上海市浦东新区2019高三一模数学试卷
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
2019年上海市各区高考数学一模试卷(合集共16份)
2019年上海市宝山区高考数学一模试卷一、填空题（本题满分54分)本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分。
1．（4分）函数f（x）＝sin（﹣2x）的最小正周期为．2．（4分）集合U＝R，集合A＝{x|x﹣3＞0}，B＝{x|x+1＞0}，则B∩∁U A＝．3．（4分）若复数z满足（1+i）z＝2i（i是虚数单位），则．4．（4分）方程ln（9x+3x﹣1）＝0的根为．5．（4分）从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务，若每个班级至少有一名代表，则各班级的代表数有种不同的选法．（用数字作答）6．（4分）关于x，y的二元一次方程的增广矩阵为，则x+y＝．7．（5分）如果无穷等比数列{a n}所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比q ＝．8．（5分）函数y＝f（x）与y＝lnx的图象关于直线y＝﹣x对称，则f（x）＝．9．（5分）已知A（2，3），B（1，4），且（sin x，cos y），x，y∈（，），则x+y＝．10．（5分）将函数y的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器的容积是．11．（5分）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知b＝2，∠A＝45°，求边c，显然缺少条件，若他打算补充a的大小，并使得c只有一解，a的可能取值是（只需填写一个适合的答案）12．（5分）如果等差数列{a n}，{b n}的公差都为d（d≠0），若满足对于任意n∈N*，都有b n﹣a n＝kd，其中k为常数，k∈N*，则称它们互为同宗”数列．已知等差数列{a n}中，首项a1＝1，公差d＝2，数列{b n}为数列{a n}的“同宗”数列，若（），则k＝．二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．（5分）若等式1+x+x2+x3＝a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+a3（1﹣x）3对一切x∈R 都成立，其中a0，a1，a2，a3为实常数，则a0+a1+a2+a3＝（）A．2B．﹣1C．4D．114．（5分）“x∈[，]是“sin（arcsin）＝x”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要15．（5分）关于函数f（x）的下列判断，其中正确的是（）A．函数的图象是轴对称图形B．函数的图象是中心对称图形C．函数有最大值D．当x＞0时，y＝f（x）是减函数16．（5分）设点M、N均在双曲线C：1上运动，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，||的最小值为（）A．2B．4C．2D．以上都不对三、解答题（本题满分76分）本大题共有5题，解答下列名题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤。
上海市浦东新区2019-2020学年度第一学期期末(一模)教学质量检测高三数学word版
上海市浦东新区2020届高三毕业班一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 若集合{|03}A x x =<<，集合{|2}B x x =<，则A B =I2. 222lim 31n n n →∞=+ 3. 复数z 满足i 1i z ⋅=+（i 为虚数单位），则||z = 4. 若关于x 、y 的方程组为12x y x y +=⎧⎨-=⎩，则该方程组的增广矩阵为5. 设{}n a 是等差数列，且13a =，3518a a +=，则n a =6.在6(x +的二项展开式中，常数项为 7. 如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为8. 已知集合111{2,1,,,,1,2,3}232A =---，任取k A ∈，则幂函数()k f x x =为偶函数的概 率为 （结果用数值表示）9. 在△ABC 中，边a 、b 、c 满足6a b +=，120C ∠=︒，则边c 的最小值为 10.若函数2y ax a =+存在零点，则实数a 的取值范围是11. 已知数列{}n a ，11a =，1(1)1n n na n a +=++，若对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ， 不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为 12. 如果方程组1212sin sin sin 0sin 2sin sin 2019n n x x x x x n x ++⋅⋅⋅+=⎧⎨++⋅⋅⋅+=⎩有实数解，则正整数n 的最小值是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分也非必要条件14. 已知函数1()f x -为函数()f x 的反函数，且函数(1)f x -的图像经过点(1,1)，则函数1()f x -的图像一定经过点（ ）A. (0,1)B. (1,0)C. (1,2)D. (2,1) 15. 以抛物线24y x =的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为（ ）A. 2211615x y +=B. 221164x y +=C. 22143x y +=D. 2214x y += 16. 动点(,)A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰 好是12秒，已知时间0t =时，点A 的坐标是31(,)2，则动点A 的纵坐标y 关于t （单位： 秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（ ）A. [0,3]B. [3,6]C. [6,9]D. [9,12]三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD AD a ==，点E 是线段SD 上任意一点.（1）求证：AC BE ⊥；（2）试确定点E 的位置，使BE 与平面ABCD 所成角的大小为30°.18. 已知函数2()2cos 3sin 2f x x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC 中，6BC BA ⋅=uu u r uu r，若函数()f x 的图像经过点(,2)B ，求△ABC 的面积.19. 某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为1.8万元，在当地政府 大力扶持和引导下，村委会决定2020年初抽出5x 户（*x ∈N ，9x ≤）从事水果销售工作， 经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了4%x ，而从事水果销售 的农户平均每户年收入为1(3)5x -万元. （1）为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元，那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？（2）若一年后，该村平均每户的年收入为()f x （万元），问()f x 的最大值是否可以达到2.1万元？20. 已知曲线22:1C x y -=，过点(,0)T t 作直线l 和曲线C 交于A 、B 两点. （1）求曲线C 的焦点到它的渐近线之间的距离；（2）若0t =，点A 在第一象限，AH x ⊥轴，垂足为H ，连结BH ，求直线BH 倾斜角的取值范围；（3）过点T 作另一条直线m ，m 和曲线C 交于E 、F 两点，问是否存在实数t ，使得0AB EF ⋅=uu u r uu u r和||||AB EF =uu u r uu u r同时成立？如果存在，求出满足条件的实数t 的取值集合，如果不存在，请说明理由.21. 定义1212231(,,,)||||||n n n f a a a a a a a a a -⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅⋅+-（n ∈N ，3n ≥）为有限实数列{}n a 的波动强度.（1）求数列1，4，2，3的波动强度；（2）若数列a ，b ，c ，d 满足()()0a b b c -->，判断(,,,)(,,,)f a b c d f a c b d ≤是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；（3）设数列1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a 是数列112+，222+，332+，⋅⋅⋅，2n n +的一个排列，求12(,,,)n f a a a ⋅⋅⋅的最大值，并说明理由.参考答案一. 填空题1. (0,2)2.233. 4. 111112⎛⎫⎪-⎝⎭5. 21n +6. 157. 2π8. 149.10. [0,311. (,1]-∞- 12. 90 11.111(1)n n a a n n n n +=+++，累加可得11211n a n n +=-++，∴322t a -⋅≥，即21t a ⋅≤， ∵[2,2]a ∈-，∴2211t t ⋅≤⇒≤-12. ∵2441936=，2452025=，∴从89n =开始分析，当89n =，12max (sin 2sin sin )123444504647891980n x x n x ++⋅⋅⋅+=----⋅⋅⋅-+⨯+++⋅⋅⋅+=当90n =，12max (sin 2sin sin )123454647902025n x x n x ++⋅⋅⋅+=----⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+= 当12sin 2sin sin 1234243044045460470n x x n x ++⋅⋅⋅+=----⋅⋅⋅--⨯-⨯-+⨯+⨯+4849902019++⋅⋅⋅+=时，min 90n =二. 选择题13. A 14. B 15. C 16. D三. 解答题17．【解答】（1）证明：联结BD ，因为四边形ABCD 为正方形， 所以，BD AC ⊥，……………………………………………………2分 又因为SD ⊥平面ABCD ，AC ⊂≠平面ABCD ，所以SD AC ⊥．………………………………………………………4分由⎪⎩⎪⎨⎧=⋂⊥⊥D SD BD SD AC BD AC ⇒⊥AC 平面SBD ．………………………………………6分 又因为BE ⊂≠平面SED ，所以BE AC ⊥．……………………………………7分 （2）解法一：设t ED =，因为SD ⊥平面ABCD ，所以BE 与平面ABCD 所成角为EBD ∠．……………………………2分在EDB Rt ∆中，由tan tan EBD ∠=30︒at 2=a t 36=⇒．……………6分 所以，当a ED 36=时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为30o ．………………7分 解法2：（1）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系．()000,,D ，()00,,a A ，()0,a ,a B ，()00,a ,C ．设t DE =,则)t ,,(E 00 ………………………………………………2分 则()0,a ,a -=，()t ,a ,a --=……………………………4分 因为0022=+-=⋅a a ，所以BE AC ⊥ …………………………………………………7分（2）取平面ABCD 的一个法向量为()100,,n = ……………………………8分 因为()t ,a ,a --=，可知直线BE 的一个方向向量为()t ,a ,a --=．设BE 与平面ABCD 所成角为θ，由题意知=θο30．与所成的角为ϕ，则222ta a t nd cos ++=⋅=ϕ，……………………………………10分因为21=ϕ=θcos sin ，所以，21222=++t a a t ，…………………12分 解得，a t 36=．……………………………………………………13分 当a ED 36=时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为ο30．……………………14分18．【解答】（1）()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭……………………………3分,,,36T x k k k Z πππππ⎡⎤⇒=∈-+∈⎢⎥⎣⎦………………………………6分 （2）302162sin 2)(πππ=⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=B B B B f …………………………10分 612BC BA ac ⋅=⇒=u u u r u u u r……………………………………………12分∴1sin 332ABC S ac B ==△………………………………………14分 19．【解答】（1）经过三年，种植户的平均收入为31.8(14%)x +………………2分因而由题意31.8(1) 2.425x +≥，得341 2.5161253x x +≥≥ ……………………4分由3x Z x ∈⇒≥,即至少抽出15户贫困农户从事水果销售工作. ……………………6分（2）2*5(3) 1.8(1005)(1)13466525()(180)(,9)100100255x x x x f x x x x N x -+⨯-+==-++∈≤ ……10分对称轴*16534x N =∉， …………………………………………………11分 因而当()95<=x 时，max () 2.12 2.1f x => ………………………………13分 可以达到2.1万元． ……………………………………………14分 20．【解答】（1）曲线C的焦点为())12,F F ，渐近线方程y x =±，……2分由对称性，不妨计算)2F 到直线y x =的距离，1d ==. ……4分（2） 设:(01)l y kx k =<<，11111(,),(,),(,0)A x y B x y H x --，从而1122BH y kk x ==7分 又因为点A 在第一象限，所以01k <<， ………………………8分 从而102BH k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，……………………………………………9分所以直线BH 倾斜角的取值范围是1(0,arctan )2…………………10分 （3）当直线:0l y =，直线:m x t =((2,,0,AB E F =，t ⇒=当直线:l x t =，直线:0m y =时，t =（根据对称性，这种不讨论不扣分）11分 不妨设():()0l y k x t k =-≠，与双曲线联立可得22222(1)2(1)0k x k tx k t -+-+=，…12分由弦长公式，||AB == …14分 将k 替换成1k -，可得||EF = ……………………15分由||||AB EF =，可得2222(1)11t k t k -+=-+，解得22t =，此时2224(1)0k t k ∆=-+>成立．因此满足条件的集合为{ ……………………………………16分 21．【解答】解：（1）()1,4,2,31442236f =-+-+-=………………4分 （2）()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤是正确的…………………………………6分 解法1：()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b c d a c b d -=-+-----，a b c a b c >><<Q 或，a b a c b c ∴---=--，c d b d b c ---≤-所以()(),,,,,,0f a b c d f a c b d -≤，即()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤并且当b c >时，d b ≥可以取等号，当c b >时，若d b ≤可以取等号， 所以等号可以取到…………………………………………10分 解法2：不妨设a b c >>，分4种情况讨论[1] 若d a ≥，则()()()()()(),,,,,,0f a b c d f a c b d a b d c a c d b -=-+-----=，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴=…………………………………7分[2] 若a d b >≥，则()()()()()(),,,,,,0f a b c d f a c b d a b d c a c d b -=-+-----=，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴=…………………………………………8分[3] 若b d c >≥，则()()()()()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b d c a c b d -=-+-----=()20d b -<，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴<…………………………9分[4] 若c d >，则()()()()()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b c d a c b d -=-+-----=()20c b -<，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴<…………………………10分（3）设2ii b i =+，1i n ≤≤，{}n b 是单调递增数列.