2019-2020学年同步人教A版高中数学选修2-2培优课件-复数代数形式的乘除运算
解得xy＝＝－3，2 或xy＝＝－－23.， 因此z＝3－2i或z＝－3－2i.
于是
z －z
＝
3－2i 3＋2i
＝
3－2i2 3＋2i3－2i
＝
5－12i 13
＝
5 13
－
12 13
i，或
z －z
＝
－ －33－ ＋22ii＝－3＋－23i－－2i32－2i＝5＋1312i＝153＋1123i.
[解] (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i) ＝1－i2＋(－1＋i)
＝2－1＋i＝1＋i.
(2)－12＋ 23i 23＋12i(1＋i)
＝－ 43－ 43＋34－14i(1＋i)
＝－ 23＋12i(1＋i)
[解] (1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根， ∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0. ∴2b＋＋bc＝＝00，， 得cb＝＝2－. 2， ∴b＝－2，c＝2. (2)将方程化为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边x2－2x＋ 2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立， ∴1－i也是方程的一个根．
[类题通法] 复数乘除运算的常用技巧 (1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左
到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算 顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式 计算． (2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复 数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．
[答案] (1)D (2)B (3)B
[类题通法] 共轭复数的求解与应用 (1)若复数z的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出
z ，再进行复数的四则运算．必要时，需通过复数的运算先 确定出复数z的代数形式，再根据共轭复数的定义求 z . (2)共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于z和 z 的方程， 而复数z的代数形式未知，求z，解此类题的常规思路为设z＝ a＋bi(a，b∈R )，则 z ＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等
(3)两个共轭复数的和一定是实数吗？两个共轭复数的差一定是 纯虚数吗？ 提示：若z＝a＋bi(a，b∈R )，则 z ＝a－bi，则z＋ z ＝2a∈R .
因此，和一定是实数；而z－ z ＝2bi.当b＝0时，两共轭复数 的差是实数，而当b≠0时，两共轭复数的差是纯虚数．
(4)若z1与z2互为共轭复数，则|z1|与|z2|之间有什么关系？ 提示：|z1|＝|z2|.
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
则zz12＝ac＋＋dbii＝ acc2＋ ＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2
i(c＋di≠0)．
三、综合迁移·深化思维 (1)复数的乘法运算与多项式的乘法运算有什么关系？
提示：复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似，只要在所得 的结果中把i2换成－1，并且把实部和虚部分别合并即可． (2)复数z1＝a＋bi与z2＝a－bi(a，b∈R )有什么关系？z1·z2为何值？ 提示：z1与z2的实部相同，虚部互为相反数，z1·z2＝a2＋b2.
解得kx＝0＝－22，2， 或xk0＝＝2－2.2， ∴方程的实根为x＝ 2或x＝－ 2， 相应的k值为k＝－2 2或k＝2 2.
[课堂归纳领悟] 1．本节课的重点是复数的乘除运算及共轭复数问题，难点是复
数的除法运算和解复数方程问题． 2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)复数的乘除运算，见探究点一； (2)共轭复数的有关问题，见探究点二； (3)复数范围内的方程根问题，见探究点三．
[思考探究]
探究点二 共轭复数
若z＝a＋bi(a，b∈R )，则 z ，z·z 各为何值？
名师指津： z ＝a－bi，z·z ＝a2＋b2.
[典例精析]
(1)若z＝1＋i 2i，则复数 z ＝
()
A．－2－i
B．－2＋i
C．2－i
D．2＋i
(2)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭
[针对训练] 1．计算：
(1)(－1＋3i)(3－4i)； (2)3－42i－1i＋i2＋(1－i)2. 解：(1)(－1＋3i)(3－4i)＝－3＋4i＋9i－12i2＝9＋13i. (2)3－42i－1i＋i2＋(1－i)2＝3－2－4ii·2i－2i ＝82＋－6ii－2i＝82＋－6ii88－－66ii－2i ＝101－0020i－2i＝110－15i－2i＝110－151i.
z1·z2＝ z2·z1 (z1·z2)·z3＝ z1·(z2·z3) z1(z2＋z3)＝ z1z2＋z1z3
3.共轭复数的概念 一般地，当两个复数的实部 相等，虚部 互为相反数 时，这
两个复数叫做互为共轭复数．通常记复数z的共轭复数为 z ，
虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
4．复数的除法法则
探究点三 复数范围内的方程根问题 [典例精析] 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)． (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否是方程的根． [思路点拨] (1)将1＋i代入方程，然后利用复数相等的充要 条件求b，c的值； (2)将1－i代入方程x2＋bx＋c＝0，若方程成立，则1－i是方 程的根，否则就不是．
＝－ 23－12＋12－ 23i
＝－1＋2
3＋1－2
3 i.
