高考数学复习要点
例 题 · 03 年 新 教 材
在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB，AC互相垂直， 则”AB2+AC2=BC2.”拓展到空间，类比平 面几何的勾股定理，研究三棱锥的面面积 与底面面积间的关系。可以得出的正确结 论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面 ABC、ACD、ADB两两相互垂直， 则 ”。
第 一 轮 知 识 篇
时间：高三上，教材：“志鸿优化”（上册） 主线索是知识的纵向联系与横向联系，以章 节为单位，侧重于各知识点的融会贯通； 要求：
立足课本，迅速激活已学过的各个知识点； 注意知识点覆盖范围的变化；研究知识点的地位 和联系； 明确知识结构，将知识体系框架化、网络化； 总结使用最多的知识点，研究重点知识所在章节， 并了解各章节在课本中的地位和作用。 准备错题本，及时总结错题类型、原因，供第四 轮（主体），概率的计算， 特别是等可能事件的概率、互斥事 件的概率以及独立事件有一个发生 的概率和二项分布问题是重点，统 计可能会考简单的应用； 向量的应用（主体），注意与代数 中的函数、解析几何的直线与曲线 的位置关系、立体几何中的证明与 计算结合；
关 注 题 型 改 革
特别要注意在立体几何试题中进行 题型和能力测试的改革尝试，来体 现“在研究性课题中考能力”，高 考命题逐年加大考新型题的力度， 稳中求新，稳中求改，积极进行新 型题的改革试验，在新型题中考查 探究能力。这些新型题包括：动手 能力题、开放题、探索题及小发现 题。
例 题 · 02 年 全 国 文 科
给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用 其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正 三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等， 请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中， 本题考查空间想象 并作简要说明； 和动手能力，对于 试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小; 文科是难题，对于 如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求 理科学生也不见得 剪拼成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的 容易； 面积相等。请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中， 并作简要说明。
二个加强三个突出
怎 样 上 好 第 二 轮 复 习 课
突出基础知识的灵活运用．“基础知识的灵活运 用就是能力”． 突出“三多一发展”训练．“一题多问，层层递 进”是高考命题的又一特点．复习中，要多练多 问，多练“由大到小”的分解训练，多做结论发 散训练；发展一问为多问，一证为多证多算等． 突出学生数学阅读能力训练．让学生自己读题、 审题、作图、设图，强化用数学思想和方法在解 题中的指导性，强化变式，引导学生认识“差之 毫厘，谬之千里”。另外，有意识，有目的地选 择一些阅读材料，如与生产生活密切相关的应用 题，利用所给信息解题等．
明确“主体”，突出重点
怎 样 上 好 第 二 轮 复 习 课
数学高考有重点 主干知识及其主要交汇点 旧五块： 函数；不等式；数列、极限；曲线 与方程；空间图形； 新三块：导数；概率与统计；向量 交汇点：“函数、方程与不等式的综合”、 “函数与数列的综合”、“解析几何与几何、 代数、三角的综合”、“导数的应用”、 “向量的应用”
例 题 · 02 年 北 京
关于直角AOB在定平面α内的射影有如下 判断： ①可能是0°角； “把空间想象能力的 考查与逻辑推理、 ②可能是锐角； 模型化方法相结合， ③可能是直角； 体现了运动变化的 ④可能是钝角； 解题方法” ⑤可能是180°角； 其中正确判断的序号是______；（注： 把你认为正确判断的序号都填上）
立体几何（主体）．突出“空间”、 “立体”．几何体以棱柱、棱锥为重 点．棱柱中又以三棱柱、正方体为重 点； 特别近三年新教材试卷都选择底面有 一个直角的直三棱柱做模型，有利于9 （B）知识的考查，值得关注；
空间角以线面角、二面角为重点，； 空间距以点面距、线面距为重点 特别要注意在立体几何试题中进行题型和 能力测试的改革尝试，来体现“在研究性 课题中考能力”
在填空题和大题都出现过； 动手能力题、开放题、探索题及小发现题 ；
主 干 知 识
解析几何（主体）． 以基本性质、基本运算为目标．突 出直线和圆锥曲线的交点、弦长、 轨迹等，突出与函数的联系．突出 向量工具的使用； 导数（主体），以导数的应用为主， 研究函数的单调性和最值，可能与 函数、不等式结合，引入含参变量； 也可能与物理等学科结合，考查实 际应用能力；
例 题 · 04 年 上 海 春 季
如图，点P为斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧 棱BB1两题都体现了“在基础中考 1于点M， 上一点，PM⊥BB1交AA PN⊥BB1交CC1于点N。 能力”，而且考查的能力是高 （1）求证：CC1⊥MN 级的类比能力，数学猜想的能 （2）在任意△DEF中，有余弦定理： 力。这些表明，高考命题不但 2＝DF2＋EF2－2DF· DE 在基础中考能力，而且注重考 EF· cos∠DFE， 拓展到空间，类比三角形的余弦定理， 查创新能力。体现了“在研究 写出斜三棱柱的三个侧 性课题中考能力”的考试说明； 面面积与其中两个侧面 所成的二面角之间的关 系式，并予以证明；
明确“主体”，突出重点
怎 样 上 好 第 二 轮 复 习 课
近几年，高考数学试题稳中有变，变中求 新． 特点是： 稳中求改，坚持创新，注重能力注重素质． 全面考查，突出重点，注重联系构建网络． 调整难度，适度综合，注重实践强化应用． 减少题量，缩短长度，留出空间考查思维． 入口较低，要求较高，多题把关区分度高． 稳以基础为主体； 变以选拔为导向； 能力孕育灵活中；
2
A.①③④
B.①③⑤
C.②③④
D.②③⑤
关 注 向 量 工 具 的 使 用
平面向量和空间向量作为新增知识 引入高中课程，其本身固有的形数 结合和运算特点已经和多个章节形 成交汇点
与代数结合，体现在图像的平移上 与解几结合，体现在计算转化上 与空间结合，体现在可以解决空间 几何的所有证明和计算问题上；
例 题 · 福 州 三 中 高 二 下 半 期 考
这是信息迁移的新型题，一般命题 者在考查球面距离时都选择考查相 同特殊纬度、经度差为特值的球面 两点的球面距离，我们回归生活实 际，选择同经度不同纬度的球面两 点的球面距离，创设了生活情境， 主要考查考生的阅读能力，迁移能 力和创造性思维能力，本题的最佳 解题是回到生活中，用地理常识解 题，而不被纯数学所困绕！
第 二 轮 专 题 篇
时间：高三下开学到四月中旬 教材：“志鸿优化”（下册） 采用三条腿走路：
以训练填空题和选择题为主的专项训练来训 练成功率和答题时间，每周一次； 以训练综合解题能力并查缺补漏，提高考试 能力的考试，使用38套，每周一次； 使用教材，进行专题选讲，每周3次；老师以 专题知识为主线，研究数学思想方法为重点；
例 题 · 福 州 三 中 高 三 上 半 期 考
Mathematic s in Hand 掌握数学，一个美好的祝愿： 张开右手，您将看到您的掌纹，有人称它是命运的密语， 其实它是我们熟悉的指数函数、对数函数和幂函数的图 试题难度加大已经成为共识，去年 像，每天都握在我们的掌中. 高考的教训却不能不引起我们重视， 某人的掌纹如图所示，在所给的直角坐标系中，它们只 加强心理素质的训练与加强解题训 可能是下列给出的哪三个函数的图像？ 3 x 练是同样重要的，正确引导学生看 ① y ( ) 待每次的考试以及考试结果，将有 2 2 ② y ( ) x 利于提高心理素质，使学生做到不 3 1 y x 会因为试题容易而掉以轻心，不会 ③ 2 因为试题太难而惊惶失措；我们出 1 y ln( x ) ④ 这样一道数学半期考试题，算是给 2 1 ⑤ y ln( x ) 学生的一个美好的祝愿；
二个加强三个突出
怎 样 上 好 第 二 轮 复 习 课
客观题要加强速度和正确率的强化训练．高考采 取了客观题（选择与填空）减少运算量、降低难 度，让学生有更多的时间完成解答题，充分发挥 选拔功能的做法．这就需要第二轮复习要在速度， 准确率上下功夫．我们准备安排定时定量的专项 训练每周1次，总量不少于10次，达到大部分学 生过关，失分不多于2个题目分的目标要求，题 目设计一般是数形结合（4-5个），组合选（2-3 个），“估算”或特值法（2-3个）． 加强代数与几何的有机联系．新教材高考在“解 法代数化”的基础上，鲜明特点是代数与几何联 系考查明显加强了．复习中代数、几何“各自为 战”的现象必须根治．
主 干 知 识
函数与不等式（主体）．代数以函 数为主干，不等式与函数的结合是 “热点”； 数列（主体），以等差、等比两种 基本数列为载体考查数列的通项、 求和、极限等为重点； 三角（非主体），考查 y Asin( x ) B 各字母意义物理，考查作图能力和 作图描述为热点；
主 干 知 识
怎 样 上 好 第 二 轮 复 习 课
做到“四个转变”
变“介绍方法”为“选择方法”， 突出解法的发现和运用． 变“全面覆盖”为“重点讲练”， 突出高考“热点”问题． 变“以量为主”为“以质取胜”， 突出讲练落实． 变“以补弱为主”为“扬长补弱并 举”，突出因材施教．
怎 样 上 好 第 二 轮 复 习 课
第 二 轮 专 题 篇