分n 是奇、偶数情况讨论 ………………………………………11分()121122,,...,n n n f a a a x a x a x a =+++L ，其中{}1,1,1n x x ∈-，{}21,...,2,0,2n x x -∈-，并且120n x x x +++=L .经过上述调整后的数列，系数21,...,n x x -不可能为0.当n 为偶数时，系数中有12n -个2和12n-个2-，1个1和1个1-. 当n 为奇数时，有两种情况（1）系数中有12n -个2和32n -个2-，2个1-.（2）系数中有12n -个2-和32n -个2，2个1.[1] n 是偶数，*2,2,n k k k N =≥∈，()()2211122k k k k k b b b b b b ++-=+++--++L L ……………………13分()()()22111k k k k k =+++---+-++⎡⎤⎣⎦L L2112222222k k k k k ++⎡⎤++---+-⎣⎦L L ()2211=21222222k k k ++⎡⎤-+---⎣⎦2223212224k k k k ++=-+--+221429232n nn =+⋅-⋅+……………………………………15分 [2] n 是奇数，*21,n k k N =+∈，因为2120k k k b b b +-+>，212122k k k k k k b b b b b b ++++∴--≥+-，可知()()21211122k k k k k b b b b b b +++-++---++≥L L ()()21321122k k k k k b b b b b b ++++++++-++L L()12,,...,n f a a a ()21324321121,,,,,,,...,,,,k k k k k k k k f b b b b b b b b b b b +++--+≤()()21211122k k k k k b b b b b b +++-≤++---++L L…………………………17分()()()()()22+1211+2+1k k k k k k =+++-+---+++⎡⎤⎣⎦L L2+12+1122222+2+2k k k k k++⎡⎤++---⎣⎦L L ()222k =-()()+2+1k k ++()222222222+32k k k ++⎡⎤+---⋅⎣⎦223122121324k k k k ++=+-+-⋅+122154213222n nn -=+⋅-⋅+…………………………………………………18分 综上，()22121max22142923,42,,...,1542132322nnn n n n n n f a a a n n n -⎧+⋅-⋅+≥⎪⎪=⎡⎤⎨⎣⎦⎪+⋅-⋅+≥⎪⎩是偶数，是奇数，。
上海市2019年高考数学一模试卷(解析版)
2019年上海市高考数学一模试卷一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B=．2．（4分）函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．3．（4分）设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．4．（4分）若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=．5．（4分）已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=．6．（4分）甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为cm．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD 所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．19．（14分）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k ＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．20．（16分）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h （a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N；（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B={2} ．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：|x﹣2|＜1，即﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即A=（1，3），集合B=Z，则A∩B={2}，故答案为：{2}【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意定义法的合理运用．2．函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值．【解答】解：∵y=sin（ωx﹣）（ω＞0），∴T==π，∴ω=2．故答案是：2．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题．3．设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：复数===对应的点到原点的距离==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=3．【考点】反函数．【分析】由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值．【解答】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），∴4=log2（1+1）+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．【点评】本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．5．已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=6．【考点】二项式系数的性质．【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n 的值．【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n 又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6．故答案：6【点评】求二项展开式的系数和问题一般通过赋值求出系数和；二项式系数和为2n．属于基础题．6．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有60种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．故答案为60．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用间接法是解决本题的关键，属中档题．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：2πr=π×2，解得r=．故圆锥的高h==，∴圆锥的体积V=πr2h=cm3．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=2．【考点】数列的求和；极限及其运算．【分析】利用数列递推关系可得a n，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出．【解答】解：∵ ++…+=n2+3n（n∈N*），∴n=1时，=4，解得a1=16．n≥2时，且++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1），可得：=2n+2，∴a n=4（n+1）2．=4（n+1）．∴（）==2．故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的求和公式、极限运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．【考点】余弦定理．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理．属基础题．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是①②．（写出所有真命题的序号）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】①函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0．②利用偶函数的定义和性质判断．③利用单调函数的定义进行判断．④利用反函数的性质进行判断．【解答】解：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，为常数函数，所以f（x）的值域是{0}，所以①正确．②若函数为偶函数，则f（﹣x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以②正确．③因为函数f（x）=在定义域上不单调，但函数f（x）存在反函数，所以③错误．④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，比如函数y=﹣与其反函数y=x2﹣1（x≤0）的交点坐标有（﹣1，0），（0，1），显然交点不在直线y=x上，所以④错误．故答案为：①②．【点评】本题主要考查函数的有关性质的判定和应用，要求熟练掌握相应的函数的性质，综合性较强．11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为8．【考点】基本不等式．【分析】A、B、C三点共线，则=λ，化简可得2a+b=1．根据+ =（+）（2a+b），利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，∴=﹣=（a﹣1，1），=﹣=（﹣b﹣1，2），∵A、B、C三点共线，∴=λ，∴，解得2a+b=1，∴+=（+）（2a+b）=2+2++≥4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，故+的最小值为8，故答案为：8【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，基本不等式的应用，属于中档题．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为13cm．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径．【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d==13故答案为：13．【点评】本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现了转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出x2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由x2＜4，解得：﹣2＜x＜2，故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值【考点】等差数列的前n项和．【分析】S n=na1+d=n2+n，利用二次函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：S n=na1+d=n2+n，∵＞0，∴S n有最小值．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）【考点】正弦函数的定义域和值域；两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性；余弦函数的定义域和值域．【分析】（1）利用辅助角公式将可判断（1）；（2）根据函数y=sinx图象的对称轴方程可判断（2）；（3）根据余弦函数的性质可求出y=cos（cosx）（x∈R）的最大值与最小值，从而可判断（3）的正误；（4）用特值法令α，β都是第一象限角，且α＞β，可判断（4）．【解答】解：（1）∵，∴（1）错误；（2）∵y=sinx图象的对称轴方程为，k=﹣1，，∴（2）正确；（3）根据余弦函数的性质可得y=cos（cosx）的最大值为y max=cos0=1，y min=cos（cos1），其值域是[cos1，1]，（3）正确；（4）不妨令，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tanα＜tanβ，（4）错误；故选B．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数、正切函数的性质，着重考查学生综合运用三角函数的性质分析问题、解决问题的能力，属于中档题．16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]【考点】函数恒成立问题．【分析】将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y）=+，利用基本不等式可求得f（y）=3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx min＜0、sinx=0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．【解答】解：∀实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立⇔+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y）=+，则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，当y＞0时，f（y）=+≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）=3；min当y＜0时，f（y）=+≤﹣2=﹣3（当且仅当y=﹣6时取“=”），f（y）max=﹣3，f（y）min不存在；综上所述，f（y）min=3．所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①若sinx＞0，a≤sinx+恒成立，令sinx=t，则0＜t≤1，再令g（t）=t+（0＜t≤1），则a≤g（t）min．由于g′（t）=1﹣＜0，所以，g（t）=t+在区间（0，1]上单调递减，因此，g（t）min=g（1）=3，所以a≤3；②若sinx＜0，则a≥sinx+恒成立，同理可得a≥﹣3；③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；综合①②③，﹣3≤a≤3．故选：D．【点评】本题考查恒成立问题，将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立是基础，令f（y）=+，求得f （y）min=3是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）（2017•上海一模）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱锥A﹣BCD的体积．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD与CM所成角的大小．【解答】解：（1）如图，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，由AB=BC=2，得AD=4，AC=2，∴BD==2，CD==2，则V A﹣BCD====．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，2，2），D（2，0，0），C（0，0，0），B（0，2，0），M（），=（2，﹣2，﹣2），=（），设异面直线AD与CM所成角为θ，则cosθ===．θ=arccos．∴异面直线AD与CM所成角的大小为arccos．【点评】本题考查了直线和平面所成角的计算，考查了利用等积法求点到面的距离，变换椎体的顶点，利用其体积相等求空间中点到面的距离是较有效的方法，此题是中档题．18．（14分）（2017•上海一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．【考点】余弦定理；解三角形．【分析】（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2=7，解方程求得cosA 的值，即可得到A的值．（II）由余弦定理及a=，b+c=3，解方程组求得b 和c的值．【解答】解：（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos （B+C）]﹣4cos2A+2=7，（1分）又∵cos（B+C）=﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1=0．（4分）解得，∴．（6分）（II）由．（8分）又．