(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)＝－1＋2＋2i3i＝－1＋2＋2i3i1－1－2i2i ＝－2＋162＋＋223＋4i＝45＋75i. (4)法一：23－＋32ii－23＋－32ii ＝3＋2i2＋2－3i3i－2＋3－3i2i2－3i ＝6＋13i－46－ ＋69＋13i＋6＝2163i＝2i. 法二：32＋ －23ii－32－ ＋23ii＝i22－－33ii－－2i＋2＋3i3i ＝i＋i＝2i.
(5)复数的除法，其实质是分母实数化，即把分子和分母同乘以 一个什么样的数？ 提示：进行复数的除法运算时，分子、分母同乘以分母的共 轭复数．
探究点一 复数的乘除运算 [典例精析] 计算： (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； (2)－12＋ 23i 23＋12i(1＋i)； (3)(－2＋3i)÷(1＋2i)； (4)32＋ －23ii－32－ ＋23ii.
二、归纳总结·核心必记 1．复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋
bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i (a，b，
c，d∈R )．
2．复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C ，有
交换律 结合律 乘法对加法的分配律
复数的点D．D
(3)复数z＝1＋i， z 为z的共轭复数，则z z －z－1＝ ( )
A．－2i
B．－i
C．i
D．2i
[解析] (1)z＝1＋i 2i＝1＋－2ii2－i＝2－i，则复数 z ＝2＋i.
(2)因为x＋yi的共轭复数为x－yi，故选B.
(3)依题意得z z －z－1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i.
[类题通法] 解决复数方程问题的方法 与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条 件，把复数问题实数化进行求解．根与系数的关系仍适用，但 判别式“Δ”不再适用．
[针对训练] 3．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个实
根及实数k的值． 解：设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得 (x20＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0， 由复数相等的充要条件得2x0x2＋0＋kxk0＝＋02，＝0，
3．2.2 复数代数形式的乘除运算
一、预习教材·问题导入 根据以下提纲，预习教材P109～P111，回答下列问题． (1)复数的加减类似于多项式加减，试想：复数相乘是否类似于
多项式相乘？ 提示：是．
(2)观察下列三组复数： ①z1＝2＋i，z2＝2－i； ②z1＝3＋4i，z2＝3－4i； ③z1＝4i，z2＝－4i. 每组复数中的z1与z2有什么关系？ 提示：实部相等，虚部互为相反数．
的充要条件，转化为方程(组)求解．
[针对训练]
2．已知复数 z 的共轭复数是－z ，且 z－－z ＝－4i，z·－z ＝13，试
求－zz . 解：设z＝x＋yi(x，y∈R )，则由条件可得
x＋yi－x－yi＝－4i， x＋yix－yi＝13.
即x22y＋i＝y－2＝41i，3，
合集下载
0da10df0cd84b9d528ea81c758f5f61fb6362824
解析 z1＋z2＝(2＋12)－(12＋2)i＝52－52i.
1 2345
解析答案
2.若z＋3－2i＝4＋i，则z等于( B )
A.1＋i
B.1＋3i
C.－1－i
D.－1－3i
解析 z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i.
1 2345
解析答案
1 2345
3.在复平面内，O 是原点，O→A，O→C，A→B表示的复数分别为－2＋i，3＋ 2i,1＋5i，则B→C表示的复数为( C )
∴|z|＋z＝( x2＋y2＋x)＋yi＝1＋3i，
∴ x2＋y2＋x＝1， y＝3，
解得xy＝ ＝3－，4， ∴z＝－4＋3i.
解析答案
类型二 复数加、减法的几何意义
例2 (1)已知复数z1＝3＋2i，z2＝1－3i，则复数z＝z1－z2在复平 面内对应的点Z位于复平面内的第___一_____象限. 解析 z＝z1－z2＝(3＋2i)－(1－3i)＝2＋5i，z对应的点为(2,5)，位于第 一象限.
