基本不等式(很全面)
基本不等式全部公式
基本不等式全部公式1.三角不等式：对于任意实数a和b，有，a+b，≤，a，+，b2. Cauchy-Schwarz 不等式：对于任意实数 a1, a2,...,an 和 b1, b2,...,bn，有(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)² ≤ (a₁² + a₂² + ... + an²)(b₁² + b₂² + ... + bn²)3. 二次平均不等式：对于任意非负实数 x1, x2,...,xn，有√((x₁² + x₂² + ... + xn²)/n) ≥ ((x₁ + x₂ + ... + xn)/n)4. 广义平均不等式：对于任意非负实数 x1, x2,...,xn 和实数 p ≠ 0，有(x₁ᵖ + x₂ᵖ + ... + xnᵖ)/n ≥ ((x₁ + x₂ + ... + xn)/n)ᵖ5. AM-GM 不等式：对于任意非负实数 x₁, x₂,...,xn，有(x₁x₂...xn)^(1/n) ≤ (x₁ + x₂ + ... + xn)/n6. Jensen 不等式：设 f 是凸函数，则对于非负实数 x₁, x₂, (x)和非负实数权重 w₁, w₂,...,wn，有f(w₁x₁ + w₂x₂ + ... + wnxn) ≥ w₁f(x₁) + w₂f(x₂) + ... +wnfn(xn)7. Hessemberg 不等式：对于非负实数 x₁, x₂,...,xn，有(x₁ + t)ⁿ ≤ x₁ⁿ + nx₁ⁿ⁻¹t + n(n-1)x₁ⁿ⁻²t²/2 + ... + tⁿ8. Bernoulli 不等式：对于实数x ≥ -1 和正整数 n，有(1+x)ⁿ ≥ 1 + nx9. Muirhead 不等式：对于非负实数 a₁, a₂,...,an 和 b₁,b₂,...,bn 满足 a₁ + a₂ + ... + an = b₁ + b₂ + ... + bn，有a₁ᵖ₁a₂ᵖ₂...anᵖₙ + permutations ≥ b₁ᵖ₁b₂ᵖ₂...bnᵖₙ + permutations10. 反柯西不等式：对于任意非负实数 a₁, a₂,...,an，有(a₁/a₂ + a₂/a₃ + ... + an-₁/an + an/a₁) ≥ n以上是一些常见的基本不等式公式。
基本不等式
、柯西不等式等。
优化问题
02
在优化问题中，幂平均不等式可以用于寻找最优解或确定最优
解的范围。
统计学应用
03
在统计学中，幂平均不等式可以用于分析数据的分布和离散程
度。
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06
排序原理与切比雪夫（ Chebyshev）不等式
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排序原理简介
2024/1/26
01
排序原理是一种基本的数学原理，用于比较和排列一组数的大 小。
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因式分解法
将一元二次不等式因式分解，然后利用不等式的性质进行求解。
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一元二次不等式组解法
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分别求解法
分别求出每个不等式的解集，然 后取它们的交集作为不等式组的 解集。
图像法
在同一坐标系中画出每个不等式 的图像，然后找出满足所有不等 式的区域作为不等式组的解集。
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算术平均值-几何平均值（AM-GM）不等式
对于所有非负实数 $a_1, a_2, ldots, a_n$，有
$frac{a_1 + a_2 + cdots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$当且仅当 $a_1 = a_2 = ldots = a_n$ 时取等号。
2024/1/26
加权平均值不等式是AM-GM不等式的推广，具有更广泛的应用范围。
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柯西-施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式
对于任意实数 $a_1, a_2, ldots, a_n$ 和 $b_1, b_2, ldots, b_n$，有
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$(a_1^2 + a_2^2 + cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + cdots + b_n^2) geq (a_1b_1 + a_2b_2 + cdots + a_nb_n)^2$当且仅当 $a_i = kb_i (i = 1, 2, ldots, n)$ 时取等号，其中 $k$ 为常数。
不等式基本原理专题 ---(非常全面)
不等式基本原理专题 ---(非常全面)不等式基本原理专题 - 完整版概述在数学不等式中，有一些基本的原理和定理，这些定理不仅在不等式证明中起到重要的作用，而且在实际问题中也有着广泛的应用。
在本文中，将阐述几个不同的不等式基本原理，并通过相关例题进行演示。
一、加减法原理不等式加减法原理指的是，如果两个不等式关系成立，则将它们加起来或从其中一个减去另一个，得到的结果仍然是不等式关系。
例如：如果 $a>b$ 且 $c>d$，则 $a+c>b+d$如果 $a>b$ 且 $c>d$，则 $a-c>b-d$二、乘法原理不等式乘法原理指的是，如果不等式关系的两侧均为正或均为负，则将它们相乘，得到的结果仍然是不等式关系，而如果一侧为正，另一侧为负，则将它们相乘，则得到一种新的不等式关系。
