随机信号分析(简化)
随机信号分析
d f X ( x ; t ) FX ( x; t ) dx
23/116
fX(x; t)
x
t
24/116
2
1
25/116
离散型二维随机向量的概率特性
联合密度函数：
f XY ( x, y) pij ( x xi , y y j )
i j
联合分布函数 ：
18/116
t
③
（4）时间离散、取值连续 C.R.Seq.
例：每隔单位时间对噪声电压抽样
X ( n)
2 0
n
1 2 3 4 5
19/116
2.1.2 基本概率特性
1. 例子
20/116
21/116
22/116
2.一阶（维）概率分布和密度函数 一阶概率分布函数定义：
FX ( x ; t ) P[ X (t ) x]
X1( ), X 2 ( ),
X n ( )
1
, X n ( ),
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5/116
则有
1 正面 t n时刻 X n ( ) X (n, ) 0 正面
其概率
P[ X (n, ) 1] p, P[ X (n, ) 0] q, p q 1
C.R.P. xf ( x; t )dx ( x ) m X (t ) E X (t ) xi P[ X (t ) xi ] D.R.P. i
X(t,ξ1) X(t,ξ2) X(t,ξ3) X(t,ξ4)
t
X(t1,ξ) X(t2,ξ) X(tn,ξ)
随机信号分析第2章--随机信号
例1.1 随机信号U(t)的一维概率密度函数为
f (u,t)
1
A0
exp
u2 A0
不同时刻的随机变量彼此统计独立，求其n维
概率密度函数。
解：t1,t2 ,,tn 时刻，随机变量 X (t1), X (t2 ),, X (tn ) 统计独立，则
f (u1, u2 ,, un;t1, t2 ,, tn ) f (u1;t1). f (u2;t2 ),, f (un;tn )
随机变量 0 与相位随机变量 ，以时间参量
t建立随机信号 W (t, s) Asin(0t )
，观察信号随参量t的各次过程，其样本函数 呈现出正弦函数规律。W (t) 称为正弦随机信 号。
无数个正弦样本函数组成了正弦随机信号，符合 定义2中对于随机信号的描述。
33
(1)均值
X (t) Esin(0t ) Esin 0t cos cos0t sin
12
基本概率特性
一、一维概率分布 随机信号 X (t) 在任意 t T 时刻的取值 X (t)
是一维随机变量。概率 PX (t) x 是取值 x ，时
刻 t 的函数，记做
F(x;t) PX (t) x
称为随机信号 X (t) 的一维概率分布函数。 若有F(x;t) 偏导数存在，则有
f (x;t) F(x;t) x
实随机变量 X (t) 与之对应，就称依赖于参量 t
的随机变量族X (t), t T 为实随机信号或随机
过程。
11
二、随机信号的分类 1.按时间参量来分类
时间连续的随机信号：时间t是连续的。 如：正弦随机信号，二进制传 输信号 时间离散的随机信号：时间t是离散的。 如：贝努里随机信号 2.按信号状态取值分类 取值连续的随机信号：X(t)值是连续的 如：正弦随机信号 取值离散的随机信号：X(t)值是离散的 如：贝努里随机信号，二进制传输信号 还有很多的分类方法
第2章随机信号分析
第二章随机信号分析随机信号分析确定性信号分析的不同与联系：随机信号分析、确定性信号分析的不同与联系：随机信号分析的主要内容：随机过程的一般表述平稳随机过程高斯过程窄带随机过程正弦波加窄带高斯过程稳随机过过线性系平稳随机过程通过线性系统2010-9-271引言信号：一般是时间的函数确定信号：可以用确定的时间函数表示的信号 周期信号和非周期信号能量信号和功率信号基带信号和频带信号模拟信号和数字信号随机信号：具有随机性，可用统计规律来描述 通信过程中要发送的信号是不可预知的，因此具有随机性，是随机信号，但信号的统计特性具有规律性。
噪声和干扰是随机的信号噪声和干扰是随机的信号；无线信道特性（可理解为系统传递函数）也是随机变2010-9-272化的。
