2018年高中数学第2章平面解析几何初步2.1.3两条直线的平行与垂直课件6苏教版必修2
变式练习 (1)若直线l与直线2x+y－5＝0平行，并且在两 坐标轴截距之和为6，求直线l的方程． (2)若直线l平行于直线2x＋y－5＝0，且与坐标 轴围成的三角形面积为9，求直线l的方程．
当堂检测
( 2 )(3) 1.下列说法正确的序号有_____ (1)若两直线斜率相等，则两直线平行. (2)若两直线平行，则两直线斜率相等. (3)若两条直线中有一条的斜率不存在，另一条斜 率存在，则两条直线相交. （4）若两条直线斜率都不存在，则两条直线平行.
四点所得的四边形是梯形.
D●
y
3
C
●
-4
o
-3
2
●
5
x
B
A
●
变式练习 ( 1 , 3 ) ,( B 3 , 2 ) ,( C 6 , 1 ) ,( D x , y ) 已知顺次连接A 四点所得到的四边形为平行四边形,求点D.
y
●
D
A
●
3
-4
o
-3
x
2 5
●
C
B
●
x y 5 0 例3 求过点 A(2, 3), 且与直线 2
2.与直线 xy 0 平行且过点A（1，2）的直线 x y 1 0 是________
3.直线 2 和4 的位置关系 x y k 0 x 2 y 1 0 平行或重合 是__________
mx 3 y 2 0 x ( m 1 ) y 4 0 4.直线 l 1: 2 与l 2： 2或-3 平行，则m的值为______
2.1.3 两条直线的平行与垂直
(, x yQ ) , (, x y ) , ( x x ) 问题1 若 P , 1 1 2 2 1 2
则直线PQ的斜率为
y2 y1 y 1 y 2 k (x 1 x 2) x2 x1 x 1 x 2
纵 坐 标 的 增 量 y 横 坐 标 的 增 量 x
l1
y l2
y
x
0
l1
l2
0
l2
l2
2)
x
x
l1
0
x
1)
3)
4)
y
l1
l2
k
l1
0
o
y l2
x
2 1
O
4
2
x
:y k x b 结论：l 1 1 1
l :y k x b 2 2 2
b1 1
yl
1
l2
k1 k2 l1 / /l2 b1 b2
0
b2
2
y
l
P(x1,y1)
Q(x2,y2)
若 x1 x 2 ,则直线PQ斜率 不存在
.
o
x
问题2 直线的倾斜角和斜率有什么关系？
k t a n , 0 , ) ( , ) 2 2
y
k
l
o
2
x
1
O
4
2
练习
在同一坐标系内画出下列方程的直线,并观察它们的位置关系.
小
结
结论1：当直线l 1 和直线l 2 有斜截式方程
l :y k x b l :y k x b 2 2 2 1 1 1 k1 k2 l1 / /l2 b1 b2 结论2：当直线的斜率不存在时，
l :x xl , 2:x x , 1 1 2
l / / l x x 1 2 1 2
平行的直线方程. 变式:求过点 A(0, 3), 且与直线 2 x y 5 0 平行的直线方程.
xy 1 0 思考： 你求的结果 2 2 x y 3 0 与已知直线 有什么相同点？ 2 x y 5 0
结论： 与 直 线 A xB yC 0 (, A B 不 全 为 0 ) 平 行 的 直 线
x
当直线的斜率不存在时，
l :x xl , 2:x x , 1 1 2
l / / l x x 1 2 1 2
l1
0
y l2
x
例题讲解:
2 y 5 0 , 例1 已知两条直线 l :2 x 4 y 7 0 , l 2:x 1
求证： l1 / / l 2 .
