北京市2019学年高一上学期期中考试数学试卷【含答案及解析】
北京市2019学年高一上学期期中考试数学试卷【含答
案及解析】
姓名___________ 班级____________ 分数__________
一、选择题
1. 如果A=（-1，+∞），那么正确的结论是（）
A. 0 A
B. {0} A
C. {0} A
D.
2. 函数f（x）= ，则 =（）
A. 0
B. -
C.
D. -
3. 与函数y=lg（x-1）的定义域相同的函数是（）
A. y=x-1
B. y=|x-1|
C. y=
D. y=
4. 若函数 f(x)= + 与 g(x)= 的定义域均为 R ，则
A. f(x) 与 g(x) 均为偶函数
B. f(x) 为奇函数， g(x) 为偶函数
C. f(x) 与 g(x) 均为奇函数
D. f(x) 为偶函数． g(x) 为奇函数
5. 设a=lg 0.2，b= ，c= ，则（）
A. a<b<c
B. b<c<a
C. c<a<b
D. c<b<a
6. 若指数函数y= 在（-∞，+∞）上是减函数，那么（）
A. 0<a<1
B. -1<a<0
C. a=-1
D. a<-1
7. 设函数与的图象的交点为，则所在的区间是
（）
A．B．C．D．
8. 已知函数f（x）是R上的偶函数，当x≥0时f（x）=2 -2，则f（x）<0的解集
是（）
A. （-1，0）________
B. （0，1）________
C. （-1，1）________
D. （-∞，-1）（1，+∞）
9. 某商店卖出两套不同品牌的西服，售价均为1680元。
以成本计算，一套盈利20%，
另一套亏损20%，此时商店（）
A. 不亏不盈________
B. 盈利372元
C. 亏损140元________
D. 盈利140元
10. 设函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，则（）
A. B.
C. D.
二、填空题
11. = _______ 。
12. 已知函数为奇函数，若，则．
13. 函数f（x）= 在区间（-∞，-1]上是增函数，则实数a的取值范围为
_____ 。
14. 已知关于x方程（x-1）+k-1=0在区间[2，5]上有实数根，那么k的取值范
围是 _______ 。
三、解答题
15. 记函数f（x）= 的定义域为集合M，函数g（x）=
的定义域为集合N。
求：
（Ⅰ）集合M、N；
（Ⅱ）集合M N、M N。
16. 已知函数f（x）= 。
（Ⅰ）用定义证明：函数f（x）在区间（-∞，1]上是减函数；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）－mx是偶函数，求实数m的值。
17. 已知函数f（x）= ，其中0<a<1，k∈Ｒ。
（Ⅰ）若k=1，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若a= ，且f（x）在[1，+∞）内总有意义，求k的取值范围。
四、选择题
18. 定义在R上的奇函数f（x）满足f（2x）=-2f（x），且f（-1）= ，则f（2）
的值为
A. 1
B. -2
C. 2
D. -1
19. 设且，则函数的图象一定不过
（________ ）
A ．第一象限_________
B ．第二象限_________
C ．第三象限_________
D ．第四象限
20. 如果x>1，a= x，那么
A. B. C. D.
五、填空题
21. 若函数f（x）= 在区间[0，m]（m>0）有最大值3，最小值1，则m 的取值范围是 _______ 。
22. 设函数f（x）的定义域为D。
如果对任意x∈D，都存在常数M，使得f（x）≥M，称f（x）具有性质。
现给出下列函数：
①f（x）= ；②f（x）=3 -1；③f（x）=|ln x|；④f（x）
=lg|x|。
其中具有性质的函数序号是 _______ 。
23. pH值是水溶液的重要理化参数。
若溶液中氢离子的浓度为[H ]（单位：mol/l），则其pH值为-lg[H ]。
在标准温度和气压下，若水溶液pH=7，则溶液为中性，pH<7时
为酸性，pH>7时为碱性。
例如，甲溶液中氢离子浓度为0.0001mol/l，其pH为-1g
0.0001，即pH=4。
已知乙溶液的pH=2，则乙溶液中氢离子浓度为 ______ mol/l。
若乙溶
液中氢离子浓度是丙溶液的两千万倍，则丙溶液的酸碱性为 ______ （填中性、酸性或碱性）。
六、解答题
24. 设函数f（x）= 。
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）指出f（x）的单调递减区间（不必证明），并求f（x）的最大值。
25. 若定义在D上的函数f（x）满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有-M<f（x）<M
成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界。
（Ⅰ）判断函数f（x）= -2x+2，x∈[0，2]是否是有界函数，请说明理由；（Ⅱ）若函数f（x）=1+ + ，x∈[0，+∞）是以3为上界的有界函数，求实数
a的取值范围。
参考答案及解析
第1题【答案】
第2题【答案】
第3题【答案】
第4题【答案】
第5题【答案】
第6题【答案】
第7题【答案】
第8题【答案】
第9题【答案】
第10题【答案】
第11题【答案】
第12题【答案】
第13题【答案】
第14题【答案】
第15题【答案】
第16题【答案】
第17题【答案】
第18题【答案】
第19题【答案】
第20题【答案】
第21题【答案】
第22题【答案】
第23题【答案】
第24题【答案】
第25题【答案】。
北京市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷含答案
2024年高一第一学期期中试卷数学（答案在最后）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合{}31M x x =-<<，{}14N x x =-≤<，则M N = （）A.{}31x x -<< B.{}3x x >- C.{}11x x -≤< D.{}4x x <2.设命题p ： n ∃∈N ，225n n >+，则p 的否定是（）A. n ∀∈N ，225n n >+ B. n ∀∈N ，225n n ≤+C.n ∃∈N ，225n n ≤+ D.n ∃∈N ，N 225n n <+3.下列各组函数中，两个函数相同的是（）A.3y =和y x=B.2y =和y x=C.y =和2y =D.y =和2x y x=4.下列函数在区间()0,+∞上为增函数的是（）A.2xy = B.()21y x =- C.1y x-= D.3xy -=5.若实数a ，b 满足a b >，则下列不等式成立的是（）A.a b> B.a c b c+>+ C.22a b > D.22ac bc>6.“4a ≥”是“二次函数()2f x x ax a =-+有零点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在下列区间中，一定包含函数()25xf x x =+-零点的区间是（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,48.已知函数()1,01,0x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是（）A.()1,2 B.(),2-∞- C.()(),12,-∞+∞ D.(][),12,-∞+∞ 9.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的[)()1212,0,x x x x ∈+∞≠，都有()()21210f x f x x x -<-，且()30f =，则不等式()0f x >的解集是（）A.()(),30,3-∞-B.()()3,03,-+∞C.()3,3- D.()(),33,-∞-+∞ 10.现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线.在合适的坐标系中，这类曲线可用函数()()2e 0,e 2.71828ex xa bf x ab +=≠=⋅⋅⋅来表示.下列结论正确的是（）A.若0ab >，则()f x 为奇函数B.若0ab >，则()f x 有最小值C.若0ab <，则()f x 为增函数D.若0ab <，则()f x 存在零点二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.函数()f x =的定义域为__________.12.已知函数()()1104f x x x x=++>，则当且仅当x =_________时，()f x 有最小值________.13.已知集合{}2,0A a =，{}3,9B a =-，若满足{}9A B = ，则实数a 的值为________.14.已知函数()y f x =在R 上是奇函数，当0x ≤时，()21xf x =-，则()1f =________；当0x >时，()f x =________.15.已知非空集合A ，B 满足以下四个条件：①{}1,2,3,4,5,6A B = ；②A B =∅ ；③A 中的元素个数不是A 中的元素；④B 中的元素个数不是B 中的元素.（ⅰ）如果集合A 中只有1个元素，那么集合A 的元素是__________；（ⅱ）有序集合对(),A B 的个数是__________.三、解答题（共6小题，第16题9分，第17-19题6分，第20题7分，第21题6分）16.已知集合{}14A x x =-≤≤，{}11B x a x a =-≤≤+.（1）若4a =，求A B ；（2）若A B A = ，求a 的取值范围.17.解下列关于x 的不等式：（1）2112x x +≤-（2）213x -≥（3）()()2220ax a x a +--≥∈R 18.已知函数()22xxf x a -=⋅-是定义在R 上的奇函数.（1）求a 的值，并用定义法证明()f x 在R 上单调递增；（2）解关于x 的不等式()()23540f x x f x -+->.19.某工厂要建造一个长方体的无盖贮水池，其容积为34800m ，深为3m ，如果池底造价为每平方米150元，池壁每平方米造价为120元，怎么设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？20.已知函数()()21f x mx m x m =--+.（1）若不等式()0f x >的解集为R ，求m 的取值范围；（2）若不等式()0f x ≤对一切()0,x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围；21.设k 是正整数，集合A 至少有两个元素，且* N A ⊆.如果对于A 中的任意两个不同的元素x ，y ，都有x y k -≠，则称A 具有性质()P k .（1）试判断集合{}1,2,3,4B =和{}1,4,7,10C =是否具有性质()2P ？并说明理由；（2）若集合{}{}1212,,,1,2,,20A a a a =⋅⋅⋅⊆⋅⋅⋅，求证：A 不可能具有性质()3P ；（3）若集合{}1,2,,2023A ⊆⋅⋅⋅，且同时具有性质()4P 和()7P ，求集合A 中元素个数的最大值.高一第一学期期中试卷数学参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）CBAABABDCD二、共填空题（共5小题）11.[)1,+∞12.12；213.-314.12；()12xf x -=-15.5；10三、解答题（共6小题）17.（1）{}23A B x x =≤≤ .（2）a 的取值范围是7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.16.（1）()3,2-；（2）(][),12,-∞-+∞ （3）综上所述：当0a =时，不等式解集为(],1-∞-；当0a >时，不等式解集为(]2,1,a ⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭；当20a -<<时，不等式解集为2,1a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当2a =-时，不等式解集为{}1-；当2a <-时，不等式解集为21,a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.18.（1）1a =，证明略（2）()()()()()2235403544f x x f x f x x f x f x -+->⇒->--=-∴23542x x x x ->-⇒>或23x <-.19.水池总造价()()16001502331207201600150x f x xy x y x ⎛⎫=⨯++⨯=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭72024000057600240000297600≥+=+=元.当且仅当40x m =，40y m =时取等号.∴设计水池底面为边长为40m 的正方形能使总造价最低，最低造价是297600元.20.（1）m 的取值范围为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）m 的取值范围为(],1-∞-；21.（1）集合B 不具有性质()2P ，集合C 具有性质()2P （2）证明：将集合{}1,2,,20⋅⋅⋅中的元素分为如下11个集合，{1，4}，{2，5}，{3，6}，{7，10}，{8，11}.{9，12}，{13，16}，{14，17}，{15，18}，{19}，{20}，所以从集合{}1,2,,20⋅⋅⋅中取12个元素，则前9个集合至少要选10个元素，所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为3，所以A 不可能具有性质()3P ；（3）先说明连续11项中集合A 中最多选取5项，以1，2，3……，11为例.构造抽屉{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}，{5}，{6}，{7}.①5，6，7同时选，因为具有性质()4P 和()7P ，所以选5则不选1，9；选6则不选2，10；选7则不选3，11；则只剩4，8.故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.②5，6，7选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又{4，11}只能选一个元素，3，8可以选，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又{1，8}只能选一个元素，4，9可以选，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.③5，6，7中只选1个，又四个集合{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}每个集合至多选1个元素，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A 的元素至多只有5个，如取1，4，6，7，9.因为2023=183×11+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项；从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合A 的元素最多有184×5=920个.给出如下选取方法：从1，2，3……，11中选取1，4，6，7，9；然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次.此时集合A的元素为：1，4，6，7，9；12，15，17，18，20；23，26，28，29，31；……；2014，2017，2019，2020，2022，共920个元素.经检验可得该集合符合要求，故集合A的元素最多有920个.。
北京市房山区2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题Word版含答案
北京市房山区2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．）1．已知集合{}0,1,2M =，{}2,3N =，那么集合N M ⋂等于（ ）2．函数y=+的定义域为（ ）A ．（﹣1，1）B ． D ． 上的最大值等于 ．16．定义在正整数有序对集合上的函数f 满足：①(,)f x x x =， ②(,)(,)f x y f y x =，③()(,)(,)x y f x y yf x x y +=+，则=）8,4(f ，(12,16)f +(16,12)f = ． 三、解答题（本大题共6小题,共70分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．(本小题满分10分)已知(x ，y )在映射f 的作用下的象是(x ＋y ，xy )，求(－2,3)在f 作用下的象和(2，－3)在f 作用下的原象．18．（本小题满分12分）已知集合A={x|3≤x ＜10}，集合B={x|2x ﹣8≥0}． （1）求A ∪B ； （2）求∁R （A ∩B ）．A. {}1 B . {}2 C . {}1,2 D.{}0,1,2,319．(本小题满分12分)已知函数()=af x x x+，且f (1)＝2. (1)求a 的值；(2)判断函数f (x )的奇偶性；20. （本小题满分12分）已知函数f (x )= 213++x x .（1） 判断函数在区间［1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论;（2）求该函数在区间［1,5］上的最大值和最小值.21．（本小题满分12分）已知函数2()23f x x ax =+-．（1）如果(1)()9f a f a +-=，求a 的值；（2）a 为何值时，函数的最小值是4-？22．（本小题满分12分）某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品。
