同角三角函数的基本关系式知识点总结
同角三角函数的基本关系与诱导公式考点与提醒归纳
同角三角函数的基本关系与诱导公式考点与提醒归纳1.同角三角函数的基本关系：在一个单位圆上，以原点为中心，作出一个角度为θ的角。
那么，角θ的终边与单位圆交于一点P，点P的坐标可以表示为(Px,Py)。
根据三角函数的定义，可以得到以下关系：(1) 正弦函数（sin）：sinθ = Py(2) 余弦函数（cos）：cosθ = Px(3) 正切函数（tan）：tanθ = Py / Px2.诱导公式：诱导公式是利用同角三角函数的基本关系，通过一些简单的代数运算推导出来的公式。
下面是一些常用的诱导公式：（1）tanθ = sinθ / cosθ -> sinθ = tanθ * cosθ（2）tanθ = py / Px -> Py = tanθ * Px（3）cotθ = 1 / tanθ -> cotθ = cosθ / sinθ（4）secθ = 1 / cosθ -> secθ = 1 / cosθ（5）cscθ = 1 / sinθ -> cscθ = 1 / Py3.开放、诱导角的关系：开放角和诱导角是同角三角函数中的两个重要概念。
（1）开放角：开放角是指角θ的终边所在的象限。
根据角度θ所在的象限，可以确定sinθ、cosθ、tanθ的正负关系。
（2）诱导角：角θ的终边与x轴正半轴之间的夹角记为θ0，称为角θ的诱导角。
根据θ0所在的象限，可以确定sinθ0、cosθ0、tanθ0的值。
4.注意事项：（1）需要记住各个象限中正弦函数、余弦函数、正切函数的正负关系。
通过画图和思考可以帮助记忆。
（2）要掌握正弦函数、余弦函数、正切函数在不同象限中的取值范围，充分理解诱导角与开放角的关系。
（3）熟练掌握诱导公式，能够熟练地根据一个三角函数的值求得其他三个函数的值。
（4）在解决实际问题和解题时，要善于利用诱导公式将一个三角函数转化为其他三个函数，以便更好地解题。
总之，同角三角函数的基本关系与诱导公式是学习三角函数的重要内容，掌握和理解好这一知识点对后续学习和解题非常有帮助。
5.2.2 同角三角函数的基本关系
二、化简求值与恒等式的证明
例 2 (1)化简：tan α sin12α－1，其中 α 是第二象限角；
解 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.
故 tan α
sin12α－1＝tan α
1－sinsi2nα2α＝tan α
cos2α sin2α
＝csoins
α cos α· sin
跟踪训练 2
求证：
sin α
cos ·
α·tan
α＝1.
1－cos α 1＋cos α
sin α
证明
sin α 1－cos
α·c1o＋s αctoasnαα＝1－sicnoαs
cos α·cos α α·1＋cos α
＝1－sicnoαs
sin α α·1＋cos
α
＝1－sinco2αs2α＝ssiinn22αα＝1.
αα＝csoins
α －cos α· sin α
α＝－1.
(2)化简： sin α ·
tan α－sin α .
1－cos α tan α＋sin α
解 原式＝1－sicnoαs α·
＝1－sicnoαs α·
1－cos α 1＋cos α
sin cos
αα－sin
α
sin cos
αα＋sin
α
＝1－sicnoαs α·
2
预习小测 自我检验
YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN
1.已知 α 是第四象限角，cos α＝1123，则 sin α＝ －153 .
解析 由条件知 sin α＝－ 1－cos2α
＝－ 1－11232＝－153.
