8《导数在函数中的应用》说课稿
《导数在函数中的应用》说课稿
一、 说教材
导数是高中数学新增内容的第三章，它在解决数学有关问题中起到工具的作用。在
每年的高考题都有导数的身影，它主要在解决函数的一类问题中出现，难度不是很大，但能
在解题的方法中起到四两拨千斤的作用。本节课重点是如何利用导数解决函数的有关问题。
因为导数在研究函数单调性、极值和最值等方面有广泛的应用，在讨论函数图象的变化趋势
及数列和证明不等式等方面也有所涉及。高考题目肯定没有见过，但万变不离其宗。在复习
中抓住基础，灵活应用，争取突破难点。
二、 说教学目标
通过本节课的学习让学生进一步建立利用导数解决与函数有关问题的思想。并要掌握
有关导数试题的三个层次：
第一层次：导数的概念，求导公式和求导法则。
第二层次：导数的简单应用，包括求函数的极值、最值、单调区间和判断函数的单调
性等
第三层次：综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等和函数
的单调性等结合在一起。
三、 说教学方法
多媒体教学与诱导法，在教学过程中与学生进行互动式教学
四、 说重点与难点
在分析例题时，引导学生抓住重点，突破难点，提高分析问题和解决问题的能力，并
要形成一定的经验，理解并掌握针对此类题目的常规解题思路。那对本节课的两道例题，重
点都是导数在解决函数有关问题的应用。例1主要是从导数的概念出发，找出相关的量通过
建立方程来解决有关的参数。例2则是对导数与函数有关结论的应用，重点在函数求导上。
那解决这两个重点就要对导数的基础知识一定要理解透彻。例1和例2的难点都是在对题
意的把握上。例1区分几个概念，建立集合的思想（集合相等与集合包含的关系）来解决问
题，那当然还要学生在审题、读题这一方面多努力。例2要求较高不仅要读懂题目，还要学
会转化思想的能力，把复杂的问题经过分析化归为我们常见的问题来解决。将不等式 恒成
立转化为 这一步是最关键的，需要学生的总结和分析简化问题的能力。
说学情：
本专题是高考的热点并且知识点较多，所以学生容易在知识点掌握不全和理解不清的
情况下会出现一些错误。高三7、8、9班的学生因为个体的差异，肯定对知识的掌握和理
解有不同的反映，又因为这些知识在一轮当中都有所复习，学生都有一定的基础，在课题的
引入、复习和练习中鼓励学生参与，要让学生亲自体验自己学到的知识学有所用，增强学生
的学习主动性和有效提高学习效果。
说考情：
导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考查定位于
作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分内容的考查将仍会以导数的应用为主，如
利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等，考查的是函数的基础知识，
只不过用导数这个工具来解决。在这类题目中注意分类讨论的思想，转化化归的思想与数形
结合的思想等。
说教学过程：
根据教学目标，我采用互动式教学，引导学生自主探究，所以第一步通过问题，引导
学生很快让学生进入状态，然后通过学生回答，使学生明白函数的单调性、极值、最值之间
的联系与区别。作为导数的概念很重要，但体现它的工具性一般就在解答题中，所以重点学
习两个例题和练习。最后就是总结导数在理科中的应用主要以三次函数，分式函数，指数函
数和对数函数为背景，所以在设置例题和练习时也主要在这几种类型。
说板书设计：
根据教学过程，通过幻灯片的的形式展示。
说课后反思：
根据高考命题的特点，出题方向注重数学思想的考查和对知识的综合应用能力考查，
尤其在解答题中表现的最为突出。他常在知识点的交汇处结合数学中的一些常用思想综合考
虑来出题目。所以在解决此类问题中，注重学生对思想方法的思考与运用，在解答过程也要
注意规范性，并要对计算能力一定要加强。因为从以往的考试和练习中，大部分学生都有“会
而不对，对而不全”的情况。所以在教学过程中培养学生用化归（转化）思想处理数学问题
的意识 数学问题可看作是一系列的知识形成的一个关系链 处理数学问题的实质，就是实
现新问题向旧问题的转化，复杂问题向简单问题的转化，实现未知向已知的转化。
导数在研究函数中的应用优质课市公开课一等奖省优质课获奖课件
2、若函数y=a(x3-x)递减区间为( 3 , 3)，
则a取值范围为( )
33
(A) a>0 (B) –1<a<1 (C) a>1 (D) 0<a<1
3、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是( ) (A) 单调递增函数 (B) 单调递减函数 (C) (C) 部份单调增，部分单调减 (D) 单调性不能确定
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=0,可求得x2
=
2a 1-a2
,所以有f
0 =f
2a 1-a2
,显然1-2aa2
0,
0<a<1时,f x在[0, )上,不是单调函数.
