高中物理平抛运动

x 第五章 平抛运动 5-1 曲线运动 & 运动的合成与分解

1. 定义： 物体运动轨迹是曲线的运动。

2. 条件：运动物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上。

3. 特点： ①方向：某点瞬时速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向 ②运动类

型：变速运动（速度方向不断变化） 。 ③ F 合 ≠ 0，一定有加速度 a。 ④ F 合方向一定指向曲线凹侧。 ⑤ F 合可以分解成水平和竖直的两个力。 4. 运动描述——蜡块运动

二、运动的合成与分解 1. 合运动与分运动的关系： 等时性、独立性、等效性、矢量性。

2. 互成角度的两个分运动的合运动的判断： ①两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速

直线运动。 ② 速度方向不在同一直线上的两个分运动，一个是匀速直线运动，一个是匀变速直线运动，其 合运动是匀变速 曲线运动， a 合为分运动的加速度。 ③ 两初速度为 0 的匀加速直线运动的合运动仍然是匀加速直线运动。 ④ 两个初速度不为 0 的匀加速直线运动的合运动可能是直线运动也可能是曲线运动。当两个分 运动的初速度的和速度方向与这两个分运动的和加速度在同一直线上时，合运动是匀变速直线 运动，否则即为曲线运动。

三、有关“曲线运动”的两大题型

曲线运动

（一）小船过河问题 模型一： 过河时间 t 最短：

t m

in

d，

v船

d sin 当 v 水

xmin=d，

d

模型三： 间接位移 x 最短：

v水

当 v 水 >v 船时，

x min d

cos

tan

v船

v水 cos v船 sin d v 船 sin cos v船 v水 v水

v

船 s

min

（v水 - v船

cos ）

L v船

sin

涉及的公式： tan vy

v v 2 y [ 触类旁通 ]1 ．（2011 年上海卷 ） 如图 5 － 4 所示，

人沿平直的河 岸以速度 v 行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行 进．此过程中绳始终与水面平行，当绳与河岸的夹角为 α时，船 的速率为（ C ）

A.v sin B.

v

si

n

C.v

cos

v D. cos

解析： 依题意，船沿着绳子的方向前进，即船的速度总是沿着绳子的，根据绳子两端连接的物 体在绳子方向上的投影速度相同，可知人的速度 v 在绳子方向上的 分量等于船速，故 v 船＝ v cos α，C 正确．

2．（2011 年江苏卷）如图 5－5 所示，甲、乙两同学从河中 O 点出 发，分别沿直线游到 A 点和 B 点后，立即沿原路线返回到 O 点，

OA、OB 分别与水流方向平行和垂直， 且 OA＝OB.若水流速度不

变， 两 人在静水中游速相等，则他们所用时间 t 甲、 t 乙的大小关系为 （C） A． t 甲t 乙

C． t 甲>t 乙 D ．无法确定

解析： 设游速为 v，水速为 v0，OA＝OB＝l ，则 t 甲＝v v ＋ v v ；乙 v＋v0 v－ v0 沿 OB运动，乙的速度矢量图如图 4 所示，合速度必须沿 OB方向，则 t 乙＝ 2· 2l 2，

联立解得 v － v0

t 甲>t 乙，C 正确．

（二）绳杆问题 （ 连带运动问题 ） 1、实质：合运动的识别与合运动的分解。

2、关键：①物体的实际运动是合速度，分速度的方向要按实际运动效果确定；

②沿绳（或杆）方向的分速度大小相等。 模型四： 如图甲，绳子一头连着物体 B，一头拉小船 A，这时船的运动方向不沿绳子。

乙 处理方法： 如图乙，把小船的速度 vA沿绳方向和垂直于绳的方向分 解为 v1 和 v2，v1 就是拉绳的速度， vA就是小船的实际速度。 [ 触类旁通 ] 如图，在水平地面上做匀速直线运动的汽车，通

过定滑 轮用绳子吊起一个物体，若汽车和被吊物体在同一时刻的速度分别 为 v1 和 v2 ，则下列说法正确的是 （ C ）

A．物体做匀速运动，且 v 2＝v1 B ．物体做加速运动，且 v

2>v1 C．物体做加速运动，且 v 2D ．物体做减速运动，且

v 21 解析：汽车向左运动， 这是汽车的实际运动， 故为汽

车的合运动． 车的运动导致两个效果：一是滑轮到汽车之间的绳变长了；二是滑 轮到汽车之间的绳与竖直方向的夹角变大了．显然汽车的运动是由

汽 沿绳方向的直线运动和垂直于绳改变绳与竖直方向的夹角的运动合成的，故应分解车的速度， 如图，沿绳方向上有速度 v2＝v1sin θ.由于 v1 是恒量，而θ逐渐增大，所以 v2 逐渐增大，故 被吊物体做加速运动，且 v 2