这一轮复习承上启下，是知识系统 化、条理化，促进灵活运用的关键 时期，是促进学生素质、能力发展 的关键时期，因而对讲练、检测等 要求较高，故有“二轮看水平”之 说 “二轮看水平”概括了第二轮复习 的思路、目标和要求。
二 轮 四 看 水 平
看教师对《考试说明》《考题》理解是否透 彻，研究是否深入、把握是否到位，明确 “考什么”、“怎么考”； 看教师讲解、学生练习是否体现阶段性、层 次性和渐进性，做到减少重复，重点突出， 让大部分学生学有新意，学有收获，学有发 展． 看知识讲解、练习检测等内容科学性、针对 性是否强，能否使模湖的清晰起来，缺漏的 填补起来，杂乱的条理起来，孤立的联系起 来，让学生形成系统化、条理化的知识框架 看练习检测与高考是否对路，不拔高、不降 低，准度适宜，放度良好，重在基础的灵活 运用和掌握分析解决问题的思维方法．
2025年高考数学提高分数的攻略总结模版（3篇）
2025年高考数学提高分数的攻略总结模版高考数学是高中阶段中最重要的一门科目之一，也是很多学生最头疼的科目之一。
在____年的高考中，希望所有的学生都能够取得优异的数学成绩。
为了帮助大家实现这个目标，下面将提供一些数学提高分数的攻略总结，供大家参考。
一、扎实的基础知识1. 复习课本：高考数学涉及的内容很广泛，但基本都是从教材中选择题目。
因此，扎实的课本知识是提高数学分数的前提。
认真复习和理解课本上的知识点，做好课后习题，做到知其然且知其所以然。
2. 查漏补缺：通过自主学习或参加辅导班等方式，检查自己的数学知识是否有遗漏或不牢固的地方，并及时进行补充。
在数学基础知识方面做到扎实、全面。
二、增强综合应用能力1. 做题方法：在复习和解题过程中，要注重提高自己的综合应用能力。
不要只盯着解题方法，要学会灵活运用这些方法来解决实际问题。
也要遵循科学的解题思路，理清思路和每一步的逻辑关系，做到步步为营。
2. 提高解题速度：高考数学是对考生时间的严格考验，因此提高解题速度也是提高分数的关键。
可以通过大量的刷题练习，逐渐提高自己的解题速度。
另外，尽量采用一些快速解题技巧和方法，例如化简、逻辑推理等，提高解题的效率。
三、合理的备考计划1. 制定合理的备考计划：根据自己的时间安排和能力水平，制定一份合理的备考计划。
要将复习进度合理地安排在时间轴上，同时留出足够的时间来进行检查和复习。
记得不要把重点全部放在数学上，要把握好各科的平衡。
2. 合理安排时间：高考复习需要很大的时间和精力投入。
要合理安排学习时间，不要过度或过少地学习数学。
要保证每天都有一定的时间进行数学的练习和复习，真正做到持之以恒。
四、有效的答题技巧1. 仔细审题：高考数学中的题目通常会有很多陷阱和指引，因此仔细审题是非常重要的。
要仔细阅读题目中的条件和要求，找到问题的关键点，正确理解题目的意思，避免出现因为误解题干而导致的错误。
2. 搞清题型：高考数学中的题型很多，每种题型都有其解题的方法和技巧。
高考数学知识点总结(全而精-一轮复习必备)
高中数学第一章-集合考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．考试要求： （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．§01. 集合与简易逻辑 知识要点一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、知识回顾：（一）集合1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为；②空集是任何集合的子集，记为；③空集是任何非空集合的真子集；如果，同时，那么A = B.如果.[注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=，则C s A= {0}）A A ⊆A ⊆φB A ⊆A B ⊆C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，+N③空集的补集是全集.④若集合A=集合B，则C B A=，C A B =C S（C A B）=D（注：C A B =）.3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R二、四象限的点集.③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集.[注]：①对方程组解的集合应是点集.例：解的集合{(2，1)}.②点集与数集的交集是. （例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则A∩B =）4. ①n个元素的子集有2n个. ②n个元素的真子集有2n－1个. ③n个元素的非空真子集有2n－2个.5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题逆命题.②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题逆否命题.例：①若应是真命题.，则a+b = 5，成立，所以此命题为真.②.1或y = 2.,故是的既不是充分，又不是必要条件.⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围.3.例：若.4.集合运算：交、并、补.5.主要性质和运算律（1）包含关系：（2）等价关系：（3）集合的运算律：交换律：结合律:分配律:.∅∅∅}⎩⎨⎧=-=+1323yxyxφ∅⇔⇔325≠≠≠+baba或，则且1≠x3≠y1≠∴yx且3≠+yx21≠≠yx且255xxx或，⇒{|,}{|}{,}A B x x A x BA B x x A x BA x U x A⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U交：且并：或补：且C,,,,,;,;,.UA A A A U A UA B B C A C A B A A B B A B A A B B⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇CUA B A B A A B B A B U⊆⇔=⇔=⇔=C.;ABBAABBA==)()();()(CBACBACBACBA==)()()();()()(CABACBACABACBA==0-1律：等幂律：求补律：A∩C U A=φA∪C U A=U C U U=φ C Uφ=U反演律：C U(A∩B)= (C U A)∪(C U B) C U(A∪B)= (C U A)∩(C U B)6.有限集的元素个数定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.基本公式：(3) card( U A)= card(U)- card(A)(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法根轴法（零点分段法）①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)…(x-x m)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.（自右向左正负相间）则不等式的解可以根据各区间的符号确定.特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的讨论.>∆0=∆0<∆二次函数cbxaxy++=2（0>a）的图象,,,A A A U A A U A UΦ=ΦΦ===.,AAAAAA==(1)()()()()(2)()()()()()()()()card A B card A card B card A Bcard A B C card A card B card Ccard A B card B C card C Acard A B C=+-=++---+x)0)((002211><>++++--aaxaxaxa nnnn原命题若p 则q否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互一元二次方程()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ∅∅2.分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为>0(或<0)； ≥0(或≤0)的形式，（2）转化为整式不等式（组）3.含绝对值不等式的解法（1）公式法：,与型的不等式的解法.（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.4.一元二次方程根的分布一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.（三）简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
高考数学复习备考总结
高考数学复习备考总结（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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2024年高考数学一轮总复习讲义 第四讲 数列求和