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课堂练习
1、函数f(x)=x3-3x+1减区间为( )
(A) (-1,1)
(B) (1,2)
(C) (-∞,-1)
(D) (-∞,-1) ，(1, +∞)
1 x)
0,得x<-1或x>1.
注意到函数定义域是(-1,+∞),故f(x)递增区间是 (1,+∞);
由f ( x) 0 解得-1<x<1,故f(x)递减区间是(-1,1).
说明:函数单调区间必定是它定义域子区间,故
求函数单调区间一定首先要确定函数定义 域, 在求出使导数值为正或负x范围时,要与
定义域求二者交集.
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例2如图，水以常速注入下面四种底面积相同容器中， 请分别找出与各容器对应水高度h与时间t函数关系图像
。
A
B
C
D
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练习3：
试画出导函数图像大致形状。
y
y=f(x)
《导数的综合应用》说课稿(附教学设计)
《导数的综合应用》说课稿一、教材分析“导数的综合应用”是高中数学人教B版教材选修2-2第一章的内容，是中学数学新增内容，是高等数学的基础内容，它在中学数学教材中的出现,使中学数学与大学数学之间又多了一个无可争辩的衔接点。
导数的应用是高考考查的重点和难点，题型既有灵活多变的客观性试题，又有具有一定能力要求的主观性试题，这要求我们复习时要掌握基本题型的解法，树立利用导数处理问题的意识．二、学情分析根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。
三、教学目标1、知识与技能：（1）利用导数的几何意义。
（2）利用导数求函数的单调区间；(3)利用导数求函数的极值以及函数在闭区间上的最值；(4)解决根分布及恒成立问题2、过程与方法：（1）能够利用函数性质作图像，反过来利用函数的图像研究函数的性质如交点情况，能合理利用数形结合解题。
(2)学会利用熟悉的问答过渡到陌生的问题。
3、情感、态度与价值观：这是一堂复习课，教学难度有所增加，培养学生思考问题的习惯，以及克服困难的信心。
四、教学重点、难点重点是应用导数求单调性，极值，最值难点是方程根及恒成立问题五、学法与教法学法与教学用具学法：（1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题（如问题3的处理）。
（2）自主学习：引导学生从简单问题出发，发散到已学过的知识中去。
（如问题1、2的处理）。
（3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知（如问题1、2的发散和直击高考的处理）。
教学用具：多媒体。
教法：变式教学———这样可以让学生从题海中解脱出来，形成知识网络，增强知识的系统性与连贯性，从而使学生能够抓住问题的本质，加深对问题的理解，从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律；七、评价分析上复习课的传统模式是教师先对知识点进行复习总结，然后讲解典型例题，从而达到复习的目的，但是缺点是不容易调动学生的积极性。
导数在研究函数中的应用教案
1.3导数在研究函数中的应用教案一、教学目标：知识与技能：1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．2.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．过程与方法：能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.二、教学重点、难点重点：掌握函数的单调性与导数的关系．难点：能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程（一）温故知新以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1<x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小．但在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易．如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单．本节我们就来研究这个问题．解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.（二）新知探究探究点一函数的单调性与导函数正负的关系思考1 观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象，及运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别．思考2 观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？答(1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y是增函数；(2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y是减函数；在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y是增函数；(3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y是增函数；(4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′＝－1x2<0，y是减函数．小结一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．思考3 若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？答不一定．由思考2中(3)知f′(x)≥0恒成立．思考4 (1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出思考2中(4)的单调区间．(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？