北师大版初中九年级数学上册《一元二次方程》课件
合集下载
北师大版九年级上册2.6应用一元二次方程(1)课件(共22张PPT)
x +(21−x) =15 ， 解:设乔治得到x元，则少的一笔钱为(20−x)元.
2 S△ABC= ×AC⋅BC= ×26×8=24，2
面积的一半，由题意得： 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．
解得x =9,x =12. 解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
2
2
EF AB BF AB BE 300 2x
三、典例分析
(3)求相遇时补给船航行了多少海里？
解：设运动x秒时,它们相距15cm,则CP=xcm,CQ=(21−x)cm，依题意有
解： AB BC, AB / / DF , 解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
北 如图，某海军基地位于A处，其正南方向200海里处有一个重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C.
四、随堂练习
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90∘，AC=8cm，BC=6cm.点P，Q同时从A，B 两点出发，分别沿AC，BC向终点C移动，它们的速度都是1cm/s，且当其 中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使
△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?
解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使
△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?
即： 1×(8−x)×(6−x)= 1 ×24，
2
2
x2−14x+24=0，
(x−2)(x−12)=0，
x1=12(舍去),x2=2. 答：点P，Q出发2秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.
二、探究新知
2 S△ABC= ×AC⋅BC= ×26×8=24，2
面积的一半，由题意得： 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．
解得x =9,x =12. 解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
2
2
EF AB BF AB BE 300 2x
三、典例分析
(3)求相遇时补给船航行了多少海里？
解：设运动x秒时,它们相距15cm,则CP=xcm,CQ=(21−x)cm，依题意有
解： AB BC, AB / / DF , 解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
北 如图，某海军基地位于A处，其正南方向200海里处有一个重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C.
四、随堂练习
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90∘，AC=8cm，BC=6cm.点P，Q同时从A，B 两点出发，分别沿AC，BC向终点C移动，它们的速度都是1cm/s，且当其 中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使
△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?
解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使
△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?
即： 1×(8−x)×(6−x)= 1 ×24，
2
2
x2−14x+24=0，
(x−2)(x−12)=0，
x1=12(舍去),x2=2. 答：点P，Q出发2秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.
二、探究新知
北师大版九年级数学上册 (认识一元二次方程)一元二次方程教育教学课件
归纳总结
一元二次方程的概念
方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数 的最高次数是2的方程叫做一元二次方程．
一元二次方程的一般形式
ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为常数，a≠0)
ax2是二次项， bx是一次项， c是常数项．
a是二次项的系数， b是一次项系数，
应用举例
例1 下列方程哪些是一元二次方程？为什么？
解：由于圆的半径为x cm，则它的面积 为 3x2 cm2. 根据题意有， 200150 3x2 200150 3
4
整理，得 x2 2500 0 ①
150 cm
200 cm
(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万 辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均 增长率 x 应满足的方程.
2x2-13x+11=0 x2 -8x-20=0 x2＋12x－15＝0
只含有1个 未知数
未知数的最 高次数是2
都是整式方 程
新知讲解
一元二次方程的定义：
只含有一个未知数x，并且可以化成ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0) 的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式：
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0) 特征：方程的左边按x的降幂排列，右边＝0
课堂练习
1.关于x的方程(a－1)x2＋3x－2＝0是一元二次方程的条件是( )C A．a≠0 B．a＝1 C．a≠1 D．a为任意实数
2.如果方程(m－3)xm2－7－x＋3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值 为( C) A．±3 B．3 C．－3 D．以上都不对
课堂练习 3．关于x的方程(a－1)x2＋3x＝0是一元二次方程，则a的取值范围是___a_≠_1___．
北师大版九年级上册数学：一元二次方程的概念(公开课课件)
解：由勾股定理可知， 滑动前梯子底端距墙
数学化 1m
m. 6
如果设梯子底端滑动
8m 7m
x m，那么滑动后梯子
底端距墙 x＋6 m；
6m xm
根据题意，可得方程： 72＋(x＋6)2＝102
你能化简这个方程吗？
☞ 想一想
观察下面等式：
你能行吗
10２＋11２＋12２＝13２＋14２
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平
(8-2x)(５-２x)=18； x2+（x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+４)2 （ x＋６)2＋７2＝102
即 4x2 － 26x ＋ 22 = 0 . 即 x2 － 8x － 20＝0. 即 x2 ＋12 x －15 ＝0.
