2017-2018学年九年级数学上学期期末考试(考试版)
C．y=-2（x+1）2+6
D．y=-2（x+1）2-6
6．如图，点 E 在 y 轴上，⊙E 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C，D，若 C（0，16），D（0，-4），
则线段 AB 的长度为
A．10
B．8
C．20
D．16
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（-3，6），B（-9，-3），以原点 O 为位似中心，相似比为 1 ， 3
…
与
x
轴交于点
A，与反比例函数
y
4 x
(x
0)
的图象交于点
B，若
SAOB
2，
则 b 的值是
A． 3 5
B． 3 4
C． 10 5
D．1
4．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的球共有 20 个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，
小明通过大量摸球试验后发现摸到红色、黑色球的频率分别稳定在 10%和 30%，则口袋中白色球的个
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绝密★启用前
2017-2018 学年上学期期末
九年级数学
注意事项：ຫໍສະໝຸດ （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号 填写在答题卡上。
六、（本题满分 12 分） 21．有 A，B 两个黑布袋，A 布袋中有四个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字 1，2，3，4，B
布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字 2，4，6．小明先从 A 布袋中随机取出 一个小球，用 m 表示取出的球上标有的数字，再从 B 布袋中随机取出一个小球，用 n 表示取出的球上
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（2）若 CD=24，BE=8，求⊙O 的半径．
五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分） 19．如图，斜坡 AP 的坡度为 1∶2.4，坡长 AP 为 26 m，在坡顶 A 处的同一水平面上有一座古塔 BC，在斜
2 七、（本题满分 12 分） 22．某商品的进价为每件 50 元，售价为每件 60 元，每天可卖出 190 件；如果每件商品的售价每上涨 1 元，
则每天少卖 10 件，设每件商品的售价上涨 x 元（x 为正整数），每天的销售利润为 y 元． （1）求 y 关于 x 的关系式； （2）每件商品的售价定为多少元时，每天的利润恰为 1980 元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 八、（本题满分 14 分） 23．如图，在⊙O 中，直径 AB⊥CD，垂足为 E，点 M 在 OC 上，AM 的延长线交⊙O 于点 G，交过 C 的 直线于 F，∠1=∠2，连接 CB 与 DG 交于点 N． （1）求证：CF 是⊙O 的切线； （2）求证：△ACM∽△DCN；
A．4 C．2
B．3 D．1
…
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此
卷
只
装
订
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大小关系（用“<”表示）：__________． 13．如图，在正八边形 ABCDEFGH 中，AC，GC 是两条对角线，则∠ACG=__________．
三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 15．计算：
（1）3tan30°+cos245°-2sin60°； （2）tan260°-2sin45°+cos60°． 16．如图，在△ABC 中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为 D，E，AD 与 BE 相交于点 F． （1）求证：△ACD∽△BFD； （2）若 tan∠ABD=1.2，AC=3，求 BF 的长．
1 （3）若点 M 是 CO 的中点，⊙O 的半径为 4，cos∠BOC= 4 ，求 BN 的长．
20．如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线 x=-1，且经过 A（1，0），B（0，-3）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴 x=-1 上，是否存在点 M，使它到点 A 的距离与到点 B 的距离之和最小，如果 存在，求出点 M 的坐标；如果不存在，请说明理由．
⊙O 的切线交 BC 于点 M，切点为 N，则 DM 的长为
A． 13 3
C．
4 3
13
B． 9 2
D． 2 5
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
11．在－1，0，
1 3
，
2 ，π，0.10110 中任取一个数，取到无理数的概率是__________．
12．已知点 A（1，y1），B（-2，y2），C（3，y3）在函数 y 2(x 1)2 1 的图象上，试确定 y1，y2，y3 的
1．cos30°的值为
A．
1 2
B． 2 2
2．下面四个图案中，不能由基本图案旋转得到的是
C． 3 2
D． 3 3
数大约是
A．10
B．11
C．12
D．13
5．把抛物线 y=-2x2+4x+1 的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，所得的抛物线的函数关系式是
A．y=-2（x-1）2+6
B．y=-2（x-1）2-6
把△ABO 缩小，则点 A 的对应点 A′的坐标是
A．
B．
C．
D．
3．如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则 tan∠ABC 的值为
A．（-1，2）
B．（-1，2）或（1，-2）
C．（-9，18）或（9，-18）
D．（1，-2）
8．如图，直线
y
1 2
x
b
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学 校 ： ______________姓 名 ： _____________班 级 ： _______________考 号 ： ______________________
9．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，D，E，F 是切点，∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=
坡长 AB= 6 2 米，背水坡 CD 的坡度 i=1∶ 3（i 为 DF 与 FC 的比值），则背水坡 CD 的坡长为__________ 米．
A．70°
B．110°
C．120°
D．130°
10．如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC 分别与⊙O 相切于 E，F，G 三点，过点 D 作
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 5．考试范围：沪科版九上全册、九下全册。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的）
坡底 P 处测得该塔的塔顶 B 的仰角为 45°，在坡顶 A 处测得该塔的塔顶 B 的仰角为 76°．求： （1）坡顶 A 到地面 PQ 的距离； （2）古塔 BC 的高度（结果精确到 1 m）． （参考数据：sin76°≈0．97，cos76°≈0．24，tan76°≈4．01）
标有的数字． （1）若用（m，n）表示小明取球时 m 与 n 的对应值，请画出树形图或列表写出（m，n）的所有取值； （2）求关于 x 的一元二次方程 x2-mx+ 1 n=0 有实数根的概率．
四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 17．如图：（1）写出△ABC 中点 A，点 C 的坐标；
（2）画出△ABC 绕点 A 逆时针旋转 90°后的△AB′C′； （3）在（2）的条件下，求点 C 旋转到 C′所经过的路线长．（结果保留 π ）
不
密
封
14．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形 ABCD，AE，DF 为梯形的高，其中迎水坡 AB 的坡角α=45°，
18．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，点 F 在⊙O 上，FD 恰好经过圆心 O，连接 FB． （1）若∠F=∠D，求∠F 的度数；
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学 校 ： ______________姓 名 ： _____________班 级 ： _______________考 号 ： ______________________
2017-2018学年山东省潍坊市九年级(上)期末数学试卷 (1)
2017-2018学年山东省潍坊市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项填涂在答题卡相应的位置．1. 抛物线y ＝(x −1)2+3的顶点坐标是（ ） A.(−1, 3) B.(1, 3)C.(1, −3)D.(−1, −3)2. 如图，在△ABC 中，D 为AB 中点，DE // BC 交AC 于E 点，则△ADE 与△ABC 的面积比为（ ）A.1:2B.1:1C.1:3D.1:43. 方程x 2−x ＝0的解是（ ） A.x ＝1B.x ＝0C.x 1＝0，x 2＝−1D.x 1＝0，x 2＝14. 如图，在△ABC 中，∠A ＝90∘，若AB ＝8，AC ＝6，则cos C 的值为（ ）A.45B.35C.34D.435. 下列各点中，抛物线y ＝x 2−4x −4经过的点是（ ） A.(1, −7) B.(0, 4)C.(2, 8)D.(−1, −1)6. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OCB =40∘，则∠A 的大小为（ ）A.50∘B.40∘C.100∘D.80∘7. 一个扇形的圆心角是120∘，面积为3πcm 2，那么这个扇形的半径是（ ） A.3cm B.1cm C.9cm D.6cm8. 反比例函数y =3x 的图象经过点(−1, y 1)，(2, y 2)，则下列关系正确的是（ ）A.y 1>y 2B.y 1<y 2C.不能确定D.y 1＝y 29. 抛物线y ＝(x −1)2+t 与x 轴的两个交点之间的距离为4，则t 的值是（ ） A.−2 B.−1C.−3D.−410.当温度不变时，气球内气体的气压P （单位：kPa ）是气体体积V （单位：m 3）的函数，下表记录了一组实验数据：P 与V 的函数关系式可能是（ ）C.P =16V 2−96V +176 D.P =96V二、填空题（本题共18分，每小题3分）已知∠A 为锐角，若sin A =√22，则∠A ＝________度．请你写出一个图象经过二、四象限的反比例函数的解析式________．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD 和BC 交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA ＝3OD ，OB ＝3OC ），然后张开两脚，使A 、B 两个尖端分别在线段l 的两个端点上，若CD ＝3.2cm ，则AB 的长为 9.6 cm ．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点为位似中心，线段AB与线段A′B′是位似图形，若A(−1, 2)，B(−1, 0)，A′(−2, 4)，则B′的坐标为________．若关于x的方程x2−mx+m=0有两个相等实数根，则代数式2m2−8m+1的值为________．下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程．如图1，已知圆上一点A，画过A点的圆的切线．画法：（1）如图2，将三角板的直角顶点放在圆上任一点C（与点A不重合）处，使其一直角边经过点A，另一条直角边与圆交于B点，连接AB；（2）如图3，将三角板的直角顶点与点A重合，使一条直角边经过点B，画出另一条直角边所在的直线AD．所以直线AD就是过点A的圆的切线．请回答：该画图的依据是________．三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）计算：(√2)2−2sin30∘−(π−3)0+|−√3|．如图，在△ABC中，∠C＝90∘，E是BC上一点，ED⊥AB，垂足为D．求证：△ABC∽△EBD．若二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点(0, 1)和(1, −2)两点，求此二次函数的表达式．已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻R应控制在什么范围？请根据图象，直接写出结果________．已知矩形的一边长为x，且相邻两边长的和为10．（1）求矩形面积S与边长x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）求矩形面积S的最大值．如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30∘，看这栋楼底部C处的俯角为60∘，热气球与楼的水平距离AD为100米，试求这栋楼的高度BC．在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6，P 为BC 边上一点，△APD 为等腰三角形．（1）小明画出了一个满足条件的△APD ，其中PA ＝PD ，如图1所示，则tan ∠BAP 的值为________；（2）请你在图2中再画出一个满足条件的△APD （与小明的不同），并求此时tan ∠BAP 的值．如图，直线y ＝ax −4(a ≠0)与双曲线y=kx 只有一个公共点A(1, −2)．（1）求k 与a 的值；（2）若直线y ＝ax +b(a ≠0)与双曲线y =kx 有两个公共点，请直接写出b 的取值范围．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ．，AM 是△ACD 的外角∠DAF 的平分线．（1）求证：AM 是⊙O 的切线；（2）若∠D ＝60∘，AD ＝2，射线CO 与AM 交于N 点，请写出求ON 长的思路．有这样一个问题：探究函数y =12(x −1)(x −2)(x −3)+x 的性质．（1）先从简单情况开始探究：①当函数y =12(x −1)+x 时，y 随x 增大而________（填“增大”或“减小”）； ②当函数y =12(x −1)(x −2)+x 时，它的图象与直线y ＝x 的交点坐标为________；（2）当函数y =12(x −1)(x −2)(x −3)+x 时， 下表为其y 与x 的几组对应值．①如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象；②根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质：________．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2−4mx+4m+3的顶点为A．（1）求点A的坐标；（2）将线段OA沿x轴向右平移2个单位长度得到线段O′A′．①直接写出点O′和A′的坐标；②若抛物线y＝mx2−4mx+4m+3与四边形AOO′A′有且只有两个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC内一点，且∠PAC+∠PCA=α2，连接PB，试探究PA、PB、PC满足的等量关系．（1）当α＝60∘时，将△ABP绕点A逆时针旋转60∘得到△ACP′，连接PP′，如图1所示．由△ABP≅△ACP′可以证得△APP′是等边三角形，再由∠PAC+∠PCA＝30∘可得∠APC的大小为________度，进而得到△CPP′是直角三角形，这样可以得到PA、PB、PC满足的等量关系为________；（2）如图2，当α＝120∘时，参考（1）中的方法，探究PA、PB、PC满足的等量关系，并给出证明；（3）PA、PB、PC满足的等量关系为________．定义：点P为△ABC内部或边上的点，若满足△PAB、△PBC、△PAC至少有一个三角形与△ABC相似（点P 不与△ABC顶点重合），则称点P为△ABC的自相似点．例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC＝∠A，∠PCB＝∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P为△ABC的自相似点．在平面直角坐标系xOy中，（1）点A坐标为(2, 2√3)，AB⊥x轴于B点，在E(2, 1)，F(32, √32)，G(12, √32)这三个点中，其中是△AOB自相似点的是________（填字母）；（2）若点M是曲线C:y=kx(k>0, x>0)上的一个动点，N为x轴正半轴上一个动点；①如图2，k＝3√3，M点横坐标为3，且NM＝NO，若点P是△MON的自相似点，求点P的坐标；②若k＝1，点N为(2, 0)，且△MON的自相似点有2个，则曲线C上满足这样条件的点M共有________个，请在图3中画出这些点（保留必要的画图痕迹）．参考答案与试题解析2017-2018学年山东省潍坊市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项填涂在答题卡相应的位置．1.【答案】此题暂无答案【考点】二次明数织性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】相验极角家的锰质与判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】解一较燥次延程抗因式分解法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】锐角三较函数严定义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】二次常数图见合点的岸标特征【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】圆明角研理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】扇形体积硫计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】反比射函可铜象上误的坐标特征【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】抛物线明x稀的交点【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】反比例表数透应用根据常际问占年师比例函数关系式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本题共18分，每小题3分）【答案】此题暂无答案【考点】特殊角根三角函股值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】反比例根数的性气【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】相似三使形的应以【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】坐标正测形性质作图使胞似变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】根体判展式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】切线的明定养性质作图常复占作图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）【答案】此题暂无答案【考点】零因优幂特殊角根三角函股值实因归运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】相似三使形的判碳【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二次常数图见合点的岸标特征待定水体硫故二次函数解析式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】反比例表数透应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二次表数擦应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】解直角明角念的应用备仰角俯城问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】等腰三验库的性质矩来兴性质解直于三角姆【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】反比于函数偏压史函数的综合【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】切验极判定垂都着理圆明角研理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二水来数兴象触几何变换二次明数织性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二次使如综合题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】三角使如合题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】反比例表数病合题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2017-2018上学期九年级数学期末试卷