例如：如果 $a>b>0$ 且 $c>d>0$，则 $ac>bd$如果 $a>b>0$ 且 $c<d<0$ 或 $a<b<0$ 且 $c>d>0$，则 $ac<bd$三、倒数性质不等式倒数性质指的是，如果 $a>b>0$，则$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$。
例如：如果 $3>2>0$，则$\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$。
四、平均值不等式平均值不等式是一个常用的不等式概念，它指的是对于一组实数 $a_1,a_2,...,a_n$，它们的算术平均值、几何平均值与调和平均值有以下关系：$\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1 a_2 ... a_n}\geq\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}$。
例如：对于一组实数 $1,2,3$，它们的算术平均值是 $2$，几何平均值是 $\sqrt[3]{6}$，调和平均值是$\frac{3}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=\frac{9}{5}$。
(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
基本不等式(完整版)
2b＋a≥2，ab>0； ab
a＋b 3ab≤ 2 2，a，b∈R；
当且仅当 a＝b 时 等号成立.
4a2＋b2≥
a＋b 2
2，a，b∈R
2
（5） 2 ab a b a2 b2 (a 0,b 0) .
11
2
2
ab
一、直接法
【例 1】以下结论，正确的是（ ） A．y＝x+ ≥4
B．ex+ ＞2
A. 2
B．2
C．2 2
D．4
解析：由1＋2＝ ab知 a>0，b>0，所以 ab＝1＋2≥2 2 ，即 ab≥2 2，
ab
ab
ab
1＝2，
ab 当且仅当 1＋2＝
即 a＝4 2，b＝2 4 2时取“＝”，所以 ab 的最小值为 2 ab，
2.故选 C
ab
变式 1：若实数 x、y 满足 2x+2y＝1，则 x+y 的取值范围是（ ）
证明： (a b)2 0 a2 2ab b2 0 a2 b2 2ab
推论： ab a2 b2 （ a,b R ）. 2
2、如果 a 0 ， b 0 ,则 a b 2 ab ，（当且仅当 a b 时取等号“=”）.
推论： ab
(a b )2 （ a
a2 0 ，b 0 ）；
C．x（1﹣x）≤（
）2 ＝
D．sinx+
（0＜x＜π）的最小值是 2
解：A：当 x＜0 时，不满足题意；B：
C：由基本不等式可得，x（1﹣x） 等号，故 C 符合题意； D：当 0＜x＜π时，0＜sinx≤1，则 故选：C．
＝2，不符合题意； ＝ ，当且仅当 x＝1﹣x 即 x＝ 时取
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式完整版(非常全面) 基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式1) 若 $a,b\in R$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$2) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$2、基本不等式一般形式（均值不等式）若 $a,b\in R^*$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$3、基本不等式的两个重要变形1) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$2) 若 $a,b\in R^*$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论1) 若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取“=”）2) 若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）3) 若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）4) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$5) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{1}{a^2+b^2}\leq\frac{1}{2ab}\leq \frac{1}{a+b}$特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
6、柯西不等式1) 若 $a,b,c,d\in R$，则 $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2$2) 若 $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3\in R$，则$(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2$3) 设 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 与 $b_1,b_2,\dots,b_n$ 是两组实数，则有$(a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\dots+b_n^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n)^2$二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设 $a,b$ 均为正数，证明不等式：$ab\geq\frac{1}{2}(a+b)^2$2、已知 $a,b,c$ 