高一数学必修1(北师大版)第1章归纳总结
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空集的特殊性
[例 3] 设集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|2x2－ax＋2
＝0}，若 A∪B＝A，求实数 a 的值． [分析] A∪B＝A 可得到 B⊆A.
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[解析]
因为 A∪B＝A，所以 B⊆A.
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(1)∈与⊆的区别：∈是表示元素与集合间的关系的．因 此，有 1∈N，－1∉N.⊆是表示集合与集合间关系的，因此， N⊆R，∅⊆R. (2)a 与{a}的区别：一般地，a 表示一个元素，而{a}表示 只有一个元素 a 的一个集合．因此有 1∈{1,2,3},0∈{0}，{1} ⊆{1,2,3}，不能写成 0＝{0}，{1}∈{1,2,3},1⊆{1,2,3}．
从而错选 B.这是由于对集合概念理解不深
刻，仅注意了构成集合元素的共同属性而忽视了集合的元素 是什么．事实上，M、N 的元素是数而不是点，因此集合 M、 N 是数集而不是点集．
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将集合
1 x，y|y＝ ，|x|≤2，x∈Z x
1 此时 B＝{x|2x －5x＋2＝0}＝{2， }⃘ A， 2
2
∴a＝5 不符合题意． (3)若 B＝∅，则 a2－16<0 得－4<a<4，此时 B⊆A. 综上所述，a 值的集合为{a|－4<a≤4}． [方法总结]在集合问题中，若已知 A⊆B 或 A∩B＝A 或 A ∪B＝B 时，一定要注意集合 A 为空集这一特殊情形．
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3．“交、并、补”都是集合的运算，对于两个集合而言， 交集是指这两个集合的公共元素组成的集合，并集是指由这 两个集合的全部元素组成的集合(要注意集合元素的互异 性)．补集必须相对于指定的全集而言，一个集合的补集是指 由不属于这个集合的全集中的全部其它元素组成的集合．
用列举法表示为
______________．
[答案]
1 1 －2，－ ，－1，－1，1，1，2， 2 2
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[解析]
∵x∈Z，且|x|≤2，
∴x＝－2，－1,0,1,2，但当 x＝0 时，y 不存在，故相应的 y＝ 1 1 － 2 ， － 1,1 ， 2 ， 故 集 合 用 列 举 法 表 示 为 1 1 －2，－ ，－1，－1，1，1，2， 2 2
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分 别 求 出 当 全 集 U ＝ R ， A ＝ {x|x≥10} 和 全 集 U ＝ {x|x≥7}，A＝{x|x≥10}时的∁UA.
[解析] U＝R 时，∁UA＝{x|x<10}；
U＝{x|x≥7}时，∁UA＝{x|7≤x<10}． [方法总结] 在求补集时，千万不要忘了全集，因为同一 集合在不同的全集中的补集是不同的.
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集合的运算
[例 4] 已知全集 U＝{x|x2<50， x∈N}， L∩(∁UM)＝{1,6}，
M∩(∁UL)＝{2,3}，∁U(M∪L)＝{0,5}，求集合 M 和 L.
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[答案] 9
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[方法总结]这类试题的特点是： 通过给出新数学概念或新 运算方法，在新的情境下完成某种推理证明或指定要求．对 于本题，在一一列举时，我们要做到不重不漏．
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(3){0}与∅的区别：{0}是只含有一个元素的集合，∅是不 含有任何元素的集合，因此有∅⊆{0}，不能写成∅＝{0}，∅∈ {0}．而∅∈{∅}和∅ {∅}都正确，但它们反映了不同的意义．
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在(1){0}； (2){∅}； (3){x|3m<x<m}； (4){x|a＋2<x<a}； (5){x|x2 ＋1＝0，x∈R}中表示空集的是________．
[答案] (4)、(5)
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[解析]
∵A＝B，须分情况讨论．
(1)若 a＋b＝ac，则 a＋2b＝ac2， 解得 a＋ac2－2ac＝0. a＝0 时，集合 B 中的三个元素均为零，和元素互异性矛 盾，故 a≠0. ∴c2－2c＋1＝0，即 c＝1. 但 c＝1 时，B 中的三个元素又相同，故无解．
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[解析] 分拆；
(1)当 A1＝∅时，A2＝A＝{a，b}，此时只有 1 种
(2)当 A1 为单元素集时：A1＝{a}，A2＝{b}或 A2＝{a，b}； A1＝{b}，A2＝{a}或 A2＝{a集时，A1＝A＝{a，b}，A2 可取 A 的任 何子集，此时有 4 种分拆． 综上，共有 9 种分拆．
[解析]
M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}，
N＝{y|y＝x＋1，x∈R}＝{y|y∈R}． 所以 M∩N＝{y|y≥1}∩{y|y∈R}＝{y|y≥1}．选 D. [答案] D
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[方法总结]
(1)集合是由元素构成的， 认识集合要从认识
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2．元素与集合，集合与集合间的关系 元素与集合之间是个体与整体的关系，不存在大小与相 等关系． 元素与集合间用“∈”或“∉”表示． 集合与集合之间有包含关系，如子集、全集的关系，相 等关系，真子集关系． 熟练掌握集合的图形表示，会借助韦恩图、数轴解决集 合问题，树立数形结合解题的意识．
A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{x|(x－2)(x－1)＝0} ＝{1,2}． (1)若 1∈B，则 2×1－a×1＋2 得 a＝4. 当 a＝4 时，B＝{1}⊆A.符合题意． (2)若 2∈B，则 2×22－2a＋2＝0 得 a＝5.
