2014年全国高考全国卷2文科数学
2014年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，
考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答
案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试
卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A=﹛-2,0,2﹜,B=﹛x|2x-x-20﹜，则AB
(A) （B）2 （C）0 (D) 2
(2) 131ii
（A）12i （B）12i （C）1-2i (D) 1-2i
（3）函数fx在0x=x处导数存在，若00pf0::xqxx：是fx的极值点，
则
（A）p是q的充分必要条件
（B）p是q的充分条件，但不是q的必要条件
（C）p是q的必要条件，但不是 q的充分条件
(D) p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
（4）设向量a,b满足|a+b|=10，|a-b|=6，则*ab
（A）1 （B） 2 （C）3 (D) 5
（5）等差数列na的公差为2，若2a，4a，8a成等比数列，则na的前n项和
n
s
=
（A） 1nn （B）1nn （C）12nn (D) 12nn
（6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出
的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的
圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值
为
（A）1727 （B） 59 （C）1027 (D) 13
（7）正三棱柱111ABCABC的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC终点，则
三棱锥111AABC的体积为
（A）3 （B）32 （C）1 （D）32
（8）执行右面的程序框图，如果如果输入
的x，t均为2，则输出的S=
（A）4
（B）5
（C）6
（D）7
（9）设x，y满足的约束条件1010330xyxyxy，则2zxy的最大值为
（A）8 （B）7 （C）2 （D）1
（10）设F为抛物线2:y=3xC的焦点，过F且倾斜角为°30的直线交于C于
,AB
两点，则AB=
（A）303 （B）6 （C）12 （D）73
（11）若函数()lnfxkxx在区间（1，+）单调递增，则k的取值范围是
（A）,2 （B）,1 （C）2, （D）1,
（12）设点0(x,1)M，若在圆22:xy=1O上存在点N，使得°45OMN,则0x的
取值范围是
（A）1,1 （B）1122， （C）2,2 （D） 2222，
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个考
试考生都必须做答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大概题共4小题，每小题5分。
（13）甲、已两名元动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选
择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.
（14）函数
)sin()(xxf—2sin
xcos
的最大值为_________.
（15）已知函数fx的图像关于直线x=2对称，zxxk)0(f=3，则
)1(f
_______.
（16）数列na满足1na=na11，2a=2，则1a=_________.
三、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3, CD=DA=2.
(I)求C和BD;
(II)求四边形ABCD的面积。
（18）（本小题满分12分）
如图，四凌锥p—ABCD中，zxxk底面ABCD
为矩形，PA上面ABCD，E为PD的点。
（I）证明：PP//平面AEC;
(II)设置AP=1，AD=3,三凌
P-ABD的体积V=43，求A到平面PBD的距离。
（19）（本小题满分12分）
某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，学科网随机访问了50位市民。
根据这50位市民
（I）分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数；
（II）分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分做于90的概率；
（III）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙学科网两部门的评价。
（20）（本小题满分12分）
设F1 ，F2分别是椭圆C：12222byax（a>b>0）的左，右焦点，M是C上一点
且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N。
（I）若直线MN的斜率为43，求C的离心率；
（II）若直线MN在y轴上的截距为2且|MN|=5|F1N|，求a，b。
（21）（本小题满分12分）
已知函数f（x）=3232xxax，曲线()yfx在点（0,2）处的切线与x轴交
点的横坐标为-2.
