高考数学专题2函数概念与基本初等函数9函数性质的应用理

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题2 函数概念与基本初等函数 9 函数性质的应用 理①y ＝x ＋1；②y ＝－x 3；③y ＝1x；④y ＝x |x |.2．(2015·黄冈调研)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＋f (x )＝0，f (x )＝f (x ＋4)，且x ∈(－2,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)＝________.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋1，x>0，cos x ，x≤0，则下列结论正确的是________．①f (x )是偶函数；②f (x )是增函数；③f (x )是周期函数；④f (x )的值域为[－1，＋∞)．4．若f (x )和g (x )都是奇函数，且F (x )＝f (x )＋g (x )＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上F (x )有最______值，为________． 5．设x >y >1,0<a <1，则下列关系正确的是________． ①x -a>y -a；②ax <ay ；③a x <a y；④log a x >log a y .6．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a≥b，a ，a<b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________．7．(2015·四川成都七中零诊)对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有 f (x )＝f (2a －x )，则称 f (x )为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是________．①f (x )＝cos(x ＋1)；②f (x )＝x ；③f (x )＝tan x ；④f (x )＝x 3.8．(2015·安徽庐江部分示范高中第三次联考)定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈[－1,0)时，f (x )的最小值为________． 9．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0，f (x )＝x ＋2，那么不等式2f (x )－1<0的解集是________________．10．(2015·广州综合测试一)已知幂函数f (x )＝x －m 2－2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数，则f (2)的值为________．11．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋32)＋f (x )＝0，且函数y ＝f (x －34)为奇函数，给出下列命题：①函数f (x )的最小正周期是32；②函数y ＝f (x )的图象关于点(－34，0)对称；③函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称． 其中真命题的个数是________．12．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是________．13．已知定义在R 上的偶函数y ＝f (x )满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题： ①f (2)＝0；②直线x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若关于x 的方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8. 其中所有正确命题的序号为________．14．(2015·湖北武汉部分学校毕业生2月调研)已知函数f (x )＝a log 2|x |＋1(a ≠0)，定义函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x>0，－f x ，x<0，给出下列命题：①F (x )＝|f (x )|； ②函数F (x )是奇函数；③当a >0时，若x 1x 2<0，x 1＋x 2>0，则F (x 1)＋F (x 2)>0成立； ④当a <0时，函数y ＝F (x 2－2x －3)存在最大值，不存在最小值． 其中所有正确命题的序号是________．答案解析1．④解析 易知y ＝x |x |为奇函数，图象如下：从图知y ＝x |x |为增函数．2．－1解析 ∵f (－x )＋f (x )＝0，即f (－x )＝－f (x )，∴定义在R 上的函数f (x )是奇函数．，5＝32220<log 216<log 2log ＝∵4 ，)452(log f ＝－)542log －( f ＝－)542(log f ＝4)－202(log f ＝20)2(log f ∴ ，1＝15＋4522log ＝)452(log f ∴，<04522<log －∵ 1.＝－20)2(log f ∴ 3．④不)x ( f ，所以函数(π) f π)≠－( f ，所以1＝－π)－( f ，1＋2π＝(π) f 因为 解析是偶函数，排除A ；因为函数f (x )在(－2π，－π)上单调递减，排除B ；函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )不是周期函数，排除C ；因为x >0时，f (x )>1，x ≤0时，－1≤f (x )≤1，所以函数f (x )的值域为[－1，＋∞)．4．－4解析 由题意知f (x )＋g (x )在(0，＋∞)上有最大值6，因为f (x )和g (x )都是奇函数，所以f (－x )＋g (－x )＝－f (x )－g (x )＝－[f (x )＋g(x )]，即f (x )＋g (x )也是奇函数，所以f (x )＋g (x )在(－∞，0)上有最小值－6，所以F (x )＝f (x )＋g (x )＋2在(－∞，0)上有最小值－4.5．③不①，故a－y <a －x 上是减函数，所以∞)，＋(0在a －x ＝)x ( f ，幂函数<0a ，－①对于 解析正确；对于②，x >y >1，又a >0，利用不等式的性质得ax >ay ，故②不正确；易知③正确；对，所以>1y >x 上是减函数，又∞)，＋(1在x a log ＝)x ( f ，所以函数<1a 0<，因为④于不正确．