江苏省连云港市高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年江苏省连云港市高一上学期期末数学试题一、单选题1．设集合{}1,0,1M =-，{}0,1,2N =，则集合M N ⋃中的元素个数为（ ） A ．6 B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】利用并集的定义求出集合M N ⋃，即可得出该集合中元素的个数. 【详解】集合{}1,0,1M =-，{}0,1,2N =，{}1,0,1,2M N ∴=-.因此，集合M N ⋃中的元素个数为4. 故选：B. 【点睛】本题考查集合元素个数的计算，同时也考查了并集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2．函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期是（ ） A ．4π B ．2π C ．πD ．2π【答案】C【解析】利用正弦型函数的周期公式可得出函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期. 【详解】函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是22T ππ==.故选C. 【点睛】本题考查正弦型函数周期的计算，利用周期公式计算是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.3．函数()2log 21y x =-的定义域为（ ） A ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．[)1,+∞ C ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦D ．(),1-∞【答案】A【解析】由对数的真数大于零，列出关于实数x 的不等式，解出即可得出函数()2log 21y x =-的定义域.【详解】由题意可得210x ->，解得12x >，因此，函数()2log 21y x =-的定义域为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查对数函数定义域的求解，要熟悉对数中底数和真数的限制条件，考查运算求解能力，属于基础题.4．求值：cos150=（ ）A ．12B C ．12-D ． 【答案】D【解析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值可计算出cos150的值. 【详解】由诱导公式可得()3cos150cos 18030cos30=-=-=-. 故选：D. 【点睛】本题考查利用诱导公式计算特殊角的三角函数值，考查计算能力，属于基础题. 5．若指数函数()()1xf x m =-是R 上的单调减函数，则m 的取值范围是（ ） A ．2m < B ．2m > C ．12m << D ．01m <<【答案】C【解析】由指数函数()()1xf x m =-是R 上的单调性得出关于m 的不等式，解出即可. 【详解】由于指数函数()()1xf x m =-是R 上的单调减函数，则011m <-<，解得12m <<. 故选：C. 【点睛】本题考查利用指数函数的单调性求参数，要熟悉指数函数的单调性与底数之间的关系，考查运算求解能力，属于基础题.6．设向量(),2a k =，()1,1b =-r ，若//a b r r，则实数k 的值是（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】B【解析】根据共线向量的坐标表示得出关于实数k 的等式，解出即可. 【详解】向量(),2a k =，()1,1b =-r ，且//a b r r，2k ∴-=，解得2k =-.故选：B. 【点睛】本题考查利用共线向量的坐标运算求参数的值，考查运算求解能力，属于基础题. 7．若log 2a<0，1()12b>，则( ) A ．a>1，b>0 B ．a>1，b<0 C ．0<a<1，b>0 D ．0<a<1，b<0【答案】D【解析】2log 0a <，则01a <<；112b⎛⎫> ⎪⎝⎭，则0b <，故选D 。
8．要得到3sin(2)4y x π=+的图象，只需将32y sin x =的图象 ( )A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向右平移8π个单位D ．向左平移8π个单位【答案】D【解析】先明确变换前后的解析式，然后按照平移规则可求. 【详解】将3sin 2y x =的图象向左平移8π个单位后，得到3sin 2()3sin(2)84y x x ππ=+=+的图象，故选D. 【点睛】本题主要考查三角函数图象的变换，注意x 的系数对平移单位的影响. 9．已知角α的终边经过点(),6P x --，且5cos 13α=-，则实数x 的值为（ ） A ．5B ．52C ．52-D ．5-【答案】B【解析】根据任意角三角函数的定义可求出x 的值. 【详解】由三角函数的定义可得5cos 13α==-，则0x >，解得52x =. 故选：B. 【点睛】本题考查利用三角函数的定义求参数值，解题时还应结合三角函数值的符号确定所求参数的符号，考查运算求解能力，属于基础题.10．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()sin cos f x x x =-，则0x <时，()f x =（ ） A ．sin cos x x + B ．sin cos x x --C ．sin cos x x -+D ．sin cos x x -【答案】A【解析】设0x <，则0x ->，计算出()f x -的表达式，然后利用奇函数的定义可得出函数()y f x =在0x <时的解析式. 【详解】当0x <时，则0x ->，()()()sin cos sin cos f x x x x x -=---=--， 由于函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，则()()()sin cos sin cos f x f x x x x x =--=---=+.故选：A. 【点睛】本题考查奇函数解析式的求解，考查计算能力，属于基础题.11．函数()cos2sin f x x x =-在区间[]0,3π上零点的个数是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】令()0f x =，可得出212sin sin 0x x --=，可得出1sin 2x =或sin 1x =-，然后在区间[]0,3π上解出这两个方程的根，即可得出正确的选项. 【详解】令()0f x =，得cos2sin 0x x -=，即212sin sin 0x x --=，即22sin sin 10x x +-=，1sin 1x -≤≤，解得1sin 2x =或sin 1x =-. 方程1sin 2x =在区间[]0,3π上的解为6x π=、56π、136π、176π；方程sin 1x =-在区间[]0,3π上的解为32x π=. 因此，函数()cos2sin f x x x =-在区间[]0,3π上零点的个数是5. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数零点个数的求解，涉及二倍角余弦公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.12．已知函数()()22log 1,131108,333x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =有4个不同的实根1x 、2x 、3x 、4x ，且1234x x x x <<<，则()()123412x x x x x x ++=（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】D【解析】作出图形，可得出直线y m =与函数()y f x =的图象交于A 、B 、C 、D 四点，由()()2122log 1log 1x x -=-，去绝对值，结合对数的运算律，可得出1212x x x x +的值，利用二次函数的对称性可得出34x x +的值，由此可得出()()123412x x x x x x ++的值.【详解】作出函数()y f x =和函数y m =的图象如下图所示，则两个函数的图象共有4个交点A 、B 、C 、D ，且横坐标分别为1x 、2x 、3x 、4x ，1234x x x x <<<，12123x x <<<<，由()()12f x f x =，得()()2122log 1log 1x x -=-，则有()()2122log 1log 1x x --=-，所以，()()2122log 1log 10x x -+-=，()()12111x x ∴--=，化简得12120x x x x --=，1212x x x x ∴=+，12121x x x x +∴=. 由于二次函数2110833y x x =-+图象对称轴为直线5x =，则点C 、D 两点关于直线5x =对称，所以，3410x x +=.因此，()()12341211010x x x x x x ++=⨯=.故选：D. 【点睛】本题考查函数零点和与积的运算，解题时要充分利用对数的运算性质和二次函数图象的对称性，考查数形结合思想与计算能力，属于中等题.二、填空题13．求值：2lg 4lg50lg8+-=____________. 【答案】2【解析】利用对数的运算法则可计算出代数式的值. 【详解】 由题意可得232lg 4lg50lg82lg 2lg50lg 24lg 23lg 2lg50lg 2lg50+-=+-=-+=+2lg100lg102===.故答案为：2.【点睛】本题考查对数式的计算，灵活利用对数的运算性质是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.14．已知向量()1,2a =-r ，sin ,cos 44b ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若a b ⊥，则tan θ=________.【答案】3-【解析】利用平面向量垂直的坐标表示可计算出tan 24πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，然后利用两角和的正切公式可求出tan θ的值. 【详解】向量()1,2a =-r ，sin ,cos 44b ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且a b ⊥，则sin 2cos 044a b ππθθ⎛⎫⎛⎫⋅=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得tan 24πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，tan tan1244tan tan 3441211tan tan44ππθππθθππθ⎛⎫-+ ⎪⎡⎤+⎛⎫⎝⎭∴=-+===- ⎪⎢⎥-⨯⎛⎫⎝⎭⎣⎦--⋅ ⎪⎝⎭.故答案为：3-. 【点睛】本题考查利用两角和的正切公式求值，同时也考查了垂直向量的坐标表示，考查运算求解能力，属于中等题.15．已知()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（其中0>ω）的单调递增区间为()522,1833k k k Z ππθπ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，则θ=_________. 【答案】18π【解析】由题意可知，函数()y f x =的最小正周期为23π，可求出ω的值，然后解不等式()232232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，可得出函数()y f x =的单调递增区间，即可得出θ的值. 【详解】由于函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（其中0>ω）的单调递增区间为()522,1833k k k Z ππθπ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，则该函数的最小正周期为23π，即223ππω=，得3ω=.()2sin 33f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，解不等式()232232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，得()522183183k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 所以，函数()2sin 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为()522,183183k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. 因此，18πθ=.故答案为：18π.【点睛】本题考查利用正弦型函数的单调区间求参数，解题的关键就是结合题中条件求出解析式中的参数值，考查运算求解能力，属于中等题.16．已知AD 、BE 为ABC ∆的中线，3AD =，2BE =，且AD 与BE 的夹角的余弦值为13-，则AB AC ⋅=___________. 【答案】649【解析】作出图形，用AD 、BE 表示向量AB 、AC ，然后利用平面向量数量积的定义和运算律计算出AB AC ⋅uu u r uuu r的值. 【详解】作出图形如下图所示：则1122AD AB AC =+，又12BE AE AB AC AB =-=-，可得()()23223AB AD BE AC AD BE ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 因此，()()()22442299AB AC AD BE AD BE AD AD BE BE⋅=-⋅+=-⋅-22416423322939⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯-= ⎪⎝⎭. 故答案为：649. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底表示题中所涉及的向量，并结合平面向量数量积的定义和运算律进行计算，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．已知向量()1,2a =-r，()3,4b =-.（1）求a b -r r的值；（2）求向量a b +与a b -夹角的余弦值. 【答案】（1）（2）. 【解析】（1）计算出向量a b -的坐标，然后利用向量模的坐标运算可得出a b -r r的值；（2）计算出向量a b +的值，并计算出a b +和向量a b +与a b -的数量积，然后利用平面向量数量积的定义可计算出向量a b +与a b -夹角的余弦值.【详解】（1）向量()1,2a =-r，()3,4b =-，则()4,6a b -=-，因此，24a b -=+=；（2）()2,2a b +=-，()()()242620a b a b ∴+⋅-=-⨯+⨯-=-，()2a b +=-=∴向量a b +与a b -夹角的余弦值为()()cos ,22a b a b a b a ba b a b+⋅-+-===+⋅-.【点睛】本题考查利用平面向量的模和夹角的余弦值，考查计算能力，属于基础题. 18．已知3sin5α=-，3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求cos 24πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）10-；（2）50. 【解析】（1）利用同角三角函数的平方关系计算出cos α的值，然后利用两角和的正弦公式计算出sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （2）利用二倍角的正弦和余弦公式分别计算出sin 2α和cos2α的值，然后利用两角差的余弦公式可计算出cos 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【详解】（1）已知3sin 5α=-，3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5α=-.则sin sin cos cos sin 44410πππααα⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭； （2）由于34sin ,cos 55αα=-=-，由二倍角公式得24sin 22sin cos 25ααα==，227cos 2cos sin 25ααα=-=.所以7cos 2cos 2cos sin 2sin =4442522525024πππααα⎛⎫-=+=+⋅ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和的正弦公式以及两角差的余弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.19．如图，在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60BAC ∠=，2DB AD =uu u r uuu r，2CE EB =.（1）试用AB 和AC 表示DE ； （2）求AE DE ⋅的值. 【答案】（1）()13AC AB +；（2）269. 【解析】（1）先用AB 、AC 表示AE ，然后由DE AE AD =-可将DE 用AB 和AC 表示；（2）利用平面向量数量积的定义和运算律可计算出AE DE ⋅的值. 【详解】（1）2CE EB =，13BE BC ∴=，()1133AE AB BE AB BC AB AC AB ∴=+=+=+-2133AB AC =+，2DB AD=，13AD AB ∴=， 因此，()21113333DE AE AD AB AC AB AB AC =-=+-=+； （2）2AB =，3AC =，60BAC ∠=，12332AB AC ∴⋅=⨯⨯=，()22121121333993AE DE AC AB AC AB AC AB AC AB ⎛⎫∴⋅=+⋅+=++⋅ ⎪⎝⎭121269439939=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查平面向量的基底表示，同时也考查了平面向量数量积的计算，要充分利用平面向量加法和减法的三角形法则，考查计算能力，属于中等题.20．销售甲、乙两种商品所得利润分别是P （单位：万元）和Q （单位：万元），它们与投入资金t （单位：万元）的关系有经验公式P =15Q t =，今将a 万元()0a >资金投入甲、乙两种商品，其中对甲商品投资x （单位：万元）.（1）试建立总利润y （单位：万元）关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域； （2）问：如何分配资金，才能使得总利润y （单位：万元）最大？【答案】（1）5a xy -=，定义域为[]0,a ；（2）见解析. 【解析】（1）根据P 、Q 的经验公式可得出总利润y （单位：万元）关于x 的函数关系式，并结合实际情况得出该函数的定义域；（2）t =，则0t ≤≤可得出213945220ay t +⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，讨论a 的取值范围，根据二次函数的性质得出函数的最大值. 【详解】（1）由题意可得5a xy -=，定义域为[]0,a ；（2t =，则2x t =，0t ≤≤2231394555220a t ay t t -+⎛⎫∴=+=--+⎪⎝⎭.①32，即94a ≥时，则当32t =时，即94x =时，y 取得最大值；②32，即904a <<时，则当t =时，即x a =时，y 取得最大值.综上，当904a <<时，全部投资甲商品，总利润y 最大；当94a ≥时，投资甲商品94万元，投资乙商品94a -万元，总利润最大.【点睛】本题考查函数解析式的求解，同时也考查了二次函数模型的应用，涉及到了二次函数最值的求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 21．已知函数()141x f x =+.（1）若函数()()g x f x a =+是奇函数，求实数a 的值；（2）若关于x 的方程()()2222321f x tx f x t -+--+=在区间()0,2上有解，求实数t 的取值范围.【答案】（1）12a =-；（2）13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）求出函数()y g x =的解析式，由奇函数的定义得出()()0g x g x -+=，结合指数运算可求出实数a 的值； （2）由（1）知，函数()()12g x f x =-为奇函数且为减函数，由()()2222321f x tx f x t -+--+=，得出()()222232g x tx g x t -=+-，可得出关于x 的方程()22130x t x ---=在区间()0,2上有解，构造函数()2223g x x tx t =-+-，将问题转化为二次函数()y g x =在区间()0,2上有零点，结合二次函数零点分布求出实数t 的取值范围. 【详解】（1）()()141xg x f x a a =+=++，函数()y g x =的定义域为R ， 由于函数()y g x =是奇函数，则()()0g x g x -+=，即11204141xx a -++=++， 111141211414141414114x x x x x x xa -∴-=+=+=+=++++++，因此，12a =-； （2）()()12g x f x =-是奇函数，则方程()()2222321f x tx f x t -+--+=等价为()()22112232022f x tx f x t --+--+-=，即()()2222320g x tx g x t -+--+=，则()()()222223232g x tx g x t g x t -=---+=+-，函数()y g x =在定义域上是单调函数，222232x tx x t ∴-=+-在区间()0,2上有解，即22230x tx t -+-=在区间()0,2上有解. 构造函数()2223g x x tx t =-+-，()0,2x ∈.①若函数()y g x =在区间()0,2有且只有一个零点，则()24423002t t t ⎧∆=--=⎨<<⎩或()()()()0223120g g t t =--≤，解得12t ≤或32t ≥.当12t =时，()22g x x x =--，令()0g x =，得11x =-，22x =，不合乎题意； 当32t =时，()23g x x x =-，令()0g x =，得10x =，23x =，不合乎题意； ②若函数()y g x =在区间()0,2有两个零点，则()()()2442300202302120t t t g t g t ⎧∆=-->⎪<<⎪⎨=->⎪⎪=->⎩，此时t ∈∅.综上所述，实数t 的取值范围是13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，同时也考查了函数方程思想的应用，涉及利用二次函数的零点分布求参数，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.22．已知向量()2sin a x x =，向量()cos ,2cos b x x =，函数()3f x a b =⋅-. （1）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； （2）求证：存在大于3π的正实数0x ，使得不等式()ln f x x>(0x 有解.（其中e 为自然对数的底数）【答案】（1）最大值为2，最小值为（2）证明见解析.【解析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算、二倍角降幂公式以及辅助角公式得出()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦计算出23x π+的取值范围，然后利用正弦函数的图象和性质得出函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； （2）将问题转化为两个函数()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭和函数()h x x =在区间3π⎛ ⎝上是否存在交点问题. 【详解】 （1）()232sin cos sin 222sin 23f x a b x x x x x x π⎛⎫=⋅-=+=+=+ ⎪⎝⎭0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，42,333x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，sin 23x π⎡⎤⎛⎫∴+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()f x ⎡⎤∴∈⎣⎦，因此，函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为（2）存在大于3π的正实数0x ，使得不等式()ln f x x>(0x 有解，即存在大于3π的正实数0x ，使得不等式sin 23x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭在区间(0x 有解，令()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，()h x x =，则当3x π⎛∈⎝时，函数()y g x =单调递增，函数()y h x =单调递增，又03g π⎛⎫=⎪⎝⎭，033h ππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，sin 3g π⎛⎫=> ⎪⎝⎭h==，∴函数()y g x =与函数()y h x =在3π⎛ ⎝有且仅有一个交点，故存在大于3π的正实数0x ，使得不等式()ln f x x>(0x 有解. 【点睛】本题考查利用平面向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换思想求函数解析式，同时也考查了正弦型三角函数在区间上的最值，以及不等式有解，解题的关键在于将问题转化为两个函数是否存在交点问题，考查化归与转化思想的应用，属于难题.。