北京市回民学校2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷Word版含答案
北京市回民学校2019-2020学年上学期期中考试高一数学试卷第一卷（共100分）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）. 1.角α终边上有一点()1,2-，则sin α=A.5-B.5-C.5D.52. 已知全集{}{}{}1,2,3,4,1,2,2,3U A B ===,则U C A B ⋃=A.{}2,3B.{}1,2,3C.{}2,3,4D.{}1,2,3,4 3. 与263-终边相同的角的集合是（ ）A.{}360250,k k Z αα=⋅+∈ B.{}360263,k k Z αα=⋅-∈C.{}36063,k k Z αα=⋅+∈D. {}360197,k k Z αα=⋅+∈4. 若sin 0,cos 0αα<>且，则角α是A.第一象限角 B . 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 5. 函数()()1101x f x aa a -=+>≠且的图像必经过点（ ）A.()1,2B.()1,1C.()0,1D. ()0,2 6. 函数()1lg 1f x x =-的定义域为A. ()0,+∞B.()()0,11,⋃+∞C. ()0,1D. ()()0,1010,⋃+∞ 7. 函数()41log 4x f x x =-的零点所在区间为 A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()1,2D.()2,48. 函数log a y x a y x =+=与的图像可能是A. B. C. D. 9. 若偶函数()f x 在(],1-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A. ()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭ B.()()3122f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C.()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D.()()3122f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭10. 下列四个命题：（1）函数()f x 在()0,+∞上是增函数，在(),0-∞上也是增函数，则()f x 在R 上是增函数 (2)函数()22f x ax bx =++与x 轴没有交点，则2800b a a -<>且；(3)函数223y x x =--的增区间是[)1,+∞；(4)1y x y =+=与其中正确命题的个数是A. 0B.1C.2D. 3 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）． 11.若1249a =，则23log a =___________； 12. 已知α是第二象限角，且5sin 13α=，则tan α的值是___________； 13. 比较大小sin1______cos1,（用“>”“<”或“=”连接）；14．已知函数()()13,,1xf x x =-∈-∞，则()f x 的值域是___________；15. 如果函数()xf x a =-的图像过点13,8⎛⎫- ⎪⎝⎭，那么a 的值为___________；16．已知定义在[]2,2-上的奇函数()f x 是增函数，求使()()2110f a f a -+->成立的实数a 的取值范围为_____________.三、解答题（本大题共4小题，共36分）．17.计算下列各式，写出计算过程 （Ⅰ）2221332182716227---⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Ⅱ）2132********log 2log 9--++（Ⅲ）已知tan 3α=，求sin cos sin 2cos αααα+-的值18.已知函数()22xxf x -=+（Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性，并证明 （Ⅱ）证明()f x 在[)0,+∞上为单调增函数19.已知函数()()20,,f x ax bx c a b R c R =++>∈∈,若函数()f x 的最小值是()10f -=，()01f =且对称轴是1x =-，()()()()()00f x x g x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ （Ⅰ）求()()22g g +-的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求()f x 在区间[](),2t t t R +∈的最小值。
北京市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷含答案
北京市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（答案在最后）注意事项1.本试卷共四页，共23道小题，满分150分．考试时间120分钟．2.在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号．3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.答题不得使用任何涂改工具.出题人：高一备课组审核人：高一备课组一、选择题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}1,2,{02}A B x x ==<<，则A B = ()A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{02}x x <≤【答案】A 【解析】【分析】根据交集的运算方法即可计算．【详解】∵集合{}1,2,{02}A B x x ==<<，∴A B = {1}．故选：A ．2.设命题2:N,25p n n n ∃∈>+，则p 的否定为（）A.2N,25n n n ∀∈>+B.2N,25n n n ∀∈≤+ C.2N,25n n n ∃∈≤+ D.2N,25n n n ∃∈<+【答案】B 【解析】【分析】由特称命题的否定为将存在改任意并否定原结论，即可得答案.【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为2N,25n n n ∀∈≤+.故选：B 3.方程组221{9x y x y +=-=的解集是（）A.(－5，4)B.(5，－4)C.{(－5，4)}D.{(5，－4)}【答案】D 【解析】【分析】消元法解方程组即可求解【详解】解方程组221{9x y x y +=-=，得()2219x x --=，解得54x y =⎧⎨=-⎩，故方程组的解集为{(5，－4)}，故选：D.【点睛】本题考查解二元二次方程组及列举法表示集合，注意解集是点集的形式，是基础题4.已知全集U =R ，集合{}2M x x =>，{}13N x x =<<，那么下面的维恩图中，阴影部分所表示的集合为（）A.{}2x x > B.{}2x x ≤ C.{}2x x > D.{}1x x ≤【答案】D 【解析】【分析】根据并集和补集的知识求得正确答案.【详解】{}|1M N x x => ，阴影部分表示集合为(){}|1M N x x ⋃=≤R ð.故选：D 5.不等式302xx -<+的解集为（）A.{|2}x x <-B.{|23}x x -<< C.{|2x x <-或3}x > D.{|3}x x >【答案】C【分析】将不等式作等价转换，再求解集即可.【详解】30(2)(3)02xx x x -<⇒+->+，故解集为{|2x x <-或3}x >.故选：C 6.函数26()f x x x=-零点所在的一个区间是（）A.(2,1)-- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,)+∞【答案】C 【解析】【分析】根据零点存在性定理判断即可.【详解】令26()0f x x x=-=，解得：1360x =>，只有一个零点.而()611501f =-=>，()624102f =-=-<，由零点存在性定理知，函数26()f x x x=-零点所在的一个区间是(1,2).故选：C.7.下列函数中，在区间（0,1）上是增函数的是（）A.||y x = B.3y x=- C.1y =-D.24y x =-+【答案】A 【解析】【分析】运用增函数定义，结合函数图像判断即可.【详解】对于A,区间()0,1,y x x ==，在()0,1单调递增，A 正确；对于B,区间()0,1,3y x =-，在()0,1单调递减，B 错误；对于C,区间()0,1,1y =-()0,1单调递减，C 错误；对于D,区间()0,1,24y x =-+，在()0,1单调递减，D 错误.故选：A.8.如果函数2()f x x bx c =++对于任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-，那么（）A.f (2)<f (1)<f (4)B.f (1)<f (2)<f (4)C.f (4)<f (2)<f (1)D.f (2)<f (4)<f (1)【答案】A【分析】根据给定条件可得函数()f x 图象对称轴为2x =，再借助对称性、单调性即可比较判断作答.【详解】因函数2()f x x bx c =++对于任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-，则其图象对称轴为2x =，且()f x 在[2,)+∞上递增，于是得(2)(3)(4)f f f <<，而(1)(3)f f =，所以(2)(1)(4)f f f <<.故选：A9.已知0a >，0b >，且28a b +=，那么ab 的最大值等于A.4 B.8C.16D.32【答案】B 【解析】【分析】利用基本不等式可求得ab 的最大值.【详解】由基本不等式可得82a b =+≥8ab ≤，当且仅当2a b =时，等号成立，因此，ab 的最大值为8.故选：B.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于基础题.10.已知,,,R a b c d ∈，则“a c b d +>+”是“a b >且c d >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据不等式的性质，分析条件间的推出关系判断充分、必要性.【详解】当3,2,0,2a b c d ==-==时，a c b d +>+，但c d >不成立，充分性不成立；若a b >且c d >，则必有a c b d +>+，必要性成立；所以“a c b d +>+”是“a b >且c d >”的必要不充分条件.故选：B11.若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A.[)1,1][3,-+∞ B.3,1][,[01]--C.[1,0][1,)-⋃+∞D.[1,0][1,3]-⋃【答案】D 【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在 腊语 上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.12.设函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数123,,x x x 满足：()()()123f x f x f x ==.则123x x x ++的取值范围是（）A.11,66⎛⎤⎥⎝⎦B.11,63⎛⎫⎪⎝⎭C.2026,33⎛⎫⎪⎝⎭ D.2026,33⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】根据解析式画出函数草图，结合零点的情况及一次、二次函数性质得236x x +=、1703x -<<，即可得答案.【详解】由解析式，可得如下()f x 图象，令()()()123f x f x f x k ===，要满足题设，则34-<<k ，若123x x x <<，则236x x +=，令343x +=-，则73x =-，故1703x -<<，综上，123x x x ++范围是11,63⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.13.函数()2f x x =-的定义域是_______.【答案】[)2,+∞【解析】【分析】函数()2f x x =-的定义域满足20x -≥，解得答案.【详解】函数()2f x x =-的定义域满足20x -≥，解得2x ≥，故函数定义域为[)2,+∞.故答案为：[)2,+∞14.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，()f x =2x ，则1()2f -=________．【答案】14-．【解析】【分析】由于函数是奇函数，所以11(()22f f -=-，再由已知的解析式求出1()2f 的值，可得答案【详解】解：因为当x >0时，()f x =2x ，所以2111(()224f ==，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以111((224f f -=-=-，故答案为：14-15.设函数22y x ax =+在区间(2,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______.【答案】2a ≥-【解析】【分析】由题意可知，(2,)+∞为函数单调递增区间的子集，根据子集关系可以求得.【详解】由函数22y x ax =+可知，对称轴为x a =-，因为在区间(2,)+∞上是增函数，则2a -≤，解得2a ≥-，故实数a 的取值范围是2a ≥-.故答案为：2a ≥-16.命题“2[1,2],10x x ax ∀∈-+<”为假命题的一个充分不必要条件是______.【答案】52a <（答案不唯一）【解析】【分析】问题化为1[1,2],x a x x∃∈≤+为真命题，利用对勾函数的单调性求最大值，即可得52a ≤，结合充分不必要条件写出一个符合要求的参数范围即可.【详解】由题设，1[1,2],x a x x ∀∈>+为假命题，故1[1,2],x a x x∃∈≤+为真命题，又1y x x =+在[1,2]x ∈上递增，则max 52y =，只需52a ≤即可，所以，原命题为假命题的一个充分不必要条件是52a <.故答案为：52a <（答案不唯一）17.设函数()()()2,1,242, 1.a x f x x x a x a x ⎧-<⎪=-⎨⎪--≥⎩①若0a =，则(1)2f =；②若1a =，则()f x 的最小值为1-；③存在实数a ，使得()f x 为R 上的增函数；④若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是1,1[2,)2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.其中所有正确结论的序号是______.【答案】②③④【解析】【分析】①当0a =时，1x =代入()4()(2)f x x a x a =--中求值即可；②当1a =时，得到21,<1()24(1)(2),1x f x x x x x ⎧-⎪=-⎨⎪--≥⎩.分情况讨论求出各段最小值，最后得到()f x 的最小值.③保证两端都要增，端点考虑即可；④分类讨论，结合二次函数性质可解.【详解】①当0a =时，1x =代入()4()(2)f x x a x a =--中，得到(1)4(10)(10)42f =⨯-⨯-=≠，所以①错误.②当1a =时，21,<1()24(1)(2),1x f x xx x x ⎧-⎪=-⎨⎪--≥⎩.当<1x 时，则21x ->，，所以0<222<x-，1()1f x -<<.当1x ≥时，2231()4(1)(2)4(32)4()24f x x x x x x ⎡⎤=--=-+=--⎢⎥⎣⎦.对于二次函数2314()24y x ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦，对称轴为32x =，在32x =时取得最小值3()12f =-.综上，可得()f x 的最小值为1-，所以②正确.③当1x <时，22()22f x a a x x -=-=---是增函数.当1x ≥时，22()4()(2)432f x x a x a x ax a ⎡⎤=--=-+⎣⎦，其对称轴为32ax =.要使()f x 在R 上是增函数，则24(1)(12)21312a a a a ⎧-≤--⎪⎪-⎨⎪≤⎪⎩.解24(1)(12)21a a a -≤---，即281120a a -+≥，解得115711571616a a +-><或.解312a ≤得23a ≤.显然交集有元素.故存在a 能同时满足这两个条件使得函数在R 上单调递增，所以③正确.④当<1x 时，令2()02f x a x =-=-，则22a x =-，2(2)x a =-，22x a=-.若221x a=-<，即02a <<时，函数()f x 在<1x 时有一个零点.