第四讲数列求和知识梳理知识点一公式法求和1.如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n 项和公式.2.等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋3.等比数列的前n 项和公式：S n 1，＝a 1(1－q n)1－q，q ≠1.注意等比数列公比q 的取值情况，要分q ＝1，q ≠1.知识点二分组求和法一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.如若一个数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，则可用分组求和法求其前n 项和.知识点三倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等且等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的.知识点四错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的.知识点五裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.知识点六并项求和法在一个数列的前n 项和中，可两两合并求解，则称之为并项求和.如{a n }是等差数列，求数列{(－1)n a n }的前n 项和，可用并项求和法求解.形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可考虑采用两项合并求解.归纳拓展1.常见的裂项公式(1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；(2)1n (n ＋k )＝(3)1n 2－1＝(4)1(2n －1)(2n ＋1)＝(5)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ；1n ＋n ＋k ＝1k(n ＋k －n )；(6)1n (n ＋1)(n ＋2)＝121n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2)；(7)2n (2n ＋1)(2n ＋1＋1)＝12n ＋1－12n ＋1＋1.双基自测题组一走出误区1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和为S n ＝a 1－a n ＋11－q.(√)(2)sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 287°＋sin 288°＋sin 289°可用倒序相加求和.(√)(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得.(×)(4)当n ≥2时，1n 2－1＝√)(5)2n＋n 项和可用分组求和.(√)[解析](1)因为数列{a n }为等比数列，且公比不等于1.则其前n 项和为S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a 1q n 1－q ＝a 1－a n ＋11－q.(2)因为sin 21°＋sin 289°＝sin 22°＋sin 288°＝sin 23°＋sin 287°＝sin 244°＋sin 246°＝2sin 245°＝1，所以sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 287°＋sin 288°＋sin 289°可用倒序相加求和.(3)要分a ＝0或a ＝1或a ≠0且a ≠1讨论求解.(4)＝12·n ＋1－(n －1)(n －1)(n ＋1)＝1n 2－1.题组二走进教材2.(选修2P 51T2改编)在数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋1)，若{a n }的前n 项和为20252026，则项数n ＝(C )A.2023B ．2024C.2025D ．2026[解析]a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝20252026，∴n ＝2025.故选C.3.(选修2P 56T11改编)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n sin n π3，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2021＝(D )A.10113B ．－523C.523D．－10113[解析]因为f(n)＝sin nπ3的周期为T＝2ππ3＝6，所以a6k－5＋a6k－4＋a6k－3＋a6k－2＋a6k－1＋a6k＝(6k－5)×32＋(6k－4)×32＋(6k－3)×0＋(6k－2)(6k－1)6k×0＝－33，然后求和即可.因为f(n)＝sin nπ3的周期为T＝2ππ3＝6，a6k－5＋a6k－4＋a6k－3＋a6k－2＋a6k－1＋a6k＝(6k－5)×32＋(6k－4)×32＋(6k－3)×0＋(6k－2)(6k－1)6k×0＝－33，k∈N*，则a1＋a2＋a3＋…＋a2021＝a1＋a2＋a3＋…＋a2021＋a2022－a2022＝337×(－33)－2022sin 2022π3＝－10113，故选D.4.(选修2P40T3改编)S n＝12＋12＋38＋…＋n2n等于(B)A.2n－n－12n B．2n＋1－n－22nC.2n－n＋12n D．2n＋1－n＋22n[解析]解法一：由S n＝12＋222＋323＋…＋n2n①得12S n＝122＋223＋…＋n－12n＋n2n＋1②①－②得，1 2S n＝12＋122＋123＋…＋12n－n2n＋1，＝1211－12－n2n＋1，∴S n＝2n＋1－n－22n.解法二：此类问题可先考虑排除法，令n＝1即得B正确.5.(选修2P 56T10改编)(2024·河北“五个一”名校质检)若f (x )＋f (1－x )＝4，a n ＝f (0)＋f (1)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝2(n ＋1).[解析]由f (x )＋f (1－x )＝4，可得f (0)＋f (1)＝4，…，4，所以2a n ＝[f (0)＋f (1)]…＋[f (1)＋f (0)]＝4(n ＋1)，即a n ＝2(n ＋1).题组三走向高考6.(2017·课标Ⅱ，15,5分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则错误!1S k ＝2n n ＋1.[解析]本题主要考查等差数列基本量的计算及裂项相消法求和.设公差为d 1＋2d ＝3，a 1＋6d ＝10，1＝1，＝1，∴a n ＝n .∴前n 项和S n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴1S n ＝2n (n ＋1)＝∴错误!1S k ＝－12＋12－13＋…＋1n －2·n n ＋1＝2n n ＋1.分组求和法——师生共研1.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2a 1＋a 2＋…＋a 2020＝(B )A.2019×20202B ．2021×20202C.2019×20192D．2020×20202[解析]由a n＝n2sin n为奇数时，a n＝－n2，当n为偶数时，a n＝n2，故S n＝－12＋22－32＋42＋…－20192＋20202＝1＋2＋3＋4＋…＋2019＋2020＝2020(1＋2020)2＝2020×20212.故选B.2.(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝n＋1，n为奇数，n＋2，n为偶数.(1)记b n＝a2n，写出b1，b2，并求数列{b n}的通项公式；(2)求{a n}的前20项和.[解析](1)因为b n＝a2n，所以b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝a1＋1＋3＝a1＋4＝5.由题意得a2n＋1＝a2n＋2，a2n＋2＝a2n＋1＋1，所以a2n＋2＝a2n＋3，即b n＋1＝b n＋3，所以数列{b n}是以2为首项，3为公差的等差数列，所以b n＝2＋(n－1)×3＝3n－1.(2)当n为奇数时，a n＝a n＋1－1.设数列{a n}的前n项和为S n，则S20＝a1＋a2＋…＋a20＝(a1＋a3＋…＋a19)＋(a2＋a4＋…＋a20)＝[(a2－1)＋(a4－1)＋…＋(a20－1)]＋(a2＋a4＋…＋a20)＝2(a2＋a4＋…＋a20)－10，由(1)可知a2＋a4＋…＋a20＝b1＋b2＋…＋b10＝10×2＋10×92×3＝155，故S20＝2×155－10＝300，即{a n}的前20项和为300.名师点拨：分组转化法求和的常见类型1.若a n＝b n±c n，且{b n}，{c n}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n}的前n项和.2.通项公式为a n n ，n 为奇数，n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.【变式训练】1.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n (n 2－n )，前n 项和为S n ，则满足S 2n＋1≤－2023的最小正整数n 的值为(D )A.28B ．30C ．31D ．32[解析]用分组(并项)求和法求得和S 2n ＋1，然后解不等式S 2n ＋1<－2023，结合n 是正整数得解.由题意，得S 2n ＋1＝(22－12)＋(42－32)＋…＋[(2n )2－(2n －1)2]－(2n ＋1)2－[－1＋2－3＋4－5＋…＋2n －(2n ＋1)]＝(2－1)×(1＋2)＋(4－3)×(3＋4)＋…＋[2n －(2n －1)][(2n －1)＋2n ]－(2n ＋1)2－[n －(2n ＋1)]＝1＋2＋3＋4＋…＋2n －(2n ＋1)2＋n ＋1＝2n (1＋2n )2－(2n ＋1)2＋n ＋1＝－2(n 2＋n )，由S 2n＋1≤－2023，得－2(n 2＋n )≤－2023，即n 2＋n ≥20232，结合n ∈N *，解得n ≥32，故n 的最小值为32.