复数的概念及四则运算
复数的概念及四则运算
一，考纲要求
1理解复数的基本概念
2理解复数相等的充要条件
3了解负数的代表形式及其几何意义
4会进行复数，代数形式的是的运算
5了解复数代数形式的加减运算的几何意义
二，命题趋势
1从近几年的高考试题中看，复数的概念及其代数形式的运算成为命题的热点，通常分两种题型，机选择题和填空题，你是考啥付出的概念，如纯虚数，两个复数相等，2是考查复数代数形式的加减乘除4则运算等基础知识
2，预测2014高考题扔将会有考查复数的概念，包括实部与虚部，虚数以纯虚数以及复数的代数形式的运算为重点进行问题
考纲三维解读
一，考纲要求
1，了解平行线切割定理，会证直角三角形摄影定律
2会证明圆周角定理，圆的切线判定定理及性质定理
3会正相交玄定理，圆内接四边形的性质定理和判定定理切割线定理
4了解平行线投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影，会证平面与圆柱的底面截是椭圆
5.了解下面的定理
定理:在空间中取直线L为轴,直线L与L相交于o点，加角为a，
n
常见离散型随机变量的分布列，均值与方差
高岗解读
一，考纲要求
1理解区有无个值得离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性
2，理解局有限购值的离散型随机变量的均值方差的概念，统计简单离散型随机变量的均值，方差并能解决一切实际问题
二，命题趋势
1以应用题为背景命题，是近年来高考的热点，今后仍然将会保持这个热度
2，随机变量在各地高考试题中有选择题也有填空题但更多的是解答题
3，考生在复习其实应牢固掌握求随机变量分布列的步骤，运用分布列求概率，另外概念要弄清楚计算要准确文字要表达清楚和规范
4预计2014年高考中对于概率分布列和期望方差三位一体的考察人是重点和热点
5古典概型与几何概型
一，考纲要求
1，理解古典概型及其概率计算公式
2，会用列举法，计算一些随机事件所含的基本事件概率极事件发生的事件数
3，了解随机数的意义，运用模拟方法估计概率
4，了解几何概型的意义
二，命题趋势
1，你古典概型的定义为重点，结合其中两大特点，考察古典概型的问题
2，主要是你现实生活为背景，机和主席为载体，重在考查几何概型的概率的求法，主要是以选择题填空题为主，其中长度与面积有关的几何概型为最重要
3预测2014年高考对本节知识的考察会延续以往命题的特点注定形式多样选择题填空题解答题都有可能出现
二项分布及其运用，正态分布
考纲要求
1了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题
2，利用实际问题的直方图了解正态分布曲线的特点及所表示的意义
二，命题趋势
1预计2014年高考可能会对独立事件的概率，n次独立重复试验的概率，二项分布及根据正态曲线的基本性质进行相关量的计算重点考察，正态分布可能会选择提填空题形式来考察，简答题人将会是保持中等难度，分值约为12分左右！
分类加法计数原理与分步乘法计算原理排列与组合
考纲要求
1理解分类加法计数原理和分步乘法技术员
2会用分类加法计数原理和分步乘法技术员你解决一些简单的实际问题
3理解排列组合的概念
4能利用技术原理推导排列式公式组合是公
5能解决简单的实际问题
二，命题趋势
1技术原理在中学数学中形式比较独特，1其他数学知识截然不同，不均内容抽象解法灵活，而且解题过程中极易出现重复或遗漏的错误，纵观近几年的高考对本节内容考量比较稳定试题难度起伏不大，主要以选择题填空题的形式出现
2，排列组合是高中数学中独立较强的一部分也是密切联系实际的一部分是高考的必考内容，每年都有一到两题英语排列组合有关的试题，填空题选择题，高考考察排列组合的基础知识，思维能力，多数试题与教材习题的难度相当，也有个别难度较大！
3预测2014年高考对本节的考察认为排列组合与两个计数原理结合命题这些知识点
二项式定理
一，考纲要求
1能用计数原理证明二项式定理
2会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题
二，命题趋势
1，二项式定理是高考重点考察的内容之一，主要以选择题填空题的形式出现多数试题难度与课本中习题的难度相当
2，预测2014年高考对本节的考量求散开是中某一项或某一项的系数，求某些项的系数和韩求字母中项的，字母值等
随机事件概率
一，考纲要求
1，了解随机事件发生的不确定性和冯丽的稳定性了解概率的意义了解频率与概率的区别
2了解两个互斥事件的概率，加法公式
二，一概率的意义和性质为重点结合实际多角度考量，概率问题
2结合现实生活代理的性质对护士实践一队实践的考察成为新的热点
随机事件
1，一般的，我们把条件S下，一定会发生的事件叫做，相对于S条件下的必然事件
2在S条件下,一定不会发生的，事件叫做相对条件S下的不可能事件
3S条件下,可能发生也不可能不发生的事件叫做相对S条件下的随机事件
必然条件一不可能事件反映的就是，在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的则是在一定条件下的随机现象
2频率和概率
1频率:在相同条件下重复，n次试验，观察某1事件a是否出现，称n次试验中
事件a出现的频次m为事件，a的频数
那么事件a出现的频率，频率的范围为0到1
对于给定的随机事件如果随着试验次数的增加，事件发生的频率稳定在某个常数上，我们把这个常数系为，概率
频率和概率有本质的区别，不可混为一谈，频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，他是平陆的科学抽象，