（10分）由．（12分）【点评】本题主要考查余弦定理，二倍角公式及诱导公式的应用，属于中档题．19．（14分）（2017•上海一模）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD 是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D 重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN 为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据函数y=ax2过点D，求出解析式y=2x2；由，消去y得△=0即可证明b=﹣；（2）写出点P的坐标（t，2t2），代入①直线MN的方程，用t表示出直线方程为y=4tx﹣2t2，令y=0，求出M的坐标；令y=2求出N的坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S（t），利用基本不等式求出S的最大值．【解答】（1）证明：函数y=ax2过点D（1，2），代入计算得a=2，∴y=2x2；由，消去y得2x2﹣kx﹣b=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得△=（﹣k）2﹣4×2×b=0，解得b=﹣；（2）解：设点P的横坐标为t，则P（t，2t2）；①直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx﹣过点P，∴kt﹣=2t2，解得k=4t；y=4tx﹣2t2令y=0，解得x=，∴M（，0）；令y=2，解得x=+，∴N（+，2）；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S（t）=2×2﹣×2×[+（+）]=4﹣（t+）；由t+≥2•=，当且仅当t=，即t=时“=”成立，所以S≤4﹣2；即S的最大值是4﹣．【点评】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了阅读理解能力，是综合性题目．20．（16分）（2017•上海一模）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h （a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的值域．【分析】（1）设t=3x，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，φ（t）的对称轴为t=a，当a=1时，即可求出f（x）的值域；（2）由函数φ（t）的对称轴为t=a，分类讨论当a＜时，当≤a ≤3时，当a＞3时，求出最小值，则h（a）的表达式可求；（3）假设满足题意的m，n存在，函数h（a）在（3，+∞）上是减函数，求出h（a）的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=9x﹣2a•3x+3，设t=3x，t∈[1，3]，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，对称轴为t=a．当a=1时，φ（t）=（t﹣1）2+2在[1，3]递增，∴φ（t）∈[φ（1），φ（3）]，∴函数f（x）的值域是：[2，6]；（Ⅱ）∵函数φ（t）的对称轴为t=a，当x∈[﹣1，1]时，t∈[，3]，当a＜时，y min=h（a）=φ（）=﹣；当≤a≤3时，y min=h（a）=φ（a）=3﹣a2；当a＞3时，y min=h（a）=φ（3）=12﹣6a．故h（a）=；（Ⅲ）假设满足题意的m，n存在，∵n＞m＞3，∴h（a）=12﹣6a，∴函数h（a）在（3，+∞）上是减函数．又∵h（a）的定义域为[m，n]，值域为[m2，n2]，则，两式相减得6（n﹣m）=（n﹣m）•（m+n），又∵n＞m＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与n＞m＞3矛盾．∴满足题意的m，n不存在．【点评】本题主要考查二次函数的值域问题，二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图象和单调性处理，是中档题．21．（18分）（2017•上海一模）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r ∈N；（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．【考点】数列递推式．【分析】（1）由rS n=a n a n+1﹣1，利用迭代法得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），由此能够证明a n+2﹣a n为定值．（2）当n=1时，ra=aa2﹣1，故a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r＞0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期．（3）因为数列{a n}是一个有理等差数列，所以a+a=r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，解得a是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出S n．【解答】（1）证明：∵rS n=a n a n+1﹣1，①∴rS n+1=a n+1a n+2﹣1，②②﹣①，得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），∵a n＞0，∴a n+2﹣a n=r．（2）解：当n=1时，ra=aa2﹣1，∴a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，r+，a+r，2r+，a+2r，3r+，…．当r＞0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，∴r=0时，数列写出数列的前几项：a，，a，，…．所以当a＞0且a≠1时，该数列的周期是2，（3）解：因为数列{a n}是一个有理等差数列，a+a+r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，a=是有理数．设=k，是一个完全平方数，则r2+16=k2，r，k均是非负整数r=0时，a=1，a n=1，S n=n．r≠0时（k﹣r）（k+r）=16=2×8=4×4可以分解成8组，其中只有，符合要求，此时a=2，a n=，S n=，∵c n=2•3n﹣1（n∈N*），a n=1时，不符合，舍去．a n=时，若2•3n﹣1=，则：3k=4×3n﹣1﹣1，n=2时，k=，不是整数，因此数列{c n}中的所有项不都是数列{a n}中的项．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义与通项公式、数列的周期性性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
上海市浦东新区2019高三一模数学卷word版(附详细答案)
浦东新区2018学年度第一学期教学质量检测高三数学试卷 2018.121. 已知全集R U =，集合(][)12,,=-∞+∞U A ，则U =A ð______________.()12, 2. 抛物线24=y x 的焦点坐标为_________.()10,3. 不等式2log 1021>x 的解为____________.4(,)+∞4. 已知复数z 满足(1i)4i z +⋅=（i 为虚数单位），则z 的模为_________. 225. 若函数()=y f x 的图像恒过点01(,)，则函数13()-=+y f x 的图像一定经过定点_______.()13,6. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S .若936=S ，则348++=a a a ________.127. 在△ABC 中，内角,,A B C 的对边是,,a b c .若22)32(b a ⋅+=，c b =，则=A _____________.56π8. 已知圆锥的体积为π33，母线与底面所成角为3π，则该圆锥的表面积为 ．π3 9.已知二项式n的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第五项为________.358x 10. 已知函数()2||1=+-f x x x a 有三个不同的零点，则实数a的取值范围为_____.(,-∞11. 已知数列{}n a 满足：211007(1)2018(1)++=-++n n n na n a n a *()∈n N ，且121,2,a a ==若1lim,+→∞=n n na A a 则=A ___________. 100912. 已知函数()2,24161,22-⎧≥⎪+⎪=⎨⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎩x ax x x f x x ，若对任意的[)12,∈+∞x ，都存在唯一的()2,2∈-∞x ，满足()()12=f x f x ，则实数a 的取值范围为_________. [)2,6∈-a解：当[)12,∈+∞x 时，1211041616x x ⎛⎤∈ ⎥+⎝⎦，. 当()2,2∈-∞x 时，（1）若2a ≥，则()11=22x aa xf x --⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在(),2-∞上是单调递增函数，所以()2210,2a f x -⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.若满足题目要求，则21100,162a -⎛⎫⎛⎤⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎥ ⎪⎝⎦⎝⎭⎝⎭，，所以24111,24,62162a a a -⎛⎫⎛⎫>=∴-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又2a ≥，所以[)2,6a ∈. （2）若2a <，则()1,,21=21, 2.2a xx ax ax a f x a x ---⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫=⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，()f x 在(),a -∞上是单调递增函数，此时()()0,1f x ∈；()f x 在[),2a 上是单调递减函数，此时()21,12a f x -⎛⎤⎛⎫∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎥⎝⎦.若满足题目要求，则211,2162aa -⎛⎫≤∴≥- ⎪⎝⎭，又2a <，所以[)2,2a ∈-.综上，[)2,6a ∈-.二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分. 13. “14<a ”是“一元二次方程20-+=x x a 有实数解”的（ ）A （A ）充分非必要条件 （B ）充分必要条件（C ）必要非充分条件 （D ）非充分非必要条件 14. 下列命题正确的是（ ）D（A ）如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行（B ）如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面 （C ）如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面（D ）如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 15. 将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（ ）种.B（A ）72 （B ）36 （C ）64 （D ）8116. 已知点()()1,2,2,0-A B ，P为曲线=y ⋅u u u r u u u r AP AB 的取值范围为（ ）A（A ）[]1,7 （B ）[]1,7- （C）1,3⎡+⎣ （D）1,3⎡-+⎣三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分 已知直三棱柱ABC C B A -111中，︒=∠===9011BAC ,AA AC AB . （1）求异面直线B A 1与11C B 所成角； （2）求点1B 到平面BC A 1的距离．解：（1）在直三棱柱ABC C B A -111中，AB AA ⊥1，AC AA ⊥1,︒=∠===9011BAC ,AA AC AB所以，211===BC C A B A ．…………………………2分因为，11C B //BC ，所以，BC A 1∠为异面直线B A 1与11C B 所成的角或补角．……4分 在BC A 1∆中，因为，211===BC C A B A ，所以，异面直线B A 1与11C B 所成角为3π．…………………………7分 （2）设点1B 到平面BC A 1的距离为h ， 由（1）得23322211=π⋅⨯⨯=∆sin S BC A ，…………………………9分 21112111=⨯⨯=∆B B A S ，…………………………11分 因为，B B A C BC A B V V 1111--=，…………………………12分所以，CA S h S B B A BC A ⋅=⋅∆∆1113131，解得，33=h ． A1C CB1B 1A所以，点1B 到平面BC A 1的距离为33．…………………………14分或者用空间向量：（1） 设异面直线B A 1与11C B 所成角为θ，如图建系，则()1011-=,,A ，()01111,,C B -=，…………4分因为，321221π=θ⇒=⋅-==θcos 所以，异面直线B A 1与11C B 所成角为3π．…………7分（2）设平面BC A 1的法向量为()w ,v ,u =，则A ,1⊥⊥又()011,,-=，()1011-=,,A ，……………9分 所以，由⎩⎨⎧=-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00001w u v u B A n ，得()111,,=．…………12分 所以，点1B 到平面BC A 1的距离33==d ．…………………………14分 18．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）已知函数2()cos 2sin f x x x x =-.（1）若角α的终边与单位圆交于点3455(,)P ，求()f α的值； （2）当[,]63ππ∈-x 时，求()f x 的单调递增区间和值域. 解：（1）∵角α的终边与单位圆交于点3455(,)P ，∴43sin =,cos =55αα ……2分 2243432()cos 2sin 2()55525αααα=-=⨯-⨯=f …4分（2）2()cos 2sin f x x x x =-x2cos21x x =+- …………………………6分2sin(2)16x π=+- …………………………8分由222262k x k πππππ-≤+≤+得，36k x k ππππ-≤≤+又[,]63x ππ∈-，所以()f x 的单调递增区间是[,]66x ππ∈-； ………………10分∵[,]63x ππ∈-，∴52666x πππ-≤+≤…………………………12分 ∴1sin(2)126x π-≤+≤，()f x 的值域是[2,1]-. ………………14分19．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：①3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值．．．．．E （单位：exp ）与游玩时间t （小时）满足关系式：22016E t t a =++；②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验．．．．值．不变）； ③超过5小时为不健康时间，累积经验．．．．值．开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50.（1）当1a =时，写出累积经验值．．．．．E 与游玩时间t 的函数关系式()E f t =，并求出游玩6小时的累积经验值．．．．．； （2）该游戏厂商把累积经验值．．．．．E 与游玩时间t 的比值称为“玩家愉悦指数”，记作()H t ；若0a >，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a 的取值范围.解：（1）22016,03()85,3533550,5t t t E f t t t t ⎧++<≤⎪==<≤⎨⎪->⎩ （写对一段得1分，共3分）6t =时，(6)35E = （6分） （2）03t <≤时，16()=20aH t t t++ （8分） 16()244≥⇒+≥aH t t t① 04319[,]41684a a a ⎧<≤⎪⇒∈⎨≥⎪⎩ （10分） ② 439(,)1616343a a a ⎧>⎪⇒∈+∞⎨+≥⎪⎩ （12分）综上，1[,)4a ∈+∞ （14分）20．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知双曲线Γ: 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，左、右两顶点分别是 1A 、2A ，弦 AB 和CD 所在直线分别平行于x 轴与 y 轴，线段BA 的延长线与线段CD 相交于点 P （如图）．（1）若3)d =u r是Γ的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的夹角θ；（2）若1PA =，5PB = ，2PC =，4PD =，试求双曲线Γ的方程；（3）在（．．