故选D.2.(2024·信阳模拟)已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2n ＋2，n 是奇数，a n ，n 是偶数，则数列{a n }的前20项和为(C )A.1121B ．1122C ．1123D ．1124[解析]由题意知，数列{a 2n }是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{a n }的前20项和为1×(1－210)1－2＋10×1＋10×92×2＝1123.裂项相消法——多维探究角度1形如b n ＝1a n a n ＋1({a n }为等差数列)型求和：(1)S n＝1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋…＋n；(2)S n＝11×3＋12×4＋…＋1n(n＋2)；(3)S n＝11×3＋13×5＋…＋1(2n－1)(2n＋1).[解析](1)∵a n＝2n(n＋1)＝∴S n＝a1＋a2＋…＋a n＝＋…＝2n n＋1.(2)∵a n＝1n(n＋2)＝∴S n －13＋12－14＋…＋1n－＋1 2－1n＋1－＝34－2n＋32(n＋1)(n＋2).(3)∵a n＝1(2n－1)(2n＋1)∴S n…n 2n＋1.角度2形如a n＝1n＋k＋n型(2023·西安八校联考)已知函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，令a n＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N ＋.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2025等于(C )A.2024－1B ．2024＋1C.2025－1D ．2025＋1[解析]由f (4)＝2可得4α＝2，解得α＝12，则f (x )＝x 12.∴a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2025＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2025＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(2025－2024)＝2025－1.角度3形如an ＝2n ＋kn 2(n ＋k )2型已知数列{a n }满足a n ＝n ＋1n 2(n ＋2)2，S n 为{a n }的前n 项和，则S n ＝1454－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2.[解析]∵a n ＝n ＋1n 2(n ＋2)2＝141n 2－1(n ＋2)2，∴S n…＋＝141＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2＝1454－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2.角度4形如a n ＝ka n(a n－1)(a n ＋1－1)(a >0，a ≠1)型已知数列{a n }，a 1＝23，a n ＋1＝2a n －a n a n ＋1n 项和为S n，则S2023＝(D)A.1 3－122021＋1B．13－122022＋1C.1 3－122023＋1D．13－122024＋1[解析]由原数列的递推式可得a n＋1＝2a n1＋a n，两边取倒数，再两边同时减去1，结合等比数列的定义和通项公式，由数列的裂项相消求和，计算可得所求和.由a n＋1＝2a n－a n a n＋1，可得a n＋1＝2a n1＋a n，两边取倒数，可得1a n＋1＝1a n＋1－1，则1an－1－1，即有a n＝2n2n＋1，a n2n＋1＋1＝2n(2n＋1)(2n＋1＋1)＝12n＋1－12n＋1＋1，所以S2023＝13－15＋15－19＋…＋122023＋1－1 22024＋1＝13－122024＋1.故选D.名师点拨：裂项相消法求和在历年高考中曾多次出现，命题角度凸显灵活多变.在解题中，要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列{a n}的通项公式，达到求解的目的.1.直接考查裂项相消法求和.解决此类问题应注意以下两点：(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.如：若{a n}是等差数列，则1a n a n＋11a n a n＋2＝2.与不等式相结合考查裂项相消法求和.解决此类问题应分两步：第一步，求和；第二步，利用作差法、放缩法、单调性等证明不等式.【变式训练】1.(角度1)数列{a n }是正项等比数列，满足a n a n ＋1＝4n ，的前n 项和T n ＝(A )A.4n 2n ＋1B ．4n 2n －1C.n 2n ＋1D ．n 2n －1[解析]数列{a n }是正项等比数列，设公比为q (q >0)，由a n a n ＋1＝4n ，可得a 1a 2＝a 21q ＝4，a 2a 3＝a 21q 3＝16，解得a 1＝2，q ＝2，则a n ＝a 1q n －1＝2·2n －1＝2n －12，则1log 2a n ·log 2a n ＋1＝1log 22n －12·log 22n ＋12＝1＝4(2n －1)(2n ＋1)＝T n ＝－13＋13－15＋…＋12n －1－4n2n ＋1.故选A.2.(角度2)求和S ＝11＋3＋13＋5＋…＋1119＋121＝(A )A.5B ．4C ．10D ．9[解析]S ＝1－31－3＋3－53－5＋…＋119－121119－121＝1－11－2＝5，故选A.3.(角度3)已知等差数列{a n }，a 2＝2，a 5＋a 7＝12，设b n ＝2n ＋1a 2n a 2n ＋1，S n 为{b n }的前n 项和，则S n ＝n 2＋2n(n ＋1)2.[解析]1＋d ＝2，a 1＋10d ＝12，1＝1，＝1，∴a n ＝n ∴b n ＝2n ＋1n 2(n ＋1)2＝1n 2－1(n ＋1)2∴S n ＝…＋1n 2－1(n ＋1)2＝1－1(n ＋1)2＝n 2＋2n(n ＋1)2.4.(角度4)数列{a n }是等比数列，a 2＝12，a 5＝116，b n ＝a n ＋1(a n ＋1)(a n ＋1＋1)，则数列{b n }的前n 项和为(A )A.2n －12(2n＋1)B ．2n －12n＋1C.12n＋1D ．2n －12n＋2[解析]a 5＝a 2·q 3，∴q 3＝18，∴q ＝12，a 1＝1，∴a n－1，b n－1＋＋11＋11－1＋1，∴b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝＋＋…1＋1－12＝2n －12(2n＋1).故选A.错位相减法——师生共研(2023·全国甲，理，17)记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝1,2S n ＝na n .(1)求{a n}的通项公式；(2)n 项和T n .[解析](1)当n ＝1时，2S 1＝a 1，即2a 1＝a 1，所以a 1＝0.当n ≥2时，由2S n ＝na n ，得2S n －1＝(n －1)a n －1，两式相减得2a n＝na n－(n－1)a n－1，(题眼)即(n－1)a n－1＝(n－2)a n，当n＝2时，可得a1＝0，故当n≥3时，a na n－1＝n－1n－2，则a na n－1·a n－1a n－2·…·a3a2＝n－1n－2·n－2n－3 (2)1，整理得a na2＝n－1，因为a2＝1，所以a n＝n－1(n≥3).当n＝1，n＝2时，均满足上式，所以a n＝n－1.(2)解法一：令b n＝a n＋12n＝n 2n，则T n＝b1＋b2＋…＋b n－1＋b n＝12＋222＋…＋n－12n－1＋n2n①，1 2T n＝122＋223＋…＋n－12n＋n2n＋1②，由①－②得12T n＝12＋122＋123＋…＋12n－n2n＋1＝21－12－n2n＋1＝1－2＋n2n＋1，即T n＝2－2＋n 2n.解法二：设b n＝a n＋1 2n，所以b n＝a n＋12n＝n2n＝＋－1，故a＝12，b＝0，q＝12.故A＝aq－1＝1212－1＝－1，B＝b－Aq－1＝0＋112－1＝－2，C＝－B＝2.故T n＝(An＋B)·q n＋C＝(－n－＋2，整理得T n＝2－2＋n2n.名师点拨：用错位相减法解决数列求和的模板第一步：(判断结构)若数列{a n·b n}是由等差数列{a n}与等比数列{b n}(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和.第二步：(乘公比)设{a n·b n}的前n项和为T n，然后两边同乘以q.第三步：(错位相减)乘以公比q后，向后错开一位，使含有q k(k∈N*)的项对齐，然后两边同时作差.第四步：(求和)将作差后的结果求和化简，从而表示出T n.用错位相减法求和应注意的问题1.如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.2.在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式.3.“S n－qS n”化简的关键是化为等比数列求和，一定要明确求和的是n项还是n－1项，一般是n－1项.4.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况讨论求解.