高三数学,一轮复习人教A版, 第5章 第2节, 等差数列及其前n项和, 课件
[ 变式训练 1] 数列{an}的公差是( 1 A.2 C．2
S3 S2 (1)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 3 － 2 ＝1，则 ) B．1 D．3
(2)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和， a12＝－8， S9＝－9， 则 S16＝__________. 【导学号：51062164】
第五章
第二节
数
列
等差数列及其前 n 项和
1．等差数列的有关概念
差 都等于同 第2项 起，每一项与它的前一项的___ (1)定义：如果一个数列从________
an＋1－an＝d (n∈N*， 一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为____________
d 为常数)．
a＋b A＝ 2 (2)等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是________ ，其中 A 叫
a1＝－33， 得 d＝7，
解
∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10.]
[ 规律方法]
1.等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1，an，
d，n，Sn，知三求二，体现了方程思想的应用． 2．数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．
a1＋4d＝3， 又∵a10＝8，∴ a1＋9d＝8， a1＝－1， ∴ d＝1.
∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.故选 C.
法二：∵{an}是等差数列， 9 ∴S9＝2(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3. 在等差数列{an}中，a5，a10，a15，„，a100 成等差数列，且公差 d′＝a10－ a5＝8－3＝5. 故 a100＝a5＋(20－1)×5＝98.故选 C.]
ak＋al＝am＋an (2)若{an}为等差数列， 且 k＋l＝m＋n(k， l， m， n∈N*)， 则_______________.
2d (3)若{an}是等差数列，公差为 d，则{a2n}也是等差数列，公差为___.
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，„(k，m∈N*)是公差
(1)B (2)B [(1)∵公差为 1， 8×8－1 ∴S8＝8a1＋ ×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6. 2 1 ∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得 a1＝2， 1 19 ∴a10＝a1＋9d＝2＋9＝ 2 . 11×11－1 S11＝11a1＋ d＝22， 2 (2)设等差数列{an}的公差为 d， 依题意 a4＝a1＋3d＝－12，
等差中项 ． 做 a，b 的__________
2．等差数列的有关公式
a1＋(n－1)d ，an＝am＋_________. (n－m)d (1)通项公式：an＝_____________
nn－1d na1＋an na1＋ ＝ (2)前 n 项和公式：Sn＝_____________________. 2 2 3．等差数列的常用性质 (n－m)d n，m∈N*)． (1)通项公式的推广：an＝am＋________(
5．(教材改编)在 100 以内的正整数中有__________个能被 6 整除的数. 【导学号：51062163】
16 [由题意知，能被 6 整除的数构成一个等差数列{an}， 则 a1＝6，d＝6，得 an＝6＋(n－1)6＝6n. 4 2 由 an＝6n≤100，即 n≤166＝163， 则在 100 以内有 16 个能被 6 整除的数．]
等差数列的基本运算
(1)已知{an}是公差为 1 的等差数列，Sn 为{an}的前 n 项和，若 S8＝ 4S4，则 a10＝( 17 A. 2 C．10 ＝－12，若 am＝30，则 m＝( A．9 C．11 ) B．10 D．15 ) 19 B. 2 D．12
(2)(2017· 诸暨二次统一检测)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，S11＝22，a4
(1)C (2)－72
na1＋an S3 S2 Sn a1＋an [(1)∵Sn＝ ，∴ n ＝ 2 ，又 3 － 2 ＝1， 2
a1＋a3 a1＋a2 得 2 － 2 ＝1，即 a3－a2＝2， ∴数列{an}的公差为 2. (2)设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d， a12＝a1＋11d＝－8， 由已知，得 9d×8 S ＝9a1＋ 2 ＝－9， 9 16×15 ∴S16＝16×3＋ 2 ×(－1)＝－72.]
md 的等差数列． 为___
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列 是等差数列．( )
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*，都有 2an＋1＝an ＋an＋2.( ) ) )
D．11 5a1＋a5 A [a1＋a3＋a5＝3a3＝3⇒a3＝1，S5＝ ＝5a3＝5.] 2
4．已知等差数列{an}前 9 项的和为 27，a10＝8，则 a100＝( A．100 B．99
)
C．98 D．97 C [法一：∵{an}是等差数列，设其公差为 d，
9 ∴S9＝2(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.
