直角三角形的边角关系复习教学案
直角三角形的边角关系复习教学案
教学目标：
1、通过实例认识锐角三角函数(sinA、cosA 、tanA ),知道已知 30°、45°、60°角的三角
函数值。
2、会使用计算器由已知锐角，求其相应的三角函数值, 由已知锐角函数值求与其对应的锐角
3、运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题.
重点：1、锐角三角函数概念
2、运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题.
难点：运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题.
学习过程：
一、知识结构
二、知识要点
（一）、锐角三角函数
1、锐角三角函数定义
（1）正弦：斜边的对边AAsin
（2）余弦：Acos = （3）正切：Atan =
2、锐角三角函数的范围：0＜sinA＜1；0＜cosA＜1；tanA＞0，
例题：
例 1、已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB=5，AC=2，则cosA的值为
例 2、已知在Rt△ABC中，∠C＝90°2tanA，则Asin
（二）、特殊角的三角函数值
例题：
例 3、45cos45sin的值等于
例 4、已知3tan30 A则 ．
（三）、解直角三角形
1、直角三角形中的边角关系：
（1）、三边关系：222cba；
（2）、两锐角关系：∠A＋∠B＝90°；
（3）、边、角间的关系：sinA＝ca； ,coscbA ,tanbaA
2、解直角三角形的原则：“宁乘毋除，取原避中.”
30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα
A
B
C
a
b
c
例题：
例 5、如图，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝8，sinA＝35 ，CD＝23 ，求∠CBD的三个三角函数值。
（四）、运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题
1、实际问题中有关名词、术语的意义：
① 仰角与俯角：在进行测量时，从下往上看，视线与水平 线的夹角叫做仰角；从上往下看，
视线与水平线的夹角叫做俯角.如图1.
② 坡角与坡度：坡面与水平面的夹角叫做坡角，图2中的 α 是坡角；坡面的垂直高度h和水平
距离l的比叫做坡度.即坡度tanlhi
2、例题：
例 6、校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米。一只小鸟从一棵树的顶
端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞__________米。
例7、如图10，在电线杆上离地面高度5米的C点处引两根拉线固定电线杆．一根拉线AC和地
面成60°角，另一根拉线BC与地面成45°角，试求两根拉线的长度．
例8、为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的
设计示意图，按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否
安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE。（精确到0.1m）
一、填空题：
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝3，AB＝5，则cosB的值为__________。
2、在Rt△ABC中，∠C=90°.若sinA=22，则sinB= 。
3、计算：tan245°－1＝ 。
4、在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，则tanB=_____。
5、△ABC中，∠C=90°，斜边上的中线CD=6，sinA=31，则S△ABC=______。
6、菱形的两条对角线长分别为23和6，则菱形较小的内角为______度。
7、如图2是固定电线杆的示意图。已知：CD⊥AB，CD33m，∠CAD=∠CBD=60°，则拉线AC的长
是__________m。
8、升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰
角恰为30°，若双眼离地面1.5米，则旗杆的高度为__________________米。
9、如图3，我校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯．如果地毯的宽度恰好
与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为30，90BCA，台阶的高BC为2
米，那么请你帮忙算一算需要 米长的地毯恰好能铺好台阶．（结果精确到0.1m）
10、如图4，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P＇B，且BP=2，那么PP＇的长
为____________.(不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=624，cos15°=624)
二、选择题：
11、在ABC中，90C，AB=15，sinA=13，则BC等于（ ）
A、45 B、5 C、15 D、145
12、身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300 m，250 m，200 m；线
与地面所成的角度分别为30°，45°，60°(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝（ ）
A.甲的最高; B.乙的最低; C.丙的最低; D.乙的最高
13、在△ABC中，若tanA=1，sinB=22，你认为最确切的判断是（ ）
A.△ABC是等腰三角形; B.△ABC是等腰直角三角形;
C.△ABC是直角三角形; D.△ABC是一般锐角三角形
14、如图5，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子
高AB=1.8 m，要在窗子外面上方安装水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光
30
Ａ
Ｃ
Ｂ
图3
D
C
BA
图2
板的宽度AC为( )
A.1.8tan80°m; B.1.8cos80°m ; C.80sin8.1 m; D.80tan8.1 m
15、如图6，四边形ABCD中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=23，AD=2，则四边形ABCD的面积
是（ ） A.42 B.43 C.4 D.6
三、解答题：
16、如图7，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线AD=3316.求∠B的度数及边BC、AB
的长.
