(完整版)浙江省宁波市九校2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题
宁波市2019学年第学期一九校联考高一数学试题
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1.已知集合0Axx，集合16Bxx，则ABI( )
A.(1,0) B.(0,6] C.(0,6) D. (1,6]
2.函数tan()43yxx的值域是( )
A.(1,1) B. 3(1,)3 C. (1,3) D.[1,3]
3．已知,xyR，且0xy，则( )
A.110xy B. coscos0xy C.11022xy D. lnln0xy
4.已知向量31,22ar，2br，且3abrr，则ar与br的夹角为( )
A.6 B.2 C.4 D.3
5.已知半径为2
的扇形AOB中，»AB的长为3，扇形的面积为，圆心角AOB的大小为
弧度，函数()sinhxx，则下列结论正确的是
( )
A.函数()hx是奇函数
B.函数()hx在区间[2,0]上是增函数
C.函数()hx图象关于(3,0)对称
D.函数()hx图象关于直线3x对称
6.已知7log2a，0.7log0.2b，0.20.7c，则,,abc的大小关系为( )
A.bca B.abc C.cab D.acb
7.已知4个函数：①sinyxx；②cosyxx；③2xxye；④
4cosxyxe
的图象如图所
示，但是图象顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的为
( )
A.①④②③ B.③②④① C.①④③② D.③①④②
8.在ABC中，
0BAACACBCABBCuuuruuuruuuruuuruuuruuur，12BCBABCBA
uuuruuur
uuuruuur
，则ABC为( )
A. 直角三角形 B. 三边均不相等的三角形
C. 等边三角形 D. 等腰非等边三角形
9.若2202022020log2019log2log2019log2yxxy，则 ( )
A.0xy B.0xy C.0xy D.0xy
10.设函数1(2),(,2]()211,(2,)fxxfxxx，则方程216()(1)0fxxx根的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分
.
11.已知函数12()lg(31)1xfxxx，则(0)f ，函数定义域是 .
12.
已知12,eeuruur是单位向量，且12eeuruur，122ABeeuuururuur，123BCeeuuururuur，12CDeeuuururuur，若
ABCD
uuuruuur
，则实数 ；若,,ABD三点共线，则实数
.
13.已知函数()2tan()(0)6fxaxa的最小正周期是3，则a
，()fx的对称
中心为
.
14.已知,abR，定义运算“”
：,,aababbab，设函数2()221logxfxx，
0,2x
，则(1)f ，()fx的值域为
.
15.已知函数()(29)afxmx为幂函数，且其图象过点(3,3)，则函数2()log(6)agxxmx
的单调递增区间为
.
16.已知,,abcrrr是平面向量, 2cr，若2acrr，4bcrr，则abrr的取值范围是 .
17.
函数25fxx，singxx，若12,,,[0,]2nxxxL，使得
121121()()()()()()()()nnnnfxfxfxgxgxgxgxfx
LL
，则正整数n的最大
值为
.
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
18. （本题满分14分）
已知向量(sin,1)axr，(cos,1)bxr，(,0)cmr，其中[0,]4x．
(1)若35abrr，求tanx的值；
(2)若acrr与acrr垂直，求实数m的取值范围．
19. （本题满分15分）
已知集合(3)(1)Axyxx，1,21Baa，
,{(1)(1)0}CxxmxmmR
．
(1)若RBAIð，求a的取值范围；
(2)若ACCI，求m的取值范围．
20. （本题满分15分）
已知()fx为偶函数，当0x时，()2lg(1)fxx，
(1)求()fx解析式；
(2)若对于任意的(,0)x， 关于x的不等式lg()()kxfx恒成立，求k的取值范围.
21. （本题满分15分）
已知函数()sin(2)6fxx，()()sin0,0,2gxAxA＝＋的部分图象如图所示
.
(1)求gx的解析式，并说明()fx的图象怎样经过2次变换得到gx的图象；
(2)若对于任意的,46x，不等式()2fxm恒成立，求实数m的取值范围.
22.（本题满分15分）
在函数定义域内，若存在区间,mn，使得函数值域为,mAnA，则称此函数为“A档
类正方形函数”，已知函数3()log[29(1)32]xxkfxkk，
(1)当0k时，求函数yfx的值域；
(2)若函数yfx的最大值是1，求实数k的值；
(3)当0x时，是否存在(0,1)k，使得函数()fx为“1
档类正方形函数”？若存在，求
出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．
浙江省宁波市九校2024届高一上数学期末复习检测模拟试题含解析
故选：A.
3、B 【解析】根据函数的特征，建立不等式求解即可.
【详解】要使
f
x
ln 1 x
1 x
有意义，则
1 1
x x
0 0
x x
1
，所以函数
1
f
x 的定义域是
x, 1 1,1 .
故选：B 4、D
【解析】将 v0
11m
/
s，
g
10m
/
s2 代入 h
v0t
1 2
gt 2
，得出时间
t，再求间隔时间即可.
2
点睛：本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数
由 f x +f x 0 恒成立求解，（2）偶函数由 f x f x 0 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由
f 0 0 求解，偶函数一般由 f 1 f 1 0 求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.
用时间为1s ．且最高点与最低点间的距离为10cm
（1）求小球相对平衡位置 高度 h （单位： cm ）和时间 t （单位： s ）之间的函数关系；
（2）小球在 t0s 内经过最高点的次数恰为 50 次，求 t0 的取值范围
19．已知函数 f x ax 2x 1（ a 0 ，且 a 1）. （1）求 f 0 的值，并证明 f x 不是奇函数；
f
x 在 R 上是增函数，若 a f
log2
1 5
，
b
f
log2 4.1， c
f
20.8
，则 a ， b ， c 的大小
关系为___________.
14．在区间[1, 2] 上随机取一个实数 x ，则事件"1 2x 2"发生的概率为_________.
2019-2020学年浙江省宁波市九校联考高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年浙江宁波市九校联考高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．设集合M＝{x|x2+x﹣6＜0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝（）A．[1，2）B．[1，2]C．（2，3]D．[2，3]2．直线6x+8y﹣2＝0与6x+8y﹣3＝0间的距离为（）A．1B．3C．D．3．如果实数a，b满足：a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．|a|+b＞0B．C．a3﹣b3＜0D．4．圆C是以直线l：（2m+1）x+（m+1）y+2m＝0的定点为圆心，半径为4的圆，则圆C 的方程为（）A．（x+2）2+（y﹣2）2＝16B．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝16C．（x﹣2）2+（y+2）2＝16D．（x+2）2+（y+2）2＝165．已知sin2θ＝﹣，则tanθ+＝（）A．B．﹣C．D．﹣6．已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，若a2+a6+a10＝2π，b2b5b8＝8，则的值是（）A．B．C．D．7．在△ABC中，若sin（B+C）sin（B﹣C）＝sin2A，则△ABC是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形8．已知圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣2x﹣y＝0的公共弦过点（a，b），则4a2+b2的最小值为（）A．B．C．1D．29．已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣1恰有三个零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．10．已知函数，若关于x的方程|f（x）﹣a|+|f（x）﹣a﹣1|＝1，有且仅有三个不同的整数解，则实数a的取值范围是（）A．B．[0，8]C．D．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．已知直线l1：ax﹣y+a+1＝0，直线l2：3x+（a﹣4）y+3＝0，若l1∥l2，则实数a的值为．12．设α，β∈（0，π），，则cosα＝，tan（α+β）＝．13．已知数列{a n}的前n项和S n＝2a n﹣2，则数列{a n}满足a n＝，若b n＝log2a n，数列的前n项和为T n，则T n＝．14．已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为．15．过点P（0，2）的直线l与圆C：x2+y2＝32相交于M，N两点，且圆上一点Q到直线l的距离的最大值为5，则直线l的方程是．16．已知正实数x，y满足x+y＝1，则的最小值为．17．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，AB边上的高为CD，且2CD ＝AB，则的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分0分）18．已知等差数列{a n}的公差不为0，S3＝15，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和T n．19．已知函数．（1）求函数f（x）的周期和单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求f（B）的取值范围．20．已知函数．（1）若区间[1，6]上存在一个x0，使得|f（x0）|≥a成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式f（e x）≥me x在x∈（﹣∞，0]上恒成立，求实数m的取值范围．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，4），圆O：x2+y2＝4与x轴的正半轴的交点是Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点A，B．（1）求AB的中点M的轨迹方程；（2）设点，若，求△QAB的面积．22．已知正项数列{a n}满足a1＝1，2a n a n+1+3a n+1＝8a n﹣2．（1）试比较a n与2的大小，并说明理由；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，证明：当n∈N*时，S n＞2n﹣5．参考答案一、选择题1．设集合M＝{x|x2+x﹣6＜0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝（）A．[1，2）B．[1，2]C．（2，3]D．[2，3]【分析】根据已知角一元二次不等式可以求出集合M，将M，N化为区间的形式后，根据集合交集运算的定义，我们即可求出M∩N的结果．解：∵M＝{x|x2+x﹣6＜0}＝{x|﹣3＜x＜2}＝（﹣3，2），N＝{x|1≤x≤3}＝[1，3]，∴M∩N＝[1，2）故选：A．2．直线6x+8y﹣2＝0与6x+8y﹣3＝0间的距离为（）A．1B．3C．D．【分析】由题意利用两条平行直线直线间的距离公式，求得结果．解：直线6x+8y﹣2＝0与6x+8y﹣3＝0间的距离为＝，故选：C．3．如果实数a，b满足：a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．|a|+b＞0B．C．a3﹣b3＜0D．【分析】根据a＜b＜0，取a＝﹣2，b＝﹣1，即可选出答案．解：根据a＜b＜0，取a＝﹣2，b＝﹣1，则D不成立．故选：D．4．圆C是以直线l：（2m+1）x+（m+1）y+2m＝0的定点为圆心，半径为4的圆，则圆C 的方程为（）A．（x+2）2+（y﹣2）2＝16B．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝16C．（x﹣2）2+（y+2）2＝16D．（x+2）2+（y+2）2＝16【分析】带有参数的直线，先整理可得恒过定点，由题意可得圆心坐标，由题意进而求出圆的方程．解：由（2m+1）x+（m+1）y+2m＝0，可得（2x+y+2）m+（x+y）＝0，所以直线过的交点，解得：x＝﹣2，y＝2，即直线过定点（﹣2，2），则所求圆的方程为（x+2）2+（y﹣2）2＝16．故选：A．5．已知sin2θ＝﹣，则tanθ+＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式化简所求结合已知即可计算求解．解：sin2θ＝﹣，则tanθ+＝+＝＝＝＝﹣．故选：D．6．已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，若a2+a6+a10＝2π，b2b5b8＝8，则的值是（）A．B．C．D．【分析】由已知结合等差数列与等比数列的性质求得a6与b5的值，进一步求得，则答案可求．解：在等差数列{a n}中，由a2+a6+a10＝2π，得3a6＝2π，即；在等比数列{b n}中，由b2b5b8＝8，得，即b5＝2．∴．∴＝sin．故选：C．7．在△ABC中，若sin（B+C）sin（B﹣C）＝sin2A，则△ABC是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形【分析】由题意利用两角和与差的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式，结合sin A≠0，sin C≠0，可得cos B＝0，结合范围B∈（0，π），可求B为直角，即可判断三角形的形状．解：∵sin（B+C）sin（B﹣C）＝sin2A，∴sin A sin（B﹣C）＝sin2A，∵A为三角形内角，sin A≠0，∴sin（B﹣C）＝sin A，∴sin B cos C﹣cos B sin C＝sin B cos C+cos B sin C，∴2cos B sin C＝0，∵C为三角形内角，sin C≠0，∴可得cos B＝0，∵B∈（0，π），∴B＝，△ABC是直角三角形．故选：C．8．已知圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣2x﹣y＝0的公共弦过点（a，b），则4a2+b2的最小值为（）A．B．C．1D．2【分析】根据题意，求出两圆的公共弦的方程，分析可得2a+b＝1，变形可得：（2a+b）2＝4a2+b2+4ab＝1，结合基本不等式的性质可得（4a2+b2）+（4a2+b2）≥1，变形即可得答案．解：根据题意，圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣2x﹣y＝0，则两圆的公共弦的方程为2x+y＝1，又由两圆的公共弦过点（a，b），则有2a+b＝1，变形可得：（2a+b）2＝4a2+b2+4ab＝1，又由4a2+b2≥2＝4ab，则有（4a2+b2）+（4a2+b2）≥1，即有4a2+b2≥，当且仅当2a＝b时等号成立，即4a2+b2的最小值为；故选：B．9．已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣1恰有三个零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】作出函数y＝f（x）的图象，则函数y＝g（x）有三个不同的零点，等价于直线y＝kx+1与曲线y＝f（x）的图象有三个不同交点，考查直线y＝kx+1与圆（x﹣3）2+y2＝1相切，且切点位于第三象限时以及直线y＝kx+1过点（4，0）时，对应的k值，数形结合可得出实数k的取值范围．解：当2＜x＜4时，y＝，则y≤0，等式两边平方得y2＝﹣x2+6x﹣8，整理得（x﹣3）2+y2＝1，所以曲线y＝表示圆（x﹣3）2+y2＝1的下半圆，如下图所示，由题意可知，函数y＝g（x）有三个不同的零点，等价于直线y＝kx+1与曲线y＝f（x）的图象有三个不同交点，直线y＝kx+1过定点P（0，1），当直线y＝kx+1过点A（4，0）时，则4k+1＝0，可得k＝；当直线y＝kx+1与圆（x﹣3）2+y2＝1相切，且切点位于第三象限时，k＜0，此时，解得k＝．