2017—2018学年度九年级数学期末测试卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）. 1．如图所示的几何体的俯视图是（ ）2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角互补3．矩形的长为x ，宽为y ，面积为8，则y 与x 之间的函数关系式用图象表示大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x 2﹣8x +12=0的两个根，则该三角形的周长是（ ）A ．10 B ．14 C ．10或14D ．不能确定5．如图，取一张长为a ，宽为b 的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a 、b 应满足的条件是（ ）A ．b B ．a=2b C ．b D ．a=4b6．二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如上图所示，对称轴是直线x =1，下列结论：①ab ＜0； ②b 2＞4ac ；③3a +c ＜0；④a +b +2c ＜0．其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．②④C ．①②④D ．①④二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 7．方程x 2=2x 的解为 ．8．已知两个相似的三角形的面积之比是16：9，那么这两个三角形的周长之比是 ．CDBA正面9．某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标 志的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉60只黄羊，发现其中2只有标志．从而估计该地区有 黄羊 只． 10．如下图1，双曲线(0)ky k x=≠上有一点A ，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为2，则该双曲线的表达式为 ______ ．11．如下图2，在A 时测得某树的影长为4m ，B 时又测得该树的影长为16m ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 ．12．如下图3，四边形ABCD 是菱形，∠BAD =60°，AB =6，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在AC 上，若OE CE 的长为 ．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．(1)计算：sin 245°＋cos30°•tan60°；(2) 如图，已知：∠BAC =∠EAD ，AB =20.4，AC =48，AE =17，AD =40．求证：△ABC ∽△AED ．14．(1)如图（1），将平行四边形剪一刀，再拼成一个与其面积相等的矩形；(2)如图（2），将菱形剪两刀，再拼成一个与其面积相等的矩形.15．市某中学拟在周一至周五的五天中随机选择2天进行开展安全逃生疏散演练活动，请完成下列问题：（1）周二没有被选择的概率；（2）选择2天恰好为连续两天的概率．16．已知关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0．（1）若该方程有实数根，求a的取值范围．（2）若该方程一个根为﹣1，求方程的另一个根．17．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D是AB的中点，分别过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，求证：四边形CEDF是正方形．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．如图，在△ABC中，∠A=30°，cos B=45，ACAB的长．19．某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，该阅览室在2015年图书借阅总量是7500本，2017年图书借阅总量是10800本．（1）求该社区的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率；（2）已知2017年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2018年达到1440人．如果2017年至2018年图书借阅总量的增长率不低于2015年至2017年的年平均增长率，那么2018年的人均借阅量比2017年增长a%，求a的值至少是多少？20．如图（1），太极揉推器是一种常见的健身器材，基本结构包括支架和转盘.如图（2）是该太极揉推器的左视图，立柱AB的长为125cm，支架OC的长为40cm，支点C到立柱顶点B的距离为25cm，支架OC与立柱AB的夹角OCA=120°，转盘的直径DE为60cm，点O是DE的中点，支架OC与转盘直径DE垂直.求转盘最低点E离地面的高度.（结果保留根号）五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）.21．如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣6，与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C．（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；（2）求sin∠OCB的值；（3）若点P（m，m）在该抛物线上，求m的值．（4）直接写出抛物线上一点P的坐标，使得S△PAB=S△ABC。
2017-2018学年九年级(上)期末数学模拟试卷(解析版)
2017-2018学年九年级（上）期末数学模拟试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列平面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．将抛物线y=x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣8）2+5B．y=（x﹣4）2+5C．y=（x﹣8）2+3D．y=（x﹣4）2+33．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（）A．168（1+x）2=108B．168（1﹣x）2=108C．168（1﹣2x）=108D．168（1﹣x2）=1084．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同．小张通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是（）A．6B．16C．18D．245．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径长是（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm6．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是（）A．120°B．180°C．240°D．300°7．如图，△ABC和△DEF分别是⊙O的外切正三角形和内接正三角形，则它们的面积比为（）A．4B．2C．D．8．如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA=140°，则∠ACB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°9．对实数a、b定义新运算“*”如下：，如3*2=3，．若x2+x﹣2=0的两根为x1，x2，则x1*x2是（）A．1B．﹣2C．﹣1D．210．如图，点E为菱形ABCD边上的一个动点，并延A→B→C→D的路径移动，设点E 经过的路径长为x，△ADE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（m+3）x+m2﹣4=0有一个根是零，则m=．12．如图，在平面内将△ABC绕点B旋转至△A'BC'的位置时，点A'在AC上，AC∥BC'，∠ABC=70°，则旋转的角度是．13．点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=x2﹣4x﹣1的图象上，若当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，则y1与y2的大小关系是y1y2．（用“＞”、“＜”、“=”填空）14．如图，扇形纸扇完全打开后，阴影部分为贴纸，外侧两竹条AB、AC夹角为120°，弧BC的长为20πcm，AD的长为10cm，则贴纸的面积是cm2．15．如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1，且过点（，0）．有下列结论：①abc ＞0；②25a﹣10b+4c=0；③a﹣2b+4c=0；④a﹣b≥m（am﹣b）；⑤3b+2c＞0；其中所有正确的结论是（填写正确结论的序号）．16．已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）用适当的方法解下列方程：（1）x2+4x﹣1=0；（2）（x﹣1）（x+1）=（x+1）．18．（8分）在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标（4，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标；（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2，并求出点A到A2的路径长．19．（8分）抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D 等级的学生有多少名？（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．20．（8分）某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？21．（8分）已知，如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E 作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F．（1）求证：AE=BE；（2）求证：FE是⊙O的切线；（3）若FE=4，FC=2，求⊙O的半径及CG的长．22．（10分）某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A种产品，所获利润y A（万元）与投资金额x（万元）之间存在某种关系的部分对应值如下表：信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润y B（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：y B=ax2+bx，且投资2万元时获利润2.4万元，当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）求出y B与x的函数关系式；（2）从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示y A与x之间的关系，并求出y A与x的函数关系式；（3）如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？23．（10分）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，AD=CD=2，点E在边AD上（不与点A、D重合），∠CEB=45°，EB与对角线AC相交于点F，设DE=x．（1）用含x的代数式表示线段CF的长；（2）如果把△CAE的周长记作C△CAE ，△BAF的周长记作C△BAF，设=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当∠ABE的正切值是时，求AB的长．24．（12分）抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求∠ACB的度数；（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．2017-2018学年九年级（上）期末数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列平面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形，轴对称图形的定义进行判断．【解答】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形，轴对称图形的判断．关键是根据图形自身的对称性进行判断．2．将抛物线y=x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣8）2+5B．y=（x﹣4）2+5C．y=（x﹣8）2+3D．y=（x﹣4）2+3【分析】直接利用配方法将原式变形，进而利用平移规律得出答案．【解答】解：y=x2﹣6x+21=（x2﹣12x）+21= [（x﹣6）2﹣36]+21=（x﹣6）2+3，故y=（x﹣6）2+3，向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为：y=（x﹣4）2+3．故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确配方将原式变形是解题关键．3．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（）A．168（1+x）2=108B．168（1﹣x）2=108C．168（1﹣2x）=108D．168（1﹣x2）=108【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是168（1﹣x），第二次后的价格是168（1﹣x）2，据此即可列方程求解．【解答】解：设每次降价的百分率为x，根据题意得：168（1﹣x）2=108．故选：B．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．4．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同．小张通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是（）A．6B．16C．18D．24【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数，即可求出答案．【解答】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，∴摸到白球的频率为1﹣15%﹣45%=40%，故口袋中白色球的个数可能是40×40%=16个．故选：B．【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．5．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径长是（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm【分析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM=4﹣x，MF=2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN=CD=4，设OF=x，则ON=OF，∴OM=MN﹣ON=4﹣x，MF=2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2即：（4﹣x）2+22=x2解得：x=2.5故选：B．【点评】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．6．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是（）A．120°B．180°C．240°D．300°【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．【解答】解：设母线长为R，底面半径为r，∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，∵侧面积是底面积的2倍，∴2πr2=πrR，∴R=2r，设圆心角为n，则=2πr=πR，解得，n=180°，故选：B．【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．7．如图，△ABC和△DEF分别是⊙O的外切正三角形和内接正三角形，则它们的面积比为（）A．4B．2C．D．【分析】过点O作ON⊥BC垂足为N，交DE于点M，连接OB，则O，D，B三点一定共线，设OM=1，则OD=ON=2，再求得DE，BC的长，根据三角形的面积公式即可得出△DEF和△ABC的面积．【解答】解：过点O作ON⊥BC垂足为N，交DE于点M，连接OB，则O，D，B三点一定共线，设OM=1，则OD=ON=2，∵∠ODM=∠OBN=30°，∴OB=4，DM=，DE=2，BN=2，BC=4，=×4×6=12，∴S△ABC=×2×3=3，∴S△DEF∴==4．故选：A．【点评】本题考查了正多边形和圆，以及勾股定理、垂径定理，直角三角形的性质，明确边心距半径边长的一半正好组成直角三角形是解题的关键．8．如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA=140°，则∠ACB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】连接OA、OB，由切线的性质知∠OBM=90°，从而得∠ABO=∠BAO=50°，由内角和定理知∠AOB=80°，根据圆周角定理可得答案．【解答】解：如图，连接OA、OB，∵BM是⊙O的切线，∴∠OBM=90°，∵∠MBA=140°，∴∠ABO=50°，∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=50°，∴∠AOB=80°，∴∠ACB=∠AOB=40°，故选：A．【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．9．对实数a、b定义新运算“*”如下：，如3*2=3，．若x2+x﹣2=0的两根为x1，x2，则x1*x2是（）A．1B．﹣2C．﹣1D．2【分析】首先解方程求得方程的两个解，根据已知条件可以得到：x1*x2的值是两个根中的最大的一个．【解答】解：由方程x2+x﹣2=0得到（x+2）（x﹣1）=0，解得x1=﹣2，x2=1，∵，∴x1*x2=1．故选：A．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法，关键是理解a*b=a（a≥b）或者a*b=b （a＜b）．10．如图，点E为菱形ABCD边上的一个动点，并延A→B→C→D的路径移动，设点E 经过的路径长为x，△ADE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．【分析】分三段来考虑点E沿A→B运动，△ADE的面积逐渐变大；点E沿B→C移动，△ADE的面积不变；点E沿C→D的路径移动，△ADE的面积逐渐减小，据此选择即可．【解答】解：点E沿A→B运动，△ADE的面积逐渐变大，设菱形的变形为a，∠A=β，∴AE边上的高为ABsinβ=a•sinβ，∴y=x•a•sinβ，点E沿B→C移动，△ADE的面积不变；点E沿C→D的路径移动，△ADE的面积逐渐减小．y=（3a﹣x）•sinβ，故选：D．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象．注意分段考虑．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（m+3）x+m2﹣4=0有一个根是零，则m=﹣2．【分析】把x=0代入方程（m﹣2）x2+（m+3）x+m2﹣4=0得m2﹣4=0，然后解方程后利用一元二次方程的定义确定m的值．【解答】解：把x=0代入方程（m﹣2）x2+（m+3）x+m2﹣4=0得m2﹣4=0，解得m1=2，m2=﹣2，而m﹣2≠0，所以m=﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12．如图，在平面内将△ABC绕点B旋转至△A'BC'的位置时，点A'在AC上，AC∥BC'，∠ABC=70°，则旋转的角度是40°．【分析】根据旋转前后的两个图形全等，则：∠A=∠BA'C'，∠ABC=∠A'BC'=70°，AB=A'B，所以∠A=∠AA'B=70°，根据三角形的内角和定理可得∠ABA'=40°．【解答】解：由旋转得：∠A=∠BA'C'，∠ABC=∠A'BC'=70°，AB=A'B，∵AC∥BC'，∴∠AA'B=∠A'BC'=70°，∴∠A=∠AA'B=70°，∴∠ABA'=180°﹣70°﹣70°=40°，即旋转角是40°，故答案为：40°．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，明确对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理．13．点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=x2﹣4x﹣1的图象上，若当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，则y1与y2的大小关系是y1＜y2．