17、 同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图8是某公园在“六•一”前新增设的一台滑梯，该滑梯高
度AC＝2m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC＝4m。
（1）求滑梯AB的长（精确到0.1m）；
（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC）不超过45°属于安全范围。请通过计算说明这架滑梯的倾
斜角是否要求？
18、某民航飞机在大连海域失事,为调查失事原因,决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子,如图所示,
一潜水员在A处以每小时8海里的速度向正东方向划行,在A处测得黑匣子B在北偏东60°的
方向,划行半小时后到达C处,测得黑匣子B在北偏东30 °的方向,在潜水员继续向东划行多少
小时,距离黑匣子B最近,并求最近距离.
B C 图8
_ 30
_ 60
B
C
A
北
A
B
C
图5
A
B C
D
图6
D
A
B
C
九年级数学下册 第1章直角三角形的边角关系讲学稿(无答案) 北师大版
第一章 直角三角形的边角关系第1节 从梯子的倾斜程度谈起本节内容：正切的定义 坡度的定义及表示（难点） 正弦、余弦的定义 三角函数的定义（重点）在确定，那么A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA 。
即tanA=baA =∠∠的邻边的对边A■例1已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，AD=8，BD=4，求tanA 的值。
我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比）。
坡度常用字母i 表示。
斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：lh a =tan 注意：（1）坡度一般写成1：m 的形式（比例的前项为1，后项可以是小数）； （2）若坡角为a ，坡度为a lhi tan ==，坡度越大，则a 角越大，坡面越陡。
■例2拦水坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽BC 为6m ，坝高为3.2m ，为了提高拦水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m ，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD 的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i=1：2变成i’=1：2.5（有关数据在图上已标明）。
求加高后的坝底HD 的宽为多少？■例3在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，求sinA、sinB、cosA、cosB的值。
通过计算你有什么发现？请加以证明。
■例4方方和圆圆分别将两根木棒AB=10cm，CD=6cm斜立在墙上，其中BE=6cm，DE=2cm，你能判断谁的木棒更陡吗？说明理由。
本节作业：1、∠C=90°，点D 在BC 上，BD=6，AD=BC ，cos ∠ADC=53，求CD 的长。
2、P 是a 的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），求sina 、tana 的值。
3、在△ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC ，且tan ∠BCD=31，求tanA 的值。
4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=125，周长为30，求△ABC 的面积。
《三角函数的有关计算》直角三角形的边角关系PPT课件教学课件
B
30° 45° ┌
4C x D
BD
∴BD= 3 AD
3x
∵BD－CD=BC, 即 3AD－AD＝4
∴ AD＝2 3 +2
体会这两个图形的“模型”作用.将 会助你登上希望的峰顶.
(课本17页)
建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观 察旗杆顶部A的仰角为60°,观察底部B的仰角为 45°,求旗杆的高度(精确到0.1m)
九年级数学(下)第一章 直角三角形的边角关系
三角函数的有关计算
B
C
A
Rt△ABC中除直角之外的五要素: 三条边:AB,AC,BC;两个锐角:∠A ,∠B
（1）三边之间的关系 a2 b2 c2（勾股定理）
（2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90° A （3）边角之间的关系
sin
A
A的对边 斜边
a
b
(3)边角关系： sinA=
，cosA=
c
c
sinB＝ b ，cosB＝ a
c
c
a
，tanA=
，
b
，tanB= b。 a
2、由前面的两个例题以及上节的内容我们可以发现，很多 实际问题中的数量关系都可归结为直角三角形中元素之间 的关系，然后运用直角三角形中元素之间的关系，通过计 算，使实际问题得到解决。
解：在Rt△ABC中，
A
∵tanB= AC 2 3 2 BC 6 3 C
∴∠B=30°
30°
6
B
2.如图,身高1.7m的小明用一
个两锐角分别是30°和60°
的三角尺测量一棵树的高度.
