17.1.2勾股定理在实际生活中的应用2
勾股定理——在实际生活中的应用
17.1勾股定理——在实际生活中的应用学习目标1通过本科的学习，掌握利用勾股定理解决实际问题的方法:分析———画图———解答。
2掌握勾股定理在实际生活中的重要性。
3在互助学习中进一步了解数学源于生活，又服务于生活的道理。
教学重点如何利用勾股定理解决实际问题。
教学难点将实际生活问题转化成用勾股定理解决的数学问题。
教学手段多媒体课件教学准备课件五个生准备门框框架教学方式互助学习教学过程一、温故知新（一）出示课件一生齐读勾股定理（二）师：大家读的非常好，同学们，我们学习了勾股定理，你们知道它对我们的生活有哪些帮住呢？这节课我们就来学习17.1勾股定理——在实际生活中的应用。
通过这节课的学习你会知道勾股定理的重要性。
师板书课题：勾股定理———在实际生活中的应用师：请同学们打开教材25页，互助合作学习完成例1，例2.二、互助学习（一）出示课件2、3.结合课件小组进行互助学习。
师友互学，教师巡视指导。
生1汇报例1，师友补充并展示例1的解题过程。
生2讲解例2，师友展示例2解答过程。
（一）生讨论归纳：通过对例1、例2的学习，你发现了什么？教师板书：分析-------------画图--------------解答（RT△) (勾股定理)三、探究提升（一）出示课件4（思考题）师友再次合作学习、讨论、探究、质疑。
(二) 生利用前面所总结的解体方法解答，并指派一名学生讲解并板书，同时质疑。
四、当堂检测（一）出示课件5、生看题解答。
教师提示：要想在立方体图形上求两点间的最短距离、首先要把立体图形展开成平面图形再思考。
（二）组长检查组员的答卷一名学生到展台前展示解题过程。
五、总结收获(一)学友总结收获，师友补充。
教师概括总结。
(二)布置作业。
第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 第2课时 勾股定理在实际生活中的应用
17．1 勾股定理
第1课时 勾股定理的验证
知识点1：长度的计算 1．直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边 为( C ) A．4 B．8 C．10 D．12 2．(2015·永州)如图，有两棵树，一棵树高10米，另一棵高4米，两树 相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞 行( B ) A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
解：在Rt△ABE中，由勾股定理得BE＝6，在Rt△CDE中，由勾股定 理得DE＝8，故DB＝2 m
16．如图，将长方形ABCD沿过C点的直线折叠，使D的对应点F落在 AB边上，已知AD＝6，CD＝10，设折痕交AD于点E.求DE的长．
解：在Rt△BCF中，BF＝ 102－62 ＝8，∴AF＝2.设DE＝EF＝x， 则AE＝6－x，由(6－x)2＋22＝x2，得x＝130，故DE的长为130
解：如图
，因为此圆锥的高为12 cm，底面直径为10 cm，所
以MO＝12 cm，NO＝5 cm，所以在Rt△MNO中，NM2＝122＋52.即MN＝
13 cm.答：蚂蚁需要爬行的最短路程为13 cm
15．如图所示，从电线杆离地8 m高的A处向地面B处拉一条长10 m的 缆绳，如果从电线杆离地6 m高的C处同样拉一条长10 m的缆绳，这条 缆绳在地面的固定点D与B点的距离有多远？
的最短距离为 5
10．如图，P为第一象限的角平分线上一点，且OP＝2，则点P的坐标 是( B )
A．(－ 2， 2) B．( 2， 2) C．(2， 2) D．( 2，2)
11．如图，学校的保管室里，有一架5米长的梯子斜靠在墙上，此时
梯子与地面所成的角为45°，如果梯子底端不动，顶端靠到对面墙上，
人教版八年级(初二)数学下册 17.1 勾股定理 第二课时 PPT教学课件
么样的问题?