当1x ≥时，()4()(2)f x x a x a =--，令()0f x =，则x a =或2x a =.若1a <且21a ≥，即112a ≤<时，()f x 在1x ≥时有一个零点，结合1x <时的情况，此时()f x 恰有2个零点.若1a ≥，要使()f x 恰有2个零点，则21a >且22a a =-（无解）或者21a >且222a a=-（无解）或者1a >且21a >且221a-≥（即2a ≥）.综上，实数a 的取值范围是1[,1)[2,)2+∞ ，所以④正确.故答案为：②③④.三、解答题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.18.关于x 的一元二次方程()22230x k x k +++=有两个不相等的实数根12,x x .（1）求k 的取值范围；（2）若12111x x +=-，求k 的值.【答案】（1）3(,)4-+∞（2）3【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的性质，结合0∆>，即可求解；（2）根据题意，利用根与系数的关系，求得2121223,x x k k x x +=--=，结合12111x x +=-，列出方程，求得k 的值，即可求解.【小问1详解】由一元二次方程22(23)0x k x k +++=有两个不相等的实数根12,x x ，则满足()222340k k ∆=+->，解得34k >-，即实数k 的取值范围为3(,)4-+∞.【小问2详解】因为方程22(23)0x k x k +++=有两个不相等的实数根12,x x ，由（1）知34k >-，且2121223,x x k k x x +=--=，因为12111x x +=-，可得12121x x x x +=-，即1212x x x x +=-，可得223k k --=-，即223k k +=，解得3k =或1k =-，因为34k >-，所以3k =.19.设全集R U =，集合{}2|20A x x x =--<，集合{|||1}B x x m =->，其中R m ∈．（1）当1m =时，求()U A B A B ⋂⋃,ð；（2）若A B ⊆，求m 的取值范围.【答案】（1）{|10}A B x x =-<< ，(){12}U A B x =-<≤ ð；（2）3m ≥或2m ≤-.【解析】【分析】（1）由题设得{|12}A x x =-<<，{|0B x x =<或2}x >，根据集合交并补运算求集合；（2）根据包含关系有12m -≥或11m +≤-，即可求参数范围.【小问1详解】由题设{}|(2)(1)0{|12}A x x x x x =-+<=-<<，{|1B x x m =<-或1}x m >+，当1m =时，{|0B x x =<或2}x >，故{|10}A B x x =-<< ，且{|02}U B x x =≤≤ð，故(){12}U A B x =-<≤ ð.【小问2详解】由A B ⊆，则12m -≥或11m +≤-，可得3m ≥或2m ≤-.20.已知函数2()(2)2f x x a x a =-++.（1）当0a =时，分别求出函数()f x 在[1,2]-上的最大值和最小值；（2）求关于x 的不等式()0f x <的解集.【答案】（1）最大值为(1)3f -=，最小值为(1)1f =-；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据二次函数的图象及性质确定区间上的最大值和最小值即可；（2）分类讨论求含参一元二次不等式解集.【小问1详解】由题设2()2f x x x =-，开口向上且对称轴为1x =，结合二次函数的图象，在[1,2]-上最大值为(1)3f -=，最小值为(1)1f =-.【小问2详解】由题意2(2)2()(2)0x a x a x a x -++=--<，当2a <时，解集为(,2)a ；当2a =时，解集为∅；当2a >时，解集为(2,)a .21.已知函数21()x f x x+=.（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）用定义证明()f x 在(0,1)上是减函数；（3）若函数()y f x m =-在12,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求m 的范围．（直接写出答案）【答案】（1）()f x 是奇函数，理由见解析（2）答案见解析（3）5(2,]2【解析】【分析】（1）对于本题，需要先求出()f x -，然后与()f x 和()f x -进行比较.（2）利用函数单调性的定义,设12,(0,1)x x ∈且12x x <，然后计算12()()f x f x -，根据其正负判断函数的单调性.（3）函数()y f x m =-在1[,3]2上有两个零点，等价于()y f x =与y m =的图象在1[,3]2上有两个交点，需要先分析()f x 在1[,3]2上的单调性和值域，从而确定m 的范围.【小问1详解】函数21()x f x x+=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，关于原点对称.22()11()()x x f x f x x x-++-==-=--.根据奇函数的定义，对于定义域内任意x ，()()f x f x -=-，所以函数()f x 是奇函数.【小问2详解】设12,(0,1)x x ∈且12x x <.则222212122112121211(1)(1)()()x x x x x x f x f x x x x x +++-+-=-=,对分子进行化简：222212211222111212212112(1)(1)()()()(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+--=-+-=--.因为12,(0,1)x x ∈，所以12(0,1)x x ∈，1210x x ->，210x x ->，120x x >.所以21121212()(1)()()0x x x x f x f x x x ---=>，即12()()f x f x >.所以()f x 在(0,1)上是减函数.【小问3详解】1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，211()2x f x x x x+==+≥,当且仅当1x =取得最小值.当121,[,1)2x x ∈时，且12x x <，121[,1)4x x ∈,1210x x ->,210x x ->.则21121212()(1)()()0x x x x f x f x x x ---=>，即12()()f x f x >，则当1)[1,2x ∈()f x 单调递减；当12,(1,3]x x ∈时，且12x x <，12(1,9]x x ∈,1210x x -<,210x x ->.则21121212()(1)()()0x x x x f x f x x x ---=<，即12()()f x f x <，则当(1,3]x ∈,()f x 单调递增；并且215()11524()112222f +===，(1)2f =，23110(3)33f +==.因为函数()y f x m =-在1[,3]2上有两个零点，所以5(2,]2m ∈.22.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=(010),35k x x ≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f （x ）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k 的值及f(x)的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．【答案】40k =，因此40()35C x x =+.,当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．【解析】【详解】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为cm x ，由题设，每年能源消耗费用为()35k C x x =+.再由(0)8C =，得40k =，因此40()35C x x =+.而建造费用为1()6C x x=最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为140800()20()()2066(010)3535f x C x C x x x x x x =+=⨯+=+≤≤++（Ⅱ）22400'()6(35)f x x =-+，令'()0f x =，即224006(35)x =+.解得5x =，253x =-（舍去）.当05x 时，'()0f x ，当510x 时，'()0f x ，故5x =是()f x 的最小值点，对应的最小值为800(5)6570155f =⨯+=+．当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．23.设函数()f x 是定义在R 上的函数，对任意的实数,x y 都有()(1)(1)f x y f x f y +=+⋅-，且当0x >时()f x 的取值范围是(0,1)．（1）求证：存在实数m 使得()1f m =；（2）当0x <时，求()f x 的取值范围；（3）判断函数()f x 的单调性，并予以证明．【答案】（1）证明见解析；（2）(1,)+∞；（3）()f x 单调递减，证明见解析.【解析】【分析】（1）令1x y ==结合题设可得(0)1f =，即可证；（2）令y x =-得到1(1)(1)f x f x --=+，若10t x =+>，结合已知即可求范围；（3）令1x x y =+>21x x =+，应用函数单调性定义求证即可.【小问1详解】令1x y ==，则(11)(11)(11)(2)(2)(0)f f f f f f +=+⋅-⇒=，当0x >时()f x 的取值范围是(0,1)，即(2)0f ≠，故(0)1f =，显然存在0m =，使()1f m =，得证；【小问2详解】令y x =-，则()(1)(1)f x x f x f x -=+⋅--，即(1)(1)(0)1f x f x f +⋅--==，若10t x =+>，则10x t --=-<，故1(1)(1)f x f x --=+，即1()()f t f t -=，而()(0,1)f t ∈，则()(1,)f t -∈+∞，当0x <时，()f x 取值范围是(1,)+∞；【小问3详解】()f x 单调递减，证明如下：令1x x y =+>21x x =+，则1210x x y -=->，所以1212()()()f x f x f x x =⋅-，则12212()()()[()1]f x f x f x f x x -=--，由题设及（2）知，212()0,()10f x f x x >--<，则12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 单调递减，得证.。
北京市高一上学期数学期中考试试卷含答案(共5套)
北京师大附中2018-2019学年上学期高中一年级期中考试数学试卷说明：本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合}2,1,0{},01|{2=≤-=B x x A ，则A ∩B ＝ A. {0}B. {0，1}C. {1，2}D. {0，1，2}2. 已知d c b a >>>,0，下列不等式中必成立的一个是（ ） A.dbc a > B. bc ad <C. d b c a +>+D. d b c a ->-3. “1-=a ”是“函数12)(2-+=x ax x f 只有一个零点”的（ ） A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 4. 在下列区间中，函数x xx f 2log 6)(-=的零点所在的区间为（ ） A. )1,21(B. （1，2）C. （3，4）D. （4，5）5. 已知函数xx x f ⎪⎭⎫⎝⎛-=313)(，则)(x f （ ）A. 是奇函数，且在R 上是增函数B. 是偶函数，且在R 上是增函数C. 是奇函数，且在R 上是减函数D. 是偶函数，且在R 上是减函数 6. 已知313232,31⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=b a ，3232⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ，则 A. b c a << B. c b a <<C. a c b <<D. c a b <<7. 若函数⎩⎨⎧>≤--=-7,7,3)3()(6x ax x a x f x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. )3,49(B. )3,49[C. （1，3）D. （2，3）8. 函数||ln 1)(x xx f +=的图象大致为9. 已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区问[0，＋∞）上单调递增，若实数a 满足)1(2log )(log 212f a f a f ≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则a 的取值范围是 A. ]2,1[B. ]21,0(C. ]2,21[D. ]2,0(10. 设D 是函数)(x f y =定义域内的一个区间，若存在D x ∈0，使00)(kx x f =)0(≠k ，则称0x 是)(x f y =在区间D 上的一个“k 阶不动点”，若函数25)(2+-+=a x ax x f 在区间]4,1[上存在“3阶不动点”，则实数a 的取值范围是A. ]21,(-∞ B. )21,0(C. ),21[+∞D. ]0,(-∞二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。
北京市101中学2018-2019学年高一(上)期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合M={x|x＜1}，N={x|0＜x≤1}，则M∪N=（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对集合M和N取并集即可得到答案.【详解】∵M={x|x＜1}，N={x|0＜x≤1}；∴M∪N={x|x≤1}．故选：C．【点睛】本题考查集合的并集运算.2.下列函数中，在（-1，+∞）上为减函数的是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，y=3x，为指数函数，在R上为增函数，不符合题意；对于B，y=x2-2x+3=（x-1）2+2，在（1，+∞）上为增函数，不符合题意；对于C，y=x，为正比例函数，在R上为增函数，不符合题意；对于D，y=-x2-4x+3=-（x+2）2+7，在（-2，+∞）上为减函数，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查指数函数和二次函数的单调性，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．3.计算log416+等于（ ）A. B. 5 C. D. 7【答案】B【解析】【分析】利用指数与对数运算性质即可得出．【详解】log416+=2+3=5．【点睛】本题考查指数与对数运算性质，属于基础题．4.函数＝＋的定义域为（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：由题，故选考点：函数的定义域。
