专题训练(四) 特殊平行四边形的证明与计算
(完整版)平行四边形与特殊平行四边形(专题讲练与提升)(含答案)
平行四边形与特殊平行四边形（专题与提升）一、平行四边形的性质例1、如图，在ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.(1)求证：△ABG≌△CDE；(2)猜一猜：四边形EFGH是什么样的特殊四边形？证明你的猜想；(3)若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积。
变式练习1、如图，在平行四边形ABCD中，E. F分别是AB、BC的中点，CE⊥AB，垂足为E，AF ⊥BC，垂足为F，AF与CE相交于点G.(1)证明：△CFG≌△AEG.(2)若AB=4，求四边形AGCD的对角线GD的长。
2、如图，在平行四边形ABCD中，点M、N分别在线段DA、BA的延长线上，且BD=BN=DM，连接BM、DN并延长交于点P.(1)求证：∠P=90°−12∠C；(2)当∠C=90°，ND=NP时，判断线段MP与AM的数量关系，并给予证明。
二、平行四边形的判定例2、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD及等边三角形ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB于点F，连接DF.(1)求证：AC=EF；(2)求证：四边形ADFE是平行四边形。
变式练习1、2、如图，在平面直角坐标系xOy，直线y=x+1与y=−2x+4交于点A，两直线与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上的一个动点，直线AB上是否存在点E，使得以E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。
三、三角形中位线定理例3、(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE 并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N.求证：∠BME=∠CNE；(提示：取BD的中点H,连接FH，HE作辅助线)(2)如图2，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G，若AB=DC=2，∠FEC=45°，求FE的长度。
特殊的平行四边形大题专练
2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题2.4特殊的平行四边形大题专练（分层培优30题，八下苏科）A卷基础过关卷（限时50分钟，每题10分，满分100分）1．（2021春·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）已知如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，延长CD至E，且CD=DE．求证：AC=AE．2．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）如图所示，点A是菱形BDEF对角线的交点，BC∥FD，CD∥BE，连接AC，交BD于O．(1)求征：四边形ABCD是矩形；(2)若BE=10，DF=24，求AC的长．3．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为1，点E在AB延长线上，且BE=DE平分∠BDC．4．（2021春·江苏南京·八年级统考期中）如图，E是矩形ABCD边BC上一点，AB＝5，AD＝3．将矩形ABCD 沿AE折叠，点B的对称点为B′．当点B′恰好落在边CD上时，求C B′的长．5．（2021春·江苏泰州·八年级统考期末）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE//AC，CE//DB．（1）若∠AOD=120°，AB=4cm，求AC的长；（2）求证：四边形OBEC是菱形．6．（2021春·江苏·八年级专题练习）如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD 上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF=45°．求证：四边形ABCD是正方形．7．（2020春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD．（1）求证：△AEB≌△CFD；（2）当△ABD满足什么条件时，四边形EBFD是菱形，请说明理由．8．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．(1)在图（1）中以格点为顶点画一个面积为17的正方形（正方形是四条边相等，四个内角都是90°的四边形）；(2)在图（2）中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其底边为(3)在图（3）中，A、B均为格点，请画出一个格点C，使得∠CBA=45°．9．（2022秋·江苏·八年级期中）如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)若BC＝12，DE＝4，求△AEF的面积．10．（2022春·江苏南京·八年级期末）如图，△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O．(1)求证：AF与DE互相平分；(2)当△ABC满足___________时，四边形ADFE是正方形．B卷能力提升卷（限时60分钟，每题10分，满分100分）11．（2022春·江苏徐州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．(1)求证：四边形ADCF是平行四边形；(2)当AB＝AC时，求证：四边形ADCF矩形；(3)当△ABC满足条件 时，四边形ADCF是菱形．12．（2022春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF，EF与AC相交于点P．(1)求证：PA＝PC．(2)当EF⊥AC时，连接AF、CE，试判断四边形AECF的形状，并说明理由．13．（2022春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE、AG、FG．(1)求证：△BCE≌△FDE；(2)当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．14．（2022春·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，在▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC的平分线交AD于点F，EF∥AB交BC于点E．(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若AB＝5，AE＝6，▱ABCD的面积为36，求CE的长．15．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN，交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．给出下列信息：①MN∥BC；②OE=OC；③OF=OC．(1)请在上述3条信息中选择其中一条作为条件，证明：OE=OF；(2)在（1）的条件下，连接AE、AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．16．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）如图，矩形ABCD中，E为边BC上方一点，EB=EC，∠BEC=90∘．(1)在图1中，请仅用无刻度的直尺作出BC边的中点F；(2)如图2，在（1）的条件下，连接AE、AF、DE、DF，若四边形AEDF为菱形，请探究AB、BC之间的数量关系．