2020年江西省南昌市高考数学三模试卷(理科)(含答案解析)
2020年江西省南昌市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知为虚数单位，在复平面内，复数z的共轭复数对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设集合，0，，若，则对应的实数有A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对3.为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分分制的频数分布表如表：得分345678910频数231063222设得分的中位数为，众数为，平均数为，则A. B. C. D.4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.B.C.D.5.在中，D为线段AB上一点，且，若，则A. B. 3 C. D. 46.在中，角A，B，C所对应的边分别为，则下列说法不一定成立的是A. 可能为正三角形B. 角A，B，C为等差数列C. 角B可能小于D. 角为定值7.已知函数的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移个单位，所得图象关于对称，则实数m的最小值为A. B. C. D.8.函数且的图象可能为A. B.C. D.9.甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高，反之，降低则甲以3：1取得胜利的概率为A. B. C. D.10.知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在C的右支上，与y轴交于点A，的内切圆与边切于点若，则C的渐近线方程为A. B. C. D.11.将正整数20分解成两个正整数的乘积有，，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的．我们称为20的最佳分解．当且p，是正整数n的最佳分解时，定义函数，则数列的前100项和为A. B. C. D.12.已知函数，若存在使得方程有四个实根．则n的最大值为A. 2B. 1C. 0D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.执行如图所示的框图程序，输出的结果______．14.已知函数，则m，n，p的大小关系是______．15.已知，则______．16.已知长方体，，已知P是矩形ABCD内一动点，与平面ABCD所成角为，设P点形成的轨迹长度为，则______；当的长度最短时，三棱锥的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列中，，为常数．Ⅰ若，成等差数列，求p的值；Ⅱ是否存在p，使得为等比数列？若存在，求的前n项和；若不存在，请说明理由．18.三棱柱中，，，，四边形为菱形，且，．Ⅰ求证：平面平面；Ⅱ求与平面ABC的夹角正弦值．19.在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败．根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图．若甲解密成功所需时间的中位数为47，求a、b的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率；在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率分别为2，，其中表示第i个出场选手解密成功的概率，并且定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立．求该团队挑战成功的概率；该团队以从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人员数目X的分布列与数学期望．20.在直角坐标系xOy上取两个定点，，再取两个动点，，且．Ⅰ求直线与交点M的轨迹C的方程；Ⅱ过的直线与轨迹C交于P，Q，过P作轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若，求证：．21.已知函数．Ⅰ讨论的单调性；Ⅱ当时，对任意的，，且，都有，求实数m的取值范围．22.在极坐标系中，曲线C：，以极点O为旋转中心，将曲线C逆时针旋转得到曲线．Ⅰ求曲线的极坐标方程；Ⅱ求曲线C与曲线的公共部分面积．23.已知．Ⅰ若，解不等式．Ⅱ若关于x的不等式的充分条件是，求k的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：由，得，复数z的共轭复数对应的点是，在第四象限．故选：D．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.答案：B解析：解：集合0，，若，则，即，所以；若，或，则，所以，则或则对应的实数有2对．故选：B．解方程得集合A有两元素，由得A中元素属于B，可解出a，b．本题考查的知识点是集合的包含关系及应用，属于基础题．3.答案：D解析：解：由图知，众数是；中位数是第15个数与第16个数的平均值，由图知将数据从大到小排第15个数是5，第16个数是6，所以中位数是；平均数是；．故选：D．由频率分步表求出众数、中位数和平均数，比较即可．本题考查了求出一组数据的众数、中位数、平均值的应用问题，是基础题．4.答案：A解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为一个圆锥的四分之一，其中圆锥的底面半径为3，高为4．该几何体的体积为．故选：A．由三视图还原原几何体，可知该几何体为一个圆锥的四分之一，其中圆锥的底面半径为3，高为4，再由圆锥体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．5.答案：B解析：解：因为，所以，由可得，，则．故选：B．由已知结合向量的线性运算可分别求出，从而可求．本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用．6.答案：B解析：解：中，，，，，，，，所以B、A、C成等差数列，B错误．当时，是正三角形，A正确；由知，选项C、D正确．故选：B．化简，利用余弦定理求出A的值，再判断选项中的命题是否正确．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了分析问题解决问题的能力，是中档题．7.答案：B解析：解：，由其最小正周期为，，所以，将其图象沿x轴向右平移个单位，所得图象对应函数为，因为其图象关于对称，则有，，解得，由，实数m的最小值为．故选：B．先利用降幂公式将函数式化简为的形式，然后利用图象变换的规律求出变换后的解析式，最后利用函数的最值的性质求出m的值．本题考查考生对正弦型三角函数的图象与性质对称性、周期性、单调性的掌握情况．考查考生对三角函数三种表征零点、对称轴、单调性的理解与转换．考查考生对三角函数的数形结合思想、基于三角函数的逻辑推理能力及运算求解能力．8.答案：D解析：【分析】由条件可得函数为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据时，，结合所给的选项，得出结论．本题主要考查函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，函数的定义域和值域，属于中档题．【解答】解：对于函数且，由于它的定义域关于原点对称，且满足，故函数为奇函数，故它的图象关于原点对称．故排除A、B．当，，故排除C，故选：D．9.答案：D解析：解：甲以3：1取得胜利的所有情况为：赢赢输赢，赢输赢赢，输赢赢赢，对应的概率分别为：，，，所以甲以3：1取得胜利的概率为：．故选：D．先列出甲以3：1取得胜利的所有情况，再利用相互独立事件的乘法运算求解每种情况的概率，最后利用互斥事件概率的加法公式计算即可．本题主要考查相互独立事件的概率，互斥事件的概率，考查运算求解能力和分析问题，解决问题的能力．10.答案：A解析：解：双曲线的左、右焦点分别为，，点M在C的右支上，与y轴交于点A，的内切圆与边切于点与的切点为N，如图：设，，，由双曲线的定义可知：，可得，若，所以，，则．所以双曲线的渐近线方程为：．故选：A．由双曲线的定义和内切圆的切线性质：圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合双曲线的定义，转化求解渐近线方程即可．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，注意运用圆的切线长相等，以及方程思想，考查运算能力，属于中档题．11.答案：B解析：解：根据题意，知：，，，，，，．数列的前100项和为．故选：B．先写出数列的前几项，根据前几项归纳出：，，再求出其前100项和．本题主要考查等比数列、及其数列的求和，属于中档题．12.答案：A解析：解：令，则，依题意，函数与直线有且仅有四个不同的交点，易知函数为偶函数，故先研究时的情况，当时，，令，解得，令，解得，故函数在上单调递减，在上单调递增，且，由偶函数的对称性，可作出函数的图象，如下图所示，由图可知，，又，，的最大值为2．故选：A．依题意，转化可得函数与直线有且仅有四个不同的交点，且易发现函数为偶函数，利用导数研究函数的性质，作出函数图象，观察图象可得实数a 的取值范围，进而得到n的最大值．本题考查函数与导数的综合运用，考查函数零点与方程根的关系，考查转化思想与数形结合思想，将问题转化为函数的图象与直线有且仅有四个不同的交点，进而通过数形结合确定实数a的取值范围是解题的关键，属于中档题．13.答案：5解析：解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，可得．故答案为：5．模拟程序的运行过程可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题主要考查伪代码算法语句的应用，属于基础题．14.答案：解析：解：，则，即为偶函数，因为时，单调递增，，，，因为，故故答案为：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．15.答案：解析：解：已知故：．故答案为：．直接利用三角函数关系式的恒等变换和诱导公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．16.答案：解析：解：在长方体的底面矩形ABCD内一动点P，连接AP，因为与平面ABCD所成角为，，所以，所以，所以P点的轨迹为以A为圆心，以2为半径的圆，与底面矩形BC的交点为E，D，即P的轨迹为圆弧，连接AE，在中，，所以，所以，所以，可得为钝角，所以，，所以；当的长度最短时，而，所以当CP最小时，最小，而当A，P，三点共线时，最小，连接DP，由于，所以在三角形CDP中，由余弦定理可得，而，设三角形CDP的外接圆的半径为r，则，所以，由面CDP，所以三棱锥的外接球的球心为过底面三角形DCP的外接圆的圆心的垂线与中截面的交点，设外接球的半径为R，则，所以外接球的表面积．故答案为：，．因为与平面ABCD所成角为，所以可得，即P点的轨迹为以A为圆心，以2为半径的圆与矩形ABCD的交点即，由矩形的边长可得的值，进而求出它的正切值，当的长度最短时，而，所以当CP最小时，最小，而当A，P，三点共线时，CP 最小，求出CP的值，进而由余弦定理求出DP，求出三角形DCP的外接圆的半径，由面CDP，所以三棱锥的外接球的球心为过底面三角形DCP的外接圆的圆心的垂线与中截面的交点，由外接球的半径，和高的一半，由勾股定理可得R的值，进而求出外接球的表面积．本题考查求点的轨迹，及三棱锥的棱长与外接球的半径的关系和球的表面积公式，属于难题．17.答案：解：Ⅰ为常数，当时，，，，，，，，，．Ⅱ若为等比数列，则由，，数列的首项和公比均为正数，设其公比为q，则，，，，，故，而，时，为等比数列，的前n项和．解析：Ⅰ根据条件求出和，然后由，成等差数列，得到关于p的方程，再求出p即可；Ⅱ若为等比数列，则由，，可知数列的首项和公比均为正数，然后根据条件求出前n项和即可．本题考查了等比数列和等差数列的性质，等比数列的前n项和公式，考查了方程思想和转化思想，属中档题．18.答案：Ⅰ证明：取的中点O，连接，OA，OC，在菱形中，，故三角形是等边三角形，则，，．又，，，又，且，平面AOC，则．在中，，，故C．又，平面C.平面，平面平面；Ⅱ解：以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．则0，，1，，0，，，．设平面ABC的一个法向量为．由，取，得．设上的单位向量为．则与平面ABC的夹角正弦值为．解析：Ⅰ取的中点O，连接，OA，OC，由已知可得，再由，，得，得到平面AOC，则，求解三角形证明可得平面，进一步得到平面平面；Ⅱ以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面ABC的一个法向量，再求出上的单位向量由与所成角的余弦值可得与平面ABC的夹角正弦值．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．19.答案：解：甲解密成功所需时间的中位数为47，，解得，．解得．甲在1分钟内解密成功的频率是．由题意及可知第一个出场选手解密成功的概率为，第二个出场选手解密成功的概率为，第三个出场选手解密成功的概率为，该团队挑战成功的概率为．由知按从小到大的顺序的概率分别为，，，根据题意知X的可能取值为1，2，3，则，，，团队挑战成功所需派出的人员数目X的分布列为：X 1 2 3P．解析：由甲解密成功所需时间的中位数为47，利用频率分布直方图的性质能求出a，b，由此能求出甲在1分钟内解密成功的频率．由题意及可知第一个出场选手解密成功的概率为，第二个出场选手解密成功的概率为，第三个出场选手解密成功的概率为，由此能求出该团队挑战成功的概率．根据题意知X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出团队挑战成功所需派出的人员数目X的分布列和．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：依题意知直线的方程为：；直线的方程为：设是直线与交点，、相乘，得由整理得：、不与原点重合，可得点，不在轨迹M上，轨迹C的方程为Ⅱ证明：设l：，代入椭圆方程消去x，得．设，，，可得且，，可得，，，证明，只要证明，，只要证明，只要证明，由且，代入可得，．解析：由直线方程的点斜式列出和的方程，联解并结合化简整理得方程，再由、不与原点重合，可得直线与交点的轨迹C的方程；设l：，代入椭圆方程消去x，得，利用分析法进行证明．本题着重考查了动点轨迹的求法、椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系和一元二次方程根与系数的关系等知识，属于中档题．21.答案：解：Ⅰ．当时，，在上单调递增；当时，，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减；当时，，在上单调递减，Ⅱ当时，，不妨设，则等价于，考察函数，得，令，，则时，，时，，所以在区间上是单调递增函数，在区间上是单调递减函数．故，所以在上单调递减．从而，即，故，所以，即恒成立，设，则在上恒为单调递减函数，从而恒成立，故，故．解析：Ⅰ求出导函数，通过当时，当时，当时，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可．Ⅱ当时，，不妨设，则等价于，考察函数，求出导函数，令，再求解导函数，判断函数的单调性．求出函数的最值，说明在上单调递减．得到恒成立，设，则在上恒为单调递减函数，然后转化求解m的范围即可．本题考查导数公式和导数运算法则以及恒成立的思想，考查考生灵活运用导数工具分析问题、解决问题的能力，综合考查考生的分类讨论思想以及逻辑推理能力、运算求解能力和推理论证能力．22.答案：解：Ⅰ设极点旋转之后的极点为，故：，代入，得到，得到．Ⅱ如图，两圆相交于点O和A，连接OA，AC，，．由于极径没有变，旋转的角为显然四边形为菱形，故．所以．解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用及二次函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：Ⅰ若，不等式可化为．当时，有，即，；当时，有，即，；当时，有，即，．故原不等式的解集为；Ⅱ由题意，关于x的不等式在上恒成立，即在上恒成立，在上恒成立，，等号在，同号或其中一项为0时成立．的取值范围是．解析：Ⅰ时，不等式可化为然后分，，三类去绝对值求解，取并集得答案；Ⅱ由题意，关于x的不等式在上恒成立，分离参数k，可得在上恒成立，再由，即可得到实数k的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论与数学转化思想方法，训练了绝对值不等式的应用，是中档题．。
2020届江西省南昌市高考数学三模试卷(含解析)
2020届江西省南昌市高考数学三模试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=R，集合A={x|x2−4x+3>0}，B={x|−1<x<2}，则(∁U A)∪B=()A. (−1,1]B. [1,2)C. [1,3]D. (−1,3]2.已知复数z=−2i，则1z+1的虚部为()A. 25B. 25i C. 2√55i D. 2√553.数列{1+2n−1}的前n项和为()．A. 1+2nB. 2+2nC. n+2n−1D. n+2+2n4.已知函数y=f(x−1)的图象关于直线x=1对称，且当x∈(−∞,0)时，f(x)+xf′(x)<0成立若a=(20.2)⋅f(20.2)，b=(ln2)⋅f(ln2)，c=(1og1214)⋅f(1og1214)，则a，b，c的大小关系是()A. a>b>cB. b>a>cC. c>a>bD. a>c>b5.已知tanα=3，则cos2α=()A. 910B. −910C. −45D. 456.8.下列命题为真命题的是A. 已知，则“”是“”的充分不必要条件B. 已知数列为等比数列，则“”是“”的既不充分也不必要条件C. 已知两个平面，，若两条异面直线满足且//，//，则//D. ，使成立7.下列大小关系正确的是()A. B.C. D.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()A. B. C. D.9.更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之．”如图是该算法的程序框图，如果输入a=98，b=63，则输出的a值是()A. 35B. 21C. 14D. 710.设集合A={0,2，4}、B={1,3，5}，分别从A、B中任取2个元素组成无重复数字的四位数，其中能被5整除的数共有()A. 24个B. 48个C. 64个D. 116个11.已知二次曲线x24+y2m=1,则当m∈[−2,−1]时，该曲线的离心率的取值范围是()A. [√2,√3]B. [√5,√6]C. [√52,√62] D. [√32,√62]12.已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2−x)−x2+8x−8，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为l，点(a n,2a n+1)在l上，且a1=1，则a8=()A. −72B. −4 C. −92D. −52二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(√x−2x)5的二项展开式中x的系数是______ .(用数字作答)14.若x，y满足约束条件{x+y−2≤0x−2y−2≤0y≤2x+2，则z=2x+y的最小值为______．15.一个与球心距离为√2的平面截球所得圆面面积为π，则球的表面积为______．16.若二次函数y=ax2+4x−2有两个不同的零点，则实数a的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若a−cb−c =sinBsinA+sinC．(1)求角A；(2)若f(x)=cos2(x+A)−sin2(x−A)，求f(x)的单调递增区间．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，每个侧面均为边长为2的正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC1的中点．