已知他与树之间的距离
为5m,那么这棵树大约
有多高?（精确0.1m）
九年级数学下册解直角三角形教案新人教版
《解直角三角形》教案一、素质教育目标(一)知识教学点使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．(二)能力训练点通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．(三)德育渗透点渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．二、教学重点、难点和疑点1．重点：直角三角形的解法．2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边．三、教学步骤(一)明确目标1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系(2)三边之间关系a2+b2=c2(勾股定理)(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．(二)整体感知教材在继锐角三角函数后安排解直角三角形，目的是运用锐角三角函数知识，对其加以复习巩固．同时，本课又为以后的应用举例打下基础，因此在把实际问题转化为数学问题之后，就是运用本课——解直角三角形的知识来解决的．综上所述，解直角三角形一课在本章中是起到承上启下作用的重要一课．(三)重点、难点的学习与目标完成过程1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．3．例题例 1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且c=287.4，∠B=42°6′，解这个三角形．解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．解：(1)∠A=90°-∠B＝90°-42°6′=47°54′，∴a=c． cosB=28.74×0.7420≈213.3．∴b=c·sinB=287.4×0.6704≈192.7．完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底．例 2在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书．查表得A=78°51′；(2)∠B=90°-78°51′=11°9′注意：例1中的b和例2中的c都可以利用勾股定理来计算，这时要查平方表和平方根表，这样做有时会比上面用含四位有效数字的数乘(或除)以另一含四位有效数字的数要方便一些．但先后要查两次表，并作一次加法(或减法)．4．巩固练习解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了练习P．35中1、2．练习1针对各种条件，使学生熟练解直角三角形；练习2代入数据，培养学生运算能力．参考答案：1．(1)∠B=90°-∠A，a=c·sinA，b=c·cosA；(3)∠B=90°-∠A，a=b·tgA，说明：解直角三角形计算上比较繁锁，条件好的学校允许用计算器．但无论是否使用计算器，都必须写出解直角三角形的整个过程．要求学生认真对待这些题目，不要马马虎虎，努力防止出错，培养其良好的学习习惯．(四)总结与扩展1．请学生小结：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．2．幻灯片出示图表，请学生完成四、布置作业教材P．46习题6．3A组3．五、课后记解直角三角形是前面一段时间学习四个三角函数的综合应用，因此要求学生对前面知识要十分熟悉，学生表现出对知识连贯性不太好。
《解直角三角形》教学设计
《解直角三角形》教学设计(续表)图28－2－5 教师呈现问题并引导学生结合图形，观察已知和的正弦来求∠A的(续表)(续表)【学习目标】 1．知识技能(1)掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．(2) 理解解一个直角三角形的前提条件． 2．解决问题通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3．数学思考 让学生思考：为什么一个直角三角形可以解的前提条件是必须有两个元素(其中一个必须为边)．从而让学生理解画一个直角三角形的条件．4．情感态度(1) 通过给定具体的两个条件(其中一个为边)，让学生们画直角三角形，培养学生合作交流的意识和探索精神．(2)通过本节的学习，向学生渗透数形结合的数学思想，培养他们良好的学习习惯． 【学习重难点】重点：直角三角形的解法．难点： (1)三角函数在解直角三角形中的灵活运用．(2)学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边．课前延伸【知识梳理】(1) 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝3，c ＝4，则b ＝． (2) 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝28°，那么∠B ＝__62°__．(3) 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝4，b ＝5，则sin A ＝41，cos A ＝41，tan A ＝__45__(4) 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∠A ＝30°，a ＝6，则c ＝__12__，b ＝． (5) 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知c ＝6, ∠A ＝50°，则a ＝__6_sin50°__． (6) 意大利披萨斜塔在建成的时候就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线2.1米，1972年披萨地区发生地震，这座高54.5米的斜塔在大幅摇摆后依然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2米，请你算出这时塔身中心线与垂直中心线的夹角．