八年级上册数学 压轴题 期末复习试卷达标训练题(Word版 含答案)

八年级上册数学压轴题期末复习试卷达标训练题（Word版含答案）

一、压轴题

1．已知ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点M是AC的中点，延长BM至点D，使DM ＝BM，连接AD．

（1）如图①，求证：DAM≌BCM；

（2）已知点N是BC的中点，连接AN．

①如图②，求证：ACN≌BCM；

②如图③，延长NA至点E，使AE＝NA，连接，求证：BD⊥DE．

2．如图，已知A(3，0)，B(0，-1)，连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA=BC，连接AC

（1）如图1，求C点坐标；

（2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，求证：PA=CQ；

（3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，直接写出此时∠APB的度数及P点坐标

3．在平面直角坐标系中点A（m?3，3m+3），点 B（m，m+4）和 D（0，?5），且点 B 在第二象限．

（1）点B 向平移单位，再向下平移（用含m 的式子表达）单位可以与点A 重合；（2）若点B 向下移动 3 个单位，则移动后的点B 和点A 的纵坐标相等，且有点 C（m?2，0）．

①则此时点A、B、C 坐标分别为、、．

②将线段AB 沿y 轴负方向平移n 个单位，若平移后的线段AB 与线段CD 有公共点，求n 的取值范围．

③当m

4．已知三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D（0，－4），M（4，－4）．

（1）如图1，若点C与点O重合，A（－2，2）、B（4，4），求△ABC的面积；

（2）如图2，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，若∠AOG＝55°，求∠CEF的度数；（3）如图3，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，N为AC上一点，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，∠NEC+∠CEF＝180°，求证∠NEF＝2∠AOG．

5．(1)问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．

①请直接写出∠AEB的度数为_____；

②试猜想线段AD与线段BE有怎样的数量关系，并证明；

(2)拓展探究：图2， △ACB 和△DCE 均为等腰三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A 、D 、E 在同－直线上， CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系，并说明理由．

6．（1）填空

①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在

1B M 或1B M 的延长线上，那么EMF ∠的度数是________；

②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠，B 点与M 点重合，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线上，那么EMF ∠的度数是_______． （2）解答：①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上左侧，且80EMF ∠=?，求11C MB ∠的度数； ②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠，B 点与M 点重合，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线右侧，且60EMF ∠=?，求11C MA ∠的度数．

（3）探究：把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠，EB ，FB 为折痕，设

ABC α∠=?，EBF β∠=?，11A BC γ∠=?，求α，β，γ之间的数量关系．

7．阅读下列材料，并按要求解答．

（模型建立）如图①，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝CA ，直线ED 经过点C ，过A 作AD ⊥ED 于点D ，过B 作BE ⊥ED 于点E ．求证：△BEC ≌△CDA ． （模型应用）

应用1：如图②，在四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AD ＝6，CD ＝8，BC ＝10，AB 2＝200．求线段BD 的长．

应用2：如图③，在平面直角坐标系中，纸片△OPQ为等腰直角三角形，QO＝QP，P（4，m），点Q始终在直线OP的上方．

（1）折叠纸片，使得点P与点O重合，折痕所在的直线l过点Q且与线段OP交于点M，当m＝2时，求Q点的坐标和直线l与x轴的交点坐标；

（2）若无论m取何值，点Q总在某条确定的直线上，请直接写出这条直线的解析

式．

8．问题情景：数学课上，老师布置了这样一道题目，如图1，△ABC是等边三角形，点D 是BC的中点，且满足∠ADE＝60°，DE交等边三角形外角平分线于点E．试探究AD与DE 的数量关系．

操作发现：（1）小明同学过点D作DF∥AC交AB于F，通过构造全等三角形经过推理论证就可以解决问题，请您按照小明同学的方法确定AD与DE的数量关系，并进行证明．

类比探究：（2）如图2，当点D是线段BC上任意一点(除B、C外)，其他条件不变，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．

拓展应用：（3）当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC，在图3中补全图形，直接判断△ADE的形状(不要求证明)．

9．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 点在边BC 上运动（不与B ，C 重合），点E 在边AB 的延长线上，点F 在边AC 的延长线上，AD DE DF ==． （1）若30AED ∠=?，则ADB =∠______． （2）求证：BED CDF △≌△．