1．）的条件下．．．．．，且124A A =，点C 与双曲线的顶点不重合，直线1CA 和直线2CA 与直线:1l x =分别相交于点M 和N ，试问：以线段MN 为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由．解：（1）双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为：即0bx ay ±=，所以32b a =，…………2分 从而3tan2θ=，22tan 2tan 431tan2θθθ==-， 所以arctan 3θ=………………………………………………………………………………………..4分（2）设 (,)P P P x y ，则由条件知：20题图11()()322P x PB PA PA PB PA =-+=+=，11()()122P y PC PD PC PD PC =+-=-=，即(3,1)P ．…………6分所以(2,1)A ，(3,3)C ，…………………………………………………………………..…………7分代入双曲线方程知：2751,2781199114222222==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-b a ba b a ……9分 127527822=-y x ………………………………………………………………….. 10分 （3）因为124A A =，所以2a =，由（1）知，b =Γ的方程为: 22143x y -=， 令00(,)C x y ，所以2200143x y -=，010:(2)2y CA y x x =++，令1x =，所以003(1,)2y M x +， 020:(2)2y CA y x x =--，令1x =，所以00(1,)2y N x --， …………12分 故以MN 为直径的圆的方程为：200003(1)()()022y y x y y x x --+--=+-， 即222000200033(1)()0224y y y x y y x x x -++--=-+-，即22000039(1)()0224y y x y y x x -++--=-+，……………………………………………….14分 若以MN 为直径的圆恒经过定点),(y x于是⎪⎩⎪⎨⎧=±=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=0231049)1(022y x y x y所以圆过x 轴上两个定点5(,0)2和1(,0)2-……………………………………………………16分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知平面直角坐标系xOy ，在x 轴的正半轴上，依次取点123,,,L n A A A A （*n N ∈），并在第一象限内的抛物线232y x =上依次取点123,,,,L n B B B B （*n N ∈），使得1k k k A B A -∆*()k N ∈都为等边三角形，其中0A 为坐标原点，设第n 个三角形的边长为()f n .（1）求(1),(2)f f ，并猜想()f n （不要求证明）； （2）令9()8n a f n =-，记m t 为数列{}n a 中落在区间2(9,9)mm内的项的个数，设数列{}m t 的前m 项和为m S ，试问是否存在实数λ，使得2λ≤m S 对任意*m N ∈恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由； （3）已知数列{}n b满足：112n b b +==数列{}n c 满足：111,n nc c +==求证：1()2n n n b f c π+<<.解：（1）(1)1f =，(2)2f = （2分） 猜想()f n n = （2分） （2）98n a n =- （5分） 由21218899899999m m m m n n --<-<⇒+<<+ 112191,92,,9---∴=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅m m m n （6分） 21199m m m t --∴=- （7分） 352211(91)(99)(99)(99)m m m S --∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-352121(9999)(1999)m m --=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+22129(19)(19)91091191980m m m m +---⋅+=-=-- （9分） 2λ≤m S 对任意*m N ∈恒成立min 12()83λλ⇒≤==⇒≤m S S （10分）.（3）1sin,4b π=记1sin ,4n n b πθθ==，则1sin sin 2n n θθ+==*1()2n n n N πθ+⇒=∈ （12分）1tan ,4c π=记1tan ,4n n c πϕϕ==，则1sec 1tan tan tan 2n n n n ϕϕϕϕ+-==*1()2n n n N πϕ+⇒=∈ （14分）11sin,tan ,22n n n n b c ππ++∴==当(0,)2x π∈时，sin tan x x x <<可知： 1111sin()tan ,2222n n n n n n b f c ππππ++++=<=<= （18分）。
上海浦东新区2019高三上年末质量监测试题--数学(理)
上海浦东新区2019高三上年末质量监测试题--数学（理）数学〔科〕 2018.01注意：1、答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2、本试卷共有23道试题，总分值150分，考试时间120分钟.【一】填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分.1、函数)0(1)(2≥+=x x x f 的反函数为1()f x -，那么=-)5(1f _____.2、椭圆15922=+y x 的焦点坐标为____________. 3、方向向量为(3,4)d =，且过点)1,1(A 的直线l 的方程是______. 4、假设)1(lim =-∞→n n a ，那么实数a 的取值范围是 .5、某个线性方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110201，此方程组的解记为),(b a ，那么行列式123212a b 的值是_ .6、某校师生共1200人，其中学生1000人，教师200人。
为了调查师生的健康状况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为60的样本，应抽取学生人数为 . 7、假设9)(xa x +的二项展开式中3x 的系数为84-，那么实数=a ____________.8、向量)1,(sin θ=，)cos ,1(θ=，假设b a ⊥，那么=θ______.9、从集合}54,3,2,1{，中随机选取一个数a ，从}3,2,1{中随机选一个数b ，那么b a ≥的概率为_____.10、函数()1log (1)(01)af x x a a =+->≠且的图像恒过定点P ，又点P 的坐标满足方程1=+ny mx ，那么mn 的最大值为 . 11、正三棱锥ABC O -的底面边长为1，且侧棱与底面所成的角为︒60，那么此三棱锥的体积为 . 12、函数||4||)(x x x f +=，当]1,3[--∈x 时，记)(x f 的最大值为m ，最小值为n ，那么=+n m ______.13、函数),2,(cos sin )(*R x n N n x x x f n n ∈≠∈+=的最小正周期为__________. 14、假设X 是一个非空集合，M 是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X M ∈、M ∅∈；②对于X 的任意子集A 、B ，当A M ∈且B M ∈时，有A B M ∈； ③对于X 的任意子集A 、B ，当A M ∈且B M ∈时，有AB M ∈；那么称M 是集合X 的一个“M —集合类”.例如：}},,{,},{,}{,}{,{c b a c b c b M ∅=是集合},,{c b a X =的一个“M —集合类”。
上海市浦东新区2019年高三第一学期期末(一模)学科质量检测数学试题及答案(word版)
浦东新区2018-2019学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷 2018.12考生注意：1．本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分．2．作答前，在试卷与答题纸正面填写学校、班级、考生号、姓名等．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知全集R U =，集合(][)12,,=-∞+∞A ，则U =A ð______________.2. 抛物线24=y x 的焦点坐标为_________.3. 不等式2log 1021>x 的解为____________.4. 已知复数z 满足(1i)4i z +⋅=（i 为虚数单位），则z 的模为_________.5. 若函数()=y f x 的图像恒过点01(,)，则函数13()-=+y fx 的图像一定经过定点____.6. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S .若936=S ，则348++=a a a ________.7. 在△ABC 中，内角,,A B C 的对边是,,a b c .若22)32(b a ⋅+=，c b =，则=A ___.8. 已知圆锥的体积为π33，母线与底面所成角为3π，则该圆锥的表面积为 ．9.已知二项式n的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第五项为________.10. 已知函数()2||1=+-f x x x a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为_____. 11. 已知数列{}n a 满足：211007(1)2018(1)++=-++n n n na n a n a *()∈n N ，且121,2,a a ==若1lim,+→∞=n n na A a 则=A ___________.12.已知函数()2,24161,22-⎧≥⎪+⎪=⎨⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎩x axx x f x x ，若对任意的[)12,∈+∞x ，都存在唯一的()2,2∈-∞x ，满足()()12=f x f x ，则实数a 的取值范围为_________.二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分. 13. “14<a ”是“一元二次方程20-+=x x a 有实数解”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）充分必要条件 （C ）必要非充分条件 （D ）非充分非必要条件 14. 下列命题正确的是（ ）（A ）如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行（B ）如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面 （C ）如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面 （D ）如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行15. 将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（ ）种.（A ）72 （B ）36 （C ）64 （D ）81 16. 已知点()()1,2,2,0-A B ，P为曲线=y ⋅AP AB 的取值范围为（ ） （A ）[]1,7（B ）[]1,7-（C）1,3⎡+⎣（D）1,3⎡-+⎣三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分 已知直三棱柱ABC C B A -111中，︒=∠===9011BAC ,AA AC AB . （1）求异面直线B A 1与11C B 所成角； （2）求点1B 到平面BC A 1的距离．A1C CB1B 1A18．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）已知函数2()cos 2sin f x x x x =-.（1）若角α的终边与单位圆交于点3455(,)P ，求()f α的值； （2）当[,]63ππ∈-x 时，求()f x 的单调递增区间和值域.19．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：①3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值．．．．．E （单位：exp ）与游玩时间t （小时）满足关系式：22016E t t a =++；②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验．．．．值．不变）； ③超过5小时为不健康时间，累积经验值．．．．．开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50.（1）当1a =时，写出累积经验值．．．．．E 与游玩时间t 的函数关系式()E f t =，并求出游玩6小时的累积经验值．．．．．； （2）该游戏厂商把累积经验值．．．．．E 与游玩时间t 的比值称为“玩家愉悦指数”，记作()H t ；若0a >，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a的取值范围.20．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知双曲线Γ:22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，左、右两顶点分别是1A 、2A ，弦AB 和CD 所在直线分别平行于x 轴与y 轴，线段BA 的延长线与线段CD 相交于点P （如图）．（1）若d =是Γ的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的夹角θ； （2）若1PA =，5PB =，2PC =，4PD =，试求双曲线Γ的方程；（3）在（．．1．）的条件下．．．．．，且124A A =，点C 与双曲线的顶点不重合，直线1CA 和直线2CA 与直线:1l x =分别相交于点M 和N ，试问：以线段MN 为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知平面直角坐标系xOy ，在x 轴的正半轴上，依次取点123,,,n A A A A （*n N ∈），并在第一象限内的抛物线232y x =上依次取点123,,,,n B B B B （*n N ∈），使得1k k k A B A -∆*()k N ∈都为等边三角形，其中0A 为坐标原点，设第n 个三角形的边长为()f n . （1）求(1),(2)f f ，并猜想()f n （不要求证明）；（2）令9()8n a f n =-，记m t 为数列{}n a 中落在区间2(9,9)m m内的项的个数，设数列{}m t 的前m 项和为m S ，试问是否存在实数λ，使得2λ≤m S 对任意*m N ∈恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由； （3）已知数列{}n b满足：112n b b +==数列{}n c 满足：111,n n c c +==求证：1()2n n n b f c π+<<.浦东新区2018-2019学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知全集R U =，集合(][)12,,=-∞+∞A ，则U =A ð______________.()12,2. 抛物线24=y x 的焦点坐标为_________.()10,3. 不等式2log 1021>x 的解为____________.4(,)+∞4. 已知复数z 满足(1i)4i z +⋅=（i 为虚数单位），则z 的模为_________. 225. 若函数()=y f x 的图像恒过点01(,)，则函数13()-=+y f x 的图像一定经过定点____.()13,6. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S .若936=S ，则348++=a a a ________.127. 在△ABC 中，内角,,A B C 的对边是,,a b c .若22)32(b a ⋅+=，c b =，则=A ___.56π8. 已知圆锥的体积为π33，母线与底面所成角为3π，则该圆锥的表面积为 ．π39.已知二项式n的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第五项为________.358x 10. 已知函数()2||1=+-f x x x a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为_____.(,-∞11. 已知数列{}n a 满足：211007(1)2018(1)++=-++n n n na n a n a *()∈n N ， 且121,2,a a ==若1lim,+→∞=n n na A a 则=A ___________. 100912.