运用库车事件的概率的加法公式解决实际问题，实质上是把复杂的事件概率问题转化为简单事件的概率问题，在转化过程中必须依据1定的划分标准，将复杂事件划分为若干个简单的护车事件的和
3球简单互斥事件的概率的一般方法，直接法和间接法
解决随机事件的概率问题，还有以下几点内容照成失分，在备考时要高度关注:
1不判断事件是否彼此互称，盲目套用概率加法公式到错误
2坚决护栅与对立事件问题时，由于对事件的库存已对你关机不清楚，不能正确判断护腿对立事件关系而致错
五考题剖析
对于考题7，1，读懂说给表格确定不能赶到火车站的人数所在的区间，用相应的频率作为所求概率的估计值2根据频率的计算公式计算3计算选择不同的路径，在允许的时间内赶到火车站的概率，通过比较概率的大小确定选择的最佳路径4，解答本题时由两点内容容易造成失分:一，不能将概率问题转化为频率来进行估计二，在解答第3问时，不能正确的把所求事件转化为几个互斥事件和，导致计算错误
古典概型
1基本事件:一次试验中所有可能的结果都是随机事件，之类随机事件称为基本事件
基本事件的特点
1，男人和两个基本事件都是互斥的！
2任何事件都可以表示成基本事件的和
二，古典概率模型
1试验中所有可能出现的基本事件只有有限个
2每个基本事件出现的可能性相等
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型简称古典概型
古典概型是一种特殊的概率模型及特征是:
1有限性，在1次试验中可能出现的结果只有有限个，即只有有线个不同的基本事件
2，等可能性，每个基本事件发生的可能性是均等的
几何概型
如果每个事件发生的概率值与构成该事件区域的长度面积和体积成正比，折成这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型
注意:几何概型的两个特点:无限性，及在一次试验中基本事件的个数可以是无限的，均等性，每一个基本事件发生的可能是均等的
2几何概型的概率计算公式
3几何概型的特点
a试验中所有可能出现的结果有无限个
b每个基本事件出现的可能性相等
4,5点概型与几何概型的区别
古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，弹古典概型要求基本事件由有限个，几何概型要求基本事件有无限多个
3简单古典概型的概率
1略
2基本事件个数的确定方法
1列举法，此法适合与基本事件较少的古典概型
2，列表法，直发适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可以看成是坐标法
3，树状图法，树状图式进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及比较复杂问题中基本事件数的探究
6与面积体积有关的几何概型
1，与面积有关的几何概型问题
如果是按的结果所构成的区域几个度量可以用面积表示，则其概率的计算公式为: 2，与体积有关的几何概型问题
如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为: 3解题方法及步骤
1般利用图形辅助解题，1分析题目找出区域边界，2建立空间模型，根据空间模型和边界画图，分清g或G，分别计算其度量
4，规律方法
a怕你乱说求概率模型的类型是关键，和判断的主要依据是试验结果的有限性和无限性
b对于几何概型问题，根据题意列出条件，找出试验的全部结果构成的区域及所求事件构成的区域是解题的关键,这时常常与线性规划问题联系在一起
5,解决几何概型问题时还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注
a不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误
b基本事件对应的区域预测把握不准导致错误
c利用几何概型的概率公式，忽视验证事件是否等可能性导致错误
d对1些实际问题提炼不出
4有放回抽样和无放回抽样的概率
1有放回抽样和无，放回抽样的对比
在古典概型的概率中涉及两种不同的抽取方式，以摸球违例，假设袋内有n个不同的球，现从中依次摸球，每次只摸一只，具有两种么求方法
A有放回
每次摸出1只后仍放回袋中然后再摸1只,这种摸球的方法属于有放回的抽样,显然对于有放回的抽样，每次摸出的球可以重复，而且摸球可无限的进行下去B,无放回
每次摸出的1只后，不放回原袋中，在剩下的球中在摸1只，这种么求方法属于无放回的抽样，谢楠，对于无放回的抽样每次摸出的球不会重复出现，摸球只能进行有限次
复数概念及公式总结
数系的扩充和复数概念和公式总结 1.虚数单位i: 它的平方等于-1，即21 i=- 2.i与－1的关系:i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i 3.i的周期性：i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1 4.复数的定义：形如(,) a bi a b R +∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示复数通常用字母z表示，即(,) =+∈ z a bi a b R 5.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,) +∈，当且仅当b=0时， a bi a b R 复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi 叫做纯虚数；a≠0且b≠0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0. 