江苏省连云港市赣马中学高一数学理上学期期末试卷含解析
江苏省连云港市赣马中学高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数y=Asin（ωx+?）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f （11）的值等于( )A．B．C．D．参考答案：C考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数的值．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据所给的三角函数的图象，可以看出函数的振幅和周期，根据周期公式求出ω的值，写出三角函数的形式，根据函数的图象过点（2，2），代入点的坐标，整理出初相，点的函数的解析式，根据周期是8和特殊角的三角函数求出结果．解答：解：由函数y=Asin（ωx+?）（A＞0，ω＞0）的部分图象可得 A=2，?=0，且×=4﹣0，∴ω=．∴函数y=2sin（x），且函数的周期为8．由于f（1）+f（2）+f（3）+…f（8）=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+…f（11）=f（1）+f（2）+f（3）=2sin+2sin+2sin=2+2，故选C．点评：本题考查根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象确定函数的解析式，考查特殊角的三角函数值，本题解题的关键是看出要求结果的前八项之和等于0，要理解好函数的中的周期、振幅、初相等概念，属于中档题．2. 若函数f（x）=（k﹣1）a x﹣a﹣x（a＞0，a≠1）在R上既是奇函数，又是减函数，则g（x）=log a （x+k）的图象是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】奇偶性与单调性的综合；对数函数的图象与性质．【专题】数形结合．【分析】根据函数是一个奇函数，函数在原点出有定义，得到函数的图象一定过原点，求出k的值，根据函数是一个减函数，看出底数的范围，得到结果．【解答】解：∵函数f（x）=（k﹣1）a x﹣a﹣x（a＞0，a≠1）在R上是奇函数，∴f（0）=0∴k=2，又∵f（x）=a x﹣a﹣x为减函数，所以1＞a＞0，所以g（x）=log a（x+2）定义域为x＞﹣2，且递减，故选：A【点评】本题考查函数奇偶性和单调性，即对数函数的性质，本题解题的关键是看出题目中所出现的两个函数性质的应用．3.参考答案：4. 在下列图象中，函数的图象可能是（）参考答案：D5. 在三棱锥S-ABC中，，二面角的大小为60°，则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为（）A. B. 4π C. 12π D.参考答案：D【分析】取AB中点F,SC中点E，设的外心为，外接圆半径为三棱锥的外接球球心为，由，在四边形中，设，外接球半径为，则则可求，表面积可求【详解】取AB中点F,SC中点E,连接SF,CF, 因为则为二面角的平面角，即又设的外心为，外接圆半径为三棱锥的外接球球心为则面，由在四边形中，设，外接球半径为，则则三棱锥的外接球的表面积为故选：D【点睛】本题考查二面角，三棱锥的外接球，考查空间想象能力，考查正弦定理及运算求解能力，是中档题6. 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（）A．8πcm2 B．12πcm2 C．16πcm2 D．20πcm2参考答案：B【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】由题意正方体的外接球的直径就是正方体的对角线长，求出正方体的对角线长，即可求出球的表面积．【解答】解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2=2R，R=，S=4πR2=12π故选B【点评】本题是基础题，考查正方体的外接球的不面积的求法，解题的根据是正方体的对角线就是外接球的直径，考查计算能力，空间想象能力．7. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1 B．C．D．2参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【专题】开放型；空间位置关系与距离．【分析】几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为正方形如图：其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形∴PB=1，AB=1，AD=1，∴BD=，PD==．PC==该几何体最长棱的棱长为：故选：C．【点评】本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题，根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键8. 在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A． =（0，0），=（1，2）B． =（﹣1，2），=（5，﹣2）C． =（3，5），=（6，10）D． =（2，﹣3），=（﹣2，3）参考答案：B【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据向量的坐标运算，，计算判别即可．【解答】解：根据，选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能．选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能．选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．故选：B．【点评】本题主要考查了向量的坐标运算，根据列出方程解方程是关键，属于基础题．9. 化成（）的形式是（）A. B. C. D.参考答案：B略10. 下图展示了一个由区间到实数集的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点（如图1），将线段围成一个正方形，使两端点恰好重合（如图2），再将这个正方形放在平面直角坐标系中，使其中两个顶点在轴上，点的坐标为（如图3），若图3中直线与轴交于点，则的象就是，记作.现给出以下命题： ① ； ②的图象关于点对称；③在区间上为常数函数； ④为偶函数.其中正确命题的个数有( )A. B. C. D. 参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 弧度制是数学上一种度量角的单位制，数学家欧拉在他的著作《无穷小分析概论》中提出把圆的半径作为弧长的度量单位.已知一个扇形的弧长等于其半径长，则该扇形圆心角的弧度数是 ．参考答案：1 12. 在中,若, 则________.参考答案：13. 若logx+logy=2，则3x+2y的最小值为 ．参考答案：6【考点】对数的运算性质． 【分析】由log x+logy=2，可得x ，y ＞0，xy=3．对3x+2y 利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵log x+logy=2，∴x，y ＞0，xy=3． 则3x+2y =2=6，当且仅当y=，x=时取等号．故答案为：6．14. 不等式的解集为，则实数的取值范围是参考答案：略 15. 函数的零点个数是参考答案：116. ，则的最小值是 . 参考答案：25略17. 设全集，若，则集合B=__________.参考答案：{2，4，6，8}三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020-2021学年连云港市高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年连云港市高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.下列说法正确的是( )A. 命题“若x 2=1，则x =1”的否命题为“若x 2=1，则x ≠1”B. 命题“若A =B ，则tanA =tanB ”的逆否命题为假命题C. 命题“∃x 0∈R ，x 02+x 0−1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+x −1>0”D. 若“p 或q ”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题2.已知集合A =[−1,1]，B ={x|(x +3)(2x −1)≤0}，则A ∩B =( )A. [−3,12]B. [−1,12]C. [−1,12)D. (−3,12)3.若f(cosx)=cos4x ，则f(sin15°)的值等于( )A. 12B. √32 C. −√32D. −124.如图，设全集U =R ，M ={x|x ≤1,x ∈R}，N ={x|x ≤0或x ≥2}，则图中阴影部分表示的集合为( )A. {x|1≤x ≤2}B. {x|1≤x <2}C. {x|1<x ≤2}D.{x|1<x <2} 5.已知集合A ={x||x|<3}，B ={x|y =lg(x −1)}，则集合A ∩B 为( )A. [0,3)B. [1,3)C. (1,3)D. (−3,1]6.已知函数f(x)=a +4bx+sinx+bxcosx4+cosx(a,b ∈R)，若f(x)在R 上既有最大值又有最小值，且最大值与最小值的和为4，则3b −2a =( )A. 6B. −4C. 5D. 37.函数f(x)=x 3−1x 的图象可能为( )A.B.C.D.8.已知g n (x)+1=∑x nk 2n k=1(x ∈R,n ∈N ∗)，则下列说法正确的是( )①g n (x)关于点(0,−1)成中心对称． ②g n (x)在(0,+∞)单调递增．③当n 取遍N ∗中所有数时不可能存在c ∈[23,1]使得g n (c)=0．A. ①②③B. ②③C. ①③D. ②二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.下列命题中，正确的有( )A. 若a >b >0，则ac 2>bc 2B. 若a <b <0，则a 2>ab >b 2C. 若a >b >0且c >0，则b+ca+c >ba D. 若a <b <0且c <0，则ca 2<cb 210. 设a =log 26,b =log 316，则下列结论正确的有( )A. a +b <0B. 1a −1b =1C. ab <0D. 1a 2+1b 2>1211. 如图，摩天轮的半径为40m ，其中心O 点距离地面的高度为50m ，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，且20min 转一圈，若摩天轮上点P 的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中( )A. 经过10min 点P 距离地面10mB. 若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的12倍 C. 第17min 和第43min 时P 点距离地面的高度相同D. 摩天轮转动一圈，P 点距离地面的高度不低于70m 的时间为203min12. 下列函数中是偶函数，且在(0,+∞)上为增函数的有( )A. y =cosxB. y =x 3C. y =x 2+4D. y =log 2|x|三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 已知f(x)是(−∞,0)∪(0,+∞)上偶函数，当x ∈(0,+∞)时，f(x)是单调增函数，且f(1)=0，则f(x +1)<0的解集为______ ． 14. 下列命题：①函数y =−sin(kπ+x)(k ∈Z)是奇函数； ②函数f(x)=sin|x|是最小正周期为π的周期函数； ③设θ为第二象限角，则tanθ>cos θ2，且sin θ2>cos θ2 ④函数y =cos 2x +sinx 的最小值为−1其中真命题的序号是______ ((写出所有正确命题的编号))15. (1)函数y =sinx +√3cosx 在区间[0,π2]上的最小值为________．(2)四边形ABCD 中，AB =AD =2，∠BAD =900，∠ADC =600，∠ABC =1200，E 为BD 的中点，则EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =_________. (3)集合A ={x|2x2−4<22x−2a ,x ∈Z}={1}，则a 的取值范围是________．(4)已知f (x )=sin (2x +φ)，其中φ∈(0,π)，若方程f (x )=a 在(0,π]上的所有解之和为4π3，则实数a 的取值范围为____________. 四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 每年的三月十二号是植树节，某学校组织高中65个学生及其父母以家庭为单位参加“种一棵小树，绿一方净土”的义务植树活动．活动将65个家庭分成A ，B 两组，A 组负责种植150棵银杏树苗，B 组负责种植160棵紫薇树苗．根据往年的统计，每个家庭种植一棵银杏树苗用时25ℎ，种植一棵紫薇树苗用时35ℎ.假定A ，B 两组同时开始种植，若使植树活动持续时间最短，则A 组的家庭数为 (1) ，此时活动持续的时间为 (2) ℎ. 五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. (1)已知π2<a <π，且sin(π−α)=45，求sin(2π+α)tan(π−a)cos(−π−a)sin(3π2−α)cos(π2+α)的值．(2)已知点P(cosθ,sinθ)在直线y =−2x 上，求1+sin2θ−cos2θ1+sin2θ+cos2θ的值．18. 已知不等式x(ax−1)>a(x−1)，其中a∈R．(1)当a=1时，解不等式；2(2)若不等式在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围．19. 如图，在一个圆心角为90°，半径为10米的扇形草地上，需铺设一个直角三角形PQR的花地，其中∠RQP为直角，要求P，R，Q三点分别落在线段BC，AC和弧AB⏜上，且PQ=λRQ(λ>0)，△PQR的面积为S．(1)当λ=2且QR⊥AC时，求S的值；(2)无论如何铺设，要求S始终不小于20平方米，求λ的取值范围．20. 如图，某污水处理厂要在一正方形污水处理池ABCD内修建一个三角形隔离区以投放净化物质，，设∠PAB=其形状为三角形APQ，其中P位于边CB上，Q位于边CD上．已知AB=20米，∠PAQ=π6θ，记，当f(θ)越大，则污水净化效果越好．(1)求f(θ)关于的函数解析式，并求定义域；(2)求f(θ)最大值，并指出等号成立条件？)(ω>0)．21. 已知函数f(x)=sin(ωx+π6(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调递增区间；]时，求函数f(x)的最小值，并求出使y=f(x)取得最小值时相应的x的值．(3)当x∈[0,2π3|(a≠0,a∈R)．22. 设函数f(x)=|x−a|+|x+2a(1)当a=1时，解不等式f(x)≤5；(2)记f(x)的最小值为g(a)，求g(a)的最小值．参考答案及解析1.答案：D解析：解：对于A ：命题“若x 2=1，则x =1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，故A 错误； 对于B ：命题“若A =B ，则tanA =tanB ”是真命题，故其逆否命题为真命题，故B 错误；对于C ：命题“∃x 0∈R ，x 02+x 0−1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+x −1≥0，故C 错误；A ，B ，C 都不正确， 故选：D ，分别对A ，B ，C ，D 进行判断，从而得出答案．本题考查了复合命题以及命题之间的关系，是一道基础题．2.答案：B解析：解：由B 中不等式解得：−3≤x ≤12，即B =[−3,12]， ∵A =[−1,1]， ∴A ∩B =[−1,12]， 故选：B ．求出B 中不等式的解集确定出B ，找出A 与B 的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3.答案：A解析：解：∵f(cosx)=cos4x ，∴f(sin15°)=f(cos75°)=cos300°=cos(360°−60°)=cos60°=12．故选：A ．将sin1°变形为cos75°，根据f(cosx)=cos4x 变形，利用诱导公式化简即可得到结果． 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．4.答案：D解析：解：由Venn 图得阴影部分对应的集合为∁U (M ∪N)， ∵M ={x|x ≤1,x ∈R}，N ={x|x ≤0或x ≥2}， ∴M ∪N ={x|x ≤1或x ≥2}， 则∁U (M ∪N)={x|1<x <2}，故选：D．根据Venn图进行转化求解即可．本题主要考查集合的基本运算，利用Venn图表示集合关系是解决本题的关键．5.答案：C解析：解：∵|x|<3∴−3<x<3故A=(−3,3)∵y=lg(x−1)∴x−1>0，解得x>1故B=(1,+∞)∴A∩B=(1,3)故选：C．根据绝对值和对数函数求出集合A和B，然后由交集的定义求出结果．本题考查交集的定义的运算，是基础题．解题时要认真审题，注意含绝对值不等式和对数函数的性质的灵活运用．6.答案：B解析：解：则f(x)−a=bx(4+cosx)+sinx4+cosx为奇函数，则f(x)max−a+f(x)min−a=0，即f(x)max+f(x)min=2a，∵最大值与最小值的和为4，∴2a=4，则a=2，∵f(x)=a+4bx+sinx+bxcosx4+cosx =a+bx(4+cosx)+sinx4+cosx=a+bx+sinx4+cosx，∵若f(x)在R上既有最大值又有最小值，∴b=0，否则函数的值域为R，则3b−2a=−4．故选：B根据函数解析式的特征可以判断b=0，再把函数变形后利用函数的本题主要考查函数最值的应用，利用条件构造奇函数是解决本题的关键．7.答案：A解析：解：函数的定义域为{x|x≠0}，∵f(−x)=−x3−1−x =−(x3−1x)=−f(x)，∴函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除BC，当x>0时，函数f(x)为增函数，故排除D，故选：A．判断函数的奇偶性和单调性即可求出．本题考查了函数图象的识别和应用，属于基础题．8.答案：D解析：解：①∵g n(−x)+g n(x)+2=x22+x44+⋯≠0，∴g n(x)关于点(0,−1)不成中心对称．②∵x∈(0,+∞)，∴g n′(x)=1+x2+x23+⋯+x n−1n>0，∴g n(x)在(0,+∞)单调递增．③当n=1，g1(x)+1=x，假设存在c∈[23,1]使得g1(c)+1=c，g1(c)=c−1=0，解得c=1．当n=2，g2(x)+1=x+x24，假设存在c∈[23,1]使得g2(c)=x+x24−1=0，解得c=−2±2√2≠1．因此当n取遍N∗中所有数时不可能存在c∈[23,1]使得g n(c)=0．综上可知：只有②正确．故选：D．①由g n(−x)+g n(x)+2=x22+x44+⋯≠0，可得g n(x)关于点(0,−1)不成中心对称．②由于x∈(0,+∞)，可得g n′(x)=1+x2+x23+⋯+x n−1n>0，即可得出g n(x)在(0,+∞)单调性．③当n=1，g1(x)+1=x，假设存在c∈[23,1]使得g1(c)=c−1=0，解得c=1.当n=2，g2(x)+1=x+x24，假设存在c∈[23,1]使得g2(c)=x+x24−1=0，解得c=−2±2√2≠1.即可判断出．本题考查了函数的对称性、单调性、函数的零点，考查了导数的应用，考查了推理能力和计算能力，属于难题．9.答案：BC解析：本题考查了不等式的基本性质．根据选项的条件，取特殊值，即可判断AD；根据不等式的基本性质，即可判断B；利用作差法，结合不等式的基本性质，即可判断C．解：A.当c =0时，ac 2>bc 2不成立，故A 错误；B .由a <b <0，可知a 2>ab ，ab >b 2，∴a 2>ab >b 2，故B 正确；C .∵a >b >0且c >0，∴b+ca+c −ba =ab+ac−ab−bca(a+c)=(a−b)c a(a+c)>0，故C 正确；D .由a <b <0且c <0，取a =−2，b =−1，c =−1，则ca 2<cb 2不成立，故D 错误． 故选：BC ．10.答案：BCD解析：本题考查了不等式的性质和基本不等式的应用，属于中档题．根据对数的运算性质和不等式的性质判断ABC ，根据基本不等式判断D ．解：设a =log 26,b =log 316，则a +b =log 26+log 316=log 26−log 36>0，故A 错误； 1a−1b =log 62+log 63=log 66=1，故B 正确； ∵a =log 26>0，b =log 316<0， ∴ab <0，故正确；1a2+1b 2=(log 62)2+(−log 63)2=(log 62)2+(log 63)2=(log 62+log 63)2−2log 62log 63>1−2×(log 62+log 632)2=1−12=12，故D 正确．故选：BCD ．11.答案：ACD解析：本题考查三角函数的模型应用，考查三角函数的解析式的求解于应用，考查了三角不等式的求解，属于中档题．根据题意求出A 、ℎ、T 和ω，得到在t 时刻时点P 离地面的高度ℎ=40cos π10t +50，t ≥0.进而可确定各选项正误．解：由图形知，可以以点O 为原点，OP 所在直线为y 轴，与OP 垂直的向右的方向为x 轴建立坐标系．设摩天轮按逆时针方向旋转tmin时，点P离地面的高度为ℎm．由题意A=40，T=20可得ω=2π20=π10，故点P离地面的高度ℎ=40sin(π10t+π2)+50，即在t时刻时点P离地面的高度ℎ=40sin(π10t+π2)+50，化简得ℎ=40cosπ10t+50，t≥0.当t=10min时，ℎ=10(m)，故A正确;若摩天轮转速减半，T=40，则其周期变为原来的2倍，故B错误;第17min，P点距离地面的高度为ℎ(17)=40cos17π10+50=40cos3π10+50；第43min，P点距离地面的高度为ℎ(43)=40cos43π10+50=40cos3π10+50，第17min和第43min时P点距离地面的高度相同，故C正确;摩天轮转动一圈，P点距离地面的高度不低于70m，即40cosπ10t+50≥70，即cosπt10≥12，∵0≤t≤20，得0≤πt10≤2π，∴0≤πt10≤π3或5π3≤πt10≤2π，解得0≤t≤103或503≤t≤20，共203min，故D正确．