高中数学选修2-2变化率与导数分析

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高中数学人教A版选修2-2课件 1-1 变化率与导数第1课时《变化率问题》

2．在匀速直线运动中，比值
Δs Δt
是恒定的．在非匀速直线运动
中，比值ΔΔst 不是恒定的．要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物
体在每一时刻运动的快慢程度．注意结合物理学中的ΔΔst.
【练习2】某物体的运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这
段时间内的平均速度是( )
A. v ＝ΔΔst＝st＋ΔΔtt－st B. v ＝sΔΔtt
点评：求平均变化率的步骤：通常用“两步”法，一作差，二作商，即： ①先求出Δx＝x2－x1，再计算Δy＝f(x2)－f(x1)； ②对所求得的差作商，即得 ΔΔxy＝fxx22－－xf1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1.
3 新课堂·互动探究考点一求函数的平均变化率例1 求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．
)
A．4
B．4Δx
C．4＋Δx
D．Δx
解析：∵Δy＝(2＋Δx)2－1－(22－1)＝4Δx＋(Δx)2， ∴ΔΔyx＝4Δx＋ΔxΔx2＝4＋Δx. 答案：C
知识点二平均速度
1.设物体运动路程与时间的关系是s＝f(t)，在t0到t0＋Δt这段时间内，物体运动的平均速度是 v ＝ft0＋ΔΔtt－ft0＝ΔΔst.
目标导航 1．了解函数的平均变化率的概念，会根据具体函数求出函数的平均变化率． 2．理解瞬时速度的含义，了解并感受当Δt→0，用平均速度来逼近t0 时刻的瞬时速度的思想．
3．理解导数的概念，能利用导数的定义求某些函数的导数．
1 新知识·预习探究知识点一平均变化率
1．已知函数 y＝f(x)，我们把式子fxx22－－xf1x1称为函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率．习惯上用 Δx 表示 x2－x1，即 Δx＝x2－x1，可把 Δx 看作是相对于 x1 的一个“增量”，可用 x1＋Δx 代替 x2；类似地，Δy ＝f(x2)－f(x1)．于是，平均变化率可以表示为ΔΔxy.

高中数学新课标人教A版选修2-2《1.1.1变化率与导数》课件

误区警示忽略导数定义中 Δx 与 Δy 的对应关系
【示例】设函数 y＝f(x)在 x＝x0 处可导，
且
lim
Δx→0
fx0－3ΔΔxx－fx0＝1,
则 f′(x0)等于(
)．
A．1
B．－1
C．－13
1 D.3
[错解]
lim
Δx→0
fx0－3ΔΔxx－fx0＝
lim
Δx→0
fx0－33ΔΔxx－fx0·3
课前探究学习
课堂讲练互动第九页，编辑于星活期页一：规点范十七训分练。
(3)在公式ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1中，当 x1 取定值，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当 Δx 取定值，x1 取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特别地，当函数 f(x)为常数函数时，Δy＝0，则ΔΔyx＝0.
即ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1称为函数在区间[x1，x2]上的
平均变化率．
课前探究学习
课堂讲练互动第四页，编辑于星活期页一：规点范十七训分练。
(2)瞬时变化率：函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是函数 f(x)
从 x0 到 x0＋Δx 的平均变化率在 Δx→0 时的极限，
课前探究学习
课堂讲练互动第十一页，编辑于活星页期一规：范点十训七练分。
3．对导数概念的理解
导数是在点 x＝x0 处及其附近ΔΔyx的极限，是一个局部概念，y
＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)是一个确定的数．注意：(1)某点导数的概念包含两层含义：
①
lim
Δx→0
ΔΔyx存在(惟一确定的值)，则称函数 y＝f(x)在 x＝x0 处可

人教版高中数学【选修2-2】[知识点整理及重点题型梳理]_变化率与导数_基础

人教版高中数学选修2-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习变化率与导数【学习目标】（1）理解平均变化率的概念；（2）了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；（3）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；（4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率；【要点梳理】要点一、平均变化率问题1.变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。

如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；2.平均变化率一般地，函数f(x)在区间[]21,x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --要点诠释：① 本质：如果函数的自变量的“增量”为x ∆,且21x x x ∆=-,相应的函数值的“增量”为y ∆,21()()y f x f x ∆=-,则函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为2121()()f x f x y x x x -∆=∆- ② 函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.即递增或递减幅度的大小。