(3)等差数列{an}的单调性是由公差 d 决定的．(
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一)√ (3)√ (4)×
2．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S3＝6，a3＝0，则公差 d 等于( A．－1 B．1
)
C．2 D．－2 D [依题意得 S3＝3a2＝6，即 a2＝2，故 d＝a3－a2＝－2，故选 D.] 3．设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 a1＋a3＋a5＝3，则 S5＝( A．5 C．9 B．7 )
高考数学一轮复习 第五章 数列 第2讲 等差数列及其前n项和课件 文
第四页，共四十二页。
1．在等差数列{an}中，a1＝x－2，a2＝x，a3＝2x＋1，则 x ＝____1____． [解析] 由等差数列定义知 2x＝x－2＋2x＋1，解得 x＝1.
12/8/2021
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2．在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于 1 的正整数 n， an－ an－1＝ 3，则 an＝__3_n_2____．
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4．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn＝n2＋n＋1.问数列{an}是否 是等差数列？说明你的理由． [解] 当 n＝1 时，a1＝S1＝3.当 n≥2 时， an＝n2＋n＋1－(n－1)2－(n－1)－1＝2n. 所以 an＝32，n，n＝n≥1，2. 所以{an}从第二项起是以 4 为首项，公差为 2 的等差数列．但 对于整个数列不是等差数列．
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(2) 因为 {an}，{bn}为等差数列， 所以b5＋a9 b7＋b8＋a3 b4＝2ab96＋2ab36＝a92＋b6a3＝22ab66＝ab66. 因为 TS1111＝ab11＋ ＋ab1111＝22ab66＝24× ×1111－ －33＝1491， 所以ab66＝4119.
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应用等差数列的性质应注意的两点 (1)在等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q＝2k(m、n、p、q、k∈N*)， 则 am＋an＝ap＋aq＝2ak 是常用的性质． (2)掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应 用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的 突破口．
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2022届高考数学一轮复习第五章数列第二节等差数列及其前n项和课件新人教版
3．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8＝ ________.
答案：32
知识点二 等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和． (1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，
则有am＋an＝ap＋aq. (2)等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是 递增 数列； 当d＜0时，{an}是 递减 数列；当d＝0时，{an}是 常数列 ．
题型二 等差数列的性质及应用 自主探究
1．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是( C )
A．20
B．22
C．24
D．－8
2．在等差数列{an}中，a1＝－2
020，其前n项和为Sn，若
S12 12
－
S10 10
＝2，
则S2 020的值等于( A )
A．－2 020
∵a1＝1 合适上式，∴当 n≥2 时，a2n－1＝2Sn－1－an－1，④ ③－④得 an2－a2n－1＝2(Sn－Sn－1)－an＋an－1＝2an－an＋an－1＝an＋an－1， ∵an＋an－1＞0，∴an－an－1＝1， ∴数列{an}是首项为 1，公差为 1 的等差数列，可得 an＝n.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2， d为常数)．
a＋b (2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝ 2 .
2．等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an
＝ a1＋(n－1)d
{a2n}是首项为 3，公差为 4 的等差数列，a2n＝4n－1. 所以 an＝2n－1，an＋1－an＝2， 因此存在 λ＝4， 使得数列{an}为等差数列．
高考数学大一轮复习第五章数列第二节等差数列及其前n项和课件文
2019/5/23
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∴bn＋1＝an1＋1＝
1 an
＝2＋a1n，∴bn＋1－bn＝2＋a1n－a1n＝2．
2an＋1
又 b1＝a11＝1，∴数列{bn}是首项为 1，公差为 2 的等差数列．
(2)由(1)知数列{bn}的通项公式为 bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1，又 bn＝a1n， ∴an＝b1n＝2n1－1． ∴数列{an}的通项公式为 an＝2n1－1．
＝3，a1＝－4．故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20．
答案：20
4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则 S16＝________．
解析：设等差数列{an}的首项为a1， 公差为d，
a12＝a1＋11d＝－8， 由已知，得S9＝9a1＋9×2 8d＝－9，
解得ad1＝＝－3，1.