为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca$3、已知 $a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2\geq\frac{1}{3}$4、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$(1-a)(1-b)(1-c)\geq 8abc$5、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq\frac{9}{2(a+b+c)}$题型二：利用柯西不等式证明不等式1、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}$2、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$3、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $abc=1$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq a+b+c$4、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c$5、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}\geq a+b+c$题型三：求最值1、已知 $a,b$ 均为正数，且 $a+b=1$，求 $ab$ 的最大值和最小值。
基本不等式
基本不等式一、基础知识☐基本不等式：在不等式的应用中，有一些很基本而十分重要的不等式，如平均值不等式和三角不等式等，我们将其统称为基本不等式．☐平均值不等式：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a 、b ，有2a b ab ，且等号当且仅当a b 时成立.证明：对于正数a 、b ，要证明定理所述之平均值不等式，只要证明2a bab ，即20a b ab.由22a b aba b.上式显然成立，且只有当ab 时，原不等式两边才相等.☐常用不等式：对于任意的正数a 、b ，有22a bab ，且等号当且仅当a b 时成立.☐三角不等式：对于任意的实数a 、b ，有a b a b ，且等号当且仅当0ab 时成立.证明：为证明a ba b ，只需证明22a ba b，即222222aab b a ab b ，也即22ab ab ，这是显然的，且等号当且仅当a 、b 同号，即0ab时成立.二、拓展知识☐基本不等式：如果a ，b ，c R ，那么3333a b c abc （当且仅当a b c 时取“”）证明：33333223333a b c abca bc a b ab abc223a b ca ba b c c ab a b c22223a b c a ab b ac bc c ab 222a b c a b c ab bc ac 22212a bc a ba cbca ，b ，cR ，222102a b c a b a cb c从而3333ab c abc☐推论：如果a ，b ，c R ，那么33a b c abc （当且仅当a b c 时取“”）☐基本不等式：1212nn a a a a a a n，*n N ，ia R ，1in .证明可用数学归纳法，二项式定理证明，这里证明省略； ☐柯西不等式：222222211221212n nn n a b a b a b a a a b b b,1,2,,i i a b R i n ，等号当且仅当120na a a 或i ib ka 时成立（k 为常数，1,2,,i n ）证明：构造二次函数2221122n nf xa xb a x b a x b2222222121122122n n n n a a a xa b a b a b xb b b222120n aa a又0f x 恒成立222222211221212440n nn n a b a b a b a a a b b b即222222211221212n nn n a b a b a b a a a b b b当且仅当0i i a x b x（1,2,,i n ）即1212nna a ab bb 时等号成立. ☑一个重要的不等式链：2112a b a b+≤≤≤+． ☑函数()()0,0bf x ax a b x =+>>图象及性质 （1）函数()0)(>+=b a xb ax x f 、图象大致如下图（xx x f 1)(+=）所示：（2）函数()0)(>+=b a xb ax x f 、性质：①值域：()2,ab,⎡-∞-+∞⎣；②单调递增区间：,,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭；单调递减区间：0,,0⎛⎡⎫ ⎪⎢ ⎪⎝⎣⎭．三、最值常见类型注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”； （2）求最值的条件“一正，二定，三相等”；（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 类型一：积定和最小；重点：利用好“一正，二定，三相等”，凑积为定值； 例1、已知1->x ，求221xx 的最小值【解析】求和的最小值，去找积的定值，这里面发现2x 与21x 的积没有关系，但是能够注意到题目中有1->x ，从而01>+x ，且可以将2x 出来1x 让分母抵消，故有222221222122111xx x x x x ，当且仅当2211x x 即0x 时取等号；注意：在使用积定和最小时，第一要注意两个式子是正还是负（一正）；第二要注意两个式子乘起来是不是定值，如果是定值，结束，如果不是定值要注意进行变形，凑成乘起来是定值的式子（二定）；第三是要注意进行验证，是否可以取等（三取等）；注意：三取等一定要关注，一个是为了验证等号，第二个是因为有的不等式是会进行多次应用基本不等式（多次放缩），如果多次应用中等号不一致，是不可以进行取等的； 例2、已知0xy ，1xy ，求yx y x -+22的最小值及相应的y x ,的值。
