2013临沂中考数学试题(解析版)
第 1 页 共 21 页 山东省临沂市2013年中考数学试卷 一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（3分）（2013•临沂）﹣2的绝对值是（ ） A． 2 B． ﹣2 C． D．
考点： 绝对值． 分析： 根据负数的绝对值等于它的相反数解答． 解答： 解：﹣2的绝对值是2， 即|﹣2|=2． 故选A． 点评： 本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（3分）（2013•临沂）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．据统计全国每年浪费食物总量约50 000 000 000千克，这个数据用科学记数法表示为（ ） A． 0.5×1011千克 B． 50×109千克 C． 5×109千克 D． 5×1010千克
考点： 科学记数法—表示较大的数． 分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 解答： 解：将50 000 000 000用科学记数法表示为5×1010．
故选D． 点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2013•临沂）如图，已知AB∥CD，∠2=135°，则∠1的度数是（ ）
A． 35° B． 45° C． 55° D． 65° 考点： 平行线的性质． 分析： 先求出∠3的度数，再根据平行线性质得出∠1=∠3，代入求出即可． 解答：
解： 第 2 页 共 21 页
∵AB∥CD， ∴∠1=∠3， ∵∠2=135°， ∴∠3=180°﹣135°=45°， ∴∠1=45°， 故选B． 点评： 本题考查了平行线性质和邻补角的应用，注意：两直线平行，内错角相等．
4．（3分）（2013•临沂）下列运算正确的是（ ） A． x2+x3=x5 B． （x﹣2）2=x2﹣4 C． 2x2•x3=2x5 D． （x3）4=x7
考点： 完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式 专题： 计算题． 分析： A、本选项不是同类项，不能合并，错误； B、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断； C、原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可作出判断； D、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断． 解答： 解：A、本选项不是同类项，不能合并，错误； B、（x﹣2）2=x2﹣4x+4，本选项错误； C、2x2•x3=2x5，本选项正确； D、（x3）4=x12，本选项错误， 故选C 点评： 此题考查了完全平方公式，合并同类项，单项式乘单项式，以及幂的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
5．（3分）（2013•临沂）计算的结果是（ ） A． B． C． D．
考点： 二次根式的加减法． 分析： 首先把两个二次根式化简，再进行加减即可． 解答： 解：=4﹣3=，
故选：B． 点评： 此题主要考查了二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
6．（3分）（2013•临沂）化简的结果是（ ） A． B． C． D． 第 3 页 共 21 页
考点： 分式的混合运算． 分析： 首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简． 解答： 解：
=• =． 故选A． 点评： 本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．
7．（3分）（2013•临沂）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（ ）
A． 12πcm2 B． 8πcm2 C． 6πcm2 D． 3πcm2
考点： 由三视图判断几何体；圆柱的计算． 分析： 首先判断出该几何体，然后计算其面积即可． 解答： 解：观察三视图知：该几何体为圆柱，高为3cm，底面直径为2cm， 侧面积为：πdh=2×3π=6π， 故选C． 点评： 本题考查了由三视图判断几何体及圆柱的计算，解题的关键是首先判断出该几何体．
8．（3分）（2013•临沂）不等式组的解集是（ ） A． x≥8 B． x＞2 C． 0＜x＜2 D． 2＜x≤8 考点： 解一元一次不等式组． 分析： 先求出不等式的解集，再根据不等式的解集找出不等式组的解集即可． 解答： 解：
∵解不等式①得：x＞2， 解不等式②得：x≤8， ∴不等式组的解集为2＜x≤8， 第 4 页 共 21 页
故选D． 点评： 本题考查了解一元一次不等式（组）的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．
9．（3分）（2013•临沂）在一次歌咏比赛中，某选手的得分情况如下：92，88，95，93，96，95，94．这组数据的众数和中位数分别是（ ） A． 94，94 B． 95，95 C． 94，95 D． 95，94
考点： 众数；中位数． 分析： 根据众数、中位数的定义求解即可． 解答： 解：这组数据按顺序排列为：88，92，93，94，95，95，96， 故众数为：95， 中位数为：94． 故选D． 点评： 本题考查了众数和中位数的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握众数和中位数的定义．
10．（3分）（2013•临沂）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A． AB=AD B． AC平分∠BCD C． AB=BD D． △BEC≌△DEC 考点： 线段垂直平分线的性质． 分析： 根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AB=AD，BC=CD，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC平分∠BCD，平分∠BCD，EB=DE，进而可证明△BEC≌△DEC． 解答： 解：∵AC垂直平分BD， ∴AB=AD，BC=CD， ∴AC平分∠BCD，平分∠BCD，EB=DE， ∴∠BCE=∠DCE，
在Rt△BCE和Rt△DCE中， ∴Rt△BCE≌Rt△DCE（HL）， 故选：C． 点评： 此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 第 5 页 共 21 页
11．（3分）（2013•临沂）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2在x轴上，点B1，B2在y轴上，其坐标分别为A1（1，0），A2（2，0），B1（0，1），B2（0，2），分别以A1、A2、B1、B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（ ）
A． B． C． D． 考点： 列表法与树状图法；等腰三角形的判定． 分析： 根据题意画出树状图，进而得出以A1、A2、B1、B2其中的任意两点与点O为顶点作
三角形是等腰三角形的情况，求出概率即可． 解答： 解：∵以A1、A2、B1、B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形，
∴画树状图得：
共可以组成4个三角形， 所作三角形是等腰三角形只有：△OA1B1，△OA2B2，
所作三角形是等腰三角形的概率是：=． 故选：D． 点评： 此题主要考查了利用树状图求概率以及等腰三角形的判定等知识，利用树状图表示出所有可能是解题关键．
12．（3分）（2013•临沂）如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是（ ）
A． 75° B． 60° C． 45° D． 30° 考点： 圆周角定理． 分析： 首先连接OC，由OB=OC=OA，∠CBO=45°，∠CAO=15°，根据等边对等角的性质，可求得∠OCB与∠OCA的度数，即可求得∠ACB的度数，又由圆周角定理，求得∠AOB的度数． 解答： 解：连接OC， ∵OB=OC=OA，∠CBO=45°，∠CAO=15°， 第 6 页 共 21 页
∴∠OCB=∠OBC=45°，∠OCA=∠OAC=15°， ∴∠ACB=∠OCB﹣∠OCA=30°， ∴∠AOB=2∠ACB=60°． 故选B．
点评： 此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
13．（3分）（2013•临沂）如图，等边三角形OAB的一边OA在x轴上，双曲线在第一象限内的图象经过OB边的中点C，则点B的坐标是（ ）
A． （1，） B． （，1） C． （2，） D． （，2）
考点： 反比例函数综合题． 分析： 过点B作BD⊥x轴，垂足为D，设点B的坐标为（a，b）（a＞0），再求出b和a的
关系和C点的坐标，由点C在双曲线上，求出a的值，进而求出B点坐标． 解答： 解：过点B作BD⊥x轴，垂足为D，设点B的坐标为（a，b）（a＞0）， ∵三角形OAB是等边三角形， ∴∠BOA=60°，
在Rt△BOA中，tan60°==， ∴b=a， ∵点C是OB的中点，
∴点C坐标为（，），
∵点C在双曲线上， ∴a2=，
2013年山东省临沂市初中学生学业考试数学(含答案)
3 在第一象限内的图像经过 OB 边的中点 C， x
3 ). （B）( 3 ， 1 ). （C）( 2 ， 2 3 ). （D）( 2 3 ，2 ).
14、如图，正方形 ABCD 中，AB=8cm,对角线 AC,BD 相交 于点 O,点 E,F 分别从 B,C 两点同时出发，以 1cm/s 的速度沿 BC,CD 运动，到点 C,D 时停止运动，设运动时间为 t(s),△OEF
11
(B) 50 10 千克 .
9
(C) 5 10 千克 .
9
(D) 5 10 千克 .
10
3．如图，已知 AB∥CD，∠2=135°，则∠1 的度数是 (A) 35°. (B) 45°. (C) 55°. (D) 65°. 4．下列运算正确的是 (A) (C) 2 x x 2 x .
(D) 3 cm
(第 11 题图)
x 2 0, 8．不等式组 x 的解集是 1 x 3. 2
（第 12 题图）
第 13 题图
(A) x 8 . (B) x 2 . (C) 0 x 2 . (D) 2 x 8 9.在一次歌咏比赛中， 某选手的得分情况如下： 92, 88, 95, 93, 众数和中位数分别是 (A) 94，94 . (B) 95，95. (C) 94，95. (D) 95， 10.如图，四边形 ABCD 中,AC 垂直平分 BD,垂足为 E, 立的是 （A） AB=AD. (B) AC 平分∠BCD. (C) AB=BD. B (D) △BEC≌△DEC. 11.如图，在平面直角坐标系中,点 A1 ， A2 在 x 轴上，点 B1，B2 A1(1，0),A2(2,0),B1(0,1)，B2（0,2） ，分别以 A1A2B1B2 其中的任意 形，所作三角形是等腰三角形的概率是 （A） 3 . 4 (B) 1 . 3 (C). (D) 1 . 2
2013年山东省临沂市中考数学真题试题及答案
2019年临沂市初中学生学业考试试题数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两局部．第I 卷1至4页，第II 卷5至12页.共120分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共42分）一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.2-的肯定值是（A ）2.（B ）2-. （C ）12. （D ）12-.2.回绝“餐桌奢侈”，刻不待时.据统计全国每年奢侈食物总量约50 000 000 000千克，这个数据用科学计数法表示为(A)110.510⨯千克. (B)95010⨯千克.(C)9510⨯千克. (D) 10510⨯千克.3．如图，已知AB ∥CD ，∠2=135°，则∠1的度数是(A) 35°. (B) 45°. (C) 55°. (D) 65°.4．下列运算正确的是(A)235x x x +=. (B)4)2(22-=-x x . (C)23522x x x ⋅=. (D)()743x x =.5(A).(C)6．化简212(1)211a a a a +÷+-+-的结果是 (A)11a -. (B)11a +. (C)211a -. (D)211a +. 7.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是212）28cm π (C)26cm π (D)23cm π3cm（第10题图）E DCB A 8．不等式组20,1 3.2x x x ->⎧⎪⎨+≥-⎪⎩的解集是 (A)8x ≥. (B)2x >. (C)02x <<.(D)28x <≤9.在一次歌咏竞赛中，某选手的得分状况如下：92, 88, 95, 93, 96, 95, 94.这组数据的众数和中位数分别是(A) 94，94 . (B) 95，95. (C) 94，95. (D) 95，94.10.如图，四边形ABCD 中,AC 垂直平分BD,垂足为E,下列结论不肯定．．．成立的是 （A ） AB=AD.(B) AC 平分∠BCD.(C) AB=BD.(D) △BEC ≌△DEC. 11.如图，在平面直角坐标系中,点A 1 ， A 2在x 轴上，点B 1，B 2在y 轴上，其坐标分别为A 1(1，0),A 2(2,0),B 1(0,1)，B 2（0,2），分别以A 1A 2B 1B 2其中的随意两点与点．．O ．为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（A ） 3 4. (B) 1 3. (C) 23. (D) 1 2. 12.如图，在⊙O 中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB 的度数是(A)75°. (B)60°. (C)45°. (D)30°.13.如图，等边三角形OAB 的一边OA 在x 轴上，双曲线xy 3=在第一象限内的图像经过OB 边的中点C ，则点B 的坐标是（A ）( 1， 3). （B ）(3， 1 ). （C ）( 2 ，32). （D ）(32 ，2 ).14、如图，正方形ABCD 中，AB=8cm,对角线AC,BD 相交 6（第18题图） （第17题图）C BD B于点O,点E,F 分别从B,C 两点同时动身，以1cm/s 的速度沿 BC,CD 运动，到点C,D 时停顿运动，设运动时间为t(s),△OEF 的面积为s(2cm )，则s(2cm )与t(s)的函数关系可用图像表示为2019年临沂市初中学生学业考试试题数 学第Ⅱ卷（非选择题 共78分）．留意事项：1.第II 卷共8页，请用钢笔或圆珠笔干脆答在试卷上。
2013年临沂数学参考答案及评分标准
选项AB C D12 562013年临沂市初中学生学业考试试题数学参考答案及评分标准说明：第三、四、五题给出了一种或两种解法，考生若用其它解法，应参照本评分标准给分.二、填空题（每小题3分，共15分）15．(2)(2)x x x +-； 16．2x =； 17 18．15419． 3或-3 三、开动脑筋，你一定能做对！（共21分） 20．解：（1）80 ………………………………(2分) （2）80561248---=（人） ……………(3分)o o 8100%3603680⨯⨯=.所以“C ”所对圆心角的度数是o36 ………(4分) 图形补充正确 ………………………………(5分) （3）160070%1120⨯=（人）．所以该社区约有1120人从不闯红灯．…………………………………(7分)21．解: （1）设购买A 型学习用品x 件，则B 型学习用品为(1000)x -． ……(1分)根据题意，得2030(1000)26000x x +-=………………(2分)EODCBA解方程，得x =400．则10001000400600x -=-=．答：购买A 型学习用品400件，购买B 型学习用品600件． ………………………(4分) （2）设最多购买B 型学习用品x 件，则购买A 型学习用品为(1000)x -件.根据题意，得20(1000)+3028000x x -≤……………………(6分) 解不等式，得800x ≤. 答：最多购买B 型学习用品800件. ……………………(7分)22.证明：（1）∵E 是AD 的中点，∴AE=ED.……………………………(1分)∵A F ∥BC,∴∠AFE=∠DBE, ∠FAE=∠BDE,∴△AFE ≌△DBE. ………………………(2分) ∴AF=DB.∵AD 是BC 边上的中点，∴DB=DC,AF=DC ……………(3分) （2）四边形ADCF 是菱形. …………………………………(4分) 理由：由（1）知，AF=DC,∵A F ∥CD, ∴四边形ADCF 是平行四边形. ……(5分) 又∵AB ⊥AC, ∴△ABC 是直角三角形∵AD 是BC 边上的中线, ∴12AD BC DC ==. …(6分) ∴平行四边形ADCF 是菱形. …………………(7分)四、认真思考，你一定能成功！（共18分）23. (1)证明：连接OD. ……(1分) ∵AB 与⊙O 相切于点 D , ∴o90ODB ∠=，∴o 90B DOB ∠+∠=.∵o 90ACB ∠=,∴o 90A B ∠+∠=,∴A DOB ∠=∠ ……(3分) ∵OC=OD, ∴2DOB DCB ∠=∠.∴2A DCB ∠=∠ ……(4分) (2)方法一：在R t △ODB 中，OD =OE,OE=BE∴ 1sin 2OD B OB ∠== ∴o o 30,B DOB ∠=∠= ……6分∵ osin60BD OB =⋅=∴11222DOB S OD DB ==⨯⨯= ………………(7分)26023603ODEOD S ππ⋅==扇形2=3D O OB DES S S π-= 阴影扇形 ………………(9分)方法二：连接DE,在R t △ODB 中，∵BE=OE=2 ∴12DE OB OE ==, ∵OD=OE, ∴△DOE 为等边三角形，即o 60DOB ∠= ……(6分) 以下解题过程同方法一.24．解：（1）设y 与x 的函数解析式为+y kx b =根据题意，得1060,2055,k b k b +=⎧⎨+=⎩解得1265k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴y 与x 之间的函数关系式为1+65(1070)2y x x =-≤≤；…(3分) （2）设该机器的生产数量为x 台， 根据题意，得1(+65)20002x x -=，解得1250,80.x x == ∵1070x ≤≤∴x=50. 答：该机器的生产数量为50台. ……………………………(6分)（3）设销售数量z 与售价a 之间的函数关系式为z ka b =+G HGH FEPC BDA FEPDCBA 根据题意，得5535,7515,k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得1,90.k b =-⎧⎨=⎩∴90.z a =-+ ……………………(8分)当z=25时，a=65.设该厂第一个月销售这种机器的利润为w 万元.200025(65)62550w =⨯-=(万元). …………………(9分)五、相信自己，加油呀！（共24分）25．（1…………………………(2分) （2）过点P 作P H ⊥AB,P G ⊥BC,垂足分别为H,G .…………………(3分)∵在矩形ABCD 中,o90ABC ∠=，∴P H ∥BC. 又∵o30ACB ∠=，∴o30APH PCG ∠=∠=∴o cos302PH AP AP =⋅=, o 1sin 302PG PC PC =⋅=………………(5分) 由题意可知HPE GPE α∠=∠=∠, ∴R t △PHE ∽R t △PGF.∴212AP PE PH PF PG PC === …………(7分) 又∵点P 在矩形ABCD 对角线交点上，∴AP=PC.∴PEPF= ………………(8分)（第26题图）'（3）变化 ……………………………………………………(9分)证明：过点P 作P H⊥AB,PG ⊥BC,垂足分别为H,G.根据（2），同理可证PE PF =………(10分)又∵:1:2AP PC = ∴PE PF =………………………(11分) 26. 解：（1）设抛物线的解析式为 2y ax bx c =++，根据题意，得0,2550,5.2a b c a b c c ⎧⎪-+=⎪++=⎨⎪⎪=-⎩，解得1,22,5.2a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩∴抛物线的解析式为：2152.22y x x =-- ………(3分) （2）由题意知，点A 关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接BC 交抛物线的对称轴于点P ，则P 点 即为所求. 设直线BC 的解析式为y kx b =+，由题意，得50,5.2k b b +=⎧⎪⎨=-⎪⎩解得 1,25.2k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴直线BC 的解析式为15.22y x =- …………(6分) ∵抛物线215222y x x =--的对称轴是2x =，∴当2x =时，153.222y x =-=- ∴点P 的坐标是3(2,)2-. …………(7分)（3）存在 …………………………(8分) (i)当存在的点N 在x 轴的下方时，如图所示，∵四边形ACNM 是平行四边形，∴C N ∥x 轴，∴点C 与点N 关于对称轴x=2对称，∵C 点的坐标为5(0,)2-，∴点N 的坐标为5(4,).2- ………………………(11分) （II ）当存在的点'N 在x 轴上方时，如图所示，作'N H x ⊥轴于点H ，∵四边形''ACM N 是平行四边形，∴'''',AC M N N M H CAO =∠=∠,∴R t △CAO ≌R t △''N M H ,∴'N H OC =.∵点C 的坐标为'55(0,),22N H -∴=,即N 点的纵坐标为52，∴21552,222x x --=即24100x x --=解得1222x x ==∴点'N 的坐标为5(2)2和5(2)2+.综上所述，满足题目条件的点N 共有三个，分别为5(4,).2-，5(2)2+，5(2)2………………………(13分)。