7 ( 2 , 3 ) , B ( 5 , ) , C ( 2 , 3 ) , D ( 4 , 4 ) 例2 求证：顺次连接 A 2
1 ) l1 : x 3 1 2 ) l1 : y x 2 2 3 ) l1 : y x 4 4 ) l1 : y 2 x 1
l1
0
l2 : x 1 1 l2 : y x 1 2 l2 : y x 2 l2 : y 2 x 1
y y
结论3： 与 直 线 A xB yC 0 (, A B 不 全 为 0 ) 平 行 的 直 线
(m C ) 可 设 为 A xB ym 0
祝同学们每天都有新的收获！ 每天都有好心情！
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2018-2019学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.1 直线与方程 2.1.3 两条直
2.1.3 两条直线的平行与垂直[学业水平训练]1．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________.解析：l 1⊥l 2时，k 1k 2＝－1，由一元二次方程根与系数的关系得k 1k 2＝－b 2，∴－b 2＝－1，得b ＝2.l 1∥l 2时，k 1＝k 2，即关于k 的二次方程2k 2－3k －b ＝0有两个相等的实根，∴Δ＝(－3)2－4×2·(－b )＝0，即b ＝－98. 答案：2 －982．设a ∈R ，如果直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行，那么a ＝________.解析：当a ＝0时，l 1：y ＝12，l 2：x ＋y ＋4＝0，这两条直线不平行；当a ＝－1时，l 1：x －2y ＋1＝0，l 2：x ＋4＝0，这两条直线不平行；当a ≠0且a ≠－1时，l 1：y ＝－a 2x ＋12，l 2：y ＝－1a ＋1x －4a ＋1，由l 1∥l 2得－a 2＝－1a ＋1且12≠－4a ＋1，解得a ＝－2或a ＝1. 答案：－2或13.如图，已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－1,1)，B (1,5)，C (－3,2)，则△ABC 的形状为________．解析：因为k AB ＝1－5－1－1＝－4－2＝2，k AC ＝1－2－1－－＝－12，所以k AB ·k AC ＝－1，且A 、B 、C 、D 4点不共点，所以AB ⊥AC ，即∠BAC ＝90°.所以△ABC 是直角三角形．答案：直角三角形4．已知A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，则下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥CD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD ，其中正确的序号为________．解析：k AB ＝－4－26－－＝－35，k CD ＝12－62－12＝－35，且A 、B 、C 、D 4点不共线，所以AB ∥CD ，k AC ＝6－212－－＝14，k BD ＝12－－2－6＝－4， k BD ·k AC ＝－1，所以AC ⊥BD .答案：①④5．已知P (－2，m )，Q (m,4)，M (m ＋2,3)，N (1,1)，若直线PQ ∥直线MN ，则m ＝________. 解析：当m ＝－2时，直线PQ 的斜率不存在，而直线MN 的斜率存在，MN 与PQ 不平行，不合题意；当m ＝－1时，直线MN 的斜率不存在，而直线PQ 的斜率存在，MN 与PQ 不平行，不合题意；当m ≠－2且m ≠－1时，k PQ ＝4－m m －－＝4－m m ＋2， k MN ＝3－1m ＋2－1＝2m ＋1，因为直线PQ ∥直线MN ， 所以k PQ ＝k MN ，即4－m m ＋2＝2m ＋1，解得m ＝0或m ＝1.经检验m ＝0或m ＝1时直线MN ，PQ 都不重合．综上，m 的值为0或1.答案：0或16．已知两条直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋c ＝0互相垂直，垂足为(1，b )，则a ＋c －b ＝________.解析：∵k 1k 2＝－1，∴a ＝10.∵垂足(1，b )在直线10x ＋4y －2＝0上，∴b ＝－2.将(1，－2)代入2x －5y ＋c ＝0得c ＝－12，故a ＋c －b ＝0.答案：07．(1)求与直线y ＝－2x ＋10平行，且在x 轴、y 轴上的截距之和为12的直线的方程；(2)求过点A (1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线的方程．解：(1)设所求直线的方程为y ＝－2x ＋λ，则它在y 轴上的截距为λ，在x 轴上的截距为12λ，则有λ＋12λ＝12， ∴λ＝8.故所求直线的方程为y ＝－2x ＋8，即2x ＋y －8＝0.(2)法一：由直线方程2x ＋3y ＋5＝0得直线的斜率是－23， ∵所求直线与已知直线平行，∴所求直线的斜率也是－23. 