湖南师大附中2015-2016学年高二上学期期中考试数学试卷含答案.doc
湖南省师大附中高二数学上学期期中考试文试题湘教版
时 量：120分钟 满 分：150 分（必考I 部分100分，必考II 部分50分）命题：湖南师大附中高二数学备课组必考I 部分一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若a b >，则下列不等式中正确的是 （D ） A. 22a b > B.11a b< C. a b > D. 0b a -< 2.不等式2450x x -->的解集是 （B ） A. {}51x x x ≥≤-或 B. {}51x x x ><-或 C. {}15x x -<< D. {}15x x -≤≤3.在ABC ∆中，已知BC=12，60,45A B ==，则AC= （D ）A.C.4.已知等比数列{}n a 中，13a =，且14a a a 23、2、成等差数列，则数列{}n a 的公比为 （B ）A. 1B. 2C. －1D.125.不等式组03003x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩所表示的平面区域的面积等于 （C ）A. 3B. 9C. 18D. 366.设0,0a b >>是33ab与的等比中项，则11a b+的最小值为 （B ） A. 8 B. 4 C. 1 D.147.在ABC ∆中，若sin 2cos sin C A B =，则此三角形的形状是 （A ）A. 等腰三角形B. 正三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形8.已知数列{}n a 是等比数列，若2512,4a a ==，则12231n n a a a a a a ++++= （C ） A. 16(14)n -- B. 16(12)n-- C. 32(14)3n -- D. 32(12)3n -- 二、填空题：本大题共６个小题，每小题4分，共24分，请把答案的最简形式填在横线上.9.数列{}n a 中，115,3n n a a a +==+，则数列{}n a 的通项公式是n a = 3n ＋210.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角A 、B 、C的对边，且222b c a +=，则角A 的度数为15011.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21n n a S =+，则数列{}n a 的通项公式是n a =12n -12.已知0t >，则函数241t t y t-+=的最小值为 －213.配制A 、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3毫克，乙料5毫克；配一剂B 种药需甲料5毫克，乙料4毫克，今有甲料20毫克，乙料25毫克，设A 、B 两种药分别配,x y 剂(,)x y N ∈，若A 、B 两种药至少各配一剂，则x ，y 应满足的条件是1135205425x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩ 14.已知0,0,x y >>且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（－4，2）三、解答题：本大题共4个小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15．（本题满分10分） 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若ABC ∆的周长为1，且sin sin A B C +=.（1）求边AB 的长； （2）若ABC ∆的面积为1sin 6C ，求角C 的度数. 解：设ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，（1）由题意及正弦定理得1a b c a b ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，故1c AB ==(4分)（2）111sin sin ,263S ab C C ab ∆==∴= （6分）又1,11c a b =∴+=-=7分）由余弦定理得22222()2cos 22a b c a b ab c C ab ab+-+--==2121131223-⨯-==⨯（9分）(0,)C π∈∴ 3C π=（10分）16. （本题满分10分）已知变量x 和y 满足约束条件10301x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩.（1）求42z x y =+的最大值； （2）求21y k x +=+的取值范围. 解：（1）作出可行域如图.(3分) 将42z x y =+变形为22z y x =-+, 可知直线过点C 时z 取得最大值. 由130y x y =⎧⎨+-=⎩ 得C(2，1) (5分)即2x =且1y =时，max 10z =.(6分)(2)21y k x +=+表示可行域内任一点(,)x y 与定点由图可知, PC PB k k k ≤≤. 由110y x y =⎧⎨-+=⎩ 得B(0，1).1,3,PC PB k k ∴==故k 的取值范围是[]1,3.(10分)17. （本题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：3577,26a a a =+=，数列{}n a 的前n 项和为n S .（1）求n n a S 与； （2）令21(*)1n n b n N a =∈-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差d357117,26,27,21026a a a a d a d =+=∴+=+=解得：13,2a d ==（4分）1(1)21n a a n d n ∴=+-=+21()22n n a a nS n n +==+（6分） （2）由（1）得221(21)14(1)n a n n n -=+-=+1111()4(1)41n b n n n n ∴==-++ （9分）故12...n n T b b b =+++111111(1)()...()42231n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥+⎣⎦11(1)41n =-+ 4(1)nn =+（12分）18. （本题满分12分）如图，为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路C 、D 两点处进行测量.在C 点测得塔顶A在南偏西800，仰角为450，此人沿着南偏东400方向前进10米到D 点，测得塔顶的仰角为300，试求塔的高度. AC东北40°80° 45°解：由题意得，AB ⊥平面BCO ,.AB BC AB BD ∴⊥⊥（2分） 设塔高AB=x ，（3分）在Rt △ABC 中，∠ACB=450，所以BC= AB=x ，（5分） 在Rt △ABD 中，∠ADB=450, ∴BD=x AB330tan 0=，（8分）在△BCD 中，由余弦定理得BD 2=CB 2+CD 2-2CB ·CDcos1200,∴ x x x 10100)3(22++=，解得x=10或=-5（舍去）. （11分） 答：塔高为10米。
湖南师范大学附属中学2015-2016学年高一上学期第三次阶段测试数学试题Word版含答案
湖南师大附中2015—2016学年度第一学期第三次阶段性检测第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}20,,A a a =，且1A ∈，则a =（ ）A ．1B ．1-C ．1±D ．02.下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是（ ）A ．||y x =B ．1y x=-C ．2xy -=D ．3y x =3.函数2()ln(1)f x x =+的图象大致是（ ）4.设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥C ．若//l α，m α⊂，则//l mD ．若//l α，//m α，则//l m5.一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得该几何体的表面积是（ ）A ．6+B ．12+C ．12+D ．18+6.若异面直线a ，b 分别在平面α，β内，且l αβ=，则直线l （ ）A ．与直线a ，b 都相交B ．至少与a ，b 中一条相交C ．至多与a ，b 中一条相交D ．与a ，b 中一条相交，另一条平行7.已知x ，y 是正实数，则下列运算正确的是（ ） A ．lg lg lg lg 333x yx y +=+ B ．lg()lg lg 333x y x y +=⋅C ．lg lg lg lg 333x yx y ⋅=+D ．lg()lg lg 333xy x y =⋅8.表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为（ ）A B C ．2 D ．19.已知三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径是（ ）A B ．C ．132D ．10.如图所示，在上、下底面对应边的比为1:2的三棱台中，过上底面一边11A B 作一个平行于棱1C C 的平面11A B EF ，则这个平面分三棱台成两部分的体积之比为（ ）A ．2:1B ．3:1C ．3:2D ．3:411.如图是棱长为1的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，以下结论错误的是（ ）A ．点M 到AB B ．AB 与EF 所成角是90︒C ．三棱锥C DNE -的体积是16D ．EF 与MC 是异面直线12.已知21()()log 2xf x x =-，实数a ，b ，c 满足()()()0f a f b f c ⋅⋅<，且0a b c <<<，若实数0x 是函数()f x 的一个零点，那么下列不等式中，不可能成立的是（ ）A ．0x a <B ．0x b >C ．0x c <D ．0x c >第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）16.已知函数22,,(),,x x a f x x x a +≤⎧=⎨>⎩若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-没有零点，则a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =，1AF =，M是线段EF 的中点． （1）求三棱锥A BDF -的体积；（2）求CM 与平面ABCD 所成的角大小．18.（本小题满分12分）如图，在三棱锥A BCD -中，△ABC 和△BCD 都为正三角形且2BC =，AD =E ，F ，H 分别是棱AB ，BD ，AC 的中点，G 为FD 的中点．（1）求异面直线AD 和EC 所成的角的大小；（2）求证：直线//GH 平面CEF ．19.（本小题满分12分）如图，E 是直角梯形ABCD 底边AB 的中点，22AB DC BC ==，将△ADE 沿DE 折起形成四棱锥A BCDE -． （1）求证：DE ⊥平面ABE ；（2）若二面角A DE B --为60︒，求二面角A DC B --的正切值．ABCED20.（本小题满分12分）某学校假期后勤维修的一项工作是请30名木工制作200把椅子和100张课桌．已知一名工人在单位时间内可制作10把椅子或7张课桌．将这30名工人分成两组，一组制作课桌，一组制作椅子，两组同时开工．设制作课桌的工人为x 名．（1）分别用含x 的式子表示制作200把椅子和100张课桌所需的单位时间；（2）当x 为何值时，完成此项工作的时间最短？21.（本小题满分12分） 已知函数||()1x f x x =+． （1）求()f x 的单调区间；（2）若方程2()0f x kx -=有四个不等实根，求实数k 的取值范围．22.（本小题满分12分） 已知函数()|ln |f x x =，设12x x ≠且12()()f x f x =． （1）证明：12(1)(1)0x x --<，且121x x =；（2）若1212()()x x f x f x M +++>对任意满足条件的1x ，2x 恒成立，求实数M 的最大值．湖南师大附中2015—2016学年度第一学期第三次阶段性检测答案一、选择题： 1.B 2.D3.A 【解析】由(0)ln10f ==知函数图象过原点，故排除B 、D ，再注意到22()ln ()1ln(1)()f x x x f x ⎡⎤-=-+=+=⎣⎦，知函数是偶函数，所以其图象关于y 轴对称，所以排除C ，故选A ．4.B 【解析】A 中若m l ⊥，m α⊂，那么可能l α⊂或l 与α相交，A 错；B 中由线面垂直的判定定理可知结论正确；C 中l 与m 平行或异面；D 中l 与m 平行、相交或异面．5.C 【解析】由三视图可知，该几何体是一个侧放着的直三棱柱，三棱柱的底面是一个腰长为2，底边上的7.D 【解析】lg()lg lg lg lg 3333xy x y x y +==⋅．8.D 【解析】设圆锥的底面的半径为r ，圆锥的母线为l ，则由2l r ππ=得2l r =，而22S r r r ππ=+⋅233r ππ==，故21r =，解得1r =，所以半径为1．9.C 【解析】解法一：由球心作面ABC 的垂线，则垂足为斜边BC 中点M ，则52AM =，由垂径定理，6OM =，所以半径R 满足2222513()624R =+=，则球O 的半径是132．解法二：由题设知题中三棱柱可视为长方体的一部分，且长方体同一顶点的三条棱分别为3，4，12，三棱柱的外接球即为长方体之外接球，所以213R ==，所以132R =． 10.D 【解析】设三棱台的高为h ，上底的面积是S ，则下底的面积是4S ， ∴11117(42)33A B C ABC V h S S S Sh -=++=，∴111A B C EFC V Sh -=棱柱， ∴1111113743A B C EFC A B C EFCV Sh V V Sh Sh --==--棱柱台棱柱．11.D 【解析】根据正方体的平面展开图，画出它的立体图形如图所示，A 中M 到AB的距离为2MC =A 正确；AB 与EF 所成角是90︒，B 正确；三棱锥C DNE -的体积是111111326⨯⨯⨯⨯=，C 正确；//EF MC ，D 错误．12.D 【解析】21()()log 2xf x x =-在()0,+∞上单调递减，故当0x x <时，21()()log 02x f x x =->，当0x x >时，21()()log 2x f x x =-0<，因为()()()0f a f b f c ⋅⋅<，且0a b c <<<，所以0x c >不可能成立．二、填空题13.a b c >> 【解析】()0.521,2a =∈，()log 30,1b π=∈，1ln03c =<，∴a b c >>． 14.4 【解析】由(2)(2)(2)(2)28g g f a f a a +-=++-+==，所以4a =．15.2+【解析】根据斜二测画法，可得原平面图形是如图所示的直角梯形，在直观图中，分别过顶点作底面的高，由于是等腰梯形，可得底面边长为1知2DC =，所以1()22S AD BC DC =+⋅=16.()(),22,-∞-+∞【解析】依题意可知，问题等价于方程2b x =+（x a ≤）与方程2x b =（x a >）均无实根，则可知关于b的不等式组2,,,0b a a a b ->⎧≤≤⎪⎪≥⎩或2,0b a b ->⎧⎨<⎩有解，从而2a >或2a <-．三、解答题17.