2013学年山东省临沂中考数学年试题
A. a b≥2,c d≤2
B. a b≥2,c d≤2
C. a b≥2,c d≤2
D. a b≥2,c d≥2
数学试卷 第 3 页（共 6 页）
()
非选择题部分 （共 100 分）
二、填空题：本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.已知函数 f (x) x 1 .若 f (a) 3 ,则实数 a _________. 12.从 3 男 3 女共 6 名同学中任选 2 名(每名同学被选中的机会均等),这 2 名都是女同学的
无 1.设集合 S={x | x -2} , T ={x | -4≤x≤1},则 S T =
()
A. [4, +)
B. (-2,+)
C. [-4,1] 效
D. (-2,1] 数学试卷 第 1 页（共 6 页）
2.已知 i 是虚数单位,则 (2 i)(3 i)
A. 5 5i
B. 7 5i
2y
4≥
0,若
z
的
最大值
为
12, 则 实 数 k=
2x y 4≤ 0.
_________.
16.设 a，b R ,若 x≥0 时恒有 0≤x4 -x3+ax+b≤(x2 -1)2 ,则 ab= _________.
17.设 e1 ,e2ຫໍສະໝຸດ 为单位向量,非零向量b
xe1
ye2
,
x,y R
答
柱体的体积公式
台体的体积公式
V
1 3
h(S1
S1S2 S2 )
其中 S1 , S2 分别表示台体的上、下底面积,
2013临沂市中考复习迎考训练数学参考答案(苍山专用)
数学参考答案第一讲实数考点1有理数、无理数、实数的概念及分类【即时应用】1.22.2,22(答案不唯一)考点2数轴、倒数、相反数、绝对值【即时应用】1.B2.D3.C4.-23,-0.285.±8考点3平方根与算术平方根、立方根【即时应用】1.B2.D3.±3,3,±3,-24.a=25.-1,6考点4近似数和科学计数法【即时应用】1. 4.2×1062. 4，万分位3. 0.000074.A5.D考点5实数大小的比较【即时应用】1.＜,＜2.1x3.A考点6实数的运算【即时应用】1. 18℃2.13.(1)4,(2)3+3,(3)0,(4)5.一、选择题1.A2.B3.B4.B5.D6.D7.C8.D9.B10.C11.A12.B13.A14.D15.A16.B17.C18.B19.A20.B21.C22.C23.C24.C25.B26.A27.C28.B29.D30.A31.C32.A33.A34.C二、填空题35. 336.-2，-3(答案不唯一)37.π38.2(答案不唯一)39. 1140. 241. 360×10642. 1 6×10-643. 3 840×101144. 2 1×10-545.－546. 15847. 448. 1549. 23三、解答题50.(1)1；(2)134-22；(3)3-2;(4)3+2.（1）1n-1n+1;（2）证明：1n-1n+1=n+1n(n+1)-nn(n+1)=n+1-nn(n+1)=1n(n+1);（3）原式＝1-12+12-13+13-1[]4+…+12009-12010=1-12010=20092010.第二讲代数式考点1整式的有关概念及运算【即时应用】1.三；三2.B3.C4.D5.B6.A7.2x3+x2+2x8.(1)4a+2,(2)-4x2考点2因式分解【即时应用】1.mn(1+n),(a+2b)22.(x+1)(x-1)3.D4.-aa-12b25.(x＋4y)(x－4y)6.D考点3分式【即时应用】1.A2.≠-53.=-24.aa+25.-66.D7.(1)2(1-x)(1+x),(2)1a-18. 99.D考点4二次根式【即时应用】1.x≥432.B3.A4.C5.(1)2-23(2)3a(3)2-556.-2一、选择题1.C2.C3.D4.B5.B6.D7.D8.D9.D10.D11.C12.D13.B14.C15.C16.B17.B18.B19.A20.D21.C22.B23.A24.C25.D二、填空题26.x>0且x≠1227. 0.9a28.a3a3=a6(答案不唯一)29. 530.（x-y-4）231.x(x+3)(x-3)32.a（3＋b）（3－b）33.a（1-3b）234.x-635.1236. 037.2238. 239. 340. 3341.n(n+2)三、解答题42.∵1x-1=1，∴x-1=1.故原式=2+1=3.43.当ab＝1，a＋b＝2时，原式＝ab(a＋b)＝1×2＝2.44.8345.(1)1a-b(2)-1a+b(3)aa+246.(1)化简原式＝2a(2a－b)，将a＝2，b＝1代入得12.(2)原式当时，原式=0.(3)原式=1x+1,当x=-2时,原式=-1(4)原式=-1x-1,当=2时，-1x-1=-12-1=-1(5)原式＝x+1x2,当x2－x－1＝0时,x2＝x+1,原式＝1(6)原式＝1m,当m=3时,原式＝33(7)原式＝2x-1,x=2+1时,原式＝2(8)原式＝x+2x-1,当x=-5时，原式＝121.22.6，23.3134.-25.C6.(1)(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5(2)1第三讲方程（组）与不等式（组）考点1一元一次方程的有关概念及其解法和应用【即时应用】1. 42D3.(1)x=1(2)x=14.解：设文具盒的标价是x元，则书包的标价是(3x-6)元，0.2（x+3x-6）=13.2,x=15,3x-6=39，答：文具盒的标价是15元，则书包的标价是39元.考点2分式方程及其解法和应用【即时应用】1.(1)x=9(2)无解(3)x=22.-6考点3二元一次方程组及其解法和应用【即时应用】1.A2.x=2y=-13.14.A考点4一元二次方程及其解法和应用【即时应用】1.±72.x1=0，x2=33.m≤54且m≠14.x1=1，x2=25.解：设应邀请x支球队参赛，则每队共打（x-1）场比赛，比赛总场数用代数式表示为12x（x-1）.根据题意，可列出方程12x(x-1)=28.整理，得12x2-12x=28,解这个方程，得x1=8，x2=-7.合乎实际意义的解为x=8.答：应邀请8支球队参赛.考点5一元一次不等式（组）【即时应用】1.B2.C3.A一、选择题1.D2.B3.A4.B5.C6.B7.A8.D9.D10.B11.D12.B13.B14.D15.A16.A17.B18.A19.A20.D二、填空题21.x1=2,x2=-222. 2x-2=2.（答案不唯一）23. 4024.x1=0,x2=225.x=226.x＝327.x＝4328.-65829.-230.5413≤a＜9231.解：原方程可变形为3x+52=2x-13( 分式的基本性质 )去分母，得3（3x+5）=2(2x-1).( 等式性质2 )去括号，得9x+15=4x-2.（去括号法则或乘法分配律）( 移项 ),得9x-4x=-15-2.( 等式性质1 )合并，得5x=-17.( 合并同类项 )（系数化为1 ）,得x=175.（等式性质2 ）32.（1）x1=2,x2=-1（2）x1=0,x2=1（3）x1=-4,x2=3（4）x1=-3,x2=1333.(1)1＜x≤4(2)-1≤x＜334.（1）-1＜x≤4（2）-2＜x≤1（3）1＜x≤435.1436.3000米，2000米37.励东中学279棵，海石中学555棵38.352人39.2000方40.27件41.解：（1）设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成此项工程需1.5x 天.根据题意，得1x115x=112，解得x=20，经检验知x=20是方程的解且符合题意.1.5x=30故甲，乙两公司单独完成此项工程，各需20天，30天；（2）设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为（y-1500）元，根据题意得12（y+y-1500）=102000，解得y=5000，甲公司单独完成此项工程所需的施工费：20×5000=100000（元）；乙公司单独完成此项工程所需的施工费：30×（5000-1500）=105000（元）；故甲公司的施工费较少.42.（1）400吨，300吨，（2）1887800元43.21千米/时44.8台，会45.（1）50%，（2）38万平方米46.20元47.（1）亏本，理由略，（2）26.3%48.解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意得，15（1+x）2=21.6，解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）.答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%；（2）设全市每年新增汽车数量为y万两，则2011年底全市的汽车拥有量为21.6×90%+y万两，2012年底全市的汽车拥有量为（21.6×90%+y）×90%+y万两.根据题意得：（21.6×90%+y）×90%+y≤23.196，解得y≤3，答：该市每年新增汽车数量最多不能超过3万两.1.x1=-4,x2=-12.-5323.A4.解：(1)75，525(2)设甲的月应纳税所得额为x元，根据题意得20%x-375=1060，解得x=7175.∴甲这个月的应纳税所得额是7175元.若按“个税法草案”计算，则他应缴税款为(7175-1000)×20%-525=710元.(3)设乙的月应纳税所得额为x元，根据题意得20%x-375=25%(x-1000)-975，解得x=17000.∴乙今年3月所缴税款的具体数额为1700×20%-375=3025元.第四讲函数考点1平面直角坐标系及函数图象【即时应用】1.－1＜a＜122.x＞-12且x≠13.D考点2一次函数【即时应用】1.B2.D3.解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，-2），∴k+b=0b=-2，解得k=2b=-2，∴直线AB的解析式为y=2x-2.（2）设点C的坐标为（x，y），∵S△BOC=2，∴2.x=2，解得x=2，∴y=2×2-2=2，∴点C的坐标是（2，2）.考点3反比例函数【即时应用】1.②⑤2.B3.B考点4二次函数【即时应用】1.（1）由题意将（0，3）代入解析式可得m=3，∴抛物线为y=－x2+2x+3.（2）令y=0，则－x2+2x+3=0，得x1=－1，x2=3；∴抛物线与x轴的交点为（－1，0），（3，0）.∵y=－x2+2x+3=－（x－1）2+4，∴抛物线顶点坐标为（1，4）；（3）由图象可知：当－1＜x＜3时，抛物线在x轴上方；（4）由图象可知：当x＞1时，y的值随x值的增大而减小.2.（1）获利：（30-20）［105-5（30-25）］=800（元）（2）设售价为每件x元时，一个月的获利为y元由题意，得：y=(x-20)［105-5（30-25）］=-5x2+330x-4600=-5(x-33)2+845当x=33时，y的最大值是845故当售价为33元时，一个月获利最大，最大利润是845.3.(1)把点A(2,3)代入y=kx得：k=6.∴反比例函数的解析式为：y=6x.把点B(m,2)、C(－3,n)分别代入y=6x得：m=3,n=-2.把A(2,3)、B(3,2)、C(-3,-2)分别代入y=ax2+bx+c得：4a+2b+c=39a+3b+c=29a-3b+c=-2解之得a=-13b=23c=3∴抛物线的解析式为：y=-13x2+23x+3.(2)描点画图S△ABC=12(1+6)×5-12×1×1-1〖〗2×6×4=352-12-12=5.一、选择题1.B2.B3.C4.D5.D6.C7.D8.C9.B10.C11.A12.C13.C14.D15.A16.C17.B18.A19.D20.B21.C22.B23.D24.A25.D26.C27.C28.D29.A30.C31.C32.D33.A34.B35.A36.D37.B38.D39.D40.B41.B42.B43.D44.D45.B二、填空题46.减小47.=-248.249.y=3x50.2751.y=(x-1)2+252.453.如：y=2x,y=-x+3,y=-x2+5等，写出一个即可54.①③④三、解答题（2）设y有＝k1x＋30，y无＝k2x，由题意得500k1+30=80500k2=100,解得k1=0 1，k2=0 2,故所求的解析式为y有＝0.1x＋30；y无＝0.2x.（3）由y有＝y无，得0.2x＝0.1x＋30，解得x＝300；当x＝300时，y＝60.故由图可知当通话时间在300分钟内，选择通话方式②实惠；当通话时间超过300分钟时，选择通话方式①实惠；当通话时间在300分钟时，选择通话方式①、②一样实惠.56.（1）设从甲厂调运饮用水x吨，从乙厂调运饮用水y吨，根据题意得20×12x+14×15y=26700，x+y=120.解得x=50,y=70.∵50＜80，70＜90，∴符合条件.故从甲、乙两水厂各调用了50吨、70吨饮用水.（2）设从甲厂调运饮用水x吨，则需从乙厂调运水（120－x）吨，根据题意可得x≤80，120-x≤90.解得30≤x≤80.总运费W=20×12x+14×15(120-x)=30x+252000，（30≤x≤80）∵W随x的增大而增大，故当x=30时，W最小=26100元.∴每天从甲厂调运30吨，从乙厂调运90吨，每天的总运费最省.57.（1）由图象得：120千克，（2）当0≤x≤12时，设日销售量与上市的时间的函数解析式为y=kx，∵点（12，120）在y=kx的图象，∴k=10，∴函数解析式为y=10x，当12＜x≤20，设日销售量与上市时间的函数解析式为y=kx+b，∵点（12，120），（20，0）在y=kx+b的图象上，∴12k+b=120，20k+b=0，∴k=-15b=300∴函数解析式为y=-15x+300，∴小明家樱桃的日销售量y与上市时间x的函数解析式为：y=10x-15x+300(0≤x≤12)(12＜x≤20)；（3）∵第10天和第12天在第5天和第15天之间，∴当5＜x≤15时，设樱桃价格与上市时间的函数解析式为z=kx+b，∵点（5，32），（15，12）在z=kx+b的图象上，∴5x+b=3215k+b=12，∴k=-2b=42，∴函数解析式为z=-2x+42，当x=10时，y=10×10=100，z=-2×10+42=22，销售金额为：100×22=2200（元），当x=12时，y=120，z=-2×12+42=18，销售金额为：120×18=2160（元），∵2200＞2160，∴第10天的销售金额多.58.（1）分别过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥AC，垂足分别为点C，D由题意，知∠BAC=60°，AD=7-1=6∴AB=ADcos60°=612=12（2）设过A，B两点的反比例函数解析式为y=kx，A点坐标为（m，7）∵BD=AD·tan60°=63，∴B点坐标为（m+63，1）∴7m=k，(m+63)·1=k.解得k=73∴所求反比例函数的解析式为y=73x.59 解:(1)∵C(0,-3),OC=｜-3｜=3,∴c=-3，又∵OC=BO,∴BO=3,∴B(3,0)，9+3b-3=0,6+3b=0,b=-2.∴y=x2-2x-3(2)-b2a=--22=1，f(1)=1-2-3=-4，A(-1，0)，M(1，-4)，∴AM=22+42=2560.解：（1）把A（-2,-4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得4a-2b+c=-4 4a+2b+c=0c=0解这个方程组，得a=-12，b=1，c=0所以解析式为y=-12x2+x.（2）由y=-12x2+x=-12（x-1）2+12，可得抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB,∴OM=BM,∴OM+AM=BM+AM,连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小过点A作AN⊥x轴于点N，在Rt△ABN中，AB=AN２+BN2=42+42=42，因此OM+AM最小值为42.61.解:（1）将A（-3,0）,D(-2，-3)的坐标代入y=x2+bx+c得，9-3b+c=04-2b+c=-3，解得：b=2c=-3，∴y=x2+2x－3由x2+2x－3=0，得：x1=-3，x2=1，∴B的坐标是（1,0），设直线BD的解析式为y=kx+b,则k+b=0-2k+b=-3，解得：k=1b=-1，∴直线BD的解析式为y=x-1；（2）∵直线BD的解析式是y=x－1，且EF∥BD,∴直线EF的解析式为：y=x－a.若四边形BDFE是平行四边形，则DF∥x轴,∴D、F两点的纵坐标相等，即点F的纵坐标为-3.由y=x２＋2x-3y=x-a，得y2+（2a+1）y+a2+2a-3=0，解得：y=-(2a+)±13-4a2.令-(2a+)±13-4a2=－3，解得：a1=1，a2=3.当a=1时，E点的坐标（1，0），这与B点重合，舍去；∴当a=3时，E点的坐标（3，0），符合题意.∴存在实数a=3，使四边形BDFE是平行四边形.1.(1)A4（2，0）；A8（4，0）；A12（6，0）；(2)A4n（2n,0）；⑶向上.2.-123.2011.54.325.D第五讲图形认识初步考点1线和角【即时应用】1.D2.D3.D考点2视图和投影【即时应用】1.A2.A3.A一、选择题1.D2.D3.B4.C5.C6.B7.A8.A9.B10.B11.C12.C13.B14.A15.C16.B17.B二、填空题18. 143°25′19. 35°20. 1，4，621. 4cm或10cm22.相等或互补23. 2三、解答题24. 