同角三角函数的基本关系式知识点总结
同角三角函数的基本关系式知识点总结
（1）（2）商数关系：（3）平方关系：
同角三角函数的基本关系的应用：
已知一个角的一种三角函数值，根据角的终边的位置利用同角三角函数的基本关系，可以求出这个角的其他三角函数值．
同角三角函数的基本关系的理解：
(1)在公式中，要求是同一个角，如不一定成立．
(2)上面的关系式都是对使它的两边具有意义的那些角而言的，如：基本三角关系式。对一切α∈R成立；Z)时成立．
(3)同角三角函数的基本关系的应用极为为广泛，它们还有如下等价形式：
(4)在应用平方关系时，常用到平方根、算术平方根和绝对值的概念，应注意“±”的选取．间的基本变形三者通过，可知一求二，有关等化简都与此基本变形有广泛的联系，要熟练掌握。
同角三角函数的基本关系式知识讲解
同角三角函数基本关系 【学习目标】 1.借助单位圆,理解同角三角函数的基本关系式: αααααtan cos sin , 1cos sin 22==+，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法； 2.会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。 【要点梳理】 要点一:同角三角函数的基本关系式 （1)平方关系:22sin cos 1αα+= (２)商数关系：sin tan cos ααα = （3)倒数关系：tan cot 1?=αα,sin csc 1αα?=,cos sec 1αα?= 要点诠释: (1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”,二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立; （２)2sin α是2 (sin )α的简写； (３)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念,应注意“±”的选取。 要点二:同角三角函数基本关系式的变形 1．平方关系式的变形： 2222sin 1cos cos 1sin αααα=-=-，,212sin cos (sin cos )αααα±?=± ２.商数关系式的变形 sin sin cos tan cos tan αααααα =?= ，。 【典型例题】 类型一:已知某个三角函数值求其余的三角函数值 例1．已知t ａn α＝-2，求ｓi ｎα，cos α的值。 【思路点拨】先利用sin "tan 2"cos ααα ==-,求出si ｎα=－2c ｏｓα,然后结合sin 2α+cos ２α=1,求出sin α，cos α。 【解析】 解法一:∵tan α=-2,∴sin α=-2cos α。 ① 又ｓin 2α+ｃｏs 2α=1, ② 由①②消去si ｎα得(－2ｃo ｓα)2+c ｏs 2α=1,即21cos 5 α=。 当α为第二象限角时,cos α=，代入①得sin α=。
同角三角函数的基本关系式_基础
同角三角函数基本关系 【要点梳理】 要点一：同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：22 sin cos 1αα+= (2)商数关系： sin tan cos ααα = (3)倒数关系：tan cot 1?=αα，sin csc 1αα?=，cos sec 1αα?= 要点诠释： (1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立； (2)2sin α是2 (sin )α的简写； (3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“±”的选取。 要点二：同角三角函数基本关系式的变形 1．平方关系式的变形： 2222sin 1cos cos 1sin αααα=-=-，，212sin cos (sin cos )αααα±?=± 2．商数关系式的变形 sin sin cos tan cos tan αααααα =?= ，。 【典型例题】 类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值 例1．若4sin 5 α=-，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值。 【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。在解答过程中如果角α所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角α所在象限不确定，则应分类讨论，有两种结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a 给出，应就α所在象限讨论。 举一反三： 【变式1】已知3sin 5 α=- ，求cos α，tan α的值。 类型二：利用同角关系求值
例2．已知：tan cot 2,θθ+=求： （1）sin cos ?θθ的值；（2）sin cos θθ+的值； （3）sin cos θθ-的值；（4）sin θ及cos θ的值 【变式1】已知sin cos αα-= （1）tan α+cot α；（2）sin 3α－cos 3α。 例3．已知：1tan 2θ=- ，求： （1）sin cos sin 3cos θθθθ +-； （2）2212sin cos sin cos θθθθ +-； （3）222sin 3sin cos 5cos θθθθ--。 【总结升华】已知tan α的值，求关于sin α、cos α的齐次式的值问题①如（1）、（2）题，∵cos α≠0，所以可用cos n α（n ∈N*）除之，将被求式转化为关于tan α的表示式，可整体代入tan α=m 的值，从而完成被求式的求值；②在（3）题中，求形如a sin 2α+b sin αcos α+c cos 2α的值，注意将分母的1化为1=sin 2α+cos 2α代入，转化为关于tan α的表达式后再求值。 举一反三： 【变式1】已知 tan 1tan 1 A A =--，求下列各式的值. (1)sin 3cos ;sin 9cos A A A A -+ (2)2 sin sin cos 2A A A ++