(Ⅰ)求证：CD//平面A1EB；(Ⅱ)求证：AB1⊥平面A1EB；(Ⅲ)若F为A1B1的中点，求过F，D，B，C点的球的体积．19.学生的学习方式是多种多样的，为了应对重大传染疾病所要求的人员的社交距离，也为了提高学生的学习效率，开展多渠道学习形式，市教育局鼓励学生参加网上学习.某中学课题组的数学教师为了调查学生在家学习数学的情况，对本校随机选取100名学生进行问卷调查，统计他们学习数学的时间，结果如图所示．(1)若此次学习数学时间X整体近似服从正态分布，用样本来估计总体，设μ，σ分别为这100名学生学习数学时间的平均值和标准差，并求得μ=76，σ=11.该校共有1000名学生，试估计该校学生中此次学习数学时间超过87分钟的学生人数(结果四舍五人取整数)；(2)若从全市学生中(利用电脑抽取学籍号的方式)有放回地随机抽取3次，每次抽取1人，用频率估计概率，设其中数学学习时间在80分钟及以上的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列和均值．参考公式：若随机变量服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973．20.求下列曲线的标准方程．)的椭圆的标准方程；(1)求焦点在x轴上，焦距为2，过点(1,32(2)求与双曲线x2−y2=1有公共焦点，且过点(√2,√2)的双曲线标准方程．221.已知函数f(x)=x2−(2a+1)x+alnx(a>0)．(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|⋅|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；)，点B(2√3,θ)在曲线C2上，求△ABO的面积．(2)设点A的极坐标为(2,π323.若∃x∈R，使得不等式|2t−1|<sin2x−4sinx−4成立．(Ⅰ)求t的取值范围；(Ⅱ)求证：12−2t +1t+1+1t>3．【答案与解析】1.答案：D解析：解：由x 2−4x +3>0解得x <1或x >3，则A =(−∞,1)∪(3,+∞)， 所以(∁U A)∪B =[1,3]∪(−1，2)=(−1，3]． 故选：D ．求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考査一元二次不等式的解法、补集与并集等基础知识；考查运算求解能力．2.答案：A解析：解：∵复数z =−2i ， ∴1z+1=11−2i=1+2i (1−2i)(1+2i)=1+2i 5的虚部为25，故选：A ．利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．3.答案：C解析：S n =n +=n +2n −1．4.答案：B解析：利用函数y =f(x −1)的图象关于直线x =1对称，可得函数y =f(x)的图象关于y 轴对称，是偶函数．令g(x)=xf(x)，利用已知当x ∈(−∞,0)时，g′(x)=f(x)+xf′(x)<0，可得函数g(x)在x ∈(−∞,0)单调递减，进而得到函数g(x)在(0,+∞)上单调递减．再根据log 1214=2>20.2>1>ln2>0.即可得到a ，b ，c 的大小．解：∵函数y =f(x −1)的图象关于直线x =1对称，∴函数y =f(x)的图象关于y 轴对称，是偶函数． 令g(x)=xf(x)，则当x ∈(−∞,0)时，g′(x)=f(x)+xf′(x)<0， ∴函数g(x)在x ∈(−∞,0)单调递减， 因此函数g(x)在(0,+∞)上单调递减． ∵log 1214=2>20.2>1>ln2>0． ∴c <a <b ． 故选B ．5.答案：C解析：解：tanα=sinαcosα=3， ⇒sinα=3cosα， ⇒sin 2α=9cos 2α， ⇒1−cos 2α=9cos 2α， ⇒cos 2α=110， ⇒1+cos2α2=110，⇒cos2α=−45．故选：C ．利用已知及同角三角函数基本关系式可得sinα=3cosα，两边平方，整理可得cos 2α=110，利用三角函数降幂公式即可得解cos2α的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，降幂公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．6.答案：C解析：故答案为C．7.答案：C解析：试题分析：因为，，，所以，选C．考点：对数式与指数式比较大小．8.答案：A解析：试题分析：由三视图可知，该几何体由一个半球和一个圆锥构成，其表面积为.选A．考点：1、三视图；2、空间几何体的体积．9.答案：D解析：解：第一次循环得：a=98−63=35；第二次循环得：b=63−35=28；第三次循环得：a=35−28=7；第四次循环b=28−7=21；第五次循环b=21−7=14；第六次循环b=14−7=7；此时a=b，输出a=7．故选：D．由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，是基础题．10.答案：C解析：解：∵由题意知本题包括三种情况(1)只含0不含5的数字共有C21C22A33=12种结果(2)只含5不含0的共有C21C22A33=12种结果，(3)含有0和5的又包含两种①0在个位时有C21C21A33=24种结果②5在个位时有C21C21C21A22=16种结果∴根据分类计数原理知共有12+12+24+16=64．故选C根据0的特殊性质，本题包括三种情况第一只含0不含5的数字，第二只含5不含0的数字，第三含有0和5的又包含两种①0在个位和5在个位时，写出各种情况对应的结果数，利用加法原理得到结果．数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．11.答案：C解析：解：因为二次曲线x24+y2m=1,m∈[−2,−1]，所以a=2，b2∈[1,2]，所以c2=a2+b2∈[5,6]，所以双曲线的离心率e=ca ∈[√52,√62]；故选C．通过双曲线方程，求出a与b的范围，得到c的范围，即可求出离心率的范围．本题是基础题，考查双曲线的离心率的求法，考查计算能力．12.答案：D。
2020年江西省南昌市高考数学三模试卷(理科)(含答案解析)
2020年江西省南昌市高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x2-x＞0}，B={x|2x-2＜1}，则（∁R A）∩B=（）A. [1，2）B. （0，1）C. （1，2）D. [0，1]2.已知复数的实部为,则其虚部为( )A. B. C. D.3.已知等差数列{a n}的前9项和为45，a3=-1，则a7=（）A. 11B. 10C. 9D. 84.已知函数f（x）＝sin x－x，则不等式f（x＋2）＋f（1－2x）＜0的解集是( )A. B. C. D.5.若tan（α-）=2，则tan（2α）等于（）A. -2B.C. 2+D.6.已知非零向量=（1，1-x），=（0，x-4），则“向量，的夹角为锐角”是“x∈（2，4）”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.设a=，b=，c=log32，则a，b，c的大小关系是（）A. a＜b＜cB. a＜c＜bC. c＜a＜bD. c＜b＜a8.如图,长方体,,,点P在线段上,的方向为正主视方向,当AP最短时,棱锥的左侧视图为( )A.B.C.D.9.如图所示框图，若输入3个不同的实数x，输出的y值相同，则此输出结果y可能是（）A. B. -1 C. 4 D. -210.如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为a，b，c．例如，图中上档的数字和a=9．若a，b，c成等差数列，则不同的分珠计数法有（）种．A. 12B. 24C. 16D. 3211.设直线x-3y+m=0（m≠0）与双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B，若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. D.12.已知数列{a n}：，，，，，，，，，，，，，…（其中第一项是，接下来的22-1项是，，再接下来的23-1项是，，，，，，，依此类推．）的前n项和为S n，下列判断：①是{a n}的第2036项；②存在常数M，使得S n＜M恒成立；③S2036=1018；④满足不等式S n＞1019的正整数n的最小值是2100．其中正确的序号是（）A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.x（x2-2x）6的展开式中，x10的系数是______．14.若x,y满足约束条件,则的最小值为______．15.如图，ABCD边长为4的正方形，△PAD是一个正三角形，△PAD绕边AD转动，得到四棱锥P-ABCD．当这个四棱锥体积最大时，它的外接球的表面积为______．16.已知函数,,其中若,,使得成立,则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图所示，在直角坐标系xOy中，扇形OAB的半径为2，圆心角为，点M是弧AB上异于A，B的点．（Ⅰ）若点C（1，0），且CM=，求点M的横坐标；（Ⅱ）求△MAB面积的最大值．18.如图，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，BA⊥AD，AB=AD=CD=1，BDEF是菱形，BD=DF，平面BDEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：BC⊥DF；（Ⅱ）求平面BCF与平面CDE所成角的余弦值．19.某企业产品正常生产时，产品尺寸服从正态分布N（80，0.25），从当前生产线上随机抽取200产品尺产/mm [76，78.5]（78.5，79）（79，79.5]（79.5，80.5]（80.5，81]（81，81.5]（81.5，83]件数427278036206旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）以内为正品，以外为次品．P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜X＜μ+3σ）=0.9974（Ⅰ）判断生产线是否工作正常，并说明理由；（Ⅱ）用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费10元/件，次品检测费15元/件，记这3件产品检测费为随机变量X，求X的数学期望及方差．20.已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，以PF1为直径的圆E：x2+＝过点F2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P且斜率大于0的直线l1与C的另一个交点为A，与直线x＝4的交点为B，过点（3，）且与l1垂直的直线l2与直线x＝4交于点D，求△ABD面积的最小值．21.已知函数a为常数．Ⅰ求函数,的最大值、最小值；Ⅱ若函数为自然对数的底在区间上单调递减,求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρcosθ-inθ+1=0．（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若点M的直角坐标为（-1，0），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．23.已知f（x）=|2x-a|+|2x+1|，g（x）=|x+1|-|3x-2|．（Ⅰ）若f（x）≥2恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若存在实数x1，x2，使得等式f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：A={x|x2-x＞0}={x|x＞1或x＜0}，B={x|2x-2＜1}={x|x-2＜0}={x|x＜2}，则（∁R A）={x|0≤x≤1}，则（∁R A）∩B={x|0≤x≤1}，故选：D．根据不等式的解法求出集合的等价条件，结合集合的补集，交集的定义进行计算即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2.答案：C解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部等于-1求得a值，则虚部可求．【分析】解：∵z=（a-i）（3+2i）=（3a+2）+（2a-3）i的实部为-1，即3a+2=-1，∴a=-1．则z的虚部为-5．故选：C．3.答案：A解析：解：等差数列{a n}的前9项和为45，∴=45，解得a1+a9=10．∴a7=a1+a9-a3=10-（-1）=11．故选：A．利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：D解析：解：函数f（x）=sin x-x，其定义域为R，且f（-x）=sin（-x）-（-x）=-（sin x-x），则函数f（x）是定义在R上的奇函数，导函数是f'（x）=cos x-1≤0，所以f（x）=sin x-x是减函数，不等式f（x+2）+f（1-2x）＜0⇒f（x+2）＜f（2x-1），即x+2＞2x-1⇒x＜3，故选：D．根据题意，由函数奇偶性的定义分析可得函数f（x）是定义在R上的奇函数，对f（x）求导可得f'（x）=cos x-1≤0，即可得f（x）=sin x-x是减函数，则不等式f（x+2）+f（1-2x）＜0可以转化为x+2＞2x-1，解可得x的范围，即可得答案．本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数f（x）的奇偶性与单调性．5.答案：B解析：解：∵tan（α-）=2，∴tan（2α-）=tan2（α-）===-，故选：B．根据二倍角的正切公式即可求出．本题考查了二倍角的正切公式，属于基础题．6.答案：B解析：解：当向量，共线时，满足x-4=0，此时x=4，此时两个向量分别为=（1，-3），=（0，0）不满足条件．则向量，不共线，若向量，的夹角为锐角，则＞0，得（1-x）（x-4）＞0得（x-1）（x-4）＜0，得1＜x＜4，即x∈（1，4），则x∈（1，4）是x∈（2，4）的必要不充分条件，故选：B．结合向量夹角与向量数量积的定义，求出x的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量夹角与向量数量积的定义求出x的范围是解决本题的关键．7.答案：B解析：解：∵，，，∴a＜c＜b．故选：B．容易得出，，，从而可得出a，b，c的大小关系．考查分数指数幂的运算，对数函数的单调性，减函数和增函数的定义．8.答案：B解析：【分析】本题考查了空间几何体的三视图，注意在三视图中看不到的线画成虚线．本题属于基础题．依题意，棱锥P-AA1B1B的左（侧）视图外部轮廓为正方形，且侧棱AP，BP被底面AA1B1B遮挡，显示为虚线，当AP最短时，AP⊥B1D1，因为A1B1=2，A1D1=3，所以B1P＜D1P，所以两虚线的交点离点B1更近，即离右下角更近．【解答】解：依题意，棱锥P-AA1B1B的左（侧）视图外部轮廓为正方形，且侧棱AP，BP被底面AA1B1B遮挡，显示为虚线，当AP最短时，AP⊥B1D1，因为A1B1=2，A1D1=3，所以B1P＜D1P，所以两虚线的交点离点B1更近，即离右下角更近．故选：B．9.答案：A解析：解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值，作出函数的图象如下：由题意，输入3个不同的实数x，输出的y值相同，可得-1＜y＜3，比较各个选项可得输出结果y可能是．故选：A．模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值，画出函数的图象即可得解．本题考查了程序框图的应用问题，考查了分段函数的图象，属于基础题．10.答案：D解析：解：根据题意，a，b，c的取值范围都是从7～14共8个数字，故公差d范围是-3到3，①当公差d=0时，有=8种，②当公差d=±1时，b不取7和14，有2=12种，③当公差d=±2时，b不取7，8，13，14，有2=8种，④当公差d=±3时，b只能取10或11，有2=4种，综上共有8+12+8+4=32种，故选：D．a，b，c的取值范围都是从7～14，可以根据公差d的情况进行讨论．本题考查排列、组合的应用，要表示的有3项，做题时容易找不到切入点，本题应考虑等差中项的选取方法，属于中档题．11.答案：A解析：【分析】先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（，），利用点P（m，0）满足|PA|=|PB|，可得=-3，从而可求双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．【解答】解：由双曲线的方程可知，渐近线为y=±x，分别与x-3y+m=0（m≠0）联立，解得A（-，-），B（-，），∴AB中点坐标为（，），∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，∴=-3，∴a=2b，∴c=b，∴e==．故选：A．12.答案：C解析：解：①是{a n}的第k项，则k=21-1+22-1+……+210-1=-10=2036；②由题意可得：分母为2k时，==（k∈N*），可得：S n单调递增，且n→+∞时，S n→+∞，因此不存在常数M，使得S n＜M恒成立，因此不正确；③由②可得：S2036=++……+=++……+==1018，因此正确．④S2036=1018，设S2036+=1018+＞1019，则k（k+1）＞212，解得k＞64．∴满足不等式S n＞1019的正整数n的最小值=2036+64=2100，因此正确．其中正确的序号是①③④．故选：C．①是{a n}的第k项，则k=21-1+22-1+……+210-1，利用等比数列的求和公式求出即可判断出结论．②由题意可得：分母为2k时，==（k∈N*），可得：S n单调递增，且n→+∞时，S n→+∞，即可判断出结论．③由②可得：S2036=++……+，利用等差数列的求和公式求出即可判断出结论．④S2036=1018，设S2036+=1018+＞1019，解得k即可判断出结论．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.答案：-160解析：解：依题意，x（x2-2x）6的展开式的第k+1项为T k+1=x=，由13-k=10，得k=3，所以x10的系数是=（-8）×20=-160，故答案为：-160．x（x2-2x）6的展开式的第k+1项为T k+1=x=，由13-k=10，得k=3，代入通项即可．本题考查了二项式定理，主要考查二项展开式的通项，属于基础题．14.答案：4解析：解：作出x，y满足约束条件如图：由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得A（1，2），此时z=2×1+2=4，故答案为：4．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．15.答案：解析：解：如图，要使四棱锥P-ABCD体积最大，则平面PAD⊥平面ABCD，设等边三角形PAD的外心为F，过F作平面PAD的垂线，过G作底面ABCD的垂线，两垂线相交于O，则O为四棱锥P-ABCD的外接球的球心，连接OP，则OP为四棱锥P-ABCD的外接球的半径，∵PF=，OF=．∴．∴四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为S=4π×．故答案为：．由题意，要使四棱锥P-ABCD体积最大，则平面PAD⊥平面ABCD，求出四棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式求解．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．16.答案：解析：【分析】由f（x1）f（x2）=g（x1）g（x2）成立，可得成立；设h（x）=，u（x）=，求解h（x）的值域是u（x）值域的子集求解a的值即可．本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数闭区间是的最值以及单调性的应用．