5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C. 6.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di?a=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小当两个复数不全是实数时不能比较大小 7.复平面、实轴、虚轴： 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴 数 （1）实轴上的点都表示实数 （2）虚轴上的点都表示纯虚数 （3）原点对应的有序实数对为(0，0) 设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数， 8．复数z1与z2的加法运算律：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 9.复数z1与z2的减法运算律：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
高考数学新版一轮复习教程学案：第58课复数的概念及其运算
高考数学新版一轮复习教程学案 第58课 复数的概念及其运算 1. 了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件. 2. 理解复数代数形式的四则运算法则，能进行复数代数形式的四则运算. 1. 阅读：选修 22 第109～117页. 2. 解悟：①数系的扩充；②复数的四则运算与共轭复数；③与加法一样，复数的乘法也是一种规定.课本114页例2还可以让学生先计算后两个复数的积，再与第一个复数相乘，从而验证复数乘法满足结合律；④根据复数相等的充要条件，应用待定系数法求复数，是常用的方法之一. 3. 践习：在教材空白处，完成第118～119页习题第2、3、6、12题. 基础诊断 1. 若复数z ＝(1＋m i )(2－i )(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为 －2 . 解析：由题意得，z ＝(1＋m i )(2－i )＝2＋m ＋(2m －1)i .因为复数z 是纯虚数，所以2＋m ＝0，且2m －1≠0，解得m ＝－2. 2. 设复数z ＝m ＋3i 1＋m i (m>0，i 为虚数单位)，若z ＝z ，则m 解析：z ＝m ＋3i 1＋m i ＝（m ＋3i ）（1－m i ）（1＋m i ）（1－m i ）＝4m ＋（3－m 2）i 1＋m 2.因为z ＝z ，所以3－m 2＝0，解得m ＝±3.因为m>0，所以m ＝ 3. 3. 已知复数z ＝ 11＋i ，其中i 是虚数单位，则|z|＝ 2 . 解析：z ＝11＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＝12－1 2i ，所以|z|＝ ????122＋????122 ＝22 . 4. 设复数z 满足(1＋2i )·z ＝3(i 为虚数单位)，则复数z 的实部为 3 5 . 解析：因为(1＋2i )·z ＝3，所以z ＝3 1＋2i ＝3（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝3－6i 5，所以复数z 的实 数为3 5 . 范例导航 考向? 复数的基本运算 例1 (1) （－1＋i ）（2＋i ） i 3 ； (2) 1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2 ； (3) (－1＋3i )3；
小学概念公式大全
小学数学毕业总复习——概念复习 进率： 1千米＝1000米；1米＝10分米；1分米＝10厘米；1米=100厘米；1千米=100000厘米。 1平方米＝100平方分米；1平方分米＝100平方厘米；1平方米=10000平方厘米；1公顷＝10000平方米。 1平方千米=100公顷；1平方千米=1000000平方米；1吨＝1000千克；1千克= 1000克。 1立方米＝1000立方分米；1立方分米＝1000立方厘米；1升=1000毫升；1毫升＝1立方厘米。 1小时=60分；1分=60秒；1个世纪=100年；1年=365天（闰年366天）；2月有28天或29天。 1个季度=3个月；1年=12个月。1元=10角；1角=10分；1元=100分。 周长公式： 长方形周长=（长+宽）×2（C=（a+b）×2）；正方形周长=边长×4（C=4a）； 圆的周长=直径×圆周率（C=πd＝2πr）；半圆周长=圆周长的一半+直径（C=πr+2r） 长方体棱长和=（长+宽+高）×4（C=（a+b+h）×4）；正方体棱长和=棱长×12（C=12a） 面积公式： 三角形的面积＝底×高÷2（S= a×h÷2）；正方形的面积＝边长×边长（S= a×a=a2） 长方形的面积＝长×宽（S= a×b）；平行四边形的面积＝底×高（S= a×h） 梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2（S=(a+b)h÷2）；圆的面积＝半径×半径×π （S＝πr2） 长方体底面积=长×宽（S=ab）；前面面积=长×高（S=ah）；右面面积（横截面面积）=宽×高（S=bh） 圆剪拼成近似长方形，周长多两条半径。圆柱剪拼成近似长方体多两个半径乘高的面积。 