同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点
同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点 [归纳·知识整合] 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin α cos α . [探究] 1.如何理解基本关系中“同角”的含义？ 提示：只要是同一个角，基本关系就成立，不拘泥于角的形式，如sin 2α3＋cos 2α 3＝1，tan 4α＝sin 4α cos 4α 等都是成立的，而sin 2θ＋cos 2φ＝1就不成立． 2．诱导公式 即α＋k ·2π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；π 2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值， 前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． [探究] 2.有人说sin(k π－α)＝sin(π－α)＝sin α(k ∈Z )，你认为正确吗？ 提示：不正确．当k ＝2n (n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin(2n π－α)＝sin(－α)＝－sin α； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin[(2n ＋1)·π－α]＝sin(2n π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α. 3．诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”是否与α的大小有关？ 提示：无关，只是把α从形式上看作锐角，从而2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α，π2－ α，π 2 ＋α分别是第一，三，四，二，一，二象限角． [自测·牛刀小试]
1．(教材习题改编)已知cos(π＋α)＝1 2，则sin α的值为( ) A ．±1 2 B.12 C.32 D ．±32 解析：选D cos(π＋α)＝－cos α＝12，∴cos α＝－1 2， ∴sin α＝±1－cos α2＝±3 2. 2．tan 690°的值为( ) A ．－ 3 3 B.33 C. 3 D ．－ 3 解析：选A tan 690°＝tan(－30°＋2×360°) ＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－ 3 3 . 3．(教材习题改编)若tan α＝2，则sin α－cos α sin α＋cos α的值为( ) A ．－13 B ．－53 C.13 D.53 解析：选C sin α－cos αsin α＋cos α＝tan α－1tan α＋1＝2－12＋1＝1 3 . 4．(教材习题改编)已知tan α＝3，π＜α＜3 2π，则cos α－sin α＝________. 解析：∵tan α＝3，π＜α＜32π，∴α＝4 3π， ∴cos α－sin α＝cos 43π－sin 4 3π ＝－cos π3＋sin π3＝－12＋3 2＝3－12. 答案： 3－1 2 5．计算sin 10π 3－2cos ⎝⎛⎭⎫－19π4＋tan ⎝⎛⎭⎫－13π3＝________. 解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋4π3－2cos ⎝⎛⎭⎫4π＋3π4－tan ⎝ ⎛⎭⎫4π＋π3
同角三角函数间的基本关系式总结
同角三角函数间的基本关系式总结·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式
·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·ta nβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·ta nγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B ·倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结
三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式归纳总结 知识点精讲 一、基本概念 （1）任意角---------?? ??? 正角逆时针旋转而成的角；负角顺时针旋转而成的角；零角射线没旋转而成的角. 角α（弧度）(,)∈-∞+∞. （2）角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，α就叫做第几象限角，终边在坐标轴上的角不是象限角，称之坐标角（或象限界角、轴线角等） （3）弧度制度：半径为r 的圆心角α所对弧长为l ，则l r α= （弧度或rad ）. （4）与角α（弧度）终边相同的角的集合为{} 2,k k Z ββαπ=+∈，其意义在于α的终边逆时针旋转整数圈，终边位置不变. 注：弧度或rad 可省略 （5）两制互化：一周角=036022r r ππ= =（弧度） ，即0180π=. 1（弧度）0 00 18057.35718π??'=≈= ??? 故在进行两制互化时，只需记忆0180π=，01180 π = 两个换算单位即可：如： 005518015066π=?=；036361805 ππ=?=. （6）弧长公式：l r α=((0,2])απ∈， 扇形面积公式：211 22 S lr r α= =. 注：关于扇形面积公式的记忆,可以采用类似三角形面积公式的方法，把扇形的弧长类比成三角形的底，半径类比成三角形的高，则有1 1 = 2 2 S lr =g g 底高，如图4-1所示. 二、任意角的三角函数 1.定义 已知角α终边上的任一点(,)P x y （非原点 O ），则 P 到原点 O 的距 离 0r OP ==>.sin ,cos ,tan y x y r r x ααα= ==.