随机过程：与时间有关的函数，但任一时刻的取值不确定(随机变量)随机过程可以看成对应不同随机试验的时间过程的集合。
如n(或无数）台性能完全的接收机输出的噪声波形，每个波形都是一个确定函数，为一个样本函数，各波形又各不相同。
也可看成一个接收机，不同实验输出不同的样本函数。
随机过程是所有样本函数的集合。
2010-9-2731随机过程的一般表述1 随机过程的般表述(1)样本函数：随机过程的具体实现样本空间所有实现构成的全体~()i x t )()t 样本空间：所有实现构成的全体所有样本函数及其统计特性构成了随机过程{}1~(),,),i S x x t =……~()t ξ2010-9-274随机过程是随机变量概念的延伸，即随机变量引入时间变量，成为随机过程。
每一个时刻，对应每个样本函数的取值{i(),,,,}{x(t),i=1,2,…,n}是一个随机变量。
固定时刻t1的随机变量计为ξ(t1)。
随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
2010-9-27511随机过程的n维分布函数或概率密度函数往往不容易或不需要得到，常常用数字特征部分地表述随机过程的主要特征。
3. 随机信号分析随机信号的频域分析
GX
()
lim
T
1 2T
E[
XT
()
2
]
同理样本函数 xk (t)的功率谱密度为
Gk
(
)
lim
T
1 2T
XkT () 2
随机过程的平均功率也可以由过程的均方值求时间平均：
P
lim
T
1 2T
T E[X 2 (t)]dt
Y (t)
a cos(0t
), RY
( )
a2 2
cos 0
RY
(
)d
a2 2
cos 0d
RX ( ), RY ( ) 不满足绝对可积的条件，∴F变换不存在。
傅氏变换绝对可积的条件限制了维纳—辛钦定理的应用。
在频域： ⑴直流信号X(t) ⑵周期信号X(t)
lim T
1
4T
2
XkT () d
Pk 表示随机过程的样本函数 xk (t) 消耗在1欧姆电阻上的平均功率
Pk 称为随机过程样本函数 xk (t) 的平均功率（时间平均） 。
由于对一次试验结果 k 来讲， 对应的样本函数xk (t) 是个确定函
数，因此这个平均功率 Pk 仅是一个确定值。
且平稳过程有
P
E[ X
2 (t)]
1
2
G
X
( )d
所以功率谱密度函数绝对可积。
(5)、若平稳过程的功率谱密度可以表示为 2n
第5章随机信号分析
Rxy () 0
R xy ( )
0 的最大峰值一般不在 处。
3. 估计
直接方法：
1 R ( m ) x ( n ) y ( n m ) xy N mn 0
^
N 1 m
1 R ( m ) y ( n ) x ( n m ) yx N mn 0
求傅立叶变换，得
N 1 ^
N 1N 1 1 j m j m R ( m ) e x ( n ) x ( n m ) e x N N N m ( N 1 ) m ( N 1 ) n 0
N 1 N 1 1 j m x ( n ) x ( n m ) e N N N n 0 m ( N 1 )
^
4 自相关函数的应用
检测淹没在随机噪声中的周期信号
x ( t ) x sin( t ) 0
T / 2 1 2 R ( ) lim x sin( t ) sin[ ( t ) ] dt x 0 T / 2 T T
t 令(
) ,则 dt 1 d
R 0 )R m ) X( X(
性质3
周期平稳过程的自相关函数必是周期函数， 且与过程的周期相同。
E[ X 2 (n)]
性质4
性质5
2 R ( 0 ) = EX [ ( n ) ] X
不包含任何周期分量的非周期平稳过程 满足
m 2 lim R ( m ) R ( ) X X X
平稳随机过程
均值和时间无关，是常数；自相关函数与时间的起点无关， 只与两点的时间差有关。
通讯原理第3章 随机信号分析资料
n维概率 密度函数
pn ( x1,
x2 ,,
xn;t1, t2 ,, tn )
nFn ( x1, x2 ,, xn;t1, t2 ,, tn ) x1x2 x1
n维概率分布可以描述任意n个时刻的取值之间关联，比其低维
概率分布含有更多的统计特性信息，对随机过程的描述更细微些，