同角三角函数的基本关系式_基础
同角三角函数基本关系【要点梳理】要点一：同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：22sincos 1αα+= (2)商数关系：sin tan cos ααα= (3)倒数关系：tan cot 1⋅=αα，sin csc 1αα⋅=，cos sec 1αα⋅=要点诠释：(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；(2)2sin α是2(sin )α的简写；(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“±”的选取。
要点二：同角三角函数基本关系式的变形1．平方关系式的变形： 2222sin 1cos cos 1sin αααα=-=-，，212sin cos (sin cos )αααα±⋅=±2．商数关系式的变形sin sin cos tan cos tan αααααα=⋅=，。
【典型例题】 类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值例1．若4sin 5α=-，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值。
【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。
在解答过程中如果角α所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角α所在象限不确定，则应分类讨论，有两种结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a 给出，应就α所在象限讨论。
举一反三：【变式1】已知3sin 5α=-，求cos α，tan α的值。
类型二：利用同角关系求值例2．已知：tan cot 2,θθ+=求：（1）sin cos ⋅θθ的值；（2）sin cos θθ+的值；（3）sin cos θθ-的值；（4）sin θ及cos θ的值【变式1】已知sin cos αα-=（1）tan α+cot α；（2）sin 3α－cos 3α。
例3．已知：1tan 2θ=-，求： （1）sin cos sin 3cos θθθθ+-； （2）2212sin cos sin cos θθθθ+-； （3）222sin 3sin cos 5cos θθθθ--。
同角三角函数间的基本关系式总结
同角三角函数间的基本关系式总结·平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·积的关系：sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·ta nβ)·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·ta nγ-tanγ·tanα)·辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx证明：左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx （积化和差）=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右边等式得证sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx证明:左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx) =- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边等式得证三角函数角度换算公式总结公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)高二数学公式总结向量公式：1.单位向量：单位向量a0=向量a/|向量a|2.P(x,y) 那么向量OP=x向量i+y向量j|向量OP|=根号（x平方+y平方）3.P1(x1,y1) P2(x2,y2)那么向量P1P2=｛x2-x1,y2-y1｝|向量P1P2|=根号[(x2-x1)平方+(y2-y1)平方]4.向量a=｛x1,x2｝向量b=｛x2,y2｝向量a*向量b=|向量a|*|向量b|*Cosα=x1x2+y1y2Cosα=向量a*向量b/|向量a|*|向量b|(x1x2+y1y2)= ————————————————————根号(x1平方+y1平方)*根号（x2平方+y2平方）5.空间向量：同上推论（提示：向量a=｛x,y,z｝）6.充要条件：如果向量a⊥向量b那么向量a*向量b=0如果向量a//向量b那么向量a*向量b=±|向量a|*|向量b|或者x1/x2=y1/y27.|向量a±向量b|平方=|向量a|平方+|向量b|平方±2向量a*向量b=(向量a±向量b)平方三角函数公式：1.万能公式令tan(a/2)=tsina=2t/(1+t^2)cosa=(1-t^2)/(1+t^2)tana=2t/(1-t^2)2.