解：（1）∵面ACEF ⊥面ABCD ，面ACEF面ABCD AC =，FA ⊂面ACEF ，FA AC ⊥，∴FA ⊥面ABCD ，∴1111||13323F ABD ABD V S AF -∆=⨯⨯=⨯=， ∴13A BDF F ABD V V --==．（2）设BD AC O =，连接OF ，∵//MF CO ，∴四边形CMFO 为平行四边形，∴//CM OF ，又AF ⊥面ABCD ，则FOA ∠为CM 与平面ABCD 所成的角． 在Rt FOA ∆中，1AO AF ==，故45FOA ∠=︒， 故CM 与平面ABCD 所成的角为45︒．18.解：（1）∵E ，F 分别是AB ，BD 的中点， ∴//AD FE ，∴CEF ∠为异面直线AD 和EC 所成的角．在△CFE 中，可求CF CE ==FE =90ECF ∠=︒，故45CEF ∠=︒，即异面直线AD 和EC 所成的角是45︒． （2）连接BH 交CE 于点O ，连接FO ， ∵E 为AB 的中点，H 为AC 的中点， ∴O 为△ABC 的重心， ∴21BO OH =． ∵F 为BD 的中点，G 为FD 的中点，∴21BF FG =， ∴BO BFOH FG=， ∴//FO GH ，∵FO ⊂面CEF ，GH ⊄面CEF ， ∴//GH 面CEF ．19.解：（1）在直角梯形ABCD 中，因为//DC BE ，且DC BE =，故四边形BCDE 为平行四边形，又90B ∠=︒，从而DE EB ⊥，DE EA ⊥． 因此，在四棱锥A BCDE -中，有DE ⊥面ABE ．（2）由（1）知，AEB ∠即二面角A DE B --的平面角，故60AEB ∠=︒， 又因为AE EB =，所以△AEB 为等边三角形．设BE 的中点为F ，CD 的中点为G ，连接AF 、FG 、AG ， 从而AF BE ⊥，//FG DE ， 于是AF CD ⊥，FG CD ⊥， 从而CD ⊥面AFG ，因此CD AG ⊥．所以FGA ∠即所求二面角A DC B --的平面角． 因为DE ⊥面ABE ，从而FG ⊥面ABE ， 所以FG AF ⊥．于是在Rt AFG ∆中，可求得tan AF FGA FG ∠==， 即二面角A DC B --的正切值为2． 20.解：（1）制作课桌与制作椅子的人数分别为x 与30x -，一名工人在一个单位时间内可制作10把椅子或7张桌子，所以制作100张课桌所需的单位时间为100()7P x x=，而制作200把椅子所需的单位时间为20020()10(30)30Q x x x==--．（2）完成此项工作的时间为{}max (),()y P x Q x =． 由于()y P x =为减函数，()y Q x =为增函数， 所以，当()()P x Q x =时，y 最小，即10020730x x=-， 解得1122x =．考虑到人数必须为整数，所以 {}{}{}100,1,2,,12,7max (),()20,13,14,,29.30x xy P x Q x x x ⎧∈⎪⎪==⎨⎪∈⎪-⎩……由于10025(12)71221P ==⨯，20(13)17Q =，20251721<，即1312||x x y y ==<，所以当13x =时，完成此项工作的时间最短．21.解：（1）1,01,011()1,01,011x x x x x f x x x x x x ⎧⎧≥-≥⎪⎪⎪⎪++==⎨⎨⎪⎪-<-+<⎪⎪++⎩⎩．由反比例函数的单调性知：()f x 的单调递减区间是(),1-∞-和(]1,0-，单调递增区间是[)0,+∞．（2）①若0k =，则方程2()0f x kx -=，即()0f x =，由（1）知，()f x 仅唯一零点，不合题意；②若0k <，2()0f x kx -=有四个实根即函数()y f x =与开口向下的抛物线2y kx =有四个交点．当(),1x ∈-∞-时，()f x 单调递减，2y kx =单调递增，故最多一个交点，当()1,x ∈-+∞时，()(0)0f x f ≥=，20y kx =≤，仅有一个交点，这与他们有四个交点不符；③若0k >，由2||01x kx x -=+知，0x =是其一根． 当0x >时，有201xkx x -=+，即210kx kx +-=．因为240k k +>，所以该方程在实数范围有两根，而10k-<，故方程2()0f x kx -=在()0,+∞上仅有一根，因此2()0f x kx -=在(),0-∞上有两实数根，即201xkx x --=+在(),0-∞上有两实数根，等价于210kx kx ++=有两个不等的负实根， 令240k k ->，又0k >，故4k >，此时由韦达定理知210kx kx ++=有两个不等负根，且均不等于1-． 综上可知k 的取值范围是()4,+∞．22.解：（1）当01x <≤时，ln 0x ≤，故()|ln |ln f x x x ==-； 当1x >时，ln 0x >，()|ln |ln f x x x ==．于是()|ln |f x x =在(]0,1上单调递减，在[)1,+∞上单调递增， 而12()()f x f x =，且12x x ≠，故1x ，2x 分属两个不同的单调区间， 不妨设()10,1x ∈，则2(1,)x ∈+∞，因此()()12110x x --<，由12()()f x f x =知：12ln ln x x -=，即12ln ln 0x x +=， 于是12ln()0x x =，因此121x x =．（2）不妨设()10,1x ∈，则由（1）知：211()()ln f x f x x ==-，211x x =， 于是12121111()()2ln x x f x f x x x x +++=+-， 令()1()2ln 01g t t t t t =+-<<，设1201t t <<<， 则1212121211()()()()2(ln ln )g t g t t t t t t t -=-+---1121221()(1)2ln t t t t t t =---， 因为1201t t <<<，所以120t t -<，12110t t -<，1201t t <<， 于是12121()(1)0t t t t -->，12ln 0t t <， 从而1121221()(1)2ln 0t t t t t t --->， 因此()2ln g t t t t 1=+-在()0,1上单调递减，所以()(1)2g t g >=，即1212()()2x x f x f x +++>，因此M 的最大值为2．。
2015-2016学年湖南师范大学附属中学高二下学期期中考试数学(理)试题(word)
2015-2016学年湖南师范大学附属中学高二下学期期中考试数学（理）试题（word ）第Ⅰ卷（学业水平摸底考试，满分100分）一、选择题（本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的）.1.已知全集{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,5,2,5U A B ===，则()U A C B 等于（ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3D ．{}1,32.下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是（ ） A ．圆柱 B ．圆锥 C ．球 D ．三棱锥3.函数()122xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点所在的一个区间是（ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,3 4.化简()2sin cos αα+=（ ）A ．1sin 2α+B ．1sin α-C ．1sin 2α-D ．1sin α+ 5.向量()()1,2,2,1a b =-=，则（ ）A ．//a bB ．a b ⊥C ．a 与b 的夹角为60°D ．a 与b 的夹角为30°7.下列坐标对应的点中，落在不等式10x y +-<表示的平面区域内是（ ） A ．()0,0 B ．()2,4 C ．()1,4- D ．()1,88.在ABC ∆中，已知0120,1,2A b c ===，则a 等于（ ）A B D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）9.比较大小：2log 5_____2log 3（填“>”或“<”）．10.某校有高级教师20人，中级教师30人，其他教师若干人，为了了解该校教师的工资收入情况，拟按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20人进行调查．已知从其他教师中共抽取了10人，则该校共有教师________人.11.某程序框图如图所示，若输入的,,a b c 值分别为3，4，5，则输出的y 值为________.12.若1a >，则11a a +-的最小值是________． 三、解答题 （本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）13.(本小题满分6分) 已知4sin ,052παα=<<，求cos α和sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 14.（本小题满分8分）已知在等差数列{}n a 中，131,3a a =-=． （1）求n a ；（2）令2n an b =，判断数列{}n b 是等差数列还是等比数列，并说明理由．15.（本小题满分8分）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中．（1）求证：AC ⊥平面11B BDD ； （2）求三棱锥1B ACB -的体积． 16.（本小题满分8分）已知圆C 经过()3,2A 和()1,6B 两点，且圆心在直线2y x =上． （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 经过点()1,3P -且与圆C 相切，求直线l 的方程． 17.（本小题满分10分） 已知函数()()2log 1f x x =+．（1）将函数()f x 的图像上的所有点向右平行移动1个单位得到函数()g x 的图像，写出函数()g x 的表达式；（2）若关于x 的函数()()223y g x mg x =-+在[]1,4上的最小值为2，求m 的值．第Ⅱ卷（共５0分）一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，在每个小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的.）18.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点(，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为（ ）A ．2212128x y -=B ．2212821x y -=C ．22134x y -= D. 22143x y -=19.甲、乙、丙、丁、戌5人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为（ ） A ．72种 B ．36种 C ．54种 D.24种 20.已知集合()(){},|M x y y f x == ，若对于任意()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合： ①()1,|M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭；②(){},|sin 1M x y y x ==+；③(){}2,|log M x y y x ==；④(){},|2x M x y y e ==-，其中是“垂直对点集”的序号是（ ）A ．②④B ．②③C ．①④ D.①②二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 21.若“0,,tan 3x x m π⎡⎤∀∈<⎢⎥⎣⎦”是假命题，则实数m 的最大值为________． 22．已知椭圆22:194x y C +=，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为,A B ，线段MN 的中点在C 上，则AN BN +=_________．三、解答题（本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）23. （本小题满分12分）现有长分别为123m m m 、、的钢管各3根（每根钢管质地均匀、粗细相同附有不同的编号），从中随机抽取2根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．若X 表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计） ． （1）求X 的分布列；（2）若()21,1Y X E Y λλ=-++>，求实数λ的取值范围．24. （本小题满分13分） 已知函数()()()1ln 10x f x x x++=>．（1）函数()f x 在区间()0,+∞上是增函数还是减函数？证明你的结论； （2）若当0x >时，()1kf x x >+恒成立，求正整数k 的最大值； （3）求证：()()()223*1!1n n n e n N -+>+∈⎡⎤⎣⎦．参考答案 第Ⅰ卷一、选择题 1.D 2. C3. D 【解析】()()2311112332102248f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-<⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 4．A 5．B 6．A 7．A 8．C 二、填空题9. > 10.100 11. 4 12. 3 三、解答题14．【解析】（1）设数列{}n a 的公差是d ，则31231a a d -==-， 故()12123n a n n =-+-=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）由（1）可得2322na n nb -==，所以()21321232242n n n n b b +-+-===是一常数，故数列{}n b 是等比数列．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 15.【解析】（1）∵1DD ⊥面ABCD ，∴1AC DD ⊥． 又∵BD AC ⊥且1,DD BD 是平面11B BDD 内的两条相交直线， ∴AC ⊥平面11B BDD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）111111113326B ACB B ABC ABC V V S BB AB BC BB --∆===⨯⨯⨯=． 16．【解析】（1）依题意知线段AB 的中点M 坐标是()2,4，直线AB 的斜率为62213-=--， 故线段AB 的中垂线方程是()1422y x -=-即260x y -+=， 解方程组2602x y y x -+=⎧⎨=⎩得24x y =⎧⎨=⎩，即圆心C 的坐标为()2,4，圆C 的半径r AC ==，故圆C 的方程是()()22245x y -+-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）若直线l 斜率不存在，则直线l 方程是1x =-，与圆C 相离，不合题意；若直线l 斜率存在，可设直线l 方程是()31y kx -=+，即30kx y k -++=，因为直线l 与圆C 相切，解得2k =或12k =-． 所以直线l 的方程是250x y -+=或250x y +-=．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 17．