浙教版九年级数学上册知识点汇总
九年级（上册）
1. 二次函数
1.1. 二次函数
把形如()0a ,,y 2≠++=是常数，其中c b a c bx ax 的函数叫做二次函数，称a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
1.2. 二次函数的图象
二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象是一条抛物线，它关于y 轴对称，顶点是坐标原点。
当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。
函数y=a(x-m)2+k(a ≠0)的图象，可以由函数y=ax 2的图象先向右（当m>0时）或向左（当m<0时）平移|m|个单位，再向上（当k>0时）或向下（当k<0时）平移|k|个单位得到，顶点是(m,k)，对称轴是直线x=m 。
函数y=a(x-m)2+k(a ≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线
a b 2x -=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a 44,2b 2 当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的
最高点。
1.3. 二次函数的性质
二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象具有如下性质：
1.4. 二次函数的应用
运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，首先应当求出函数表达式和自变量的取值范围，然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
注意：由此求得的最大值或最小值对应的自变量的必须在自变量的取值范围内。
2.简单事件的概率
2.1.事件的可能性
把在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件；
把在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件；
把在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件或随机事件。
2.2.简单事件的概率
把事件发生可能性的大小称为事件发生的概率，一般用P表示。
事件A发生的概率记为P(A)。
必然事件发生的概率为100%，即P(必然事件)=1；
不可能事件发生的概率为0，即P(不可能事件)=0；
随机事件的概率介于0与1之间，即0<P(随机事件)<1.
如果事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为m(m≤n)，那么事件A发生的概率为：P(A)=m/n。
运用公式P(A)=m/n求简单事件发生的概率时，首先应确定所有结果的可能性都相等，然后确定所有可能的结果总数n和事件A包含其中的结果数m。
2.3.用频率估计概率
在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的概率就稳定在相应的概率附近。
因此，我们可以通过大量重复试验，用一个事件发生的概率来估计这一事件发生的概率。
2.4.概率的简单应用
概率与人们生活密切相关，能帮助我们对许多事件作出判断和决策。
3.圆的基本性质
3.1.圆
在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点P所经过的封闭曲线叫做圆，定点O叫做圆心，线段OP叫做圆的半径。
以点O为圆心的圆，记做“⊙O”，读作“圆O”。
连结圆上任意两点的线段BC叫做弦，经过圆心的弦AB叫做直径，直径是半径的两倍。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
小于半圆的弧叫做劣弧，劣弧用符号“⌒”和弧两端的字母表示；大于半圆的弧叫做优弧，半圆和优弧用符号“⌒”和三个字母表示（弧两端的字母和弧中间的字母）。
半径相等的两个圆能够完全重合，半径相等的两个圆叫做等圆。
能够重合的圆弧称为相等的弧。
如果用r表示圆的半径，d表示同一平面内点到圆心的距离，则有
r
d
d
>r
d
r
点在圆外；⇔
点在圆上；
点在圆内
⇔
<
⇔
=
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。
三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。
3.2.图形的旋转
一个图形变成另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个固定的点叫做旋转中心。
图形的旋转具有以下性质：
图形经过旋转所得到的图形和原图形相等。
对应点到旋转中心的距离相等，任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。
3.3.垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
分一条弦成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点。
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。
3.4.圆心角
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
1o圆心角所对的弧叫做1o的弧，n o圆心角所对的弧叫做n o的弧。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对
应的其余各对量都相等。
3.5.圆周角
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。