答案
知识点二 复数加减法的几何意义
思考1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出
发讨论复数加法的几何意义吗？ 答 如图，设O→Z1，O→Z2分别与复数 a＋bi，c＋di 对应， 则有O→Z1＝(a，b)，O→Z2＝(c，d)， 由向量加法的几何意义O→Z1＋O→Z2＝(a＋c，b＋d)， 所以O→Z1＋O→Z2与复数(a＋c)＋(b＋d)i 对应，复数的加法可 以按照向量的加法来进行.
复数加法的 几何意义
复数z1＋z2是以 O→Z1，O→Z2 为邻边的
平行四边形的对角线O→Z 所对应的
复数
复数减法的 几何意义
复数z1－z2是从向量O→Z2 的终点指 向向量 O→Z1的终点的向量 Z→2Z1 所对
2019-2020学年高中数学选修2-2人教A版课件：第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 3.2.1
向量B→A对应的复数为 1＋2i，向量B→C对应的复数为 3－i，求点 C 对应的复数．
【思路探索】 由复数、点及向量的对应关系可知，所求 复数即为向量O→C对应的复数．由加、减法运算的几何意义得O→C ＝O→A＋A→C.
【解】 ∵B→A对应的复数为 1＋2i，B→C 对应的复数为 3－i， ∴A→C＝B→C－B→A对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又∵O→C＝O→A＋A→C， ∴C 点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
[名 师 点 拨] 两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加 减.
若 z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，z1＋z2
的和所对应的点在实轴上，则 a 为( )
A．－1
B．1
C．2
D.3
解析：z1＋z2＝5＋(a＋1)i，由题意知，a＋1＝0，a＝－1. 答案：A
题型二 复数加减法的几何意义 复平面内三点 A，B，C，A 点对应的复数为 2＋i，
第三章 数系的扩充 与复数的引入
3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、减运算
及其几何意义
自主学习导航
梳理知识 夯实基础
目标导学
1．掌握复数代数形式的加、减运算法则． 2．了解复数代数形式的加、减法的几何意义．
‖知识梳理‖ 1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝ __a＋__c_＋_(_b_＋_d_)i____，z1－z2＝__a_－__c_＋__(_b_－__d_)i__，即两个复数的和 (或差)仍然是一个__复__数_____． 2．复数的加法满足：(1)交换律___z_1_＋__z2_＝__z_2＋__z_1_____；(2) 结合律_(_z_1＋__z_2_)＋__z_3_＝__z_1＋__(_z_2＋__z_3_)_.
【思路探索】 由复数、点及向量的对应关系可知，所求 复数即为向量O→C对应的复数．由加、减法运算的几何意义得O→C ＝O→A＋A→C.
【解】 ∵B→A对应的复数为 1＋2i，B→C 对应的复数为 3－i， ∴A→C＝B→C－B→A对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又∵O→C＝O→A＋A→C， ∴C 点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
[名 师 点 拨] 两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加 减.
若 z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，z1＋z2
的和所对应的点在实轴上，则 a 为( )
A．－1
B．1
C．2
D.3
解析：z1＋z2＝5＋(a＋1)i，由题意知，a＋1＝0，a＝－1. 答案：A
题型二 复数加减法的几何意义 复平面内三点 A，B，C，A 点对应的复数为 2＋i，
第三章 数系的扩充 与复数的引入
3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、减运算
及其几何意义
自主学习导航
梳理知识 夯实基础
目标导学
1．掌握复数代数形式的加、减运算法则． 2．了解复数代数形式的加、减法的几何意义．
‖知识梳理‖ 1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝ __a＋__c_＋_(_b_＋_d_)i____，z1－z2＝__a_－__c_＋__(_b_－__d_)i__，即两个复数的和 (或差)仍然是一个__复__数_____． 2．复数的加法满足：(1)交换律___z_1_＋__z2_＝__z_2＋__z_1_____；(2) 结合律_(_z_1＋__z_2_)＋__z_3_＝__z_1＋__(_z_2＋__z_3_)_.