已知函数()2,24161,22-⎧≥⎪+⎪=⎨⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎩x axx x f x x ，若对任意的[)12,∈+∞x ，都存在唯一的()2,2∈-∞x ，满足()()12=f x f x ，则实数a 的取值范围为_________.[)2,6∈-a解：当[)12,∈+∞x 时，1211041616x x ⎛⎤∈ ⎥+⎝⎦，. 当()2,2∈-∞x 时，（1）若2a ≥，则()11=22x aa xf x --⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在(),2-∞上是单调递增函数，所以()2210,2a f x -⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.若满足题目要求，则21100,162a -⎛⎫⎛⎤⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎥ ⎪⎝⎦⎝⎭⎝⎭，，所以24111,24,62162a a a -⎛⎫⎛⎫>=∴-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.又2a ≥，所以[)2,6a ∈. （2）若2a <，则()1,,21=21, 2.2a xx ax ax a f x a x ---⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫=⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，()f x 在(),a -∞上是单调递增函数，此时()()0,1f x ∈；()f x 在[),2a 上是单调递减函数，此时()21,12a f x -⎛⎤⎛⎫∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎥⎝⎦.若满足题目要求，则211,2162aa -⎛⎫≤∴≥- ⎪⎝⎭，又2a <，所以[)2,2a ∈-.综上，[)2,6a ∈-.二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分. 13. “14<a ”是“一元二次方程20-+=x x a 有实数解”的（A ） （A ）充分非必要条件（B ）充分必要条件 （C ）必要非充分条件（D ）非充分非必要条件 14. 下列命题正确的是（D ）（A ）如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行（B ）如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面 （C ）如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面 （D ）如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行15. 将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（B ）种.（A ）72（B ）36（C ）64（D ）8116. 已知点()()1,2,2,0-A B ，P为曲线=y ⋅AP AB 的取值范围为（A ）（A ）[]1,7（B ）[]1,7-（C）1,3⎡+⎣（D）1,3⎡-+⎣三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分 已知直三棱柱ABC C B A -111中，︒=∠===9011BAC ,AA AC AB . （1）求异面直线B A 1与11C B 所成角； （2）求点1B 到平面BC A 1的距离．解：（1）在直三棱柱ABC C B A -111中，AB AA ⊥1，AC AA ⊥1,︒=∠===9011BAC ,AA AC AB所以，211===BC C A B A ．…………………………2分因为，11C B //BC ，所以，BC A 1∠为异面直线B A 1与11C B 所成的角或补角．……4分 在BC A 1∆中，因为，211===BC C A B A ，所以，异面直线B A 1与11C B 所成角为3π．…………………………7分 （2）设点1B 到平面BC A 1的距离为h ， 由（1）得23322211=π⋅⨯⨯=∆sin S BC A ，…………………………9分 21112111=⨯⨯=∆B B A S ，…………………………11分 因为，B B A C BC A B V V 1111--=，…………………………12分所以，CA S h S B B A BC A ⋅=⋅∆∆1113131，解得，33=h ． 所以，点1B 到平面BC A 1的距离为33．…………………………14分 A1C CB1B 1A或者用空间向量：（1）设异面直线B A 1与11C B 所成角为θ，如图建系，则()1011-=,,B A ，()01111,,C B -=，…………4分因为，321221π=θ⇒=⋅-==θcos 所以，异面直线B A 1与11C B 所成角为3π．…………7分 （2）设平面BC A 1的法向量为()w ,v ,u n =，则B A n ,BC n 1⊥⊥又()011,,-=，()1011-=,,A ，……………9分所以，由⎩⎨⎧=-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00001w u v u B A n ，得()111,,=．…………12分 所以，点1B 到平面BC A 1的距离33==d ．…………………………14分 18．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）已知函数2()cos 2sin f x x x x =-.（1）若角α的终边与单位圆交于点3455(,)P ，求()f α的值； （2）当[,]63ππ∈-x 时，求()f x 的单调递增区间和值域.解：（1）∵角α的终边与单位圆交于点3455(,)P ，∴43sin =,cos =55αα ……2分 22434()cos 2sin 2()555αααα=-=⨯-⨯=f …4分 （2）2()cos 2sin f x x x x =-cos21x x =+-…………………6分2sin(2)16x π=+-…………………………8分由222262k x k πππππ-≤+≤+得，36k x k ππππ-≤≤+又[,]63x ππ∈-，所以()f x 的单调递增区间是[,]66x ππ∈-；………………10分x∵[,]63x ππ∈-，∴52666x πππ-≤+≤…………………………12分 ∴1sin(2)126x π-≤+≤，()f x 的值域是[2,1]-. ………………14分 19．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：①3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值．．．．．E （单位：exp ）与游玩时间t （小时）满足关系式：22016E t t a =++；②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验．．．．值．不变）； ③超过5小时为不健康时间，累积经验值．．．．．开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50.（1）当1a =时，写出累积经验值．．．．．E 与游玩时间t 的函数关系式()E f t =，并求出游玩6小时的累积经验值．．．．．； （2）该游戏厂商把累积经验值．．．．．E 与游玩时间t 的比值称为“玩家愉悦指数”，记作()H t ；若0a >，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a 的取值范围.解：（1）22016,03()85,3533550,5t t t E f t t t t ⎧++<≤⎪==<≤⎨⎪->⎩（写对一段得1分，共3分）6t =时，(6)35E = （6分）（2）03t <≤时，16()=20a H t t t++ （8分） 16()244≥⇒+≥a H t t t①0319[,]4164a ⎧<⎪⇒∈⎨⎪⎩ （10分） ②39(,)1616343a a ⎧>⎪⇒∈+∞⎨+≥⎪⎩（12分） 综上，1[,)4a ∈+∞ （14分） 20．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知双曲线Γ:22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，左、右两顶点分别是1A 、2A ，弦AB 和CD 所在直线分别平行于x 轴与y 轴，线段BA 的延长线与线段CD 相交于点P （如图）．（1）若d =是Γ的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的夹角θ；（2）若1PA =，5PB =，2PC =，4PD =，试求双曲线Γ的方程；（3）在（．．1．）的条件下．．．．．，且124A A =，点C 与双曲线的顶点不重合，直线1CA 和直线2CA 与直线:1l x =分别相交于点M 和N ，试问：以线段MN 为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由．解：（1）双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为： 即0bx ay ±=，所以b a =，…………2分从而tan 2θ=22tan 2tan 1tan 2θθθ==-，所以arctan θ=………………………………………………..4分 （2）设(,)P P P x y ，则由条件知：11()()322P x PB PA PA PB PA =-+=+=， 11()()122P y PC PD PC PD PC =+-=-=，即(3,1)P ．…………6分 所以(2,1)A ，(3,3)C ，………………………………………………………..…………7分 代入双曲线方程知：2751,2781199114222222==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-b a ba b a ……9分 127527822=-y x …………………………………………………………………..10分 （3）因为124A A =，所以2a =，由（1）知，b =Γ的方程为:22143x y -=， 令00(,)C x y ，所以2200143x y -=，010:(2)2y CA y x x =++，令1x =，所以003(1,)2y M x +， 020:(2)2y CA y x x =--，令1x =，所以00(1,)2y N x --，…………12分 故以MN 为直径的圆的方程为：200003(1)()()022y y x y y x x --+--=+-， 即222000200033(1)()0224y y y x y y x x x -++--=-+-， 即22000039(1)()0224y y x y y x x -++--=-+，…………………………………………….14分 若以MN 为直径的圆恒经过定点),(y x 于是⎪⎩⎪⎨⎧=±=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=0231049)1(022y x y x y 所以圆过x 轴上两个定点5(,0)2和1(,0)2-……………………………………………16分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知平面直角坐标系xOy ，在x 轴的正半轴上，依次取点123,,,n A A A A （*n N ∈），并在第一象限内的抛物线232y x =上依次取点123,,,,n B B B B （*n N ∈），使得1k k k A B A -∆*()k N ∈都为等边三角形，其中0A 为坐标原点，设第n 个三角形的边长为()f n . （1）求(1),(2)f f ，并猜想()f n （不要求证明）；（2）令9()8n a f n =-，记m t 为数列{}n a 中落在区间2(9,9)m m 内的项的个数，设数列{}m t 的前m 项和为m S ，试问是否存在实数λ，使得2λ≤m S 对任意*m N ∈恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由；（3）已知数列{}n b满足：11n b b +==数列{}n c 满足：111,n n c c +==求证：1()2n n n b f c π+<<. 解：（1）(1)1f =，(2)2f = （2分）猜想()f n n = （2分）（2）98n a n =- （5分） 由21218899899999m m m m n n --<-<⇒+<<+ 112191,92,,9---∴=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅m m m n （6分） 21199m m m t --∴=- （7分）352211(91)(99)(99)(99)m m m S --∴=-+-+-+⋅⋅⋅+- 352121(9999)(1999)m m --=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+22129(19)(19)91091191980m m m m +---⋅+=-=-- （9分） 2λ≤m S 对任意*m N ∈恒成立min 12()83λλ⇒≤==⇒≤m S S （10分）.（3）1sin ,4b π=记1sin ,4n n b πθθ==，则1sin sin 2n n θθ+== *1()2n n n N πθ+⇒=∈ （12分） 1tan,4c π=记1tan ,4n n c πϕϕ==，则1sec 1tan tan tan 2n n n n ϕϕϕϕ+-== *1()2n n n N πϕ+⇒=∈ （14分） 11sin,tan ,22n n n n b c ππ++∴== 当(0,)2x π∈时，sin tan x x x <<可知：1111sin ()tan ,2222n n n n n n b f c ππππ++++=<=<= （18分）。
2019届上海高三数学一模汇编(60页)
2019一模集合命题不等式专题一、解答题（宝山区一模2）集合U R =，集合{}{}30,10A x x B x x =->=+>，则U B C A =__________. 答案：(]1,3- (虹口区一模2)不等式的解集为________. 【答案】(虹口区一模3)设全集，若，则________. 【答案】（浦东新区一模1） 已知全集R U =，集合(][)12,,=-∞+∞A ，则U=A ______________. 答案：()12,（青浦区一模1）已知集合{1,0,1,2}A =-，(,0)B =-∞，则A B =答案： {1}-（青浦区一模2）写出命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题 答案： 若a b <，则22am bm < （青浦区一模3）不等式2433(1)12()2x x x ---<的解集为 答案：(2,3)-（徐汇区一模2）已知全集U R =，集合{}2|,,0A y y x x R x ==∈≠，则U C A =_________. 答案：(],0-∞（徐汇区一模3）若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为_________.答案：（杨浦区一模1）设全集{1,2,3,4,5}U =，若集合{3,4,5}A =，则UA =21xx >-1,12⎛⎫⎪⎝⎭U R ={2,1,0,1,2}A =--{}2|log (1)B x y x ==-()U A C B ={}1,2答案： {1,2}（杨浦区一模5）若实数x 、y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是 答案： 11[,]22-（杨浦区一模11）当0x a <<时，不等式22112()x a x +≥-恒成立，则实数a 的最大值为 答案： 2（长宁区一模1）已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则A B =答案：}6,4,3,2,1{（长宁区一模12） 已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程123123||||||||||||x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中最多有 个元素 答案：3（崇明区一模2）已知集合{}{}|12,1,0,1,2,3A x x B =-<<=-,则=A B ⋂ . （松江区一模1） 设集合{|1}A x x =>，{|0}3xB x x =<-，则A B = 答案： (1,3)(虹口区一模13)已知，则“”是“”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A（宝山区一模14）“,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦”是“()sin arcsin x x =”的（ ）条件..A 充分非必要 .B 必要非充分 .C 充要 .D 既非充分也非必要（浦东新区一模13） “14<a ”是“一元二次方程20-+=x x a 有实数解”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）充分必要条件 （C ）必要非充分条件 （D ）非充分非必要条件x R ∈1233x -<1x <答案： A（长宁区一模13）已知x ∈R ，则“0x ≥”是“3x >”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 答案：B（崇明区一模13）若b a <<0，则下列不等式恒成立的是（ ）.A ba 11> .B b a >- .C 22b a > .D 33b a < （崇明区一模14 ）“2<p ”是“关于x 的实系数方程012=++px x 有虚数根”的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件（松江区一模14）若0a >，0b >，则x y a b x y a b +>+⎧⎨⋅>⋅⎩是x ay b>⎧⎨>⎩的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要三、解答题（长宁区一模17） 求下列不等式的解集： （1）|23|5x -<；（2）442120x x-⋅->答案：（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由5|32|<-x 得 5325<-<-x ，……………………4分 解得 41<<-x ．