【解析】（1）()()2log 0g x x x =>；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 （2）()()()222223log 2log 3y gx mg x x m x =-+=-+令[]()2log 0,2t x t =∈得()222233y t mt t m m =-+=-+-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ① 若0m <，则223y t mt =-+在[]0,2t ∈上递增，∴当0t =时，min 32y =≠，无解； ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ② 若02m ≤≤，则当t m =时，2min 32y m =-=，解得1,1m =-（舍去）， ∴1m =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分③ 若2m >，则223y t mt =-+在[]0,2t ∈上递减，∴当2t =时，min 742y m =-=，解得524m =<，不符合条件，舍去； 综上可得1m =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分第II 卷一、选择题 18. D 19.B 20．A 二、填空题22．12 三、解答题23．【解析】（1）X 可能的取值为2，3，4，5，6．()()2113332299112;3124C C C P X P X C C ======；()()21111333332299114;534C C C C C P X P X C C +======； ()23291612C P X C ===．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ∴X 的分布列为：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 （2）()111112345641243412E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∵21Y X λλ=-++，∴()()22141E Y E X λλλλ=-++=-++，∵()1E Y >，∴214104λλλ-++⇒<<． ∴实数λ的取值范围是10,4⎛⎫⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 24.【解析】（1）函数()f x 在区间()0,+∞上是减函数，因为()()()()()221ln 111ln 1101xx x x x f x x x x -++⎡⎤⎣⎦++++'==-<+，所以函数()f x 在区间()0,+∞上是减函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2）当0x >时，()()()11ln 11x x k f x k x x+++⎡⎤⎣⎦>⇔>+设函数()()()11ln 1x x g x x+++⎡⎤⎣⎦=，则()()21ln 1x x g x x--+'=， 设()()1ln 1h x x x =--+，则()11011x h x x x '=-=>++， ∴()h x 在区间()0,+∞上是增函数 又()()21ln 30,32ln 40h h =-<=->所以存在()02,3x ∈，使得()00h x =即()001ln 1x x -=+， 从而当()00,x x ∈时，()0g x '<，当()0x x ∈+∞时，()0g x '>， ∴()()()()0min 11ln 1x x g x g x k x+++⎡⎤⎣⎦==>恒成立的最大正整数3k =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（3）由（2）知：当0x >时，()31f x x >+恒成立，即()1ln 131x x x ++>+， 从而()33ln 11211x x x x +>-=-++， 令()11x n n =+-得()()311ln 122311n n n n n n ⎛⎫+>-=--⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭∴()()111ln 12231,ln 2323223⎛⎫⎛⎫⨯>--⨯>-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1111ln 3423,,ln 123341n n n n ⎛⎫⎛⎫⨯>--+>--⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦+⎝⎭⎝⎭， 将这n 个不等式相加得：()22213ln 1231231232311n n n n n n n ⎛⎫⎡⎤⨯⨯⨯⨯⨯+>---=-+>- ⎪⎣⎦++⎝⎭， ∴()222231231n n n e -⨯⨯⨯⨯⨯+>，∴()()()223*1!1n n n en N -+>+∈⎡⎤⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分。
湖南省师大附中―度高二数学上学期期中考试 文【会员独享】
湖南师大附中2011—2012学年度高二上学期期中考试（数学文）（时量 120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．椭圆x y 22+=14的离心率是(A)A.2 B. 42 C. 34 D. 12【解析】A2. 给出下列四个命题：其中真命题的是（C ）A. 命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”；B. 命题“2,10x R x x ∃∈+-<”的否定是“2,10x R x x ∀∈+->”；C.命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；D. “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件.【解析】 A 为假命题，“若21x =，则1x =”的否命题应为“若21x ≠，则1x ≠”； B 为假命题，“2,10x R x x ∃∈+-<”的否定应为“2,10x R x x ∀∈+-≥”；C 正确； D 为假命题，“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件.选C. 3. 把67化为二进制数为 （ D )A. 110000B. 1011110C. 1100001D. 10000114已知：命题:p x R ∃∈，使sin x =:q x R ∀∈，都有210x x ++>，给出下列结论：①命题“p q ∧”是真命题，②命题“p q ⌝∨⌝”是假命题，③命题“p q ⌝∨”是真命题，④命题“p q ∧⌝”是假命题.其中正确的个数是（B ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【解析】命题p 是假命题，命题q 是真命题，故③④正确，选B. 5．某产品的成本费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程a x b y ˆˆˆ+=中的b ˆ为9.4，据此模型预报成本费用为6万元时销售额为（ C ）A. 72.0万元B. 67. 7万元C.65.5万元D.63.6万元【解析】由表可计算2745324=+++=x ,42454392649=+++=y ,因为点)42,27(在回归直线a x b yˆˆˆ+=上,且b ˆ为9.4，所以42 =9.4×a ˆ27+, 解得a ˆ= 9.1,故回归方程为1.94.9ˆ+=x y, 令x =6得=y ˆ65.5,选C. 6．已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线2211312x y -=的右焦点，则此抛物线的方程是（D ） A. 22y x = B. 24y x = C ．210y x = D. 220y x =【解析】设抛物线方程为22(0)y px p =>，因为双曲线2211312x y -=的右焦点是(5,0)，则52p=，即10p =，所以抛物线方程为220y x =，选D. 7．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为(B)A ．2B ．6C ．3D ．8【解析】由题意，F （-1，0），设点P 00(,)x y ，则有2200143x y +=,解得22003(1)4x y =-， 因为00(1,)FP x y =+，00(,)OP x y =，所以2000(1)OP FP x x y ⋅=++=00(1)OP FP x x ⋅=++203(1)4x -=20034x x ++，，因为022x -≤≤，所以当02x =时，OP FP ⋅取得最大值222364++=，选B8．已知抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线y x m =+对称，且2121-=⋅x x ，则m 等于（ A ）A ．23B ．2C ．25D ．3【解析】22212121212111,2(),2AB y y k y y x x x x x x -==--=-+=--而得，且212122x x y y ++(,)在直线y x m =+上，即21212121,222y y x x m y y x x m ++=++=++ 即222212121212132()2,2[()2]2,23,2x x x x m x x x x x x m m m +=+++-=++==选A 二、填空题(本题共7小题，每小题5分，共35分)9．在边长为2的正方形内随机地取一点，则该点到正方形中心的距离小于1的概率为4π. 【解析】边长为2的正方形内，所有到正方形中心的距离小于1的点均在以正方形中心为圆心的单位圆内，故所求概率为该圆与该正方形的面积之比，故其概率为4π. 10. 双曲线22464y x -=上一点P 到它的一个焦点的距离等于1，则P 到它的另个焦点的距离等于为 17 . 【解析】1711. 下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 .【解析】10 列表分析12. 已知定圆221:(2)49C x y ++=，定圆222:(2)1C x y -+=，动圆M 与圆1C 内切且和圆2C 外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为 ______【解析】2211612x x += 13．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为 ______【解析】()2,214．曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数2(1)a a >的点的轨迹，给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则12F PF ∆的面积不大于212a . 其中，所有正确结论的序号是____②__③_____【解析】2(,),x y a 设曲线上任意点P 曲线C 如果经过原点，1a =，与条件不符①错；若(x,y)在曲线上则(-x.-y)也在曲线上,故曲线C 关于原点对称 ②对;三角形12F F P 的面积12S =12||||PF PF 121sin 2F PF ∠≤12||||PF PF 22a =,则③对.15. 若双曲线C 1：)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线与抛物线C 2：22(0)y px p =>的一个交点在x 轴上的射影在抛物线C 2的焦点的右侧，则双曲线C 1的离心率的取值范围是 .【解析】取双曲线C 1的一条渐近线方程y =x ab与抛物线C 2的方程y 2 = 2px 联立，求得两交点的横坐标分别为0，222b pa ，依题意有222bpa >2p ，故b 2<4a 2，所以e <5，故其离心率的取值范围是(1, 5).三、解答题（本大题共6个小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分） 已知0>a ,设命题p ：函数x a y =在x R ∈上单调递减，q ：设函数⎩⎨⎧<≥-=)2(,2)2(,22a x a a x a x y , 函数1>y 恒成立,若p ∧q 为假, p ∨q 为真,求a 的取值范围.【解析】若p 是真命题, 则10<<a ……………（2分） 若q 是真命题,即1min >y ，又a y 2min = ∴21a > ∴q 为真命题时12a >； ……………（4分） 又∵p ∨q 为真,p ∧q 为假,∴p 与q 一真一假． ……………（6分）若p 真q 假, 则210≤<a ; ……………（8分） 若p 假q 真, 则1≥a ……………（10分） 故a 的取值范围为10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦或[)1,+∞ ……………（12分）17．（本小题满分12分）已知动圆M 过定点F(2,0)，且与直线2x =-相切，动圆圆心M 的轨迹为曲线C (1)求曲线C 的方程(2)若过F(2,0)且斜率为1的直线与曲线C 相交于A,B 两点，求AB 【解析】(1)依题意知动圆圆心M 的轨迹为以F(2,0)为焦点的抛物线，其方程为28y x =……（6分） (2) 依题意直线AB 的方程为y=x-2, ……………（8分） 代入方程y 2=8x 得x 2-12x+4=0,得1212x x += …………（10分）故AB =12416x x ++= …………（12分） 18．（本小题满分12分）对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（1）求出表中,M p 及图中a 的值；（2）若该校高二学生有240人，试估计该校高二学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率.【解析】（1）由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，100.25M=， 所以40M =. 因为频数之和为40，所以1024240m +++=，4m =.40.1040m p M ===. 因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以240.12405a ==⨯. ………（4分） （2）因为该校高二学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高二学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人. ……（8分） （3）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有26m +=人，设在区间[20,25)内的人为{}1234,,,a a a a ，在区间[25,30)内的人为{}12,b b . 则任选2人共有1213141112232421(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a b a b a a a a a b2234(,),(,)a b a a ，3132414212(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b b b 15种情况，而两人都在[25,30)内只能是()12,b b 一种， 所以所求概率为11411515P =-=. ……（12分） 19．（本小题满分12分）设P 为椭圆2212516x y +=上任意一点，12,F F 为左、右焦点. (1)若01260F PF ∠=，求 12PFPF ⋅； (2)椭圆上是否存在点P ，使120PF PF ⋅=若存在，求出P 点的坐标，若不存在，试说明理由.【解析】(1)解：∵ |PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝100－2|PF 1|·|PF 2|， ……………..（2分） 在△PF 1F 2中，cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|， ……………..（4分）∴|PF 1|·|PF 2|＝100－2|PF 1|·|PF 2|－36，∴|PF 1|·|PF 2|＝643. ………..（6分）(2)设点P (x 0，y 0)，则x 2025＋y 2016＝1.①易知F 1（-3，0），F 2（3，0），故PF 1＝(－3－x 0，－y 0)，PF 2＝(－3－x 0，－y 0)，∵PF 1·PF 2=0，∴x 20－9＋y 20＝0，②由①②组成方程组，此方程组无解，故这样的点P 不存在．…………..（12分） 注：（2）使用定义法结合勾股定理也可说明 20．（本小题满分13分） 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km 的A 、B 两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A 、B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（如图）。