辅助角公式asint+bcost=(a^2+b^2)^(1/2)sin(t+r) cosr=a/[(a^2+b^2)^(1/2)]sinr=b/[(a^2+b^2)^(1/2)]tanr=b/a3.三倍角公式sin(3a)=3sina-4(sina)^3cos(3a)=4(cosa)^3-3cosatan(3a)=[3tana-(tana)^3]/[1-3(tana^2)]4.积化和差sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2sina*sinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/25.积化和差sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2] cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]。
第四章 三角恒等变换(知识点总结梳理)-高中数学北师大版(2019)必修第二册
2019新教材北师大版数学必修第二册第四章知识点清单目录第四章三角恒等变换§1 同角三角函数的基本关系§2 两角和与差的三角函数公式§3 二倍角的三角函数公式第四章 三角恒等变换 §1 同角三角函数的基本关系一、同角三角函数的基本关系式 1. 平方关系：sin 2α+cos 2α=1. 2. 商数关系：tan α= sin αcos α.3. 公式的常见变形(1)sin 2α=1-cos 2α；cos 2α=1-sin 2α.(2)sin α=±√1−cos 2α；cos α=±√1−sin 2α. (3)cos αtan α=sin α.(4)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α；(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α. (5)1+tan 2α=1cos 2α；1+1tan 2α=1sin 2α二、由一个三角函数值求其他三角函数值1. 已知角的正弦、余弦、正切中的一个值，利用同角三角函数的基本关系式可以“知一求二”.2. 若题目中没有指出角终边所在的象限，则必须根据条件推断该角可能是第几象限角，再分情况加以讨论.三、利用同角三角函数的基本关系化简、求值、证明 1. 利用同角三角函数的基本关系化简或证明时常用的方法(1)化切为弦，即把正切函数化成正弦、余弦函数，从而达到化简的目的. (2)对于含有根号的三角函数式，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的.(3)对于含高次的三角函数式，往往借助因式分解，或构造出“sin 2α+cos 2α”的形式，以降低次数，达到化简的目的.四、关于sin α，cos α的齐次式的求值问题1. 关于sin α，cos α的齐次式是指式子中的每一项都是关于sin α或cos α的式子，且每一项的次数相等，通常为一次齐次式、二次齐次式.2. 当齐次式为分式时，可将分子与分母同除以cos α的n(n为齐次式的次数)次幂，此时分式的分子与分母都可化为关于tan α的式子，代入tan α的值即可求得式子的值.3. 当二次齐次式为整式时，可将其视为分母为1的式子，然后将分母1用sin2α+cos2α替换，这时再将式子的分子与分母同时除以cos2α，即可化为关于tan α的式子，代入tan α的值即可求得式子的值.五、利用sin α±cos α与sin αcos α之间的关系求值1. 若已知sin α±cos α，sin αcos α 中的一个,则可以利用方程思想进一步求得sin α, cos α 的值，从而解决相关问题. 常涉及的三角恒等式有：(1)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α；(2)(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α；(3)(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2；(4)(sin α-cos α)2=(sin α+cos α)2-4sin α·cos α.2. 求sin α+cos α，sin α-cos α，sin αcos α的值时，要注意结合角的范围进行符号判断.§2 两角和与差的三角函数公式一、两角和与差的三角函数公式二、知识拓展 1. 公式的记忆方法：(1)公式C α+β，C α-β可记为“同名相乘，符号反”. (2)公式S α+β，S α-β可记为“异名相乘，符号同”.(3)公式T α+β，T α-β的结构特征可记为“分子为正切的和或差，分母为1与正切的积的差或和”，符号规律可记为“分子同，分母反”.2. 两角和与差的正切公式的变形：(1)tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)，tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β). (2)1-tan αtan β=tan α+tan βtan(α+β)，1+tan αtan β=tan α−tan βtan(α−β).