17．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．(1)求证：OP=OQ；(2)若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．18．（2021春·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）已知：在△ABC中，AD为中线，以AB、AC为边向△ABC的形外作正方形ABEF、正方形ACGH．(1)如图①，当∠BAC=90°时，求证：FH=2AD．(2)如图②③，当∠BAC≠90°时，FH与AD有怎样的关系？在图②和图③中可任选一个图，证明你的结论．19．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，折叠△ABE使点A落在CD边上的点F处，折痕为BE，过点A作AG∥EF交BE于点G，连接GF．(1)求证：四边形AEFG是菱形．(2)若AD=6，AB=10，求四边形AEFG的面积．20．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）在矩形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=10，BC=AD=8．P为BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E 处）．(1)如图1，当点E落在边CD上时，利用尺规作图，在图①中作出△AEP（不写作法，保留作图痕迹）．(2)在（1）的条件下，求BP的长．(3)如图2，PE与CD相交于点F，AE与CD相交于点G，且FC=FE，求BP的长．C卷培优压轴卷（限时80分钟，每题10分，满分100分）21．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）如图1矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B运动，点Q从点B以1cm/s的速度沿BC边向点C运动，如果P、Q同时出发，设运动时间为t s.(1)当t=2时，求△PBQ的面积；(2)当t为何值时，△DPQ是以PQ为底的等腰三角形；(3)当运动3s时，P点停止运动，Q点以原速立即向B点返回，在返回的过程中，DP是否能平分∠ADQ？若能，求出点Q运动的时间；若不能，请说明理由.22．（2022春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD中，点E在边AB上，连接ED，过点D作FD⊥DE与BC的延长线相交于点F，连接EF与边CD相交于点G，与对角线BD相交于点H．(1)若AB=6，且BD=BF，求BE的长；(2)若∠2=2∠1，求证：HF=HE+HD．23．（2022春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）【方法回顾】如图1，过正方形ABCD的顶点A作一条直l交边BC于点P，BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F，猜想BE，DF，EF 三条线段的数量关系： ，并证明你的猜想．【问题解决】，过点A作一条直线l交边BC于点P，且∠DAP=90°，点F是AP上一点，且如图2，菱形ABCD的边长为32∠BAD+∠AFD=180°，过点B作BE⊥AB，与直线l交于点E，若EF=1，求BE的长．【思维拓展】如图3，在正方形ABCD中，点P在AD所在直线上的上方，AP=2，连接PB，PD，若△PAD的面积与△PAB 的面积之差为m(m>0)，则P B2−P D2的值为 （用含m的式子表示）24．（2022春·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图1，R t△CEF中，∠C=90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B、D为垂足．(1)求证：四边形ABCD是正方形；(2)已知AB的长为4，设BE=x，DF=y；试用y的代数式表示x；(3)借助于上面问题的解题思路，解决下列问题:如图2若三角形PQR中，∠QPR=45°，一条高是PH，长度为6，QH=2，则△PQR的面积=_______（直接写答案）．25．（2022秋·江苏镇江·八年级统考期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形．(1)初步尝试：如图1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，P为AC上一点，当AP=______时，△ABP与△CBP为积等三角形；(2)理解运用：如图2，△ABD与△ACD为积等三角形，若AB=2，AC=5，且线段AD的长度为正整数，求AD的长；(3)综合应用：如图3，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC，AB为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，求证：△AEG与△ABC为积等三角形．26．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）（1）【阅读理解】如图，已知△ABC中，AB=AC，点D、E∠BAC，是边BC上两动点，且满足∠DAE=12求证：BD+CE>DE．我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明的解题思路：将半角∠DAE两边的三角形通过旋转，在一边合并成新的△AFE，然后证明与半角形成的△ADE全等，再通过全等的性质进行等量代换，得到线段之间的数量关系．请你根据小明的思路写出完整的解答过程．证明：将△ABD绕点A旋转至△ACF，使AB与AC重合，连接EF，……（2）【应用提升】如图，正方形ABCD（四边相等，四个角都是直角）的边长为4，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD点D运动；点Q点D同时出发，以相同的速度沿射线AD方向向右运动，当点P 到达点D时，点Q也停止运动，连接BP，过点P作BP的垂线交过点Q平行于CD的直线l于点E，BE与CD相交于点F，连接PF，设点P运动时间为t(s)，①求∠PBE的度数；②试探索在运动过程中△PDF的周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．27．（2022春·江苏南京·八年级校考期中）数学活动课上，王老师带领同学们探索平行四边形的旋转，研究的路径是从特殊到一般．研究发现，在旋转的某些特殊时刻，图形具有特殊的性质．(1)如图1，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，将矩形ABCD绕点A旋转，当B′C′经过点D，连接D D′，线段D D′的长度为______________．(2)如图2，菱形ABCD绕点A旋转，当B′C′与CD共线时，延长BC、D′C′交于点M，判断四边形AEMF的形状并说明理由．(3)如图3，将▱ABCD绕点A旋转．①当点B落在边BC上时，小明发现点D也恰好在直线CD上，王老师提供了如下思路，请完成此图表．②若AB=3，BC=4，∠B=60°，连接C C′，直接写出C C′的长．28．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）已知：如图，在平行四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．(1)求证：四边形GEHF是平行四边形．(2)若AB=4，BC=7，当四边形GEHF是矩形时BD的长为．29．（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合).以AD为边作正方形ADEF，连接CF.(1)如图①,当点D在线段BC上时，求证：BD⊥CF(2)如图②,当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系.