高中数学必修4(人教A版)第二章平面向量2.3知识点总结含同步练习及答案
高中数学第二章平面向量新人教A版必修4
平面向量
一、选择题
1．下列命题中正确的是 ( )
( A ) 两个相等的向量的起点，方向，长度必须都相同
( B) 若 a， b 是两个单位向量，则 a＝ b
( C) 若向量 a 和 b 共线，则向量 a， b 的方向相同
( D) 零向量的长度为 0，方向是任意的
2．如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是 ( )
( A )
( C)
AB DC
AB AD BD
( B )
( D )
AD AB AC
AD CB 0
3．在四边形 ABCD 中， CB AB BA ( )
(A) DB (B) CA
(C) CD (D) DC
4．已知 a， b 为非零向量，且｜ a＋ b｜＝ | a| ＋ | b| ，则一定有 ( )
( A ) a＝ b ( B ) a∥b，且 a，b 方向相同
( C) a＝－ b ( D ) a∥b，且 a，b 方向相反
5．化简下列向量： ( 1) AB BC CA (2) AB AC BD CD
(3) FQ QP EF EM (4) OA OB AB，结果为零向量的个数是 ( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
二、填空题
6．对于下列命题
①相反向量就是方向相反的向量 ②不相等的向量一定不平行 ③相等的向量一定共线
④共线的单位向量一定相等 ⑤共线的两个向量一定在同一条直线上
其中真命题的序号为 ______．
7．若某人从 A 点出发向东走 3 km 至点 B，从点 B 向北走 3 3 km 至点 C，则点 C 相对于
用心 爱心 专心
点 A 的位置向量为 ______．
高中数学必修4(人教B版)第二章平面向量2.3知识点总结含同步练习题及答案
描述：
例题：高中数学必修4(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 平面向量 2.3 平面向量的数量积
一、学习任务
1. 了解平面向量数量积的含义及其物理意义．
2. 掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；能利用数量积表示两个向量夹角的
余弦，会用数量积判断两个非零向量是否垂直．
二、知识清单
平面向量的数量积与垂直 平面向量的坐标运算
三、知识讲解
1.平面向量的数量积与垂直
平面向量的数量积
已知两个非零向量 与，我们把数量 叫做 与 的数量积
（
inner
product）（或内积），记作 ，即 ，其中 是 与 的夹
角，（）叫做向量 在（在）方向上的投影．一个向量在另一个向量
方向上的投影，可正，可负，可为零．
零向量与任一向量的数量积为 ．
向量数量积的运算律
（交换律）；
（分配律）；
（数乘结合律）．a→
b→
cosθ ∣
∣∣a→∣
∣∣∣
∣∣b→∣
∣∣a→
b→
⋅a→
b→
⋅=cosθa→
b→
∣
∣∣a→∣
∣∣∣
∣∣b→∣
∣∣ θ a→
b→
cosθ∣
∣∣a→∣
∣∣cosθ∣
∣∣b→∣
∣∣a→
b→
b→
a→
0
⋅=⋅a→
b→
b→
a→
(+)⋅=⋅+⋅a→
b→
c→
a→
c→
b→
c→
(λ)⋅=(λ)=λ(⋅)a→
b→
a→
b→
a→
b→
在 中，，则三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不确定
解：B
因为 ，所以 ，所以 ，所以
，所以三角形是钝角三角形．△ABC⋅>0AB−→−
BC−→−
⋅=||⋅||⋅cos(π−B)>0AB−→−
BC−→−
AB−→−
BC−→−
cos(π−B)>0cosB<0
B>90∘
已知 ，，向量 与 的夹角为 ．
求： ① ；② ；||=4a→
||=5b→
a→
b→
π
3
⋅a→
b→
(+)⋅(+)a→
b→
a→
b→
→→→→
③ ；④ ；
解：① ．
② ．
③ ．
④ ．(+)⋅(+)
⋅−⋅a→
a→
b→
b→
(2+3)⋅(3−2)a→
b→
a→
b→
⋅=||⋅||⋅cos=4×5×=10a→
b→
高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义第二章2.22.2.3向量数乘运算及其几何意义含答案
高中数学 2．2.3 向量数乘运算及其几何意义
预习课本P87～90，思考并完成以下问题
(1)向量数乘的定义及其几何意义是什么？
(2)向量数乘运算满足哪三条运算律？
(3)向量共线定理是怎样表述的？
(4)向量的线性运算是指的哪三种运算？
[新知初探]
1．向量的数乘运算
(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；
当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．
(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：
①λ(μa)＝(λμ)a；
②(λ＋μ)a＝λa＋μa；
③λ(a＋b)＝λa＋λb；
特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；
λ(a－b)＝λa－λb.