（I） 求a；
（II）证明：当时，曲线()yfx与直线2ykx只有一个交点。
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，学科网如果多做，则按所做的第
一题计分，做答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明
选讲
如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割
线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的
中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明:
（I）BE=EC；
（II）AD·DE=2PB2。
（23）（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴学科网正半轴为极轴建立极
坐标系，半圆C的极坐标方程为p=2cosθ，θ[0，2]。
（I）求C的参数方程；
（II）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=3x+2垂直，根据（I）
中你得到的参数方程，确定D的坐标。
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|x+a1|+|x-a|(a>0)。
（I）证明：f（x）≥2；
（II）若f（3）<5，求a的取值范围。
2014年全国高考文科数学试题及答案-湖南卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(文)一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题2:,10p x R x ∀∈+>，则p ⌝为（ ）200.,10A x R x ∃∈+> 200.,10B x R x ∃∈+≤ 200.,10C x R x ∃∈+< 200.,10D x R x ∀∈+≤2. 已知集合{|2},{|13}A x x B x x =>=<<，则A B ⋂=（ ）A.{|2}x x >B.{|1}x x >C. {|23}x x <<D. {|13}x x <<3. 对一个容器为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ）123.A p p p =< 231.B p p p =< 132.C p p p =< 123.D p p p ==4. 下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（ ）21.()A f x x=2.()1B f x x =+ 3.()C f x x = .()2x D f x -=5. 在区间[-2,3]上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为A.45B.35C.25D.156. 若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=，则m =（ ）.21A .19B .9C .11D -7. 执行如图1所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于（ ）A.[]6,2--B.[]5,1--C.[]4,5-D.[]3,6-8. 一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）A.1B.2C.3D.4 9. 若1201x x <<<，则（ ）A. 2121ln ln xxe e x x ->-B. 2121ln ln x xe e x x -<-C.1221xxx e x e >D. 1221xxx e x e <10.在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，(0B ,()30C ，，动点D 满足1CD =,则OA OB OD ++的取值范围是（ ）A.[]46，B.⎤⎦C.⎡⎣D.⎤⎦二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.复数23ii+（i 为虚数单位）的实部等于_________. 12.在平面直角坐标系中，曲线22:12x C y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）的普通方程为___________.13.若变量y x ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤14y y x x y ，则y x z +=2的最大值为_________. 14. 平面上以机器人在行进中始终保持与点()01，F 的距离和到直线1-=x 的距离相等.若机器人接触不到过点()01，-P 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是___________. 15.若()()ax e x f x ++=1ln 3是偶函数，则=a ____________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程. 16.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()n nan a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年 研发新产品的结果如下：()()()()()()()()()()()()()()()b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中a a，分别表示甲组研发成功和失败；b b ，分别表示乙组研发成功和失败.（I ）若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研 发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（II ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率. 18.（本小题满分12分）如图3，已知二面角MN αβ--的大小为60，菱形ABCD 在面β内，,A B 两点在棱MN上，60BAD ∠=，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O . （1）证明：AB ⊥平面ODE ；（2）求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.19.（本小题满分13分）如图4，在平面四边形ABCD 中，32,2,7,1,π=∠===⊥ADC EA EC DE AB DA , 3π=∠BEC（1）求CED ∠sin 的值； （2）求BE 的长20.