26.1.2 二次函数的图象和与性质(1)
人教版九年级上册第22章二次函数图像与性质知识点题型总结
二次函数图像及性质
【二次函数的定义】
一般地，形如y = ax2+bx + c Wc为常数，“工0）的函数称为兀的二次函数，其中兀为自变量， 为因变量，J b、c分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数.
注意：和一元二次方程类似，二次项系数“工0,而b、c可以为零.二次函数的自变量的取值范朗是 全体实数.
【二次函数的图象】
1. 二次函数图象与系数的关系
（1） “决左抛物线的开口方向
当“>0时，抛物线开口向上；当“<0时，抛物线开口向下.反之亦然.
同决过抛物线的开口大小：同越大，抛物线开口越小；同越小，抛物线开口越大.
温馨提示：几条抛物线的解析式中，若问相等，则其形状相同，即若"相等，则开口及形状相 同，若a互为相反数，则形状相同、开口相反.
（2） 〃和"共同决左抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴： S
2a
当b=o时，抛物线的对称轴为y轴；
当方同号时，对称轴在轴的左侧；
当〃异号时，对称轴在y轴的右侧・
（3） “的大小决泄抛物线与y轴交点的位置（抛物线与y轴的交点坐标为（o，C）
当c=o时，抛物线与y轴的交点为原点：
当c>o时，交点在轴的正半轴：
当c<0时，交点在y轴的负半轴.
2•二次函数图象的画法
五点绘图法：
利用配方法将二次函数y = ax2 +bx + c化为顶点式y = a（x-h）2 +k，确泄其开口方向、对称轴及顶
点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点 （0,
c）、以及（0, c）关于对称轴对称的点（2力，c）、与x轴的交点（占，0） , （x2 , 0）（若与x轴没有 交点，则取两组关于对称轴对称的点）・
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与X轴的交点，与y轴的交点.
3•点的坐标设法
（1） 一次函数y = ax + h 图像上的任意点可设为（“与+“） •其中再=0时.该点为直线与y轴
《二次函数的图象(第二课时)》参考教案
精品
可编辑 26.1.3 二次函数2()yaxhk的图象
第二课时
教学目标
1．知识与技能
(1)进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会做函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象．
(2)能正确说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(3)掌握抛物线y=a(x-h)2+k的平移规律.
2．过程与方法
经历探索二次函数y=a(x-h)2＋k的图象的画法和性质的过程，提高作图能力，学会观察比较、体验数形结合的数学思想与方法．
3．情感、态度与价值观
培养学生积极参与的态度、乐于探索、增强数形结合的思想意识．
教学重点难点
1．重点
作出二次函数y=a(x-h)2+k的图象，探索其性质．
2．难点
抛物线的平移规律的理解以及a、h、k的作用的理解．
教与学互动设计
（一）创设情境 导入新课
导语一 回忆二次函数y=ax2k向上（下）平移个单位y=a(x-h)2±k.若将y=ax2向左（或向右）平移h个单位，会得到什么抛物线呢？
导语二 小明作出了函数y=3x2与函数y=3x2+6x+5的图象，发现它们又极为相似的地方，却不明白是什么原因，你能帮助说明其中的道理吗？
导语三 回忆
(1)抛物线y=2x2，y=2x2+3，y=2x2-3的对称轴，顶点坐标，开口方向各是什么？它们之间有何关系？
(2)抛物线y=ax2中，a起什么作用？对抛物线有何影响？a值相同，能说明什么？从而引人新课.
（二）合作交流 解读探究
1．函数y=a(x-h)2的图象与性质精品
可编辑 【探究】，在同一坐标系中，画出函数y=-12(x+1)2和函数y=-12(x-1)2的图象．
教师可指导以下两方面.
(1)列表取值可按课本中提供的数据完成.
(2)画出的图象要具有对称性，两个图象中的点选取略有不同.
