九年级数学上册第22章二次函数22.1二次函数的图象和性质第3课时课件新版新人教版
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人教版九年级数学上册《二次函数图像与性质》课件(共14张PPT)
相同点：开口：向上， 顶点：原点（0,0）——最低点 对称轴： y 轴
增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
8 6
y 2x2
பைடு நூலகம்
不同点：a 值越大，抛物线的开 口越小．
4 2 －4 －2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数 yx2,y1x2,y2x2 的图象，并考虑这些抛物 2
|a|越大,抛物线的开口越小;
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2
a>0
a<0
图象
(0,0)最低点
开口方向 开口向上
开口向下
对称轴 对称轴是y轴，即直线x＝0
顶点
顶点坐标是原点（0，0）
最值 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0
增减性
当x<0时，y随x的增大而减小 当x<0时，y随x的增大而
1
2
3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.连线 如图，再用平滑曲线顺次
9
连接各点，就得到y = x2 的图象
．
6
y = x2
3
－3
3
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中 所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
当x>0时，y随x的增大而增大
增大；当x>0时，y随x的 增大而减小
|a|越大,抛物线的开口越小;
人教版初中数学九年级上册精品教学课件 第22章 二次函数 二次函数y=ax2的图象和性质
1
2
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5
6
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6.已知A(-1,y1),B(-2,y2),C(3,y3)三点都在二次函数y=-
1 2
x2的图象上,
则y1,y2,y3的大小关系是
.
y3<y2<y1
关闭
答案
快乐预习感知
1
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7.已知函数y=ax2(a≠0)的图象与函数y=2x-3的图象交于点(1,b). (1)试求a和b的值; (2)求函数y=ax2的解析式,并求其图象的顶点坐标和对称轴; (3)x取何值时,二次函数y=ax2中的y值随x值的增大而增大? (4)求抛物线与过点(0,-2)且与x轴平行的直线的两个交点与顶点构 成的三角形的面积.
C
关闭
答案
快乐预习感知
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2.若点M(m,n)(mn≠0)在二次函数y=ax2(a≠0)的图象上,则下列坐标 表示的点也在该抛物线上的是( ) A.(-m,n) B.(n,m) C.(m2,n2) D.(m,-n)
关闭
A
答案
快乐预习感知
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3.已知物体从空中自由下落过程中,下落高度h关于时间t的函数解
互动课堂理解
2.二次函数y=ax2(a≠0)的性质 【例2】 已知函数y=ax2(a>0)的图象上有A(2,y1),B(3,y2),C(-1,y3) 三个点,试比较y1,y2,y3的大小. 分析:要比较y1,y2,y3的大小,可直接求出y1,y2,y3的值进行比较,也可 以先判断各点是否在对称轴的同一侧,再利用二次函数的性质进行 比较. 解法一由题意知,y1=4a,y2=9a,y3=a. 又a>0,故y2>y1>y3. 解法二因为抛物线y=ax2(a>0)的对称轴是y轴,点C(-1,y3)在函数 y=ax2(a>0)的图象上,所以点(1,y3)也在该抛物线上.因为a>0,所以当 x>0时,y随x的增大而增大.又因为3>2>1,所以y2>y1>y3.
《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
2
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
九年级数学上册第22章二次函数22.1二次函数的图象和性质22.1.3二次函数y=ax_h2+k的图象和性质作业本课件新
下列说法正确的是( B )
A．对称轴是直线 x＝1，最小值是 2 B．对称轴是直线 x＝1，最大值是 2 C．对称轴是直线 x＝－1，最小值是 2 D．对称轴是直线 x＝－1，最大值是 2
【解析】二次函数 y＝－(x－1)2＋2 的图象的对称轴是直线 x＝1.∵－1<0，
∴抛物线开口向下，有最大值，最大值是 2.
(2)求证：对任意实数 m，点 M(m，－m2)都不在这个二次函数的图
象上．
图 22－1－14
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
解：(1)依题意可设此二次函数的解析式为 y＝a(x＋1)2＋2. ∵点0，32在它的图象上，∴32＝a＋2，解得 a＝－12，故所 求二次函数的解析式为 y＝－12(x＋1)2＋2.画出其图象如图． (2)证明：若点 M 在此二次函数的图象上， 则－m2＝－12(m＋1)2＋2，得 m2－2m＋3＝0. ∵Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝4－12＝－8＜0，∴该方程无实数根， ∴对任意实数 m，点 M(m，－m2)都不在这个二次函数的图象上．
1
23
4…
y＝－12x2 … －4.5 －2 －0.5
0 －0.5 －2 －4.5 …
…
y＝－12(x … … －2.5
0
1.5
2
1.5 0 －2.5 …
－1)2＋2
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
描点、连线，如图所示：
(2)①下 x＝0 (0，0) ②下 x＝1 (1，2)
③右 1 上 2(或上 2 右 1)
【解析】∵当 x＞h 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＜h 时，y 随 x 的增大而
减小．
∴①若 h＜1≤x≤3，则当 x＝1 时，y 取得最小值 5，可得(1－h)2＋1＝5， 解得 h＝－1 或 h＝3(舍去)；
A．对称轴是直线 x＝1，最小值是 2 B．对称轴是直线 x＝1，最大值是 2 C．对称轴是直线 x＝－1，最小值是 2 D．对称轴是直线 x＝－1，最大值是 2
【解析】二次函数 y＝－(x－1)2＋2 的图象的对称轴是直线 x＝1.∵－1<0，
∴抛物线开口向下，有最大值，最大值是 2.