由图象可知，当时，直线y＝kx+1与曲线y＝f（x）的图象有三个不同交点．因此，实数k取值范围是．故选：B．10．已知函数，若关于x的方程|f（x）﹣a|+|f（x）﹣a﹣1|＝1，有且仅有三个不同的整数解，则实数a的取值范围是（）A．B．[0，8]C．D．【分析】作出函数f（x）的图象，由|f（x）﹣a|+|f（x）﹣a﹣1|＝1可得出a≤f（x）≤a+1，即函数f（x）位于直线y＝a和y＝a+1的图象上有三个横坐标为整数的点，数形结合可得实数a的取值范围．解：∵|f（x）﹣a|+|f（x）﹣a﹣1|＝，∴函数f（x）位于直线y＝a和y＝a+1的图象上有三个横坐标为整数的点，当x＜0时，且f（x）＜0，由双勾函数的单调性可知，函数y＝f（x）在区间（﹣∞，﹣）上单调递减，在区间（﹣，0）上单调递增，于是当x＜0时，，∵f（﹣1）＝，f（﹣2）＝，f（﹣3）＝，f（﹣4）＝，且f（﹣4）＞f （﹣3）＞f（﹣2），如下图所示，要使得函数f（x）位于直线y＝a和y＝a+1的图象上有三个横坐标为整数的点，则f（﹣3）≤a+1＜f（﹣4），即，解得．因此，实数a的取值范围是．故选：A．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．已知直线l1：ax﹣y+a+1＝0，直线l2：3x+（a﹣4）y+3＝0，若l1∥l2，则实数a的值为1．【分析】由题意利用两条直线平行的条件，求得a的值．解：直线l1：ax﹣y+a+1＝0，直线l2：3x+（a﹣4）y+3＝0，若l1∥l2，显然a≠4，＝≠，解得a＝1，故答案为：1．12．设α，β∈（0，π），，则cosα＝，tan（α+β）＝．【分析】利用余弦的倍角公式以及两角和差的正切公式进行计算即可．解：cosα＝2cos2﹣1＝2×（）2﹣1＝，则α∈（0，），则sinα＝，tanα＝，∵cosβ＝﹣，∴sinβ＝，则tanβ＝﹣，则tan（α+β）＝＝＝＝，故答案为：，13．已知数列{a n}的前n项和S n＝2a n﹣2，则数列{a n}满足a n＝2n，若b n＝log2a n，数列的前n项和为T n，则T n＝．【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法的应用求出数列的和．解：（1）数列{a n}的前n项和S n＝2a n﹣2①，当n＝1时，解得a1＝2．当n≥2时，S n﹣1＝2a n﹣1﹣2②，①﹣②得a n＝2a n﹣2a n﹣1，整理得a n＝2a n﹣1，所以（常数），所以数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列．所以．（2）由于，所以b n＝log2a n＝，故，故＝1﹣．14．已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为7．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣1，4）．化z＝x+2y为y＝．由图可知，当直线y＝过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为﹣1+8＝7．故答案为：7．15．过点P（0，2）的直线l与圆C：x2+y2＝32相交于M，N两点，且圆上一点Q到直线l的距离的最大值为5，则直线l的方程是y＝±x+2．【分析】由题意画出图形，可知所求直线的斜率存在，设出直线方程，再由圆心到直线的距离等于列式求得k，则答案可求．解：如图，圆C：x2+y2＝32的半径为，所求直线过点（0，2），当直线l的斜率不存在时，圆上一点Q到直线l的距离的最大值为4，不合题意；则直线l的斜率存在，设直线方程为y＝kx+2，即kx﹣y+2＝0．要使圆上一点Q到直线l的距离的最大值为5，则O到l的距离为．∴，解得k＝±1．∴直线l的方程是y＝±x+2．故答案为：y＝±x+2．16．已知正实数x，y满足x+y＝1，则的最小值为．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：因为x+y＝1，所以x+1+y+2＝4，则＝（）[（x+1）+（y+2）]＝[5++]＝+[+]≥+×2＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时取“＝”，故答案为：．17．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，AB边上的高为CD，且2CD ＝AB，则的取值范围是[2，]．【分析】由AB及AB边上的高CD，联想到三角形的面积公式，然后结合余弦定理构造出＝sin C+cos C的函数，转化为函数的值域问题．解：由已知A，B，C所对的边分别是a，b，c，设CD＝h．因为AB边上的高为CD，且2CD＝AB，所以2h＝c．所以．所以，即c2＝2ab sin C＝a2+b2﹣2ab cos C，两边同除以ab得：，当且仅当时取等号，又，当且仅当a＝b时取等号．所以．故答案为：[2，]．三、解答题（共5小题，满分0分）18．已知等差数列{a n}的公差不为0，S3＝15，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（1）直接利用等差数列的定义求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和．解：（1）设等差数列{a n}的公差d≠0，S3＝15，a1，a4，a13成等比数列．所以，整理得，解得，所以a n＝a1+2（n﹣1）＝2n+1，（2）由（1）得数列{c n}满足＝2n+1+22n+1，所以＝2n+3+n2+2n﹣8．19．已知函数．（1）求函数f（x）的周期和单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求f（B）的取值范围．【分析】（1）利用两角和与差的三角函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求该函数的周期和单调区间即可；（2）结合条件，利用余弦定理求出cos B的取值范围，进而得到B的取值范围，即可求解f（B）的取值范围．解：＝sin x﹣（cos x+1）+＝sin x﹣cos x＝sin（x﹣），（1）根据f（x）的解析式可得T＝＝2π，令﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，解得x∈[﹣+2kπ，+2kπ]（k∈Z），即f（x）的单调递增区间为：[﹣+2kπ，+2kπ]（k∈Z）；（2）因为，即c2+a2﹣b2≥c，则由余弦定理cos B＝，因为B∈（0，π），所以≤cos B＜1，则0＜B≤，所以﹣＜B﹣≤﹣，则sin（B﹣）∈（﹣，﹣]，即f（B）的值域为：（﹣，﹣]．20．已知函数．（1）若区间[1，6]上存在一个x0，使得|f（x0）|≥a成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式f（e x）≥me x在x∈（﹣∞，0]上恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）由f（x）在[1，2]递减，在[2，6]递增，求得f（x）的值域，可得|f（x）|的最大值，由题意知只需|f（x0）|max≥a成立，然后求出a的范围；（2）由题意可得m≤1+﹣在x∈（﹣∞，0]上恒成立，只需求得1+﹣在x∈（﹣∞，0]上的最小值，结合指数函数的单调性，可得所求最小值，进而得到所求范围．解：（1）函数在[1，2]递减，可得f（x）∈[﹣2，﹣1]，在[2，6]递增，可得f（x）∈[﹣2，]，则|f（x）|在[1，6]的最大值为2，由题意可得|f（x0）|max≥a成立，即a≤2，所以a的取值范围为（﹣∞，2]；（2）不等式f（e x）≥me x在x∈（﹣∞，0]上恒成立，可得e x+﹣6≥me x在x∈（﹣∞，0]上恒成立，化为m≤1+﹣在x∈（﹣∞，0]上恒成立，由y＝e x，（0＜y≤1），可得≥1，1+﹣＝4（﹣）2﹣的最小值为4（1﹣）2﹣＝﹣1，则m≤，即m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，4），圆O：x2+y2＝4与x轴的正半轴的交点是Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点A，B．（1）求AB的中点M的轨迹方程；（2）设点，若，求△QAB的面积．【分析】（1）设弦AB的中点为M，可得OM⊥MP，由数量积＝0，可得M的轨迹方程；（2）由题意可知，直线l的斜率存在，设直线方程为y﹣4＝k（x﹣2），联立直线方程与圆的方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得M的坐标，代入|MN|＝|OM|，构造关于k的方程，解出k的值，进一步求得|AB|与Q到直线的距离，则△QAB的面积可求．解：（1）设点M（x，y），∵M是弦AB的中点，∴MO⊥MP，又∵＝（x，y），＝（x﹣2，y﹣4），∴x（x﹣2）+y（y﹣4）＝0，即x2+y2﹣2x﹣4y＝0，联立，解得或，又∵M在圆O的内部，∴点M的轨迹方程是x2+y2﹣2x﹣4y＝0（﹣＜x＜2）；（2）由题意可知，直线l的斜率存在，设直线方程为y﹣4＝k（x﹣2），联立，得（1+k2）x2﹣4k（k﹣2）x+（2k﹣4）2﹣4＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则．设中点M（x0，y0），则，①代入直线l的方程得，②又由|MN|＝|OM|，得，化简得，将①②代入得k＝3．∵圆心到直线l的距离d＝＝，∴|AB|＝，Q到直线l的距离h＝．∴，即△QAB的面积为．22．已知正项数列{a n}满足a1＝1，2a n a n+1+3a n+1＝8a n﹣2．（1）试比较a n与2的大小，并说明理由；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，证明：当n∈N*时，S n＞2n﹣5．【分析】（1）推导出，从而a n+1﹣2＝，从而a n+1﹣2与a n﹣2同号，进而a n﹣2与a1﹣2同号，由此能求出a n＜2．（2）由，得1≤a n＜2，从而2﹣a n≤（2﹣a1）（）n﹣1＝（）n﹣1，由此能证明S n＞2n﹣5．解：（1）解：∵正项数列{a n}满足a1＝1，2a n a n+1+3a n+1＝8a n﹣2．∴，∴﹣2＝＝，∵正项数列{a n}中，a n＞0，∴2a n+3＞0，∴a n+1﹣2与a n﹣2同号，∴a n﹣2与a1﹣2同号，∵a1﹣2＝﹣1＜0，∴a n﹣2＜0，∴a n＜2．（2）证明：由（1）知，∴﹣＝，∴与同号，也与同号，∴1≤a n＜2，∴＝＝≤，∴2﹣a n≤（2﹣a1）（）n﹣1＝（）n﹣1，∴2n﹣S n＝≤5[1﹣（）n]＜5，∴S n＞2n﹣5．。
2024届宁波市九校高三数学上学期期末联考试卷附答案解析
2024届宁波市九校高三数学上学期期末联考试卷2024.01注意事项：1.答卷前，务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.请保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．已知集合2{|210}A x x x =--≤，{}ln B x y x ==∣，则()R A B ⋂=ð（）A．[]0,1B．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C．(],1-∞D．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．已知复数252ii i z +=+，则z 的虚部为（）A．12-B．1-C．32-D．323．与双曲线2219y x -=有共同的渐近线，且经过点)的双曲线方程为（）A．223126x y -=B．223162y x -=C．221218x y -=D．221182y x -=4．若数列{}n a 为等比数列，则“31a ≥”是“152a a +≥”的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件5．体育课上，罗老师让8名身高各不相同的同学排队，要求排成前后两排，每排4人，且每排同学从左到右身高依次递增，则不同排法的种数为（）A．60B．70C．80D．906．若向量,a b 满足||4,||3a b == ，且(23)(2)61a b a b -⋅+= ，则a 在b 上的投影向量为（）A．12b - B．13b - C．23b D．23b -7．已知tan 12A =，则cos44cos23cos44cos23A A A A -+=++（）A．116B．18C．14D．128．在四面体ABCD中，AB =1AD BC CD ===，2πBAD ABC ∠==∠，则该四面体的外接球表面积为（）A．7π2B．7πC．8πD．10π二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．下列说法正确的是（）A．数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的第70百分位数是8.5B．若随机变量()()2~2,10.68X N P x σ>=，，则()230.18P x ≤<=C．设A B ，为两个随机事件，()0P A >，若()()P B A P B =∣，则事件A 与事件B 相互独立D．根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到24.712=χ，依据0.05α=的卡方独立性检验()0.05 3.841=x ，可判断X 与Y 有关且该判断犯错误的概率不超过0.0510．已知()()()()()726701267211111x a a x a x a x a x -=+-+-++-+- ，则（）A．01a =B．7123731a a a a ++++=- C．5672a =-D．61237237143a a a a ++++=⨯ 11．抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，过F 作倾斜角为θ的动直线l 交抛物线于,A B 两点（A 在第一象限），且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设B 关于y 轴的对称点为B '，则下列说法一定正确的是（）A．sin FA p FA θ+=B．22sin pAB θ=C．22cos AOBp S θ= D．2tan AFB S p θ'= 12．已知0a b >>，0c d >>， 1.1ln 1ln 1a ba b ==++，()()1ln 1ln 0.9c cd d -=-=，则（）A．2a b +>B．2c d +>C．11a bd c ->-D．1ad >第Ⅱ卷三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．小周和小王进行一对一篮球比赛，该比赛采取三局两胜制（有一方先胜两局即获胜，比赛结束）.假设小周每一局获胜的概率为13，小王每一局获胜的概率为23，且每一局比赛相互独立，则小王在比赛中获胜的概率为.14．若点P 直线30x y ++=上的动点，过P 与圆22:410C x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α的最大值为.15．将函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向左平移π3个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 在π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是.16．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F M 分别是棱1111,,B C C D AB 的中点，,G H 分别是线段1,AC EF 上的动点，则GHGM +的最小值为.四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22每小题12分，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*532323N n n S S a a n ==+∈，.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若13n n b +=，令n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .18．如图，在三棱锥-P ABC 中，1PA BC ==，AB =PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC ，M 是PC 的中点.(1)求证：AB BC ⊥;(2)求平面PAB 与平面MAB 的夹角.19．