专题 与绝对值函数有关的参数最值)
专题 与绝对值函数有关的参数最值及范围问题
类型一 常数项含参数
1.已知函数f （x ）=x 2﹣5|x ﹣a|+2a
（Ⅰ）若0＜a ＜3，x ∈[a ，3]，求f （x ）的单调区间；
（Ⅱ）若a≥0，且存在实数x 1，x 2满足（x 1﹣a ）（x 2﹣a ）≤0，f （x 1）=f （x 2）=k ．设|x 1﹣x 2|的最大值为h （k ），求h （k ）的取值范围（用a 表示）．
2已知0a ≥ ，函数2()5||2f x x x a a =--+
（Ⅰ）若函数()f x 在[0,3]上单调，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）若存在实数12,x x ，满足12()()0x a x a --≤ 且12()()f x f x =，求当a 变化时，12x x +的取值范围.
3. 已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，2()2f x x x =+.
（1）若函数1()()22
h x f x x x a =---有四个不同零点，求实数a 的取值范围 （2）如果对于任意x R ∈，不等式()()1g x c f x x +≤--恒成立，求实数c 的取值范围
5．已知函数2()|1|f x x x a =++-，其中a 为实常数．
（1）判断()f x 的奇偶性；
（2）判断在上的单调性；
（3）若对任意x R ∈，使不等式()2||f x x a ≤-恒成立，求a 的取值范围．
6.已知函数2()2||f x x x a =--.（1）若函数()y f x =为偶函数，求a 的值；
（2，求函数()y f x =的单调递增区间； （3）0>a 时，对任意的[0,)x ∈+∞，(1)2()f x f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.
7.已知函数
，， （1）若
，试判断并用定义证明函数的单调性； （2）当时，求函数
的最大值的表达式； （3）是否存在实数
，使得有且仅有3个不等实根，且它们成等差数列，若存在，求出所有
的值，若不存在，说明理由.
()f x 11[,]22-
8已知函数()()112+++=x b x x f 是定义在[]a a ,2-上的偶函数，()()t x x f x g -+=，其中t b a ,,均为常数。
(1)求实数b a ,的值；(2)试讨论函数()x g y =的奇偶性；
(3)若2121≤≤-
t ，求函数()x g y =的最小值。
9 .已知二次函数()b ax x x f ++=22为偶函数,()m x x g +-=)13(，
()()()212≠+=c x c x h .关于x 的方程()()x h x f =有且仅有一根2
1. (Ⅰ)求c b a ,,的值;
(Ⅱ)若对任意的[]1,1-∈x ,()()x g x f ≤恒成立, 求实数m 的取值范围; (Ⅲ)令()()()x f x f x -+=1ϕ,若存在[]1,0,21∈x x 使得()()()m g x x ≥-21ϕϕ,求实数m 的取值范围。
绝对值不等式中的含参问题(原创)
绝对值不等式中的含参问题在高中数学中，绝对值不等式的求解及含参问题是高考中不等式选讲部分重要的考点，面对诸多的含参问题，我们来对这些类型的题目作以梳理。
绝对值不等式的核心是去掉绝对值符号，将它转化为一般不等式加以解决。
一、绝对值的最值问题1、当绝对值中x 的系数相同时。
运用三角不等式：||a |−|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |例1：求函数f (x )=|x −3|+|x −4|的最值解：|x −3|+|x −4|≥|(x −3)−(x −4)|=1，函数f (x )的最小值为1。
例2：求函数f (x )=|2x −1|−|2x −3|的最值解：||2x −1|−|2x −3||≤|(2x −1)−(2x −3)|=2，即得到−2≤|2x −1|−|2x −3|≤2，函数f (x )的最小值为−2，最大值为2。
2、当绝对值中x 的系数不相同时。
①零点分段，②写出分段函数，③画草图（或直接由直线的上升与下降判断最高或最低处），在分界点处求最值。
例：求函数f (x )=|2x −2|+|x +2|的最值解：当{x ≤−2−(x +2)−(2x −2) 即{x ≤−2−3x ， 当{−2<x <1(x +2)−(2x −2) 即{−2<x <1−x +4， 当{x ≥1(x +2)+(2x −2) 即{x ≥13x。
则有f(x)={−3x, x≤−2−x+4, −2<x<13x, x≥1画出草图，或者由每一段的单调性判断直线的上升或者下降，图像从左往右先降，再降，后升，在x=1处，函数取得最小值3。