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元素开始，要注意区分{x|y＝x2 ＋1，x∈R}，{y|y＝x2 ＋1，x ∈R}，{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R}这三个集合是不同的． (2) 本 题 求
x＝0 y＝1 y＝x2＋1， M∩N ， 经 常 出 现 解 方 程 组 y＝x＋1，
得
x＝1， 或 y＝2.
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(2)具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或 方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关 集合转化为最简形式． (3)直观化：借助数轴、直角坐标平面、Venn 图等将有关 集合直观地表示出来，从而借助“数形结合思想”解决问题． 6．正确使用符号：∈，∉，⊆，⊇，，⊉，≠， ， ， 要正确理解其含义，并要区分一些易混淆的符号．
[解析]
第 一 步 ： 求 得 全 集 U ＝ {x|x2<50 ， x ∈ N} ＝
{0,1,2,3,4,5,6,7}； 第二步：将 L∩(∁UM)＝{1,6}，M∩(∁UL)＝{2,3}， ∁U(M∪L)＝{0,5}中的元素在 Venn 图中依次定位； 第三步：将元素 4,7 定位； 第四步：根据图中的元素位置，得集合 M＝{2,3,4,7}，集 合 L＝{1,4,6,7}．
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解答集合问题， 要明白它所表示的意义， 即元素指什么？ 是什么范围？紧紧抓住竖线前面的代表元素及它所具有的性 质． 判断给定对象能否构成集合时，要注意它的“确定性”， 在表示一个集合时，注意它的“互异性”，“无序性”．
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知识梳理
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本章主要学习了集合的概念，元素与集合、集合与集合 间的关系，以及子集的性质与集合间的运算性质等． 1．集合是“某些指定对象的全体” 构成集合的元素除了常见的数或点等数字对象外，还可 以是其他对象． 集合的元素具有：①确定性；②互异性；③无序性． 集合的表示法：列举法、描述法、Venn 图法．
专题探究
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理解集合的概念
[例 1] 已知集合 M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x＋ ) B．{(0,1)，(1,2)} D．{y|y≥1}
1，x∈R}，则 M∩N＝( A．(0,1)，(1,2) C．{y|y＝1，或 y＝2}
(2)若 a＋b＝ac2，且 a＋2b＝ac， 消去 b 得 2ac2－ac－a＝0. ∵a≠0， ∴2c2－c－1＝0， 即(c－1)(2c＋1)＝0. 1 又 c≠1，故 c＝－2. 1 综上所述，c＝－ . 2
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已知集合 A 是由 0，m，m2－3m＋2 三个元素组成的，且 2∈A，则实数 m 为( A．2
2020_2021学年新教材高中数学第1章预备知识1集合1.2集合的基本关系学案含解析北师大版必修一
1.2 集合的基本关系学习目标核心素养1.理解集合的包含与相等的含义．(难点) 2．能识别集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点)1．通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助子集、真子集的应用，培养逻辑推理素养．1．Venn图为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图．2．子集文字叙述对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A是集合B的子集．符号表示若a∈A⇒a∈B，则A⊆B．图形表示性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A．(2)空集是任何集合的子集，即∅⊆A．(3)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．思考1：符号“∈”与“⊆”有何不同？提示：“∈”表示元素与集合的关系，而“⊆”表示集合与集合的关系．3．集合相等对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等，记作A＝B．思考2：如何证明集合相等？提示：证明这两个集合互为子集．4．真子集对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集，记作A B.1．设M＝{}1，2，3，N＝{}1，则下列关系正确的是( )A．N∈M B．N MC ．N ⊆MD ．N ⊇MC [由1∈M ，知N ⊆M .]2．已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆CD ．A ⊆DB [根据四边形的定义和分类，可知选B.] 3．集合{}0，1的子集有________个．4 [集合{}0，1的子集分别是∅，{}0，{}1，{}0，1.] 4．已知集合{}16⊆{}a 2，a ＋3，7，求实数a 的值．[解] (1)由已知，得16∈{}a 2，a ＋3，7，所以a 2＝16或a ＋3＝16，解得a ＝－4，4或13，当a ＝4时，a ＋3＝7，集合{}a 2，a ＋3，7的元素不满足互异性，所以，实数a 的值为－4，13.集合间的关系的判断【例1】 判断下列各组中集合间的关系．(1)A ＝{} |x x 是等腰三角形，B ＝{x |x 是等边三角形}； (2)A ＝{} |x x ()x －1＝0，B ＝{}0，1； (3)A ＝{} |x －1<x <4，B ＝{} |x x <5；(4)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ |x x ＝n ＋12，n ∈Z ，B ＝{x ⎪⎪⎪x ＝12n ＋1，n ∈Z }．[解] (1)因为等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，故B A .(2)A ＝B .(3)把集合A 与B 在数轴上表示出来，根据定义易得A B . (4)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ |x x ＝2n ＋12，n ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ |x x ＝n ＋22，n ∈Z ，又{} |x x ＝2n ＋1，n ∈Z {} |x x ＝n ＋2，n ∈Z ，所以AB .判断两集合关系的常用方法(1)化简集合，从元素的属性中寻找两集合间的关系； (2)利用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．