【解答】解：由题意，f(x)≠0，由f（x1）f（x2）=g（x1）g（x2）成立，得g（x1）≠0，g（x2）≠0，可得成立；设h（x）=，u（x）=，那么h（x）=，∵x1∈[1，2]，当a＞1或a<时，可得h（x）的值域为[，]u（x）=ax-1∵x2[1，2]，∴可得u（x）的值域为[a-1，2a-1]；∵∀x1∈[1，2]，∃x2∈[1，2]，∴h（x）的值域是u（x）值域的子集；在a>1的情况下，可得：，解得：1＜a；，解得：a；∴a=.在a<的情况下，可得：，解得：a≤0（结合条件知a无解）;当，h(x)的值域为,不可能是u(x）值域的子集；当a=时，代入验证即可排除.综上可得：a=故答案为：．17.答案：解：（Ⅰ）连接OM，根据题意，在△OCM中，OC=1，CM=，OM=2，所以cos∠COM==，所以点M的横坐标为2×=．（Ⅱ）设∠AOM=θ，θ，则∠BOM=-θ，S△MAB=S△OAM+S△OBM-S△OAB=[sinθ+sin（-θ）]-=2sin（θ+）-，因为θ，所以θ+∈（，），所以当θ=时，△MAB面积最大，且最大值为．解析：（Ⅰ）连接OM，根据题意在△OCM中，由余弦定理可求cos∠COM，进而可求点M的横坐标．（Ⅱ）设∠AOM=θ，θ，则∠BOM=-θ，利用三角形的面积公式可得S△MAB=sin（θ+）-，根据范围θ+∈（，），利用正弦函数的性质可求其最大值．本题主要考查余弦定理，三角形的面积公式，正弦函数的性质的综合应用，考查转化思想和数形结合思想，属于中档题．18.答案：解：（Ⅰ）证明：如图，取CD中点H，连结BH，则BH⊥CD，由已知得BH=1，CH=1，BC=，CD=2，∴BC2+BD2=CD2，∴CB⊥BD，∵平面BDEF⊥平面ABCD，且平面BDEF∩平面ABCD=BD，∴CB⊥平面BDEF，又DF⊂平面BDEF，BC⊥DF．（Ⅱ）如图，取BD的中点O，∵BD=DF=BF，∴FO⊥BD，∵平面BDEF⊥平面ABCD，且平面BDEF∩平面ABCD=BD，∴FO⊥平面ABCD，如图，以O为原点，过O作AB的平行线为x轴，过O作AD的平行线为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，则B（，0），C（，0），D（-，0），F（0，0，），=（1，1，0），=（-，），=（-2，0，0），∵DE∥BF，且DE=BF，∴=（-），设平面BCF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-1，），设平面CDE的法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，-），∴cos＜＞===-，∴平面BCF与平面CDE所成角的余弦值为．解析：（Ⅰ）取CD中点H，连结BH，则BH⊥CD，推导出CB⊥BD，从而CB⊥平面BDEF，由此能证明BC⊥DF．（Ⅱ）取BD的中点O，以O为原点，过O作AB的平行线为x轴，过O作AD的平行线为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面BCF与平面CDE所成角的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：（Ⅰ）依题意，有μ=80，σ=0.5，所以正常产品尺寸范围为（78.5，81.5）：200×（1-0.9974）≈0.52件，超出正常范围以外的零件数为10件，故生产线不正常；（Ⅱ）依题意，尺寸在[78.5，81.5]以外就是次品，故次品率为=．记着3件产品中次品数为Y，则Y服从二项分布B（3，），X=10（3-Y）+15Y=5Y+30，则E（Y）=3×=，D（Y）=3×=，所以X的数学期望是E（X）=5E（Y）+30=（元），方差是D（X）=52•D（Y）=25×=．解析：（Ⅰ）正常产品尺寸范围为（78.5，81.5），200×（1-0.9974）≈0.52件，超出正常范围以外的零件数为10件，故生产线不正常；（Ⅱ）记着3件产品中次品数为Y，则Y服从二项分布B（3，），可以计算随机变量Y的期望与方差，又X=10（3-Y）+15Y=5Y+30，根据X，Y的线性关系即可得到X的期望与方差，本题主要考查了正态分布中3σ原则，考查成线性相关的两个随机变量的期望与方差的关系，考查基本分析应用的能力，属于中档题．20.答案：解：（Ⅰ）在圆E的方程中，令y=0，得到：x2=4，所以F1（-2，0），F2（2，0），又因为，所以P点坐标为，所以，则，b=2，因此椭圆的方程为；（Ⅱ）设直线l1：y-=k（x-2）（k＞0），所以点B的坐标为，设A（x A，y A），D（x D，y D），将直线l1代入椭圆方程得：（1+2k2）x2+（4k-8k2）x+8k2-8k-4=0，所以x P x A=，所以x A=，直线l2的方程为y-=-（x-3），所以点D坐标为，所以S△ABD=（4-x A）|y B-y D|=••=2k++2≥2+2，当且仅当2k=，即k=时取等号，综上，△ABD面积的最小值2+2．解析：（Ⅰ）根据题意求得椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）设直线l1的方程，代入涂鸦方程，利用韦达定理求得A的横坐标，求得直线l2方程，求得D 点坐标，利用三角形的面积公式及基本不等式即可求得△ABD面积的最小值．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理及基本不等式的应用，考查转化思想，属于中档题．21.答案：解：（I）函数f（x）=（1+）ln x+a（a∈R，a为常数）．所以f′（x）=-ln x+（1+）=，x∈[l，e]令φ（x）=x-ln x+1，x∈[1，e]，则φ′（x）=1-≥0，φ（x）在[l，e]上单调递增，所以φ（x）≥φ（1）＞0，所以f′（x）＞0，则f（x）在[l，e]上单调递增，所以f（x）的最大值为f（e）=+1+a，f（x）的最小值为f（1）=a；（Ⅱ）（i）当a≥0时，f（x）≥0，g（x）=；g′（x）==；依题意：x∈[l，e]时，g′（x）≤0恒成立，令u（x）=-（1+x+x2）ln x-ax2+x+1，x∈[l，e]，u′（x）=-（1+2x）ln x--（2a+1）x＜0．即u（x）在[l，e]上单调递减，所以u max（x）=u（1）=-a+2≤0，∴a≥2（ii）当+1+a≤0即a≤-时，f（x）≤0，g（x）=-，由（i）可知g′（x）=，又g（x）在[1，e]上单调递减，因为a≤-1-，所以u（x）≥-（1+x+x2）ln x+（1+）x2+x+1＞（x2+x+1）（1-ln x）≥0成立，所以u（x）=-（1+x+x2）ln x-ax2+x+1≥0对x∈[1，e]恒成立，所以g（x）在[l，e]上单调递减；（ⅲ）当f（1）＜0，f（e）＞0，即-＜a＜0时，则存在x0∈（1，e）使得f（x0）=0，从而x=x0时，函数g（x）==0，而g（e）=＞0，所以g（x）在区间[1，e]上不单调递减，综上所述：a∈（∞，-]∪[2，+∞）．解析：（Ⅰ）求函数y=f（x）的导函数利用函数的单调性可求得函数在x∈[1，e]的最大值、最小值；（Ⅱ）若函数g（x）=（e为自然对数的底）在区间[1，e]上单调递减，转换成x∈[l，e]时，g′（x）≤0恒成立，令u（x）=-（1+x+x2）ln x-ax2+x+1，x∈[l，e]，分类讨论求新函数的最值可求实数a的取值范围．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查参数的范围问题，正确求导计算和分类讨论是关键．22.答案：解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为（α为参数）．转换为直角坐标方程为（x-2）2+（y-1）2=4．直线l：ρcosθ-inθ+1=0．转换为直角坐标方程为．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的直角坐标方程转换为参数方程为（t为参数），代入圆的方程（x-2）2+（y-1）2=4，得到，所以，t1•t2=6（t1和t2为A、B对应的参数），所以|MA|+|MB|=．解析：（Ⅰ）直接利用转换关系把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的直线，首先求出直线的参数式，进一步利用直线和曲线的位置关系，利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点；参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．23.答案：解：（Ⅰ）f（x）=|2x-a|+|2x+1|≥|（2x-a）-（2x+1）|=|a+1|，若f（x）≥2恒成立，则|a+1|≥2，解得a≥1或a≤-3，所以实数a的取值范围是a≤-3或a≥1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）的值域为[|a+1|，+∞），又g（x）=|x+1|-|3x-2|=，所以g（x）的值域为（-∞，]；若存在实数x1，x2，使得等式f（x1）=g（x2）成立，则[|a+1|，+∞）∩（-∞，]≠∅，所以|a+1|≤，解得-≤a≤，所以实数a的取值范围是-≤a≤．解析：（Ⅰ）利用绝对值不等式求出f（x）的最小值，把f（x）≥2化为关于a的不等式，求出解集即可；（Ⅱ）分别求出f（x）、g（x）的值域，问题化为两个值域的交集非空时实数a的取值范围即可．本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了转化思想，是中档题．。
江西省南昌市2020届高三上学期摸底数学理试卷Word版含解析
2018届南昌市高三摸底调研考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分.考试时间120分钟. 一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的. 已知复数z 满足(1 i)^2，则复数z 的虚部为 A . 1 B . -1 C . 设集合 A -\x|—2m x m 1, B = lx| y = log 2(x 2 A . [-2,1) 已知 sin v -1, v 3 A . -2 C .一 2 4 1. 2. 3. 4. B . (-1,1] JI (，二)，则 tanv 二 2 B . - 2 D .一辽8 n 为 5. 6. 7. 执行如图所示的程序框图，输出的 A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 工X y -1 _0I 设变量x, y 满足约束条件 x -2y • 2 一 0 , 2x - y - 2 _0A . -2B . 2 已知m , n 为两个非零向量，则“A .充分不必要条件C .充要条件 如图，网格纸上小正方形的边长为 是某多面体的三视图，2A.— 3 i D . - i -2x -3)?，则 Ap|B 二 C . 3 D . m 与n 共线”是“ m n =| m n |"的 B .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件1，粗实线及粗虚线画出的 则该多面体的体积为 4 B. 3 C.2 8 D.- 3 x y = cos- 函数y 二sin( )的图像可以由函数 2 6 A .向右平移一个单位长度得到 3 C .向左平移一个单位长度得到3某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必 的图像经过 2 向右平移空个单位长度得到3 向左平移—个单位长度得到 3 9. 须排在 前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有 A. 120种 B. 156种 C. 188 种 D. 240种 10 .已知占棱锥P - ABC 的所有顶点都在球O 的球面上， ABC 满足 A B = 2 • 2 , A C B 9,0 PA 为球O 的直径且PA 二f ，则点P 到底面ABC 的距离为 A . 2 B . 2 2 C . I 3 D . 2、3 11.已知动直线I 与圆O:x 2 • y 2 =4相交于A, B 两点，且满足| AB |=2，点C 为直线l 上一占八、、：5 uirCA ，若M 是线段AB 的中点，则 2第二象K限内一点，若直线 y = —x 恰为线段PF 2的垂直平分线，则双曲线 C 的离心率为 a A . 2 B . .3 C . 、、5 D . 6 二.填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分.13•高三(2)班现有64名学生，随机编号为0, 1, 2,…，63,依编号顺序平均分成 8组，组号依次为1, 2, 3,…，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为 8的样本，若在第一组中随机抽取的号码为5,则在第6组中抽取的号码为 ____________ .14.二项式(X-?)5的展开式中X 3的系数为 ______________ .X15•已知 ABC 的面积为2.. 3，角代B,C 所对的边长分别为 a,b,c , A ，则a 的最 3小值为 _________ . 「In(x +1) x > 016.已知函数f (x)= 2' '，若不等式I f(x)| -mx • 2 —0恒成立，则实数 m 的 I —x 2+3x,x 兰0取值范围为 __________ .三•解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .第17LI 21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第 22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共 60分.17. (12 分)已知数列｛a n ｝的前n 项和S H =2n 1 -2，记b^a n S n (N*).(1) 求数列｛a n ｝的通项公式； (2) 求数列｛b n ｝的前n 项和T n .uir 且满足CBOC OM 的值为12.已知双曲线2xC : paB . 2、, 32y2 =1(a ■ 0,b ■ 0)的左右焦点分别为 F 「F 2 , P为双曲线C 上 bC. 2微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号•手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK或点赞•现从小明的微信朋友圈内随机选取了40人(男、女各20人)，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下表：(1)若某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为积极型”，否则评定为懈怠型根据题意完成下面的2 2列联表，并据此判断能否有90%的把握认为评定类型”与性别有关？(2)如果从小明这3人，设抽取的女性有X人，求X的分布列及数学期望E(X).2附: K2n ad心(a+b j(c+d [a+c)(b+d )19. (12 分)如图，在四棱锥P-ABCD 中，.ABC =/ACD =90°, BAC =/CAD =60°,PA _平面ABCD , PA =2,AB =1.设M ,N分别为PD, AD的中点.(1)求证：平面CMN //平面PAB ;(2)求二面角N - PC -A的平面角的余弦值.C2 2已知椭圆C :笃•爲=：1(a b 0)的离心率为a b(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设直线I : y = kx • m 与椭圆C 交于M , N 两点，O 为坐标原点，若k OM k ON 求原点O 到直线I 的距离的取值范围21. (12 分)设函数 f(x)=lnx-2mx 2-n(m, n R ). (1) 讨论f (x)的单调性；(2) 若f (x)有最大值-ln 2，求m • n 的最小值•(二)选考题：共10分•请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计 分. 22.［选修4—4:坐标系与参数方程］(10分)l x —3 ' 2cos ■-在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为＜ V(口为参数)，i y = 2 2sin 二直线C 2的方程为y3x ,以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 .3(1) 求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2) 若直线C 2与曲线C 1交于P,Q 两点，求|OP| |OQ |的值•23 .［选修4—5:不等式选讲］(10分) 设函数 f (x) =|2x-3|. (1 )求不等式f(x)・5-|x ・2|的解集；二3，短轴长为22.(2)若g(x)二f (x m) f (x -m)的最小值为4，求实数m的值•20仃-2018学年江西省南昌市高三(上)摸底数学试卷(理科)参考答案与试题解析一•选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分■在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的■1 •已知复数z满足(1+i) z=2,贝U复数z的虚部为( )A. 1B.- 1 C . i Di【考点】A2:复数的基本概念.【专题】34 :方程思想；4R:转化法；5N :数系的扩充和复数.【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出.【解答】解：(1+i) z=2,.z= 2〜加-i)十_ i则复数z的虚部为-1.故选：B.【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.2.设集合A={x| _ 2<x< 1}，丘|尸lo呂2(兴一能-3)}，则A n B=( )A. [ _ 2, 1)B. (_ 1，1]C. [ _ 2，_ 1)D. [ _ 1, 1)【考点】1E:交集及其运算.【专题】11 :计算题；37 :集合思想；40:定义法；5J :集合.【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可.【解答】解：由B可得：x2_ 2x _ 3>0,即(x_ 3) (x+1)> 0，解得x v_ 1 或x > 3,即卩B= (_x,—1)U( 3, +x),•••集合A={x| —2<x< 1}=[ —2, 1]••• A n B=[ —2,_ 1)故选：c.【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.1 TT3 .已知sin 0 二弓，® C 它-、兀），则tan 0 （）A. - 2B. -C. 'D.—4 8【考点】GG:同角三角函数间的基本关系.【专题】35 :转化思想；49 :综合法；56 :三角函数的求值.【分析】根据同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得tan 的值.【解答】解：•••已知siM二寺，与-*兀），二cos 0 = 6 =-笃左，则tan 0 八=-二cos d 4故选：C.【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题.4.执行如图所示的程序框图，输出的门为（）【考点】EF:程序框图.【专题】11 :计算题；28 :操作型；5K :算法和程序框图.【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【解答】解：当n=1时，f (x) =1，满足f (x)=f (- x),不满足f (x) =0有解，故n=2;当n=2 时，f (x) =2x，不满足 f (x) =f (- x)，故n=3;2当n=3 时，f (x) =3x，满足 f (x) =f (- x)，满足 f (x) =0 有解，故输出的n为3，故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.x+y-1^05.设变量x，y满足约束条件x-2y+2>0，则z=3x- 2y的最大值为(C. 3D. 4【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解 决本题的关键.6.已知m ，"为两个非零向量，贝U m 与"共线”是m? =1 m?"l”的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【考点】 7C : 简单线性规划.