（3）试说明点D 在BC 边上从点B 至点C 的运动过程中，BED 的周长l 是否发生变化？若不变，请求出l 的值，若变，请求出l 的取值范围．

10．直角三角形ABC 中，90ACB ∠=?，直线l 过点C ．

（1）当AC BC =时，如图1，分别过点A 和B 作AD ⊥直线l 于点D ，BE ⊥直线l 于点

E ，ACD 与CBE △是否全等，并说明理由；

（2）当8AC cm =，6BC cm =时，如图2，点B 与点F 关于直线l 对称，连接

BF CF 、，点M 是AC 上一点，点N 是CF 上一点，分别过点M N 、作MD ⊥直线l 于

点D，NE⊥直线l于点E，点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A C

→路径运动，终点为C，点N从点F出发，以每秒3cm的速度沿F C B C F

→→→→路径运动，终点为F，点,

M N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒，当CMN

△为等腰直角三角形时，求t的值．

11．如图，直线l1的表达式为：y=-3x+3，且直线l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．

（1）求点D的坐标；

（2）求直线l2的解析表达式；

（3）求△ADC的面积；

（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，求点P的坐标．

12．一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，9），并与直线y＝5

3

x相交于点B，与x轴相

交于点C，其中点B的横坐标为3．

（1）求B点的坐标和k，b的值；

（2）点Q为直线y＝kx+b上一动点，当点Q运动到何位置时△OBQ的面积等于27

2

？请求

出点Q的坐标；

（3）在y轴上是否存在点P使△PAB是等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、压轴题

1．（1）见解析；（2）①见解析；②见解析

【解析】

【分析】

（1）由点M是AC中点知AM=CM，结合∠AMD=∠CMB和DM=BM即可得证；

（2）①由点M，N分别是AC，BC的中点及AC=BC可得CM=CN，结合∠C=∠C和BC=AC 即可得证；

②取AD中点F，连接EF，先证△EAF≌△ANC得∠NAC=∠AEF，∠C=∠AFE=90°，据此知∠AFE=∠DFE=90°，再证△AFE≌△DFE得∠EAD=∠EDA=∠ANC，从而由

∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EAD+∠NAC=180°-∠DAM即可得证．

【详解】

解：（1）∵点M是AC中点，

∴AM=CM，

在△DAM和△BCM中，

∵

AM CM

AMD CMB

DM BM

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△DAM≌△BCM（SAS）；

（2）①∵点M是AC中点，点N是BC中点，

∴CM=

1

2

AC，CN=

1

2

BC，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AC=BC，

∴CM=CN，

在△BCM和△ACN中，

∵

CM CN

C C

BC AC

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△BCM≌△ACN（SAS）；

②证明：取AD中点F，连接EF，

则AD=2AF，

∵△BCM≌△ACN，

∴AN=BM ，∠CBM=∠CAN ， ∵△DAM ≌△BCM ，

∴∠CBM=∠ADM ，AD=BC=2CN ， ∴AF=CN ，

∴∠DAC=∠C=90°，∠ADM=∠CBM=∠NAC ， 由（1）知，△DAM ≌△BCM ， ∴∠DBC=∠ADB ， ∴AD ∥BC ， ∴∠EAF=∠ANC ， 在△EAF 和△ANC 中，

AE AN EAF ANC AF NC =??

∠=∠??=?

， ∴△EAF ≌△ANC （SAS ）， ∴∠NAC=∠AEF ，∠C=∠AFE=90°， ∴∠AFE=∠DFE=90°， ∵F 为AD 中点， ∴AF=DF ， 在△AFE 和△DFE 中，

AF DF AFE DFE EF EF =??

∠=∠??=?

， ∴△AFE ≌△DFE （SAS ）， ∴∠EAD=∠EDA=∠ANC ，

∴∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EAD+∠NAC=180°-∠DAM=180°-90°=90°， ∴BD ⊥DE ． 【点睛】

本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握中点的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点．

2．（1）(1，-4)；（2）证明见解析；（3）()135,1,0APB P ?

