二维波动方程的一种高精度紧致差分方法
二维有限差分 代码 matlab
二维有限差分代码MATLAB一、介绍有限差分方法是一种常用的数值求解偏微分方程的方法，它将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程。
其中，二维有限差分是在二维空间中对偏微分方程进行离散化求解的方法。
MATLAB是一种广泛应用于科学计算和工程领域的编程语言和软件评台，它提供了丰富的工具箱和函数，可以方便地实现二维有限差分方法。
二、二维有限差分的基本原理假设要求解的偏微分方程为二维波动方程：∂^2u/∂t^2 = c^2(∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2)其中，u代表波动的振幅，t代表时间，x、y分别代表二维空间中的坐标，c为波速。
利用有限差分方法对偏微分方程进行离散化，可以得到一组代数方程。
假设在二维空间中取N个网格点，将空间进行离散化，可得到离散的网格点坐标(xi, yj)，其中i,j=1,2,...,N。
对时间进行离散化，得到时间步长Δt，可得到离散的时间点tk，其中k=0,1,2,...,M。
用中心差分格式离散化偏微分方程，可得到如下的差分方程：(u(i,j,tk+Δt) - 2u(i,j,tk) + u(i,j,tk-Δt)) / Δt^2 = c^2(u(i+1,j,tk) -2u(i,j,tk) + u(i-1,j,tk)) / Δx^2 + c^2(u(i,j+1,tk) - 2u(i,j,tk) + u(i,j-1,tk)) / Δy^2将上述差分方程用适当的边界条件离散化，就可以得到求解二维波动方程的代数方程组。
三、 MATLAB实现二维有限差分MATLAB提供了丰富的工具箱和函数，可以方便地实现二维有限差分方法。
以下是使用MATLAB实现二维有限差分的基本步骤：1. 网格的生成首先需要生成二维空间中的网格点，可以使用meshgrid函数生成网格点的坐标。
假设在x、y方向上分别取N个网格点，则可以用如下的代码生成网格点坐标：```MATLABx = linspace(0, L, N);y = linspace(0, W, N);[X, Y] = meshgrid(x, y);```其中，L为空间在x方向上的长度，W为空间在y方向上的宽度。
求解一维扩散反应方程的隐式高精度紧致差分格式
求解一维扩散反应方程的隐式高精度紧致差分格式1概述一维扩散反应方程是描述许多物理过程的数学方程之一，如化学反应、热传导等。
在求解这样的方程时，我们需要寻找适合的数值解法。
本文将介绍一种隐式高精度紧致差分格式，用于求解一维扩散反应方程。
2一维扩散反应方程一维扩散反应方程可表示为：$$\frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\rho u(1-u)$$其中，$u(x,t)$表示物理量的变量，$D$为扩散系数，$\rho$为反应速率常数。
初始条件为$u(x,0)=u_0(x)$，边界条件为$u(0,t)=u(L,t)=0$，其中$L$为区间长度。
3差分方法为了求解上述方程的数值解，我们需要使用差分方法。
差分方法可以将连续的偏微分方程转化为离散的方程，从而得到数值解。
这里我们采用一阶差分法和二阶差分法分别对时间和空间进行离散化。