根据点斜式，得所求直线的方程是y ＋4＝－23(x －1)， 即2x ＋3y ＋10＝0.法二：设所求直线的方程为2x ＋3y ＋b ＝0，∵直线过点A (1，－4)，∴2×1＋3×(－4)＋b ＝0，解得b ＝10.故所求直线的方程是2x ＋3y ＋10＝0.8．已知在▱ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)．(1)求点D 的坐标；(2)试判断▱ABCD 是否为菱形？解：(1)设D (a ，b )，由▱ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝6，∴D (－1,6)．(2)∵k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1， ∴k AC ·k BD ＝－1，∴AC ⊥BD .∴▱ABCD 为菱形．[高考水平训练]1．已知A (1，－1)，B (2,2)，C (3,0)三点，若存在点D ，使CD ⊥AB ，且BC ∥AD ，则点D 的坐标为________．解析：设点D 的坐标为(x ，y )．因为k AB ＝2－－2－1＝3，k CD ＝y x －3， 且CD ⊥AB ，所以k AB ·k CD ＝－1，即3×yx －3＝－1. ①因为k BC ＝2－02－3＝－2，k AD ＝y ＋1x －1， 且BC ∥AD ，所以k BC ＝k AD ，即－2＝y ＋1x －1， ② 由①②得x ＝0，y ＝1，所以点D 的坐标为(0,1)．答案：(0,1)2．△ABC 的顶点A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，则m 的值为________．解析：若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，所以k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7； 若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，所以k AB ·k BC ＝－1，即1＋11－5·m －12－1＝－1，得m ＝3； 若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，即m ＋12－5·m －12－1＝－1，得m ＝±2. 综上可知，m ＝－7或m ＝3或m ＝±2.答案：－7或±2或33．已知A (－m －3,2)，B (－2m －4,4)，C (－m ，m )，D (3,3m ＋2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值． 解：因为A ，B 两点纵坐标不等，所以AB 与x 轴不平行．因为AB ⊥CD ，所以CD 与x 轴不垂直，故m ≠－3.当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1，而m ＝－1时，C ，D 纵坐标均为－1，所以CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式得k AB ＝4－2－2m －4－－m －＝2－m ＋， k CD ＝3m ＋2－m 3－－m ＝m ＋m ＋3. 因为AB ⊥CD ，所以k AB ·k CD ＝－1，解得m ＝1.综上，m 的值为1或－1.4．在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次为O (0,0)，P (1，t )，Q (1－2t,2＋t )，R (－2t,2)，其中t ＞0.试判断四边形OPQR 的形状．解：如图所示，由已知两个点的坐标得：k OP ＝t －01－0＝t ， k RQ ＝＋t －2－2t －－2t＝t ， k OR ＝2－0－2t －0＝－1t. k PQ ＝t －＋t 1－－2t ＝－1t， 所以k OP ＝k RQ ，k OR ＝k PQ ，所以OP ∥RQ ，OR ∥PQ ，所以四边形OPQR 是平行四边形；又k OP ·k OR ＝t ·(－1t)＝－1， 所以OP ⊥OR ，∠POR 是直角， 所以四边形OPQR 是矩形；过点P 作PA ⊥x 轴，垂足为A ， RB ⊥x 轴，垂足为B ，那么由勾股定理得： OP 2＝OA 2＋AP 2＝1＋t 2.∴OP ＝1＋t 2，OR 2＝OB 2＋BR 2＝(－2t )2＋22＝4(1＋t 2)，∴OR ＝21＋t 2.∴OP ≠OR ，所以四边形OPQR 不是正方形， 综上可知，四边形OPQR 是矩形．。
2018年高中数学第2章平面解析几何初步2.1.4两条直线的交点课件1苏教版必修2
前置问题：直线( 1)x (1 2 )y 4 1 0 恒
过哪个定点？
l1 x y 1 0 l2 x 2 y 4 0
x y 1 ( x 2y 4 ) 0
l1 l2 l2
跟进提问: 在这些直线中，
如何确定经过点（4,-2）的直线方程？
解两直线的方程所组成的方程组，若方程组只有一解，则两 直线相交.