2cm或6cm25.（1）若a∥b,b∥c,则a∥c；（2）若a⊥b,b∥c,则a⊥c；（3）若a⊥c,b∥c,则a⊥b；（4）若a∥b,a∥c,则b∥c；（5）若a∥c,b∥c,则a∥b；（6）若a⊥b,a⊥c,则b∥c.26.∠1+∠2=90°1211小时,22次第六讲三角形考点1三角形的有关概念和性质【即时应用】1.B2.B3.3cm考点2全等三角形和相似三角形【即时应用】1.∠A=∠D或∠ABO＝∠DCO,AC＝DB.2.B3.∠ABD=∠C,∠ADB=∠ABC,考点3锐角三角函数【即时应用】1.A2.A3.C一、选择题1.C2.D3.D4.B5.C6.C7.B8.B9.B10.A11.C12.B13.B14.B15.A16.D17.C18.A19.A20.D21.C22.A23.C二、填空题24. 1＜x＜525. 126. 6或37727. 120°28. 60°29.①②③30. 4对31. 332. 4∶933. 2+334.63-51235.536. 1∶2三、解答题37.因为AB=AC，AE平分∠BAC，所以AE⊥BC(三线合一)因为∠ADC=130°，所以∠CDE=50°，所以∠DCE=40°，因为CD平分∠ACB，所以∠ACB=2∠DCE=80°，所以∠B=∠ACB=80°，∠BAC=180°-∠B+∠ACB=20°38.127°39.在Rt△ABC中，BC=3,AB=5,AC=AB2-BC2=4米.DC=4-1=3米.在Rt△DCE中DC=3,DE=5,CE=DE2-DC2=4米.BE=CE-CB=1.即梯子底端也滑动了1米.40.连结EF.因为EF是AC的垂直平分线，所以AF=FC.因为AB=AC，∠BAC=120°，所以∠B=∠C=30°，所以∠BAF=90°，所以AF=BF，即BF=2AF.41.因为AD＝AE，所以∠ADE=∠AED,所以∠ADB=∠AEC,所以△ADB≌△AEC,所以AB＝AC.42.证明：（1）在△ABC和△ADC中∠1=∠2AC=AC∠3=∠4∴△ABC≌△ADC.（2）∵△ABC≌△ADC，∴AB＝AD.又∵∠1＝∠2，∴BO＝DO43.解：已知：A、B、C三点不在同一直线上.求作：一点P，使PA＝PB＝PC.(或经过A、B、C三点的外接圆圆心P)正确作出任意两条线段的垂直平分线，并标出交点P.44.(1)①作图：(痕迹能体现)作线段AB(或AC、或BC)的垂直平分线，或作∠ACD=∠A(或∠BCD=∠B)两类方法均可，在边AB上找出所需要的点D，则直线CD即为所求②猜想：∠A+∠B=90°，③验证：如在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°时，有∠A+∠B=90°，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线.（2）答：①作图：(痕迹能体现)作线段AB(或AC、或BC)的垂直平分线，或作∠ABD=∠A或在线段CA上截取CD=CB三种方法均可.在边AB上找出所需要的点D，则直线CD即为所求.②猜想：∠B=3∠A.③验证：如在△ABC中，∠A=32°，∠B=96，有∠B=3∠A，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线.45.解：（1）能，点O1就是所求作的旋转中心.（2）能，点O2就是所求作的旋转中心.46.证明:∵∠B AC=90°,AD⊥BC,∴∠B+∠C=90°,∠DAC+∠C=90°.∴∠B=∠DAC.同理∠C=∠BAD.又∵∠ADE+∠ADF=90°,∠CDF+∠ADF=90°,∴∠ADE=∠CDF.又∵∠BED=∠BAD+∠ADE,∠AFD=∠C+∠CDF.∴∠BED=∠AFD.∴△BED∽△AFD.∴AFAD=BEBD47.解：（1）∵在Rt△ABC中，cos∠ADC＝35＝CDAD，设CD＝3k，∴AD＝5k,又∵BC＝AD，∴3k+4＝5k，∴k＝2.∴CD＝3k＝6.（2）∵BC＝3k＋4＝6＋4＝10，AC＝AD2-CD2＝4k＝8,∴AB＝AC2+BC2=82+102=241,∴sinB=ACAB=A241=44141.48.703米.49.（1）过A作AC⊥BF，垂足为C∵∠1=60°∴∠ABC=30°在Rt△ABC中AB=300km∠ABC=30°∴AC=150km∴A城会受到这次台风的影响(2)在BF上取D使AD=200km在BF上取E使AE=ADAC=150km，AD=200km∴CD=507km∴DE=1007kmv=107km/h∴t=1007km107km/h=10h答：A城遭遇这次台风影响10个小时.证明：（1）①∵∠ACD=∠ACB=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE，∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB.②∵△ADC≌△CEB，∴CE=AD，CD=BE，∴DE=CE+CD=AD+BE.（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，∴CE=AD，CD=BE，∴DE=CE－CD=AD－BE.（3）当MN旋转到图3的位置时，AD，DE，BE所满足的等量关系是DE=BE－AD（或AD=BE－DE，BE=AD+DE 等）.∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD－CE=BE－AD.第七讲四边形考点1正多边形的概念、性质和平面镶嵌【即时应用】1.42.D3.A考点2平行四边形【即时应用】1.B2.3考点3矩形【即时应用】1.D2.D考点4菱形【即时应用】1.C2.A3.B4.B考点5正方形【即时应用】1.B考点6梯形【即时应用】1.C2.C一、选择题1.C2.B3.A4.D5.A6.A7.D8.B9.C10.B二、填空题11.900712. 613. 614. 2315. 62°16.78cm17.12518. 2319.AB=CD20. 15°或75°21. 222. 423. 15三、解答题24.证明（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CDAB∥CD∴∠BAE=∠FCD又∵BE⊥ACDF⊥AC∴∠AEB=∠CFD=90°∴△ABE≌△CDF（AAS）（2）①△ABC≌△CDA②△BCE≌△DAF.25.证明：∵ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，又∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF.26.（1）证明：在ABCD中，CD∥AB∴∠MEF=∠MBA，∠MFE=∠MAB∴△MEF∽△MBA（2）证明：∵在ABCD中，CD∥AB∠DFA=∠FAB又∵AF是∠DAB的平分线∴∠DAF=∠FAB∴∠DAF=∠DFA∴AD=DF同理可得EC=BC∵在ABCD中，AD=BC∴DF=EC.27.证明：∵平行四边形ABCD中，OA=OC，由已知：AF=CEAF－OA=CE－OC∴OF=OE同理得：OG=OH∴四边形EGFH是平行四边形∴GF∥HE.28.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD.∴∠ABF=∠ECF.∵EC=DC,∴AB=EC.在△ABF和△ECF中，∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，∴△ABF≌△ECF.（2）解法一：∵AB=EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形.∴AF=EF，BF=CF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D，又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC.∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF.∴FA=FB.∴FA=FE=FB=FC,∴AE=BC.∴ABEC是矩形.解法二：∵AB=EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE.又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠BCE，∵∠AFC=∠FCE+∠FEC，∴∠FCE=∠FEC.∴∠D=∠FEC.∴AE=AD.又∵CE=DC，∴AC⊥DE.即∠ACE=90°.∴ABEC是矩形.29.当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形证明：∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2，又∵MN∥BC,∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO.同理，FO=CO∴EO=FO又OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形又∵∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠1+∠5=∠2+∠4.又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°∴∠2+∠4=90°∴四边形AECF是矩形.30.（1）证明：连接AC，∵∠ABC＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2.∵CD⊥AD，∴AD2＋CD2＝AC2.∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2，∴AB＝BC.（2）证明：过C作CF⊥BE于F.∵BE⊥AD，∴四边形CDEF是矩形.∴CD＝EF.∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴△BAE≌△CBF.∴AE＝BF.∴BE＝BF＋EF＝AE＋CD.31.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形.（2）∵四边形AECF是菱形，∴AE＝CE，∴∠1＝∠2，∵∠BAC＝90°，∴∠3＝∠90°－∠2，∠4＝∠90°－∠1，∴∠3＝∠4，∴AE＝BE，∴BE＝AE＝CE＝12BC＝5.32.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OB=OD，∴∠EDO=∠FB，∠OED=∠OFB，∴△OED≌△OFB，∴DE=BF，又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形.33.（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠BCA，∴∠FAC＝∠B＋∠BCA＝2∠B，∵AD平分∠FAC，∴∠FAD＝∠B，∴AD∥BC，∴∠D＝∠DCE，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD＝∠DCE，∴∠D＝∠ACD，∴AC＝AD；∴∠ACB＝60°，∠FAC＝∠ACE＝120°，∴∠DCE＝∠B＝60°，∴DC∥AB,∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，又由（1）知AC＝AD，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形.34.（1）证明：∵DE∥OC，CE∥OD，∴四边形OCED是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形∴AO＝OC＝BO＝OD∴四边形OCED是菱形.（2）∵∠ACB＝30°∴∠DCO＝60°又∵OD＝OC，∴△OCD是等边三角形，过D作DF⊥OC于F，则CF＝12OC，设CF＝x，则OC＝2x，AC＝4x,在Rt△DFC中，tan60°＝DFFC,∴DF＝FC·tan60°=3x,由已知菱形OCED的面积为83得OC·DF＝83，即2x·3x=83，解得x＝2，∴AC＝4×2＝8.35.（1）证明：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF.在△ABC和△DEF中，AC=DF∠A=∠DAB=DE∴△ABC≌DEF（SAS），∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，∴BC∥EF，∴四边形BCEF是平行四边形.（2）解：连接BE，交CF与点G，∵四边形BCEF是平行四边形，∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，∴AC=AB2+BC2=5，∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，∴△ABC∽△BGC，∴BCAC=CGBC，即35=CG3，∴CG=95，∵FG=CG，∴FC=2CG=185，∴AF=AC-FC=5-185=75，∴当AF=75时，四边形BCEF是菱形.36.证明：∵BE=FC∴BE+EF=FC+EF,即BF=CE∵四边形ABCD是等腰梯形∴AB=DC∠B=∠C在△DCE和△ABF中，DC=AB∠B=∠CCE=BF⊿∴△DCE≌△ABF(SAS)∴DE=AF.37.解：过点A作AG∥DC，∵AD∥BC，∴四边形AGCD是平行四边形，∴GC=AD，∴BG=BC－AD=4－1=3，在Rt△ABG中，AG=2BG2=32，∵EF∥DC∥AG，∴EFAG=BEAB=12，∴EF=12AG=322.38.(1)证明：如图，∵△ABC是等腰三角形，∴AC＝BC，∴∠BAD＝∠ABE，又∵AB＝BA,∠2＝∠1，∴△ABD≌△BAE(ASA)，∴BD＝AE，又∵∠１＝∠２，∴OA＝OB，∴BD－OB＝AE－OA，即：OD＝OE.(2)证明：由(1)知：OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∴∠OED＝12(180°－∠DOE)，同理：∠1＝12(180°－∠AOB)，又∵∠DOE＝∠AOB，∴∠1＝∠OED，∴DE∥AB，∵AD、BE是等腰三角形两腰所在的线段，∴AD与BE不平行，∴四边形ABED是梯形，又由(1)知∴△ABD≌△BAE，∴AD＝BE∴梯形ABED是等腰梯形.(3)解：由(2)可知：DE∥AB，∴△DCE∽△ACB，∴△DCE的面积△ACB的面积=(DEAB)2即：2△ACB的面积=(DE3DE)2=19，∴△ACB的面积＝18，∴四边形ABED的面积＝△ACB的面积－△DCE的面积＝18－2＝16.39.解：（1）过D作DG⊥BC于G.由已知可得，四边形ABGD为正方形.∵DE⊥DC，∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，∴∠ADE=∠GDC.又∵∠A=∠DGC，且AD=GD，∴△ADE≌△GDC.∴DE=DC，且AE=GC.在△EDF和△CDF中，∠EDF=∠CDF，DE=DC，DF为公共边，∴△EDF≌△CDF.∴EF=CF.（2）∵tan∠ADE=AEAD=13，∴AE=GC=2.设EF=x，则，BF=8-CF=8-x,BE=6－2=4.由勾股定理，得x2=(8-x)2+42.解之，得x=5，即EF=5.1.B2.223.解（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD.∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF.又∵∠PBF=45°，∴PF=BF.∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=22a.（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD.∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF.又∵∠PBF=45°，∴PF=BF.∴PE－PF=OF－BF=OB=acos45°=22a.第八讲图形的变换考点1平移变换【即时应用】1.A2. 2米考点2轴对称变换【即时应用】1.D2.B考点3旋转变换【即时应用】1.（1）略；（2）画出△A2B2C2；（3）至少需要旋转90°.考点4位似变换【即时应用】1.D一、选择题1.D2.C3.C4.B二、填空题5.(2,0)6. 287. 5.8cm8. 709. 2510. 411.154三、解答题(1)顶点A顺时针旋转后与点E重合，∠ABE和∠CBD都等于旋转角.∠ABC=30°，所以∠ABE=180°-30°=150°，所以三角尺旋转了150°.(2)BC和BD是对应边，BC=BD，所以△CBD是等腰三角形.(3)△CBD是等腰三角形，∠CBD=150°，所以∠BDC=180°-150°2=15°.第九讲圆考点1圆的有关概念和性质【即时应用】1.B2.7cm或1cm考点2与圆有关的位置关系【即时应用】1.D2.C考点3圆的有关计算【即时应用】1. 2πcm22. 35一、选择题1.B2.C3.C4.B5.B6.C7.A二、填空题8. 409. 310. 8cm11. 4012. 213.（-2，-1）14.1315. 916. 105°三、解答题17.证明：AB为弦，CD为直径所在的直径且AB⊥CD，∴AD=BD,又∵CD=CD，∴△CAD≌△CBD，∴∠A=∠B AC=BC，又E，F分别为AC，BC的中点，D为AB中点，∴DF=CE=12AE,DE=CF=12BC,∴DE=DF=CE=CF,∴四边形CEDF为菱形.18.证明：(1)∵AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F,∴弧BD=弧DC,∴BD=DC;(2)易证DB=DE,由BD=DC，∴DB=DE=DC，∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.19.证明：∵AB＝BC，∴弧AB=弧BC,∴∠ADB=∠PDC,又∠ABD=∠PCD，∴△ABD∽△PCD.20.（1）AB＝AC；（2）△ABC为锐角三角形.21.连结OC，证明△POC≌△POB，得∠PCO=∠PBO=90度，所以PD是圆O的切线.22.解：（1）△ACO≌△BCO，△APC≌△BPC，△PAO≌△PBO（2）∵PA、PB为⊙O的切线∴PO平分∠APB,PA=PB,∠PAO=90°∴PO⊥AB，∴由圆的对称性可知：S阴影=S扇形AOD∵在Rt△PAO中，∠APO=12∠APB=12×60°=30°∴∠AOP=90°-∠APO=90°-30°=60°∴S阴影=S扇形AOD=60×π×12360=π6.23.证明：（1）连结OC.∵PD切⊙O于点C，又∵BD⊥PD，∴OC∥BD.∴∠1＝∠3,又∵OC＝OB，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠2，即BC平分∠PBD.（2）连结AC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.又∵BD⊥PD，∴∠ACB＝∠CDB＝90°,又∵∠1＝∠2，∴△ABC∽△CBD∴ABCB=BCBD，∴BC2=AB·BD.24.（1）证明：连接OA.∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°，∴∠AOP=60°，∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=90°，∴OA⊥AP，∴AP是⊙O的切线，（2）解：连接AD.∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=90°，∴AD=AC·tan30°=3×33=3，∵∠ADC=∠B=60°，∴∠PAD=∠ADC-∠P=60°-30°，∴∠P=∠PAD，∴PD=AD=3.25.（1）连结CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.