二、求绝对值中的参数范围1、恒成立问题∀x∈D,a<f(x)恒成立，则a<f min(x)∀x∈D,a>f(x)恒成立，则a>f max(x)例1：|x−3|+|x−4|>a对一切x∈R恒成立，求a的取值范围。
析：先求函数f(x)=|x−3|+|x−4|的最小值，再a<f min(x)解：由|x−3|+|x−4|≥|(x−3)−(x−4)|=1，得f min(x)= 1，则a<1。
专题3与绝对值函数相关的参数最值 (学生版)
专题3 与绝对值函数相关的参数最值及范围问题二次项系数含参数 1． 已知函数f （x ）=|a 2x 2﹣1|+ax （a ∈R ，且a≠0）．（Ⅰ）当a ＜0时，若函数y=f （x ）﹣c 恰有x 1，x 2，x 3，x 4四个零点，求x 1+x 2+x 3+x 4的值； （Ⅱ）若不等式f （x ）≥|x|对一切x ∈[b ，+∞）都成立，求a 2b 2+（b ﹣）2的最小值．2.函数f （x ）=mx|x ﹣a|﹣|x|+1（1）若m=1，a=0，试讨论函数f （x ）的单调性；（2）若a=1，试讨论f （x ）的零点的个数．3已知函数c bx mx x f ++=2)()0(≠m 满足,对于任意R 都有,且,令. (Ⅰ)求函数的表达式； (Ⅱ)当[]1,1-∈x 时，求函数ax ax ax f y ---=|1)(| )0(<a 的最大值)(a M ．4 已知（Ⅰ）求证：函数的图象与轴恒有公共点；（Ⅱ）当时，求函数的定义域； （Ⅲ）若存在使的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围。
5.已知函数x x x f +-=|1|)(2．(Ⅰ)若函数c x f y -=)(恰有两个零点，求实数c 的取值范围；(Ⅱ)当[]1,1-∈x 时，求函数)(ax f y = )0(<a 的最大值)(a M ．6.设12,x x 为函数2()(1)1(,0R,f x ax b x a b a =+-+∈>）两个不同零点.（Ⅰ）若11x =，且对任意R x ∈,都有(2)(2)f x f x -=+，求()f x ；（Ⅱ）若23b a =-，则关于x 的方程()22+f x x a =-是否存在负实根?若存在,求出该负根的取值范围，若不存在,请说明理由；（Ⅲ）若2a ≥，212x x -=,且当12(,)x x x ∈时，2()()2()g x f x x x =-+-的最大值为()h a ，求()h a 的最小值.2()(1)1,f x ax a x a R =-++∈()f x x 0a >y =0m >x 1()f x m m =+a。
函数_与绝对值函数相关的参数最值
函数_与绝对值函数相关的参数最值要讨论与绝对值函数相关的参数最值，首先需要明确绝对值函数的定义和性质。
绝对值函数是一个常见的数学函数，用来表示一个数的绝对值。
通常用符号“，x，”来表示绝对值函数。
绝对值函数的定义如下：对于任意实数x，其绝对值函数，x，定义为：当x≥0时，x，=x；当x<0时，x，=-x。
绝对值函数的图像是一个以原点为中心的V字形图像，且图像关于y轴对称。
我们将讨论与绝对值函数相关的三个参数的最值，包括定义域的最小值、最大值和值域的最小值、最大值以及单调区间。
1.定义域的最小值和最大值：绝对值函数的定义域为全体实数R，没有最小值和最大值。
因为对于任意实数x，绝对值函数都有定义。
2.值域的最小值和最大值：绝对值函数的值域是非负实数，即y≥0，最小值为0。
这是因为当x=0时，x，=0，所以绝对值函数的最小值为0。
然后，绝对值函数的值域没有上界，因为当x→+∞时，x，→+∞。
综上所述，与绝对值函数相关的参数最值为：定义域最小值：无；定义域最大值：无；值域最小值：0；值域最大值：无。
3.单调区间：绝对值函数的单调性与x的正负有关。
当x≥0时，绝对值函数是递增的；当x<0时，绝对值函数是递减的。
绝对值函数在x=0处取得极小值0。
当x≥0时，函数递增的区间是[0,+∞)；当x<0时，函数递减的区间是(-∞,0]。
绝对值函数的关键点是x=0，是函数的转折点，也是函数的最小值。
绝对值函数在数学和实际问题中有广泛应用。
在数学中，绝对值函数是解不等式的基本工具。
在实际问题中，绝对值函数可用于描述温度、距离、速度、功率等物理量，因绝对值函数常用来表示这些物理量的非负值。
总结起来，与绝对值函数相关的参数最值为：定义域最小值：无定义域最大值：无值域最小值：0值域最大值：无绝对值函数的图像呈现出V字形状，关于y轴对称，可以通过定义域、值域以及单调性来详细描述其特点和性质。
绝对值函数的最值问题
绝对值函数的最值问题
李修国
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2018(000)013
【摘要】绝对值函数是高中数学的一个重要概念,贯穿于各类函数中.从近年高考的命题角度来看,绝对值本身不仅具有“起点低、入手易”的特点,而且更是考查等价转化、分类讨论、数形结合等数学思想的好素材,几乎年年都能看到其踪迹.本文就常见的绝对值函数的命题热点作一些探讨.