【变式训练】(2020·课标全国Ⅰ，理)设{a n}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项.(1)求{a n}的公比；(2)若a1＝1，求数列{na n}的前n项和.[解析](1)设{a n}的公比为q，∵a1为a2，a3的等差中项，∴2a1＝a2＋a3，又a1≠0，∴q2＋q－2＝0.∵q≠1，∴q＝－2.(2)设{na n}的前n项和为S n，a1＝1，a n＝(－2)n－1，S n＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n(－2)n－1，－2S n＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(n－1)×(－2)n－1＋n(－2)n，两式相减，得3S n＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n(－2)n＝1－(－2)n1－(－2)－n(－2)n＝1－(1＋3n)(－2)n3，∴S n＝1－(1＋3n)(－2)n9.数列的求和——倒序相加法[解析]∵f(x)＝4x4x＋2，∴f(1－x)＝41－x41－x＋2＝2 2＋4x.∴f(x)＋f(1－x)＝4x4x＋2＋22＋4x＝1.S＝12022＋22022…＋20212022S＝20212022＋20202022…＋12022①＋②，得2S f12022＋f20212022＋f22022＋f20202022＋…＋f20212022＋12022＝2021.∴S＝2021 2.名师点拨：倒序相加法应用的条件与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和相加的方法求解.【变式训练】设f(x)＝x21＋x2，则1202212021f(1)＋f(2)＋…＋f(2022)＝4043 2.[解析]∵f(x)＝x21＋x2，∴f(x)＋1x＝1.令S＝…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2022).①则S＝f(2022)＋f(2021)＋…＋f(1)＋…＋②∴2S＝4043，∴S＝40432.提能训练练案[38]A组基础巩固一、单选题1.已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，{b n}为等比数列，且a1＝b1＝1，a2＝b2，a4＝b3，设c n＝a n＋b n，则数列{c n}的前10项和为(A)A.1078B．1068C．566D．556[解析]设等差数列{a n}的公差为d≠0，等比数列{b n}的公比为q，根据a1＝b1＝1，a2＝b2，a4＝b3，利用通项公式即可解得d，q，再利用求和公式即可得出结论.设等差数列{a n}的公差为d≠0，等比数列{b n}的公比为q，∵a1＝b1＝1，a2＝b2，a4＝b3，∴1＋d＝q,1＋3d＝q2，d≠0，解得：d＝1，q＝2.∴a n＝1＋n－1＝n，b n＝2n－1.∴c n＝a n＋b n＝n＋2n－1.则数列{c n}的前10项和＝10×(1＋10)2＋210－12－1＝1078.故选A.2.已知数列{a n}满足a1＝16，(n＋1)a n＋1＝2(n＋2)a n，则{a n}的前100项和为(D)A.25×2102B．25×2103C.25×2104D．25×2105[解析]因为(n＋1)a n＋1＝2(n＋2)a n，a1＝16，所以a n＋1n＋2＝2a nn＋1，a12＝8.所以8为首项，2为公比的等比数列，则a nn＋1＝8×2n－1＝2n＋2，即a n ＝(n＋1)2n＋2，设{a n}的前n项和为S n，则S n＝2×23＋3×24＋4×25＋…＋(n＋1)×2n＋2，则2S n＝2×24＋3×25＋4×26＋…＋n×2n＋2＋(n＋1)×2n＋3，两式相减得－S n ＝2×23＋24＋25＋26＋…＋2n ＋2－(n ＋1)2n ＋3＝2＋2(1－2n ＋2)1－2－(n ＋1)2n ＋3＝－n ×2n ＋3，所以S n ＝n ×2n ＋3，所以S 100＝100×2103＝25×2105，选D.3.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n 等于(D )A.13B ．10C ．9D ．6[解析]∵a n ＝2n －12n ＝1－12n ，∴S n ＝n ＋122＋…n －1＋12n .而32164＝5＋164，∴n －1＋12n ＝5＋164.∴n ＝6.4.设数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n (2n －1)·cos n π2－1，其前n 项和为S n ，则S 2022＝(D )A.4041B ．－5C ．－2021D ．－4045[解析]根据题意，分类讨论n ＝4k －3或n ＝4k －1，k ∈N *时，cos n π2＝0，n ＝4k －2，k ∈N *时，cos n π2＝－1，n ＝4k ，k ∈N *时，cos n π2＝1，即可得出答案.∵a n ＝(－1)n (2n －1)·cosn π2－1，∴当n ＝4k －3或n ＝4k －1，k ∈N *时，cos n π2＝0，a 4k －3＝a 4k －1＝－1；当n ＝4k －2，k ∈N *时，cosn π2＝－1，a 4k －2＝[2×(4k －2)－1]×(－1)－1＝－8k ＋4；当n ＝4k ，k ∈N *时，cosn π2＝1，a 4k ＝2×4k －1－1＝8k －2，∴a 4k －3＋a 4k －2＋a 4k －1＋a 4k ＝0，∴S 2022＝S 2020＋a 2021＋a 2022＝a 2021＋a 2022＝－1＋(2×2022－1)·(－1)－1＝－4045，故选D.5.已知数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，前100项和为(D )A.100101B ．99100C ．101100D ．200101[解析]∵a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，a 1＝1，∴a n ＋1－a n ＝1＋n .∴a n －a n －1＝n (n ≥2).∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋2＋1＝n (n ＋1)2.∴1a n ＝2n (n ＋1)＝100项和为－12＋12－13＋…＋1100－200101.故选D.6.(2022·重庆调研)已知数列{a n }满足a n ＝n n ＋1，则a 1＋a 222＋a 332＋…＋a 202220222＝(A )A.20222023B ．20202021C.20212022D ．20192020[解析]由题知，数列{a n }满足a n ＝n n ＋1的通项公式为a nn 2＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以a 1＋a 222＋a 332＋…＋a 202220222＝1－12＋12－13＋…＋12022－12023＝1－12023＝20222023.7.在数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于(B )A.(3n －1)2B ．12(9n －1)C.9n －1D ．14(3n －1)[解析]因为a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，所以a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1(n ≥2).则当n≥2时，a n＝2·3n－1.当n＝1时，a1＝3－1＝2，适合上式，所以a n＝2·3n－1(n∈N*).则数列{a2n}是首项为4，公比为9的等比数列，a21＋…＋a2n＝4(1－9n)1－9＝12(9n－1).故选B.8.(2023·辽宁凌源二中联考)已知数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n，T n，且a n>0,6S n＝a2n＋3a n，n∈N*，b n＝2a n(2a n－1)(2a n＋1－1)，若对任意的n∈N*，k>T n恒成立，则k的最小值是(C)A.17B．49C．149D．8441[解析]当n＝1时，6a1＝a21＋3a1，解得a1＝3或a1＝0(舍去)，又6S n＝a2n＋3a n，∴6S n＋1＝a2n＋1＋3a n＋1，两式作差可得6a n＋1＝a2n＋1－a2n＋3a n＋1－3a n，整理可得(a n＋1＋a n)(a n＋1－a n－3)＝0，结合a n>0可得a n＋1－a n－3＝0，∴a n＋1－a n＝3，故数列{a n}是首项为3，公差为3的等差数列，∴a n＝3＋(n－1)×3＝3n，则b n＝2a n(2a n－1)(2a n＋1－1)＝8n(8n－1)(8n＋1－1)＝∴Tn＝17＝<149，∴k≥149.故选C.二、多选题9.(2023·济南调研)已知数列{a n}：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n＝1a n·a n＋1，设数列{b n}的前n项和S n，则(AC)A.a n＝n2B．a n＝nC.S n＝4nn＋1D．S n＝5nn＋1[解析]由题意得a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋nn ＋1＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2，∴b n ＝1n 2·n ＋12＝4n (n ＋1)＝∴数列{b n }的前n 项和S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －＝＝4nn ＋1.