（用“＞”、“＜”、“=”填空）【分析】先根据二次函数的解析式判断出抛物线的开口方向及对称轴，根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．【解答】解：由二次函数y=x2﹣4x﹣1=（x﹣2）2﹣5可知，其图象开口向上，且对称轴为x=2，∵1＜x1＜2，3＜x2＜4，∴A点横坐标离对称轴的距离小于B点横坐标离对称轴的距离，∴y1＜y2．故答案为：＜．【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．14．如图，扇形纸扇完全打开后，阴影部分为贴纸，外侧两竹条AB、AC夹角为120°，弧BC的长为20πcm，AD的长为10cm，则贴纸的面积是cm2．【分析】分析题干知，贴纸的面积等于大扇形的面积﹣小扇形的面积．【解答】解：∵弧BC的长为20πcm，∴L=αr=20π，解得r=30，∴AB=30cm，贴纸的面积=大扇形的面积﹣小扇形的面积，==cm2．【点评】本题主要考查扇形面积的计算，知道扇形面积计算公式S=．15．如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1，且过点（，0）．有下列结论：①abc ＞0；②25a﹣10b+4c=0；③a﹣2b+4c=0；④a﹣b≥m（am﹣b）；⑤3b+2c＞0；其中所有正确的结论是①②④（填写正确结论的序号）．【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点判定系数符号，及运用一些特殊点解答问题．【解答】解：①由抛物线的开口向下可得：a＜0，根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，∴abc＞0，故①正确；②∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点（，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣，0），当x=﹣时，y=0，即a（﹣）2﹣b+c=0，整理得：25a﹣10b+4c=0，故②正确；③直线x=﹣1是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以﹣=﹣1，可得b=2a，a﹣2b+4c=a﹣4a+4c=﹣3a+4c，∵a＜0，∴﹣3a＞0，∴﹣3a+4c＞0，即a﹣2b+4c＞0，故③错误；④∵x=﹣1时，函数值最大，∴a﹣b+c≥m2a﹣mb+c，∴a﹣b≥m（am﹣b），所以④正确；⑤∵b=2a，a+b+c＜0，∴b+b+c=0，即3b+2c＜0，故⑤错误；故答案是：①②④．【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．16．已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为0＜m＜．【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．【解答】解：把点（12，﹣5）代入直线y=kx得，﹣5=12k，∴k=﹣；由y=﹣x平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=﹣x+m （m＞0），设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如下图所示）当x=0时，y=m；当y=0时，x=m，∴A（m，0），B（0，m），即OA=m，OB=m；在Rt△OAB中，AB=，过点O作OD⊥AB于D，=OD•AB=OA•OB，∵S△ABO∴OD•m=×m×m，∵m＞0，解得OD=m由直线与圆的位置关系可知＜6，解得0＜m＜．故答案为：0＜m＜．【点评】此题主要考查直线与圆的关系，关键是根据待定系数法、勾股定理、直线与圆的位置关系等知识解答．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）用适当的方法解下列方程：（1）x2+4x﹣1=0；（2）（x﹣1）（x+1）=（x+1）．【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2+4x=1，∴x2+4x+4=1+4，即（x+2）2=5，则x+2=，∴x=﹣2；（2）∵（x﹣1）（x+1）﹣（x+1）=0，∴（x+1）（x﹣2）=0，则x+1=0或x﹣2=0，解得：x=﹣1或x=2．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．（8分）在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标（4，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标；（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2，并求出点A到A2的路径长．【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接可得；（2）分别作出点A、B绕点C逆时针旋转90°得到其对应点，再顺次连接可得，绕后利用弧长公式计算可得答案．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（﹣4，4）、B1（﹣1，1）、C1（﹣3，1）；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，∵CA==、∠ACA2=90°，∴点A到A2的路径长为=π．【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换、旋转变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换和旋转变换的定义和性质及弧长公式．19．（8分）抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D 等级的学生有多少名？（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．【分析】（1）用A等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；（2）用总人数分别减去A、B、D等级的人数得到C等级的人数，然后补全条形图；（3）用700乘以D等级的百分比可估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生数；（4）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好都是男生的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）10÷20%=50，所以本次抽样调查共抽取了50名学生；（2）测试结果为C等级的学生数为50﹣10﹣20﹣4=16（人）；补全条形图如图所示：（3）700×=56，所以估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名；（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，所以抽取的两人恰好都是男生的概率==．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．20．（8分）某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，由“确保盈利”可得x 的取值范围．（2）将所得函数解析式配方成顶点式可得最大值．【解答】解：（1）根据题意得y=（70﹣x﹣50）（300+20x）=﹣20x2+100x+6000，∵70﹣x﹣50＞0，且x≥0，∴0≤x＜20；（2）∵y=﹣20x2+100x+6000=﹣20（x﹣）2+6125，∴当x=时，y取得最大值，最大值为6125，答：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元．【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意确定相等关系，并据此列出函数解析式．21．（8分）已知，如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E 作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F．（1）求证：AE=BE；（2）求证：FE是⊙O的切线；（3）若FE=4，FC=2，求⊙O的半径及CG的长．【分析】（1）连接CE和OE，因为BC是直径，所以∠BEC=90°，即CE⊥BE；再根据等腰三角形三线合一性质，即可得出结论；（2）证明OE是△ABC的中位线，得出OE∥AC，再由已知条件得出FE⊥OE，即可得出结论；（3）由切割线定理求出直径，得出半径的长，由平行线得出三角形相似，得出比例式，即可得出结果．【解答】（1）证明：连接CE，如图1所示：∵BC是直径，∴∠BEC=90°，∴CE⊥AB；又∵AC=BC，∴AE=BE．（2）证明：连接OE，如图2所示：∵BE=AE，OB=OC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，AC=2OE=6．又∵EG⊥AC，∴FE⊥OE，∴FE是⊙O的切线．（3）解：∵EF是⊙O的切线，∴FE2=FC•FB．设FC=x，则有2FB=16，∴FB=8，∴BC=FB﹣FC=8﹣2=6，∴OB=OC=3，即⊙O的半径为3；∴OE=3，∵OE∥AC，∴△FCG∽△FOE，∴，即，解得：CG=．【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、三角形中位线的判定、切割线定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的判定，由三角形中位线定理得出OE ∥AC是解决问题的关键．22．（10分）某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A种产品，所获利润y A（万元）与投资金额x（万元）之间存在某种关系的部分对应值如下表：信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润y B（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：y B=ax2+bx，且投资2万元时获利润2.4万元，当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）求出y B与x的函数关系式；（2）从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示y A与x之间的关系，并求出y A与x的函数关系式；（3）如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？【分析】（1）用待定系数法将坐标（2，2.4）（4，3.2）代入函数关系式y B=ax2+bx求解即可；（2）根据表格中对应的关系可以确定为一次函数，通过待定系数法求得函数表达式；（3）根据等量关系“总利润=投资A产品所获利润+投资B产品所获利润”列出函数关系式求得最大值．【解答】解：（1）由题意得，将坐标（2，2.4）（4，3.2）代入函数关系式y B=ax2+bx，求解得：∴y B与x的函数关系式：y B=﹣0.2x2+1.6x（2）根据表格中对应的关系可以确定为一次函数，故设函数关系式y A=kx+b，将（1，0.4）（2，0.8）代入得：，解得：，则y A=0.4x；（3）设投资B产品x万元，投资A产品（15﹣x）万元，总利润为W万元，W=﹣0.2x2+1.6x+0.4（15﹣x）=﹣0.2（x﹣3）2+7.8即当投资B3万元，A12万元时所获总利润最大，为7.8万元．【点评】本题考查了函数关系式以及其最大值的求解问题．23．（10分）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，AD=CD=2，点E在边AD上（不与点A、D重合），∠CEB=45°，EB与对角线AC相交于点F，设DE=x．（1）用含x的代数式表示线段CF的长；（2）如果把△CAE的周长记作C△CAE ，△BAF的周长记作C△BAF，设=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当∠ABE的正切值是时，求AB的长．【分析】（1）先利用勾股定理得出CE，再判断出△CEF∽△CAE，得出比例式即可得出结论；（2）先判断出∠ECA=∠ABF，进而得出△CEA∽△BFA，即可得出结论；（3）由（2）得出△CEA∽△BFA，即可表示出AB，最后利用锐角三角函数建立方程求出x，即可得出结论．【解答】解：（1）∵AD=CD．∴∠DAC=∠ACD=45°，∵∠CEB=45°，∴∠DAC=∠CEB，∵∠ECA=∠ECA，∴△CEF∽△CAE，∴，在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE=，∵CA=2，∴，∴CF=；（2）∵∠CFE=∠BFA，∠CEB=∠CAB，∴∠ECA=180°﹣∠CEB﹣∠CFE=180°﹣∠CAB﹣∠BFA，∵∠ABF=180°﹣∠CAB﹣∠AFB，∴∠ECA=∠ABF，∵∠CAE=∠BAF=45°，∴△CEA∽△BFA，∴y====（0＜x＜2），（3）由（2）知，△CEA∽△BFA，∴，∴，∴AB=x+2，∵∠ABE的正切值是，∴tan∠ABE===，∴x=，∴AB=x+2=．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，解（1）的关键是判断出△CEF∽△CAE，解（2）（3）的关键是判断出△CEA∽△BFA．24．（12分）抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求∠ACB的度数；（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．【分析】（1）先求得点C（0，3）的坐标，然后设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣），最后，将点C的坐标代入求得a的值即可；（2）过点B作BM⊥AC，垂足为M，过点M作MN⊥OA，垂足为N．先求得AC的解析式，然后再求得BM的解析式，从而可求得点M的坐标，依据两点间的距离公式可求得MC=BM，最后，依据等腰直角三角形的性质可得到∠ACB的度数；（3）如图2所示：延长CD，交x轴与点E．依据题意可得到∠ECD＞45°，然后依据相似三角形的性质可得到∠CAO=∠ECD，则CE=AE，设点E的坐标为（a，0），依据两点间的距离公式可得到（a+1）2=32+a2，从而可得到点E的坐标，然后再求得CE的解析式，最后求得CE与抛物线的交点坐标即可．【解答】解：（1）当x=0，y=3，∴C（0，3）．设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣）．将C（0，3）代入得：﹣a=3，解得：a=﹣2，∴抛物线的解析式为y=﹣2x2+x+3．（2）过点B作BM⊥AC，垂足为M，过点M作MN⊥OA，垂足为N．∵OC=3，AO=1，∴tan∠CAO=3．∴直线AC的解析式为y=3x+3．∵AC⊥BM，∴BM的一次项系数为﹣．设BM的解析式为y=﹣x+b，将点B的坐标代入得：﹣×+b=0，解得b=．∴BM的解析式为y=﹣x+．将y=3x+3与y=﹣x+联立解得：x=﹣，y=．∴MC=BM═=．∴△MCB为等腰直角三角形．∴∠ACB=45°．（3）如图2所示：延长CD，交x轴与点F．∵∠ACB=45°，点D是第一象限抛物线上一点，∴∠ECD＞45°．又∵△DCE与△AOC相似，∠AOC=∠DEC=90°，∴∠CAO=∠ECD．∴CF=AF．设点F的坐标为（a，0），则（a+1）2=32+a2，解得a=4．∴F（4，0）．设CF的解析式为y=kx+3，将F（4，0）代入得：4k+3=0，解得：k=﹣．∴CF的解析式为y=﹣x+3．将y=﹣x+3与y=﹣2x2+x+3联立：解得：x=0（舍去）或x=．将x=代入y=﹣x+3得：y=．∴D（，）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、两点间距离公式的应用、相似三角形的性质、等腰三角形的判定，依据相似三角形的性质、等腰三角形的判定定理得到AF=CF是解题的关键．。
2017-2018学年天津市宝坻区九年级上期末数学试卷(含答案解析)
2017-2018学年天津市宝坻区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下面图案中是中心对称图形的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形的概念判断即可.中心对称图形要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．【解答】解：A、不是中心对称图形；B、不是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、是中心对称图形．故选：D．2.下列事件中，必然事件是()A. 昨天太阳从东方升起B. 任意三条线段可以组成一个三角形C. 打开电视机正在播放“天津新闻”D. 袋中只有5个红球，摸出一个球是白球【答案】A【解析】解：A、昨天太阳从东方升起是必然事件；B、任意三条线段可以组成一个三角形是随机事件；C、打开电视机正在播放“天津新闻”是随机事件；D、袋中只有5个红球，摸出一个球是白球是不可能事件；故选：A．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3.将抛物线y=−x2向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，抛物线的解析式是()A. y=−(x+3)2+2B. y=−(x−3)2+2C. y=−(x+3)2−2D. y=−(x−3)2−2【答案】B【解析】解：∵将抛物线y=−x2向右平移3个单位，再向上平移2个单位，∴平移后的抛物线的解析式为：y=−(x−3)2+2．故选：B．直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式，即可得出解析式．此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．4.二次函数y=(x+1)2−2的图象大致是()A. B.C. D.【答案】C【解析】解：在y=(x+1)2−2中由a=1>0知抛物线的开口向上，故A错误；其对称轴为直线x=−1，在y轴的左侧，故B错误；由y=(x+1)2−2=x2+2x−1知抛物线与y轴的交点为(0,−1)，在y轴的负半轴，故D错误；故选：C．分别根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及抛物线与y轴的交点位置逐一判断可得．本题考查了对二次函数的图象和性质的应用，注意：数形结合思想的应用，主要考查学生的观察图象的能力和理解能力．5.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，若∠C=30∘，则∠BOD的度数是()A. 30∘B. 40∘C. 50∘D. 60∘【答案】D【解析】解：如图，连接AO，∵∠C=30∘，∴∠AOD=60∘，∵直径CD⊥弦AB，∴A^D=B^D，∴∠AOD=∠BOD=60∘，故选D．连接AO，由圆周角定理可求得∠AOD，由垂径定理可知A^D=B^D，可知∠AOD=∠BOD，可求得答案．本题主要考查圆周角定理及垂径定理，掌握同弧所对的圆周角等于心角的一半是解题的关键．6.从一个半径为10的圆形纸片上裁出一个最大的正六边形，此正六边形的边心距是()A. 5√2B. 10√2C. 5√3D. 10√3【答案】C【解析】解：连接OA、OB，过O作OD⊥AB于D；∵圆内接多边形是正六边形，∴∠AOB=360∘=60∘，6∵OA=OB，OD⊥AB，∴∠AOD=12∠AOB=12×60∘=30∘．∴OD=OA⋅cos30∘=10×√32=5√3．故选C．根据题意画出图形，连接OA、OB，过O作OD⊥AB于D，进而由正六边形的性质可求出∠AOB的度数；再依据等腰三角形的性质求出∠AOD的度数，则由直角三角形的性质即可求出OD的长．本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力.解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算．7.圆锥的底面直径是80cm，母线长90cm，则它的侧面积是()A. 360πcm2B. 720πcm2C. 1800πcm2D. 3600πcm2【答案】D【解析】解：圆锥的侧面积=12×80π×90=3600cm2，故选：D．根据圆锥的侧面积公式计算即可．本题考查的是圆锥的侧面积的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，圆锥的侧面积：S侧=12⋅2πr⋅l=πrl．8.某校八年级举行拔河比赛，需要在七年级选取一名志愿者，七(1)班、七(2)班、七(3)班各有2名同学报名参加，现从这6名同学中随机选取一名志愿者，则被选中的这名同学恰好是七(1)班同学的概率是()A. 13B. 12C. 23D. 56【答案】A【解析】解：∵共有6名同学，七(1)班有2人，∴被选中的这名同学恰好是七(1)班同学的概率是=26=13，故选：A．用七(1)班的学生数除以所有报名学生数的和即可求得答案．此题考查了概率公式的应用.注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9.若关于x的一元二次方程kx2−4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是()A. 1B. 0，1C. 1，2D. 1，2，3【答案】A【解析】解：根据题意得：△=16−12k≥0，且k≠0，解得：k≤43，则k的非负整数值为1或0．