正方形的面积=对角线×对角线÷2 表面积公式： 长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2（S=(ab+ah+bh) ×2）；正方体表面积=棱长×棱长×6（S=6a2 ) 圆柱的侧面积=底面周长×高。（S=ch=πdh＝2πrh）；占地面积通常指的是底面面积。 圆柱的表面积=底面周长×高+底面积×2（S=ch+2s=ch+2πr2）；计算表面积要考虑实际问题。 体积公式： 长方体的体积＝长×宽×高（V=abh）；正方体的体积＝棱长×棱长×棱长（V=a×a×a=a3） 长（正）方体的体积＝底面积×高（V=Sh）圆柱的体积=底面积×高。（V=Sh=πr2h） 圆锥的体积＝1/3×底面积×高。（V=1/3Sh=1/3πr2h）直柱体体积=底面积×高。（V=Sh） 圆柱体积(长方体体积)=横截面面积×长圆柱体积=侧面积的一半×半径（V=1/2sr） 已知圆锥的体积，求圆锥的底面积或高，要用方程解。（同三角形面积已知，求高或底用方程解。） 数量关系式： 1、单价×数量＝总价；单产量×数量＝总产量；速度（和）×时间＝路程；工效（和）×时间＝工作总量 2、加数+加数＝和；一个加数＝和－另一个加数；被减数－减数＝差；减数＝被减数－差； 被减数＝减数＋差；因数×因数＝积；一个因数＝积÷另一个因数；被除数÷除数＝商； 除数＝被除数÷商；被除数＝商×除数；被除数＝商×除数+余数 3、盐水浓度=盐的重量÷盐水重量；出勤率=出勤人数÷总人数；成活率=成活的棵树÷总棵数； 合格率=合格数÷零件总数；出油率=油的重量÷豆的重量；优秀率=优秀人数÷总人数； 4、利润=利润÷成本价；现价÷原价=折数；营业额×税率=营业税；利息＝本金×利率×时间 5、工资交个人所得税要分段考虑。赚钱和亏本都是把成本看作单位“1”。取钱要取回本金和利息。 运算律和性质： 1、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。（a+b=b+a） 2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再同第三个数相加，或先把后两个数相加，再同第一个数相 加，和不变。a+b+c=a+(b+c) 3、乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。(ab=ba) 4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和第三个数相乘，或先把后两个数相乘，再同第一个相乘， 它们的积不变。(abc=a(bc)) 5、乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。a×(b+c)=ab+ac 【a×(b—c)=ab—ac，同乘法分配律】 6、商不变规律：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数（0除外），商不变。
复数概念及公式总结教学内容
复数概念及公式总结
数系的扩充和复数概念 1.虚数单位i:它的平方等于-1，即21 i=- 2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i； 3. i的周期性： 4.复数的定义：形如(,) +∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成 a bi a b R 的集合叫做复数集，用字母C表示复数通常用字母z表示，即 z a bi a b R =+∈ (,) 5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,) +∈，当且仅当b=0时，复数 a bi a b R a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；a≠0且b≠0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0. 5.复数集与其它数集之间的关系：N___Z___Q___R___C. 6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di?a=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较当两个复数不全是实数时不能比较大小 7. 复平面、实轴、虚轴：
点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 （1）实轴上的点都表示____________ （2）虚轴上的点都表示____________ （3）原点对应的有序实数对为(0，0) 设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数， 8．复数z 1与z 2的加法运算律：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . 9.复数z 1与z 2的减法运算律：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . 10.复数z 1与z 2的乘法运算律：z 1·z 2= (a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i . 11.复数z 1与z 2的除法运算律： 12.共轭复数： 通常记复数z 的共轭复数为z 。例如z =3＋5i 与z =3－5i 互为共轭复数 13. 共轭复数的性质 （1）实数的共轭复数仍然是它本身 （2）22Z Z Z Z ==? （3）两个共轭复数对应的点关于实轴对称 14.复数的两种几何意义： 15几个常用结论 （1）()i i 212=+，（2）()i i 212-=- （3）i i -=1， （4） i i i =-+11 16.复数的模： （5） i i i -=+-11 复数bi a Z +=的模22b a Z += （6）()()22b a bi a bi a +=-+ 点),(b a Z 向量OZ 一一对应 一一对应 一一对应 复数()R b a bi a Z ∈+=,