对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义。

如位移运动中，位移S （m ）从t 1秒到t 2秒的平均变化率即为t 1秒到t 2秒这段时间的平均速度。

高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度。

3.如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法：①作差：求出21()()y f x f x ∆=-和21x x x ∆=- ②作商：对所求得的差作商，即2121()()f x f x y x x x -∆=∆-。

要点诠释：1. x ∆是1x 的一个“增量”，可用1x x +∆代替2x ，同样21()()y f x f x ∆=-。

2. x 是一个整体符号，而不是与x 相乘。

3. 求函数平均变化率时注意,x y ，两者都可正、可负，但x 的值不能为零，y 的值可以为零。

人教课标版高中数学选修2-2《变化率与导数(第2课时)》教案-新版

第一章导数及其应用1.1 变化率与导数(第2课时)教学目标1.核心素养通过导数的几何意义学习，体验数形结合中的“以直代曲”，感受数与形的联系，提高抽象概括能力．2.学习目标（1）1.1.3.1通过函数图像的割线，经历割线过渡到切线的过程，了解切线的形成过程..（2）1.1.3.2通过导数的几何意义，会写出切线方程．3.学习重点导数的几何意义；体会导数思想及内涵．4.学习难点（1）从割线到切线的逼近方法的理解，将导数多方面的意义联系起来．（2）能够理解“在某一点处的切线”与“过某一点的切线”的区别.一、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材P7，思考任意曲线的切线与抛物线的切线的定义的不同.任务2阅读教材P8，了解导数与切线斜率的关系.2．预习自测1. 过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为（）A．－4 B．—1 C．4 D．1 解：D2. 若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处切线方程为2x＋y＋1＝0，则（）A．h′(a)<0 B．h′(a)>0C ．h ′(a )＝0D ．h ′(a )的符号不定解：A3. 曲线y ＝－2x 2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是 ( ) A ．－4 B ．0 C ．4D ．不存在解：A（二）课堂设计 1.知识回顾（1）函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率是2121()()y f x f x x x x ∆-=∆-.（2）函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率是0000()()limlim x x y f x x f x x x∆→∆→∆+∆-=∆∆.（3）函数()f x 在0x x =处的导数的步骤分为“一差、二比、三趋近”. 2．问题探究问题探究一●活动一观察图象移动割线函数的平均变化率的几何意义是什么？因为2121()()y f x f x x x x ∆--=∆称为函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率.习惯上用x ∆表示21x x -是横坐标之差，类似地，21()()y f x f x ∆=-是纵坐标之差，所以平均变化率可以表示为过两点()()1122,(),,()x f x x f x 的直线的斜率. ●活动二动态生成逼近思想导数的几何意义是什么？如图，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.根据活动一容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ，即0000()()lim()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆.函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处切线的斜率k . 即0000()()()limx f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆.●活动三自主探究切线方程由直线的点斜式方程可知，曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()y y f x x x '-=-. 例1 已知曲线x x y 1+=上一点)25,2(A ，求：（1）点A 的切线的斜率；（2）点A 处的切线方程. 【知识点：导数的几何意义】解：（1）)2()2(f x f y -∆+=∆x x xx x ∆+∆+∆-=+-∆++∆+=)2(2)212(212 00limlim 2(2)x x y x x x x x x ∆→∆→⎡⎤∆-∆∆=+=⎢⎥∆∆+∆∆⎣⎦431)2(21lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∆+→∆x x所以点A 处的切线的斜率是34. （2）切线方程为)2(4325-=-x y 即0443=+-y x . 点拨：求切线的斜率就是求该点处的导数.例2 利用导数的定义求函数f (x )＝x 3在x ＝x 0处的导数，并求曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处切线与曲线f (x )＝x 3的交点．【知识点：导数的几何意义】解：0003322200000000()()()lim lim lim()3x x x x x x f x f x x x f x x xx x x x x x x →→→--===++=--曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线方程为320003()y x x x x -=⋅-，即230032y x x x =-，由3230032y x y x x x ⎧=⎨=-⎩得(x －x 0)2(x ＋2x 0)＝0，解得x ＝x 0，x ＝－2x 0. 若x 0≠0，则交点坐标为330000(,),(2,8)x x x x --；若x 0＝0，则交点坐标为(0,0)．点拨：求切线方程分两类：1.求曲线()f x 在某点(切点)00(,)x y 处的切线步骤：（1）求0()k f x '=；（2）点斜式求方程000()()y y f x x x '-=- 2.求过某点(不一定是切点)12(,)x y 的切线步骤：（1）设切点00(,)x y ，则00()y f x =（2）0()k f x '=，10101010()y y y f x k x x x x --==-- （3）联立方程组0010010()()()y f x y f x f x x x=⎧⎪-⎨'=⎪-⎩解出0,x 10010()()y f x f x x x -'=-（4）点斜式求方程000()()()y f x f x x x '-=- 3．