而∠CAH=∠BAC，∴△CAH∽△BAC.∴ACAB=AHAC，即AH·AB=AC2.（2）连结FB，易证△AHE∽△AFB，∴AE·AF=AH·AB，∴AE·AF=AC2.(也可连结CF，证△AEC∽△ACF)（3）结论AP·AQ=AC2成立.1.B第十讲统计与概率考点1数据的收集、整理与描述【即时应用】1.D2.B3.C考点2数据的分析【即时应用】1.A2.D考点3概率初步1.B2.D一、选择题1.B2.D3.C4.C5.C6.C7.D8.C9.A10.B11.B12.A13.C14.D15.D16.C17.C18.D二、填空题19. 144°20. 121.1322.1323.1324.1225.3526.31027.1228.1329.13三、解答题30.解：（1）3，16；（2）这50户居民月总用水量超过550m3的月份有5个，占全年月份的百分率为（5÷12）×100%＝42%.31.解：（1）84，0.33；（2）喜爱阅读文学类的学生最多（84人），喜爱阅读艺术类的学生最少（22人）；（3）1200×0.33＝396（人）.32.解：甲、乙两人射击成绩的平均成绩分别为:X甲=15(7×2+8×２+10×1)=8，X乙=15(7×1+8×３+9×1)=8，S2甲=15［2(7-8)２+2(8-8)2+(10-8)2］=1 2S2乙=15［(7-8)２+3(8-8)2+(9-8)2］=0 4∵S2甲＜S2乙，∴乙同学的射击成绩比较稳定.33.解：（1）1428%=50（人）;该班总人数为50人；（2）捐款10元的人数：50-9-14-7-4=50-34=16，图形补充略，众数是10；（3）150（5×9+10×16+15×14+20×7+25×4）=150×655=131元，因此，该班平均每人捐款131元.34.解：（1）200；（2）200－120－50=30（人）.画图正确.（3）C所占圆心角度数=360°×（1－25%－60%）=54°.（4）12000×（25%＋60%）=10200.∴估计该市初中生中大约有10200名学生学习态度达标.35.（1）24，24，16（2）7000-184×110×(2×18+22+3×24+26+29+30+34)=7000-18 4×249=7000-4581 6=2418 4(万)答：世博会期间参观总人数与预测人数相差2418.4万.36.解：（1）略，（2）49.37.解：(1)抽取1名，恰好是女生的概率是25;(2)P（A）=610=35.38.解：公平.理由如下：每次游戏时，所有可能出现的结果如下：总共有36种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两数字之和为偶数的有18种，两数字之和为奇数的有18种，每人获胜的概率均为12，所以游戏是公平的.39.解：（1）设D地车票有x张，则x＝（x+20+40+30）×10%解得x＝10.即D地车票有10张.（2）小胡抽到去A地的概率为＝2020+40+30+10=15.（3）小王掷得数字比小李掷得数字小的概率为616＝38.则小王掷得数字不小于小李掷得数字的概率为1-38＝58.所以这个规则对双方不公平.40.解：（1）设乙盒中有个蓝球，则从乙盒中任意摸取一球，摸到蓝球的概率P1=xx+3；从甲盒中任意摸取一球，摸到蓝球的概率P2=14；根据题意，得xx+3=12，解得x=3，所以乙盒中有3个蓝球.（2）从甲、乙两盒中各摸取一球，两球均为蓝球的概率为18.第二轮专题训练一、数学思想与方法1.配方法练习一1.D2.待定系数法练习二1.B2.y=x-13.y=3x4.(1)设直线的AB函数解析式为y=kx+b依题意,得A(1,0),B(0,2)∴0=k+b2=0+b解得k=-2b=2∴直线的函数解析式为y=-2x+2当0≤y≤2时,自变量x的取值范围0≤x≤1;(2)线段BC即为所求,增大.5.解：(1)y=0 4x(x≥0).(2)y=0 15x+200(x≥0).(3)由图象可知，当每月复印页数在1200左右，应选择乙复印社更合算.6.(1)B(4,2);(2)y=12x2-32x（3）P点坐标可以是（0，0），（3，0），（3+412，4），（3-412,4）. 3.参数法练习三1. 10,15,252.45，353.A4.1〖〗24.特殊值法练习四1.A2.A3.B4.四5.换元法练习五1.16.整体思想练习六1.322.43.D4.167.数形结合思想练习七1.A2.A3.A4.B5.＞,＞,＜,＞6.m＜-17.（1）甲车速度100千米／时，乙车速度50千米／时；（2）y=50x-250；（3）172时和7时.8.分类讨论思想练习八1.D2.解：(1)根据题意知,调配给甲连锁店电冰箱(70-x)台,调配给乙连锁店空调机(40-x)台,电冰箱(x-10)台，则y=200x+170(70-x)+160(40-x)+150(x-10)，即y=20x+16800.∵x≥070-x≥040-x≥0x-10≥0∴10≤x≤40.∴y=20x+168009(10≤x≤40);(2)按题意知：y=（200-a）x+170(70-x)+160(40-x)+150（x-10），即y=（20-a）x+16800.∵200-a＞170，∴a＜30.当0＜a＜20时，x=40，即调配给甲连锁店空调机40台，电冰箱30台，乙连锁店空调0台，电冰箱30台；当a=20时，x的取值在10≤x≤40内的所有方案利润相同；当20＜a＜30时，x=10，即调配给甲连锁店空调机10台，电冰箱60台，乙连锁店空调30台，电冰箱0台.3.解：（1）如图（甲），当t=1秒时，AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2S=S梯形EBCG-S△EBF-S△FCG=12(EB+CG)·BC-12EB·BF-12FC·CG12×(10+2)×8-12×10×4-12×4×2=24（2）①，当0≤t≤2时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动，此时AE=2t,BE=12-2t,BF=4t,FC=8-4t,CG=2tS=S梯形EBCG-S△EBF-S△FCG=12×8×(12-2t+2t)-12×4t(12-2t)-12×2t(8-4t)=8t2-32t+48即S=8t2-32t+48(0≤t≤2)②当点F追上点G时，4t=4t+8，解得t=4.当2＜t≤4时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动.此时CF=4-.CG=2t.FG=CG-CF=2t-(4t-8)=8-2tS=12FG·BC=12(8-2t)·8=-8t+32即S=-8t+32(2＜t≤4)（3）当点F在矩形的边BC上移动时，0≤t＜2.在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°.①若EBFC=BFCG.即12-2t8-4t=4t2t，解得.t=23又t=23满足0≤t≤2，所以当t=23时，△EBF∽△FCG.②若EBCG=BFCF.即12-2t2t=4t8-4t，解得t=32.又t=32满足0≤t≤2，所以当t=32时，△EBF∽△GCF.综上所述，当t=23或t=32时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似.9.转化思想练习九1.B2.B3. 50π4.＜5. 8-2π6.12a２7.解：（1）连接OC，设OC＝r，∵AC与⊙O相切，∴OC⊥AC.∵sinA＝25＝OCOA，∴OA＝52r，∴AC2＝OA2－OC2＝254r2－r2＝21，∴r＝2，即⊙O的半径为2.（2）连接CD，∵OD＝BD，OC⊥BC，∴CD＝OD＝OC，∴∠COD＝60°，∴BC＝3OC＝23，∴S阴影＝S△OCB－S扇形OCD＝12×2×23－16π·22＝23－23π.10.方程思想练习十1.解：设原计划零售平均每天售出x吨，根据题意得2006+-2006+(x+2)=5解得x1=2，x2=-16经检验x=2是原方程的根，x=-16不符合题意，舍去.答：原计划零售平均每天售出2吨.（2）2006+2+2=20（天）实际获得的总利润是：2000×6×20+2200×4×20=416000（元）.2.解：（1）设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成此项工程需1.5x天.根据题意，得1x+11 5x=112，解得x=20，经检验知x=20是方程的解且符合题意.1.5x=30,故甲，乙两公司单独完成此项工程，各需20天，30天；（2）设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为（y-1500）元，根据题意得12（y+y-1500）=102000，解得y=5000，甲公司单独完成此项工程所需的施工费：20×5000=100000（元）；乙公司单独完成此项工程所需的施工费：30×（5000-1500）=105000（元）；故甲公司的施工费较少.3.解：（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需（x+25）天.根据题意得：30x+30x+25=1.经检验，x1=50，x2=－15都是原方程的解. 但x2=－15不符合题意，应舍去.答：甲工程队单独完成该工程需50天，则乙工程队单独完成该工程需75天.（2）此问题只要设计出符合条件的一种方案即可.方案一：由甲工程队单独完成.所需费用为：2500×50=125000（元）.方案二：甲乙两队合作完成.所需费用为：（2500+2000）×30=135000（元）.其它方案略.11.函数思想练习十一1.C2. 43.解：(1)当0＜x≤20时，y=8000.当20＜x≤40时，设BC满足的函数关系式为y=kx+b，则20k+b=800040k+b=4000.解得k=-200，b=12000，∴y=-200x+12000.(2)当0＜x≤20时，老王获得的利润为w=(8000-2800)x=5200x≤104000，此时老王获得的最大利润为104000元.4.解：(1)设一次购买x只，才能以最低价购买，则有：0.1(x-10)=20-16，解这个方程得x=50;答：一次至少买50只，才能以最低价购买.(2)y=20x-13x=7x(0＜x≤10)［(20-13)-0 1(x-10)］x16x-13x=3x(x≥50)=-110x2+8x(10＜x＜50)(3)将y=-110x2+8x配方得y=-110(x-40)2+160，所以店主一次卖40只时可获得最高利润，最高利润为160元.(也可用公式法求得)二、选择、填空题专题训练1.A2.B3.C4.D5.D6.A7.C8.A9.A10.D11.C12.C13.a≤-1且a≠-214.25215. 72°16. 717.①②③18.1319. 2π20.3∶421. 4或622. 75°23.224.12π25.1-14n三、阅读理解专题训练1.B2. 101030，或103010，或3010103. 6，4，1，74.(1)＜＜＞(2)nn＋1＜(n＋1)n(n≤2)nn＋1＞(n＋1)n(n≥3)(3)＞5.(1)y=1x-1;y=xx-1;（2）上，1；y=x-1x-2可转化为y=1x-2+1,它的图象可由反比例函数y=1x的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到.(3)函数y=x+bx+a(ab≠0，且a≠b)可转化为y=b-ax+a+1.当a＞0时，y=x+bx+a(ab≠0,且a≠b)的图象可由反比例函数y=b-ax的图象左平移a个单位，再向上平移一个单位得到.当a＜0时,y=x+bx+a(ab≠0,且a≠b)的图象可由反比例函数y=b-ax的图象向左平移-a个单位，再向上平移一个单位得到.6.解：（1）∵1×2≠2×(1+2),4×4=2×(4+4)∴点M不是和谐点，点N是和谐点.（2）由题意得，当a＞0时，(a+3)×2=3a，∴a=6,点P(a,3)在直线y=-x+b上，代入得b=9；当a＜0时，(-a+3)×2=-3a∴a=-6，点P(a,3)在直线y=-x+b上，代入得b=-3.∴a=6,b=9或a=-6,b=-3.7.解：（1）B；（2）0＜sadA＜2；(3)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A=35.在AB上取点D，使AD=AC，作DH⊥AC，H为垂足，令BC=3k，AB=5k，则AD=AC=(5k)2-(3k)2=4k，又在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A=125k.∴DH=AD·si n∠A=125k，AH=AD2-DH2=165k.则在△CDH中，CH=AC-AH=45k，CD=DH2+CH2=4105k.于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD=4105k.由正对定义可得：sadA=CDAD=105，即sadα=105.四、探索性问题专题训练1.B2.B3.C4.C5.C6. 37. 1008.14n-19.2或14310. 211.解：(1)3或8；(2)1或11；(3)能,理由如下:由(2)知，当BP=11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形, ∴EP=AD=5.过D作DF⊥BC于F，∵∠C=45°,CD=42,∴DF=FC=4，∴EF=EC-FC=6-4=2,∴FP=EP-EF=5-2=3，∴DP=FP2+DF２=32+42=5∴EP=DP,故此时平行四边形PDAE是菱形.即以点P、A、D、E为顶点的四边形是菱形.12.解：（1）当点P是的中点时，DP是⊙O的切线.理由如下：∵AB=AC，∴AB=AC，又∵PB=PC，∴PBA=PCA，∴PA是⊙O的直径，∵PB=PC，∴∠1=∠2，又AB=AC，∴PA⊥BC，又∵DP∥BC，∴DP⊥PA，∴DP是⊙O的切线.（2）连接OB，设PA交BC于点E.由垂径定理，得BE=BC=6，在Rt△ABE中，由勾股定理，得：AE=AB2-BE2=102-62=8，设⊙O的半径为r，则OE=8-r，在Rt△OBE中，由勾股定理，得：r2=62+(8-r）2，解得r=254，∵DP∥BC，∴∠ABE=∠D，又∵∠1=∠1，∴△ABE∽△ADP，∴BEDP=AEAP，即6DP=2×254，解得：DP=758.13.（1）证明：在△ACD与△ABE中，∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC，∴△ACD≌△ABE.∴AD=AE.(2)互相垂直在Rt△ADO与△AEO中，∵OA=OA，AD=AE，∴△ADO≌△AEO.∴∠DAO=∠EAO.即OA是∠BAC的平分线.又∵AB=AC，∴OA⊥BC.14.解：(1)连接BD.∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH是△ABD的中位线,∴EH＝BD，且EH∥BD.同理得FG＝BD，且FG∥BD.∴EH＝FG，且EH∥FG.∴四边形EFGH是平行四边形.(2)填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形.(3)中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系来决定的.15.（1）证明：四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PDO=∠QBO，又OB=OD，∠POD=∠QOB，∴△POD≌△QOB，∴OP=OQ.（2）解：PD=8-t∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∵AD=8cm，AB=6cm，∴BD=10cm，∴OD=5cm.当四边形PBQD是菱形时，PQ⊥BD，∴∠POD=∠A，又∠ODP=∠ADB，∴△ODP∽△ADB，∴ODPD=ADBD，即58-t=810，解得t=74,即运动时间为74秒时，四边形PBQD是菱形.16.（1）证明：∵∠GEB＋∠BEF＝90°，∠DEF＋∠BEF＝90°，∴∠DEF＝GEB，又∵ED＝BE，∴Rt△FED ≌Rt△GEB，∴EF＝EG.）(2)成立.证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，则EH＝EI，∠HEI＝90°，∵∠GEH＋∠HEF＝90°，∠IEF＋∠HEF＝90°，∴∠IEF＝∠GEH，∴Rt△FEI≌Rt△GEH,∴EF＝EG.(3)解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，则∠MEN＝90°，EM∥AB，EN∥AD,∴EMAB＝CECA＝ENAD，∴EMEN＝ABAD＝ab,∵∠GEM＋∠MEF＝90°，∠FEN＋∠MEF＝90°，∴∠FEN＝∠GEM，∴Rt△FEN∽Rt△GEM,∴EFEG＝ENEM＝ba.18.解：（1）由OB＝2，可知B(2,0)将A(－2，－4)，B(2,0)，O(0,0)三点坐标代入抛物线y＝ax2＋bx＋c，得-4=4a-2b+c0=4a+2b+c0=c解得：a=-12,b=1,c=0∴抛物线的函数表达式为y=-12x2+x.（2）由y=-12x2+x=-12(x-1)2+12，可得，抛物线的对称轴为直线x=1，且对称轴x=1是线段OB的垂直平分线，连结AB交直线x=1于点M，即为所求。
数学：中考2013年各地数学分类解析 第20部分