（本小题满分13分）如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b -=>>均过点(3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形. （1）求12,C C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论.图521.（本小题满分13分）已知函数()cos sin 1(0)f x x x x x =-+>.（1）求()f x 的单调区间；（2）记i x 为()f x 的从小到大的第(*)i i N ∈个零点，证明：对一切*n N ∈，有2221211123n x x x +++<参考答案1-5 BCDAB 6-10 CDBCD11. -3 12. 10x y --=13. 7 14. (,1)(1,)-∞-⋃+∞15. 32-16. 解：（Ⅰ）当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)22n n n n n n n a S S n -+-+-=-=-= 故数列{}n a 的通向公式为n a n =（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()21nnn b n =+-，记数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，则1222(22...2)(1234...2)n n T n =++++-+-+-+记12222...2nA =+++，1234...2B n =-+-+-+，则2212(12)2212n n A +-==--(12)(34)...[(21)2]B n n n =-++-+++--+=故数列{}n b 的前2n 项和为21222n n T A B n +=+=+- 17. 解：（Ⅰ）甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1其平均数为102153X ==甲 方差为2221222[(1)10(0)5]15339s =-⨯+-⨯=甲 乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1其平均数为93155X ==乙 方差为2221336[(1)9(0)6]155525s =-⨯+-⨯=乙 因为X X >乙甲，22s s <乙甲，所以甲组的研发水平优于乙组。
2014年全国高考文科数学试题及答案-山东卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学第Ｉ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 已知,,a b R i ∈是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi +=(A) 34i -(B) 34i +(C) 43i -(D) 43i +(2) 设集合2{|20},{|14}A x x x B x x =-<=≤≤，则A B =(A) (0,2](B) (1,2)(C) [1,2)(D) (1,4)(3)函数()f x =的定义域为(A) (0,2)(B) (0,2](C) (2,)+∞(D) [2,)+∞(4) 用反证法证明命题：“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是 (A) 方程30x ax b ++=没有实根(B) 方程30x ax b ++=至多有一个实根(C) 方程30x ax b ++=至多有两个实根 (D) 方程30x ax b ++=恰好有两个实根(5) 已知实数,x y 满足(01)xya a a <<<，则下列关系式恒成立的是 (A) 33x y >(B) sin sin x y >(C) 22ln(1)ln(1)x y +>+(D)221111x y >++ (6) 已知函数log ()(,0,1)a y x c a c a a =+>≠为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是 (A) 0,1a c >>(B) 1,01a c ><<(C) 01,1a c <<> (D) 01,01a c <<<<(7) 已知向量(1,3),(3,)a b m ==. 若向量,a b 的夹角为6π，则实数m =(A)(C) 0(D) (8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。
2014广东高考文科数学试卷及答案解析(word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学 (文科)一、选择题{}{}{}{}{}{}1.2,3,4,0,2,3,5,()..0,2.2,3.3,4.3,5M N M N A B C D ===已知集合则答案:B2.(34)25,()..34.34.34.34z i z z A i B iC iD i-==---+-+已知复数满足则答案:D 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i D i i i ++===+--+提示故选 3.(1,2),(3,1),()..(2,1).(2,1).(2,0).(4,3)a b b a A B C D =-=--已知向量则答案:B284.,04,2().03.7.8.10.11x y x y x z x y y A B C D +≤⎧⎪≤≤=+⎨⎪≤≤⎩若变量满足约束条件则的最大值等于 答案:C提示:作出可行域(为一个五边形及其内部区域),易知在点(4,2)处目标函数取到最大值10. 选C. 5.下列函数为奇函数的是（ ）.A.xx212-B.x x sin 3C.1cos 2+xD.xx 22+ 答案:A111:()2,(),()22(),222(),A .x xxx x x f x f x R f x f x f x --=--=-=-=-∴提示设则的定义域为且为奇函数故选6.1000,,40,()..50.40.25.20:1000:25.40A B C D C=为了解名学生的学习情况采用系统抽样的方法从中抽取容量为的样本则分段的间隔为答案提示分段的间隔为7.,,,,,,sin sin ().....::,,,sin ,sin ,sin sin .sin sin ABC A B C a b c a b A B A B C D Aa ba b A B a b A B A B∆≤≤=∴≤⇔≤在中角所对应的边分别为则“”是“”的充分必要条件充分非必要条件必要非充分条件非充分非必要条件答案提示由正弦定理知都为正数22228.05,11().165165....05,50,160,16(5)21(16)5,x y x y k k k k A B C D k k k k k k <<-=-=--<<∴->->+-=-=-+若实数满足则曲线与曲线的实半轴长相等虚半轴长相等离心率相等焦距相等答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又故两双曲线的焦距相等,选D.1234122334141414149.,,,,,//,,()...