例1 已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x>4，或x<1时，f′(x)<0；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状．解当1<x<4时，f′(x)>0，可知f(x)在此区间内单调递增；当x>4，或x<1时，f′(x)<0，可知f(x)在这两个区间内单调递减；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示．反思与感悟本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了．跟踪训练1 函数y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数f′(x)图象的大致形状．解f′(x)图象的大致形状如下图：注：图象形状不唯一．例2 求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；(2)f(x)＝sin x－x(0<x<π)；(3)f(x)＝3x2－2ln x；(4)f(x)＝3tx－x3单调递减区间是(－3,2)．(2)f′(x)＝cos x－1≤0恒成立，故函数f(x)的单调递减区间为(0，π)(3)函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－2x＝2·3x2－1x.令f′(x)>0，即2·3x2－1x>0，解得－33<x<0或x>33.又∵x>0，∴x>33.令f′(x)<0，即2·3x2－1x<0，解得x<－33或0<x<33.又∵x>0，∴0<x<33.∴f(x)的单调递增区间为(33，＋∞)，单调递减区间为(0，33)．(4)f′(x)＝3t－3x2.令f′(x)≥0时，得3t－3x2≥0，即t≥x2，∴当t≤0时，无解；当t>0时，函数的单调递增区间是[－t，t]．令f′(x)≤0时，得3t－3x2≤0，即t≤x2，当t≤0时，f′(x)≤0恒成立，函数的单调递减区间是(－∞，＋∞)；当t >0时，函数的单调递减区间是(－∞，－t ]，[t ，＋∞)．综上所述，当t ≤0时，函数的单调减区间是(－∞，＋∞)，无单调增区间；当t >0时，函数的单调增区间是[－t ，t ]，单调减区间是(－∞，－t ]，[t ，＋∞)． 反思与感悟 求函数的单调区间的具体步骤是(1)优先确定f (x )的定义域；(2)计算导数f ′(x )；(3)解f ′(x )>0和f ′(x )<0；(4)定义域内满足f ′(x )>0的区间为增区间，定义域内满足f ′(x )<0的区间为减区间． 跟踪训练2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 2－ln x ；(2)f (x )＝x 3－x 2－x .又∵x >0，∴x >22，∴函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞；由f ′(x )<0得x <－22或0<x <22，又∵x >0，∴0<x <22， ∴函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22.(2)f ′(x )＝3x 2－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)．由f ′(x )>0得x <－13或x >1；由f ′(x )<0得－13<x <1，故函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－13)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－13，1)．探究点二 函数的变化快慢与导数的关系思考 我们知道导数的符号反映函数y ＝f (x )的增减情况，怎样反映函数y ＝f (x )增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？例3 如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象．解(1)→B，(2)→A，(3)→D，(4)→C.反思与感悟通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行．跟踪训练3 已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是( )【答案】 D（三）当堂达标1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( )A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数【答案】 A【解析】 ∵f ′(x )＝1＋1x>0，∴函数在(0,6)上单调递增．2．f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )【答案】 D【解析】 由导函数的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )为减函数；当x >2时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数．观察选项易知D 正确． 3．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】 A【解析】 f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A.4．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间是( )．A ．(0,1)B ．(0,1)∪(－∞，－1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，＋∞)【答案】 A5．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为 6x －y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．