∵k≠0，∴k=1．故选：A．根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，即可确定出k的非负整数值．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a，b，c为常数)的根的判别式△=b2−4ac.当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根10.某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地的长为x米，可列方程为()A. x(x+12)=210B. x(x−12)=210C. 2x+2(x+12)=210D. 2x+2(x−12)=210【答案】B【解析】解：设场地的长为x米，则宽为(x−12)米，根据题意得：x(x−12)=210，故选：B．根据题意设出未知数，利用矩形的面积公式列出方程即可．此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程；根据矩形的面积公式得到方程是解决本题的基本思路．11.某鞋帽专卖店销售一种绒帽，若这种帽子每天获利y(元)与销售单价x(元)满足关系y=−x2+70x−800，要想获得最大利润，则销售单价为()A. 30元B. 35元C. 40元D. 45元【答案】B【解析】解：∵y=−x2+70x−800=−(x−35)2+425，∴当x=35时，y取得最大值，最大值为425，即销售单价为35元时，销售利润最大，故选：B．将函数解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质求解可得．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练将二次函数的一般式化为顶点式的能力及掌握二次函数的性质．12.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标(4,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②a−b+c<0；③4a+b+c=0；④抛物线的顶点坐标为(2,b)；⑤当x<1时，y随x增大而增大.其中结论正确的是()A. ①②③B. ①④⑤C. ①③④D. ③④⑤【答案】C【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标(4,0)，∴抛物线与x轴的另一个交点为(0,0)，故①正确，当x=−1时，y=a−b+c>0，故②错误，∵−b2a=2，得4a+b=0，b=−4a，∵抛物线过点(0,0)，则c=0，∴4a+b+c=0，故③正确，∴y=ax2+bx=a(x+b2a )2−b24a=a(x+−4a2a)2−(−4a)24a=a(x−2)2−4a=a(x−2)2+b，∴此函数的顶点坐标为(2,b)，故④正确，当x<1时，y随x的增大而减小，故⑤错误，故选C．根据题意和二次函数的性质可以判断各个小题是否成立，从而可以解答本题．本题考查二次函数的图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确二次函数的性质，利用数形结合的思想解答．二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.若x=1是一元二次方程x2+3x+m=0的一个根，则m=______．【答案】−4【解析】解：把x=1代入一元二次方程x2+3x+m=0，得1+3+m=0，即m=−4．故本题答案为m=−4．一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．14.将线段AB绕点O顺时针旋转180∘得到线段A′B′，那么A(−3,2)的对应点A′的坐标是______．【答案】(3,−2)【解析】解：将线段AB绕点O顺时针旋转180∘得到线段A′B′，对应点关于原点对称，A(−3,2)的对应点A′的坐标是(3,−2)；故答案为：(3,−2)将线段AB绕点O顺时针旋转180∘得到线段A′B′，对应点关于原点对称，利用关于原点对称的性质解答即可．本题考查了旋转的性质的运用，解答时利用关于原点对称的性质解答是关键．15.已知蚂蚁在如图所示的正方形ABCD的图案内爬行(假设蚂蚁在图案内部各点爬行的机会是均等的)，蚂蚁停留在阴影部分的概率为______．【答案】12，【解析】解：由题意可得出：图中阴影部分占整个面积的12．因此一只蚂蚁在如图所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率是：12．故答案为：12，进而得出答案．根据正方形的性质求出阴影部分占整个面积的12本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．16.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D为A^C的中点，若∠B=50∘，则∠A的度数为______度.【答案】65【解析】解：连接OD、OC，∵点D为A^C的中点，∴∠AOD=∠COD，∵∠B=50∘，∴∠AOC=100∘，∴∠AOD=∠COD=50∘，∴∠A=∠ODA=65∘，故答案为：65．连接OD、OC，根据圆周角定理求出∠AOC=100∘，根据三角形内角和定理计算即可．本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．17.为了估计一个不透明的袋子中白球的数量(袋中只有白球)，现将5个红球放进去(这些球除颜色外均相同)随机摸出一个球记下颜色后放回(每次摸球前先将袋中的球摇匀)，通过多次重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.2，由此可估计袋中白球的个数大约为______．【答案】20个【解析】解：∵通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率是0.2，口袋中有5个红球，∵假设有x个白球，∴5=0.2，5+x解得：x=20，∴口袋中有白球约有20个．故答案为：20个．根据口袋中有5个红球，利用红球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键．18.如图，半圆O的直径DE=10cm，△ABC中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，BC=10cm，半圆O以1cm/s的速度从右到左运动，在运动过程中，D、E点始终在直线BC上，设运动时间为t(s)，当t=0(s)时，半圆O在△ABC的右侧，OC=6cm，那么，当t为______s时，△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．【答案】1或6或11或26【解析】解：如图，∵OC=6，DE=10，∴OD=OE=5，CD=1，EC=11，∴t=1或11s时，⊙O与直线AC相切；当⊙O′与AB相切时，设切点为M，连接O′M，在Rt△BMO′中，BO′=2MO′=10，∴OO′=6，当⊙O″与AB相切时，设切点为N，连接O′N，同法可得BO″=10，OO″=26，∴当t=6或26s时，⊙O与AB相切．故答案为1或6或11或26分四种情形分别求解即可解决问题．本题考查切线的判定，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.如图，⊙O的直径AB为20cm，弦AC=12cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．【答案】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90∘，∴BC=√AB2−AC2=16(cm)；∵CD是∠ACB的平分线，∴A^D=B^D，∴AD=BD=√2×AB=10√2(cm)．2【解析】根据圆周角定理得到∠ACB=90∘，根据勾股定理求出BC，根据圆周角定理得到AD=BD，根据勾股定理计算即可．本题考查的是圆周角定理、勾股定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．四、解答题（本大题共6小题，共56.0分）20.用适当的方法解下列方程(1)x2−8x+1=0(2)x(x−3)+x−3=0．【答案】解：(1)∵x2−8x=−1，∴x2−8x+16=15，即(x−4)2=15，则x−4=±√15，∴x=4±√15；(2)∵(x−3)(x+1)=0，∴x−3=0或x+1=0，解得：x=3或x=−1．【解析】(1)配方法求解可得；(2)因式分解法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21.如图，△ABC，∠C=90∘，将△ABC绕点B逆时针旋转90∘，点A、C旋转后的对应点为A′、C′．(1)画出旋转后的△A′BC′；(2)若AC=3，BC=4，求C′C的长；(3)求出在△ABC旋转的过程中，点A经过的路径长.(结果保留π)【答案】解：(1)如图所示，△A′BC′即为所求；(2)若AC=3、BC=4，则BC′=BC=4，∴CC′=√BC2+BC′2=√42+42=4√2；(3)∵AC=3、BC=4，∴AB=√AC2+BC2=5，∴ÂA′=90∘⋅π⋅5180∘=52π，即点A经过的路径长为52π.【解析】(1)分别作出点A、C绕点B逆时针旋转90∘所得对应点，再顺次连接可得；(2)由旋转性质知BC′=BC=4，再根据勾股定理可得；(3)根据勾股定理知AB=5，再根据弧长公式计算可得．本题主要考查作图−旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质及弧长公式．22.向阳村种植的水稻2013年平均每公顷产7200kg，近几年产量不断增加，2015年平均每公顷产量达到8712kg．(1)求该村2013至2015年每公顷水稻产量的年平均增长率；(2)若年增长率保持不变，2016年该村每公顷水稻产量能否到达10000kg？【答案】解：(1)设该村2013至2015年每公顷水稻产量的年平均增长率为x，依题意得：7200(1+x)2=8712，解得x1=0.1=10%，x2=−2.1(舍去)答：该村2013至2015年每公顷水稻产量的年平均增长率为10%；(2)由题意，得8712×(1+0.1)=9583.2(kg)因为9583.2<10000，所以，2016年该村每公顷水稻产量不能到达10000kg．【解析】(1)设该村2013至2015年每公顷水稻产量的年平均增长率为x，就可以表示出2014年水稻的产量，根据2015年平均每公顷产量达到8712kg建立方程求出x的值即可；(2)根据(1)求出的年增长率就可以求出结论．本题考查了增长率问题的数量关系的运用，运用增长率的数量关系建立一元二次方程的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出平均增长率是关键．23.在学习概率的课堂上，老师提出问题：一口袋装有除颜色外均相同的2个红球1个白球和1个篮球，小刚和小明想通过摸球来决定谁去看电影，同学甲设计了如下的方案：第一次随机从口袋中摸出一球(不放回)；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一红一白”，则小刚看电影；摸到“一白一蓝”，则小明看电影．(1)同学甲的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明；(2)你若认为这个方案不公平，那么请你改变一下规则，设计一个公平的方案．【答案】解：(1)同学甲的方案公平．理由如下：由树状图可以看出：共有12种可能，摸到“一红一白”有4种，摸到“一白一蓝”的概率有2种，故小刚获胜的概率为412=13，小明获胜的概率为212=16，所以这个游戏不公平．(2)拿出一个红球或放进一个蓝球，其他不变.游戏就公平了．【解析】(1)这个游戏不公平，分别求出两人获胜的概率即可判断；(2)拿出一个红球或放进一个蓝球，其他不变．此题主要考查了用列树状图的方法解决概率问题；得到两次都摸出相同颜色球的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．24.已知△ABC的边AB是⊙O的弦．(1)如图1，若AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，且DM⊥AC于M，请判断直线DM与⊙O的位置关系，并给出证明；(2)如图2，AC交⊙O于点E，若E恰好是A^B的中点，点E到AB的距离是8，且AB长为24，求⊙O的半径长．【答案】证明：(1)连接OD．∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠ODB=∠C，∴OD//AC，∵DM⊥AC，∴DM⊥OD，∴DM是⊙O的切线．(2)连接OA、连接OE交AB于点H，∵E是AB中点，AB=24，AB=12，∴OE⊥AB，AH=12连接OA，设OA=x，∵EH=8，可得OH=x−8，在Rt△OAH中，根据勾股定理可得(x−8)2+122=x2，解得x=13，∴⊙O的半径为13．【解析】(1)连接OD，只要证明OD//AC即可解决问题；(2)连接OA、连接OE交AB于点H，连接OA，设OA=x，在Rt△OAH中，根据勾股定理可得(x−8)2+122=x2，解方程即可；本题考查直线与圆的位置关系、切线的判定、勾股定理、平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线.属于中考常考题型．25. 如图1，抛物线y =−x 2+mx +n 交x 轴于点A(−2,0)和点B ，交y 轴于点C(0,2)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点M 在抛物线上，且S △AOM =2S △BOC ，求点M 的坐标；(3)如图2，设点N 是线段AC 上的一动点，作DN ⊥x 轴，交抛物线于点D ，求线段DN 长度的最大值．【答案】解：(1)A(−2,0)，C(0,2)代入抛物线的解析式y =−x 2+mx +n ，得{n =2−4−2m+n=0，解得{n =2m=−1， ∴抛物线的解析式为y =−x 2−x +2．(2)由(1)知，该抛物线的解析式为y =−x 2−x +2，则易得B(1,0)，设M(m,n)然后依据S △AOM =2S △BOC 列方程可得： 12⋅AO ×|n|=2×12×OB ×OC ， ∴12×2×|−m 2−m +2|=2，∴m 2+m =0或m 2+m −4=0，解得x =0或−1或−1±√172， ∴符合条件的点M 的坐标为：(0,2)或(−1,2)或(−1+√172,−2)或(−1−√172,−2)．(3)设直线AC 的解析式为y =kx +b ，将A(−2,0)，C(0,2)代入得到{b =2−2k+b=0，解得{b =2k=1，∴直线AC 的解析式为y =x +2，设N(x,x +2)(−2≤x ≤0)，则D(x,−x 2−x +2)，ND =(−x 2−x +2)−(x +2)=−x 2−2x =−(x +1)2+1，∵−1<0，∴x =−1时，ND 有最大值1．∴ND 的最大值为1．【解析】(1)把A(−2,0)，C(0,2)代入抛物线的解析式求解即可；(2)由(1)知，该抛物线的解析式为y =−x 2−x +2，则易得B(1,0).然后依据S △AOM =4S △BOC 列方程求解即可；(3)设直线AC 的解析式为y =kx +t ，将A(−320)，C(0,2)代入可求得直线AC 的解析式，设N 点坐标为(x,x +2)，(−2≤x ≤0)，则D 点坐标为(x,−x 2−x +2)，然后列出ND 与x 的函数关系式，最后再利用配方法求解即可．本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解题的关键是学会构建二次函数，利用二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．。
天津滨海新区2017-2018学年度第一学期九年级期末数学试卷
∵ ，∴ = ．故答案为： ．
（2）如图2，，
当0°≤α＜360°时， 的大小没有变化，
∵∠ECD=∠ACB，∴∠ECA=∠DCB，
又∵ ，∴△ECA∽△DCB，∴ ．
（3）①如图3，，
∵AC=4 ，CD=4，CD⊥AD，∴AD= = ，
∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴ ．
天津滨海新区2017-2018学年九年级上期末数学试题
24．（10分）（2015•河南）如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现
①当α=0°时， = ；②当α=180°时， = ．
②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P， ，
∵AC=4 ，CD=4，CD⊥AD，
∴AD= = ，
在△ABC和△CDA中，
∴BP=DQ，BP∥DQ，PQ⊥DQ，∴四边形BDQP为矩形，
∴BD=PQ=AC﹣AP﹣CQ= = ．
综上所述，BD的长为4 或 ．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时， 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）问题解决
当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．
解答：
解：（1）①当α=0°时，
∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴AC= ，
∵点D、E分别是边BC、
山东青岛市即墨区2017-2018学年上学期九年级数学期末试题
山东青岛市即墨市2017-2018上学期9年级数学期末一．选择题1．如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（）2．菱形具有而矩形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．对角线相等C．对角线互相垂直D．两组对角分别相等3．用配方法解方程x2-6x-3=0，下列配方正确的是（）A．（x-3）2=3 B．（x-3）2=6C．（x-3）2=9 D．（x-3）2=124．如图,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则sin∠ABC等于( )D、A、B、C、5．一个盒子里有完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3，从中摸出一个数字记为a，则摸出的数字能满足关于x的方程x2+ax+1=0无实数根的概率是（）A．0D．1B．C．6．如图,已知点P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点,若过点P作直线PD与直角边AB或AC 相交于点D ,截得的小三角形与△ABC 相似,那么D 点的位置最多有( )A ． 1处B ． 2处C ．3处D ． 4处7、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，则反比例函数y =ax 与一次函数y =bx+c 在同一坐标系中的大致图像是（ ）.8、如图，已知抛物线l 1:y= (x −2)2−4与x 轴分别交于O 、A 两点，将抛物线l 1向上平移得到l 2，过点A 作AB ⊥x 轴交抛物线l 2于点B ，如果由抛物线l 1、l 2、直线AB 及y 轴所围成的阴影部分的面积为12，则抛物线l 2的函数表达式为（ ）A ．y = (x −2)2-1B ． y = (x −2)2+1C ．y = (x −2)2-2D ．y = (x −2)2+2二．填空题9、为了估计环秀湖里有多少条鲢鱼，我们从湖里捕捉100条鲢鱼做上标记，然后放回湖里去，经过一段时间，待到有标记的鲢鱼完全混合于鱼群中，再捕捉第二次样品鲢鱼500条，A B C D若其中带标记的鱼有25条，则估计环秀湖里有鲢鱼条。
2017-2018学年珠海市香洲区初三上期末数学试卷(官方版,含评分标准)