2019-2020学年同步人教A版高中数学选修2-2培优课件：3.2.2 复数代数形式的乘除运算
第十六页，编辑于星期六：二十三点 五十一分。
[针对训练]
2．已知复数 z 的共轭复数是－z ，且 z－－z ＝－4i，z·－z ＝13，试
求－zz . 解：设z＝x＋yi(x，y∈R )，则由条件可得
x＋yi－x－yi＝－4i， x＋yix－yi＝13.
即x22y＋i＝y－2＝41i，3，
解得xy＝＝－3，2 或xy＝＝－－23.， 因此z＝3－2i或z＝－3－2i.
虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
4．复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
则zz12＝ac＋＋dbii＝ acc2＋ ＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2
i(c＋di≠0)．
第四页，编辑于星期六：二十三点 五十一分。
三、综合迁移·深化思维 (1)复数的乘法运算与多项式的乘法运算有什么关系？
第十九页，编辑于星期六：二十三点 五十一分。
[类题通法] 解决复数方程问题的方法 与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条 件，把复数问题实数化进行求解．根与系数的关系仍适用，但 判别式“Δ”不再适用．
第二十页，编辑于星期六：二十三点 五十一分。
[针对训练] 3．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个实
z ，再进行复数的四则运算．必要时，需通过复数的运算先 确定出复数z的代数形式，再根据共轭复数的定义求 z . (2)共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于z和 z 的方程， 而复数z的代数形式未知，求z，解此类题的常规思路为设z＝ a＋bi(a，b∈R )，则 z ＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等 的充要条件，转化为方程(组)求解．
B．－2＋i
C．2－i
[针对训练]
2．已知复数 z 的共轭复数是－z ，且 z－－z ＝－4i，z·－z ＝13，试
求－zz . 解：设z＝x＋yi(x，y∈R )，则由条件可得
x＋yi－x－yi＝－4i， x＋yix－yi＝13.
即x22y＋i＝y－2＝41i，3，
解得xy＝＝－3，2 或xy＝＝－－23.， 因此z＝3－2i或z＝－3－2i.
虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
4．复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
则zz12＝ac＋＋dbii＝ acc2＋ ＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2
i(c＋di≠0)．
第四页，编辑于星期六：二十三点 五十一分。
三、综合迁移·深化思维 (1)复数的乘法运算与多项式的乘法运算有什么关系？
第十九页，编辑于星期六：二十三点 五十一分。
[类题通法] 解决复数方程问题的方法 与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条 件，把复数问题实数化进行求解．根与系数的关系仍适用，但 判别式“Δ”不再适用．
第二十页，编辑于星期六：二十三点 五十一分。
[针对训练] 3．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个实
z ，再进行复数的四则运算．必要时，需通过复数的运算先 确定出复数z的代数形式，再根据共轭复数的定义求 z . (2)共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于z和 z 的方程， 而复数z的代数形式未知，求z，解此类题的常规思路为设z＝ a＋bi(a，b∈R )，则 z ＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等 的充要条件，转化为方程(组)求解．
B．－2＋i
C．2－i
2019-2020学年高中数学选修2-2人教A版课件：第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 3.2.2
第三章 数系的扩充 与复数的引入
3.2 复数代数形式的四则运算 3．2. 2 复数代数形式的乘除运算
自主学习导航
梳理知识 夯实基础
目标导学
1．掌握复数代数形式的乘除运算． 2．理解复数乘法的运算律及对加法的分配律，理解共轭复 数的概念．
‖知识梳理‖ 1．(1)复数的乘法法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 z1·z2＝(a＋bi)(c ＋di)＝_(_a_c_－__b_d_)_＋__(a_d_＋__b_c_)_i ___. (2)复数的乘法满足的运算律 复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律， 即：z1·z2＝_z_2_·z_1______，z1·(z2·z3)＝_(_z_1·_z_2)_·_z3__，z1·(z2＋z3) ＝__z_1_·z_2_＋__z_1·_z_3 ________.
(3)11＋ －ii＋31＋＋4ii ＝1＋2 i2＋3＋4i21－i ＝2i＋27＋i＝7＋2 3i.
[名 师 点 拨] 两个复数相乘与多项式相乘相类似，注意最后结果中把 i2 换成－1.两个复数相除，一般先写成分式的形式，再分母实数化， 即分子、分母同时乘以分母的共轭复数.