//..l l l l l l l l l l A l l B l l C l l D l l ⊥⊥⊥若空间中四条两两不同的直线满足则下列结论一定正确的是与既不垂直也不平行与的位置关系不确定答案:D1212122212310.,,=,,,,z z z ωωωωωωωω*对任意复数定义其中是的共轭复数对任意复数有如下四个命题:①1231323()()();z z z z z z z +*=*+*②1231213()()()z z z z z z z *+=*+*； ③123123()();z z z z z z **=**④1221z z z z *=*；则真命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.412312313231323123123123121312131231231231231231:()()()()()();()()()()()()();(),()()(),,;Bz z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ++++=+=+=+====≠答案提示:①*===*+*,故①是真命题②**+*,②对③左边=*=右边*左边右边③错 ④左边=2122121,,,z z z z z z z ==≠*右边=*左边右边故④不是真命题.综上,只有①②是真命题,故选B.(一)必做题（11-13）''142511.53(0,2)_______.:520:5,5,25,520.12.,,,d,e ________.2:542:105x x x y e x y y e y y x x y a b c a C P C ==-+-++==-∴=-∴+=-++====曲线在点处的切线方程为答案提示所求切线方程为即从字母中任取两个不同字母,则取到字母的概率为答案提示13.等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________.212223242525242322212152:5:log log log log log ,log log log log log ,25log ()5log 410,5.S a a a a a S a a a a a S a a S =++++=++++∴===∴=答案提示设则2121214.()2cos sin cos =1.,,_____________.C C x C C ρθθρθ=坐标系与参数方程选做题在极坐标系中,曲线与的方程分别为与以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系则曲线与交点的直角坐标为2221212:(1,2):2cos sin 2cos =sin ,2,1,,(1,2).C y x C x C C ρθθρθρθ===∴答案提示由得（）故的直角坐标方程为:的直角坐标方程为:交点的直角坐标为15.()1,,2,,___________.:3:, 3.ABCD E AB EB AE AC DE F CDF AEF CDF CD EB AECDFAEF AEF AE AE=∆=∆∆+∆∆∴===∆几何证明选讲选做题如图在平行四边形中点在上且与交于点的周长则的周长答案的周长提示显然的周长16.(本小题满分12分) 已知函数()sin(),3f x A x x R π=+∈，且5()122f π=（1） 求A 的值；（2）若()()(0,)2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-553:(1)()sin()sin 3.121234(2)(1):()3sin(),3()()3sin()3sin()333(sin cos cos sin )3(sin()cos cos()sin )33336sin cos3sin 3sin (0,),2f A A A f xx f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴===+∴--=+--+=+--+-===∴=∈解由得又cos ()3sin()3sin()3cos 36632f θππππθθθθ∴=∴-=-+=-===17. 某车间20名工人年龄数据如下表:(1)求这20名工人年龄的众数与极差;(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差.:(1)2030,401921.-=解这名工人年龄的众数为极差为(2)茎叶图如下:()2222222(1928329330531432340)3:30,20120:(11)3(2)3(1)504132102011(121123412100)25212.62020+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯+⎣⎦=+++++=⨯=年龄的平均数为故这名工人年龄的方差为18.2,,,1, 2.3://,,,,,.(1):;(2).ABCD PD ABCD AB BC PC EF DC E F PD PC EF P AD M MF CF CF MDF M CDE ⊥===⊥⊥-如图四边形为矩形平面作如图折叠折痕其中点分别在线段上沿折叠后点叠在线段上的点记为并且证明平面求三棱锥的体积00:(1):,,,,,,,,,,,,,.11(2),,60,30,==,22,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD MD ABCD MD CD MD PCD CF PCD CF MD CF MF MD MF MDF MD MF M CF MDF CF MDF CF DF PCD CDF CF CD DE EF DC D ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥∠=∴∠=∴解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面平面又易知从而∥2112,,2211.33CDE M CDE CDE CF DE PE S CD DE P CP MD V S MD ∆-∆=∴=∴==⋅=====∴=⋅=={}{}222119.,(3)3()0,.(1);(2);n n n n n n a n S S S n n S n n n N a a *-+--+=∈设各项均为正数的数列的前项和为且满足求的值求数列的通项公式1 92 8 8 8 9 9 93 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 0(3)证明：对一切正整数n ，有()()().311111112211<+++++n n a a a a a a221111*********2221:(1)1:(1)320,60,(3)(2)0,0,2, 2.