课堂总结【知识梳理】(1)函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的斜率k .即0000()()()limx f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆(2)由直线的点斜式方程可知，曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为_______________. 【重难点突破】（1）函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率的几何意义是：经过两点11(,())x f x 、22(,())x f x 两点的割线的斜率.（2）导数的丰富内涵：①导数就是瞬时变化率；②曲线()y f x =上0x x =处的切线斜率为函数在0x 处的导数0()f x '；③物体某时刻的瞬时速度为其位移时间函数()s f t =在该时刻处的导数.（3）以直代曲思想：由于大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以我们用曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线，即以直代曲.以直代曲思想是微积分的基本思想之一.这个思想在本节有以下两个应用：①利用导数的正负说明曲线的升降；②依据切线倾斜程度的大小判断曲线升降的快慢. 4．随堂检测1．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为（） A ．1 B ．3 C ．－4 D ．－8【知识点：导数的几何意义】解：C提示：由题意得P (4,8)，Q (－2,2)．∵y ＝x 22，∴y ′＝x ，∴在P 处的切线方程：y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8.在Q 处的切线方程：y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.∴A (1，－4)．2．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1 【知识点：导数的几何意义】解：A 提示：y ′＝2x ＋a ，因为切线x －y ＋1＝0的斜率为1，所以2×0＋a ＝1，即a ＝1.又(0，b )在直线x －y ＋1＝0上，因此0－b ＋1＝0，即b ＝1. 3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则函数图象在x ＝0处的切线方程为（）A ．x ln 2－y －1＝0B ．x ln 2＋y －1＝0C ．x ＋y ln 2－1＝0D ．x －y ln 2－1＝0【知识点：导数的运算；导数的几何意义】解： B4．已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，如果f ′(x )是二次函数，f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任意一点处的切线的倾斜角α的取值范围是（）A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π 【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：B 提示：由题意知f ′(x )＝a (x －1)2＋3(a >0)，所以f ′(x )＝a (x －1)2＋3≥ 3，即tan α≥ 3，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2.5．若曲线31y x x =+-在点P 处的切线与直线47y x =-平行，则点P 的坐标为（）A ．(1,1)B ．(1,1)或(1,3)--C ．(1,3)或(1,1)--D ．(1,1)--【知识点：导数的运算】解：B6．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________．【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：x －y －2＝0 提示：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)，所以切线方程为x －y －2＝0. （三）课后作业基础型自主突破1．曲线22y x =在点(2,8)A 处的切线斜率为（） A. 4B. 16C. 8D. 2【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：C2．已知函数2()24f x x =-的图像上有两点(1,2)M -及(1,(1))N x f x +∆+∆，则割线MN 的斜率为（）A ．4B ．4xC ．42x +∆D ．242()x +∆【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：C3．已知点11(,)A x y ，22(,)B x y 在函数()y f x =的图像上，若函数()y f x =从1x 到2x ，则曲线()y f x =的割线AB 的倾斜角为_______________. 【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：3π提示：从1x 到2x 的平均变化率即为割线AB 的斜率. 4．曲线()y f x =在点5x =处的切线方程是y ＝－x ＋8，则(5)(5)f f '+=________.【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：2 提示：(5)(5)(58)(1)2f f '+=-++-=.5．已知P 是曲线y ＝x 2－3x 上一点，且曲线在点P 处的切线平行于x 轴，则点P 的坐标为_________．【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：39(,)24- 提示：设00(,)P x y ，00x x y ='=.6．已知函数()()f x x Q αα=∈.（1）当2α=时，求()f x 在1x =处的导数；（2）当1α=-时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程. 【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：（1）当2α=时，2()f x x =.