其中 A 叫做 a，b 的 等差中项 ．
2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝ a1＋(n－1)d .
(2)前n项和公式：Sn＝ n_a_1_＋__n__n_2－__1__d ＝__n__a_12＋__a_n_. 3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋ (n－m)d (n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，
的项数m使得Sn取得最
小值为Sm．
[即时应用]
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若aa65＝191，则SS191＝(
)
A．1
B．－1
C．2
D．12
11a1＋a11
解析：
SS191＝
2 9a1＋a9
高考数学一轮复习第5章数列第2节等差数列及其前n项和教师用书文新人教A版
【2019最新】精选高考数学一轮复习第5章数列第2节等差数列及其前n项和教师用书文新人教A版————————————————————————————————[考纲传真] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak ＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an ＋1＝an＋ an＋2.( )(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( )(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．( )[答案] (1)×(2)√(3)√(4)×2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝0，则公差d 等于( )A．－1 B．1C．2 D．－2D [依题意得S3＝3a2＝6，即a2＝2，故d＝a3－a2＝－2，故选D.]3．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( )A．5 B．7C．9 D．11A [a1＋a3＋a5＝3a3＝3⇒a3＝1，S5＝＝5a3＝5.]4．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97C [法一：∵{an}是等差数列，设其公差为d ，∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.又∵a10＝8，∴∴⎩⎪⎨⎪⎧ a1＝－1，d ＝1.∴a100＝a1＋99d ＝－1＋99×1＝98.故选C.法二：∵{an}是等差数列，∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.在等差数列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差数列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5.故a100＝a5＋(20－1)×5＝98.故选C.]5．(教材改编)在100以内的正整数中有__________个能被6整除的数．16 [由题意知，能被6整除的数构成一个等差数列{an}，则a1＝6，d ＝6，得an ＝6＋(n －1)6＝6n.由an ＝6n≤100，即n≤16＝16，则在100以内有16个能被6整除的数．]Sn为{an}的前n 项和，若S8＝4S4，则a10＝( )A.B.192 C ．10 D ．12 (2)(2017·云南省二次统一检测)设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，S11＝22，a4＝－12，若am ＝30，则m ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．15(1)B (2)B [(1)∵公差为1，∴S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝，∴a10＝a1＋9d ＝＋9＝.(2)设等差数列{an}的公差为d ，依题意解得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＝－33，d ＝7，∴am ＝a1＋(m －1)d ＝7m －40＝30，∴m ＝10.][规律方法] 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a1，an ，d ，n ，Sn ，知三求二，体现了方程思想的应用．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．[变式训练1] (1)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足－＝1，则数列{an}的公差是( )A.B ．1C ．2D ．3(2)设Sn 为等差数列{an}的前n 项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝__________.【导学号：31222176】(1)C (2)－72 [(1)∵Sn＝，∴＝，又－＝1，得－＝1，即a3－a2＝2，∴数列{an}的公差为2.(2)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d ，由已知，得解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝3，d ＝－1. ∴S16＝16×3＋×(－1)＝－72.]{bn}满足bn ＝(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}是等差数列．(2)求数列{an}中的通项公式an.