同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系 倒数关系: tanα ²cotα=1 sinα ²cscα=1 cosα ²secα=1 商的关系： sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin² α+cos² α=1 tan α *cot α=1 一个特殊公式 （sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ） 证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ） 坡度公式 我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示， 即i=h / l,坡度的一般形式写成l : m形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作 a(叫做坡角），那么i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式 正弦：sin α=∠α的对边/∠α的斜边 余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边 正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边
二倍角公式 正弦 sin2A=2sinA²cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) 正切 tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)） 三倍角公式 sin3α=4sinα²sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα²cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a ² tan(π/3+a)² tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
同角三角函数基本关系
【基础知识精讲】 1.同角三角函数的基本关系式 根据三角函数定义，容易得到如下关系式 (1)平方关系 sin 2α+cos 2 α=1 1+tan 2α=sec 2 α 1+cot 2α=csc 2 α (2)乘积关系 sin α=cos α2tan α,cos α=sin α2cot α cot α=cos α2csc α,csc α=cot α2sec α sec α=csc α2tan α,tan α=sec α2sin α (3)倒数关系 sin α2csc α=1,cos α2sec α=1,tan α2cot α=1 说明：(1)以上关系式仅当α的值使等式两边都有意义时才能成立.例如，当α=2π k (k ∈Z)时，tan α2cot α=1就不成立. 另外，要注意是同角，如sin 2α+cos 2α=1，但sin 2α+cos 2 β=1就不恒成立. (2)对公式除了顺用，还应学会逆用、变用、活用.例如，由sin 2α+cos 2 α=1变形为 cos 2=1-sin 2 α,cos α=±α2sin 1-,sin α2cos α=21 )cos (sin 2-+αα等等. 对于cos α=± α2 sin 1-,“±”号的选取要由α所在象限来确定，当α在第一或第四象限时，取“+”；当α在第二或第三象限时，取“-”.而对于其他形式的公式就不必考虑 符号问题.如α是第二象限角，tan α=ααcos sin 而不能认为tan α=-αα cos sin (因为α是第二象限 角，所以tan α为负值).其实α在第二象限，sin α为正值，cos α为负值，所以tan α=α α cos sin 结果自然得负值，如果再加“-”，结果就得正值了. (3)要注意“1”的代换.如可用sin 2α+cos 2α,sec 2α-tan 2 α,sin α2csc α,tan α2cot α等去代换1. (4)记忆方法(如图).首先某函数与它的余函数在同一水平线上. ①在对角线上的两个三角函数值的乘积等于1，如tan α2cot α=1. ②在阴影的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函 数值的平方，如1+tan 2α=sec 2 α。 ③任意一个顶点上的三角函数值等于与它相邻的两个顶点的函数值的乘积，如sin α=cos α2tan α,cos α=sin α2cot α. 2.同角三角函数关系式的应用 主要解决如下几类问题：
同角三角函数的基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系与诱导公式 一、基础知识 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin α cos α . 平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠k π＋π 2(k ∈Z)． 2．诱导公式 诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k ·π 2＋α(k ∈Z )”中 的k 是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k ·π 2＋α(k ∈Z )”中，将α看 成锐角时，“k ·π 2 ＋α(k ∈Z )”的终边所在的象限. 二、常用结论 同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α????α≠π 2＋k π，k ∈Z .