故选ACD．12.答案：CD 解析：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题． 根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案． 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y =cosx ，是偶函数，但在在(0,+∞)上不具有单调性，A 错误； 对于B ，y =x 3，是奇函数不是偶函数，B 错误；对于C ，y =x 2+4，是二次函数，是偶函数，且在(0,+∞)上为增函数，C 正确； 对于D ，y =log 2|x|={log 2x,x >0log 2(−x),x <0，是偶函数，且在(0,+∞)上为增函数，D 正确；故选：CD ．13.答案：(−2,−1)∪(−1,0)解析：解：由于f(1)=0，所以不等式f(x +1)<0可化为f(x +1)<f(1)， 又f(x)是(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数， 所以f(x +1)<f(1)⇔f(|x +1|)<f(1)， 而当x ∈(0,+∞)时，f(x)是单调增函数，所以0<|x +1|<1，解得−2<x <0，且x ≠−1． 即f(x +1)<0的解集为(−2,−1)∪(−1,0)． 故答案为：(−2,−1)∪(−1,0)．由已知，不等式f(x +1)<0等价于f(|x +1|)<f(1)，再利用函数f(x)在(0,+∞)上的单调性，可去掉函数符号“f ”，从而不等式可解．本题主要考查抽象函数的单调性、奇偶性，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，而奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同．14.答案：①④解析：解析：依次分析命题：①根据奇函数的定义进行判断；②结合函数y =sin|x|的图象可判断；③首先推知θ2所在的象限，然后再来比较它们的大小；④根据sinx ∈[−1,1]、y =−(sinx −12)2+54，利用二次函数的性质求得它的最小值．本题考查命题的真假判断和应用，解题时要注意函数的连续性和极限的灵活运用．解：①函数y =−sin(kπ+x)(k ∈Z)={sinx,k 是奇数−sinx,k 是偶数，为奇函数，成立；②函数y =sin|x|得图象如图所示，由图象可知函数不是周期函数，故②不成立；③∵θ是第二象限的角，即2kπ+π2<θ<2kπ+π，k ∈z ，可得kπ+π4<θ2<kπ+π2， ∴θ2可能在第一或第三象限，∴无法比较tanθ与cos θ2，sin θ2与cos θ2的大小，故③不一定成立；④函数y =cos 2x +sinx =−sin 2x +sinx +1=−(sinx −12)2+54，再根据sinx ∈[−1,1]， 可得当sinx =12时，函数取得最大值为54，当sinx =−1时，函数取得最小值为−1， 故④成立．综上所述，正确的结论是：①④． 故答案是：①④．15.答案：(1)1；(2)−1； (3)[2,52)； (4)(−1,12]． 解析：(1)本题考查三角函数的性质，先化简函数y =sinx +√3cosx =2sin (x +π3)，因为x ∈[0,π2]，所以x +π3∈[π3,5π6]，2sin (x +π3)∈[12,1]即可求得结果．解：函数y =sinx +√3cosx =2sin (x +π3)， 因为x ∈[0,π2]，所以x +π3∈[π3,5π6]，2sin (x +π3)∈[1,2]， 所以函数的最小值为1，故答案为12．(2)本题考查平面向量的数量积运算，依题意得EA =EB =EC =ED =12BD =√2，∠AEC =1200，所以EA →⋅EC →=|EA →||EC →|cos∠AEC ，计算即可．解：依题意，△ABC 为等腰直角三角形，∠CBD =1200−450=750， ∠CDB =600−450=150，EA =EB =EC =ED =12BD =√2， 所以∠BCD =900，∠ECB =∠EBC =750， ∠BEC =300，∠AEC =1200，所以EA →⋅EC →=|EA →||EC →|cos∠AEC =√2×√2×(−12)=−1，故答案为−1．(3)本题考查指数函数的单调性及二次函数的图像与性质， 由A ={x|2x2−4<22x−2a ,x ∈Z}={1}，得x 2−2x −4+2a <0仅由一个整数解1，令f (x )=x 2−2x −4+2a ，则{f (0)=−4+2a ≥0f (1)=−5+2a <0f (2)=−4+2a ≥0，解不等式组即可．解：由A ={x|2x2−4<22x−2a ,x ∈Z}={1}，得x 2−2x −4+2a <0仅由一个整数解1，令f (x )=x 2−2x −4+2a ，则{f (0)=−4+2a ≥0f (1)=−5+2a <0f (2)=−4+2a ≥0，解得：2≤a <52， 故答案为[2,52)．(4)本题考查三角函数的图像与性质及函数零点问题，依题意，方程f(x)=a 在(0,π]上的所有解之和为4π3，2×4π3+2φ=3π，所以φ=π6，从而可得−1<a ≤12．解：令2x +φ=Χ,，x ∈(0,π],Χ∈(φ,φ+π],又φ∈(0,π)，所以在一个周期内Χ1+Χ22=3π2，2x 1+φ+2x 2+φ=3π，即2(x 1+x 2)+2φ=3π， 又方程f(x)=a 在(0,π]上的所有解之和为4π3，所以2×4π3+2φ=3π，所以φ=π6，从而可得−1<a ≤12． 故答案为(−1,12]16.答案：25125解析：解：若使植树活动持续时间最短，则两种树苗种植的时间和人数应该对应成比例， 150棵银杏树，一个家庭种植完需要的时间为150×25ℎ=60ℎ， 160棵紫薇树苗，一个家庭种植完需要的时间为160×35ℎ=96ℎ， 对应的时间比为60：96=5：8，则65个家庭分成这个比例进行分配，则A 组的家庭数为55+8×65=513×65=25， 活动持续的时间为6025=125ℎ，故答案为：25，125根据条件求出两种树苗种植的总时间，得到若使植树活动持续时间最短，则两种树苗种植的时间和人数应该对应成比例，建立比例关系进行求解即可．本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．考查学生的阅读和分析能力．17.答案：解：(1)∵π2<α<π，sin(π−α)=sinα=45，…(1分)∴cosα=−√1−sin 2α=−35，故tanα=sinαcosα=−43，…(3分) 由诱导公式可得sin(2π+α)tan(π−α)cos(−π−α)sin(3π2−α)cos(π2+α)=sinα⋅(−tanα)⋅(−cosα)−cosα⋅(−sinα)=tanα=−43；…(6分)(2)由题意得sinα=−2cosα， ∴tanα=sinαcosα=−2.…(7分)∴1+sin2θ−cos2θ1+sin2θ+cos2θ=sin 2θ+cos 2θ+2sinθcosθ−(cos 2θ−sin 2θ)sin 2θ+cos 2θ+2sinθcosθ+(cos 2θ−sin 2θ)…(9分) =2sin 2θ+2sinθcosθ2cos 2θ+2sinθcosθ=tan 2θ+tanθ1+tanθ …(11分)=tanθ =−2.…(12分)解析：(1)由已知及诱导公式，同角三角函数关系式可求cosα，tanα的值，利用诱导公式化简所求后即可得解；(2)根据任意角的三角函数的定义可求tanα，利用三角函数恒等变化化简所求后即可得解． 本题主要考查了诱导公式，同角三角函数关系式，三角函数恒等变化的应用，考查了计算能力，属于基础题．18.答案：解：(1)当a =12时，不等式即为x(12x −1)>12(x −1)，即为x 2−3x +1>0， 解得x >3+√52或x <3−√52，即不等式的解集为(−∞, 3−√52)∪(3+√52 ,+∞)．(2)不等式x(ax −1)>a(x −1)可化为：ax 2−(a +1)x +a >0， 显然当a =0时，不合题意， 因此应有{a >0Δ=[−(a +1)]2−4a 2<0, 解得a >1，故实数a 的取值范围是(1,+∞)．解析：本题考查了一元二次不等式的解法和不等式恒成立的问题，属于中档题． (1)当a =12时，根据一元二次不等式的解法，解得即可；(2)原不等式可化为ax 2−(a +1)x +a >0，需要分类讨论，显然当a =0时，不合题意，则a >0，Δ<0，解得即可．19.答案：解：(1)以C 为原点，CB ，CA 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，因为PQ =2RQ ，且QR ⊥AC ，所以Q 在直线y =2x 上． 又因为Q 在圆x 2+y 2=100上，所以Q(2√5,4√5)， 此时S =12PQ ⋅QR =12×2√5×4√5=20， 所以当λ=2且QR ⊥AC 时，S 的值为20平方米． (2)过Q 作QM ⊥AC ，垂足为M ，作QN ⊥BC ，垂足为N ， 所以△RMQ∽△PNQ ，且相似比为1：λ，所以x Q ：y Q =1：λ，又因为Q 在圆x 2+y 2=100上，代入计算可得x Q 2=1001+λ2，y Q 2=100λ21+λ2，设QR =x ，则QP =λx ，所以S =12QR ⋅QP =12λx 2，当R 与M 重合时，x 2=QM 2=1001+λ2，此时x 2取得最小值，所以S min =λ2⋅1001+λ2=50λ1+λ2，要使S始终不小于20平方米，则50λ1+λ2≥20，解得12≤λ≤2，所以λ的取值范围是[12,2]，答：要使S始终不小于20平方米，λ的取值范围为[12,2]，解析：(1)以C为原点，CB，CA所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，由Q在直线y=2x上．又Q在圆x2+y2=100上，解得Q的坐标，由三角形的面积公式可得所求值；(2)过Q作QM⊥AC，垂足为M，作QN⊥BC，垂足为N，由三角形的相似性质可得x Q：y Q=1：λ，考虑Q在圆x2+y2=100上，解得Q的坐标，当R与M重合时，可得S取得最小值，要使S始终不小于20平方米，可令S的最小值不小于20，解不等式可得所求范围．本题考查函数在实际问题中的运用，考查三角形的面积的求法，运用坐标法是解题的关键，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20.答案：解：(1)∵0<θ<π4，0<π3−θ<π4，∴π12<θ<π4，如图AP=20cosθ，AQ=20cos(π3−θ)，S△APQ=12AP⋅AQsinπ6=100cosθ⋅cos(π3−θ)，∴f(θ)=400100cosθ⋅cos(π3−θ)=4cosθ⋅cos(π3−θ)，θ∈[π12,π4]；(2)f(θ)=2cos2θ+2√3sinθcosθ=cos2θ+√3sin2θ+1=2sin(2θ+π6)+1，∵θ∈[π12,π4]∴π3<2θ+π6<23π，∴当2θ+π6=π2时，即θ=π6时，f(θ)max=3，答：当θ=π6时，f(θ)的最大值为3．解析：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用．考查了学生运用三角函数基础知识解决实际问题的能力．(1)首先求出θ的范围，然后分别表示出AP，AQ，和三角形APQ的面积，进而获得f(θ)的解析式；(2)对函数解析式利用两角和公式进行化简整理，利用θ的范围和三角函数的性质求得函数的最大值．21.答案：解：(1)由函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)的图象知，T=13π12−π12=π，即2πω=π，解得ω=2，∴f(x)=sin(2x+π6)；…(2分)(2)令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z，∴−2π3+2kπ≤2x≤π3+2kπ,k∈Z，解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z；∴函数f(x)的单调递增区间是[−π3+kπ,π6+kπ](k∈Z)；…(7分)(3)当0≤x≤2π3时，0≤2x≤4π3，π6≤2x+π6≤3π2；…(9分)∴函数f(x)的最小值是−1，…(11分)此时对应x=2π3.…(12分)解析：(1)由函数f(x)的图象求出T和ω的值即可；(2)关键正弦函数的单调性，求出函数f(x)的单调增区间；(3)求出0≤x≤2π3时函数f(x)的最小值以及对应x的值．本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是中档题．22.答案：解：(1)当a=1时，f(x)=|x−1|+|x+2|，故f(x)={2x+1,x>13,−2≤x≤1−2x−1,x<−2，①当x>1时，由2x+1≤5解得：x≤2，故1<x≤2，②当−2≤x≤1时，由3≤5得x∈R，故−2≤x≤1，③当x<−2时，由−2x−1≤5得x≥−3，故−3≤x<−2，综上，不等式的解集是[−3,2]；(2)f(x)=|x−a|+|x+2 a |≥|(x−a)−(x+2a )|=|a+2a|，当且仅当(x−a)(x+2a)≤0，即−2a ≤x≤a(a>0)或a≤x≤−2a(a<0)取“=”，故g(a)=|a+2a|，∵|a+2a |=|a|+|2a|≥2√|a|⋅|2a|=2√2，当且仅当|a|=|2a|，即a=±√2时取“=”，故g(x)min=g(±√2)=2√2．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．(1)求出a的值，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；(2)通过讨论x的范围，得到关于a的不等式，求出g(x)的最小值即可．。
2022-2023学年江苏省连云港市高一年级上册学期期末模拟数学试题(3)【含答案】
江苏省连云港市2022-2023学年第一学期期末高一数学综合试题（3）高一数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，则（ ）{}{}(2)0,1,0,1,2A x x x B =+≤=-A B = A.B.C.D.{}10-，{}0,1{}0,1,2{}1,0,1,2-【答案】A 【解析】【分析】先求出集合A ，再求交集.【详解】由{}[](2)020A x x x =+≤=-，又{}1,0,1,2B =-{}1,0A B ⋂=-故选：A【点睛】本题考查解二次不等式和集合的交集运算，属于基础题.2. 设，则“”是“”的x R ∈05x <<11x -<A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】求出的解集，根据两解集的包含关系确定.11x -<【详解】等价于，故推不出；11x -<02x <<05x <<11x -<由能推出．11x -<05x <<故“”是“”的必要不充分条件．05x <<|1|1x -<【点睛】充要条件的三种判断方法：(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据由p ，q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．3. 若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为x R ∃∈，()2110x a x ++<－a A. B. 13a ≤≤13a ≤≤－C. D. 33a ≤≤－11a ≤≤－【答案】B 【解析】【分析】若原命题为假，则否命题为真，根据否命题求的范围．a 【详解】由题得，原命题的否命题是“，使”，x ∀∈R ()2110x a x ++≥－即，解得．选B.2(1)40a ∆=--≤13a ≤≤－【点睛】本题考查原命题和否命题的真假关系，属于基础题．4. 若，则的大小关系是sin 46,cos 46,cos36a b c ===︒︒︒a b c 、、A. B. C. D.c a b >>a b c>>a c b>>b c a>>【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式以及余弦函数的单调性比较大小即可.【详解】cos(904sin 466)cos 44a ︒=︒-︒==︒因为函数在区间上单调递减，且cos y x =()0,π364446︒<︒<︒所以，即cos36cos 44cos 46︒>︒>︒c a b >>故选：A【点睛】本题主要考查了诱导公式的应用，余弦函数单调性的应用，属于中档题.5. 函数的图象关于直线对称，则的值是（ ）()()sin 20πy x ϕϕ=+≤≤π8x =ϕA. B. C. D. 0π4π2π【答案】B【分析】将代入得，解出，结合其范围即可得到答案.π8x =ππ2π,Z82k k ϕ⨯+=+∈ϕ【详解】由题意得,ππ2π,Z 82k k ϕ⨯+=+∈解得，ππ,Z4k k ϕ=+∈，时，，0πϕ≤≤ 0k ∴=π4ϕ=故选：B.6. 已知，则（ ）130.20.0121.5, 1.3,3a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭A. B. C. D.c a b >>b a c>>a c b>>b c a>>【答案】B 【解析】【分析】确定，，，得到大小关系.1a <15132233a c ⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1b >【详解】，，0.201.51.51a -=<=1510.230.23221.5233a c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫===>= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，0.0101.3 1.31b =>=故.b ac >>故选：B7. 若－4<x <1，则（ ）22222x x x -+-A. 有最小值1 B. 有最大值1C. 有最小值－1 D. 有最大值－1【答案】D 【解析】【分析】先将转化为，根据－4<x <1，利用基本不等式求解.22222x x x -+-11[(1)]21x x -+-【详解】22211[(1)2221x x x x x -+=-+--又∵－4<x <1，∴x －1<0．∴－(x －1)>0．∴．当且仅当x －1＝，即x ＝0时等号成立．11[(1)]12(1)x x ---+≤---11x -故选：D【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.8. 已知函数 在上对任意的都有1(2)12()2x a x x f x a x --+<⎧=⎨≥⎩()∞+∞－，12x x ≠成立，则实数a 的取值范围是1212()()f x f x x x ->-A. B. C. D. 5(1,]35[,2)3(1,2)(0,)+∞【答案】B 【解析】【分析】由题意知函数是R 上的单调递增函数，利用增函数的性质建立不等式，求()f x 出a 的取值范围即可．【详解】因为在R 上对任意的都有成立，可以知道函数12x x ≠()()1212f x f x x x ->-是R 上单调递增函数，()f x 则函数满足，解得.()21201221a a a a -⎧->⎪>⎨⎪≥-+⎩523a ≤<故选为B.【点睛】本题考查了函数的单调性，及指数函数与一次函数的性质，属于中档题．二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9. 下列说法正确的是（）A. “”是“”的充分不必要条件ac bc =a b =B. “”是“”的既不充分也不必要条件11a b >a b <C. 若“”是“”的充分条件，则x A ∈x B ∈A B ⊆D. “”是“”的充要条件0a b >>(),2n n a b n N n >∈≥【答案】BC 【解析】【分析】A ．根据互相推出的情况分析属于何种条件；B ．举例说明；C ．根据充分条件的推出情况说明；D ．举例说明.【详解】A ．不能推出，比如，而可以推出，ac bc =a b =1,2,0a b c ===a b =ac bc =所以“”是“”的必要不充分条件，故错误；ac bc =a b =B ．不能推出，比如，但是；不能推出，比如11a b >a b <1123>-23>-a b <11a b >，，23-<1123<-所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故正确；11a b >a b <C ．因为“”是“”的充分条件，所以可以推出，即，故正x A ∈x B ∈x A ∈x B ∈A B ⊆确；D ．不能推出，比如，(),2n n a b n N n >∈≥0a b >>1,0a b ==满足，但是不满足，所以必要性不满足，故错误；()10,2n n n N n >∈≥0a b >>故选：BC.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，主要考查学生的逻辑推理能力，难度一般.判断充分条件、必要条件时，要注意“小范围推出大范围”.10. （多选题）下列命题为真命题的为（）A.2,10x x x ∀∈++>R B. 当时，0ac >20x bx c ∃∈+-=R,ax C.成立的充要条件是x y x y-=+0xy ≥D. “”是“”的必要不充分条件23x -<<()()2224230xx x x -+--<【答案】ABD 【解析】【分析】对A 利用全称命题判断；对B 利用特称命题判断；对C 利用充要条件分析判断；对D 利用必要不充分条件分析判断得解.【详解】对于A ，由于，所以A 正确；30∆=-<对于B ，由于，所以，所以方程有实数根，故B0ac >240b ac ∆=+>20ax bx c +-=正确；对于C ，由，得，整理得，所以，x y x y-=+()22x y x y -=+xy xy-=0xy ≤故成立的充要条件是错误，故C 错误；x y x y-=+0xy ≥对于D ，因为，所以等价()2224130x x x --=-+>()()2224230x x x x -+--<于，由，可得，所以“”是“2230x x --<2230x x --<13x -<<23x -<<”的必要不充分条件，所以D 正确.()()2224230xx x x -+--<故选ABD【点睛】本题主要考查全称命题和特称命题的真假的判断，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11. 已知关于的不等式，下列说法正确的是（ ）x 230ax bx ++>A. 不等式的解集可能是230ax bx ++>{}3x x >B. 不等式的解集不可能是230ax bx ++>R C. 不等式的解集可能是230ax bx ++>∅D. 不等式的解集可能是230ax bx ++>{}13x x -<<【答案】D 【解析】【分析】利用假设法以及根与系数的关系可判断AD 选项的正误，利用二次不等式恒成立可判断B 选项的正误，取可判断C 选项的正误.0x =【详解】对于A 选项，若不等式的解集是，则，且230ax bx ++>{}3x x >0a =，解得，330b +=1b =-故原不等式为，解得，与题设条件矛盾，假设不成立，A 错；30x -+>3x <对于B 选项，当时，不等式的解集为，B 错；20120a b a >⎧⎨∆=-<⎩230ax bx ++>R 对于C 选项，由于满足，故不等式的解集不可能为0x =230ax bx ++>230ax bx ++>，C 错；∅对于D 选项，若不等式的解集为，230ax bx ++>{}13x x -<<则关于的二元一次方程的两根分别为、，x 230ax bx ++=1-3所以，解得，31313a b a ⎧-⨯=⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩12a b =-⎧⎨=⎩则原不等式为，即，解得，合乎题意，D 对.2230x x -++>2230x x --<13x -<<故选：D.12. 设正实数满足，则下列说法正确的是m n 、2m n +=A.的最大值为12m n +12的最小值为2 D. 的最小值为222m n +【答案】ABD 【解析】【分析】利用基本不等式性质和“乘1法”逐项排除，注意等号成立的条件.