[解] (1)证明：因为an ＝2－(n≥2，n∈N*)， bn ＝.所以n≥2时，bn －bn －1＝－1an －1－1＝－＝－＝1.5分又b1＝＝－，所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列.7分(2)由(1)知，bn ＝n －，9分则an ＝1＋＝1＋.12分[规律方法] 1.判断等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．2．用定义证明等差数列时，常采用两个式子an ＋1－an ＝d 和an －an －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n ＝1时，a0无定义．[变式训练2] (1)若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n －1＋2a2n}是( )【导学号：31222177】A ．公差为3的等差数列B．公差为4的等差数列C．公差为6的等差数列D．公差为9的等差数列(2)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，则该数列的通项为( )A．an＝1nB．an＝2n＋1C．an＝2n＋2D．an＝3nA [由已知式＝＋可得－＝－，知是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的等差数列，所以＝n，即an＝.](1)C (2)480 [(1)∵a2n－1＋2a2n－(a2n－3＋2a2n－2)＝(a2n－1－a2n－3)＋2(a2n－a2n－2)＝2＋2×2＝6，∴{a2n－1＋2a2n}是公差为6的等差数列．(2)由已知Sn－Sn－1＝2可得，－＝2，所以{}是以1为首项，2为公差的等差数列，故＝2n－1，Sn＝(2n－1)2，所以a61＝S61－S60＝1212－1192＝480.]每行、每列的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于63，那么a52＝( )图521A．2 B．8C．7 D．4(2)等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn取得最大值．(1)C [法一：第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有a41＋a42＋a43＝3a42，同理第二行也有a51＋a52＋a53＝3a52，第三行也有a61＋a62＋a63＝3a62，又每列也成等差数列，所以对于第二列，有a42＋a52＋a62＝3a52，所以a41＋a42＋a43＋a51＋a52＋a53＋a61＋a62＋a63＝3a42＋3a52＋3a62＝3×3a52＝63，所以a52＝7，故选C.法二：由于每行每列都成等差数列，不妨取特殊情况，即这9个数均相同，显然满足题意，所以有63÷9＝7，即a52＝7，故选C.](2)法一：由S3＝S11，可得3a1＋d＝11a1＋d，4分即d＝－a1.7分从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1，因为a1>0，所以－<0.9分故当n＝7时，Sn最大.12分法二：由法一可知，d＝－a1.要使Sn最大，则有5分即9分解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大.12分法三：由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，5分故a7＋a8＝0，又由a1>0，S3＝S11可知d<0，9分所以a7>0，a8<0，所以当n＝7时，Sn最大.12分[规律方法] 1.等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－1＝(2n－1)an.2．求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.[变式训练3] (1)在等差数列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示数列{an}的前n项和，则S11＝( )A．18 B．99C．198 D．297(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝10，S10＝30，则S15＝( )A．60 B．70C．90 D．40A [因为数列{an}为等差数列，所以S5，S10－S5，S15－S10也成等差数列，设S15＝x，则10,20，x－30成等差数列，所以2×20＝10＋(x－30)，所以x＝60，即S15＝60.](1)B (2)20 [(1)因为a3＋a9＝27－a6,2a6＝a3＋a9，所以3a6＝27，所以a6＝9，所以S11＝(a1＋a11)＝11a6＝99.(2)法一：设数列{an}的公差为d，则a7＋a8＋a9＝a1＋6d＋a2＋6d＋a3＋6d＝5＋18d＝10，所以18d＝5，故a19＋a20＋a21＝a7＋12d＋a8＋12d＋a9＋12d＝10＋36d＝20.法二：由等差数列的性质，可知S3，S6－S3，S9－S6，…，S21－S18成等差数列，设此数列公差为D.所以5＋2D＝10，所以D＝.所以a19＋a20＋a21＝S21－S18＝5＋6D＝5＋15＝20.][思想与方法]1．等差数列的通项公式，前n项和公式涉及“五个量”，“知三求二”，需运用方程思想求解，特别是求a1和d.(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a －d，a，a＋d，a＋2d，….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a －d，a＋d，a＋3d，….2．等差数列{an}中，an＝an＋b(a，b为常数)，Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，均是关于“n”的函数，充分运用函数思想，借助函数的图象、性质简化解题过程．