时间离散化：$$\frac{\partial u(x,t)}{\partialt}\approx\frac{u(x,t+\Delta t)-u(x,t)}{\Delta t}$$空间离散化：$$\frac{\partial^2u(x,t)}{\partialx^2}\approx\frac{u(x+\Delta x,t)-2u(x,t)+u(x-\Deltax,t)}{\Delta x^2}$$将上述两个式子带入到原方程中，得到离散化形式：$$\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t}=D\frac{u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n}{\Delta x^2}+\rho u_i^n(1-u_i^n)$$其中，$n$表示时间步长，$i$表示空间位置。
4隐式高精度紧致差分格式在上述差分方法中，我们采用了一阶差分法和二阶差分法，这种方法的精度有限。
为了提高求解的精度，可以采用更高阶的差分方法。
CP计算物理波动方程和薛定谔方程实用
( )i
(i
i )
i
i ,,..., N
第9页/共13页
• 差分格式
第一种差分格式：
yi
,k
( ) yi,k
( yi,k
yi,k )
yi,k , i
,,...,N
, k
,,...,M
yi, (ih)
yi
,
(ih)
(ih)
y,k
g(k )
i ,,...,N, k ,,...,M
y,k g (k )
第二种差分格式：
yi,k
( ) yi,k
( yi,k
yi,k )
yi,k , i
,,...,N
, k
,,...,M
yi, (ih)
i ,,...,N
yi,
(
)i
(i
i ) i
i ,,...,N
y,k g (k )
y,k
g (k )
其中, l 是弦线长度，T 表示有限时间。
(10.2)
第4页/共13页
一维波动方程的差分解法
• 弦线的横振动方程的求解问题
二、初始边界条件 初始条件一般形式为：
y(x,0) (x)
y(x,0) t
(x)
边界条件为：
0 xl
y(0, t ) y(1, t )
g1 g2
(x) (x)
第5页/共13页
波动方程概述
• 弦线的横振动方程
若又无外力，即 f (x,t) 0 ，则均匀弦线的自
由横振动方程为一维齐次波动方程，即
2y 2 2y
t 2
x 2
其中，
T 是波速，或称相速。
二维波动方程初值问题
二维波动方程的初值问题可以描述为：
1.波的传播方向与坐标轴方向平行，所以方程中只含有二阶偏导数，不含有交叉偏导数。
2.波的传播具有周期性，即波前波后不断重复，因此方程具有周期性解。
3.波的传播具有散射性，即波在传播过程中会遇到障碍物或介质不均匀分布等情况，导致波的散射。
4.波的传播具有吸收性，即波在传播过程中会因为介质吸收能量而逐渐减弱。
对于初值问题，需要给出初始时刻波场的状态，即初始条件。
初始条件通常由波源的位置和强度决定，可以表示为：
1.初始位置：波源在初始时刻的位置。
2.初始速度：波源在初始时刻的速度。
3.初始位移：波源在初始时刻的位移。
4.初始能级：波源在初始时刻的能量级别。
根据不同的初始条件，可以求解出不同的二维波动方程的解。
求解方法通常采用分离变量法、傅里叶变换、拉普拉斯变换等数学方法。
【国家自然科学基金】_richardson外推_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140801