(3)1+tan α1−tan α=tan π4+tan α1−tan π4⋅tan α=tan (π4+α)，1−tan α1+tan α=tan π4−tan α1+tan π4⋅tan α=tan (π4−α).以上式子中各角应保证各式有意义.三、三角函数的叠加公式1：asin α+bcos α=√a 2+b 2sin(α+φ)，其中sin φ=√a 2+b2，cos φ=√a 2+b 2，a ，b不同时为0.公式2：asin α+bcos α=√a 2+b 2cos(α-φ)，其中sin φ=√a 2+b 2，cos φ=√a 2+b 2，a ，b不同时为0.四、积化和差与差化积公式 1. 积化和差公式(1)cos αcos β=12 [cos(α+β)+cos(α-β)].(2)sin αsin β=-12 [cos(α+β)-cos(α-β)]. (3)sin αcos β=12 [sin(α+β)+sin(α-β)].(4)cos αsin β=12 [sin(α+β)-sin(α-β)].2. 和差化积公式 (1)sin x+sin y=2sinx+y 2cos x−y 2.(2)sin x-sin y=2cosx+y 2sinx−y2.(3)cos x+cos y=2cosx+y 2cos x−y2.(4)cos x-cos y=-2sinx+y 2sinx−y 2.五、利用公式解决给角求值问题利用公式解决给角求值问题的关键是通过公式的合理运用，使所求式中的非特殊角转化为特殊角，或使式中出现可以正负抵消的项，或使式中出现分子、分母能约分的项，从而达到化简求值的目的. 具体注意以下几点：(1)看角：把角尽量向特殊角或可化简或可求出值的角转化，合理拆角，化异为同； (2)看名称：把式子中的三角函数的名称尽量化成同一名称，例如可以把正切函数化为正、余弦函数，或把正、余弦函数转化为正切函数，再解决问题；(3)看式子：看式子是否满足两角和与差的正弦、余弦、正切公式，准确选择公式求解.六、利用公式解决给值求值问题给值求值，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，其关键在于“变角”，即使“所求角”变为“已知角”，常见的技巧如下：(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个已知角的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，应注意“已知角”与“所求角”的关系，通过诱导公式或引入特殊角，将“所求角”变成“已知角”；(3)配角技巧：①2α=(α+β)+(α-β)，②α=(α+β)-β=β-(β-α)，③α=(α+π4)-π4=(α−π4)+π4，④α−β2=(α+β2)-(α2+β).七、利用公式解决给值求角问题1. 解决给值求角问题的一般步骤：(1)求角的某一个三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角.2. 通过求角的某个三角函数值来求角，选取函数是关键，一般遵循以下原则：(1)已知正切函数值，选取正切函数.(2)已知正弦、余弦函数值，选取正弦函数或余弦函数；若角的范围是(0，π2)，选正弦函数、余弦函数均可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围是(−π2，π2)，选正弦函数较好.八、利用三角函数的叠加研究函数的性质1. 公式的作用：利用三角函数的叠加公式可将形如asin α+bcos α(a，b不同时为0)的三角函数式转化为Asin(α+φ)或Acos(α+φ)的形式，从而达到化简或求值的目的，也有利于研究函数的图象和性质.2. 形式选择：化为正弦还是余弦的形式，要由具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.§3 二倍角的三角函数公式一、二倍角公式二、半角公式1. 半角的正弦公式：sinα2=±√1−cos α2.2. 半角的余弦公式：cosα2=±√1+cos α2.3. 半角的正切公式：tanα2=±√1−cos α1+cosα=sin α1+cosα=1−cos αsinα.三、知识拓展 二倍角公式的变形1. 降幂公式：sin αcos α=12sin 2α；sin 2α=1−cos 2α2；cos 2α=1+cos 2α2.2. 升幂公式：1±sin 2α=(sin α±cos α)2；1+cos 2α=2cos 2α；1-cos 2α=2sin 2α.3. 万能公式：sin 2α=2tan α1+tan 2α；cos 2α=1−tan 2α1+tan 2α.四、半角公式的应用利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的二倍关系.(2)明范围：求出相应半角的范围，为定符号做准备. (3)选公式：涉及正切时，常利用tan α2=sin α1+cos α=1−cos αsin α进行计算；涉及正弦、余弦时，常利用sin 2α2=1−cos α2，cos 2α2=1+cos α2进行计算.(4)下结论：结合(2)求值. 五、三角函数公式的综合应用三角函数公式在三角函数式的化简、求值以及研究与三角函数有关函数的图象与性质等方面具有重要作用，尤其是研究与三角函数有关函数的图象与性质时，需要先对函数解析式进行化简，化简的过程就是运用公式的过程. 通常情况下，需要先对解析式降幂，变为一次式，再利用三角函数的叠加公式将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)+k 或y=Acos(ωx+φ)+k 的形式，最后研究函数的图象与性质.。