课内探究一、 课堂探究1(问题探究，自主学习)(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝28, ∠B ＝60°，解这个直角三角形． (2)在Rt △ACB 中，c ＝90°，a ＝30, ∠B ＝80°， 解这个直角三角形． (3)在Rt △ABC 中，c ＝90°，a ＝3，b ＝3, 解这个直角三角形．二、课堂探究2(分组讨论，合作探究)(1) 画一个直角三角形，使两条直角边分别为3和4.(2) 画一个直角三角形，使一条直角边为3，一个锐角为35°.(3) 画一个直角三角形，使斜边长为8，一个锐角为40°.(4) 画一个直角三角形，使两个锐角分别为30°和60°.各小组比较由(1)(2)(3)(4)画出的直角三角形．讨论1：你觉得给出什么样的条件可以画出一个确定的三角形．讨论2：你觉得确定一个直角三角形需要的元素有什么条件？三、反馈训练1．必做题在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知b＝20, ∠B＝35°，解这个直角三角形(结果保留小数)；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a＝10 3，b＝20, 解这个直角三角形．2．选做题在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15, ∠A的平分线AD＝10 3，解这个直角三角形．课后提升1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝6，解这个直角三角形．2. 已知在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，AB＝6，求BC长．3. 如图，在两面墙之间有一个底端在点A的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在点B处；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在点D处．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，点D到地面的垂直距离DE＝3 2 m．求点B到地面的垂直距离BC.图28－2－9。
直角三角形的边角关系和一元二次函数
A
D
B
C
G
1
乐恩特文化传播有限公司
【课堂练习】
一、填空和选择题
c 2， c， 2、 在△ABC 中， ∠A， ∠B， ∠C 的对边分别是 a 、 已知 a 1 ， 则 sin A __________ b、 b 1，
3、比较下列三角函数值的大小： sin 40 杆高
sin 50
教 师 课 后 小 结
签字
教学主任：
教学组长：
学生/家长：
9
教学重难点 分 析
重点：直角三角形的特殊角的函数值及互余两角的对应关系 难点：三角函数在实际生活中的应用
教 ◆ 知识要点概述
学
过
程
例 1. 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物 ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带，该 建筑物顶端宽度 AD 和高度 DC 都可直接测得，从 A、D、C 三点可看到塔顶端 H，可供使用的测量工 具有皮尺，测倾器，（1）请你根据现有条件充分利用矩形建筑物设计一个测量塔顶端到地面高度 HG 的方案，具体需求如下： （1）测量数据尽可能少 （2）在所给图形上画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测 A、D 间 的距离用 m 表示； 如果测 D、 C 间距离用 n 表示； 如果测角用α 、 β 、 γ 等表示， 测倾器高度不变。 ） （3）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度 HG（用字母表示）
8
乐恩特文化传播有限公司
3、如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面 AB 的宽是 20 米，如果水位上升 3 米时，水面 CD 的宽为 10 米，（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式； （2） 现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发， 要经过此桥开往乙地， 已知甲地到此桥 280 千 米，（桥长忽略不计）货车以每小时 40 千米的速度开往乙地，当行驶到 1 小时时，忽然接到紧急 通知， 前方连降大雨， 造成水位以每小时 0.25 米的速度持续上涨， （货车接到通知时水位在 CD 处） ， 当水位达到桥拱最高点 O 时，禁止车辆通行；试问：汽车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？ 若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过多少千米？
初三中考第一轮复习全等三角形（一对一教案）