5.函数y=的单调增区间是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复合函数的单调性进行求解即可.【详解】令t=-x2+4x+5，其对称轴方程为x=2，内层二次函数在[2，+∞）上为减函数，而外层函数y=为减函数，∴函数y=的单调增区是[2，+∞）．故选：D．【点睛】本题考查指数型复合函数的单调性，复合函数的单调性满足同增异减，是基础题．6.已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是减函数，则满足f（2x-1）＞f（）的x的取值范围是（ ）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数为偶函数得f（|2x-1|）＞f（）,由函数的单调性可得|2x-1|＜，解不等式即可得答案．【详解】根据题意，偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是减函数，则f（2x-1）＞f（）⇒f（|2x-1|）＞f（）⇒|2x-1|＜，解可得：＜x＜，即x的取值范围为；故选：C．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．7.若函数f（x）=a|x+1|（a＞0．a≠1）的值域为[1，+∞），则f（-4）与f（0）的关系是（ ）A. B. C. D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】由函数f（x）的值域可得a＞1，然后利用单调性即可得到答案.【详解】∵|x+1|≥0，且f（x）的值域为[1，+∞）；∴a＞1；又f（-4）=a3，f（0）=a；∴f（-4）＞f（0）．故选：A．【点睛】本题考查指数函数的单调性，并且会根据单调性比较函数值的大小．8.对于实数a和b定义运算“*”：a•b=，设f（x）=（2x-1）•（x-2），如果关于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则m的取值范是（ ）【答案】C【解析】【分析】画出函数f（x）的图象，由题知y=f（x）与y=m恰有3个交点，观察图像即可得到答案．【详解】由已知a•b=得f（x）=（2x-1）•（x-2）= ，其图象如下：因为f（x）=m恰有三个互不相等实根，则y=m与y=f(x)图像恰有三个不同的交点，所以0＜m＜，故选：C．【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，属中档题．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知全集U=R，集合A={x|x2-4x+3＞0}，则∁U A=___．【答案】{x|1≤x≤3}【解析】【分析】求出集合A,然后取补集即可得到答案.【详解】A={x|x＜1或x＞3}；∴∁U A={x|1≤x≤3}．故答案为：{x|1≤x≤3}．【点睛】本题考查集合的补集的运算，属基础题.10.若0＜a＜1，b＜-1，则函数f（x）=a x+b的图象不经过第___象限．【答案】一【解析】利用指数函数的单调性和恒过定点，再结合图像的平移变换即可得到答案.【详解】函数y=a x（0＜a＜1）是减函数，图象过定点（0，1），在x轴上方，过一、二象限，函数f（x）=a x+b的图象由函数y=a x的图象向下平移|b|个单位得到，∵b＜-1，∴|b|＞1，∴函数f（x）=a x+b的图象与y轴交于负半轴，如图，函数f（x）=a x+b的图象过二、三、四象限．故答案为:一．【点睛】本题考查指数函数的图象和性质，考查图象的平移变换．11.已知log25=a，log56=b，则用a，b表示1g6=______．【答案】【解析】【分析】先由lg2+lg5=1结合log25=a，解出lg5,然后利用换底公式log56=进行计算整理即可得到答案.【详解】∵log25=a=，解得lg5=．log56=b=，∴lg6=blg5=．故答案为：．【点睛】本题考查了对数运算性质，重点考查对数换底公式的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．12.函数y=（x≤0）的值域是______．【答案】（-∞，2]∪（3，+∞）【解析】【分析】先对函数进行分离常数,然后利用函数单调性即可求出值域．【详解】y=∴该函数在（-2，0]，（-∞，-2）上单调递增；∴x∈（-2，0]时，y≤2；x∈（-∞，-2）时，y＞3；∴原函数的值域为（-∞，2]∪（3，+∞）．故答案为：（-∞，2]∪（3，+∞）．【点睛】考查函数值域的概念及求法，分离常数法的运用，反比例函数值域的求法，属基础题．13.已知a＞0且a≠1，函数f（x）=满足对任意不相等的实数x1，x2，都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，成立，则实数a的取值范围______．【答案】（2，3]【解析】【分析】根据已知条件（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0得到函数f(x)的单调性，然后利用分段函数的单调性列不等式组即可得到答案.【详解】对任意实数x1≠x2，都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0成立，可得f（x）在R上为单调递增，则即解得a的取值范围为：2＜a≤3．故答案为：（2，3]．【点睛】已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下几点：(1)若函数在区间[a,b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围. 14.设函数f（x）=a x+b x-c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是______（写出所有正确结论的序号）①对任意的x∈（-∞，1），都有f（x）＞0；②存在x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC是顶角为120°的等腰三角形，则存在x∈（1，2），使f（x）=0．【答案】①②③【解析】【分析】在①中，利用不等式的性质分析即可，在②中，举例a=2，b=3，c=4进行说明,在③中，利用零点存在性定理分析即可.【详解】在①中，∵a，b，c是△ABC的三条边长，∴a+b＞c，∵c＞a＞0，c＞b＞0，∴0＜＜1，0＜＜1，当x∈（-∞，1）时，f（x）=a x+b x-c x=c x[（）x+（）x-1]＞c x（+-1）=c x•＞0，故①正确；在②中，令a=2，b=3，c=4，则a，b，c可以构成三角形，但a2=4，b2=9，c2=16不能构成三角形，故②正确；在③中，∵c＞a＞0，c＞b＞0，若△ABC顶角为120°的等腰三角形，∴a2+b2-c2＜0，∵f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a2+b2-c2＜0，根据函数零点存在性定理可知在区间（1，2）上存在零点，即∃x∈（1，2），使f（x）=0，故③正确．故答案为：①②③．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查指数函数单调性、零点存在性定理和不等式性质的运用．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）15.已知函数f（x）=a x-1（x≥0）．其中a＞0，a≠1．（1）若f（x）的图象经过点（，2），求a的值；（2）求函数y=f（x）（x≥0）的值域．【答案】（1）4 ；（2）见解析.【解析】【分析】(1)将点（，2）代入函数解析式，即可得到a值；（2）按指数函数的单调性分a>1和0<a<1两种情况，分类讨论，求得f（x）的值域．【详解】（1）∵函数f（x）=a x-1（x≥0）的图象经过点（，2），∴=2，∴a=4．（2）对于函数y=f（x）=a x-1，当a＞1时，单调递增，∵x≥0，x-1≥-1，∴f（x）≥a-1=，故函数的值域为[，+∞）．对于函数y=f（x）=a x-1，当0＜a＜1时，单调递减，∵x≥0，x-1≥-1，∴f（x）≤a-1=，又f（x）＞0，故函数的值域为．综上:当a＞1时，值域为[，+∞）．当0＜a＜1时，值域为．【点睛】本题考查指数函数图像和性质的应用，主要考查函数的单调性和函数值域问题．16.设集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2+（a-1）x+a2-5=0}．（1）若A∩B={2}，求实数a的值；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．【答案】（1）a=-3或a=1；（2）{a|a≤-3或a＞或a=-2或a=-}.【解析】【分析】（1）根据A∩B={2}，可知B中有元素2，带入求解a即可；（2）根据A∪B=A得B⊆A，然后分B=∅和B≠∅两种情况进行分析可得实数a的取值范围．【详解】（1）集合A={x|x2-3x+2=0}={x|x=1或x=2}={1，2}，若A∩B={2}，则x=2是方程x2+（a-1）x+a2-5=0的实数根，可得：a2+2a-3=0，解得a=-3或a=1；（2）∵A∪B=A，∴B⊆A，当B=∅时，方程x2+（a-1）x+a2-5=0无实数根，即（a-1）2-4（a2-5）＜0解得：a＜-3或a＞；当B≠∅时，方程x2+（a-1）x+a2-5=0有实数根，若只有一个实数根，x=1或x=2，则△=（a-1）2-4（a2-5）=0解得：a=-3或a=，∴a=-3．若只有两个实数根，x=1、x=2，△＞0，则-3＜a＜；则（a-1）=-3，可得a=-2，a2-5=2，可得a=综上可得实数a的取值范围是{a|a≤-3或a＞或a=-2或a=-}【点睛】本题考查并，交集及其运算，考查数学分类讨论思想.17.函数f（x）=是定义在R上的奇函数，且f（1）=1．（1）求a，b的值；（2）判断并用定义证明f（x）在（+∞）的单调性．【答案】（1）a=5，b=0；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据函数为奇函数，可利用f（1）=1和f（-1）=-1，解方程组可得a、b值，然后进行验证即可；（2）根据函数单调性定义利用作差法进行证明．【详解】（1）根据题意，f（x）=是定义在R上的奇函数，且f（1）=1，则f（-1）=-f（1）=-1，则有，解可得a=5，b=0；经检验，满足题意.（2）由（1）的结论，f（x）=，设＜x1＜x2，f（x1）-f（x2）=-=，又由＜x1＜x2，则（1-4x1x2）＜0，（x1-x2）＜0，则f（x1）-f（x2）＞0，则函数f（x）在（，+∞）上单调递减．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于基础题．18.已知二次函数满足，．求函数的解析式；若关于x的不等式在上恒成立，求实数t的取值范围；若函数在区间内至少有一个零点，求实数m的取值范围【答案】（1）f（x）=2x2-6x+2；（2）t＞10；（3）m＜-10或m≥-2.【解析】【分析】（1）用待定系数法设二次函数表达式，再代入已知函数方程化简即可得答案；（2）分离参数后求f(x)的最大值即可；（3）先求无零点时m的范围，再求补集．【详解】（1）设二次函数f（x）=ax2+bx+2，（a≠0）∴a（x+1）2+b（x+1）+2-ax2-bx-2=4x-4∴2ax+a+b=4x-4，∴a=2，b=-6∴f（x）=2x2-6x+2；（2）依题意t＞f（x）=2x2-6x+2在x∈[-1，2]上恒成立，而2x2-6x+2的对称轴为x=∈[-1，2]，所以x=-1时，取最大值10，t＞10；（3）∵g（x）=f（x）-mx=2x2-6x+2-mx=2x2-（6+m）x+2在区间（-1，2）内至少有一个零点，当g（x）在（-1，2）内无零点时，△=（6+m）2-16＜0或或，解得：-10≤m＜-2，因此g（x）在（-1，2）内至少有一个零点时，m＜-10或m≥-2．【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，考查恒成立问题的解法以及二次函数的零点问题，属于基础题.19.设a为实数，函数f（x）=+a+a．（1）设t=，求t的取值范图；（2）把f（x）表示为t的函数h（t）；（3）设f （x）的最大值为M（a），最小值为m（a），记g（a）=M（a）-m（a）求g（a）的表达式．【答案】（1）[，2]；（2）h（t）=at+，≤t≤2；（3）g（a）=．.【解析】【分析】（1）将t=两边平方，结合二次函数的性质可得t的范围；（2）由（1）可得=，可得h（t）的解析式；（3）求得h（t）=（t+a）2-1-a2，对称轴为t=-a，讨论对称轴与区间[，2]的关系，结合单调性可得h（t）的最值，即可得到所求g（a）的解析式．【详解】（1）t=，可得t2=2+2，由0≤1-x2≤1，可得2≤t2≤4，又t≥0可得≤t≤2，即t的取值范围是[，2]；（2）由（1）可得=，即有h（t）=at+，≤t≤2；（3）由h（t）=（t+a）2-1-a2，对称轴为t=-a，当-a≥2即a≤-2时，h（t）在[，2]递减，可得最大值M（a）=h（）=a；最小值m（a）=h（2）=1+2a，则g（a）=（-2）a-1；当-a≤即a≥-时，h（t）在[，2]递增，可得最大值M（a）=h（2）=1+2a；最小值m（a）=h（）=a，则g（a）=（2-）a+1；当＜-a＜2即-2＜a＜-时，h（t）的最小值为m（a）=h（-a）=-1-a2，若-1-≤a＜-，则h（2）≥h（），可得h（t）的最大值为M（a）=h（2）=1+2a，可得g（a）=2+2a+a2；若-2＜a＜-1-，则h（2）＜h（），可得h（t）的最大值为M（a）=h（）=a，可得g（a）=a+1+a2；综上可得g（a）=．【点睛】本题考查函数的最值求法，注意运用换元法和二次函数在闭区间上的最值求法，考查分类讨论思想方法和化简整理运算能力，属于中档题．。
2019-2020学年北京师大附中高一(上)期中数学试卷
2019-2020学年北京师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 若集合A={0, 1, 2, 4}，B={1, 2, 3}，则A∩B=()A.{0, 1, 2, 3, 4}B.{0, 4}C.{1, 2}D.{3}2. 已知ln2＝a，ln3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为（）A.a+bB.a−bC.abD.ab3. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0, +∞)上单调递增的是（）A.f(x)＝ln|x|B.f(x)＝2−xC.f(x)＝x3D.f(x)＝−x24. 设函数D(x)={1,x∈Q0,x∉Q，则f[f(−√2)]的值为（）A.0B.1C.−1D.不存在5. 已知a=log52，b=log0.50.2，c=0.50.2，则a，b，c的大小关系为( )A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b6. 设a、b是实数，则“a>b>0”是“a2>b2”的（）A.充分必要条件B.必要而不充分条件C.充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件7. 已知函数f(x)=6x −log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A.(0, 1)B.(1, 2)C.(2, 4)D.(4, +∞)8. 地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则E1E2的值所在的区间为（）A.(1, 2)B.(5, 6)C.(7, 8)D.(15, 16)二、填空题共10小题，每小题4分，共40分函数f(x)=√2x−4的定义域为________．已知函数f(x)={2x ,x >1log 12x,0<x ≤1 ，则f(f(14))=________；若f(x)＝1，则x ＝________．函数f(x)=x +2x−1(x >1)的最小值是________；取到最小值时，x ＝________．设a 为常数，函数f(x)＝x 2−6x +3，若f(x +a)为偶函数，则a ＝________．定义在R 上的函数f(x)是奇函数，且f(x)在(0, +∞)是增函数，f(3)＝0，则不等式f(x)>0的解集为________．能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a >b >c ，则a +b >c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________．已知非空集合A ，B 满足以下两个条件：(ⅰ)A ∪B ＝{1, 2, 3, 4}，A ∩B ＝⌀；(ⅱ)集合A 的元素个数不是A 中的元素，集合B 的元素个数不是B 中的元素．那么用列举法表示集合A 为________．对于函数f(x)，若f(x 0)＝x 0，则称x 0为f(x)的“不动点”，若f[f(x 0)]＝x 0，则称x 0为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即A ＝{x|f(x)＝x}，B ＝{x|f[f(x)]＝x}，那么：（1）函数g(x)＝x 2−2的“不动点”为________；（2）集合A 与集合B 的关系是________．若x 、y ∈R +，且1x +3y =4，则y x 的最大值为________．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)＝x 2−2ax +a ，其中a ∈R ①f(−12)＝________−14②若f(x)的值域是R ，则a 的取值范围是________三、解答题共6小题，每小题13分，共78分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．已知全集U ＝R ，集合P ＝{x|x(x −2)≥0}，M ＝{x|a <x <a +3}．(Ⅰ)求集合∁U P；(Ⅱ)若a＝1，求集合P∩M；(Ⅲ)若∁U P⊆M，求实数a的取值范围．解下列关于x的不等式(Ⅰ)(x−1)(x−2)<0；(Ⅱ)|2x−1|<3；(Ⅲ)x2−(3a+1)x+2a(a+1)>0．已知函数f(x)=x+1x+2．(Ⅰ)求f[f(1)]的值；(Ⅱ)若f(x)>1，求x的取值范围；(Ⅲ)判断函数在(−2, +∞)上的单调性，并用定义加以证明．已知函数f(x)＝x2−2ax+1，x∈[0, 2]上．(Ⅰ)若a＝−1，则f(x)的最小值；(Ⅱ)若a=12，求f(x)的最大值；(Ⅲ)求f(x)的最小值．如果定义在[0, 1]上的函数f(x)同时满足：①f(x)≥0；②f(1)＝1③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立．那么就称函数f(x)为“梦幻函数”．(Ⅰ)分别判断函数f(x)＝x与g(x)＝2x，x∈[0, 1]是否为“梦幻函数”，并说明理由；(Ⅱ)若函数f(x)为“梦幻函数”，求函数f(x)的最小值和最大值；设函数f(x)的定义域为R，如果存在函数g(x)，使得f(x)≥g(x)对于一切实数x都成立，那么称g(x)为函数f(x)的一个承托函数．已知函数f(x)＝ax2+bx+c的图象经过点(−1, 0)．（1）若a＝1，b＝2．