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基本不等式(很全面)基本不等式基本不等式原始形式：对于任意实数a和b，有a+b≥2ab/(a^2+b^2)。
基本不等式一般形式（均值不等式）：对于任意实数a和b，有a+b≥2ab/2.基本不等式的两个重要变形：1）对于任意实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab)。
2）对于任意实数a和b，有ab≤(a^2+b^2)/2.求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
常用结论：1）对于任意正实数x，有x+1/x≥2（当且仅当x=1时取“=”）。
2）对于任意负实数x，有x+1/x≤-2（当且仅当x=-1时取“=”）。
3）对于任意正实数a和b，有(a/b+b/a)≥2（当且仅当a=b 时取“=”）。
4）对于任意实数a和b，有ab≤(a^2+b^2)/2≤(a+b)^2/4.5）对于任意实数a和b，有1/(a+b)≤1/2√(ab)≤(1/a+1/b)/(a+b/2)。
特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”。
柯西不等式：1）对于任意实数a、b、c和d，有(a+b)(c+d)≥(ac+bd)^2.2）对于任意实数a1、a2、a3、b1、b2和b3，有(a1^2+a2^2+a3^2)(b1^2+b2^2+b3^2)≥(a1b1+a2b2+a3b3)^2.3）对于任意实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，有(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)≥(a1b1+a2b2+…+an bn)^2.题型归纳：题型一：利用基本不等式证明不等式。
题目1：设a、b均为正数，证明不等式ab≥2/(1/a+1/b)。
题目2：已知a、b、c为两两不相等的实数，求证：a/(b-c)^2+b/(c-a)^2+c/(a-b)^2≥2/(a-b+b-c+c-a)。
题目3：已知a+b+c=1，求证：a^2+b^2+c^2+9abc≥2(ab+bc+ca)。
题目4：已知a、b、c为正实数，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c。
题目5：已知a、b、c为正实数，求证：(a+b)/c+(b+c)/a+(c+a)/b≥6.题目6：已知a、b、c为正实数，求证：√(a^2+b^2+c^2)+2√(ab+bc+ca)≥3√(a^2+b^2+c^2+ab+b c+ca)。
题目7：已知a、b、c为正实数，求证：(a+b+c)^2/(ab+bc+ca)≥4/3.题目8：已知a、b、c为正实数，求证：(a+b+c)^3/(a^3+b^3+c^3+6abc)≥4.题目9：已知a、b、c为正实数，求证：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9.题目10：已知a、b、c为正实数，求证：(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)≥3(ab+bc+ca)。
题目11：已知a、b、c为正实数，求证：(a+b+c)^2/(ab+bc+ca)+8abc/(a+b)(b+c)(c+a)≥4.题目12：已知a、b、c为正实数，求证：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥(a+b)/(a^2+ab+b^2)+(b+c)/(b^2+bc+c^2)+( c+a)/(c^2+ca+a^2)。
题目13：已知a、b、c为正实数，求证：(a^2+2bc)/(b+c)+(b^2+2ca)/(c+a)+(c^2+2ab)/(a+b)≥2(a+b+c)。
题目14：已知a、b、c为正实数，求证：(a+b+c)^3/(4(ab+bc+ca)^2-3(a^2+b^2+c^2))≥1.题目15：已知a、b、c为正实数，求证：(a+b)(b+c)(c+a)/(abc)≥8.题型二：应用不等式求最值。
题目1：已知a、b、c为正实数，且a+b+c=1，求证：abc≤1/27.题目2：已知a、b、c为正实数，且a+b+c=1，求证：(a+1)(b+1)(c+1)≥8.题目3：已知a、b、c为正实数，且abc=1，求证：a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)≥3/2.题目4：已知a、b、c为正实数，且abc=1，求证：a/(a+1)+b/(b+1)+c/(c+1)≥3/2.题目5：已知a、b、c为正实数，且a^2+b^2+c^2=1，求证：a+b+c≤√3.题目6：已知a、b、c为正实数，且a^2+b^2+c^2=3，求证：(a+b+c)^2≤3(a^3+b^3+c^3)。
题目7：已知a、b、c为正实数，且a+b+c=3，求证：(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)≥27(ab+bc+ca)。
题目8：已知a、b、c为正实数，且a+b+c=1，求证：(a^2+bc)/(b+c)+(b^2+ca)/(c+a)+(c^2+ab)/(a+b)≥3/2.题目9：已知a、b、c为正实数，且abc=1，求证：(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc。
题目10：已知a、b、c为正实数，且a+b+c=1，求证：(a+bc)(b+ca)(c+ab)≤1/64.题目11：已知a、b、c为正实数，且a+b+c=1，求证：(a/b+1)(b/c+1)(c/a+1)≥8.题目12：已知a、b、c为正实数，且a^2+b^2+c^2=3，求证：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9.题目13：已知a、b、c为正实数，且abc=1，求证：(a+b+c)^3≥27(ab+bc+ca)。