学生做完以后，可借用投影、多媒体展示自己的作品．
【想一想】函数y=-12(x+1)2图象和y=-12(x-1)2的图象与y=-12x2有何关系？它们的对称轴，顶点坐标分别是什么？
26.2二次函数y=ax2的图象
2012-2013学年度第二学期 九年级数学导学案
26.1.2二次函数2yax的图象
【学习目标】
1．知道二次函数的图象是一条抛物线；2．会画二次函数y＝ax2的图象；
3．掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用．（重点）
【学法指导】数形结合是学习函数图象的精髓所在，一定要善于从图象上学习认识函数.
【学习过程】
一、温故知新
1.画一个函数图象的一般过程是 ① ；② ；③ 。
2.一次函数图象的形状是 ；反比例函数图象的形状是 .
二、自学指导
认真阅读课本第P4-6页的内容，完成下列问题。
（一）画二次函数y＝x2的图象．
列表：
x „ －3 －2 －1 0 1 2 3 „
y＝x2 „ „
在图（3）中描点，并连线
1.思考：图（1）和图（2）中的连线正确吗？为什么？连线中我们应该注意什么？
答：
2.归纳总结：
① 由图象可知二次函数2xy的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做 线； ②抛物线2xy是轴对称图形，对称轴是 ；
③2xy的图象开口_______；
④ 与 的交点叫做抛物线的顶点。抛物线2xy的顶点坐标是 ；
它是抛物线的最 点（填“高”或“低”），即当x=0时，y有最 值等于0.
⑤在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈 趋势；即x<0时，y随x的增大而 ，x>0时，y随x的增大而 。
三、例题分析
在图（4）中，画出函数221xy，2xy，22xy的图象．
26.1.2反比例函数的图像和性质(1)
余庆县实验中学九年级（下）数学《三环五步》课堂教学
教学设计（师生共用）
上课时间 2017年 月 日（第 周
星期 ） 总第 课时
课 题 26.1.2反比例函数的图像和性质(1)
主 备 人 黄行龙 二次备课人 黄行龙 九年级（ ）班 学生
学习目标 1、进一步作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象。
2、体会函数三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合。
3、探索并掌握反比例函数的性质,体会分类讨论思想、数形结合思想的运用。
学习重点 掌握反比例函数的作图。
学习难点 反比例函数三种表示方法的相互转换。
使用要求 1.自学P3—4中的内容；2.独立完成学案，然后小组交流、展示。
小组评价 评价人签名 2017年 月 日
学 习 过 程 备 注
一、 自主预习 探究问题
1、正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）
性质：（1）图象形状 。
（2）所过象限 。
（3）增减性 。
2、二次函数
性质：(1)图象形状 。
(2)开口方向 。
(3)增减性 。
3、画函数图象的方法是 。
其一般步骤有（1） （2） （3） 。
二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质
知识点一：
图像 函数性质
a>0
定义域 x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)
值域 a>0 a<0
y∈[4ac－b24a，＋∞) y∈(－∞，4ac－b24a]
奇偶性 b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数
a<0
单调性 a>0 a<0
x∈(－∞，－b2a]
时递减，
x∈[－b2a，＋∞)
时递增
x∈(－∞，－b2a]
时递增，
x∈[－b2a，＋∞)
时递减
图像特点 ①对称轴：x＝－b2a；
②顶点：(－b2a，4ac－b24a)
例：
1、求函数1352xxy图象的顶点坐标、对称轴、最值及它的单调区间。
2、如果cbxxxf2)(对于任意实数t都有)3()3(tftf，那么（ ）
（A）)4()1()3(fff （B） )4()3()1(fff
（C）)1()4()3(fff （D）)1()3()4(fff
3、求函数522xxy 在给定区间]5,1[上的最值。
4、已知函数1)2(2nxxny是偶函数，试比较)2(f，)2(f，)5(f的大小。
5、求当k为何值时，函数kxxy422的图象与x轴(1)只有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)没有公共点.