上述三个方程有什么共同特点？
上面的方程都是只含有 一个未知数x 的 整式方程，并且都可
2.1 认识一元二次方程
东源县黄村中学 邹晓莉
复习检测
1、什么是方程？什么是一元一次方程？ 2、什么是“元”？什么是“次”？ 3、指出下面方程分别是什么方程？
(1)3x+4=1 (2)6x-5y=7 (3) 4 5 0
3x
(4)x2-70x+825=0
探究1： 问题1 ☞
花边有多宽
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的 长为８m，宽为５m．如果地毯中央长方形图案的面 积为１８m2 ，则花边有多宽？
方和等于后两个数的平方和吗？
一 般
化
如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依
次可表示为： x＋1 ， x＋2 ， x＋3 ， x＋4 ．
根据题意，可得方程：
北师大版九年级数学上册《认识一元二次方程》第2课时示范公开课教学课件
①先列表确定整数部分，当2＜x＜3时，-1＜ x2 -2x -1＜2，则正数根在2到3之间；
②再列表确定十分位部分，当2.4＜x＜2.5时，-0.04＜ x2 -2x -1＜0.25，则正数根在2.4到2.5之间；
③最后确定百分位部分，当x=2.45时， x2 -2x -1的值是否大于0，若大于0，则正数根在2.4到2.45之间；若小于0，则正数根在2.45到2.50之间.再根据精确到0.1，四舍五入取值即可.
x
0
0.5
1
1.5
2
x2 + 12x - 15-15-8.75
-2
5.25
13
下面是小亮的求解过程：
可知x取值的大致范围是:1<x<1.5.
x
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
x2 + 12x - 15
-0.59
0.84
2.29
3.76
-2
所以1.1＜x＜1.2，因此x整数部分是1，十分位部分是1．
你的结果是怎样的？
一元二次方程 (x+1)2 - x = 3(x2-2) 化成一般形式是 __________________.
3. 近似数 2.36 ≈ _______(精确到0.1).
解
2x2–x -7 = 0
2.4
问题1：下面哪些数是方程 x2 – 2x – 8 = 0 的解? -4，-3，-2，-1，0，1，2，3 ，4
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x2 – 2x – 8
16
-8
7
0
-5
-8
北师大版九年级数学上册《用配方法求解一元二次方程》第2课时示范公开课教学课件
解: 设共有猴子 x 只．根据题意得方程
解得 x1＝16，x2＝48．所以，共有猴 16 只或 48 只．
整理，得
用配方法求解一元二次方程
通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法叫做配方法.
将方程转化为（x + m）2 = n (n≥0)的形式，再利用平方根的意义开平方，直接求根.
①化 ②配 ③移 ④开 ⑤解
移项，得
配方，得
两边开平方，得
即
所以
1.解下列方程
(3) 4x2 -8x -3 =0；
解：两边同时除以 4，得
配方，得
两边开平方，得
即
所以
移项，得
2.印度古算书中有这样一首诗：“一群猴子分两队， 高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽叽喳喳，伶俐活泼又调皮.告我总数有多少，两队猴子在一起？”你能解决这个问题吗？
分析：
3x2+8x-3=0
两边同除以3
移项
两边开平方
解一元一次方程
配方
例2 解方程 3x2 + 8x - 3 = 0 .
想一想，可以先配方再移项吗？
解：方程两边都除以 3，得
移项，得
配方，得
两边开平方，得
所以
即
分析：
3x2+8x-3=0
两边同除以3
配方
两边开平方
解一元一次方程
解：根据题意得 15t-5t2 = 10.方程两边都除以 -5，得 t2 -3t = -2.配方，得即 两边开平方，得
所以
请分别描述一下，当t = 1 和t = 2时，小球到达10m所处的运动状态.
t = 1 时，小球向上运动，t = 2 时，小球向下运动.
解得 x1＝16，x2＝48．所以，共有猴 16 只或 48 只．
整理，得
用配方法求解一元二次方程
通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法叫做配方法.
将方程转化为（x + m）2 = n (n≥0)的形式，再利用平方根的意义开平方，直接求根.
①化 ②配 ③移 ④开 ⑤解
移项，得
配方，得
两边开平方，得
即
所以
1.解下列方程
(3) 4x2 -8x -3 =0；
解：两边同时除以 4，得
配方，得
两边开平方，得
即
所以
移项，得
2.印度古算书中有这样一首诗：“一群猴子分两队， 高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽叽喳喳，伶俐活泼又调皮.告我总数有多少，两队猴子在一起？”你能解决这个问题吗？
分析：
3x2+8x-3=0
两边同除以3
移项
两边开平方
解一元一次方程
配方
例2 解方程 3x2 + 8x - 3 = 0 .
想一想，可以先配方再移项吗？
解：方程两边都除以 3，得
移项，得
配方，得
两边开平方，得
所以
即
分析：
3x2+8x-3=0
两边同除以3
配方
两边开平方
解一元一次方程
解：根据题意得 15t-5t2 = 10.方程两边都除以 -5，得 t2 -3t = -2.配方，得即 两边开平方，得
所以
请分别描述一下，当t = 1 和t = 2时，小球到达10m所处的运动状态.
t = 1 时，小球向上运动，t = 2 时，小球向下运动.