故若随机过程的观测时刻点数取得越多，则随机过程的统计特性可
显然X 2 (t )非广义平稳
例 2: 某随机过程 X(t) =A cos(w t+φ)，其中A，w为常量， φ为0－2π范围均匀分布的随机变量，试求该过程的数学期望 和相关函数。说明是否为广义平稳随机过程。
解:
E[ X (t )]
2π
0 [ Acos(ω0t φ) / 2π]dφ 0
一维概率分布与时间无关
二维分布: pn( x1, x2;t1, t2 ) pn( x1, x2;t1 τ, t2 τ )
令τ t1
pn ( x1, x2;0, t2 t1 ) p( x1, x2 , τ )
二维概率分布与时间起点无关，仅与时间间隔τ 有关
矩函数:
E[X (t)] x p( x)dx m
以描述得越细致。
从理论上来说，完全描述一个随机过程的统计特性，需要维数
趋于无穷，但从工程实际来说，许多场合仅取二维即可。
若X (t1), X (pn( x1, x2 ,, xn;t1, t2 ,, tn ) p( x1, t1 ) p( x2 , t2 ) p( xn , tn )
矩，它们只能表示随机过程在各个孤立时刻的平均统计特性，不能 反映随机过程在任意两时刻的取值之间关联。
通信原理与技术第2章-随机信号分析
第2章 随机信号分析本章教学要求：1、掌握平稳随机过程的概念和性质、高斯白噪声的性质。
2、理解高斯过程和窄带随机过程的基本内容，随机过程通过线性系统的基本描述。
3、了解随机变量和随机过程的概念及数学描述。
4、了解噪声的分类和特点。
§2.1 随机变量及其数学描述一、概率论的基本概念1．随机现象：在个别试验中其结果呈现出不确定性；在大量重复试验中其结果又具有统计规律性 的现象。
现象——投掷硬币、分子原子热运动、噪声概念——样本：随机现象的某次出现（观测、实验）。
事件：样本的结果。
样本空间：无穷多（大量）样本的全体（可能的试验结果）。
事件空间：结果的集合，可能无穷多，也可能只有少数几种。
2．概率（1）随机现象的规律性表现在样本的大量统计特性上。
大量样本的集体行为有规律：设N 次观测中事件A 出现了m A 次，A 发生的频率为A m N,当N 很大时，A m N有确定的比值。
（2）概率的定义：（1）任何随机事件的概率P(A)，其值介于 0≤P(A)≤1 之间。
（2）条件概率： P(A|B) 为事件B 已出现的条件下，事件A 出现的概率。
一般 P(A|B)≠P(A) ，但若B 与A 无关，则P(A|B)＝P(A) 。
（3）两事件之积的概率P(AB) 叫联合概率，它代表A 和B 同时出现的概率，故P(AB)＝P(BA)。
计算方法（公式）是： P(AB)= P(A) P(B|A) 或者＝P(B) P(A|B) P(A 1A 2……An)= P(A 1) P(A 2|A 1) P(A 3|A 1A 2)……P(A n |A 1A 2……A n-1) 于是便得到计算后验概率的公式：()()()()P A P B A P A B P B（4）两事件之和的概率P(A+B)代表A 或B 出现的概率（二者之一或共同），显然P(A+B)= P(A)+ P(B) - P(AB) 原因如图所示：（5）可能的事件全体A i （i=1,……n ），若为互斥、完备集合，则有归一化公式:1()1n ii P A ==∑同样，对条件概率有：1()1nii P AB ==∑对联合概率有：11()1n n iji j P A B===∑∑和1()()n i j j i P A B P B ==∑，1()()mi j i j P A B P A ==∑（6）全概率公式：若事件B 1，B 2，……，B n 两两互斥（B 1，……，B n 为S 的一个划分）P （B i ）> 0。
随机信号的分析
第2章 信号分析基础
任意给定两个固定时刻 t 1、t 2 ，则由 (t1)和 (t2 ) 构成一个二维随机变量 (t1),(t2)，若
F 2 x 1 ,x 2 ; t 1 , t 2 P 2 t 1 x 1 , t 2 x 2 （2-48）
成立，则称之为随机过程 (t ) 的二维分布函数。
对N个随机变量 x t1 ,x t2,.x .tN .,，若有