(2)(3)3()0,:(3)()0,0(),0,30,,2,(1)(1)n n n n n n n n n n n n S S S S S S S S a S n n S n n S S n n a n N S S S n n n a S S n n n n *-=---⨯=+-=∴+-=>∴==⎡⎤-+--+=+-+=⎣⎦>∈∴>+>∴=+⎡∴≥=-=+--+-⎣解令得即即由得从而当时12211222,221,2().313(3):,()(),221644111111(1)2(21)44()()()24411111111144(1)()(1)4444111(1)(1)n k k n a a n n N k k k N k k k k a a k k k k k k k k k k a a a a **⎤=⎦==⨯∴=∈∈+>+-=-+∴==⋅<⋅+++-+⎡⎤⎢⎥=⋅=⋅-⎢⎥⎡⎤⎢⎥-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴+++++又解法一当时(1)1111111()()11111141223(1)444444111111().11434331(1)44111111:(),.(1)2(21)(21)(21)22121(:)n n k k a a n n n n a a k k k k k k +⎡⎤⎢⎥<-+-++-⎢⎥⎢⎥-----+-⎣⎦=-=-<+-+-=<=-++-+-+解法二以下略注解法二的放缩没有解法一的精确,在使用中第一项不放缩时才能得到答案2222002222220.:1(0)(1);(2)(,),,.:(1)3,954,1.94(2),,4x yC a ba bCP x y C P C Pcc e a b a cax yCx y+=>>====∴==-=-=∴+=已知椭圆的一个焦点为求椭圆的标准方程若动点为椭圆外一点且点到椭圆的两条切线相互垂直求点的轨迹方程解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P共个002200222000022222000000(3,2),(3,2).(),(),194(94)18()9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4y y k x xx yy k x x yk x k y kx x y kxk y kx y kx k y kx-±±-=-=-++=⎡⎤++-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--⎣⎦,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:依题意即:即2222200000122220022(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2),13.kyx k x y k y k kxx yP x y+=-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±∴+=两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方程点的轨迹方程为3200121.()1().3(1)();111(2)0,(0,)(,1),()=().222f x x x ax a Rf xa x f x f=+++∈<∈已知函数求函数的单调区间当时试讨论是否存在使得3232000033220002000000200000111111(2):()()1()()()12332221111()()()3222111111()()()()()322422211111()()()(4236122122f x f x x ax a x x a x x x x x x a x x x x x a x ⎡⎤-=+++-+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-+++-++-⎢⎥⎣⎦=-+++++=-解法一2000020020014712)111(0,)(,1),()(),222114147120(0,)(,1).220,1416(712)4(2148)0,0,,01,7x x a x f x f x x a a a a x x +++∴∈=+++=<∴∆=-+=->=>∴<<<若存在使得必须在上有解方程的两根为依题意即0000025711,492148121,,1212155,,,,24425557111(,)(,),(0,)(,1)()().124412222257511(,][,0),(0,)(,1)(1212422a a a x a a x f x f a x f x ∴<-<-<<-=-≠-∴∈----∈=⎧⎫∈-∞---∈⎨⎬⎩⎭即得故欲使满足题意的存在则当时存在唯一的满足当时不存在使1)().2f =00:0,10,()3,11,(1)()(0,1),111(0,)(,1),()=();222()30,()(0,1,(1,5111),()(0,),(,1),422a i a f x x f x f ii a f x a f x <∴-≤--∈-<<-+-+=-解法二若从而由知在区间上是减函数故此时不存在使得若则函数在区间上递减在区间上递增若则在上递减在上递增显然此时不存在满足题意的000000;512)3,11,,(14212525255(1)()0,0,,;222412124513)0,01,,(0,1421775(0)()0,0,,2224124x a x x a f f a a x a x x a f f a -<<-<-∈-+->+>>--<<--<<<-+∈-+->--><--若则若题意中的存在则故只需即则故时存在满足题意的若则若题意中的存在则故只需即则故000007.12:25557111(,)(,),(0,)(,1)()().1244122222575111(,][,0),(0,)(,1)()().12124222a x a x f x f a x f x f <<-∴∈----∈=⎧⎫∈-∞---∈=⎨⎬⎩⎭时存在满足题意的综上所述当时存在唯一的满足当时不存在使。
2014年全国高考文科数学试题及答案-辽宁卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()AB = U ð（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x << 2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i - 3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ． c a b >> 4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5. 设,,a b c 是非零向量，已知命题p ：若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=；命题q ：若//,//a bb c，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ） A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ） A ．2πB ．4π C ．6π D ．