【详解】选项，正实数满足A m n 、2m n +=1211212()((3)22nm m n m n mn m n∴+=++=++1(32≥+=2n m m n =当且仅当时，等号成立，故正确；2nm mn =A 选项，由且，B 2m n+=0,0m n >>12m n+≤=当且仅当，故正确；1m n ==12≤B得，Cn +=0,0m n >>222+=222]4∴≤+=，故错误；2+≤C 选项，，故正确.D 222()22m n m n ++≥=D 故选：.ABD 【点睛】本题注意考查基本不等式的性质、“乘1法”.0,0)a b a b +≥>>三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 集合＝{1，2，a ，a 2－3a －1}，＝{－1，3}，若3∈且，则a 的取值M N M N M为________．【答案】4【解析】【分析】根据元素与集合的关系和集合之间的关系,分情况判断即可.【详解】因为3∈M ，所以或，因此或或；3a =2313a a --=3a =4a =1a =-当时，，不满足题意，舍去；3a ={1,2,3,1},M N M =-⊆当时，，满足题意；4a ={1,2,3,4},M N M = 当时，，不满足题意，舍去；1a =-{1,2,3,1},M N M =-⊆故答案为:4.14. 已知，则______________.()2212f x x x+=-()9f =【答案】8【解析】【分析】先用换元法求出函数解析式，再计算函数值．【详解】，则，代入得：21x t +=12t x -=()2212f x x x +=-，∴，22111()()2(65)224t t f t t t --=-⨯=-+2135()424f x x x =-+∴．2135(9)998424f =⨯-⨯+=故答案为：8．【点睛】本题考查求函数解析式，求函数值，解题方法是换元法．另解：令，219x +=则，∴．4x =2(9)4248f =-⨯=15. 函数是上的减函数，则实数的取值范围是()222,11,1x ax a x f x ax x ⎧-+-≥=⎨+<⎩(),-∞+∞a ______.【答案】20a -≤<【解析】【分析】分段函数是上的减函数，只需满足在上是减函数，且(),-∞+∞[)(,1),1,-∞+∞即可.11a +≥-【详解】因为是上的减函数，()222,11,1x ax a x f x ax x ⎧-+-≥=⎨+<⎩(),-∞+∞所以是减函数，是减函数，1,1y ax x =+<222,1y x ax a x =-+-≥且，11a +≥-即，0111a a a <⎧⎪≤⎨⎪+≥-⎩解得，20a -≤<故答案为：20a -≤<【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性，注意分界点处的处理是关键，属于中档题.16. 已知正实数x ，y 满足，则的最小值为___________.24xy x y ++=x y +【答案】##3-3-+【解析】【分析】由条件可得且，利用基本不等式求解即可24xy x y ++=421xy x -=+02x <<【详解】由得，24xy x y ++=421x y x -=+又，为正实数，所以，得，x y 4201xy x -=>+02x <<则，()216421111x xx y x x x x -++-+=+=++-++，613331x x =++-≥=-+当且仅当,即时取等号，611xx =++1x =所以的最小值为，x y +3-故答案为：3-四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.计算：（1）22333(2020)((3)28--+⋅+（2）解不等式：211(273x -≥【答案】（1；（2）.1{}1x x ≤-【解析】【分析】（1）利用指数的运算性质直接计算即可；（2）利用指数函数的单调性求解即可.【详解】（1）22333(2020)()(3)28--+⋅+2233231((())132=+⨯+-491194=+⨯+1=（2）由，得211(273x -≥12333x-≥又因为是增函数，，解得.3xy =123x -≥1x ≤-所以解集为{}1x x ≤-18. 已知全集，集合，，U =R {}260A x x x =+-≥{}16B x x =<<．{}12C x m x m =+<<（1）求；()UA B ⋂ （2）若，求实数的取值范围．C B ⊆m 【答案】（1）；（2）.(){}U12A B x x ⋂=<< (],3-∞【解析】【分析】（1）先求得集合A ，再由集合的补集运算和交集运算可求得答案；（2）分集合C 为空集和不是空集两种情况分别建立不等式（组），可求得所求的范围.【详解】解：（1）或，所以{}{2603A x x x x x =+-≥=≤-}2x ≥，{}U 32A x x =-<< 所以．(){}U12A B x x ⋂=<<（2）①当时，满足，即，解得．C =∅C B ⊆12m m +≥1m £②当时，因为，所以C ≠∅C B ⊆，即，121126m m m m +<⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩13m <≤综上，实数的取值范围为．m (],3-∞19. 已知不等式的解集是．2520ax x +->M （1）若，求的取值范围；2M ∈a （2）若，求不等式的解集．122M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭22510ax x a -+->【答案】（1）；（2）．2a >-132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）将代入不等式，满足不等式求解即可.2（2）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，利用韦达定理求出，将代入不2a =-a 等式求解即可.【详解】（1）∵，∴，∴2M ∈225220a ⨯+⨯->2a >-（2）∵，∴是方程的两个根，122M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭1,222520ax x +-=∴由韦达定理得，解得，15221222a a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩2a =-∴不等式，即为：，22510ax x a -+->22530x x --+>其解集为．132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查了由一元二次不等式的解集求参数值、一元二次不等式的解法，考查了考生的基本运算能力，属于基础题.20. 已知，命题：，不等式恒成立；命题：m ∈R p 01x ∀≤≤2223x m m -≥-q ，使得成立.11x ∃-≤<m ax ≤（1）若为真命题，求的取值范围；p m （2）当时，若和一真一假，求实数的取值范围.1a =q p m【答案】（1）；（2）.[]1,2()(],11,2-∞ 【解析】【分析】（1）转化为，可求得，代入解不等式即得解；()2min 3f x m m ≥-()min 2f x =-（2）当时，若为真命题，即，分真假，假真两种情况讨论1a =q max ()1m x ≤=p q p q 即可.【详解】（1）对任意，不等式恒成立，[]0,1x ∈2223x m m -≥-令（），则，()22f x x =-[]0,1x ∈()2min 3f x m m ≥-当时，，即，解得.[]0,1x ∈()()min 02f x f ==-232m m -≤-12m ≤≤因此，当为真命题时，的取值范围是.p m []1,2（2）当时，若为真命题，则存在，使得成立，所以；故当1a =q []1,1x ∈-m x ≤1m £命题为真时，.q1m £又，中一个是真命题，一个是假命题.p q当真假时，由，得；p q 121m m ≤≤⎧⎨>⎩12m <≤当假真时，由或，且，得.p q 1m <m>21m £1m <综上所述，的取值范围为.m ()(],11,2-∞ 21. 动物园需要用篱笆围成两个面积均为50 的长方形熊猫居室，如图所示，以墙为一2m 边（墙不需要篱笆），并共用垂直于墙的一条边，为了保证活动空间，垂直于墙的边长不小于2m ，每个长方形平行于墙的边长也不小于2m ．（1）设所用篱笆的总长度为l ，垂直于墙的边长为x ．试用解析式将l 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得所用篱笆的总长度最小？篱笆的总长度最小是多少？【答案】（1），.（2时，所用篱笆的总长1003l x x =+[2]25，度最小，最小为m.【解析】【分析】（1）由题意得每个长方形平行于墙的边长，表示出；由且，可得50x l 2x 502x 函数的定义域；（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的篱笆的总长度最小，从而求解．【详解】（1）由题得每个长方形平行于墙的边长，50x 则，1003l x x =+且，2x 502x ，225x ∴ 所以函数的定义域为，；[225]（2），即1003l x x =+= 1003x x =x =时，所用篱笆的总长度最小，篱笆的总长度最小是．【点睛】此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法．22. 已知函数，．()225f x x ax =-+[]1,2x ∈-（1）当时，求的最值；4a =()f x （2）若的最小值为，求实数的值．()f x 5-a 【答案】（1），；()max 11f x =()min 3=f x （2）或.9a =12a =-【解析】【分析】（1）把代入后结合二次函数在区间上的单调性即可求解最值；4a =[]1,2-（2）由已知结合对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论进而求解即可.【小问1详解】时，，4a =()2245f x x x =-+[]1,2x ∈-()()()22225213f x x x x ∴=-+=-+关于对称，()f x \1x =当时，单调递减，当时，单调递增．()1,1x ∈-()f x ()1,2x ∈()f x，，()()21211311f -=⋅--+=()()2222135f =⋅-+=()()min 1 3.f x f ==∴．()()max 111f x f =-=()()min 1 3.f x f ==【小问2详解】，()222252548a a f x x ax x ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭[]1,2x ∈-对称轴为，函数图象开口向上， 4a x =①当时，在上单调递增，14a <-()f x []1,2-所以，即，∴；()1417+5a f a ⎧<-⎪⎨⎪-==-⎩412a a <-⎧⎨=-⎩12a =-②当时，在上单调递减，在上单调递增，124a -≤≤()f x 1,4a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,24a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，即，无解；21245548a a a f ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-=- ⎪⎪⎝⎭⎩248558a a -≤≤⎧⎪⎨-=-⎪⎩③当时，在上单调递减，24a >()f x []1,2-所以，即，∴，()2421325a f a ⎧>⎪⎨⎪=-=-⎩89a a >⎧⎨=⎩9a =综上，当时，或．()min 5f x =-9a =12a =-。
2023届连云港市重点中学数学高一上期末考试试题含解析
对于兔子，其运动过程分三段：开始跑的快,即速度大，所以路程增加的快；中间由于睡觉，速度为零，其路程不变；醒来时追赶乌龟，速度变大，所以路程增加的快；
但是最终是乌龟到达终点用的时间短.
13、
【解析】求出函数 的周期即可求解.
【详解】根据题意， 为偶函数，即函数 图象关于直线 对称，
则有 ，又由 为奇函数，则 ，
则有 ，即 ，即函数 是周期为4的周期函数，
所以 ，
故答案为：
14、 .
【解析】先求圆锥底面圆的半径，再由直角三角形求得圆锥的高，代入公式计算圆锥的体积即可。
【详解】设圆锥底面半径为r，
故选：C
6、C
【解析】①由题意得出AO⊥BC，BO⊥BC，点O是△ABC的垂心；
②若PA=PB=PC，则AO=BO=CO，点O是△ABC的外心；
③由题意得出AO是∠BAC的平分线，BO是∠ABC的平分线，O是△ABC的内心；
④若PE=PF=PG，则OE=OF=OG，点O是△ABC的内心
【详解】对于①，PO⊥底面ABC，∴PO⊥BC，又PA⊥BC，
C. D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．已知 是定义在 上 奇函数，且函数 为偶函数，当 时， ，则 ______
14．一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为 的扇形，则该圆锥的体积为________.
15．在 中， ， ， 与 的夹角为 ，则 _____
【点睛】本题主要考查函数的最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1） 只需 ；（2） ，只需 ；（3） ， 只需 ；（4） ， ， .
2021-2022学年江苏省连云港市高一上学期期末调研(二)数学试题(解析版)
2021-2022学年江苏省连云港市高一上学期期末调研（二）数学试题一、单选题1．已知集合{}|13A x x =≤≤，{}|24B x x =<<，U =R ，则()UA B =（ ）A ．{}|23x x <≤B ．{}|12x x ≤<C ．{|3x x ≤或}4x ≥D ．{}|24x x ≤<【答案】C【分析】根据并集与补集的概念求解即可 【详解】因为{}|24B x x =<<，U =R ， 所以{|2UB x x =≤或}4x ≥，所以{|3U A B x x ⋃=≤或}4x ≥． 故选：C ．2．设命题2:,2n P n N n ∃∈>，则P ⌝为 A ．2,2n n N n ∀∈> B ．2,2n n N n ∃∈≤ C ．2,2n n N n ∀∈≤ D ．2,2n n N n ∃∈=【答案】C【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2n n N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C. 3．若π02α-<<，则点(cos ,sin )Q αα位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【详解】试题分析：0,cos 0,02sin πααα-<∴<，故点Q 在第四象限.【解析】1.三角函数值得符号；2，点在平面直角坐标系中所在象限. 4．函数22812y x x =--的最大值是（ ） A ．7 B ．7-C ．9D ．9-【答案】B【分析】函数化简得2222881212y x x x x ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭，然后利用基本不等式求解即可 【详解】由题意可得函数的定义域为{}0x x ≠，则20x >， 所以22222288812121227y x x x x x x ⎛⎫=--=-+≤-⋅=- ⎪⎝⎭， 当且仅当2282x x =，即2x =±时，取等号， 所以函数22812y x x=--的最大值是7-， 故选：B5．已知322,log 3,3a b c ===，则（ ） A ．b<c<a B ．b a c << C ．c<a<b D ．a b c <<【答案】A【分析】根据函数的图象，可得答案.【详解】在同一直角坐标系中画出22,,log xy y x y x ===的图象如下：所以33l 32og >>故选：A ．6．函数f(x)=|x-2|-lnx 在定义域内零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【详解】分别画出函数y ＝ln x(x>0)和y ＝|x －2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.7．某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是0e tλμμ-=，其中0,μλ是正常数．经检测，当2t =时，00.9=u μ，则当稳定性系数降为00.5μ时，该种汽车已使用的年数为（ ）(结果精确到1，参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈) A ．10年 B ．11年 C ．12年 D ．13年【答案】D【分析】根据0e tλμμ-=，当2t =时00.9=u μ，00.5μ，得0.5(0.9)t =即可解决.【详解】由()220000.9e e t λμμμ--==，得0.9e λ-=， 令()000.5e tλμμ-=，得0.5(0.9)t =， 两边取常用对数，得 lg 0.5lg 0.92t=，所以2lg 21312lg 3t =≈-． 故选:D.8．对于实数x ，符号[x]表示不超过x 的最大整数，例如[π]=3，[﹣1.08]=﹣2，定义函数f （x ）=x ﹣[x]，则下列命题中正确的是①函数f （x ）的最大值为1； ②函数f （x ）的最小值为0； ③方程()()12G x f x =-有无数个根； ④函数f （x ）是增函数．A ．②③B ．①②③C ．②D ．③④【答案】A【分析】本题考查取整函数问题，在解答时要先充分理解[x]的含义，根据解析式画出函数的图象，结合图象进行分析可得结果．【详解】画出函数f (x )=x −[x ]的图象，如下图所示．由图象得，函数f (x )的最大值小于1，故①不正确； 函数f (x )的最小值为0，故②正确；函数每隔一个单位重复一次，所以函数()()12G x f x =-有无数个零点，故③正确；函数f (x )有增有减，故④不正确． 故答案为②③．【点睛】本题难度较大，解题的关键是正确理解所给函数的意义，然后借助函数的图象利用数形结合的方法进行求解．二、多选题9．若,,R a b c ∈，a b >，且0ab ≠，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b <B ．2211ab a b> C ．2211a bc c >++ D ．a c b c >【答案】BC【分析】取特殊值，可判断A 、D 项；根据不等式的性质可判断B 、C 项. 【详解】取1a =，2b =-，则11a=，112b =-，显然a b >，但是11a b >，A 项错误；因为0ab ≠，所以220a b >，2210a b>，又a b >，所以有222211a b a b a b ⋅>⋅，即2211ab a b >成立，B 项正确； 显然2101c >+，因为a b >，所以有221111a b c c ⋅>⋅++，即2211a b c c >++成立，C 项正确；取0c ，则a c b c =，D 项错误. 故选：BC.10．下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是（ ） A ．e e x x y -=- B ．22y x x =-C ．y ＝x ＋cos xD ．y【答案】AC【分析】判定e e x x y -=-的单调性判断选项A ；求得22y x x =-在(0，＋∞)上的减区间否定选项B ；利用导函数判定y ＝x ＋cos x 的单调性判断选项C ；求得y D. 【详解】∵e x y =与e x y -=-为R 上的增函数，∴e e x x y -=-为R 上的增函数，故A 正确；由2222,2022,02x x x x y x x x x x ⎧-≥≤=-=⎨-+<<⎩或，可得22y x x =-在(0，＋∞)上的减区间为()1,2，则22y x x =-在(0，＋∞)上不单调递增.故B 不正确；对于选项C ，y ′＝1－sin x ≥0，∴y ＝x ＋cos x 在R 上为增函数，故C 正确； y ＝22x x +-的定义域为(－∞，－2][1，＋∞)，故D 不正确． 故选：AC ．11．设函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[0,2]π内有且仅有2个零点，则下列结论成立的有（ ）A ．函数()1y f x =+在(0,2)π内没有零点B ．()1y f x =-在(0,2)π内有且仅有1个零点C ．()f x 在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．ω的取值范围是59,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】BCD【分析】利用"五点法"画出草图，再结合图像逐项分析，即可判断. 【详解】如图，由函数()f x 的草图可知A 选项不正确，B 选项正确；若函数()f x 在[0,2]π有且有2个零点，则59244πππωω<，得5988ω<，当20,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 2,,443442t x ππππππωω⎛⎫⎛⎫=-∈--⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时函数单调递增，故CD 正确. 故选：BCD12．关于函数1()sin sin f x x x=+有如下四个命题，其中正确的是（ ） A ．()f x 的图象关于y 轴对称 B ．()f x 的图象关于原点对称 C ．()f x 的图象关于直线π2x =对称 D ．()f x 的图象关于点(π，0)对称【答案】BCD【分析】求得()f x 的奇偶性判断选项AB ；利用π()2f x -与π()2f x +是否相等判断选项C ；利用(2π)f x +与()f x --是否相等判断选项D.【详解】∵1()sin sin f x x x=+的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z}，()()11()sin sin ()sin sin f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭∴()f x 为奇函数，其图象关于原点对称.故A 错误，B 正确； ∵ππ11()sin cos π22cos sin 2f x x x x x ⎛⎫-=-+=+⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭ππ11()sin cos π22cos sin 2f x x x x x ⎛⎫+=++=+⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭∴ππ()()22f x f x -=+，∴()f x 的图象关于直线π2x =对称，故C 正确；又()()11(2π)sin 2πsin sin 2πsin f x x x x x+=++=++()()11()sin sin sin sin f x x x x x-=-+=-+--，∴(2π)()f x f x +=--，∴()f x 的图象关于点(π，0)对称，故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题13．已知sin 2cos 3sin 5cos αααα-+＝－5，那么tan α＝________.【答案】－2316【分析】由已知得tan 23tan 5αα-+＝－5，化简即得解.【详解】易知cos α≠0，由sin 2cos 3sin 5cos αααα-+＝－5，得tan 23tan 5αα-+＝－5，解得tan α＝－2316. 故答案为：－2316【点睛】本题主要考查同角的商数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．方程()255log (21)log 2x x +=-的解为___________．【答案】3【分析】根据对数的运算及性质可得2212x x +=-，且2>02x -，21>0x +即可求解．【详解】由()255log (21)log 2x x +=-得2212x x +=-，且2>02x -，21>0x +，即2230x x --=，所以()()130x x +-=，解得=1x -或3x =， 检验：当=1x -，210202x x <+-<，，不满足真数大于0，故舍去， 当3x =，21>2>020x x +-，，所以方程()255log (21)log 2x x +=-的解为：3x =．故答案为：315．设a ，b ∈R ，则“220a b +=”的充要条件是__________. 【答案】0a b【分析】根据充要条件的概念求解即可.【详解】解：因为a ，b ∈R ，若220a b +=，则220a b ==，即0a b ； 若0a b ，则220a b +=，所以“220a b +=”的充要条件是“0a b ”. 