某企业对2023年上半年的月利润情况进行调查统计，得到数据如下：月份x123456净利润y （万元）510265096195根据以上数据，绘制了散点图.(1)根据散点图判断，e dxy c =与y a bx =+（a b c d ，，，均为大于零的常数）哪一个更适宜作为描述y 与x关系的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的判断结果求出y 关于x 的回归方程；(3)已知该企业的产品合格率为90%，现随机抽取9件产品进行检测，则这9件产品中合格的件数最有可能是多少？参考数据：xyω()6211i x x =-∑()621ii ωω=-∑()()61iii x x ωω=--∑()()61iii x x y y =--∑3.5063.673.4917.509.4912.95519.01其中lny ω=.参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程ˆˆˆybx a =+的系数公式为，()()()121ˆni ii n ii x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx =-.20．在ABC 中，已知sin 1,tan 2cos AAC B A ==-.(1)求AB 的长；(2)若BAC ∠的平分线AD 交BC 点D ，求AD BC ⋅的最大值.21．已知点(F 和直线l :y =，动点P 与定点F 的距离和P 到定直线l 的距离的比是常数22.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知()1,1M ，过点M 作直线l '交C 于A ，B 两点，若2AM MB =，求l '的斜率k 的值.22．我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为()()()()()01v x y u x u x u x =>≠，，幂指函数在求导时可以将函数“指数化"再求导.例如，对于幂指函数xy x =，()()()()ln ln ln e e e ln 1x x x x x x x y x x ''''⎡⎤====+⎢⎥⎣⎦.(1)已知()1x xf x x x -=>，，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(2)若0m >且1m ≠，0x >.研究()112xxm g x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的单调性；(3)已知a b s t ，，，均大于0，且a b ¹，讨论2ts s a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和2st t a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭大小关系.1．D【分析】解一元二次不等式求集合A，由对数函数定义域求集合B，再由集合的交补运算求结果.【详解】由题设1{|(21)(1)0}{|1}2A x x x x x =+-≤=-≤≤，{|0}B x x =>，所以R {|0}B x x =≤ð，故()R 1{|0}2A B x x ⋂=-≤≤ð，即为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：D2．C【分析】应用复数的乘方、除法运算化简，即可得虚部.【详解】252i 2i (2i)(1i)13i i i 1i (1i)(1i)22z +++--====--+-+-+--，故虚部为32-.故选：C 3．D【分析】设所求双曲线方程为229y x k-=，代入已知点坐标求解．【详解】由题意设所求双曲线方程为229y x k-=，又双曲线过点，∴2629k-=，即2k =-，∴双曲线方程为2229y x -=-，即221182y x -=，故选：D．4．C【分析】利用等比数列性质，结合基本不等式及不等式性质，由充分、必要性定义判断充分、必要性.【详解】若数列{}n a 的公比为q ，由2311a a q =≥，故10a >，则4510a a q =>，所以15322a a a +≥=≥，当且仅当15a a =，即21q =时取等号，故充分性成立；由152a a +≥，故23322a a q q +≥，若212q =，则345a ≥，故必要性不成立；故选：C5．B【分析】只需确定从8人中任抽4人放在第一排的方法数即可得答案.【详解】从8人中任抽4人放在第一排有48C 70=种，且仅有一种排法，其余4人放在第二排只有一种排法，所以不同排法的种数为70种.故选：B 6．D【分析】由向量数量积的运算律可得6a b ⋅=- ，再由投影向量的定义求a 在b上的投影向量.【详解】由22(23)(2)44361a b a b a a b b -⋅+=-⋅-= ，则6a b ⋅=- ，由a 在b上的投影向量612333||||a b b b b b b ⋅-⋅=⨯=-.故选：D7．A【分析】根据已知条件，结合二倍角公式，弦化切，即可求解．【详解】1tan 2A =，则2244224cos 44cos 232cos 214cos 232(cos 21)4sin 1tan cos 44cos 232cos 214cos 232(cos 21)4cos 16A A A A A A A A A A A A A-+--+-=====++-+++．故选：A．8．B【分析】根据题设条件作出四面体的高DH ，通过相关条件推理计算分别求出,AH DH ，最后在直角梯形HEOD ，利用勾股定理列出方程即可求得外接球半径.【详解】如图，作DH ⊥平面ABC ，连接,,AH HB HC ，易得,DH AB ⊥因AB AD ⊥，,,AD DH D AD DH ⋂=⊂平面DAH ，所以AB ⊥平面DAH ，AH ⊂平面DAH ，故AB AH ⊥,由题可得30BAC ∠=，2AC =，则120HAC ∠= .不妨设,AH x DH h ==，则有221x h +=①，在HAC △中，由余弦定理，222422cos12024HC x x x x =+-⨯=++ ，在HDC △中，22246h x x +++=②，将两式相减化简即得：12x =，32h =.取线段AC 中点E ，过点E 作OE ⊥平面ABC ，其中点O 为外接球的球心，设外接球半径为R ，由余弦定理求得211712cos120424HE =+-⨯= ，在直角梯形HEOD 中，221OE R =-，由2237)24R =-+计算可得：274R =，则该四面体的外接球表面积为7π.故选：B.【点睛】方法点睛：本题主要考查四面体的外接球的表面积，属于中档题.求解多面体的外接球的主要方法有：（1）构造模型法:即寻找适合题意的长方体，正方体，圆柱等几何体，借助于这些几何体迅速求得外接球半径；（2）建立直角梯形或直角三角形法：即先找到底面多边形的外心，作出外接球球心，借助于题设中的条件得到多面体的高，构成直角梯形或直角三角形来求解.9．BCD【分析】根据百分位数的定义可判定A，利用正态分布的对称性可判定B，利用条件概率及相互独立事件的定义可判定C，利用独立性检验的意义可判定D.【详解】对于A，因为1070%7⨯=，又将数据从小到大排列，第7个数为7，第8个数为8，所以第70百分位数为7.5，故A 错误；对于B，根据正态分布的性质可知为()20.5P x ≥=，()()()()2312120.18P x P x P x P x ∴≤<=<≤=>-≥=，故B 正确；对于C，根据条件概率可知()()()()()()()P AB P B A P B P AB P A P B P A ==⇒=∣，由相互独立事件的判定可知C 正确；对于D，根据独立性检验的意义可知20.054.712x χ=>，故可判断X 与Y 有关且该判断犯错误的概率不超过0.05，故D 正确.故选：BCD.10．ABD【分析】利用赋值法，结合导数的求导法则逐一判断即可.【详解】A：在已知等式中，令1x =，则有()7002111a a ⨯-=⇒=，所以本选项正确；B：在已知等式中，令2x =，则有()77012712722131a a a a a a a ⨯-=++++⇒+++=- ，所以本选项正确；C：因为()()7721211x x -=-+⎡⎤⎣⎦，所以()51x -项的系数55257C 21672a =⨯⨯=，D：对已知等式，两边同时求导，得()()()6612772122171x a a x a x -⨯=+-++- ，在该式中，令2x =，则有612714327a a a ⨯=+++ ，所以本选项正确，故选：ABD11．ACD【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义，结合倾斜角的意义及直角三角形锐角三角函数、三角形面积公式逐项判断即得.【详解】抛物线C ：()220x py p =>的焦点为(0,2p F ，准线方程为2p y =-，设11221(,),(,),0A x y B x y x >，过A 作AD x ⊥轴于D ，过F 作FM AD ⊥于M ，显然AFM θ∠=，由抛物线定义得1||2p FA y =+，1||||||||2pAM AD OF y FA p =-=-=-，而||||sin AM FA θ=，则||sin ||FA FA p θ=-，因此||sin ||FA p FA θ+=，A 正确；显然||1sin p FA θ=-，同理||1sin p FB θ=+，则22||||||1sin 1sin cos p p p AB FB FA θθθ=+=+=+-，B 错误；又π2OFB θ∠=-，则点O 到直线AB 的距离π||sin()cos 22pd OF θθ=-=，因此22112||cos 22cos 22cos AOBp p p S AB d θθθ=⋅=⋅⋅= ，C 正确；显然π2OFB OFB θ'∠=∠=-，则2AFB θ'∠=，又||||1sin pFB FB θ'==+，因此211||||sin 2sin 2tan 221sin 1sin AFB p p S FA FB p θθθθθ''==⋅⋅⋅=-+ ，D 正确.故选：ACD12．ABC【分析】构造函数()ln 1x f x x =+，则有()() 1.1f a f b ==、111 1.10.9ff c d ⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得C、D，构造函数()213ln 122x F x x x x =-+-+，结合函数性质可得2a b +>，构造函数()()1ln g x x x =-及()()()2G x g x g x =--，可得2c d +>.【详解】令()ln 1x f x x =+，则()()2ln ln 1x f x x '=+，当110,,1e e x ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<，当()1,x ∞∈+时，()0f x '>，故()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在()1,∞+上单调递增，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，当1,e x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x >，()111ln11f ==+，有()() 1.1f a f b ==，故11e b a <<<，又()11111ln ln 1c f c c c c ⎛⎫==⎪-⎝⎭+，()11111ln ln 1d f d d d d ⎛⎫==⎪-⎝⎭+，故11110 1.10.99f f c d ⎛⎫⎛⎫===> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故有1111e b a cd <<<<<，故11a b d c ->-，即C 正确，11a d <<，即1ad <，故D 错误，令()213ln 122x F x x x x =-+-+，则()()2ln 1ln 1x F x x x =-++'，令()()2ln 1ln 1xx x x μ=-++，则()()()()()24311ln 12ln ln 11ln 11ln 1ln 1x x x x x x x x x x μ+-+-=-=-++'，当11e x <<时，()()31ln 11ln 1ln 0ln 1xx x x x x μ-=->--=-'>+，当1x >时，()()31ln 10ln 1x x x x μ-=-<+'，故()x μ在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()1,∞+上单调递减，有()()2ln11110ln11μ=-+=+，故()0x μ≤恒成立，即()0F x '≤恒成立，故()F x 在1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，又()113110ln1122F =-+-=+，故当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F x >，当()1,x ∞∈+，()0F x <，即当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，213ln 122x x x x >-++，当()1,x ∞∈+时，213ln 122x x x x <-++，令2131.122x x -+=，即220.80x x -+=，此时4 3.20.80∆=-=>，故该方程有两个不相等的实根，设两根为1x 、2x ，且121x x <<，则有122x x +=，由 1.111a b lna lnb ==++，且11e b a <<<，故有11x b x a <<<，由122x x +=，故122a b x x +>+=，即2a b +>，故A 正确；令()()1ln g x x x =-，有()()0.9g c g d ==，则()1ln 1ln g x x x -'=-=-，当()0,1x ∈时，()0g x '>，当()1,x ∞∈+，()0g x '<，故()g x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，有()11g =，又0c d >>，故1d c <<，令()()()()()()21ln 21ln 2G x g x g x x x x x ⎡⎤=--=-----⎣⎦，则()()()()()22ln ln 2ln 2G x g x g x x x x x =+-=---=-'-''，由01x <<，故()222111x x x -=--+<，即()0G x '>，故()G x 在()0,1上单调递增，又()10G =，故()0G x <恒成立，即()()2g x g x <-，由1d c <<，即有()()2g d g d <-，又()()g d g c =，即有()()2g c g d <-，有21d ->，1c >，又()g x在()1,∞+上单调递减，故2c d>-，即2c d+>，故B正确.故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题关键在于构造函数()ln1xf xx=+，结合函数性质，从而得到a、b、1c、1d的大小关系，即可得C、D，构造函数()213ln122xF x x xx=-+-+与函数()()()2G x g x g x=--，从而得到a b+、+c d与2的关系.13．20 27【分析】应用独立事件乘法及互斥事件加法求小王在比赛中获胜的概率.【详解】由题设，小王在比赛中获胜情况：小王在前2局都胜，小王在前2局胜一局且第3局胜，所以小王在比赛中获胜的概率为222122023333327⨯+⨯⨯⨯=.故答案为：20 2714．5【分析】根据题设可得直线与圆是相离关系，且22:(2)5C x y-+=，则(2,0)C，有π(0,)22APCα∠=∈，结合点线距离求得52||2PC≥，再由22||||sin||AC APPCα==，即可求其最大值.【详解】由题意，直线与圆是相离关系，且22:(2)5C x y-+=，则(2,0)C，如下图，1π(0,)222APC APBα∠=∠=∈，且||PC≥=，所以22||||sin2sin cos22||AC APPCααα===，令212(0,||25tPC=∈，则sinα=所以max(sin)5α=.故答案为：15．10,3⎛⎤⎝⎦【分析】根据图象平移得()ππsin36g x xωω⎛⎫=++⎪⎝⎭，将问题化为siny t=在πππ(,π)266ωω++上递增，结合正弦函数性质求参数ω的取值范围.【详解】由题设()ππsin36g x xωω⎛⎫=++⎪⎝⎭，又π2π,63x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πππππ(,π36266t xωωωω=++∈++，即siny t=在πππ(,π266ωω++上递增，又0ω>，所以ππ026πππ62ωω⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩或ππ3π2π262π5ππ2π62kkωω⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩且Nk∈，故13ω<≤或843723kkωω⎧≥+⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩且Nk∈，则1(0,]3ω∈.