推荐指数 4 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 schrsoinger equation 1 schrodinger方程 1 richardson extrapolation method 1 high-order compact scheme 1 high accuracy 1
2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
科研热词 推荐指数 截断误差 3 richardson外推法 3 高精度 2 紧致差分格式 2 richardson外推算法 2 richardson外推 2 helmholtz方程 2 crank-nicolson格式 2 隐式 1 里查森(richardson)外推 1 绝对稳定 1 紧差分格式 1 理查森外推算法 1 机械求积法 1 数值误差 1 数值积分 1 导数的数值计算 1 导数数值计算 1 奇点 1 后验误差估计 1 反应扩散方程 1 位势方程 1 交替方向隐式差分格式 1 不确定性 1 tayolor公式 1 taylor定理 1 1 schr(o)dinger方程 1 romberg算法 1 cfd 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
科研热词 richardson外推法 高阶紧致格式 高阶紧致差分方法 高维波动方程 高精度 绝对稳定 算子插值 泊松方程 本征值问题 数值逼近 抛物型偏微分方程 截断误差 恒等式 多重网格方法 外推 四面体线元 变时间分数阶扩散方程 交替方向隐式迭代 交替方向隐式方法 交替方向差分格式 三角线元 三维泊松方程 richardson外推 richardson extrapolation method high dimensional wave equation high - order compact scheme coimbra变分数阶导数 adi method
二维TTI介质的纯P波波动方程数值模拟
二维TTI介质的纯P波波动方程数值模拟张千祥;王德利;周进举【摘要】声波各向异性数值模拟对地震数据处理和解释起着重要的作用.基于Tsvankin提出的精确色散关系,通过平方根近似,在时间-波数域中推导出二维TTI 介质纯P波声波波动方程,并利用快速展开法(Rapid Expansion Method,REM)进行了数值模拟.与传统的有限差分法求解二维TTI介质耦合方程和傅里叶有限差分法在时间上进行波场外推相比,该方法的模拟结果精度更高,计算速度更快,并且成功去除横波分量.【期刊名称】《石油物探》【年(卷),期】2015(054)005【总页数】8页(P485-492)【关键词】声波各向异性数值模拟;纯P波声波方程;快速展开法;有限差分法;傅里叶有限差分法【作者】张千祥;王德利;周进举【作者单位】吉林大学地球探测科学与技术学院,吉林长春130026;吉林大学地球探测科学与技术学院,吉林长春130026;吉林大学地球探测科学与技术学院,吉林长春130026【正文语种】中文【中图分类】P631地震数值模拟是地震勘探方法研究的前提和基础,在地震勘探和地震学的各项研究及生产工作中都扮演着重要的角色[1]。
常用的地震波场数值模拟方法主要有几何射线法、波动方程法和积分方程法[2]。