答：如果直角三角形两直角边分别为a， b，斜边为c，那么a2+b2=c2.根据勾股定 理，在直角三角形中已知任何两边可求 第三边.
cb a
导入新课
截竿进城
某人拿一根竹竿想进城,可是竹竿太长了,横竖都进不 了城.这时,一位老人给他出了个主意,把竹竿截成两半…… 你同意老人的建议吗?
探究新知 学生活动一【一起探究】
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第2课时 勾股定理的实际应用
学习目标
能够运用勾股定理解决相关实际问题,发展学生分析问 题、解决问题的能力,用数学的思维思考现实世界.
学习重难点
学习重点：勾股定理的应用. 学习难点：将实际问题转化为数学问题.
回顾复习
勾股定理的内容是什么?可以运用勾股定理解决什
解:因为在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=20,BC=60,
所以由勾股定理可知 AB= BC2−AC2= 602−202= 3 600−400= 3 200≈57(m). 答:A,B两点间的距离约为57 m.
扩展应用
《九章算术》中有这样一个问题,大致的意思为有一个水池,水 面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高 出水面1尺,如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰 好到达池边的水面,请问这个水的深度与这根芦苇的长度各是 多少?
探究新知
学生活动二【一起探究】
如图,一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时
AO为2.4 m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m,那么梯子底端B
也外移0.5 m吗?
A
分析：DB=OD-OB,
C
求 BD, 可 以 先 求
OB,OD.
人教版数学八年级下册勾股定理勾股定理在生活中的应用课件
问题2 下滑前，梯子底端B离墙角O的距离是多少? OB=? 问题3 下滑后，梯子底端D离墙角O的距离是多少? OD=?
问题4 下滑后梯子底端外移的距离是哪条线段的长度?如何计算?
BD =OD-OB
例2 如图所示，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO
为2.4m. 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?
建立 例2 如图所示，一架2.
勾 将生活中的实际问题转化 建模思想+数学结合思想+方程思想+勾股定理
8米 B.
为数学中的的直角三角形 例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.
股 5m,那么梯子底端B也外移0.
问题 x2+2x+1=x2+9
定 他们仅仅少走了______米，却踩伤了花草。
（转化思想） （建模思想）
所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底
2.4-0.5
2.6
端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m.
O
?
D
例2 如图所示，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO
为2.4m. 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?
A C
O BD
A 2.6
2.4
O?
方法总比困难多
执板进门
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m 的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么？
思考：木板进门的方式有哪些？ 横着、竖着、斜着
D
C
2m
A
B
1m
门框
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m 的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么？
人教版八年级数学下册17.1.2勾股定理的简单应用(教案)
围绕以上内容，本节课将结合具体例题，让学生在实际操作中加深对勾股定理的理解和运用。
二、核心素养目标
1.培养学生逻辑推理与数学抽象的核心素养，通过勾股定理的学习，使学生能够理解直角三角形边长之间的内在关系，提高数学推理能力。
2.培养学生数学建模的核心素养，使学生能够将实际问题转化为数学模型，运用勾股定理解决实际问题，增强数学应用意识。
-在解决实际问题时，难点在于如何指导学生将问题中的信息提取出来，比如在房屋建筑中，如何测量直角三角形的边长，以及如何使用勾股定理计算出所需的长度，从而解决实际施工中的问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《勾股定理的简单应用》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量直角三角形边长的情况？”（如测量墙角到地面的距离）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索勾股定理的奥秘。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握勾股定理的表达式：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
-学会运用勾股定理解决直角三角形边长计算问题，包括斜边和直角边的计算。
-能够将勾股定理应用于实际情境，解决生活中的问题。
-举例：给定一个直角三角形，已知两条直角边的长度，计算斜边的长度；或者已知斜边和一条直角边的长度，计算另一条直角边的长度。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理指的是直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。它是解决直角三角形边长计算问题的关键，广泛应用于建筑、工程等领域。
17.1 勾股定理(2)勾股定理的应用 参考解析