∠=

【解析】 【分析】

（1）作CH ⊥y 轴于H ，证明△ABO ≌△BCH ，根据全等三角形的性质得到BH=OA=3，CH=OB=1，求出OH ，得到C 点坐标；

（2）证明△PBA ≌△QBC ，根据全等三角形的性质得到PA=CQ ；

（3）根据C 、P ，Q 三点共线，得到∠BQC=135°，根据全等三角形的性质得到∠BPA=∠BQC=135°，根据等腰三角形的性质求出OP ，得到P 点坐标． 【详解】

解：(1)作CH ⊥y 轴于H ， 则∠BCH+∠CBH=90°， 因为AB BC ⊥， 所以.∠ABO+∠CBH=90°， 所以∠ABO=∠BCH ， 在△ABO 和△BCH 中，

ABO BCH AOB BHC AB BC ∠=∠??

∠=∠??=?

ABO BCH ∴???

:BH=OA=3，CH=OB=1， :OH=OB+BH=4，

所以C 点的坐标为（1，-4）； (2)因为∠PBQ=∠ABC=90°，

,PBQ ABQ ABC ABQ PBA QBC ∴∠-=∠-∠∴∠=∠

在△PBA 和△QBC 中，

BP BQ PBA QBC BA BC =??

∠=∠??=?

PBA QBC ∴???

:.PA=CQ ；

(3) ()135,1,0APB P ?

∠=

BPQ ?是等腰直角三角形，

:所以∠BQP=45°，

当C 、P ，Q 三点共线时，∠BQC=135°， 由（2)可知，PBA QBC ∴???； 所以∠BPA=∠BQC=135°， 所以∠OPB=45°， 所以.OP=OB=1， 所以P 点坐标为（1，0) ． 【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

3．（1）左；3；(1-2m )；（2）①（-4，0）；（-1，0）（-3，0）； ②当平移后的线段 AB 与线段 CD 有公共点时，1913n ≤≤；③ F 9

(

,2)12m

--． 【解析】

【分析】

(1)根据平面直角坐标系中点的平移计算方法即可得解

(2)①根据B 点向下平移后，点B 和点A 的纵坐标相等得到等量关系，可求出m 的值，从而求出A 、B 、C 三点坐标；②过 C 作 CK 垂直 x 轴交 AB 于 K 点过 B 做 BM 垂直 x 轴于 M 点，设出K 点坐标，作 KH ⊥BM 与 H 点，表示出H 点坐标，然后利用面积关系

ABM AKM BKM S S S ???=+求出距离；当 B '在线段 CD 上时，BB '交 x 轴于 M 点，过 B '做

B 'E ⊥OD ，利用S △COD = S △OB'

C + S △OB'

D ，求出n 的值，从而求出n 的取值范围；③通过坐标平移法用m 表示出

E 点的坐标，利用D 、E 两点坐标表示出直线DE 的函数关系式，令y=﹣2，求出x 的值即可求出

F 点坐标． 【详解】

解：（1）根据平移规律可得：B 向左平移； m －（m －1）=3，所以平移3个单位；

m+4－（3m+3）=1－2m ，所以再向下平移(1-2m )个单位； 故答案为：左；3；(1-2m )

（2）①点 B 向下移动 3 个单位得：B （m ，m+1） ∵移动后的点 B 和点 A 的纵坐标相等 ∴m+1=3m+3 ∴m=﹣1

∴A （-4,0）；B （-1,0）；C （-3,0）；

②如图 1，过 C 作 CK 垂直 x 轴交 AB 于 K 点过 B 做 BM 垂直 x 轴于 M 点， 设 K 点坐标为（-3，a ） M 点坐标为（-1,0）

作 KH ⊥BM 与 H 点，H 点坐标为（-1，a ） AM=3,BM=3,KC=a,KH=2 ∵ABM AKM BKM S S S ???=+

∴

222AM BM KC AM KH BM

???=+ ∴33323

222a ???=+ 解得：1a =，

∴当线段 AB 向下平移 1 个单位时，线段 AB 和 CD 开始有交点， ∴ n ≥ 1，

当 B'在线段 CD 上时，如图 2

BB'交 x 轴于 M 点，过 B'做 B'E⊥OD,B'M=n-3,B'E=1,OD=5,OC=3∵ S△COD = S△OB'C + S△OB'D

∴

'' 222 CO OD CO B M OD B E ???

=+

∴353(3)51 222

n

??-?

=+

解得：

19

3

n=，

综上所述，当平移后的线段 AB 与线段 CD 有公共点时，

19

1

3

n

≤≤．

③∵A（m?3，3m+3）， B（m，m+4） D（0，?5）且AD 沿直线 AB 方向平移得到线段BE，

∴E点横坐标为：3

E点纵坐标为：﹣5+m+4－（3m+3）=﹣4－2m

∴E（3，﹣4－2m），

设DE：y=kx+b，把D（0，﹣5），E（3，﹣4－2m）代入y=kx+b

∴

3k+b=42m

b=5

?