波动方程模拟方法中的有限差分法由于计算速度快、占用计算机内存小而被广泛应用。
很早时候各国地球物理学家就对各向同性介质和各向异性介质弹性波地震数值模拟进行了深入研究。
近年来,周进举等[3]利用高阶旋转网格有限差分法研究了复杂介质下弹性波数值模拟。
在对地下的各向异性介质进行弹性波数值模拟时,由于弹性波方程复杂,各向异性参数多,导致模拟计算量大,耗时长,增加了弹性波偏移和干涉的难度。
为了解决这些问题,我们采用声波各向同性近似理论,通过设定弹性波中的横波速度为零来简化计算参量,在保证模拟精度的条件下提高计算效率。
然而,由于地下介质的不均匀性,这种各向同性的声学假设常常是不恰当的。
大学物理-波动方程
通过将波动方程中的空间和时间变量分离，简化求解过程。
傅里叶分析
利用傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，便于分析波的频率 和振幅。
数值解法
对于复杂边界条件和初始条件，采用数值方法求解波动方程。
三维波动方程的应用
声波传播
研究声波在介质中的传播规律，如声呐、超声成像等。
光学研究
解释光波在介质中的传播规律，如折射、干涉、衍射等现象。
波动方程在声学中的应用
声波传播规律
波动方程可以用来描述 声波在空气、固体等介 质中的传播规律，如声 速、声压、声强等。
声学仪器设计
在声学仪器设计中，如 超声波探伤仪、声呐等， 需要利用波动方程来计 算和优化仪器的性能。
声音信号处理
在声音信号处理中，如 音频压缩、降噪等，可 以利用波动方程对声音 信号进行分析和变换。
数值解法
对于一些复杂的问题，可以通过 数值计算方法求解二维波动方程， 如有限差分法、有限元法等。
二维波动方程的应用
声波传播
在声学领域，二维波动方程可以用来描述声波在 固体、液体或气体中的传播规律。
地震波传播
在地球物理学中，二维波动方程可以用来模拟地 震波在地壳中的传播和散射。
电磁波传播
在电磁学领域，二维波动方程可以用来描述电磁 波在介质中的传播特性。
物理背景
波动方程基于物理原理，如牛顿第二定律和弹性力学 等，用于描述波在空间中的传播和变化。
建立过程
通过将物理原理和数学方法相结合，可以建立二维波 动方程的数学表达式。
二维波动方程的解法
分离变量法
通过将二维波动方程中的空间和 时间变量分离，将问题简化为求 解一系列一维方程。
傅里叶分析
利用傅里叶变换将时间和空间域 的函数转换为频率域的函数，从 而简化求解过程。
三大偏移方法的对比-克西霍夫偏移、有限差分、波动方程偏移
叠加偏移成像技术1.多次覆盖技术的意义。
在野外采用多次覆盖的观测方法，在室内将野外观测的多次覆盖原始记录经过抽取共中心点或共深度点或共反射点道集记录、速度分析、动静校正、水平叠加等一系列处理的工作过程，最终得到基本能够反映地下地质形态的水平叠加剖面或相应的数据体，这一整套工作称为共反射点叠加法，或称为水平叠加技术。
多次覆盖是当今地震勘探野外作业中最基本的工作方法。
多次覆盖资料既是野外工作的最终成果之一，也是室内资料处理和各种反演工作最基础、最原始的资料。
多次覆盖技术最早是由梅恩提出的，它的基本思想是按照一定的观测系统对地下某点的地质信息进行多次观测，这样可以保证即使有个别观测点受到干扰也能得到地下每一点的有效信息，从而使原始记录有了质量保证。
多次覆盖技术的最突出的作用是能够有效地压制随机噪声，提高信噪比，比如经过n 次覆盖，信噪比是原来信号的√n倍。