考点一 三角函数的诱导公式 [典例] (1)已知f (α)＝cos ????π2＋αsin ??? ?3π2－αcos (－π－α)tan (π－α)，则f ????－25π 3的值为________． (2)已知cos ????π6－α＝23，则sin ? ???α－2π 3＝________. [解析] (1)因为f (α)＝cos ????π2＋αsin ??? ?3π 2－αcos (－π－α)tan (π－α) ＝ －sin α(－cos α) (－cos α)??? ?－sin αcos α＝cos α， 所以f ????－25π3＝cos ????－25π3＝cos π3＝1 2 . (2)sin ????α－2π3＝－sin ????2π3－α＝－sin ????π－????π3＋α＝－sin ????π3＋α＝－sin ??? ?π2－? ???π 6－α＝－cos ????π6－α＝－23 . [答案] (1)12 (2)－23 [题组训练] 1.已知tan α＝1 2，且α∈????π，3π2，则cos ????α－π2＝________. 解析：法一：cos ????α－π2＝sin α，由α∈????π，3π 2知α为第三象限角， 联立????? tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1， 解得5sin 2α＝1，故sin α＝－5 5 . 法二：cos ????α－π2＝sin α，由α∈????π，3π2知α为第三象限角，由tan α＝1 2，可知点(－2，－1)为α终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sin α＝－ 55 . 答案：－ 55 2. sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°＝________. 解析：原式＝sin(－3×360°－120°)cos(3×360°＋180°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°) sin(－3×360°＋30°)＋tan(2×360°＋180°＋45°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°＝34＋1 4＋1＝2. 答案：2
同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系 tan α=sin α/cos α 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin αˇ2+cos αˇ2=1 tan α *tan α的邻角=1 锐角三角函数公式 正弦： sin α=∠α的对边/∠α的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边 正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边 二倍角公式 sin2A=2sinA?cosA cos2A=cos^A-sin^A=1-2sin^A=2cos^A-1 tan2A=（2tanA）/（1-tan^2A） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a)
=sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina =3sina-4sin^3a cos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina =(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa=4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin^2a) =4sina[(√3/2)^2-sin^2a] =4sina(sin^260°-sin^2a) =4sina(sin60+sina)(sin60-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cos^2a-3/4) =4cosa[cos^2a-(√3/2)^2] =4cosa(cos^2a-cos^230°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°) /2]sin [(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90-(60-a)]sin[-90+(60+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
同角三角函数的基本关系 知识点与题型归纳讲解
1 ●高考明方向 1.理解同角三角函数的基本关系式： sin 2α＋cos 2α＝1，sin α cos α ＝tan α. 2.能利用单位圆中的三角函数线 推导出π 2 ±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式． ★备考知考情 同角关系式和诱导公式中的π±α，π 2 ±α是高考的热点， 题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中低档题，主要是诱导公式在三角式求值、化简的过程中与同角三角函数的关系式、和差角公式及倍角公式的综合应用，一般不单独命题，在考查基本运算的同时，注重考查等价转化的思想方法.