?

?

﹣－

﹣

∴

1-2m

k=

3

b=-5

?

?

?

??

，

∴y=12m

x5

3

－

－，

把y=﹣2代入解析式得：﹣2=12m

x5

3

－

－，

x=

9

12m

－

，

∴F

9

(,2) 12m

-

-

．

【点睛】

本题考查平面直角坐标系中点的平移计算及一次函数解析式求法，解题关键在于理解掌握平面直角坐标系中点平移计算方法以及用待定系数法求函数解析式方法的应用．

4．（1）8;（2）145°;（3）详见解析．

【解析】

【分析】

（1）作AD⊥ x轴于D,BE⊥x轴于E,由点A,B的坐标可得出AD=OD=2,BE=EO=4,DE=6,由面积公式可求出答案;

（2）作CH∥x轴,如图2,由平行线的性质可得出∠AOG=∠ACH,∠DEC=∠HCE,求出

∠DEC+∠AOG=∠ACB=90°,可求出∠DEC=35°,则可得出答案;

（3）证得∠NEC=∠HEC,则∠NEF=180°-∠NEH=180°-2∠HEC,可得出结论．

【详解】

解：（1）作AD⊥x轴于D,BE⊥x轴于E,如图1,

∵A（﹣2,2）、B（4,4）,

∴AD＝OD＝2,BE＝OE＝4,DE＝6,

∴S△ABC＝S梯形ABED﹣S△AOD﹣S△AOE＝1

2

×（2+4）×6﹣

1

2

×2×2﹣

1

2

×4×4＝8;

（2）作CH // x轴,如图2,

∵D（0,﹣4）,M（4,﹣4）,

∴DM // x轴,

∴CH // OG // DM,

∴∠AOG＝∠ACH,∠DEC＝∠HCE,

∴∠DEC+∠AOG＝∠ACB＝90°,

∴∠DEC＝90°﹣55°＝35°,

∴∠CEF＝180°﹣∠DEC＝145°;

（3）证明：由（2）得∠AOG+∠HEC＝∠ACB＝90°,

而∠HEC+∠CEF＝180°,∠NEC+∠CEF＝180°,

∴∠NEC＝∠HEC,

∴∠NEF＝180°﹣∠NEH＝180°﹣2∠HEC,

∵∠HEC＝90°﹣∠AOG,

∴∠NEF＝180°﹣2（90°﹣∠AOG）＝2∠AOG．

【点睛】

本题是三角形综合题,考查了坐标与图形的性质,三角形的面积,平行线的性质,三角形内角和定理,熟练掌握平行的性质及三角形内角和定理是解题的关键．

5．（1）①60°；②AD=BE.证明见解析；（2）∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；理由见解析.【解析】

【分析】

（1）①由条件△ACB和△DCE均为等边三角形，易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数．②由△ACD≌△BCE，可得AD=BE；

（2）首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，

∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE=AD，∠BEC=∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°；根据DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，据此判断出

AE=BE+2CM．

【详解】

（1）①∵∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

AC BC ACD BCE CD CE =??

∠=∠??=?

, ∴△ACD ≌△BCE ，

∴AD=BE ，∠CEB=∠ADC=180°?∠CDE=120°， ∴∠AEB=∠CEB?∠CED=60°； ②AD=BE.

证明：∵△ACD ≌△BCE ， ∴AD=BE ．

（2）∠AEB ＝90°；AE=2CM+BE ；理由如下：

∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 90°，

∴AC = BC ， CD = CE ， ∠ACB =∠DCB =∠DCE －∠DCB ， 即∠ACD = ∠BCE ， ∴△ACD ≌△BCE ，

∴AD = BE ，∠BEC = ∠ADC=135°． ∴∠AEB =∠BEC －∠CED =135°－ 45°= 90°． 在等腰直角△DCE 中，CM 为斜边DE 上的高， ∴CM =DM= ME ，∴DE = 2CM ． ∴AE = DE+AD=2CM+BE ． 【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，解题时需注意运用已有的知识和经验解决相似问题． 6．90?，45?；20?，30?；2a γβ+=，2a γβ-=. 【解析】 【分析】

（1）①如图①知1112EMC BMC ∠=

∠，111

2

C MF C MC ∠=∠得 ()111

2

EMF BMC C MC ∠=

∠+∠可求出解. ②由图②知111111,22EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠得()111

2

EBF ABC C BC ∠=∠+∠可求出解.