(2)求证：对任意实数 m，点 M(m，－m2)都不在这个二次函数的图
象上．
图 22－1－14
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
解：(1)依题意可设此二次函数的解析式为 y＝a(x＋1)2＋2. ∵点0，32在它的图象上，∴32＝a＋2，解得 a＝－12，故所 求二次函数的解析式为 y＝－12(x＋1)2＋2.画出其图象如图． (2)证明：若点 M 在此二次函数的图象上， 则－m2＝－12(m＋1)2＋2，得 m2－2m＋3＝0. ∵Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝4－12＝－8＜0，∴该方程无实数根， ∴对任意实数 m，点 M(m，－m2)都不在这个二次函数的图象上．
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4…
y＝－12x2 … －4.5 －2 －0.5
0 －0.5 －2 －4.5 …
…
y＝－12(x … … －2.5
0
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1.5 0 －2.5 …
－1)2＋2
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
描点、连线，如图所示：
(2)①下 x＝0 (0，0) ②下 x＝1 (1，2)
③右 1 上 2(或上 2 右 1)
【解析】∵当 x＞h 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＜h 时，y 随 x 的增大而
减小．
∴①若 h＜1≤x≤3，则当 x＝1 时，y 取得最小值 5，可得(1－h)2＋1＝5， 解得 h＝－1 或 h＝3(舍去)；
陕西省山阳县城关镇第二初级中学人教版数学九年级上册22.1二次函数的图象和性质课件(共24张PPT)
一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形 菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为Ym2， 求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。 当x=12m时，计算菜园的面积。 解：由题意得： Y=x(40-2x)
即：Y=-2x2+40x(0<x<20) 当x＝12m时，菜园的面积为：（40-2x ）m Y=-2x2+40x＝-2×122+40×12 ＝192（m2）
2
+(m-3)x+m 是二次函数？
解:由题意得
m2—2m-1=2 m+1我们学习过的函数有: 一次函数y=kx+b (k ≠0),其中包括正比例函数 y=kx(k≠0), 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)。 可以发现,这些函数的名称都形象地反映了函 数表达式与自变量的关系。
想一想
函数y ax bx c(其中a, b, c是常数)，
2
当a, b,c满足什么条件时 （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数 ？
解：（1）a 0
(2)a 0, b0
(3)a 0, b 0,c 0
m2-7 例2、y=（m+3）x
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
– 当b＝0时， y＝ax2＋c – 当c＝0时， y＝ax2＋bx – 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系 数、常数项 （1） y=-x2+58x-112 （2）y=πx2 2、指出下列函数y=ax² +bx+c中的a、b、c （1） y=-3x2-x-1 （2） y=5x2-6
思考：2. 二次函数的一般式y＝ ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方 程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么 联系和区别？
九年级数学上册第22章二次函数22.1二次函数的图象和性质(2)课件(新版)新人教版
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2 二次函数y=ax 的 图象和性质
一、温故知新 研究函数的内容
函 数
2.图像特征 3.性质
1.解析式
一次函数 解析式 y =kx+b（k≠0）
1.形状 2.位置
图象：经过（ 0， b） 图象：经过原点和 一条直线 （1，k）的一条直线
1.二次函数 的图象开口向下， y m 3 x m． <3 则m___________
2
m-3<0
m 2 2.二次函数y＝mx 有最高点， 则m＝___________ -2 ．
2
m 2 2 m 0
2
3.二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图所示， K>-1 则k的取值范围为___________
－2
－1 －2
－0.5 －0.5 －0.5
0
－0.5 0 0 0.5 －0.5
－2
· ·
· ·
一、图像特征： 形状 . 1.开口方向 ； 2.对称轴是 ； 3.顶点是 ； 二、性质 x<0时，y随的增大而 x>0时，y随的增大而
y 2 x 2
· · · －8
－2 －4.5
· ·
－4
－2 －2 －4
2
4
， 。
y x2
－6 －8
1 y x 2
y 2 x 2
问题4：抛物线
的性质
图象（草图） 开口方向 对称轴 顶点
y
有最高 或最低 点
性质
a>0
0 y 0 x
向上
y轴 （0,0） 最低点
x<0时， y随的增大而 x>0时， y随的增大而
22.1.2 二次函数y=ax 的 图象和性质
一、温故知新 研究函数的内容
函 数
2.图像特征 3.性质
1.解析式
一次函数 解析式 y =kx+b（k≠0）
1.形状 2.位置
图象：经过（ 0， b） 图象：经过原点和 一条直线 （1，k）的一条直线
1.二次函数 的图象开口向下， y m 3 x m． <3 则m___________
2
m-3<0
m 2 2.二次函数y＝mx 有最高点， 则m＝___________ -2 ．
2
m 2 2 m 0
2
3.二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图所示， K>-1 则k的取值范围为___________
－2
－1 －2
－0.5 －0.5 －0.5
0
－0.5 0 0 0.5 －0.5
－2
· ·
· ·
一、图像特征： 形状 . 1.开口方向 ； 2.对称轴是 ； 3.顶点是 ； 二、性质 x<0时，y随的增大而 x>0时，y随的增大而
y 2 x 2
· · · －8
－2 －4.5
· ·
－4
－2 －2 －4
2
4
， 。
y x2
－6 －8
1 y x 2
y 2 x 2
问题4：抛物线
的性质
图象（草图） 开口方向 对称轴 顶点
y
有最高 或最低 点
性质
a>0
0 y 0 x
向上
y轴 （0,0） 最低点
x<0时， y随的增大而 x>0时， y随的增大而
22.1.3二次函数的图像与性质 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
y=2(x+3)2+5 y=－3(x－1)2－2 y = 4(x－3)2＋7 y=－5(2－x)2－6
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 向下 向上
直线x=－3 直线x=1 直线x=3
(－3, 5 ) ( 1, －2 ) ( 3 , 7)
向下
直线x=2 ( 2 , －6 )
x=h 减小 h
x=h 增大 h
可以看作互相平移得到的.