【专题】 11 :计算题；31 :数形结合；41 :向量法；5T :不等式.【分析】 作出约束条件 \+y-1^0^2y+2>0对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可 得到结论.\+y-l^O【解答】解：作出约束条件x-2y+2>0,对应的平面区域如图： 3 由 z=3x - 2y 得 y=^x - 3 平移直线尸K+y _l =0 i2x-y-2=0此时 Z max =3 X 1 - 0=3,x ，经过点A 时，直线yf的截距最小，此时z 最大.，解得 A (1, 0)，【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断.【专题】40:定义法；5H :空间向量及应用；5L :简易逻辑.【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合向量共线的性质进行判断即可.【解答】解：当-与•-夹角为180°时，满足向量共线，，呻T 耐一耐T 耐T 耐T 呻T但m?n= - | ml ?| n|，| m?n| =| ml ? n，| 此时m?i=| m? \不成立，即充分性不成立，右m?n=| m?n|，贝U m?n=| m| ? n| cos v m，n > =| m || n|| cos v m，n >|，则| cos v m，>| =cos v m，- >，则cos v m，□>》0，即0°wv m，口>w 90°,此时m与n不一定共线，即必要性不成立，则m与•「共线”是吊？「=|爲？「|”的既不充分也不必要条件.故选：D【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量共线的定义是解决本题的关键.7 •如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为(【专题】11 :计算题；5F :空间位置关系与距离；5Q :立体几何.【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥， 画出直观图，代入锥体 体积公式，可得答案.【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥， 其直观图如下图所【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积， 根据已知中的三视图分 析出几何体的形状，是解答的关键.8. 函数y=sin(y-P^)的图象可以由函数 尸c □冷的图象经过( A .向右平移 B. 向右平移,兀C.向左平移 个单位长度得到D - I【考点】L!:由三视图求面积、体积.个单位长度得到 个单位长度得到故选：AD •向左平移亍HJ :函数y=Asin （3X®的图象变换.【点评】本题主要考查函数y=Asin 的图象变换规律，属于基础题.9. 某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求： 节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出 顺序的编排方案共有（ ） A . 120 种 B . 156 种 C . 188 种 D . 240 种 【考点】D8:排列、组合的实际应用.【专题】11 :计算题；32 :分类讨论；35 :转化思想；50 :排列组合.【分析】根据题意，由于节目甲必须排在前三位，对甲的位置分三种情况讨论， 依次分析乙丙的位置以及其他三个节目的安排方法， 由分步计数原理可得每种情况的编排方案数目，由加法原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分 3种情况讨论： ① 、甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有 4个，考虑两者的顺序，有 2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有 A 33=6种安排方法， 则此时有4X 2X 6=48种编排方法； ② 、甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有 3个，考虑两者的顺序，有 2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有 A 33=6种安排方法， 则此时有3X 2X 6=36种编排方法；个单位长度得到【考点】 【专题】 【分析】 【解答】 35 :转化思想；49 :综合法；57 :三角函数的图像与性质. 利用函数y=Asin （^x©）的图象变换规律，得出结论. ）的图象向右平移7 解：把函数. = .u-： ； =sin （得函数y=sin （专-今n+ 2兀个单位长度，可2故选：B .）的图象,③、甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A33=6种安排方法，则此时有3X 2X 6=36种编排方法；则符合题意要求的编排方法有36+36+48=120种；故选：A.【点评】本题考查排列、组合的应用，注意题目限制条件比较多，需要优先分析受到限制的元素.10. 已知三棱锥P- ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ ABC满足AB二2伍，Z ACB-90^ ，PA为球O的直径且PA=4,则点P到底面ABC的距离为（_）_ ——A. -B. 一C. 一D. 一【考点】MK :点、线、面间的距离计算.【专题】11 :计算题；31 :数形结合；44 :数形结合法；5F :空间位置关系与距离. 【分析】推导出球心O是PA的中点，球半径R=OC=#PA二2，过O作OD丄平面ABC，垂足是D，贝U D是AB中点，且AD=BD=CD=「，从而求出OD，点P到底面ABC的距离为d=2OD.【解答】解：•••三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，PA为球O的直径且PA=4，•••球心O是PA的中点，球半径R=OC=*PA二2，过O作OD丄平面ABC，垂足是D，•••△ ABC 满足扭二2徒，，••• D 是AB 中点，且AD=BD=CD= 「，•••OD=二：-二•••点P到底面ABC的距离为d=2OD=2「.故选：B.【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考查球、三棱锥等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题.11 •已知动直线I与圆o：x2+y2=4相交于A，B两点，且满足|AB|=2,点C为直线I 上一点，且满足=--.■'，若M是线段AB的中点，则三、75的值为( ) A. 3 B. 一C. 2 D3【考点】9V:向量在几何中的应用.【专题】11 :计算题；31 :数形结合；44 :数形结合法；5A :平面向量及应用. 【分析】由题意设动直线I为y=J5 (x+2)，表示出B，C的坐标，再根据中点坐标公式以及向量共线定理和向量的数量积即可求出【解答】解：动直线I与圆O: x2+y2=4相交于A，B两点，且满足| AB| =2，则厶OAB为等边三角形，于是可设动直线I为y W5 (x+2)，根据题意可得B (- 2, 0)，A (- 1, 一)，••• M是线段AB的中点，设 c (x，y)，* 5 事•••(- 2-x，- y) = _ (- 1-x，-y)，【点评】本题考查了向量在几何中的应用， 关键构造直线，考查了向量的坐标运 算和向量的数量积，属于中档题12•已知双曲线C ：七齐 1G>O, b>0）的左右焦点分别为Fi , F2, P 为双曲 a b 线C 上第二象限内一点，若直线v 「，恰为线段PF2的垂直平分线，则双曲线 C a 的离心率为（_ ） _ _ A . - B . 一 C .匚 D .—【考点】KC :双曲线的简单性质.【专题】34 :方程思想；48 :分析法；5D :圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设F 2 (C , 0),渐近线方程为y 二“X ,对称点为P (m , n ),运用中点坐a标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1,求出对称点的坐标，代入双曲线 的方程，由离心率公式计算即可得到所求值.（—丄巫)?(—=3,【解答】解：设F2 (c, 0),渐近线方程为y=£x ,对称点为P (m, n),即有丄=—寻，m-c b且' ?n= ?丄2 2 a 5解得m= | T' , n= b ,c c将P C ,仝)，即( ，「汁)，c C C C代入双曲线的方程可得---- °; 匕=1 ,c a c b2化简可得七■- 4=1,即有e2=5 ,a解得e=.故选：C.【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1,以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力, 属于中档题.二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 高三(2)班现有64名学生，随机编号为0 , 1 , 2,…，63 ,依编号顺序平均分成8组，组号依次为1 , 2 , 3,…,8 .现用系统抽样方法抽取一个容量为8 的样本，若在第一组中随机抽取的号码为5,则在第6组中抽取的号码为45 . 【考点】B4：系统抽样方法.【专题】11 :计算题；34 :方程思想；40:定义法；5I :概率与统计.64【分析】先求出分组间隔为… ,再由在第一组中随机抽取的号码为5，能求出在第6组中抽取的号码.【解答】解：高三（2）班现有64名学生，随机编号为0, 1, 2,…，63, 依编号顺序平均分成8组，组号依次为1, 2, 3， (8)分组间隔为,•••在第一组中随机抽取的号码为5,•••在第6组中抽取的号码为：5+5X 8=45.故答案为：45.【点评】本题考查样本号码的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意系统抽样的性质的合理运用.14. ，：…•的展开式中含X3的系数为 -10 .（用数字填写答案）x ------------【考点】DB:二项式系数的性质.【专题】38 :对应思想；40:定义法；5P :二项式定理.【分析】利用二项式展开式的通项公式，求出展开式中含x3的系数.【解答】解：V二；：展开式的通项公式为x―二瑞尸（子）匚霭（/严，令 5 -2r=3,解得r=1,所以展开式中含x3的系数为Q （-2）1 二-10.故答案为：-10.【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式与应用问题，是基础题.15.已知△ ABC的面积为_,角A, B, C所对的边长分别为a, b, c, , 则a的最小值为2 —.【考点】HP:正弦定理.【专题】11 :计算题；56 :三角函数的求值；58 :解三角形.【分析】利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入，利用基本不等式求出 a 的最小值即可.【解答】解：由三角形面积公式得：S^bcsinA= ' bc=2 [，即bc=8,根据余弦定理得：a=b2+c2- 2bccosA=b2+c2- bc> 2bc- bc=bc=8,则a>2「，即a的最小值为2「,故答案为：2 ~ .【点评】此题考查了余弦定理，特殊角的三角函数值，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.16.已知函数f(x)=^，若不等式|f (x) | - mx+2> 0恒成立，则实数m的取值范围为_ —. • ° .【考点】R4:绝对值三角不等式.【专题】11 :计算题；31 :数形结合；4G :演绎法；5T :不等式.【分析】将原问题转化为两个函数图象之间的关系的问题，然后数形结合即可求得最终结果.【解答】解：不等式即：mx w|f (x)|+2恒成立，绘制函数|f (x) |+2的图象，则正比例函数y=mx恒在函数|f (x) |+2的图象下方，考查函数：y=x2-3x+2经过坐标原点的切线，易求得切线的斜率为> - -，据此可得：实数m的取值范围为】•..・°故答案为：.-[-1 ' -【点评】本题考查了分段函数的应用，数形结合的数学思想等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题.三•解答题：共70分■解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤■第仃〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. （12分）已知数列｛an｝的前n项和I」」…丄，记b n=a n S n （n€ N*）. （1）求数列｛a n｝的通项公式；（2）求数列｛b n｝的前n项和T n.【考点】8E:数列的求和；8H :数列递推式.【专题】34 :方程思想；4R:转化法；54 :等差数列与等比数列.【分析】（1）利用数列递推关系即可得出.（2）禾U用等比数列的求和公式即可得出.【解答】解：（1）：当n=1时，引二Ei二戈⑷-2二2 ；当n>2 时，1又•••「；£ :?,：..」.…（6 分）（2）由（1）知，〔.•；*——"二「…: i 一.…(12 分)1-4 1-2 3 3【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.18. (12分)微信已成为人们常用的社交软件，微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.手机用户可以通过关注微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK或点赞.现从小明的微信朋友圈内随机选取了40人(男、女各20人)，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如表：A 7 ：■■■：I ■：■ ■■■ I ■：■. -. ■ ■ ■■ I I ■■■ - .：：■ ：■：：：'(1)若某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为积极型”否则评定为懈怠型”根据题意完成下面的2X2列联表，并据此判断能否有90%的把握认为评定类型”与性别”有关？(2)如果从小明这40位好友内该天走路步数超过10000步的人中随机抽取3 人，设抽取的女性有X人，求X的分布列及数学期望E (X).【考点】BO :独立性检验的应用；CH :离散型随机变量的期望与方差. 【专题】38 :对应思想；4A :数学模型法；51 :概率与统计.【分析】（1）根据题意填写2X 2列联表，由表中数据计算观测值，对照临界值 即可得出结论；（2）根据题意，抽取的女性人数 X 服从超几何分布， 计算X 的概率值，写出X 的分布列，计算数学期望值.【解答】解：（1）根据题意完成2X 2列联表如下：由表中数据计算•••没有90%的把握认为 评定类型”与 性别”有关；…（6分）（2）由（1）知，从小明这40位好友内该天走路步数超过10000步的人中男性 6人，女性2人，现从中抽取3人，抽取的女性人数X 服从超几何分布，X 的所有可能取值为0, 1, 2；E 56厂］厂2 W — AP （X=2）=^—^18••• X 的分布列如下:20 30 6 数学期望为■ .■- :::::.【点评】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问20_56且.丄.P （X=1）=5S 30，…（9 分）题，是中档题.19. (12 分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，/ ABC= /ACD=90，/ BAC= /CAD=60 , PA丄平面ABCD , PA=2, AB=1 .设M , N 分别为PD, AD 的中点.(1)求证：平面CMN //平面PAB;【考点】L@ :组合几何体的面积、体积问题；LU :平面与平面平行的判定；MT :二面角的平面角及求法.【专题】11 :计算题；31 :数形结合；49 :综合法；5F :空间位置关系与距离；5G :空间角.【分析】（1）证明MN // PA.推出MN //平面PAB.证明CN // AB .即可证明CN //平面PAB.然后证明平面CMN //平面PAB.（2）以点A为原点，AC为x轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，求出平面PCN 的法向量，平面PAC的法向量，利用空间向量的数量积求解面角N-PC —A的平面角的余弦值.【解答】解：（1）证明：：M , N分别为PD, AD的中点，…（12分）贝U MN // PA.又T MN?平面PAB, PA?平面PAB,••• MN //平面PAB.在Rt A ACD 中，/ CAD=60 , CN=AN ,•••/ ACN=60 .又•••/ BAC=60，二CN // AB .T CN?平面PAB, AB?平面PAB,A CN //平面PAB.…（4 分）又••• CN A MN=N，二平面CMN //平面PAB.…（6 分）（2）T PA丄平面ABCD，二平面PAC丄平面ACD ,又••• DC 丄AC ,平面PAC n 平面ACD=AC ，二DC 丄平面PAC ,设n = (x , y , z )是平面PCN 的法向量，贝U j 又平面PAC 的法向量为CD=C0, 2血，0),由图可知，二面角N - PC - A 的平面角为锐角，•••二面角N - PC - A 的平面角的余弦值为£「••••( 12分)【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用， 平面与平面平行的判定定 理的应用，二面角的平面角的求法，考查计算能力，以及空间想象能力.2 z 厂分1 (a>b>0)的离心率为弓, b < (1)求椭圆C 的标准方程;（2）设直线I ：y=kx+m 与椭圆C 交于M,N 两点，0为坐标原点，若k 0H -k 0N =|,求A 为原点，AC 为x 轴, AP 为z 轴建立空间直角坐标系, 0）T C （2, CL 0）, P （0, 0. 2）, D （2,陌 0）, N （l, V5，0）,V3i 0),屁二(1,岳_2）,n-H=0—* ---- * ?ln-PN=0 _我3尸° x+^/3y _2z =O,可取二心匕:-- —i M ________ =_ 2忑=街 j 打=_「_ = L， 20. (12分)已知椭圆- 短轴长为2.如图，以点原点0到直线I的距离的取值范围.【考点】K4:椭圆的简单性质.【专题】15 :综合题；34 :方程思想；4P:设而不求法；5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】（1）由已知求得b,再由椭圆离心率及隐含条件求得a,则椭圆方程可求；（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0 求得m2v4k2+1，再由比诚叱帥今，可得，从而求得k的范围，再由点到直线的距离公式求出原点0到直线I的距离，贝U取值范围可求.【解答】解：（1）设焦距为2c，由已知「——，2b=2，A b=1，a 2又a2=1+c2，解得a=2，2 “•••椭圆C的标准方程为—I-- | ；(2)设M (x i，y i)，N (X2，y2)，y=kx4-jn联立*/ 9得(4k2+1) x2+8kmx+4m2—4=0，依题意，△ = (8km) 2—4 (4k2+1) (4m2—4)> 0，化简得m2v4k2+1，①8km，」4k'+l 4k^+l2 ■->…I ，一I 二一■ ./■ 1/ _ - .1 - j.-:二二'、 1.1 ，5 71^2 5若k oM*k oN=7，则，即令必二女风，2 2I ，: :. : I 1..・，•••（4k「5）•如工计业时（一）+加2二。
江西省南昌市2020届高三第二轮复习测试卷理科数学(三) PDF版含解析
需求量 m （件）的频率 P(m) 分布如下表所示：
需求量 m 17 18
19
20
21
22
23
24
25
26
频率 P(m) 0.12 0.18 0.23 0.13 0.10 0.08 0.05 0.04 0.04 0.03
A.1或 1
B. 15
3.抛物线 y 2x2 的通径长为
C. 15
D. 3 或 3
1
A. 4
B. 2
C.1
D.