提醒：在判断集合间的关系时，要注意数轴及Venn 图的应用，它可以直观地帮助我们发现集合间的关系．[跟进训练] 1．设A ＝{}|x x ＝2n －1，n ∈Z ，B ＝{}|x x ＝2n ＋1，n ∈Z ，C ＝{} |x x ＝4n －1，n ∈Z ，判断它们之间的关系．[解] 因为A ＝{} |x x ＝2n －1，n ∈Z ＝{x |x ＝2()n －1＋1，n ∈Z }⊆B ，B ＝{} |x x ＝2n ＋1，n ∈Z ＝{}x |x ＝2()n ＋1－1，n ∈Z ⊆A ，所以A ＝B .因为C ＝{} |x x ＝4n －1，n ∈Z ＝{x |x ＝2×2n －1，n ∈Z }⊆A ，又－3∈A ，但－3C ，所以C A .综上，C A ＝B .子集个数问题【例2】 已知{}1，2M ⊆{}1，2，3，4，5，试写出满足条件的所有集合M . [思路点拨] 先分析集合M 中元素的特点，然后分类列举．[解] 集合M 含有元素1，2，且含有3，4，5中的至少一个元素，依据集合元素的个数分类列举如下：含有3个元素：{}1，2，3，{}1，2，4，{}1，2，5；含有4个元素：{}1，2，3，4，{}1，2，3，5，{}1，2，4，5； 含有5个元素：{}1，2，3，4，5. 故满足条件的集合M 共有上述7个集合．1．解决此类问题，一般先分析集合元素的特征，然后按集合元素个数分类列举． 2．若一个集合有n 个元素，则它有2n个子集；有2n－1个真子集．[跟进训练]2．已知集合B ＝{}1，2，A ＝{}x |x ⊆B ， (1)写出集合A ；(2)判断B 与A 的关系．[解] (1)集合B 的子集分别是∅，{}1，{}2，{}1，2，所以A ＝{}∅，{}1，{}2，{}1，2；(2)B A .集合间的关系的应用 [探究问题]1．已知{}x |－1≤x ≤1⊆{}x |a ≤x ≤b ，试求a ，b 满足的条件． 提示：a ≤－1且b ≥1.2．已知{}x |a ≤x ≤b ⊆{}x |－1≤x ≤1，试求a ，b 满足的条件． 提示：对集合{}x |a ≤x ≤b 是否为空集讨论， 当{}x |a ≤x ≤b 为空集，即a >b 时，满足题意； 当{}x |a ≤x ≤b 非空时，－1≤a ≤b ≤1， 故a ，b 满足的条件是a >b 或－1≤a ≤b ≤1.【例3】 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，且B ⊆A ，求实数m 的取值范围．[思路点拨] 将集合间的关系转化为元素间的关系，由于B 可能为空集，故需分B ＝∅与B ≠∅两种情况讨论．[解] 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，得m ≤2，当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上得m ≤4.1．对于本例中的集合A ，B ，是否存在实数m 使A ⊆B?[解] 若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<－22m －1>7 ，该不等式组无解，故实数m 不存在．2．若将本例中的“A ＝{x |－2≤x ≤7}”改为“A ＝{}x |x ≤－2，或x ≥7”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．[解] 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，得m ≤2，当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＜2m －1，2m －1≤－2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＜2m －1，m ＋1≥1，解得m ≥6，综上得x ≤2或m ≥6.1．对于B ⊆A ，在未指明B 非空时，应分B ＝∅与B ≠∅两种情况讨论．2. 对于B ≠∅这种情况，在确定参数的取值时，可借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清实心点与空心圈，由集合之间的关系，列出关于参数的不等式，解不等式求出参数的取值范围．1．在判断集合间的关系时，要注意数轴及Venn 图的应用，它可以直观的帮助我们发现集合间的关系，这是数形结合思想的应用．2．若一个集合有n 个元素，则它的有2n个子集；有2n－1个真子集． 3．由集合间的关系求参数的取值范围时，要考虑空集是否符合题意．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)空集是任何集合的真子集．( )(2)任何一个集合不可能是其自身的真子集． ( ) (3)任何一个集合至少有两个子集．( ) (4)若A 不是B 的子集，则A 中至少存在一个元素不属于B . ( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．集合A ＝{}x ∈N |0≤x <3真子集的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．7 D ．8C [因为A ＝{}0，1，2，所以其真子集的个数是23－1＝7.]3．设x ，y ∈R ，A ＝{}()x ，y |y ＝x ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫()x ，y ⎪⎪⎪y x＝1，则集合A ，B 的关系是________．[答案] B A4．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}． (1)若A B ，求实数a 的取值范围； (2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围． [解] (1)当A B 时，a >2. (2)当B ⊆A 时，1≤a ≤2.。
高中数学北师大版(2019)选择性必修1-第一章章末知识梳理课件
典例1
2．直线方程的六种形式及应用 直线方程的六种形式在使用时要根据题目的条件灵活选择，尤其在 选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进 行讨论．求直线方程的方法一般是待定系数法，在使用待定系数法求直 线方程时，要注意直线方程形式的选择及适用范围．
典例2
3．两条直线的位置关系及应用
3．直线关于直线的对称 (1)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A ＋B≠0)， 求直线l1关于直线l2的对称直线的方程． 如果l1∥l2，则设所求直线方程为A1x＋B1y＋m＝0(m≠C1)，然后在l1 上找一点P，求出点P关于直线l2的对称点P′(x′，y′)，再代入A1x＋B1y＋m ＝0即可解出m. 如果l1不平行于l2，则先找出l1与l2的交点P，然后在l1上确定一点(不 同于交点)，找出这一点关于l2的对称点P′，由直线的两点式方程确定所 求直线方程．
(2)常见的直线的对称有以下几种情况： 对于直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)， 关于x轴的对称直线为Ax＋B(－y)＋C＝0； 关于y轴的对称直线为A(－x)＋By＋C＝0； 关于直线y＝x的对称直线为Bx＋Ay＋C＝0； 关于直线y＝－x的对称直线为A(－y)＋B(－x)＋C＝0.