【解析】 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2， ∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c . 由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0， 知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2b ＋c ＝6－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3b －c ＝0.解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.(2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )>0，得x <1－2或x >1＋2；令f ′(x )<0，得1－2<x <1＋ 2. 故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2)．6．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)． (1)求a 、b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性．(2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)． 令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3；又令f ′(x ) <0，解得－1<x <3. 所以当x ∈(－∞，－1)时，f (x )是增函数；当x ∈(3，＋∞)时，f (x )也是增函数；当x ∈(－1,3)时，f (x )是减函数． 五、小结（1）函数导数与单调性的关系：0)(>'x f 时，增函数；0)(<'x f 时，减函数．用导数去研究函数的单调性比用定义法更为简便．（2）本节课中，用导数方法去研究函数单调性问题是中心，灵活应用导数法去解题是目的，适当的见识与练习是达到目的最佳手段，数形结合是应使学生养成的良好思维习惯． 六、作业。
1.3导数在研究函数中的应用教学设计教案
1.3导数在研究函数中的应用教学设计教案第一篇：1.3导数在研究函数中的应用教学设计教案教学准备1.教学目标（1）使学生理解函数的最大值和最小值的概念，能区分最值与极值的概念（2）使学生掌握用导数求函数最值的方法和步骤2.教学重点/难点【教学重点】：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．【教学难点】：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．熟练计算函数最值的步骤3.教学用具多媒体4.标签1．3．3函数的最大（小）值与导数教学过程第二篇：3．3 导数在研究函数中的应用教学设计教案教学准备1.教学目标知识与技能1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法。
过程与方法通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严密推理的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程．情感、态度与价值观通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯．2.教学重点/难点教学重点探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；教学难点探索函数的单调性与导数的关系。
3.教学用具多媒体4.标签教学过程教学过程设计复习引入请同学们思考函数单调性的概念？函数 y = f(x)在给定区间 D上，D=(a , b)当 x1、x 2 ∈D且 x 1＜ x 2 时①都有 f(x 1)＜ f(x 2)，则 f(x)在D上是增函数；②都有 f(x 1)＞f(x 2)，则 f(x)在D上是减函数；若f(x)在D上是增函数或减函数，D称为单调区间，则f(x)在D 上具有严格的单调性。
【师】判断函数单调性有哪些方法？①定义法;②图象法;③已知函数以前,我们主要采用定义法去判断函数的单调性.在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。
导数在研究函数中的应用单元教学设计
导数在研究函数中的应用单元教学设计【教学设计】课题名称：导数在研究函数中的应用一、教学目标：1.知识与能力：a)掌握导数的概念；b)理解导数的几何意义；c)理解导数与函数的关系，明确导数为函数在其中一点处的变化率；d)理解导数在函数研究中的应用，并能解决与导数相关的问题；e)初步培养学生分析问题、解决问题的思维能力。
2.过程与方法：a)培养学生分析、归纳、推理和解决问题的能力；b)鼓励学生思考和提问，积极参与课堂讨论；c)培养学生合作学习和团队合作的能力。
二、教学内容：1.导数的概念及其几何意义；2.导数与函数的关系；3.导数在函数研究中的应用。
三、教学过程：1.导入（10分钟）教师通过提问和展示一些实际问题，引出函数与导数的关系，激发学生对导数应用的思考和兴趣。
2.导数的概念及其几何意义（25分钟）a)导数的定义：引导学生回顾变化率的概念，由此引出导数的定义，并帮助学生理解导数的物理意义（函数变化率）和几何意义（切线斜率）。
b)导数的计算：通过具体函数示例，引导学生运用导数的定义计算导数，并与导数公式进行关联。
c)给出一些练习题，巩固导数的概念和计算方法。
3.导数与函数的关系（25分钟）a)导数与函数图像：通过绘制不同函数的图像，引导学生发现导数与函数图像的关系，区分函数图像的变化趋势与导数的正负值。
b)导数与函数性质：通过导数与函数的关系，解释函数的凸凹性、极值和拐点等性质的判定方法。
辅以实例进行讲解。
4.导数在函数研究中的应用（30分钟）a)表达式的优化：通过使用导数求解函数的极值问题，帮助学生理解导数在最值问题中的应用，并引导学生解决一些具体的优化问题。
c)引导学生思考和讨论导数在其他实际问题中的应用，并进行展示和分享。
5.小结与拓展（10分钟）对本节课的内容进行小结，并提出拓展问题或布置作业。
鼓励学生通过实际问题思考导数的应用，拓宽对导数的理解和运用。