位)，则|z|＝( ) A．3 3 C．2 3
课堂互动探究
归纳透析 触类旁通
题型一 复数代数形式的乘除运算
计算：(1)(1＋i)2； (2)－12＋ 23i2－12－ 23i； (3)11＋－ii＋31＋＋4ii. 【思路探索】 利用复数代数形式的运算法则计算．
【解】 (1)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i. (2)－12＋ 23i2－12－ 23i ＝14－ 23i＋34i2－12－ 23i ＝－12－ 23i2＝14＋ 23i＋34i2 ＝－12＋ 23i.
3.2 复数代数形式的四则运算 3．2. 2 复数代数形式的乘除运算
自主学习导航
梳理知识 夯实基础
目标导学
1．掌握复数代数形式的乘除运算． 2．理解复数乘法的运算律及对加法的分配律，理解共轭复 数的概念．
‖知识梳理‖ 1．(1)复数的乘法法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 z1·z2＝(a＋bi)(c ＋di)＝_(_a_c_－__b_d_)_＋__(a_d_＋__b_c_)_i ___. (2)复数的乘法满足的运算律 复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律， 即：z1·z2＝_z_2_·z_1______，z1·(z2·z3)＝_(_z_1·_z_2)_·_z3__，z1·(z2＋z3) ＝__z_1_·z_2_＋__z_1·_z_3 ________.
(3)11＋ －ii＋31＋＋4ii ＝1＋2 i2＋3＋4i21－i ＝2i＋27＋i＝7＋2 3i.
[名 师 点 拨] 两个复数相乘与多项式相乘相类似，注意最后结果中把 i2 换成－1.两个复数相除，一般先写成分式的形式，再分母实数化， 即分子、分母同时乘以分母的共轭复数.
位)，则|z|＝( ) A．3 3 C．2 3
课堂互动探究
归纳透析 触类旁通
题型一 复数代数形式的乘除运算
计算：(1)(1＋i)2； (2)－12＋ 23i2－12－ 23i； (3)11＋－ii＋31＋＋4ii. 【思路探索】 利用复数代数形式的运算法则计算．
【解】 (1)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i. (2)－12＋ 23i2－12－ 23i ＝14－ 23i＋34i2－12－ 23i ＝－12－ 23i2＝14＋ 23i＋34i2 ＝－12＋ 23i.
高中人教A版数学选修2-2同步课件3.2.2复数代数形式的乘除运算1
由刚才的求商过程可以情势上写成(体会其中的过程):
(a bi) (c di) a bi (a bi)(c di) c di (c di)(c di)
ac bd (bc ad )i ac bd bc ad
c2 d2
c2 d2 c2 d2 i
分母实数化
例 1.计算 (1 2i) (3 4i) 解: (1 2i) (3 4i)
记为 (a bi) (c di)或 a bi . c di
即 a bi x yi ,那么 x ? , y ?
c di
(a bi) (c di) a bi x yi ,那么 x ? , y ? 除法法则: c di
a bi ac bd bc ad (a bi) (c di) c di c2 d 2 c2 d 2 i
⑵ (1 i )2 1 i
⑶1 1 3 2i 3 2i
练习.1.计算
⑴ (7 i) (3 4i)
1-i
⑵ (1 i )2 1 i
-1
⑶11 3 2i 3 2i
4 i
13
注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、
化简等.
2.若 x 1
2
3 2
i
,则
1 x2
x
_-__1__(.整体代入(3 4i)
(3 4i)(3 4i)
然后分母实数化 即可运算.(一般分子 分母同时乘以分母的
3 6i 4i 8i2
32 42
5 10i 1 2 i
25
55
共轭复数)
化简成代数情势 就得结果.
练习.计算
⑴ (7 i ) (3 4i )
又如计算
2x3
2x2 x1
x
=
(a bi) (c di) a bi (a bi)(c di) c di (c di)(c di)
ac bd (bc ad )i ac bd bc ad
c2 d2
c2 d2 c2 d2 i
分母实数化
例 1.计算 (1 2i) (3 4i) 解: (1 2i) (3 4i)
记为 (a bi) (c di)或 a bi . c di
即 a bi x yi ,那么 x ? , y ?
c di
(a bi) (c di) a bi x yi ,那么 x ? , y ? 除法法则: c di
a bi ac bd bc ad (a bi) (c di) c di c2 d 2 c2 d 2 i
⑵ (1 i )2 1 i
⑶1 1 3 2i 3 2i
练习.1.计算
⑴ (7 i) (3 4i)
1-i
⑵ (1 i )2 1 i
-1
⑶11 3 2i 3 2i
4 i
13
注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、
化简等.