6、抛物线642xaxy的顶点横坐标是-2，则a=
7、已知二次函数bxay2)1(有最小值 –1，则a与b之间的大小关系是 （ ） A．a＜b B．a=b C．a＞b D．不能确定
8、二次函数y=(x-k）2与直线y=kx(k>0)的图像大致是（ ）
知识点二：(1)当Δ＝b2－4ac=0，方程有两个相等的实根，这时图象与x轴只有一个公共点；
(2)当Δ＝b2－4ac>0，方程有两个不相等的实根，这时图象与x轴有两个公共点；
26.1.2 二次函数的图象和性质
东辛店镇中学人教版初中数学九年级教学案
- 1 - 课 题 26.1.1 二次函数 课 型 新 授
主 备 人 王金涛 审核人 叶书生 授课时间 20131204
学习目标 1、知道二次函数的图象是一条抛物线；
2、会画二次函数2axy的图象；
3、掌握二次函数2axy的性质，并会灵活应用。
学习重点 掌握二次函数2axy的性质，并会灵活应用。
学习难点 二次函数的图象和性质。
学 习 过 程
一、复习旧知
1、二次函数的意义。
2、二次函数的一般形式。
3、画函数图象的一般步骤及各步注意的问题。
二、探索新知：
画二次函数2xy的图象．
【提示：画图象的一般步骤：①列表（取几组x、y的对应值；②描点（表中x、y的数值在坐标平面中描点（x，y）；③连线（用平滑曲线）．】
列表：
x „ －3 －2 －1 0 1 2 3 „
y＝x2 „ „
描点，并连线
学 生 感 悟
(教师修订)
东辛店镇中学人教版初中数学九年级教学案
- 2 - 由图象可得二次函数2xy的性质：
1、二次函数2xy是一条曲线，把这条曲线叫做______________．
2、二次函数2xy中，二次函数a＝_______，抛物线2xy的图象开口__________．
3、自变量x的取值范围是____________．
4、观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．
5、抛物线2xy与它的对称轴的交点（ ， ）叫做抛物线2xy的_________．因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________．
6、抛物线2xy有____________点（填“最高”或“最低”） ．
四、例题分析
例1 在同一直角坐标系中，画出函数221xy，2xy，22xy的图象．
26.1 二次函数及其图像
数学教案 九年级上下 26.1二次函数及其图像
1 26．1 二次函数及其图像
【教学目标】
1、知识技能：认识理解二次函数的定义及其开口方向，顶点，对称轴；会用描点法画二次函数的图象；二次函数图象性质。
2、过程与方法：在对称图形的探索过程中，体会建模思想；通过画图活动，体验数形结合思想；学生自主动手操作描绘函数图像，加深对函数性质的理解。
3、情感态度：通过对称和平移图像发现数学的规律美；在探究活动中，体验应用所学知识解决实际问题后成功的快乐。
【重点、难点】
重点
1、二次函数的定义和定义域。
2、二次函数图象的平移。
3、图像与二次函数解析式的对应关系。
难点
如何把图像的顶点，对称轴与二次函数解析式的对应关系联系起来。
【教学过程】
一、创设情境，引入问题
同学们好，我们前面学习过一次函数、正比例函数、反比例函数，那么它们都是反映现实社会中量与量之间的关系及其变化规律的，二次函数也是这样一种数学模型。
首先，我们先回忆如何描绘一次函数的图像。
题目：画出y=2x+3函数图象。
1、启发学生回忆如何描绘一次函数的图像。
2、总结如何画函数图象:先列表格后描点画图．
要求：回忆如何描绘一次函数的图像，并在练习本上画出一次函数的图像
下面我们来看一个例题： 数学教案 九年级上下 26.1二次函数及其图像
2
二、探索新知，解决问题
【板书】二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a不等于0）的函数，叫做二次函数。其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。
数学教案 九年级上下 26.1二次函数及其图像
3
通过上一题出的结果 S=-x2+4x+21 以及S=（-π/2-2)X+20X它们二次函数，因为它们都有二次项。通过对具体问题的探讨来帮助我们更好的理解二次函数意义。同时我们也体会它在现实社会中确实是用来解决一类问题的重要数学模型。有着非常重要的意义！
华师大版九年级数学电子书第26章二次函数
第26章 二次函数 ................................................ 1
二次函数 ............................................................................................................................... 2
二次函数的图象与性质 ....................................................................................................... 3
1. 二次函数y＝ax2的图象与性质 ................................................................................. 3