北师大版九年级数学上册《一元二次方程》优质课课件
解：设降x元，根据题意得(30＋3x)(40－x)＝1000，整理 得：3x2－90x－200＝0
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/292021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年7月29日星期四2021/7/292021/7/292021/7/29
解：设仓库的宽为x m，则其长为(32＋2－2x)m，根据题意 得x(32＋2－2x)＝140.化简得，x2－17x＋70＝0
12．方程ax2＋2x＋1＝0是关于x的一元二次方程，则实数a的取值范 围是 a≠0 ．
13．已知方程(n＋2)xn2－2＋(n－1)x＝0是关于x的一元二次方程，则
n＝___2_． 14．方程(2y＋1)(3y－2)＝y2＋2化为一般形式为
知识点二：建立一元二次方程模型 8．兰州市某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形 草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x米，则可列 方程为 x(x＋10)＝20．0 9．设一个奇数为x，与相邻奇数的积为328，所列方程 正确的是( D ) A．x(x＋2)＝328 B．x(x－2)＝328 C．x(x＋1)＝328 D．x(x－2)＝328或x(x＋2)＝328
解：(1)①②④⑤ (2)若设它的二次项系数为a(a≠0)，则一次项
系数为－2a，常数项为－4a.(即满足二次系数∶一次项系数∶常数
项＝1∶－2∶－4即可)
17．已知方程(m－3)x2＋ m－1x＝1 是关于 x 的一元二次方 程，求 m 的取值范围．
解：由题意得mm－ －31≠ ≥00，∴m≥1 且 m≠3
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/292021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年7月29日星期四2021/7/292021/7/292021/7/29
解：设仓库的宽为x m，则其长为(32＋2－2x)m，根据题意 得x(32＋2－2x)＝140.化简得，x2－17x＋70＝0
12．方程ax2＋2x＋1＝0是关于x的一元二次方程，则实数a的取值范 围是 a≠0 ．
13．已知方程(n＋2)xn2－2＋(n－1)x＝0是关于x的一元二次方程，则
n＝___2_． 14．方程(2y＋1)(3y－2)＝y2＋2化为一般形式为
知识点二：建立一元二次方程模型 8．兰州市某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形 草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x米，则可列 方程为 x(x＋10)＝20．0 9．设一个奇数为x，与相邻奇数的积为328，所列方程 正确的是( D ) A．x(x＋2)＝328 B．x(x－2)＝328 C．x(x＋1)＝328 D．x(x－2)＝328或x(x＋2)＝328
解：(1)①②④⑤ (2)若设它的二次项系数为a(a≠0)，则一次项
系数为－2a，常数项为－4a.(即满足二次系数∶一次项系数∶常数
项＝1∶－2∶－4即可)
17．已知方程(m－3)x2＋ m－1x＝1 是关于 x 的一元二次方 程，求 m 的取值范围．
解：由题意得mm－ －31≠ ≥00，∴m≥1 且 m≠3
新北师大版九年级数学上册《一元二次方程的解》精品课件.ppt
5．若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋3mx＋n＝0的解，则 6m＋2n＝_－__2_． 6．关于x的一元二次方程(a－2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根为 0，则a＝_－__2_．
7．小颖在做作业时，一不小心，一个方程3x2－■x－5＝0的 一次项系数被墨水盖住了，但从题目的条件中，她知道方程的 解是x＝5，请你帮助她求出被覆盖的数是多少．
x
3.23
3.24 3.25 3.26
ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09
16．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，满足 a＋b＋c＝0，则方程必有一个实根为___x_＝．1
17．(2014·白银)一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2－1＝0 的一个根为0，则a＝__1__．
知识点一：一元二次方程的解
1．下列各数中是x2－3x＋2＝0的解的是( B )
A．－1
B．1
C．－2
D．0
2．已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m的值是
( C) A．－1 B．0 C．1 D．2
3．已知关于x的一元二次方程2x2－mx－6＝0的一个根是2，则m
＝__1__．
4．写出一个根为x＝－1的一元二次方程，它可以是 x2－1＝0(答案不唯一) ．
13．观察下表：
x
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
5x2－24x＋28 28 17.25 9 3.25 0 －0.75 1 5.25 12
从表中你能得出方程5x2－24x＋2方程根的取值范围．
解：一个解为x＝2，另一个解的取值范围为2.5<x<3
7…
x2－70x＋325 189 124 61 0 －59 －116 …
北师大版九年级上册 数学 课件 2.1认识一元二次方程1(共14张PPT)
创设情境 引入新知
问题3 如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上， 梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．梯子的顶 端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
1Am
解：设梯子底端滑动x米
72 6 x2 102
A'
8m 7m
10m
6m xm
C B B'
合作交流 探究新知
由上面三个问题，我们可以得到以下方 程：
知识小结
你学会了吗?