所以原不等式的解集是 )4,1(-．…………………………………6分 （2）原不等式可化为()()22260x x +->， ……………………4分 因为220x+>，所以62>x， ……………………………………5分 解得 6log 2>x ． ………………………………………7分所以原不等式的解集是()2log 6,+∞． ……………………………8分2019一模函数专题一、填空题（宝山区一模4）方程()ln 9310x x +-=的根为__________. 答案：0x =（宝山区一模8）函数()y f x =与ln y x =的图像关于直线y x =-对称，则()f x =__________. 答案：()x f x e -=-（宝山区一模10）将函数y =的图像绕y 轴旋转一周所得的几何容器的容积是__________. 答案：23π(虹口区一模4)设常数，若函数的反函数的图像经过点，则__________. 【答案】(虹口区一模6)函数的值域为__________.【答案】(虹口区一模12)若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为________. 【答案】（浦东新区一模5）若函数()=y f x 的图像恒过点01(,)，则函数13()-=+y f x 的图像一定经过定点____. 答案：()13,（浦东新区一模10）已知函数()2||1=+-f x x x a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为_____.答案：(,-∞a R ∈3()log ()f x x a =+()2,1a =88()([2,8])f x x x x=+∈y kx =2|log (2)|2|1|x y x +=--k (,0]{1}-∞（浦东新区一模12）已知函数()2,24161,22-⎧≥⎪+⎪=⎨⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎩x ax x x f x x ，若对任意的[)12,∈+∞x ，都存在唯一的()2,2∈-∞x ，满足()()12=f x f x ，则实数a 的取值范围为_________. 答案：[)2,6∈-a（普陀区一模1）函数()2f x x=的定义城为 . 答案： (,0)(0,1]-∞（普陀区一模3）设11{,,1,2,3}32α∈--，若()f x x α=为偶函数，则α= . 答案： 2-（普陀区一模12）设a 为常数,记函数()1log 2axf x a x=+- （0a >且1,0a x a ≠<< ）的反函数为()1f x -，则1121f a -⎛⎫+⎪+⎝⎭111232++=212121a f f f a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.答案：2a（青浦区一模11）已知函数()2f x +=，当(0,1]x ∈时，2()f x x =，若在区间[1,1]-内()()(1)g x f x t x =-+有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是（徐汇区一模9）已知函数()f x 是以2为周期的偶函数，当01x ≤≤时，()lg(1)f x x =+，令函数[]()()()1,2g x f x x =∈，则()g x 的反函数为_________. 答案：()[]1310,0,lg2x gx x -=-∈（徐汇区一模11）已知R λ∈，函数24,()43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是_________. 答案：(]()1,34+∞，（杨浦区一模8）若函数1()ln1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+，且B A ⊆，则实数a 的取值范围为答案： [1,0]-（长宁区一模6） 已知幂函数()a f x x =的图像过点2，则()f x 的定义域为 答案：),0(+∞（长宁区一模8） 已知函数()log a f x x =和g()(2)x k x =-的图像如图所示，则不等式()0()f xg x ≥的解集是答案：)2,1[（崇明区一模9）若函数()1log 2+-=x ax x f 的反函数的图像过点()73，-，则=a .（崇明区一模11）设()x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]10，上单调递减，且满足()()22,1==ππf f ，则不等式组()⎩⎨⎧≤≤≤≤2121x f x 的解集为 .（松江区一模3）已知函数()y f x =的图像与函数xy a =(0,1)a a >≠的图像关于直线y x =对称，且点(4,2)P 在函数()y f x =的图像上，则实数a =答案：2（松江区一模9）若|lg(1)|0()sin 0x x f x x x ->⎧=⎨≤⎩，则()y f x =图像上关于原点O 对称的点共有 对 答案： 4（松江区一模12）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x ⋅-=和(1)(1)4f x f x +⋅-=对任意的x ∈R 都成立，若当[0,1]x ∈时，()f x 的值域为[1,2]，则当[100,100]x ∈-时，函数()f x 的值域为 答案：二、选择题(虹口区一模15)已知函数，，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A.B.C.D.【答案】B（宝山区一模15）关于函数()232f x x =-的下列判断，其中正确的是（ ） .A 函数的图像是轴对称图形 .B 函数的图像是中心对称图形 .C 函数有最大值 .D 当0x >时，()y f x =是减函数答案：A（普陀区一模16）设()f x 是定义在R 上的周期为4的函数，且()2sin 2,012log ,14x x f x x x π≤≤⎧=⎨<<⎩，记()()g x f x a =-，若102a <<，则函数()g x 在区间[]-45，上零点的个数是（ ） .A 5 .B 6 .C 7 .D 8 答案：D（青浦区一模16）记号[]x 表示不超过实数x的最大整数，若2()[]30x f x =+，则(1)(2)(3)(29)(30)f f f f f +++⋅⋅⋅++的值为（ ）A. 899B. 900C. 901D. 902（徐汇区一模15）对于函数()y f x =，如果其图像上的任意一点都在平面区域{}(,)|()()0x y y x y x -+≤内，则称函数()f x 为“蝶型函数”，已知函数:①sin y x =；②y = ）100100[2,2]-2()1f x ax x =-+1, 1(), 1 1 1, 1x g x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩()()y f x g x =-a (0,)+∞(,0)(0,1)-∞1(,)(1,)2-∞-+∞(,0)(0,2)-∞.A ①、②均不是“蝶型函数” .B ①、②均是“蝶型函数”.C ①是“蝶型函数”；②不是“蝶型函数 .D ①不是“蝶型函数”；②是“蝶型函数” 答案：B（杨浦区一模16）已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）A. [0,4)B. [1,4)-C. [3,5]-D. [0,7) 答案：A（杨浦区一模15）已知x x f θsin log )(=，(0,)2πθ∈，设sin cos ()2a f θθ+=，b f =，sin 2()sin cos c f θθθ=+，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A. a c b ≤≤B. b c a ≤≤C. c b a ≤≤D. a b c ≤≤ 答案：D（杨浦区一模13）下列函数中既是奇函数，又在区间[1,1]-上单调递减的是（ ） A. ()arcsin f x x = B. ()lg ||f x x = C. ()f x x =- D. ()cos f x x = 答案： C（长宁区一模16）某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题： 已知函数()y f x =的定义域为D ，12,x x D ∈，① 若当12()()0f x f x +=时，都有120x x +=，则函数()y f x =是D 上的奇函数； ② 若当12()()f x f x <时，都有12x x <，则函数()y f x =是D 上的增函数. 下列判断正确的是（ ）A. ①和②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题C. ①和②都是假命题D. ①是假命题，②是真命题 答案：C（崇明区一模16）函数()()，，22+-==x x x g x x f 若存在，，，，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⋯29021n x x x 使得 ()()()()()()()()，n n n n x f x g x g x g x g x f x f x f +⋯++=++⋯++--121121则n 的最大值为（ ）.A 11 .B 13 .C 14 .D 18三、解答题（宝山区一模19）某温室大棚规定：一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工人作业时段，从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度y (单位:度)与时间t (单位：小时，[]20,0∈t ）近似地满足函数213++-=t bt y 关系，其中，b 为大棚内一天中保温时段的通风量.（1）若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度(精确到0.1C ︒)；（2）若要保持大棚一天中保温时段的最低温度不小于17C ︒.求大棚一天中保温时段通风最的最小值. 答案：（1）203（2）256(虹口区一模18)已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值及函数的值域；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）由解得，反之时， ，符合题意，故据此，，即值域为 ⑵在显然是单调增函数，，所以，故，令，则随的增大而增大， 最大值为，所求范围是16()1x f x a a+=-+(0,1)a a >≠R a ()f x ()33x t f x ⋅≥-[1,2]x ∈t (0)0f =3a =3a =16()133x f x +=-+23113131x x x -=-=++3131()()3131x x x x f x f x -----==-=-++3a =1()301()x f x f x +=>-()(1,1)f x ∈-(1,1)-32()131f x =-+[1,2]x ∈13[,]25x ∈31(33)31x xx t +≥-⋅-max31(33)31x x x t ⎡⎤+≥-⋅⎢⎥-⎣⎦31,[2,8]xm m -=∈31(33)(2)31x xx m +-⋅--24m m m m+⋅=-m 152∴15[,)2+∞（浦东新区一模19）（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：①3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值．．．．．E （单位：exp ）与游玩时间t （小时）满足关系式：22016E t t a =++；②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验．．．．值．不变）； ③超过5小时为不健康时间，累积经验值．．．．．开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50.（1）当1a =时，写出累积经验值．．．．．E 与游玩时间t 的函数关系式()E f t =，并求出游玩6小时的累积经验值．．．．．； （2）该游戏厂商把累积经验值．．．．．E 与游玩时间t 的比值称为“玩家愉悦指数”，记作()H t ；若0a >，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a的取值范围.解：答案：（1）22016,03()85,3533550,5t t t E f t t t t ⎧++<≤⎪==<≤⎨⎪->⎩ （写对一段得1分，共3分）6t =时，(6)35E = （6分） （2）03t <≤时，16()=20aH t t t++ （8分） 16()244≥⇒+≥aH t t t①0319[,]4164a ⎧<≤⎪⇒∈⎨≥⎪⎩ （10分） ②39(,)1616343a a ⎧>⎪⇒∈+∞⎨+≥⎪⎩ （12分）综上，1[,)4a ∈+∞ （14分）（普陀区一模21）已知函数()2xf x =（x ∈R ），记()()()g x f x f x =--.（1）解不等式：(2)()6f x f x -≤；（2）设k 为实数，若存在实数0(1,2]x ∈，使得200(2)()1g x k g x =⋅-成立，求k 取值范围；（3）记()(22)()h x f x a f x b =++⋅+（其中a 、b 均为实数），若对于任意[0,1]x ∈，均 有1|()|2h x ≤，求a 、b 的值. 答案：（1）2(,log 3]-∞；（2）27119[,)2259；（3）12a =-，172b =.（青浦区一模19）对于在某个区间[,)a +∞上有意义的函数()f x ，如果存在一次函数()g x kx b =+使得对于任意的[,)x a ∈+∞，有|()()|1f x g x -≤恒成立，则称函数()g x 是函数()f x 在区间[,)a +∞上的弱渐近函数. （1）若函数()3g x x =是函数()3mf x x x=+在区间[4,)+∞上的弱渐近函数，求实数m 的取值范围；（2）证明：函数()2g x x =是函数()f x =[2,)+∞上的弱渐近函数. 答案：（1）[4,4]-；（2）略.（徐汇区一模18）已知函数()22ax f x x -=+，其中a R ∈. （1）解关于x 的不等式()1f x ≤-；（2）求a 的取值范围，使()f x 在区间()0+∞，上是单调减函数.答案：（1）1,2;1,20;1,02a x a x a x x =-≠->--<≤<-≥<-或 （2）1a <-（杨浦区一模19） 上海某工厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是3(51)x x+-元，其中110x ≤≤.（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求x 的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润.答案：（1）[3,10]；（2）6x =，最大值为4575.（长宁区一模20）已知函数2()1f x x mx =-++，()2sin()6g x x πω=+.（1）若函数()2y f x x =+为偶函数，求实数m 的值； （2）若0ω>，2()()3g x g π≤，且函数()g x 在[0,]2π上是单调函数，求实数ω的值； （3）若1ω=，若当1[1,2]x ∈时，总有2[0,]x π∈，使得21()()g x f x =，求实数m 的取值 范围.答案：（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解：（1）设()()2h x f x x =+，则()()221h x x m x =-+++由于()h x 是偶函数，所以对任意R ∈x ，()()h x h x -=成立．……2分 即 1)2(1))(2()(22+++-=+-++--x m x x m x 恒成立．即 0)2(2=+x m 恒成立， …………………………………3分 所以 02=+m ，解得 2-=m ．所以所求实数m 的值是 2-=m ． …………………………………4分 （2）由()2()3g x g π≤， 得22,362k k Z πππωπ⋅+=+∈ ，即132k ω=+()k Z ∈ ………2分 当[0,]2x π∈时，[,]6626x ππωππω+∈+()0ω>，因为sin y x =在区间[,]62ππ的单调递增， 所以262ωπππ+≤，再由题设得203ω<<…………………………5分 所以12ω=． ……………………………………6分 （3）设函数()f x 在[]1,2上的值域为A ，()g x 在[]0,π上的值域为B ， 由题意和子集的定义，得A B ⊆．