半圆（或直径）所对的圆周角是直径。
90o的圆周角所对的弦是直径。
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。
3.6.圆内接四边形
如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
圆内接四边形的对角互补。
3.7.正多边形
正多边形：各边相等、各内角也相等的多边形。
任意一个正三角形和正方形都能作出它的外接圆。
把经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形也就叫做圆内接正多边形。
任何正多边形都有一个外接圆。
3.8. 弧长及扇形的面积
在半径为R 的圆中，n o 的圆心角所对的弧长l 的计算公式为：
180R
n l π=
在半径为R ，圆心角为n o ，弧长为l 的扇形中，该扇形面积S 的计算公式为：
lR 21360R n S 2==π
4. 相似三角形
4.1. 比例线段
比例有如下基本性质：
()0,,,a 都不为d c b a bc ad d c b =⇔=
两条线段的长度的比叫做这两条线段的比。
四条线段a,b,c,d 中，如果a 和b 的比等于c 与d 的比，即d c b =a ，那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段，
简称比例线段。
如果三个数a,b,c 满足比例式()c b b c b b ::a a ==或，那么b 就叫做a,c 的比例中项。
c b b a ac b =⇔=2
如果点P 把线段AB 分成两条线段AP 和PB ，使AP>PB ，且
AB AP AP PB =，那么称线段AB 被点P 黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点，所分成的较长一条线段AP 与整条线段AB 的比叫做黄金比。
4.2. 由平行线截得的比例线段
两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例。
4.3. 相似三角形
相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
4.4. 两个三角形相似的判定
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
有两个角对应相等的两个三角形相似。
两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。
三边对应成比例的两个三角形相似。
4.5. 相似三角形的性质及其应用
三角形的三条中线相交于一点。
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段。
相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
4.6.相似多边形
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似多边形对应边的比叫做相似比。
相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相似比的平方。
由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中保持形状不变（大小可以改变），这样的图形改变叫做图形的相似。
4.7.图形的位似
如果两个图形满足以下两个条件：所有经过对应点的直线都相交于同一点；这个交点到两个对应点的距离之比都相等，那么这两个图形就叫做位似图形，经过各对应两点的直线的交点叫做位似中心。
位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比。
利用图形的位似可以把一个图形放大或缩小。
若所画图形与原图形的位似比大于1，则将图形放大；若所画图形与原图形的位似比小于1，则将图形缩小。
当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为(x,y)，位似图形与原图形的位似比为k，则位似图形上对应点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)。
九年级数学浙教版知识点归纳总结
九年级数学浙教版知识点归纳总结数学作为一门学科，在九年级的学习中起到了至关重要的作用。
为了更好地帮助同学们复习和巩固九年级数学浙教版的知识点，特将各个章节的重点内容进行归纳总结，并提供一些解题技巧和注意事项，希望能够对同学们的学习有所帮助。
一、函数与方程1. 一元一次方程与一次函数- 一元一次方程的概念及解法- 一次函数的概念与图像特征- 一元一次方程与一次函数之间的关系2. 二元一次方程组- 二元一次方程组的概念及解法- 二元一次方程组的几何意义3. 二次根式与二次函数- 二次根式的概念及运算规则- 二次函数的概念与图像特征- 二次函数与二次根式之间的关系二、平面图形的认识1. 三角形- 三角形的分类及性质- 三角形的内角和与外角性质2. 平行四边形与菱形- 平行四边形的性质- 菱形的性质3. 等腰梯形与等腰直角梯形- 等腰梯形的性质及面积计算- 等腰直角梯形的性质及面积计算三、立体几何与空间图形1. 立体图形的认识- 立体图形的分类及性质- 立体图形的表面积和体积计算2. 圆锥与圆台- 圆锥与圆台的性质- 圆锥与圆台的体积计算3. 圆柱与圆球- 圆柱与圆球的性质- 圆柱与圆球的体积计算四、统计与概率1. 统计的基本概念- 数据的收集与整理- 数据的图表表示及分析2. 概率的初步认识- 随机事件及其概率- 两个独立事件的概率计算3. 抽样与推测- 抽样调查的基本原则- 样本推断与总体估计通过对九年级数学浙教版各章节的知识点进行归纳总结，我们可以清晰地了解到每个章节的重点内容。
在复习时，我们应该重点关注每个知识点的概念及相关的解题方法，掌握基本的计算技巧和推理能力。
