动态规划石子合并问题

动态规划石子合并问题
【石子合并】
在一个圆形操场的四周摆放着n 堆石子。

现要将石子有次序地合并成一堆。

规定每次只能选相邻的2 堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。

试设计一个算法，计算出将n堆石子合并成一堆的最小得分和最大得分。

【输入文件】
包含两行，第1 行是正整数n（1<=n<=100），表示有n堆石子。

第2行有n个数，分别表示每堆石子的个数。

【输出文件】
输出两行。

第1 行中的数是最小得分；第2 行中的数是最大得分。

【输入样例】
4
4 4
5 9
【输出样例】
43
54
【分析】
本题初看以为可以使用贪心法解决问题，但是事实上因为有必须相邻两堆才能合并这个条件在，用贪心法就无法保证每次都能取到所有堆中石子数最多的两堆。

例如下面这个例子：
6
3 4 6 5 4 2
如果使用贪心法求最小得分，应该是如下的合并步骤：
第一次合并3 4 6 5 4 2 2,3合并得分是５
第二次合并5 4 6 5 4 5,4合并得分是9
第三次合并9 6 5 4 5,4合并得分是9
第四次合并9 6 9 9,6合并得分是15
第五次合并15 9 15,9合并得分是24
总得分＝5＋9＋9＋15＋24＝62
但是如果采用如下合并方法，却可以得到比上面得分更少的方法：
第一次合并3 4 6 5 4 2 3,4合并得分是7
第二次合并7 6 5 4 2 7,6合并得分是13
第三次合并13 5 4 2 4,2合并得分是6
第四次合并13 5 6 5,6合并得分是11
第五次合并13 11 13,11合并得分是24
总得分＝7＋13＋6＋11＋24＝61
由此我们知道本题是不可以使用贪心法求解的，上例中第五次合并石子数分别为13和11的相邻两堆。

这两堆石头分别由最初的第1，2，3堆（石头数分别为3，4，6）和第4，5，6堆（石头数分别为5，4，2）经4次合并后形成的。

于是问题又归结为如何使得这两个子序列的N－2次合并的得分总和最优。

为了实现这一目标，我们将第１个序列又一分为二：第１、２堆构成子序列１，第３堆为子序列２。

第一次合并子序列１中的两堆，得分７；第二次再将之与子序列２的一堆合并，得分13。

显然对于第１个子序列来说，这样的合并方案是最优的。

同样，我们将第２个子序列也一分为二；第４堆为子序列１，第５，６堆构成子序列２。

第三次合并子序列２中的２堆，得分６；第四次再将之与子序列１中的一堆合并，得分13。

显然对于第二个子序列来说，这样的合并方案也是最优的。

由此得出一个结论──６堆石子经过这样
的５次合并后，得分的总和最小。

动态规划思路：
阶段i：石子的每一次合并过程，先两两合并，再三三合并，...最后N堆合并
状态s：每一阶段中各个不同合并方法的石子合并总得分。

决策：把当前阶段的合并方法细分成前一阶段已计算出的方法，选择其中的最优方案
具体来说我们应该定义一个数组s[i,j]用来表示合并方法，i表示从编号为i的石头开始合并，j表示从i开始数j堆进行合并，s[i,j]为合并的最优得分。

对于上面的例子来说，初始阶段就是s[1,1],s[2,1],s[3,1],s[4,1],s[5,1],s[6,1]，因为一开始还没有合并，所以这些值应该全部为0。

第二阶段：两两合并过程如下，其中sum(i,j)表示从i开始数j个数的和
s[1,2]=s[1,1]+s[2,1]+sum(1,2)
s[2,2]=s[2,1]+s[3,1]+sum(2,2)
s[3,2]=s[3,1]+s[4,1]+sum(3,2)
s[4,2]=s[4,1]+s[5,1]+sum(4,2)
s[5,2]=s[5,1]+s[6,1]+sum(5,2)
s[6,2]=s[6,1]+s[1,1]+sum(6,2)
第三阶段：三三合并可以拆成两两合并，拆分方法有两种，前两个为一组或后两个为一组s[1,3]=s[1,2]+s[3,1]+sum(1,3)或s[1,3]=s[1,1]+s[2,2]+sum(1,3)，取其最优
s[2,3]=s[2,2]+s[4,1]+sum(2,3)或s[1,3]=s[2,1]+s[3,2]+sum(2,3)，取其最优
.
.
.
第四阶段：四四合并的拆分方法用三种，同理求出三种分法的得分，取其最优即可。

以后第五阶段、第六阶段依次类推，最后在第六阶段中找出最优答案即可。

由此得到算法框架如下：
For j←2 to n do {枚举阶段，从两两合并开始计算}
For i←1 to n do {计算当前阶段的n种不同状态的值}
For k←1 to j-1 do {枚举不同的分段方法}
begin
If i+k>n then t←(i+k) mod n else t←i+k {最后一个连第一个的情况处理}
s[i,j]←最优{s[i,k]+s[t,j-k]+sum[1,3]} {sum[i,j]表示从i开始数j个数的和}
end;
var
n:integer;
a:array[1..100] of longint;
s:array[1..100,1..100] of longint;
t:array[0..100,0..100] of longint;
i,j,k,temp,max,min:longint;
begin
assign(input,'shizi.in');
reset(input);
readln(n);
fillchar(t,sizeof(t),0); {计算和数组}
for i:=1 to n do
read(a[i]);
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
for k:=i to i+j-1 do
begin
if k>n then temp:=k mod n else temp:=k;
t[i,j]:=t[i,j]+a[temp];
end;
{动态规划求最大得分}
fillchar(s,sizeof(s),0);
for j:=2 to n do
for i:=1 to n do
for k:=1 to j-1 do
begin
if i+k>n then temp:=(i+k) mod n else temp:=i+k; {处理环形问题} max:=s[i,k]+s[temp,j-k]+t[i,j];
if s[i,j]<max then s[i,j]:=max;
end;
max:=0; {在最后的阶段状态中找最大得分}
for i:=1 to n do
if max<s[i,n] then max:=s[i,n];
{动态规划求最小得分}
fillchar(s,sizeof(s),0);
for j:=2 to n do
for i:=1 to n do
begin
min:=maxlongint;
for k:=1 to j-1 do
begin
if i+k>n then temp:=(i+k) mod n else temp:=i+k; {处理环形问题} s[i,j]:=s[i,k]+s[temp,j-k]+t[i,j];
if min>s[i,j] then min:=s[i,j];
end;
s[i,j]:=min;
end;
min:=maxlongint; {在最后的阶段状态中找最小得分}
for i:=1 to n do
if min>s[i,n] then min:=s[i,n];
writeln(max);
writeln(min);
end.。