信号与系统重点概念公式总结
信号与系统重点概念公式 总结 Last updated on the afternoon of January 3, 2021
信号与系统重点概念及公式总结： 第一章：概论 1.信号：信号是消息的表现形式。（消息是信号的具体内容） 2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。 第二章：信号的复数表示： 1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。 常数形式的复数C=a+jba 为实部，b 为虚部； 或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为 复数的辐角。（复平面） 2.欧拉公式： wt j wt e jwt sin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解 1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f F n = 如果满足：n i K dt t f j i dt t f t f i T T i T T j i 2,1)(0)()(21 21 2==≠=?? 则称集合F 为正交函数集 如果n i K i ,2,11 ==，则称F 为标准正交函数集。 如果F 中的函数为复数函数 条件变为：n i K dt t f t f j i dt t f t f i T T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121 **==?≠=??? 其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。2.正交函数集的物理意义： 一个正交函数集可以类比成一个坐标系统； 正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴； 在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点； 点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。 3.正交函数集完备的概念和物理意义： 如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。 如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ） ()∞<
复数知识点精心总结
复数知识点 考试内容： 复数的概念． 复数的加法和减法． 复数的乘法和除法． 数系的扩充． 考试要求： （1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义． （2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算． （3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想． 1. ⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=. ⑵复数及其相关概念： ① 复数—形如a + b i 的数（其中R b a ∈，）； ② 实数—当b = 0时的复数a + b i ，即a ； ③ 虚数—当0≠b 时的复数a + b i ； ④ 纯虚数—当a = 0且0≠b 时的复数a + b i ，即b i. ⑤ 复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数） ⑥ 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示. ⑶两个复数相等的定义： 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且. ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小. 注：①若21,z z 为复数，则ο1若021φz z +，则21z z -φ.（×）[21,z z 为复数，而不是实数] ο2若21z z π，则021πz z -.（√） ②若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件.（当22)(i b a =-， 0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立） 2. ⑴复平面内的两点间距离公式：21z z d -=. 其中21z z ，是复平面内的两点21z z 和所对应的复数，21z z d 和表示间的距离. 由上可得：复平面内以0z 为圆心，r 为半径的圆的复数方程：）（00φr r z z =-. ⑵曲线方程的复数形式： ①00z r z z 表示以=-为圆心，r 为半径的圆的方程.