5-2 平抛运动 & 类平抛运动 一、抛体运动 1. 定义：以一定的速度将物体抛出，在空气阻力可以忽略的情况下，物体只受重力的作

用，它 的运动即为抛体运动。 2. 条件： ①物体具有初速度；②运动过程中只受 G。

1. 定义：如果物体运动的初速度是沿水平方向的，这个运动就叫做平抛运动。

2. 条件： ①物体具有水平方向的加速度；②运动过程中只受 G。

3. 处理方法： 平抛运动可以看作两个分运动的合运动：一个是水平方向的匀速直线运

动，一个

［牛刀小试 ］如图为一物体做平抛运动的 x －y 图象，物体从 O 点抛

出， x、 y 分别表示其水平位移和竖直位移．在物体运动过程中的某一点 P（a ，

b） ，

其速度的反向延长线交于 x 轴的 A 点（A 点未画出） ，则 OA 的长度为（B） A.a B.0.5a C.0.3a D. 无法确定 解析：作出图示（如图 5－9所示） ，设v与竖直方向的夹角为 α，根据几何

关系得 tan α＝vv ①，由平抛运动得水平方向有 a＝v0t ②，竖直方向有 vy

1 a a a b＝2vyt ③，由①②③式得 tan α＝2b ，在 Rt△AEP中， AE＝b tan α＝

、平抛运动 是竖直方向的自由落体运动。 位移： 1 x v0t,y 21gt2,s (vt)vx v0，vy gt，v v02 (gt)2 ，tan gt v0 ①从抛出点开始，任意时刻速度偏向角θ的正切值等于位移偏向角φ的 12 gt 2 gt gt 正切值的两倍。证明如下： tan , tan 2 .tan θ =tan α =2tan φ。 v0 v0t 2v0 ②从抛出点开始，任意时刻速度的反向延长线对应的水平位移的交点为此水平位移 的中点，即 tan 2 y .如果物体落在斜面上，则位移偏向角与斜面倾斜角相等。 x v0t 2v0 2,tan 2gvt0 1）

速推3） 2，所以 OA＝2. 5

5 应用结论——影响做平抛运动的物体的飞行时间、射程及落地速度的因素 a、飞行时

间： ，t 与物体下落高度 h 有关，与初速度 v

0

无关

b、水平射程： x v0t v0 2h,由 v0和 h 共同决

定

c、落地速度： v v02 vy2 v02 2gh ，v 由 v0和 vy 共同决

定。 三、平抛运动及类平抛运动常见问题 模型一： 斜面问

题： 处理方法： 1. 沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动； 2.

沿斜 面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的竖直上抛运

动。 考点一：物体从 A运动到 B的时间： 根据 x v0t,y 1gt2 t

2v0 tan

2 考点二： B 点的速度 vB及其与 v 0的夹角α： v v02 (gt)2 v0 1 4tan2 , arctan(2 tan )

考点三： A、 B 之间的距离

s：

2 x 2v02 tan

s cos gcos [ 触类旁通 ]（2010 年全国卷Ⅰ ） 一水平抛出的小球落到一倾角为

θ的斜面上 时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图 5 －10 中虚

线所示．小球在竖 直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为 （D）

11

A.tan B.2 tan C. D. tan 2tan 解析：如图 5 所示，平抛的末速度与竖直方向的夹角等于斜

面倾角 θ，有 tan θ＝gvt ，则

下落

12

y 2gt 2 gt 1 高度与水平射程之比为 yx＝

2v0t ＝2gvt0＝2tan1 θ

，D正确．

模型二： 临界问题： 思路分析： 排球的运动可看作平抛运动，把它分解为水平的匀速直线运

动和 竖直的自由落体运动来分析。但应注意本题是“环境”限制下的平抛运动， 应

弄清限制条件再求解。关键是要画出临界条件下的图来。 例：如图 1 所示，排球场总长为 18m ，设球网高度为 2m ，运动员站在离网 3m 的线上（图中虚线所示）正对网前跳起将球水平击出。 （不计空气阻力） （ 1）设击球点在 3m 线正上方高度为 2.5m 处，试问击球的速度在什么范围 内才能使球即不触网也不越界？ （ 2）若击球点在 3m 线正上方的高度小余某个值，那么无论击球的速度多 大，球不是触网就是越界，试求这个高度？