从而突出反射波，压制干扰波，提高信噪比，为地震资料处理解释提供较高质量的地震资料。
2.比较三大类偏移方法的优劣势。
目前，所说的三大类偏移方法指的是Kirchhoff积分法、有限差分法和频率-波数域偏移法。
下面将对这三类方法的优点和不足进行简单的比较。
（1）偏移孔径的差异Kirchhoff积分法一般需要根据偏移剖面上的倾角确定偏移范围，即孔径。
这个孔径在理论上可以取成满足90°倾角的要求。
但实际上总是取得小一些。
特别是浅层一般取±25°以内即可。
深层的孔径要大一些，但是要以最大倾角为依据。
否则，或者增加工作量，或者增强偏移噪声。
频率-波数域偏移没有孔径限制，因此它可以自然满足±90°倾角偏移。
它与Kirchhoff 积分法的控制孔径的方式不同，频率-波数域偏移法可以通过在频率-波数域中的二维滤波来控制偏移孔径。
有限差分法可以通过数值的粘滞性来控制孔径，其实质也是一种二维滤波。
另外，有限差分法常用的是一种近似方程。
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（一 ） —２） ＝ ） Ａ （ ， （ ； Ｔ２ ＋ ×
ｅ
，
Ｊ
＋Ｒ
０≤ ， ≤ 一１， Ｏ≤ ｎ≤ Ⅳ 一 １
用 ｒ表示时 间步 长 ， ｈ表 示空 间步 长 ， １给 出 了 当 ７＝ 表 －
（） ８
ｅ ＝ｏ
ｈ ［ （ Ｌ 曰
Ａ
（
３ 数值 验 证
对于式 （ ）一（ ） 令 （ ｙ ￣ ， ｉ（ ）ｉ（ｒ） （ １ ４， ， ）＝ ２ ｒｎ ｓ Ｔ ， ， ｒ ｓ ｎ ｙ
Ｙ ）＝０ｇ ， ，） ， 问题 的精确解 为 ／ ， ，）＝ ｉ（ 订 ） ，（ Ｙ ｔ ＝０ 则 ２ Ｙ ｔ ｓ ｔ （ ｎ ｓ （Ｔ）ｉ（ｒ） ｉ ＇ ｓ 叮 。数值 实验计算是用 Ｆ ￣ａ ７语言进行编程 ｎＩ ｎ ｙ Ｘ ｏ ｒｎ７
ｈ） 。 阶精度的数值 解。孙 志 忠 提 出 了求 解二 维波 动方 程 的 高精度交替方 向隐式 方法 ， 并且是无条件稳定 的。有关这方 面 最新 的一 些 工作 可参 见 文献 ［ ６—８ 。本文 在 此工 作基 础 之 ］
上， 利用 Ｒｃ ａ ｓｎ外推法进 一步 提 高计 算精 度 ， ｉ ｒｏ ｈｄ 最终 可得 到
ｏ≤ √≤ 一１
４ ｔ ｈ ，＝１时刻 ， 本文格 式在不 同网格步 长下误 差 的 、 、
范数 ， 以及与四阶 Ａ Ｉ Ｄ 格式 计 算结 果 的 比较 。Ｌ 范 数定 义 ２
厂］ｉ 面＝广——一 『
ｄ］ ＝ ｏ 。 ｅ
＼ ｅ ＝０
。 ≤ Ｍ
一
１
层的。即每一次时间推进都需要知道前 两个 时间步 的值 ， ０ 第
求解该 问题 精度为 Ｏ（ ＋ 。 的数值解 。 ｈ）
１ 高 阶紧致 Ａ 格 式 ＤＩ
考虑如下二维波动方程
收稿 日期 ：２ １ － １ １ ；修 回 日期 ：２ １ －２ １ ０ １ １ —０ ０ １ １—９
层值 由式 （ ） ２ 精确给 出 ， 式 （ ） 与 ５ 相匹配 的第 一个 时间步 的离
Ｈｉｈ－ｒ ｅ ｏ ａ ｔｄｆｅ ｅ ｃ ｔｏ ｏ ｏｖｎ ｇ ｏ ｄ ｒｃ ｍｐ ｃ ｉ ｒ ｎ ｅ ｍｅｈ ｄ ｆｒｓ ｌｉ ｇ ｆ
ｔ ｉ ｎ ｉ ｎ ｌｗａ ｅ ｅ ｕ ｔｏ ｗｏ ｄ ｍｅ ｓｏ ａ ｖ ｑ ａ ｉ ｎ
Ｒ ｕ — ａ ＥＮ Ｊ ｎｈ ｏ，ＸＩ ｎｒ ｉ Ｅ Ｄａ － ｎ
女 ， 西户 县人 ， 士 ， 陕 博 主要 研 究 方 向为 智 能计 算 ．
第 ６期