同角三角函数的基本关系
例数题值3：
已知c o s
3 5
，求 角的其他三角函数值。
（142页B组3题）
由 sin2cos21， 得sin1cos2
即sin1（3） 2= 19= 16=4
5
25 25 5
因 为 cos30,所 以 可 能 是 第 一 或 四 象 限 的 角
5
当 是 第 一 象 限 角 时 ： sin=4,cos3,tan4， cot=3,sec5,csc5
基本变形
，且 是第二象限的角，求角的余弦和正切值。
由sin2cos21，得cos 1sin2 因为是第二象限的角，所以cos0
所 以 c o s 1 (4 )2 1 1 6 9 3
5
2 5 2 5 5
tansin
4 5
cos 53
4141页A组习题1：（1）（2） 3
141页A组习题1：
(1)由 siin2cos2
cos2
cos2
csoins22(1cos2)
tan2sin2
tan2sin2右边
即： tan2sin2=tan2sin2成立
（ 3） 作 差 法 ：142页A组习题3
因为
1
cos x sin
x
1
sin cos x
x
=
cos2
x (1 sin x)(1 （1 sin x）cos
新课：
1、平方s关 in2系 c o2s1 1ta2ns e2c 1c o2t c s2c
2、商数关系 tan sin c os
c 三角恒等式 ot c os sin
3、倒数关t系 ancot 1 sincsc 1 cossec 1
sin2cos21
(经典整理)同角三角函数的基本关系及诱导公式与两角和差
（一）同角三角函数的基本关系及诱导公式一、【课标要求】1.掌握同角三角函数的基本关系式，掌握公式中“1”的作用。
2.掌握诱导公式，并能进行化简求值。
二、【知识回顾】1．同角三角函数关系式（1）平方关系：22sin cos 1αα+= （2）商的关系：sin tan cos ααα=（3）sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-⋅三者之间，知一可求二，关键是利用()2sin cos 12sin cos αααα±=±的变形2．诱导公式诱导公式一：sin(2)k απ+= ，cos(2)k απ+= ，tan(2)k απ+= ，k Z ∈诱导公式二：sin()α-= ，cos()α-= ，tan()α-= ， 诱导公式三：sin()πα+= ，cos()πα+= ，tan()πα+= ， 诱导公式四：sin()πα-= ，cos()πα-= ，tan()πα-= ， 诱导公式五：sin()2πα+= ，cos()2πα+= ， 诱导公式六：sin()2πα-= ，cos()2πα-= ，口决：“奇变偶不变，符号看象限”。
形式：将角的形式化为：()2k k Z πα⋅±∈,不管α是多大，统统看成锐角，诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，其一般步骤为：31. 化简三角函数式的的一般原则①函数种类尽量少、指数尽量低、项数尽量少 ②尽量化成同名、同角的三角函数③大角化小角、负角化正角，化到锐角就终了 ④化切为弦 ⑤注意“1”的作用【例题精讲】考点一：同角三角函数的基本关系例1.已知sin 2cos αα=，求下列各式的值： （1）sin 4cos 5sin 2cos αααα-+ （2）2sin 2sin cos ααα+例2.已知tan 1tan 6αα=--，求下列各式的值：（1）213sin cos 3cos ααα-+ （2）2cos 3sin 3cos 4sin αααα-+考点二：三角函数式的求值例3.已知sin()cos(2)tan(2)()3tan()cos()2f παπαπααπαπα+--=----（1） 若1860α=-，求()f α （2） 若33cos()25πα-=，求()f α的值。
三角函数的基本关系及诱导公式
1 tan
2
1，
3
∴原式 cos2 (2 tan2 tan 1)
2 1 3
（三）例题分析： 例5．已知 sin , cos是方程 4x2 4mx 2m 1 0
的两个根，3 2 ，求角 ．
2
sin cos m
解：∵ ，
4
4
（三）例题分析：
例2．化简: tan (cos sin ) sin tan
cot c s c
分析：切割化弦是解本题的出发点．
解：原式
sin
(cos cos
sin
)
sin cos
sin cos
1
sin
sin sin
（三）例题分析：
形的中心角的弧度数是
.
回顾:任意角的正弦,余弦,正切,余切,正割,余割是如何定义的?