2 一、知识梳理《名师一号》P47 知识点一 同角三角函数的基本关系 平方关系：;1cos sin 22=+αα 商数关系：sin tan cos =α αα 注意： 《名师一号》P50 问题探究 问题1 在利用同角三角函数的基本关系中应注意哪些技巧？ 利用同角三角函数基本关系式化简求值时， 涉及两个同角基本关系sin 2α＋cos 2α＝1和tan α＝sin α cos α ， 它们揭示同一角α的各三角函数间的关系， 需要在复习中通过解题、理解、掌握． 尤其是利用sin 2α＋cos 2α＝1及变形形式sin 2α＝1－cos 2α或cos 2α＝1－sin 2α进行开方运算时，要注意符号判断． 知识点二 诱导公式
记忆口诀:奇变偶不变，符号看象限! 注意： 《名师一号》P50 问题探究问题2 诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变， 符号看象限”中的“符号”是否与α的大小有关？ 无关，只是把α从形式上看作锐角， 从而2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α，π 2－α， π 2＋α 分别是第一、三、四，二、一、二象限角． 二、例题分析： （一)求值 例1．(1)《名师一号》P50 对点自测 4 3
同角三角函数间的关系知识点
同角三角函数间的关系知识点 同角三角函数的基本关系式是三角函数基础知识的综合应用,是高考必考内容。本文是店铺整理同角三角函数间的关系的资料，仅供参考。 同角三角函数间的关系 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα·cosα cosα=cotα·sinα tanα=sinα·secα cotα=cosα·cscα secα=tanα·cscα cscα=secα·cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 余切等于邻边比对边 互余角的三角函数间的关系： sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα. 同角三角函数基本关系
三类： 一)同角三角函数的基本关系： (sinθ)^2+(cosθ)^2=1; tanθcotθ=sinθcscθ=cosθsecθ=1; (secθ)^2-(tan^θ)^2=(cscθ)^2-(cosθ)^2=1 二)诱导公式，在360°内的变换(角度制)： 取值sinθ cosθ tanθ α sinα cosα tanα -α -sinα cosα -tanα 180+α -sinα -cosα tanα 180-α sinα -cosα -tanα 360+α sinα cosα tanα 360-α -sinα cosα -tanα 90+α cosα -sinα -cotα 90-α cosα sinα cotα 270+α -cosα sinα -cotα 270-α -cosα -sinα cotα 三)两个角的变换关系，不属于初中内容： sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 同角三角函数公式起源 “三角学”，英文Trigonometry，法文Trigonometrie，德文Trigonometrie，都来自拉丁文 Trigonometria。现代三角学一词最初见于希腊文。最先使用Trigonometry这个词的是皮蒂斯楚斯( Bartholomeo Pitiscus,1516-1613)，他在1595年出版一本著作《三角学：解三角学的简明处理》，创造了这个新词。它是由τριγωυου(三角形)及μετρει υ(测量)两字构成的，原意为三角形的测量，或者说解三角形。古希腊文里没有这个字，原因是当时三角学还
同角三角函数的基本关系
1．2.2 同角三角函数的基本关系 学习目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明． 知识点 同角三角函数的基本关系式 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin αcos α ⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2．同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式 sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α. (2)tan α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z 的变形公式 sin α＝cos αtan α；cos α＝sin αtan α . 1．sin 2α＋cos 2β＝1.( × ) 提示 在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin 2α＋cos 2α＝1. 2．sin 2θ2＋cos 2θ2 ＝1.( √ ) 提示 在sin 2α＋cos 2α＝1中，令α＝θ2可得sin 2θ2＋cos 2θ2 ＝1. 3．对任意的角α，都有tan α＝sin αcos α 成立．( × ) 提示 当α＝π2 ＋k π，k ∈Z 时就不成立． 4．若cos α＝0，则sin α＝1.( × ) 题型一 利用同角三角函数的关系式求值
命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值 例1 (1)若sin α＝－513 ，且α为第四象限角，则tan α的值为( ) A.125 B ．－125 C.512 D ．－512 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 答案 D 解析 ∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213 ， ∴tan α＝sin αcos α＝－512 ，故选D. (2)已知sin α＋cos α＝713 ，α∈(0，π)，则tan α＝ . 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 答案 －125 解析 ∵sin α＋cos α＝713 ， ∴(sin α＋cos α)2＝49169 ， 即2sin αcos α＝－120169 <0， 又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0， ∴α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 故sin α－cos α＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α＝1713 ， 可得sin α＝1213，cos α＝－513，tan α＝－125 . 反思感悟 (1)同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负． (2)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，找到解决问题