2
4.为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据
四个实验室得到的列联表画出如图四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形
是
5.我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如上图，将 1，2，…，9 填入 3 3 的 方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于 15.一般地，将连续的正整数
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
-0.5
0.5
-2.0
-3.0
得到的回归方程为 y bx a ，则
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A. a 0 ， b 0 B. a 0 ， b 0
C. a 0 ， b 0
D. a 0 ， b 0
7.设an 是任意等比数列，它的前 n 项和，前 2n 项和与前 3n 项和分别为 Sn , S2n , S3n ，则下列等
据此可得： A 0,
3, 0
2020年江西省九江市高考数学三模试卷(理科)(含答案解析)
2020年江西省九江市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数的虚部为A. B. C. D.2.若集合，则A. B.C. D.3.若数列为等比数列，则“，是方程的两根”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.抛物线上一点到其准线的距离为A. B. C. D.5.若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则ab的最大值为A. B. C. D.6.如图是九江市2019年4月至2020年3月每月最低气温与最高气温的折线统计图：已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数，则下列结论错误的是A. 每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关B. 月温差月最高气温月最低气温的最大值出现在10月C. 月的月温差相对于月，波动性更大D. 每月最高气温与最低气温的平均值在前6个月逐月增加7.2019年11月26日，联合国教科文组织宣布3月14日为“国际数学日”昵称：，2020年3月14日是第一个“国际数学日”圆周率是圆的周长与直径的比值，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数．有许多奇妙性质，如莱布尼兹恒等式，即为正奇数倒数正负交错相加等．小红设计了如图所示的程序框图，要求输出的T值与非常近似，则、中分别填入的可以是A. ，B. ，C. ，D. ，8.在一个不透明的盒子中装有4个大小、形状、手感完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，现每次有放回地从中任意取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止．小明用随机模拟的方法估计恰好在第4次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数，每1组中有4个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下21组随机数：由此可以估计恰好在第4次停止摸球的概率为A. B. C. D.9.函数的图象大致是A. B.C. D.10.设双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线分别交双曲线左、右两支于点P，Q，点M为线段PQ的中点，若P，Q，都在以M为圆心的圆上，且，则双曲线C的离心率为A. B. C. D.11.如图所示，三棱锥S一ABC中，与都是边长为1的正三角形，二面角的大小为，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为A. B. C. D.12.已知函数，若不等式恰有两个整数解，则m的个数为A. 6B. 7C. 8D. 9二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，若与共线，则实数x的值为______．14.若二项式的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为______．15.设等差数列满足：，公差，其前n项和为若数列也是等差数列，则的最小值为______．16.在棱长为1的正方体中，点M，N分别是棱，的中点，过A，M ，N三点作正方体的截面，将截面多边形向平面作投影，则投影图形的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.在中，三内角A，B，C满足．Ⅰ判断的形状；Ⅱ若点D在线段AC上，且，，求tan A的值．18.已知正；边长为3，点M，N分别是AB，AC边上的点，，如图1所示．将沿MN折起到的位置，使线段PC长为，连接PB，如图2所示．Ⅰ求证：平面平面BCNM；Ⅱ若点D在线段BC上，且，求二面角的余弦值．19.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：的离心率为，A为椭圆E上位于第一象限上的点，B为椭圆E的上顶点，直线AB与x轴相交于点C，，的面积为6．Ⅰ求椭圆E的标准方程；Ⅱ设直线l过椭圆E的右焦点，且与椭圆E相交于M，N两点N在直线OA的同侧，若，求直线l的方程20.已知函数，存在极小值点，．Ⅰ求a的取值范围；Ⅱ设m，，且，求证：．21.为筛查在人群中传染的某种病毒，现有两种检测方法：抗体检测法：每个个体独立检测，每一次检测成本为80元，每个个体收取检测费为100元．核酸检测法：先合并个体，其操作方法是：当个体不超过10个时，把所有个体合并在一起进行检测．当个体超过10个时，每10个个体为一组进行检测．若该组检测结果为阴性正常，则只需检测一次；若该组检测结果为阳性不正常，则需再对每个个体按核酸检测法重新独立检测，共需检测次为该组个体数，，每一次检测成本为160元．假设在接受检测的个体中，每个个体的检测结果是阳性还是阴性相互独立，且每个个体是阳性结果的概率均为．Ⅰ现有100个个体采取抗体检测法，求其中恰有一个检测出为阳性的概率；Ⅱ因大多数人群筛查出现阳性的概率很低，且政府就核酸检测法给子检测机构一定的补贴，故检测机构推出组团选择核酸检测优惠政策如下：无论是检测一次还是次，每组所有个体共收费700元少于10个个体的组收费金额不变已知某企业现有员工107人，准备进行全员检测，拟准备9000元检测费，由于时间和设备条件的限制，采用核酸检测法合并个体的组数不得高于参加采用抗体检测法人数，请设计一个合理的的检测安排方案；Ⅲ设，现有且个个体，若出于成本考虑，仅采用一种检测方法，试问检测机构应采用哪种检测方法？22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ写出曲线C的普通方程和极坐标方程；Ⅱ，N为曲线上两点，若，求的最小值．23.定义区间的长度为，已知不等式的解集区间长度为1．Ⅰ求m的值；Ⅱ若a，，，，求的最小值及此时a，b的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：，复数的虚部为．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：C解析：解：集合，，，．故选：C．求出集合A和B，由此能求出．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：A解析：解：数列为等比数列，“，是方程的两根”，，“”；反之，满足“”的一元二次方程有无数个，“，是方程的两根”是“”的充分不必要条件．故选：A．“，是方程的两根”“”；反之，满足“”的一元二次方程有无数个．本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：B解析：解：抛物线上一点，可得：，解得；抛物线，即，准线方程为：．抛物线上一点到其准线的距离为：．故选：B．求出a，然后利用抛物线的定义转化求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5.答案：B解析：解：由直线与直线互相垂直，所以，即；又a、b为正实数，所以，即，当且仅当，时取“”；所以ab的最大值为．故选：B．由两直线垂直求出，再利用基本不等式求出ab的最大值．本题主要考查了两条直线垂直的定义与性质应用问题，也考查了利用基本不等式求最值问题，是基础题．6.答案：D解析：解：每月最低气温与最高气温的线性相关系数，可知每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关，由所给的折线图可以看出月温差月最高气温月最低气温的最大值出现在10月，月的月温差相对于月，波动性更大，每月的最高气温与最低气温的平均值在前5个月逐月增加，第六个月开始减少，所以ABC正确，D 错误；故选：D．由所给的折线图，可以进行分析得到ABC正确，D错误．本题主要考查变量间的相关关系，折线图的分析，属于基础题．7.答案：D解析：解：依题意，输出的．由题意可知循环变量i的初值为1，终值为2010，步长值为1，循环共执行2010次，可得中填入的可以是，又S的值为正奇数倒数正负交错相加，可得中填入的可以是，故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.答案：A解析：解：在21组随机数中，代表“恰好在第4次停止摸球”的随机数是：1234，1224，3124，1224，4312，2234，共6组，恰好在第4次停止摸球的概率．故选：A．在21组随机数中，利用列举法求出代表“恰好在第4次停止摸球”的随机数共6组，由此能估计恰好在第4次停止摸球的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：B解析：解：函数为偶函数，当时，由常见不等式可知，，函数在上单调递增，又由指数函数增长性可知，选项B符合题意．故选：B．易知函数为偶函数，且当时，单调递增，结合指数函数的图象及性质即可得解．本题考查函数图象的运用，考查数形结合思想，属于基础题．10.答案：C解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．判断，则，说明三角形是等腰直角三角形，设，利用双曲线的定义求出，在中，结合勾股定理推出，即可求解双曲线C的离心率．【解答】解：以PQ为直径的圆经过点，则，又，可知，则，故三角形是等腰直角三角形，设，则，由双曲线的定义可知：，，可得，则，即，则，在中，，，由勾股定理可知，则双曲线C的离心率为：．故选：C．11.答案：A解析：解：取线段BC的中点D，连结AD，SD，由题意得，，是二面角的平面角，，由题意得平面ADS，分别取AD，SD的三等分点E，F，在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，两条直线的交点即球心O，连结OA，则球O半径，由题意知，，，，连结OD，在中，，，，球O的表面积为．故选：A．取线段BC的中点D，连结AD，SD，由题意得，，是二面角的平面角，，由题意得平面ADS，分别取AD，SD的三等分点E，F，在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，两条直线的交点即球心O，连结OA，则球O半径，由此能求出球O的表面积．本题考查球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.答案：B解析：解：的图象如图：由题意可得，当时，不等式，可得；所以，此时或；时，函数的零点为．当时，不等式，可得，时，，当，，，，，时，不等式恰有两个整数解，整数解为：，和，综上，，，，，，0，共有7个值．故选：B．画出函数的图象，利用x的范围，讨论m值，得到选项．本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查数形结合以及计算能力，是中档题．13.答案：解析：解：，，，，解得．故答案为：．利用向量的坐标运算和向量共线定理即可得出．本题考查了向量的坐标运算和向量共线定理，属于基础题．14.答案：54解析：解：令，有，解得，所以展开式通项为：，令得，．故常数项为：．故答案为：54．先利用赋值法求出n的值，然后利用展开式通项求常数项．本题考查二项式展开式的通项，以及利用通项研究系数的问题．属于基础题．15.答案：3解析：解：由题意可得：，即，公差，解得．．．．数列是等差数列，则，当且仅当时取等号，的最小值为3．故答案为：3．由题意可得：，即，公差，解得可得代入变形利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了等差数列的求和公式及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：解析：解：直线MN分别与直线，交于E，F两点，连接AE，AF，分别与棱，交于G，H两点，连接GN，MH，得到截面五边形AGNMH，向平面作投影，得到五边形，由点M，N分别是棱，的中点，可得，由∽，可得，同理，则，，则，故答案为：．由图象可得投影为五边形，利用三角形相似性质得到，，进而求得，，则可得本题考查正方体截面投影面积的求法，考查数形结合思想，属于中档题．17.答案：解：Ⅰ，，，，，，即，即，，，可得，可得的形状为等腰三角形；Ⅱ设，，，在中，由正弦定理可得，即，在中，由正弦定理可得，即，即，，，，，，，．解析：Ⅰ由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得，结合范围，可得，即可判断的形状为等腰三角形；Ⅱ设，，，在，中，由正弦定理可得，利用三角函数恒等变换的应用可求，结合，可求tan A的值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.答案：解：Ⅰ证明：依题意，在中，，，，由余弦定理及勾股得，，即，在图中，，，，，，，平面BCNM，平面PMN，平面平面BCNM．Ⅱ解：以N为坐标原点，NM为x轴，NC为y轴，NP为z轴，建立空间直角坐标系，则0，，0，，，2，，0，，，2，，，设平面MPD的一个法向量y，，则，取，得1，，设平面PDC的法向量b，，则，取，得，设二面角的平面角为，由图知是钝角，．二面角的余弦值为．解析：Ⅰ推导出，即，，从而平面BCNM，由此能证明平面平面BCNM．Ⅱ以N为坐标原点，NM为x轴，NC为y轴，NP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：Ⅰ因为，可得，，由，可得为BC的中点，所以，即，所以，即，，，所以椭圆的方程为；Ⅱ由Ⅰ可得，右焦点为，因为，所以，所以，又，直线AM，AN的斜率互为相反数，设直线AM：，联立椭圆方程，消去y，可得，设，，则，所以，将k换为，同理可得，，，，所以直线l的方程为，即．解析：Ⅰ运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，结合三角形的面积公式和线段的中点坐标公式，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；Ⅱ求得A的坐标和右焦点坐标，运用等腰三角形的性质，可得线AM，AN的斜率互为相反数，设直线AM：，联立椭圆方程，运用韦达定理，求得，同理可得，再由直线的斜率公式，化简整理，即可得到k，进而得到所求直线方程．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和斜率公式，考查方程思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．20.答案：解：，，当时，恒成立，在上单调递减，不合题意；当时，由可得，可得，故函数在上单调递减，在上单调递增，故，由，即，可得，故a的范围，，不妨设，因为，所以，，又，故，令，，则，故在上单调递增，，即，即，故．解析：先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论，然后结合单调性及极值的关系可求a，先代入整理可得，结合结果特点构造函数，结合导数进行证明．本题主要考查了函数与单调性，极值的关系的应用及利用导数证明不等式，还考查了学生的逻辑推理与运算的能力．21.答案：解：Ⅰ现有100个个体采取抗体检测法，其中恰有一个检测出为阳性的概率为：．Ⅱ设安排x个个体采用抗体检测法，y组个体采用核酸检测法，则由条件知：，x，，总检测费用为．画出可行域如图：由，解得，则在可行域内临近A点的整点有，，此时，，即安排17人采取抗体检测法，90人采用核酸检测法，或者安排10人采取抗体检测法，97人采用核酸检测法，可使所有员工参加检测，且费用偏低．Ⅲ设采用抗体检测法，检测机构成本期望为EX，采用核酸检测，检测机构成本期望为EY，由已知得，设采用核酸检测法检测次数为，则的取值只有1和，且，，，，设，则，即，，，，即，设，，则，由，得，，得，在上单调递减，在上单调递增，又，，，当，时，，当时，采用抗体检测法，当，时，采用核酸检测法．解析：Ⅰ利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式能求出其中恰有一个检测出为阳性的概率．Ⅱ设安排x个个体采用抗体检测法，y组个体采用核酸检测法，则由条件知：，x，，总检测费用为利用线性规划能求出安排17人采取抗体检测法，90人采用核酸检测法，或者安排10人采取抗体检测法，97人采用核酸检测法，可使所有员工参加检测，且费用偏低．Ⅲ设采用抗体检测法，检测机构成本期望为EX，采用核酸检测，检测机构成本期望为EY，由已知得，求出，设，推导出，从而，设，，则，由此能求出当时，采用抗体检测法，当，时，采用核酸检测法．本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式、线性规划、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.答案：解：Ⅰ曲线C的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为，整理得．根据，转换为极坐标方程为．Ⅱ，N为曲线上两点，设对应的极径为，，所以，．所以，由于，解得，所以，即，故，当且仅当时，等号成立．故，即．解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用三角函数关系式的恒等变换和基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型23.答案：解：Ⅰ由，得，，，，由原不等式的解集区间长度为1得原不等式的解集为，则，即．Ⅱ由Ⅰ知，又，，，，，，即，，即．当且仅当，即时等号成立，取得最小值1．解析：Ⅰ由已知得，，再脱绝对值解不等式，利用区间长度为1解m．Ⅱ把化简变形利用和基本不等式可求解．本题考查了基本不等式的应用及多项式的化简，属于中档题．。
江西省南昌市2020届高三第三次模拟考试数学理试题版含答案
NCS20160607项目第三次模拟测试卷数 学（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分． 考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答．若在试题卷上作答，答案无效．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3}A =，{3,4,5}B =，则UAB =A ．{3}B ．{1,2,4,5}C ．{1,2}D ．{1,3,5} 2．复数i+25（ i 是虚数单位）的共轭复数．．．．是 A ．i -2 B ．i +2 C ．i +-2 D ．i --23．函数()f x =的定义域为 A.(0,1) B. (1,)+∞ C. (0,)+∞ D. (0,1)(1,)+∞4．0<x 是0)1ln(<+x 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5．设函数()f x 是周期为6的偶函数，且当[0,3]x ∈时()3f x x =，则(2015)f = A ．6B ．3C ．0D ．6-6．设函数()ln(3f x x =+，若()10f a =，则()f a -= A ．13B ．7-C ．7D ．4-CBAOE12,j i S S j i=+=+⨯开始结束1,0i S ==2i i =+i 输出50101S >是否7．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的 是某零件的三视图，则该几何体的体积是 A ．5 B ．5.5 C ．6 D ．4 8．若动圆的圆心在抛物线2112y x =上，且与直线y ＋3＝0相切， 则此圆恒过定点A. (0,2) B ．(0，－3) C. (0,3) D ．(0,6) 9．从1,2,3,4,5,6中任取三个数，则这三个数构成一个等差数列的概率为 A.310 B. 37 C. 710 D. 3510．阅读如右程序框图，运行相应程序，则程序运行后输出的结果i = Ａ．97 B. 99 C. 100 D. 10111. 已知双曲线：22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2c , 直线3()y x c =+与双曲线的一个交点M满足12212MF F MF F ∠=∠, 则双曲线的离心率为A 2B 3C ．2D 3112. 已知正△ABC 三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是A ．74π B.2πC. 94π D.3π第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上．13．已知{}n a 为等差数列，公差为1，且5a 是3a 与11a 的等比中项，n S 是{}n a 的前n 项和，则12S 的值为 .14．已知点A （1，2），点P （,x y ）满足1030330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩， O 为坐标原点，则Z OA OP=•的最大值为 .15．对大于或等于2的自然数的3次方可以做如下分解：5323+=，119733++=，1917151343+++=，……，根据上述规律，310的分解式中，最大的数是 ．16．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是1F ，2F ，若21212(04)F F AF BF λλ=⋅<<，则离心率e 的取值范围是____________ ．三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分） 已知ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且3a b c +=，22sin 3sin sin .C A B = （Ⅰ）求C ∠；（Ⅱ）若3ABC S ∆=，求c .18．（本小题满分12分） 某单位有200人，其中100人经常参加体育锻炼,其余人员视为不参加体育锻炼. 在一次体检中，分别对经常参加体育锻炼的人员与不参加体育锻炼的人员进行检查．按照身体健康与非 健康 非健康 总计经常参加体育锻炼不参加体育锻炼100 总计200已知p 是(1+2)x 展开式中的第三项系数，q 是(1+2)x 展开式中的第四项的二项式系数．（Ⅰ）求p 与q 的值；（Ⅱ）请完成上面的2×2列联表，并判断若按99%的可靠性要求，能否认为“身体健康与经常参加体育锻炼有关”． 19．（本小题满分12分）如图，矩形ABCD 中，(1)ABADλλ=>，将其沿AC 翻折，使点D 到达点E 的位置，且二面角C AB E --为直二面角. （Ⅰ）求证：平面ACE ⊥平面BCE ； （Ⅱ）设F 是BE 的中点，二面角E AC F --的平面角的大小为θ，当[2,3]λ∈时，求cos θ的取值范围. 20．（本小题满分13分）已知两点(0,1)A -，(0,1)B ，(,)P x y 是曲线C 上一动点，直线,PA PB 斜率的平方差为1. （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）1122(,),(,)E x y F x y 是曲线C 上不同的两点，(2,3)Q 是线段EF 的中点，线段EF 的垂直平分线交曲线C 于,G H 两点，问,,,E F G H 是否共圆？若共圆，求圆的标准方程；若不共圆，说明理由. 21．（本小题满分14分） 已知函数()1(cos ),xf x ea x a R -=-+∈（Ⅰ）若函数()f x 存在单调减区间，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若0a =，证明：1[1,]2x ∀∈-，总有(1)2()cos(1)0f x f x x '--++>。