典例4 自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射 光线所在的直线与圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在的直线 方程．
要点二
对称问题
2．点关于直线的对称 (1)如图所示，已知点P(x，y)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)， 若直线l的斜率存在，求点P关于直线l的对称点P′(x′，y′)可以分两步来进 行．
(2)常见的点与其关于直线对称的点的坐标之间的关系总结如下： ①点A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b)； ②点B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b)； ③点C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a)； ④点D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a)； ⑤点P(a，b)关于直线x＝m的对称点为P′(2m－a，b)； ⑥点Q(a，b)关于直线y＝n的对称点为Q′(a,2n－b)．
北师大版高中数学选择性必修第一册 第一章 章末整合
(1)建立适当的直角坐标系,求圆弧所在的圆的方程.
(2)为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的
高度之差至少要有0.5 m.请计算车辆通过隧道的限制高度是多少.
解 (1)以EF所在直线为x轴,以MN所在直线为
y 轴,以 1 m 为单位长度建立直角坐标系 xOy,则 E(-3 3,0),F(3 3,0),M(0,3),由
x2+y2+2x+3的最小值为32+2=11.
专题三
与圆有关的轨迹问题
例3已知圆的方程为x2+y2=r2,圆内有定点P(a,b),圆周上有两个动点A,B,使
PA⊥PB,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
分析利用几何法求解,或利用转移法求解,或利用参数法求解.
解 (方法一)如图,在矩形APBQ中,连接AB,PQ交于M,显然OM⊥AB,
解 (1)圆x2+y2-6x-6y+14=0即为(x-3)2+(y-3)2=4,可得圆心为C(3,3),半径为
r=2.
设 k=,即 kx-y=0,
则圆心到直线的距离 d≤r,即
|3-3|
1+
2
≤2,
平方得 5k2-18k+5≤0,
9-2 14
9+2 14
解得
≤k≤ 5 .
5
9+2 14
9-2 14
代入圆的方程,得( 11 )2+(y+3)2=36,得y=2或y=-8(舍),所以
h=|CP|-0.5=(y+|DF|)-0.5=(2+2)-0.5=3.5(m).
所以车辆通过隧道的限制高度是3.5米.
北师大版必修第一册--第1章-1.1-第1课时集合的概念--课件(35张)
分析:1∈A→a=1或a2=1→验证互异性
解:因为1∈A,所以a=1或a2=1,即a=±1,当a=1时,a=a2,集合A中
只有一个元素,所以a≠1;当a=-1时,集合A中含有两个元素1,-1,
符合互异性,所以a=-1.
1.本例中若去掉条件“1∈A”,其他条件不变,则实数a的取值范
围是什么?
解:由题意a和a2组成含有两个元素的集合,则a≠a2,解得a≠0且
A.0∈A B.a∉A C.a∈A D.a=A
解析:∵集合A中只含有一个元素a,
∴a属于集合A,即a∈A.
答案:C
)
3.由x2,x3组成一个集合A,A中含有两个元素,则实数x的取值可
以是(
)
A.0 B.-1 C.1 D.-1或1
解析:验证法:若x=0,x2=0,x3=0,不合题意;
若x=1,x2=1,x3=1,不合题意;
(1)1
N+;(2)-3
(3)
(5)-
Q;(4)
N;
Q;
R.
答案:(1)∈ (2)∉ (3)∈ (4)∉ (5)∈
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“ ”,错
误的画“×”.
(1)如果小明的身高是1.78 m,那么他应该是由高个子学生组
成的集合中的一个元素.( × )
么是,要么不是,两者必居其一,且仅居其一,故“等边三角形的
全体”能组成集合;同理可得,(2)能组成集合;(3)能组成集合;
(4)“聪明的人”没有明确的判断标准,对于某个人算不算聪明
无法客观判断,因此“聪明的人”不能组成集合;同理可得,(5)不能 Nhomakorabea成集合.