………………………………………2分 当],0[π∈x 时，]67,6[6πππ∈+x ，]2,1[)(-∈x g ． ………………3分 所以当[]1,2x ∈时，不等式2112x mx -≤-++≤恒成立， 由[]1,1,2m x x x≤+∈恒成立，得2m ≤， 由[]2,1,2m x x x≥-∈恒成立，得1m ≥， 综上，实数m 的取值范围为[]1,2 ． ………………6分（崇明区一模19）（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能活得25万元1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20％.（即：设奖励方案函数模型为()y f x =时，则公司对函数模型的基本要求是：当[]25,1600x ∈时，①()f x 是增函数；②()75f x ≤恒成立；（3）()5xf x ≤恒成立.） （1） 判断函数()1030xf x =+是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；（2）已知函数()()51g x a =≥符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围. （松江区一模18）已知函数2()21x f x a =-+（常数a ∈R ） （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，若对任意的[2,3]x ∈，都有()2x mf x ≥成立，求m 的最大值. 答案：解：（1）若)(x f 为奇函数，必有(0)10f a =-= 得1a =，……………………2分当1a =时，221()12121x x x f x -=-=++，2112()()2121x xx x f x f x -----===-++∴当且仅当1a =时，)(x f 为奇函数 ………………………4分又2(1)3f a =-，4(1)3f a -=-，∴对任意实数a ，都有(1)(1)f f -≠∴)(x f 不可能是偶函数 ………………………6分（2）由条件可得：222()2(1)(21)32121x x x x x m f x ≤⋅=-=++-++恒成立， ……8分记21x t =+，则由[2,3]x ∈ 得[5,9]t ∈， ………………………10分此时函数2()3g t t t=+-在[5,9]t ∈上单调递增， ………………………12分所以()g t 的最小值是12(5)5g =， ………………………13分所以125m ≤ ，即m 的最大值是125 ………………………14分2019一模三角专题一、填空题（宝山区一模1）函数()()sin 2f x x =-的最小正周期为___________. 答案：π（宝山区一模9）已知()()2,3,1,4A B ，且()1sin ,cos ,,,222AB x y x y ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，则x y +=__________. 答案：62or ππ-（宝山区一模11）章老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知45b A =∠=︒,求边c 。
2019年上海市浦东新区高考数学一模试卷(解析版)
2019年上海市浦东新区高考数学一模试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1. “”是“一元二次方程有实数解”的A. 充分非必要条件B. 充分必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分非必要条件【答案】A【解析】解：当一元二次方程有实数解，则：，即，即，又”“能推出“”，但“”不能推出”“，即“”是“一元二次方程有实数解”的充分非必要条件．故选：A．先求出一元二次方程有实数解的充要条件为，再判断“”与”“的关系即可．本题考查了充分条件、必要条件、充要条件及一元二次方程的解，属简单题．2. 下列命题正确的是A. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行B. 如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面C. 如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面D. 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行【答案】D【解析】解：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，或相交，或异面，故错误；如果一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，那么这条直线不一定垂直于这个平面，故错误；如果一条平面外直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面，但平面内直线不满足条件，故错误；果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，故正确；故选：D．根据空间线面关系的判定定理，性质及几何特征，逐一分析给定四个结论的真假，可得答案．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间线面关系的判定，难度不大，属于基础题．3. 将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有种．A. 72B. 36C. 64D. 81【答案】B【解析】解：将4位志愿者分配到3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，共有．故选：B．先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步乘法原理得到结果本题考查排列组合及简单的计数问题，是一个基础题，本题又是一个易错题，排列容易重复，注意做到不重不漏．4. 已知点，，P为曲线上任意一点，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设则由可得，令，，，，，，，，，故选：A．结合已知曲线方程，引入参数方程，然后结合和角正弦公式及正弦函数的性质即可求解．本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角函数性质的简单应用，参数方程的应用是求解本题的关键二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 已知全集，集合，则______．【答案】【解析】解：．故答案为：．进行补集的运算即可．考查区间表示集合的概念，以及补集的运算．6. 抛物线的焦点坐标是______．【答案】【解析】解：根据题意，抛物线的开口向右，其焦点在x轴正半轴上，且，则抛物线的焦点坐标为，故答案为：．根据题意，由抛物线的标准方程分析可得抛物线的点在x轴正半轴上，且，由抛物线的焦点坐标公式计算可得答案．本题考查抛物线的几何性质，注意分析抛物线的开口方向．7. 不等式的解为______．【答案】【解析】解：根据题意，，若，即，解可得，即不等式的解集为；故答案为：．根据题意，由行列式的计算公式可得，原不等式变形可得，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查对数不等式的解法，涉及行列式的计算，属于基础题．8. 已知复数z满足为虚数单位，则z的模为______．【答案】【解析】解：复数z满足为虚数单位，，则．则．故答案为：．利用复数的运算法则及其性质即可得出．本题考查了复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9. 若函数的图象恒过点，则函数的图象一定经过定点______．【答案】【解析】解：因为的图象恒过，所以过，所以的图象一定经过定点故答案为：因为的图象恒过，所以过，在上移3个单位得本题考查了反函数，属基础题．10. 已知数列为等差数列，其前n项和为若，则______．【答案】12【解析】解：数列为等差数列，其前n项和为，，解得，．故答案为：12．由，得，再由，能求出结果．本题考查等差数列的三项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11. 在中，内角A，B，C的对边是a，b，若，，则______．【答案】【解析】解：，又，．故答案为：．在中，运用余弦定理：，代入计算即可得到．本题考查余弦定理及运用，考查运算能力，属于基础题．12. 已知圆锥的体积为，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为______．【答案】【解析】解：圆锥的体积为，母线与底面所成角为，如图，设圆锥底面半径，则母线长，高，，解得，，，该圆锥的表面积为．故答案为：．设圆锥底面半径，则母线长，高，则，求出，，该圆锥的表面积为，由此能求出结果．本题考查圆锥的表面积的求法，考查圆锥的性质、体积、表面积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13. 已知二项式的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第五项为______．【答案】【解析】解：已知二项式的展开式中，前三项的二项式系数之和为，则，故展开式中的第五项为，故答案为：由题意利用二项式系数的性质求得n的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的第五项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14. 已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】解：由可得，即有三个正根，可得或，由，递减，可得方程有一解；由，时取得等号，可得时，有两个正根，综上可得a的范围是故答案为：由，可得，可得或，由函数的单调性和基本不等式，即可得到所求范围．本题考查函数的零点问题解法，注意运用分离参数法和函数的单调性、基本不等式，考查运算能力，属于中档题．15. 已知数列满足：，且，，若，则______．【答案】1009【解析】解：，，，，时，，，对于上式两边取极限可得：，化为：，解得．故答案为：1009．，，，可得，时，，根据已知，对于上式两边取极限可得：，即可解出．本题考查了数列极限性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16. 已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】解：当时，当时，若，则在上是单调递增函数，所以若满足题目要求，则所以，，又，所以．若，则，在上是单调递增函数，此时；在上是单调递减函数，此时．若满足题目要求，则，，又，所以．综上，．故答案为：．由题意可得在的范围包含在的范围内，先运用基本不等式求得在的范围，再讨论，，结合函数的单调性可得的范围，解a的不等式可得所求范围．本题考查分段函数的运用，考查任意性和存在性问题解法，注意运用分类讨论思想和转化思想，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 已知直三棱柱中，，．求异面直线与所成角；求点到平面的距离．【答案】解法一：在直三棱柱中，，，，所以，分因为，，所以为异面直线与所成的角或补角分在中，因为，，所以，异面直线与所成角为分设点到平面的距离为h，由得，分，分因为，，分所以，，解得，．所以，点到平面的距离为分解法二：设异面直线与所成角为，如图建系，则，，分因为，所以，异面直线与所成角为分设平面的法向量为，则．又，，分所以，由，得分所以，点到平面的距离分【解析】法一：求出，从而，进而为异面直线与所成的角或补角，由此能求出异面直线与所成角．设点到平面的距离为h，由，能求出点到平面的距离．法二：设异面直线与所成角为，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角．求出平面的法向量，利用向量法能求出点到平面的距离．本题考查异面直线所成角的求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．18. 已知函数．若角的终边与单位圆交于点，求的值；当时，求的单调递增区间和值域．【答案】解：角的终边与单位圆交于点，，；由；由，得，，又，所以的单调递增区间是；，，，故得的值域是．【解析】利用定义即可求解的值；利用三角恒等式公式化简，结合三角函数的性质即可求解，当时，求解内层函数，从而求解值域．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．19. 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：小时以内含3小时为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值单位：与游玩时间小时满足关系式：；到5小时含5小时为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为即累积经验值不变；超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50．当时，写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式，并求出游玩6小时的累积经验值；该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”，记作；若，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a的取值范围．【答案】解：，当时，，当时，，则，，综上，【解析】根据题意即可得到函数的解析式，并求出游玩6小时的累积经验值，根据这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求出，再分类讨论，即可求出a的范围．本题考查了函数在实际生活中的应用，关键求出函数的解析式，属于中档题20. 已知双曲线：的左、右焦点分别是、，左、右两顶点分别是、，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点如图．若是的一条渐近线的一个方向向量，试求的两渐近线的夹角；若，，，，试求双曲线的方程；在的条件下，且，点C与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线l：分别相交于点M和N，试问：以线段MN为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由．【答案】解：双曲线的渐近线方程为：即，所以，分从而，，所以分设，则由条件知：，，即分所以，，分代入双曲线方程知：分双曲线的方程：分因为，所以，由知，，所以的方程为：，令，所以，：，令，所以，：，令，所以，分故以MN为直径的圆的方程为：，即，即，分若以MN为直径的圆恒经过定点于是所以圆过x轴上两个定点和分【解析】可得，从而，，即求得即，从而得，代入双曲线方程知：即可；可得的方程为：，求得，：，令，所以，以MN为直径的圆的方程为：，于是，即可得圆过x轴上两个定点和．本题考查了双曲线的方程与性质，以及圆过定点问题，属于中档题，21. 已知平面直角坐标系xOy，在x轴的正半轴上，依次取点，，，，并在第一象限内的抛物线上依次取点，，，，，使得都为等边三角形，其中为坐标原点，设第n个三角形的边长为．求，，并猜想不要求证明；令，记为数列中落在区间内的项的个数，设数列的前m项和为，试问是否存在实数，使得对任意恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；已知数列满足：，数列满足：，求证：．【答案】解：，分猜想分分由，，，，分分分对任意恒成立分．证明：，记，则分，记，则分，当时，可知：，分【解析】，，进而猜想出．由，可得，，，，利用等比数列的求和公式即可得出根据对任意恒成立即可得出范围．，记，可得，，记，可得，根据当时，即可得出．本题考查了数列与函数的关系、等比数列的通项公式与求和公式及其性质、三角函数求值及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．第11页，共11页。
上海市浦东新区2019-2020学年高三第一学期数学一模考试卷