香洲区2017—2018学年第一学期期末考试试卷九年级数学说明：1．全卷共4页.满分120分，考试用时100分钟.2．答案写在答题卷上，在试卷上作答无效.3．用黑色字迹钢笔或签字笔按各题要求写在答题卷上，不能用铅笔和红色字迹的笔. 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑. 1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2. 下列说法正确的是（ ）A ．投掷一枚质地均匀的硬币10次，反面朝上的次数一定是5次B ．“5名同学中恰有2名同学生日是同一天”是随机事件C ．“明天降雨的概率为21”，表示明天有半天时间都在降雨 D ．“路过十字路口时刚好是红灯”是确定事件 3. 关于x 的方程 0962=+-x x 的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．不能判断4．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A=50°，则∠BOC 度数为（ ）A. 90°B. 130°C. 50°D. 100° 4题图 5. 已知点A （2，-3）在双曲线ky x=上，则下列哪个点也在此双曲线上（ ） A. （2，3） B. （1，6） C. （-1，6） D. （-2，-3） 6．用配方法解一元二次方程0162=+-x x ，则配方后所得的方程为（ ）A ． 10)3(2=+x B ．8)3(2=+x C ．10)3(2=-x D ．8)3(2=-x 7．二次函数5)4(212+-=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（4，5） B ．（，5） C ．（4，﹣5） D ．（－4，5）8．已知圆的直径是13cm ，如果圆心到某直线的距离是6.5cm ，则此直线与这个圆的位置关系是（ ）A ． 相交B ．相切C ．相离D ．无法确定9. 边长为4cm 的正方形纸上有一半径为1cm 的圆形阴影，随机往纸上扎针，则针落在阴影部分的概率是（ ） A.41 B. 161 C. 4π D. 16π 10. 已知点),(11y x ),(22y x 在抛物线k h x y +-=2)(上，如果h x x <<21，则k y y ,,21的大小关系是( )A. k y y <<21B. k y y <<12C. 21y y k <<D. 12y y k << 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．11. 关于x 的一元二次方程032=+-m x x 的一个根是1，则m = ．12．一个不透明的布袋中装有8个完全相同的小球，其中红球x 个，若随机摸出一个球，刚好是红球的概率为14，则=x ． 13. 圆锥形冰淇淋的母线长是12cm ，侧面积是60πcm 2，则底面圆的半径长等于 cm ． 14．如图，点A 在双曲线ky x=上，AB ⊥x 轴于B ，且△AOB 的面积S △AOB =1，则k =______．15．如图，已知二次函数c x y +=21与一次函数c x y +=2的图象如图所示，则当21y y <时x 的取值范围是 ．16．如图，在扇形OAB 中，∠AOB=90°，OA=1，将扇形OAB 绕点B 逆时针旋转，得到扇形BDC ，若点O 刚好落在弧AB 上的点D 处，则线段AC 的长等于 ．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 17. 解方程：0142=--x x ．15题图14题图y18. 如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，E 为垂足，AE=2，弦CD=8，求⊙O 的半径.18题图19.如图，在边长均为1的正方形网格纸上有一个ABC ∆，顶点A ，B ，C 及点O 均在格点上，请按要求完成以下操作或运算：（1）将ABC ∆绕点O 顺时针旋转90°，得到111C B A ∆（不写作法，但要标出字母）；（2）求点A 绕着点O 旋转到点1A 所经过的路径长.19题图四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）20.三张形状、大小、质地相同并标有数字0,1,2的卡片，将卡片洗匀后，背面朝上放在桌上.若第一次任意抽取一张（不放回），第二次再抽取一张，用列表法或树状图求两次所抽取卡片上的数字恰好是方程022=-xx 的两根的概率.21.某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛.（1）应该邀请多少支球队参加比赛？（2）若某支球队参加2场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛多少场？22. 如图，正方形ABCD 的顶点A 在抛物线2x y =上，顶点B ，C 在x 轴的正半轴上，且点B •BO DCE A A五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 23.如图，直线b x y +=与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，与双曲线my x=（0>x ）交于点C ，过C 作CD ⊥y 轴于点D ，已知A 的坐标为（1，0），DO=2BO ． （1）直接写出b 的值，b = ； （2）求双曲线的解析式；（3）若双曲线上有一点E ，直线AB 上有一点F ，满足以 CD,EF 为对边的四边形是平行四边形，求点E 的横坐标.23题图24. 如图 , ⊙O 与AB ，AC 分别相切于D ，E 两点，AB=AC ，AO 交⊙O 于点F ，交BC 于点G ，BC 与⊙O 交于点P ，Q ，连接EQ. （1）求证：AG ⊥BC ；（2）若DE 平分OF ，求证：△ADE 是等边三角形；（3）在（2）的条件下，若AD=PQ ，EQ=2，求BP 的长．24题图25. 如图1，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，直角∠POQ 的顶点O 刚好为AB 的中点，且OP 交BC 边于点D ，OQ 经过点C ．（1）填空：OC=_________，点O 到BC 的距离=_________；（2）如图2，若将∠POQ 绕点O 逆时针旋转，在∠POQ 旋转过程中，OQ 交线段AC 于点E ，OP 交线段BC 于F ． ①当EF=OC 时，求CE 的长；②设CE 的长为x （0＜x ≤3）， △CEF 的面积为S ，试求S 与x 的函数关系式，并求面积S 是否有最大值或者最小值？若有，请求出其值，若无，请说明理由．D25题图1ABCOP Q 25题图2QCPF OBEA2017-2018学年第一学期初三数学试卷参考答案及评分说明说明：1．提供的答案除选择题外，不一定是唯一答案，对于与此不同的答案，只要是正确的，同样给分．2．评分说明只是按照一种思路与方法给出作为参考．在阅卷过程中会出现各种 不同情况，可参照评分说明，定出具体处理办法，并相应给分．一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1. C2. B3. B4. D5. C6. D7. A8. B9. D 10. D二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11. 2 12. 2 13 . 5 14. 2 15. 10<<x 16.三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 17. 解： 0142=--x x41442+=+-x x ………………………………2分5)2(2=-x …………………………………3分52±=-x …………………………………5分 521+=x ， 522-=x …………………6分18. 解：连接CO,设CO=x. ∵ AB ⊥CD∴ CE=DE=4 ………………………2分∴ Rt △COE 中，（x-2）2+16=x 2 ……………………4分 ∴ x=5 即半径为5 . ………………………6分19. （1）略………………………………3分 （2）由题知AO=4，∠AOA 1=900，所以弧长为：ππ2180490=⨯⋅∴点A 所经过的路径长为2π.………………………………6分•BOD CE A五、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 20.解：树状图如下：共有6种等可能的结果； …3分x 2-2x=0的解为x 1=0，x 2=2 …5分∴两次所抽取卡片上的数字恰好是方程x 2-2x=0的两根的概率2163P == …7分21.解：（1）设应该邀请x 支球队参加比赛. …1分()1152x x -= …3分 解得：126,5x x ==-（舍去） …5分 答：应该邀请6支球队参加比赛. （2） 542122⨯+= …6分 答：实际共比赛12场. …7分22.解：（1）∵B（1，0），点A 在抛物线y=x 2上∴A （1，1）又∵正方形ABCD 中，AD=AB=1∴D （2，1） …2分（2）设平移后抛物线解析式为：()2y x h k =-+ …3分则()()220112h k h k⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩ …4分解得：1h k =⎧⎨=⎩ …6分∴平移后抛物线解析式为：()21y x =-抛物线右移1个单位长度 …7分12021第二次第一次21五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 23.解：（1）b = -1； …1分 （2）∵OB=1∴OD=2 …2分将2y =代入1y x =-中，得3x = ∴C （3，2） …3分将C （3，2）代入my x =中，得6m = ∴双曲线的解析式：6y x= …5分（3）∵CD ∥EF 且CD =EF∴可设F （x ，x-1）, E （61x -，x-1） …6分 ∴631x x -=±- …8分∴1222x x ==舍去)3411x x =-=-舍去)∴点E的横坐标为21-…9分24. （1）∵AB 、AC 与⊙O 相切 ∴AO 平分∠BAC ∵AB=AC ∴AG ⊥BC …2分（2）连接OE ，EF∵ AB 、AC 与⊙O 相切于点D ，E∴ AD=AE AO 平分∠BAC ∠OEA=90° ∴AO ⊥DE …3分 ∵ DE 平分OF AO ⊥DE∴ EF=EO=OF …4分 ∴ ∠EOF=60°∴ ∠OAE=30° ∠DAE=2∠OAE=60°∴ △ADE 是等边三角形 …5分（3）∵DE ⊥AG , BC ⊥AG∴DE ∥ PQ ∵ AD=DE AD=PQ ∴DE = PQ∴四边形DE QP 为平行四边形 …6分 ∵∠EDP=∠PQE又平行四边形DE QP 内接于⊙O ∴∠EDP+∠PQE=180° ∴∠EDP =90°∴平行四边形DE QP 是矩形 …7分 ∴DP = EQ=2, DP ⊥BC ∴DP ∥ AG∴∠BDP=∠BAG=30° …8分∴…9分 25. 解：（1）填空：OC=____5_____，点O 到BC 的距离=____3_____； …2分 （2）①作OH ⊥BC 于H ，OG ⊥AC 于G ， 设CE=x,CF=y∵2222OF OE CF CE +=+∴()()2222224343y x y x -+++-=+∴2534xy -=…4分 在直角三角形CEF 中， ∵ EF=OC∴22225354x x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴123x x == ∴CE=3 …6分②21253325248x x x S x --+⎛⎫==⎪⎝⎭ …8分 ∵256x =＞3 ∴max 6S = …9分。
2017-2018学年福建省泉州市九年级(上)期末数学试卷(解析版)1
2017-2018学年福建省泉州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请在答题卡上相应题目的答题区域内作答）1．下列根式是最简二次根式的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列事件中是必然发生的事件是（ ）A ．任意画一个三角形，其内角和是180°B ．某种彩票中奖率是1%，则买这种彩票100张一定会中奖C ．掷一枚硬币，正面朝上D ．投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数3．用配方法解方程：x 2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（ ）A ．（x ﹣2）2=2B ．（x+2）2=2C ．（x ﹣2）2=﹣2D ．（x ﹣2）2=64．小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率为（ ）A ．1B ．C ．D ．5．现代互联网技术的广泛应用，促进快递行业高速发展，据调查，某家快递公司，今年5月份与7月份完成投递的快递总件数分别为8.5万件和10万件，设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ）A ．8.5（1+2x ）=10B ．8.5（1+x ）=10C ．8.5（1+x ）2=10D ．8.5+8.5（1+x ）+8.5（1+x ）2=106．一张矩形纸片ABCD ，已知AB=3，AD=2，小明按所给图步骤折叠纸片，则线段DG 长为（ ）A ．2B ．C ．2D ．17．如图，在△ABC 中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知，a+2b=16，则c 的值为（ ）A ．B ．C ．8D ．29．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．10．设M=，N=，则M与N的关系为（）A．M＞N B．M＜N C．M=N D．M=±N二、填空题（本大题共6小题,每小题4分,共24分把答案填在答题卡的相应位置)11．二次根式有意义，则x的取值范围是．12．如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则S△EDC：S△ABC= ．13．某坡面的坡比为1：，则它的坡角是度．14．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1.5，0），D（4.5，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若DE=7.5，则AB= ．15．若一元二次方程ax2+bx+c=0中，4a﹣2b+c=0．则此方程必有一根为．16．如图，等腰△ABC中，CA=CB=6，AB=6．点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAE与△CBF，连接EF，则△CEF面积的最小值为．三、解答题（本大题9小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请在答题卡上相应题目的答题区城内作答）17．（8分）计算：÷﹣|4﹣3|+（﹣1）018．（8分）解方程：x（x﹣5）+6=019．（8分）先化简，再求值：（a﹣）（a+）+a（5﹣a），其中a=+1．20．（8分）某校初二年级模拟开展“中国诗词大赛”比赛，对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：（1）扇形统计图中“优秀”所对应的扇形的圆心角为度，并将条形统计图补充完整．（2）此次比赛有三名同学得满分，分别是甲、乙、丙，现从这三名同学中挑选两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丙的概率．21．（8分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）若该方程的一个根为2，求a的值及该方程的另一根．（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．22．（10分）某单位准备组织员工到武夷山风景区旅游，旅行社给出了如下收费标准（如图所示）：设参加旅游的员工人数为x人．（1）当25＜x＜40时，人均费用为元，当x≥40时，人均费用为元；（2）该单位共支付给旅行社旅游费用27000元，请问这次参加旅游的员工人数共有多少人？23．（10分）阅读材料，回答问题：小聪学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠=30°，BC═a=1，AC=b=，AB=c=2，那么==2．通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着==的关系．这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：（1）如图2，在R△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=C，请判断此时“==”的关系是否成立？答：（2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：如图3，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，请判断此时“==”的关系是否成立？并证明你的判断．（提示：过点C作CD⊥AB于D，过点A作AH⊥BC，再结合定义或其它方法证明）．24．（12分）如图，在ABC中，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），BC=4，∠B=∠ADE=∠C=30°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．x+b与x轴、y轴相交于C、D两点，与y=交于A（m，2）、25．（14分）如图，已知直线y=k1B（﹣2，n）两点．（1）求m+n的值；（2）连接OA、OB，若tan∠AOD+tan∠BOC=1．x+b＞时，请结合图象求x的取值范围；①当不等式k1②设点E在y轴上，且满足∠AEO+∠AOD=45°，求点E的坐标．2017-2018学年福建省泉州市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请在答题卡上相应题目的答题区域内作答）1．下列根式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式进行分析即可．【解答】解：A、=2，故此选项错误；B、=|a|，故此选项错误；C、=，故此选项错误；D、是最简二次根式，故此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的条件．2．下列事件中是必然发生的事件是（）A．任意画一个三角形，其内角和是180°B．某种彩票中奖率是1%，则买这种彩票100张一定会中奖C．掷一枚硬币，正面朝上D．投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数【分析】根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件进行分析即可．【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故此选项正确；B、某种彩票中奖率是1%，则买这种彩票100张一定会中奖，是随机事件，故此选项错误；C、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故此选项错误；D、投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，是随机事件，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了概率，以及随机事件和必然事件，关键是掌握①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．3．用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2=2B．（x+2）2=2C．（x﹣2）2=﹣2D．（x﹣2）2=6【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．【解答】解：把方程x2﹣4x+2=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x=﹣2，方程两边同时加上一次项系数一半平方，得到x2﹣4x+4=﹣2+4，配方得（x﹣2）2=2．故选A．【点评】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2倍数．4．小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率为（）A．1B．C．D．【分析】直接利用概率的意义分析得出答案．【解答】解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是，故选：B．【点评】此题主要考查了概率的意义，明确概率的意义是解答的关键．5．现代互联网技术的广泛应用，促进快递行业高速发展，据调查，某家快递公司，今年5月份与7月份完成投递的快递总件数分别为8.5万件和10万件，设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．8.5（1+2x）=10B．8.5（1+x）=10C．8.5（1+x）2=10D．8.5+8.5（1+x）+8.5（1+x）2=10【分析】利用7月份完成投递的快递总件数=5月份完成投递的快递总件数×（1+x）2，进而得出等式求出答案．【解答】解：设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，根据题意，得8.5（1+x）2=10，故选：C．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确用未知数表示出五月份完成投递的快递总件数是解题关键．6．一张矩形纸片ABCD，已知AB=3，AD=2，小明按所给图步骤折叠纸片，则线段DG长为（）A．2B．C．2D．1【分析】首先根据折叠的性质求出DA′、CA′和DC′的长度，进而求出线段DG的长度．【解答】解：∵AB=3，AD=2，∴DA′=2，CA′=1，∴DC′=1，∵∠D=45°，∴DG=DC′=，故选：B．【点评】本题主要考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是求出DC′的长度．7．如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【解答】解A阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．8．已知，a+2b=16，则c的值为（）A．B．C．8D．2【分析】设比值为k，用k表示出a、b、c，然后代入等式求出k的值，再求解即可．【解答】解：设===k（k≠0），则a=2k，b=3k，c=4k，∵a+2b=16，∴2k+6k=16，解得k=2，∴c=4×2=8．故选：C．【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．9．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．B．C．D．【分析】直接连接DC，得出CD⊥AB，再结合勾股定理以及锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：连接DC，由网格可得：CD⊥AB，则DC=，AC=，故sinA===．故选：B．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确构造直角三角形是解题关键．10．设M=，N=，则M与N的关系为（）A．M＞N B．M＜N C．M=N D．M=±N【分析】将被开方数利用平方差公式和完全平方公式计算、化简可得．【解答】解：∵M===1，N==1，∴M=N，故选：C．【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式及二次根式的性质．二、填空题（本大题共6小题,每小题4分,共24分把答案填在答题卡的相应位置)11．二次根式有意义，则x的取值范围是x≥3．