高中数学北师大版必修1-全册-知识点总结全文编辑修改
精选全文完整版可编辑修改高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集；N *或N +表示正整数集；Z 表示整数集；Q 表示有理数集；R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈；或者a M ∉；两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来；写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}；其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素；则它有2n 个子集；它有21n-个真子集；它有21n -个非空子集；它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集Bx ∈A A=∅=∅A B A⊆B B ⊆ B{|x x x ∈A A =A ∅=⑼ 集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A ==分配律:)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A UA A UA U Φ=ΦΦ===等幂律：.,A A A A A A == 求补律：A ∩ A ∪=U反演律：(A ∩B)=(A)∪(B) (A ∪B)=(A)∩(B)第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合；如果按照某种对应关系f ；对于集合A 中的 元素；在集合B 中都有 元素和它对应；这样的对应叫做 到 的映射；记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射；那么和A 中的元素a 对应的 叫做象； 叫做原象.二、函数1．定义：设A 、B 是 ；f :A →B 是从A 到B 的一个映射；则映射f :A →B 叫做A 到B 的 ；记作 .2．函数的三要素为 、 、 ；两个函数当且仅当 分别相（3）A B A ⊇A B B⊇补集{|,}x x U x A ∈∉且%1 （%1%1%1 %1同时；二者才能称为同一函数.3．函数的表示法有 、 、 .§2函数的定义域和值域一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式 的集合. 2．常见的三种题型确定定义域：① 已知函数的解析式；就是 .② 复合函数f [g(x )]的有关定义域；就要保证内函数g(x )的 域是外函数f (x )的 域.③实际应用问题的定义域；就是要使得 有意义的自变量的取值集合. 二、值域：1．函数y ＝f (x )中；与自变量x 的值 的集合.2．常见函数的值域求法；就是优先考虑 ；取决于 ；常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和 法）例如：① 形如y ＝221x +；可采用 法；② y ＝)32(2312-≠++x x x ；可采用法或 法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ；可采用 法；④ y ＝x －x-1；可采用 法；⑤ y ＝x －21x -；可采用 法；⑥ y ＝xx cos 2sin -可采用 法等.§3函数的单调性一、单调性1．定义：如果函数y ＝f (x )对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2；当x 1、<x 2时；①都有 ；则称f (x )在这个区间上是增函数；而这个区间称函数的一个 ；②都有 ；则称f (x )在这个区间上是减函数；而这个区间称函数的一个 .若函数f (x )在整个定义域l 内只有唯一的一个单调区间；则f (x )称为 .2．判断单调性的方法：(1) 定义法；其步骤为：① ；② ；③ .(2) 导数法；若函数y ＝f (x )在定义域内的某个区间上可导；①若 ；则f (x )在这个区间上是增函数；②若 ；则f (x )在这个区间上是减函数. 二、单调性的有关结论1．若f (x ), g (x )均为增(减)函数；则f (x )＋g (x ) 函数； 2．若f (x )为增(减)函数；则－f (x )为 ； 3．互为反函数的两个函数有 的单调性；4．复合函数y ＝f [g(x )]是定义在M 上的函数；若f (x )与g(x )的单调相同；则f [g(x )]为 ；若 f (x ), g(x )的单调性相反；则f [g(x )]为 .5．奇函数在其对称区间上的单调性 ；偶函数在其对称区间上的单调性 .§4函数的奇偶性1．奇偶性：① 定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有 ；则称f (x )为奇函数；若 ；则称f (x )为偶函数. 如果函数f (x )不具有上述性质；则f (x )不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质；则f (x ) . ② 简单性质：1） 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称. 2） 函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称. 2．与函数周期有关的结论：①已知条件中如果出现)()(x f a x f -=+、或m x f a x f =+)()(（a 、m 均为非零常数；0>a ）；都可以得出)(x f 的周期为 ；②)(x f y =的图象关于点)0,(),0,(b a 中心对称或)(x f y =的图象关于直线b x a x ==,轴对称；均可以得到)(x f 周期第三章 指数函数和对数函数§1 正整数指数函数 §2 指数扩充及其运算性质1．正整数指数函数函数y ＝a x (a>0；a≠1；x ∈N ＋)叫作________指数函数；形如y ＝ka x (k ∈R ；a >0；且a ≠1)的函数称为________函数． 2．分数指数幂(1)分数指数幂的定义：给定正实数a ；对于任意给定的整数m ；n (m ；n 互素)；存在唯一的正实数b ；使得b n ＝a m ；我们把b 叫作a 的mn 次幂；记作b＝m na ；(2)正分数指数幂写成根式形式：m na ＝nam(a >0)； (3)规定正数的负分数指数幂的意义是：m na-＝__________________(a >0；m 、n ∈N ＋；且n >1)；(4)0的正分数指数幂等于____；0的负分数指数幂__________． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)a m a n ＝________(a >0)； (2)(a m )n ＝________(a >0)； (3)(ab )n＝________(a >0；b >0)．