写出函数f(x)的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y＝x为函数f(x)的一个承托函数，且f(x)为函数y=12x2+12的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析2019-2020学年北京师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】C【解答】解：∵A={0, 1, 2, 4}，B={1, 2, 3}，∴A∩B={0, 1, 2, 4}∩{1, 2, 3}={1, 2}．故选C．2.【答案】D【解答】∵In2＝a，In3＝b，又∵log32=ln2ln3∴log32=ab3.【答案】A【解答】函数f(x)＝ln|x|是偶函数又在区间(0, +∞)上单调递增，满足题意；函数f(x)＝2−x是非奇非偶函数，不满足题意；函数f(x)＝x3是奇函数，不满足题意；函数f(x)＝−x2是偶函数，但在区间(0, +∞)上单调递减，不满足题意；4.【答案】B【解答】∵函数D(x)={1,x∈Q0,x∉Q，∴f(−√2)＝0，∴f[f(−√2)]=f(0)＝1．5.【答案】A【解答】解：由题意，可知：a=log52<1，b=log0.50.2=log1215=log2−15−1=log25>log24=2．c=0.50.2<1，∴b最大，a、c都小于1．∵a=log52=1log25，c=0.50.2=(12)15=√125=√25．而log25>log24=2>√25，∴1log25<√25，∴a<c，∴a<c<b．故选A.6.【答案】C【解答】若a>b>0，则a2>b2成立，若a＝−2，b＝1，满足a2>b2，但a>b>0不成立，故“a>b>0”是“a2>b2”的充分不必要条件，7.【答案】C【解答】解：∵f(x)=6x −log2x，∴f(2)=2>0，f(4)=−12<0，满足f(2)f(4)<0，∴f(x)在区间(2, 4)内必有零点.故选C.8.【答案】B【解答】lg E＝4.8+1.5M，∴lg E1＝4.8+1.5×8＝16.8，lg E2＝4.8+1.5×7.5＝16.05，∴E1＝1016.8，E2＝1016.05，∴E1E2=100.75，∵100.75>90.75＝31.5＝3×√3>5，∴E1E2的值所在的区间为(5, 6)，二、填空题共10小题，每小题4分，共40分【答案】[2, +∞)【解答】由题意得：2x−4≥0，解得：x≥2，故函数的定义域是[2, +∞)，4,12 【解答】函数f(x)={2x ,x >1log 12x,0<x ≤1 ，则f(f(14))=f(log 1214)＝f(2)＝22＝4， 若f(x)＝1，若x >1，可得2x ＝1，解得x ＝0（舍去）；若0<x ≤1，可得log 12x ＝1，解得x =12，综上可得x =12．【答案】2√2+1,1+√2【解答】∵ x >1，∴ x −1>0，由基本不等式可得y ＝x +2x−1=x −1+2x−1+1≥2√(x −1)⋅2x−1+1＝2√2+1， 当且仅当x −1=2x−1即x ＝1+√2时，函数取得最小值2√2+1．【答案】3【解答】根据题意，函数f(x)＝x 2−6x +3＝(x −3)2−6，为二次函数且其对称轴为x ＝3， f(x +a)＝(x +a −3)2−6，为偶函数，必有a ＝3；【答案】(−3, 0)∪(3, +∞)【解答】∵ f(x)在R 上是奇函数，且f(x)在(0, +∞)上是增函数，∴ f(x)在(−∞, 0)上也是增函数，由f(−3)＝0，得−f(3)＝0，即f(3)＝0，由f(−0)＝−f(0)，得f(0)＝0，作出f(x)的草图，如图所示：∴ f(x)>0的解集为：(−3, 0)∪(3, +∞)，故答案为：(−3, 0)∪(3, +∞)．【答案】−1，−2，−3解：设a ，b ，c 是任意实数．若a >b >c ，则a +b >c ”是假命题，则若a >b >c ，则a +b ≤c ”是真命题，可设a ，b ，c 的值依次−1，−2，−3，（答案不唯一）.故答案为：−1,−2,−3．【答案】{3}或{1, 2, 4}【解答】∵ (ⅰ)A ∪B ＝{1, 2, 3, 4}，A ∩B ＝⌀；(ⅱ)集合A 的元素个数不是A 中的元素，集合B 的元素个数不是B 中的元素． 则A ，B 不能为空集，且A ，B 不能均为二元集合，若A 含一个元素，则该元素只能是3，即A ＝{1}若A 含三个元素，则元素不能有3，即A ＝{1, 2, 4}【答案】x 0＝2，或x 0＝−1B⫋A【解答】∵ 若f(x 0)＝x 0，则称x 0为f(x)的“不动点”，即即A ＝{x|f(x)＝x}，设函数g(x)＝x 2−2的“不动点”为x 0，x 02−2＝x 0，求得x 0＝2，或x 0＝−1，故A ＝{2, −1}．故答案为：x 0＝2，或x 0＝−1．∵ 满足f[f(x 0)]＝x 0，则称x 0为f(x)的“稳定点”，即B ＝{x|f[f(x)]＝x}．∵ 函数g(x)＝x 2−2，∴ 函数g[g(x)]＝g 2(x)−2＝[x 2−2]2−2＝x 4−4x 2+2， 由g[g(x)]＝x 2，可得 x 4−4x 2+2＝x ，求得x ＝2，故B ＝{2}，∴ B⫋A ，故答案为：B⫋A ．【答案】4 【解答】∵ x 、y ∈R +，且1x +3y =4，∴ y =43−13x ，∵ x >0，y =43−13x >0，∴ 0<1x <4， 则y x =43x −13x 2=−13(1x )2+43⋅1x ，结合二次函数的性质可知，当1x =2即x =12时，y x 取得最大值43．【答案】,(−∞, 0]∪[1, +∞)【解答】①f(−12)＝−f(12)＝−[(12)2−a +a]=−14；②因为f(x)是R 上的奇函数，且值域为R ，所以x >0时，△＝(−2a)2−4a ≥0，解得：a ≤0或a ≥1；三、解答题共6小题，每小题13分，共78分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．【答案】（1）∵ 全集U ＝R ，集合P ＝{x|x(x −2)≥0}＝{x|x ≤0或x ≥2}，∴ 集合∁U P ＝{x|0<x <2}．（2）a ＝1时，M ＝{x|a <x <a +3}＝{x|1<x <4}．∴ 集合P ∩M ＝{x|2≤x <4}．(Ⅲ)∵ 集合∁U P ＝{x|0<x <2}，M ＝{x|a <x <a +3}，∁U P ⊆M ，∴ {a ≤0a +3≥2，解得−1≤a ≤0． ∴ 实数a 的取值范围是[−1, 0]．【解答】（1）∵ 全集U ＝R ，集合P ＝{x|x(x −2)≥0}＝{x|x ≤0或x ≥2}，∴ 集合∁U P ＝{x|0<x <2}．（2）a ＝1时，M ＝{x|a <x <a +3}＝{x|1<x <4}．∴ 集合P ∩M ＝{x|2≤x <4}．(Ⅲ)∵ 集合∁U P ＝{x|0<x <2}，M ＝{x|a <x <a +3}，∁U P ⊆M ，∴ {a ≤0a +3≥2，解得−1≤a ≤0． ∴ 实数a 的取值范围是[−1, 0]．【答案】（1）由(x −1)(x −2)<0，可得1<x <2，故原不等式的解集为{x|1<x <2}．（2）由|2x −1|<3，可得−3<2x −1<3，求得−1<x <2，故原不等式的解集为(−1, 2)．(Ⅲ)由x 2−(3a +1)x +2a(a +1)>0，可得[x −(2a)][x −(a +1)]>0， 当2a >a +1时，即a >1时，不等式的解集为(−∞, a +1)∪(2a, +∞)；当2a ＝a +1时，即a ＝1时，不等式的解集为{x|x ≠2}；当2a <a +1时，即a <1时，不等式的解集为(−∞, 2a)∪(a +1, +∞)．【解答】（1）由(x −1)(x −2)<0，可得1<x <2，故原不等式的解集为{x|1<x <2}．（2）由|2x −1|<3，可得−3<2x −1<3，求得−1<x <2，故原不等式的解集为(−1, 2)．(Ⅲ)由x 2−(3a +1)x +2a(a +1)>0，可得[x −(2a)][x −(a +1)]>0， 当2a >a +1时，即a >1时，不等式的解集为(−∞, a +1)∪(2a, +∞)；当2a ＝a +1时，即a ＝1时，不等式的解集为{x|x ≠2}；当2a <a +1时，即a <1时，不等式的解集为(−∞, 2a)∪(a +1, +∞)．【答案】（1）f[f(1)]=f(23)=23+123+2=58；（2）由f(x)>1得，x+1x+2>1，化简得，1x+2<0，∴ x <−2，∴ x 的取值范围为(−∞, −2)；(Ⅲ)f(x)=x+1x+2=1−1x+2，f(x)在(−2, +∞)上是增函数，证明如下：设x 1>x 2>−2，则：f(x 1)−f(x 2)=1x 2+2−1x 1+2=x 1−x 2(x 1+2)(x 2+2)，∵ x 1>x 2>−2，∴ x 1−x 2>0，x 1+2>0，x 2+2>0，∴ x 1−x 2(x 1+2)(x 2+2)>0，∴ f(x 1)>f(x 2)，∴ f(x)在(−2, +∞)上是增函数．【解答】（1）f[f(1)]=f(23)=23+123+2=58；（2）由f(x)>1得，x+1x+2>1，化简得，1x+2<0，∴ x <−2，∴ x 的取值范围为(−∞, −2)；(Ⅲ)f(x)=x+1x+2=1−1x+2，f(x)在(−2, +∞)上是增函数，证明如下：设x 1>x 2>−2，则：f(x 1)−f(x 2)=1x 2+2−1x 1+2=x 1−x 2(x 1+2)(x 2+2)，∵ x 1>x 2>−2，∴ x 1−x 2>0，x 1+2>0，x 2+2>0，∴ x 1−x 2(x 1+2)(x 2+2)>0，∴ f(x 1)>f(x 2)，∴ f(x)在(−2, +∞)上是增函数．【答案】（1）当a ＝−1时，f(x)＝x 2+2x +1，因为x ∈[0, 2]，f(x)min ＝1；（2）当a =12，f(x)＝x 2−x +1， 因为x ∈[0, 2]，f(x)max ＝3；(Ⅲ)当a <0时，f(x)min ＝1，当0≤a ≤2时，f(x)min ＝1−a 2，当a >2时，f(x)min ＝5−4a ，综上：f(x)={1a <01−a 20≤a ≤25−4aa >2．【解答】（1）当a ＝−1时，f(x)＝x 2+2x +1，因为x ∈[0, 2]，f(x)min ＝1；（2）当a =12，f(x)＝x 2−x +1，因为x ∈[0, 2]，f(x)max ＝3；(Ⅲ)当a <0时，f(x)min ＝1，当0≤a ≤2时，f(x)min ＝1−a 2，当a >2时，f(x)min ＝5−4a ，综上：f(x)={1a <01−a 20≤a ≤25−4aa >2．【答案】（1）①显然，在[0, 1]上满足f(x)＝x ≥0，g(x)＝2x ≥0；②f(1)＝1，g(1)＝2；③若x 1≥0，x 2≥0且x 1+x 2≤1，则f(x 1+x 2)−[f(x 1)+f(x 2)]＝x 1+x 2−[x 1+x 2]＝0，即f(x 1+x 2)≥f(x 1)+f(x 2)成立；∴ f(x)＝x 是“梦幻函数”，g(x)＝2x 不是“梦幻函数”；（2）设x 1，x 2∈[0, 1]，x 1<x 2，则x 2−x 1∈(0, 1],∴ f(x 1)−f(x 2)＝f(x 1)−f(x 2−x 1+x 1)≤f(x 1)−[f(x 1)+f(x 2−x 1)]＝−f(x 2−x 1)≤0，∴ f(x 1)≤f(x 2)，∴ f(x)在[0, 1]单调递增，令x 1＝x 2＝0，∵ x 1≥0，x 2≥0且x 1+x 2≤1，则f(x 1+x 2)≥f(x 1)+f(x 2)成立， ∴ 0≥2f(0)，又f(x)≥0，∴ f(0)＝0，∴ 当x ＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，当x ＝1时，f(x)取最大值f(1)＝1．【解答】（1）①显然，在[0, 1]上满足f(x)＝x ≥0，g(x)＝2x ≥0；②f(1)＝1，g(1)＝2；③若x 1≥0，x 2≥0且x 1+x 2≤1，则f(x 1+x 2)−[f(x 1)+f(x 2)]＝x 1+x 2−[x 1+x 2]＝0，即f(x 1+x 2)≥f(x 1)+f(x 2)成立；∴ f(x)＝x 是“梦幻函数”，g(x)＝2x 不是“梦幻函数”；（2）设x 1，x 2∈[0, 1]，x 1<x 2，则x 2−x 1∈(0, 1],∴ f(x 1)−f(x 2)＝f(x 1)−f(x 2−x 1+x 1)≤f(x 1)−[f(x 1)+f(x 2−x 1)]＝−f(x 2−x 1)≤0，∴ f(x 1)≤f(x 2)，∴ f(x)在[0, 1]单调递增，令x 1＝x 2＝0，∵ x 1≥0，x 2≥0且x 1+x 2≤1，则f(x 1+x 2)≥f(x 1)+f(x 2)成立， ∴ 0≥2f(0)，又f(x)≥0，∴ f(0)＝0，∴ 当x ＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，当x ＝1时，f(x)取最大值f(1)＝1．【答案】函数f(x)＝ax 2+bx +c 的图象经过点(−1, 0)，可得a −b +c ＝0，又a ＝1，b ＝2，则f(x)＝x 2+2x +1，由新定义可得g(x)＝x 为函数f(x)的一个承托函数；假设存在常数a ，b ，c ，使得y ＝x 为函数f(x)的一个承托函数，且f(x)为函数y =12x 2+12的一个承托函数． 即有x ≤ax 2+bx +c ≤12x 2+12恒成立，令x ＝1可得1≤a +b +c ≤1，即为a +b +c ＝1，即1−b ＝a +c ，又ax 2+(b −1)x +c ≥0恒成立，可得a >0，且(b −1)2−4ac ≤0，即为(a +c)2−4ac ≤0，即有a ＝c ；又(a −12)x 2+bx +c −12≤0恒成立，试卷第11页，总11页 可得a <12，且b 2−4(a −12)(c −12)≤0， 即有(1−2a)2−4(a −12)2≤0恒成立．故存在常数a ，b ，c ，且0<a ＝c <12，b ＝1−2a ， 可取a ＝c =14，b =12．满足题意．【解答】函数f(x)＝ax 2+bx +c 的图象经过点(−1, 0)，可得a −b +c ＝0，又a ＝1，b ＝2，则f(x)＝x 2+2x +1，由新定义可得g(x)＝x 为函数f(x)的一个承托函数；假设存在常数a ，b ，c ，使得y ＝x 为函数f(x)的一个承托函数， 且f(x)为函数y =12x 2+12的一个承托函数． 即有x ≤ax 2+bx +c ≤12x 2+12恒成立，令x ＝1可得1≤a +b +c ≤1，即为a +b +c ＝1，即1−b ＝a +c ，又ax 2+(b −1)x +c ≥0恒成立，可得a >0，且(b −1)2−4ac ≤0， 即为(a +c)2−4ac ≤0，即有a ＝c ；又(a −12)x 2+bx +c −12≤0恒成立，可得a <12，且b 2−4(a −12)(c −12)≤0，即有(1−2a)2−4(a −12)2≤0恒成立． 故存在常数a ，b ，c ，且0<a ＝c <12，b ＝1−2a ，可取a ＝c =14，b =12．满足题意．。
高一(上学期)期中考试数学试卷
高一（上学期）期中考试数学试卷（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{,}A x y =，集合{}22,2B x x =，且A B =，则x =_______ 2．已知函数1()4x f x a -=+的图象恒过定点P ，则点P 坐标是___________3．定义在R 上的奇函数()y f x =满足(1)(0)f f π+=，则(1)f -=___________．4．方程42log 13x +=的解x =___________．5．若关于x 的方程53=+x a 有负实根，则实数a 的取值范围是___________6．若函数2245y x x =-+的图象按向量a 平移后得到函数22y x =的图象，则向量a 的坐标为________. 7．在如今这个5G 时代，6G 研究己方兴末艾，2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办，会上传出消息，未来6G 速率有望达到1Tbps ，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G 数据传输速率有望比5G 快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C 取决于信道宽带W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫做信噪比．若不改变宽带W ，而将信噪比S N从11提升至499，则最大信息传递率C 会提升到原来的_________倍．（结果保留一位小数）8．设a 是实数，若1x =是x a >的一个充分条件，则a 的取值范围是__________.9．设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且211a q =+，则该数列的各项和的最小值为__________． 10．已知0,0a b >>，且12223a b +=+，则2a b +的最小值为___________. 11．已知a 为奇数且0a >，则关于x 的不等式21a x x x ≤-的解集为___________． 12．设,x y ∈R ，若|||4||||1|5x x y y +-++-≤，则23x y xy -+的取值范围为___________．二、单选题13．设a 、b 、c 表示三条互不重合的直线，α、β表示两个不重合的平面，则使得“//a b ”成立的一个充分条件为（ ）A ．a c ⊥，b c ⊥B ．//a α，//b αC ．//a α，b αβ=，a β⊂D ．b α⊥，//c α，a c ⊥ 14．设集合{}02M x x =≤≤，{}02N y y =≤≤，那么下列四个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有（ ）A ．①①①①B ．①①①C ．①①D ．①15．