【分析】二次根式的被开方数x﹣3≥0．【解答】解：根据题意，得x﹣3≥0，解得，x≥3；故答案为：x≥3．12．如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则S△EDC：S△ABC=1：4．【分析】利用三角中位线的性质得出DE AB，进而求出即可．【解答】解：∵在△ABC中，AD，BE是两条中线，∴DE AB，∴=，故答案为：1：4．【点评】此题考查了三角形中位线的性质以及相似三角形的性质，得出DE AB是解题关键．13．某坡面的坡比为1：，则它的坡角是30度．【分析】利用坡角的定义直接得出tanA=求出∠A即可．【解答】解：如图所示：∵某坡面的坡比为1：，∴tanA==，则它的坡角是：30°．故答案为：30．【点评】此题主要考查了坡角的定义，正确把握坡角的定义是解题关键．14．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1.5，0），D（4.5，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若DE=7.5，则AB= 2.5．【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k得到位似比为，然后根据相似的性质计算AB的长．【解答】解：∵A （1.5，0），D （4.5，0），∴==，∵△ABC 与△DEF 位似，原点O 是位似中心，∴==∴AB=DE=×7.5=2.5．故答案为2.5． 【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k ．15．若一元二次方程ax 2+bx +c=0中，4a ﹣2b +c=0．则此方程必有一根为 ﹣2 ．【分析】根据一元二次方程的解的定义进行解答．【解答】解：当x=﹣2时，4a ﹣2b +c=0，则此方程必有一根为﹣2．故答案是：﹣2．【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．16．如图，等腰△ABC 中，CA=CB=6，AB=6．点D 在线段AB 上运动（不与A 、B 重合），将△CAD 与△CBD 分别沿直线CA 、CB 翻折得到△CAE 与△CBF ，连接EF ，则△CEF 面积的最小值为 ．【分析】作CH ⊥AB 于H ．首先证明△ECF 是顶角为120°的等腰三角形，根据此线段最短可知CD 的最小值为3，延长即可解决问题；【解答】解：作CH ⊥AB 于H ．∵CA=CB ，CH ⊥AB ，∴AH=BH=3，∴cos ∠CAH==，∴∠CAB=∠CBA=30°，∴∠ACB=120°，CH=AC=3，由翻折不变性可知：CD=CE=CF ，∠ACE=∠ACD ，∠BCD=∠BCF ，∴∠ECF=360°﹣120°﹣120°=120°，∴△ECF 是顶角为120°的等腰三角形，∴当CE 的长最短时，△ECF 的面积最小，根据垂线段最短可知，当CD 与CH 重合时，EC=CD=CH=3，∴S △ECF =××=，故答案为．【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（本大题9小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请在答题卡上相应题目的答题区城内作答）17．（8分）计算：÷﹣|4﹣3|+（﹣1）0【解答】解：原式=÷﹣（3﹣4）+1=3﹣3+4+1=5．18．（8分）解方程：x（x﹣5）+6=0【解答】解：∵x（x﹣5）+6=0，∴x2﹣5x+6=0，则（x﹣2）（x﹣3）=0，∴x﹣2=0或x﹣3=0，解得：x=2或x=3．19．（8分）先化简，再求值：（a﹣）（a+）+a（5﹣a），其中a=+1．【解答】解：（a﹣）（a+）+a（5﹣a）=a2﹣5+5a﹣a2=5a﹣5，当a=+1时，原式=5（+1）﹣5=5+5﹣5=5．20．（8分）某校初二年级模拟开展“中国诗词大赛”比赛，对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：（1）扇形统计图中“优秀”所对应的扇形的圆心角为144度，并将条形统计图补充完整．（2）此次比赛有三名同学得满分，分别是甲、乙、丙，现从这三名同学中挑选两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丙的概率．【解答】解：（1）如图所示为条形统计图；扇形统计图中“优秀”所对应的扇形的圆心角是（45÷15%﹣60﹣75﹣45）××360°=144°，（2）画树状图：由树状图可知：所有机会均等的结果有6种，其中符合条件的有2种，所有P（甲、丙）==，即选中的两名同学恰好是甲、丙的概率是．21．（8分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）若该方程的一个根为2，求a的值及该方程的另一根．（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【分析】（1）解：设方程的另一根为t，利用根与系数的关系得到2+t=﹣a，2t=a﹣2，然后通过解方程组可得到a和t的值；（2）先计算判别式的值得到△=a2﹣4（a﹣2）=（a﹣2）2+4，然后利用非负数的性质得到△＞0，则根据判别式的意义可判断不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【解答】（1）解：设方程的另一根为t，根据题意得2+t=﹣a，2t=a﹣2，所以2+t+2t=﹣2，解得t=﹣，所以a=﹣；（2）证明：△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=（a﹣2）2+4，∴△＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了根的判别式．22．（10分）某单位准备组织员工到武夷山风景区旅游，旅行社给出了如下收费标准（如图所示）：设参加旅游的员工人数为x人．（1）当25＜x＜40时，人均费用为1000﹣20（x﹣25）元，当x≥40时，人均费用为700元；（2）该单位共支付给旅行社旅游费用27000元，请问这次参加旅游的员工人数共有多少人？【分析】（1）求出当人均旅游费为700元时员工人数，再根据给定的收费标准即可求出结论；（2）由25×1000＜27000＜40×700可得出25＜x＜40，由总价=单价×数量结合（1）的结论，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：（1）∵25+（1000﹣700）÷20=40（人），∴当25＜x＜40时，人均费用为[1000﹣20（x﹣25）]元，当x≥40时，人均费用为700元．故答案为：1000﹣20（x﹣25）；700．（2）∵25×1000＜27000＜40×700，∴25＜x＜40．由题意得：x[1000﹣20（x﹣25）]=27000，整理得：x2﹣75x+1350=0，解得：x1=30，x2=45（不合题意，舍去）．答：该单位这次共有30名员工去旅游．【点评】本题考查了列代数式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，列出代数式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．23．（10分）阅读材料，回答问题：小聪学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠=30°，BC═a=1，AC=b=，AB=c=2，那么==2．通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着==的关系．这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：（1）如图2，在R△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=C，请判断此时“==”的关系是否成立？答：成立（2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：如图3，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，请判断此时“==”的关系是否成立？并证明你的判断．（提示：过点C作CD⊥AB于D，过点A作AH⊥BC，再结合定义或其它方法证明）．【分析】（1）因为=c，=c，=c，推出“==”成立，（2）作CD⊥AB于D．在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90°，可得sinA=，sinB=，推出=，=，可得=，同理，作AH⊥BC于H，可证=，即可解决问题；【解答】解：（1）∵=c，=c，=c，∴“==”成立，故答案为成立．（2）作CD⊥AB于D．∵在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90°，∴sinA=，sinB=，∴=， =，∴=，同理，作AH ⊥BC 于H ，可证=，∴==．【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考创新题目．24．（12分）如图，在ABC 中，点D 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），BC=4，∠B=∠ADE=∠C=30°． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD=x ，AE=y ，求y 关于x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．【分析】（1）先判断出∠ADC=∠EDC ，即可得出结论；（2）先求出AB=4，借助（1）的△ABD ∽△DCE ，得出比例式，代入化简即可得出结论； （3）分三种情况：利用等腰三角形的性质，建立方程求解即可得出结论． 【解答】解：（1）∵∠B=∠ADE ，∠ADC=∠B +∠BAD=∠ADE +∠EDC ， ∴∠ADC=∠EDC ，∵∠B=∠C ，∴△ABD ∽△DCE ；（2）如图1，过点A 作AF ⊥BC 于F ，∴BF=BC=2，∵∠B=∠C=30°，∴AB=AC==4，∵△ABD ∽△DCE ，∴，即，∴y=x 2﹣x +4（0＜x ＜4）；（3）①当AD=DE时，如图2，由（1）知，△ABD∽△DCE，∴=1，∴AB=CD，∴4=4﹣x，∴x=4﹣4，代入y=x2﹣x+4中，解得，y=8﹣4，即：AE=8﹣4；②当AE=ED时，如图3，∠EAD=∠EDA=30°，∴∠AED=120°，∴∠DEC=60°，∠EDC=90°，∴ED=EC，∴y=（4﹣y），∴y=，即：AE=；③当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，此时点D与点B重合，不符合题意，此种情况不存在，即：AE的长为（8﹣4）和．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．25．（14分）如图，已知直线y=k1x+b与x轴、y轴相交于C、D两点，与y=交于A（m，2）、B（﹣2，n）两点．（1）求m+n的值；（2）连接OA、OB，若tan∠AOD+tan∠BOC=1．①当不等式k1x+b＞时，请结合图象求x的取值范围；②设点E在y轴上，且满足∠AEO+∠AOD=45°，求点E的坐标．【分析】（1）利用点A，B在反比例函数上，代入反比例函数解析式中即可得出结论；（2）①先表示出tan∠AOD和tan∠BOC，进而用tan∠AOD+tan∠BOC=1，建立方程借助m+n=0，求出m，n即可得出点A，B坐标，最后利用图象即可得出结论；②分两种情况，Ⅰ、当点E在AM上方时，先求出AO==，再判断出△AOM∽△E1ON，即可求出m的值．最后利用勾股定理求出OE1即可得出结论；Ⅱ、当点E在AM下方时，利用对称性即可得出结论；【解答】解：∵点A（m，2），B（﹣2，n）在反比例函数y=，∴k2=2m，k2=﹣2n，∴2m+2n=0，∴m+n=0；（2）①如图1，过点A作AM⊥y轴于M，过点B作BF⊥x轴于F，在Rt△AOM中，tan∠AOM==，在Rt△BOF中，tan∠BOF===﹣，∵tan∠AOD+tan∠BOC=1，∴+（﹣）=1，∴m﹣n=2，∵m+n=0，∴m=1，n=﹣1，∴A（1，2），B（﹣2，﹣1），∵k1x+b＞，∴y1＞y2，∴当x＞1或﹣2＜x＜0时，k1x+b＞；②如图2，Ⅰ、当点E在AM上方时，过点E1作E1N⊥OA交OA的延长线于N，由题意知，∠E1AN=45°，∴∠E1AN=∠AE1N=45°，∴E1N=AN，在Rt△OAM中，AM=1，OM=2，∴AO==，设E1N=AN=m，∴ON=OA+AN=+m，∵∠AOM=∠E1ON，∠AMO=∠E1NO，ON，∴△AOM∽△E∴，∴，∴m=，由勾股定理得，E1A=，E1M=3，∴OE1=5，∴E1（0，5）；Ⅱ、当点E在AM下方时，由对称性得，E2M=E1M=3，∴OE2=1，∴E2（0，﹣1），综合可知，点E的坐标为（0，5）或（0，﹣1）．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，相似三角形的判定和性质，对称的性质，构造出相似三角形和直角三角形是解本题的关键．。
河南省洛阳市2017-2018学年九年级上期末数学试卷(含答案解析)
2017-2018学年河南省洛阳市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．方程x2＝x的解是（）A．x1＝3，x2＝﹣3B．x1＝1，x2＝0C．x1＝1，x2＝﹣1D．x1＝3，x2＝﹣12．关于x的一元二次方程x2+8x+q＝0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（）A．q＜16B．q＞16C．q≤4D．q≥43．抛物线y＝（x+2）2﹣2的顶点坐标是（）A．（2，﹣2）B．（2，2）C．（﹣2，2）D．（﹣2，﹣2）4．将抛物找y＝2x2向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到的抛物找解析式为（）A．y＝2（x﹣4）2+1B．y＝2（x﹣4）2﹣1C．y＝2（x+4）2+1D．y＝2（x+4）2﹣15．下列图形：（1）等边三角形，（2）矩形，（3）平行四边形，（4）菱形，是中心对称图形的有（）个A．4B．3C．2D．16．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠P＝66°，则∠C＝（）A．57°B．60°C．63°D．66°7．下列事件中，是随机事件的是（）A．任意画一个三角形，其内角和为180°B．经过有交通信号的路口，遇到红灯C．太阳从东方升起D．任意一个五边形的外角和等于540°8．如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是（）A．B．C．D．9．如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1+S2＝（）A．3B．4C．5D．610．如图，AB⊥OB，AB＝2，OB＝4，把∠ABO绕点O顺时针旋转60°得∠CDO，则AB扫过的面积（图中阴影部分）为（）A．2B．2πC．D．π二、填空题（每小题3分，共15分)11．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0有一个根为0，则另一个根为．12．抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴两个交点之间的距离为．13．在半径为40cm的⊙O中，弦AB＝40cm，则点O到AB的距离为cm．14．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形，点D恰好在双曲线上，则k值为．15．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB＝6，则△AEC的面积为．四、解答题(8个小题，共75分)16．（8分）已知，如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于E．求证：DE⊥AE．17．（8分）如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m2，求小路的宽．18．（9分）“五一劳动节大酬宾！”，某商场设计的促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样．规定：在本商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券，购物券可以在本商场消费．某顾客刚好消费300元．（1）该顾客至多可得到元购物券；（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率．19．（9分）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m＝162﹣3x．（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式．（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．20．（10分）如图所示，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O 于点D，（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求CD的长．21．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B （﹣3，n）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S．△ABC22．（10分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，O是AB的中点，AC＝6，∠MON＝90°，将∠MON绕点O旋转，OM、ON分别交边AC于点D，交边BC于点E（D、E不与A、B、C重合）（1）判断△ODE的形状，并说明理由；（2）在旋转过程中，四边形CDOE的面积是否发生变化？若不改变，直接写出这个值，若改变，请说明理由；（3）如图2，DE的中点为G，CG的延长线交AB于F，请直接写出四边形CDFE的面积S的取值范围．23．（11分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y＝﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是直线CD上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）求PE的长最大时m的值．（3）Q是平面直角坐标系内一点，在（2）的情况下，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形是否存在？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2017-2018学年河南省洛阳市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．方程x2＝x的解是（）A．x1＝3，x2＝﹣3B．x1＝1，x2＝0C．x1＝1，x2＝﹣1D．x1＝3，x2＝﹣1【分析】方程变形后分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：方程变形得：x2﹣x＝0，分解因式得：x（x﹣1）＝0，可得x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝1，x2＝0．故选：B．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2．关于x的一元二次方程x2+8x+q＝0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（）A．q＜16B．q＞16C．q≤4D．q≥4【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝64﹣4q＞0，解之即可得出q 的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+8x+q＝0有两个不相等的实数根，∴△＝82﹣4q＝64﹣4q＞0，解得：q＜16．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．3．抛物线y＝（x+2）2﹣2的顶点坐标是（）A．（2，﹣2）B．（2，2）C．（﹣2，2）D．（﹣2，﹣2）【分析】根据二次函数的顶点式方程可地直接写出其顶点坐标．【解答】解：∵抛物线为y＝（x+2）2﹣2，∴顶点坐标为（﹣2，﹣2），故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的顶点坐标的求法，掌握二次函数的顶点式y＝a（x﹣h）2+k是解题的关键．4．将抛物找y＝2x2向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到的抛物找解析式为（）A．y＝2（x﹣4）2+1B．y＝2（x﹣4）2﹣1C．y＝2（x+4）2+1D．y＝2（x+4）2﹣1【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物找y＝2x2向左平移4个单位所得直线解析式为：y＝2（x+4）2；再向下平移1个单位为：y＝2（x+4）2﹣1．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．5．下列图形：（1）等边三角形，（2）矩形，（3）平行四边形，（4）菱形，是中心对称图形的有（）个A．4B．3C．2D．1【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．