(3)如图③,当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其他条件不变:①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系;②若连接正方形对角线AE、DF,交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由.30．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）已知，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，点H为CF的中点．(1)连接BH、GH．①如图1，若点G在边AB上，猜想BH和GH的关系，并给予证明：②若将图1中的正方形AEFG绕点A顺时针旋转，使点E落在对角线CA的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想BH和GH的关系，并给予证明．(2)如图3，若AC=5，AF=3，将正方形AEFG绕点A旋转，连接EH．请你直接写出EH的取值范围___________．。
专题训练 特殊平行四边形的性质与判定
专题训练(二) 特殊平行四边形的性质与判定班别姓名1．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD.求证：四边形AODE是矩形．^)2．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：AF是∠DAB的平分线．…"3．如图1，在▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，CE平分∠BCD交AD于点E.(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)如图2，若BE⊥EC，求证：四边形ABFE是菱形．)图1图2）4．(1)如图1，在纸片▱ABCD中，AD＝5，S▱ABCD＝15，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为( )A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形(2)如图2，在(1)中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF＝4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D.①求证：四边形AFF′D是菱形；②求四边形AFF′D的两条对角线的长．]\5．如图所示，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点．(1)当四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH是菱形，请说明理由；(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形并说明理由．~;/*6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.(1)求证：四边形ADCE为矩形；$(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形并给出证明．*@》；参考答案1．(吉林中考)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD.求证：四边形AODE是矩形．证明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形．又∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，即∠AOD＝90°.∴四边形AODE是矩形．。
平行四边形的证明与计算
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中考专题：平行四边形的证明与计算 1.如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N． （1）求证：四边形CMAN是平行四边形． （2）已知DE=4，FN=3，求BN的长． 2.如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC．求证：BE=CF． 3.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE=CF，求证：DE=BF． 4.如图，在平行四边形ABCD中，已知点E在AB上，点F在CD上，且AE=CF．求证：DE=BF． 5.如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC，求证：BE=AF． 6.如图，已知点A、C在EF上，AD∥BC，DE∥BF，AE=CF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）直接写出图中所有相等的线段（AE=CF除外）． 7.如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=10cm，BC=30cm，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积． 8.如图，ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，若∠ABF=∠CDE=90°．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AB=AD=8，BF=6，求AE的长．
9.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线与BE的延长线相交于点F，连接CF．（1）求证：四边形CDAF为平行四边形；（2）若∠BAC=90°，AC=AF，且AE=2，求线段BF的长．
10.如图，将▱ABCD沿CE折叠，使点D落在BC边上的F处，点E在AB上．（1）求证：四边形ABFE为平行四边形；（2）若AB=4，BC=6，求四边形ABFE周长．
四边形基础提升专练与特殊四边形有关的计算和证明作业ppt
四边形具有对ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ性、有四条边、有四个角等性质。
四边形的分类
平行四边形
两组对边分别平行的四边形。
矩形
有一个内角是直角的平行四边形。
正方形
四条边相等，且有一个内角是直角的平行四边形。
梯形
只有一组对边平行的四边形。
菱形
四条边相等，且对角线互相垂直的四边形。
筝形
两条对角线相等的平行四边形。
02
平行四边形中的特殊线段
平行四边形中的对角线 平行四边形中的中位线
平行四边形中的垂直平分线 平行四边形中的角平分线
03
矩形相关计算与证明
矩形的性质与判定方法
矩形是特殊的平行四边形，其对角线平分且相等。 矩形有两条对角线，且互相平分。
矩形四个角都是直角，其面积等于长乘宽。 矩形是轴对称图形，其对称轴为对边中点的连线。
01
熟悉四边形的基本性质和判定方法是解决四边形问题的关键，
包括平行四边形、矩形、菱形、正方形等。
运用辅助线和等积法
02
对于一些复杂的四边形问题，可以通过添加辅助线来简化问题
，或者运用等积法来转化面积问题。
结合三角形和函数的性质
03
在解决四边形问题时，可以结合三角形和函数的性质来进行计
算和证明。
四边形综合题的实战演练
选择题实战演练
选取具有代表性的四边形选择题进行实战演练，熟悉解题技巧和 方法。
填空题实战演练
选取具有代表性的四边形填空题进行实战演练，强化解题思路和 技巧。
解答题实战演练
选取具有代表性的四边形解答题进行实战演练，综合运用解题思 路和技巧，提升解题能力。
THANKS
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