例1.求下列两条直线的交点坐标. l1 : 3x+4y -2= 0 ，l2 :2x+y+2= 0 . 例2 判断下列各对直线的位置关系， 如果相交，则求出交点的坐标。 （1） l1 ： x - y =0，l2 ：3x+3y - 10=0； （2）l1 3x - y +4=0，l2 ：6x - 2y= 0； （3）l1 ：3x + 4y - 5 =0，l2 ： 6x +8y - 10 =0 .
2、共点直线系方程如何表示？ A1x+B1y+C1+λ（ A2x+B2y+C2）=0是过直线A1x+B1y+C1=0 和A2x+B2y+C2=0的交点且不包含直线A2x+B2y+C2=0的直 线系方程。
数形结合思想,分类讨论思想，坐标法
当堂检测
1、若三条直线ax 2y 8 0, 4x 3y 10, 2x y 10
相交于一点，则a=_______ 2、已知直线5x 4y 2m 1 0与2x 3y m 0 的交点 在第四象限，则m的取值范围是_______ 3、已知直线 mx 4y 2 0与2x 5y n 0 相互垂直，垂 足为（1，p），则m-n+p=_______ 4、直线 l 经过直线 2x 3y 8 0与x y 1 0 的交点， 且过原点，则直线l 的一般式方程为____________
2018年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.1.2 直线的方程课件3 苏教版必修2
Ax＋By＋C＝0(A、
不含垂直于x轴的直线
不含垂直于x轴的直线
不含垂直于坐标轴的 直线 不含垂直于坐标轴和 过原点的直线
2．线段的中点坐标公式
若点 P1、P2 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，线段 P1P2 的中
x＝x1＋x2， 2
第2讲 直线的方程
本节课要解决的问题：
问题一：直线的五种方程的特点及实用范围？
问题二：什么叫直线的截距，如何求直线的截距
？
问题三：根据问题具体条件，如何选择恰当的形
式求直线方程？
• 知识梳理
1．直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜 式
斜截 式
两点 式
截距 式
y－y1＝k(x－x1) y＝kx＋b
2.直线 l：ax＋y－2－a＝0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则 a 的值是________． 3.过两点(－1,1)和(0,3)的直线在 x 轴上的截距为________. 4．如果 AC<0 且 BC<0，那么直线 Ax＋By＋C＝0 不通过第 象限．
本节课要解决的问题：
问题一：直线的五种方程的特点及实用范围？
（2）当 PAPB取最小值时，求直线的方程
变式训练 2：已知直线 l 的方程为：(2＋m)x＋(1－2m)y ＋(4－3m)＝0． （1）求证：不论 m 为何值，直线必过定点 M； （2）过点 M 引直线 l1，使它与两坐标轴的负半轴所围 成的三角形面积最小，求 l1 的方程．
四、课堂反馈： 1 ． 过 两点 (－ 1 ， 1) 和(2 ， 7) 的 直线 在 x 轴 上的 截 距为 ________．
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2_1_3第2课时两条直线的垂直学案苏教版必修2
- 让每一个人同等地提高自我第 2 课时两条直线的垂直学习目标 1. 理解并掌握两条直线垂直的条件.2. 能依据已知条件判断两条直线垂直.3. 会利用两直线垂直求参数及直线方程.知识点两条直线垂直的判断思虑 1两条垂直直线的倾斜角之间有什么关系？思虑 2假如两条直线垂直，那么斜率必定互为负倒数吗？梳理图示l 1的斜率不存在，l2的斜率为0?对应关系l 1⊥ l 2(两直线斜率都存在) ? __________种类一两条直线垂直关系的判断例 1判断以下各组中的直线l 1与 l 2能否垂直：(1)l 1经过点 A(－1，－2)， B(1,2)， l 2经过点 M(－2，－1)， N(2,1)；(2)l 1的斜率为－10， l 2经过点 A(10,2)， B(20,3)；(3)l 1经过点 A(3,4)， B(3,100)，l 2经过点 M(－10,40)， N(10,40).- 让每一个人同等地提高自我反省与感悟判断两直线垂直的步骤方法一方法二若两条直线的方程均为一般式： l 1：A 1x ＋ B 1y ＋ C 1＝ 0，l 2：A 2x ＋ B 2y ＋ C 2＝ 0. 则 l 1⊥ l 2? A 1A 2＋ B 1B 2＝ 0.追踪训练 1 以下各组中直线l 1与 l 2 垂直是 ________.( 填序号 )① l 1： 2x － 3y ＋ 4＝ 0 和 l 2： 3x ＋ 2y ＋ 4＝ 0；②l 1： 2x － 3y ＋ 4＝ 0 和 l 2： 3y － 2x ＋ 4＝ 0；③l 1： 2x － 3y ＋ 4＝ 0 和 l 2：－ 4x ＋ 6y － 8＝ 0；④ l 1： ( － a －1) x ＋ y ＝5 和 l 2： 2x ＋(2 a ＋ 2) y ＋ 4＝ 0.种类二由两直线垂直求参数或直线方程命题角度 1 由两直线垂直求参数的值例 2 三条直线 3 x ＋2 ＋6＝0,2x － 32＋ 18＝ 0 和 2 －3 ＋ 12＝0 围成直角三角形，务实y my mx y数 m 的值 .