【总页数】2页(P23-24)
【作者】李修国
【作者单位】山东省济宁市兖州区实验高级中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.数学微专题教学:从\"学会\"走向\"会学\"——以\"一类绝对值函数的最值问题\"为例 [J], 陈燕
2.等距画线,图像分析——例谈含整体绝对值函数最值问题处理一法 [J], 黄德丽
3.“倒序相加法”简解一类绝对值函数最值问题 [J], 李培颖
4.一类绝对值函数最值问题的解法及其推广 [J], 贺明远
5.数学核心素养下数学思想方法的运用
——含绝对值函数双重最值问题的教学策略 [J], 童益民
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由一道题目谈求含绝对值的函数最值问题的解法
解题宝典等，可能收到意想不到的效果.例6.已知a ,b ∈()0,+∞且a +b =1，求证：æèöø1+1a ⋅æèöø1+1b ≥9.证明：æèöø1+1a æèöø1+1b =æèöø1+a +b a æèöø1+a +b b =æèöø2+b a æèöø2+a b =4+2a b +2b a +1=5+2æèöøa b +b a ≥5+9，当且仅当a =b 时等号成立.这里将不等式中“1a ”“1b ”的分子“1”用“a +b ”来代替，通过化简得到a b +ba，然后利用基本不等式求得æèöø1+1a æèöø1+1b 的最值，证明不等式成立.例7.已知正数x ，y 满足x +3y =5xy ，求证：3x +4y ≥5.证明：因为x ,y 为正数，可将x +3y =5xy 等式两边同时除以5xy 得：x +3y5xy=1，即15y +35x=1，则3x +4y =1∙()3x +4y =æèçöø÷15y +35x ()3x +4y =135+3x 5y +12y 5x ≥135+125=5，当且仅当3x 5y =12y 5x ，即x =1,y =12时等号成立，故3x +4y ≥5，命题得证.我们首先将已知关系式变形，构造出常数“1”，再将“1”进行代换，化简3x +4y ，利用基本不等式求得3x +4y 的最小值，进而证明不等式成立.总之，“1”在解高中数学题中发挥着重要的作用.同学们在日常学习中，要注意多积累解题经验，总结与“1”有关的代数式，在解题时将其进行代换，合理进行恒等变换，便能有效地提高解题的正确率和速度.（作者单位：江苏省东海县石榴高级中学）函数最值问题一直是高考数学试题中的热点题目，近几年浙江省数学高考试题中多次出现含绝对值的函数最值问题.此类问题不仅考查了函数的图象和性质、处理绝对值的方法，还考查了求最值的方法，属于综合性较强的一类问题.解答此类问题的关键去掉绝对值符号，将问题转化为常规函数最值问题来求解.下面，笔者结合一道例题来谈一谈求解含绝对值的函数最值问题的方法.例题：已知a ∈R ，函数f (x )=||||||x +4x-a +a 在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是______.本题中的函数含有绝对值，为了将其转化为常规函数问题，我们可以从绝对值和函数两个角度来寻找解题的思路，有以下5种方法.方法一：分段讨论法此方法是解答含绝对值问题的常用方法，首先，将定义域划分为几个区间段，然后分别求出各个区间段上函数的表达式，根据函数的图象和性质讨论函数的最值.对于本题，可先求出对勾函数y =x +4x 在[1,4]上的值域，然后对a 进行分类讨论，去掉绝对值后再求每个区间段上函数的最大值，建立关系式，便可求得a 的取值范围.解：∵x ∈[1,4]，∴x +4x∈[4,5]，①当a ≥5时，f (x )=a -x -4x +a =2a -x -4x，函数f (x )的最大值2a -4=5，解得a =92，不符合题意，舍去；②当a ≤4时，f (x )=x +4x -a +a =x +4x≤5，符合题意；③当4≤a ≤5时，f (x )max =max{|4-a |+a ,|5-a |+a }，则{|4-a |+a ≥|5-a |+a ，|4-a |+a =5，或{|4-a |+a <|5-a |+a ，|5-a |+a =5，解得a =92或a <92.综上可得，a 的范围是(-∞,92].绝对值函数本质上是一个分段函数，可根据绝对值的定义去掉绝对值符号，将问题转化为分段函数的42解题宝典最值问题.但运用该方法解题，过程比较繁琐，容易出现重复和遗漏分类的情况.方法二：利用数轴利用数轴也是解答含绝对值问题的基本方法.在解题时，需利用绝对值的几何意义，将绝对值里面的式子看作是数轴上任意点到定点的距离，从而确定取.图1解：令x +4x=t ∈[4,5]，则f (t )=||t -a +a ，t ∈[4,5]，如图1所示，当a ≤0时，f (t )=||t -a +a =t ≤5成立；当0<a ≤t 时，f (t )=||t -a +a =||a -t +||a -0=t ≤5成立；当a >t 时，f (t )=||t -a +a =a -t +a ≤5恒成立，即a ≤4.5，则a 的范围是(-∞,92].