2.若 x 1
2
3 2
i
,则
1 x2
x
_-__1__(.整体代入(3 4i)
(3 4i)(3 4i)
然后分母实数化 即可运算.(一般分子 分母同时乘以分母的
3 6i 4i 8i2
32 42
5 10i 1 2 i
25
55
共轭复数)
化简成代数情势 就得结果.
练习.计算
⑴ (7 i ) (3 4i )
又如计算
2x3
2x2 x1
x
=
2019-2020学年高二数学人教A版选修2-2课件：3.2.2 复数代数形式的乘除运算 Word版含解析.pdf
������1 ± ������2, ������1·������2 = ������1 ·������2,
=
2 5
−
1 I,
5
故复数z 对应的点为
2 5
,-
1 5
, 它位于第四象限,故选 D.
答案:D
【做一做 3-2】
计算: 3-2i .
8+6i
解: 3-2i
8+6i
=
(3-2i)(8-6i) (8+6i)(8-6i)
=
24-18i -16i -12 100
=
3 25
−
17 50
i.
-7-
目标导航
知识梳理
.
解析:(4-2i)2=16-16i+(-4)=12-16i.
答案:12-16i
-4-
目标导航
知知识识梳梳理理
重难聚焦
典例透析
2.共轭复数的概念
一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数
叫做互为共轭复数.通常记复数z的共轭复数为������, 虚部不等于0 的两
个共轭复数也叫做共轭虚数.
i
的形式,复数的除法实际上是一个分母实数化的过
程.
-6-
目标导航
知知识识梳梳理理
重难聚焦
典例透析
【做一做 3-1】在复平面内,复数 z=
1 对应的点位于
2+i
(
)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:z=
1 2+i
=
2-i (2+i)(2-i)
=
2-i 22 -i2
=
2019-2020年人教A版高中数学选修2-2：3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义课件 (共30张PPT)
D．3＋4i
解析：B→C＝A→C－A→B＝(－2－3i)－(－1＋2i)
＝－1－5i. 答案：A
3．已知 z 是复数，|z|＝3 且 z＋3i 是纯虚数，则 z＝________.
解析：设 z＝a＋bi，则 a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i 是纯虚数， ∴a＝0，b＋3≠0， 又∵|z|＝3，∴b＝3∴z＝3i. 答案：3i
(2)∵B→A·B→C＝|B→A||B→C|cos B，
→→
∴cos B＝|B→BAA||·BB→CC |＝
53×－210＝5
1
＝ 2
2 10 .
∴sin B＝572＝7102， ∴S＝|B→A||B→C|sin B＝ 5× 10×7102＝7，
∴平行四边问题？ 1．复数加法、减法运算的几何意义与平面向量的平行四边形法则、三角形法则 有关，因此在求解与平行四边形、三角形有关的复数问题时，主要应根据复数加、 减运算的几何意义求解计算． 2．由于复数可用向量表示，因而可将复数问题转化为向量问题，利用向量的方 法解决复数问题．
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理]
一、复数加、减法法则及运算律
1．设复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则
z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ (a＋c)＋(b＋d)i ， z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ (a－c)＋(b－d)i .
3．已知 z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值．
解析：由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上， 复数 z 对应的点 Z 与复数－3＋4i 对应的点 C 之间的距离等 于 1，故复数 z 对应的点 Z 的轨迹是以 C(－3,4)为圆心，半 径等于 1 的圆．而|z|表示复数 z 对应的点 Z 到原点 O 的距离， 又|OC|＝5，所以点 Z 到原点 O 的最大距离为 5＋1＝6，最 小距离为 5－1＝4. 即|z|max＝6，|z|min＝4.