反省与感悟此类问题常依照两直线垂直的条件列对于参数的方程或方程组求解 .追踪训练 2已知直线 l 1 经过点 A (3 ，a ) ， B ( a － 2，－ 3) ，直线 l 2 经过点 C (2,3) ，D ( － 1，a－ 2) ，假如 l 1⊥ l 2，则 a 的值为 ________.命题角度 2由垂直关系求直线方程例 3 求与直线 4 x － 3 ＋ 5＝ 0 垂直，且与两坐标轴围成的三角形周长为 10 的直线方程 .y AOB- 让每一个人同等地提高自我反省与感悟(1) 若直线 l 的斜率存在且不为 0，与已知直线 y ＝ kx ＋ b 垂直，则可设直线 l1的方程为 y ＝－ k x ＋ m ( k ≠0) ，而后利用待定系数法求参数 m 的值，进而求出直线 l 的方程 .(2) 若直线 l 与已知直线＋ ＋ ＝ 0 垂直，则可设 l 的方程为－ ＋ ＝ 0，而后利用Ax By CBx Ay m待定系数法求参数 m 的值，进而求出直线 l 的方程 .追踪训练 3 已知点 A (2,2) 和直线 l ：3x ＋ 4y －20＝ 0，求过点 A 且与直线 l 垂直的直线 l 1 的方程 .种类三垂直与平行的综合应用例 4 已知四边形 ABCD 的极点 B (6 ，－ 1) ，C (5,2)，D (1,2). 若四边形 ABCD 为直角梯形，求A 点坐标 .反省与感悟相关两条直线垂直与平行的综合问题，一般是依据已知条件列方程 ( 组 ) 求解 .假如波及到相关四边形已知三个极点求此外一个极点，注意判断图形能否唯一，以防漏解.追踪训练 4 已知矩形 ABCD 的三个极点的坐标分别为 A (0,1) ， B (1,0) ， C (3,2) ，求第四个极点 D 的坐标 .1. 以下直线中，与直线： ＝ 3 ＋ 1 垂直的是 __________.( 填序号 )- 让每一个人同等地提高自我①y ＝－ 3x ＋ 1；② y ＝3x － 1；11③y ＝ 3x － 1;④ y ＝－ 3x － 1.2. 已知3. 直线4. 直线A (1,2) ，B ( m,1) ，直线 AB 与直线 y ＝0 垂直，则 m 的值为 ________.l ，l 2 －3x － 1＝0 的两个根， 则 l 与 l 的地点关系是 ________.2 的斜率分别是方程 x1 21 x ＋ ＝0 和直线 x － ay ＝0 相互垂直，则 ＝ ________.ya5. 过点 (3 ，－ 1) 与直线 3x ＋ 4y － 12＝ 0 垂直的直线方程为 __________.1. 两条直线垂直与斜率的关系图形表示l 1 ，l 2 的斜率都存在，分别为 l 1 与 l 2 中的一条斜率不存在，另一条对应 k 1， k 2，l 1 与 l 2 的地点关系是关系则 l 1⊥ l 2? k 1· k 2＝－ 1斜率为零，则 l 1⊥ l 22. l 1： A 1x ＋ B 1y ＋C 1＝ 0， l 2： A 2x ＋ B 2y ＋ C 2＝ 0，l 1⊥ l 2? A 1A 2＋ B 1B 2＝0.3. 与 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 垂直的直线可设为 Bx － Ay ＋ C 1＝ 0.- 让每一个人同等地提高自我答案精析问题导学知识点思虑 1两条直线的倾斜角相差 90°.思虑 2假如两条直线垂直，当斜率都存在时互为负倒数，当一条直线的斜率不存在时，另一条直线的斜率为0.梳理k 1· k 2＝－ 1 l 1⊥ l 2题型研究例 1 (1) l 1 与 l 2 不垂直．(2) l 1⊥ l 2.(3) l 1⊥ l 2.追踪训练 1 ①④例 2 解 ①当直线 3 ＋ 2 y ＋ 6＝0 与直线 2 － 3 2 ＋18＝ 0 垂直时，有 6－6 2＝ 0，∴ ＝ 1x x my m m或 m ＝－ 1.当 m ＝ 1 时，直线 2mx － 3y ＋ 12＝ 0 也与直线 3x ＋ 2y ＋ 6＝0 垂直，因此不可以组成三角形，故m ＝ 1 应舍去．∴m ＝－ 1.②当直线 3x ＋ 2y ＋ 6＝ 0 与直线 2mx － 3y ＋ 12＝ 0 垂直时，有 6m － 6＝ 0，得 m ＝ 1( 舍 ) ．③当直线 2与直线 2mx － 3y ＋ 12＝ 0 垂直时，有 22x － 3my ＋ 18＝ 0 4m ＋ 9m ＝ 0，4∴m ＝ 0 或 m ＝－ 9. 经查验，这两种情况均知足题意．4综上所述，所求的结果为m ＝－ 1 或 0 或－ 9.追踪训练 2 5或－6例 3解 设所求直线方程为 3x ＋ 4y ＋ b ＝ 0.bb 令 x ＝ 0，得 y ＝－ 4，即 A 0，－ 4 ；bb令 y ＝ 0，得 x ＝－ 3，即 B － 3， 0 .又∵三角形周长为10，即 OA ＋ OB ＋ AB ＝ 10，bb∴ －4＋－3＋b 2 b 2－4＋－3＝10，解得 b＝±10，故所求直线方程为3x＋ 4y＋ 10＝ 0 或 3x＋ 4y－ 10＝ 0.追踪训练 3 解由于 k l· k1＝－1，41＝3，因此 k4故直线 l 1的方程为 y－2＝3( x－2)，即 4x－ 3y－ 2＝ 0.例 4 解①若∠ A＝∠ D＝90°，如图(1)，由已知 AB∥ DC，AD⊥ AB，而 k ＝0，故 A(1，－CD1)．