等腰三角形1、（2013•新疆）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ） A ． 12 B ． 15 C ． 12或15 D ．18考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析： 因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．解答： 解：①当3为底时，其它两边都为6，3、6、6可以构成三角形，周长为15；②当3为腰时，其它两边为3和6，∵3+3=6=6，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有15．故选B ．点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．2、(2013年临沂)如图，在平面直角坐标系中,点A 1 ， A 2在x 轴上，点B 1，B 2在y 轴上，其坐标分别为A 1(1，0),A 2(2,0),B 1(0,1)，B 2（0,2），分别以A 1A 2B 1B 2其中的任意两点与点O 为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（A ） . (B) . (C)23. (D) . 341312答案：D解析：以A 1A 2B 1B 2其中的任意两点与点O 为顶点作三角形，能作4个，其中A 1B 1O ，A 2B 2O 为等腰三角形，共2个，故概率为： 12A3、(2013年武汉)如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（）A．18° B．24° C．30° D．36°答案：A解析：因为AB＝AC，所以，∠C＝∠ABC＝12（180°－36°）＝72°，又BD为高，所以，∠DBC＝90°72°＝18°4、（2013四川南充，3，3分）如图，△ABC中，AB=AC,∠B=70°，则∠A的度数是（）A.70°B. 55°C. 50°D. 40°答案：D解析：因为AB=AC，所以∠C＝∠B=70°，∠A=180°－70°－70°＝40°5、（2013•宁波）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=，BC=4，连结BD，∠BAD的平分线交BD于点E，且AE∥CD，则AD的长为（ ）考点：梯形；等腰三角形的判定与性质．分析：延长AE交BC于F，根据角平分线的定义可得∠BAF=∠DAF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DAF=∠AFB，然后求出∠BAF=∠AFB，再根据等角对等边求出AB=BF，然后求出FC，根据两组对边平行的四边形是平行四边形得到四边形AFCD是平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等解答．解答：解：延长AE交BC于F，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF=∠DAF，∵AE∥CD，∴∠DAF=∠AFB，∴∠BAF=∠AFB，∴AB=BF，∵AB=，BC=4，∴CF=4﹣=，∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∴AD=CF=．故选B．点评：本题考查了梯形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，梯形的问题，关键在于准确作出辅助线．6、（2013•攀枝花）如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（ ） A ．30° B．35° C．40° D．50°考点：旋转的性质．分析：根据旋转的性质可得AC=AC′，∠BAC=∠B′AC′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠ACC′=∠CAB，然后利用等腰三角形两底角相等求出∠CAC′，再求出∠BAB′=∠CAC′，从而得解．解答：解：∵△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，∴AC=AC′，∠BAC=∠B′AC′，∵CC′∥AB，∠CAB=75°，∴∠ACC′=∠CAB=75°，∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×75°=30°，∵∠BAB′=∠BAC﹣∠B′AC，∠CAC′=∠B′AC′﹣∠B′AC，∴∠BAB′=∠CAC′=30°．故选A．点评：本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质．7、（2013•广安）等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（ ） A ．25 B．25或32 C．32 D．19考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：因为已知长度为6和13两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．解答：解：①当6为底时，其它两边都为13，6、13、13可以构成三角形，周长为32；②当6为腰时，其它两边为6和13，∵6+6＜13，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有32．故选C．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．8、（2013泰安）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（ ） A．2 B．4 C．4 D．8考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．专题：计算题．分析：由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DF，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的长．解答：解：∵AE为∠ADB的平分线，∴∠DAE=∠BAE，∵DC∥AB，∴∠BAE=∠DFA，∴∠DAE=∠DFA，∴AD=FD，又F为DC的中点，∴DF=CF，∴AD=DF=DC=AB=2，在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=，则AF=2AG=2，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴AF=EF，则AE=2AF=4．故选B点评：此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．9、（2013•莱芜）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（ ） A ．4 B．5 C．6 D．8考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．专题：数形结合．分析：作出图形，利用数形结合求解即可．解答：解：如图，满足条件的点M的个数为6．故选C．点评：本题考查了等腰三角形的判定，利用数形结合求解更形象直观．10、（2013• 德州）如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为（ ） A．68° B．32° C．22° D．16°考点：平行线的性质；等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形两底角相等求出∠C的度数，再根据两直线平行，内错角相等解答即可．解答：解：∵CD=CE，∴∠D=∠DEC，∵∠D=74°，∴∠C=180°﹣74°×2=32°，∵AB∥CD，∴∠B=∠C=32°．故选B．点评：本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质是解题的关键．11、（2013•徐州）若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为（ ） A ．80° B．50° C．40° D．20°考点：等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可得解．解答：解：∵等腰三角形的顶角为80°，∴它的底角度数为（180°﹣80°）=50°．故选B．点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，是基础题．12、（2013•张家界）顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形一定是（ ） A ．矩形B．正方形C．菱形D．直角梯形考点：中点四边形．分析：根据等腰梯形的性质及中位线定理和菱形的判定，可推出四边形为菱形．解答：解：如图，已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：四边形EFGH是菱形．证明：连接AC、BD．∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF=AC．同理FG=BD，GH=AC，EH=BD，又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形．故选C．点评：此题主要考查了等腰梯形的性质，三角形的中位线定理和菱形的判定．用到的知识点：等腰梯形的两底角相等；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；四边相等的四边形是菱形．13、（2013•淮安）若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（ ） A ．5 B．7 C．5或7 D．6考等腰三角形的性质；三角形三边关系．点：分析： 因为已知长度为3和1两边，没由明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．解答： 解：①当3为底时，其它两边都为1，∵1+1＜3，∴不能构成三角形，故舍去，当3为腰时， 其它两边为3和1，3、3、1可以构成三角形，周长为7．故选B ．点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．14、（2013•孝感）如图，在△ABC 中，AB=AC=a ，BC=b （a ＞b ）．在△ABC 内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF 等于（ ）A． B ． C ． D ．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．分析： 依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，根据相似三角形的对应边成比例的知识，可得出EF 的长度．解答： 解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠CBD=∠A，∴△ABC∽△BDC，同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，∴=，=，=，解得：CD=，DE=，EF=． 故选C ．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容易找到，难点在于根据对应边成比例求解线段的长度，注意仔细对应，不要出错．15、（2013成都市）如图，在△ＡＢＣ中，B C∠=∠，AB=5,则AC的长为（）A.2B.3C.4D.5答案：D解析：由∠B＝∠C，得AC＝AB＝5（等角对等边），故选D16、（2013•宜昌）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（ ） A ．8 B．6 C．4 D．2考点：等腰三角形的判定；矩形的性质．分析：根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO=BO=CO=DO，进而得到等腰三角形．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO，∴△ABO，△BCO，△DCO，△ADO都是等腰三角形，故选：C．点评：此题主要考查了等腰三角形的判定，以及矩形的性质，关键是掌握矩形的对角线相等且互相平分．17、（2013哈尔滨）如图，在 ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为( )．(A)4 (B)3 (C) 52(D)2考点：平行四边形的性质及等腰三角形判定．分析：本题主要考查了平行四边形的性质：平边四边形的对边平行且相等；等腰三角形判定，两直线平行内错角相等；综合运用这三个性质是解题的关键解答：根据CECE平分∠BCD得∠BCE=∠ECD,AD∥BC得∠BCE=∠DEC从而△DCE为等腰三角形，ED=DC=AB,2AB=AD=AE+ED=3+AB,解得AB=3故选B18、（2013•毕节地区）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为（ ） A ．16 B．20或16 C．20 D．12考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：因为已知长度为4和8两边，没由明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．解答：解：①当4为底时，其它两边都为8，4、8、8可以构成三角形，周长为20；②当4为腰时，其它两边为4和8，∵4+4=8，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有20．故选C．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．19、（2013•钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ） A ．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°考点：等腰三角形的性质．专题：分类讨论．分析：分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．解答：解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．故选B．点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．20、（2013年广州市）如图5，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是BCD∠的平分线，且,4,6,AB AC AB AD⊥==则tan B=（）A 114 分析：先判断DA=DC ，过点D 作DE ∥AB ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，由等腰三角形的性质，可得点F 是AC 中点，继而可得EF 是△CAB 的中位线，继而得出EF 、DF 的长度，在Rt △ADF 中求出AF ，然后得出AC ，tanB 的值即可计算．解：∵CA 是∠BCD 的平分线，∴∠DCA=∠ACB ，又∵AD ∥BC ，∴∠ACB=∠CAD ，∴∠DAC=∠DCA ，∴DA=DC ，过点D 作DE ∥AB ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，∵AB ⊥AC ，∴DE ⊥AC （等腰三角形三线合一的性质），∴点F 是AC 中点，∴AF=CF ，∴EF 是△CAB 的中位线，∴EF=AB=2，∵==1，∴EF=DF=2，在Rt △ADF 中，AF==4，则AC=2AF=8，tanB===2．故选B ． 点评：本题考查了梯形的知识、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，判断点F 是AC 中点，难度较大．21、（2013台湾、31）如图，甲、乙两人想在正五边形ABCDE 内部找一点P ，使得四边形ABPE 为平行四边形，其作法如下：（甲） 连接BD 、CE ，两线段相交于P 点，则P 即为所求（乙） 先取CD 的中点M ，再以A 为圆心，AB 长为半径画弧，交AM 于P 点，则P 即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）A ．两人皆正确B ．两人皆错误C ．甲正确，乙错误D ．甲错误，乙正确 考点：平行四边形的判定．分析：求出五边形的每个角的度数，求出∠ABP、∠AEP、∠BPE 的度数，根据平行四边形的判定判断即可．解答：解：甲正确，乙错误，理由是：如图，∵正五边形的每个内角的度数是=108°，AB=BC=CD=DE=AE，∴∠DEC=∠DCE=×（180°﹣108°）=36°，同理∠CBD=∠CDB=36°，∴∠ABP=∠AEP=108°﹣36°=72°，∴∠BPE=360°﹣108°﹣72°﹣72°=108°=∠A，∴四边形ABPE是平行四边形，即甲正确；∵∠BAE=108°，∴∠BAM=∠EAM=54°，∵AB=AE=AP，∴∠ABP=∠APB=×（180°﹣54°）=63°，∠AEP=∠APE=63°，∴∠BPE=360°﹣108°﹣63°﹣63°≠108°，即∠ABP=∠AEP，∠BAE≠∠BPE，∴四边形ABPE不是平行四边形，即乙错误；故选C．点评：本题考查了正五边形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判定的应用，注意：有两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 22、（2013台湾、20）如图，长方形ABCD中，M为CD中点，今以B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径画弧，两弧相交于P点．若∠PBC=70°，则∠MPC的度数为何？（ ） A．20 B．35 C．40 D．55考点：矩形的性质；等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形两底角相等求出∠BCP，然后求出∠MCP，再根据等边对等角求解即可．解答：解：∵以B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径的两弧相交于P点，∴BP=PC，MP=MC，∵∠PBC=70°，∴∠BCP=（180°﹣∠PBC）=（180°﹣70°）=55°，在长方形ABCD中，∠BCD=90°，∴∠MCP=90°﹣∠BCP=90°﹣55°=35°，∴∠MPC=∠MCP=35°．故选B．点评：本题考查了矩形的四个角都是直角的性质，等腰三角形两底角相等的性质以及等边对等角，是基础题．23、（2013•滨州）在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°，则∠B= 65° ．考点：等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形性质即可直接得出答案．解答：解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠A=50°，∴∠B=（180°﹣50°）÷2=65°．故答案为：65°．点评：本题考查学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．24、（2013•雅安）若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 5 ．考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形三边关系．专题：分类讨论．分析：先根据非负数的性质列式求出a、b再分情况讨论求解即可．解答：解：根据题意得，a﹣1=0，b﹣2=0，解得a=1，b=2，①若a=1是腰长，则底边为2，三角形的三边分别为1、1、2，∵1+1=2，∴不能组成三角形，②若a=2是腰长，则底边为1，三角形的三边分别为2、2、1，能组成三角形，周长=2+2+1=5．故答案为：5．点评：本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，难点在于要讨论求解．25、（2013•黄冈）已知反比例函数在第一象限的图象如图所示，点A在其图象上，点B为x轴正半轴上一点，连接AO、AB，且AO=AB，则S△AOB= 6 ．考点：反比例函数系数k的几何意义；等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形的性质得出CO=BC，再利用反比例函数系数k的几何意义得出S△AOB 即可．解答：解：过点A作AC⊥OB于点C，∵AO=AB，∴CO=BC，∵点A在其图象上，∴AC×CO=3，∴AC×BC=3，∴S△AOB=6．故答案为：6．点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及反比例函数系数k的几何意义，正确分割△AOB是解题关键．26、（2013•绍兴）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是 12° ．考点：等腰三角形的性质．分析：设∠A=x，根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AP7P8，∠AP8P7，再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．解答：解：设∠A=x，∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x，∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x，∴∠P2P3P4=∠P13P12P10=3x，…，∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x，∴∠AP7P8=7x，∠AP8P7=7x，在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°，即x+7x+7x=180°，解得x=12°，即∠A=12°．故答案为：12°．