数系的扩充和复数的概念
《数系的扩充和复数的概念》教学设计 1．了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程以及复数的 分类表； 2．理解复数的有关概念以及符号表示； 3．掌握复数的代数表示形式及其有关概念； 4.在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．【教学重点】引进虚数单位i的必要性、对i的规定以及复数的有关概念． 【教学难点】复数概念的理解． 【教学过程】 1．对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简 明扼要的概括和总结） 自然数整数有理数无理数实数 2．提出问题 我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使 得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？ 3．组织讨论，研究问题 我们说，实系数一元二次方程没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数．解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？ 组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题是要解决－1的开平方问 题．即一个什么样的数，它的平方会等于－1． 4．引入新数，并给出它的两条性质 根据前面讨论结果，我们引入一个新数，叫做虚数单位，并规定： （1）； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．有了前面的讨论，引入新数，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是）． 5．提出复数的概念 根据虚数单位的第（2）条性质，可以与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成这样，数的范围又扩充了，出现了形如的数， 我们把它们叫做复数． 全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示，显然有： N* N Z Q R C． 【巩固练习】 下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复 数的实部与虚部各是什么？ 例1.实数m分别取什么值时，复数z＝m+1＋(m-1)i是 (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 分析：因为m∈R，所以m+1，m-1都是实数，由复数z＝a＋bi是实、虚数、纯虚数与 零的条件可以确定实数m的值．
离散数学部分概念和公式总结
离散数学部分概念和公式总结 命题：称能判断真假的陈述句为命题。 命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。 命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。 命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。 （2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。 （3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。 主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。 主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。 命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A?B是重言式，则称A与B是等值的，记作A<=>B。 约束变元和自由变元：在合式公式?x A和?x A中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A?B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。 前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B，称A为前束范式。集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。 笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。 二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。特殊关系：（1）、空关系：Φ（2）全域关系：EA={
复数的基本概念与基本运算
复数的基本概念与基本运算 一、《考试说明》中复数的考试内容(1)数的概念的发展，复数的有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、模）；(2)复数的代数表示与向量表示；(3)复数的加法与减法，复数的乘法与除法，复数的三角形式，复数三角形式的乘法与乘方，复数三角形式的除法与开方；(4)复数集中解实系数方程（包括一元二次方程、二项方程）。二、考试要求（1）使学生了解扩充实数集的必要性，正确理解复数的有关概念．掌握复数的代数、几何、三角表示及其转换；（2）掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算，并理解复数运算的几何意义；（3）掌握在复数集中解实数系数一元二次方程和二项方程的方法．（4）通过内容的阐述，带综合性的例题和习题的训练，继续提高学生灵活运用数学知识解题的能力．（5）通过数的概念的发展，复数、复平面内的点及位置向量三者之间的联系与转换的复习教学，继续对学生进行辩证观点的教育．三、学习目标(1)联系实数的性质与运算等内容，加强对复数概念的认识；?(2)理顺复数的三种表示形式及相互转换：z = r(cosθ+isinθ) , OZ(Z(a,b)) , z=a+bi (3)正确区分复数的有关概念；(4)掌握复数几何意义,注意复数与三角、解几等内容的综合；复(5)正确掌握复数的运算：复数代数形式的加、减、乘、除；三
角数实数集集形式的乘、除、乘方、开方及几何意义；虚数单位i及1的立方虚根纯虚数集ω的性质；模及共轭复数的性质；(6)掌握化归思想——将复数问题实数化（三角化、几何化）；(7)掌握方程思想——利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。四、本章知识结构与复习要点1．知识体系表解 1 1/16页2．复数的有关概念和性质：(1)i称为虚数单位，规定2i,,1，形如a+bi的数称为复数，其中a，b?R．(2)复数的分类(下面的a，b均为实数) (3)复数的相等设复数，那么的充要zz,zabizabiababR,，,，,,(,,,)121112221122条件是：．abab,,且1122 (4)复数的几何表示复数z=a+bi（a，b?R）可用平面直角坐标系内点Z(a，b)来表示．这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的． 2 2/16页复数 z=a+bi．在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a，b) abR,,，，向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O，看成零向量)．(7)复数与实数不同处?任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．?实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．3．有关计算：?**n4k，rrkNrN,,,nN,ii,i怎样计算？（先求n被4除所得的余数，），，，，1313?,,,，i、,,,,i
人教版小学数学概念公式大全
三角形的面积＝底×高÷2。公式S= a×h÷2 正方形的面积＝边长×边长公式 S= a2 或S=a×a 长方形的面积＝长×宽公式 S= ab 平行四边形的面积＝底×高公式 S= ah 梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2 公式S=(a+b)h÷2 内角和：三角形的内角和＝180度。 长方体的体积＝长×宽×高公式：V=abh 长方体（或正方体）的体积＝底面积×高公式：V=abh 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长公式：V=aaa 圆的周长＝直径×π公式：L＝πd＝2πr 圆的面积＝半径×半径×π公式：S＝πr2 圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高。公式：S=ch=πdh＝2πrh 圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。 公式：S=ch+2s=ch+2πr2 圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高。公式：V=Sh 圆锥的体积＝1/3底面×积高。公式：V=1/3Sh 分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。 分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。 分数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
读懂理解会应用以下定义定理性质公式 一、算术方面 1、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。 2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。 3、乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。 4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。 5、乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。 如：（2+4）×5＝2×5+4×5 6、除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。 O除以任何不是O的数都得O。 简便乘法：被乘数、乘数末尾有O的乘法，可以先把O前面的相乘，零不参加运算，有几个零都落下，添在积的末尾。 7、么叫等式？等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子 叫做等式。 等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数， 等式仍然成立。 8、什么叫方程式？答：含有未知数的等式叫方程式。 9、什么叫一元一次方程式？答：含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。
高中数学复数的知识点总结
高中数学复数的知识点总结 高中数学复数的知识点总结 定义 数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行。比如判别式小于0的一元二次方程仍无解，因此将数集再次扩充，达到复数范围。形如z=a+bi的数称为复数(complexnumber)，其中规定i为虚数单位，且i^2=i*i=-1(a，b是任意实数)我们将复数z=a+bi中的实数a称为复数z的实部(realpart)记作Rez=a实数b称为复数z的虚部(imaginarypart)记作Imz=b.已知：当b=0时，z=a，这时复数成为实数当a=0且b≠0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数。 运算法则 加法法则 复数的加法法则：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。 即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 乘法法则 复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i^2=1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。 即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.