由于22(1)(1)(1)12()y f x f x x x ∆=+∆-=+∆-=∆+∆，则2yx x∆=+∆∆，于是0(1)lim(2)2x f x ∆→'=+∆=.（2）当1α=-时，1()f x x=.00011(1)(1)11(1)lim lim lim 11x x x f x f x f x xx ∆→∆→∆→-+∆--+∆'====-∆∆+∆. 于是曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率1k =-，又(1)1f =从而曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=. 能力型师生共研7.已知函数f (x )的图象如图所示，下列数值的排序正确的是A ．0(1)(2)(2)(1)f f f f ''<<<-B ．0(2)(2)(1)(1)f f f f ''<<-<C ．0(2)(1)(2)(1)f f f f ''<<<-来:D ．0(1)(2)(1)(2)f f f f ''<<-<【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：D 提示：(1)f '，(2)f '分别表示曲线在点(1,(1))f ，(2,(2))f 处的切线斜率，而(2)(1)f f -表示过点(1,(1))f ，(2,(2))f 的直线的斜率.8．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线垂直的直线方程为__________．【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：230x y +-= 提示：曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线的斜率2k =，所以过P 与切线垂直的直线方程为12(1)2y x -=-+，即230x y +-=. 9．已知曲线31433y x =+.（1）求曲线在点(2,4)P 处的切线方程；（2）求曲线过点(2,4)P 的切线方程.【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：先求31433y x =+的导数y '.333322141411()()[()][33()]333333y x x x x x x x x x x x ∆=+∆+-+=+∆-=∆⋅+∆+∆则222220001[33()]13lim lim lim [33()]3x x x x x x x x y y x x x x x x x∆→∆→∆→∆⋅+∆+∆∆'===+∆+∆=∆∆（1）曲线在(2,4)P 的切线斜率24x k y ='==，从而切线方程为44(2)y x -=-，即440x y --=.（2）设切点为00(,)x y ，则020x x k y x ='==，所以切线方程为2000()y y x x x -=-，又3001433y x =+，切线过点(2,4)，所以3200144()(2)33x x x -+=-，解得：01x =-或02x =，所以切点为(1,1)-或(2,4)，故切线方程为11y x -=+或44(2)y x -=-，即切线方程为：20x y -+=或440x y --=.10．如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图象,请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况. 【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：（1）当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于t 轴.所以，在0t t =附近曲线比较平坦，几乎没有升降.（2）当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<.所以，在1t t =附近曲线下降，即函数()h t 在1t t =附近单调递减.（3）当2t t =时，曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<.所以，在2t t =附近曲线下降，即函数()h t 在2t t =附近单调递减.由图可知，直线1l 的倾斜程度小于2l 的倾斜程度，这说明曲线()h t 在1t 附近比2t 附近下降得缓慢. 探究型多维突破11.已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2 【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：选D ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2，故选D.12.已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．四、自助餐1．曲线212y x =在点1(1,)2P 处的切线方程为（） A ．102x y --=B ．302x y +-=C ．102x y -+= D ．302x y +-= 【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：A 提示：利用导数定义求出斜率，在用点斜式写切线方程.2．设0()0f x '=，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线（）A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴斜交【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：B3．设y ＝f (x )存在导函数，且满足0(1)(12)lim 12x f f x x∆→--∆=-∆，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为（）A ．2B ．－1C ．1D ．－2【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：B 提示：0(1)(12)lim (1)12x f f x f x∆→--∆'==-∆. 4．已知某物体的运动规律是221s t =+，则该物体在1t =到1t t =+∆这段时间内的平均速度为A ．4B ．4xC ．42t +∆D ．242()t +∆【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：C5．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于A ．2B ．4C ．6＋6Δx ＋2(Δx )2D ．6【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：D6．