平移规律
左 右 平 移 y = ax2 + k
பைடு நூலகம்
y = a( x - h )2 + k 上 下 平 移
简记为： 上下平移， 括号外上加下减；
y = a(x - h )2 左右平移，
上下平移 y = ax2 左右平移
括号内左加右减. 二次项系数a不变.
当堂练习
1.完成下列表格: 二次函数
左右平移：括号内 左加右减自变量； 上下平移：括号外 上加下减函数值.
一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同.
数学享有盛誉还有另一个原因： 正是数学给了各种精密自然科学一定程 度的可靠性，没有数学，它们不可能获 得这样的可靠性。
――艾伯特·爱因斯坦
这是函数 y=a(x-h)2+k 的性质
哦!
(h,k) 小
(h,k) 大
向上
增大 k
向下
减小 k
练一练
1.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到? 由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.
2.如果一条抛物线的形状与 y 1 x2 2形状相同，且 3
顶点坐标是（4，2），试求这个函数关系式.
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 向下 向上
直线x=－3 直线x=1 直线x=3
(－3, 5 ) ( 1, －2 ) ( 3 , 7)
向下
直线x=2 ( 2 , －6 )
x=h 减小 h
x=h 增大 h
可以看作互相平移得到的.
平移规律
左 右 平 移 y = ax2 + k
பைடு நூலகம்
y = a( x - h )2 + k 上 下 平 移
简记为： 上下平移， 括号外上加下减；
y = a(x - h )2 左右平移，
上下平移 y = ax2 左右平移
括号内左加右减. 二次项系数a不变.
当堂练习
1.完成下列表格: 二次函数
左右平移：括号内 左加右减自变量； 上下平移：括号外 上加下减函数值.
一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同.
数学享有盛誉还有另一个原因： 正是数学给了各种精密自然科学一定程 度的可靠性，没有数学，它们不可能获 得这样的可靠性。
――艾伯特·爱因斯坦
这是函数 y=a(x-h)2+k 的性质
哦!
(h,k) 小
(h,k) 大
向上
增大 k
向下
减小 k
练一练
1.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到? 由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.
2.如果一条抛物线的形状与 y 1 x2 2形状相同，且 3
顶点坐标是（4，2），试求这个函数关系式.
人教版九年级数学上册课件 第二十二章 二次函数 二次函数的图象和性质 二次函数y=ax2的图象和性质
14．已知y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，且当x＞0时，y随x的 增大而减小．
(1)求m的值； (2)画出该函数的图象．
解：(1)∵y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，∴m2＋m＝2且m＋ 1≠0.则m＝－2或m＝1.又∵x＞0时，y随x的增大而减小，∴m＋1＜0，m ＜－1，故m＝－2
解：(1)直线AB的解析式为y＝－x＋2，抛物线 的解析式为y＝x2
(2)令直线 AB 与 y 轴相交于点 E，在 y＝－x＋2 中，当 x＝0 时，y＝2，
∴点
E
y＝－x＋2， 的 坐 标 为 (0 ， 2) ， ∴ OE ＝ 2. 联 立 y＝x2，
解
得
x1＝1， y1＝1，
x2＝－2， y2＝4，
_增__大____，当x＞0时，y随x的增大而__减__小___． 练习2：已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而_增__大____．(填“增
大”或“减小”)
1．已知二次函数y＝x2，则其图象经过下列点中的( A ) A．(－2，4) B．(－2，－4) C．(2，－4) D．(4，2)
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
12．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标 系，作出函数y＝2x2与y＝－2x2的图象，则阴影部分的面积是____8____．
13．如图是下列二次函数的图象：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y ＝dx2.比较a，b，c，d的大小，用“＞”连接为___a_＞__b_＞__d_＞__c____.
∴点
C
的坐标为(－2，4)，∵S△BOC＝12
OE·(xB－xC)＝12