通过今天的学习，说说你的收获和体会?
1.能在具体问题中，分析数量关系，建立 方程模型，归纳出一元二次方程的概ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ；
2.能判断一个方程是否为一元二次方程， 能将方程化成一元二次方程的一般形式， 并能指出它的二次项系数、一次项系数和 常数项.
当堂反馈 巩固新知
1.根据题意列出一元二次方程：已知直 角三角形的三边长为连续整数，求它的 三边长.
x2 x 12 x 22 = x 32 x 42
创设情境 引入新知
问题2 观察下面等式：
102 112 122 =132 142 .
你还能找到五个连续整数，使前三个数的 平方和等于后两个数的平方和吗？
解：设五个连续整数中的中间的那个数为x
x 22 x 12 x2 = x 12 x 22
程.
我们把 ax2 bx c 0 ( a ，b ，c为常数， a 0)称为一元二次方程的一般形式，其中， ax2，bx ，c 分别称为二次项、一次项和常数 项，a ，b 分别称为二次项系数和一次项系数.
随堂练习 运用新知
1.判断下列方程中哪些是一元二次方程？ (1) 2x2 1 3x √ ;(2) x2 1 3 ×
北师大版九年级数学（上）第二章
北师大版九年级数学上册《用公式法求解一元二次方程》第1课时示范公开课教学课件
解：
(1) 这里a = 1，b = -7，c = -18.
∵ b2 - 4ac = (-7)2-4×1×(-18) = 121 > 0，
∴
即 x1 = 9，x2 =-2.
例 解方程. (1) x2 -7x-18 = 0； (2) 4x2 +1=4x.
解：设门的高为 x 尺，根据题意得
x2 + (x - 6.8)2 = 102
即 2x2 - 13.6x - 53.76 ＝ 0.
解这个方程，得
x1 ＝ 9.6， x2 ＝ -2.8 (不合题意，舍去).∴ x - 6.8 = 2.8.
答:门的高是 9.6 尺，宽是 2.8 尺.
用公式法求解一元二次方程
当b2 - 4ac ＞ 0 时，
把b2 - 4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示.
方程有两个不相等的实数根；
当b2 - 4ac = 0 时，
方程有两个相等的实数根；
当b2 - 4ac ＜ 0 时，
方程没有实数根.
1.不解方程，判断下列方程的根的情况:
(1) 2x2 + 5 = 7x；
分析：
②判断
(1) ①找对应系数： a=1，b= -7，c= -18；
b2 - 4ac≥0；
③代入求根公式即可.
(2) ①化一般形式：4x2-4x+1=0； ②找对应系数：a=4，b= -4，c=1；
③判断
b2 - 4ac≥0；
④代入求根公式即可.
∵ b2 - 4ac = (-3)2 - 4×1×5 = -11 < 0，
∴ 方程没有实数根.
3.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈. 问户高、广各几何.”大意是说: 已知长方形门的高比宽多 6 尺 8 寸，门的对角线长 1 丈，那么门的高和宽各是多少？(1尺=10寸，1丈=10尺)
北师大版九年级数学上册一元二次方程应用一元二次方程时课件
02
一元二次方程的应用
一元二次方程在几何中的应用
01
02
03
面积问题
利用一元二次方程求解三 角形、矩形、圆等图形的 面积。
长度问题
利用一元二次方程求解线 段、圆弧等长度。
角度问题
利用一元二次方程求解两 线交角、圆周角等角度。
一元二次方程在代数中的应用
代数式化简
利用一元二次方程对代数 式进行化简，简化计算过程。
基础习题3
一个正方形的边长为6cm，求这个 正方形的面积和周长。
提升习题
提升习题1
一个直角三角形的两条直角边分 别为3cm和4cm，求这个直角三
角形的面积。
提升习题2
一个等腰三角形的底边为8cm， 腰长为5cm，求这个等腰三角形
的周长。
提升习题3
一个平行四边形的底边为10cm， 高为6cm，求这个平行四边形的
注意事项
在配方过程中，需要注意保 证等式的平衡，避免出现计 算错误。
公式法
总结词
利用一元二次方程的解的公式 直接求解。
详细描述
一元二次方程ax^2+bx+c=0 的解的公式为x=[-b±√(b^24ac)]/2a，直接代入方程中的 系数a、b、c即可求解x的值。
适用范围
适用于所有一元二次方程。
注意事项
尝试将一元二次方程与其他数学知识结合，如函数、几何等，以拓展解题思路和 方法。
THANK YOU
感谢各位观看
代数方程求解
利用一元二次方程求解代 数方程的根。
代数不等式求解
利用一元二次方程求解代 数不等式的解集。
一元二次方程在实际问题中的应用
利润最大化问题
速度与加速度问题