§3 指数函数(一)1．指数函数的概念一般地；________________叫做指数函数；其中x 是自变量；函数的定义域是____．2．指数函数y ＝a x (a >0；且a ≠1)的图像和性质§4 对数(二)1．对数的运算性质如果a >0；且a ≠1；M >0；N >0；则： (1)log a (MN )＝________________； (2)log a MN＝________；(3)log a M n ＝__________(n ∈R )． 2．对数换底公式 log b N ＝logaNlogab(a ；b >0；a ；b ≠1；N >0)； 特别地：log a b ·log b a ＝____(a >0；且a ≠1；b >0；且b ≠1)．a >10<a <1图像定义域 R 值域(0；＋∞) 性 质过定点过点______；即x ＝____时；y ＝____ 函数值 的变化 当x >0时；______； 当x <0时；________ 当x >0时；________； 当x <0时；________ 单调性是R 上的________是R 上的________§5 对数函数(一)1．对数函数的定义：一般地；我们把______________________________叫做对数函数；其中x 是自变量；函数的定义域是________．________为常用对数函数；y ＝________为自然对数函数. 2．对数函数的图像与性质 对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)和指数函数____________________互为反函数．第四章 函数应用 §1 函数与方程1.1 利用函数性质判定方程解的存在2．函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根；也就是函数y ＝f (x )的图像与x 轴的交点的横坐标．定义 y ＝log a x (a >0；且a ≠1) 底数 a >1 0<a <1 图像定义域 ______ 值域 ______单调性 在(0；＋∞)上是增函数 在(0；＋∞)上是减函数共点性 图像过点______；即log a 1＝0函数值 特点 x ∈(0,1)时； y ∈______； x ∈[1；＋∞)时；y ∈______.x ∈(0,1)时； y ∈______； x ∈[1；＋∞)时； y ∈______.对称性函数y ＝log a x 与y ＝1log a x 的图像关于______对称3．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有________⇔函数y＝f(x)有________．4．函数零点的存在性的判定方法如果函数y＝f(x)在闭区间[a；b]上的图像是连续曲线；并且在区间端点的函数值符号相反；即f(a)·f(b)____0；则在区间(a；b)内；函数y＝f(x)至少有一个零点；即相应的方程f(x)＝0在区间(a；b)内至少有一个实数解．1.2 利用二分法求方程的近似解1．二分法的概念每次取区间的中点；将区间__________；再经比较；按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系；可用二分法来_________________________________________________________________．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε)(1)确定区间[a；b]；使____________．(2)求区间(a；b)的中点；x1＝__________.(3)计算f(x1)．①若f(x1)＝0；则________________；②若f(a)·f(x1)<0；则令b＝x1(此时零点x0∈(a；x1))；③若f(x1)·f(b)<0；则令a＝x1(此时零点x0∈(x1；b))．(4)继续实施上述步骤；直到区间[a n；b n]；函数的零点总位于区间[a n；b n]上；当a n和b n按照给定的精确度所取的近似值相同时；这个相同的近似值就是函数y＝f(x)的近似零点；计算终止．这时函数y＝f(x)的近似零点满足给定的精确度．。
北师大版高一数学必修1第一单元集合的含义与表示常见考点
北师大版高一数学必修1第一单元集合的含义与表示常见考点（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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(北师大版)高一数学必修1
第一章集合课题: §1.1集合的含义与表示（一）教学过程：一、新课引入：集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件。
二、讲授新课：1.集合有关概念的教学：考察几组对象：① 1～20以内所有的质数；②到定点的距离等于定长的所有点；③所有的锐角三角形；④x2, 3x+2, 5y3-x, x2+y2；⑤东升高中高一级全体学生；⑥方程230+=的所有实数根；⑦隆成日用品厂2005年8月生产的所有童车；⑧2005年1月, x x广东所有出生婴儿。
A.提问：各组对象分别是一些什么？有多少个对象？（数、点、形、式、体、解、物、人）B.概念：一般地，我们把研究对象统称为元素（element）,把一些元素组成的总体叫作集合（set）（简称集）。
C.讨论集合中的元素的特征：分析“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？→结论：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的。
即集合元素三特征。
确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
互异性：同一集合中不应重复出现同一元素。
无序性：集合中的元素没有顺序。
D.分析下列对象，能否构成集合，并指出元素：不等式x-3>0的解；3的倍数；方程x2－2x＋1＝0的解； a,b,e,x,y,z；最小的整数；周长为10cm的三角形；中国古代四大发明；全班每个学生的年龄；地球上的四大洋；地球的小河流E. 集合相等：构成两个集合的元素是一样的.2.集合的字母表示：①集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示。
②如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作：a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作：a∉A。
高一数学必修1教师用书第一章§2集合的基本关系北师大版
1．若集合A中含有n个元素，集合A的子集个数为2n， 真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.