②若∠ A＝∠ B＝90°，如图(2)．b － 2设 A ( a ， b ) ，则 k BC ＝－ 3， k AD ＝ a － 1，b ＋ 1k AB ＝ a － 6.b － 2 由 AD ∥ BC ? k AD ＝k BC ，即＝－ 3；①a － 1由 AB ⊥ BC ? k AB ·k BC ＝－ 1，b ＋ 1即a － 6·( － 3) ＝－ 1. ②12a ＝ 5 ，1211解①②得＝－ 11 ， 故 A ( 5，－ 5)．b 51211综上所述： A 点坐标为 (1 ，－ 1) 或 5 ，－ 5 .追踪训练 4解 设第四个极点 D 的坐标为 ( x ， y ) ，由于 AD ⊥ CD ， AD ∥ BC ，因此 k AD · k CD＝－1，且 k AD ＝ k BC .y － 1 y －2× ＝－ 1，x ＝ 2， x － 0 x －3因此2－ 0解得y － 1 y ＝ 3.x － 0＝ 3－ 1，因此第四个极点 D 的坐标为 (2,3) ．当堂训练1．④3. 垂直5． 4x － 3y － 15＝ 0。
苏教版高中数学教材必修2
B
M
C
N
苏教版高中数学教材必修2 第二章 平面解析几何初步
苏教版高中数学教材必修2 第二章 平面解析几何初步
2.1.3 两条直线的平行与垂直
*注： ①若用斜率做，需对斜率的存在性分类
讨论； ②若两直线的方程(一般式)分别为
l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 则l1⊥l2 A1A1＋B1B2＝0．
苏教版高中数学教材必修2 第二章 平
2．若两条互相垂直的直线中有一条斜率 不存在，另一条斜率为0．
苏教版高中数学教材必修2 第二章 平面解析几何初步
2.1.3 两条直线的平行与垂直
设l： Ax＋By＋C＝0， 与直线l垂直的直线可设为：
Bx－Ay＋n＝0
苏教版高中数学教材必修2 第二章 平面解析几何初步
2.1.3 两条直线的平行与垂直
已知三角形的顶点为A（2，4）， B（1，－2），C（－2，3）， 求：BC边上的高AH所在直线的方程.
苏教版高中数学教材必修2 第二章 平面解析几何初步
2.1.3 两条直线的平行与垂直
若直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0 与(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相 垂直，则实数a＝______．
苏教版高中数学教材必修2 第二章 平面解析几何初步
2.1.3 两条直线的平行与垂直
若三条直线 2x－y＋4＝0， x－y＋5＝0， 2mx－3y＋12＝0 围成一个直角三角形，求实数m的值．
苏教版高中数学教材必修2 第二章 平面解析几何初步
2.1.3 两条直线的平行与垂直
如图在路边安装路灯，路宽MN长为23米， 灯杆AB长2.5米,且与灯柱BM成120°角,路灯采 用锥形灯罩,灯罩轴线AC与灯杆AB垂直,当灯柱 BM高为多少米时, 灯罩轴线AC正好通过道路 路面的中线?(精确到0.01米)
2018年高中数学第2章平面解析几何初步2.1.2直线的方程课件6苏教版必修2
示意图
方程 y－ y0 ＝ k(x－x0)
使用范围 斜率 存在 斜率 存在
y＝kx ＋b
思考：
斜截式方程可以改写为点斜 式方程吗?
巩固提高 直线 l 过定点 A(－2,3)，且与两坐标轴围成的三 角形面积为 4，求直线 l 的方程．
分析
用待定系数法求直线方程．
面积表达式
解
显然， l 不垂直于 x 轴，设 l 的方程为 y－ 3＝
y
1 O 1 ①
y
1
x
-1 O 1
②
x
y
1
y
1 O 1
-1
③
x
O1
x
④
变式 2.直线 l1: y＝ax＋b 和 l2: y＝bx＋a 在同一坐标系中的
④ 图形可能是________ ．
直线的点斜式方程和斜截式方程小结图
名称 点 斜 式 斜 截 式
已知条件 点P(x0，y0)和 斜率k 斜率k和在y 轴上的纵截 距b
由此，我们得到经过点A(-1,3)，斜率为-2的直线方程是
2x y 1 0
探究2:
直线l 经过点P1(x1,y1)，斜率为k，点P在直线l上运动，那么点 P的坐标(x,y)满足什么条件？
y
当点P(x,y)在直线l上运动时，PP1的斜率恒等于k， l
P(x,y)
P1(x1,y1)
.
.
y y1 k ， 即 x x1
x
o
故 y y1 k ( x x1 ) .
直线l上的每个点（包括点P1 ）的坐标都是这个方程的解； 反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线l上。
思考与讨论：直线的 点斜式方程应用的条 件及局限性是什么？ 方程
2018年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.1.6 点到直线的距离课件5 苏教版必修2
2 2
得Ax0+By0=-C2
| C1 C2 | A2 B 2
点P0(x0,y0)到直线Ax+By+C1=0的距离
d
就是平行线l1和l2之3y-4=0，x+3y+6=0 之间的距离. 2.求两条平行线x+3y-4=0，2x+6y-9=0 之间的距离.