四、教学资源与评价：1.教学资源：a)钢琴与芦笛（展示变化率的概念）；b)多媒体课件（演示导数的定义、公式和应用）；c)函数绘图软件（辅助绘制函数图像）；d)题目练习册。
第八讲导数在研究函数问题以及实际问题中的运用.doc
第八讲导数在研究函数问题以及实际问题中的运用一、知识整合：1、函数的单调性一般地，设函数y = /（x）在某个区间可导，如果/ （x）＞0,则/（兀）为增函数；如果/ （x）＜0，则/（兀）为减函数；反之，若/（兀）在某个区间上单调递增，则在该区间上有f'（x）＞0恒成立；若于（兀）在某个区间上单调递减，则在该区间上有f U）＜0恒成立。
特别指出：/'（%）＞0是函数/（对为增函数的充分不必要条件。
2、函数的极值与垠值函数的极值:函数/（X）在点x0附近有定义,且若对x0附近的所有点有/（^）＜ /（x0）（或则称/Go）为函数的一个极大（小）值’称X。
为极大（小）值点。
也可以这样认为：曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为止，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为止。
函数的最值：函数/（Q在闭区间上的最大（小）值是函数在此区间上的每一个自变量对应的函数值中的最大（小）值。
求函数在某个区间上的最值的步骤:一•般地，在区间［d,b］上连续的函数/（劝在肚方］上必有最大值与最小值。
①求函数/（兀）在@小）内的极值；②求函数/（兀）在区间端点的值/（6/）,/（/?）；③将函数/（兀）的各极值与比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。
特别指出：（1）f（x o） = O是X。
为极值点的必要而不充分条件。
（2）给函数极大（小）值的条件，一定要考虑广（A O）=0,又要考虑检验“左正右负”（左负右止）的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记。
（3）利用导数研究函数的单调性与极值（最值）吋要注意。
%1.典例精析题型1：借助导数处理单调性、极值和最值例1・对于R上可导的任意函数/（X）,若满足（x-l）/r（x）＞0,则必有（）A. /（0）+/（2）＜2/（1） B. /（0）+/（2）＜2/（1）C. /（0）+/（2）＞2/（1）D. /（0）+/（2）＞2/（1）1 _L y例2.已知函数/(x) =—严。
导数在研究函数中的应用 精品教案
《导数在研究函数中的应用》【教材分析】导数及其应用内容分为三部分：1.函数的单调性与导数2.函数的极值与导数3函数的最值与导数。
在“利用导数判断函数的单调性”中介绍了利用求导的方法来判断函数的单调性；在“利用导数研究函数的极值”中介绍了利用函数的导数求极值和最值的方法。
【考纲解读】1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极值，会求闭区间上函数的最值。
3.会利用导数解决某些实际问题。
【教学目标】1.能熟练应用导数的几何意义求解切线方程2.掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题【教学重点】理解并掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题【教学难点】原函数和导函数的图像“互译”，解决一些恒成立问题【学 法】本节课是在学习了导数的概念、运算、导数的应用的基础上来进行小结复习，学生已经了解了一些解题的基本思想和方法，应用导数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与、多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。
在课堂教学中，应该把以教师为中心转向以学生为中心，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设宽容的课堂气氛，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。
【教 法】数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是导数的应用的复习课，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题、解决问题，尝试归纳总结，然后由老师启发、总结、提炼，升华为分析和解决问题的能力。
【授课类型】复习课【教学过程】一、要点梳理温馨提醒：若函数y ＝f (x )在(a ，b )内单调递增，则f ′(x )≥0,而f ′(x )>0是y ＝f (x )1．函数的单调性与导数在区间(a ，b )内,函数的单调性与其导数的正负有如下的关系: 如果__________，那么函数y ＝f (x )在这个区间单调递增;如果____________，那么函数y ＝f (x )在这个区间单调递减; f ′(x )＞0 f ′(x )＜0在(a ，b )内单调递增的充分不必要条件．2．函数的极值与导数函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧___f ′(x )＜0_______，右侧__ f ′(x )>0_____，则点a 叫做函数y ＝f (x )的__极小值点___，f (a )叫函数y ＝f (x )的极小值．函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧__ f ′(x )>0_____，右侧___f ′(x )＜0_______，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．温馨提醒：导数为0的点不一定是极值点，只有在该点两侧导数的符号相反，即函数在该点两侧的单调性相反时，该 点 才是函数的极值点，另一方面，极值点处的导数 也不一定 为0,还要考察函数在该点处的导数是否存在．3．函数的最值与导数假设函数y ＝f(x)在闭区间[a ，b]上的图象是一条_连续不间断的曲线，则该函数在[a ，b]上一定能够取得最大值与最小值．若函数在(a ，b)内是可导 的，该函数的 最 值必在极值点或区间端点处取得．温馨提醒：最值与极值的区别与联系：(1)“极值”是个局部概念，是一些较邻近的点之间的函数值 大小的比较，具有相对性；“最值”是个整体概念，是整个 定 义域上的最大值和最小值，具有绝对性．