数学-高二-湖南省师范大学附中高二上期中考试数学(理)试题
湖南师大附中2016－2017学年度高二第一学期期中考试理科数学试题－(这是边文，请据需要手工删加)题 答 要 不 内 线 封 密号位座____________ 号场考____________ 号 学____________ 名 姓____________级 班____________ 级 年(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2016－2017学年度高二第一学期期中考试理科数学命题人：黄祖军 周正安 (必修1～5，选修2－1第1、2章)时量：120分钟 满分：100 分(必考试卷Ⅰ)，50分(必考试卷Ⅱ)得分：____________必考试卷Ⅰ(满分100分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某学校为了了解高二年级学生对教师教学的意见，打算从高二年级883名学生中抽取80名进行座谈，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从883人中剔除3人，剩下880人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率是A .111B .80883C .112D . 无法确定 2．下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩(成绩为整数，满分为100)，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为A .25B .110C .910D .153．已知向量α＝(1，－3)，β＝(4，－2)，若实数λ使得λα＋β与α垂直，则λ＝ A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．24. 平面内，F 1，F 2是两个定点，“动点M 满足|MF 1→|＋|MF 2→|为常数”是“M 的轨迹是椭圆”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5. 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值为A. 2B. 3 C ．2 D ．3 6. 下列命题中正确的有 ①命题x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝3的否定是“对x ∈R ，恒有sin x ＋cos x ≠3”；② “a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的充要条件；③若曲线C 上的所有点的坐标都满足方程f (x ，y )＝0，则称方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程；④十进制数66化为二进制数是1 000 010(2)． A ．①②③④ B ．①④ C ．②③ D ．③④7. 设a 、b 、c 表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立．．．．．．的是 A ．已知c ⊥α，若c ⊥β，则α∥β B ．已知b β，c 是a 在β内的射影，若b ⊥c ，则b ⊥a C ．已知b β，若b ⊥α，则β⊥α D ．已知b α，cα，若c ∥α，则b ∥c8. 双曲线x 2－y 23＝1位于第一象限内的点P 到该双曲线的右焦点的距离为2，则由双曲线的两焦点及点P 构成的三角形面积S ＝A.15 B ．4 C ．2 3 D ．59．程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是 A ．－24 029B ．－24 030C ．－24 031D. －24 03310．已知x ，y ∈，任取x 、y ，则使得(x 2＋y 2－4)x －y ≤0的概率是 A.π2 B.π4 C.π6 D.π8答题卡二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．11．双曲线x 2a 2－y 29＝1的离心率e ＝54，其两条渐近线方程是________．12．一个多面体内接于一个旋转体，其正视图、左视图及俯视图都是一个圆的正中央含一个正方形，如图，若正方形的边长是1，则该旋转体的表面积是________．13．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的任意一点P 到右焦点F 的距离||PF 均满足||PF 2－2a ||PF ＋c 2≤0，则该椭圆的离心率e 的取值范围为________．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14．(本小题满分11分)从一批土鸡蛋中，随机抽取n 个得到一个样本，其重量(单位：克)的频数分布表如下： 分组(重量) hslx3y3h80，85) hslx3y3h85，90) hslx3y3h90，95)频数(个)1050m15 已知从n 个土鸡蛋中随机抽取一个，抽到重量在[)90，95的土鸡蛋的概率为419.(1)求出n ，m 的值及该样本的众数的近似值；(2)用分层抽样的方法从重量在[)80，85和[]95，100的土鸡蛋中共抽取5个，再从这5个土鸡蛋中任取2个，其重量分别是g 1 、g 2，求|g 1－g 2|>10的概率．已知命题p ：方程x 2m －2＋y 2m －5＝1表示双曲线，命题q ：x ∈(0，＋∞)，x 2－mx ＋4≥0恒成立，若p ∨q 是真命题，且綈(p ∧q )也是真命题，求m 的取值范围．已知焦点在x正半轴上，顶点为坐标系原点的抛物线过点A(1，－2)．(1)求抛物线的标准方程；(2)过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于两点M、N，且△MNO(O为原点)的面积为22，求直线l的方程．必考试卷Ⅱ(满分50分)一、选择题：本大题共2个小题，每小题5分，满分10分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．点P 在以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上运动，点Q 在直线x －y ＋5＝0上运动，则||PF ＋||PQ 的最小值为( )A ．4B ．2 3C ．3 2D ．62．f (x )是定义在R 的以3为周期的奇函数，且f (2)＝0，则函数f (x )在区间内的零点个数的最小值是( )A ．4 B. 5 C. 7 D ．9二、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．3．已知实数x ，y 使得x 2＋4y 2－2x ＋8y ＋1＝0，则x ＋2y 的最小值等于________． 三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 4．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C . (1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．已知等差数列{}a n 满足：a 2＝3，a 5－2a 3＋1＝0. (1)求{}a n 的通项公式；(2)若数列{}b n 满足：b n ＝(－1)n a n ＋n (n ∈N *)，求{}b n 的前n 项和S n .如图，已知焦点在x 轴上的椭圆x 28＋y 2b 2＝1(b >0)有一个内含圆x 2＋y 2＝83，该圆的垂直于x 轴的切线(左侧)交椭圆于点M ，N ，且OM →⊥ON →(O 为原点)．(1)求b 的值；(2)设内含圆的任意切线l 交椭圆于点A 、B ，求证：OA →⊥OB →，并求|AB →|的取值范围．湖南师大附中2016－2017学年度高二第一学期期中考试理科数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2016－2017学年度高二第一学期期中考试理科数学参考答案 必考试卷Ⅰ一、选择题．题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案BDABCBCACD1.B2．D 【解析】记其中被污损的数字为x .依题意得甲的5 次综合测评的平均成绩为90，乙的5 次综合测评的平均成绩为15(442＋x )，令15(442＋x )≥90，由此解得x ≥8，即x 的可能取值为8和9，由此乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为210＝15，选D.3．A 【解析】λα＋β＝(λ＋4，－3λ－2)，代入(λα＋β)·α＝0，解得λ＝－1. 4．B5．C 【解析】f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin x ＋3cos x ，知其最大值为2.6．B 7．C8．A 【解析】由双曲线定义知，三角形三边分别为4，4，2，其面积值为S ＝15. 9．C 【解析】据程序框图， 可看做是： 已知a 1＝21－2＝－2，a n ＋1＝a n1－a n，求a 2 016，由已知有1a n ＋1＝1a n －1，求出通项a n ＝－22n －1(或由前几项归纳)，故a 2 016＝－24 031.10．D 【解析】(x 2＋y 2－4)x －y ≤0等价于满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x 2＋y 2－4≤0，即如图中的的阴影部分，故所求概率为阴影部分占正方形的面积比． 二、填空题．11．y ＝±34x 12．3π 【解析】原几何体是一个棱长为1的正方体内接于一个球，则球的直径是3，故球的表面积是4π⎝⎛⎭⎫322＝3π. 13.⎝⎛⎦⎤0，22 【解析】||PF →2－2a ||PF →＋c 2≤0||PF →2－2a ||PF →＋a 2－b 2≤0即a －b ≤||PF →≤a ＋b ，而椭圆中，a －c ≤||PF →≤a ＋c ，故⎩⎪⎨⎪⎧a －c ≥a －b a ＋c ≤a ＋b c ≤b c 2≤a 2－c 2e ∈⎝⎛⎦⎤0，22. 三、解答题．14．【解析】(1)依题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧m n ＝419n ＝10＋50＋15＋m，从而得m ＝20，n ＝95.(4分) 据表知该样本的众数的近似值是87.5.(5分)(2)若采用分层抽样的方法从重量在95 , 10080 , 85)的个数为1010＋15×5＝2；记为x ，y ，(6分)在的个数为1510＋15×5＝3；记为a ，b ，c ，(7分) 从抽出的5个土鸡蛋中，任取2个共有(x , a )，(x , b )，(x , c )，(a , b )，(a , c )，(b , c ) ，(y , a )，(y , b )，(y , c )，(x , y ) 10种情况．(9分)要|g 1－g 2|>10，则必须是“重量在95 , 100∪(4，5). (12分)16．【解析】(1)令抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)．将点A (1，－2)的坐标代入方程，得p ＝2，故所求抛物线的标准方程为y 2＝4x .(3分)(2)若直线l ⊥x 轴，则M (1，2)，N (1，－2)，此时△MNO 的面积为2，不合题设；(4分)若直线l 与x 轴不垂直，令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，l ：y ＝k (x －1) (k ≠0)，将其代入抛物线方程y 2＝4x ，并整理得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2（k 2＋2）k 2x 1x 2＝1.(7分) 于是，||MN ＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝4（1＋k 2）k 2， (或|MN |＝x 1＋x 2＋p ＝2（k 2＋2）k 2＋2＝4（1＋k 2）k 2) 又原点到直线l 的距离为d ＝||k 1＋k 2，(9分)则22＝12||MN ·d ＝12·4（1＋k 2）k 2·||k 1＋k 2，解得，k ＝－1或1.综上，所求直线l 的方程为y ＝－x ＋1或y ＝x －1.(12分)(或设直线方程是x ＝my ＋1解之)必考试卷Ⅱ一、选择题．1．C 【解析】||PF ＋||PQ 的最小值为点F (1，0)到直线x －y ＋5＝0的距离d ＝3 2.2．D 【解析】f (2)＝0f (－2)＝0f (1)＝0f (－1)＝0， f (0)＝0f (3)＝0f (－3)＝0，f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫－32＋3＝f ⎝⎛⎭⎫32，又f ⎝⎛⎭⎫－32＝－f ⎝⎛⎭⎫32，则f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝0，故至少可得9个零点．二、填空题．3．－22－1 【解析】x 2＋4y 2－2x ＋8y ＋1＝0(x －1)2＋4(y ＋1)2＝4，令⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos θy ＋1＝sin θ，则x ＋2y ＝2cos θ＋2sin θ－1≥－22－1.三、解答题．4．【解析】(1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C .因为0<A <π，所以sin A >0sin C ＝cos C ， 又cos C ≠0tan C ＝1C ＝π4.(4分) (2)由(1)知B ＝3π4－A .于是3sin A －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6.