3．等差数列的四种判断方法：(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列．(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列．[易错与防范]1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．3．求等差数列的前n项和Sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件．课时分层训练(二十九)等差数列及其前n项和A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．在等差数列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为( ) 【导学号：31222178】A．37 B．36C．20 D．19A [am＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋d＝36d＝a37.]2．(2017·深圳二次调研)在等差数列{an}中，若前10项的和S10＝60，且a7＝7，则a4＝( )【导学号：31222179】A．4 B．－4C．5 D．－5C [法一：由题意得解得∴a4＝a1＋3d＝5，故选C.法二：由等差数列的性质有a1＋a10＝a7＋a4，∵S10＝＝60，∴a1＋a10＝12.又∵a7＝7，∴a4＝5，故选C.]3．(2017·福州质检)已知数列{an}是等差数列，且a7－2a4＝6，a3＝2，则公差d ＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16B [法一：由题意得a3＝2，a7－2a4＝a3＋4d －2(a3＋d)＝6，解得d ＝4，故选B.法二：由题意得解得故选B.]4．等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n 项和Sn 的最大值为( ) 【导学号：31222180】A ．S7B ．S6C ．S5D ．S4 C [∵∴⎩⎪⎨⎪⎧ a5>0，a6<0，∴Sn 的最大值为S5.]5．(2017·湖北七市4月联考)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？( )A ．9日B ．8日C ．16日D ．12日A [根据题意，显然良马每日行程构成一个首项a1＝103，公差d1＝13的等差数列，前n 天共跑的里程为S ＝na1＋d1＝103n ＋n(n －1)＝6.5n2＋96.5n ；驽马每日行程也构成一个首项b1＝97，公差d2＝－0.5的等差数列，前n 天共跑的里程为S ＝nb1＋d2＝97n －n(n －1)＝－0.25n2＋97.25n.两马相逢时，共跑了一个来回．设其第n 天相逢，则有6.5n2＋96.5n －0.25n2＋97.25n ＝1 125×2，解得n＝9，即它们第9天相遇，故选A.]二、填空题6．(2017·郑州二次质量预测)已知{an}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，则a1＝__________.－1 [因为a5是a3与a11的等比中项，所以a＝a3·a11，即(a1＋4d)2＝(a1＋2d)(a1＋10d)，解得a1＝－1.]7．(2016·北京高考)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.6 [∵a3＋a5＝2a4，∴a4＝0.∵a1＝6，a4＝a1＋3d，∴d＝－2.∴S6＝6a1＋d＝6.]8．(2016·江苏高考)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．20 [法一：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知S5＝5a1＋d＝10，得a1＋2d＝2，即a1＝2－2d，所以a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋a＝－3，化简得d2－6d＋9＝0，所以d＝3，a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.法二：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知＝5a3＝10，所以a3＝2.由a1＋a3＝2a2，得a1＝2a2－2，代入a1＋a＝－3，化简得a ＋2a2＋1＝0，所以a2＝－1.公差d＝a3－a2＝2＋1＝3，故a9＝a3＋6d＝2＋18＝20.]三、解答题9．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.【导学号：31222181】(1)求a及k的值；(2)设数列{bn}的通项bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.[解] (1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.3分由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.5分(2)证明：由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，则bn＝＝n＋1，故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，8分即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn＝＝.12分10．(2017·合肥三次质检)等差数列{an}的首项a1＝1，公差d≠0，且a3·a4＝a12.