初三中考第⼀轮复习全等三⾓形（⼀对⼀教案）学科教师辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科⽬：学科教师：授课类型T全等三⾓形判定 C 全等三⾓形的判定特点T 中考题型分析授课⽇期及时段教学内容⼀、同步知识梳理1．判定和性质⼀般三⾓形直⾓三⾓形判定边⾓边（SAS）、⾓边⾓（ASA）⾓⾓边（AAS）、边边边（SSS）具备⼀般三⾓形的判定⽅法斜边和⼀条直⾓边对应相等（HL）性质对应边相等，对应⾓相等对应中线相等，对应⾼相等，对应⾓平分线相等注：①判定两个三⾓形全等必须有⼀组边对应相等；②全等三⾓形⾯积相等．2．证题的思路：）找任意⼀边（）找两⾓的夹边（已知两⾓）找夹已知边的另⼀⾓（）找已知边的对⾓（找已知⾓的另⼀边（边为⾓的邻边）任意⾓（若边为⾓的对边，则找已知⼀边⼀⾓）找第三边（）找直⾓（）找夹⾓（已知两边AASASAASAAASSASAASSSSHLSAS⼆、同步题型分析题型1：边边边（SSS）的证明（．★．）例．．1．：．已知：如图1，AD＝BC．AC＝BD．试证明：∠CAD＝∠DBC.图1提⽰：证明△ABD≌△BAC，得到∠BAD＝∠ABC,∠DBA＝∠CAB,通过∠BAD—∠CAB＝∠ABC—∠DBA，证明∠CAD＝∠DBC。
题型2：边⾓边（SAS）的证明（．★．）例．．1．：．已知：如图2，AB＝AC，BE＝CD．求证：∠B＝∠C．图2提⽰：由．．．．AB＝AC，BE＝CD，得到AD=AE,证明△ABD≌△ACE，得到∠B＝∠C（．★．）例．．2．：．已知：如图3，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．求证：BC＝DE．图3提⽰：由．．．．∠1＝∠2，得到∠BAC＝∠DAE,证明△BAC≌△DAE，得到BC＝DE（．★★．．3．：．如图4，将两个⼀⼤、⼀⼩的等腰直⾓三⾓尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，．．）例∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．图4提⽰：延长．．AB＝CB，EB＝DB，∠ABE＝∠CBD＝90°，证明△ABE≌△CBD，得到．．F．，由．．．．．AE．．交．CD．．于点AE=CD,∠EAB＝∠DCB，再由∠CDB+∠DCB=90o,得到∠CEF+∠ECF＝90°，证明AE⊥CD 题型3：⾓边⾓（ASA）、⾓⾓边（AAS）的证明（．★．）例．．1．：．已知：如图5，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．求证：AD ＝AC ．图5提⽰：由．．．．AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，得到∠CAB ＝∠DAE ，根据∠E ＝∠B ，DE ＝CB ，证明△C AB≌△DAE ，得到AD ＝AC（．★★．．）例．．2．：．已知：如图6，在△MPN 中，H 是⾼MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM .图6提⽰：由．．．．MQ 和NR 是△MPN 的⾼，得到∠MQP ＝∠NRP ＝90°，继⽽得到∠PMQ ＝∠PNR ，结合MQ ＝NQ ，证明△PMQ ≌△HNQ ，得到HN ＝PM（．★★．．）例．．3．：．阅读下题及⼀位同学的解答过程：如图7，AB 和CD 相交于点O ，且OA ＝OB ，∠A ＝∠C ．那么△AOD 与△COB 全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．答：△AOD ≌△COB ．证明：在△AOD 和△COB 中，∠=∠=∠=∠),(),(),(对顶⾓相等已知已知COB AOD OB OA C A∴△AOD ≌△COB （ASA ）．图7问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？提⽰：⼀定要找准对应边和对应⾓题型4、斜边和⼀条直⾓边对应相等（HL ）（．★★．．）．已知：如图7，AC ＝BD ，AD ⊥AC ，BC ⊥BD ．求证：AD ＝BC ；图7提．⽰：连接．．．．DC ．．，即可证明．．．．．△ADC ≌△BCD三、课堂达标检测（★）检测题1：如图（1），点P 是AB 上任意⼀点，ABC ABD ∠=∠，还应补充⼀个条件，才能推出APC APD △≌△．从下列条件中补充⼀个条件，不⼀定能．．．．推出APC APD △≌△的是（）A ．BC BD =B ．AC AD = C ．ACB ADB ∠=∠D ．CAB DAB ∠=∠答案：B（★）检测题2：如图2，已知AD AB =，DAC BAE ∠=∠，要使 ABC △≌ADE △，可补充的条件是（写出⼀个即可）．答案：AE=AC（★★）检测题3：如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O.求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE .图（3）CADP B图（1）A CEBD（2）BDA⼀、专题精讲（★★）题型⼀：全等三⾓形证明等量例1：2010四川宜宾，13(3)，5分）如图，分别过点C、B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂⾜分别为E、F．求证：BF=CE．提⽰：证明△CED≌△BFD题型⼆：全等三⾓形证明位置关系（★★）例2：如图所⽰，已知，AD为△ABC的⾼，E为AC上⼀点，BE交AD于F ,且有BF=AC,FD=CD.