同角三角函数的基本关系式及诱导公式
同角三角函数的基本关系式及诱导公式 1.同角三角函数基本关系式 平方关系:sin 2α+cos 2α=1; 商数关系:tanα= 2.α相关角的表示 (1)终边与角α的终边关于原点对称的角可以表示为π+α; (2)终边与角α的终边关于x 轴对称的角可以表示为-α(或2π-α); (3)终边与角α的终边关于y 轴对称的角可以表示为π-α; (4)终边与角α的终边关于直线y=x 对称的角可以表示为 -α. 3.诱导公式 (1)公式一 sin(α+k ·2π)=sinα ,cos(α+k ·2π)=cosα, tan(α+k ·2π)=tanα,其中k ∈Z. (2)公式二 sin(π+α)=-sinα ,cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα. (3)公式三 sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα. (4)公式四 sin(π-α)=sinα ,cos(π-α)=-cosα, tan(π-α)=-tanα. (5)公式五 (6)公式六 即α+k ·2π(k ∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号; ±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 总口诀为:奇变偶不变,符号看象限,其中“奇､偶”是指“k · ±α(k ∈Z)”中k 的奇偶性;“符号”是把任意角α看作锐角时原函数值的符号 1.cos300°=( ) 解析:cos300°=cos(360°-60°)=cos60° 4.点P(tan2008°,cos2008°)位于( ) A.第二象限 B.第一象限 C.第四象限 D.第三象限 解析:∵2008°=6×360°-152°,∴tan2008°=-tan152°=tan28°>0,cos2008°=cos152°<0,∴点P 在第四象限. .sin cos αα,.22sin cos cos sin αππααα⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,.22sin cos cos sin αααππα⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π()4,543..3432.sin ,ta 4..43n A B C D ααα-±=±若且是第二象限角则 的值等于:,cos t 3,5454.5n 3a 3sin cos αα ααα ==-⎛⎫==-∴==- ⎪⎝⎭∴解析为第二象限角()1,33611..33..333.sin cos A B C D ααππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--已知则的值为,6236231.33:cos cos sin πππαπππααααπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭+∴解析
同角三角函数基本关系式与诱导公式知识点讲解+例题讲解(含解析)
同角三角函数基本关系式与诱导公式 一、知识梳理 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：sin α cos α＝tanα. 2.三角函数的诱导公式 总结： 1.同角三角函数关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. 2.诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π 2的奇数倍和偶数倍，变与不 变指函数名称的变化. 3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. 二、例题精讲 + 随堂练习 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.() (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.() (3)若α∈R，则tan α＝sin α cos α恒成立.()
(4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝1 3.( ) 解析 (1)中对于任意α∈R ，恒有sin(π＋α)＝－sin α. (3)中当α的终边落在y 轴，商数关系不成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝1 3， 当k 为偶数时，sin α＝－1 3. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2.已知tan α＝－3，则cos 2α－sin 2α＝( ) A.45 B.－45 C.35 D.－35 解析 由同角三角函数关系得 cos 2 α－sin 2 α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－91＋9 ＝－4 5. 答案 B 3.已知α为锐角，且sin α＝4 5，则cos (π＋α)＝( ) A.－35 B.35 C.－45 D.45 解析 因为α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝3 5， 故cos(π＋α)＝－cos α＝－3 5. 答案 A 4.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝4 3 ，则sin 2α＝( ) A.－79 B.－29 C.29 D.79 解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α， ∴sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫ 432 ＝－79. 答案 A