若f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：B 提示：∵f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，∴f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，又f ′(1)＝2，∴4a ＋2b ＝2，∴f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2.7．曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为（）A ．41y x =--B ．47y x =--C ．41y x =-D ．47y x =+【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：A8．已知函数1y ax x=+图像上各点处的切线斜率均小于1，则实数a 的取值范围是________.【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：1a ≤ 提示：由导数的定义可知：21y a x '=-，各点处切线斜率均小于1，于是211y a x '=-<，即211a x <+对于非零实数x 恒成立. 因为对于非零实数x ，2111x+>，所以1a ≤. 9．曲线y ＝ax 2－ax ＋1(a ≠0)在点(0,1)处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A.12 B ．－12 C.13 D ．－13【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：B 提示：∵y ＝ax 2－ax ＋1，∴y ′＝2ax －a ，∴y ′|x ＝0＝－a .又∵曲线y ＝ax 2－ax ＋1(a ≠0)在点(0,1)处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，∴(－a )·(－2)＝－1，即a ＝－12.10．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：因为f ′(x )＝x ′·[](x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[](x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[](x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋0＝a 1a 2…a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.11．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有正实数解．又∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，∴方程5ax 4＋1x ＝0有正实数解．∴5ax 5＝－1有正实数解．∴a <0.故实数a 的取值范围是(－∞，0)．12．已知函数3()7f x x x =-+.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）设点P 是曲线()y f x =上的任意一点.求曲线在点P 处的切线的倾斜角的取值范围.【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：3300()()()()7(7)()lim lim x x f x x f x x x x x x x f x x x∆→∆→+∆-+∆-+∆+--+'==∆∆ 3322200()lim lim (331)31x x x x x x x x x x x x∆→∆→+∆--∆==+⋅∆+∆-=-∆. （1）()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率(1)2k f '==，又(1)7f =，所以切线方程为72(1)y x -=-，即250x y -+=.（2）设00(,)P x y ，则曲线在点P 处的切线斜率为20311k x =-≥-，设在点P 处的切线的倾斜角为α，则tan 1α≥-，则02πα≤<或34παπ≤<. 13．曲线2:4C y x x =-+上两点(4,0)A ，(2,4)B .（1）求AB 所在直线的方程；（2）在曲线上是否存在一点C ，使曲线在点C 处的切线与直线AB 平行？若存在，求出点C 的坐标并求出曲线在点C 处的切线方程；若不存在，请说明理由.【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：（1）4224AB k ==--，直线AB 的方程为2(4)y x =--，即280x y +-=. （2）假设存在这样的点C ，并设C 点坐标为00(,)x y ，则在C 点的切线斜率为0()f x '，又220000000()()()4()(4)(42)f x x f x x x x x x x x x x x+∆--+∆++∆--+==-∆+-∆∆，所以0000()lim (42)42x f x x x x ∆→'=-∆+-=-，又由于曲线在C 处的切线与AB 平行，故曲线在点C 处的切线斜率00()422k f x x '==-=-，解得03x =，此时03y =，即存在点(3,3)C ，使曲线在点C 处的切线与直线AB 平行，所以曲线在点C 处的切线方程为32(3)y x -=--，即290x y +-=. 数学视野微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支科学.微积分的基本概念是函数、极限、导数、积分等，其中极限是微积分的基石.微积分是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分.微分是由联系到对曲线作切线的问题和函数的极大值、极小值问题而产生的.积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的.微积分的产生具有悠久的历史渊源.在中国，公元前4世纪，桓团、公孙龙等提出的“一尺之锤，日取其半，万世不竭”；公元3世纪刘微的“割圆术”和公元5~6世纪祖冲之、祖暅对圆周率、面积和体积的研究（祖冲之在刘微割圆术的基础上首先计算出了精确到小数点后7位的圆周率的近似值，他还相当精确的计算了球的体积），都包含着微积分概念的萌芽.在欧洲，公元前3世纪欧几里得在几何《原本》中对不可约量及面积与体积的研究，公元前3世纪阿基米德对面积及体积的进一步研究（穷竭法），也都包含上述萌芽.十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作.此后柯西与魏尔斯特拉斯等人又对微积分进行了完善.。