④，故y a <log x a log 6．(－∞，1]解析 由题意知x ⊙(2－x )表示x 与2－x 两者中的较小者，借助y ＝x 与y ＝2－x 的图象，不难得出f (x )的值域为(－∞，1]．7．①解析 对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数，∴函数的对称轴是直线x ＝a ，a ≠0，②③④中，函数没有对称轴；函数f (x )＝cos(x ＋1)，有对称轴，且x ＝0不是对称轴，①正确．18．－8 解析 当x ∈[－1,0)时，x ＋1∈[0,1)．∵f (x ＋1)＝2f (x )，，12＝－x ，其图象的对称轴为直线)x ＋2x (12＝1)]＋x (－21)＋x [(12＝1)＋x ( f 12＝)x ( f ∴ .18＝－)12－( f ＝min )x ( f ∴ }52<x 0≤或32－<x |x {．9 解析 由题意知，函数y ＝f (x )的定义域是R ，当x <0时，f (x )＝x ＋2，则当x >0时，－x <0，所以f (－x )＝－x ＋2，又函数y ＝f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (x )＝－f⎩⎪⎨⎪⎧x<0，x ＋2<12等价于1<0－)x ( f 2因此不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x<0，0，x ＝0，x －2，x>0，＝)x ( f ，即2－x ＝)x －(.52<x 0≤或32－<x 解得⎩⎪⎨⎪⎧x>0，x －2<12.或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，0<12或 10．16，解得－3>0＋m 2－2m 上是单调增函数，所以－∞)，＋(0在区间)x ( f 因为幂函数 解析2m为偶函数，所以－)x ( f 因为幂函数0.＝m 或1＝－m 或2＝－m 以，所Z ∈m ，因为<1m 3<m 2－2m 时，－1＝－m ，不符合，舍去；当3＝3＋m 2－2m 时，－2＝－m 是偶数，当3＋m 2－16.＝42＝(2) f ，故4x ＝)x ( f ，不符合，舍去．所以3＝3＋m 2－2m 时，－0＝m ；当4＝3＋ 11．2是周期函数，且其最小正)x ( f ，则函数)x ( f ＝)32＋x ( f ＝－3)＋x ( f 由题意可得 解析y，又函数对称(0,0)是奇函数，可知其图象关于原点)34－x ( f ＝y 错误；由①，故3周期为的图象关于)x (f 的图象，则函数)x ( f ＝y 个单位长度可得函数34的图象向左平移)34－x ( f ＝＋34－( f ＝－)x －34－( f ，都有R ∈x 知，对于任意的②正确；由②对称，故0)，34－(点对)32＋x ( f ＝)x ( f ＝－)x －32－( f ，所以0＝)x ( f ＋)x －32－( f ，可得x 代换x ＋34，用)x 是偶函数，其图象)x ( f ，则函数)t ( f ＝)t －( f ，得x ＋32＝t 都成立，令R ∈x 于任意的关于y 轴对称，故③正确．综上可知，真命题的个数是2.⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，1612. ，⎝ ⎛⎭⎪⎫13 f |)<x (|2 f ⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫13 f )<x (2 f ，根据这个结论，有|)x (| f ＝)x ( f 偶函数满足 解析 .⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，16的取值范围是x ，解这个不等式即得13|<x |2进而转化为不等式 13．①②④解析 对于①，∵f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，∴当x ＝－2时，f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，∴f (－2)＝0，又f (x )是偶函数，∴f (2)＝0，∴①正确；对于②，∵f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，f (2)＝0，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴函数y ＝f (x )的周期T ＝4，又直线x ＝0是函数y ＝f (x )图象的对称轴，∴直线x ＝－4也为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，∴②正确；对于③，∵函数f (x )的周期是4，∴y ＝f (x )在[8,10]上的单调性与[0,2]上的单调性相同，∴y ＝f (x )在[8,10]上单调递减，∴③错误；对于④，∵直线x ＝－4是函数y ＝f正确．∴④，8＝－2x ＋1x ，4＝－x1＋x22∴图象的对称轴，)x ( 14．②③⎩⎪⎨⎪⎧f x ，|x|≥2－1a，－f x ，0<|x|<2－1a，＝)|x (f |因为① 解析f |＝)x (F 这两个函数的定义域不同，不是同一函数，即⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x>0，－f x ，x<0，＝)x (F 而－( f ＝－)x －(F ，<0x ，－1＋|x |2log a ＝)x ( f ＝)x (F 时，>0x 当②错误．①不成立，)|x (＝－)x ( f ＝－)x (F 时，<0x ；当)x (F ＝－1)＋|x |2log a (＝－1)＋|x －|2log a (＝－)x．所以函)x (F ＝－1＋|x |2log a ＝1＋|x －|2log a ＝)x －( f ＝)x －(F ，>0x ，－1)＋|x |2log a (上是单调∞)，＋(0在1＋|x |2log a ＝)x ( f ＝)x (F 时，>0a 当③正确．②是奇函数，)x (F 数，又)>02x －(F )>1x (F ，所以>02x －>1x ，<02x ，则>01x ，不妨设>02x ＋1x ，<02x 1x 增函数．若＝y 函数④正确．③，)>02x (F ＋)1x (F ，所以)2x －(F ＝)2x (F 是奇函数，－)x (F 因为函数⎩⎪⎨⎪⎧alog2x2－2x －3＋1，x>3或x<－1，－alog2－x2＋2x ＋3－1，－1<x<3，＝3)－x 2－2x (F y既没最大值，也没最小值，即函数3)－x 2－2x (F ＝y ，所以<0a 时，因为1－<x 或>3x 当②③.错误．综上知，答案为④，故∞)，＋∞－(的值域为3)－x 2－2x (F ＝。