故答案为：10,3⎛⎤⎥⎝⎦16．24612【分析】根据给定条件，确定点H的位置，再把111,AA C ABC展开放置于同一平面内，借助三点共线，结合余弦定理求解即得.【详解】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-中，连接11A C EF H'=，连接11B D，由1AA ⊥平面1111D C B A ，EF ⊂平面1111D C B A ，得1AA EF⊥，由,E F 分别是棱1111,B C C D 的中点，得11//EF B D ，而1111AC B D ⊥，则11A C EF⊥，又1111111,,AA A C A AA A C ⋂=⊂平面11AA C ，于是EF ⊥平面11AA C ，又1AC ⊂平面11AA C，连接GH '，显然GH '⊂平面11AA C ，因此GH EF '⊥，则有GH GH '≥，当且仅当点H 与H '重合，即H 为线段EF 的中点时取等号，又MG ⊂平面1ABC ，把111,AA C ABC 展开放置于同一平面内，连接1MH AC G= ，于是GH GM +的最小值，即为线段MH 长，连接AH ，依题意，1A H =，在1Rt AA H 中，344AH =，11sin A AH A AH ∠=∠=1111sin A AC A AC ∠=∠=111sin sin 22A AB A AC ∠=∠=，21111cos cos 2123A AB A AC ∠=∠=-⨯=-，则111cos cos()33MAH A AB A AH ∠=∠-∠=-+在MAH 中，由余弦定理得MH =，GH GM +的最小值为.故答案为：【点睛】关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.17．(1)43n a n =-；(2)552322n n T n ⎛⎫=-⨯+⎪⎝⎭.【分析】（1）根据等差数列前n 项和、通项公式列方程求基本量，即可得通项公式；（2）写出n n nc a b =的通项公式，应用错位相减法、等比数列前n 项和公式求和.【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题设有112115103(33)23a d a d a a d a +=+⎧⎨=+=+⎩，解得114a d =⎧⎨=⎩，即43n a n =-；（2）由（1）及已知得()1433n n n n c a b n -==-⋅，则()0111353433n n T n -=⨯+⨯++-⨯ ①，()()12131353473433n nn T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ②，②-①，得()()121214333433n nn T n -=--++++-⨯ ()()13131443313n nn --=--⨯+-⨯-()5453nn =+-⨯，所以552322n n T n ⎛⎫=-⨯+⎪⎝⎭.18．(1)证明见解析；(2)π4.【分析】（1）作AH PB ⊥，垂足为H ，根据面面垂直性质得AH ⊥平面PBC ，再由线面垂直性质得AH BC ⊥、PA BC ⊥，最后由线面垂直的判定及性质证结论；（2）法一：构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的大小；法二：取AB 中点E ，PB 中点D ，连结DM ，DE ，ME ，由面面角的定义找到其平面角，再根据已知条件求平面角的大小.【详解】（1）作AH PB ⊥，垂足为H，因为平面PAB ⊥平面PBC ，平面PAB ⋂平面PBC PB =，AH ⊂平面PAB ，所以AH ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AH BC ⊥，又PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，因为PA AH A ⋂=，,PA AH ⊂面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，由AB ⊂平面PAB ，所以BC AB ⊥.（2）（向量法）如图，以B 为原点，,BC BA 及垂直面ABC 向上为,,x y z轴正方向，建立空间直角坐标系.所以()()()11,1,0,0,,,222A C P M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以()BA =，1122BM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，易知平面PAB 的一个法向量(1,0,0)m =，设平面AMB 的法向量为(,,)n x y z =，则011022BA n BM n x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ,令1x =，所以(1,0,1)n =-，则||2|cos ,|2||||m n m n m n ⋅===，所以平面PAB 与平面MAB 的夹角为π4.（几何法）取AB 中点E ，PB 中点D ，连结DM ，DE ，ME，因为PA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以PA AB ⊥，又//DE PA ，所以DE AB ⊥，由（1）知，BC ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以BC PB ⊥，在直角PBC 和直角PAC △中PC ===，12AM PC BM ===，所以MAB △是等腰三角形，所以ME AB ⊥，综上，DEM ∠即为二面角P AB M --的平面角，12DE =，12DM =，2EM ==，则222DE DM EM +=，所以DEM △为等腰直角三角形，故π4DEM ∠=，所以平面PAB 与平面MAB 的夹角为π4.19．(1)e dx y c =(2)0.740.90ˆe x y +=(3)8件或9件【分析】（1）根据散点图的趋势即可求解，（2）利用最小二乘法即可求解方程，（3）根据二项分布求解概率，即可根据不等式求解最值.【详解】（1）由于散点图呈现在曲线附近，所以选择e dxy c =（2）两边取对数，得ln ln y dx c =+，设ln y ω=，ln c e =，建立ω关于x 的回归方程ˆˆˆwdx e =+，则()()()6126112.950.7417.50ˆi i i i i x x dx x ωω==∑--===∑-，3.490.74 3.500.90ˆˆe dx ω=-=-⨯=，所以ω关于x 的回归方程为0.74.0ˆ09x ω=+，所以0.740.90ˆe x y +=.（3）设抽到的产品中有X 件合格品，则()~9,0.9X B ，所以()()99C 0.90.101210k k k P X k k -==⋅⋅= ，，，，，()()()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=+⎪⎨=≥=-⎪⎩，即91189********C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⋅⋅≥⋅⋅⎨⋅⋅≥⋅⋅⎩，()()()()()()91891109!9!0.90.10.90.1!9!1!8!9!9!0.90.10.90.1!9!1!10!k k k kk k k kk k k k k k k k -+----⎧⋅⋅≥⋅⋅⎪-+-⎪⎨⎪⋅⋅≥⋅⋅⎪---⎩，解得89k ≤≤，所以最有可能是8件或9件.20．(1)2(2)2【分析】（1）根据条件及正弦的和角公式得到2sin sin B C =，再利用正弦定理即可求出结果；（2）设π,(0)2BAD ∠θθ=∈,，利用ABC ABD ACD S S S =+ 及条件得出4cos 3AD θ=，再利用余弦定理得BC =AD BC ⋅=【详解】（1）由题意得，sin sin cos 2cos B AB A =-，得到2sin sin cos sin cos B B A A B -=，所以()2sin sin cos sin cos sin sin B A B B A A B C=+=+=，由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==，得到2AB AC =，又1AC =，所以2AB =.（2）设π,(0)2BAD ∠θθ=∈,，因为ABC ABD ACD S S S =+ ，所以111sin2sin sin 222bc AD c AD b θθθ=⋅+⋅，又2,1c b ==，所以4cos 3AD θ=，由余弦定理，BC ===所以AD BC ⋅=当3cos 4θ=时，AD BC ⋅取到最大值.21．(1)22142y x +=(2)k 【分析】（1）设(),P x y ，用坐标表示出已知关系化简即得；（2）设1122(,),(,)A x yB x y ，直线方程为(1)1y k x =-+代入椭圆方程后应用韦达定理得1212,x x x x+，再由向量运算的坐标表示得出12,x x 的关系，结合越来可求得k 值．【详解】（1）设(),P x y=，化简得C :22142y x +=.（2）设l '：()()()()1122111,,y k x kx k A x y B x y =-+=+-，，，与C 联立得，()()2222222230kx k kx k k ++-+--=，因为221131424+=<，则定点()1,1在椭圆内，则该直线与椭圆必有两交点，所以21222122222232k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩①②因为2AM MB = ，所以()2OM OA OB OM-=-，即1233OM OA OB =+ ，所以1223x x +=③，由①③得212222462262k k x k k k x k ⎧--=⎪⎪+⎨++⎪=⎪+⎩④⑤，将④⑤代入②，得222222462623222k k k k k k k k k --++--⋅=+++，化简得2732300k k ++=，，解得k .【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法，联立椭圆方程得到韦达定理式，再根据向量关系式，从而解出212222462262k kxkk kxk⎧--=⎪⎪+⎨++⎪=⎪+⎩，最后得到关于k的方程，解出即可.22．(1)1y=(2)答案见解析(3)答案见解析【分析】（1）利用“指数化"，即可结合复合函数的求导法则即可求解，（2）利用“指数化"，即可结合复合函数的求导法则求导，构造函数()()()()ln1ln11ln2 t t t t t tϕ=-++++，即可求解，（3）根据()g x的单调性，即可令bma=求解.【详解】（1）()11lne x xx xxf x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭==，则()1ln2211e1ln1x xxf x xx x⎛⎫-⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫=++-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'，所以()10f'=，又因为()11f=，所以切线方程为1y=.（2）()()1ln1ln21e2xmx xxmg x+-⎛⎫+==⎪⎝⎭，0x>，()()()()()()ln 1ln 22ln 1ln 11ln2e1x m x x x x x xxm m m m m g x x m +--++++=⋅+'，0x >令0x m t =>，令()()()()ln 1ln 11ln2t t t t t t ϕ=-++++，()()2ln ln 1ln2ln 1tt t t t ϕ=-++=+'，令()2ln01tt t ϕ'=>+，解得1t >，所以()t ϕ在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()()10t ϕϕ>=，所以()0g x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增.（3）由（2）知，令b m a =，得()111122xxx x x b a b ag x a ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎛⎫+⎝⎭⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，由（2）知()g x 在()0,∞+上单调递增.所以()12xxxa b h x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递增，当s t ≥时，1122ssttsta b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22tss s t t a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当s t <时，22t ss s t t a b a b ⎛⎫⎛⎫++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤(1)作差或变形；(2)构造新的函数；(3)利用导数研究单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．。
2020-2021学年浙江省宁波市九校联考高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年浙江省宁波市九校联考高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设全集U ={0,1，2，3，4}，集合A ={x ∈U||x −2|≥1}，则∁U A =( )A. {x|1<x <3}B. {x|1≤x ≤3}C. {2}D. {1,−2,3}2. 已知a =(13)25，b =(25)25，c =log 2513，则( )A. a <b <cB. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b3. 将函数f(x)的图象沿x 轴向右平移一个单位后，所得图象对应的解析式为y =x 12，若f(x 0)=2，则x 0=( )A. 2B. 3C. 4D. 54. 已知α∈[0,2π]，点P(1,tan2)是角α终边上一点，则α=( )A. 2B. 2+πC. π−2D. 2+π或25. 某药厂为提高医药水平，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2020年全年投入研发资金250万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长13%，则该公司全年投入的研发资金超过800万元的第一年是( )(参考数据：lg2≈0.3，lg1.13≈0.053) A. 2027年 B. 2028年 C. 2029年 D. 2030年 6. 函数f(x)=2x4x −a(其中a 为实数)的图象不可能是( )A.B.C.D.7.1sin20∘−tan50°=( )A. √3B. √34C. √2D. 38. 已知定义在(−1,1)上的函数f(x)满足：当x >0时，f(x)>0，且对任意的x ，y ∈(−1,1)，均有f(x +y)[1−f(x)f(y)]=f(x)+f(y).若f(lnx)<f(12)，则x 的取值范围是( )( e 是自然对数的底数)A. (√e √e)B. (1e ,√e) C. (√e,e)D. (1e √e )∪(√e,e)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知a ，b 均为实数，则“a >b ”成立的必要条件可以是( )A. |a|>bB. −a <1−bC. a 3>b 3D. 1a <1b10. 已知函数f(x)=4sin(ωx +φ)−1(ω>0,|φ|≤π)为偶函数，点A(x 1,−1)，B(x 2,−1)是f(x)图象上的两点，若|x 1−x 2|的最小值为2，则下列说法正确的有( )A. ω=π2 B. φ=π2C. f(1)=−1D. f(x)在区间[x 1−1,x 1+1]上单调递增11. 关于函数f(x)={2cosπx,0≤x ≤2−log 2x +2,x >2，下列说法正确的有( )A. 函数f(x)是周期为2的周期函数B. f(2)=2C. 不等式f(x)>1的解集是[0,13)∪(53,2]D. 若存在实数a ，b ，c(a <b <c)满足f(a)=f(b)=f(c)，则a +b +c +16c 的取值范围是[10,19)12. 已知奇函数f(x)的定义域为R ，且满足：对任意的x ∈R ，都有f(x)=−f(x +1).