任 军 号 ， ： 维波动 方程 的一 种 高精 度 紧致 差分 方法 等 二
・ １ ３・ ２１
２ Ｒｃ ａｄ ｏ ｉｈ ｒｓ ｎ外 推算 法
选取 正整数 和计算 所需到达时刻 ， 令 ｈ＝１Ｍ， 并 ／ Ｎ＝ ｒ 。式 （ ） ５ 的截断误差为
进行特殊处理 、 省时 、 整体精度 高 、 对高频波有更好 的分辨率等 优越性 ， 日益受到重视 。文献 ［ ］ 出了求解二 维非定 常对流 ４提
扩散方程 的高精度 Ａ Ｉ 式。文献 ［ ］ 出 了二 维常 系数反 Ｄ格 ５提
｛
ｆ 一 ６ ：８ ］ ＋ｊ （ 手 ［２ ； ａ， Ａ Ｂ＋ “ Ｂ ￣ ， Ｔ
散格式为
¨
１
＝
（ ，， （ ，７ ｙ）＋ ｙ）
（） ６
基 金 项 目 ： 国家 自然 科 学基 金 资助 项 目（ １０ １６） ６ ０ １５
作者简 介： 任军号（９ ３ ） 男， １６ 一 ， 陕西周至人 ， 教授 ， 博士 ， 主要研究方向为智 能计算 、 城市 系统仿真等（ｅｊｎａ＠ｎ ｐ ．ｄ ．ｎ ； 丹蕊 （９ １ ） ｒｎｕｈ ｏ ｗ ｕｅ ｕ ｅ ） 解 １８ －
（一—） 出其 Ａ ， ２ １ Ｂ ，ｈ ／ ， Ｂ 号 给 ， 中 ＝＋ ２ ：＋２ １ ｇ ２ ， ／ ￣２
、
和 表示二 阶中心差分算子 。
紧致 差分格式（ ） ５ 的截断误差 为 ０（ ＋ｈ ） 即空 间为 四 ｒ ，
阶精 度 、 间为二 阶精度 ， 时 并且是无条件稳定 的， 因为格式是三
０ ｕ ２
０
２
ｕ
０
ห้องสมุดไป่ตู้
２ ／ ／ ， ２
０ 引言
双 曲型偏微分方程在航空 、 气象 、 海洋 、 水利等许多流体力
＝
ａ
２
ａ ｖ
＋ （ ｙ，） （ 川 ， ， ￡ ，
∈力×（ ］ 。，
（） Ｉ
（ ｙ０ （ Ｙ （ Ｙ ，， ）＝ ，） ，）∈ｎ
：
（ ２） （） ３
求未知量 ，，） Ｙ ｔ为非齐次项 ； ， ） （ Ｙ 和 ｇ ， ，） （ Ｙ 、 ， ） （ Ｙｔ 均为 已知 函数且具有充 分的光滑性 。用 表示 时间步长 ， 空间
取等距 网格 ， 步长用 ｈ表 示 。由文 献 ［ ］ ５ 可得 式 （ ） １ 的高精 度
紧致 Ａ Ｉ 式 为 Ｄ格
【Ｂ ｆ一 ｕ＝ “
（） ５
映扩散方 程 的紧 交 替方 向隐式 差 分 格式 ， 其精 度 为 ０（ 。＋ ｒ
ｈ ） 然后利用 Ｒｃ ａ ｓｎ外 推法 ， ４， ｉ ｒｏ ｈｄ 外推 一次 得到 具有 Ｏ（ ＋ ｒ
对于 过 渡 变 量 ：的 边 界 条 件， 以 由 ／ ＝ ， 可 ￣ ｉ ：
（ ４）
学的问题中均有应用 。由于物理 问题本身 的复杂性 ， 其精确解
往往不容易求得 ， 因此研究其 数值解 法具有 非常重 要的意 义。
） 力
¨ ， ，）＝ｇ ， ，） （ ｙ （ Ｙｔ （ Ｙｔ ， ）∈』 ｔ ０，’ ’ ∈（ ｊ
有限差分法是数值求解该 方程 的常用 方法之一 。在有 限差分
任军号 ，解丹蕊
（ 北工业 大 学 自动化 学 院 ，西安 ７ ０ ７ ） 西 １０ ２ 摘 要 ：提 出了一种 求解二 维波 动方程 的 高精 度 紧致 差分 方 法 ， 方 法 首先 利 用 紧 交替 方 向 隐式 差分 格 式 ， 该 其
截 断误 差为 Ｄ ｜ ＋ ， 别在粗 网格 和细 网格 上 对原 方程 进行 求解 ， （ ｈ） 分 ｒ 然后 利 用 Ｒｃａ ｓｎ外推 计 算一 次 ， 一 ｉ ｒｏ ｈｄ 进 步提 高精度 ， 到 了二 维波动 方程具 有 Ｏ ｆ ＋ 。 精 度 的数 值 解 。数值 实验 验证 了该 方 法 的可 靠性 、 效性 和 得 （ ｈ） 有