求证：BE⊥AC提⽰：证明△BDF≌△ADC题型三、构造全等证明结论（★★）例3：如图，已知E是正⽅形ABCD的边CD 的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE.求证：AF=AD+CFABDCEF提⽰：证明△DBA ≌△ECA（★★★）检测题2：△DAC, △EBC 均是等边三⾓形，AE,BD 分别与CD,CE 交于点M,N,求证：（1）AE=BD (2)CM=CN (3) △CMN 为等边三⾓形（4）MN ∥BC提⽰：（1）证明△ACE ≌△DCB （2）△ACM ≌△DCN 或△EMC ≌△BNC（★★★）检测题3：如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐⾓．点D 为射线BC 上⼀动点，连接AD ，以AD 为⼀边且在AD 的右侧作正⽅形ADEF ．解答下列问题：（1）如果AB=AC ，∠BAC=90o．①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图⼄，线段CF 、BD 之间的位置关系为，数量关系为．②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成⽴，为什么？D AMEAFFEAFA（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90o，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满⾜⼀个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）提⽰：证明△ABD≌△ACF即可三、学法提炼1、专题特点：主要是了解全等三⾓形的运⽤特点，全等三⾓形的构造⽅法2、解题⽅法：主要是从全等三⾓形的四⼤条件⼊⼿（公共边、公共⾓、重合边、重合⾓），运⽤已知条件，达到全等证明3、注意事项：在条件运⽤中，⼀定要清楚条件所适⽤的判定，不能张冠李戴。
人教版九年级下册数学《解直角三角形的应用》锐角三角函数研讨复习说课教学课件
A
A．250米
B．250
米
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
个人简历：课件/jianli/
课件
课件
手抄报：课件/shouchaobao/
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
C.
米
60°
D.500
米
第5课时 解直角三角形
解直角三角形的应用
探索新知
例 1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔
北偏东30°方向上．
问：已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向
正东方向航行是否安全？
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
个人简历：课件/jianli/
课件
课件
手抄报：课件/shouchaobao/
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
50
H
第5课时 解直角三角形
解直角三角形的应用
达景点A，此时测得景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与B之间的
距离．（结果保留根号）
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
个人简历：课件/jianli/
课件
课件
手抄报：课件/shouchaobao/
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
M
C
N
第5课时 解直角三角形
解直角三角形的应用
重难点突破
直角三角形的边角关系(教材分析)
A
东
B
C
D
三、设置课题学习，加强综合实践能力
90
60
C
T
30 90 0 30 60
支杆
A
Q
如图,AC表示一幢楼,它的各楼层都可 到达;BD表示一个建筑物,且不能到达．已 知AC与BD地平高度相同,AC周围没有开阔地 带,仅有的测量工具为皮尺(可测量长度)和 测角器(可测量仰角、俯角和两视线的夹 角）． ⑴请你设计一个测量建筑物BD 高度的方案，要求写出测量步骤 和必要的测量数据（用字母表示） 并画出测量示意图；
B1
B2 C2
C1
A
测量
问题1: 在太阳光下,你如何测得学校操场 上旗杆的高度? B
B′
A
A′
C′
C
问题2: 如果就你一个人,又遇上阴天,那怎 么办呢?
方案: 站在离旗杆BE底部10米处的D点,目测 旗杆的顶部,视线AB与水平线的夹角 ∠BAC=34°,并已知目高AD为1米．现在请 你按1:500的比例将△ABC画在纸上,并记为 △A´B´C´,用刻度直尺量出纸上B´C´的长度， 便可以算出旗杆的实际高度？
在上一节中，我们曾使用两种方法求 出操场上旗杆的高度，其中都出现了两个 相似的直角三角形，即
ABC∽ A B C
B C AC 1 BC AC 500
B C BC AC AC
A
A′ B′ C′
B
C
结论:在Rt△ABC中,只要一个锐角的大小不变(如 ∠A=34°),那么不管这个直角三角形的大小如何, 该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值．
1、认识锐角三角函数(sinA,cosA,tanA),知道 30°,45°,60°角的三角函数值; 2、会使用计算器由已知锐角求它的三角函数 值,由已知三角函数值求它对应的锐角; 3、运用三角函数解决与直角三角形有关的简 单实际问题．
冀教版九年级上册数学《解直角三角形的应用》说课教学复习课件
求飞机A到控制点B的距离.