（一）知识点：
1．同角三角函数的基本关系式：
（1）倒数关系： tan cot 1
（2）商数关系： tan sin , cot cos
cos
sin
（3）平方关系：sin2 cos2 1
2
2
3
（三）例题分析：
例4．若 tan 2 ，求值① cos sin ； cos sin
② 2sin2 sin cos cos2
解：①原式
1 1
sin
cos ． sin
1 1
2 3 2 2
2
cos
②∵ cos2
1
同角三角函数的基本关系 与诱导公式
同角三角函数间的基本关系-高中数学知识点讲解
同角三角函数间的基本关系1．同角三角函数间的基本关系【知识点的认识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．푠푖푛훼（2）商数关系：푐표푠훼= tanα．2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tan α．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．휋휋公式五：sin（2―α）＝cosα，cos（2―α）＝sinα．휋휋公式六：sin（2+α）＝cosα，cos（2+α）＝﹣sinα3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=푡푎푛훼+푡푎푛훽1―푡푎푛훼푡푎푛훽．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=푡푎푛훼―푡푎푛훽1+푡푎푛훼푡푎푛훽．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；1/ 2（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan 2α=2푡푎푛훼1―푡푎푛2훼．【解题方法点拨】诱导公式记忆口诀：푘휋对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇2数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．2/ 2。
高一数学同角三角函数的基本关系式知识精讲
高一数学同角三角函数的基本关系式【本讲主要内容】同角三角函数的基本关系式【知识掌握】 【知识点精析】1. 同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：sin cos tan sec cot csc 222222111αααααα+=+=+=，， （2）商数关系：tan sin cos cot cos sin αααααα==， （3）倒数关系：tan cot cos sec sin csc αααααα⋅=⋅=⋅=111，，应用公式时需注意：①同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，等式中涉及的角是同一个角，如sin cos 22331αα+=，tan()cot()-⋅-=1001001，而sin cos 221αβ+=就不一定成立。
②利用平方关系进行开方运算，要注意结果的符号，必要时，要进行分类讨论。
③这些关系式是对使它们有意义的那些角而言的。
如：tan sin cos ααα=是当αππ≠+∈k k z 2()时才有意义。
④在计算、化简、证明三角函数式时常用技巧有：i ）“1”的代换。
根据需要，常将算式中的“1”用“sin cos 22αα+”；“sec tan 22αα-”；“sin csc αα⋅”；“tan cot αα⋅”代换。
ii ）切化弦。
利用商数把正切、余切化为正弦、余弦函数。
iii ）整体代换。
将算式适当变形使条件可以整体代入或将条件适当变形找出与算式之间的关系。
⑤公式应用非常广泛，因此除牢记公式原型外，还应注意公式的逆用，变形用。
如：cos sin 221αα=-，sin tan cos ααα=⋅，sin cos (sin cos )αααα⋅=+-212等等。
2. 同角三角函数基本关系式的应用（1）已知一个角的某个三角函数值，求它的其他三角函数值。
①尽可能地确定α所在的象限，以便确定三角函数值的符号。
②尽量避免使用平方关系（在一般情况下只能使用一次）。
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同角三角函数的基本关系式知识点总结
（1）（2）商数关系：（3）平方关系：
同角三角函数的基本关系的应用：
已知一个角的一种三角函数值，根据角的终边的位置利用同角三角函数的基本关系，可以求出这个角的其他三角函数值．
同角三角函数的基本关系的理解：
(1)在公式中，要求是同一个角，如不一定成立．
(2)上面的关系式都是对使它的两边具有意义的那些角而言的，如：基本三角关系式。
对一切α∈R成立；Z)时成立．
(3)同角三角函数的基本关系的应用极为为广泛，它们还有如下等价形式：
(4)在应用平方关系时，常用到平方根、算术平方根和绝对值的概念，应注意“±”的选取．间的基本变形三者通过，可知一求二，有关等化简都与此基本变形有广泛的联系，要熟练掌握。