设g(x)=x +f(x)，且当0≤x ≤1时，g(x)的值域为[0,1]，则下列说法正确的有( )A. f(x)的图象关于直线x =−32轴对称 B. f(x)在[0,2]内至少有5个零点 C. f(x)的图象关于点(1,0)中心对称 D. g(x)在[0,3]上的值域为[0,3]三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 计算21+log 23= ______ ．14. 已知sin(π4+α)=35，0<α<π，则cosα= ______ ． 15. 已知a ，b ，c 均为正实数，满足ac +2bc =ab ，则a+b c的最小值是______ ．16. 对于实数m ，若两函数f(x)，g(x)满足：①∀x ∈[m,+∞)，f(x)<0或g(x)<0；②∃x ∈(−∞,m]，f(x)g(x)<0，则称函数f(x)和g(x)互为“m 相异”函数.若f(x)=ax 2+ax −1和g(x)=x −1互为“1相异”函数，则实数a 的取值范围是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知全集U =R ，集合A ={x|1<2x <4}，集合B ={y|y =ax ,x ∈(1a ,+∞)}．(Ⅰ)当a =1时，求A ∩(∁U B)；(Ⅱ)若A ∩B =A ，且A ∪(∁U B)=U ，求实数a 的值．18. 已知函数f(x)=2sinxcos(x −π6)+cos2x ，x ∈[0,π2]．(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间和最值；(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)−a 有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围．19.已知关于x的不等式(kx−k2−4)(x−4)>0(k∈R)的解集为A．(Ⅰ)写出集合A；(Ⅱ)若集合A中恰有9个整数，求实数k的取值范围．20.如图所示，摩天轮的半径为50m，最高点距离地面高度为110m，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12min.甲，乙两游客分别坐在P，Q两个座舱里，且他们之间间隔2个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点)．(Ⅰ)求劣弧PQ的弧长l(单位：m)；(Ⅱ)设游客丙从最低点M处进舱，开始转动t min后距离地面的高度为Hm，求在转动一周的过程中，H关于时间t的函数解析式；(Ⅲ)若游客在距离地面至少85m的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果．21.已知函数f(x)=ln2−xx ，g(x)=4x+2x+1m−m2+1．(Ⅰ)根据定义证明函数f(x)是减函数；(Ⅱ)若存在两不相等的实数a，b，使f(a+1)+f(b+1)=0，且g(a)+g(b)=0，求实数m的取值范围．22.设函数f(x)=ax2−|x−a|，a∈R．(Ⅰ)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(Ⅱ)当−1≤a≤2时，若对任意的x∈[1,3]，均有f(x)+bx≤0成立，求a2+b的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵U ={0,1，2，3，4}，A ={x ∈U|x ≤1或x ≥3}={0，1，3，4}， ∴∁U A ={2}． 故选：C ．可求出集合A ，然后进行补集的运算即可．本题考查了列举法和描述法的定义，补集及其运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题． 2.【答案】A【解析】解：∵(13)25<(25)25<(25)0=1，log 2513>log 2525=1，∴a <b <c ． 故选：A ．根据指数函数和幂函数的单调性可得出(13)25<(25)25<1，根据对数函数的单调性可得出log 2513>1，然后即可得出a ，b ，c 的大小关系．本题考查了指数函数、幂函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题． 3.【答案】B【解析】解：将y =x 12的图象沿x 轴向右左移一个单位后，得到f(x)，即f(x)=(x +1)12=√x +1， 由f(x 0)=2得√x 0+1=2，得x 0+1=4，得x 0=3， 故选：B ．根据图象变换关系先求出f(x)，然后解方程即可．本题主要考查函数解析式的求解，结合图象逆推求出函数的解析式是解决本题的关键，是基础题． 4.【答案】D【解析】解：因为点P(1,tan2)是角α终边上一点， 所以tanα=tan2，可得α=2+kπ，k ∈Z ， 因为α∈[0,2π]， 所以α=2+π或2． 故选：D ．利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，即可得解． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 5.【答案】D【解析】解：由题意可知，研发资金的投入成等比数列的模型，设第n 年投入的研发资金超过800万， 则250(1+13%)n >800， 即1.13n >165，两边去常用对数得，n >9.43， 故选：D ．由题意分析可知，该函数模型是一个等比数列，利用等比数列的定义即可解决． 本题考查了函数的应用，对数的运算公式，属于基础题． 6.【答案】C【解析】解：根据题意，f(x)=2x 4x −a，当a =0时，f(x)=2x 4x=(12)x ，为指数函数，与D 选项对应， 当a =1时，f(x)=2x 4x −1=12x −2−x，为奇函数，且在(0,+∞)、(−∞,0)上是减函数，与A 选项对应，当a =−1时，f(x)=2x4x +1=12x +2−x，为偶函数，在(0,+∞)上是减函数，(−∞,0)上为增函数，与B 选项对应，对于C ，f(x)为偶函数，必有f(−x)=f(x)，即2x4x −a=2−x4−x −a ，则有2x4x −a =2x1−a⋅4x ，必有a =−1，此时f(0)=12，与图象不符，故选：C ．根据题意，分a =0、a =1和a =−1三种情况讨论，分析f(x)的图象，即可得答案． 本题考查函数的图象分析，涉及函数奇偶性的性质以及应用，属于基础题． 7.【答案】A【解析】解：1sin20∘−tan50°=1sin20∘−sin50°cos50∘=1sin20∘−cos40°sin40∘=2cos20°2sin20∘cos20∘−cos40°sin40∘=2cos20° sin40∘−cos40°sin40∘=2cos(60°−40°)−cos40°sin40∘=2×12cos40°+2×√32sin40°−cos40°sin40°=√3sin40°sin40°=√3..故选：A ．利用三角函数的诱导公式以及两角和差的三角公式进行转化求解即可．本题主要考查三角函数值的化简和求解，利用两角和差的三角公式进行转化是解决本题的关键，是中档题． 8.【答案】B【解析】解：对任意的x ，y ∈(−1,1)，都有f(x +y)[1−f(x)f(y)]=f(x)+f(y)， 令x =y =0，则f(0)[1−f(0)f(0)]=f(0)+f(0)， f(0)[−1−f(0)2]=0，∴f(0)=0，令y =−x ，则f(x −x)=f(0)=f(x)+f(−x)， ∴f(−x)=−f(x)，∴f(x)是奇函数．设x 1，x 2∈[0,1)，且x 1<x 2，则x 1−x 2<0，令y =−x 2， 则f(x 1−x 2)[1−f(x 1)f(−x 2)]=f(x 1)+f(−x 2)，由f(x)是奇函数，可得f(x 1−x 2)[1+f(x 1)f(x 2)]=f(x 1)−f(x 2)， ∵当x >0时，f(x)>0，且x 1，x 2∈[0,1)， ∴1+f(x 1)f(x 2)>0，由函数f(x)是奇函敬，可得当x <0时，f(x)<0，∴f(x 1−x 2)[1+f(x 1)f(x 2)]<0，即f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， ∴函数f (x)在[0,1)上是增函数， ∴函数f (x)在(−1,1)上是增函数，则不等式f(lnx)<f(12)等价于{−1<lnx <1lnx <12，解得1e <x <√e ，即不等式的取值范围是(1e ,√e).故选：B ．先判断函数的奇偶性，再利用函数的性质解不等式，即可得结论．本题主要考查了抽象函数的奇偶性和单调性，同时考查了转化思想和计算能力，属于中档题．9.【答案】ABC【解析】解：a >b ，当a >b >0时，|a|>b 成立， 当a >0>b 时，|a|>b 成立，当0>a >b 时，|a|>b 成立，故选项A 正确；因为a >b ，则b −a <0，则b −a <1，所以−a <1−b ，故选项B 正确； 因为y =x 3在R 上单调递增，所以a >b ，可推出a 3>b 3，故选项C 正确； 因为a >b ，取a =2，b =−3，1a >1b ，故选项D 不正确．故选：ABC ．要求“a >b ”成立的必要条件，即求“a >b ”可以推出哪个结论，利用列举法排除，利用不等式的性质和函数的单调性可判定．本题主要考查了不等式的性质，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了学生逻辑推理的能力和运算求解的能力，属于基础题． 10.【答案】AC【解析】解：由f(x)=−1，得4sin(ωx +φ)−1=−1，即sin(ωx +φ)=0， ∵|x 1−x 2|的最小值为2， ∴T2=2，即T =4，即2πω=4， 则ω=π2，故A 正确，∵f(x)是偶函数，∴φ=kπ+π2，k ∈Z ，∵|φ|≤π，∴k =0时，φ=π2，k =−1时，φ=−π2，故B 错误，综上f(x)=4sin(π2x +π2)x −1=4cos π2x −1，或f(x)=4sin(π2x −π2)x −1=−4cos π2x −1， 则f(1)=−1，故C 正确， ∵A(x 1,−1)，B(x 2,−1)，∴4cos π2x 1−1=−1，即cos π2x 1=0，即x 1，是函数y =cos π2x 的零点，∵[x 1−1,x 1+1]的区间长度为2，是半个周期，则函数在[x 1−1,x 1+1]上不具备单调性，故D 错误， 故选：AC ．根据三角函数的图象和性质求出函数的解析式，然后分别进行判断即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键，是中档题． 11.【答案】BCD【解析】解：函数f(x)={2cosπx,0≤x ≤2−log 2x +2,x >2，作出图象如图所示， 根据f(x)的图象可知，图象没有重复出现的部分，故函数f(x)不是周期函数，故选项A 错误；f(2)=2cos2π=2，故选项B 正确；当0≤x ≤2时，若f(x)=1，则2cosπx =1，即cosπx =12，解得x =13或x =53，当x >2时，若f(x)=1，则−log 2x +2=1，即log 2x =1，解得x =1， 结合f(x)的图象可得，不等式f(x)>1的解集是[0,13)∪(53,2]， 故选项C 正确；因为存在实数a ，b ，c(a <b <c)满足f(a)=f(b)=f(c)， 则函数f(x)与y =m 的图象有三个不同的交点，其中a 和b 关于f(x)=2cosπx 的对称轴x =1对称，故a +b =2， 当−log 2x +2=−2时，x =16，故c 的取值范围是2<c <16， 所以a +b +c +16c =2+c +16c≥2+2√c ⋅16c=10，当且仅当c =16c，即c =4时取等号，所以a +b +c +16c的最小值为10，当c =2时，a +b +c +16c的值为12，当c =16时，a +b +c +16c的值为19，故a +b +c +16c的取值范围为[10,19)，故选项D 正确．故选：BCD ．利用分段函数的解析式，作出分段函数的图象，利用图象即可判断选项A ，利用函数解析式求出f(2)的值，即可判断选项B ，利用图象即可得到不等式f(x)>1的解集，从而判断选项C ，利用余弦函数的对称性得到a +b =2，再求出c 的取值范围，利用基本不等式和对勾函数的性质求出则a +b +c +16c的取值范围，即可判断选项D ．本题考查了分段函数的应用，涉及了余弦函数和对数函数图象和性质的应用、周期函数图象特征的应用、基本不等式的应用，综合性强，对学生掌握知识的广度和深度都由较高的要求，属于中档题． 12.【答案】ACD【解析】 【分析】本题考查函数的奇偶性，对称性，周期性等性质的综合运用，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题． 先推导出f(x)关于直线x =12对称，且周期为2，进而判断选项A ，C 正误；由f(0)=f(1)=f(2)，判断选项B 错误； 分类讨论可求得当x ∈[0,3]时，g(x)的值域为[0,3]，即选项D 正确．【解答】解：∵f(x)是奇函数， ∴f(−x)=−f(x)， 又∵f(x)=−f(x +1)，∴−f(−x)=−f(x +1)，即f(−x)=f(x +1)， ∴f(x)关于直线x =12对称，又f(x +1)=−f(x +2)，f(x +1)=−f(x)， ∴f(x)=f(x +2)，即函数f(x)的周期为2，∴函数f(x)的图象关于直线x =−32轴对称，且关于点(1,0)中心对称，故A ，C 选项正确； 显然在x ∈[0,2]，f(0)=f(1)=f(2)，故f(x)在[0,2]时至少有3个零点，故选项B 错误； 又g(x)=x +f(x)，故g(x)为奇函数，当0≤x ≤1时，g(x)的值域为[0,1]，则当−1≤x ≤0时，g(x)的值域为[−1,0]，当1≤x ≤2时，−1≤x −2≤0，g(x)=x +f(x)=x −2+f(x −2)+2的值域为[1,2]， 当2≤x ≤3时，0≤x −2≤1，g(x)=x +f(x)=x −2+f(x −2)+2的值域为[2,3]， 综上，当x ∈[0,3]时，g(x)的值域为[0,3]，故选项D 正确． 故选：ACD ．13.【答案】6【解析】解：∵2log23=3，∴21+log23=21⋅2log23=2×3=6，故答案为：6．利用指数幂的运算性质21+log23=21⋅2log23，及对数恒等式2log23=3可得答案．本题考查对数的运算性质，关键是对数恒等式的利用，是容易题．14.【答案】−√210【解析】解：∵0<α<π，∴π4<α+π4<π+π4，∵sin(π4+α)=35∈(12,√22)，∴π6<α+π4<π4(舍)或3π4<α+π4<5π6，即cos(α+π4)<0，即cos(α+π4)=−45，则cosα=cos(π4+α−π4)=cosπ4cos(α+π4)+sinπ4sin(α+π4)=√22(−45+35)=−15×√22=−√210，故答案为：−√210．根据同角三角函数的基本关系，结合两角差的余弦公式进行转化求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，涉及同角三角函数基本关系和三角恒等变换，属于基础题．15.【答案】3+2√2【解析】【分析】本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．由ac+2bc=ab，整理可得cb +2ca=1，a+bc=a+bc(cb+2ca)，然后结合基本不等式性质即可求解．【解答】解：∵a，b，c均为正实数，且ac+2bc=ab，∴cb +2ca=1，∴a+bc =a+bc(cb+2ca)=3+ab+2ba≥3+2√ab×2ba=3+2√2，当且仅当a=√2b时取等号，故a+bc的最小值是3+2√2．故答案为：3+2√2．16.【答案】a<−4【解析】【分析】本题考查了函数与不等式的综合应用，涉及了二次函数与一次函数性质的应用，解题的关键是正确理解新定义，将问题转化为不等式恒成立和有解问题进行研究，属于中档题．根据题中给出的新定义可得，∀x ∈[1,+∞)，f(x)<0或g(x)<0，且∃x ∈(−∞,1]，f(x)g(x)<0，又因为g(x)的取值情况确定，从而将问题转化为f(x)<0对∀x ∈[1,+∞)恒成立且f(x)>0在x ∈(−∞,1]上有解，然后利用二次函数的性质进行分析求解即可． 【解答】解：由题意可知，f(x)=ax 2+ax −1和g(x)=x −1互为“1相异”函数， 则∀x ∈[1,+∞)，f(x)<0或g(x)<0， 因为g(x)≥0，不满足恒小于0， 所以f(x)<0对∀x ∈[1,+∞)恒成立， 又∃x ∈(−∞,1]，f(x)g(x)<0， 因为g(x)≤0，所以f(x)>0在x ∈(−∞,1]上有解， 先解：f(x)<0对∀x ∈[1,+∞)恒成立，因为f(x)=ax 2+ax −1，对称轴为x =−12且恒过点(0,−1)， ①a =0时，f(x)=−1<0恒成立，符合题意； ②当a >0时，不符合题意；③当a <0时，f(x)<0在[1,+∞)上恒成立， 故a 的取值范围为a ≤0；再解：f(x)>0在x ∈(−∞,1]上有解，①当a =0时，f(x)=−1<0恒成立，不符合题意；②当a >0时，f(x)>0在x ∈(−∞,1]上有解，符合题意；③当a <0时，则有f(−12)>0，即14a −12a −1>0，解得a <−4， 故a 的取值范围为a <−4或a >0，综上可得，实数a 的取值范围为a <−4． 