(6分) 由0<A <3π4π6<A ＋π6<11π12，从而当A ＋π6＝π2， 即A ＝π3时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6取最大值2.(8分) 综上所述，3sin A －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12.(10分) 5．【解析】(1)令等差数列{}a n 的公差为d ，由a 2＝3，a 5－2a 3＋1＝0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3（a 1＋4d ）－2（a 1＋2d ）＋1＝0， 解得a 1＝1，d ＝2,故{}a n 的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(5分)(2)由已知得b n ＝(－1)n (2n －1)＋n ，(6分)若n 为偶数，结合a n －a n －1＝2，得S n ＝(－a 1＋a 2)＋(－a 3＋a 4)＋…＋(－a n －1＋a n )＋(1＋2＋…＋n )＝2·n 2＋n （n ＋1）2＝n 2＋3n 2；(9分) 若n 为奇数，则S n ＝S n －1＋b n ＝（n －1）2＋3（n －1）2－(2n －1)＋n ＝n 2－n 2.(12分) 6．【解析】(1)当MN ⊥x 轴时，MN 的方程是x ＝－83，设M ⎝⎛⎭⎫－83，y 1，N ⎝⎛⎭⎫－83，－y 1， 由OM →⊥ON →知△MON 是等腰直角三角形，∴|y 1|＝83，即点M ⎝⎛⎭⎫－83，83在椭圆上，代入椭圆方程得b ＝2.(3分) (2)当l ⊥x 轴时，由(1)知OA →⊥OB →，(4分)当l 不与x 轴垂直时，设l 的方程是：y ＝kx ＋m ，即kx －y ＋m ＝0， 则|m |1＋k 2＝833m 2＝8(1＋k 2)．(5分) ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋mx 28＋y 24＝1(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0, Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－8)＝323(4k 2＋1)>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2x 1x 2＝2m 2－81＋2k 2，(7分)x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝（1＋k 2）（2m 2－8）1＋2k 2－4k 2m 21＋2k2＋m 2＝3m 2－8（1＋k 2）1＋2k 2＝0，即OA →⊥OB →. 即椭圆的内含圆x 2＋y 2＝83的任意切线l 交椭圆于点A 、B 时总有OA →⊥OB →.(9分) 当l ⊥x 轴时，易知|AB |＝283＝463.(10分) 当l 不与x 轴垂直时，|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝（1＋k 2）·323（4k 2＋1）（1＋2k 2）2＝463（1＋k 2）·（4k 2＋1）（1＋2k 2）2， 设t ＝1＋2k 2∈，则|AB |＝4632t 2＋t －12t 2＝463－12⎝⎛⎭⎫1t －122＋98. 所以1t ＝12即k ＝±22时，|AB |取最大值23，1t ＝1即k ＝0时|AB |取最小值463，综上|A B |∈⎣⎡⎦⎤463，23.(13分)。
湖南师大附中高二第一学期期中考试理科数学试题及答案
湖南师大附中高二第一学期期中测试数学(理科)时量：120分钟总分值：150分一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.抛物线),=-12x x的准线方程是A. x = 3 B . JV = —3 C ・ y = 3 D ,-32.“双色球〞彩票中有33个红色球,每个球的编号分别为01, 02, 33. 一位彩民用随机数表法选取6个号作为6个红色球的编号,选取方法是从下面的随机数表中第1行第6列的数3开始,从左向右读数, 那么依次选出来的第?个红色球的编号为49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 6457 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76A. 23B. 02C. 09D. 173.对于函数/.)="三,以下结论正确的选项是A. /")是增函数,其值域是［0,y)B. /*)是增函数,其值域是.1)C. /*)是减函数,其值域是［0,+oc)D./*)是减函数,其值域是［0,1)4.如图,在三棱锥A-3C.中,E、F分别是棱A.、8C的中点,那么向量七尸与A月、说的关系是A. EF^-AB^-CDB. EF = -^AB + -CD2 2 2 2c —- 1 — 1 —- - ―- 1 -- 1 ―・c. EF= — AB— - CD D. EF =——AB - —CD2 2 2 25.命题p： 3xo>O, xo + </-l=0,假设〃为假命题,那么〞的取值范围是A. (-xj)B. (-00J]C. (l,+oo)D. (l,+oo)6.设条件〃：函数/.) = (2-4在/?上单调递增；条件/方程三十./=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆, a那么P是夕的什么条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分且必要D.既不充分也不必要7.假设正整数N除以正整数,〃后的余数为人那么记为N=r(modM,例如10=2(mod4).以下程序框图的算法源于我国古代算术?中国剩余定理?,那么执行该程序框图输出的,•等于A. 4B. 8C. 16D. 328.在区间［0,1］内随机取两个数/〃、/?,那么关于X的方程= 0有实数根的概率为A. JB. 5C. 7D. 1o / o 39.设函数/(x) = 2sin(5 + 9)3>0,0<e<g),的最小正周期为6〃,且当x = g时,取得将函数"X )的图象向左平移1•个单位得函数g(x)的图象,那么以下结论正确的选项是.双曲线?-35,,>.吠.)与椭圆»?=|有相同的焦点人所点P 为双曲线与椭圆的一 个交点,且满足IPQI=2IPAI ,那么双曲线的渐近线方程是v>0 11 .X ,y 满足约束条件归+ 3yW4, y>0A. 2B. 1C. -2D.-1 2 212 .过抛物线f = 4y 的焦点厂作倾斜角为锐角的直线/,与抛物线相交于A, B 两点,M 为线段A8的中点, .为坐标原点,那么直线0M 的斜率的取值范围是A,叵,+8 2二、填空题：本大题共4个小题,每题5分,共20分.13 .师大附中高二年级开展“我的未来不是梦''演讲比赛,七位评委为某参赛选手给出的分数(总分值：100分) 如下茎叶图所示,去掉一个最高分和一个最低分后,那么余下5个分数的方差是 茎 叶 14 .一个空间几何体的三视图如以下图所示,那么这个几何体的体积是 __________ .15 .函数 /(X ) = (〃J + 3)(X + 〃? + 1)(X + 〃?),g(x) = 2, -2 ,假设对任意 xwR ,有 /3) > 0或g(x) > 0成立,那么实数m 的取值范围是 ___ .16 .设点4L0), 4-1,0), A4为动点,直线AM 与直线8M 的斜率之积为定值 m(m 00),假设点M 的轨迹是离心率为2的双曲线(除去点A 、8),那么m 的值为.三、解做题：本大题共6个小题,共70分.解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤.17 .(本小题总分值10分)在锐角&4BC 中,角A 、在C 的对边长分别为.、b 、c, &43C 的面积为S,己知4s = / + /-吠 (I )求角B 的值：(II )设,〃 =(/-1)4 +港C,假设.=地,求小的取值范围.最大值. A. B. C. g")是奇函数, g(x)是奇函数, 身(X)是偶函D. &*)是偶函数, 且在［0.3刃内单调递增且在［0,3川内单调递减且在［0,3川内单调递增且在［0,3川内单调递减A. y = ±y[2xB. y = ±yj3xC. y = ±xD.假设z = or + y 的最大值为4,贝= D.[2,+x)18.〔本小题总分值12分〕某中学有初中学生1800人,高中学生1200人.为了解全校学生本学期开学以来的课外阅读时间,学校采用分层抽样方法,从中抽取了100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生〞和“高中学生〞,按学生的课外阅读时间〔单位：小时〕各分为5 [0,10〕, [10,20〕, [20,30〕, [30,40〕, [40,50],得其频率分布直方图如下图.〔I〕估计全校学生中课外阅读时间在[30, 40〕小时内的总人数约是多少：〔II〕从全校课外阅读时间缺乏10个小时的样本学生中随机抽取3人,求至少有2个初中生的概率.19.〔本小题总分值12分〕如图,在三棱柱A8C-A山1G中,如底面ABC, ACLBC, AC=BC=CCi, M. N分别是A 山、如G的中点.〔I〕求证：MN_L平而A山C：〔II〕求直线BG和平面45c所成角的大小.20.〔本小题总分值12分〕设数列他｝的各项均为正数,其前项和为s.,4s“=g-4Ll〔〃eM〕.〔I〕求数列｛4｝的通项公式；〔II〕假设对任意给定的正整数,力集合｛山4+,22,〃｝中的最小元素为〃? + 2,求实数,的取值范围. 21.(本小题总分值12分)如图,设椭圆中央在原点,焦点在X轴上,月、8为椭圆长轴的两个端点,尸为椭圆的右焦点.椭圆的离心率为手,且14〞.山Fl=2.(I)求椭圆的标准方程：(II)设M是椭圆上位于x轴上方的一个动点,直线AM, 8M分别与直线x= 3相交于点.,E,求I.臼的最小值.22.(本小题总分值12分)设函数/(x) = *+公+ 1("=0),对任意xeR,都有/(x)21-2v ,且/(x) = /(2-x)成立.令g(x) = f(x)一卜x —小其中z为常数.(I)当％=1时,求函数g(x)的所有零点；(II)当2>0时,求函数g(x)的最小值.数学(理科)参考答案一、选择题1. A【解析】由于抛物线开口向左,且2=6,那么准线方程为彳=?=3, 选A.2・B【解析】从数字35开始,从左向右读数,选出的6个红色球的编号依次为21,32,09,16,17,02,所以选出的第6个红包球的编号为02,选II3.D 【解析】由1一2工二0,得2工W1,即nW.,所以〃工)的定义城是(一8,01由于y=2"是增函数,那么/(£)= MF2r是减函数.又0V2“〈L那么0< 八工)〈1,选口.4.C 【解析】取AC的中点A4,连结EM.FM.由于E.F分别是AD.3C的中点,那么而色=4右5,所以前方=丽方一丽芽=得百由一-,选G5.D【解析】由于p为假命题,那么「q为真命题,即V%A0,a十a 1W0, 即工二1一心所以1—a£0,即0为1,选D.6.B【角翠析】/(1)= (2—./ 在R上单调递增=2—a>],即a<l.方程^+/ = 1的曲线是焦点在' 轴上的樵圆aO<aVL a所以0<=q,选B.7.C【解析】第一次执行循环体,得i = 2,N=13,此时13f2(mod 3). 第二次执行循环体,得i=4,N=17,此时17 = 2(mod 3),但17^1 (mod 5).第三次执行循环体,得£=8,N=25,此时25关2(mod 3).第四次执行循环体,得i=16,N=4L此时41 = 2(mod 3), 且41 = l(mod5),退出循环.所以揄出i的值为16,选C.8・A【解析】方程x2—+ 〃r=0有实数根0△〃—4加拉0.(22-4"120•如图.不等式组- OWmWl表示的平面区域与正10«方形【I：,"：/的面积之比即为所求的概率,1 1 1X T X11X1 9.D【解析】由于7=6S正方•形冗.那么§ = 即.=母,由于/(手)=2,那么sin(管+中)=1 又0V/＜戈■,那么夕=奇9所以/O) =2sin(专+号).由题设,g(z) =_/ (N H--y) =2sin 4-- j 」J 乙O —- 2sin (管+ -5- ) = 2cos等,那么g( n)为偶函数,当n G [0, 3冗_时9Q S 乙J o 「.,左[那么gGr)单调递减,选D.10.B【解析】据椭圆定义,|.居|十|.凡|=6,又|.尸】|=2|PF?| ,那么|PB|=4,|PFzl=2.据双曲线定义,2a = | PF A | — \PFz | =2,那么a = L 由椭圆方程知?=2, 从.而b'=*J^.所以双曲线的渐近线方程是、=土&丁选B.11.A【解析】作可行域,如图.据题意.当直线人y=—2经过△AOB区域时,,在、轴上的展大极距为4•那么点A(2,0)为最优解.由于力=27=0,之=4•那么2.= 4•即a = 2•选 A.12.C【解析】由于焦点£(0,1),设直线/的方程为y + 1(%>0),代入立？ = 4y.得JC2—44»r — 4 =0.设点A(g,3']),反％2 O'2),」“(式0,—),那么#1十12=4瓦由于“为线段A/3的中点,,那么颉==户=2且由于点M在直战/上,那么缈=屈小+1 = 2* + 1.所以&M=a = 2空尸=归+J出■ /=",当且仅当归=乌时X Q LR乙及V £K匕取等号,选C.二、填空题13.1. 6【解析】由于i=85»那么方差、= 3X(85-84)2 + (85—86»+ (85 — 87尸=& =1g, 5 514.8穴【解析】由三视图可知,该空间几何体是一个圆柱内4t去一个圆锥所得的组合体.其中砌柱和圆锥的底半径为2,高为3.所以V=V r aH-V LB^=KX22X3-4-X7tX22 X3 = 87r.O15.( -3,-2)【解析】由gQz>>0,得2*>2,即1,那么当处W1时.f(x) >0恒成立.所以(小+3彳0 ],即_3V“V_2.16.3【解析】设点MCr,"),那么二4 • 74 =小即y =7?/<^-1),^ 彳2一?=1(1#±1).由于点M的枕迹是离心率为2的双曲线9 那么7">0 •且4? = 1•9=777 .从而 / = 1 + ???.由y/1 -- m = 2 .得TH= 3.三、解做题17,【解析】〔I 〕由于S=J~acsin B^a2 +/ —g =2^ccos B,.. 〔2 分〕那么2acsin B=2accos印sin B= cos B,即tan B= 1.又OVBVn,所以3=冷・....................................... 〔4分〕5)由于6=々,6=于,那么卷=右=磊=2,得a=2sin A,c=2sin C,且A十.=争 ............................................... 〔6分〕所以l〕sin A+2/^sin C=2〔^/3 — l〕sin A+2x/^sin 〔竽-A〕=2〔73-1〕sin A+2屈〔gcos A十备in A〕=2 J3sin A+2cos A=4sin〔A4--^- 〕. ................. 〔8 分〕由于A IC都为锐角,那么0<A〈年,且0VC=乎一A,乙 4 匕所以于<A<+. ...................................... 〔9分〕从而需V-A十专,那么'^'〈sin〔 A+专〕W1,所以〃怎〔2、,缈,41 ............................... 〔10分〕18.