同角三角函数的基本关系式知识讲解
同角三角函数的基本关系式知识讲解
同角三角函 数基本关系 【学习目标】 1.借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式: αα α ααtan cos sin , 1cos sin 22==+，掌握已知一个角的三角函数值求其 他三角函数值的方法； 2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。 【要点梳理】 要点一：同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：2 2sin cos 1αα+= (2)商数关系：sin tan cos α αα = (3)倒数关系：tan cot 1⋅=αα，sin csc 1αα⋅=，cos sec 1αα⋅= 要点诠释： (1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立； (2)2 sin α是2 (sin )α的简写； (3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“±”的选取。 要点二：同角三角函数基本关系式的变形 1．平方关系式的变形：
（2）当m=±1时，角α的终边在x 轴上，此时，sin α=0。 （3）当|m|＜1且m ≠0时， ∵sin 2α=1―cos 2α=1―m 2， ∴①当角α为第一象限角或第二象限角时，2 sin 1m α=-， ②当角α为第三象限角或第四象限角时，2 sin 1m α=- - 【总结升华】 当角α的范围不确定时，要对角的范围进行讨论，切记不要遗漏终边落在坐标轴上的情况。 类型二：利用同角关系求值 例3．已知：tan cot 2,θθ+=求： （1）sin cos ⋅θθ的值；（2）sin cos θθ+的值； （3）sin cos θθ-的值；（4）sin θ及cos θ的值 【思路点拨】同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的恒等变形提供了工具与方法。 【答案】（1）12 （2）2±3）0（42222 【解析】（1）由已知sin cos 2cos sin θθ θθ += 22sin cos 2 sin cos θθ θθ +∴= 1sin cos 2 θθ∴= （2）() 2 sin cos 12sin cos 112 θθθθ+=+=+= sin cos 2 θθ∴+=（3） () 2 sin cos 12sin cos 110 θθθθ-=-=-= sin cos 0 θθ∴-=
同角三角函数的基本关系
1.2.2 同角三角函数的基本关系 整体设计 教学分析 与三角函数的定义域、符号的确定一样,同角三角函数的基本关系式的推导,紧扣了定义,是按照一切从定义出发的原则进行的,通过对基本关系的推导,应注意学生重视对基本概念学习的良好习惯的形成,学会通过对基本概念的学习,善于钻研,从中不断发掘更深层次的内涵. 同角三角函数的基本关系式将“同角”的四种不同的三角函数直接或间接地联系起来,在使用时一要注意“同角”,至于角的表达形式是至关重要的,如sin 24π+cos 24π=1等,二要注意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的,如tan α中的α是使得tan α有意义的值,即α≠k π+2 ,k ∈Z . 已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个,这是同角三角函数关系式的一个最基本功能,在求值时,根据已知的三角函数值,确定角的终边的位置是关键和必要的,有时由于角的终边的位置不确定,因此解的情况不止一种,解题时产生遗漏的主要原因一是没有确定好或不去确定终边的位置;二是利用平方关系开方时,漏掉了负的平方根. 三维目标 1.通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式,并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明. 2.同角三角函数的基本关系式主要有三个方面的应用:(1)求值(知一求二);(2)化简三角函数式;(3)证明三角恒等式.通过本节的学习,学生应明了如何进行三角函数式的化简与三角恒等式的证明. 3.通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯,提高三角恒等变形的能力,树立转化与化归的思想方法. 重点难点 教学重点:课本的三个公式的推导及应用. 教学难点:课本的三个公式的推导及应用. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.先请学生回忆任意角的三角函数定义,然后引导学生先计算后观察以下各题的结果,并鼓励学生大胆进行猜想,教师点拨学生能否用定义给予证明,由此展开新课.计算下列各式的值: (1)sin 290°+cos 290°;(2)sin 230°+cos 2 30°;(3) 60cos 60sin ;(4) 135cos 135sin . 推进新课 新知探究 提出问题 ①在以下两个等式中的角是否都可以是任意角?若不能,角α应受什么影响?
同角三角函数的基本关系式
同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα²cotα＝1 sinα²cscα＝1 cosα²secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α （六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”） 诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。） sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tanα＋tanβ tan（α＋β）＝—————— 1－tanα²tanβ tanα－tanβ tan（α－β）＝—————— 1＋tanα²tanβ 2tan(α/2) sinα＝—————— 1＋tan2(α/2) 1－tan2(α/2) cosα＝—————— 1＋tan2(α/2) 2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan2(α/2)