江西省南昌市2020届高三第三次模拟考试理科数学试题附答案
江西省南昌市2020届高三第三次模拟考试理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知()1i z i +=为虚数单位)，则在复平面内，复数z 的共轭复数z 对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合{A x =|||1},{1,0,}(0)x a B b b -==>，若A B ，则对应的实数(),a b 有A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对3．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分(10分制)的频数分布表如下设得分的中位数e m ，众数0m ，平均数x ，下列关系正确的是A ．0e m m x ==B ．0e m m x =<C ．0e m m x <<D ．0e m m x <<4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．3πB ．9πC ．12π．36π5．在ABC ∆中，D 为线段AB 上一点，且BD=3AD ，若,CD CA CB λμ=+u u u r u u u r u u u r 则λμ= A. 13 B ．3 C. 14D ．4 6．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为,,,1,c b a b c a b a c+=++则下列说法不一定成立的是 A ．△ABC 可能为正三角形 B ．角A ，B ，C 为等差数列C ．角B 可能小于3π D ．角B+C 为定值 7．已知函数()()2sin 0f x x ωω=>的最小正周期为π，若将其图像沿x 轴向右平移m(m>0)个单位，所得图像关于3x π=对称，则实数m 的最小值为 A.4πB ．3π C.34πD ．π 8．函数()s ,0(1co f x x x x x x ππ⎛⎫=--≤≠ ⎪⎝⎭且）…的图象可能为9．甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制(不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束)．根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1．则甲以3：1取得胜利的概率为A ．0.162B ．0.18C ．0.168D ．0.17410．已知双曲线C:()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在C 的右支上， 1MF 与y 轴交于点2,A MAF ∆的内切圆与边2AF 切于点B ，若12||4||,F F AB =则C 的渐近线方程是A 0y ±=B ．0x ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=11．将正整数20分解成两个正整数的乘积有1×20,210,45⨯⨯=种，其中4×5是这三种分解中两数差的绝对值最小的．我们称4×5为20的最佳分解.当(),N p q p q q p +≤⨯∈且是正整数n 的最佳分解时，定义函数(),f n q p =-则数列(){}()N 3nf n +∈的前100项和100S 为A ．5031+B ．5031-C ．50312-D ．50312+ 12．已知函数()()|2|4ln 1,()x f x e g x -=+=2,0,2,0a x x a x x +-≥⎧⎨--<⎩若存在a [](),1,Z n n n ∈+∈使得方程()()f x g x =有四个不同的实根，则n 的最大值是。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】采用列举法列举出AB 中元素的即可.【详解】由题意，A B 中的元素满足8y xx y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故AB 中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 2.复数113i-的虚部是（ ） A. 310-B. 110-C. 110D. 310【答案】D【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出z 即可. 【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）A. 14230.1,0.4p p p p ====B. 14230.4,0.1p p p p ====C. 14230.2,0.3p p p p ====D. 14230.3,0.2p p p p ====【答案】B 【解析】 【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组. 【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=， 方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.因此，B 选项这一组的标准差最大. 故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63C. 66D. 69【答案】C 【解析】 【分析】将t t *=代入函数()()0.23531t KI t e--=+结合()0.95I t K *=求得t*即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t KI t K e**--==+，则()0.235319t e *-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5.设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（ ） A. （14，0） B. （12，0） C. （1，0） D. （2，0）【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4COx COx π∠=∠=，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,C D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx COx π∠=∠=，所以(2,2)C ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.6.已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b （ ）A. 3135-B. 1935-C.1735D.1935【答案】D 【解析】【分析】计算出()a ab ⋅+、a b +的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值.【详解】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 7.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A.19B. 13C. 12D.23【答案】A【解析】 【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，即可求得答案.【详解】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB =由22299161cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积. 【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△根据勾股定理可得：AB AD DB ===∴ADB △是边长为的等边三角形根据三角形面积公式可得：211sin 6022ADB S AB AD =⋅⋅︒==△∴该几何体的表面积是：632=⨯++.故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题. 9.已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ） A. –2B. –1C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案. 【详解】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=. 故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题. 10.若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A. y =2x +1 B. y =2x +12C. y =12x +1 D. y =12x +12【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线l在曲线y =上的切点为(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x -=-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.11.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.【详解】5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.12.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A. a <b <c B. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，结合5458<可得出45b <，由13log 8c =，得138c =，结合45138<，可得出45c >，综合可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】由题意可知a、b、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <； 由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >. 综上所述，a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查对数式大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，则z =3x +2y 的最大值为_________． 【答案】7 【解析】 【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决. 【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，则z 越大， 平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ， 所以max 31227z =⨯+⨯= 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14.262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240 【解析】 【分析】写出622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项式展开通项，即可求得常数项. 【详解】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 其二项式展开通项：()62612rrr r C xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭= 1226(2)r r r r x C x --⋅=⋅ 1236(2)r r r C x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=.故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()na b +的展开通项公式1C rn rr r n T ab -+=，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，的其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点， 设内切圆的圆心为O ，由于AM ==，故122S =⨯⨯=△ABC， 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOCS S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ()13322r =⨯++⨯= 解得：22r，其体积：343V r π==.. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 16.关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③【解析】 【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-<<可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-⋅+.【解析】 【分析】（1）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可； （2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+， 证明如下：当1n =时，13a =成立； 假设n k =时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立. 则对任意的*n N ∈，都有21n a n =+成立； （2）由（1）可知，2(21)2nnn a n ⋅=+⋅231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，① 23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，②由①-②得：()23162222(21)2n n n S n +-=+⨯+++-+⋅ ()21121262(21)212n n n -+-=+⨯-+⋅⨯-1(12)22n n +=-⋅-，即1(21)22n n S n +=-⋅+. 【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率； （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，再结合临界值表可得结论.【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=（3）22⨯列联表如下：()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,EF 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】 【分析】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A --的余弦值，进而可求得二面角1A EF A --的正弦值. 【详解】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG =，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，在长方体1111ABCD A B C D -中，//AD BC 且AD BC =，11//BB CC 且11BB CC =，112C G CG =，12BF FB =，112233CG CC BB BF ∴===且CG BF =，所以，四边形BCGF 为平行四边形，则//AF DG 且AF DG =， 同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG ∴且1C E DG =，1//C E AF ∴且1C E AF =，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz -，则()2,1,3A 、()12,1,0A 、()2,0,2E 、()0,1,1F ，()0,1,1AE =--，()2,0,2AF =--，()10,1,2A E =-，()12,0,1A F =-，设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =，由0m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11110220y z x z --=⎧⎨--=⎩取11z =-，得111x y ==，则()1,1,1m =-，设平面1A EF 的法向量为()222,,n x y z =，由1100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，取22z =，得21x =，24y =，则()1,4,2n =，3cos ,3m n m n m n⋅<>===⨯⋅， 设二面角1A EFA --的平面角为θ，则cos θ=，sin θ∴==因此，二面角1A EF A --. 【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y +=；（2）52. 【解析】 【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m +=<<，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案； （2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积. 