设20202021202120222121,2121a b ++==++，则下列说法中正确的是（ ） A ．a b > B ．11a b > C ．222a b +≥ D ．2b a a b+= 16．设C ={复数}，R ={实数}，M ={纯虚数}，全集U C =，则下列结论中正确的是（ ）A ．⋃=R M CB ．⋂=∅C R M C ．C C R M ⋂=D ．⋃=C C M R C三、解答题17．设全集为R ，已知301x A x x -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，{}223B x a x a =-<<+． (1)若1a =，求A B ⋂；(2)若A B ⋃=R ，求实数a 的取值范围．18．若不等式210mx mx +-<对x ∈R 恒成立，求m 的取值范围.19．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当[0,16]x ∈时，曲线是二次函数图像的一部分；当[16,40]x ∈时，曲线是函数0.880log ()y x a =++图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）20．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在0x ，使得00(1)()(1)f x f x f +=+成立． （1）函数1()f x x=是否属于集合M ？说明理由； （2）设函数2()lg ,1a f x M x =∈+求a 的取值范围； （3）设函数2x y =图像与函数y x =-的图像有交点且横坐标为a ，证明：函数2()2x f x x M =+∈，并求出对应的0x （结果用a 表示出来）．21．设非空集合{}2|(2)10,A x x b x b b R =++++=∈，求集合A 中所有元素的和．参考答案：1．12【分析】根据A ＝B ，得到两个集合的元素相同，然后根据集合元素的特点建立方程即可．【详解】解：因为集合A ：{x ，y }，B ：{2x ，2x 2}，且A ＝B ，当x ＝2x 时，x ＝0，此时A ＝{0，0}，B ＝{0，0}，不成立，舍去．所以x ＝2x 2，y ＝2x 解得x 12=或x ＝0（舍）． 当x 12=时，A ＝{12，1}，B ＝{1，12}满足条件． 所以A ＝{12，1}． 故答案为：12【点睛】本题主要考查集合相等的应用，集合相等，对应元素完全相同．注意进行检验．2．()1,5【分析】根据指数函数的指数为0，求出函数过定点坐标；【详解】解：因为1()4x f x a -=+，令10x -=，即1x =，所以11(1)45f a -=+=，即函数恒过点()1,5P ； 故答案为：()1,53．π-【分析】利用奇函数的性质有(1)(0)(1)0f f f +=--+，结合已知即可求值.【详解】由题意(0)0f =且()()f x f x -=-，则(1)(0)(1)0f f f π+=--+=，则(1)f π-=-.故答案为：π-.4．4【分析】根据对数的定义可得．【详解】由42log 13x +=得4log 1x =，所以4x =．故答案为：4．5．()3,2--【分析】设方程53=+x a 有负实根为00(0)x x <，根据指数函数的性质，得到0051x <<，进而得到031a <+<，即可求解.【详解】设关于x 的方程53=+x a 有负实根为00(0)x x <，根据指数函数的性质，可得0051x <<，所以031a <+<，可得32a -<<，即实数a 的取值范围是()3,2--.故答案为：()3,2--.6．(1,3)--【分析】把函数式2245y x x =-+配方后，根据图象变换知可得．【详解】2245y x x =-+22(1)3x =-+，因此把它向左平移1个单位，再下平移3个单位可得22y x =的图象．①(1,3)a =--．故答案为：(1,3)--．【点睛】本题考查函数图象平移，考查向量的概念．属于基础题．7．2.5##52【分析】设提升前最大信息传递率为1C ，提升后最大信息传递率为2C ， 再根据题意求21CC ，利用指数、对数的运算性质化简即可求解.【详解】设提升前最大信息传递率为1C ，提升后最大信息传递率为2C ，则由题意可知，122log (111)log 12C W W =+=，222log (1499)log 500C W W =+=， 所以()()()()log log log log lo log g C W C W ⨯⨯===⨯⨯223222222122210525500232123 log log log ...log log log ..+++⨯====≈+++23222232222523523232896252232158358倍. 所以最大信息传递率C 会提升到原来的2.5倍.故答案为：2.58．(),1-∞【分析】利用充分条件的定义，将问题转化为{}{}1|x x a ⊆>，由子集的定义求解即可.【详解】解：因为1x =是x a >的一个充分条件，则{}{}1|x x a ⊆>，所以1a <，则a 的取值范围是(),1-∞.故答案为：(),1-∞.9．)21 【分析】先写出无穷等比数列各项和的表达式，然后利用基本不等式求解即可.【详解】{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，∴{}n a 数列的各项和为()()22111lim lim =11n n n n q q q S q q →+∞→+∞+-+=--，其中()()1,00,1q ∈-， 又11q -<<且0q ≠，012q ∴<-<且10q -≠，()())2211112122=21111q q q q q q ⎡⎤--++⎣⎦∴==-+-≥---，当且仅当211q q-=-，即1q =∴数列{}n a 的各项和的最小值为)21.故答案为：)21 10．8 【分析】根据0,0a b >>，且12223a b +=+，将2a b +转化为()2224a b a b +=++-()13222422a a b b =+⎛⎫+- ⎪+⎝⎤⎦⎭+⎡⎣，利用基本不等式求解. 【详解】因为0,0a b >>，且12223a b +=+， 所以()2224a b a b +=++-，()13222422a a b b =+⎛⎫+- ⎪+⎝⎤⎦⎭+⎡⎣， ()2324244a b a b +⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭,24834⎛ ≥+-= ⎝， 当且仅当()422a b a b+=+,即1,6a b ==时，等号成立， 所以2a b +的最小值为8，故答案为：811．{|1x x ≥或10}2x ≤< 【分析】讨论0x <、102x ≤<、12x >分别求对应解集，最后取并即得结果. 【详解】由题设1(21)02121a a a x x x x x x x ----=≥--，又a 为奇数且0a >，则12,N a k k -=∈， 当0x <时，1210a a x x ---<，210x -<，则021a x x x -<-不满足题设； 当102x ≤<时，021a x x x ≤≤-成立； 当12x >时，不等式等价于1(21)1a x x --≥， 若112x <<时，10,211a x x -<-< ，即1(21)1a x x --<与题设矛盾；若1≥x 时，1,211a x x --≥，满足1(21)1a x x --≥；综上，不等式解集为{|1x x ≥或10}2x ≤<. 故答案为：{|1x x ≥或10}2x ≤< 12．[3,9]-【分析】利用绝对值三角不等式可得|||4||||1|5x x y y +-++-=，即04x ≤≤，01y ≤≤，利用23m x y xy=-+中(,)x y 与{(,)|04,01}x y x y ≤≤≤≤有公共点，讨论3x =或2y =-、3x ≠研究m 的范围即可.【详解】|||4||||4||4|4x x x x x x +-=+-≥+-=，当04x ≤≤时等号成立，|||1||||1||1|1y y y y y y +-=+-≥+-=，当01y ≤≤时等号成立，所以|||4||||1|5x x y y +-++-≥，而|||4||||1|5x x y y +-++-≤，故|||4||||1|5x x y y +-++-=，此时04x ≤≤，01y ≤≤，令23m x y xy =-+中(,)x y ，与{(,)|04,01}x y x y ≤≤≤≤所表示的区域有公共点，当3x =或2y =-时6m =，而3[0,4]x =∈，故6m =满足；当3x ≠时，由62[0,1]3m y x -=-∈-得：6233m x -≤≤-，而04x ≤≤， 若34x <≤时60m ->，此时23(1)x m x ≤≤-，故69<≤m ；若03x ≤<时60m ->，此时233x m x ≥≥-，故36m -≤<；综上，3m -≤≤9.故答案为：[3,9]-【点睛】关键点点睛：利用绝对值三角不等式得|||4||||1|5x x y y +-++-=确定x 、y 的范围，再将问题转化为23m x y xy =-+中(,)x y 与{(,)|04,01}x y x y ≤≤≤≤有公共点求m 的范围即可.13．C【分析】由线线垂直的性质可判断A ，由线面平行的性质可判断B ，由线面平行的性质可判断C ，由线面平行垂直的性质可判断D ．【详解】选项A ：当a c ⊥，b c ⊥时，则//a b 或a 与b 相交或异面，①A 错误，选项B ：当//a α，//b α时，则//a b 或a 与b 相交或异面，①B 错误，选项C ：由线面平行的性质定理，当//a α，a β⊂，b αβ=时，则//a b ，①C 正确，选项D ：当b α⊥，//c α时，①b c ⊥，①a c ⊥，则//a b 或a 与b 相交或异面，①D 错误故选：C14．C【分析】根据函数的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为{}02M x x =≤≤，对于①中，函数的定义域不是集合M ，所以不能构成集合M 到集合N 的函数关系；对于①中，函数的定义域为集合M ，值域为集合N ，所以可以构成集合M 到集合N 的函数关系； 对于①中，函数的定义域为集合M ，值域为集合N ，所以可以构成集合M 到集合N 的函数关系；对于①中，根据函数的定义，集合M 中的元素在集合N 中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以不正确.故选：C15．A【分析】令()()1111111212112222121212x x x x x f x +++++++===++++，判断函数的单调性，即可判断A ，再根据不等式的性质即可判断BC ，再利用基本不等式即可判断D.【详解】解：令()()1111111212112222121212x x x x x f x +++++++===++++， 因为121x y +=+在R 上递增，且1210x ++>，所以函数()f x 在在R 上递减，所以()()202020210f f >>，即0a b >>，所以11a b<， 故A 正确，B 错误； 因为2020202120212022212101,012121a b ++<=<<=<++， 所以222a b +<，故C 错误；因为2b a a b +≥， 当且仅当b a a b=，即a b =时，取等号，又a b >， 所以2b a a b +>，故D 错误. 故选：A.16．D【分析】注意复数域的构成，对选项逐一分析，可得结果.【详解】因为对于任意复数(,)z a bi a R b R =+∈∈，当0b =时z 为实数，当0b ≠时z 为虚数，当0,0a b =≠时z 为纯虚数，所以复数包括实数和虚数，纯虚数是特殊的虚数，所以对于A 项，并集中还少不是纯虚数的虚数，对于B 项，交集应该为R ，对于C 项，结果应该为虚数集，只有D 项是满足条件的，故选：D.【点睛】该题考查的是有关复数域的问题，涉及到的知识点有复数的分类，集合的运算，数域简单题目. 17．(1){|13}x x <≤；(2)3a >.【分析】(1)解分式不等式可得集合A ，并求出A ，由1a =得集合B ，再利用交集的定义直接计算作答.(2)由A B =R 可得A B ⊆，再借助集合的包含关系列式计算作答.(1) 解不等式：301x x ->+，即(3)(1)0x x -+>，解得：1x <-或3x >，则{|1A x x =<-或3}x >， 因全集为R ，于是得{|13}A x x =-≤≤，当1a =时，{|15}B x x =<<， 所以{|13}A B x x ⋂=<≤.(2)由(1)知，{|13}A x x =-≤≤，因A B =R ，因此有：A B ⊆，于是得21233a a -<-⎧⎨+>⎩，解得3a >， 所以实数a 的取值范围是：3a >.18．(]4,0-【分析】本题需要对0m =和0m ≠两种情况分别讨论. 当0m =时结论恒成立; 当0m ≠时，使用二次函数的性质分析求解; 最后综合两种情况的结论即可.【详解】由已知可得，当0m =时，10-<成立;当0m ≠时，要使不等式210mx mx +-<对x ∈R 恒成立,则二次函数开口向下, 即0m <,且最大值要小于0, 即和x 轴没有交点, 所以240m m ∆=+<, 解得40m -<<; 综上, m 的取值范围为(]4,0m ∈-.19．（1）20.81(12)84,(0,16]()4log (15)80,(16,40]x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩；（2）14分钟.【解析】（1）根据题意，分别求得(0,16]x ∈和(16,40]x ∈上的解析式，即可求解； （2）当(0,16]x ∈和(16,40]x ∈时，令()68f x <，求得不等式的解集，即可求解.【详解】（1）当(0,16]x ∈时，设函数2()(12)84(0)f x b x b =-+<，因为2(16)(1612)8480f b =-+=，所以14b =-，所以21()(12)844f x x =--+， 当(16,40]x ∈时，0.8()log ()80f x x a =++，由0.8(16)log (16)8080f a =++=，解得15a =-，所以0.8()log (15)80f x x =-+， 综上，函数的解析式为20.81(12)84,(0,16]()4log (15)80,(16,40]x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩. （2）当(0,16]x ∈时，令21()(12)84684f x x =--+<， 即2(12)64x ->，解得4x <或20x >（舍去），所以[0,4]x ∈，当(16,40]x ∈时，令0.8()log (15)8068f x x =-+<，得12150.829.6x -≥+≈，所以[30,40]x ∈，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为40403014-+-=分钟. 20．（1）1()f x M x=∉，答案见解析；（2）3a ⎡∈⎣；（3）证明见解析；01x a =+． 【分析】（1）集合M 中元素的性质，即有()()()0011f x f x f +=+成立，代入函数解析式列出方程，进行求解即可；（2）根据()()()0011f x f x f +=+和对数的运算，求出关于a 的方程，再根据方程有解的条件求出a 的取值范围，当二次项的系数含有参数时，考虑是否为零的情况；（3）利用()()()0011f x f x f +=+和()22x f x x M =+∈，整理出关于0x 的式子，利用2x y =图象与函数y x=-的图象有交点，即对应方程有根，与求出的式子进行比较和证明.【详解】（1）若1(),f x M x=∈在定义域内存在0x ， 则20000111101x x x x =+⇒++=+方程无解，所以1(),f x M x=∉第 11 页 共 11 页 （2）由题意得2()lg 1a f x M x =∈+ 222lg lg +lg (2)22(1)0(+1)112a a a a x ax a x x ∴=⇒-++-=++ 当2a =时，12x =； 当2a ≠时，由0∆≥，得2640a a -+≤，解的)(32,35a ⎡∈+⎣综上，3a ⎡∈⎣； （3）函数2()2,x f x x M =+∈001220000(1)()(1)2(1)23x x f x f x f x x +∴+--=++---00100=22(1)22(1),x x x x -⎡⎤+-=+-⎣⎦又函数2x y =图像与函数y x =-的图像有交点且横坐标为a则010202(1)0x a a x -+=⇒+-=，其中01x a =+00(1)()(1),f x f x f ∴+=+即2()2x f x x M =+∈．【点睛】此题的集合中的元素是集合，主要利用了元素满足的恒等式进行求解，根据对数和指数的元素性质进行化简，考查了逻辑思维能力和分析、解决问题的能力.21．答案见解析【分析】分一元二次方程有相等实根与两个不相等实根讨论，当有相等实根时，直接求解，当有不相等实根时由根与系数关系求解.【详解】当0b =时，解得121x x ==-，{1}A =-，所以A 中所有元素之和为1-，当0b ≠时，22(2)4(1)0b b b ∆=+-+=>，方程2(2)10x b x b ++++=有两个不等的实根，由根与系数的关系知12(2)x x b +=-+，即A 中所有元素之和为2b --，【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根，分类讨论的思想，集合的描述法，属于中档题.。
北京市通州区2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题Word版含解析