除此之外，我们还要注重实际问题与数学模型之间的联系，培养数学思维和应用能力。
在解题过程中，我们需要注意以下几点：- 阅读题目时要认真理解题意，并推断出问题所需的数学思路。
- 分析问题时要分清已知条件和需求，合理运用已学知识进行问题求解。
浙教版九年级数学上册知识点
浙教版九年级数学上册知识点课堂临时报佛脚，不如课前预习好。
其实任何学科都是一样的，学习任何一门学科，勤奋都是最好的学习方法，没有之一，书山有路勤为径。
下面是小编给大家整理的一些九年级数学的知识点，希望对大家有所帮助。
九年级上册数学单元知识点第一章证明一、等腰三角形1、定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
2、性质：1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合(“三线合一”)3.等腰三角形的两底角的平分线相等。
(两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等)4.等腰三角形底边上的垂直平分线上的点到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(可用等面积法证)7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴3、判定：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称：等角对等边)。
特殊的等腰三角形等边三角形1、定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形。
(注意：若三角形三条边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形)。
2、性质：⑴等边三角形的内角都相等，且均为60度。
⑵等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。
⑶等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。
3、判定：⑴三边相等的三角形是等边三角形。
⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形。
⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
⑷有两个角等于60度的三角形是等边三角形。
二、直角三角形全等1、直角三角形全等的判定有5种：(1)、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;(ASA)(2)、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等;(SAS)(3)、三边对应相等的两个三角形全等;(SSS)(4)、两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等;(AAS)(5)、斜边及一条直角边对应相等的两个三角形全等;(HL)2、在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半3、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半4垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。
(完整word版)浙教版初三数学知识点整理
第一章反比例函数知识点：1。
定义：形如y ＝xk （k 为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数。
其中x是自变量,y 是函数，自变量x 的取值是不等于0的一切实数。
说明:1）y 的取值范围是一切非零的实数。
2）反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数，因此其解析式也可以写成xy=k ；1-=kx y ;xk y 1=（k 为常数，k ≠0）3）反比例函数y ＝xk （k 为常数,k ≠0）的左边是函数，右边是分母为自变量x 的分式，也就是说，分母不能是多项式，只能是x 的一次单项式，如xy 1=,x y 213=等都是反比例函数，但21+=x y 就不是关于x 的反比例函数。
2. 用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数y ＝xk 只有一个待定系数,因此只需要知道一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定其解析式。
3. 反比例函数的画法：1）列表；2）描点；3)连线注：（1）列表取值时，x ≠0，因为x ＝0函数无意义,为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半,且互为相反数，这样也便于求y 值（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线,使画出的图象更精确（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线（4）由于x ≠0,k ≠0，所以y ≠0，函数图象永远不会与x 轴、y 轴相交,只是无限靠近两坐标轴4。
图像：反比例函数的图像属于双曲线。
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
有两条对称轴：直线y=x 和 y= －x ；对称中心是：原点5。
性质：反比例函数 y ＝xk(k 为常数,k ≠0)k 的取值 k ＜0k ＞0图像性质a)x 的取值范围是x ≠0；y 的取值范围是y ≠0;b)函数的图像两支分别位a) x 的取值范围是x ≠0；y 的取值范围是y ≠0;b)函数的图像两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大.于第一、第三象限，在每个象限内y值随x 值的增大而减小。