解：由题意知∠B＝∠α＝30°.
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，
sin B＝ AC 1
AB
2
∴AB＝2AC＝2 400 m．
答：飞机A到控制点B的距离为2 400 m．
知识讲解
如图所示,小明在距旗杆4.5 m的点D处,仰视旗杆顶
26.4 解直角三角形的应用
第1课时
课件
学习目标
1 理解仰角、俯角及方向角的概念. (重点)
2 能运用解直角三角形知识解决仰角、俯角和方向角有关的
实 际问题，在解题过程中进一步体会数形结合、转化、方
程的 数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基本模型及
解题思路.(重难点)
知识回顾
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
B
A
α
β
D
俯角
C
水平线
解：如图， = 30°,β= 60°， AD＝120．
BD
CD
tan a
, tan
.
AD
AD
BD AD tan a 120 tan 30
3
120
40 3(m).
3
CD AD tan 120 tan 60
120 3 120 3(m).
俯角
3 207.8 ．
CD CE DE 40 3 120
160
B
120米
D
3
3 277 .1．
3．
即学即练1如图，直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的
《利用三角函数测高》示范教学方案
第一章直角三角形的边角关系1.6利用三角函数测高一、教学目标1．经历设计活动方案、自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程．2．能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量的结果进行矫正，从而得出符合实际的结果.3．能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题.4．培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神.二、教学重点及难点重点：设计活动方案，自制仪器．难点：运用直角三角形的边角关系解决问题．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板。
四、相关资源《复习三角函数》动画，《侧倾器测量倾斜角》动画，，，，，，.五、教学过程【复习引入】回忆以前学过的三角函数公式.【知识点解析】解直角三角形应用举例，本微课资源通过讲解实例，进一步巩固解直角三角形的应用.师生活动：教师出示问题，学生思考、回顾并回答问题．答：在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=A∠的对边斜边，cos A=A∠的邻边斜边，tan A=AA∠的对边∠的邻边．今天我们主要来研究怎样利用三角函数来测量高度．设计意图：通过复习前面学过的三角函数公式，为本节课的学习作知识准备．【探究新知】做一做制作测倾器.师生活动：教师出示问题，学生讨论、分析，小组合作制作测倾器．答：如图所示，首先使（1）支杆的中心线、铅垂线、0°刻度线重合，（2）度盘的顶线PQ与支杆的中心线、铅垂线、0°刻度线互相垂直，然后用螺钉、螺母把刻度盘和支杆固定在一起即可制作出一个测倾器．设计意图：学生亲自动手制作测倾器，极大地激发了学生的学习兴趣，培养学生的动手能力与合作精神，体会到生活中处处有数学．活动一：测量倾斜角测量倾斜角可以用测倾器，使用测倾器测量倾斜角的步骤是什么？根据测量数据，你能求出测量目标的仰角或俯角吗？说说你的理由．师生活动：教师出示问题，学生选定一测量目标测量其倾斜角并回答问题．答：使用测倾器测量倾斜角的步骤如下：1．把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置．2．转动度盘，使度盘的直径对准目标M ，记下此时铅垂线所指的度数．根据测量数据，就能求出目标M 的仰角或俯角．测量仰角利用的是“同角的余角相等”；测量俯角利用的是“对顶角相等”“同角的余角相等”．设计意图：培养学生的动手操作能力，通过动手操作，加深对知识的印象．活动二：测量底部可以到达的物体的高度怎样测量底部可以到达的物体的高度呢？师生活动：教师出示问题，学生选定一测量目标测量其倾斜角并回答问题．教师解释：所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．答：如图，要测量物体MN 的高度，可以按如下步骤进行：NE N1．在测点A 处安置测倾器，测得M 的仰角∠MCE =α．2．量出测点A 到物体底部N 的水平距离AN =l ．3．量出测倾器的高度AC =a （即顶线PQ 成水平位置时，它与地面的距离）．根据测量数据就可求出物体MN 的高度，即MN =ME +EN =l tan α+a ．设计意图：经历方案设计、实地测量、数据处理的活动流程，培养学生的科研能力与科学精神．