浦东新区2019学年度第一学期期末教学质量检测高三数学试卷 2019.12考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分 .一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．若集合{|03}A x x =<<，集合{|2}B x x =<，则A B =____________．2．222lim 31n n n →∞=+____________．3．复数z 满足i 1i z ⋅=+（i 为虚数单位），则z =____________．4．若关于y x 、的方程组为12x y x y +=⎧⎨-=⎩，则该方程组的增广矩阵为____________．5．设{}n a 是等差数列，且13a =，3518a a +=，则n a =____________． 6．在6(x+的二项展开式中，常数项为____________． 7．如果圆锥的底面圆半径长为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为____________． 8．已知集合1112,1,,,,1,2,3232A ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭，任取k A ∈，则幂函数()k f x x =为偶函数的概率为____________．（结果用数值表示）9．在ABC △中，边a b c 、、满足6a b +=，120C ∠=︒，则边c 的最小值为___________．10．若函数2y ax a =+存在零点，则实数a 的取值范围是____________．11．已知数列{}n a 中，111,(1)1n n a na n a +==++，若对于任意的[2,2]a ∈-、*n N ∈，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为_____________．12．如果方程组⎩⎨⎧=+++=+++2019sin sin 2sin 0sin sin sin 2121n n x n x x x x x 有实数解，则正整数n 的最小值是____________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=.则命题甲是命题乙的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）非充分非必要条件14．已知函数1()f x -为函数()f x 的反函数，且函数(1)f x -的图像经过点11（，），则函数1()f x -的图像一定经过点（ ）（A ）01（，） （B ）10（，） （C ）12（，） （D ）21（，）15．以抛物线24y x =的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为（ ）（A ）2211615x y += （B ）221164x y += （C ）22143x y += （D ）2214x y +=16．动点(,)A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰好是12秒．已知时间0t =时，点A的坐标是12⎫⎪⎪⎝⎭． 则动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（ ） （A ）[]0,3 （B ）[]3,6 （C ）[]6,9 （D ）[]9,12三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）.本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图，四棱锥ABCD S -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ,a AD SD ==，点E 是线段SD 上任意一点． （1）求证：BE AC ⊥；（2）试确定点E 的位置，使BE 与平面ABCD 所成角的大小为30．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数2()2cos 2f x x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC △中，6BC BA ⋅=，若函数()f x 的图像经过点)2,(B ，求ABC ∆的面积. S D BACE19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为8.1万元．在当地政府大力扶持和引导下，村委会决定，2020年初抽出x 5户（9,≤∈*x N x ）从事水果销售工作．经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了%4x ，而从事水果销售的农户平均每户年收入为⎪⎭⎫⎝⎛-x 513万元． （1）为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元，那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？（2）若一年后，该村平均每户的年收入为()f x （万元），问()f x 的最大值是否可以达到2.1万元？20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知曲线:C 221x y -=，过点(,0)T t 作直线l 和曲线C 交于,A B 两点.（1）求曲线C 的焦点到它的渐近线之间的距离；（2）若0t =，点A 在第一象限，AH x ⊥轴，垂足为H ，连结BH .求直线BH 倾斜角的取值范围；（3）过点T 作另一条直线m ，m 和曲线C 交于,E F 两点. 问是否存在实数t ，使得0AB EF ⋅=和AB EF =同时成立.如果存在，求出满足条件的实数t 的取值集合；如果不存在，请说明理由.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.定义()3,N ),,,(1322121≥∈-++-+-=*-n n a a a a a a a a a f n n n 为有限实数列{}n a 的波动强度． （1）求数列1423，，，的波动强度；（2）若数列,,,a b c d 满足()()0a b b c -->，判断()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；（3）设数列n a a a ,,,21 是数列nn 2,,23,22,21321++++ 的一个排列，求()12,,,n f a a a 的最大值，并说明理由．浦东高三数学答案 2019.12一、填空题 注：填写等价即可得分1、 0,2)（；2、23； 3； 4、111112⎛⎫⎪-⎝⎭； 5、21n a n =+ ； 6、15；7、2π； 8、0.25； 9、10、； 11、(],1-∞-； 12、 90. 二、选择题 13----16： ABCD三、解答题 注：其他解法相应给分17．【解答】（1）证明：联结BD ，因为四边形ABCD 为正方形， 所以，BD AC ⊥，……………………………………………………2分 又因为SD ⊥平面ABCD ，AC ⊂≠平面ABCD ，所以SD AC ⊥．………………………………………………………4分 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋂⊥⊥D SD BD SD AC BDAC ⇒⊥AC 平面SBD ．……………………………………………………………6分又因为BE ⊂≠平面S E ，所以BE AC ⊥．…………………………………………………………7分（2）解法一：设t ED =，因为SD ⊥平面ABCD ， 所以BE与平面A B 所成角为EBD ∠．…………………………………………………………2分 在EDBRt ∆中，由t a EBD ∠=30︒at 2=a t 36=⇒．……………………………………6分 所以，当a ED 36=时，BE 与平面A B C D 所成角的大小为30．………………………………7分解法2：（1）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系．()000,,D ，()00,,a A ，()0,a ,a B ，()00,a ,C ．S DBACE设t DE =,则)t ,,(E 00 ………………………………………………2分 则()0,a ,a -=，()t ,a ,a --=……………………………4分因为0022=+-=⋅a a BE AC ， 所以BE AC ⊥ (7)分 （2）取平面AB的一个法向量为()100,,n = ………………………………………………8分因为()t ,a ,a --=，可知直线BE 的一个方向向量为()t ,a ,a --=．设BE 与平面ABCD 所成角为θ，由题意知=θ30．与所成的角为ϕ，则222ta a t cos ++==ϕ，…………………………………………………………………10分 因为21=ϕ=θc o ss i n，所以，21222=++t a a t ，……………………………………………12分 解得，a t 36=．………………………………………………………………………………………13分 当a ED 36=时，BE 与平面A B C 所成角的大小为30．……………………………………14分18．【解答】（1）()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ …………………………………………………………3分,,,36T x k k k Z πππππ⎡⎤⇒=∈-+∈⎢⎥⎣⎦ (6)分 （2）302162sin 2)(πππ=⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=B B B B f………………………………………………10分612B C B A a c ⋅=⇒= (12)分∴1sin 2ABC S ac B ==△…………………………………………………………………14分19．【解答】（1）经过三年，种植户的平均收入为31.8(14%)x + ………………………………2分 因而由题意31.8(1)2.425x +≥，得1 2.516125x x +≥≥ ……………………………………4分 由3x Z x ∈⇒≥,即至少抽出15户贫困农户从事水果销售工作. …………………………………6分 （2）2*5(3) 1.8(1005)(1)13466525()(180)(,9)100100255x xx x f x x x x N x -+⨯-+==-++∈≤……10分 对称轴*16534x N =∉， ………………………………………………………………………………11分 因而当()95<=x 时，ma ()2.122f x=> ……………………………………………………13分 可以达到2万元． ………………………………………………………………………………14分 20．【解答】（1）曲线C的焦点为())12,F F ，渐近线方程y x =±，……………2分由对称性，不妨计算)2F 到直线y x =的距离，1d ==. ……………4分（2）设:(01)l y kx k =<<，11111(,),(,),(,0)A x y B x y H x --，从而1122BH y kk x ==………7分 又因为点A 在第一象限，所以01k <<， ………………………………………………8分从而102BH k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，…………………………………………………………………………9分所以直线BH倾斜角的取值范围是1(,a r c t a n )2………………………………………10分 （3）当直线:0l y =，直线:m x t = ((2,,0,AB E F =，t ⇒=当直线:l x t =，直线:0m y =时，t =这种不讨论不扣分）………11分不妨设():()0l yk x t k=-≠，与双曲线联立可得22222(1)2(1)0k x k tx k t -+-+=，…12分由弦长公式，22||AB == ……………………14分 将k替换成1k-，可得2||21EF k =- ………………………………………15分由||||AB EF =，可得2222(1)11t k t k -+=-+，解得22t =，此时2224(1)0k t k ∆=-+>成立． 因此满足条件的集合为21．【解答】解：（1）()1,4,2,31442236f =-+-+-=…………………………………4分 （2）()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤是正确的…………………………………………………………6分解法1：()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b c d a c b d -=-+-----，a b c a b c >><<或，a b a c b c ∴---=--，c d b d b c ---≤-所以()(),,,,,,0f a b c d f a c b d -≤，即()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤ 并且当b c >时，d b ≥可以取等号，当c b >时，若d b ≤可以取等号， 所以等号可以取到……………………………………………………………………………………10分 解法2：不妨设a b c >>，分4种情况讨论[1] 若d a ≥，则()()()()()(),,,,,,0f a b c d f a c b d a b d c a c d b -=-+-----=，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴=………………………………………………………………………7分 [2]若a d b>≥，则()()()()()(),,,,,f a b c d f-=-+，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴=………………………………………………………………………8分[3] 若b d c >≥，则()()()()()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b d c a c b d -=-+-----=()20d b -<，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴<………………………………………………9分[4] 若c d >，则()()()()()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b c d a c b d -=-+-----=()20c b -<，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴<………………………………………………10分（3）设2ii b i =+，1i n ≤≤，{}n b 是单调递增数列.分n 是奇、偶数情况讨论 ………………………………………………………………………11分()121122,,...,n n n f a a a x a x a x a =+++，其中{}1,1,1n x x ∈-，{}21,...,2,0,2n x x -∈-，并且120n x x x +++=.经过上述调整后的数列，系数21,...,n x x -不可能为0.当n 为偶数时，系数中有12n -个2和12n-个2-，1个1和1个1-. 当n 为奇数时，有两种情况（1）系数中有12n -个2和32n -个2-，2个1-.（2）系数中有12n -个2-和32n -个2，2个1.[1] n 是偶数，*2,2,n k k k N =≥∈，()()2211122k k k k k b b b b b b ++-=+++--++L L …………………………………………………13分()()()22111k k k k k =+++---+-++⎡⎤⎣⎦L L2112222222k k k k k ++⎡⎤++---+-⎣⎦L L ()2211=21222222k k k ++⎡⎤-+---⎣⎦2223212224k k k k ++=-+--+221429232n nn =+⋅-⋅+………………………………………………………………………15分[2] n 是奇数，*21,n k k N =+∈，因为2120k k k b b b +-+>，212122k k k k k k b b b b b b ++++∴--≥+-，可知()()21211122k k k k k b b b b b b +++-++---++≥L L ()()21321122k k k k k b b b b b b ++++++++-++L L()12,,...,n f a a a ()21324321121,,,,,,,...,,,,k k k k k k k k f b b b b b b b b b b b +++--+≤()()21211122k k k k k b b b b b b +++-≤++---++L L………………………………………………17分()()()()()22+1211+2+1k k k k k k =+++-+---+++⎡⎤⎣⎦L L2+12+1122222+2+2k k k k k++⎡⎤++---⎣⎦L L ()222k =-()()+2+1k k ++()222222222+32k k k ++⎡⎤+---⋅⎣⎦223122121324k k k k ++=+-+-⋅+122154213222n nn -=+⋅-⋅+………………………………………………………………………18分综上，()22121max22142923,42,,...,1542132322nnn n n n n n f a a a n n n -⎧+⋅-⋅+≥⎪⎪=⎡⎤⎨⎣⎦⎪+⋅-⋅+≥⎪⎩是偶数，是奇数，。
2019-2020学年上海市浦东新区高考数学一模试卷
功 ，则|z|=
．
成 6．（4 分）在（2x+1）5 的二项展开式中，x3 的系数是
．
7．（5 分）某企业生产的 12 个产品中有 10 个一等品，2 个二等品，现从中抽取
到 4 个产品，其中恰好有 1 个二等品的概率为
．
8．（5 分）已知函数 y=f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在[0，+∞）上增函数，
若 f（a+1）≤f（4），则实数 a 的取值范围是
．
9．（5 分）已知等比数列
马前 n 项和为 Sn，则使得 Sn＞2018 的 n 的
最小值为
．
考 10．（5 分）圆锥的底面半径为 3，其侧面展开图是一个圆心角为
的扇形，则
高 此圆锥的表面积为
．
11．（5 分）已知函数 f（x）=sinωx（ω＞0），将 f（x）的图象向左平移
成 的保鲜时间是 192 小时，在 22°C 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33°C 的保
鲜时间是（ ）小时．
到 A．22 B．23 C．24 D．33
16．（5 分）关于 x 的方程 x2+arcsin（cosx）+a=0 恰有 3 个实数根 x1、x2、x3，则
x12+x22+x32=（ ） A．1 B．2 C．
在（0，1）上是否封闭，
祝说明理由；
（2）函数
的定义域为 D=[a，b]，且存在反函数 y=f﹣1（x），若函
数 f（x）在 D 上封闭，且函数 f﹣1（x）在 f（D）上也封闭，求实数 k 的取值范围；
（3）已知函数 f（x）的定义域为 D，对任意 x，y∈D，若 x≠y，有 f（x）≠f（y）