：〔Ⅰ〕连接OE ，因为D 为BC ︵的中点，E 为BC 的中点，所以OED 三点共线． 因为E 为BC 的中点且O 为AC 的中点，所以OE ∥AB ，故DE ∥AB ．〔Ⅱ〕因为D 为BC ︵的中点，所以∠BAD ＝∠DAC ，又∠BAD ＝∠DCB ⇒∠DAC ＝∠DCB ． 又因为AD ⊥DC ，DE ⊥CE ⇒△DAC ∽△ECD ． ⇒AC CD ＝ADCE ⇒AD ·CD ＝AC ·CE⇒ 2AD ·CD ＝AC ·2CE⇒ 2AD ·CD ＝AC ·BC ． 〔23〕解：〔Ⅰ〕设P (ρ，θ)，M (ρ1，θ)，依题意有 ρ1sin θ＝2，ρρ1＝4． ……………………………3分 消去ρ1，得曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ． ………………………5分〔Ⅱ〕将C 2，C 3的极坐标方程化为直角坐标方程，得 C 2：x 2＋(y －1)2＝1，C 3：x －y ＝2． ………………………… …7分C 2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C 3的距离d ＝322，故曲线C 2上的点到直线C 3距离的最大值为1＋322． ………………………10分〔24〕〔Ⅰ〕f (x )＝|x －3|＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧7－2x ，x ＜3，1，3≤x ≤4，2x －7，x ＞4． ………………………2分作函数y ＝f (x )的图象，它与直线y ＝2交点的横坐标为 5 2和 92，由图象知不等式f (x )≤2的解集为[5 2， 92]．………………………5分A〔Ⅱ〕函数y ＝ax －1当且仅当函数y ＝f (x )与直线y ＝ax －1有公共点时，存在题设的x ．由图象知，a 取值范围为(－∞，－2)∪[ 12，＋∞)． …………………10分＝ 1 2。
【恒心】2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷)数学试题(理科)(适用于16个省份)【模拟题02】
2015 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
( 适用于河南 河北 山西 贵州 甘肃 青海 西藏 黑龙江 吉林 宁夏 内蒙古 新疆 云南 广西 辽宁 江西 ）
模拟试题 2
命题人：李炳璋
绝密 ★ 启用前
2015 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自 己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试题上无效。 4．考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
1 2
（B）
1 3
（D） 3
（9）已知正项数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,，若 2Sn an 2014 （A）2014 + 2014 2014 （B）2014 - 2014
1 (n N ) ，则 S2014= an
（C） 2014
（D）2014
（10）定义：如果一个椭圆的长轴和短轴分别是双曲线 C 的虚轴与实轴，则这
都有 f ( x1 ) f ( x2 ) ，则下列结论一定正确的是 （A） a b 1 （B） a b 1 （C ） a b 1 （D） a b 1
1 （12）若函数 f ( x) x 2 a ln x （ a R ）有且只有一个零点，e 为自然对数的 2 底，则这个零点所在的区间是
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17） （本小题满分 12 分） 已知△ ABC 的周长为 4 2 1 ，且 sin B+sin C= 2 sin A． （Ⅰ）求边长 a 的值； （Ⅱ）若 S△ ABC = 3 sin A，求 cos A 的值． （18） （本小题满分 12 分） 户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否 与性别有关，对本单位的 50 名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表： 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 合计 男性 5 女性 10 合计 50 3 已知在这 50 人中随机抽取 1 人抽到喜欢户外运动的员工的概率是 ． 5 （ 参考公式：K 2 =