除法法则 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算， 即(a+bi)/(c+di) =[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)] =[(ac+bd)+(bc-ad)i]/(c^2+d^2). 开方法则 若z^n=r(cosθ+isinθ)，则 z=n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n](k=0，1，2，3……n-1) 复数中的难点 (1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明. (2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练. (3)复数的辐角主值的求法. (4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的.模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会.
2020高中数学概念公式大全
高中数学概念公式大全 一、 三角函数 1、以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则 sin α= r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 22=+αα， αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα； 相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如： =-)23sin(απαcos -，)215(απ -ctg =αtg ， =-)3(απtg αtg -。 4、函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是 B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频率是π ω 2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线 )(2 Z k k x ∈+ =+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都 是该图象的对称中心。 5、三角函数的单调区间：
x y sin =的递增区间是?????? +-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是?? ???? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22， )(Z k ∈，tgx y =的递增区间是?? ? ? ?+ - 22 πππ πk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)cos(βαβαβαsin sin cos cos μ = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?±μ1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 212tg tg -。 8、三倍角公式是：sin3α=αα3 sin 4sin 3- cos3α=ααcos 3cos 43 - 9、半角公式是：sin 2α=2cos 1α-± cos 2α=2 cos 1α +± tg 2α=α αcos 1cos 1+-±=ααsin cos 1-=ααcos 1sin +。
复数知识点总结
复数知识点总结 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
《复数》知识点总结 1、复数的概念 形如(,)a bi a b R +∈的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足21i =-，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部. (1)纯虚数：对于复数z a bi =+，当00a b =≠且时，叫做纯虚数. (2)两个复数相等：,()a bi c di a b c d R ++∈、、、相等的充要条件是=a c b d =且. (3)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，横轴为实轴，竖轴除去原点为虚轴. (4)复数的模：复数z a bi =+可以用复平面内的点Z(,)a b 表示，向量OZ 的模 叫做复数z a bi =+的模，表示为：||||z a bi =+ （5）共轭复数：两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数. 2、复数的四则运算 （1）加减运算：()()()()a bi c di a c b d i +±+=±++； （2）乘法运算：()()()()a bi c di ac bd ad bc i +?+=-++； （3）除法运算：2222()()()()(0)ac bd bc ad a bi c di i c di c d c d +-+÷+=++≠++； （4）i 的幂运算：41n i =，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-.()n Z ∈ （5）22||||z z z z == 3、 规律方法总结 （1）对于复数(,)z a bi a b R =+∈必须强调,a b 均为实数，方可得出实部为a ，虚部为b
小学数学概念及公式大全(完整版)
一部分：概念 1、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。 2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。 3、乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。 4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。 5、乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。如：（2+4）×5＝2×5+4×5 6、除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。O除以任何不是O的数都得O。 简便乘法：被乘数、乘数末尾有O的乘法，可以先把O前面的相乘，零不参加运算，有几个零都落下，添在积的末尾。 7、么叫等式？等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。 等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数，等式仍然成立。 8、什么叫方程式？答：含有未知数的等式叫方程式。 9、什么叫一元一次方程式？答：含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。 学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有χ的算式并计算。 10、分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数,叫做分数。 11、分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。 12、分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。 13、分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。 14、分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。 