【详解】（1）222:1(05)25x y C mm +=<<∴5a =，bm =，根据离心率c e a ====， 解得54m =或54m =-(舍)， ∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥， 过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”， 可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=， ∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y+=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时， 故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△， ∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)， 画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ的距离为：d =， 根据两点间距离公式可得：AQ ==，∴APQ面积为：1522⨯=；②当P 点(3,1)-时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△， ∴||||8MB NQ ==，为可得：Q点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A-,(6,8)Q，可求得直线AQ的直线方程为：811400x y-+=，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为：d=，根据两点间距离公式可得：AQ ==∴APQ面积为：1522=，综上所述，APQ面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21.设函数3()f x x bx c=++，曲线()y f x=在点(12，f(12))处的切线与y轴垂直．（1）求b．（2）若()f x有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x所有零点的绝对值都不大于1．【答案】（1）34b=-；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得到'1()02f=，解方程即可；（2）由（1）可得'2311()32()()422f x x x x=-=+-，易知()f x在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c-=--=+=-=+，采用反证法，推出矛盾即可.【详解】（1）因为'2()3f x x b=+，由题意，'1()02f=，即21302b⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭则34b=-；（2）由（1）可得33()4f x x x c=-+，'2311()33()()422f x x x x=-=+-，令'()0f x>，得12x>或21x<-；令'()0f x<，得1122x-<<，所以()f x在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c-=--=+=-=+，若()f x所有零点中存在一个绝对值大于1的零点x，则(1)0f->或(1)0f<，即14c>或14c<-.当14c>时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c-=->-=+>=->=+>，又32(4)6434(116)0f c c c c c c-=-++=-<，由零点存在性定理知()f x在(4,1)c--上存在唯一一个零点x，即()f x在(,1)-∞-上存在唯一一个零点，在(1,)-+∞上不存在零点，此时()f x不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c<-时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c-=-<-=+<=-<=+<，又32(4)6434(116)0f c c c c c c-=++=->，由零点存在性定理知()f x在(1,4)c-上存在唯一一个零点x'，即()f x (1,)+∞上存在唯一一个零点，在(,1)-∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点． （1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程． 【答案】（1）（2）3cos sin 120ρθρθ-+=【解析】 【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值； （2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A .令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -AB ∴==（2）由（1）可知12030(4)ABk -==--， 则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bcbc+++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明. 【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=， ()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. ,,a b c 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=.当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4a b c .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.在祝福语祝你考试成功!。
2019-2020学年江西省九江市高考数学三模试卷(理科)(有答案)
江西省九江市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x＜1}，N={x|2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|x＜0} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}2．复数﹣在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，E，F分别为AB，BC的中点，则=（）A．9 B．﹣9 C．7 D．﹣74．已知直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，则直线l的方程为（）A．x+2y+5=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+3=05．设Sn 是等差数列{an}的前n项和，若S672=2，S1344=12，则S2016=（）A．22 B．26 C．30 D．346．设x1=18，x2=19，x3=20，x4=21，x5=22，将这五个数据依次输入如图所示的程序框进行计算，则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S=2，即5个数据的方差为2B．S=2，即5个数据的标准差为2C．S=10，即5个数据的方差为10D．S=10，即5个数据的标准差为107．如图所示，有一条长度为1的线段MN，其端点M，N在边长为3的正方形ABCD的四边上滑动，当点N绕着正方形的四边滑动一周时，MN的中点P所形成轨迹的长度为（）A．B．8+π C．D．12+π）满足f（n）=，则f（1）=（）8．已知函数f（n）（n∈N+A．97 B．98 C．99 D．1009．高中数学联赛期间，某宾馆随机安排A、B、C、D、E五名男生入住3个标间（每个标间至多住2人），则A、B入住同一标间的概率为（）A．B．C．D．10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则此多面体的体积等于（）A．B．16 C．D．3211．若函数f（x）=cosx+axsinx，x∈（﹣，）存在零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，0）12．如图所示，已知椭圆C： =1（a＞b＞0），⊙O：x2+y2=b2，点A、F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是⊙O上的动点，且为定值，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若二项展开式的第三项系数为80，则实数a=_______．14．若函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数y=f（2x）•ln（2x+1）的定义域为_______．15．已知数列{a n }各项均不为0，其前n 项和为S n ，且a 1=1，2S n =a n a n+1，则S n =_______．16．如图所示，半径为1的球内切于正三棱锥P ﹣ABC 中，则此正三棱锥体积的最小值为_______．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在△ABC 中，三边a ，b ，c 所对应的角分别是A ，B ，C ，已知a ，b ，c 成等比数列． （1）若+=，求角B 的值；（2）若△ABC 外接圆的面积为4π，求△ABC 面积的取值范围．18．某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据（x 1，y 1）（i=1，2，…6）如表所示： 试销价格x （元） 4 5 6 7 a 9 产品销量y （件） b8483 807568已知变量x ，y 具有线性负相关关系，且x i =39，y i =480，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其归直线方程分别为：甲y=4x+54；乙y=﹣4x+106；丙y=﹣4.2x+105，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的．（1）试判断谁的计算结果正确？并求出a ，b 的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据“，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据“的个数ξ的分布列和数学期望．19．如图所示，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠ABC=60°，PA=PC ，PB=PD=AB ． （1）求证：平面PAC ⊥平面ABCD ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．20．如图所示，已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，过点F 垂直于x 轴的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线及直线AB 所围成的三角形面积为4． （1）求抛物线C 的方程；（2）设M ，N 是抛物线C 上异于原点O 的两个动点，且满足k OM •k ON =k OA •k OB ，求△OMN 面积的取值范围．21．已知函数f （x ）=x 2+ax ﹣lnx ，g （x ）=e x （a ∈R ）．（1）是否存在a 及过原点的直线l ，使得直线l 与曲线y=f （x ），y=g （x ）均相切？若存在，求a 的值及直线l 的方程；若不存在，请说明理由； （2）若函数F （x ）=在区间（0，1]上是单调函数，求a 的取值范围．四.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，直线AB 为圆O 的切线，切点为B ，点C 在圆O 上，∠ABC 的平分线BE 交圆O 于点E ，DB 垂直BE 交圆O 于点D ． （1）证明：DB=DC ； （2）设圆O 的半径为1，BC=，延长CE 交AB 于点F ，求线段BF 的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数，α∈（0，）），以原点O为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ． （1）若直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点M ，求点M 的直角坐标；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点横坐标为，求直线l的普通方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|x+1|．（1）求不等式|f（x）|＜1的解集；（2）若不等式|a|f（x）≥|f（a）|对任意a∈R恒成立，求实数x的取值范围．江西省九江市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x＜1}，N={x|2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|x＜0} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}【考点】交集及其运算．【分析】利用指数函数的单调性求出集合N中的解集；利用交集的定义求出M∩N．【解答】解：N={x|2x＞1}={x|x＞0}∵M={x|x＜1}，∴M∩N={X|0＜X＜1}故选D2．复数﹣在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】化简复数为：a+bi的形式，求出对应点的坐标即可．【解答】解：．对应点的坐标（）在第三象限．故选：C．3．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，E，F分别为AB，BC的中点，则=（）A．9 B．﹣9 C．7 D．﹣7【考点】平面向量数量积的运算．【分析】结合向量的加法与减法法则把表示出来，并根据向量的数量积运算法则计算即可．【解答】解：，故选：D．4．已知直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，则直线l的方程为（）A．x+2y+5=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+3=0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆C 的圆心C （1，2），设直线l 的方程为y=k （x ﹣1）+2，由坐标原点到直线l 的距离为，求出直线的斜率，由此能求出直线l 的方程．【解答】解：圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y=0的圆心C （1，2），∵直线l 经过圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l 的距离为，∴当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x=1，此时坐标原点到直线l 的距离为1，不成立； 当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程为y=k （x ﹣1）+2， 且=，解得k=﹣，∴直线l 的方程为y=﹣（x ﹣1）+2，即x+2y ﹣5=0． 故选：C ．5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 672=2，S 1344=12，则S 2016=（ ） A ．22 B ．26 C ．30 D ．34 【考点】等差数列的前n 项和．【分析】由等差数列的性质得S 672，S 1344﹣S 672，S 2016﹣S 1344成等差数列，由此能求出S 2016． 【解答】解：∵S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 672=2，S 1344=12， 由等差数列的性质得S 672，S 1344﹣S 672，S 2016﹣S 1344成等差数列， 得到：2×10=2+S 2016﹣12， 解得S 2016=30． 故选：C ．6．设x 1=18，x 2=19，x 3=20，x 4=21，x 5=22，将这五个数据依次输入如图所示的程序框进行计算，则输出的S 值及其统计意义分别是（ ）A ．S=2，即5个数据的方差为2B ．S=2，即5个数据的标准差为2C ．S=10，即5个数据的方差为10D ．S=10，即5个数据的标准差为10【考点】程序框图．【分析】算法的功能是求S=++…+的值，根据条件确定跳出循环的i 值，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=++…+的值，∵跳出循环的i值为5，∴输出S=×[（18﹣20）2+（19﹣20）2+（20﹣20）2+（21﹣20）2+（22﹣20）2]=×（4+1+0+1+4）=2．故选：A．7．如图所示，有一条长度为1的线段MN，其端点M，N在边长为3的正方形ABCD的四边上滑动，当点N绕着正方形的四边滑动一周时，MN的中点P所形成轨迹的长度为（）A．B．8+π C．D．12+π【考点】轨迹方程．【分析】根据题意判断出轨迹是四个角处的四个直角扇形与正方形的四条边上的四条线段组成，然后根据圆的周长公式进行计算即可求解．【解答】解：由题意，轨迹为四条线段加四个四分之一的圆．如图，四个角上的图形合起来刚好是一个半径为0.5的圆，周长为：2π×0.5=π，再加上四个边上滑动为四个等长的线段，长度均为2，合起来就是：2×4+π=8+π．故选：B．8．已知函数f（n）（n∈N）满足f（n）=，则f（1）=（）+A．97 B．98 C．99 D．100【考点】函数的值．【分析】由已知条件，利用分段函数的性质推导出f（96）=f[f=97，由此能求出f（1）的值．【解答】解：∵函数f（n）（n∈N）满足f（n）=，+∴f=f[f=98，f（98）=f[f=97，f（97）=f[f=98，f（96）=f[f=97，依此类推，得f（99）=f（97）=…=f（1）=98．故选：B．9．高中数学联赛期间，某宾馆随机安排A、B、C、D、E五名男生入住3个标间（每个标间至多住2人），则A、B入住同一标间的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出A、B入住同一标间包含的基本事件个数，由此能求出A、B入住同一标间的概率．【解答】解：某宾馆随机安排A、B、C、D、E五名男生入住3个标间，共有种情形，A、B入住同一标间有种情形，∴A、B入住同一标间的概率为．故选：B．10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则此多面体的体积等于（）A．B．16 C．D．32【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该多面体的直观图为直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1截去一个三棱锥A ﹣A 1B 1C 1，即四棱锥A ﹣BB 1C 1C ，即可得出．【解答】解：如图所示，该多面体的直观图为直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1截去一个三棱锥A ﹣A 1B 1C 1， 即四棱锥A ﹣BB 1C 1C ， ∴．故选：C ．11．若函数f （x ）=cosx+axsinx ，x ∈（﹣，）存在零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，0）【考点】函数零点的判定定理． 【分析】确定函数是偶函数，a ＜0，f （x ）在上只有一个零点，即可得出结论．【解答】解：∵f （﹣x ）=cos （﹣x ）﹣axsin （﹣x ）=cosx+axsinx=f （x ）， ∴函数是偶函数，当a ≥0时，恒成立，函数无零点，当a ＜0时，，∴函数f （x ）在上单调递减，∵，∴f （x ）在上只有一个零点，由f （x ）是偶函数可知，函数恰有两个零点．故选：D ．12．如图所示，已知椭圆C ：=1（a ＞b ＞0），⊙O ：x 2+y 2=b 2，点A 、F 分别是椭圆C 的左顶点和左焦点，点P 是⊙O 上的动点，且为定值，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】椭圆的简单性质． 【分析】设P （x 1，y 1），由是常数，得，然后利用，转化为关于x 1 的方程，由系数相等可得a ，c 的关系式，从而求得椭圆C 的离心率． 【解答】解：设F （﹣c ，0），c 2=a 2﹣b 2， 设P （x 1，y 1），要使得是常数，则有，λ是常数，∵，∴，比较两边系数得b 2a 2=λ（b 2+c 2），a=λc， 故c （b 2+a 2）=a （b 2+c 2），即2ca 2﹣c 3=a 3， 即e 3﹣2e+1=0，即（e ﹣1）（e 2+e ﹣1）=0， 又0＜e ＜1， ∴．故选：D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．若二项展开式的第三项系数为80，则实数a=2．【考点】二项式定理的应用．【分析】由条件利用二项展开式的通项公式，求得实数a 的值． 【解答】解：由题意可得二项展开式的第三项系数为，∴10a 3=80，解得a=2， 故答案为：2．14．若函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则函数y=f （2x ）•ln（2x+1）的定义域为．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，可得f （2x ）的定义域为满足﹣2≤2x ≤2的x 的取值集合，再与2x+1＞0的解集取交集即可得到函数y=f （2x ）•ln（2x+1）的定义域． 【解答】解：要使原函数有意义，则，解得．∴函数y=f （2x ）•ln（2x+1）的定义域为．故答案为：．15．已知数列{a n }各项均不为0，其前n 项和为S n ，且a 1=1，2S n =a n a n+1，则S n =．【考点】数列递推式．【分析】利用递推关系、等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出． 【解答】解：当n=1时，2S 1=a 1a 2，即2a 1=a 1a 2，∴a 2=2．