这里首先确定t 的范围，将t 看作数轴上的任意一点，结合数轴找出f (t )的最值，使其小于或等于5，便可求得a 的取值范围.方法三：利用V 型函数V 型函数是一类常见的含绝对值的函数模型.在解题时，可将含绝对值函数转化为分段函数，借助函数的图象来分析函数的最值，将代数问题几何化，运用数形结合思想来解题.axyO 图2解：当f (x )取最大值时|t -a |取最大值，为5-a ，如图2，结合V 型函数图象可得：①当a ≤92时，f (x )max =|5-a |+a =5-a +a =5，符合题意；②当a >92时，f (x )max =|4-a |+a =a -4+a =5，∴a =92（矛盾），舍去；故a 的取值范围是(-∞,92].我们将含绝对值函数转换为分段函数，结合函数的图象便能快速求得a 的取值范围，这样可以获得事半功倍的效果.方法四：分离参数法运用分离参数法解题的基本思路是通过将参数进行分离，将问题转化为不等式恒成立问题来求解，在分离参数后求出函数的值域，验证取等号的条件，便可求出参数的取值范围.解：令x +4x=t ∈[4,5]，则问题可转化为g (t )=|t -a |+a 在t ∈[4,5]上的最大值是5，则问题等价于ìíî∀t ∈[4,5],|t -a |+a ≤5， ①∃t 0∈[4,5],|t 0-a |+a =5. ② 由①得∀t ∈[4,5], a -5≤t -a ≤5-a ，即a ≤t +52恒成立，所以a ≤æèöøt +52 min =92；由②知，当t 0=5时，|t 0-a |+a =5；综上所述a ≤92.我们先分析对勾函数y =x +4x在x ∈[1,4]上的值域，然后将其看成一个整体，解一次绝对值不等式即可使问题快速获解，这样避免了繁琐的分类讨论，能有效地提高解题的速度和准确性.方法五：以值代参本方法是通过用函数值来代替参数，使问题获解的方法.以值代参既起到了消参作用，又构建了变量与函数值之间的关系.解：令x +4x=t ∈[4,5]，则f (t )=|t -a |+a ，t ∈[4,5]，则f (t )的最大值为f (t )max =max{f (4),f (5)}，即ìíîf (4)=|4-a |+a =5，f ()5=|5-a |+a ≤5，或ìíîf (4)=|4-a |+a ≤5，f ()5=|5-a |+a =5，解得{a =4.5，a ≤5，或{a ≤4.5，a ≤5，则a 的取值范围是(-∞,92].我们借助函数值的范围，建立不等式，便求得参数的范围.运用以值代参方法解题,能获得出奇制胜的效果.含绝对值的函数最值问题是一类常考的题目，也是很多同学感觉困难的题目.因此，掌握一些解题的技巧是很有必要的.在解答含绝对值的最值问题时，同学们要注意从绝对值和函数两个角度，通过处理绝对值、分析函数的图象和性质来破解难题.（作者单位：浙江省诸暨市学勉中学）43。
一次函数绝对值和最值问题
含绝对值函数综合问题一、含绝对值函数的最值1、含一个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性（1）()||f x x =的图像是以原点为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点处取得最小值“(0)0f =”，无最大值；在函数(,0],[0,)x ∈-∞↓+∞↑；对称轴为：0x =（2）()||(0)f x kx b k =+≠图像是以(,0)b k-为顶点的“V ”字形图像；在顶点取得最小值：“()0b f k -=”，无最大值；函数在(,],[,)b b x k k ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：b x k=- （3）函数()||(0)f x k x b k =+≠： 0k >时，函数是以(,0)b -为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点取得最小值：“()0f b -=”，无最大值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：x b =-0k <时，是以(,0)b -为顶点的倒“V ”字形图像，函数在顶点取得最大值：“()0f b -=”，无最小值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↑-+∞↓；对称轴为：x b =-2、含两个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性（1）函数()||||()f x x m x n m n =-+-<的图像是以点(,),(,)A m n m B n n m --为折点的“平底形”图像；在[,]x m n ∈上的每点，函数都取得最小值n m -，无最大值；函数在(,],[,)x m x n ∈-∞↓∈+∞↑ ，在[,]x m n ∈无单调性；对称轴为2m n x +=。