活动三：测量底部不可以到达的物体的高度．怎样测量底部不可以到达的物体的高度呢？师生活动：教师出示问题，学生选定一测量目标测量其倾斜角并回答问题．教师解释：所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．答：如图，要测量物体MN 的高度，可以按如下步骤进行：1．在测点A 处安置测倾器，测得M 的仰角∠MCE =α．2．在测点A 与物体之间的B 处安置测倾器（A ，B 与N 在一条直线上，且A ，B 之间的距离可以直接测得），测得此时M 的仰角∠MDE =β．3．量出测倾器的高度AC =BD =a ，以及测点A ，B 之间的距离AB =b ．根据测量数据就可求出物体MN 的高度，即tan tan ME ME b αβ-=， 解得11tan tan b ME αβ=-．所以MN =ME +EN =11tan tan b a αβ+-． 设计意图：复习巩固解直角三角形的知识，培养学生分析问题和解决问题的能力．【典例精析】例 在距山坡脚B 100米的测点A 处测出山顶上高压输电铁塔顶端M 的仰角为34°42′，测出底端N 的仰角为28°36′，求铁塔的高（精确到0.1米，如图所示）．师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师生共同完成解题过程．解：在Rt △ABN 中，有BN =AB ·tan28°36′≈100×0.545 2=54.52，在Rt △ABM 中，有BM =AB ·tan34°42′≈100×0.692 4=69.24，所以，铁塔的高度为MN =BM -BN ≈69.24-54.52=14.72≈14.7（米）．答：铁塔的高约为14.7米．注意：∠MAN 不是视线和水平线的夹角，所以它既不是仰角，也不是俯角．设计意图：让学生应用刚刚学过的知识及前面学过的解直角三角形的知识解决实际问题．【课堂练习】1．如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5 m ，AB 为1.5 m(即小颖的眼睛距地面的距离)，那么这棵树的高度是（ ）．A ．32⎫⎪⎪⎝⎭ mB ．32⎛⎫ ⎪⎝⎭ mC mD ．4 m 2．如图，张华同学在学校某建筑物的C 点处测得旗杆顶部A 点的仰角为30°，旗杆底部B 点的俯角为45°．若旗杆底部B 点到建筑物的水平距离BE =9米，旗杆台阶高1米，则旗杆顶点A 离地面的高度为________米(结果保留根号)．3．如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为__________米．4．课外实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度．如图，在A处用测倾器（离地高度1.5米）测得旗杆顶端的仰角为15°，朝旗杆方向前进23米到B处，再次测得旗杆顶端的仰角为30°，求旗杆EG的高度．师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．参考答案1．A．2．(10+．3．4．解：由题设可知，∠ECD=∠DEC=15°．∴DE=CD=23(米)．在Rt△EFD中，∠EDF=30°，∴EF=12ED=11.5(米)．∴EG=EF+GF=11.5+1.5=13(米)．答：旗杆EG的高度为13米．设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．六、课堂小结1．使用测倾器测量倾斜角的步骤：（1）把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置；（2）转动度盘，使度盘的直径对准目标，记下此时铅垂线所指的度数．根据测量数据，就能求出目标的仰角或俯角．2．测量底部可以到达的物体高度的步骤：如图，要测量物体MN的高度，（1）在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；（2）量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；（3）量出测倾器的高度AC=a（即顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离）．根据测量数据就可求出物体MN的高度．3．测量底部不可以到达的物体高度的步骤：如图，要测量物体MN的高度，（1）在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；（2）在测点A与物体之间的B处安置测倾器（A，B与N在一条直线上，且A，B之间的距离可以直接测得），测得此时M的仰角∠MDE=β；（3）量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离AB=b．根据测量数据就可求出物体MN的高度．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．七、板书设计1.6 利用三角函数测高1．利用三角函数测高。