题目14：已知a、b、c为正实数，且a+b+c=1，求证：(a/b+b/c+c/a)(ab+bc+ca)≤4/27.题目15：已知a、b、c为正实数，且a+b+c=1，求证：(a/b+b/c+c/a)(a^2+b^2+c^2)≥3/2.题目6、设$a,b,c$均为正数，且$a+b+c=1$，证明：frac{1}{a^2b^2c^2}\geq\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq 1+\frac{3}{abc}$$题型二：利用不等式求函数值域题目1、求下列函数的值域：1）$y=3x+\frac{1}{x}$；2）$y=x+\frac{2}{x-1}$；3）$y=x^2-4x+5$。
题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）1、已知$x>2$，求函数$y=2x-4+\frac{1}{x-2}$。
变式1：已知$x>2$，求函数$y=2x+\frac{1}{x-2}$。
变式2：已知$x<2$，求函数$y=2x+\frac{1}{2-x}$。
变式3：已知$x<2$，求函数$y=2x+\frac{1}{x-3}$。
练：1、已知$x>1$，求函数$y=x+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}$的最小值。
题目2、已知$x<0$，求函数$y=x^2+2x+\frac{1}{x}$的最小值。
题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）题目1、当$x>0$时，求函数$y=4x-2+\frac{1}{4-x}$的最小值。
变式1：当$x>0$时，求函数$y=4x+\frac{1}{4-x}$的最小值。
变式2：当$\frac{1}{3}<x<\frac{1}{2}$时，求函数$y=4x-3+\frac{1}{4x-5}$的最大值。
变式3：当$\frac{1}{3}<x<\frac{1}{2}$时，求函数$y=4x-3+\frac{1}{5-4x}$的最小值。
变式4：当$x>0$时，求函数$y=4x-2+\frac{1}{x}-\frac{5}{4}$的最大值。
题型五：巧用“1”的代换求最值问题题目1、已知$a,b>0$，$a+2b=1$，求$t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$的最小值。
变式1：已知$a,b>0$，$a+2b=2$，求$t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$的最小值。
变式2：已知$x,y>0$，$x+y=1$，求$t=xy+\frac{1}{xy}$的最小值。
变式3：已知$x,y>1$，$x+y=9$，求$t=xy+\frac{1}{xy}$的最小值。
变式4：已知$x,y>1$，$x+y=4$，求$t=xy+\frac{1}{xy}$的最小值。
变式5：1）若$x,y>0$且$2x+\frac{1}{y}=1$，求$t=xy+\frac{1}{xy}$的最小值；2）若$a,b,x,y\in R$且$a+b=1$，求$t=x+\frac{xy}{a}+y+\frac{xy}{b}$的最小值；变式6：已知正项等比数列$\{a_n\}$满足：$a_7=a_6+2a_5$，求$t=\frac{a_7}{a_1}$的最小值。
题目1：已知$a>b>0$，求$a+b$和$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$的大小关系。
解析：由于$a>b>0$，所以$a+b>2b$，$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{a+b}{ab}\dfrac{2}{b}>\dfrac {2}{a}$，即$a+b>\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$。
题目2：已知$a>b>0$，且$a+b=2$，求$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}$的最小值。
解析：根据均值不等式，$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}\geq2\sqrt{\dfrac{a^2}{b}\cdot\dfrac{b^2}{a}}=2\sqrt{ab}$。
又由于$a+b=2$，所以$(a-b)^2\geq 0$，即$a^2+b^2\geq 2ab$，因此$2\sqrt{ab}\geq\dfrac{2ab}{a+b}=ab$。
综上，$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}\geq ab$，等号成立时$a=b=1$，所以最小值为$1$。
题目3：已知$a>b>0$，求$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+2\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)$的最小值。
解析：将$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+2\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)$化简得$3+\dfrac{(a-b)^2}{ab}$。
由于$a>b>0$，所以$(a-b)^2>0$，即$\dfrac{(a-b)^2}{ab}>0$，因此$3+\dfrac{(a-b)^2}{ab}>3$，等号不可能成立，所以最小值为$3$。
题目4：已知$a>b>0$，求$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{2}{a+b}$的最小值。