高中数学人教A版选修2-2课件 第三章 3.2.2 复数代数形式的乘除运算
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
目录 退出
课前预习导学
目录 退出
目标导航
学习目标 1.能记住复数乘法的运算法则及运
算律; 2.能记住复数除法的运算法则; 3.能运用复数乘法与除法法则解决相关 问题; 4.能说出共轭复数的相关性质,并学会应 用其性质解决有关问题.
重点难点
重点:复数的乘法与除 法的运算法则; 难点:复数的除法运算.
=2-2
3i+2 -8i
3i-6i2-i=-1i -i=0.
目录 退出
迁移与应用
1.设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i(i 为虚数单位),则 z 的模
为
.
解析:∵z(2-3i)=6+4i,
∴z=62+-34ii = 2163i=2i,
∴|z|=2. 答案:2
目录 退出
2.计算:
1+i 1-i
(2)对于复数的除法运算,要熟练掌握“分母实数化”的方法. (3)对于复数的高次乘方运算,可利用公式(zm)n=zmn 进行转化运 算.
目录 退出
二、in 及 ωn 的性质
活动与探究 2
求下列各式的值: (1)1+i+i2+i3+…+i2 014;
(2)1-2+23+3ii +
2 1-i
2 014
目录 退出
3.复数的除法法则
设 z1=a+bi,z2=c+di(c+di≠0),
则������1
������2
=
������+������i ������+������i
=
������������+������������ ������2+������2
目录 退出
课前预习导学
目录 退出
目标导航
学习目标 1.能记住复数乘法的运算法则及运
算律; 2.能记住复数除法的运算法则; 3.能运用复数乘法与除法法则解决相关 问题; 4.能说出共轭复数的相关性质,并学会应 用其性质解决有关问题.
重点难点
重点:复数的乘法与除 法的运算法则; 难点:复数的除法运算.
=2-2
3i+2 -8i
3i-6i2-i=-1i -i=0.
目录 退出
迁移与应用
1.设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i(i 为虚数单位),则 z 的模
为
.
解析:∵z(2-3i)=6+4i,
∴z=62+-34ii = 2163i=2i,
∴|z|=2. 答案:2
目录 退出
2.计算:
1+i 1-i
(2)对于复数的除法运算,要熟练掌握“分母实数化”的方法. (3)对于复数的高次乘方运算,可利用公式(zm)n=zmn 进行转化运 算.
目录 退出
二、in 及 ωn 的性质
活动与探究 2
求下列各式的值: (1)1+i+i2+i3+…+i2 014;
(2)1-2+23+3ii +
2 1-i
2 014
目录 退出
3.复数的除法法则
设 z1=a+bi,z2=c+di(c+di≠0),
则������1
������2
=
������+������i ������+������i
=
������������+������������ ������2+������2
2019-2020学年同步人教A版高中数学选修2-2培优课件：3.2.1 复数代数形式的加、减运算及
第八页，编辑于星期六：二十三点 i－[3＋2i＋3(－1＋3i)]；
(2)(a＋2bi)－(3a－4bi)－5i(a，b∈R )． 解：(1)原式＝2i－(3＋2i－3＋9i)＝2i－11i＝－9i. (2)原式＝－2a＋6bi－5i＝－2a＋(6b－5)i.
(z2＋z3)成立吗？ 提示：成立．
第一页，编辑于星期六：二十三点 五十一分。
(3)设―OZ→1 ＝(a，b)，―OZ→2 ＝(c，d)分别与复数z1＝
a＋bi，z2＝c＋di对应，如图所示．则―OZ→1 ＋
―OZ→2 ，z1＋z2各为何值？它们之间有什么对应
关系？―OZ→1 －―OZ→2 与z1－z2之间又有什么关系？
应的复数．注意向量
―→ AB
对应的复数是zB－zA(终点对应的复数
减去起点对应的复数)．
第十二页，编辑于星期六：二十三点 五十一分。
[针对训练]
2．已知平行四边形ABCD中，
―→ AB
与
―→ AC
对应的复数分别是3＋
2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于O点．
(1)求―A→D 对应的复数；
(2)求―D→B 对应的复数． 解：(1)由于四边形ABCD是平行四边形，所以―A→C ＝―A→B ＋
第七页，编辑于星期六：二十三点 五十一分。
[类题通法] (1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加
减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此 要准确地提取复数的实部与虚部． (2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有 括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．
3.2 复数代数形式的四则运算 3．2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
(2)(a＋2bi)－(3a－4bi)－5i(a，b∈R )． 解：(1)原式＝2i－(3＋2i－3＋9i)＝2i－11i＝－9i. (2)原式＝－2a＋6bi－5i＝－2a＋(6b－5)i.