浙教版数学九年级上-知识点汇总全章节
浙教版数学九年级上-知识点汇总全章节第1章 二次函数第一部分 基础知识1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；①当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 5. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；①k ax y +=2；①()2h x a y -=；①()k h x a y +-=2；①c bx ax y ++=2. 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越大，抛物线的开口越小；a 越小，抛物线的开口越大。
①平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，①顶点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是直线a bx 2-=.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；①0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；①0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧，“左同右异”. （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，①抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ①0>c ,与y 轴交于正半轴；①0<c ,与y 轴交于负半轴. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). （3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；①有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ①没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y nkx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ①方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；①方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121第2章 简单事件的概率知识点一 必然事件、不可能事件、随机事件在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生的事件称为随机事件。
浙九年级数学上册知识点
浙九年级数学上册知识点回顾近代数学在人类文明的进程中发挥着重要的作用。
数学最初是为了满足人类的实际需求而产生的，但随着时间的推移，其深度与广度也不断扩展，已经成为一门独立的学科。
相信大家对于数学这门学科并不陌生，今天我们就来回顾一下浙九年级数学上册的重要知识点。
一、有理数有理数是我们最熟悉的一类数字，它们包括整数和分数。
整数是正数、负数和0的总称，可以表示物体的数量、质量或者不同方向上的位移等。
分数则可以用来表示部分或者不完整的份额，它广泛应用于日常生活和商业领域。
我们在浙九年级数学上册学习了有理数的四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
另外，我们还学习了有理数的比较大小，可以通过绝对值的大小或者同号异号来进行判断。
二、代数式与方程代数式是由数字、字母和运算符号组成的表达式，其中字母表示未知数。
代数式可以用来表示和计算各种数学问题，它在数学中起到了非常重要的作用。
方程是一种特殊的代数式，它使用等号连接了两个代数式。
方程中的未知数可以通过解方程找到，从而使方程两边的代数式相等。
解方程是数学中的一项基本技能，我们学习了一元一次方程、一元一次不等式以及一元一次方程组的解法。
三、几何基本概念几何学是数学中的一个重要分支，它研究空间和图形的性质与关系。
浙九年级数学上册中，我们学习了几何中的一些基本概念。
正方形、长方形、直角三角形、等腰三角形、等边三角形等图形都是我们经常接触到的，它们都有特定的性质和计算方法。
我们学习了这些图形的周长、面积以及与其相关的性质。
四、函数与图像函数是一个非常重要的数学概念，它描述了不同变量之间的关系。
浙九年级数学上册中，我们学习了一元一次函数的概念和性质。
一元一次函数表示为y = kx + b，其中k和b为常数，x为自变量，y为因变量。
我们学习了函数的图像、函数的最值以及函数之间的关系等内容。
通过学习函数，我们可以更好地理解和分析各种实际问题，如物体的运动、曲线的绘制等。
五、统计与概率统计与概率是数学中非常重要的分支，它研究数据的收集、整理、分析以及数据的概率性质。
浙教版九年级数学上册知识点及典型例题