2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 ................................................................... 5
3. 求二次函数的函数关系式 ........................................................................................ 13
阅读材料 ................................................................................................... 错误!未定义书签。
生活中的抛物线 ....................................................................................... 错误!未定义书签。
《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(第1课时)》教学设计【初中数学人教版九年级上册】
第二十二章 二次函数
22.1二次函数的图象和性质
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
教学设计
第 1 课时
一、教学目标
1．使学生理解二次函数y=ax2＋k的图象与二次函数y=ax2的图象之间的关系．
2．会确定二次函数y=ax2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
二、教学重点及难点
重点：
理解二次函数y=ax2＋k的性质及其图象与y=ax2的图象之间的关系．
难点：
正确理解二次函数y=ax2＋k的图象与二次函数y=ax2的图象之间的关系以及二次函数y=ax2＋k的性质．
三、教学用具
多媒体课件，三角板或直尺。
四、相关资源
《二次函数y=ax2图象与性质的复习》动画，《二次函数y=2x2＋1和y=2x2－1的图象画法》动画，《《二次函数y=2x2＋1和y=2x2－1的图象》图片，《函数2133yx，2123yx》动画）。
五、教学过程
【复习提问】
你能说出二次函数y=ax2的性质吗？
师生活动：教师提出问题，全班学生回顾，一起回答问题．
小结：一般地，抛物线2yax的对称轴是y轴，顶点是原点．当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．对于抛物线2yax，|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大． 如果a＞0，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；
如果a＜0，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．
设计意图：让学生温习已学的知识，巩固上节课的内容，为本节课作铺垫．
【合作探究】
1．在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2＋1，y=2x2－1的图象．
师生活动：师生一起完成列表，再由学生画出图象，交流成果，如图所示，教师投影订正．在学生画函数图象时，教师巡视指导．
解：（1）列表：
x … －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
二次函数Y=ax的平方的图像
九年级数学：26.1.2二次函数2axy的图象（1）
主 备 执 笔 课 型 使用者 审核 课 时 使用时间
数学组 田咏梅 新授课 1
教学目标
使学生会用描点法画出2axy的图象，理解抛物线的有关概念（A.BC层完成）
教学重点 使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象
教学难点 用描点法画出二次函数2axy的图象
教学方法 分层教学
教学过程 疑惑：
一、知识链接（约2分钟）（A.B.C层完成）
二次函数解析式：________ _________（ ），
它的图象是_________.
二、自主学习（约15分钟）（A.B.C层完成）
1.在第一个直角坐标系中画二次函数2xy的图象。
解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … 9 4 1 0 1 4 9 …
(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数2xy的图象。
2、在第二个直角坐标系中，画出函数2xy的图象。
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … …
3、在第一个直角坐标系中，画出函数22xy的图象。
x … －2 －1 0 1 2 …
y … …
4、在第二个直角坐标系中，画出函数22xy的图象。
x … －2 －1 0 1 2 …
y … …
三、合作探索（约10分钟）（A.B.层完成,并指导C层完成）
1、四个函数2xy，2xy，22xy，22xy的图象的共同点：（1）函数的图象都是一条 ，（2）函数图象都是 对称图形，且都有 条对称轴，（3）函数图象的对称轴都是 ，（4）函数图象与对称轴都只有