(z2＋z3)成立吗？ 提示：成立．
第一页，编辑于星期六：二十三点 五十一分。
(3)设―OZ→1 ＝(a，b)，―OZ→2 ＝(c，d)分别与复数z1＝
a＋bi，z2＝c＋di对应，如图所示．则―OZ→1 ＋
―OZ→2 ，z1＋z2各为何值？它们之间有什么对应
关系？―OZ→1 －―OZ→2 与z1－z2之间又有什么关系？
应的复数．注意向量
―→ AB
对应的复数是zB－zA(终点对应的复数
减去起点对应的复数)．
第十二页，编辑于星期六：二十三点 五十一分。
[针对训练]
2．已知平行四边形ABCD中，
―→ AB
与
―→ AC
对应的复数分别是3＋
2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于O点．
(1)求―A→D 对应的复数；
(2)求―D→B 对应的复数． 解：(1)由于四边形ABCD是平行四边形，所以―A→C ＝―A→B ＋
第七页，编辑于星期六：二十三点 五十一分。
[类题通法] (1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加
减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此 要准确地提取复数的实部与虚部． (2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有 括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．
3.2 复数代数形式的四则运算 3．2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
2019-2020学年高二数学人教A版选修2-2课件：3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意
-5 = 6,
于是z=-5+11i.
(方法2)由z-(-3+5i)=-2+6i可得z=-2+6i+(-3+5i),
所以z=(-2-3)+(6+5)i=-5+11i.
第十页，编辑于星期日：点 十八分。
-10-
目标导航
题型一
题型二
题型三
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型四
反思复数加减运算的方法技巧:
(1)可把复数运算类比实数运算,若有括号,则先计算括号里面的;若没
=|(7+3i)-(1+i)|=|6+2i|=2 10.
-13-
第十三页，编辑于星期日：点 十八分。
目标导航
题型一
题型二
题型三
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型四
反思1.根据复数加、减运算的几何意义可以把复数的加、减运算与向
量的运算联系起来.
2.利用向量进行复数的加、减运算时,同样满足平行四边形法则和三角
1 , 2 的终点, 并指向被减向量所对应的复数.
【做一做 3】 设 O 是原点,向量, 对应的复数分别为2-3i,
-3+2i,则向量对应的复数是___________.
解析:对应的复数是(2-3i)-(-3+2i)=5-5i,
即对应的复数为5-5i.
答案:5-5i
第六页，编辑于星期日：点 十八分。
设 D(x,y),则 = (x-2,y-1)=(3,-1).
-2 = 3,
= 5,
所以
解得
= 0,
-1 = -1,
所以点D对应的复数为5.
于是z=-5+11i.
(方法2)由z-(-3+5i)=-2+6i可得z=-2+6i+(-3+5i),
所以z=(-2-3)+(6+5)i=-5+11i.
第十页，编辑于星期日：点 十八分。
-10-
目标导航
题型一
题型二
题型三
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型四
反思复数加减运算的方法技巧:
(1)可把复数运算类比实数运算,若有括号,则先计算括号里面的;若没
=|(7+3i)-(1+i)|=|6+2i|=2 10.
-13-
第十三页，编辑于星期日：点 十八分。
目标导航
题型一
题型二
题型三
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型四
反思1.根据复数加、减运算的几何意义可以把复数的加、减运算与向
量的运算联系起来.
2.利用向量进行复数的加、减运算时,同样满足平行四边形法则和三角
1 , 2 的终点, 并指向被减向量所对应的复数.
【做一做 3】 设 O 是原点,向量, 对应的复数分别为2-3i,
-3+2i,则向量对应的复数是___________.
解析:对应的复数是(2-3i)-(-3+2i)=5-5i,
即对应的复数为5-5i.
答案:5-5i
第六页，编辑于星期日：点 十八分。
设 D(x,y),则 = (x-2,y-1)=(3,-1).
-2 = 3,
= 5,
所以
解得
= 0,
-1 = -1,
所以点D对应的复数为5.