故答案为：0a b16．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度为θ0 ℃，则t 分钟后物体的温度θ(单位： ℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e －kt .若常数k ＝0.05，空气温度为30 ℃，某物体的温度从90 ℃下降到50 ℃，大约需要的时间为________分钟.(参考数据：ln 3≈1.1) 【答案】22【分析】解方程50＝30＋(90－30)e －0.05t 即得解. 【详解】解：由题知θ0＝30，θ1＝90，θ＝50， ∴50＝30＋(90－30)e －0.05t ， ∴e －0.05t ＝13，∴－0.05t ＝ln 13，∴0.05t ＝ln 3， ∴t ＝ln 30.05＝20×ln 3≈22. 故答案为：22四、解答题17．已知集合{}12|M x x =<<，集合{}|34=<<N x x ． (1)求RR,N M N ⋂；(2)设{}|2=<<+A x a x a ，若R R A N ⋃=，求实数a 的取值范围． 【答案】(1){R 3N x x ≤，或}4x ≥，{}R 12M N x x ⋂=<< (2)[]2,3【分析】（1）根据集合的运算，画数轴解决即可；（2）根据集合的并集，画数轴解决即可. 【详解】（1）由题得，集合{}12|M x x =<<，集合{}|34=<<N x x 所以{R3N x x ≤或}4x ≥，所以{}R 12M N x x ⋂=<<.（2）由（1）得{R 3N x x =≤或}4x ≥ 由题得，{}|2=<<+A x a x a ， 因为R R A N ⋃=，所以324a a ≤⎧⎨+≥⎩，解得23a ≤≤．所以实数a 的取值范围是[]2,3．18．（1）已知1sin cos 5αα+=，若α是第二象限角，求sin cos αα-的值；（2）计算：2log 5112-⎛⎫⎪⎝⎭．【答案】（1）7sin cos 5αα-=；（2）25 ．【分析】（1）将7sin cos 5αα-=平方求得242sin cos 25αα=-，再求2(sin cos )αα-的值，根据角所在象限可得结果；（2）直接利用指数与对数运算求解即可.【详解】（1）因为2221(sin cos )sin cos 2sin cos 12sin cos 25αααααααα+=++=+=， 所以242sin cos 25αα=-， 所以()2222449sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 12525αααααααα-=+-=-=+=， 所以7sin cos 5αα-=±．又因为α是第二象限角，所以sin 0α>，cos 0α<，所以7sin cos 5αα-=． （2）2log 5112-⎛⎫ ⎪⎝⎭221log 5log 522225-===． 19．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-． （1）求函数()f x 在(,0)x ∈-∞的解析式； （2）当0m >时，若|()|1f m =，求实数m 的值．【答案】（1）2()2f x x x =+；（2）1或1【分析】（1）根据偶函数的性质，令(,0)x ∈-∞，由()()f x f x =-即可得解；（2）0m >，有221m m -=，解方程即可得解.【详解】（1）令(,0)x ∈-∞，则(0,)x -∈+∞， 由()()f x f x =-，此时2()2f x x x =+；（2）由0m >，2|()|21f m m m =-=，所以221m m -=±，解得1m =或1m =1m =.20．甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.（1）若两次购买这种物品的价格分别为6元，4元，求甲两次购买这种物品平均价格和乙两次购买这种物品平均价格分别为多少；（2）设两次购买这种物品的价格分别为a 元，b 元(0,0)a b >>，问甲、乙谁的购物比较经济合算. 【答案】（1）5，245；（2）乙的购物比较经济合算 . 【分析】（1）首先设甲每次购买这种物品的数量为m ，乙每次购买这种物品所花的钱数为n ，再分别计算甲、乙的平均价格即可.（2）首先分别算出甲、乙的平均价格，再作差比较即可.【详解】（1）设甲每次购买这种物品的数量为m ，乙每次购买这种物品所花的钱数为n ，所以甲两次购买这种物品平均价格为，645m mm m+=+，乙两次购买这种物品平均价格为，224564nn n=+.（2）设甲每次购买这种物品的数量为m ，乙每次购买这种物品所花的钱数为n ， 所以甲两次购买这种物品平均价格为，2am bm a bm m ++=+，乙两次购买这种物品平均价格为22nabn n a b a b=++，22222()42()022()2()2()a b ab a b ab a b ab a b a b a b a b a b ++-+---===≥++++， 所以乙的购物比较经济合算.21．若不等式2(1)460a x x 的解集是{31}x x -<<． (1)解不等式22(2)0x a x a ；(2)b 为何值时，230ax bx ++≥的解集为R ． 【答案】(1){1x x <-或}32x >(2)[]6,6-【分析】（1）由题意可得3-和1是方程2(1)460a x x 的两个根，则有43116311aa ⎧-+=⎪⎪-⎨⎪-⨯=⎪-⎩，求出a 的值，然后解不等式22(2)0x a x a 即可，（2）由（1）可知2330x bx ++≥的解集为R ，从而可得0∆≤，进而可求出b 的取值范围【详解】（1）由题意得3-和1是方程2(1)460a x x 的两个根，则有43116311aa ⎧-+=⎪⎪-⎨⎪-⨯=⎪-⎩，解得3a =，所以不等式22(2)0x a x a 化为2230x x -->，(1)(23)0x x +->， 解得1x <-或32x >， 所以不等式的解集为{1x x <-或}32x >（2）由（1）可知2330x bx ++≥的解集为R ， 所以24330b ∆=-⨯⨯≤，解得66b -≤≤， 所以b 的取值范围为[]6,6-22．在①函数3f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数；②当3x π=时，()f x =③23π是函数()f x 的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答，已知函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，()f x 的图象相邻两条对称轴间的距离为π，______.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间.【答案】（1）选条件①②③任一个，均有()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）选条件①②③任一个，函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间均为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）由相邻两条对称轴间的距离为π，得到ω；再选择一个条件求解出ϕ；（2）由（1）解得的函数，根据复合函数的单调性得到单调区间.【详解】解： 函数()f x 的图象相邻对称轴间的距离为π，22T ππω∴==，1ω∴=，()()2sin f x x ϕ∴=+.方案一：选条件①2sin 33f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为奇函数，2sin 033f ππϕ⎛⎫⎛⎫∴-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得：3k πϕπ=+，Z k ∈.（1）02πϕ<<，3πϕ∴=，()2sin 3f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭； （2）由22232k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈，得52266k x k ππππ-+≤≤+，Z k ∈， ∴令0k =，得566x ππ-≤≤，令1k =，得71366x ππ≤≤， ∴函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 方案二：选条件②2sin 33f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 3πϕ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， 2k ϕπ∴=，Z k ∈或23k πϕπ=+，Z k ∈， （1）02πϕ<<，3πϕ∴=，()2sin 3f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭； （2）由22232k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈，得52266k x k ππππ-+≤≤+，Z k ∈， ∴令0k =，得566x ππ-≤≤，令1k =，得71366x ππ≤≤， ∴函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 方案三：选条件③ 23π是函数()f x 的一个零点，222sin 033f ππϕ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 23k πϕπ∴=-，Z k ∈. （1）02πϕ<<，3πϕ∴=，()2sin 3f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭； （2）由22232k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈，得52266k x k ππππ-+≤≤+，Z k ∈ ∴令0k =，得566x ππ-≤≤，令1k =，得71366x ππ≤≤. ∴函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题以一个相对开放的形式考查三角函数的性质，要求解ω的值，即要找出周期，求ϕ常见方法是代入一个点即可.。
2020-2021学年江苏省连云港市高一(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年江苏省连云港市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．若命题p：∃x∈R，x2+2x+1≤0，则命题p的否定为（）A．∃x∉R，x2+2x+1＞0B．∃x∈R，x2+2x+1＜0C．∀x∉R，x2+2x+1＞0D．∀x∈R，x2+2x+1＞02．若集合M＝{x|x2＜1}，N＝{x|0≤x＜2}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|0≤x＜1}C．{x|0＜x＜1}D．{x|﹣1＜x＜0} 3．cos（﹣）＝（）A．B．C．D．4．某班45名学生中，有围棋爱好者22人，足球爱好者28人，则同时爱好这两项的人最少有（）A．4人B．5人C．6人D．7人5．已知a＝30.2，b＝log30.3，c＝0.30.2，（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a6．在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如表一组数据：x123458y0.5 1.5 2.08 2.5 2.82 3.5在四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+b x C．y＝a+log b x D．y＝a+7．函数f（x）＝•sin x的部分图象大致为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）是定义在R上的增函数，A（0，﹣1），B（3，1）是其图象上的两点，那么|f（2sin x+1）|≤1的解集为（）A．{x|kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z}B．{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}C．{x|kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z}D．{x|2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z}二、选择题（共4小题）.9．下列结论正确的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a＞|b|，则a2＞b2C．若a＞b＞0，则＞D．若a＜|b|，则a2＜b210．若x＞0，y＞0，n≠0，m∈R，则下列各式中，恒等的是（）A．lgx+lgy＝lg（x+y）B．lg＝lgx﹣lgyC．log xn y m＝log x y D．lgx＝11．一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则（）A．点P第一次到达最高点需要20秒B．当水轮转动155秒时，3．点P距离水面2米C．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为h＝4sin（t+）+2 12．已知函数f（x），x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），对于任意的x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（xy）＝f（x）+f（y），则（）A．f（x）的图象过点（1，0）和（﹣1，0）B．f（x）在定义域上为奇函数C．若当x＞1时，有f（x）＞0，则当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0D．若当0＜x＜1时，有f（x）＜0，则f（x）＞0的解集（1，+∞）三、填空题（共4小题，每小题,5分，满分20分）13．已知函数f（x）＝，x＞1，则f（f（1））＝．14．函数f（x）＝3sin（2x﹣）的减区间是．15．若函数f（x）＝x2+ax﹣在区间（﹣1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是．16．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为P＝P0•e kt，其中e是自然对数的底数，k为常数，（P0为原污染物总量）．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，则k＝；要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为．（参考数据：log52≈0.43）四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在①角α的终边经过点P（4m，﹣3m）（m≠0）；②tan（﹣α）＝；③3sinα+4cosα＝0这三个条件中任选一个，求sin2α﹣sinαcosα﹣2cos2α的值．18．已知集合A＝{x|log2（x﹣1）≤2}，集合．B＝{x|x2﹣2ax+a2﹣1≤0}，其中a∈R．（1）若a＝1，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围．19．受疫情的影响及互联网经济的不断深化，网上购物已经逐渐成为居民购物的新时尚，为迎接2021年“庆元旦”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在“庆元旦”网购狂欢节的销售量p（万件）与促销费用x（万元）满足p＝3﹣（其中0≤x≤10），已知生产该产品还需投入成本（10+2p）万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为（6+）元，假定厂家的生产能力能满足市场的销售需求．（1）将该产品的利润y（万元）表示为促销费用x（万元）的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润．20．已知函数f（x）＝﹣2cos2x﹣a sin x﹣a+1（a∈R）的最小值为g（a），且g（a）＝．（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的最大值，并求此时x的取值集合．21．已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数f（x）图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4个单位长度，所得图象的函数为g（x），若不等式g（x）﹣m≤0在x∈[0，6]恒成立，求实数m的取值范围．22．已知a∈R，函数f（x）＝log2（+a）．（1）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过2，求a的最小值；（2）若关于x的方程f（）﹣log2[（a﹣2）x+3a﹣5]＝0的解集中恰好只有一个元素，求a的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．若命题p：∃x∈R，x2+2x+1≤0，则命题p的否定为（）A．∃x∉R，x2+2x+1＞0B．∃x∈R，x2+2x+1＜0C．∀x∉R，x2+2x+1＞0D．∀x∈R，x2+2x+1＞0解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x∈R，x2+2x+1＞0，故选：D．2．若集合M＝{x|x2＜1}，N＝{x|0≤x＜2}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|0≤x＜1}C．{x|0＜x＜1}D．{x|﹣1＜x＜0}解：∵M＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{x|0≤x＜2}，∴M∩N＝{x|0≤x＜1}．故选：B．3．cos（﹣）＝（）A．B．C．D．解：cos（﹣）＝cos＝cos（2）＝cos＝．故选：D．4．某班45名学生中，有围棋爱好者22人，足球爱好者28人，则同时爱好这两项的人最少有（）A．4人B．5人C．6人D．7人解：设同时爱好这两项的人最少有a人，作出韦恩图：∵某班45名学生中，有围棋爱好者22人，足球爱好者28人，∴22﹣a+a+28﹣a＝45，解得a＝5．故选：B．5．已知a＝30.2，b＝log30.3，c＝0.30.2，（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a 解：∵30.2＞30＝1，log30.3＜log31＝0，0＜0.30.2＜0.30＝1，∴b＜c＜a．故选：D．6．在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如表一组数据：x123458y0.5 1.5 2.08 2.5 2.82 3.5在四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+b x C．y＝a+log b x D．y＝a+解：由表格中数据作出散点图：由图可知，y是关于x的增函数，且递增的比较缓慢，故选：C．7．函数f（x）＝•sin x的部分图象大致为（）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝•sin（﹣x）＝•（﹣sin x）＝•sin x＝f（x），则f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除C，D，由f（x）＝0得x＝0或sin x＝0，即x＝π是右侧第一个零点，当0＜x＜π时，f（x）＞0，排除B，故选：A．8．已知函数f（x）是定义在R上的增函数，A（0，﹣1），B（3，1）是其图象上的两点，那么|f（2sin x+1）|≤1的解集为（）A．{x|kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z}B．{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}C．{x|kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z}D．{x|2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z}解：由已知得f（0）＝﹣1，f（3）＝1，则不等式|f（2sin x+1）|≤1，即﹣1≤f（2sin x+1）≤1，即f（0）≤f（2sin x+1）≤f（3），又因为函数f（x）是定义在R上的增函数，所以0≤2sin x+1≤3，即﹣≤sin x≤1，结合正弦函数的图象，可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，即不等式的解集为{x|2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z}．故选：D．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）9．下列结论正确的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a＞|b|，则a2＞b2C．若a＞b＞0，则＞D．若a＜|b|，则a2＜b2解：对于A：若c＞0时，不等式成立，当c＜0时，不等式不成立，故A错误；对于B：由于a＞|b|，则a2＞b2，故B正确；对于C：由于a＞b＞0，则＞，故C正确；对于D：当a＝﹣5，b＝1时，不等式不成立，故D错误；故选：BC．10．若x＞0，y＞0，n≠0，m∈R，则下列各式中，恒等的是（）A．lgx+lgy＝lg（x+y）B．lg＝lgx﹣lgyC．log xn y m＝log x y D．lgx＝解：由x＞0，y＞0，n≠0，m∈R，得：对于A，lgx+lgy＝lg（xy）≠lg（x+y），故A错误；对于B，lg＝lgx﹣lgy，故B正确；对于C，log xn y m＝＝＝log x y，故C正确；对于D，lgx＝lgx＝，故D正确．故选：BCD．11．一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则（）A．点P第一次到达最高点需要20秒B．当水轮转动155秒时，3．点P距离水面2米C．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为h＝4sin（t+）+2解：设点P距离水面的高度为h（米）和t（秒）的函数解析式为h＝A sin（ωt+φ）+B（A ＞0，ω＞0，|φ|＜），由题意，h max＝6，h min＝﹣2，∴，解得，∵T＝＝60，∴ω＝，则h＝4sin（+φ）+2．当t＝0时，h＝0，∴4sinφ+2＝0，则sinφ＝﹣，又∵|φ|＜，∴φ＝﹣．h＝，故D错误；令h＝＝6，∴sin（）＝1，得t＝20秒，故A正确；当t＝155秒时，h＝4sin（）+2＝4sin5π+2＝2米，故B正确；当t＝50秒时，h＝4sin（）+2＝4sin+2＝﹣2，故C正确．故选：ABC．12．已知函数f（x），x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），对于任意的x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（xy）＝f（x）+f（y），则（）A．f（x）的图象过点（1，0）和（﹣1，0）B．f（x）在定义域上为奇函数C．若当x＞1时，有f（x）＞0，则当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0D．