故选AC.10.(2024·重庆月考)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n a n －1＝2n n －1(n ≥2，n ∈N *)，{a n }的前n 项和为S n ，则(ABD )A.a 2＝－8B ．a n ＝－2n ·n C.S 3＝－30D ．S n ＝(1－n )·2n ＋1－2[解析]由题意可得，a 2a 1＝2×21，a 3a 2＝2×32，a 4a 3＝2×43，…，a n a n －1＝2×n n －1(n ≥2，n ∈N *)，以上式子左、右分别相乘得an a 1＝2n －1·n (n ≥2，n ∈N *)，把a 1＝－2代入，得a n ＝－2n ·n (n ≥2，n ∈N *)，又a 1＝－2符合上式，故数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n ·n (n ∈N *)，a 2＝－8，故A ，B 正确；S n ＝－(1×2＋2×22＋…＋n ·2n )，则2S n ＝－[1×22＋2×23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1]，两式相减，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2(n ∈N *)，故S 3＝－34，故C 错误，D 正确.11.已知数列{a n }的首项为4，且满足2(n ＋1)a n －na n ＋1＝0(n ∈N *)，则(BD )A.B.数列{a n }为递增数列C.数列{a n }的前n 项和S n ＝(n －1)·2n ＋1＋4D.n 项和T n ＝n 2＋n 2[解析]由2(n ＋1)a n －na n ＋1＝0得a n ＋1n ＋1＝2×a n n ，是以a11＝a 1＝4为首项，2为公比的等比数列，故A 错误；因为a n n＝4×2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝n ·2n＋1，显然递增，故B 正确；因为S n ＝1×22＋2×23＋…＋n ·2n ＋1,2S n ＝1×23＋2×24＋…＋n ·2n ＋2，所以－S n ＝1×22＋23＋…＋2n ＋1－n ·2n ＋2＝22(1－2n )1－2－n ·2n ＋2，故S n ＝(n －1)·2n ＋2＋4，故C 错误；因为a n 2n ＋1＝n ·2n ＋12n ＋1＝nn 项和T n ＝n (1＋n )2＝n 2＋n2，故D 正确.三、填空题12.122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1＝42[解析]∵1(n ＋1)2－1＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝∴122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －－1n ＋1－＝34－13.(2023·海南三亚模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝10n －n 2，数列{b n }满足b n ＝|a n |，设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 4＝24，T 30＝650.[解析]当n ＝1时，a 1＝S 1＝9，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝10n －n 2－[10(n－1)－(n －1)2]＝－2n ＋11，当n ＝1时也满足，所以a n ＝－2n ＋11(n ∈N *)，所以当n ≤5时，a n >0，b n ＝a n ，当n >5时，a n <0，b n ＝－a n ，所以T 4＝S 4＝10×4－42＝24，T 30＝S 5－a 6－a 7－…－a 30＝2S 5－S 30＝2×(10×5－52)－(10×30－302)＝650.14.(2023·广东省五校协作体高三第一次联考)已知数列{a n}满足：a1为正整数，a n＋1a n为偶数，n＋1，a n为奇数，如果a1＝1，则a1＋a2＋a3＋…＋a2018＝4709. [解析]由已知得a1＝1，a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝4，a6＝2，{a n}是周期为3的数列，a1＋a2＋…＋a2018＝(1＋4＋2)×672＋1＋4＝4709.四、解答题15.(2017·课标全国Ⅲ)设数列{a n}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)a n＝2n.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)n项和.[解析](1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)a n＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)a n－1＝2(n－1).两式相减得(2n－1)a n＝2，所以a n＝22n－1(n≥2).又由题设可得a1＝2，满足上式.从而{a n}的通项公式为a n＝2 2n－1.(2)n项和为S n.由(1)知a n2n＋1＝2(2n＋1)(2n－1)＝12n－1－12n＋1.则S n＝11－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝2n2n＋1.16.(2023·郑州市第一次质量预测)已知数列{a n}为等比数列，首项a1＝4，数列{b n}满足b n＝log2a n，且b1＋b2＋b3＝12.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令c n＝4b n·b n＋1＋a n，求数列{c n}的前n项和S n.[解析](1)由b n＝log2a n和b1＋b2＋b3＝12，得log2(a1a2a3)＝12，∴a1a2a3＝212.设等比数列{a n}的公比为q，∵a1＝4，∴a1a2a3＝4·4q·4q2＝26·q3＝212，计算得q＝4.∴a n＝4·4n－1＝4n.(2)由(1)得b n ＝log 24n ＝2n ，c n ＝42n ·2(n ＋1)＋4n ＝1n (n ＋1)＋4n ＝1n －1n ＋1＋4n .n 项和为A n ，则A n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n n ＋1，设数列{4n}的前n 项和为B n ，则B n ＝4(1－4n )1－4＝43(4n－1)，∴S n ＝n n ＋1＋43(4n －1).B 组能力提升1.若数列{a n }，{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项之和为(B )A.13B ．512C ．12D ．712[解析]∵b n ＝1a n ＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，∴S 10＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝12－13＋13－14＋14－15＋…＋111－112＝12－112＝512.2.已知数列{a n }的前n 项积为T n ，且满足a n ＋1＝1＋a n 1－a n(n ∈N *)，若a 1＝14，则T 2019为(C )A.－4B ．－35C ．－53D ．14[解析]直接利用数列的递推关系求出数列的周期，进一步求出结果.由a n ＋1＝1＋a n 1－a n，a 1＝14，解得a 2＝53，a 3＝－4，a 4＝－35，a 5＝14，…，所以T 4＝a 1·a 2·a 3·a 4＝1,2019＝4×504＋3，所以T 2019＝(a 1a 2a 3a 4)·(a 5a 6a 7a 8)·…·(a 2017a 2018a 2019)＝1×1×1×…×14×53×(－4)＝－53.故选C.3.我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：(1)构造数列1，12，13，14，…，1n；①(2)将数列①的各项乘以n2，得到一个新数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n .则a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n －1a n ＝(C )A.n 24B ．(n －1)24C.n (n －1)4D ．n (n ＋1)4[解析]依题意可得新数列为n 2，n 4，n 6，…，1n ×n2，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝n2411×2＋12×3＋…＋1(n －1)n－12＋12－13＋…＋1n －1－＝n 24×n －1n ＝n (n －1)4.故选C.4.1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1.(其中x ≠0)[解析]当x ＝1时，1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，当x ≠1时.解法一：记S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1，则xS n ＝x ＋2x 2＋…＋(n －1)x n －1＋nx n ，两式相减得：(1－x )S n ＝1＋x ＋x 2＋…＋x n －1－nx n ＝1－x n 1－x－nx n ，∴S n ＝1－(1＋n )x n ＋nx n ＋1(1－x )2.