故答案为：a <−4．17.【答案】解：已知A ={x|1<2x <4}=(0,2)，B ={y|0<y <a 2}， (Ⅰ)当a =1时，B ={y|y =1x ,x ∈(1,+∞)}=(0,1)， 所以C U B ={y|y ≥1或y ≤0}， 所以A ∩C U B =[1,2)；(Ⅱ)B ={y|0<y <a 2}，所以C U B ={y|y ≤0或y ≥a 2}， 由A ∩B =A 且A ∪C UB =U 可得：{a 2≥2a 2≤2，则a 2=2， 所以a =±√2．【解析】先求出集合A ，B ，然后对应各个问题根据交并补的运算性质以及集合间的关系即可求解． 本题考查了交并补的混合运算的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=2sinxcos(x −π6)+cos2x=2sinx(√32cosx +12sinx)+cos2x =√3sinxcosx +sin 2x +cos 2x −sin 2x =√32sin2x +12cox2x +12=sin(2x +π6)+12，令−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ，解得−π3+kπ≤x ≤π6+kπ,k ∈Z ， 因为x ∈[0,π2]，所以当k =0时，f(x)的单调递增区间为[0,π6]．所以当x =π6时，f(x)取得最大值为f(π6)=sin(2×π6+π6)+12=32； (Ⅱ)函数g(x)=f(x)−a 有且仅有一个零点，等价于函数y =f(x)与y =a 的图象只有一个交点， 作出函数f(x)的图象如图所示， 因为f(0)=1，f(π2)=0， 由图可知a ∈[0,1)∪{32}．【解析】(Ⅰ)利用两角和差公式以及二倍角公式化简函数f(x)的解析式，利用正弦函数的单调性以及有界性进行分析求解即可；(Ⅱ)将问题转化为函数y =f(x)与y =a 的图象只有一个交点，作出图象分析求解即可．本题考查了三角函数图象和性质的综合应用，涉及了三角函数的单调性与最值的求解，解题的关键是利用三角恒等式将函数的解析式化简变形，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)当k =0时，不等式(kx −k 2−4)(x −4)>0可化为−4(x −4)>0，解得x <4， 所以不等式的解集为A =(−∞,4)；当k ≠0时，方程(kx −k 2−4)(x −4)=0的两根分别为4和k +4k ，当k >0时，k +4k ≥2√k ⋅4k=4，不等式的解集为A =(−∞,4)∪(k +4k ,+∞)；当k <0时，k +4k <0<4，不等式的解集为A =(k +4k ,4)． (Ⅱ)若集合A 中恰有9个整数，则{k <0−6≤k +4k <−5，即{k <0k 2+6k +4≤0k 2+5k +4>0， 解得−3−√5≤k <−4，或−1<k <0；所以实数k 的取值范围是[−3−√5,−4)∪(−1,0)．【解析】(Ⅰ)讨论k =0和k >0、k <0时，求出不等式的解集即可． (Ⅱ)根据集合A 中恰有9个整数，列出不等式组求出解集．本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)∠POQ =2π×324=π4，由弧长公式可得，l =π4×50=12.5πm ；(Ⅱ)设H =Asin(ωx +φ)+B ，由题意，T =12，∴ω=2πT=π6，A =r =50，B =OM =110−50=60，∴H =50sin(π6x +φ)+60，当x =0时，可得sinφ=−1，∴φ=−π2，得H =50sin(π6x −π2)+60(0≤t ≤12)；(Ⅲ)H=50sin(π6x−π2)+60≥85，∴sin(π6x−π2)≥12，令π6+2kπ≤π6x−π2≤5π6+2kπ，k∈Z，∴4+12k≤x≤8+12k，k∈Z，而甲乙相差324×12=32min，又4−32=52min，∴有52min甲乙都有最佳视觉效果．【解析】(Ⅰ)求出∠POQ，再由弧长公式求l；(Ⅱ)设H=Asin(ωx+φ)+B，由题意求得ω、A与B，得到H=50sin(π6x+φ)+60，当x=0时，可得sinφ=−1，求得φ，则函数解析式可求；(Ⅲ)由H=50sin(π6x−π2)+60≥85，求得x的范围，结合甲乙相差324×12=32min，可得4−32=52min，即可求得甲乙都有最佳视觉效果的时间．本题考查三角函数模型的应用，考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象与性质，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】(Ⅰ)证明：令2−xx>0，解得0<x<2，故函数f(x)的定义域为(0,2)，设0<x1<x2<2，则f(x1)−f(x2)=ln2−x1x1−ln2−x2x2=ln2x2−x1x22x1−x1x2，因为0<x1<x2<2，所以0<2x1<2x2<4，则0<2x1−x1x2<2x2−x1x2，故2x2−x1x22x1−x1x2>1，则ln2x2−x1x22x1−x1x2>0，故f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(0,2)上是减函数；(Ⅱ)解：f(a+1)+f(b+1)=0，即ln(1−a)(1−b)(a+1)(b+1)=0，所以(1−a)(1−b)(a+1)(b+1)=1，展开整理可得a+b=0，因为g(x)=4x+2x+1m−m2+1=(2x)2+2m⋅2x−m2+1，令t=2x>0，则φ(t)=t2+2mt−m2+1，令t1=2a,t2=2b，因为g(a)+g(b)=0，所以φ(t1)+φ(t2)=0，因为a+b=0，所以t1t2=2a+b=1，则φ(t1)+φ(t2)=t12+t22+2m(t1+t2)−m+2=0，即(t1+t2)2+2m(t1+t2)−m=0，因为a +1∈(0,2)，b +1∈(0,2)， 所以a ∈(−1,1)，b ∈(−1,1)， 故t 1∈(12,2)，t 2∈(12,2)， 令μ=t 1+t 2=t 1+1t 1∈[2,52),则有m(2μ−1)=−μ2， 所以m =−μ22μ−1， 令p =μ−12∈[32,2), 则m =−(p+12)22p=−(p 2+18p +12)，由对勾函数的性质可知，m 在[32,2)上单调递减， 故当p =32时，m 取得最大值−43， 所以m 的取值范围为(−2516,−43]．【解析】(Ⅰ)先求出函数的定义域，然后令0<x 1<x 2<2，作差f(x 1)−f(x 2)，然后与0比较大小，再利用函数单调性的定义即可证明；(Ⅱ)由f(a +1)+f(b +1)=0结合对数的运算性质，可得到a +b =0，然后利用换元法令t =2x >0，将g(a)+g(b)=0转化为t 12+t 22+2m(t 1+t 2)−m +2=0， 再令μ=t 1+t 2=t 1+1t 1∈[2,52)，求出m 的表达式，然后利用对勾函数的性质进行分析求解即可．本题考查了函数的综合应用，涉及了函数单调性的证明、换元法的应用、对勾函数的性质，综合性强，对学生掌握知识的广度和深度都有较高的要求，属于难题．22.【答案】解：(Ⅰ)因为函数f(x)=ax 2−|x −a|， 所以f(−x)=ax 2−|x +a|，当a =0时，f(−x)=f(x)，所以f(x)是偶函数；当a ≠0时，f(−x)≠f(x)，f(−x)≠−f(x)，所以f(x)是非奇非偶函数；(Ⅱ)因为当−1≤a ≤2时，若对任意的x ∈[1,3]，均有f(x)+bx =ax 2−|x −a|+bx ≤0成立， 所以令g(x)=ax 2−|x −a|+bx ={ax 2−x +a +bx,x ≥aax 2+x −a +bx,x <a，①当a =0时，g(x)=bx −x =(b −1)x ≤0，对任意的x ∈[1,3]恒成立， 即3(b −1)≤0，解得b ≤1，a 2+b 的最大值为1；②当−1≤a <0时，g(x)=ax 2−(x −a)+bx =ax 2+(b −1)x +a ，x ∈[1,3]， 对称轴为x =1−b 2a，i)1−b 2a≤1，则1−b ≥2a ，(a <0不等号方向改变)，g(1)≤0即a +b −1+a ≤0，所以b ≤1−2a ，则a 2+b ≤a 2−2a +1=(a −1)2，a 2+b 的最大值为1； ii)1−b 2a≥3时，1−b ≤6a ，即b ≥1−6a ，所以g(3)≤0，即b ≤1−103a ，无解；iii)1<1−b 2a<3时，1−2a <b <1−6a ，所以g(1−b2a )≤0，即a ⋅(1−b2a )2+(b −1)×1−b 2a+a ≤0，即4a 2≥(1−b)2，所以1+2a ≤b ≤1−2a 无解；③当0<a ≤1时，g(x)=ax 2−(x −a)+bx =ax 2+(b −1)x +a ，x ∈[1,3]，对称轴为x =1−b 2a，i)1−b 2a≤1，则1−b ≤2a ，g(3)≤0即b ≤1−103a ，无解；ii)1−b 2a≥3时，1−b ≥6a ，即b ≤1−6a ，g(1)≤0，b ≤1−2a ，则b ≤1−6a ，则a 2+b ≤a 2−6a +1=(a −3)2−8， ∵0<a ≤1，∴a 2+b 的最大值为1； iii)1<1−b 2a<3时，1−6a ≤b ≤1−2a ，g(3)≤0，g(1)≤0则b ≤1−103a 且b ≤1−2a ，所以1−6a ≤b ≤1−103a ，则a 2+b ≤a 2+1−103a ，a 2+b 的最大值为1；④当1≤a ≤2时，g(x)={ax 2−x +a +bx,a ≤x ≤3ax 2+x −a +bx,1≤x ≤a ， g(3)≤0，g(1)≤0，g(a)≤0，即{a +1−a +b ≤0a 3+ab ≤09a −3+a +3b ≤0，则{b ≤−1b ≤−a 2b ≤1−10a3，而−1≤a ≤2，∴b ≤1−10a 3，则a 2+b ≤a 2+1−103a ，令p(a)=a 2+1−103a ，−1≤a ≤2，则p′(a)=2a −103，即p(a)在[53,2]上单调递增， p(a)的最大值为p(2)=−53．综上所述：对任意的x ∈[1,3]，均有f(x)+bx ≤0成立， a 2+b 的最大值为−53(所有最大值中的最小值)．【解析】(Ⅰ)直接根据函数奇偶性的定义进行判定，需要讨论a ；(Ⅱ)讨论去绝对值，然后讨论a ，以及对称轴与区间的位置关系，可求出a 与b 的关系式，然后分别求出a 2+b 的最大值，从而可求出所求．本题主要考查了函数奇偶性的判定，以及函数恒成立问题，同时考查了分类讨论的数学思想和转化的能力，属于难题．。
2019-2020学年浙江省杭州高中高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年浙江省杭州高中高一（上）期末数学试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知集合{1P =-，0，1}，{|11}Q x x =-<…，则(P Q =I ) A ．{0}B ．[1-，0]C ．{1-，0}D ．[1-，1)2．（4分）若一个幂函数的图象经过点1(2,)4，则它的单调增区间是( )A ．(,1)-∞B ．(0,)+∞C ．(,0)-∞D ．R3．（4分）下列函数既是奇函数，又在区间[1-，1]上单调递减的是( ) A ．()sin f x x = B ．()|1|f x x =-+ C ．1()()2x x f x a a -=+D ．2()2xf x lnx-=+ 4．（4分）函数26y lnx x =+-零点的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．35．（4分）已知函数()f x 是奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)(f -= )A ．2-B ．0C ．1D ．26．（4分）已知[,]2πθπ∈，则12sin()sin()(2ππθθ++-= )A ．sin cos θθ-B ．cos sin θθ-C ．(sin cos )θθ±-D ．sin cos θθ+7．（4分）在下列函数①sin(2)6y x π=+②|sin()|4y x π=+③cos |2|y x =④tan(2)4y x π=-⑤|tan |y x =⑥sin ||y x =中周期为π的函数的个数为( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个8．（4分）函数223()2xx xf x e +=的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．9．（4分）已知函数()2sin f x x ω=（其中0)ω>，若对任意13[,0)4x π∈-，存在2(0,]3x π∈，使得12()()f x f x =，则ω的取值范围为( ) A ．3ω…B ．03ω<„C ．92ω…D ．902ω<„10．（4分）已知函数()f x 是R 上的增函数，且(sin )(cos )(sin )(cos )f f f f ωωωω+->-+，其中ω是锐角，并且使得()sin()4g x x πω=+在(2π，)π上单调递减，则ω的取值范围是()A ．(4π，5]4B ．5[4，)2πC ．1[2，)4πD ．1[2，5]4二．填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11．（6分）sin6π=；cos α，则α∈ ． 12．（6分）函数||11()4x y -+=的单调增区间为 ；奇偶性为 （填奇函数、偶函数或者非奇非偶函数）．13．（6分）若lgx m =，lgy n =，则2()10ylg = ；若2m a =，6(0n a a =>，m ，)n R ∈，则32m n a-= ．14．（6分）函数27cos sin cos24y x x x =--+的值域为 ；函数3sin ()2sin xf x x-=+的值域为 ． 15．（4分）设函数(0)()1()(0)2xx f x x =⎨<⎪⎩…，则((4))f f -= ．16．（4分）若(,)2παπ∈，1sin()43πα+=，则sin α=17．（4分）已知函数()f x =，若()f x 的值域为[0，)+∞，则a 的取值范围 ． 三．解答题（本大题有5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（14分）设全集为R ，{|37}A x x =<<，{|410}B x x =<<， （1）求()R A B U ð及()R A B I ð；（2）{|44}C x a x a =-+剟，且A C A =I ，求a 的取值范围． 19．（15分）如图是()sin()f x A x ωϕ=+，(,0,0,0)2x R A πωϕ∈>><<在区间5[,]66ππ-上的图象，（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若把函数()f x 图象向左平移β个单位(0)β>后，与函数()cos2g x x =重合，求β的最小值．20．（15分）已知函数2()cos()2sin 32xf x x π=-+（Ⅰ）求函数()f x 在区间[,]32ππ-上的值域（Ⅱ）把函数()f x 图象所有点的上横坐标缩短为原来的12倍，再把所得的图象向左平移ϕ个单位长度(0)2πϕ<<，再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数()g x ，若函数()g x 关于点3(,0)4π对称 ()i 求函数()g x 的解析式；()ii 求函数()g x 单调递增区间及对称轴方程．21．（15分）已知0m ≠，函数()sin cos sin cos 1f x x x m x x =+-+ （Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的最大值并求出相应x 的值； （Ⅱ）若函数()f x 在[,2]2ππ-上有6个零点，求实数m 的取值范围．22．（15分）已知a 为正数，函数22222131(),()log log 244f x ax xg x x x =--=-+． （Ⅰ）解不等式1()2g x -„； （Ⅱ）若对任意的实数t ，总存在1x ，2[1x t ∈-，1]t +，使得12|()()|()f x f x g x -…对任意[2x ∈，4]恒成立，求实数a 的最小值．2019-2020学年浙江省杭州高中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知集合{1P =-，0，1}，{|11}Q x x =-<„，则(P Q =I ) A ．{0}B ．[1-，0]C ．{1-，0}D ．[1-，1)【解答】解：Q 集合{1P =-，0，1}，{|11}Q x x =-<„， {1P Q ∴=-I ，0}．故选：C ．2．（4分）若一个幂函数的图象经过点1(2,)4，则它的单调增区间是( )A ．(,1)-∞B ．(0,)+∞C ．(,0)-∞D ．