高中数学 1.1变化率与导数要点讲解新人教A版选修2-2

变化率与导数要点讲解一、求导的基本方法——导数极限定义函数y =f (x )在点x 0的导数，正好就等于函数曲线在点M （x 0，f （x 0））的切线斜率. 我们看看这个结论是如何得出的.右边这个图，在x 0右边距离为△x 的地方另取一点，那么曲线上相应的点M 1的坐标为（x 0+△x ，f （x 0+△x ）），我们将点M 和M 1连起来，得到一条直线，我们称之为“割线”，显然它不是我们所要的切线.这条割线的斜率是多少呢？割线MM 1的斜率=xx f x x f x x y y ∆-∆+=--)()(000101 请注意，如果这时我们沿着曲线f （x ）移动点M 1，使它逐渐接近点M （也就是让△x 缩小，最后变成0），割线MM 1就会逐步移动，渐渐靠近切线MT ，向切线MT 逼近.从图中可以看出，当M 1沿着曲线逐渐向M 靠拢时，MM 1的斜率也会向MT 的斜率逐渐靠近. 我们可以把上面这句话写成：当△x →0，MM 1的斜率→MT 的斜率.用式子表示：切线MT 的斜率=xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000 这就是导数的定义.△x 中在x 前面的那个三角形，是一个大写希腊字母，读作delta ，相当于英文字母的D.据说牛顿年轻的时候，由于先天有某种障碍缺陷，无法精通某种秘密的握手方式，结果不幸因此被一个名称中带△的兄弟会拒绝了他的入会申请.当时他当然非常失望，他后来幽默地用了这个让他毕生最伤心的字母，作为他一生最伟大的成就（微积分）的基石.他用△x 这个符号，来代表x 的微小变化.导数的定义还可以有其他形式，比如用h 替代△x ：hx f h x f x f h )()(lim )(0000-+='→ 还可以用x 替代x 0，得到： x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0我们假设x x x =∆+0，这样，当△x →0，就相当于x →x 0，可以把式子改写成： 00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→从外表看，似乎跟原来的定义不一样了，但实质是一回事.什么时候我们会用到导数的极限定义去计算导数呢？只有在考核对导数定义的理解时才会遇到，平时是不会用到的. 二、导数几何意义的应用函数y ＝f(x)在点x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f(x)在点P(x 0，y 0)处的切线的斜率.它把函数的导数与曲线的切线联系在一起，使导数成为函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体.因此，用导数解决与切线有关的问题将是高考命题的一个热点.导数几何意义的应用涉及如下几类问题.一、切线的夹角问题例1已知抛物线y ＝x 2﹣4与直线y ＝x ＋2相交于A 、B 两点，过A 、B 两点的切线分别为l 1和l 2.(1)求直线l 1与l 2的夹角.解析：由方程组⎩⎨⎧ y ＝x 2﹣4y ＝x ＋2，解得A (－2，0)，B (3，5)，由y '＝2x ，则y '|x ＝－2＝﹣4，y '|x ＝3＝6，设两直线的夹角为θ，根据两直线的夹角公式，tan θ＝|－4－61＋(－4)×6|＝1023,所以θ＝arctan 1023. 点拨：解答此类问题分两步：第一步根据导数的几何意义求出曲线两条切线的斜率；第二步利用两条直线的夹角公式求出结果(注意两条直线的夹角公式有绝对值符号).二、两条曲线的公切线问题例2已知抛物线C 1：y ＝x 2＋2x 和C 2：y ＝－x 2＋a .如果直线l 同时是C 1和C 2的切线，称直线l 是C 1和C 2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.(1)a 取什么值时，C 1和C 2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；(2)若C 1和C 2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.解析：(1)函数y ＝x 2＋2x 的导数y '＝2x ＋2，曲线C 1在点P (x 1，x 21＋2x 1)处的切线方程是y －(x 21＋2x 1)＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y ＝(2x 1＋2)x －x 21…①，函数y ＝－x 2＋a 的导数y '＝－2x ，曲线C 2在点Q (x 2，－x 22＋a )处的切线方程是y －(－x 22＋a )＝－2x 2(x －x 2)，即y ＝－2x 2x ＋x 22＋a ，…② 如果直线l 是过P 和Q 的公切线，则①式和②式都是直线l 的方程，所以⎩⎨⎧ x 1＋1＝－x 2－x 21＝x 22＋a ，消去x 2得方程2x 21＋2x 1＋1＋a ＝0. 当判别式△＝4－4×2(1＋a )＝0时，即a ＝－12时，解得x 1＝－12，此时点P 和Q 重合，即当a ＝－12时，C 1和C 2有且仅有一条公切线，由①得公切线的方程为y ＝x －14. （Ⅱ）证明：略点拨：解答此类问题分三步：第一步分别在两条曲线设出切点，并求出切线方程；第二步根据两个切线方程表示同切线，利用直线重合的条件建立一个二次方程；第三步根据切线的唯一性，结合判别式为零求出结果.。