[点睛] (1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无法运算．
(2)λa的结果为向量，所以当λ＝0时，得到的结果为0而不是0.
2．向量共线的条件
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
高中数学 [点睛] (1)定理中a是非零向量，其原因是：若a＝0，b≠0时，虽有a与b共线，但不存在实数λ使b＝λa成立；若a＝b＝0，a与b显然共线，但实数λ不唯一，任一实数λ都能使b＝λa成立．
(2)a是非零向量，b可以是0，这时0＝λa，所以有λ＝0，如果b不是0，那么λ是不为零的实数．
3．向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)λa的方向与a的方向一致．( )
(2)共线向量定理中，条件a≠0可以去掉．( )
(3)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b.( )
人教版高二必修四数学第二章平面向量试题
以下是为⼤家整理的关于《⼈教版⾼⼆必修四数学第⼆章平⾯向量试题》的⽂章，供⼤家学习参考！
第四部分 练习与试卷2.1 平⾯向量的概念及其线性运算（练习）
【练习⽬标】1、理解平⾯向量和向量相等的含义，理解向量的⼏何表⽰；
2、掌握向量加、减法的运算，并理解其⼏何意义；
3、掌握向量数乘的运算，并理解其⼏何意义，以及两个向量共线的含义；
4、了解向量线性运算的性质及其⼏何意义。
【⾃我测试】1、下列命题中
（1） 与 ⽅向相同
（2） 与 ⽅向相反
（3） 与 有相等的模
（4）若 与 垂直
其中真命题的个数是 ( )A、0 B、1 C、2 D、3
2、 已知AD、BE是 ABC的边BC、AC上的中线，且 ， ，
则 为 ( )A、 B、 C、 D、
3、O是平⾯上⼀定点，A、B、C是平⾯上不共线的三个点，动点P满⾜ ，则P的轨迹⼀定经过 ABC的( )
A、外⼼ B、内⼼ C、垂⼼ D、重⼼
4、若⾮零向量 、 满⾜| + |=| — |，则 与 所成⾓的⼤⼩为_________________。
5、已知点M是 ABC的重⼼，若 ，求 的值。
6、 ABC的外接圆的圆⼼为O，两条边上的⾼的交点为H， ，求实数 的值。
2.2 平⾯向量的坐标运算
【练习⽬标】1、知识与技能：了解平⾯向量的基本定理及其意义、掌握平⾯向量的正交分解及其坐标表⽰；理解⽤坐标表⽰的平⾯向量共
线的条件。2、能⼒⽬标：会⽤坐标表⽰平⾯向量的加、减与数乘运算；
3、情感⽬标：通过对平⾯向量的基本定理来理解坐标，实现从图形到坐标的转换过程，锻炼学⽣的转化能⼒。
【⾃我测试】1、下列命题正确的是 （ ）
A、 B、
C、 D、
2、已知正⽅形ABCD的边长为1， ，则 = （ ）
A、0 B、3 C、 D、
3、已知 ，则 共线的条件是 （ ）
A、 B、 C、 D、 或
4、如图，在 中D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则 （ ）
A、 B、 C、 D、
5、若 ，则实数p、q的值为 （ ）
高一数学必修4同步练习：2-3-1平面向量基本定理
2-3-1平面向量基本定理
一、选择题
1．如上图，设O是▱ABCD两对角线的交点，有下列向量组：①AD→与AB→；②DA→与BC→；③CA→与DC→；④OD→与OB→.其中可作为该平面内所有向量基底的是( )
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
[答案] B
[解析] AD→与AB→不共线，DA→∥BC→，CA→与DC→不共线，OD→∥OB→，则①③可以作为该平面内所有向量的基底．
2．如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是( )
A．已知实数λ1，λ2，则向量λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内
B．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
C．若有实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
D．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2不一定存在
[答案] C
[解析] 选项A中，由平面向量基本定理知λ1e1＋λ2e2与e1，e2共面，所以A项不正确；选项B中，实数λ1，λ2有且仅有一对，所以B项不正确；选项D中，实数λ1，λ2一定存在，所以D项不正确；很明显C项正确．
3．在四边形ABCD中，AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．梯形 D．菱形
[答案] C
[解析] ∵AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC→，即AD→＝2BC→，
∴AD∥BC且AD≠BC，故选C.