2．∅与0，{0}，{∅}的区别与联系
相同点
∅与0 ∅与{0} 都表示 都是 无的意思 集合
∅与{∅} 都是集合
∅与0
∅与{0}
∅与{∅}
∅不含任何元素；
∅是集合； ∅不含任何元素；
不同点
{∅}含一个元素，
2．符号∈和⊆ 的区别 符号∈只能适用于元素与集合之间，符号∈的左边只能写 元素，右边只能写集合，说明左边的元素属于右边的集合，表 示元素与集合之间的关系，如－1∈Z， 2∈R；符号⊆ 只能适 用于集合与集合之间，其左右两边都必须写集合，说明左边的 集合是右边集合的子集，左边集合的元素均属于右边的集合， 如{1}⊆ {1,0}，{x|x<2}⊆ {x|x<3}．
同的解，∴B错；∵(2,3)为有序数组，2,3为数，∴C错．
答案：D
2．已知集合A＝{高一 ·三班同学}，B＝{高一 ·三班二组
成员}，则
()
A．A⊇B
B．A⊆B
C．A B
D．B A
解析：由集合中元素的特点可知，D正确．
答案：D
3．指出下列各对集合之间的关系： ①A＝{－1,1}，B＝{x∈Z|x2＝1}； ②A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； ③A＝{－1,1}，B＝{∅，{－1}，{1}，{－1,1}}； ④A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； ⑤A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}．
1．子集
对于两个集合A与B，如果集合A中的 任何一个元素 都
是集合B中的元素，即若 a∈A，则a∈B，我们就说集合 含
2020-2021学年新教材数学北师大版必修第一册：第1章§44.2一元二次不等式及其解法
4.2一元二次不等式及其解法学习目标核心素养1.掌握图象法解一元二次不等式．(重点)2．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点)1. 通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养．2. 通过一元二次不等式的应用，培养逻辑推理素养．1．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫作一元二次不等式．2．一元二次不等式的解集使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作一元二次不等式的解集．3．一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系如下表：判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪x≠－b2a Rax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅么？提示：⎩⎨⎧a ＝b ＝0c >0 或⎩⎨⎧a >0b 2－4ac <0.2．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为∅，a ，b ，c 满足的条件是什么？ 提示：⎩⎨⎧a ＝b ＝0c ≤0 或⎩⎨⎧a <0b 2－4ac ≤0 .1．不等式x 2－3x ＋2＜0的解集为( ) A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B ．(－2，－1) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．(1，2)D [∵(x －1)(x －2)＜0，∴1＜x ＜2. 故原不等式的解集为(1，2).]2．设集合S ＝{x ||x |<5}，T ＝{x |x 2＋4x －21<0}，则S ∩T ＝( ) A ．{x |－7<x <－5} B ．{x |3<x <5} C ．{x |－5<x <3}D ．{x |－7<x <5} C [S ＝{x |－5<x <5}，T ＝{x |－7<x <3}， ∴S ∩T ＝{x |－5<x <3}．]3．不等式2x 2－x －1＞0的解集是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪()1，＋∞ [∵2x 2－x －1＝(x －1)(2x ＋1)＞0，∴x ＞1或x ＜－12. 故原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪()1，＋∞.]4．不等式(a ＋1)x 2＋ax ＋a >0对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围． [解] 当a ＋1＝0，即a ＝－1时，原不等式化为－x －1>0，得x <－1，不合题意；当a ＋1≠0时，由题意，则⎩⎨⎧a ＋1>0，Δ＝a 2－4a （a ＋1）<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >－1a >0或a <－43⇒a >0. 故实数a 的取值范围为(0，＋∞).一元二次不等式的解法角度一二次项系数大于0【例1】解不等式3x2＋5x－2>0.[思路点拨]先解方程，得不等式解集的端点；再画图象，确定不等式解集的结构，是取“两边”还是取“中间”．[解]方程3x2＋5x－2＝0的两解是x1＝－2，x2＝1 3.函数y＝3x2＋5x－2的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(－2，0)和(13，0).观察图象(右图)可得，不等式的解集为{x|x<－2，或x>1 3}．角度二二次项系数小于0【例2】解不等式－2x2＋3x＋2≤0.[思路点拨]把二次项系数化为正是求解的关键．[解]原不等式化为2x2－3x－2≥0，∵2x2－3x－2＝0的两解为x1＝－1 2，x2＝2，且a＝2>0，∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是{x|x≤－12或x≥2}．即原不等式的解集是{x|x≤－12或x≥2}．一元二次不等式一般解题步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式，若判别式不小于零，求出相应的一元二次方程的根；(3)画出对应函数的简图，由图象得出不等式的解集．[跟进训练]1．解不等式：x2>2x－1.[解] 原不等式化为x 2－2x ＋1>0. ∵Δ＝0，∴方程x 2－2x ＋1＝0有两相等实根x 1＝x 2＝1.函数y ＝x 2－2x ＋1的图象是开口向上的抛物线，如下图观察图象可得，原不等式的解集为{x |x ≠1}．含参数的一元二次不等式的解法【例3】 解关于x 的不等式ax 2＋2x ＋1<0.[思路点拨] 对二次项系数a 分a >0，a ＝0，a <0三种情况讨论，并且对a >0这种情况还需分Δ>0，Δ≤0讨论．[解] (1)当a ＝0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－12，(2)当a >0时，Δ＝4－4a ， ①Δ>0即0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1－1－a a <x <－1＋1－a a ； ②Δ≤0即a ≥1时， 不等式的解集为∅.(3)当a <0时，Δ＝4－4a >0， 不等式的解集为{x |x <－1＋1－a a 或x >－1－1－aa}．解含参数的一元二次不等式时，应对系数中的参数进行讨论： (1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向． (2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x 轴交点的个数． (3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小． 简记为“一a ，二Δ，三两根大小”.最后对系数中的参数进行完全分类，即将(－∞，＋∞)分成若干个区间，根据相应二次函数在各个区间的值，写出一元二次不等式的解集．[跟进训练]2．解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2<0 [解] 原不等式变形为(x －2a )(x ＋a )<0.