17.1 勾股定理第2课时勾股定理的应用课前预习1.应用勾股定理的前提条件是在直角三角形中.如果三角形不是直角三角形，要先构建直角三角形，再利用勾股定理求未知边的长.2.利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的计算和证明，其主要应用如下：（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；（2）已知直角三角形的任意一边，确定另外两边的关系；（3）证明包含平方关系的几何问题；（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长.3.一般地，n为正整数），通常是利用勾股定理作图.课堂练习知识点1 勾股定理的实际应用1.如图，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=___2___.2.【核心素养·数学抽象】如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要___7___米.3.（教材改编）如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑___0.5___米.【解析】在Rt△ACB中，根据勾股定理，得AC=22-=2.在2.5 1.5AB CB-=22Rt△ECD中，根据勾股定理，得CE=22-=1.5.∴AE=AC -ED CD2.52-=22CE=2-1.5=0.5.即滑竿顶端A下滑0.5米.故答案为0.5.4.如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上.他想知道风筝距地面的高度﹒于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线未端刚好接触地面.请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB.解：根据题意，得AC=AB+1，BC=5米.在Rt△ABC中，BC2+AB2=（1+AB）2.解得AB=12（米）.答：风筝距离地面的高度AB 为12米.5.放学以后，小东和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小东和晓晓行走的速度都是40米/分钟，小东用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，求小东和晓晓家的直线距离.解：根据题意作图，由图可知△ABO是直角三角形，OA=40×20=800（米），OB=40×15=600（米）.在Rt△OAB中，根据勾股定理，得（米）.答：小东和晓晓家的直线距离为1 000米.知识点2 在数轴上表示无理数6.（2020玉溪红塔区期末）如图，数轴上的点A表示的数是-2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC=2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（C）.7.用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示解：∵32+22=13，3和2的直角三角形的斜边长.∴课时作业练基础1.如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻度的直尺在这___8___条.30°，则以它的腰长为边2.有一个面积为的正方形的面积为___20___.3.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行（B）A.8米B.10米C.12米D.14米4.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读ｋǔｎ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，图2，推开双门，双门间隙C，D的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺=10 寸），则AB的长是（C）A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸5.（2020盘龙区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为 1.5米，则小巷的宽为（C）A.2.5米B.2.6米C.2.7米D.2.8米【解析】在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=1.5米，BD2+A′D2=A′B2，∴BD2+1.52=6.25.∴BD2=4.∵BD＞0，∴BD=2米.∴CD=BC+BD=0.7+2=2.7米.故选C.6.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-2，3），以点O为圆心，OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标在（B）A.-3和-2之间B.-4和-3之间C.-5和-4之间D.-6和-5之间7.如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三边a，b，c的大小关系是（B）A.c＜b＜aB.c＜a＜bC.a＜c＜bD.a＜b＜c8.（教材改编）小明拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿的长和门的高. 解：根据题意作图，由图可知AD=4尺.设门高AB为x尺，则竹竿的长BD为（x+1）尺.在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2+AD2=BD2，即x2+42=(x+1)2，解得x=7.5.则x+1=8.5.答：竹竿的长为8.5尺，门高为7.5尺.9.【核心素养·数学抽象】一根直立的旗杆AB长 8 m，一阵大风吹过，旗杆从C点处折断，顶部（B）着地，离杆脚（A）4 m，如图.工人在修复的过程中，发现在折断点C的下面1.25 m 的D处，有一明显伤痕，如果下次大风将旗杆从D 处刮断，则杆脚周围多大范围内有被砸伤的危险？