人教A版高中数学选修2-2课件：1.1.1《变化率与导数变化率问题》(新).pptx

当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数 f ( x) 无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数 f ( x) 的极限是a，记作
lim f ( x) a
x
也可记作: 当 x 时，f ( x) a
函数的极限
如果 lim x
f ( x) a且 lim x
f (x) a
那就是说当x 趋向于
无穷大时，函数 f ( x)的极限是a ，记作
lim f ( x) a
x
也可记作: 当 x 时，f ( x) a
对于常数函数
f (x) C(x R) 也有
lim f (x) C
x
函数的极限
自变量x的变化趋势
f ( x) 值的变化趋势
x取正值并且无限增大
f ( x) 无限趋近于常数a
当自变量x取正值并无限增
O
x
大时，函数 y 1 的值无限趋近 x
于0，即|y-0|可以变得任意小．
当x 趋向于正无穷大时，函数
y
1 x
的极限是0，记作 lim x
1 x
0
x 1 10 100 1000 10000 100000 ···
y 1 0.1 0.01 0.00 0.0001 0.00001 ··· 1
k (1 x )3 13 3 3x (x )2 3 3 0.1 0.12 3.31 (1 x ) x
A3
B 3Δx-(Δx)2
C 3-(Δx)2 D 3-Δx
• 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+Δx
练习：
1.质点运动规律s=t2 +3,则在时间(3,3+t)中
相应的平均速度为( A )

高二数学选修2-2课件：1.1 变化率与导数3

lim x0
y
x.
4.导数f′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的
瞬时变化率，这是导数的代数意义。
第三页，编辑于星期一：一点二十三分。
5.平均变化率及几何意义
函数y=f(x)的定义域D，x1，x2∈D，f(x)
从x1到x2平均变化率为:
y
y=f(x)
y f (x2 ) f (x1) f(x2)

x
x2 x1
B
f(x2)-f(x1)=△y
表示割线AB 的斜率
f(x1) O
A
x
x1 x2
x2-x1=△x
第四页，编辑于星期一：一点二十三分。
1、导数的几何意义
y
y=f(x)
Q
割 QP
线
T x 0
切线
P
PQ PT
割
切
线
线
o
x
f (x0 )表示曲线在点 P(x0 , f (x0 )处)
的切线的斜率. 第五页，编辑于星期一：一点二十三分。
例1、求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
切线方程为y-2=2(x-1) 即y=2x.
求曲线在某点处的切线方程的步骤: ①利用导数求切线的斜率; ②利用点斜式求切线方程.
第六页，编辑于星期一：一点二十三分。
练习:如图已知曲线 y 1上x3点 3
（1）求曲线在点P处的切线方程;
练习：已知直线l1为抛物线y＝x2＋x－2
在点A(1，0)处的切线，l2为该抛物线的另一条切线，且l1⊥l2，求直线l1和l2的方程.
l1：y＝3x－3.
l2 : y
1 x 22 39