解法二：1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n－1＝(x ＋x 2＋x 3＋…＋x n )′＝x (1－x n )1－x ′＝1－(1＋n )x n ＋nx n ＋1(1－x )2，综上可知1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1＝x ≠1).5.(2023·山东省济南市历城第二中学高三模拟考试)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n n 为奇数n 为偶数，设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T 2n .[解析](1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，由b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，＋6＋d ＝10，＋4d －2q ＝3＋2d ，＝2，＝2，∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝2n －1.(2)由a 1＝3，a n ＝2n ＋1得S n ＝n (n ＋2)，当n 为奇数，c n ＝2S n ＝1n －1n ＋2，当n 为偶数，c n ＝2n －1.∴T 2n ＝(c 1＋c 3＋…＋c2n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c 2n )…(2＋23＋…＋22n －1)＝1－12n ＋1＋2(1－4n )1－4＝2n 2n ＋1＋23(4n －1).6.已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *).[解析](1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q.由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，而b1＝2，所以q2＋q－6＝0.又因为q>0，解得q＝2.所以b n＝2n.由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8，①由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16，②联立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得a n＝3n－2.所以数列{a n}的通项公式为a n＝3n－2，数列{b n}的通项公式为b n＝2n.(2)设数列{a2n b2n－1)的前n项和为T n，由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1，有a2n b2n－1＝(3n－1)×4n，故T n＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，4T n＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1，上述两式相减，得－3T n＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n＋1＝12×(1－4n)1－4－4－(3n－1)×4n＋1＝－(3n－2)×4n＋1－8.得T n＝3n－23×4n＋1＋83.所以数列{a2n b2n－1}的前n项和为3n－23×4n＋1＋83.。
2024年高考数学知识点及公式整理汇总.doc
2024年高考数学知识点及公式整理汇总高中数学重点知识点全总结1、命题的四种形式及其相互关系是什么?(互为逆否关系的命题是等价命题。
)原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。
2、对映射的概念了解吗?映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射?(一对一，多对一，允许B中有元素无原象。
)3、函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?(定义域、对应法则、值域)4、反函数存在的条件是什么?(一一对应函数)求反函数的步骤掌握了吗?(①反解x;②互换x、y;③注明定义域)5、反函数的性质有哪些?①互为反函数的图象关于直线y=x对称;②保存了原来函数的单调性、奇函数性;6、函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么?(f(x)定义域关于原点对称)1、抽样方法主要有：简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取;系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个;分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。
2、对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望(平均值)和方差去估计总体的期望和方差。
3、向量——既有大小又有方向的量。
在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。
4、并线向量(平行向量)——方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。
1、三类角的求法：①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义，并指出所求作的角。
③计算大小(解直角三角形，或用余弦定理)。
2、正棱柱——底面为正多边形的直棱柱正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。
正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：3、怎样判断直线l与圆C的位置关系?圆心到直线的距离与圆的半径比较。
直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。
高考数学必考知识点归纳
高考数学必考知识点归纳一、集合与函数1.集合o表示法：列举法、描述法、图示法（韦恩图）。
o运算：交集、并集、补集（相对于全集）。
2.函数o概念：输入与输出之间的对应关系。
o表示法：解析法、列表法、图像法。
o单调性：增函数、减函数。
o奇偶性：奇函数、偶函数、非奇非偶函数。
二、数列1.定义与表示o数列的定义：按一定顺序排列的一列数。
o表示法：通项公式、递推公式。
2.等差数列o定义、通项公式、前n项和公式。
o性质：中项性质、等差中项。
3.等比数列o定义、通项公式、前n项和公式（注意公比不为1的情况）。
o性质：中项性质、等比中项。
4.数列求和o倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法等。
5.数列的极限o数列极限的概念、性质及简单计算。
三、三角函数1.基本概念o角度与弧度制、三角函数定义（正弦、余弦、正切）。
2.诱导公式o角度加减变换公式。
3.同角关系式o基本恒等式、平方关系、商数关系。
4.性质o周期性、奇偶性、单调性、有界性。
5.图像与性质o各三角函数图像特征、相位变换、振幅变换。
6.三角恒等变换o和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式。
7.解三角形o正弦定理、余弦定理、面积公式、海伦公式。
四、向量1.基本概念o向量的模、方向、坐标表示。
2.运算o加法、减法、数乘、数量积（点积）、向量积（叉积）。
o模长与夹角的关系、平行与垂直的条件。
五、解析几何1.直线o方程：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式。
o斜率：定义、公式、倾斜角。
o位置关系：平行、垂直的条件。
2.圆o方程：标准方程、一般方程。
o性质：圆心、半径、切线、弦的性质（如相交弦定理）。
3.圆锥曲线o椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、性质。
六、立体几何1.空间位置关系o直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系。
2.几何体o柱体、锥体、球体等的结构特征及表面积、体积公式。
3.三视图o正视图、侧视图、俯视图及其绘制方法。
七、不等式1.性质o基本性质、传递性、可加性、可乘性（正数时）。
高三数学高考考试复习知识点归纳
高三数学高考考试复习知识点归纳要提高复习效率，必须使自己的思维与老师的思维同步。
而预习则是达到这一目的的重要途径，要做到“两先两后” ，即先预习后听课，先复习后作业。
以提高听课的主动性，减少听课的盲目性。