【解析】〔I 〕由直方图可知,初中生中课外阅读时间在［30,40〕小时内的学生人数的频率为1一〔0.005><2寸0.03十0..4〕*10=0.2・那么学生人数为1 800X8 2 = 360. ............................. 〔2 分〕高中生中课外闾读时间在［30,40〕小时内的学生人数的频率为1—〔0.005X2+0. 025 + 0. 035〕X10 = 0. 3,那么学生人数为1 200X0.3 = 360. ......................................... 〔4 分〕估计全校学生中课外阅读时间在［30,40〕小时内的总人数约是720人.............................................. 〔5 分〕〔IT〕由于抽样比例为1所〞°1^c= >•那么初中生应抽取60人,鬲中 1 ovv I 1 乙57 JU生应抽取40人. ........................................... 〔6分〕所以在课外阅读时间缺乏10小时的样本学生中,初中生有0. 005X10 X 60 —3 人•记为,% ；高中生有..005X10X40 = 2人,记为⑦ &. ................. 〔8分〕从这5人中任取3人的所有可能结果为：｛々1,牝,的?, ｛为,生,仇h 4a、>.乙号> b\ > b工 > >4 a 迅 >"：» > b\ ｝,一〕 , ｛々2 ...................................... “& ｝,｛.3,bi ,由｝9共10 个. ................................. 〔10 分〕其中至少有2个初中生的结果有：｛ 4］,々2 , 43 ｝,｛,〃2 , % ?, ,.2,戾｝ , ｛a］, ｛.1,.3,戾｝,〈02,61 ｝ , ｛〃2 ,怒,62 ｝,共7 个............................................. 〔11 分〕所以至少有2个初中生的概率户=看. ....................... 02分〕19.【解析】解法一：〔I 〕由BCA_., G所以BC±平面ACC】Ai .连结AG ,那么BC±AC V. .............................. 〔2分〕便卜CY 由,侧面ACGA 是正方形,所以AC_LAG・............................ 〔3分〕/誉父\又3CaAC=C 所以AGJ_平面A12C.……............................ 〔4 分〕A B 由于侧面A及&A］是矩形是A"的中点'连结A3］,那么点M是AB1的中点.又点N是氏C】的中点,那么MN是△ABG 的中位线, 所以MN//AC,.故平面A】BC .................................... 〔6分〕〔n 〕由于AG _L平面Al BC•设AQ与A】C相交于点D, 连结HD•那么/GBQ为直或BG 和平而ABC所成角. ....................... 〔9分〕设AC=BC=CG=2,那么CiD=V2.BCy=2V2. ............. 〔10 分〕在RtABDCi 中,sin/G BD=第=4■,那么NC BD= 30°.所以直战BCi和平面ABC所成的角为30°. ............. 〔12分〕解法二：〔I〕据题意CA、C从CC；两两垂直,以C为原点CA、CB、CG所在直或分别为工轴、y轴、2轴,建立空间直角坐标系,如图. ................................... 〔1.......................... 分〕设AC=BC=CG=2•那么点B〔0,2,0〕,Bi〔0,2,2〕,A〔2,0,0〕,以0,0,0〕,G〔O,O,2〕,A】〔2,O,2〕. ........ 〔3 分〕由于M、N分别是A1、2G的中点,那么点............................... (4 分)所以H^ = (2,-2,23^T = (2,0,2),A^=( —1,0,1). (5 分) 于是市•财=0,市•区=0,那么lMN_LHA1,A4NJ_CA1. .......................................................... 〔6 分〕又8A】DCA】=A】,所以」“Nl_平面A」BC .............. 〔7分〕〔11〕由于MN,平面A】3C ,那么而N为平面A13C的法向量, 又由=〔0,—2,2〕, ..................................... 〔9分〕那么co S<BC. ^> = wnwn=-7^^=T,所以〈而,就〉=60二 ....... 〔11分〕故直线BG和平面ABC所成的角为30°. ................ 〔12分〕2〔〕.【解析】〔I 〕由于45=鬲十】一4〃一1,那么4S W】=出一痴十3〔〃二2〕, 两式相减,得44=〃-1 一好一4,即a〉］=〔% + 2尸. 〔3分〕由于〃二>0,那么.外十］=.例十2, 所以｛.力是公差为2的等差数列.......................................................... 〔4分〕又4sl =ag-5•那么4a1=〔.】+2〕2 — 5, 即ai = l.由于m >0,那么ai =1,所以a n = 2n—l......................... 〔6分〕〔11〕由心十£=2相,得2〃-1+£62〃八即〃二利十与三..... 〔8分〕据题意,区间［帆+宁,+8〕内的戢小正整,数为6+ 2,那么m4-l<小十三十2. ................................ 〔10分〕乙即1〈与N02•所以-3<1<一1・乙故实效,的取值范围是「一3, —1〕. ................... 〔12分〕21•【解析】〔I 〕设椭圆的长半轴长为"短半轴长为从半焦距为c.由于e=4,那么—=q,即a =V2c . 2 a 2所以〃2=2.2=2〔.2—〃〕,得/ = 2〃. .................〔2分〕由于 AF\ - 6/ 1=2,那么〔a+c 〕〔a —c 〕 = 2,即.2—.2=2,艮口62 = 2.................................................. 〔4 分〕 即 3=一壶〔2—2〕.我立比=3,得点E 〔3,一3〕. .......................匕A?所以I DE| =5九十点A 归•/=/时 当且仅当54=/>0,即仁号黑时取等号.所以IDE 的最小值为/而. .................................法二：由题设,点.A 〔 — 2,0〕,点6〔2,0〕,设点. 如° ,所以〔/.一2〕〔N 0+2〕 = — 2就,即「* ,M L _9 OC Q I 乙 27. 乙 所以 ^AVf • k^i — ・ .............设直战AM 的方程为v = Hz+2〕S>>0〕, 那么直•线BM的方程为?=—/〔了—2〕.分别联立1=3,得点D 〔3,5万〕,点E 〔3,一宣〕.所以；DE = 5九十克及2 N 5归•a =J10 .当且仅当5R=2 >0, 即时取等号.所以DE 的最小值为/TO. ...................................... 〔12分〕22 •【解析】〔I 〕由于了〔工〕工1-2工恒成立,那么2^ + 〔〃+2〕］为0恒成立,所以｛△=〔,> 十 2〕y o' 所以椭圆的标准方程是1 + ¥ = 1・ ....................〔11〕法一：由题设,点A 〔 —2,0〕,设直,线AM 的方程为y =屐8+2〕〔%>0〕.联立彳=3,得点.〔3,5九〕. ...............................将?="1+2〕代入苧+ 3； =1,得 〃 + 2川〔1+2〕2=4,即〔2公十 l 〕d + 842 工+ 8/—4=0. ..................设点M 〔^ ,〕9〕•那么Xo 和一2是方程的两根,〔5分〕 〔6分〕 〔7分〕 — 4 所以一2-一港干'即须 所以点A4〔 2公+1 '2为2+1 2 7公一2公十1'彼 2〃十 1〔9分〕 又点0〔2,0〕,那么直线的方程为 1—2^^-0 2-4kj_2/十1 2〃十1乙〔10 分〕 〔12 分〕 那么苧T=19即4+ 2赍=4. 1_2,〔8分〕 〔10 分〕即a>0,6=—2. ......................................... 〔1 ................................................... 分〕由于f〔x〕 =/<2-x〕,即八1 +彳〕=/〔1 一,那么函数/〔x〕的图象关于直线#=1对称.所以一g = l.即a=—4=1,所以 /〔幻=>—2N+1.〔3分〕,,［1 /、少ciii I — 3x4~21台大=1 时,g〔N〕=jr-2z十1一 |7一1| =｛君一4夕卫VJ由/一3了十2=0〔］三1〕,得力=1或％=2；由/ 一2=0〔力VI〕,得x=0.所以g〔力的所有零点为力=19&=2,%3 = 0. ......... 〔5分〕〔U 〕由于2>0,由Mr—1»,得AI * —〔4+2〕1+2,1二十所以g〔a〕=~ ....... . 〔6分〕［兴 + 〔4一2〕i,1〈了出42—4 1 _2A_A J -2_ A2 _ 2A_2_ 〔A-l〕2-r 1 .. r.由于三一1一^ 2^- 2X〈°'那么受〈：. ......................................... 〔7分〕①假设守,即1 .那么g〔i〕在〔一8,宁〕上单调递减.在〔怨,+8〕上单洞递增,所以g〔x〕min=g〔^y^〕 = 〔^y^〕2-|-〔A-2〕•4"=一〔与"〕: ........................................ 〔8 分〕②假设要,即A>V3-L那么在〔一8,罕〕和信,牛〕上单调递减.在〔宁,十〕和〔与/,十8〕上单调递增.当①V~1•时,g〔工〕min=g〔^J^〕 = _ 〕；留神1■时,gdg〔亨〕=〔等〕2 一〔八十2〕• 考十2=2一〔守〕1 ................................. 〔10 分〕由于2一〔"〕’ +〔*〕2 = 2—2入=2〔1—；0,那么当石一1<AW1时,2一〔牛〕??一〔受〕:所以g〔l〕min = 一〔二3〕；当A>1 时.2—〔号〕2<一〔号〕2,所以gCr〕的=2—〔牛〕1综合①②知,当OQ&1时,g〔公* = 一〔三〕’；留神>1时后〔I〕.=2_〔亨〕1 .................. 〔12分〕。
湖南省师大附中高二数学上学期期中考试试题 理 人教版
湖南师大附中高二年级理科数学考试满 分：100 分（必考试卷Ⅰ） 50分（必考试卷Ⅱ）必考试卷Ⅰ一、选择题:本大题共7个小题,每小题5分,满分35分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知命题，则命题为 ( ):P ,sin 1∀∈≤x R x P ⌝A ． B ． 00,sin 1x R x ∃∈≥,sin 1∀∈≥x R x C ． D ． 00,sin 1x R x ∃∈>,sin 1x R x ∀∈>2. 阅读下列程序：INPUT “n=” ;n i = 1f = 1WHILE f = f ﹡i i = i+1WEND PRINT f END如果程序运行后输出720,那么在程序中WHILE 后面的条件是 ( )A ．i >= 5B ．i<=5C ．i >= 6D ．i<=63．现有60瓶矿泉水，编号从1到60，若用系统抽样的方法从中抽取6瓶进行检验，则所抽取的编号可能为( )A ．3，13，23，33，43，53B ．2，14，26，38，40，52C ．5，8，31，36，48，54D ．5，10，15，20，25，304．已知M 为椭圆上一点，为椭圆的一个焦点，且为线段221259x y +=1F 1||2,MF N =的中点，则ON 的长为（ ）1MF A ．8 B. 4 C. 2 D.125．如右图所示的算法流程图中，输出的S 表达式为（ ）A1111 (2399)++++B ．112399++++ C ．1123100++++ D ．99.....321++++6．某小组有2名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，那么互斥而不对立的两个事件是 ( )A ．“至少有1名女生”与“都是女生”B ．“至少有1名女生”与“至多1名女生”C ．“至少有1名男生”与“都是女生”D ．“恰有1名女生”与“恰有2名女生”7．如图所示,直线AB 的方程为，向边长为2的正方形内随机地投飞6340x y --=镖，飞镖都能投入正方形内，且投到每个点的可能性相等，则飞镖落在阴影部分（三角形ABC 的内部）的概率是 （ ）A ．B ．1444114437C ． D ．1442514411二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.8．某校有学生4000人，其中高二学生1000人，为了了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校中抽取一个200人的样本，则样本中高二学生的人数为 ．6340x y --=9．抛掷两个骰子,则两个骰子点数之和不大于4的概率为 ． 10．在区间上随机取一个数，的值介于到之间的概率为 ． []1,1-x 2cosxπ02111．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 22143x y m m +=--y m ． 12．有下列命题：①双曲线与椭圆有相同的焦点；192522=-y x 13522=+y x ②是“2x 2－5x －3＜0”必要不充分条件；”“021<<-x ③“若xy =0，则x 、y 中至少有一个为0”的否命题是真命题.；④ ，．R x ∈∀0332≠+-x x 其中是真命题的有：_ ___．（把你认为正确命题的序号都填上）13.已知F 1、F 2是双曲线的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三)0,0(12222>>=-b a by a x 角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 . 三、解答题:本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.14．（本小题满分11分）袋中有大小、形状相同的白、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．（Ⅰ）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；（Ⅱ）若摸到白球时得1分，摸到黑球时得2分，求3次摸球所得总分大于4分的概率．15．（本小题满分12分）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为，且过点12,F F =±y x.(4,-（Ⅰ）求此双曲线的方程；（Ⅱ）在该双曲线上任取一点P ，过点P 作轴的垂线段PD ，D 为垂足，当P 在双曲线上x 运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？16．（本小题满分12分）给定两个命题,：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有P x 012>++ax ax Q x 02=+-a x x 实数根.如果∨为真命题，∧为假命题，求实数的取值范围．P Q P Q a 必考试卷Ⅱ一、选择题:本大题共1个小题,每小题5分,满分5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．高二（1）班某次数学考试的平均分为70分，标准差为，后来发现成绩记录有误，甲同学s 得80分却误记为60分，乙同学得70分却误记为90分，更正后计算得标准差为，则和1s s 之间的大小关系是（ ）．1s A. B. C. D. 与人数有关，无法判断s s >1s s <1s s =1二、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.2．双曲线，F 为右焦点，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂2222:1-=x y C a b线，若与双曲线的左、右两支分别相交于D 、E 两点，则双曲线C 的离心率的l l e 取值范围为 .三、解答题:本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.3.（本小题满分13分）某市4997名学生参加高中数学会考，得分均在60分以上，现从中随机抽取一个容量为500的样本，制成如图a 所示的频率分布直方图．（Ⅰ）由频率分布直方图可知本次会考的数学平均分为81分．请估计该市得分在区间的人数；]70,60[（Ⅱ）如图b 所示茎叶图是某班男女各4名学生的得分情况，现用简单随机抽样的方法，从这8名学生中，抽取男女生各一人，求女生得分不低于男生得分的概率．（第3题75 7145 0678女男（第3题 图b ）4.（本小题满分13分）已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长为离心率，过右焦点的直线O e F交椭圆于，两点．l P Q5. （本小题满分14分）已知椭圆的右顶点与上顶点分别为A 、B ，以A 为圆心，OA)0(122221>>=+b a bx a y C ：为半径的圆与以B 为圆心，OB 为半径的圆相交于点O 、P 。