M(x1,y0) Q O
PN y2 y0
MN
A Ax0 By0 C B
N(x0,y2)
x
Ax0 By0 C AB PM PN
A2 B 2
Ax0 By 0 C PM PN PQ 2 2 MN PM PN A2 B 2
点P(x0，y0)到直线 Ax+By+C=0（AB≠0)的
2 2
(2）已知两条平行线直线l1:Ax+By+C1=0 l2:Ax+By+C2=0（C1 ≠C2）
则l1与l2的距离为:
C1 C2 d 2 2 A B
布置作业
交：课本P106 习题2.1（3）： T7，T9，T11，T12，T13 外：课本P94其余题目及《数学之 友》对应部分。
5
.
如何求点P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0（AB≠0)
的距离？
y P(x0,y0)
由 Ax1 By0 C 0， Ax0 By2 C 0
Ax 0 C By 0 C x1 ， y2 B A Ax0 By0 C PM x1 x0
2 2 ． 则OP的最小值为_______
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.3两条直线的平行与垂直学案苏教版
2.1.3 两条直线的平行与垂直1．理解两条直线平行与垂直的判断条件．(重点)2．能根据斜率判定两条直线平行与垂直，体会用代数方法研究几何问题的思想．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 两条直线平行 阅读教材P 89，完成下列问题．若直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2(k 1，k 2均存在)． 【拓展】 设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线l 1与l 2斜率相等，则l 1∥l 2.(×)(2)若直线l 1∥l 2(两条直线的斜率分别为k 1，k 2)，则k 1＝k 2.(√) (3)若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行．(√)2．已知A (2,0)，B (3,3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k ＝________. 【解析】 k AB ＝3－03－2＝3，k l ＝k AB ＝3.【答案】 3教材整理2 两条直线垂直阅读教材P 90例2～P 91思考以上部分内容，完成下列问题． 两条直线垂直与斜率的关系(1)如图2－1－7①，如果两条直线都有斜率且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．即l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1(k 1，k 2均存在)．(2)如图2－1－7②，若l 1与l 2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l 1与l 2的位置关系是垂直．① ②图2－1－71．与直线x ＋2y ＋7＝0垂直的一条直线的斜率k ＝______.【解析】 直线x ＋2y ＋7＝0的斜率k ＝－12，故与其垂直的一条直线的斜率k ＝2.【答案】 22．过点(0,1)且与直线2x －y ＝0垂直的直线的一般式方程是________.【导学号：41292081】【解析】 直线2x －y ＝0的斜率是k ＝2，故所求直线的方程是y ＝－12x ＋1，即x ＋2y－2＝0.【答案】 x ＋2y －2＝0[小组合作型]两直线平行的判定判断下列各题中直线l 1与l 2是否平行． (1)l 1的斜率为1，l 2经过点P (1,1)，Q (3,3)；(2)l 1经过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2经过点C (5，－2)，D (5,5)； (3)l 1经过点A (0,1)，B (1,0)，l 2经过点C (－1,3)，D (2,0)．【精彩点拨】 依据斜率公式，求出斜率，利用l 1∥l 2或l 1，l 2重合⇔k 1＝k 2或k 1，k 2不存在判断．【自主解答】 (1)k 1＝1，k 2＝3－13－1＝1，k 1＝k 2，∴l 1与l 2重合或l 1∥l 2.(2)l 1与l 2都与x 轴垂直，通过数形结合知l 1∥l 2.(3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－－＝－1，k 1＝k 2，数形结合知l 1∥l 2.判断两条直线平行的方法[再练一题]1．根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2的位置关系． (1)l 1经过点A (2,1)，B (－3,5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)； (2)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (3,23)，N (－2，－33)． 【解】 (1)由题意知k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7－－8－3＝－45.因为k 1＝k 2，且A ，B ，C ，D 四点不共线，所以l 1∥l 2. (2)由题意知k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－33－23－2－3＝ 3.因为k 1＝k 2，所以l 1∥l 2或l 1与l 2重合．两直线垂直的判定判断下列各题中直线l 1与l 2是否垂直． (1)直线l 1：2x －4y ＋7＝0，直线l 2：2x ＋y －5＝0； (2)直线l 1：y －2＝0，直线l 2：x －ay ＋1＝0；(3)直线l 1经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，l 2经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－78，⎝ ⎛⎭⎪⎫76，0. 