北京市通州区2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合要求的，请把所选出的答案之前的标号填在括号内． 1．已知集合{}|(1)0A x x x =-=，那么（ ）． A ．1A ∈ B ．0A ∉C ．{}1A ∈D ．{}0,1A Ü2．已知集合A 到集合B 的映射:21f x y x →=-，那么集合A 中元素2的集合B 中所对应的元素是（ ）． A ．1B ．3C ．5D ．7 3．下列函数中与函数(0)≥y x x =有相同图象的一个是（ ）． A．2y =B．y =C．y =D ．2x y x=4．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）． A．yB ．2(1)y x =-C ．2x y -=D ．0.5log y x = 5．在同一坐标系中，图象关于x 轴对称的一组函数是（ ）． A ．10x y =与lg y x = B ．3log y x =与13log y x=C ．2y x =与y =D ．2y x =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭6．已知ln2a =，ln3b =，那么3log 2用含a ，b 的代数式表示为（ ）． A ．a b -B ．a b +C ．abD ．ab7．已知幂函数()y f x =的图象过点，则此函数的解析式是（ ）． A ．2y x =B．y x C．y D ．21y x =8．已知函数[]222,(,1)(2,)()1,1,2x x x f x x x ⎧--∈-∞-+∞⎪=⎨-∈-⎪⎩，那么函数()f x 的零点的个数为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3第二卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）把正确答案填在题中横线上9．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}1,2,3A =，{}1,3,5,7B =，则()U A B ð等于____________．10．已知集合{}2|20,A x x x a a =++=∈R ，若A ≠∅，则a 的取值范围是____________．11．如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则[](1)f f -=____________．12．若函数2()(2)3f x k x kx =-++是偶函数，则()f x 的单调递减区间是____________．13．已知53()8f x x ax bx =++-，且(2)10f -=，则(2)f =____________．14．已知集合{}{},,0,1,2a b c =，且下列三个关系式：（1）2a ≠；（2）2b =；（3）0c ≠；有且只有一个正确，则a b c +-=____________． 三、解答题（本大题共6小题，共80分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分）已知集合{}|A x x a =<，{}|16B x x =<<． （Ⅰ）若5a =时，求A B ，A B ．（Ⅱ）若A B ⊆R R 痧，求实数a 的取值范围．16．（本小题13分）简答： （Ⅰ）计算12491lg lg 25644-⎛⎫+- ⎪⎝⎭．（Ⅱ）比较0.31.7， 3.10.9，0.5log 1.1大小． （Ⅲ）若225x x -+=，求44x x -+的值．17．（本小题13分）已知函数()ln()f x x a =-，a ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的定义域．（Ⅱ）若()f x 的零点在(1,2)内，求实数a 的取值范围． （Ⅲ）若()f x 在[]1,2的最大值是1，求实数a 的值．18．（本小题14分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，()(1)f x x x =-． （Ⅰ）在给出的直线坐标系中，画出函数()f x 的图象． （Ⅱ）根据图象写出()f x 的单调区间（不必证明）．（Ⅲ）写出函数()f x 在R 上的解析式（只写毕结果，不写过程）．19．（本小题13分）下列为北京市居民用水阶梯水份表（单位：元/立方米）．（Ⅱ）若某居民年交水费1040元，求其中自来水费、水资源费及污水处理费各占多少？20．（本小题14分）已知函数()1()f x x ax a =++∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求(2)f -的值．（Ⅱ）若函数()f x 在R 上具有单调性，求a 的取值范围．北京市通州区2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题参考答案 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合要求的，请把所选出的答案之前的标号填在括号内． 1．已知集合{}|(1)0A x x x =-=，那么（ ）． A ．1A ∈ B ．0A ∉C ．{}1A ∈D ．{}0,1A Ü【答案】A【解析】集合{}|(1)0{0,1}A x x x =-==，∴1A ∈．故选A ．2．已知集合A 到集合B 的映射:21f x y x →=-，那么集合A 中元素2的集合B 中所对应的元素是（ ）． A ．1 B ．3 C ．5 D ．7【答案】B【解析】集合A 到B 的映射:21f x y x →=-，∴当1x =时，3y =，即集合A 中元素2在集合B 中所对应的元素是3．故选B ．3．下列函数中与函数(0)≥y x x =有相同图象的一个是（ ）．A ．2y =B ．y =C ．y =D ．2x y x=【答案】A【解析】A 选项，2y =定义域为{|0}x x ≥，与已知函数定义域相同，且对应关系也相同，所以与(0)y x x =≥有相同图象，故A 正确；B 选项，y =R ，与(0)≥y x x =定义域不同，所以与其函数图象不同，故B 错误；C 选项，y =R ，与(0)≥y x x =定义域不同，所以函数图象不同，故C 错误；D 选项，2x y x=定义域是{|0}x x ≠，与(0)≥y x x =定义域不同，所以函数图象不同，故D 错误．综上所述，故选A ．4．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）．A ．yB ．2(1)y x =-C ．2x y -=D ．0.5log y x =【答案】A【解析】A 选项，y =在(0,)+∞上为增函数；故A 正确；B 选项，2(1)y x =-在(,1)-∞上是减函数，在(1,)+∞上是增函数，故B 错误；C 选项，122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭在R 上是减函数，故C 错误； D 选项，0.5log y x =在(0,)+∞上是减函数，故D 错误．综上所述，故选A ．5．在同一坐标系中，图象关于x 轴对称的一组函数是（ ）． A ．10x y =与lg y x = B ．3log y x =与13log y x=C ．2y x =与y =D ．2y x =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B【解析】A 选项，10x y =与lg y x =互反函数，图象关于直线y x =对称，故A 错误；B 选项，与133log log y x x==-，故3log y x =与13log y x=图象关于x 轴对称，故B 正确；C 选项，2y x =与y =不对称，故C 错误；D 选项，2y x =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭不对称，故D 错误．综上所述，故选B ．6．已知ln2a =，ln3b =，那么3log 2用含a ，b 的代数式表示为（ ）． A ．a b -B ．a b +C ．abD ．ab【答案】D【解析】∵ln2a =，ln3b =， ∴3ln 2log 2ln3ab==．故选D ．7．已知幂函数()y f x =的图象过点，则此函数的解析式是（ ）．A ．2y x =B ．2y x =C ．yD ．21y x =【答案】C【解析】设幂函数的解析式为()a f x x =，∵幂函数的图象过，∴(2)2a f ==12a =， ∴12()f x x ==C ．8．已知函数[]222,(,1)(2,)()1,1,2x x x f x x x ⎧--∈-∞-+∞⎪=⎨-∈-⎪⎩，那么函数()f x 的零点的个数为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】令2220x x --=，解得：11x =-舍去)，21x =， 令10x -=，解得1x =，∴函数()f x 的零点的个数是2．故选C ．第二卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）把正确答案填在题中横线上9．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}1,2,3A =，{}1,3,5,7B =，则()U A B ð等于____________． 【答案】{2}【解析】∵{}1,2,3A =，{}1,3,5,7B =， ∴{2,4,6}U B =ð，∴(){2}U A B =ð．10．已知集合{}2|20,A x x x a a =++=∈R ，若A ≠∅，则a 的取值范围是____________．【答案】(],1-∞【解析】∵集合2{|20,}A x x x a a =++=∈R ，且A ≠∅， ∴方程220x x a ++=有解，440a ∆=-≥，解得：1a ≤． 故a 的取值范围是(],1-∞．11．如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则[](1)f f -=____________．【答案】2【解析】[](1)(0)2f f f -==．12．若函数2()(2)3f x k x kx =-++是偶函数，则()f x 的单调递减区间是____________． 【答案】(0,)+∞【解析】若函数2()(2)3f x k x kx =-++是偶函数，则0k =， ∴2()23f x x =-+，对称轴是y 轴，开口向下， ∴()f x 的单调递减区间是(0,)+∞．13．已知53()8f x x ax bx =++-，且(2)10f -=，则(2)f =____________． 【答案】26-【解析】设53()()8g x f x x ax bx =+=++是奇函数，∴(2)(2)818g f -=-+=，(2)(2)818g f =+=-，故(2)26f =-．14．已知集合{}{},,0,1,2a b c =，且下列三个关系式：（1）2a ≠；（2）2b =；（3）0c ≠；有且只有一个正确，则a b c +-=____________． 【答案】1【解析】0a =，1b =，2c =，不满足条件；0a =，2b =，1c =，不满足条件；1a =，0b =，2c =，不满足条件；1a =，2b =，0c =，不满足条件； 2a =，0b =，1c =，满足条件；2a =，1b =，0c =，不满足条件；∴2a =，0b =，1c =，故1a b c +-=．三、解答题（本大题共6小题，共80分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分）已知集合{}|A x x a =<，{}|16B x x =<<． （Ⅰ）若5a =时，求A B ，A B ．（Ⅱ）若A B ⊆R R 痧，求实数a 的取值范围． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）5a =时，{}|5A x x =<，{}|16B x x =<<， ∴{}|15AB x x =<<，{}|6AB x x =<．（Ⅱ）{|}A x x a R ≥ð，{|1B x x =R ≤ð或6}x ≥ ∵A B ⊆R R痧，∴6a ≥，故实数a 的取值范围是[)6,+∞．16．（本小题13分）简答： （Ⅰ）计算12491lg lg 25644-⎛⎫+- ⎪⎝⎭．（Ⅱ）比较0.31.7， 3.10.9，0.5log 1.1大小． （Ⅲ）若225x x -+=，求44x x -+的值． 【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）12491lg lg 25644-⎛⎫+- ⎪⎝⎭8186lg 2710077=+=-=-． （Ⅱ）∵0.301.7 1.71>=， 3.1000.90.91<<=， 0.50.51log 1.1log 0<<，∴ 3.10.30.5log 1.10.9 1.7<<． （Ⅲ）∵225x x -+=，∴2(22)25x x -+=，∴44225x x -++=， ∴4423x x -+=．17．（本小题13分）已知函数()ln()f x x a =-，a ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的定义域．（Ⅱ）若()f x 的零点在(1,2)内，求实数a 的取值范围． （Ⅲ）若()f x 在[]1,2的最大值是1，求实数a 的值． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）∵0x a ->，∴x a >， ∴()f x 的定义域是(,)a +∞．（Ⅱ）∵()f x 在(,)a +∞上是增函数，且零点在(1,2)内， ∴1020(1)0(2)0a a f f ->⎧⎪->⎪⎨<⎪⎪>⎩，即1020(1)0m(2)0a a m a a ->⎧⎪->⎪⎨-<⎪⎪->⎩，解得01a <<， 故实数a 的取值范围是(0,1)． （Ⅲ）max ()(2)(2)1f x f m a ==-=， ∴2a e -=，解得2a e =-．18．（本小题14分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，()(1)f x x x =-． （Ⅰ）在给出的直线坐标系中，画出函数()f x 的图象． （Ⅱ）根据图象写出()f x 的单调区间（不必证明）．（Ⅲ）写出函数()f x 在R 上的解析式（只写毕结果，不写过程）．【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）()f x -的单调增区间是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减区间是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（Ⅲ）(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x -⎧=⎨+<⎩≥．19．（本小题13分）下列为北京市居民用水阶梯水份表（单位：元/立方米）．（Ⅱ）若某居民年交水费1040元，求其中自来水费、水资源费及污水处理费各占多少？ 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）当0180x <≤时，5y x =；当180260x <≤时，1805(180)77360y x x =⨯+-⨯=-； 当260x >时，1460(260)99880y x x =+-⨯=-； ∴5,0180,7360,180260,9880,260,x x x y x x x x x x <∈⎧⎪=-<∈⎨⎪->∈⎩NN N ≤≤．（Ⅱ）当1040y =时，73601040x -=，200x =， 自来水费：2.0718020 4.07454⨯+⨯⨯（元）， 水资源费：1.57200314⨯=（元）， 污水处理费：1.36200272⨯=（元），20．（本小题14分）已知函数()1()f x x ax a =++∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求(2)f -的值．（Ⅱ）若函数()f x 在R 上具有单调性，求a 的取值范围． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）当1a =时，()1f x x x =++， ∴(2)|21|(2)1f -=-++-=-．（Ⅱ）(1)1,1()1(1)1,1a x x f x x ax a x x ++-⎧=++=⎨--<-⎩≥， 若函数()f x 在R 上具有单调性，则： 1010a a +>⎧⎨->⎩或1010a a +<⎧⎨-<⎩， 解得1a >或1a <-． 故a 的取值范围(,1)(1,)-∞-+∞．。
北京高一第一学期期中考试数学试卷含答案