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an·2n，求数列{bn}的前n项和Tn.[解] (1)由a3·a4＝a12得(1＋2d)·(1＋3d)＝1＋11d⇒d＝1或d＝0(不合题意舍去)，∴数列{an}的通项公式为an＝n.5分(2)依题意bn＝an·2n＝n·2n，Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，2Tn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，9分两式相减得－Tn＝21＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1＝(1－n)2n＋1－2，∴Tn＝(n－1)2n＋1＋2.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．设数列{an}的前n项和为Sn，若为常数，则称数列{an}为“吉祥数列”．已知等差数列{bn}的首项为1，公差不为0，若数列{bn}为“吉祥数列”，则数列{bn}的通项公式为( ) 【导学号：31222182】A．bn＝n－1 B．bn＝2n－1C．bn＝n＋1 D．bn＝2n＋1B [设等差数列{bn}的公差为d(d≠0)，＝k，因为b1＝1，则n ＋n(n－1)d＝k，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0.因为对任意的正整数n上式均成立，所以(4k－1)d＝0，(2k－1)(2－d)＝0，解得d＝2，k＝，所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1.]2．已知等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，则前n项和Sn的最大值为__________．110 [因为等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，代入求和公式得，Sn＝na1＋d＝20n－×2＝－n2＋21n＝－2＋2，又因为n∈N*，所以n＝10或n＝11时，Sn取得最大值，最大值为110.]3．(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．[解] (1)证明：由题设知anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn ＋1－1，2分两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.5分(2)由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.7分令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；9分{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2，因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列.12分。
高考数学一轮复习 第5章 数列 第2讲 等差数列及其前n项和创课件 高三全册数学课件
12/11/2021
3．等差数列的相关性质
已知{an}为等差数列，d 为公差，Sn 为该数列的前 n 项和．
(1) 等 差 数 列 {an} 中 ， 当 m ＋ n ＝ p ＋ q 时 ， 01 ____a_m_＋__a_n＝__a_p_＋__a_q______________ (m，n，p，q∈N*)．
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解析 答案
(2)在等差数列{an}中，已知 a2＝2，前 7 项和 S7＝56，则公差 d＝( )
A．2
B．3
C．－2
D．－3
解析
a1＋d＝2， 由题意可得7a1＋7×2 6d＝56，
即aa11＋ ＋d3＝ d＝2， 8，
解得ad1＝＝3－. 1，1/11/2021解析 答案
|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－ 12n221－n22＋212n21＋n，110n，≤n11≥，12.
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解
题型二 等差数列的判定与证明
(2019·贵州适应性考试)已知数列{an}满足 a1＝1，且 nan＋1－(n＋1)an＝2n2 ＋2n.
(1)求 a2，a3； (2)证明数列ann是等差数列，并求{an}的通项公式．
3a1，则SS150＝____4____. 解析 由 a1≠0，a2＝3a1，可得 d＝2a1， 所以 S10＝10a1＋102×9d＝100a1， S5＝5a1＋5×2 4d＝25a1，所以SS150＝4.
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解析
2．在公差为 d 的等差数列{an}中，已知 a1＝10，且 5a3·a1＝(2a2＋2)2. (1)求 d，an； (2)若 d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.
2017届高三数学一轮总复习(人教通用)课件：第5章 第二节 等差数列及其前n项和
第四页，编辑于星期六：一点 八分。
2．(教材习题改编)已知等差数列{an}，a5＝－20，a20＝－35， 则 an＝________ 答案：－15－n
3．(教材习题改编)已知等差数列 5,427，347，…，则前 n 项 和 Sn＝________. 答案：114(75n－5n2)
第五页，编辑于星期六：一点 八分。
答案：C
第七页，编辑于星期六：一点 八分。
2．在数列{an}中，若 a1＝1，an＋1＝an＋2(n≥1)，则该数列 的通项公式为 an＝________.