高中数学 1.1变化率与导数要点讲解新人教a版选修2-2

变化率与导数要点讲解一、求导的基本方法——导数极限定义函数y =f (x )在点x 0的导数，正好就等于函数曲线在点M （x 0，f （x 0））的切线斜率. 我们看看这个结论是如何得出的.右边这个图，在x 0右边距离为△x 的地方另取一点，那么曲线上相应的点M 1的坐标为（x 0+△x ，f （x 0+△x ）），我们将点M 和M 1连起来，得到一条直线，我们称之为“割线”，显然它不是我们所要的切线. 这条割线的斜率是多少呢？割线MM 1的斜率=xx f x x f x x y y ∆-∆+=--)()(000101 请注意，如果这时我们沿着曲线f （x ）移动点M 1，使它逐渐接近点M （也就是让△x 缩小，最后变成0），割线MM 1就会逐步移动，渐渐靠近切线MT ，向切线MT 逼近. 从图中可以看出，当M 1沿着曲线逐渐向M 靠拢时，MM 1的斜率也会向MT 的斜率逐渐靠近. 我们可以把上面这句话写成：当△x →0，MM 1的斜率→MT 的斜率.用式子表示：切线MT 的斜率=xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000 这就是导数的定义.△x 中在x 前面的那个三角形，是一个大写希腊字母，读作delta ，相当于英文字母的D.据说牛顿年轻的时候，由于先天有某种障碍缺陷，无法精通某种秘密的握手方式，结果不幸因此被一个名称中带△的兄弟会拒绝了他的入会申请.当时他当然非常失望，他后来幽默地用了这个让他毕生最伤心的字母，作为他一生最伟大的成就（微积分）的基石.他用△x 这个符号，来代表x 的微小变化.导数的定义还可以有其他形式，比如用h 替代△x ：hx f h x f x f h )()(lim )(0000-+='→ 还可以用x 替代x 0，得到： x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0我们假设x x x =∆+0，这样，当△x →0，就相当于x →x 0，可以把式子改写成： 00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→从外表看，似乎跟原来的定义不一样了，但实质是一回事.什么时候我们会用到导数的极限定义去计算导数呢？只有在考核对导数定义的理解时才会遇到，平时是不会用到的.二、导数几何意义的应用函数y ＝f(x)在点x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f(x)在点P(x 0，y 0)处的切线的斜率.它把函数的导数与曲线的切线联系在一起，使导数成为函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体.因此，用导数解决与切线有关的问题将是高考命题的一个热点.导数几何意义的应用涉及如下几类问题.一、切线的夹角问题例1已知抛物线y ＝x 2﹣4与直线y ＝x ＋2相交于A 、B 两点，过A 、B 两点的切线分别为l 1和l 2.(1)求直线l 1与l 2的夹角.解析：由方程组⎩⎨⎧ y ＝x 2﹣4y ＝x ＋2，解得A (－2，0)，B (3，5)，由y '＝2x ，则y '|x ＝－2＝﹣4，y '|x ＝3＝6，设两直线的夹角为θ，根据两直线的夹角公式，tan θ＝|－4－61＋(－4)×6|＝1023,所以θ＝arctan 1023. 点拨：解答此类问题分两步：第一步根据导数的几何意义求出曲线两条切线的斜率；第二步利用两条直线的夹角公式求出结果(注意两条直线的夹角公式有绝对值符号).二、两条曲线的公切线问题例2已知抛物线C 1：y ＝x 2＋2x 和C 2：y ＝－x 2＋a .如果直线l 同时是C 1和C 2的切线，称直线l 是C 1和C 2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.(1)a 取什么值时，C 1和C 2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；(2)若C 1和C 2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.解析：(1)函数y ＝x 2＋2x 的导数y '＝2x ＋2，曲线C 1在点P (x 1，x 21＋2x 1)处的切线方程是y －(x 21＋2x 1)＝ (2x 1＋2)(x －x 1)，即y ＝(2x 1＋2)x －x 21…①，函数y ＝－x 2＋a 的导数y '＝－2x ，曲线C 2在点Q (x 2，－x 22＋a )处的切线方程是y －(－x 22＋a )＝－2x 2(x －x 2)，即y ＝－2x 2x ＋x 22＋a ，…② 如果直线l 是过P 和Q 的公切线，则①式和②式都是直线l 的方程，所以⎩⎨⎧ x 1＋1＝－x 2－x 21＝x 22＋a ，消去x 2得方程2x 21＋2x 1＋1＋a ＝0. 当判别式△＝4－4×2(1＋a )＝0时，即a ＝－12时，解得x 1＝－12，此时点P 和Q 重合，即当a ＝－12时，C 1和C 2有且仅有一条公切线，由①得公切线的方程为y ＝x －14. （Ⅱ）证明：略点拨：解答此类问题分三步：第一步分别在两条曲线设出切点，并求出切线方程；第二步根据两个切线方程表示同切线，利用直线重合的条件建立一个二次方程；第三步根据切线的唯一性，结合判别式为零求出结果.。

数学：111《变化率与导数讲义变化率问题》课件(新人教A版选修2-2)

• 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r(1 )r(0 )0 .6 2 (d m )
气球的平均膨胀率为 r(1)r(0)0.62(dm/L)
10
• 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r(2 )r(1 )0 .1 6 (d m )
气球的平均膨胀率为 r(2)r(1)0.16(dm/L 显)然
21
0.62>0.16
• 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
1.1.1变化率问题
• 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度 ,如何描述这种现象呢?
253t
总结：
• 1.函数的平均变化率
f
(x) x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
• 2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δy=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率
f f(x2 ) f ( x1)
x
x2 x1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒
数学：111《变化率与导数变化率
教学目标
• 了解函数的平均变化率 • 教学重点： • 函数的平均变化率与导数
1.1.1变化率问题
导数研究的问题变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．
微积分主要与四类问题的处理相关:
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等;