（2）①由图③折叠知11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠，可推出

11()BMC EMF EMF C MB ∠-∠-∠=∠，即可求出解.

②由图④中折叠知11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠，可推出

()

112906090A MC ???-+∠=，即可求出解.

（3）如图⑤-1、⑤-2中分别由折叠可知，a ββγ-=-、a ββγ-=+，即可求得

2a γβ+=、2a γβ-=.

解：（1）①如图①中，

1112EMC BMC ∠=∠，111

2C MF C MC ∠=∠，

()111111

180022

9EMF EMC C MF BMC C MC ??∴∠=∠+∠=

∠?=+∠=， 故答案为90?. ②如图②中，

111111

,22

EBA ABC C BF C BC ∠=∠∠=∠，

()111111

904522

EBF EBC C BF ABC C BC ??∴∠=∠+∠=

∠+∠=?=， 故答案为45?.

（2）①如图③中由折叠可知，

11,CMF FMC BME EMB ∠=∠∠=∠， 1111C MF EMB EMF C MB ∠+∠-∠=∠， 11CMF BME EMF C MB ∴∠+∠-∠=∠， 11()BMC EMF EMF C MB ∴∠-∠-∠=∠， 111808020C MB ???∴-=∠=；

②如图④中根据折叠可知，

11,CMF C MF ABE A BE ∠=∠∠=∠， 112290CMF ABE A MC ?∠+∠+∠=， 112()90CMF ABE A MC ?∴∠+∠+∠=，

()

1129090EMF AMC ??

∴-∠+∠=，

()1

1

2906090AMC ?

?

?

∴-+∠=，

1130A MC ?∴∠=；

（3）如图⑤-1中，由折叠可知，a ββγ-=-，

2a γβ∴+=；

如图⑤-2中，由折叠可知，a ββγ-=+，

2a γβ∴-=.

本题考查了图形的变换中折叠属全等变换，图形的角度及边长不变及一些角度的计算问题，突出考查学生的观察能力、思维能力以及动手操作能力，本题是代数、几何知识的综合运用典型题目.

7．模型建立：见解析；应用1：2：（1）Q(1，3)，交点坐标为(5

2

，0)；

（2）y＝﹣x+4

【解析】

【分析】

根据AAS证明△BEC≌△CDA，即可；

应用1：连接AC，过点B作BH⊥DC，交DC的延长线于点H，易证△ADC≌△CHB，结合勾股定理，即可求解；

应用2：（1）过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QK⊥y轴于点K，直线KQ和直线NP 相交于点H，易得：△OKQ≌△QHP，设H(4，y)，列出方程，求出y的值，进而求出

Q(1，3)，再根据中点坐标公式，得P(4，2)，即可得到直线l的函数解析式，进而求出直线l与x轴的交点坐标；（2）设Q(x，y)，由△OKQ≌△QHP，KQ＝x，OK＝HQ＝y，可得：y＝﹣x+4，进而即可得到结论．

【详解】

如图①，∵AD⊥ED，BE⊥ED，∠ACB＝90°，

∴∠ADC＝∠BEC＝90°，

∴∠ACD+∠DAC＝∠ACD+∠BCE＝90°，

∴∠DAC＝∠BCE，

∵AC＝BC，

∴△BEC≌△CDA（AAS）；

应用1：如图②，连接AC，过点B作BH⊥DC，交DC的延长线于点H，

∵∠ADC＝90°，AD＝6，CD＝8，

∴AC＝10，

∵BC＝10，AB2＝200，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴∠ACB＝90°，

∵∠ADC＝∠BHC＝∠ACB＝90°，

∴∠ACD＝∠CBH，

∵AC＝BC＝10，

∴△ADC≌△CHB（AAS），

∴CH＝AD＝6，BH＝CD＝8，

∴DH=6+8=14，

∵BH⊥DC，

∴BD＝

应用2：（1）如图③，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QK⊥y轴于点K，直线KQ和

直线NP 相交于点H ，

由题意易：△OKQ ≌△QHP （AAS ），

设H (4，y )，那么KQ ＝PH ＝y ﹣m ＝y ﹣2，OK ＝QH ＝4﹣KQ ＝6﹣y ， 又∵OK ＝y ， ∴6﹣y ＝y ，y ＝3， ∴Q (1，3)，

∵折叠纸片，使得点P 与点O 重合，折痕所在的直线l 过点Q 且与线段OP 交于点M ， ∴点M 是OP 的中点， ∵P(4，2)， ∴M(2，1)，

设直线Q M 的函数表达式为：y ＝kx+b ，

把Q (1，3)，M(2，1)，代入上式得：213k b k b +=??+=?，解得：2

5k b =-??=?