（2）函数()||||f x x m x n =---： 当m n >时，()f x 是以点(,),(,)A m n m B n m n --为折点的“Z 字形”函数图像；在(,]x n ∈-∞上的每点，函数都取得最大值m n -，在[,)x m ∈+∞上的每点，函数都取得最小值n m -；函数在[,]x n m ∈↓，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对称中心为(,0)2m n +； 当n m >时，()f x 是以点(,),(,)A m m n B n n m --为折点的“反Z 字形”函数图像； 在(,]x m ∈-∞上的每点，函数都取得最小值m n -，在[,)x n ∈+∞上的每点，函数都 取得最大值n m -；函数在[,]x m n ∈↑，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对称中心为(,0)2m n +； （3）()||||()f x a x m b x n m n =-+-<图像是以(,()),(,())A m f m B n f n 为折点的折线。
绝对值大全（零点分段法、化简、最值）..
绝对值⼤全（零点分段法、化简、最值）..绝对值⼤全（零点分段法、化简、最值）⼀、去绝对值符号的⼏种常⽤⽅法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的⼀般不等式，⽽后，其解法与⼀般不等式的解法相同。
因此掌握去掉绝对值符号的⽅法和途径是解题关键。
1利⽤定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥??-(0)c x c c c -<<>≤?；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>??≠=∈或2利⽤不等式的性质去掉绝对值符号利⽤不等式的性质转化|x |c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利⽤结论―a ≤|x |≤b ?a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ‖来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想⽅法。
3利⽤平⽅法去掉绝对值符号对于两边都含有―单项‖绝对值的不等式，利⽤|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要⽐按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为⾮负数，需要进⾏分类讨论，只有不等式两边均为⾮负数(式)时，才可以直接⽤两边平⽅去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这⼀点。
4利⽤零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利⽤绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从⽽化为不含绝对值符号的⼀般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。
一类绝对值函数的最值问题
( | x - 3 | + | x - 2 | ) + ( 1+ 5 - 2 - 3) | x - 2 | 因 为 5 - 1 > 0, 1+ 2 - 5 > 0, 3 > 0, 1+ 5
- 2 - 3 > 0,
2 I [ 3, 2] A [ 2, 2] A [ 2, 5 ] A [ 1, 5] ,
[ 1, 2004] , 所以当 x I [ 1002, 1003] 时, y 取到最小值 ymin = 2003 + 2001 + , ,+ 1 = 10022 . 一般地, 对于函数 y = | x - 1 | + | x - 2 |+ ,
| x - n | , n I N* , x I R
11
所以当 x = 2 时, ymin = 1 + 2( 2 + 3 - 5 ) . 该例 中, 我们构 出了函数分组 具体的区间 套形
式, 但 这 并 不 必 要. 既 然 1 + 2 + 3 <
1+ 2 + 3+ 4 + 5 2
又1+
2+
3+
4>
1+
2+
3+ 2
4+
5, 由/ 首 尾 配 对0 分 组 方 法,
( a ,+ n- 1 2+2
an ) -
( a1 +
,+必强 调{ an } 是 递增
数列. 对任意数列{ bn } , 我们只需由小到大用 ai 记录
之, 生成的数 列{ an } 必满 足上述 要求. 现在 的问 题
微专题19 与分段函数、绝对值函数有关的最值(范围)问题
所以在(－∞，m]上， f(x)min＝ff（ （m1））＝＝－em1－，emm≥－11，，m＜1，其值域为[f(x)min，＋∞). 因为F(x)的值域为R，所以f(x)min≤(2－e)m， 即mem＜－1e，m－1≤（2－e）m或m－≥1≤1，（2－e）m， 即mem＜－12，m－1≤0或 1≤m≤e－1 2.