湖南师范大学附属中学2015-2016学年高二上学期第二次阶段检测(理)数学试题
湖南师大附中2015-2016学年度高二第一学期第二次阶段性检测数学（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}02<-=x x x A ，{}0log 2≤=x x B ，则=B A （）A.(0,1)B. ]1,(-∞C.]1,0(D.)1,0[ 2.下列说法正确的是（）A.“若0=⋅，则⊥”的否命题是“若0≠⋅，则⊥”B.命题“对R x ∈∀，恒有012>+x ”的否定是“R x ∈∃0，使得0120≤+x ”C.R m ∈∃，使函数)()(2R x mx x x f ∈+=是奇函数D.设p ，q 是简单命题，若q p ∨是真命题，则q p ∧也是真命题 3.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（） A.52+ B.522+ C.34 D.324.“x>a ”是“x>-1”成立的充分不必要条件（） A.a 的值可以是21-B.a 的值可以是-1C.a 的值可以是-2D.a 的值可以是-3 5.函数1)4(cos )4(sin )(22--++=ππx x x f 是（） A.周期为π的偶函数 B.周期为2π的偶函数 C.周期为π的奇函数 D.周期为2π的奇函数6.已知等比数列{}n a 的前10项的积为32，则以下命题为真命题的是（） A.数列{}n a 的各项均为正数 B.数列{}n a 中必有小于2的项 C.数列{}n a 的公比必是正数D.数列{}n a 中的首项和公比中必有一个大于8.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为23，双曲线12222=-y x 的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（）A.12822=+y xB.161222=+y xC.141622=+y xD.152022=+y x 9.设等差数列{}n a 满足171053a a =，且01>a ，n S 为其前n 项和，则数列{}n S 的最大项是（） A.26S B.27S C.28S D.29S10.若对于任意的]0,1[-∈x ，关于x 的不等式0232≤++b ax x 恒成立，则122-+b a 的最小值为（） A.54 B.53 C.35 D.4511.在平面上，21AB AB ⊥1==，21AB AB AP +=32<的取值范围是（） A.]314,0( B.]2,314( C.]5,25( D.]7,27( 12.给出以下命题①若a>b>0，d<c<0，dbc a <；②如果21214q q p p ≥⋅，则关于x 的实系数二次方程0112=++q x p x ，0222=++q x p x 中至少有一个方程有实根；③若Z k k x ∈≠,π，则2sin 1sin ≥+x x ；④当]2,0(∈x 时，xx x f 1)(-=无最大值.其中真命题的序号是（）A.①②B.②③C.①②③D.①③④第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若数列{}n a 的前n 项和为3132+=n n a S ，则数列{}n a 的通项公式是=n a _______. 14.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥102211y x x y x ，向量),2(m x y a -=，)1,1(-=b ，且b a ∥，则m的最小值为_____.15.已知抛物线)0(22>=p px y 上一点M （1，m ）（m>0）到其焦点的距离为5，双曲线122=-y ax 的左顶点为A.若双曲线的一条渐近线与其直线AM 平行，则实数a 等于_____.16.已知f(x)是定义在上的奇函数，当]2,0(∈x 时，12)(-=x x f ，函数m x x x g +-=2)(2，如果对于任意]2,2[1-∈x ，存在]2,2[2-∈x ，使得)()(12x f x g =，则实数m 的取值范围是______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列. （1）若b=13，a=3，求c 的值； （2）设t=sinAsinC ，求t 的最大值. 18.（本小题满分10分）在如图所示的几何体中，AE ⊥平面ABC ，CD ∥AE ，F 是BE 的中点，AC=BC=1，∠ACB=90°，AE=2CD=2.（1）证明DF ⊥平面ABE ； （2）求二面角A-BD-E 的余弦值.19.（本小题满分12分） 已知点A ，B 的坐标分别是)0,21(-,)0,21(,直线AM ，BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的差是-1.（1）过点M 的轨迹C 的方程；（2）过原点作两条互相垂直的直线1l 、2l 分别交曲线C 于点A ，C 和B ，D ，求四边形ABCD 面积的最小值.20.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是递增的等比数列，满足41=a ，且345a 是2a 、4a 的等差中项，数列{}nb 满足11+=+n n b b ，其前n 项和为n S ，且442a S S =+.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）数列{}n a 的前n 项和为n T ，若不等式n b T n n n 37)4(log 2≥+-+λ对一切+∈N n 恒成立，求实数λ的取值范围. 21.（本小题满分13分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的离心率为23，其长轴长与短轴长的和等于6.（1）求椭圆E 的方程；（2）如图，设椭圆E 的上、下顶点分别为1A ，2A ，P 是椭圆上异于1A ，2A 的任意一点，直线1PA 、2PA 分别交x 轴于点N 、M ，若直线OT 与过点M 、N 的圆G 相切，切点为T.证明：线段OT 的长为定值.22.（本小题满分13分）已知函数f(x)，如果存在给定的实数对),(b a ，使得b x a f x a f =-⋅+)()(恒成立，则称f(x)为“Γ-函数”.（1）判断函数x x f =)(1，x x f 3)(2=是否是“Γ-函数”；（2）若x x f tan )(3=是一个“Γ-函数”，求出所有满足条件的有序实数对(a,b)；（3）若定义域为R 的函数f(x)是“Γ-函数”，且存在满足条件的有序实数对(0,1)和(1,4)，当]1,0[∈x 时，f(x)的值域为，求当]2016,2016[-∈x 时函数f(x)的值域.湖南师大附中2015-2016学年度高二第一学期第二次阶段性检测数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C2.B3.B4.A5.C6.C7.D8.D9.B 10.A 11.B 12.A 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.1)2(--=n n a 14.-6 15.91 【解析】由题意可知：抛物线)0(22>=p px y 的准线方程为x=-4，∴p=8，则点M(1,4)，双曲线122=-y a x 的左顶点为)0,(a A -，所以直线AM 的斜率为a+14，由题意可知：91114=⇒=+a aa .16.【解析】根据题意，m x x x g +-=2)(2在的值域⊇f(x)在的值域，而f(x)在的图象如图所示（粗线部分），即要满足：3)1(-≤g 且3)2(≥-g ，解得]2,5[--∈m .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.【解析】（1）由2B=A+C ，及π=++C B A ，得3π=B . (2)分又b=13，a=3，B ac c a b cos 2222-+=，所以0432=--c c . 所以c=4（c=-1舍去）. ............................5分（2）因为32π=+C A ， 所以)sin 21cos 23(sin )32sin(sin A A A A A t +=-=π )62sin(2141)22cos 1(212sin 43π-+=-+=A A A ， ...............8分 因为320π<<A ，所以67626πππ<-<-A.则相关各点的坐标分别是A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，D(0,0,1)，E(1,0,2)，)1,21,21(F 。
湖南省师大附中―度高二数学上学期期中考试 理【会员独享】
湖南师大附中2011—2012学年度高二上学期期中考试（数学理）（时量 120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．椭圆x y 22+4=4的离心率是(A)A.2 B. 42 C. 34 D. 12【解析】A2. 给出下列四个命题：其中真命题的是（C ）A. 命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”；B. 命题“2,10x R x x ∃∈+-<”的否定是“2,10x R x x ∀∈+->”；C.命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；D. “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件.【解析】 A 为假命题，“若21x =，则1x =”的否命题应为“若21x ≠，则1x ≠”； B 为假命题，“2,10x R x x ∃∈+-<”的否定应为“2,10x R x x ∀∈+-≥”；C 正确； D 为假命题，“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件.选C.3. 样本中共有五个个体，其值分别为,0,1,2,3a ，若该样本的平均值为1，则样本方差为（D ）65【解析】D4已知命题:p x R ∃∈，使sin 2x =命题:q x R ∀∈，都有210x x ++>，给出下列结论： ①命题“p q ∧”是真命题，②命题“p q ⌝∨⌝”是假命题，③命题“p q ⌝∨”是真命题，④命题“p q ∧⌝”是假命题.其中正确的个数是（B ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【解析】命题p 是假命题，命题q 是真命题，故③④正确，选B. 5．某产品的成本费用x 与销售额y 的统计数据如下表成本费用x （万元）2 3 4 5 销售额y （万元）26394954根据上表可得回归方程a x b y ˆˆˆ+=中的b ˆ为9.4，据此模型预报成本费用为6万元时销售额为（ C ）A. 72.0万元B. 67. 7万元C.65.5万元D.63.6万元【解析】由表可计算2745324=+++=x ,42454392649=+++=y ,因为点)42,27(在回归直线a x b yˆˆˆ+=上,且b ˆ为9.4，所以42 =9.4×a ˆ27+, 解得a ˆ= 9.1,故回归方程为1.94.9ˆ+=x y, 令x =6得=y ˆ65.5,选C. 6．已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线2211312x y -=的右焦点，则此抛物线的方程是（D ） A. 22y x = B. 24y x = C ．210y x = D. 220y x =【解析】设抛物线方程为22(0)y px p =>，因为双曲线2211312x y -=的右焦点是(5,0)，则52p=，即10p =，所以抛物线方程为220y x =，选D. 7．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为(B) A ．2B ．6C ．3D ．8【解析】由题意，F （-1，0），设点P 00(,)x y ，则有2200143x y +=,解得22003(1)4x y =-， 因为00(1,)FP x y =+，00(,)OP x y =，所以2000(1)OP FP x x y ⋅=++=00(1)OP FP x x ⋅=++203(1)4x -=20034x x ++，，因为022x -≤≤，所以当02x =时，OP FP ⋅取得最大值222364++=，选B8．已知抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线mx y +=对称，且2121-=⋅x x ，则m 等于（ A ）A ．23 B ．2 C ．25D ．3 【解析】22212121212111,2(),2AB y y k y y x x x x x x -==--=-+=--而得，且212122x x y y ++(,)在直线y x m =+上，即21212121,222y y x x m y y x x m ++=++=++ 222212121212132()2,2[()2]2,23,2x x x x m x x x x x x m m m +=+++-=++==选A 二、填空题(本题共7小题，每小题5分，共35分)9．在边长为2的正方形内随机地取一点，则该点到正方形中心的距离小于1的概率为4π. 【解析】边长为2的正方形内，所有到正方形中心的距离小于1的点均在以正方形中心为圆心的单位圆内，故所求概率为该圆与该正方形的面积之比，故其概率为4π. 10. 双曲线y 2-4x 2=64上一点P 到它的一个焦点的距离等于1，则P 到它的另个焦点的距离等于为 17 . 【解析】1711. 下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 .