∴直线l 的函数表达式为：y ＝﹣2x +5，

∴该直线l 与x 轴的交点坐标为(5

2

，0)； （2）∵△OKQ ≌△QHP ， ∴QK ＝PH ，OK ＝HQ ， 设Q (x ，y )，

∴KQ ＝x ，OK ＝HQ ＝y ， ∴x +y ＝KQ +HQ ＝4， ∴y ＝﹣x +4，

∴无论m 取何值，点Q 总在某条确定的直线上，这条直线的解析式为：y ＝﹣x +4， 故答案为：y ＝﹣x +4．

【点睛】

本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，勾股定理，一次函数的图象和性质，掌握“一线三垂直”模型，待定系数法是解题的关键．

8．（1）AD ＝DE ，见解析；（2）AD ＝DE ，见解析；（3）见解析，△ADE 是等边三角形， 【解析】 【分析】

（1）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明ADF EDC ??≌即可得解； （2）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明AFD DCE ??≌即可得解； （3）根据垂直平分线的性质及等边三角形的判定定理进行证明即可.

【详解】

（1）如下图，数量关系：AD＝DE.

证明：∵ABC

?是等边三角形

∴AB＝BC，60

B BA

C BCA

∠∠∠?

＝＝＝

∵DF∥AC

∴BFD BAC

∠∠

＝，∠BDF＝∠BCA

∴60

B BFD BDF

∠∠∠?

＝＝＝

∴BDF

?是等边三角形，120

AFD

∠?

＝

∴DF＝BD

∵点D是BC的中点

∴BD＝CD

∴DF＝CD

∵CE是等边ABC

?的外角平分线

∴120

DCE AFD

∠?∠

＝＝

∵ABC

?是等边三角形，点D是BC的中点∴AD⊥BC

∴90

ADC

∠?

＝

∵60

BDF ADE

∠∠?

＝＝

∴30

ADF EDC

∠∠?

＝＝

在ADF

?与EDC

?中

AFD ECD

DF CD

ADF EDC

∠∠

?

?

?

?∠∠

?

＝

＝

＝

∴()

ADF EDC ASA

??

≌

∴AD＝DE；

（2）结论：AD＝DE.

证明：如下图，过点D作DF∥AC，交AB于F

∵ABC

?是等边三角形

∴AB＝BC，60

B BA

C BCA

∠∠∠?

＝＝＝

∵DF∥AC

∴BFD BAC BDF BCA

∠∠∠∠

＝，＝

∴60

B BFD BDF

∠∠∠?

＝＝＝

∴BDF

?是等边三角形，120

AFD

∠?

＝

∴BF＝BD

∴AF＝DC

∵CE是等边ABC

?的外角平分线

∴120

DCE AFD

∠?∠

＝＝

∵∠ADC是ABD

?的外角

∴60

ADC B FAD FAD

∠∠∠?∠

＝＋＝＋

∵60

ADC ADE CDE CDE

∠∠∠?∠

＝＋＝＋

∴∠FAD＝∠CDE

在AFD

?与DCE

?中

AFD DCE

AF CD

FAD EDC

∠∠

?

?

?

?∠∠

?

＝

＝

＝

∴()

AFD DCE ASA

??

≌

∴AD＝DE；

（3）如下图，ADE

?是等边三角形.

证明：∵BC CD

=

∴AC CD

=

∵CE平分ACD

∠

∴CE垂直平分AD

∴AE=DE

∵60

ADE

∠=?

∴ADE

?是等边三角形.

【点睛】

本题主要考查了等边三角形的性质及判定，三角形全等的判定及性质，平行线的性质，垂直平分线的性质等相关内容，熟练掌握三角形综合解决方法是解决本题的关键. 9．（1）90°；（2）证明见解析；（3）变化，234

l

+≤<．