（2-51）
f N ( x 1 , x 2 , , x N ; t 1 , t 2 , , t N ) f 1 ( x 1 , t 1 ) f 2 ( x 2 , t 2 ) f N ( x N , t N ) （2-52）
则称这些随机变量是统计独立的或不相关的。
清华大学出版社
刻的随机变量的集合则为随机过程；随机变量是 一个实数值的集合，而随机过程是时间函数的集 合。
研究随机变量或随机过程的关键是研究其统
计特征，这不仅简单明了，而且直接反映信号的
变化规律。
概率分布
概率密度函数(pdf)
统计特征
数字特征
分布函数 数学期望(均值) 方差
相关函数
第2章 信号分析基础
清华大学出版社
第2章 信号分析基础
解：（1）由 pdf函数知，这是一个 a、0 的2标1准
正态分布，故其直流电平为 a。0
（2）由于方差 2就是信号的交流功率，故信号的平均 功率为1(W)。
随机过程的一维分布函数或一维概率密度函 数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特 性或概率分布，并未说明在不同时刻取值之间的 内在联系，为充分描述随机过程，需进一步引入 二维分布函数和二维概率密度函数。
D E 2 E 2 （2-60）
随机信号分析4
y (t) x (t )h( )d
x (t)
0 x (t )h( )d
0 h( )
Y (t) X (t )h( )d
0 X (t )h( )d
0t
t x (t )
1、若X(t)平稳，则输出平稳。
mX (t) mX 常数
因X(t)平稳，则有：
RX
(t1, t2 )
RX
0
传递函数为：
H ( ) h(t)e jt dt 0
若以s代替j，传递函数在复频域中表示为：
H (s) h(t)e st dt 0
3、稳定的物理可实现系统条件
由于：
h(t) dt
0
h(t)
1
2j
j
H
j
(s)e
st
ds
则传递函数H(s)的所有极点都应位于s平面的左半平面 （不含虚轴）
2、物理可实现性（因果性）
在输入信号到来前 ，系统不产生响应。既：h(t)=0， t<0 。
由于；y(t)
h( )x(t )d
x( )h(t )d
h( ) 0，
0
h(t ) 0，t 0 t
由因果性则输出为：
y(t)
h( )x(t )d
t x( )h(t )d
RY ( )
RY ( )
N0b 4
eb，
0
合并 0 和 0 的结果，得到输出自相关函数：
RY
( )
N0b 4
eb| | ，
| |
2）在上式中令 0，即可得输出的平均功率为
PY
E[Y 2(t)]
RY (0)
N0b 4
注意到b是时间常数(RC)的倒数，它也与系统的半功率带宽f 有
通信原理课件第3章 随机信号分析(21年)
x1 a(t1) x2 a(t2 ) f2 (x1, x2;t1,t2 )dx1dx2
自相关函数与自协方差函数之间的关系:
B(t1,t2 ) R(t1,t2 ) a(t1)a(t2 ) 若随机过程在两个时刻中的一个随机变量均 值为零，则：
B(t1,t2 ) R(t1,t2 )
lim Px () E[Pf ()]
T
E FT () 2
T
lim S 1
2
Px
()d
1
2
E FT () 2 d
T
T
3. 功率谱密度与自相关函数的关系
维纳-辛钦定理：
R( ) Px ()
或
R( ) Px ( f )
Px ()
R( )e j d
R ( ) 1
2
Px
(
)e
（3）高斯过程不同时刻互不相关则也统计独立。
若平稳随机过程x (t)、 (t) 统计独立
Bx (t1,t2 ) E[x (t1)(t2 )] ax a E[x (t1)]E[ (t2 )] ax a 0
则互不相关
fn (x1, x2,, xn;t1,t2,,tn )
1
n
1
(2 ) 21 2... n B 2
E2[x (t)]
（5） R(0) R() 2
x (t) 的交流功率
D[x (t)] E x 2(t) a2 (t)
R( )
R(0)
2
R()
0
2. 平稳随机过程的功率谱密度
f (t)
…
…
O
t
f T(t)
－
T 2
O
T 2
t
lim Pf () T