ｔａ ｏａｉ ｎ ｍｅ ｈ ｄ ｒ ｐ ｌｔ ｔ ｏ ．Ｔ ｅ ｎ ｍｅ ｉａ ｘ ｅｉ ｎ ｓｄ ｍｏ ｓ ａｅ ｔ ｅ ｈｇ ｃ ｕ ａ ｙ，ｅ ｃｅ ｃ ｎ ｅ ｅ ｄ ｂ ｌ ｙ ｏ ｅ ｍｅｈ ｄ ｏ ｈ ｕ ｒ ｌｅ ｐ ｒ ｃ ｍｅ ｔ ｅ ｎ ｔ ｔ ｈ ｉｈ ａ ｃ ｒ ｃ ｒ ｉ ｆ ｉｎ ｙ ａ ｄ ｄ ｐ ｎ ａ ｉ ｔ ｆｔ ｔ ｏ ． ｉ ｈ Ｋｅ ｒ ｓ ｗｏ ｄ ｍｅ ｓｏ ａ ｖ ｑ ａｉｎ；ｈ ｇ — ｒ ｅ ｏ ａ ｔｓ ｈ ｍｅ；ａｔｒ ａｉ ｇ ｄ ｒ ｃｉｎ ｉ ｌ ｉ ｓ ｈ ｍｅ ｙ ｗｏ ｄ ：ｔ ｉ ｎ ｉｎ ｌ ｗａ ｅ ｅ ｕ ｔ ｏ ｉ ｈ ｏ ｄ ｒｃ ｍｐ ｃ ｃ ｅ ｌ ｎ ｔ ｉｅ ｔ ｍｐ ｉ ｔ ｃ ｅ ｅ ｎ ｏ ｃ
精确 性 。
关键 词 ：二 维波 动方程 ；高精 度 紧致 差分 格式 ；交替方 向 隐式格式 中图分类号 ：０ ４ ． ２ ２ １８ 文献标 志码 ：Ａ 文章编 号 ：１ ０ — ６ ５ ２ １ ） ６ ２ ｌ —２ ０ １ ３ ９ （ ０ ２ ０ — ｌ ２ ０
ｄｉ１ ． ９ ９ ｊｉ ｎ １０ — ６ ５ ２ １ ． ６ ０ ８ ｏ ：０ ３ ６ ／ ． ｓ ． ０ １ ３ ９ ． ０ ２ ０ ． ２ ｓ
且 在 Ｐ ｎｉ Ⅲ１０ Ｃ机 上 双 精 度 制 下 进 行 的 。 ｅｔ ｍ ｕ ０ ０Ｐ
假设 ｕ ｘ ， ， ） （ Ｙ ｔ 为定 解 问题 式 （ ）一（ ） ｊ １ ４ 的解 ， ， ｈ ｆ （ ，）
为差分格 式（ ） ５ 的解 ， 中 ０ ， 其 ≤ｉ ≤Ｍ， Ｊ ０≤ｎ ≤Ｎ， ｅ 记 ＝ ｕ ， （
ｉ ∈ａ ， ， ０≤凡≤Ⅳ
为 ｌ ｌ ＝√ 『
法 中， 交替 方向隐式 （ Ｄ ） Ａ Ｉ方法是求解 高维 问题 的一种 非常有 效 的方法 ， 传统的 ＰＲ、 ｏｇ ｓ Ｌ Ｄ格 式都 是二 阶精度 的 ， — Ｄ ｕｌ 及 Ｏ ａ 并引起 了许多学者 的关注 Ｊ 。 近年来 ， 高精度紧致差分格式 由于具有不需要对相邻 节点
其 中： ＝｛ ，）０≤ ｙ ｝ 厂为 力 的边界 ； （ Ｙ ｔ 为 待 （ Ｙ ： ， ≤１ ； ¨ ， ，）
Ｒ＝ 丑 （ ９
２０ ４
等×
加 （ ｆ ｈ ＋ｈ ）（ ６ ７）
＝１ ｎ 百 ４ ６
，
［ ６ （ ， ， ）＋ 占０ （ ，，ｔ） 日 ｔ Ａ ２ ｙ， ］＋ ｎ ２ｕ
（ ，） “ｈ ÷ 一 ７ ｈ 古ｊ （
（ ０≤ｉ ≤Ｍ， ． ０≤ｎ ≤Ｎ）
ｕ ｙ ［ （ ，） ） ０４ ＋ （ Ｊ 百４ 告÷ 一 （ ］ （＋ ， １ｎ 一 ６， 古 ＝ ｒ
即 分别在区 域 和 上得到解ｕ （≤ ≤ ） ｏ Ｍ 和吃 （≤ ， ｏｉ
ｊ． Ｍ） ＜２ 。用 Ｒ ｃａｄｏ ｉｈｒｓｎ外推 法 ， 得到 式 （ ） 可 １ 在 上 的截 断 误差为 ０ Ｔ ＋ｈ ） （ ４ 的近似值 ， 即
（ Ｄ ）ｄ ｆ ｅｃ ｃｅ ｅ ｗ ｉ ｅｅ ｆ ｒｅ ０ ＋ ，ｈ ｎｇｔ ｎ０（ 。 ｃｕａｙｓｌｔ ｎｖａ ｈ ｉ ａｄｏ ｘ Ａ Ｉ ｉｅ ｎ ｅｓ ｍ ， ｈ ｈｗ ｒ ｏ ｄ ｒ （ ｆｒ ｈ ｃ ｏ ｈ ） ｔｅ ＋ｈ ）ａｃｒｃ ｏ ｉ ｉ ｔｅＲｃ ｒｓｎｅ— ｏａ ｒ ｕｏ ｈ