①若a >0，则－a <x <2a ，此时不等式的解集为{x |－a <x <2a }; ②若a <0，则2a <x <－a ，此时不等式的解集为{x |2a <x <－a }; ③若a ＝0，则原不等式即为x 2<0，此时解集为∅.三个二次关系的应用 [探究问题]已知ax 2＋bx ＋c >0的解集是{}x |x 1<x <x 2 1．二次项系数a 大于0，还是小于0? 提示：a ＜0.2．Δ＝b 2－4ac 与0有怎样的关系？ 提示：Δ＝b 2－4ac >03．x 1＋x 2与x 1x 2如何用系数a ，b ，c 表示出来？ 提示：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca . 【例4】 不等式ax 2＋5x ＋c ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜12，则a ，c 的值为( )A ．a ＝6，c ＝1B ．a ＝－6，c ＝－1C ．a ＝1，c ＝1D ．a ＝－1，c ＝－6[思路点拨] 利用一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根之间的关系求解．B [由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋5×13＋c ＝0，a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋5×12＋c ＝0，解得⎩⎨⎧a＝－6，c＝－1.]1．若不等式ax2＋bx－2＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪－2<x<14，则ab＝() A．－28B．－26C．28D．26C[－2，14是方程ax2＋bx－2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a＝（－2）×14＝－12－ba＝－74，∴a＝4，b＝7.∴ab＝28.]2．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x2－bx－a＜0的解集是()A．(2，3)B．(－∞，2)∪(3，＋∞)C．(13，12)D．(－∞，13)∪(12，＋∞)A[依题意，－12与－13是方程ax2－bx－1＝0的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧b a＝－12－13，－1a＝－12×⎝⎛⎭⎪⎫－13即⎩⎪⎨⎪⎧b a＝－561a＝－16又a＜0，不等式x2－bx－a＜0可化为1a x2－ba x－1＞0，即－16x2＋56x－1＞0，解得2＜x＜3.]这种题型是已知一元二次不等式的解集，根据三个“二次”之间的关系，由解集得到方程的根，运用根与系数的关系，将含有参数的不等式转化为不含参数的不等式，从而使问题得到求解．求解时，需要根据不等式解集的结构(“取两边”还是“取中间”)判断二次项系数的正负．1．一元二次不等式的解法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；③由图象得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当m<n时，若(x－m)(x－n)＞0，则可得{x|x＞n或x＜m}；若(x－m)(x－n)＜0，则可得{x|m＜x＜n}．有口诀如下：大于取两边，小于取中间．2．含参数的一元二次不等式的解法在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0).(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)关于x的不等式ax2＋bx＋c>0是一元二次不等式．()(2)若a>0，则关于x的不等式ax2＋1≤0的解集是空集．()(3)若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是R ，则⎩⎨⎧a >0b 2－4ac <0. ( )[答案] (1)× (2)√ (3)×2．设集合M ＝{x |x 2－x <0}，N ＝{x |4－x 2>0}，则( ) A ．M ∩N ＝∅ B ．M ∩N ＝M C ．M ∪N ＝MD ．M ∪N ＝RB [依题意M ＝{}x |0<x <1，N ＝{x |－2<x <2}, ∴M ∪N ＝N ，∴M ∩N ＝M . ]3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：{x |x >3或x <－2} [法一：当x 1＝－2，x 2＝3时，y ＝0，又根据所给数值，函数值随着x 的增大，先减后增，故开口向上，故不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是{x |x >3或x <－2}．法二：由表中数据可求得a ＝1，b ＝－1，c ＝－6，代入原不等式得x 2－x －6>0，所以可解得解集为{x |x >3或x <－2}．]4．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，集合B ＝{x |p ＋1≤x ≤2p －1}．若B ⊆A ，求实数p 的取值范围．[解] 由题可知A ＝{x |－2≤x ≤5}． ①当B ≠∅时，即p ＋1≤2p －1⇒p ≥2. 由B ⊆A ，得－2≤p ＋1，且2p －1≤5. 解得－3≤p ≤3，∴2≤p ≤3. ②当B ＝∅时，即p ＋1>2p －1⇒p <2. 由①②得p ≤3.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
高一数学第一章归纳总结
第四页，集合中元素的认 识与识别，注意区分数集与点集，知道集合的元素是什么是 进行集合运算的前提．另外，集合语言的表达和转化是必须 掌握的．
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2．注意元素的互异性 [例 2] 已知 1∈{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，求实数 a 的值．
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(2)设 x1，x2∈(0，＋∞)，且 x1<x2，则 f(x2)－f(x1)＝f(x1·xx21) －f(x1)＝f(x1)＋f(xx21)－f(x1)＝f(xx21)．
因为 x1，x2∈(0，＋∞)，且 x1<x2，所以xx21>1，所以 f(xx21)>0， 即 f(x2)－f(x1)>0.
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3．注意空集的特殊性 [例 3] 已知集合 A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}至多有一 个真子集，求 a 的取值范围． [分析] 集合 A 是关于 x 的方程的解集．集合 A 至多有一 个真子集有两种情况：一是集合 A 恰有一个真子集，二是没 有真子集，即集合 A 为空集．
－2a＋7，a>3.
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规律总结：(1)求二次函数在闭区间上的最值的思路： 区间的两个端点以及区间的中点将 x 轴分成 4 部分，根 据对称轴在 4 个区间内的不同情况分别求二次函数最值．
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(2)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间[m，n]上的最值的 求法(如图)：
第一章
章末归纳总结
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专题一 集合学习中的注意点剖析 集合主要考查同学们对集合基本概念的认识和理解，以 及对集合语言和集合思想的运用．由于集合中的概念较多， 逻辑性强，关系复杂，联系广泛，因而同学们在学习过程中 常会不知不觉地出错，下面对集合学习中的注意点进行剖析．