点评：本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，规律探寻题，难度较大．27、（2013•黄冈）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ．考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质．分析：根据等腰三角形和三角形外角性质求出BD=DE，求出BC，在Rt△△BDC中，由勾股定理求出BD即可．解解：∵△ABC为等边三角形，答：∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，∵BD为中线，∴∠DBC=∠ABC=30°，∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠E+∠CDE=∠ACB，∴∠E=30°=∠DBC，∴BD=DE，∵BD是AC中线，CD=1，∴AD=DC=1，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC=1+1=2，BD⊥AC，在Rt△△BDC中，由勾股定理得：BD==，即DE=BD=，故答案为：．点评：本题考查了等边三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知识点的应用，关键是求出DE=BD和求出BD的长．28、（2013•昆明）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有 8 个．考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．专题：数形结合．分析：建立网格平面直角坐标系，然后作出符合等腰三角形的点P的位置，即可得解．解答：解：如图所示，使得△AOP是等腰三角形的点P共有8个．故答案为：8．点评：本题考查了等腰三角形的判定，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．29、（2013•荆门）若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为 80°或50° ．考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理．分析：已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．解答：解：当该角为顶角时，顶角为50°；当该角为底角时，顶角为80°．故其顶角为50°或80°．故填50°或80°．点评：本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．30、（2013凉山州）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是．考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系．专题：分类讨论．分析：先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．解答：解：根据题意得，x﹣4=0，y﹣8=0，解得x=4，y=8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4=8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长=4+8+8=20，所以，三角形的周长为20．故答案为：20．点评：本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断． 31、（2013•白银）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为 6，4或5，5 ．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：此题分为两种情况：6是等腰三角形的腰或6是等腰三角形的底边．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．解答：解：当腰是6时，则另两边是4，6，且4+6＞6，满足三边关系定理；当底边是6时，另两边长是5，5，5+5＞6，满足三边关系定理，故该等腰三角形的另两边为：6，4或5，5．故答案为：6，4或5，5．点评：本题考查了等腰三角形的性质，应从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法，难度适中．32、（2013凉山州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为．考点：矩形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的性质；勾股定理．专题：动点型．分析：当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论．解答：解：由题意，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：（1）如答图①所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE===3，∴OE=OD﹣DE=5﹣3=2，∴此时点P坐标为（2，4）；（2）如答图②所示，OP=OD=5．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△POE中，由勾股定理得：OE===3，∴此时点P坐标为（3，4）；（3）如答图①所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE===3，∴OE=OD+DE=5+3=8，∴此时点P坐标为（8，4）．综上所述，点P的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）．点评：本题考查了分类讨论思想在几何图形中的应用，符合题意的等腰三角形有三种情形，注意不要遗漏． 33、（2013•牡丹江）劳技课上小敏拿出了一个腰长为8厘米，底边为6厘米的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是1：2的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其它顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为 2.4cm或cm ．相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质．考点：专分类讨论．题：分设平行四边形的短边为xcm，分两种情况进行讨论，①若BE是平行四边形的一个短析：边，②若BD是平行四边形的一个短边，利用三角形相似的性质求出x的值．解答：解：如图AB=AC=8cm，BC=6cm，设平行四边形的短边为xcm，①若BE是平行四边形的一个短边，则EF∥BC，=，解得x=2.4厘米，②若BD是平行四边形的一个短边，则EF∥AB，=，解得x=cm，综上所述短边为2.4cm或cm．点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质等知识点，解答本题的关键是正确的画出图形，结合图形很容易解答．34、（2013•眉山）如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF、BF，则下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC＞DE；④BE2+DC2=DE2，其中正确的有（ ）个． A ．1 B．2 C．3 D．4考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：根据∠DAF=90°，∠DAE=45°，得出∠FAE=45°，利用SAS证明△AED≌△AEF，判定①正确；如果△ABE∽△ACD，那么∠BAE=∠CAD，由∠ABE=∠C=45°，则∠AED=∠ADE，AD=AE，而由已知不能得出此条件，判定②错误；先由∠BAC=∠DAF=90°，得出∠CAD=∠BAF，再利用SAS证明△ACD≌△ABF，得出CD=BF，又①知DE=EF，那么在△BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF＞EF，等量代换后判定③正确；先由△ACD≌△ABF，得出∠C=∠ABF=45°，进而得出∠EBF=90°，然后在Rt△BEF 中，运用勾股定理得出BE2+BF2=EF2，等量代换后判定④正确．解答：解：①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，∴∠FAE=∠DAF﹣∠DAE=45°．在△AED与△AEF中，，∴△AED≌△AEF（SAS），①正确；②∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABE=∠C=45°．∵点D、E为BC边上的两点，∠DAE=45°，∴AD与AE不一定相等，∠AED与∠ADE不一定相等，∵∠AED=45°+∠BAE，∠ADE=45°+∠CAD，∴∠BAE与∠CAD不一定相等，∴△ABE与△ACD不一定相似，②错误；③∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAC﹣∠BAD=∠DAF﹣∠BAD，即∠CAD=∠BAF．在△ACD与△ABF中，，∴△ACD≌△ABF（SAS），∴CD=BF，由①知△AED≌△AEF，∴DE=EF．在△BEF中，∵BE+BF＞EF，∴BE+DC＞DE，③正确；④由③知△ACD≌△ABF，∴∠C=∠ABF=45°，∵∠ABE=45°，∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE2+BF2=EF2，∵BF=DC，EF=DE，∴BE2+DC2=DE2，④正确．所以正确的结论有①③④．故选C．点评：本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，有一定难度．35、（2013•黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 15 度．考点：等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．分析：根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．解答：解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，∵DF=DE，∴∠E=15°．故答案为：15．点评：本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．36、（2013•玉林）如图，在直角坐标系中，O是原点，已知A（4，3），P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有 6 个，写出其中一个点P的坐标是 （5，0） ．考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．专题：数形结合．分析：作出图形，然后利用数形结合的思想求解，再根据平面直角坐标系写出点P的坐标即可．解答：解：如图所示，满足条件的点P有6个，分别为（5，0）（8，0）（0，5）（0，6）（﹣5，0）（0，﹣5）．故答案为：6；（5，0）（答案不唯一，写出6个中的一个即可）．点评：本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形的性质，利用数形结合的思想求解更简便．37、（2013•宁夏）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为 2a ．考点：旋转的性质．分析：由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，可求得：∠B=90°﹣α，由旋转的性质可得：CB=CD，根据等边对等角的性质可得∠CDB=∠B=90°﹣α，然后由三角形内角和定理，求得答案．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，∴∠B=90°﹣α，由旋转的性质可得：CB=CD，∴∠CDB=∠B=90°﹣α，∴∠BCD=180°﹣∠B﹣∠CDB=2α．即旋转角的大小为2α．故答案为：2α．点评：此题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．38、（2013菏泽）如图，▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为 ．考点：平行四边形的性质；等腰直角三角形；翻折变换（折叠问题）．分析：如图，连接BB′．根据折叠的性质知△BB′E是等腰直角三角形，则BB′=BE．又B′E是BD的中垂线，则DB′=BB′．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD=2，∴BE=BD=1．如图2，连接BB′．根据折叠的性质知，∠AEB=∠AEB′=45°，BE=B′E．∴∠BEB′=90°，∴△BB′E是等腰直角三角形，则BB′=BE=．又∵BE=DE，B′E⊥BD，∴DB′=BB′=．故答案是：．点评：本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质以及翻折变换（折叠的性质）．推知DB′=BB′是解题的关键． 39、（2013菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP= 12 ．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．。
山东省临沂市中考数学试卷有答案
数学试卷 第1页（共22页） 数学试卷 第2页（共22页）绝密★启用前山东省临沂市2013年中考数学试卷数 学本试卷满分120分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共42分)一、选择题(本大题共14小题,每小题3分,共42分)在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.2-的绝对值是( ) A .2B .2-C .12D .12-2.拒绝“餐桌浪费”,刻不容缓.据统计全国每年浪费食物总量约50 000 000 000千克,这个数据用科学记数法表示为( ) A .110.510⨯千 B .95010⨯千克 C .9510⨯千克D .10510⨯千克3.如图,已知AB CD ∥,2135︒=∠,则1∠的度数是( ) A .35︒ B .45︒ C .55︒D .65︒4.下列运算正确的是( )A .235x x x +=B .22(2)4x x -=-C .23522x x x =D .347()x x = 5.( ) A.BC. D6.化简212(1)211a a a a +÷+-+-的结果是( )A .11a -B .11a +C .211a -D .211a + 7.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的侧面积是( )(第7题图) A .212πcmB .28πcmC .26πcmD .23πcm8.不等式组20,132x x x -⎧⎪⎨+-⎪⎩＞≥的解集是( ) A .8x ≥ B .2x ＞ C .02x ＜＜ D .28x ＜≤9.在一次歌咏比赛中,某选手的得分情况如下：92,88,95,93,96,95,94.这组数据的众数和中位数分别是 ( ) A .94,94 B .95,95 C .94,95D .95,9410.如图,四边形ABCD 中,AC 垂直平分BD ,垂足为E ,下列结论不一定成立的是( )A .AB AD =B .AC 平分BCD ∠ C .AB BD =D .BEC DEC △≌△11.如图,在平面直角坐标系中,点1A ,2A 在x 轴上,点1B ,2B 在y 轴上,其坐标分别为1()1,0A ,2()2,0A ,1()0,1B ,2()0,2B ,分别以1212,,,A A B B 其中的任意两点与点O为顶点作三角形,所作三角形是等腰三角形的概率是()(第10题图) (第11题图) 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共22页） 数学试卷 第4页（共22页）A .43 B .13 C .23 D .1212.如图,在O 中,45CBO ︒=∠,15CAO ︒=∠,则AOB ∠的度数是 ( )A .75︒B .60︒C .45︒D .30︒13.如图,等边三角形OAB 的一边OA 在x 轴上,双曲线y =在第一象限内的图象经过OB 边的中点C ,则点B 的坐标是( )A .(1) B1) C .(2,) D.(,2)14.如图,正方形ABCD 中,8cm AB =,对角线AC ,BD 相交于点O ,点E ,F 分别从B ,C 两点同时出发,以1cm/s 的速度沿BC ,CD 运动,到点C ,D 时停止运动.设运动时间为()s t ,OEF △的面积为S (2cm ),则S (2cm )与()s t 的函数关系可用图象表示为( )ABCD第Ⅱ卷(非选择题 共78分)注意事项：1.第Ⅱ卷共8页,请用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上.2.答卷前将密封线内的项目及座号填写清楚.二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)把答案填在题中横线上.15.分解因式：24x x -= .16.分式方程21311x x x+=--的解是 .17.如图,菱形ABCD 中,4AB =,60B ︒=∠,,AE BC AF CD ⊥⊥,垂足分别为E ,F ,连接EF ,则AEF △的面积是 .(第17题图) (第18题图)18.如图,等腰梯形ABCD 中,,,,AD BC DE BC BD DC ∥⊥⊥垂足分别为E ,D ,3DE =,5BD =,则腰长AB = .19.对于实数a ,b ,定义运算“*”：22(),).a ab a b ab b a b a b ⎧-*⎪-=⎨⎪⎩≥（＜例如：42*,因为42＞,所以2282444=-⨯=*.若12,x x 是一元二次方程2560x x -+=的两个根,则1x 2x *= .三、开动脑筋,你一定能做对！(本大题共3小题,共21分) 20.(本小题满分7分)2013年1月1日新交通法规开始实施.为了解某社区居民遵守交通法规情况,小明随机选取部分居民就“行人闯红灯现象”进行问卷调查,调查分为“A ：从不闯红灯；B ：偶尔闯红灯；C ：经常闯红灯；D ：其他”四种情况,并根据调查结果绘制出部分条形统计图(如图1)和部分扇形统计图(如图2).请根据图中信息,解答下列问题：(第20题图)(1)本次调查共选取 名居民；(第12题图)(第13题图)(第14题图)数学试卷 第5页（共22页） 数学试卷 第6页（共22页）(2)求出扇形统计图中“C ”所对扇形的圆心角的度数,并将条形统计图补充完整；(3)如果该社区共有居民1 600人,估计有多少人从不闯红灯？21.(本小题满分7分)为支援雅安灾区,某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金用于购买A 、B 两种型号的学习用品共1 000件,已知A 型学习用品的单价为20元,B 型学习用品的单价为30元.(1)若购买这批学习用品用了26 000元,则购买A 、B 两种学习用品各多少件？ (2)若购买这批学习用品的钱不超过28 000元,则最多购买B 型学习用品多少件？22.(本小题满分7分)如图,在ABC △中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 的中点,过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ,连接CF .