当n ≥2时，2S n =a n a n+1，2S n ﹣1=a n ﹣1a n ，两式相减得2a n =a n （a n+1﹣a n ﹣1）， ∵a n ≠0，∴a n+1﹣a n ﹣1=2，∴{a 2k ﹣1}，{a 2k }都是公差为2的等差数列，又a 1=1，a 2=2， ∴{a n }是公差为1的等差数列， ∴a n =1+（n ﹣1）×1=n ， ∴S n =．故答案为：．16．如图所示，半径为1的球内切于正三棱锥P ﹣ABC 中，则此正三棱锥体积的最小值为8．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设棱锥底面边长为a，高为h，作过棱锥的高和斜高的截面，根据三角形相似得出a，h的关系，代入棱锥的体积公式，利用导数求出体积的最小值．【解答】解：设正三棱锥P﹣ABC的底面边长AB=a，高为PO=h．设内切球球心为M，与平面PAC的切点为N，D为AC的中点，则MN⊥PD．DO==．MN=1，PM=h﹣1，∴PN===．∵Rt△PMN∽Rt△PDO，∴，即，∴a=．∴，，令V'=0得h=4，故当h=4时，．故答案为8．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知a，b，c成等比数列．（1）若+=，求角B的值；（2）若△ABC外接圆的面积为4π，求△ABC面积的取值范围．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由切化弦、两角和的正弦公式化简式子，由等比中项的性质、正弦定理列出方程，即可求出sinB，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出B；（2）由余弦定理和不等式求出cosB的范围，由余弦函数的性质求出B的范围，由正弦定理和三角形的面积公式表示出△ABC面积，利用B的范围和正弦函数的性质求出△ABC面积的范围．【解答】解：（1）由题意得，，∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，○由正弦定理有sin2B=sinAsinC，∵A+C=π﹣B，∴sin（A+C）=sinB，得，即，由b2=ac知，b不是最大边，∴．（2）∵△ABC外接圆的面积为4π，∴△ABC的外接圆的半径R=2，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得，又b2=ac，∴，当且仅当a=c时取等号，∵B为△ABC的内角，∴，由正弦定理，得b=4sinB，∴△ABC的面积，∵，∴，∴．18．某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据（x1，y1）（i=1，2，…6）如表所示：试销价格x（元） 4 5 6 7 a 9 产品销量y（件） b 84 83 80 75 68已知变量x，y具有线性负相关关系，且xi =39， yi=480，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其归直线方程分别为：甲y=4x+54；乙y=﹣4x+106；丙y=﹣4.2x+105，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的．（1）试判断谁的计算结果正确？并求出a，b的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据“，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据“的个数ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）xi =39， yi=480，x的和为39，y的和为480，解得a和b的值，并求得，，由x，y具有线性负相关关系，甲同学的不对，将，，代入验证，乙同学的正确；（2）分别求出有回归方程求得y值，与实际的y相比较，判断是否为“理想数据“，并求得ξ的取值，分别求得其概率，写出分布列和数学期望．【解答】解：（1）已知变量x，y具有线性负相关关系，故甲不对，且xi=39，4+5+6+7+a+9=39，a=8，y=480，b+84+83+80+75+68=480，b=90，i∵=6.5，=80，将，，代入两个回归方程，验证乙同学正确，故回归方程为：y=﹣4x+106；（2）X 4 5 6 7 8 9y 90 84 83 80 75 68y 92 88 84 80 76 72“理想数据“的个数ξ取值为：0，1，2，3；P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．“理想数据“的个数ξ的分布列：X 0 1 2 3P =数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×=1.5．19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA=PC，PB=PD=AB．（1）求证：平面PAC⊥平面ABCD；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）设AC与BD相交于点O，连接PO，根据三线合一得出PO⊥AC，PO⊥BD，故而PO⊥平面ABCD，得出平面PAC⊥平面ABCD；（2）以O为原点，以OB，OD，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，设AB=2，求出和平面PCD的法向量，则|cos＜＞|即为所求．【解答】（1）证明：设AC与BD相交于点O，连接PO，∵ABCD为菱形，∴O为AC，BD的中点．∵PA=PC，PB=PD，∴PO⊥AC，PO⊥BD．又AC∩BD=O，AC，BD⊂平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，又PO⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD．（2）解：∵ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴△ABC为正三角形，AC⊥BD，不妨设PB=PD=AB=2，则BO=，∴PO=1．以O为原点，以OB，OD，OP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，∴P（0，0，1），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0）．∴=（，0，﹣1），=（0，1，﹣1），=（﹣，0，﹣1）．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，即．令x=1得=（1，﹣，﹣）．∴cos＜＞===．∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．20．如图所示，已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，过点F 垂直于x 轴的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线及直线AB 所围成的三角形面积为4． （1）求抛物线C 的方程；（2）设M ，N 是抛物线C 上异于原点O 的两个动点，且满足k OM •k ON =k OA •k OB ，求△OMN 面积的取值范围．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求出A ，B 坐标，利用导数解出切线方程，求出切线与x 轴的交点，利用三角形的面积列方程解出p ；（2）计算k OA •k OB =﹣4，设出MN 方程，求出MN 与x 轴的交点，联立方程组，根据根与系数的关系计算|y M ﹣y N |，得出△OMN 面积S 关于t 的函数，解出函数的最值． 【解答】解：（1）抛物线的焦点坐标为F （，0），∴，由，得，∴抛物线C 在A 处的切线斜率为1，由抛物线C 的对称性，知抛物线C 在B 处的切线卸斜率为﹣1， ∴抛物线过A 点的切线方程为y ﹣p=x ﹣，令y=0得x=﹣． ∴，解得p=2．∴抛物线C 的方程为y 2=4x ．（2）k OA =2，k OB =﹣2，∴k OA •k OB =﹣4，设，则，∴y 1y 2=﹣4．令直线MN 的方程为x=ty+n ， 联立方程组消去x 得：y 2﹣4ty ﹣4n=0，则y 1y 2=﹣4n ，y 1+y 2=4t ，∵y 1y 2=﹣4，∴n=1．即直线MN 过点（1，0）． ∴．∵t 2≥0，∴S △OMN ≥2．综上所示，△OMN 面积的取值范围是[2，+∞）．21．已知函数f （x ）=x 2+ax ﹣lnx ，g （x ）=e x （a ∈R ）．（1）是否存在a 及过原点的直线l ，使得直线l 与曲线y=f （x ），y=g （x ）均相切？若存在，求a 的值及直线l 的方程；若不存在，请说明理由； （2）若函数F （x ）=在区间（0，1]上是单调函数，求a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f （x ），g （x ）的导数，设出切点，求得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程，即可判断存在a=e ﹣1及l ：y=ex ； （2）求出F （x ）的解析式和导数，令，求出导数，判断单调性，再对a 讨论，分a ≤2，a ＞2，判断h （x ）的单调性，进而得到F （x ）的单调性，即可得到所求范围． 【解答】解：（1）g （x ）的导数为g'（x ）=e x ， 设曲线y=g （x ）在点处切线过原点，则切线方程为，由点在切线上，可得，解得x 1=1，即有切线方程为y=ex ，设直线y=ex 与曲线y=f （x ）切于点（x 2，y 2）， 由f （x ）的导数为，可得，即有，又，则，可得，解得x 2=1，a=e ﹣1．故存在a=e ﹣1及l ：y=ex ，使得直线l 与曲线y=f （x ），y=g （x ）均相切． （2），，令，则，易知h'（x ）在（0，1]上单调递减，从而h'（x ）≥h'（1）=2﹣a ．①当2﹣a ≥0时，即a ≤2时，h'（x ）≥0，h （x ）在区间（0，1]上单调递增， 由h （1）=0，可得h （x ）≤0在（0，1]上恒成立， 即F'（x ）≤0在（0，1]上恒成立．即F （x ）在区间（0，1]上单调递减，则a ≤2满足题意；②当2﹣a ＜0时，即a ＞2时，由h'（1）=2﹣a ＜0，当x ＞0且x→0时，h'（x ）→+∞， 故函数h'（x ）存在唯一零点x 0∈（0，1]，且h （x ）在（0，x 0）上单调递增， 在（x 0，1）上单调递减，又h （1）=0，可得F （x ）在（x 0，1）上单调递增．注意到h （e ﹣a ）＜0，e ﹣a ∈（0，x 0），即有F （x ）在（0，e ﹣a ）上单调递减， 这与F （x ）在区间（0，1]上是单调函数矛盾，则a ＞2不合题意． 综合①②得，a 的取值范围是（﹣∞，2]．四.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，直线AB 为圆O 的切线，切点为B ，点C 在圆O 上，∠ABC 的平分线BE 交圆O 于点E ，DB 垂直BE 交圆O 于点D ． （1）证明：DB=DC ； （2）设圆O 的半径为1，BC=，延长CE 交AB 于点F ，求线段BF 的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（2）由（1）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到线段BF的长【解答】（1）证明：连接DE交BC于点G，由弦切角定理得，∠ABE=∠BCE．∵∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DE⊥BE，∴DE是直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（2）解：设DE与BC相交于点G，由（1）知，∠CDE=∠BDE，DB=DC，故DG是BC的中垂线．∵，∴．连接BO，∵圆O的半径为1，∴∠BOG=60°，∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°，∴CF⊥BF．，∴．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，α∈（0，）），以原点O 为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）若直线l与曲线C有且仅有一个公共点M，求点M的直角坐标；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点横坐标为，求直线l的普通方程．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得C 的直角坐标方程．把直线l的参数方程代入上式并整理得t2﹣6tcosα+5=0．令△=0，解出即可得出点M的直角坐标．（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=6cosα．利用中点坐标公式即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得C的直角坐标方程为：x2﹣4x+y2=0，即（x﹣2）2+y2=4．把直线l的参数方程代入上式并整理得t2﹣6tcosα+5=0．令△=（6cosα）2﹣20=0，解得．∴点M的直角坐标为．（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=6cosα．线段AB的中点对应的参数为．则，解得．∴直线l的普通方程为x﹣y+1=0．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|x+1|．（1）求不等式|f（x）|＜1的解集；（2）若不等式|a|f（x）≥|f（a）|对任意a∈R恒成立，求实数x的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值的几何意义，求不等式|f（x）|＜1的解集；（2）若不等式|a|f（x）≥|f（a）|对任意a∈R恒成立，分类讨论，转化为|f（x）|≥2，求实数x的取值范围．【解答】解：（1）x＜﹣1时，f（x）=﹣x+1+x+1=2＜1，不成立；﹣1≤x≤1时，f（x）=﹣x+1﹣x﹣1=﹣2x，|﹣2x|＜1，∴﹣＜x＜；x＞1时，f（x）=x﹣1﹣x﹣1=﹣2，|f（x）|＞1，不成立，综上所述不等式|f（x）|＜1的解集为{x|﹣＜x＜}；（2）a=0时，不等式成立，a≠0时，|f（x）|≥||1﹣|﹣|1+||∵||1﹣|﹣|1+||＜2，∴|f（x）|≥2，x＜﹣1时，f（x）=﹣x+1+x+1=2，成立；﹣1≤x≤1时，f（x）=﹣x+1﹣x﹣1=﹣2x，|﹣2x|≥2，∴x=±1；x＞1时，f（x）=x﹣1﹣x﹣1=﹣2，|f（x）|=2，成立，综上所述实数x的取值范围为{x|x≤﹣1或x≥1}．。
江西省南昌市2020届高三下学期三模(理科)数学试卷(答案)
— 高三理科数学（模拟三）答案第1页—NCS20200707项目第三次模拟测试卷理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分． 13．5 14．p m n 15．1316．29π2三．解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．【解析】（Ⅰ）令1n ，112222p p a a a .且1122pn p n n a a ， 与已知条件相除得22p n na a ，故2422(2)p p a a ， 而1241,,2a a a 成等差数列，则422a a ， 即 2(2)22p p ，解得22p ，即 1.p（Ⅱ）若{}n a 是等比数列，则由120,0a a ，知此数列首项和公比均为正数.设其公比为q ，则22pq ，故2212222p pa p a ，此时12,22nn a q a ，故2112n n n a a ，而12122pn n ，因此2p 时，{}n a 为等比数列，其前n 项和12(12)2 2.12n n n S18．【解析】（Ⅰ）取1BB 中点O ，连接1,,AB OA OC ，菱形中o160ABB ，故三角形1ABB 是等边三角形，则1AO BB ，1,3BO AO ， 又11//BB CC ，1AC CC ，所以1AC BB ， 又1AO BB ，AO AC A ，故1BB 平面AOC ， 所以1BB CO ，在中Rt BOC 中，1CO ，所以222CO AO AC ，故CO AO ， 又1AO BB ，所以AO 平面11BB C C ，又AO 平面11ABB A 所以平面11ABB A 平面11BB C C ；— 高三理科数学（模拟三）答案第2页—（Ⅱ）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,1)C ，1,0),(0,1,1),BA BC设平面ABC 的法向量为(,,)m x y z ，由m BA m BC，得00m BA m BC即00y y z，令x 3,3y z ，所以m ，设1BB 上的单位向量为(0,1,0)n，则1BB 与平面ABC 的夹角正弦值sin cos ,7m n m n m n.19．【解析】（Ⅰ）甲解密成功所需时间的中位数是47.0.0150.014550.03450.04(4745)0.5a ，解得0.026a ； 0.0150.01550.03250.04(5047)0.5b ，解得0.024b ； 甲在1分钟内解密成功的频率10.01520.9f .（Ⅱ）①由题意及（1）可知第一个出场的选手解密成功的概率10.9P ;第二个出场的选手解密成功的概率2910.910.911010P ；第三个出场的选手解密成功的概率23910.9(20.9291010P ；所以该团队挑战成功的概率0.90.10.910.10.090.9290.999361P . ②由①可知i P 按从小到大的顺序的概率分别为1P ，2P ，3P ，有题意X 的可能取值为1,2,3； 则(1)0.9P X ,(2)(10.9)0.910.091P X ,(3)(10.9)(10.91)0.009P X ,()10.9E X.20．【解析】（Ⅰ）设点M 的坐标为(,)x y,116A N k ,226A N k , 则1122,A N A N 的直线方程分别为：6y x m①，6y xn ②， 由①②得6m6n ，则22211666y mn x，— 高三理科数学（模拟三）答案第3页—则221(0)62x y y ； （Ⅱ）证明：设过R 的直线方程为:3l x ty ， 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，11(,)N x y ,联立方程223162x ty x y得22(3)630t y ty ，则12263t y y t ，12233y y t ， RP RQ即1122(3,)(3,)x y x y ，所以123(3)x x ，12y y ， 11(2,)x NF y ,22(2,)x y FQ ，要证NF FQ，即证122(2)x x ，亦即1111121222222312()0231x x ty y ty y y y x x ty y ③， 将12263t y y t ，12233y y t 代入③中得2266033t tt t， 所以NF FQ得证.21．【解析】（Ⅰ）2(1)()(1)(0).a a x af x a x x x x①当1a 时，()0f x ，()f x 在(0,) 单调递增；②当01a时，()f x，所以()f x在上单调递增，在) 上单调递减；③当0a 时，()0f x ，()f x 在(0,) 单调递减；（Ⅱ）当1a 时，2()ln 1f x x x ，不妨设120x x ，则12211212()()x f x x f x mx x x x 等价于212121()()()f x f x m x x x x ，考察函数()()f x g x x ，得22ln 2()x x g x x ，令22ln 2()x x h x x ，则352ln ()xh x x， 则52(0,e )x 时，()0h x ；52(e ,)x 时，()0h x ，所以()h x 在52(0,e )单调递增，在52(e ,) 单调递减，故5251()(e )102eh x h ， 即(0,)x 时()0g x ，()g x 在(0,) 单调递减，— 高三理科数学（模拟三）答案第4页—从而12()()g x g x ，即1212()()f x f x x x ，故122112()()()f x f x m x x x x ， 所以121212()()f x f x mx mx x x ，即1122()()g x mx g x mx 恒成立，设()()x g x mx ，则()x 在在(0,) 单调递减，从而()()0x g x m 恒成立，故52(e )0 ，即5112e m. 22．【解析】（Ⅰ）设极点(,) 旋转之后极点为(',') ，故''π3即'3π' 代入曲线:4cos C ，得曲线':'4co πs(')3C 即曲线':4co πs()3C ，（Ⅱ）如图，两圆相交于点,O A ．连接,,,',',OA AC OC OC AC 显然四边形'OC AC 为菱形，故π23OCA ，所以重叠部分面积为：'''822()π3OC A OC A OC A S S S S 弓形扇形.23．【解析】（Ⅰ）若2k ，不等式()5f x 可化为2|||1|5x x . 当0x 时，2(1)5x x ，即43x403x ； 当01x 时，2(1)5x x ，即4x 01x ； 当1x 时，2(1)5x x ，即2x 12x .故不等式的解集为4[,2]3.（Ⅱ）由题：关于x 的不等式()|1||22|f x x x 在1[,2]2x 恒成立，即|||1||22||1|k x x x x 在1[,2]2x 恒成立，|1||1|||x x k x 在1[,2]2x 恒成立，|1||1||11|2||||x x x x x x ，等号在1,1x x 同号时等号成立，所以，所求实数k 的范围是(,2] .。