又当x∈(0，1]时，y＝g(x)＝k(x＋2)(k>0)恒过定点A(－2，0)，由图可知，当x∈(2，
3]∪(6，7]时，f(x)与g(x)的图象无交点，
∴当x∈(0，1]∪(4，5]∪(8，9]时，f(x)与g(x)的图象有6个交点.
由f(x)与g(x)的周期性可知，当x∈(0，1]时，f(x)与g(x)的图象有2个交点.
23
由x1，x2∈[0，2]，f(x1)＝f(x2)， 不妨设0≤x1＜ln a＜x2≤2. 又因为|x1－x2|≥1，所以x1∈[0，1]， 且x2∈[1，2]，从而x1≤1≤x2. 所以f(1)≤f(x1)≤f(0)，且f(1)≤f(x2)≤f(2). 由ff（ （11） ）≤ ≤ff（ （02） ），得ee－ －aa－ －11≤ ≤0e2，－2a－1， 解得e－1≤a≤e2－e，得证.
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热点三 分段函数、含绝对值函数图象与性质的综合应用 【例 3】 (2019·连云港二模)已知函数 f(x)＝ex－ax－1，其中 e 为自然对数的底数，
a∈R. (1)若 a＝e，函数 g(x)＝(2－e)x. ①求函数 h(x)＝f(x)－g(x)的单调区间； ②若函数 F(x)＝fg（（xx）），，xx≤＞mm，的值域为 R，求实数 m 的取值范围. (2)若存在实数 x1，x2∈[0，2]，使得 f(x1)＝f(x2)，且|x1－x2|≥1，求证：e－1≤a≤e2 －e.
专题与绝对值函数有关的参数最值及范围问题
专题 与绝对值函数有关的参数最值及范围问题类型一 常数项含参数1.已知函数f （x ）=x 2﹣5|x ﹣a|+2a（Ⅰ）若0＜a ＜3，x ∈[a ，3]，求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若a≥0，且存在实数x 1，x 2满足（x 1﹣a ）（x 2﹣a ）≤0，f （x 1）=f （x 2）=k ．设|x 1﹣x 2|的最大值为h （k ），求h （k ）的取值范围（用a 表示）．2已知0a ≥ ，函数2()5||2f x x x a a =--+（Ⅰ）若函数()f x 在[0,3]上单调，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若存在实数12,x x ，满足12()()0x a x a --≤ 且12()()f x f x =，求当a 变化时，12x x +的取值范围.3. 已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，2()2f x x x =+.（1）若函数1()()22h x f x x x a =---有四个不同零点，求实数a 的取值范围 （2）如果对于任意x R ∈，不等式()()1g x c f x x +≤--恒成立，求实数c 的取值范围5．已知函数2()|1|f x x x a =++-，其中a 为实常数．（1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断错误！未找到引用源。
在错误！未找到引用源。
上的单调性；（3）若对任意x R ∈，使不等式()2||f x x a ≤-恒成立，求a 的取值范围．6.已知函数2()2||f x x x a =--.（1）若函数()y f x =为偶函数，求a 的值；（2）若12a =，求函数()y f x =的单调递增区间； （3）0>a 时，对任意的[0,)x ∈+∞，(1)2()f x f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.7.已知函数，， （1）若，试判断并用定义证明函数的单调性； （2）当时，求函数的最大值的表达式； （3）是否存在实数，使得有且仅有3个不等实根，且它们成等差数列，若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由.8已知函数()()112+++=x b x x f 是定义在[]a a ,2-上的偶函数，()()t x x f x g -+=，其中t b a ,,均为常数。