以下是小编给大家整理的高三数学高考考试复习知识点归纳，希望大家能够喜欢!1.数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列 1，2，3，4，5 与数列 5，4，3，2，1 是不同的数列.(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1 的 1 次幂，2 次幂，3 次幂，4 次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于 f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于 f(n)中的n.(5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别. 如：2，3，4，5，6 这 5 个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.2.数列的分类(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列. 在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列 1，3，5，7，9，…，2n-1 表示有穷数列，如果把数列写成 1，3，5，7，9，…或 1，3，5，7，9，… ，2n-1，… ，它就表示无穷数列.(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.3.数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子 f(n)来表示的，这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非.如：数列 1，2，3，4，…，由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集 N_或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式.(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用 1，2，3，…去替代公式中的n 就可以求出这个数列的各项;同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如 2 的不足近似值，精确到 1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…所构成的数列 1，1.4，1.41，1.414，1.4142，…就没有通项公式.(4)有的数列的通项公式，形式上不一定是的，正如举例中的：(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不.4.数列的图象对于数列 4，5，6，7，8，9，10 每一项的序号与这一项有下面的对应关系：这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集 N_ (或它的有限子集{1，2，3，… ，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确.把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以 1 为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点.一、函数的定义域的常用求法：1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被开方数大于等于零;3、对数的真数大于零;4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于 1 ;5、三角函数正切函数 y=tanx 中x≠kπ+π/2;6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。
高考数学必考知识点总结
高考数学必考知识点总结高考数学必考知识点总结在日常的学习中，大家都背过各种知识点吧？知识点就是“让别人看完能理解”或者“通过练习我能掌握”的内容。
掌握知识点有助于大家更好的学习。
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高考数学必考知识点总结1.计算异面直线所成角的关键是平移(补形)转化为两直线的夹角计算。
2.计算直线与平面所成的角关键是作面的垂线找射影，或向量法(直线上向量与平面法向量夹角的余角)，三余弦公式(最小角定理)，或先运用等积法求点到直线的距离，后虚拟直角三角形求解。
注：一斜线与平面上以斜足为顶点的角的两边所成角相等斜线在平面上射影为角的平分线。
3.空间平行垂直关系的证明，主要依据相关定义、公理、定理和空间向量进行，请重视线面平行关系、线面垂直关系(三垂线定理及其逆定理)的桥梁作用。
注意：书写证明过程需规范。
4.直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正四面体、棱锥、正棱锥关于侧棱、侧面、对角面、平行于底的截面的几何体性质。
如长方体中：对角线长，棱长总和为，全(表)面积为，(结合可得关于他们的等量关系，结合基本不等式还可建立关于他们的不等关系式)，如三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底上射影为底面外心，侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底上射影为底面垂心，斜高长相等(侧面与底面所成相等)且顶点在底上在底面内顶点在底上射影为底面内心。
5.求几何体体积的常规方法是：公式法、割补法、等积(转换)法、比例(性质转换)法等。
注意：补形：三棱锥三棱柱平行六面体。
6.多面体是由若干个多边形围成的几何体，棱柱和棱锥是特殊的多面体。
正多面体的每个面都是相同边数的正多边形，以每个顶点为其一端都有相同数目的棱，这样的多面体只有五种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。
7.球体积公式。
球表面积公式，是两个关于球的几何度量公式，它们都是球半径及的函数。
高三数学高考知识点总结
高三数学高考知识点总结1. 函数与方程1.1 一元二次函数及应用1.2 二次函数与一元二次方程1.3 三角函数与解三角形1.4 指数、对数与幂函数1.5 不等式1.6 等式与方程的应用1.7 参数方程与函数的图形2. 数列与数列极限2.1 数列的概念与性质2.2 等差数列与等比数列2.3 数列极限的定义与性质2.4 数列极限的计算方法2.5 无穷数列极限3. 三角函数与三角恒等变换3.1 三角函数的定义与性质3.2 三角函数的图像与变换3.3 三角函数的复合与反函数3.4 三角恒等式的证明与应用3.5 三角函数的基本计算4. 几何与空间几何4.1 平面几何基本概念与定理4.2 平面图形的性质与计算4.3 立体图形的基本概念与定理4.4 空间图形的性质与计算4.5 空间几何的向量与坐标表示4.6 空间几何的相交与平行关系5. 三角函数与向量5.1 向量的概念与性质5.2 平面向量的基本运算5.3 向量的数量积与向量积5.4 向量与空间图形的应用5.5 三角函数与向量的关系6. 概率与统计6.1 随机事件与概率6.2 概率的计算与性质6.3 组合与排列6.4 统计图与频率分布表6.5 参数估计与假设检验7. 导数与微分7.1 导数的概念与性质7.2 导数的计算及应用7.3 高阶导数与隐函数求导7.4 微分的概念与性质7.5 微分中值定理与泰勒展开7.6 极值与最值的判定8. 不定积分与定积分8.1 不定积分及其基本性质8.2 常用的积分公式与方法8.3 定积分的定义及性质8.4 定积分的计算方法8.5 定积分在几何与物理中的应用9. 空间解析几何9.1 空间直线与面的方程9.2 空间几何的两点形式与一般方程9.3 空间几何的交点、距离与投影9.4 空间直线与面的位置关系9.5 空间曲线及其方程10. 数学建模10.1 建模的基本思路与方法10.2 建模中的数学工具与技巧10.3 建模中的数据处理与分析10.4 建模中的模型建立与求解这些都是高中数学高考的核心知识点，在备考过程中需要掌握这些知识点的概念、性质、计算方法和应用。
高考数学考前复习注意事项
高考数学考前复习注意事项高考数学考前复习注意事项1、要有针对性地做题，典型的题目，应该规范地完成，同时还应了解自己，有选择地做一些课外的题。
2、要循序渐进，由易到难，要对做过了典型题目有一定的体会和变通，即按“学、练、思、结”程序对待典型的问题，这样做能起到事半功倍的效果。
3、是无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，也是学好数学的重要问题。
4、独立思考是数学的灵魂，遇到不懂或困难的问题时，要坚持独立思考，不轻易问人，不要一遇到不会的东西就马上去问别人，自己不动脑子，专门依赖别人，而是要自己先认真地思考一下，依靠自己的努力克服其中的某些困难，经过很大的努力仍不能解决的问题，再虚心请教别人，请教时，不要把问题问得太透。
学会提出问题，提出问题往往比解决问题更难，而且也更重要。
高考复习数学的建议这是一门非常讲究临场战略的学科。
而在上考场之前，更重要的是夯实基础，以不变应万变。
大家刚入高中时可能会觉得数学的函数什么的比较抽象，大脑的接受速度没有那么快。
实际上完全不需要担心，数学知识的内化过程是：总从开始看到新概念的不明觉厉到剥去外壳抓住本质后的心安理得。
最重要的是，去明白为什么，理解得慢也没关系，只要不断的思考，然后辅以相应的练习去开拓思路，对于这个知识点的脑回路痕迹就会加深，真正做到得心应手。
还有一点，就是要仔仔细细看清楚题目，都会做但是数字搞错了，或者做到后面忘了题目是什么，没有把要求的东西回答出来，就相当于前功尽弃。
高考数学的解题方法有哪些审题要认真仔细高考数学中解题最重要的环节是审题。
审题的第一步是读题，这是获取信息量和思考的过程。
读题要慢，一边读一边想，应特别注意每一句话的内在涵义，并从中找出隐含条件。
有些考生没有养成读题、思考的习惯，心里着急，匆匆一看，就开始解题，结果常常是漏掉了一些信息，花了很长时间解不出来，还找不到原因，想快却慢了。
所以，在高考数学的实际解题时，应特别注意，审题要认真仔细。