若当0＜x＜1时，有f（x）＜0，则f（x）＞0的解集（1，+∞）解：对于A，对任意的x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（xy）＝f（x）+f（y），令x＝y＝1，则f（1×1）＝f（1）+f（1），解得f（1）＝0，再令x＝y＝﹣1，则f[（﹣1）×（﹣1）]＝f（﹣1）+f（﹣1），解得f（﹣1）＝0，所以f（x）的图象过点（1，0）和（﹣1，0），故A正确；对于B，令y＝﹣1，则f（﹣x）＝f（x）+f（﹣1），所以f（﹣x）＝f（x），又函数f（x）的定义域关于原点对称，所以函数f（x）为偶函数，故B错误；对于C，设x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，若当x＞1时，有f（x）＞0，所以f（）＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＝f（x2•）﹣f（x2）＝f（x2）+f（）﹣f（x2）＝f（）＞0，所以f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上的是增函数，由函数f（x）为偶函数，可得f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，所以当﹣1＜x＜0时，f（x）＜f（﹣1）＝0，故C正确；对于D，设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则0＜＜1，当0＜x＜1时，有f（x）＜0，则f（）＜0，所以f（x1）﹣f（x2）＝f（x2•）﹣f（x2）＝f（x2）+f（）﹣f（x2）＝f（）＜0，所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上的是增函数，由函数f（x）为偶函数，可得f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，因为当0＜x＜1时，f（x）＜0，可得当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0，当x＜﹣1时，f（x）＞f（﹣1）＝0，当x＞1时，f（x）＞f（1）＝0，故D错误．故选：AC．三、填空题（共4小题，每小题,5分，满分20分）13．已知函数f（x）＝，x＞1，则f（f（1））＝﹣2．解：f（1）＝21+2＝4，所以．故答案为：﹣2．14．函数f（x）＝3sin（2x﹣）的减区间是[kπ+，kπ+]，（k∈Z）．．解：由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，可得：kπ+≤x≤kπ+，（k∈Z），故答案为：[kπ+，kπ+]，（k∈Z）．15．若函数f（x）＝x2+ax﹣在区间（﹣1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（0，）．解：若函数f（x）＝x2+ax﹣在区间（﹣1，1）上有两个不同的零点，则，解得：0＜a＜，故答案为：（0，）．16．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为P＝P0•e kt，其中e是自然对数的底数，k为常数，（P0为原污染物总量）．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，则k＝﹣；要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为8．（参考数据：log52≈0.43）解：由题意，前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，∵P＝P0•e kt，∴（1﹣80%）P0＝P0•e4k，得0.2＝e4k，即k＝﹣，由0.25%P0＝P0•e kt，得0.0025＝﹣，∴t＝＝4log5100＝8（1+log52）＝11.44．故整数n的最小值为12﹣4＝8．故答案为：；8．四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在①角α的终边经过点P（4m，﹣3m）（m≠0）；②tan（﹣α）＝；③3sinα+4cosα＝0这三个条件中任选一个，求sin2α﹣sinαcosα﹣2cos2α的值．解：sin2α﹣sinαcosα﹣2cos2α＝＝，若选①角α的终边经过点P（4m，﹣3m）（m≠0）；可得tan＝﹣，原式＝＝﹣．若选②tan（﹣α）＝，可得tanα＝，原式＝＝﹣．若选③3sinα+4cosα＝0，tanα＝﹣，原式＝＝．18．已知集合A＝{x|log2（x﹣1）≤2}，集合．B＝{x|x2﹣2ax+a2﹣1≤0}，其中a∈R．（1）若a＝1，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围．解：A＝{x|log2（x﹣1）≤2}＝{x|log2（x﹣1）≤log24}＝{x|1＜x≤5}，B＝＝{x|（x﹣a+1）（x﹣a﹣1）≤0}＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，（1）若a＝1时，B＝[0，2]，A∪B＝[0，5]；（2）因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以“x∈B”是“x∈A”的充分条件，即B⊆A，即，解得：2＜a≤4，综上所述：a的取值范围（2，4]．19．受疫情的影响及互联网经济的不断深化，网上购物已经逐渐成为居民购物的新时尚，为迎接2021年“庆元旦”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在“庆元旦”网购狂欢节的销售量p（万件）与促销费用x（万元）满足p＝3﹣（其中0≤x≤10），已知生产该产品还需投入成本（10+2p）万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为（6+）元，假定厂家的生产能力能满足市场的销售需求．（1）将该产品的利润y（万元）表示为促销费用x（万元）的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润．解：（1）由题意得，y＝（6+）p﹣x﹣（10+2p），把p＝3﹣代入得，y＝22﹣（0≤x≤10）；（2）y＝24﹣（）≤24﹣2＝16，当且仅当，即x＝2时取等号，所以促销费用投入2万元时，厂家的利润最大，为16万元．20．已知函数f（x）＝﹣2cos2x﹣a sin x﹣a+1（a∈R）的最小值为g（a），且g（a）＝．（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的最大值，并求此时x的取值集合．解：（1）根据题意：函数f（x）＝﹣2cos2x﹣a sin x﹣a+1（a∈R），令t＝sin x，（﹣1≤t≤1），则g（t）＝2t2﹣at﹣a﹣1（﹣1≤t≤1），①当时，即a≤﹣4，f（a）＝，所以无解．②当时，即﹣4＜a≤4，f（a）＝，即a2+8a+12＝0，所以a＝﹣2或a＝﹣6（舍去），③当时，即a＞4时，，所以a＝，（舍去），综上所述：a＝﹣2．（2）当a＝﹣2时，f（x）＝，当sin x＝1时，即x＝2k（k∈Z）时，函数的最大值为5．即当{x|x＝2k（k∈Z）}时，函数的最大值为5．21．已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数f（x）图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4个单位长度，所得图象的函数为g（x），若不等式g（x）﹣m≤0在x∈[0，6]恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）根据题中函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，可得＝5﹣1，∴ω＝，根据五点法作图，可得×1+φ＝，∴φ＝，故函数f（x）＝2cos（x+）．（2）将函数f（x）图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），可得y＝2cos（x+）的图象；再将得到的图象向右平移4个单位长度，所得图象的函数为g（x）＝2cos（x﹣）的图象，若不等式g（x）﹣m≤0在x∈[0，6]恒成立，即x∈[0，6]时，g（x）的最大值小于或等于m．当x∈[0，6]时，x﹣∈[﹣，]，故当x﹣＝0时，g（x）取得最大值为2，∴m≥2．22．已知a∈R，函数f（x）＝log2（+a）．（1）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过2，求a的最小值；（2）若关于x的方程f（）﹣log2[（a﹣2）x+3a﹣5]＝0的解集中恰好只有一个元素，求a的取值范围．解：（1）因为在x∈[t，t+1]上为减函数，所以，又因为y＝log2x在上为增函数，所以，所以在恒成立，即对恒成立，即3at2+3（a+1）t﹣1≥0对恒成立，等价于y＝3at2+3（a+1）t﹣1在的最小值大于等于0，因为y＝3at2+3（a+1）t﹣1在为增函数，所以，故，解得，所以a的最小值为；（2）方程f（）﹣log2[（a﹣2）x+3a﹣5]＝0，即，可转化为（a﹣2）x2+（2a﹣5）x﹣2＝0且，①当a﹣2＝0，即a＝2时，x＝﹣2，符合题意；②当a﹣2≠0，即a≠2时，，1°当，即时，符合题意；2°当，即a≠﹣2且时，要满足题意，则有或，解得；综上可得，a的取值范围为．。
江苏省连云港市第一中学高一数学理期末试题含解析
江苏省连云港市第一中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列判断正确的是A．函数是奇函数 B．函数是非奇非偶函数C．函数是偶函数 D．函数既是奇函数又是偶函数参考答案：B略2. 若向量则（）A. B. C. D.参考答案：A3. 下列结论正确的是（）A、当x>0且x≠1时，lgx+≥2B、当x>0时，+≥2C、当x≥2时，x+的最小值为2D、当0<x≤2，x-无最大值参考答案：B略4. 已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（）。
A、和B、和C、和D、和参考答案：C5. 设A={4，5，6，7}，B={x∈N|3≤x＜6}，则A∩B=（）A．{4，5，6} B．{4，5} C．{3，4，5} D．{5，6，7}参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={4，5，6，7}，B={x∈N|3≤x＜6}，∴A∩B={4，5}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．6. 在等差数列{a n}中，a5＝1，a8＋a10＝16，则a13的值为（A）27 （B）31 （C）30 （D）15参考答案：D7. 设集合，集合＝正实数集，则从集合到集合的映射只可能是（）A． B．C． D．参考答案：C8. 向高为H的水平瓶中注水，注满为止。
如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（）参考答案：A略9. 设向量，,则下列结论中正确的是A．B．C． D．参考答案：C10. m和n是分别在两个互相垂直的面α、β内的两条直线，α与β交于l，m和n与l既不垂直，也不平行，那么m和n的位置关系是 ( ）A．可能垂直，但不可能平行 B．可能平行，但不可能垂直C．可能垂直，也可能平行 D．既不可能垂直，也不可能平行参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若数列的前项和为，则= ．参考答案：12. 若等差数列满足，则当___________时，的前项和最大.参考答案：8略13. 函数的定义域为______________.参考答案：略14. 一张坐标纸对折一次后，点与点重叠，若点与点重叠，则_______________;参考答案：解析：可解得对称轴方程为，由得，所以15. （理）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。
2022-2023学年江苏省连云港市高一年级上册学期期末模拟(一)数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省连云港市高一上学期期末模拟（一）数学试题一、单选题1．已知集合，则（ ）{}{}(2)0,1,0,1,2A x x x B =+≤=-A B = A ．B ．C ．D ．{}10-，{}0,1{}0,1,2{}1,0,1,2-【答案】A【分析】先求出集合A ，再求交集.【详解】由{}[](2)020A x x x =+≤=-，又{}1,0,1,2B =-{}1,0A B ⋂=-故选：A【点睛】本题考查解二次不等式和集合的交集运算，属于基础题.2．命题“，”的否定为（ ）()1,x ∃∈+∞280x -=A ．，B ．，(],1x ∀∈-∞280x -≠(],1x ∀∈-∞280x -=C ．，D ．，()1,x ∀∈+∞280x -≠()1,x ∀∈+∞280x -=【答案】C【分析】根据特称命题的否定格式改写即可.【详解】特称命题的否定格式：首先特称量词改为全称量词，结论改为原结论的反面，故原命题的否定为：，()1,x ∀∈+∞280x -≠故选:C3．是成立的（ ）110a +>1a <-A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用充分条件和必要条件的定义即可判断，进而得出正确答案.【详解】由即，等价于，解得:或，110a +>10aa +>()10a a +>0a >1a <-由或，得不出，0a >1a <-1a <-由可得出或，1a <-0a >1a <-所以或是的必要不充分条件，0a >1a <-1a <-即是成立的必要不充分条件，110a +>1a <-故选：B.4．已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则1()(21)a g x a x+=-1()(0,1)2x b f x m m m -=->≠的值等于（ ）bA ．B ．C ．2D ．12±2±【答案】B【分析】先根据幂函数定义得，再确定的图像所经过的定点为，代入解得的1a =()f x 1,2b ⎛⎫ ⎪⎝⎭()g x b 值.【详解】由于为幂函数，则，解得：，则；1()(21)a g x a x+=-211a -=1a =2()g x x =函数，当 时，，1()(0,1)2x b f x m m m -=->≠x b =11()22b b f b a -=-=故的图像所经过的定点为，()f x 1,2b ⎛⎫⎪⎝⎭所以，即，解得：1()2g b =212b =b =故选：B.5．已知，，，则的大小关系为（ ）0.5log 7a =172()3b =135()4c =,,a b c A ．B ．a b c <<a c b <<C ．D ．b<c<a b a c<<【答案】A【解析】利用与和比较大小，可得的大小关系.01,,a b c 【详解】，，，0.50.5log 7log 10a =<=107220()()133b <=<=10355()(144c =>=所以可得.a b c <<故选：A.6．函数的定义域为（ ）1y x =A ．B ．{}1x x ≥-{}0x x ≠C ．且D ．且{1x x >-}0x ≠{1x x ≥-}0x ≠【答案】D【分析】根据函数解析式有意义的要求列不等式求函数定义域.【详解】由函数解析式有意义可得且，10x +≥0x ≠所以函数的定义域是且，{1x x ≥-}0x ≠故选：D.7．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）0ω>()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ωA ．B ．C ．D ．15,36⎡⎤⎢⎣⎦17,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦15,46⎡⎤⎢⎥⎣⎦17,46⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】由求得，．可得函数的一个减区322232k x k ππππωπ+++22766k k x ππππωωωω++ k z ∈()f x 间为，．再由，求得的范围．[6πω76πω6276ππωππω⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ ω【详解】函数在上单调递减，()sin()3f x x πω=+(,)2ππ设函数的周期，．22T T πππω⇒=- 2ω∴ 再由函数满足，，()sin()3f x x πω=+322232k x k ππππωπ+++k z ∈求得，．22766k k x ππππωωωω++ k z ∈取，可得，0k =766x ππωω故函数的一个减区间为，．()f x [6πω7]6πω再由，求得，6276ππωππω⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 1736ω故选：．B【点睛】函数的单调区间的求法：若,把看作是一个整体，由sin()y A x ωϕ=+0,0A ω>>x ωϕ+求得函数的减区间，由求得增区22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+间8．已知，且，那么（ ）3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan α=sin α=A ．B ．CD【答案】B【分析】根据，且，再根据同角三角函数关系求解即可得答案.3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan α=3(,)2παπ∈【详解】解：因为，，3(,)22ππα∈sin tan0cos ααα=>故， ，3(,)2παπ∈sin αα=又，22sin cos 1αα+=解得：sin α=故选：B【点睛】本题考查同角三角函数关系求函数值，考查运算能力，是基础题.二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．若且，则B ．若且，则a b >11a b >0ab >0a b >>0c <c ca b >C ．若，则D ．若，，则0a b c >>>a a c b b c +<+0a b >>0c d <<ac bd<【答案】BD【解析】举出反例判断A 和C ，利用不等式的性质判断B 和D 即可.【详解】对于A ：当，时，无法得到，故A 错误；3a =1b =-0ab >对于B ：若，则，，，又，0a b >>11a b <0b a -<0ab >0c <所以，所以，故B 正确；()0b a cc c bc ac a b ab ab ---==>c c a b >对于C ：当，，时，，无法得到，故C 错误；3a =2b =1c =31421323+>=+a a c b b c +<+对于D ：若，则，又，所以，所以，故D 正0c d <<0c d ->->0a b >>0ac bd ->->ac bd <确.故选：BD .【点睛】方法点睛：不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果，（2）作商（常用于分数指数幂的代数式），（3）平方法，（4）有理化，（5）利用函数的单调性，（6）寻找中间量或放缩法，（7）图象法.10．给出如下命题，下列说法正确的是（ ）A ．是的必要不充分条件；1a >“”11a <“”B ．且是的充分不必要条件；2x >“3y >”5x y +>“”C ．是的充分不必要条件；a b <“”22ac bc <“”D ．是的充分不必要条件.2m <“”3m <“”【答案】BD【分析】利用充分性和必要性的定义逐一判断即可．【详解】解：可以推出，但是不能推出，比如是负数时，所以是1a >11a <11a <1a >a 1a >“”的充分不必要条件，故A 错误；11a <“”且可以推出，但是不能推出且，比如时，所以2x >3y >5x y +>5x y +>2x >3y >1,6x y ==且是的充分不必要条件，故B 正确；2x >“3y >”5x y +>“”不能推出，比如时，但是可以推出，所以是a b <22ac bc <0c =22ac bc <a b <a b <“”的必要不充分条件，故C 错误；22ac bc <“”是可以推出，但是不能推出，所以是的充分不必要条件，故2m <3m <3m <2m <2m <“”3m <“”D 正确．故选：BD ．【点睛】本题考查充分性和必要性的定义和判断，是基础题．11．对于定义在R 上的函数，下列说法正确的是（ ）()f x A ．若，则在R 上不是减函数(2)(1)f f >()f x B ．若为奇函数，且满足对，，，则在R 上是增函数()f x 1x ∀2x R ∈1212()()f x f x x x +>+()f xC ．若，则函数是偶函数(2)(2)f f -=()f xD ．若函数是奇函数，则一定成立()f x (2)(2)f f -≠【答案】AB【解析】根据函数单调性的定义可知，A 正确；根据函数单调性的定义结合奇函数的性质即可知，B 正确；根据函数奇偶性的定义可知，C D 错误．【详解】对A ，根据函数单调性的定义可知，对任意的，若，有，12,x x D I ∈⊆21x x >()()21f x f x >则函数在上是增函数；若，有，则函数在上是减函数，因为()f x D 21x x >()()21f x f x <()f x D ，而，所以在R 上不是减函数，A 正确；21>(2)(1)f f >()f x 对B ，对任意的，，所以，即，而，所以,a b R ∈a b <()()()f a f b a b +->+-()()f a f b a b ->-0a b -<，即，由单调性的定义可知，在R 上是增函数，B 正确；()()0f a f b -<()()f a f b <()f x 对C ，根据奇偶性的定义，对定义域中的任意实数，满足，则函数是偶函数；x ()()=f x f x -()f x 满足，则函数是奇函数，所以仅凭，不能判断函数一定是偶()()f x f x -=-()f x (2)(2)f f -=()f x 函数，C 错误；对D ，若函数是奇函数，则，所以当函数在以及处有定义且满足()f x ()()f x f x -=-2x =2x =-时，成立，D 错误．()20f =(2)(2)f f -=故选：AB ．12．下列说法中正确的是（ ）A ．正弦函数、余弦函数的定义域是R ，值域是[1,1]-B ．余弦函数当且仅当时，取得最大值12(Z)x k k π=∈C ．正弦函数在上都是减函数3[2,2](Z)22k k k ππππ++∈D ．余弦函数在上都是减函数[2,2](Z)k k k πππ-∈【答案】ABC【分析】根据正余弦函数的基本性质，直接判断即可.【详解】对A ：正弦函数、余弦函数的定义域是R ，值域是，故A 正确；[1,1]-对B ：余弦函数当且仅当时，取得最大值1，故B 正确；2(Z)x k k π=∈对C ：正弦函数在上都是减函数，故C 正确；3[2,2](Z)22k k k ππππ++∈对D ：余弦函数在上都是增函数，故D 错误.[2,2](Z)k k k πππ-∈故选：ABC.三、填空题13．函数的最小值等于____________.12(1)1y x x x =+>-【答案】2+【分析】利用基本不等式求解.【详解】因为，1x >所以，()1122122211y x x x x =+=-++≥+=--当且仅当，即()1211x x -=-1x =所以函数的最小值是.12(1)1y x x x =+>-2故答案为：214．函数的零点为___________.()2log 1y x =-【答案】2【分析】解方程，即可得出函数的零点.0y =()2log 1y x =-【详解】令，即，得，解得，0y =()2log 10x -=11x -=2x =因此，函数的零点为.()2log 1y x =-2故答案为：.2【点睛】本题考查函数零点的求解，熟悉函数零点的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.15．已知实数a ，b 满足，，则_______.37a a +=log 2b +=3a b +=【答案】6【解析】先将化为，令，得到，3log 2b =()633637b b -+-=()3x f x x=+()()63f a f b =-根据函数的单调性，结合题中条件，即可得出结果.()3x f x x=+【详解】由可得，则，log 2b =()31log 3123b b ++=()3log 3163b b +=-所以，则；63313b b -+=()633637bb -+-=又，令，则，37a a +=()3x f x x =+()()637f a f b =-=因为函数与都是单调递增函数，所以显然是单调递增函数，3x y =y x =()3xf x x =+所以，因此.63a b =-36a b +=故答案为：.6四、双空题16．已知幂函数为偶函数，则_____，若，则的值域21()(57)m f x m m x -=-+m =()2()3f x g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()g x 为_______.