九年级上册第一章 二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴性质向上 ()00，y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．0a <向下()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴性质0a > 向上y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ．0a <向下()0c ，y 轴．a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上 X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a <向下X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.a 的符号开口方向 顶点坐标对称轴 性质0a > 向上 ()h k ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．0a <向下()h k ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 ．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a =-时，y 有最小值244ac b a-． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a =-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当 时， ，即抛物线的对称轴在 ；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时， ，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴 ，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 ；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑵ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴 ，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 ．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离2214b acAB x x a-=-=. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.∆>⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：练习1、函数a ax y -=2与xay =在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A B C D2、反比例函数y =k -1x与一次函数y = k (x+1)在同一坐标系中的象只可能是（ ）3、某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件，调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件． （1）请写出每月销售该商品的利润y 元与单价上涨x 元的函数关系式； （2）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？第二章 圆的基本性质【本章知识框架】∆= 抛物线与x 轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根0∆< 抛物线与x 轴无交点 二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.O C B A圆 基本元素：圆的定义，圆心，半径，弧，弦，弦心距的 垂径定理 认 对称性：旋转不变性，轴对称，中心对称（强）识 圆心角、弧、弦、弦心距的关系 与圆有关的角：圆心角，圆周角弧长，扇形的面积，弓形的面积，及组合的几何图形 圆中的有关计算：圆锥的侧面积、全面积一、圆的概念1、圆的定义：线段OA 绕着它的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的封闭曲线，叫做圆．点O 叫做圆心，线段OP 叫做半径。
浙江九年级上册数学知识点
浙江九年级上册数学知识点浙江九年级上学期数学知识点在浙江省九年级上学期数学课程中，学生们将继续巩固和拓展他们在初中阶段所学的数学知识。
这一学期的数学内容旨在帮助学生发展他们的逻辑思维、问题解决能力和数学技巧。
以下是本学期数学课程的重点知识点。
1. 代数运算代数是数学中重要的一个分支，它研究数字和字母之间的关系。
在九年级上学期，学生们将进一步学习代数运算。
他们会学习如何合并同类项、展开和简化代数式，并进行代数式的加减乘除。
2. 二次根式二次根式是数学中一个重要的概念，它们可以帮助我们解决一些实际问题。
在这个单元中，学生们将学习如何计算二次根式的值，以及如何将它们合并和简化。
3. 平面几何平面几何是研究二维图形和其性质的数学分支。
在本学期中，学生们将继续学习平面几何，包括如何计算和比较图形的面积、周长和角度。
他们还会探索等腰三角形、相似三角形和直角三角形的性质。
4. 统计与概率统计与概率是数学中实际应用最广泛的领域之一。
在这个单元中，学生们将学习如何收集和组织数据，并使用图表和图形来表示和解读数据。
他们还将学习如何计算概率并进行简单的概率推断。
5. 三角函数三角函数是与角度和三角形相关的数学概念。
学生们将学习正弦、余弦和正切函数，并学会如何计算和应用这些函数。
他们还将学习三角函数的性质，并解决与三角函数相关的实际问题。
6. 线性方程组线性方程组是数学中重要的代数概念，它们可以描述多个未知数之间的关系。
学生们将学习如何解决线性方程组，并探索方程组的解的性质和应用。
7. 三视图与三维图形三视图和三维图形是研究物体在不同角度的投影和展开的数学概念。
在这个单元中，学生们将学习如何绘制物体的三视图，并根据给定的图形进行展开。
8. 数列与数列求和数列是一系列数字按特定规律排列的一种数学结构。
学生们将学习如何识别等差数列和等比数列，并求出数列的前n项和。
这些是九年级上学期数学课程的主要知识点。
通过学习这些知识，学生们将能够更好地理解数学原理和应用。
九上数学知识点总结(浙教版)(打印版)