解：在Rt △ABC 中，设AC 的长为x m ，则BC 的长为（8-x ）m.根据勾股定理，得AC 2+AB 2=BC 2，即x 2+42=（8-x ）2.解得x=3，即AC=3.当从点D 处折断时，AD=AC-CD=3-1.25=1.75，∴BD=8-1.75=6.25.∴AB=3675.125.62222=-=-AD BD =6 （m ）.答：杆脚周围6 m 范围内有被砸伤的危险.10.如图，铁路上A ，B 两站（视为直线上的两点）相距25 km ，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，DA=15 km ，CB=10 km ，现要在铁路上建设一个土特产收购站E ，使得C ，D 两村到收购站E 的距离相等，则收购站E 应建在距离A 站多少km 处？解：∵C ，D 两村到E 点的距离相等，∴CE=DE.在Rt △DAE 和Rt △CBE 中，根据勾股定理，得DE 2=AD 2+AE 2，CE 2=BE 2+BC 2，∴AD 2+AE 2=BE 2+BC 2.设AE=x km ，则BE=（25-x ）km.x 2+152=(25-x)2+102.解得x=10.答：收购站E 应建在距离A 站10 km 处.提能力11.如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则BC 边上的高是（ A ）A.223 B.1055 C.553 D.554【解析】由图形，根据勾股定理可得ABC 的面积为2×2-12×1×1-12×1×2-12×1×2=4-12-2=32，再根据△ABC 面积的不同计算方法得32=12BC 边上的高.故选A. 12.有一辆装满货物的卡车，高5 m ，宽3.2 m （货物的顶部是水平的），要通过如图所示的截面的上半部分是半圆，下半部分是长方形的隧道，已知半圆的直径为4 m ，长方形竖直的一条边长是4.6 m.这辆卡车能否通过此隧道？请说明理由.解：能通过. 理由如下：如图，设O 为半圆的圆心，AB 为半圆的直径，在OB 上截取OE=3.2÷2=1.6（m ），过点E 作EF ⊥AB 交半圆于点F ，连接OF.在Rt △OEF 中，OF 2=OE 2+EF 2，即22=1.62+EF 2，解得EF=1.2 m.因为1.2+4.6=5.8（m ）＞5 m ，所以这辆卡车能通过此隧道.。
八年级数学人教版下册勾股定理勾股定理2
数学来源于 生活，勾股定理 的应用在生活中 无处不在……
D
C
A
B
1m
2m
人教版八年级数学 下册
17.1 勾股定理
第2课时 勾股定理在实际生活中的应用
学习目标
1. 会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问 题。
2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模 型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联 系，并进一步求出未知边长。
B3
解：由题意知有三种展开
方法，如图.由勾股定理得
B1
高三数学复习中的几个注意点
AB12 =102 +（6+8）2 =296，
4 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
B AB = 8 +（10+6） =320， 29 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
D
C
B
A
课 结堂
总
同学们，本节课你收获了什么？
课后作业 1.整理本节知识点 2.选做题： 同步检测题
一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。
由题意可知：AC=6千米，BC=8千米
距离及路径最短问题
检测目标
1．若等腰三角形中相等的两边长为 10cm,第三边长为16 cm,那么第三边上的
高为 ( D)
A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 6 cm
检测目标
2.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成
由飞题机意 在可空知中：水平AC飞=6行千，米某，一B时C=刻8刚千好米飞到一个男孩头顶上方3千米处，过了20秒，C飞机距离这个男？孩头顶5千米.
人教版数学八年级下册17.1.2用勾股定理解决折叠问题(教案)
一、教学内容
人教版数学八年级下册17.1.2用勾股定理解决折叠问题。本节课主要内容包括：
1.理解折叠问题的基本概念，掌握折叠过程中边长、角度的变化规律。
2.运用勾股定理解决实际问题，如折叠后的形状的边长计算、角度计算等。
3.通过实际操作，观察折叠前后的形状变化，培养学生的空间想象能力。
在讲授过程中，我特别强调了勾股定理在折叠问题中的运用和折叠过程中的边长、角度变化这两个重点。通过举例和图示，我希望能够帮助学生突破这些难点。然而，从学生的反馈来看，我意识到在今后的教学中，需要更加注重引导学生从直观到抽象的思维过渡。
实践活动和小组讨论环节，学生们表现出了很高的热情。他们积极参与讨论，提出自己的观点，并在小组内展开激烈的辩论。这让我看到，学生们具备一定的团队合作能力和问题解决能力。但同时，我也注意到，部分学生在讨论过程中仍然存在依赖心理，需要加强独立思考能力的培养。
3.培养学生逻辑思维和推理能力，让学生在解决问题的过程中，学会分析、归纳、总结，提高数学逻辑素养。
4.培养学生合作交流、分享成果的意识，提高学生的团队协作素养，使学生能在团队中发挥个人优势，共同解决问题。
5.激发学生数学学习兴趣，让学生在探索折叠问题的过程中，体验数学的乐趣，培养数学情感素养。
三、教学难点与重点
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是指在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。它在几何学中有着极其重要的作用，可以帮助我们解决许多实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们折叠一个直角三角形纸片，如何通过勾股定理计算折叠后的形状的边长？这个案例将展示勾股定理在实际中的应用。
17.1.2 勾股定理第2课时
(3)若有一块长3米,宽2.2米的薄木板,
能否从门框内通过?