【答案】 3 (0,1]【解析】根据幂函数定义，由题中条件，得到求出，再由函数奇偶性，即可得出2571m m -+=m 结果；利用指数函数与幂函数单调性，即可求出的值域.()g x 【详解】因为为幂函数，21()(57)m f x m m x -=-+所以，解得或；2571m m -+=2m =3m =当时，显然为奇函数，不满足题意；2m =()f x x =当时，显然为偶函数，满足题意；3m =2()f x x =所以；3m =则，令，则，又指数函数是减函数，22()3x g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭2()t f x x ==0t ≥23ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以时，，即的值域为.0t ≥2013t⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭22()3x g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭(0,1]故答案为：；.3(0,1]五、解答题17．已知集合，．{}24A x x =<{}|2B x x a =-≤(1)若，求；1a =A B ⋃(2)若，求实数的取值范围．A B ⋂=∅a 【答案】(1){}23x x -<≤(2)或4a ≥4a ≤-【分析】(1)解一元二次不等式，利用集合并集的运算方法可求解;(2)根据若，结合数轴观A B ⋂=∅察求解.【详解】（1）由得解得，24x <()2(2)0x x +-<22x -<<所以，{}22A x x =-<<因为，所以，即，解得，1a =12x -≤2230x x --≤13x -≤≤所以，{}13B x x =-≤≤所以.{}23A B x x ⋃=-<≤（2）由(1)得，{}22A x x =-<<由得2x a -≤()()220x a x a -+--≤解得，所以，22a x a -≤≤+{}22B x a x a =-≤≤+因为，所以或，A B ⋂=∅22a -≥22a +≤-解得或.4a ≥4a ≤-18．计算：（．11233031(π1)3864-⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）．27log 2log lg 25lg 47++【答案】（）；（）．1162112【详解】试题分析：（1）根据指数运算法则，化简求值（2）根据对01(),1,m n mn m m a a a a a -===数运算法则，化简求值log log ,lg lg lg ,a m ma a m m n mn a m =+==试题解析：（ ．1()1233327148⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭5311622=--+16=（）原式 ．2323log 3lg1002=++3222=++112=19．已知.25())2sin ()1224f x x x ππ=+--（1）求在区间上的最小值；()f x ,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）将的图象向右平移个单位，得到的图象，求满足的x 的取值范围.()y f x =4π()g x ()0gx ≥【答案】（1）最小值为；（2）.1-7|,2424x k x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z 【解析】（1）利用降次公式、诱导公式、辅助角公式化简解析式.根据三角函数最值的求法，()f x 求得在区间上的最小值.()f x ,44ππ⎡⎤-⎢⎣⎦（2）求得的解析式，化简不等式得到，解三角不等式求得满足()g x ()0g x ≥1sin 242x π⎛⎫+≥⎪⎝⎭的x 的取值范围.()0g x ≥【详解】（1）1cos 2512()22122x f x x ππ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+-⨯ ⎪⎝⎭52cos 211212x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭52sin 2112212x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++--- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦552sin 211212x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，532sin 212sin 211234x x πππ⎛⎫⎛⎫=++-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，，,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦352,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎣⎦所以，当时，的最小值为.35244x ππ+=()f x 1-（2），3()2sin 212sin 21444g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由可得，则，()0g x ≥1sin 242x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭5222646k x k πππππ+≤+≤+所以，，72424k x k ππππ-≤≤+k ∈Z 即对应的x 取值的集合是.()0g x ≥7|,2424x k x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z 【点睛】要解决三角函数最值、值域、单调区间、最小正周期、对称轴等问题，首先要将函数转化为的形式.()sin A x B ωϕ++20．函数.()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求函数的单调递增区间和最小正周期；()f x （2）请用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所()f x 需的数值，再画图）；xπ26x -0y（3）求函数在上的最大值和最小值，并指出相应的的值.()f x π2,π123⎡⎤-⎢⎥⎣⎦x 【答案】（1）单调递增区间是，；最小正周期；（2）填表见解析；作图πππ,k π63k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z π见解析；（3）最大值为2，最小值为－1，时取得最小值，时取得最大值.2π3x =()f x π3x =()f x 【解析】（1）根据正弦函数的图象与性质求出函数的单调递增区间和最小正周期；()f x （2）列表，描点、连线，画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；()f x （3）求出时函数的最大值和最小值，以及对应的值.π2π,123x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x x 【详解】解：（1）函数，()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令，；πππ2π22π262k x k -+≤-≤+k ∈Z解得，；π2π2π22π33k x k -+≤≤+k ∈Z 即，；ππππ63k x k -+≤≤+k ∈Z 所以函数的单调递增区间是，；()f x πππ,k π63k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z 最小正周期；2ππ2T ==（2）填写表格如下；xπ12π37π125π613π124π3π26x -0π2π3π22π5π2y 020－202用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图为；()f x（3）时，，，π2π,123x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π7π20.66x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以函数在上取得最大值为2，最小值为－1，()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π2,π123⎡⎤-⎢⎥⎣⎦且时取得最小值，时取得最大值.2π3x =()f x π3x =()f x 【点睛】本题考查正弦型函数的性质以及“五点法”作图，本题要掌握基础函数的性质以及整体法的应用，同时熟悉“五点法”作图，考查分析能力以及作图能力，属中档题.21．已知二次函数，其中．()225f x x ax =-+1a >（Ⅰ）若函数的定义域和值域均为，求实数的值；()f x []1,a a （Ⅱ）若函数在区间上单调递减，且对任意的，，总有()f x (],2-∞1x []21,1x a ∈+成立，求实数的取值范围．()()123f x f x -≤a【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）.2,1a ⎡∈⎣【分析】（Ⅰ）求出的单调性，求出函数的最值，得到关于的方程，解出即可；()f x a （Ⅱ）根据在区间上是减函数，得出的一个取值范围；再对任意的，()f x (],2-∞a 1x ，，又可求出的一个取值范围；最后两者取交集，[]21,1x a ∈+()()()()12max 13f x f x f a f -=-≤a 则问题解决．【详解】（Ⅰ），开口向上，对称轴是()225f x x ax =-+1x a =>∴在递减，则，即，故；()f x []1,a ()1f a =22251a a -+=2a =（Ⅱ）因为在区间上是减函数，所以．()f x (],2-∞2a ≥因此任意的，，总有，只需即可1x []21,1x a ∈+()()123f x f x -≤()()13f a f -≤解得：11a ≤≤2a ≥因此．2,1a ⎡∈⎣【点睛】本题主要考查了已知二次函数单调区间求参数的范围以及根据二次函数的值域求参数的值，属于中档题.22．第一机床厂投资生产线500万元，每万元可创造利润1.5万元．该厂通过引进先进技术，在A 生产线的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍．现将在生A ()0x x >()10.005x +A 产线少投资万元全部投入生产线，且每万元创造的利润为万元，其中．x B ()1.50.013a x -0a >（1）若技术改进后生产线的利润不低于原来生产线的利润，求的取值范围；A A x （2）若生产线的利润始终不高于技术改进后生产线的利润，求的最大值．B A a 【答案】（1）；（2）5.5．0300x <≤【分析】（1）由题意，生产线原利润、改进后利润分别为万元，A 1.5500⨯万元，根据它们的不等关系即可求的取值范围；（2）生产线的利润为()()1.510.005500x x +-x B 万元，根据已知不等关系结合（1）有恒成立，应用基本不等式()1.50.013a x x -500 1.5125x a x ≤++求的最大值.a 【详解】解:（1）由题意，得，整理得，解得()()1.510.005500 1.5500x x +-≥⨯23000x x -≤，又，故．0300x ≤≤0x >0300x <≤（2）由题意知，生产线的利润为万元，技术改进后，生产线的利润为B ()1.50.013a x x -A 万元，则恒成立，又，()()1.510.005500x x +-()()()1.50.013 1.510.005500a x x x x -≤+-0x >∴恒成立，又，当且仅当时等号成立，500 1.5125x a x ≤++5004125x x +≥250x =∴，即的最大值为5.5．0 5.5a <≤a 【点睛】本题考查了不等式的实际应用，根据实际题设中的不等关系列不等式求参数范围，属于基础题.。
2023-2024学年江苏省连云港市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省连云港市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ≤1}，B ＝{x |0≤x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1}B ．{﹣1，2}C ．（﹣1，2）D ．[0，1]2．sin210°＝（ ） A ．−12B ．12C ．−√32D ．√323．“|a |＞|b |”是“a ＞b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．人的心脏跳动时，血压在增加或减少．若某人的血压满足函数式p （t ）＝110+20sin （140πt ），其中p （t ）为血压（单位：mmHg ），t 为时间（单位：min ），则此人每分钟心跳的次数为（ ） A ．50B ．70C ．90D ．1305．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，且1a +2b=1，则△ABC 的面积的最小值为（ ）A ．3+√2B ．2C ．4D ．86．设a 为实数，已知函数f(x)=a −13x−1的图象关于原点对称，则a 的值为（ ） A ．−12B ．12C ．2D ．﹣27．已知函数f(x)={−log 2x ，x ≥1，2−x ，x ＜1，若f （2+a 2）＜f （6a ﹣3），则实数a 的取值范围是（ ）A ．1＜a ＜5B ．a ＞5或a ＜1C ．2＜a ＜3D ．a ＞3或a ＜28．已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)+B(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图，则函数f （x ）（ ）A ．图象关于直线x =−π3对称B ．图象关于点(π6，3)对称C ．在区间(2π3，5π6)上单调递减 D ．在区间(−5π12，π12)上的值域为（1，3） 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．下列不等式成立的有（ ）A ．1.212＞0.812B ．cos4π7＜cos 5π8C ．1.20.8＞0.81.2D ．log 520＞log 2510．要得到函数f(x)=sin(2x −π3)的图象，只要把（ ）A ．函数y ＝sin2x 的图象向右平移π6个单位长度B ．函数y =sin(x −π3)的图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）C ．函数y ＝sin2x 的图象向左平移5π6个单位长度D ．函数y ＝cos2x 的图象向右平移5π12个单位长度11．已知函数f （x ）＝lgx ，任意的x 1，x 2∈（0，+∞），下列结论正确的是（ ） A ．f(x 1)−f(x 2)=f(x 1x 2)B ．若x 1≠x 2，则f(x 1)+f(x 2)2＞f(x 1+x 22)C ．y =f(1−x1+x)是奇函数D ．若|f （x 1）|＝|f （x 2）|，且x 1≠x 2，则x 1+x 2＞212．已知函数f （x ）＝2|cos x |﹣cos|x |，则（ ） A ．函数f （x ）的最大值为3B ．函数f （x ）的最小正周期为πC ．函数f （x ）的图象关于直线x ＝π对称D ．函数f （x ）在(2π3，3π2)上单调递减 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．求值：log 48＝ ．14．已知cos α＜0，且tan α＞0，则角α是第 象限角．15．已知函数f （x ）＝sin （ωx ）在[−π3，π4]上单调递增，则ω的最大值是 ．16．已知函数f （x ）是R 上的偶函数，f （x +1）为奇函数，则函数f （x ）的最小正周期为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知tan α＝2，计算： （1）sinα+cosα5cosα−2sinα；（2）cos αsin α．18．（12分）设a 为实数，函数f （x ）＝ax 2﹣（a ﹣1）x +a ．（1）若函数f（x）有且只有一个零点，求a的值；（2）若不等式f（x）＞0的解集为空集，求a的取值范围．19．（12分）已知函数f(x)=2sin(2x+π6)．（1）用“五点法”画出函数f（x）在一个周期内的简图；（2）若关于x的方程f（x）＝t（t∈R）在区间[0，π2]上有唯一解，求t的取值范围．20．（12分）如图1，有一块半径为2（单位：cm）的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在圆周上．为了求出等腰梯形ABCD的周长y（单位：cm）的最大值，小明和小亮两位同学分别给出了如下两种方案：（1）小明的方案：设梯形的腰长为x（单位：cm），请你帮他求y与x之间的函数关系式，并求出梯形周长的最大值；（2）小亮的方案：如图2，连接AC，设∠BAC＝θ，请你帮他求y与θ之间的函数关系式，并求出梯形周长的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝log2（4x﹣a•2x+a+2）（a∈R）．（1）若a＝5，解不等式f（x）＞0；（2）若函数f（x）在区间[﹣1，+∞）上的最小值为﹣1，求a的值．22．（12分）设m，t为实数，函数f（x）＝lnx+x+m和g（x）＝x2﹣tx﹣1．（1）若函数f（x）在区间（2，e）上存在零点，求m的取值范围；（2）设x1∈{x|F（x）＝0}，x2∈{x|G（x）＝0}，若存在x1，x2，使得|x1﹣x2|≤1，则称F（x）和G（x）“零点贴近”．当m＝﹣1时，函数f（x）与g（x）“零点贴近”，求t的取值范围．2023-2024学年江苏省连云港市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|﹣1＜x≤1}，B＝{x|0≤x＜2}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{﹣1，2}C．（﹣1，2）D．[0，1]解：∵集合A＝{x|﹣1＜x≤1}，B＝{x|0≤x＜2}，∴A∩B＝{x|0≤x≤1}．故选：D．2．sin210°＝（）A．−12B．12C．−√32D．√32解：sin210°＝sin（180°+30°）＝﹣sin30°=−1 2，故选：A．3．“|a|＞|b|”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解：设a＝﹣2，b＝0，此时满足|a|＞|b|，但不满足a＞b，充分性不成立，设a＝2，b＝﹣3，此时满足a＞b，但不满足|a|＞|b|，必要性不成立，故|a|＞|b|是a＞b的既不充分也不必要条件．故选：D．4．人的心脏跳动时，血压在增加或减少．若某人的血压满足函数式p（t）＝110+20sin（140πt），其中p（t）为血压（单位：mmHg），t为时间（单位：min），则此人每分钟心跳的次数为（）A．50B．70C．90D．130解：因为函数p（t）＝110+20sin（140πt）的周期为T=2π140π=170（min），所以此人每分钟心跳的次数f=1T=70．故选：B．5．在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，且1a+2b=1，则△ABC的面积的最小值为（）A．3+√2B．2C．4D．8解：因为a＞0，b＞0，可得1a＞0，2b＞0，则1a+2b≥2√1a⋅2b=2√2ab，当且仅当1a =2b 时，即a ＝2，b ＝4时，等号成立，所以√2ab ≤1，解得ab ≥8，所以△ABC 的面积的最小值为S =12ab ≥4．故选：C ．6．设a 为实数，已知函数f(x)=a −13x−1的图象关于原点对称，则a 的值为（ ） A ．−12B ．12C ．2D ．﹣2解：因为f(x)=a −13x−1的图象关于原点对称，所以f （x ）为奇函数，所以f （﹣x ）+f （x ）＝0， 即a −13x −1+a −13−x −1=2a −13x −1+3x3x −1=2a +1＝0，所以a =−12．故选：A ．7．已知函数f(x)={−log 2x ，x ≥1，2−x ，x ＜1，若f （2+a 2）＜f （6a ﹣3），则实数a 的取值范围是（ ）A ．1＜a ＜5B ．a ＞5或a ＜1C ．2＜a ＜3D ．a ＞3或a ＜2解：因为函数f(x)={−log 2x ，x ≥1，2−x，x ＜1，，当x ≥1时，f （x ）＝﹣log 2x 单调递减，且最大值为f （1）＝0， 当x ＜1时，f （x ）＝2﹣x单调递减，且最小值y ＞2﹣1=12，故函数f(x)={−log 2x ，x ≥1，2−x，x ＜1，单调递减f （2+a 2）＜f （6a ﹣3），则2+a 2＞6a ﹣3，可得a 2﹣6a +5＞0，解得a ＞5或a ＜1． 故选：B ．8．已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)+B(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图，则函数f （x ）（ ）A ．图象关于直线x =−π3对称B ．图象关于点(π6，3)对称C ．在区间(2π3，5π6)上单调递减 D ．在区间(−5π12，π12)上的值域为（1，3） 解：由图象可得A =12（5﹣1）＝2，则f （x ）＝2sin （ωx +φ）+B ，f （x ）的最大值为2+B ＝5，∴B ＝3， ∴f （x ）＝2sin （ωx +φ）+3，f （x ）过点（0，2），∴f （0）＝2sin φ+3＝2，∴sin φ=−12，∵|φ|＜π2，∴φ=−π6，∴f （x ）＝2sin （ωx −π6）+3，∵f （x ）过点（−π6，1），∴f （−π6）＝2sin （−π6ω−π6）+3＝1，可得sin （π6ω+π6）＝1，∴π6ω+π6=2k π+π2，k ∈Z ，可得ω＝2+12k ，k ∈Z ，由图象可知T 4＞π6，∴T ＞2π3，即2πω＞2π3，∴0＜ω＜3，∴ω＝2， ∴f （x ）＝2sin （2x −π6）+3，对于A ：f （−π3）＝2sin （−5π6）+3＝2，不是最值，则f （x ）的图象不关于直线x =−π3对称，错误；对于B ：f （π6）＝2sin π6+3＝4≠3，错误；对于C ：2k π+π2≤2x −π6≤2k π+3π2，k ∈Z ， ∴k π+π3≤x ≤k π+5π6，k ∈Z ， ∴f （x ）的单调递减区间为[k π+π3，k π+5π6]，k ∈Z ．k ＝0时，f （x ）在[π3，5π6]上单调递减，(2π3，5π6)⊆[π3，5π6]，正确；对于D ：∵x ∈（−5π12，π12）， ∴2x −π6∈（﹣π，0），可得sin （2x −π6）∈[﹣1，0），∴f （x ）∈[1，3），D 错误． 故选：C ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．下列不等式成立的有（ ）A ．1.212＞0.812B ．cos4π7＜cos 5π8C ．1.20.8＞0.81.2D ．log 520＞log 25解：对于A ．因为幂函数y =√x 在定义域上单调递增，所以1.212＞0.812成立，故A 正确；对于B ，因为函数y ＝cos x 在（0，π）上单调递减，且0＜4π7＜5π8＜π， 所以cos4π7＞cos 5π8，故B 错误； 对于C ，1.20.8＞1.20＞1，0.81.2＜0.80＜1，所以1.20.8＞0.81.2，故C 正确； 对于D ，log 520＜log 525＝2，log 25＞log 24＝2，所以log 520＜log 25，故D 错误． 故选：AC ．10．要得到函数f(x)=sin(2x −π3)的图象，只要把（ ）A ．函数y ＝sin2x 的图象向右平移π6个单位长度B ．函数y =sin(x −π3)的图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）C ．函数y ＝sin2x 的图象向左平移5π6个单位长度D ．