2019—2020年度第一学期期中考试高一数学试题第Ⅰ卷一．选择题1.设集合{}0,1,2,3M =,{}02N x N x =∈≤≤,则M N ⋂中元素的个数为( )A. 0B. 2C. 3D. 4 2.命题“2,220x x x ∃∈++≤R ”的否定是（ ）A. 2,220x x x ∀∈++>RB. 2,220x R x x ∀∈++≤C. 2,220x x x ∃∈++>RD. 2,220x x x ∃∈++≥R 3.下列四组函数,表示同一函数的是( )A. ()f x =()g x x =B. ()f x x =,()21x x g x x -=-C. ()f x x =,(),0,0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩D. ()f x =()g x =4.条件p :a b =是条件q :a b c c>的( ) A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 5.已知集合30x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬⎩⎭,{}B x x a =<,若A B B ⋃=,则实数a 的取值范围是( ) A. [)3,+∞ B. ()3,+∞ C. (],0-∞ D. ,0 6.已知偶函数()f x 的定义域为R ，当[)0,+x ∈∞时，()f x 是增函数，()2f -，()f π，()3f -的大小关系是（ ）A. ()()()23ff f π>->- B. ()()()32f f f π>->- C. ()()()23f f f π>->- D. ()()()32f f f π>->-7.函数()21,12,1x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-+<⎩的零点个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 38.已知函数()2,00x x f x x ⎧≥⎪=<,若()4f a =,则a 等于( ) A. 2 B. 2- C. 2± D. 2或16- 9.我国为了加强对烟酒生产的宏观管理,除了应征税收外,还征收附加税,已知某种酒每瓶售价为70元,不收附加税时,每年大约销售100万瓶;若每销售100元国家要征附加税x 元(叫做税率%x ),则每年销售量将减少10x 万瓶,如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元,则x 的最小值为( )A. 2B. 6C. 8D. 10 10.定义{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，已知,αβ为函数()2f x x px q =++的两个零点，若存在整数n 满足1n n αβ<<<+，则()(){}min ,1f n f n +的值（ ）A. 一定大于12B. 一定小于12C. 一定等于14D. 一定小于14第Ⅱ卷二､填空题11.函数()f x =的定义域是______．12.已知函数()2,01,0x x f x x x ⎧≤=⎨-+>⎩;则()3f f -⎡⎤⎣⎦等于______．13.已知()1,x ∈+∞,则函数91y x x =+-的最小值等于______． 14.已知函数()221f x x x =-++, ①函数的值域是______．②若函数在[]3,a -上不是单调函数,则实数a 的取值范围是______．15.已知实数,a b 满足2850a a -+=,2850b b -+=,则22a b +=______．16.若方程2210ax x --=在()0,1内恰有一个根,则实数a 的取值范围是______．17.函数y = f(x)是定义域为R 的偶函数，当x≥0时，函数f(x)的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当[]1,1x ∈-时，y 的取值范围是______；②如果对任意[],x a b ∈ (b <0)，都有[]2,1y ∈-，那么b 的最大值是______．18.能够说明“若()0f x <对任意的(]0,2x ∈都成立,则函数()f x 在(]0,2是减函数”为假命题的一个函数是______．(答案不唯一)19.对于函数()1f x x=(0x >)的定义域中任意1x ,2x (12x x ≠)有如下结论: ①()()()1212f x x f x f x +=+;②()()12120f x f x x x ->-;③()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭上述结论中正确结论的序号是______．20.已知函数()212f x x x=+,a ,b 均为正数且2a b +=,则()()f a f b +的最小值等于______． 三､解答题21.已知函数()43f x x x =-+的定义城为A ,集合{}11B x a x a =-<<+ (1)求集合A ;(2)若全集{}5U x x =≤,2a =,求u A B ;(3)若x B ∈是x A ∈的充分条件,求a 的取值范围．22.已知函数()4f x x x=- (1)判断函数的奇偶性,并说明理由:(2)证明:函数()f x 在0,上单调递增; (3)求函数()4f x x x=-,[]4,1x ∈--的值域．23.已知函数()()22f x x a x b =+++,其中a ,b R ∈． (1)当1a =,4b =-时,求函数()f x 的零点;(2)当2b a =时,解关于x 的不等式()0f x ≤;(3)如果函数()f x 的图象恒在直线22y x =+的上方,证明:2b >．参考答案1【答案】C【详解】解:因为集合()0,1,2,3M =,{}02N x N x =∈≤≤, 所以{}{}00,1,22N x N x =∈≤≤=,所以{}0,1,2M N ⋂=,则M N ⋂中元素的个数为3个.故选:C2【答案】A【详解】特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，故A 选项正确. 故选A.3【答案】C【详解】解: 选项A.:()f x =R ,()g x x =的定义域为R()f x x ==,对应法则不同,不是同一函数.选项B.:()f x x =定义域为R ,()21x x g x x -=-定义域为{}|1x x ≠, 定义域不同,不是同一函数.选项C:()f x x = 定义域为R ,(),0,0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩定义域为R . (),0,0f x x x x x x ≥⎧=⎨-<=⎩,定义域相同,对应法则也相同,是同一函数.选项D:()f x ={}|1x x ≥,()g x =定义域为|11x x ,定义域不同,不是同一函数.故选:C4【答案】D 详解】解:证充分性:若:p a b =,则a b c c=,则 p q ≠>,则充分性不成立.证必要性: 若q : a b c c>,则a b >,则q p ≠>,则必要性不成立. 故条件:p a b =是条件q :a b c c>的既不充分也不必要条件. 故选:D5【答案】B【详解】解: {}3003x A x x x x ⎧⎫-=≤=<≤⎨⎬⎩⎭, 又因为: {}B x x a =<,若A B B ⋃=,所以A B ⊂,则|3a a所以实数a 的取值范围是: ()3,+∞.故选:B6【答案】B【详解】由题意，函数()f x 为定义域上的偶函数，可得()()2(2),3(3)f f f f -=-=， 又由当[)0,+x ∈∞时，()f x 是增函数，且32π>>，所以()()()32f f f π>>，即()()()32f f f π>->-.故选：B .7【答案】B【详解】解: ()21,12,1x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-+<⎩,当1x ≥ 时, ()10f x x ==无解,则不存在零点. 当1x < 时,()220f x x =-+=,解得x =1x =>(舍去),则零点为x =综上所述: ()f x 的零点个数是1.故选:B8【答案】D【详解】解:因为函数()2,0,x xf xx x⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,()4f a=当0a≥时, ()24f a a==,解得2a=.当0a<时, ()4f a a=-=,解得16a=-故a等于2或16-.故选:D9【答案】A【详解】2(10010)70%1121016028x x x x x-⨯⨯≥⇒-+≤∴≤≤，x的最小值为2，选A. 10【答案】D【详解】由题可得：()()10f nf n⎧>⎪⎨+>⎪⎩.又,αβ为函数()2f x x px q=++的两个零点，所以pαβ+=-，qαβ⋅=.将函数()2f x x px q=++图像往上平移时，开口大小保持不变，如图当函数()2f x x px q=++图像往上平移时，()(){}min,1f n f n+变大，即：当αβ→时，()(){}min,1f n f n+越大，又由二次函数的对称性得：当2121,22n nαβ++→→时，()(){}min,1f n f n+最大令212nαβ+==，则：122nαβ+=-，()(){}min,1f n f n+就是()f n．又()2f n n pn q=++=2112222p q αβαβ++⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()2112222αβαβαβαβ++⎛⎫⎛⎫=--+-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =()2144αβ--由已知得αβ<，所以()f n 一定小于14， 所以()(){}min ,1f n f n +一定小于14. 故选D 【点睛】本题主要考查了韦达定理及方程与函数关系，考查了计算能力及转化能力，属于中档题． 11【答案】[]2,2-【详解】解: ()f x =:20x -≥,解得22x -≤≤ ,故函数的定义域为:[]2,2-.故答案: []2,2-12【答案】8-【解析】【详解】解: 因为函数()2,01,0x x f x x x ⎧≤=⎨-+>⎩, 则()()()2339918f f f f ⎡⎤-=-==-+=-⎡⎤⎣⎦⎣⎦. 故答案为:8-.【点睛】本题考查分段函数求值,看清楚自变量所在的区间是解题的关键.13【答案】7【详解】解: 已知()1,x ∈+∞,则10x ->, 所以()991111y x x x x =+=-++--17≥=, 当且仅当911x x -=-,即4x =时,等号成立. 所以函数91y x x =+-的最小值为7. 故答案为: 714【答案】 (1). (],2-∞ (2). 1,【详解】解: ①()221f x x x =-++,定义域为R ,开口向下,()221f x x x =-++()2212x x =--++()2122x =--+≤,所以函数的值域是(],2-∞.②因为()()212f x x =--+,对称轴为1x =,若函数在[]3,a -上不是单调函数,则1a >,故实数a 的取值范围是1,.故答案为: ①(],2-∞;②1,15【答案】54或54±【详解】解:因为2850a a -+=,2850b b -+=, ①当a b 时,可设,a b 是方程2850x x -+=的两根, 85a b a b , ()2222282554a b a b ab ∴+=+-=-⨯=②当a b =时,解2850a a -+=得411a ,所以当4a b ==, 2254a b +=+当4a b ==, 2254a b +=-综上所述: 22a b +的值为54或54±.故答案为: 54或54±16【答案】1,【详解】解:令()221f x ax x =--.当0a =时,()1f x x =--,0f x 的根为1x =-,显不在区间0,1内,所以0a =时不成立.当0a ≠时,若一元二次方程0f x在0,1内恰有一个根, 则有以下两种情况：①0f x有两个相等的实数根, 则180a ,18a =, 此时0f x的解为2x =-,不在区间0,1内, 所以18a =时不成立； ②0f x 有两个不相等的实数根,且有一个根在0,1内,则()()010f f ⋅<,则()()22200121110a a ⨯--⋅⨯--<,解得1a >.综上可知,实数a 的取值范围是:1,.故答案为: 1,17【答案】 (1). []1,2 (2). 2-【详解】由图象可知，当0x =时，函数在[]1,1-上的最小值min 1y =， 当1x =±时，函数在[]1,1-上的最小值max 2y =， 所以当[]1,1x ∈-，函数()y f x =值域为[]1,2；当[]0,3x ∈时，函数()()212f x x =--+，当[)3,x ∈+∞时，函数()5f x x =-， 当()1f x =时，2x =或7x =，又因为函数为偶函数，图象关于y 轴对称，所以对于任意[],(0)x a b b ∈<，要使得[]2,1y ∈-，则a R ∈，7b =-或2b =-， 则实数b 的最大值是2b =-． 故答案为[]1,22-；18【答案】()sin f x x =-(答案不唯一)【详解】解:令()sin f x x =-,则对任意的(]0,2x ∈,()0f x <都成立. ()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减,在,22π⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增. 故函数()f x 在(]0,2是减函数不成立.故()sin f x x =-是符合题意的一个函数.故答案为: ()sin f x x =-(答案不唯一)19【答案】③【详解】解: 对于①,12121f x x x x ,121211f x f x x x , 显然()()()1212f x x f x f x +≠+,故①不正确;对于②,取121,2x x ==,则1211,2f x f x , 可得()()121211120122f x f x x x --==-<--,故②不正确; 对于③121222x x f x x +⎛⎫=⎪+⎝⎭,()()12121212111222f x f x x x x x x x +⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭, 2121212121222f x f x x x x x f x x x x ,120,0x x 且12x x ≠,21212120x x x x x x , 1212022f x f x x x f , 121222f x f x x x f ,故③正确.故答案为: ③20【答案】3【详解】解:因为a ,b 均为正数且2a b +=,所以20b a ,则02a <<,()()221122a b a f a f b b ++=++ ()212422a b a b ab ab ab ab+=+-+=-+ 因为a ,b 均为正数且2a b +=,所以a b +≥,则2220122a b ab +⎛⎫⎛⎫<≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令t ab =,则01t <≤, ()142f t t t=-+在01t <≤单调递减, 所以()min 142131f t =-⨯+= 所以()()3f a f b +≥. 故()()f a f b +的最小值等于3.故答案为:321【答案】(1)|34x x A ;(2){}|3134U A B x x x =-<≤-≤≤或;(3)|3a a .【详解】解: (1)要使函数()f x =有意义, 则4030x x -≥⎧⎨+>⎩,即34x 所以函数的定义域为|34x x.所以集合|34x x A(2)因为全集{}5U x x =≤,2a =, , {}{}1113B x a x a x x ∴=-<<+=-<<{}|135U B x x x ∴=≤-≤≤或,{}|3134U A B x x x =-<≤-≤≤或;(3)由(1)得|34x x A, 若x B ∈是x A ∈的充分条件,即B A ⊆,①当B =∅时, B A ⊆,即11,a a -≥+0a ∴≤②当B ≠∅时, B A ⊆,11013403143a a a a a a a a -<+>⎧⎧⎪⎪-≥-⇒≤⇒<≤⎨⎨⎪⎪+≤≤⎩⎩,综上所述: a 的取值范围为{}|3a a ≤ 22【答案】（1）证明见解析;（2）证明见解析;（3）[]3,3--.【详解】解: （1）证明:定义域为(,0)(0,)-∞+∞; 444()()f x x x x f x x x x ,f x 为奇函数.（2）证明:对任意的()12,0,x x ∈+∞,且12x x <,()()12112244x x f x f x x x ⎛⎫=--- ⎝-⎪⎭()121244x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()()1212124x x x x x x -=-+()121241x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭120x x <<,12120,0x x x x ,()()120f x f x ∴-<()()12f x f x ∴<f x 在0,上单调递增. （3）f x 为奇函数且在0,上是增函数, 则()f x 在,0上是增函数,f x 在[]4,1--上是增函数,()()()41f f x f -≤≤-,即()33f x -≤≤,所以函数()4f x x x=-,[]4,1x ∈--的值域为[]3,3-- 23【答案】(1) 4-或1;(2)当2a =时,解集为|2x x ,当2a >时解集为,2a ,当2a <时,解集为2,a ;(3)证明见解析.【详解】解: (1)因为函数()()22f x x a x b =+++, 当1a =,4b =-时, ()()2221434f x x x x x =++-=+- 0f x ,则2340x x +-=,解得4x =-或1x =. 所以函数的零点为4-或1;(2)当2b a =时,()()222f x x a x a =+++, 令0f x 解得x a =-或2x =-,①当2a =时, ()0f x ≤的解集为|2x x②当2a >时, ()0f x ≤的解集为,2a , ③当2a <时, ()0f x ≤的解集为2,a .(3)如果函数()f x 的图象恒在直线22y x =+的上方, 则()22f x x >+对任意的x ∈R 恒成立,即220x ax b ++->对任意的x ∈R 恒成立24(2)0a b ∴=--<,即224a b -> 又因为204a ≥,所以20b ->,2b >. 所以函数()f x 的图象恒在直线22y x =+的上方, 2b >成立.。