【解答】解：矩形，平行四边形，菱形是中心对称图形，等边三角形不是中心对称图形，故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，判断中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠P＝66°，则∠C＝（）A．57°B．60°C．63°D．66°【分析】连接OA，OB，根据切线的性质定理得到∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，根据四边形的内角和等于360°求出∠AOB，根据圆周角定理解答．【解答】解：连接OA，OB，∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣66°＝114°，由圆周角定理得，∠C＝∠AOB＝57°，故选：A．【点评】本题考查的是切线的性质，圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．7．下列事件中，是随机事件的是（）A．任意画一个三角形，其内角和为180°B．经过有交通信号的路口，遇到红灯C．太阳从东方升起D．任意一个五边形的外角和等于540°【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和为180°是必然事件；B、经过有交通信号的路口，遇到红灯是随机事件；C、太阳从东方升起是必然事件；D、任意一个五边形的外角和等于540°是不可能事件；故选：B．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．8．如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可．【解答】解：黑色区域的面积＝3×3﹣×3×1﹣×2×2﹣×3×1＝4，所以击中黑色区域的概率＝＝．故选：C．【点评】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．9．如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1+S2＝（）A．3B．4C．5D．6【分析】欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y＝的系数k，由此即可求出S1+S2．【解答】解：∵点A、B是双曲线y＝上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|＝4，∴S1+S2＝4+4﹣1×2＝6．故选：D．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义，有一定的难度．10．如图，AB⊥OB，AB＝2，OB＝4，把∠ABO绕点O顺时针旋转60°得∠CDO，则AB扫过的面积（图中阴影部分）为（）A．2B．2πC．D．π【分析】根据勾股定理得到AC，然后根据扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵∠AB⊥OB，AB＝2，OB＝4，∴OA＝2，∴边AB扫过的面积＝﹣＝π，故选：C．【点评】本题考查了扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共15分)11．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0有一个根为0，则另一个根为．【分析】先把x＝2代入方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0得到满足条件的m的值为﹣2，此时方程化为4x2﹣3x＝0，设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到0+t＝，然后求出t即可．【解答】解：把x＝2代入方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0得方程m2﹣4＝0，解得m1＝2，m2＝﹣2，而m﹣2≠0，所以m＝﹣2，此时方程化为4x2﹣3x＝0，设方程的另一个根为t，则0+t＝，解得t＝，所以方程的另一个根为．故答案为．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．12．抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴两个交点之间的距离为2．【分析】令y＝0，可以求得相应的x的值，从而可以求得抛物线与x轴的交点坐标，进而求得抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴两个交点之间的距离．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+3＝（x﹣3）（x﹣1），∴当y＝0时，0＝（x﹣3）（x﹣1），解得，x1＝3，x2＝1，∵3﹣1＝2，∴抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴两个交点之间的距离为2，故答案为：2．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．13．在半径为40cm的⊙O中，弦AB＝40cm，则点O到AB的距离为20cm．【分析】作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理计算即可．【解答】解：作OC⊥AB于C，连接OA，则AC＝AB＝20，在Rt△OAC中，OC＝＝20（cm）故答案为：20．【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．14．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形，点D恰好在双曲线上，则k值为4．【分析】作DE⊥x轴于点E，易证△OAB≌△EDA，求得A、B的坐标，根据全等三角形的性质可以求得D的坐标，从而利用待定系数法求得反比例函数的解析式，即可求解．【解答】解：作DE⊥x轴于点E．在y＝﹣3x+3中，令x＝0，解得：y＝3，即B的坐标是（0，3）．令y＝0，解得：x＝1，即A的坐标是（1，0）．则OB＝3，OA＝1．∵∠BAD＝90°，∴∠BAO+∠DAE＝90°，又∵Rt△ABO中，∠BAO+∠OBA＝90°，∴∠DAE＝∠OBA，在△OAB和△EDA中，∵，∴△OAB≌△EDA（AAS），∴AE＝OB＝3，DE＝OA＝1，故D的坐标是（4，1），代入y＝得：k＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，正确求得D的坐标是关键．15．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB＝6，则△AEC的面积为4．【分析】根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD 中，∠ACD＝30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC＝∠ECA，利用等角对等边得到AE＝CE，设AE＝CE＝x，表示出AD与DE，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积．【解答】解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD＝AC′＝AC，∴在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，即∠DAC＝60°，∴∠DAD′＝60°，∴∠DAE＝30°，∴∠EAC＝∠ACD＝30°，∴AE＝CE，在Rt△ADE中，设AE＝EC＝x，则有DE＝DC﹣EC＝AB﹣EC＝6﹣x，AD＝×6＝2，根据勾股定理得：x2＝（6﹣x）2+（2）2，解得：x＝4，∴EC＝4，＝EC•AD＝4．则S△AEC故答案为：4．【点评】此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质的运用，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．四、解答题(8个小题，共75分)16．（8分）已知，如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于E．求证：DE⊥AE．【分析】由切线的性质可知∠ODE＝90°，纵坐标OD∥AE即可解决问题；【解答】证明：连接OD．∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴∠ODE＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠DAB，∴∠CAB＝∠ADO，∴OD∥AE，∴∠E+∠ODE＝180°，∴∠E＝90°，∴DE⊥AE．【点评】本题考查切线的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．（8分）如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m2，求小路的宽．【分析】如果设小路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16﹣2x），（9﹣x）；那么根据题意即可得出方程．【解答】解：设小路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16﹣2x），（9﹣x）．根据题意即可得出方程为：（16﹣2x）（9﹣x）＝112，解得x1＝1，x2＝16．∵16＞9，∴x＝16不符合题意，舍去，∴x＝1．答：小路的宽为1m．【点评】本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．18．（9分）“五一劳动节大酬宾！”，某商场设计的促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样．规定：在本商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券，购物券可以在本商场消费．某顾客刚好消费300元．（1）该顾客至多可得到70元购物券；（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率．【分析】（1）由题意可得该顾客至多可得到购物券：50+20＝70（元）；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与该顾客所获得购物券的金额不低于50元的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）则该顾客至多可得到购物券：50+20＝70（元）；故答案为：70；（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，该顾客所获得购物券的金额不低于50元的有6种情况，∴该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率为：＝．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．19．（9分）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m＝162﹣3x．（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式．（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．【分析】（1）此题可以按等量关系“每天的销售利润＝（销售价﹣进价）×每天的销售量”列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围．（2）根据（1）所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案．【解答】解：（1）由题意得，每件商品的销售利润为（x﹣30）元，那么m件的销售利润为y＝m（x﹣30），又∵m＝162﹣3x，∴y＝（x﹣30）（162﹣3x），即y＝﹣3x2+252x﹣4860，∵x﹣30≥0，∴x≥30．又∵m≥0，∴162﹣3x≥0，即x≤54．∴30≤x≤54．∴所求关系式为y＝﹣3x2+252x﹣4860（30≤x≤54）．（2）由（1）得y＝﹣3x2+252x﹣4860＝﹣3（x﹣42）2+432，所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元．∵500＞432，∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是根据等量关系：“每天的销售利润＝（销售价﹣进价）×每天的销售量”列出函数关系式，另外要熟练掌握二次函数求最值的方法．20．（10分）如图所示，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O 于点D，（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求CD的长．【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠BCD，根据圆周角定理，等腰三角形的定义证明；（2）作AE⊥CD于E，根据等腰直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出AE、CE，DE，结合图形计算，得到答案．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，由圆周角定理得，∠AOD＝2∠ACD，∠BOD＝2∠BCD，∴∠AOD＝∠BOD，∴DA＝DB，即△ABD是等腰三角形；（2）解：作AE⊥CD于E，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝AB＝5，∵AE⊥CD，∠ACE＝45°，∴AE＝CE＝AC＝3，在Rt△AED中，DE＝＝4，∴CD＝CE+DE＝3+4＝7．【点评】本题考查的是圆周角定理，勾股定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．21．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B （﹣3，n）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；．（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC【分析】（1）由一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点，首先求得反比例函数的解析式，则可求得B点的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）根据图象，观察即可求得答案；（3）因为以BC为底，则BC边上的高为3+2＝5，所以利用三角形面积的求解方法即可求得答案．【解答】解：（1）∵点A（2，3）在y＝的图象上，∴m＝6，∴反比例函数的解析式为：y＝，∵B（﹣3，n）在反比例函数图象上，∴n＝＝﹣2，∵A（2，3），B（﹣3，﹣2）两点在y＝kx+b上，∴，解得：，∴一次函数的解析式为：y＝x+1；（2）﹣3＜x＜0或x＞2；（3）以BC为底，则BC边上的高AE为3+2＝5，∴S＝×2×5＝5．△ABC【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．注意待定系数法的应用是解题的关键．22．（10分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，O是AB的中点，AC＝6，∠MON＝90°，将∠MON绕点O旋转，OM、ON分别交边AC于点D，交边BC于点E（D、E不与A、B、C重合）（1）判断△ODE的形状，并说明理由；（2）在旋转过程中，四边形CDOE的面积是否发生变化？若不改变，直接写出这个值，若改变，请说明理由；（3）如图2，DE的中点为G，CG的延长线交AB于F，请直接写出四边形CDFE的面积S的取值范围．【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到OC⊥AB，OC平分∠ACB，求得∠AOD＝∠COE，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到四边形CDOE的面积＝△AOC的面积，根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）当四边形CDFE是正方形时，其面积最大，根据正方形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）△ODE是等腰直角三角形，理由：连接OC，在等腰Rt△ABC中，∵O是AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，∴∠OCE＝45°，OC＝OA＝OB，∠COA＝90°，∵∠DOE＝90°，∴∠AOD＝∠COE，在△AOD与△COE中，，∴△AOD≌△COE，（ASA），∴OD＝OE，∴△ODE是等腰直角三角形；（2）在旋转过程中，四边形CDOE的面积不发生变化，∵△AOD≌△COE，∴四边形CDOE的面积＝△AOC的面积，∵AC＝6，∴AB＝6，∴AO＝OC＝AB＝3，∴四边形CDOE的面积＝△AOC的面积＝×3×3＝9；（3）当四边形CDFE是正方形时，其面积最大，四边形CDFE面积的最大值＝9，故四边形CDFE的面积S的取值范围为：0＜S≤9．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，连接OC构造全等三角形是解题的关键．23．（11分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y＝﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是直线CD上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）求PE的长最大时m的值．（3）Q是平面直角坐标系内一点，在（2）的情况下，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形是否存在？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由点A ，B 的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点C ，D 的坐标，进而可得出0＜m ＜4，由点P 的横坐标为m 可得出点P ，E 的坐标，进而可得出PE ＝﹣m 2+m +2，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）分PE 为对角线、PC 为对角线、CD 为对角线三种情况考虑，由平行四边形的性质（对角线互相平分）结合点P ，C ，D 的坐标可求出点Q 的坐标，此题得解． 【解答】解：（1）将A （﹣1，0），B （5，0）代入y ＝﹣x 2+bx +c ，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+4x +5．（2）∵直线y ＝﹣x +3与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ， ∴点C 的坐标为（0，3），点D 的坐标为（4，0）， ∴0＜m ＜4．∵点P 的横坐标为m ，∴点P 的坐标为（m ，﹣m 2+4m +5），点E 的坐标为（m ，﹣ m +3），∴PE ＝﹣m 2+4m +5﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+m +2＝﹣（m ﹣）2+．∵﹣1＜0，0＜＜4，∴当m ＝时，PE 最长．（3）由（2）可知，点P 的坐标为（，）．以P 、Q 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形分三种情况（如图所示）：①以PD 为对角线，∵点P 的坐标为（，），点D 的坐标为（4，0），点C 的坐标为（0，3），∴点Q的坐标为（+4﹣0，+0﹣3），即（，）；②以PC为对角线，∵点P的坐标为（，），点D的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），∴点Q的坐标为（+0﹣4，+3﹣0），即（﹣，）；③以CD为对角线，∵点P的坐标为（，），点D的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），∴点Q的坐标为（0+4﹣，3+0﹣），即（，﹣）．综上所述：在（2）的情况下，存在以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（，）、（﹣，）或（，﹣）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）利用二次函数的性质解决最值问题；（3）分PE为对角线、PC为对角线、CD为对角线三种情况，利用平行四边形的性质求出点Q的坐标．。
2017-2018学年深圳市宝安区九年级(上)期末数学试卷(答案版)