九上数学知识点总结知识点、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念：如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条关于bx -=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点；④与y 轴有交点3、二次函数图像的平移函数)0()(2≠+-=a k m x a y 的图象可由函数2ax y =的图象先向右（当m>0）或向左（当m<0）平移|m|个单位，再向上（当k>0）或向下（当k<0）平移|k|个单位得到，顶点是（m,k ）,对称轴是直线x=m4、函数平移规律（口诀:左加右减、上加下减）（1）函数图像向左移动b(b>0)个单位后，需将原函数解析式中x 改为(x+b)，才符合移动后的图像所对应的函数解析式。
（2）函数图像向上移动c(c>0)个单位后，需将原函数解析式的等式右边整体加上c ，才符合移动后的图像所对应的函数解析式。
知识点、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，。
h=,k=（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的因式分解))((212x x x x a c bx ax --=++，2,1x =aacb 24b 2-±-.二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式(交点式)))((21x x x x a y --=。
如果与x 轴没有交点，则不能这样表示。
知识点、二次函数的最值（1）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，a b ac y 442-=最值。
九年级上数学知识点浙教
九年级上数学知识点浙教数学作为一门重要的学科，是我们在学习和生活中都无法绕过的一部分。
在九年级上学期的数学课程中，有一些重要的知识点是我们必须要掌握的。
本文将以浙教的数学教材为参考，分享一些九年级上学期数学知识点的学习要点和方法。
首先，我们来讨论代数方面的知识点。
代数是数学中的一个重要分支，包括代数式、方程和函数等内容。
在九年级上学期，我们要重点学习二次根式、整式的加减乘除、一元二次方程以及相关的图像和解的方法。
二次根式是一个基础且重要的知识点。
在学习二次根式时，我们需要掌握它的定义、性质和运算法则。
可以通过多做一些例题，加深对二次根式的理解和运用能力。
此外，还可以通过实际生活中的问题，如用二次根式表示一些几何图形的边长或面积等，加深对二次根式的应用理解。
在学习整式的加减乘除时，我们要掌握基本的运算技巧和规则，包括同类项合并、分配律、乘方法则等。
可以通过多做一些练习题，熟练掌握整式的运算方法。
同时，还要理解整式的意义和应用，如用整式表示实际问题中的数学模型，从而培养数学建模的能力。
一元二次方程是九年级上学期的另一个重点。
我们要掌握一元二次方程的定义、性质、解的判别式和求解方法。
可以通过观察和解答一些实际问题，如用一元二次方程求解跳伞运动员的落地时间、汽车行驶的最大速度等，加深对一元二次方程的理解和运用。
此外，九年级上学期还有几何和数据统计方面的知识点。
在几何方面，我们要学习平面直角坐标系、二维坐标系上点的位置关系、图形的平移、旋转和翻转等内容。
在数据统计方面，我们要学习统计量的概念、频数表和频率表的制作、简单数据的图形表示和分析等。
在学习几何方面的知识点时，我们可以通过观察和实际操作，建立几何图形和坐标系之间的联系，提高空间想象力和几何问题的解决能力。
在学习数据统计方面的知识点时，可以通过收集和整理一些实际数据，制作频数表和频率表，然后用图形表示和分析数据，培养数据分析和统计的能力。
总结来说，九年级上学期数学知识点的学习，需要我们掌握二次根式、整式的加减乘除、一元二次方程以及几何和数据统计方面的知识点。
浙教版九上数学知识点归纳总结
浙教版九上数学知识点归纳总结# 浙教版九年级上册数学知识点归纳总结## 第一章：数与式### 1.1 整式- 整式的概念：由数和字母的乘积组成的代数式。
- 单项式：只含有一个字母的整式。
- 多项式：由多个单项式相加或相减组成的整式。
### 1.2 因式分解- 提取公因式法：找出多项式中所有项的公共因子并提取出来。
- 公式法：利用已知的代数公式进行因式分解。
### 1.3 分式- 分式的概念：分子和分母都是整式的有理表达式。
- 分式的加减：需要通分后进行。
- 分式的乘除：分子乘分子，分母乘分母。
## 第二章：方程与不等式### 2.1 一元一次方程- 解法：移项、合并同类项、系数化为1。
### 2.2 一元二次方程- 解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
### 2.3 不等式- 不等式的概念：表达式两边不等关系的数学表达。
- 解法：移项、合并同类项、系数化为1。
## 第三章：函数### 3.1 函数的概念- 函数的定义：对于集合A中的每个元素x，都有集合B中唯一确定的元素y与之对应。
### 3.2 一次函数- 一次函数的表达式：\( y = kx + b \)。
- 图像：一条直线。
### 3.3 二次函数- 二次函数的表达式：\( y = ax^2 + bx + c \)。
- 图像：一个开口向上或向下的抛物线。
## 第四章：几何基础### 4.1 线段与角- 线段的性质：两点之间的最短距离。
- 角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角。
### 4.2 三角形- 三角形的分类：按边分等腰、等边、不等边；按角分锐角、直角、钝角。
### 4.3 四边形- 四边形的分类：平行四边形、矩形、菱形、正方形。
## 第五章：图形的变换### 5.1 平移- 平移的性质：图形的形状和大小不变，位置改变。
### 5.2 旋转- 旋转的性质：图形的形状和大小不变，方向改变。
### 5.3 对称- 对称的性质：图形关于某条直线或点对称。