善言
【例2】如图,一个3米长的梯子AB,斜靠 在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5 米.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米,那么 梯子底端B也外移0.5米吗?(计算结果保留 两位小数)
【例3】一个大树高8米,高度是多少?
善行
1.已知:△ABC为等边三角形,AD⊥BC于D,AD=6.求AC的长.
2.如图,要修建一个蔬菜大棚,大棚的截面是直角三角形,棚宽m=4米,高 n=2米,长d=15米,求覆盖在顶上的塑料薄膜需多少平方米?(结果保留小 数点后1位)
知行合一
今天学习了什么？ 你学到了什么？
还有什么疑惑？ 有什么感悟？
第十七章 17.1.2
勾股定理
勾股定理的应用（1）
善思
• 如图:在一个圆柱石凳上,若小明在吃东西时留下了一点食物在B处,恰
好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息,于是它想从A处爬向B处,请想一 想,蚂蚁怎么走最近?
善学
1.自学课本,尝试完成课本练习. 2.小组合作,探究以下例题.
【例1】一个门框的尺寸如图所示:(1)若有一块长3米,宽0.8米 的薄木板,能否从门框内通过?(2)若有一块长3米,宽1.5米的 薄木板,能否从门框内通过?
人教版八年级数学下册17.1.2勾股定理的应用(教案)
关于学生小组讨论环节，我发现学生在讨论过程中能够提出自己的观点，并进行有效交流。但在引导与启发方面，我觉得自己还可以做得更好。未来，我将更多地运用开放性问题，激发学生的思考，帮助他们发现问题、分析问题和解决问题。
人教版八年级数学下册17.1.2勾股定理的应用（教案）
一、教学内容
人教版八年级数学下册17.1.2勾股定理的应用。本节课主要内容包括：
1.理解并掌握勾股定理的应用场景，如直角三角形中，了解斜边与两个直角边的关系。
2.学会运用勾股定理解决实际问题，如计算直角三角形的斜边长度、判断一个三角形是否为直角三角形等。
5.培养学生数学运算的核心素养，让学生熟练掌握勾股定理，并能灵活运用到各种计算和证明过程中，提高运算的准确性和速度。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：勾股定理及其在直角三角形中的应用。
-重点讲解：
-勾股定理的表述：直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方和。
-勾股定理的证明：通过几何图形或代数方法，证明勾股定理的正确性。
其次，理论讲解环节，我尽量用简洁明了的语言解释勾股定理的概念和证明过程。从学生的反应来看，大部分同学能够跟上我的讲解，但仍有少数同学在理解上存在困难。针对这个问题，我考虑在今后的教学中，可以通过增加互动提问环节，让学生在课堂上及时反馈疑问，以便我更好地关注到每个学生的学习情况。
在案例分析环节，我选取了建筑物直角三角形结构作为例子，旨在让学生了解勾股定理在实际问题中的应用。从学生的讨论来看，这个案例取得了较好的效果。但在今后的教学中，可以尝试引入更多类型的案例，让学生从不同角度理解勾股定理的应用。