4．e1，e2为基底向量，已知向量AB→＝e1－ke2，CB→＝2e1－e2，CD→＝3e1－3e2，若A、B、D三点共线，则k的值是( )
A．2 B．－3 C．－2 D．3
[答案] A
[解析] DB→＝CB→－CD→＝－e1＋2e2，又A、B、D三点共线，则DB→和AB→是共线向量，
高中数学必修四第二章平面向量课后习题Word版(2021年整理)
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【必修4】 第二章平面向量
2.1 练习
1、画有向线段,分别表示一个竖直向上,大小为18N的力和一个水平向左、大小为28N的力（1cm长表示10N）.
2、非零向量AB的长度怎样表示？非零向量BA的长度怎样表示？这两个向量的长度相等吗？这两个向量相等吗？
3、指出图中各向量的长度.
4、(1）用有向线段表示两个相等的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？
（2）用有向线段表示两个方向相同但长度不同的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？
2.2.1 练习
1、如图，已知ba，,用向量加法的三角形法则作出ba。 (完整)高中数学必修四第二章平面向量课后习题Word版(word版可编辑修改)
2、如图，已知ba，，用向量加法的平行四边形法则作出ba.
3、根据图示填空：
（1）________;da
（2）.________bc
4、根据图示填空:
（1）________;ba
（2）________;dc
(典型题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(有答案解析)
一、选择题
1．如图，B是AC的中点，2BEOB，P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，且,OPxOAyOBxyR，则下列结论正确的个数为（ ）
①当0x时，2,3y
②当P是线段CE的中点时，12x，52y
③若xy为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
④xy的最大值为1
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（ ）
A． B． C． D．
3．若12,ee是夹角为60的两个单位向量，则向量1212,2aeebee的夹角为（ ）
A．30 B．60
C．90 D．120
4．在AOB中，0,5,25,OAOBOAOBAB边上的高为,ODD在AB上，点E位于线段OD上，若34OEEA，则向量EA在向量OD上的投影为（ ）
A．12或32
B．1 C．1或12 D．32
5．已知1a，2a，1b，2b，*kbkN是平面内两两互不相等的向量，121aa，且对任意的1,2i 及1,2,,jk，1,2ijab，则k最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．在矩形ABCD中，|AB|＝6，|AD|＝3.若点M是CD的中点，点N是BC的三等分点，且BN＝13BC，则AM·MN＝（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2 7．已知正方形ABCD的边长为2，EF为该正方形内切圆的直径，P在ABCD的四边上运动，则PEPF的最大值为（ ）
A．2 B．1 C．2 D．22
8．已知向量,ab满足2(1,2),(1,)abmbm，且a在b方向上的投影是255，则实数m（ ）
A．2 B．2 C．5
D．5
9．已知两个非零向量a，b的夹角为23，且=2ab，则·ab的取值范围是（ ）
A．2,03 B．2,0
2020学年高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案新人教A版必修4
2.3.1平面向量基本定理
一、三维目标:
知识与技能:（1）了解平面向量基本定理及其意义(2)学会用平面内两不共线向量表示平面内任一向量。
过程与方法:通过平面向量基本定理得出的过程，体会由特殊到一般的方法，培养学生“数”与“形”相互转化的思想方法。
情感态度与价值观:通过本节课的教学，培养学生严肃认真的科学态度与积极探索的良好学习品质。
二、学习重、难点：
重点：掌握用平面内两不共线向量表示平面内任一向量的方法。
难点：平面向量在给定基向量上分解的唯一性。
三、学法指导：
探究学习——本节课的教学内容是在学生已经学过向量加法与减法，以及平面向量线性运算的基础上，通过研究向量的分解，探究平面向量基本定理，为向量的坐标运算构建理论基础。
四、知识链接:
由平面向量的几何表示可知，平面向量a、b的关系：①共线②不共线。若a=o，则b与a共线。若a≠o，则b与a共线有且只有一个实数，b=a。
五、学习过程: (一) 平面向量基本定理：
B问题1.1e、2e不共线，1e、2e中能否有零向量？a与1e、2e的关系可能有几种情况？
B问题2.a与1e、2e都不共线，a能否用1e、2e表示呢？
A问题3.平面向量基本定理: _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
说明：⑴不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
⑵同一平面可以有不同的基底，关键是不共线的向量才可以作为基底；
⑶由此定理可将任一向量a对给定的基底e1、e2进行分解，并且这种分解的形式唯一确定。
数学人教A版必修4达标训练： 2.3.1平面向量基本定理
更上一层楼
基础•巩固
1.已知如图2-3-8,ABCDEF是正六边形，且AB=a，AE=b，则BC等于( )
图2-3-8
A.21(a-b) B.21(b-a) C.a+21b D.21(a+b)
思路分析:连结AD，则AEABAD=a+b，∴BC=21AD=21 (a+b).
答案:D
2.如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么 ( )
A.若实数λ1、λ2使λ1e1+λ2e2=0，则λ1=λ2=0
B.空间任一向量a可以表示为a=λ1e1+λ2e2，这里λ1、λ2是实数
C.对实数λ1、λ2，λ1e1+λ2e2不一定在平面α内
D.对平面α中的任一向量a，使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1、λ2有无数对
思路分析:平面α内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；C中的向量λ1e1+λ2e2一定在平面α内；而对平面α中的任一向量a，实数λ1、λ2是唯一的.
答案:A
3.下面给出了三个命题：
①非零向量a与b共线，则a与b所在的直线平行；
②向量a与b共线的条件是当且仅当存在实数λ1、λ2，使得λ1a=λ2b；
③平面内的任一向量都可用其他两个向量的线性组合表示.
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
思路分析:命题①两共线向量a与b所在的直线有可能重合；命题③平面内的任一向量都可用其他两个不共线向量的线性组合表示.故①③都不正确.
答案:B
4.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则AP等于( )
A.λ(AB+AD)，λ∈(0，1) B.λ(AB+BC)，λ∈(0，22)
【人教A版】高中数学同步辅导与检测必修4第二章2.3-2.3.4平面向量共线的坐标表示
高中数学 第二章 平面向量
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，那么2a－b＝( )
A．(4，0) B．(0，4)
C．(4，－8) D．(－4，8)
解析：由a∥b知4＋2m＝0，所以m＝－2，2a－b＝(2，－4)－(m，4)＝(2－m，－8)＝(4，－8)．
答案：C
2．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝12，－34
解析：A中向量e1为零向量，所以e1∥e2；C中e1＝12e2，所以e1∥e2；
D中e1＝4e2，所以e1∥e2.
答案：B
3．如果向量a＝(k，1)，b＝(4，k)共线且方向相反，则k等于( )
高中数学 A．±2 B．2 C．－2 D．0
解析：由a，b共线得k2＝4，又两个向量的方向相反，故
k＝－2.
答案：C
4．若a＝32，sin α，b＝cos α，13，且a∥b，则锐角α为( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析：因为a＝32，sin α，b＝cos α，13，
a∥b，所以32×13－sin α·cos α＝0，
即sin α·cos α＝12.
把α＝30°，45°，60°.75°代入验证可知45°能使它成立．
答案：B
5．已知向量a＝(x，2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为( )
A．－3 B．2
C．4 D．－6
解析：因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3，1)，a－2b＝(x－6，4)，所以4(x＋3)－(x－6)＝0，解得x＝－6.