15、分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数。 16、真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。 17、假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。 18、带分数：把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数。 19、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数 （0除外），分数的大小不变。 20、一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数。 21、甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。 分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。 分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。 22、什么叫比：两个数相除就叫做两个数的比。如：2÷5或3:6或1/3 比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数（0除外），比值不变。 23、什么叫比例：表示两个比相等的式子叫做比例。如3:6＝9:18 24、比例的基本性质：在比例里，两外项之积等于两内项之积。 25、解比例：求比例中的未知项，叫做解比例。如3:χ＝9:18 26、正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着化，如果这两种量中相对应的的比值（也就是商k）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。如：y/x=k( k一定)或kx=y 27、反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系就叫做反比例关系。如：x×y = k( k一定)或k / x = y 28、百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。 29、把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。其实，把小数化成百分数，只要把这个小数乘以100％就行了。
【高中数学】《复数》考试知识点
【高中数学】《复数》考试知识点 一、选择题 1．已知复数z 满足 121i z i i +?=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( ) A ．1 B ．2 C D 【答案】D 【解析】 【分析】 按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z . 【详解】 21(1)21(1)(1)2 i i i i i i i ++===--+Q ， 1222(2)121i i z i i z i z i i i i i +-∴?=-??=-?==--=---， 12||z i z ∴=-+?== 故选：D 【点睛】 本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题. 2．已知复数21i z = -+，则（ ） A ．2z = B ．z 的实部为1 C ．z 的虚部为1- D ．z 的共轭复数为1i + 【答案】C 【解析】 分析：由题意首先化简复数z ，然后结合z 的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法. 详解：由复数的运算法则可得：()()()()21211112i i z i i i ----= ==---+--， 则z =，选项A 错误； z 的实部为1-，选项B 错误； z 的虚部为1-，选项C 正确； z 的共轭复数为1z i =-+，选项D 错误. 本题选择C 选项. 点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．已知复数(2)z i i =-，其中i 是虚数单位，则z 的模z = ( ) A B C ．3 D ．5 【答案】B 【解析】 (2)2z i i i i =-=-==B ． 4．a 为正实数，i 为虚数单位， 2a i i +=，则a=（ ） A ．2 B C D ．1 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 ||220,a i a a a i +==∴=>∴=Q ，选B. 5．若z C ∈且342z i ++≤，则1z i --的最大和最小值分别为,M m ，则M m -的值等于（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．9 【答案】B 【解析】 【分析】 根据复数差的模的几何意义可得复数z 在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到,M m ，从而可得M m -的值. 【详解】 因为342z i ++≤， 故复数z 在复平面上对应的点P 到134z i =--对应的点A 的距离小于或等于2， 所以P 在以()3,4C --为圆心，半径为2的圆面内或圆上， 又1z i --表示P 到复数21z i =+对应的点B 的距离， 故该距离的最大值为222AB +==， 最小值为22AB -=，故4M m -=. 故选：B. 【点睛】
复数的概念与运算
复数的概念与运算 【知识点精讲】 1． 虚数单位i ：i 2=–1，实数可以与它进行四则运算，原有的加、乘运算律仍成立；i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i ；I 具有周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =1（n ∈N ）. 2． 复数的代数形式：z=a+bi （a,b ∈R ）， a 叫实部，b 叫虚部.掌握复数（集C ）的分类： ()?? ??????+=≠==+=≠====∈+=为非纯虚数的虚数时为纯虚数时为虚数时为实数时其中为实数时复数bi a z a bi z a bi a z b ，z b a a z b R b a bi a z 000000),( NZQRC 3.复数相等：设a,b,c,d ∈R ，则a+bi=c+di ?a=c,b=d ；a+bi=0?a=b=0；利用复数相等的条件转化为实数问题是解决复数问题的常用方法； 4.共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数.如：a+bi 和a –bi （a,b ∈R ）； 5．复数的模：2||||||z a bi OZ a =+==，两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小； 6．复平面、实轴、虚轴：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 7．掌握复数的和、差、积、商运算法则：z 1±z 2=(a +bi ) ±(c +di )=(a ±c )+(b ±d )i ；(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i ；(a +bi )÷(c +di )= 2222d c ad bc d c bd ac +-+++ i （实际上是分子分母同乘以分母的共轭复数，并化简）. 复数运算满足加、乘的交换律、结合律、分配律. 【例题选讲】 例1 计算：（1）i i -22；（2）i i 3232-+. 解：（1）i 5 452+- ；（2）i 56251+-. 例2 已知z 是复数，z+2i 、 i z -2均为实数，且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围. 优化设计P222典例剖析例1，解答略。