【解析】10 列表分析12. 已知定圆221:(2)49C x y ++=定圆222:(2)1C x y -+=动圆M 与圆1C 内切和2C 外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为 ______【解析】2211612x x += 13．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为 ______【解析】()2,214．曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数2(1)a a >的点的轨迹，给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则12F PF ∆的面积不大于212a . 其中，所有正确结论的序号是____②__③_____【解析】2(,),x y a 设曲线上任意点P 曲线C 如果经过原点，1a =，与条件不符①错；若(x,y)在曲线上则(-x.-y)也在曲线上,故曲线C 关于原点对称 ②对;三角形12F F P 的面积12S =12||||PF PF 121sin 2F PF ∠≤12||||PF PF =22a ③对.15. 若双曲线C 1：)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线与抛物线C 2：y 2= 2px (p >0)的一个交点在x 轴上的射影在抛物线C 2的焦点的右侧，则双曲线C 1的离心率的取值范围是 .【解析】取双曲线C 1的一条渐近线方程y =x ab与抛物线C 2的方程y 2 = 2px 联立，求得两交点的横坐标分别为0，222b pa ，依题意有222bpa >2p ，故b 2<4a 2，所以e <5，故其离心率的取值范围是(1, 5).三、解答题（本大题共6个小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分） 已知0>a ,设命题:p 函数x a y =在R 上单调递减，:q 设函数⎩⎨⎧<≥-=)2(,2)2(,22a x a a x a x y , 函数1>y 恒成立,若p ∧q 为假, p ∨q 为真,求a 的取值范围. 【解析】若p 是真命题, 则10<<a 若q 是真命题,即1min >y ，又a y 2min = ∴21a > ∴q 为真命题时12a >； 又∵p ∨q 为真,p ∧q 为假,∴p 与q 一真一假．若p 真q 假, 则210≤<a ; 若p 假q 真, 则1≥a故a 的取值范围为10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦或[)1,+∞17．（本小题满分12分）已知动圆M 过定点F(2,0)，且与直线2x =-相切，动圆圆心M 的轨迹为曲线C (1)求曲线C 的方程(2)若过F(2,0)且斜率为1的直线与曲线C 相交于A,B 两点，求AB 【解析】(1)依题意知动圆圆心M 的轨迹为以F(2,0)为焦点的抛物线，其方程为28y x = (2) 依题意直线AB 的方程为y=x-2,代入方程y 2=8x 得x 2-12x+4=0,得1212x x +=故AB =12416x x ++= 18．（本小题满分12分）对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（1）求出表中,M p 及图中a 的值；（2）若该校高二学生有240人，试估计该校高二学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率.【解析】（1）由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，100.25M=， 所以40M =. 因为频数之和为40，所以1024240m +++=，4m =.40.1040m p M ===. 因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以240.12405a ==⨯. （2）因为该校高二学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高二学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人. （3）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有26m +=人，设在区间[20,25)内的人为{}1234,,,a a a a ，在区间[25,30)内的人为{}12,b b . 则任选2人共有1213141112232421(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a b a b a a a a a b2234(,),(,)a b a a ，3132414212(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b b b 15种情况，而两人都在[25,30)内只能是()12,b b 一种， 所以所求概率为11411515P =-=. 19．（本小题满分12分）P 为椭圆2212516x y +=上任意一点，12,F F 为左、右焦点，如图所示． (1)若1PF 的中点为M ，求证:1152MO PF =-(2)若01260F PF =，求|PF 1|·|PF 2|之值；(3)椭圆上是否存在点P ，使PF 1→·PF 2→＝0，若存在， 求出P 点的坐标，若不存在，试说明理由【解析】(1)证明：在△F 1PF 2中，MO 为中位线，∴|MO |＝|PF 2|2＝2a －|PF 1|2＝a －|PF 1|2＝5－12|PF 1|.(2)解：∵ |PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝100－2|PF 1|·|PF 2|，在△PF 1F 2中，cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|，∴|PF 1|·|PF 2|＝100－2|PF 1|·|PF 2|－36，∴|PF 1|·|PF 2|＝643. (3)设点P (x 0，y 0)，则x 2025＋y 2016＝1.①易知F 1（-3，0），F 2（3，0），故PF 1＝(－3－x 0，－y 0)，P2(-5,9)PF 2＝(－3－x 0，－y 0)，∵PF 1·PF 2=0，∴x 20－9＋y 20＝0，②由①②组成方程组，此方程组无解，故这样的点P 不存在．20．（本小题满分13分） 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km 的A 、B 两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A 、B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（如图）。
湖南省湖南师范大学附属中学2015-2016学年高二下学期第一次阶段性测试数学(理)试题含答案
湖南师大附中2015-2016学年度高二第二学期第一次阶段性检测数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}2|32,430A X R X B x x =∈-<<=-+≥，则A B ⋂=（ ） A ．(]3,1- B ．(3,1)- C ．[)12， D ．(),2[3,)-∞⋃+∞ 2. 复数21i+等于（ ） A ．—2i B ．2i C ．1—i D ．1+i3. 已知命题p ：x R ∃∈，使sin x =；命题q ：x R ∀∈，都有210x x ++>.给出下列结论：①命题“p q ∧”是真命题 ②命题“p q ∧⌝”是假命题 ③命题“p q ⌝∨”是真命题 ④命题“p q ⌝∨⌝”是假命题， 其中正确的是（ ）A ．②④B ．②③C ．③④D ．①②③4. 经过点()2,3P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB 所在直线方程为（ ）A ．50x y --=B ．50x y -+=C ．5025x y ++==D ．50x y +-= 5. 一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：2cm ）为（ ）A ．80B ．60C ．40D ．206. 已知程序枢图如图所示，则该程序枢图的功能是（ ）A ．求数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和(*)n N ∈B ．求数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和(*)n N ∈ C ．求数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和(*)n N ∈D ．求数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和(*)n N ∈ 7. 设,,A B C 为圆O 上三点，且3,5AB AC ==，则AO BC ⋅=（ ） A ．-8 B ．-1 C ．1 D ．89. 从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是（ ） A ．36 B ．48 C ．52 D ．5410. 64(1(1+++的展开式中x 的系数是（ ）A ．-4B ．-3C ．3D ．411. 设抛物线22y x =的焦点F ，过点)M的直线与抛物线相交于,A B 两点，与抛物线的准线相交于C ，||2BF =，则△BCF 与△ACF 的面积之比BCFACFS S ∆∆=（ ） A ．45 B ．23 C ．47 D ．1212. 函数2()||f x x x a =+-，若1()2f 和1()2f -都不是()f x 的最小值，则a 的取值范围是（ ）A ．1(,]2-∞B ．11[,]22-C ．11(,)22-D ．1[,)2+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中对应题号的横线上． 13. 计算积分()121sin xx dx -+=⎰______________．14. 若实数,x y 满足不等式组10,10,0,x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则函数2z x y =+的最大值为____________．15. 某中学组建了A 、B 、C 、D 、E 五个不同的社团组织，为培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加，且只能参加一个社团.假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的，则甲、乙、丙三人中至少有两人参加同一社团的概率为_____________． 16.设△ABC 的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=，则tan()A B -的最大值为_________________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈(其中()0,0,22f x A ππωϕ=>>-<<)，其部分图像如图所示．（I ）求()f x 的解析式； (II)求函数()()()44g x f x f x ππ=+⋅-在区间[0,]2π上的最大值及相应的x 值．18. （本小题满分12分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116． （I ）求乙投球的命中率p ；（II ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列． 19. （本小题满分12分）如图，已知直三棱柱111ABC A B C -，90ACB ∠=︒，E 是棱1CC 上动点，F 是AB 中点，AC =BC =2，1AA =4．(1)当E 是棱1CC 中点时，求证：CF //平面1AEB ；(2)在棱1CC 上是否存在点E ，使得二面角1A EB B --的大小是45°，若存在，求CE 的长，若不存在，请说明理由.20. （本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足1(21)(21)n a n n =+-，n T 为数列{}n a 的前n 项和．（1） 求n T ；（2） 若对任意的*n N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，求实数λ的取值范围；（3） 探究是否存在正整数s ，t （1<s <t ）使得1T ，x T ，t T 成等比数列，求出所有s ，t 的值．21. （本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>l ：y kx m =+交椭圆于不同的两点A 、B ． （1）求椭圆的方程；（2）若坐标原点O 到直线l AOB 面积的最大值． 22. （本小题满分12分）已知函数()ln f x x ax =-（a 为常数）．（I ） 求函数()f x 的单调区间；（II ）若0a >，求不等式2()()0f x f x a-->的解集；（III ） 若存在两个不相等的整数12,x x 满足12()()f x f x =，求证：122x x a+>．参考答案一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.A 2.C 3.B 4.A 5.A 6.B7.D 【解析】取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，因为O 为三角形ABC 外接圆的圆心，则1()2AD AB AC =+，OD BC ⋅=.所以()AO BC AD DO BC ⋅=+⋅=1()2AB AC +·()AC AB -=221(||||)2AC AB -=8，选D. 8.A 【解析】 设五个人所分得面包为35312220525A a d -=-=，（其中0d >），则(2)()()(2)5100a d a d a a d a d a -+-+++++==，∴20a =；由1(2)27a a d a d a d a d ++++=-+-，得337(23)a d a d +=-；∴2411d a =，∴556d =；所以，最小的1份为110522063a d -=-=，故选A. 9.B 10.B 11.A 【解析】由题知2121BCF B ACF A S x BC S AC x ∆∆+==+，又13||222B B B BF x x y =+=⇒=⇒=.由A 、B 、M 三点共线有MA MB M A M B y y y y x x x x --=--，2=，故2A x =.∴2131421415BCF B ACF A S x S x ∆∆++===++，故选A.12.C 【解析】设22(),()g x x x a t x x x a =+-=-+①若12a ≥：当x a ≥时1()()()()()2f x g x g a t a t =≥=≥；当x a <时1()()()2f x t x t =≥，即最小值为1()2f ，不合题意；②12a ≤-：同理可得最小值为1()2f -，不合题意；③若1122a -<<，1()()2f f a >，1()()2f f a ->，所以a 取值范围是11(,)22-，故选C.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。