(1)求证：AF DC =；(2)若AB AC ⊥,试判断四边形ADCF 的形状,并证明你的结论.(第22题图)四、认真思考,你一定能成功！(本大题共2小题,共18分) 23.(本小题满分9分)如图,在ABC △中,90ACB =∠.E 为BC 上一点,以CE 为直径作O ,AB 与O相切于点D ,连接CD ,若2BE OE ==.(1)求证：2A DCB =∠∠；(2)求图中阴影部分的面积(结果保留π和根号).24.(本小题满分9分)某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元.当该机器生产数量至少为10台,但不超过70台时,每台成本y 与生产数量x 之间是一次函数关系,函数y 与自变量x 的部分(1)值范围；(2)求该机器的生产数量；(3)市场调查发现,这种机器每月销售量z (台)与售价a (万元/台)之间满足如图所示的函数关系.该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台,请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润.(注：利润=售价-成本)五、相信自己,加油呀！(本大题共2小题,共24分) 25.(本小题满分11分)如图,矩形ABCD 中,30ACB =∠,将一块直角三角板的直角顶点P 放在两对角线AC ,BD的交点处,以点P 为旋转中心转动三角板,并保证三角板的两直角边分别与边AB ,BC 所在的直线相交,交点分别为E ,F .(1)当PE AB ⊥,PF BC ⊥时,如图1,则PEPF的值为 .(第23题图)(第24题图) 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第7页（共22页） 数学试卷 第8页（共22页）(2)现将三角板绕点P 逆时针旋转α(060α＜＜)角,如图2,求PEPF的值； (3)在(2)的基础上继续旋转,当6090α＜＜,且使:1:2AP PC =时,如图3,PEPF的值是否变化？证明你的结论.(第25题图)26.(本小题满分13分)如图,抛物线经过5(1,0),(5,0),(0,)2A B C --三点.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P ,使PA PC +的值最小,求点P 的坐标；(3)点M 为x 轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N ,使以A ,C ,M ,N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在,求点N 的坐标；若不存在,请说明理由.山东省临沂市2013年中考数学试卷数学答案解析数学试卷 第9页（共22页） 数学试卷 第10页（共22页）第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】解：2-的绝对值是2，即|2|2-=，故选A 【提示】根据负数的绝对值等于它的相反数解答 【考点】绝对值2.【答案】D【解析】解：将50000000000用科学记数法表示为10510⨯．【提示】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤＜，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1>时，n 是正数；当原数的绝对值1<，n 是负数． 【考点】科学记数法——表示较大的数 3.【答案】B【解析】解：∵AB CD ∥，∴13∠=∠，∵2135∠=︒，∴318013545∠=︒-︒=︒，∴145∠=︒，故选B ．【提示】先求出3的度数，再根据平行线性质得出13∠=∠，代入求出即可． 【考点】平行线的性质 4.【答案】C【解析】解：A ．本选项不是同类项，不能合并，错误； B ．22(2)44x x x --=+，本选项错误； C ．23522x x x =，本选项正确； D ．3412)(x x =，本选项错误，故选C ．【提示】A ．本选项不是同类项，不能合并，错误； B ．原式利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断； C ．原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可作出判断； D ．原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断．【考点】完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式2112a a -=-+【提示】首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断数学试卷第11页（共22页）数学试卷第12页（共22页）80数学试卷第13页（共22页）数学试卷第14页（共22页）数学试卷 第15页（共22页） 数学试卷 第16页（共22页）sin 602OB ︒=11222OD DB =⨯260π2π3603OD =，2ODE S =扇形数学试卷 第17页（共22页） 数学试卷 第18页（共22页）cos30AP ︒=1sin302PC PC ︒=由题意可知，∴Rt △3数学试卷 第19页（共22页）22222⎝⎭如图2所示，5⎛⎫数学试卷第21页（共22页）数学试卷第22页（共22页）。
山东省临沂市中考数学试卷
2013年山东省临沂市中考数学试卷2013年山东省临沂市中考数学试卷一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）（2015•大连）﹣2的绝对值是（）A．2 B．﹣2 C．D．2．（3分）（2013•临沂）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．据统计全国每年浪费食物总量约50 000 000 000千克，这个数据用科学记数法表示为（）A．0.5×1011千克B．50×109千克 C．5×109千克D．5×1010千克3．（3分）（2013•临沂）如图，已知AB∥CD，∠2=135°，则∠1的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°4．（3分）（2013•临沂）下列运算正确的是（）A．x2+x3=x5 B．（x﹣2）2=x2﹣4 C．2x2•x3=2x5 D．（x3）4=x75．（3分）（2013•临沂）计算的结果是（）A．B．C． D．6．（3分）（2013•临沂）化简÷（1+）的结果是（）A．B．C．D．7．（3分）（2013•临沂）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（）A．12πcm2B．8πcm2C．6πcm2D．3πcm2 8．（3分）（2013•临沂）不等式组的解集是（）A．x≥8 B．x＞2 C．0＜x＜2 D．2＜x≤8 9．（3分）（2013•临沂）在一次歌咏比赛中，某选手的得分情况如下：92，88，95，93，96，95，94．这组数据的众数和中位数分别是（）A．94，94 B．95，95 C．94，95 D．95，9410．（3分）（2013•临沂）如图，四边形ABCD 中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（）A．AB=AD B．AC平分∠BCD C．AB=BD D．△BEC≌△DEC11．（3分）（2013•临沂）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2在x轴上，点B1，B2在y轴上，其坐标分别为A1（1，0），A2（2，0），B1（0，1），B2（0，2），分别以A1、A2、B1、B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（）A．B．C．D．12．（3分）（2013•临沂）如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是（）A．75°B．60°C．45°D．30°13．（3分）（2013•临沂）如图，等边三角形OAB 的一边OA在x轴上，双曲线在第一象限内的图象经过OB边的中点C，则点B的坐标是（）A．（1，）B．（，1）C．（2，）D．（，2）14．（3分）（2013•临沂）如图，正方形ABCD 中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）把答案填在题中横线上．15．（3分）（2013•临沂）因式分解4x﹣x3=______．16．（3分）（2013•临沂）分式方程的解是______．17．（3分）（2013•临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是______．18．（3分）（2013•临沂）如图，等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，DE⊥BC，BD⊥DC，垂足分别为E，D，DE=3，BD=5，则腰长AB=______．19．（3分）（2013•临沂）对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2=______．三、开动脑筋，你一定能做对！（本大题共3小题，共21分）20．（7分）（2013•临沂）2013年1月1日新交通法规开始实施．为了解某社区居民遵守交通法规情况，小明随机选取部分居民就“行人闯红灯现象”进行问卷调查，调查分为“A：从不闯红灯；B：偶尔闯红灯；C：经常闯红灯；D：其他”四种情况，并根据调查结果绘制出部分条形统计图（如图1）和部分扇形统计图（如图2）．请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次调查共选取______名居民；（2）求出扇形统计图中“C”所对扇形的圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；（3）如果该社区共有居民1600人，估计有多少人从不闯红灯？21．（7分）（2013•临沂）为支援雅安灾区，某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金用于购买A、B两种型号的学习用品共1000件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元．（1）若购买这批学习用品用了26000元，则购买A、B两种学习用品各多少件？（2）若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？22．（7分）（2013•临沂）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．四、认真思考，你一定能成功！（本大题共2小题，共18分）23．（9分）（2013•临沂）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O，AB与⊙O相切于点D，连接CD，若BE=OE=2．（1）求证：∠A=2∠DCB；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．24．（9分）（2013•临沂）某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元．当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x（单位：台）10 20 30y（单位：万元∕台）60 55 50（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求该机器的生产数量；（3）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间满足如图所示的函数关系．该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润．（注：利润=售价﹣成本）五、相信自己，加油呀！（本大题共2小题，共24分）25．（11分）（2013•临沂）如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P 放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F．（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则的值为______；（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值；（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论．26．（13分）（2016•安顺）如图，抛物线经过A （﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC 的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．2013年山东省临沂市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）（2015•大连）﹣2的绝对值是（）A．2 B．﹣2 C．D．【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．【解答】解：﹣2的绝对值是2，即|﹣2|=2．故选：A．【点评】本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．（3分）（2013•临沂）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．据统计全国每年浪费食物总量约50 000 000 000千克，这个数据用科学记数法表示为（）A．0.5×1011千克B．50×109千克 C．5×109千克D．5×1010千克【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：将50 000 000 000用科学记数法表示为5×1010．故选D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）（2013•临沂）如图，已知AB∥CD，∠2=135°，则∠1的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°【分析】先求出∠3的度数，再根据平行线性质得出∠1=∠3，代入求出即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1=∠3，∵∠2=135°，∴∠3=180°﹣135°=45°，∴∠1=45°，故选B．【点评】本题考查了平行线性质和邻补角的应用，注意：两直线平行，内错角相等．4．（3分）（2013•临沂）下列运算正确的是（）A．x2+x3=x5 B．（x﹣2）2=x2﹣4 C．2x2•x3=2x5 D．（x3）4=x7【分析】A、本选项不是同类项，不能合并，错误；B、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断；C、原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可作出判断；D、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、本选项不是同类项，不能合并，错误；B、（x﹣2）2=x2﹣4x+4，本选项错误；C、2x2•x3=2x5，本选项正确；D、（x3）4=x12，本选项错误，故选C【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，单项式乘单项式，以及幂的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．5．（3分）（2013•临沂）计算的结果是（）A．B．C． D．【分析】首先把两个二次根式化简，再进行加减即可．【解答】解：=4﹣3=，故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．6．（3分）（2013•临沂）化简÷（1+）的结果是（）A．B．C．D．【分析】首先对括号内的式子通分相加，然后把除法转化成乘法，进行约分即可．【解答】解：原式=÷=•=．故选A．【点评】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．7．（3分）（2013•临沂）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（）A．12πcm2B．8πcm2C．6πcm2D．3πcm2【分析】首先判断出该几何体，然后计算其面积即可．【解答】解：观察三视图知：该几何体为圆柱，高为3cm，底面直径为2cm，侧面积为：πdh=2×3π=6π，故选C．【点评】本题考查了由三视图判断几何体及圆柱的计算，解题的关键是首先判断出该几何体．8．（3分）（2013•临沂）不等式组的解集是（）A．x≥8 B．x＞2 C．0＜x＜2 D．2＜x≤8 【分析】先求出不等式的解集，再根据不等式的解集找出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x＞2，解不等式②得：x≤8，∴不等式组的解集为2＜x≤8，故选D．【点评】本题考查了解一元一次不等式（组）的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．9．（3分）（2013•临沂）在一次歌咏比赛中，某选手的得分情况如下：92，88，95，93，96，95，94．这组数据的众数和中位数分别是（）A．94，94 B．95，95 C．94，95 D．95，94 【分析】根据众数、中位数的定义求解即可．【解答】解：这组数据按顺序排列为：88，92，93，94，95，95，96，故众数为：95，中位数为：94．故选D．【点评】本题考查了众数和中位数的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握众数和中位数的定义．10．（3分）（2013•临沂）如图，四边形ABCD 中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（）A．AB=AD B．AC平分∠BCD C．AB=BD D．△BEC≌△DEC【分析】根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AB=AD，BC=CD，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC平分∠BCD，EB=DE，进而可证明△BEC≌△DEC．【解答】解：∵AC垂直平分BD，∴AB=AD，BC=CD，∴AC平分∠BCD，EB=DE，∴∠BCE=∠DCE，在Rt△BCE和Rt△DCE中，，∴Rt△BCE≌Rt△DCE（HL），故选：C．【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．11．（3分）（2013•临沂）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2在x轴上，点B1，B2在y轴上，其坐标分别为A1（1，0），A2（2，0），B1（0，1），B2（0，2），分别以A1、A2、B1、B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意画出树状图，进而得出以A1、A2、B1、B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形是等腰三角形的情况，求出概率即可．