答案：2n－1
第八页，编辑于星期六：一点 八分。
1．(2015·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为 1 的等差数列，Sn 为
{an}的前 n 项和，若 S8＝4S4，则 a10＝
第十八页，编辑于星期六：一点 八分。
[越变越明] [变式 1] 试说明母题中数列{an}是不是等差数列．
解析
第十九页，编辑于星期六：一点 八分。
[变式 2] 若将母题条件变为“数列{an}的前 n 项和为 Sn(n ∈N*)，2Sn－nan＝n，”求证：{an}为等差数列．
证明：∵2Sn－nan＝n，① ∴当 n≥2 时，2Sn－1－(n－1)an－1＝n－1，② ∴①－②得：(2－n)an＋(n－1)an－1＝1，(1－n)an＋1＋nan ＝1，∴2an＝an－1＋an＋1(n≥2)， ∴数列{an}为等差数列．
1．要注意概念中的“从第 2 项起”．如果一个数列不是从第 2 项 起，而是从第 3 项或第 4 项起，每一项与它前一项的差是同一 个常数，那么此数列不是等差数列．
2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． 3．求等差数列的前 n 项和 Sn 的最值时，需要注意“自变量 n 为正
2014届高考数学一轮复习课件第五章第2课时等差数列及其前n项和(新人教A版)
4．(2012·高考北京卷)已知{an}为等差数列，Sn 为其前 n 项和．若 a1＝12，S2＝a3，则 a2＝________. 解析：设{an}的公差为 d， 由 S2＝a3 知，a1＋a2＝a3，即 2a1＋d＝a1＋2d. 又 a1＝12，所以 d＝12，故 a2＝a1＋d＝1.
答案：1
通项公式an为( )
A．2n
B．2n＋1
C．2n－1
D．an}是等差数列，且 a1＋a8＋a15＝π，则 tan(a4
＋a12)＝( )
A. 3
B．－ 3
C.
3 3
D．－
3 3
解析：选 B.由 a1＋a8＋a15＝π，得 3a8＝π，∴a8＝π3.
又 a4＋a12＝2a8＝23π，∴tan(a4＋a12)＝tan23π＝－ 3.
解析：(1)根据等差数列的性质，得数列{Snn}也是等差数列，根
据已知可得这个数列的首项S11＝a1＝－2 013，公差 d＝1，故
2S2001133＝－2 013＋(2 013－1)×1＝－1，所以 S2 013＝－2 013. (2)由题意可知 a1＋a2＋…＋a6＝36，① an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，② ①＋②得 (a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5) ＝6(a1＋an)＝216，∴a1＋an＝36. 又 Sn＝na12＋an＝324， ∴18n＝324，∴n＝18，∴a1＋a18＝36. ∴a9＋a10＝a1＋a18＝36.
【题后感悟】 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式， 共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外 两个，体现了用方程解决问题的思想． (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换 的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示 已知和未知是常用方法．
人教版高三数学(理)一轮总复习PPT课件：5-2 等差数列及其前n项和
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2．等差中项 如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项， a＋b 且 A＝ 2 ． 3．通项公式 如果等差数列 an 的首项为a1，公差为d，那么通项公式为an
* a ＋ ( n － 1) d ， n ∈ N 1 ＝ ．
n（n－1）d （a1＋an）n na1＋ 4．前n项和公式：Sn＝ ＝ ． 2 2
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2．(2017· 江苏无锡一模)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，当 整数 n>1 时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，则 S15＝ ．
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解析：由 Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)得(Sn＋1－Sn)－(Sn－Sn－1)＝2S1 ＝2，即 an＋1－an＝2(n≥2)，所以数列{an}从第二项起构成等差数 列，则 S15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211.
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2．(2013·高考课标卷Ⅰ)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn， 若 Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则 m＝( A．3 C．5 B．4 D．6 )
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解析：选 C.∵{an}是等差数列，Sm－1＝－2，Sm＝0， ∴am＝Sm－Sm－1＝2. ∵Sm＋1＝3，∴am＋1＝Sm＋1－Sm＝3， ∴d＝am＋1－am＝1. m（a1＋am） m（a1＋2） 又 Sm＝ ＝ ＝0， 2 2 ∴a1＝－2， ∴am＝－2＋(m－1)· 1＝2，∴m＝5.
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1 1 解析： 选 B. 由已知可得 － ＝ 1 ， 所以 f（x＋2） f（x＋1）