函数y ＝cos2x 的图象向右平移5π12个单位长度 解：函数y ＝sin2x 的图象向右平移π6个单位长度得f （x ）=sin[2(x −π6)]=sin(2x −π3)，故A 正确；对于B ，函数y =sin(x −π3)的图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得y =sin(12x −π3)，故B 错误；对于C ，函数y ＝sin2x 的图象向左平移5π6个单位长度得；f （x ）=sin[2(x +5π6)]=sin(2x +5π3)=sin(2x −π3)，故C 正确； 对于D ，函数y ＝cos2x 的图象向右平移5π12个单位长度得：f （x ）=cos[2(x −5π12)]=cos(2x −5π6)=cos(2x −π3−π2)=sin(2x −π3)，故D 正确． 故选：ACD ．11．已知函数f （x ）＝lgx ，任意的x 1，x 2∈（0，+∞），下列结论正确的是（ ） A ．f(x 1)−f(x 2)=f(x1x 2)B ．若x 1≠x 2，则f(x 1)+f(x 2)2＞f(x 1+x 22)C ．y =f(1−x1+x)是奇函数D ．若|f （x 1）|＝|f （x 2）|，且x 1≠x 2，则x 1+x 2＞2解：对于A ，f （x 1）﹣f （x 2）＝lgx 1﹣lgx 2＝lg x 1x 2，故A 正确；对于B ，因为f （x ）＝lgx 在（0，+∞）上是增函数，且x 1≠x 2，所以f(x 1)+f(x 2)2=lg √x 1x 2，f （x 1+x 22）＝lg x 1+x 22，x 1+x 22＞√x 1x 2，故B 错误；对于C ，f （1−x 1+x ）＝lg 1−x 1+x ，f （1+x 1−x ）＝lg 1+x 1−x ，因为f （1−x 1+x ）+f （1+x 1−x ）＝lg 1−x 1+x +lg 1+x 1−x =lg [1−x 1+x ⋅1+x1−x ]＝lg 1＝0，故y ＝f （1−x1+x）是奇函数，故C 正确；对于D ，由x 1≠x 2得f （x 1）＝﹣f （x 2），即lgx 1+lgx 2＝0，即lg （x 1x 2）＝0，所以x 1x 2＝1，由基本不等式得x 1+x 2⩾2×1＝2，因为x 1≠x 2，所以等号取不到，所以x 1+x 2＞2，故D 正确． 故选：ACD ．12．已知函数f （x ）＝2|cos x |﹣cos|x |，则（ ） A ．函数f （x ）的最大值为3B ．函数f （x ）的最小正周期为πC ．函数f （x ）的图象关于直线x ＝π对称D ．函数f （x ）在(2π3，3π2)上单调递减 解：对于A ，根据余弦函数的性质，可知当x ＝π时，f （x ）＝2|cos π|﹣cos|π|＝2+1＝3，达最大值，故A 正确； 对于B ，因为f （π3）=12，f （4π3）=32，可得f(π3)≠f(π3+π)，故函数f （x ）的最小正周期不是π，B 项不正确；对于C ，因为cos|（2π﹣x ）|＝cos （2π﹣x ）＝cos x ＝cos|x |， 所以f （2π﹣x ）＝2|cos （2π﹣x ）|﹣cos|（2π﹣x ）|＝2|cos x |﹣cos|x |，可得f （2π﹣x ）＝f （x ），所以f （x ）的图象关于直线x ＝π对称，故C 正确； 对于D ，因为在(2π3，3π2)上f （x ）有最大值f （π）＝2， 所以f （x ）在(2π3，3π2)上先增后减，故D 不正确． 故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．求值：log 48＝32． 解：log 48＝lo g 2223=32．故答案为：32．14．已知cos α＜0，且tan α＞0，则角α是第 三 象限角．解：∵cos α＜0，∴角α是第二三象限的角或者在x 轴的非正半轴上，∵tan α＞0，∴角α是第一三象限的角，则角α是第三象限的角． 故答案为：三．15．已知函数f （x ）＝sin （ωx ）在[−π3，π4]上单调递增，则ω的最大值是 32 ．解：∵函数f （x ）＝sin （ωx ）在[−π3，π4]上单调递增，∴−π3•ω≥−π2 且π4•ω≤π2，求得ω≤32，则ω的最大值为32，故答案为：32．16．已知函数f （x ）是R 上的偶函数，f （x +1）为奇函数，则函数f （x ）的最小正周期为 4 ． 解：因为函数f （x ）是R 上的偶函数，所以f （﹣x ）＝f （x ）， 因为f （x +1）为奇函数，所以f （x ）的图象关于（1，0）对称，即f （2﹣x ）+f （x ）＝0， 所以f （2+x ）+f （﹣x ）＝f （2+x ）+f （x ）＝0， 所以f （2+x ）＝﹣f （x ），所以f （4+x ）＝f （x ），则函数f （x ）的最小正周期为4． 故答案为：4．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知tan α＝2，计算： （1）sinα+cosα5cosα−2sinα；（2）cos αsin α．解：（1）因为tan α＝2，所以sinα+cosα5cosα−2sinα=tanα+15−2tanα=2+15−2×2=3；（2）cos αsin α=sinαcosαsin 2α+cos 2α=tanαtan 2α+1=222+1=25． 18．（12分）设a 为实数，函数f （x ）＝ax 2﹣（a ﹣1）x +a ． （1）若函数f （x ）有且只有一个零点，求a 的值； （2）若不等式f （x ）＞0的解集为空集，求a 的取值范围． 解：（1）根据题意，f （x ）＝ax 2﹣（a ﹣1）x +a ， 当a ＝0时，f （x ）＝x ，有且只有一个零点，符合题意，当a ≠0时，若f （x ）有且只有一个零点，即方程ax 2﹣（a ﹣1）x +a ＝0有且只有1个根， 则有Δ＝（a ﹣1）2﹣4a 2＝0，解可得a ＝﹣1或13，综合可得：a ＝0或﹣1或13；（2）f（x）＞0即ax2﹣（a﹣1）x+a＞0，当a＝0时，f（x）＞0即x＞0，其解集不是空集，不符合题意；当a≠0时，f（x）＞0即ax2﹣（a﹣1）x+a＞0，若其解集为∅，必有{a＞0Δ=(a−1)2−4a2≤0，解可得a≤﹣1，即a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．19．（12分）已知函数f(x)=2sin(2x+π6)．（1）用“五点法”画出函数f（x）在一个周期内的简图；（2）若关于x的方程f（x）＝t（t∈R）在区间[0，π2]上有唯一解，求t的取值范围．解：（1）列表：描点，连线，画出f（x）在[0，π]上的大致图像如图：；（2）由于x∈[0，π2]，所以2x+π6∈[π6，7π6]，所以f(x)=2sin(2x+π6)∈[−12，1]，由于关于x的方程f（x）＝t（t∈R）在区间[0，π2]上有唯一解，所以t∈[−12，12）．20．（12分）如图1，有一块半径为2（单位：cm）的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在圆周上．为了求出等腰梯形ABCD的周长y（单位：cm）的最大值，小明和小亮两位同学分别给出了如下两种方案：（1）小明的方案：设梯形的腰长为x（单位：cm），请你帮他求y与x之间的函数关系式，并求出梯形周长的最大值；（2）小亮的方案：如图2，连接AC，设∠BAC＝θ，请你帮他求y与θ之间的函数关系式，并求出梯形周长的最大值．解：（1）作DE⊥AB于E，连接BD，因为AB为直径，所以∠ADB＝90°，在Rt△ADB与Rt△AED中，∠ADB＝90°＝∠AED，∠BAD＝∠DAE，所以Rt△ADB∽Rt△AED，所以ADAB=AEAD，即AE=AD2AB；又AD ＝x ，AB ＝4，所以AE =x 24；所以CD ＝AB ﹣2AE ＝4﹣2×x 24=4−x 22， 于是y ＝AB +BC +CD +AD ＝4+x +4−x 22+x =−12x 2+2x +8， 由于AD ＞0，AE ＞0，CD ＞0，所以x ＞0，x 24＞0，4−x 22＞0，解得0＜x ＜2√2；所以函数为y =−12x 2+2x +8，x ∈（0，2√2）．当x =−22×(−12)=2时，y 取得最大值为−12×4+2×2+8＝10．（2）过点C 作CF 垂直于AB 于点F ，因为AB 是半圆的直径，所以∠ACB ＝90°，AB ＝4， 所以BC ＝AB sin θ＝4sin θ，又因为∠BCF ＝∠CAB ＝θ，所以BF ＝BC sin θ＝4sin 2θ， 所以CD ＝AB ﹣2BF ＝4﹣8sin 2θ，所以梯形ABCD 的周长为y ＝AB +CD +2BC ＝4+4﹣8sin 2θ+8sin θ＝﹣8sin 2θ+8sin θ+8，且θ∈（0，π4），即y ＝﹣8sin 2θ+8sin θ+8，θ∈（0，π4）；设t ＝sin θ，则t ∈（0，√22），所以y ＝﹣8t 2+8t +8，当t =12时，y 取得最大值为﹣8×14+8×12+8＝10，即当θ=π6时，y 取得最大值10．21．（12分）已知函数f （x ）＝log 2（4x ﹣a •2x +a +2）（a ∈R ）． （1）若a ＝5，解不等式f （x ）＞0；（2）若函数f （x ）在区间[﹣1，+∞）上的最小值为﹣1，求a 的值． 解：（1）当a ＝5时，f(x)=log 2(4x −5⋅2x +7)，不等式为log 2(4x −5⋅2x +7)＞0，则4x ﹣5•2x +7＞1，即4x ﹣5•2x +6＞0， 设t ＝2x ＞0，不等式化为t 2﹣5t +6＞0，解得0＜t ＜2或t ＞3，故x ＜1或x ＞log 23， 故不等式的解集为（﹣∞，1）∪（log 23，+∞）． （2）设g （x ）＝4x ﹣a •2x +a +2，根据题意知，当x∈[﹣1，+∞）时，g(x)min=1 2，设t=2x≥12，函数化为h（t）＝t2﹣at+a+2，其对称轴为t=a2，当a2≤12，即a≤1时，ℎ(t)min=ℎ(12)=94+12a=12，解得a=−72，符合题意；当a2＞12，即a＞1时，ℎ(t)min=ℎ(a2)=a+2−a24=12，解得a=2+√10或a=2−√10（舍），故a值为−72或2+√10．22．（12分）设m，t为实数，函数f（x）＝lnx+x+m和g（x）＝x2﹣tx﹣1．（1）若函数f（x）在区间（2，e）上存在零点，求m的取值范围；（2）设x1∈{x|F（x）＝0}，x2∈{x|G（x）＝0}，若存在x1，x2，使得|x1﹣x2|≤1，则称F（x）和G（x）“零点贴近”．当m＝﹣1时，函数f（x）与g（x）“零点贴近”，求t的取值范围．解：（1）令f（x）＝0，即f（x）＝lnx+x+m＝0，得m＝﹣（lnx+x）．令h（x）＝﹣（lnx+x），易知g（x）在（0，+∞）上单调递减，h（2）＝﹣（ln2+2），h（e）＝﹣（lne+e）＝﹣（1+e），所以h（x）在（2，e）上的值域为（﹣1﹣e，﹣ln2﹣2），所以m的取值范围（﹣1﹣e，﹣ln2﹣2）．（2）当m＝﹣1时，f（x）＝lnx+x﹣1，易知函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，令f（x）＝lnx+x﹣1＝0，易知f（1）＝ln1+1﹣1＝0，所以x1＝1．由|x1﹣x2|≤1，得|1﹣x2|≤1，解得0≤x2≤2，即x2∈[0，2]．要使函数f（x）与g（x）“零点贴近”，则函数g（x）在[0，2]上有零点，对于g（x）＝x2﹣tx﹣1，Δ＝t2+4＞0，所以g（x）＝0有两个零点，而g（0）＝﹣1＜0，所以g（2）≥0，即22﹣2t﹣1≥0，解得t≤3 2．故实数t的取值范围是(−∞，32 ]．。
江苏省连云港市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题含答案
2019-2020学年度第一学期期末考试高一数学试题一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.已知集合{}|11M x x =-<<，{}|02N x x =≤<，则M N =I ．2.已知幂函数y x α=的图象过点，则实数α的值是 ．3.函数2()log (34)f x x =-的定义域是 ．4.若(1,2)A ，(3,2)B t -，(7,)C t 三点共线，则实数t 的值是 ．5.已知点(2,3)A -，(6,1)B -，则以线段AB 为直径的圆的标准方程是 ．6.已知函数()1x x f x e ae -=++是偶函数，则实数a 的值是 ．7.计算：2332lg 4lg 5lg8(3)8-+--= ． 8.已知一个铜质的实心圆锥的底面半径为6，高为3，现将它熔化后铸成一个铜球（不计损耗），则该铜球的半径是 ．9.函数()|lg(1)|f x x =+的单调减区间是 ．10.两条平行直线4330x y ++=与890x my +-=的距离是 ．11.下列命题中正确的是 ．（填上所有正确命题的序号）①若//m α，n α⊂，则//m n ；②若//l α，//l β，则//αβ； ③若m α⊥，n α⊥，则//m n ；④若//m β，//n β，m α⊂，n α⊂，则//αβ． 12.若关于x 的方程2142(3)403mx m x +-+=的一个根在区间(0,1)上，另一个根在区间(1,2)上，则实数m 的取值范围是 ．13.若方程组222281050,2220x y x y x y x y t ⎧++-+=⎪⎨++-+-=⎪⎩有解，则实数t 的取值范围是 ．14.函数()2f x x =的值域是 ．二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知正三棱柱'''ABC A B C -，M 是BC 的中点．求证：（1）'//A B 平面'AMC ；（2）平面'AMC ⊥平面''BCC B ．16.已知ABC ∆的一条内角平分线AD 的方程为30x y --=，其中(6,1)B -，(3,8)C ．（1）求顶点A 的坐标；（2）求ABC ∆的面积．17.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，4BC BD DC ===，90BAD ∠=︒，AB AD =．（1）求三棱锥A BCD -的体积；（2）在平面ABC 内经过点B ，画一条直线l ，使l CD ⊥，请写出作法，并说明理由．18.某种商品的市场需求量1y （万件）、市场供应量2y （万件）与市场价格x （元/件）分别近似地满足下列关系：170y x =-+，2220y x =-．当12y y =时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．（1）求平衡价格和平衡需求量；（2）若该商品的市场销售量P （万件）是市场需求量1y 和市场供应量2y 两者中的较小者，该商品的市场销售额W （万元）等于市场销售量P 与市场价格x 的乘积．①当市场价格x 取何值时，市场销售额W 取得最大值；②当市场销售额W 取得最大值时，为了使得此时的市场价格恰好是新的市场平衡价格，则政府应该对每件商品征税多少元？19.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(4,5)A ，(5,2)B ，(3,6)C -在圆上．（1）求圆M 的方程；（2）过点(3,1)D 的直线l 交圆M 于E ，F 两点．①若弦长8EF =，求直线l 的方程；②分别过点E ，F 作圆M 的切线，交于点P ，判断点P 在何种图形上运动，并说明理由.20.已知函数()4x f x =，()2x g x =．（1）试比较12()()f x f x +与122()g x x +的大小关系，并给出证明；（2）解方程：22()()2()2()9f x f xg x g x +----=； （3）求函数()()|()1|h x f x a g x =+-，[]2,2x ∈-（a 是实数）的最小值．2019-2020学年度第一学期期末考试高一数学试题答案一、填空题1.{}|01x x ≤<2.123.3(,)4-∞ 4.55.22(2)(1)20x y -+-=6.17.598.39.(1,0)-（注：(1,0]-也正确）10.32 11.③ 12.2115(,)82 13.[]1,121 14.22,10⎡⎤-⎣⎦二、解答题15.证明：（1）连接'A C ，交'AC 于点O ，连结OM ，因为正三棱柱'''ABC A B C -，所以侧面''ACC A 是平行四边形，故点O 是'AC 的中点，又因为M 是BC 的中点，所以//'OM A B ，又因为'A B ⊄平面'AMC ，OM ⊂平面'AMC ，所以'//A B 平面'AMC ．（2）因为正三棱柱'''ABC A B C -，所以'CC ⊥平面ABC ，又因为AM ⊂平面ABC ，所以'CC AM ⊥，因为正三棱柱'''ABC A B C -，M 是BC 的中点，所以BC AM ⊥，M 是BC 的中点，所以AM BC ⊥，又因为'BC CC C =I ，所以AM ⊥平面''BCC B ，又因为AM ⊂平面'AMC ，所以平面'AMC ⊥平面''BCC B ．16.解：（1）由题意可得，点(6,1)B -关于直线AD 的对称点'(,)B a b 在直线AC 上，则有111,66130,22b a a b +⎧⨯=-⎪⎪-⎨+-⎪--=⎪⎩解得2a =，3b =，即'(2,3)B ，由'(2,3)B 和(3,8)C ，得直线AC 的方程为570x y --=，由30,570,x y x y --=⎧⎨--=⎩得顶点A 的坐标为(1,2)-． （2）AC =(6,1)B -到直线AC ：570x y --=的距离d ==， 故ABC ∆的面积为1242S AC d =⋅=． 17.解：（1）取BD 的中点M ，连接AM ，因为AB AD =，所以AM BD ⊥，又因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD I 平面BCD BD =，AM ⊂平面ABD ，所以AM ⊥平面BCD ，因为AB AD =，90BAD ∠=︒，所以122AM BD ==， 因为4BC BD DC ===，所以BCD ∆的面积24S == 所以三棱锥A BCD -的体积13V S AM =⋅= （2）在平面BCD 中，过点B 作BH CD ⊥，交CD 于点H ，在平面ACD 中，过点H 作HG CD ⊥，交AC 于点G ，连结BG ，则直线BG 就是所求的直线l ，由作法可知BH CD ⊥，HG CD ⊥，又因为HG BH H =I ，所以CD ⊥平面BHG ，所以CD BG ⊥，即l CD ⊥．18.解：（1）令12y y =，得70220x x -+=-，故30x =，此时1240y y ==．答：平衡价格是30元，平衡需求量是40万件．（2）①由10y ≥，20y ≥，得1070x ≤≤，由题意可知：220,1030,70,3070,x x P x x -≤≤⎧=⎨-+<≤⎩故22220,1030,70,3070,x x x W x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩ 当1030x ≤≤时，222202(5)50W x x x =-=--，即30x =时，max 1200W =；当3070x <≤时，270W x x =-+，即35x =时，max 12251200W =>，综述：当1070x ≤≤时，35x =时，max 1225W =．答：市场价格是35元时，市场总销售额W 取得最大值．②设政府应该对每件商品征税t 元，则供应商的实际价格是每件()x t -元，故22()20y x t =--，令12y y =，得702()20x x t -+=--，由题意可知上述方程的解是35x =，代入上述方程得7.5t =．答：政府应该对每件商品征7.5元．19.解：（1）设圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，由题意可得22222245450,52520,(3)6360,D E F D E F D E F ⎧++++=⎪++++=⎨⎪-+-++=⎩解得0D =，4E =-，21F =-，故圆M 的方程为224210x y y +--=．（2）由（1）得圆的标准方程为22(2)25x y +-=．①当直线l 的斜率不存在时，l 的方程是3x =，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设为k ，则l 的方程为1(3)y k x -=-，即310kx y k --+=， 由8EF =，可得圆心(0,2)M 到l 的距离3d =，3=，解得43k =，故l 的方程是4390x y --=， 所以，l 的方程是3x =或4390x y --=．②设(,)P a b，则切线长PE ===故以P 为圆心，PE 为半径的圆的方程为2222()()421x a y b a b b -+-=+--，化简得圆P 的方程为：22224210x y ax by b +--++=，①又因为M 的方程为224210x y y +--=，②②-①化简得直线EF 的方程为(2)2210ax b y b +---=，将(3,1)D 代入得：3230a b --=，故点P 在直线3230x y --=上运动．20.解：（1）因为12121221212()()2()44222(22)0x x x x x x f x f x g x x +-+=+-⨯⋅=-≥， 所以1212()()2()f x f x g x x +≥+．（2）由22()()2()2()9f x f x g x g x +----=，得22442(22)9x x x x --+-+=， 令22x x t -=+，则2442x x t -+=-，故原方程可化为2918400t t --=， 解得103t =，或43t =-（舍去）， 则10223x x -+=，即110223x x +=，解得23x =或123x =， 所以2log 3x =或21log 3x =．（3）令2x t =，则1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 函数()h x 可化为2221,1,()|1|4,1 4.t at a t t t a t t at a t ϕ⎧+-≤<⎪=--=⎨⎪-+≤≤⎩①若2a ≤-， 当14t 1≤<时，2()t t at a ϕ=+-，对称轴12a t =-≥，此时()(1)1t ϕϕ>=； 当14t ≤≤时，2()t t at a ϕ=-+，对称轴12a t =≤-，此时()(1)1t ϕϕ≥=， 故1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，min ()(1)1t ϕϕ==． ②若122a -<<-， 当114t ≤<，2()t t at a ϕ=+-，对称轴1(,1)24a t =-∈，此时2()()(1)24a a t a ϕϕϕ≥-=--<； 当14t ≤≤时，2()t t at a ϕ=-+，对称轴1(1,)24a t =∈--，此时()(1)1t ϕϕ≥=， 故1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2min ()()24a a t a ϕϕ=-=--． ③若122a -≤<， 当114t ≤<时，2()t t at a ϕ=+-，对称轴1(1,]24a t =-∈-，此时113())(1)4164t a ϕϕϕ≥(=-<； 当14t ≤≤时，2()t t at a ϕ=-+，对称轴1[,1)24a t =∈-，此时()(1)1t ϕϕ≥=，故1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，min 113()()4164t a ϕϕ==-； ④若28a ≤<， 当114t ≤<时，2()t t at a ϕ=+-，对称轴(16,1]2a t =-∈--，此时113()()4164t a ϕϕ≥=-； 当14t ≤≤时，2()t t at a ϕ=-+，对称轴[1,4)2a t =∈，此时2()()24a a t a ϕϕ≥=-+，则2a ≤≤时，2131644a a a -≤-+，8a <<时，2131644a a a ->-+，故1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，min 213,2164()8.4a a t a a a ϕ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩ ⑤若8a ≥， 当114t ≤<时，2()t t at a ϕ=+-，对称轴42a t =-≤-，此时113()()4164t a ϕϕ≥=-； 当14t ≤≤时，2()t t at a ϕ=-+，对称轴42a t =≥，此时()(4)163t a ϕϕ≥=-， 因为8a ≥时，13163164a a ->-， 故1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，min ()163t a ϕ=-．综述：2min 21,2,1,2,42131(),16427,8,42163,8.a a a a h x a a a a a a a ≤-⎧⎪⎪---<<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪+-+<<⎪⎪-≥⎪⎩。