8π7. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．84π-B ．82π- C ．8π- D ．82π- 8. 已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ） A ．43-B ．-1C ．34-D ．12- 9. 设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}na a 为递减数列，则（ ）A ．0d >B ．0d <C ．10a d >D ． 10a d <10. 已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为（ ）A ．1247[,][,]4334 B ．3112[,][,]4343-- C ．1347[,][,]3434D ．3113[,][,]4334--11. 将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 12. 当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[5,3]--B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T = .14.已知x ，y 满足条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数34z x y =+的最大值为 .15. 已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .16. 对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值. 18. （本小题满分12分）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.附：22112212211212()n n n n n n n n n χ++++-=，19. （本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 、G 分别为AC 、DC 、AD 的中点.（1）求证：EF ⊥平面BCG ； （2）求三棱锥D-BCG 的体积. 附：椎体的体积公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高. 20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）.（1）求点P 的坐标；（2）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线:l y x =交于A ，B 两点，若PAB ∆的面积为2，求C 的标准方程.21.（本小题满分12分）已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=---，2()(1xg x x ππ=--.证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F.（1）求证：AB 为圆的直径； （2）若AC=BD ，求证：AB=ED.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（1）求M ； （2）当x MN ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.参考答案一、选择题1.D2.A3.D4.B5.A6.B7.C8.C9.D10.A11.B12.C二、填空题13. 20 14. 18 15. 12 16. -1三、解答题 17.解：（Ⅰ）由2BA BC ⋅=得cos 2c a B ⋅=，又1cos 3B =，所以6ac = 由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+ 又3b =，所以2292213a c +=+⨯= 解22613ac a c =⎧⎨+=⎩，得2,3a c ==或3,2a c ==因为a c >，所以3,2a c ==（Ⅱ）在ABC ∆中，sin 3B ==由正弦定理，得2sin sin 339c C B b ==⋅=因为a b c =>，所以C 为锐角，因此7cos 9C === 于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=-1723393927=⋅+= 18.解：（Ⅰ）将22⨯列联表中的数据代入公式计算，得222112212211212()100(60102010)100 4.7627030802021n n n n n n n n n χ++++-⨯⨯-⨯===≈⨯⨯⨯由于4.762 > 3.841，所以由95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异。
2014年辽宁卷文科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)文科数学本试卷共24题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷（选择题）一、单选题1．已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C AB =（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x << 2．设复数z 满足(2)(2)5z i i −−=，则z = （ ） A ．23i + B ．23i − C ．32i + D ．32i −3．已知132a −=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>4．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5．设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ⋅=，0b c ⋅=，则0a c ⋅=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ）A ．2π B ．4π C ．6π D ．8π 7． 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．82π− B ．8π− C ．82π−D ．84π−8．已知点(2,3)A −在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ） A ．43−B ．1−C ．34−D ．12−9． 设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d >10．已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪−∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x −≤的解集为（ ）A ．