R【解答】解：设幂函数()f x x α=， Q 函数()f x 经过点1(2,)4，∴124α=，解得2α=-， ∴221()f x x x -==， 故它的单调递增区间为(,0)-∞． 故选：C ．3．（4分）下列函数既是奇函数，又在区间[1-，1]上单调递减的是( ) A ．()sin f x x = B ．()|1|f x x =-+ C ．1()()2x x f x a a -=+D ．2()2xf x lnx-=+ 【解答】解：函数()sin f x x =，是奇函数，在[1-，1]上单调递增，不满足条件． 函数()|1|f x x =-+不是奇函数，不满足条件， 函数1()()2x x f x a a -=+是偶函数，不满足条件，故选：D ．4．（4分）函数26y lnx x =+-零点的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：26y lnx x =+-在其定义域上连续且单调递增，2|246220x y ln ln ==+-=-<， 3|36630x y ln ln ==+-=>，故函数26y lnx x =+-在(2,3)上有一个零点， 故函数26y lnx x =+-零点的个数为1， 故选：B ．5．（4分）已知函数()f x 是奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)(f -= )A ．2-B ．0C ．1D ．2【解答】解：()f x Q 是定义在R 上的奇函数， ()()f x f x ∴-=-，(1)f f -=-（1）， 又当0x >时，21()f x x x=+，f ∴（1）2112=+=，(1)2f ∴-=-，故选：A ．6．（4分）已知[,]2πθπ∈( )A ．sin cos θθ-B ．cos sin θθ-C ．(sin cos )θθ±-D ．sin cos θθ+【解答】解：由[,]2πθπ∈，|sin cos |sin cos θθθθ-=-，故选：A ．7．（4分）在下列函数①sin(2)6y x π=+②|sin()|4y x π=+③cos |2|y x =④tan(2)4y x π=-⑤|tan |y x =⑥sin ||y x =中周期为π的函数的个数为( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【解答】解：①sin(2)6y x π=+的周期22T ππ==，满足条件，②|sin()|4y x π=+的周期1T ππ==，③cos |2|cos2y x x ==，周期22T ππ==，满足条件， ④tan(2)4y x π=-的周期是2π不满足条件．⑤|tan |y x =的周期是π，满足条件，⑥sin |y x =是偶函数，不具备周期性． 故正确的是①②③⑤ 故选：B ．8．（4分）函数223()2xx xf x e +=的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：：由函数223()2x x x f x e +=知有两个零点32x =-与0x =，排除A ，又223()2xx x f x e -++'=， 由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ， 故选：B ．9．（4分）已知函数()2sin f x x ω=（其中0)ω>，若对任意13[,0)4x π∈-，存在2(0,]3x π∈，使得12()()f x f x =，则ω的取值范围为( )A ．3ω…B ．03ω<„C ．92ω…D ．902ω<„【解答】解：由题意知，函数()2sin f x x ω=是奇函数， 因为对任意13[4x π∈-，0]，都存在2(0x ∈，]3π， 使得12()()f x f x =，(0∴，]3π至少是32个周期，得到函数()f x 的周期332222233T πππω=⨯⨯=„，解得92ω…，则ω的取值范围为9[2，)+∞；故选：C ．10．（4分）已知函数()f x 是R 上的增函数，且(sin )(cos )(sin )(cos )f f f f ωωωω+->-+，其中ω是锐角，并且使得()sin()4g x x πω=+在(2π，)π上单调递减，则ω的取值范围是()A ．(4π，5]4B ．5[4，)2πC ．1[2，)4πD ．1[2，5]4【解答】解：①若sin cos ωω>，则cos sin ωω->-；()f x Q 是R 上的增函数；(sin )(cos )f f ωω∴>，(cos )(sin )f f ωω->-；∴符合(sin )(cos )(cos )(sin )f f f f ωωωω+->+-； ωQ 是锐角；∴42ππω<<；②若sin cos ωω„，则cos sin ωω--„；(sin )(cos )(cos )(sin )f f f f ωωωω∴+-+-„，显然与已知矛盾，即这种情况不存在；由()cos()4g x x πωω'=+；∴由已知条件知，cos()04x πω+„在(2x π∈，)π上恒成立；∴函数cos()4x πω+的周期22()2ππππω-=g …；2ω∴„；∴24πω<„；由2x ππ<<得，244x πωππωπω<+<+，联立：2243242ππωππωππ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩„„ 解得：1524ω剟． ∴544πω<„． ω∴的取值范围为5(,]44π．故选：A ．二．填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11．（6分）sin6π=12；cos 2α…，则α∈ ．【解答】解：1sin 62π=，由cos α，知在一个周期内44ππα-剟，则在R 上α的范围是2244k k πππαπ-++剟，k Z ∈，即[24k παπ∈-+，2]4k ππ+，k Z ∈，故答案为：12，[24k ππ-+，2]4k ππ+，k Z ∈． 12．（6分）函数||11()4x y -+=的单调增区间为 [0，)+∞ ；奇偶性为 （填奇函数、偶函数或者非奇非偶函数）．【解答】解：令||1t x =-+，该函数的减区间为[0，)+∞， 而外层函数1()4t y =为减函数，∴函数||11()4x y -+=的单调增区间为[0，)+∞；函数||11()4x y -+=的定义域为R ，且||1||111()()()()44x x f x f x --+-+-===，∴函数为偶函数．故答案为：[0，)+∞；偶函数．13．（6分）若lgx m =，lgy n =，则2()10ylg = 1222m n -+ ；若2m a =，6(0n a a =>，m ，)n R ∈，则32m na-= ．【解答】解：lgx m =Q ，lgy n =，∴211()2(1)221022y lg lgx lgy m n =--=-+； 2m a =Q ，6(0n a a =>，m ，)n R ∈，∴32m na-=．故答案为：1222m n -+14．（6分）函数27cos sin cos24y x x x =--+的值域为 1[,2]4- ；函数3sin ()2sin xf x x-=+的值域为 ． 【解答】解：①函数2222227771cos sin cos2cos sin cos sin cos cos (cos )24442y x x x x x x x x x x =--+=--++=-++=--+， 当1cos 2x =时，2max y =， 当cos 1x =-时，14min y =-．故函数的值域为1[,2]4-．②函数3sin ()2sin xf x x-=+，整理得3sin 2sin x y x -=+，转换为2sin 3sin y y x x +=-，整理得32sin 1yx y-=+，由于1sin 1x -剟， 故32111y y --+剟，整理得32113211y y y y-⎧⎪+⎪⎨-⎪-⎪+⎩„…，解不等式组得：243y 剟，故函数的值域为2[,4]3．故答案为：①1[,2]4-．②2[,4]3．15．（4分）设函数(0)()1()(0)2xx f x x =⎨<⎪⎩…，则((4))f f -= 4 ．【解答】解：41(4)()162f --==，((4))(16)4f f f -==，故答案为：4．16．（4分）若(,)2παπ∈，1sin()43πα+=，则sin α=46【解答】解：Q (,)2παπ∈，1sin()43πα+=，3(44ππα∴+∈，5)4π，cos()4πα∴+=，1sin sin[()]sin()cos cos()sin (4444443ππππππαααα∴=+-=+-+=．． 17．（4分）已知函数()f x ，若()f x 的值域为[0，)+∞，则a 的取值范围 81[4，)+∞ ．【解答】解：()f x Q 的值域为[0，)+∞，()f x =的最小值为0，设22()9ag x x x=+-， ()g x ∴的最小值为0，当0a >时，22()9290ag x x a x=+--厖，当且仅当4x a =取等号，解得814a …， 当0a „时，()g x 的最小值不为0，故不满足条件， 综上所述a 的取值范围81[4，)+∞ 三．解答题（本大题有5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（14分）设全集为R ，{|37}A x x =<<，{|410}B x x =<<， （1）求()R A B U ð及()R A B I ð；（2）{|44}C x a x a =-+剟，且A C A =I ，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）Q 全集为R ，{|37}A x x =<<，{|410}B x x =<<， {|310}A B x x ∴=<<U ，{|3R A x x =„ð或7}x …， (){|3R A B x x ∴=U „ð或10}x …， (){|710}R A B x x =<I „ð．（2）{|37}A x x =<<Q ，{|44}C x a x a =-+剟，且A C A =I ，A C ∴⊆，∴4347a a -⎧⎨+⎩„…，解得37a 剟． a ∴的取值范围是[3，7]．19．（15分）如图是()sin()f x A x ωϕ=+，(,0,0,0)2x R A πωϕ∈>><<在区间5[,]66ππ-上的图象，（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若把函数()f x 图象向左平移β个单位(0)β>后，与函数()cos2g x x =重合，求β的最小值．【解答】解：（Ⅰ） 根据()sin()f x A x ωϕ=+，(,0,0,0)2x R A πωϕ∈>><<在区间5[,]66ππ-上的图象， 可得1A =，25()66πππω=--，2ω∴=． 再根据五点法作图，可得23πϕπ+=g ，3πϕ∴=，()sin(2)3f x x π∴=+．（Ⅱ）Q 把函数()f x 图象向左平移β个单位(0)β>后，可得sin(22)3y x πβ=++的图象，由于所得图象与函数()cos2sin(2)2g x x x π==+的图象重合，2232k ππβπ∴+=+，k Z ∈， 故β的最小值为12π．20．（15分）已知函数2()cos()2sin 32xf x x π=-+（Ⅰ）求函数()f x 在区间[,]32ππ-上的值域（Ⅱ）把函数()f x 图象所有点的上横坐标缩短为原来的12倍，再把所得的图象向左平移ϕ个单位长度(0)2πϕ<<，再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数()g x ，若函数()g x 关于点3(,0)4π对称 ()i 求函数()g x 的解析式；()ii 求函数()g x 单调递增区间及对称轴方程．【解答】解：（Ⅰ）Q 函数211cos ()cos()2sin cos 23222x xf x x x x π-=-+=++g11sin()126x cox x π=-+=-+， 在区间[,]32ππ-上，[62x ππ-∈-，]3π，故当62x ππ-=-时，()f x 取得最小值为 0；当63x ππ-=时，()f x 1，故函数()f x 在区间[,]32ππ-上的值域为[01]+． （Ⅱ）()i 把函数()sin()16f x x π=-+图象所有点的上横坐标缩短为原来的12倍，可得sin(2)16y x π=-+的图象；再把所得的图象向左平移ϕ个单位长度(0)2πϕ<<，可得sin(22)16y x πϕ=+-+的图象；再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数()sin(22)6g x x πϕ=+- 的图象．若函数()g x 关于点3(,0)4π对称，则32246k ππϕπ⨯+-=，k Z ∈， 6πϕ∴=-，()sin(2)cos22g x x x π∴=-=-．()ii 对于函数()cos2g x x =-，令222k x k πππ-剟，求得2k x k πππ-剟，可得函数()g x 的单调递增区间为[2k ππ-，]k π，k Z ∈．令2x k π=，求得2k x π=，可得函数()g x 的图象的对称轴方程为2k x π=，k Z ∈． 21．（15分）已知0m ≠，函数()sin cos sin cos 1f x x x m x x =+-+ （Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的最大值并求出相应x 的值； （Ⅱ）若函数()f x 在[,2]2ππ-上有6个零点，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当1m =时，()sin cos sin cos 1f x x x x x =+-+，令sin cos )[4t x x x π=+=+∈，且212sin cos t x x =+，所以21sin cos 2t x x -=，则2211()1(1)222t f t t t -=-+=--+，因为[t ∈，所以当1t =时，函数()f x 取最大值为2，)14x π+=，解得2x k π=或2()2k k Z ππ+∈； （Ⅱ）[,2]2x ππ∈-Q ，∴9[,]444x πππ+∈-，则sin cos )[4t x x x π=+=+∈，， 令21()()102t f x g t t m -==-+=g ，故2112t t m -+=g，易知1t =-是方程()0g t =的一个解，且1)4x π-+在9[,]444x πππ+∈-有三个x 与之对应，当1t ≠-时，由2112t t m -+=g 可得21t m=+，故21)4t x m π=+=+在9[,]444x πππ+∈-也需有三个x 与之对应，故21(1,1]m+∈-，解得1m <-，所以实数m 的取值范围为(,1)-∞-．22．（15分）已知a 为正数，函数22222131(),()log log 244f x ax xg x x x =--=-+． （Ⅰ）解不等式1()2g x -„； （Ⅱ）若对任意的实数t ，总存在1x ，2[1x t ∈-，1]t +，使得12|()()|()f x f x g x -…对任意[2x ∈，4]恒成立，求实数a 的最小值．【解答】解：()I 令2log ()x u u R =∈，则不等式2111()2242g x u u -⇔-+-剟，24830u u ∴-+„，∴1322u剟，∴213log 22x 剟，∴x∴不等式1()2g x -„的解集为． ()II 令2log m x =，则12m 剟，21()24g x m m =-+，∴1()4max g x =． Q 对任意的实数t ，总存在1x ，2[1x t ∈-，1]t +，使得121|()()|4f x f x -…．设213()24f x ax x =--在[1t -，1]t +上最大值为()M t ，最小值为()m t ，()f x 的对称轴为直线14x a =．令()()()h t M t m t =-，则对任意的实数t ，1()4h t …．①当114t a-„时，()(1)M t f t =+，()(1)m t f t =-， 则()()()41h t M t m t at =-=-，此时11()4(1)1444h t a aa +-=厖，∴116a …； ②当114t t a-<„时，()(1)M t f t =+，113()()24m t f a a ==-，11331()()()(1)()2424h t M t m t f a a a =-+--=+厖，∴54a -…． ③当114t t a <<+时，()(1)M t f t =-，113()()24m t f a a ==-， 11331()()()(1)()2424h t M t m t f a a a =----=-厖，∴74a …；④当114t a+…时，()(1)M t f t =-，()(1)m t f t =+，则()()()41h t M t m t at =-=-+， 此时11()4(1)1444h t a aa --+=厖，∴116a …， 综上，实数a 的最小值为74．。
浙江省宁波市九校2022-2023学年高一上学期期末联考数学试题含解析
13.命题“ ， ”的否定是__________．
【答案】 ，
【解析】
【详解】全称命题的否可得，命题的否定为“ ， ”．
答案： ， ．
14.计算 ______.