2021-2021学年广东省深圳市宝安区九年级〔上〕 、选择题〔此题共有12小题,每题3分,共36分, 其中只有一个是正确的〕〔3分〕方程x 2=3x 的解为〔〕个,黑球有n 个,随机地从袋中摸出一个球,记录下颜色后,放回袋子中并摇匀,再从 中摸出一个球,经过如此大量重复试验,发现摸出白球的频率稳定在 值约为〔7. 〔3分〕今年,某公司推出一款的新 深受消费者推崇,但价格不菲.为此,某电子商之间的函数关系式是〔2. 3. 4. A. x=3 B. x=0C. x i =0, X 2= - 3D. x i =0, X 2=3〔3分〕下面左侧几何体的左视图是〔〔3分〕如果 A. 3C.B. - 3D.C.〔3分〕不透明的袋中只装有黑、白两种球,这些球除颜色外都相同,其中白球有 20期末数学试卷每题有四个选项,0.4附近,那么A. 20B. 30C. 40D. 505. 〔3分〕关于x 的 二次方程ax 2+3x - 2=0有两个不相等的实数根,那么a 的值可以是〔 A. 0B.一 1C. - 2D. - 36.〔3分〕中国 〜带一路〞战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益, 沿线某地区居民 2021 年人均年收入300美元,预计2021年人均年收入将到达 950美元,设2021年到2021年该地区居民人均年收入平均增长率为 x,可列方程为〔A. 300 (1+x%) 2=950B. 300 (1+x 2) =950C. 300 (1+2x) =950D. 300 (1+x) 2=950城推出分期付款购置新 的活动,一部售价为 9688元的新 ,前期付款 2000元, 后期每个月分别付相同的数额,那么每个月的付款额y 〔元〕与付款月数 x 〔x 为正整数〕“ 7688 0iA. y= +2000-9688 0iB. y= ---------- 2000C. 7688y=8. 〔3分〕如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD连接AE,如果/ ADB=38°,那么/E的值是〔A. 19°B, 18° C. 20°D, 21 °9. 〔3分〕以下说法正确的选项是〔〕A,二次函数y= 〔x+1〕2-3的顶点坐标是〔1, 3〕B,将二次函数y=x2的图象向上平移2个单位,得到二次函数y= 〔x+2〕2的图象C.菱形的对角线互相垂直且相等D.平面内,两条平行线间的距离处处相等10. 〔3分〕如图,一路灯B距地面高BA=7m,身高1.4m的小红从路灯下的点D出发,沿A-H 的方向行走至点G,假设AD=6m, DG=4m,那么小红在点G处的影长相对于点D处的影长变化是〔〕BA.变长1m B,变长1.2m C.变长1.5m D,变长1.8m11. 〔3分〕一次函数y=ax+c的图象如下图,那么二次函数y=ax2+x+c的图象可能大致是〔〕12. 〔3分〕如图,点P是边长为近的正方形ABCD的对角线BD上的动点,过点P分别作P已BC于点E, PH DC于点F,连接AP并延长,交射线BC于点H,交射线DC于点M, 连接EF交AH于点G,当点P在BD上运动时〔不包括B、D两点〕,以下结论中：①MF=MC;②AH^EF;③AP2=PM?PH;④EF的最小值是亚.其中正确结论是〔〕2A.①③B.②③C.②③④D.②④二、填空题〔此题共有4小题,每题3分,共12分〕13. 〔3分〕有三张外观完全相同的卡片,在卡片的正面分别标上数字- 1, 0, -2,将正面朝下放在桌面上.现随机翻开一张卡片,那么卡片上的数字为负数的概率为 .14. 〔3分〕二次函数y=- 〔x- 1〕〔x+2〕的对称轴方程是 .315. 〔3分〕如图,点A在曲线y一〔x>0〕上,过点A作AB,x轴,垂足为B, OA的垂直平分线交OB、OA于点 C D,当AB=1时,△ ABC的周长为 .16. 〔3分〕如图,正方形ABCD中,对角线AC BD交于点O,点E是OB上一点,且OB=3OE 连接AE,过点D作DG, AE于点F,交AB边于点G,连接GE,假设AD=6&,那么GE的长是 _______8三、解做题〔本大题共7小题,共52分〕17. 〔5 分〕计算：〔—1〕2021 -〔工〕1+2X〔V2021〕%历.318. 〔5 分〕x2-8x+12=0.19. 〔8分〕在不透明的布袋中装有1个红球,2个白球,它们除颜色外其余完全相同.〔1〕从袋中任意摸出两个球,试用树状图或表格列出所有等可能的结果,并求摸出的球恰好是两个白球的概率；〔2〕假设在布袋中再添加a个红球,充分搅匀,从中摸出一个球,使摸到红球的概率为-4试求a的值.20. (8分)如图,△ ABC中,/ ACB的平分线交AB于点D,作CD的垂直平分线,分别交AC、DC BC于点E、G、F,连接DE、DF.(1)求证：四边形DFCN菱形；(2)假设/ ABC=60 , /ACB=45, BD=2,试求BF 的长.21 . 〔8分〕今年深圳读书月〞期间,某书店将每本本钱为30元的一批图书,以40元的单价出售时,每天的销售量是300本.在每本涨价幅度不超过10元的情况下,假设每本涨价1元,那么每天就会少售出10本,设每本书上涨了x元.请解答以下问题：〔1〕填空：每天可售出书本〔用含x的代数式表示〕；〔2〕假设书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润,应涨价多少元？22. (8分)如图1,在平面直角坐标系中,？OABC的一个顶点与坐标原点重合, OA边落在x轴上,且OA=4, OC=2/2, /COA=45.反比例函数C,与AB交于点D,连接AC, CD.(1)试求反比例函数的解析式;(2)求证：CD平分/ ACB;(3)如图2,连接OD,在反比例函数图象上是否存在一点在,请直接写出点P的坐标.如果不存在,请说明理由.y工(k>0, x>0)的图象经过点P,使得S\POC= ' S^ COD?如果存223. (10分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c (a<0)与x轴交于A (-2,0)、B (4, 0)两点,与y轴交于点C,且OC=2OA(1)试求抛物线的解析式；(2)直线y=kx+1 (k>0)与y轴交于点D,与抛物线交于点P,与直线BC交于点M,记m=^■,试求m的最大值及此时点P的坐标；DM(3)在(2)的条件下,点Q是x轴上的一个动点,点N是坐标平面内的一点,是否存在这样的点Q、N,使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在,请求出点N 的坐标；如果不存在,请说明理由.2021-2021学年广东省深圳市宝安区九年级〔上〕期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题〔此题共有12小题,每题其中只有一个是正确的〕1. 〔3分〕方程x2=3x的解为〔〕A. x=3 B, x=0【解答】解：.•.>―3x=0,x 〔x - 3〕 =0,那么x=0或x- 3=0,解得：x=0或x=3,应选：D.2. 〔3分〕下面左侧几何体的左视图是〔A. 3B. -3【解答】解：-^=2, ba=2b,.a+b 2b+b 0 ==3.a-b 2b-b 3分,共36分,每题有四个选项, C. x i=0, x2= - 3 D. x i=0, x2=3D.应选：C.3. 〔3分〕如果且=2,那么卑■的值是〔 b a-b应选：A.4. 〔3分〕不透明的袋中只装有黑、白两种球,这些球除颜色外都相同,其中白球有20个,黑球有n个,随机地从袋中摸出一个球,记录下颜色后,放回袋子中并摇匀,再从中摸出一个球,经过如此大量重复试验,发现摸出白球的频率稳定在0.4附近,那么n的值约为〔〕A. 20B. 30C. 40D. 50【解答】解：根据题意得①=0.4,20+n解得：n=30,应选：B.5. 〔3分〕关于x的一元二次方程ax2+3x-2=0有两个不相等的实数根,那么a的值可以是〔〕A. 0B. - 1C. - 2D. - 3【解答】解：,•・关于x的一元二次方程ax2+3x-2=0有两个不相等的实数根,「.△>0 且aw 0,即32-4ax 〔-2〕 >0 且a*0,解得a> - 12且aw0, 8应选：B.6. 〔3分〕中国乙带一路〞战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益,沿线某地区居民2021年人均年收入300美元,预计2021年人均年收入将到达950 美元,设2021年到2021年该地区居民人均年收入平均增长率为x,可列方程为〔〕A. 300 〔1+x%〕 2=950B. 300 〔1+x2〕 =950C. 300 〔1+2x〕 =950D. 300 〔1+x〕2=950【解答】解：设2021年到2021年该地区居民年人均收入平均增长率为x,那么根据题意得2021年年收入为：300 〔1 +x〕2,列出方程为：300 〔1+x〕2=950.应选：D.7. 〔3分〕今年,某公司推出一款的新深受消费者推崇, 但价格不菲.为此,某电子商城推出分期付款购置新的活动,一部售价为9688元的新 ,第10页〔共26页〕前期付款2000元,后期每个月分别付相同的数额,那么每个月的付款额y 〔元〕与付款月数x 〔x为正整数〕之间的函数关系式是〔〕A. y=76SS +2000B. y=96SS- 2000x xC. y="—D, y=X A【解答】解：由题意可得：y=36A—2000』^跄. M X应选：C.8. 〔3分〕如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD连接AE,如果/ADB=38, WJ/E的值是〔〕A. 19°B, 18°C, 200 D. 21二.四边形ABC皿矩形,AD// BE, AC=BD 且/ADB=/ CAD=38,「• / E=/ DAE,又= BD=CE• . CE=CA「• / E=/ CAE,v Z CAD=Z CAEnZDAE,E+/E=38°,即/ E=19°.应选：A.9. 〔3分〕以下说法正确的选项是〔〕A.二次函数y= 〔x+1〕2-3的顶点坐标是〔1,3〕B,将二次函数y=x2的图象向上平移2个单位,得到二次函数y= 〔x+2〕2的图象C.菱形的对角线互相垂直且相等D.平面内,两条平行线间的距离处处相等【解答】解：A、二次函数y= 〔x+1〕 2-3的顶点坐标是〔-1, -3〕,错误；B、将二次函数y=x2的图象向上平移2个单位,得到二次函数y=x2+2的图象,错误；C、菱形的对角线互相垂直且平分,错误；D、平面内,两条平行线间的距离处处相等,正确；应选：D.10. 〔3分〕如图,一路灯B距地面高BA=7m,身高1.4m的小红从路灯下的点D 出发,沿A-H的方向行走至点G,假设AD=6m, DG=4m,那么小红在点G处的影长相对于点D处的影长变化是〔〕BA.变长1mB.变长1.2mC.变长1.5mD.变长1.8m【解答】解：由CD// AB// FG可得△CDE^AABE △ HFSAHAB, .•理应、堡①.即工3、_J^=L£.AE AB HA AE ' DE+6 7 HG+4+6 7 '解得：DE=1.5 HG=2.5,v HG- DE=2.5- 1.5=1,•••影长边长1m.应选：A.11. 〔3分〕一次函数y=ax+c的图象如下图,那么二次函数y=aX+x+c的图象可能大致是〔〕【解答】解：二,一次函数y=ax+c的图象经过一三四象限,a> 0, c<0,故二次函数y=a/+x+c的图象开口向上,对称轴在y轴左边,交y轴于负半轴, 应选：C.12. 〔3分〕如图,点P是边长为&的正方形ABCD的对角线BD上的动点,过点P分别作P已BC于点E, PF, DC于点F,连接AP并延长,交射线BC于点H, 交射线DC于点M,连接EF交AH于点G,当点P在BD上运动时〔不包括B、D两点〕,以下结论中：① MF=MC;②AHLEF;③AP2=PM?PH;④EF的最小值是返.其中正确结论是〔〕2B ECA.①③B.②③C.②③④D.②④A 口【解答】解：①错误.由于当点P与BD中点重合时,CM=0,显然FMw CM;②正确.连接PC交EF于O.根据对称性可知/ DAP=/ DCP.•・四边形PECF1矩形,OF=OC・./ OCFW OFC丁• / OFCW DAP,・♦ / DA\/AMD=90 ,・・•/ GFM+/AMD=90 ,丁. / FGM=90 ,・.AH,EF.③正确.v AD// BH,・•/ DAP之H,vZ DAP之PCM,・./ PCM=/ H,・. / CPM=/ HPC,・.△CPM^ AHPQ厂.「HP PC'・. P G=PM?PH,根据对称性可知：PA=PC・•• P的PM?PH.④错误. •四边形PECF1矩形,EF=PC・•・当CP,BD时,PC的值最小,止匕时A、P、C共线, •. AC=Z「•PC的最小值为1,「•EF的最小值为1;应选：B.二、填空题(此题共有4小题,每题3分,共12分)13. (3分)有三张外观完全相同的卡片,在卡片的正面分别标上数字- 1, 0, -2,将正面朝下放在桌面上.现随机翻开一张卡片,那么卡片上的数字为负数 的概率为 2 .—3_—【解答】解：二•共有3张卡片,卡片的正面分别标上数字-1, 0, -2,卡片上 的数字为负数的有2张,卡片上的数字为负数的概率为 —;3故答案为：2.314. (3分)二次函数y=- (x-1) (x+2)的对称轴方程是 x=-^ .二【解答】解：y=- (x-1) (x+2)=-(x+x - 2)・•・二次函数y=- (x-1) (x+2)的对称轴为x=—,2 故答案为：x=-l. 215. (3分)如图,点A 在曲线y=± (x>0)上,过点A 作AB,x 轴,垂足为B, x 【解答】解：;点A 在曲线y=2 〔x>0〕上,AB ,x 轴,AB=1, x「• ABX OB=3,• .OB=3OA 的垂直平分线交OB 、OA 于点C 、 D,当AB=1时,4ABC 的周长为Dv CD垂直平分AO,OC=AC△ ABC 的周长=AB^BC+AC=1+BC+OC=1+OB=1+3=4,故答案为：4.16. 〔3分〕如图,正方形ABCD中,对角线AG BD交于点O,点E是OB上一点,且OB=3OE连接AE,过点D作DG±AE于点F,交AB边于点G,连接GE,假设AD=6v r2,贝U GE的长是—运【解答】解：作EHLAB于H.二.四边形ABC皿正方形,AB=AD=6<2,OA=OB=6v OB=3OE• .OE=2 EB=4・•/ EBH玄BEH=45,EH=BH=2<2,AH=AB- BH=4 二,vZ ADO/ DAF=90 , / DAF+Z EAH=90,丁• / ADG之EAHI, vZ DAG之AHE,・ .△DAS AAHE,,知二AGAH EH'. .里旦.二’• . AG=3 二,GH=AH- AG=二,在Rtz\EGH中,EG=/EH2+GH2=V IO.故答案为而.三、解做题〔本大题共7小题,共52分〕17. 〔5 分〕计算：〔-1〕2021 -.〕1+2X 〔V2021〕°雨.3【解答】解：原式=1 - 3+2+3、0=3日.18. 〔5 分〕x2- 8x+12=0.【解答】解：x2- 8x+12=0,分解因式得〔x- 6〕〔x- 2〕 =0,x- 6=0, x- 2=0,解方程得：x1=6, x?=2,「•方程的解是x〔=6, x2=2.19. 〔8分〕在不透明的布袋中装有1个红球,2个白球,它们除颜色外其余完全相同.〔1〕从袋中任意摸出两个球,试用树状图或表格列出所有等可能的结果,并求摸出的球恰好是两个白球的概率；〔2〕假设在布袋中再添加a个红球,充分搅匀,从中摸出一个球,使摸到红球的概率为3,试求a的值.4【解答】解：〔1〕画树状图得：开始红白白八八/\白白红白红白•••共有6种等可能的结果,随机从袋中摸出两个球都是白色的有2种情况,・•.随机从袋中摸出两个球,都是白色的概率是：2」.6 3(2)根据题意,得：也=老,3+a 4解得：a=5,经检验a=5是原方程的根,故a=5.20. (8分)如图,△ ABC中,/ACB的平分线交AB于点D,作CD的垂直平分线,分别交AG DC BC于点E、G、F,连接DE、DF.(1)求证：四边形DFCE＞菱形；(2)假设 / ABC=60, /ACB=45, BD=2,试求BF 的长.【解答】(1)证实：: EF是DC的垂直平分线,DE=EC DF=CF /EGCW FGC=90, DG=CG . CD平分/ ACB, ・ ./ ECG= FCG VCG=CG. .△CG陷AFCC3 (ASA),GE=GF一•四边形DFC式平行四边形,v DE=CE一•四边形DFCEg菱形；(2)解：过D 作DHL BC于H,贝(J/DHF=/ DHB=90,・•/ABC=60,・ ./ BDH=30,BH= BD=1, 2在DHB中,DH=Gqi=/5,二.四边形DFC式菱形,DF// AC,・・/ DFB之ACB=45,・•.△DHF是等腰直角三角形,DH=FH夷,BF=BH+FH=1+行.21. (8分)今年深圳馍书月〞期间,某书店将每本本钱为30元的一批图书,以40元的单价出售时,每天的销售量是300本.在每本涨价幅度不超过10 元的情况下,假设每本涨价1元,那么每天就会少售出10本,设每本书上涨了x 元.请解答以下问题：(1)填空：每天可售出书(300- 10x) 本(用含x的代数式表示)；(2)假设书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润,应涨价多少元？【解答】解：(1)二.每本书上涨了x元,「•每天可售出书(300- 10x)本.故答案为：(300- 10x).(2)设每本书上涨了x元(x< 10),根据题意得：(40 - 30+x) (300- 10x) =3750,整理,得：x2 - 20x+75=0,解得：x1二5, x?=15 (不合题意,舍去).答：假设书店想每天获得3750元的利润,每本书应涨价5元.22. (8分)如图1,在平面直角坐标系中,？OABC的一个顶点与坐标原点重合,OA边落在x轴上,且OA=4, OC=2/2, / COA=45.反比例函数y*(k>0,x>0)的图象经过点C,与AB交于点D,连接AC, CD.(1)试求反比例函数的解析式；(2)求证：CD平分/ACB(3)如图2,连接OD,在反比例函数图象上是否存在一点P,使得&POC^S XCOD?2如果存在,请直接写出点P的坐标.如果不存在,请说明理由.图1 图2【解答】解：(1)如图1,过点C作C已x轴于E,丁. / CEO=90,・•/ COA=45,丁. / OCE=45,・ OC=2 三,OE=CE=2••C (2, 2),•・•点C在反比例函数图象上,k=2X 2=4,•♦•反比例函数解析式为v=；x(2)如图2,过点D作DG,x轴于G,交BC于F,V CB// x轴,GF± CB,V OA=4,由(1)知,OC=CE=2• . AE=EC=2• ./ECA=45, /OCA=90,•OC// AB,••/ BAC玄OCA=90,• .AD,AC, ,. A (4, 0), AB// OC,；直线AB的解析式为y=x— 4①,•••反比例函数解析式为 Q②,Kfx=2V2+2 .fx=2-2V2联立①②解得, (舍),L 或. LL y=2V2 -2 [y=-2 -2V2. D (2V2+2, 2V2-2),• . AG=DG=2 二-2,• . AD==DG=4- 2 工,. DF=2- (2加-2) =4- 2%,• . AD=DF. AD,AC, DF± CB,•••点D是/ ACB的角平分线上,即：CD平分/ACB(3)存在,二.点C (2, 2),••・直线OC的解析式为y=x, OC=2/2,. D (2V2+2, 272-2),• .CD=2日-2I、如图3,当点P在点C右侧时,即：点P的横坐标大于2,S\PO(=—S\COD, 2•••设CD的中点为M,M (V2+2, V2),过点M作MP// OC交双曲线于P,「•直线PM 的解析式为y=x- 2③,• ••反比例函数解析式为y=1④,联立③④解得,日不五〔舍八{y=V5-l [y=-i-V5P 〔加+1, V5-1〕；H 、当点P'在点C 左侧时,即：点P'的横坐标大于0而小于2,设点M 关于OC 的对称点为M', M' (m, n), ,12「二=2, 2 2• ・m=2一 :, n=4一 :,••M' (2-72, 4-^2), v P'M' // OC,・•・直线P'M'的解析式为y=x+2⑤,K =-1-V5 〔舍〕,•.P' 〔V5-1, V5+1〕.即：点P 的坐标为〔逐-1 ,加+1〕或P 〔加+1,泥-1〕.联立④⑤解得,T 或 「 +1 一El23. (10分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c (a<0)与x轴交于A (-2,0)、B (4, 0)两点,与y轴交于点C,且OC=2OA(1)试求抛物线的解析式；(2)直线y=kx+1 (k>0)与y轴交于点D,与抛物线交于点P,与直线BC交于点M,记m=—,试求m的最大值及此时点P的坐标；DM(3)在(2)的条件下,点Q是x轴上的一个动点,点N是坐标平面内的一点, 是否存在这样的点Q、N,使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如【解答】解：(1)由于抛物线y=ax2+bx+c经过A (-2, 0)、B (4, 0)两点, 所以可以假设y=a (x+2) (x-4),v OC=2OA OA=2,•,• C (0, 4),代入抛物线的解析式得到a=-,y=- —(x+2) (x-4) 或y=——x2+x+4 y= - —(x-1) 2+A.2 2 2 4(2)如图1中,作Pnx轴于E,交BC于F.v CD// PE,・•.△CMDs AFMP,... m=FM _PF DM DC•••直线y=kx+1 (k>0)与y轴交于点D,那么D (0, 1),BC的解析式为y=- x+4,设P (n, - -i-n2+n+4),贝U F (n, — n+4),PF=->+n+4- (-n+4) = -1- (n-2) 2+2S= i(n-2) 2+T- -<0,6・•・当n=2时,m有最大值,最大值为此时P (2, 4).L-1(3)存在这样的点Q、N,使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形.①当DP是矩形的边时,有两种情形,a、如图2-1中,四边形DQNP是矩形时,yF A512 -i有(2)可知P (2, 4),代入y=kx+1中,得到k=l,2「•直线DP的解析式为yTLx+1,可得D (0, 1), E (-2, 0),2 3由^ DOa△ QOD可得坦=述,OQ ODOD2=OE?OQ• . 1= ?OQ,3• .OQ32, Q (3 0).至根据矩形的性质,将点P向右平移,个单位,向下平移1个单位得到点N, N (2+S, 4— 1),即N (工,3)2 2.•.直线PD 的解析式为y=Jlx+1, PCU PD, 2「•直线PQ 的解析式为y= - -x+—, 3 3, Q (8, 0),根据矩形的性质可知,将点D 向右平移6个单位,向下平移4个单位得到点N, N (0+6, 1-4), IP N (6, - 3).②当 DP 是对角线时,设 Q (x, 0),那么 QD 2=x 2+1, QP 2= (x-2) 2+42, PC ?=13, .「Q 是直角顶点,QC 2+QP 2=PD 2,.•.x 2+1+ (x- 2) 2+16=13,整理得x 2 - 2x+4=0,方程无解,此种情形不存在,综上所述,满足条件的点N 坐标为(工,3)或(6, -3). b 、如图2-2事,四边形PDNQ 是矩形时, ?。