(2)最值和极值都不一定存在，若存在，函数在其定义域上 的最值是唯一的，而极值不一定唯一．二、课前热身1．(2012·高考陕西卷)设函数f (x )＝x e x ，则( )A ．x ＝1为f (x )的极大值点B ．x ＝1为f (x )的极小值点C ．x ＝－1为f (x )的极大值点D ．x ＝－1为f (x )的极小值点2．(2012·高考辽宁卷)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1，1] B ．(0，1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( )A ．11或18B ．11C ．18D ．17或184．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0，2]上的最小值是________． 5．已知a ＞0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是________． 答案:1.D; 2.B; 3.C; 4.－173 5.3 三、例题讲解考点一：利用导数研究函数的单调性例1、已知函数f (x )＝4x 3＋3tx 2－6t 2x ＋t －1，x ∈R ，其中t ∈R.(1)当t ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)当t >0时，求f (x )的单调区间．【解】(1)当t ＝1时，f (x )＝4x 3＋3x 2－6x ，f (0)＝0，f ′(x )＝12x 2＋6x －6，f ′(0)＝－6.所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝－6x .(2)f ′(x )＝12x 2＋6tx －6t 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－t 或x ＝t 2. 方法感悟：(1)导数法证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤：①求f ′(x )；②确认f ′(x )在(a ，b )内的符号；③作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数．(2)导数法求函数单调区间的一般步骤：①确定函数f (x )的定义域；②求导数f ′(x )；③在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )＞0和f ′(x )＜0；④根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间．考点二：由函数的单调性求参数的取值范围因为t >0，则－t <t 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－t )，⎝⎛⎭⎫t 2，＋∞；f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－t ，t 2.例2、(2014·安徽合肥市质量检测)已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0，1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝x 2·[f (x )－a ]，且g (x )在区间[1，2]上为增函数，求实数a 的取值范围．【解】(1)设f (x )图象上任一点的坐标为P (x ，y )，点P 关于点A(0，1)的对称点P ′(－x ，2－y )在h (x )的图象上，∴2－y ＝－x ＋1－x＋2， ∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x. (2)g (x )＝x 2·[f (x )－a ]＝x 3－ax 2＋x ，方法感悟：函数单调性确定参数范围的方法：(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”来求解．考点三：利用导数研究函数的极值(最值)例3、(2013·高考福建卷)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程；(2)求函数f (x )的极值．【解】函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x. (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x >0)， 因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A(1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. 又g (x )在区间[1，2]上为增函数，∴g ′(x )＝3x 2－2ax ＋1≥0在[1，2]上恒成立，即2a ≤3x ＋1x 对任意的x ∈[1，2]恒成立． 注意到函数r (x )＝3x ＋1x 在[1，2]上单调递增， 故r (x )min ＝r (1)＝4. 于是2a ≤4，a ≤2.即实数a 的取值范围是(－∞，2]．(2)由f′(x)＝1－ax＝x－ax，x>0知：①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时,函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a,无极大值.方法感悟：(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．(2)求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：①求函数在(a，b)内的极值；②求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【课堂小结】1.函数的单调性与导数2.函数的极值与导数3函数的最值与导数【布置作业】练习册60练 p19【板书设计】课题一、要点梳理三、例题讲解二、课前热身四、课堂小结【教学反思】以题目引导教学，让学生先有所思，思有所获，获有所感。