【答案】
【解析】
【分析】对数、根式与指数的运算法则化简即可.
【详解】原式 ，
故答案为： .
15.已知 ，则 的值为______.
【详解】因为 ，所以 ，令 ，则 且
，代入 中得：
当 即 时取“=”,
所以最小值为1.
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.下列不等式错误的是（）
A.若 ，则 B.若 ，则
C.若 ，则 D.若 ，则
宁波市2022学年第一学期期末九校联考
高一数学试题（答案在最后）
选择题部分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简集合 ，然后根据交集的定义运算即可．
【详解】 ， ；
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意列出不等式，通过取对数，根据对数函数的单调性进行求解即可.
【详解】设世界人口达到90亿至少需要 年，由题意，得
，
因此世界人口达到90亿至少需要8.5年，
故选：B
7.函数 的图象最有可能的是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
浙江省宁波市九校2021-2022学年高一上学期期末联考数学试题及答案
浙江省宁波市九校2021-2022学年高一上学期期末联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =，{}3,4B =，则()UA B =（ ）A ．{}1,2B ．{}1,3C ．{}1,4D ．{}1,24，2．已知弧长为4π的扇形圆心角为6π，则此扇形的面积为（ ） A ．24πB ．36πC ．48πD ．96π3．已知,,a b c ∈R ，0a ≠，则“关于x 的不等式20ax bx c ++>有解”是“240b ac ->”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()2cos 4x xf x x =-，则其图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．5．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家有关规定：100ml 血液中酒精含量达到2079mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上人定为醉酒驾车，某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了0.6mg /ml ，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他至少要经过几个小时后才能驾车（参考数据：lg20.301=，lg30.477=）（ ） A ．3B ．4C ．5D ．76．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+为减函数，则（ ）A ．23133log 2sin22f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．23133sinlog 222f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．231332sinlog 22f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ D ．231332log 2sin2f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭7．已知4k <-，则函数()()cos21sin f x x k x =+-的最大值为（ ） A ．-1B ．1C ．21k -D ．21k +8．已知函数()()4sin ,2212,22x x f x f x x π⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，则方程()()lg 2f x x =+的根的个数是（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7二、多选题9．下列命题是真命题的是（ ） A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b >>，且0c d <<，则ac bd <C ．若11a b>，则a b < D ．若0a b c >>>，则a c ab c b+<+ 10．下列等式成立的是（ ） A．22sin 75cos 75︒-︒= B．1sin152︒︒C ．1sin 75cos 754︒︒=D．tan1652︒=11．已知()f x 在定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x -=，当[]1,1x ∈-时，())lnf x x =，则下列说法正确的是（ ）A ．()20,f k k Z =∈B ．())21ln1,f k k Z -=∈C ．0x R ∃∈，()()0021f x f x +-=D ．方程()12f x =在[]4,2-的各根之和为-6 12．对:R f D →，:R g D →，若0k ∃>，使得12,x x D ∀∈，都有()()()()1212f x f x k g x g x -≤-，则称()f x 在D 上相对于()g x 满足“k -普希兹”条件，下列说法正确的是（ ）A ．若()()2log ,f x x g x x ==，则()f x 在()0,∞+上相对于()g x 满足“2-利普希兹”条件B ．若()()f x g x x =，()f x 在[]1,4上相对于()g x 满足“k -利普希兹”条件，则k 的最小值为12C ．若()()()1,,f x ax g x f x x ==在[]2,3上相对于()g x 满足“4-利普希兹”条件，则a 的最大值为49D ．若()()()()2,log 41,xf x xg x f x ==+在非空数集D 上相对于()g x 满足“1-利普希兹”条件，则(],0D ⊆-∞ 三、填空题13．计算2338log 27-=___________.14．若tan ,tan αβ是方程2420x x --=的两根，θαβ=+，则()()32cos cos 211sin sin 52ππθθπθπθ⎛⎫++- ⎪⎝⎭=⎛⎫-+- ⎪⎝⎭___________.15．已知()()()e 1ln 21x af x x a -=-+-，若()0f x ≥对()12,x a ∈-+∞恒成立，则实数=a ___________.16．已知正实数,a b 满足()33810511a a b b +≤+++，则32a b +的最小值是___________. 四、解答题17．从①()12|log 12A x x ⎧⎫=+≥-⎨⎬⎩⎭；①11|282xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭；①3|01x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.已知集合___________，集合{}2|2,B x m x m m R =<<∈.(1)当1m =-时，求A B ；(2)若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.18．已知函数()53sin 22sin cos 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(1)求()f x 的最小正周期及单调递增区间；(2)将()f x 的图象向左平移6π个单位，再将此时图象的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，得到()g x 的图象，求()g x 图象的对称轴方程.19．已知函数()()212xxa f x a R -=∈+是定义在R 上的奇函数.(1)求实数a 的值；(2)若不等式()()4220x xx f k f a ⎡⎤⋅++-≤⎣⎦对[]1,2x ∈恒成立，求实数k 的取值范围. 20．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池ABCD 的池底水平铺设污水净化管道（直角三角形FHE 三条边，H 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口H 是AB 的中点，,E F 分别落在线段,BC AD 上（含线段两端点），已知40AB =米，AD =BHE θ∠=.(1)试将污水净化管道的总长度L （即FHE 的周长）表示为θ的函数，并求出定义域；(2)问θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.21．已知函数()()()2ln 2R f x x kx k k =-+∈.(1)若()f x 在[]0,3单调递减，求实数k 的取值范围；(2)若方程()2434ln f x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在[]2,6上有两个不相等的实根，求k 的取值范围.22．已知函数()()()21f x x x a a R =--+∈.(1)若2a =-，写出()f x 的单调递增区间（不要求写出推证过程）； (2)若存在b R ∈，使得对任意[]4,8x ∈都有()92f x b -≤，求实数a 的取值范围.参考答案：1．A 【解析】 【分析】根据交集和补集的定义即可得出答案. 【详解】解：因为全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =，{}3,4B =，， 所以{}1,2U B =，所以()UA B ={}1,2.故选：A. 2．C 【解析】 【分析】根据题意求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式即可得解. 【详解】解：设扇形的半径为R ，因为弧长为4π的扇形圆心角为6π， 所以46R ππ=，所以24R =，所以此扇形的面积为214826R ππ⨯=.故选：C. 3．B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】解：若关于x 的不等式20ax bx c ++>有解，当0a >时，关于x 的不等式20ax bx c ++>一定有解，此时无法确定判别式是否大于零， 当0a <时，则240b ac ->，则关于x 的不等式20ax bx c ++>有解不能推出240b ac ->，若240b ac ->，当0a >时，关于x 的不等式20ax bx c ++>一定有解， 当0a <时，关于x 的不等式20ax bx c ++>有解，所以240b ac ->能推出关于x 的不等式20ax bx c ++>有解，所以“关于x 的不等式20ax bx c ++>有解”是“240b ac ->”的必要不充分条件. 故选：B. 4．C 【解析】 【分析】从奇偶性，特殊点处的函数值的正负即可判断. 【详解】函数的定义域为{}|2x x ≠±，其定义域关于原点对称， 由函数的解析式可得：()()f x f x -=-， 则函数图象关于坐标原点对称，选项B,D 错误；而26206436f πππ⎛⎫=< ⎪⎝⎭-，选项A 错误，C 正确；故选：C. 5．B 【解析】 【分析】由题意可知经过t 小时后，体内的酒精含量为30.6mg ml 4t⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭∕，令30.6()0.24t ⨯<求出t 的取值范围，即可求出结果． 【详解】解：经过t 小时后，体内的酒精含量为：30.6mg ml 4t⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭∕，只需30.6()0.24t⨯<，∴t ＞341log 3＝lg 33lg 4-＝lg 32lg 2lg 3-≈0.4770.6020.477-＝3.8，∴他至少要经过4个小时后才能驾车. 故选：B ． 6．C 【解析】 【分析】 先比较13log 2、3sin2π、232的大小，然后再根据函数的性质比较即可. 【详解】 因为1113331log 3log 2log 10-=<<=，3sin=12π-，203221>=. 根据()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+为减函数，则有23133|2||sin ||log 2|2f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以231332sinlog 22f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：C 7．A 【解析】 【分析】由题意()22sin sin 1f x x k x k =--++，然后由二次函数的性质可得答案.【详解】()()2cos21sin 2sin sin 1f x x k x x k x k =+-=--++设sin ,x t =则[]1,1t ∈-所以转化为求221y t kt k =--++，则其对称轴方程为4kt =-由4k <-，则14k t =-> 所以221y t kt k =--++在[]1,1t ∈-上单调递增。
浙江省宁波市九校2019-2020学年高一数学下学期期末考试数学试题含解析
〖详 解〗 ，
，
.
故选：D.
〖点 睛〗本题考查三角函数值的求解问题，涉及到二倍角公式、同角三角函数平方关系的应用，属于较易题.
6.已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，若 ， ，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
〖答 案〗C
〖解 析〗
则 ，D错误.
故选：D.
〖点 睛〗本题主要考查不等式的性质.属于较易题.
4.圆 是心直线 的定点为圆心，半径 ，则圆 的方程为（ ）
A. B.
C. D.
〖答 案〗A
〖解 析〗
由 有 ，所以直线过定点 ，则所求圆的方程为 ，故选择A.
5.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
〖答 案〗D
〖解 析〗
〖分析〗
，
所以，当 时， 取最小值 .
故选：B.
〖点 睛〗本题考查两圆公共弦所在直线方程的求解，同时也考查了利用二次函数的基本性质求最值，考查计算能力，属于中等题.
9.已知函数 ，若函数 恰有三个零点，则实数 的取值范围为 （ ）
A B. C. D.
〖答 案〗B
〖解 析〗
〖分析〗
作出函数 的图象，则函数 有三个不同的零点，等价于直线 与曲线 的图象有三个不同交点，考查直线 与圆 相切，且切点位于第三象限时以及直线 过点 时，对应的 值，数形结合可得出实数 的取值范围.
要使得函数 位于直线 和 的图象上有三个横坐标为整数的点，
则 ，即 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故选：A.
〖点 睛〗本题考查利用方程整数解的个数求参数的取值范围，解题时要注意对直线 的临界位置，考查数形结合思想的应用，属于难题.
浙江省宁波市九校2020-2021学年高一上学期期末联考数学试题
浙江省宁波市九校2020-2021学年高一上学期期末联考数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．已知集合0Axx,集合16Bxx,则AB( )
A．10， B．06， C．06， D．16，
2．函数tan43yxx的值域是( )
A．11， B．33-1， C．13， D．13， 3．已知，xyR,且0xy,则( )
A．110xy B．coscos0xy
C．11022xy D．lnln0xy 4．已知向量3122a，,2b,且3ab.则a与b的夹角为( )
A．6 B．2 C．4 D．3 5．已知半径为2的扇形AOB中,AB的长为3,扇形的面积为,圆心角AOB的大小
为弧度,函数sinhxxx,则下列结论正确的是( ) A．函数hx是奇函数 B．函数hx在区间20，上是增函数
C．函数hx图象关于30，对称 D．函数hx图象关于直线3x对称
6．已知7log2a，0.7log0.2b，0.20.7c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．acb B．abc C．bca D．cab
7．已知4个函数:①sinyxx;②cosyxx;③2xxye;④4cosxyxe的图象如图所示,但是图象顺序被打乱,则按照图象从左到右的顺序,对应的函数序号正确的为( )
A．①④②③ B．③②④① C．①④③② D．③①④②
8．在ABC中,102BAACACBCBCBAABBCBCBA，,则ABC为( )
A．直角三角形 B．三边均不相等的三角形
浙江省宁波市九校2019-2020高一下学期期末数学试题(wd无答案)
浙江省宁波市九校2019-2020高一下学期期末数学试题(wd无答案)一、单选题(★) 1. 设集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2. 直线与间的距离为（）A．B．C．D．(★★) 3. 如果实数满足：，则下列不等式中不成立的是（）A．B．C．D．(★) 4. 圆是心直线的定点为圆心，半径，则圆的方程为（）A．B．C．D．(★★) 5. 已知，则（）A．B．C．D．(★★) 6. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则的值是（）A．B．C．D．(★★★) 7. 在中，若，则是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形(★★★) 8. 已知圆和圆的公共弦过点，则的最小值为（）A．B．C．D．(★★★★) 9. 已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．(★★★★) 10. 已知函数，若关于的方程有且仅有三个不同的整数解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题(★) 11. 已知直线，直线，若，则实数的值为_______.(★★) 12. 已知实数满足约束条件，则的最大值为_____(★★★) 13. 过点的直线与圆相交于、两点，且圆上一点到直线的距离的最大值为，则直线的方程是 _____________ ．(★★★) 14. 已知正实数 x， y满足 x+ y=1，则的最小值为 ________ ．(★★★) 15. 已知中，角、、所对的边分别是、、，边上的高为，且，则的取值范围是___________.三、双空题(★★★) 16. 设、，，，则____，___．(★★★) 17. 已知数列的前项和，则数列满足________，若，数列的前项和为，则_______．四、解答题(★★★) 18. 已知等差数列的公差不为 0 ，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前 n项和.(★★★) 19. 已知函数.（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）在中，角，，所对的边分别是，，，且满足求的取值范围.(★★★) 20. 已知函数.（1）若区间上存在一个，使得成立，求实数的取值范围；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.(★★★) 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，圆与轴的正半轴的交点是，过点的直线与圆交于不同的两点 .（1）求的中点的轨迹方程；（2）设点，若，求的面积.(★★★★) 22. 已知正项数列满足，. （1）试比较与的大小，并说明理由；（2）设数列的前项和为，证明：当时，.。