【精彩点拨】 利用两直线垂直的斜率关系判定． 【自主解答】 (1)k 1＝12，k 2＝－2，∵k 1·k 2＝12×(－2)＝－1，∴l 1与l 2垂直．(2)当a ＝0时，直线l 2方程为x ＝－1，即l 2斜率不存在，又直线l 1的斜率为0，故两直线垂直．当a ≠0时，直线l 2的斜率为1a，又直线l 1的斜率为0，故两直线相交但不垂直．(3)k 1＝0－5453－0＝－34，k 2＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7876－0＝34.∵k 1·k 2≠－1，∴两条直线不垂直．1．判断两直线是否垂直的依据是：当这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x 轴垂直，另一条直线与x 轴平行时，两直线也垂直．2．直接使用A 1A 2＋B 1B 2＝0判断两条直线是否垂直更有优势．[再练一题]2．判断下列各组中的直线l 1与l 2是否垂直：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1,2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2,1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(3)l 1经过点A (3,4)，B (3,100)，l 2经过点M (－10，40)，N (10,40)． 【解】 (1)直线l 1的斜率k 1＝2－－1－－＝2，直线l 2的斜率k 2＝1－－2－－＝12，k 1k 2＝1，故l 1与l 2不垂直．(2)直线l 1的斜率k 1＝－10，直线l 2的斜率k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴． 直线l 2的斜率k 2＝40－4010－－＝0，则l 2∥x 轴．故l 1⊥l 2.[探究共研型]两直线平行与垂直的应用探究 如图2－1－8，设直线l 1与l 2的倾斜角分别为α1与α2，且α1<α2，斜率分别为k 1，k 2，若l 1⊥l 2，α1与α2之间有什么关系？为什么？图2－1－8【提示】 α2＝90°＋α1.因为三角形任意一外角等于不相邻两内角之和．已知点A (2,2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0，求： (1)过点A 和直线l 平行的直线方程； (2)过点A 和直线l 垂直的直线方程．【精彩点拨】 利用两直线平行和垂直的条件求解或利用与已知直线平行与垂直的直线系方程求解．【自主解答】 法一：∵3x ＋4y －20＝0，∴k l ＝－34.(1)设过点A 与l 平行的直线为l 1.∵kl 1＝k l ＝－34，∴l 1的方程为y －2＝－34(x －2)，即3x ＋4y －14＝0.(2)设过点A 与l 垂直的直线为l 2.∵k l kl 2＝－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×kl 2＝－1，∴kl 2＝43.∴l 2的方程为y －2＝43(x －2)，即4x －3y －2＝0.法二：(1)设与直线l 平行的直线方程为3x ＋4y ＋m ＝0， 则6＋8＋m ＝0，∴m ＝－14，∴3x ＋4y －14＝0为所求． (2)设与直线l 垂直的直线方程为4x －3y ＋n ＝0， 则8－6＋n ＝0，∴n ＝－2，∴4x －3y －2＝0为所求．两直线平行或垂直的应用1．求与已知直线平行或垂直的直线．此类问题有两种处理方法，一是利用平行与垂直的条件求斜率，进而求方程，二是利用直线系方程求解，与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋D ＝0(C ≠D )，垂直的直线系方程为Bx －Ay ＋D ＝0.2．由直线平行或垂直求参数的值，此类问题直接利用平行和垂直的条件，列关于参数的方程求解即可．[再练一题]3．(1)已知四点A (5,3)，B (10,6)，C (3，－4)，D (－6，11)，求证：AB ⊥CD . (2)已知直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，求实数a 的值．【解】 (1)证明：由斜率公式得：k AB ＝6－310－5＝35， k CD ＝11－－－6－3＝－53，则k AB ·k CD ＝－1，∴AB ⊥CD . (2)∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1， 即34×a 2＋1－－0－3a ＝－1，解得a ＝1或a ＝3.1．下列说法正确的有________． ①若两直线斜率相等，则两直线平行； ②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．【解析】 ①中，当k 1＝k 2时，l 1与l 2平行或重合，错误；②中，斜率不存在时，错误；④错误．只有③正确．【答案】 ③2．过点(3，6)，(0,3)的直线与过点(6，2)，(2,0)的直线的位置关系为________.【导学号：41292082】【解析】 过点(3，6)，(0,3)的直线的斜率k 1＝6－33－0＝2－3；过点(6，2)，(2,0)的直线的斜率k2＝2－06－2＝3＋ 2.因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直．【答案】垂直3．已知直线(a－1)x＋y－1＝0与直线2x＋ay＋1＝0平行，则实数a＝________.【解析】由已知，得(a－1)a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，当a＝－1时，两直线重合，故a＝2.【答案】 24．已知l1⊥l2，直线l1的倾斜角为45°，则直线l2的倾斜角为________．【解析】由l1⊥l2及k1＝tan 45°＝1，知l2的斜率k2＝－1，∴l2的倾斜角为135°.【答案】135°5．已知直线l1：ax＋3y＝3，l2：x＋2ay＝5，若l1⊥l2，求a的值．【解】直线l1：ax＋3y－3＝0，直线l2：x＋2ay－5＝0.∵l1⊥l2，∴a×1＋3×(2a)＝0，即a＝0.。