【解答】解：∵以A1、A2、B1、B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形，∴画树状图得：共可以组成4个三角形，所作三角形是等腰三角形只有：△OA1B1，△OA2B2，所作三角形是等腰三角形的概率是：=．故选：D．【点评】此题主要考查了利用树状图求概率以及等腰三角形的判定等知识，利用树状图表示出所有可能是解题关键．12．（3分）（2013•临沂）如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是（）A．75°B．60°C．45°D．30°【分析】首先连接OC，由OB=OC=OA，∠CBO=45°，∠CAO=15°，根据等边对等角的性质，可求得∠OCB与∠OCA的度数，即可求得∠ACB的度数，又由圆周角定理，求得∠AOB 的度数．【解答】解：连接OC，∵OB=OC=OA，∠CBO=45°，∠CAO=15°，∴∠OCB=∠OBC=45°，∠OCA=∠OAC=15°，∴∠ACB=∠OCB﹣∠OCA=30°，∴∠AOB=2∠ACB=60°．故选B．【点评】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．13．（3分）（2013•临沂）如图，等边三角形OAB 的一边OA在x轴上，双曲线在第一象限内的图象经过OB边的中点C，则点B的坐标是（）A．（1，）B．（，1）C．（2，）D．（，2）【分析】过点B作BD⊥x轴，垂足为D，设点B的坐标为（a，b）（a＞0），再求出b和a的关系和C点的坐标，由点C在双曲线上，求出a的值，进而求出B点坐标．【解答】解：过点B作BD⊥x轴，垂足为D，设点B的坐标为（a，b）（a＞0），∵三角形OAB是等边三角形，∴∠BOA=60°，在Rt△BOD中，tan60°==，∴b=a，∵点C是OB的中点，∴点C坐标为（，），∵点C在双曲线上，∴a 2=，∴a=2，∴点B的坐标是（2，2），故选C．【点评】本题主要考查反比例函数的综合题，解答本题的关键是求出点B的坐标，此题难度不大．14．（3分）（2013•临沂）如图，正方形ABCD 中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）A ．B ．C ．D ．【分析】由点E ，F 分别从B ，C 两点同时出发，以1cm/s 的速度沿BC ，CD 运动，得到BE=CF=t ，则CE=8﹣t ，再根据正方形的性质得OB=OC ，∠OBC=∠OCD=45°，然后根据“SAS ”可判断△OBE ≌△OCF ，所以S △OBE =S △OCF ，这样S四边形OECF =S △OBC =16，于是S=S 四边形OECF ﹣S △CEF =16﹣（8﹣t ）•t ，然后配方得到S=（t ﹣4）2+8（0≤t ≤8），最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断．【解答】解：根据题意BE=CF=t ，CE=8﹣t ， ∵四边形ABCD 为正方形，∴OB=OC ，∠OBC=∠OCD=45°，∵在△OBE 和△OCF 中，∴△OBE≌△OCF（SAS），∴S△OBE=S△OCF，∴S 四边形OECF=S△OBC=×82=16，∴S=S 四边形OECF﹣S△CEF=16﹣（8﹣t）•t=t2﹣4t+16=（t﹣4）2+8（0≤t≤8），∴s（cm2）与t（s）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（4，8），自变量为0≤t≤8．故选：B．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）把答案填在题中横线上．15．（3分）（2013•临沂）因式分解4x﹣x3=﹣x（x+2）（x﹣2）．【分析】先提出公因式，再用平方差公式因式分解．【解答】解：4x﹣x3=﹣x（x2﹣4）=﹣x（x+2）（x﹣2）．故答案是：﹣x（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查的是因式分解，先提出公因式，再用平方差公式因式分解．16．（3分）（2013•临沂）分式方程的解是x=2．【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程得到解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x﹣1=3（x﹣1），去括号得：2x﹣1=3x﹣3，解得：x=2，经检验x=2是分式方程的解．故答案为：x=2【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．17．（3分）（2013•临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是3．【分析】首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得判断出△AEF是等边三角形，再根据三角函数计算出AE=EF的值，再过A作AM⊥EF，再进一步利用三角函数计算出AM的值，即可算出三角形的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠B=∠D=60°，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴BC×AE=CD×AF，∠BAE=∠DAF=30°，∴AE=AF，∵∠B=60°，∴∠BAD=120°，∴∠EAF=120°﹣30°﹣30°=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF，∠AEF=60°，∵AB=4，∴AE=AB×sin60°=2，∴EF=AE=2，过A作AM⊥EF，∴AM=AE•sin60°=3，∴△AEF的面积是：EF•AM=×2×3=3．故答案为：3．【点评】此题考查菱形的性质，等边三角形的判定及三角函数的运用．关键是掌握菱形的性质，证明△AEF是等边三角形．18．（3分）（2013•临沂）如图，等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，DE⊥BC，BD⊥DC，垂足分别为E，D，DE=3，BD=5，则腰长AB=．【分析】利用勾股定理列式求出BE的长，再利用∠CBD的正切值列式求出CD，然后根据等腰梯形的腰长相等解答．【解答】解：∵DE=3，BD=5，DE⊥BC，∴BE===4，又∵BD⊥DC，∴tan∠CBD==，即=，解得CD=，∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∴AB=CD=．故答案为：．【点评】本题考查了等腰梯形的两腰相等，勾股定理的应用，利用锐角三角函数求解更加简便．19．（3分）（2013•临沂）对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2=3或﹣3．【分析】首先解方程x2﹣5x+6=0，再根据a﹡b=，求出x1﹡x2的值即可．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，∴（x﹣3）（x﹣2）=0，解得：x=3或2，①当x1=3，x2=2时，x1﹡x2=32﹣3×2=3；②当x1=2，x2=3时，x1﹡x2=3×2﹣32=﹣3．故答案为：3或﹣3．【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题，根据已知进行分类讨论是解题关键．三、开动脑筋，你一定能做对！（本大题共3小题，共21分）20．（7分）（2013•临沂）2013年1月1日新交通法规开始实施．为了解某社区居民遵守交通法规情况，小明随机选取部分居民就“行人闯红灯现象”进行问卷调查，调查分为“A：从不闯红灯；B：偶尔闯红灯；C：经常闯红灯；D：其他”四种情况，并根据调查结果绘制出部分条形统计图（如图1）和部分扇形统计图（如图2）．请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次调查共选取80名居民；（2）求出扇形统计图中“C”所对扇形的圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；（3）如果该社区共有居民1600人，估计有多少人从不闯红灯？【分析】（1）根据为A的人数与所占的百分比列式计算即可求出被调查的居民人数；（2）求出为C的人数，得到所占的百分比，然后乘以360°，从而求出扇形统计图中“C”所对扇形的圆心角的度数，然后补全条形统计图即可；（3）用全区总人数乘以从不闯红灯的人数所占的百分比，进行计算即可得解．【解答】解：（1）本次调查的居民人数=56÷70%=80人；（2）为“C”的人数为：80﹣56﹣12﹣4=8人，“C”所对扇形的圆心角的度数为：×360°=36°补全统计图如图；（3）该区从不闯红灯的人数=1600×70%=1120人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．（7分）（2013•临沂）为支援雅安灾区，某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金用于购买A、B两种型号的学习用品共1000件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元．（1）若购买这批学习用品用了26000元，则购买A、B两种学习用品各多少件？（2）若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？【分析】（1）设购买A型学习用品x件，B型学习用品y件，就有x+y=1000，20x+30y=26000，由这两个方程构成方程组求出其解就可以得出结论；（2）设可以购买B型学习用品a件，则A型学习用品（1000﹣a）件，根据这批学习用品的钱不超过28000元建立不等式求出其解即可．【解答】解：（1）设购买A型学习用品x件，B 型学习用品y件，由题意，得：，解得：．答：购买A型学习用品400件，B型学习用品600件；（2）设可以购买B型学习用品a件，则A型学习用品（1000﹣a）件，由题意，得：20（1000﹣a）+30a≤28000，解得：a≤800，答：最多购买B型学习用品800件．【点评】本题考查了列二元一次方程组和一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到等量关系是建立方程组的关键．22．（7分）（2013•临沂）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案；（2）得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD，根据菱形的判定推出即可．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE=DE，BD=CD，在△AFE和△DBE中∴△AFE≌△DBE（AAS），∴AF=BD，∴AF=DC．（2）四边形ADCF是菱形，证明：AF∥BC，AF=DC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，∴AD=BC=DC，∴平行四边形ADCF是菱形．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．四、认真思考，你一定能成功！（本大题共2小题，共18分）23．（9分）（2013•临沂）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O，AB与⊙O相切于点D，连接CD，若BE=OE=2．（1）求证：∠A=2∠DCB；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．【分析】（1）连接OD，求出∠ODB=90°，求出∠B=30°，∠DOB=60°，求出∠DCB度数，关键三角形内角和定理求出∠A，即可得出答案；（2）根据勾股定理求出BD，分别求出△ODB 和扇形DOE的度数，即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB是⊙O切线，∴∠ODB=90°，∴BE=OE=OD=2，∴∠B=30°，∠DOB=60°，∵OD=OC，∴∠DCB=∠ODC=∠DOB=30°，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，∴∠A=2∠DCB；（2）解：∵∠ODB=90°，OD=2，BO=2+2=4，由勾股定理得：BD=2，∴阴影部分的面积S=S △ODB﹣S扇形DOE=×2×2﹣=2﹣π．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形性质，勾股定理，扇形的面积，勾股定理，切线的性质等知识点的应用，主要考查学生综合性运用性质进行推理和计算的能力．24．（9分）（2013•临沂）某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元．当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x（单位：台）10 20 30y（单位：万元∕台）60 55 50（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求该机器的生产数量；（3）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间满足如图所示的函数关系．该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润．（注：利润=售价﹣成本）【分析】（1）设y与x之间的关系式为y=kx+b，运用待定系数法就可以求出其关系式，由该机器生产数量至少为10台，但不超过70台就可以确定自变量的取值范围；（2）根据每台的成本乘以生产数量等于总成本建立方程求出其解即可；（3）设每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间的函数关系式为z=ma+n，运用待定系数法求出其解析式，再将z=25代入解析式求出a的值，就可以求出每台的利润，从而求出总利润．【解答】解：（1）设y与x之间的关系式为y=kx+b，由题意，得，解得：，∴y=﹣x+65．∵该机器生产数量至少为10台，但不超过70台，∴10≤x≤70；（2）由题意，得xy=2000，﹣x 2+65x=2000，﹣x2+130x﹣4000=0，解得：x1=50，x2=80＞70（舍去）．答：该机器的生产数量为50台；（3）设每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间的函数关系式为z=ma+n，由函数图象，得，解得：，∴z=﹣a+90．当z=25时，a=65，成本y=﹣x+65=﹣×50+65=40（万元）；总利润为：25（65﹣40）=625（万元）．答：该厂第一个月销售这种机器的利润为625万元．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元二次方程的运用，销售问题利润=售价﹣进价的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．五、相信自己，加油呀！（本大题共2小题，共24分）25．（11分）（2013•临沂）如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P 放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F．（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则的值为；（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值；（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论．【分析】（1）证明△APE≌△PCF，得PE=CF；在Rt△PCF中，解直角三角形求得的值；（2）如答图1所示，作辅助线，构造直角三角形，证明△PME∽△PNF，并利用（1）的结论，求得的值；（3）如答图2所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明△APM∽△PCN，求得的值；然后证明△PME∽△PNF，从而由求得的值．与（1）（2）问相比较，的值发生了变化．【解答】解：（1）∵矩形ABCD，∴AB⊥BC，PA=PC；∵PE⊥AB，BC⊥AB，∴PE∥BC，∴∠APE=∠PCF；∵PF⊥BC，AB⊥BC，∴PF∥AB，∴∠PAE=∠CPF．∵在△APE与△PCF中，∴△APE≌△PCF（ASA），∴PE=CF．在Rt△PCF中，=tan30°=，∴=．（2）如答图1，过点P作PM⊥AB于点M，PN ⊥BC于点N，则PM⊥PN．0°～30°时∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN，又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF，∴．由（1）知，=，∴=．同理30°～60°时，=（3）答：变化．证明：如答图2，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN，PM∥BC，PN ∥AB．∵PM∥BC，PN∥AB，∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN，∴△APM∽△PCN，∴，得CN=2PM．在Rt△PCN中，=tan30°=，∴=．∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN，又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF，∴=．∴的值发生变化．【点评】本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点．本题三问的解题思路是一致的：即都是直接或作辅助线构造直角三角形，通过相似三角形或全等三角形解决问题．26．（13分）（2016•安顺）如图，抛物线经过A （﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC 的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c （a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可；（2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P 点坐标即可；（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c （a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=x 2﹣2x﹣；（2）∵抛物线的解析式为：y=x 2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接BC，如图1所示，∵B（5，0），C（0，﹣），∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=x﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣，∴P（2，﹣）；（3）存在．如图2所示，①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），∴N 1（4，﹣）；②当点N在x轴上方时，如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N 2D=OC=，即N2点的纵坐标为．∴x 2﹣2x﹣=，解得x=2+或x=2﹣，∴N 2（2+，），N3（2﹣，）．综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．。