1247[,][,]4334B ．3112[,][,]4343−−C ．1347[,][,]3434D ．3113[,][,]4334−−11．将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ−上单调递减D ．在区间[,]63ππ−上单调递增12．当[2,1]x ∈−时，不等式32430ax x x −++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]−− B ．9[6,]8−− C ．[6,2]−− D ．[4,3]−−第II 卷（非选择题）22二、填空题13．执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T = .14．已知x ，y 满足条件220{240330x y x y x y +−≥−+≥−−≤，则目标函数34z x y =+的最大值为 .15．已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN的中点在C 上，则AN BN += .16．对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c −+−=，且使2a b +最大时，345a b c−+的最小值为 .三、解答题17．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，3b =，求： （1）a 和c 的值； （2）cos()BC −的值.（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”； （Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取2人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：，19．如图，ABC ∆和 BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===， 0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 、G 分别为AC 、DC 、AD 的中点. （1）求证：EF ⊥平面BCG ； （2）求三棱锥D-BCG 的体积. 附：椎体的体积公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高.20．圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）.（1）求点P 的坐标；（2）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线:l y x =A ，B 两点，若PAB △的面积为2，求C 的标准方程.21．已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=−−−，2()(1xg x x ππ=−+−.证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+>.22．如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F.（1）求证：AB 为圆的直径； （2）若AC=BD ，求证：AB=ED ．23．将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C ． （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +−=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24．设函数()2|1|1f x x x =−+−，2()1681g x x x =−+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N. （1）求M ； （2）当x MN ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)文科数学 (参考答案)1．D 【解析】试题分析：由已知得，{=0A B x x ≤或}1x ≥，故()U C A B ={|01}x x <<．2．A 【解析】 试题分析：5(2)(2)522232z i i z i i z i i−−=∴−==+∴=+− 3．C 【解析】试题分析：因为132(0,1)a −=∈，221log log 103b =<=，112211log log 132c =>=，故c a b >>.4．B 【解析】试题分析：若//,//,m n αα则//m n 或,m n 相交或,m n 异面，故A 错；若m α⊥，n α⊂，，由直线和平面垂直的定义知，m n ⊥，故B 正确；若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n α⊂，故C 错；若//m α，m n ⊥，则n 与α位置关系不确定，故D 错． 5．A 【解析】试题分析：若0a b ⋅=，0b c ⋅=，则,a b b c ⊥⊥，故//a c ，故命题p 是假命题；若//,//a b b c ，则//a c ，故命题q 是真命题，由复合命题真假判断知，p q ∨是真命题，选A ． 6．B 【解析】试题分析：本题是几何概型问题，矩形面积2，半圆面积，所以质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是，故选B ．7．B 【解析】试题分析：由三视图还原几何体，得该几何体是棱长为2的正方体，切去底面半径为1、高为4的两个四分之一圆柱得到的几何体，故体积为2181282V ππ=−⋅⨯⨯=−，选Ｂ． 8．C 【解析】试题分析：由已知得，抛物线22y px =的准线方程为，且过点(2,3)A −，故22p −=−，则4p =，(2,0)F ，则直线AF 的斜率303224k −==−−−，选C ． 9．C试题分析：由已知得，11122nn a a a a −<，即111212n n a a a a −<，1n 1(a )21n a a −−<，又n 1a n a d −−=，故121a d<，从而10a d <，选C ． 10．A【详解】先画出当0x ≥时，函数()f x 的图象，又()f x 为偶函数，故将y 轴右侧的函数图象关于y 轴对称，得y 轴左侧的图象，如下图所示，直线12y =与函数()f x 的四个交点横坐标从左到右依次为3113,,,4334−−， 由图象可知，13134x ≤−≤或31143x −≤−≤−，解得12[,][,]433474x ∈. 故选：A ．11．B 【解析】试题分析：将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，得到23sin[2()]3sin(2)233y x x πππ=−+=−，令22k 22k 232x πππππ−≤−≤+，解得12k ππ+712x k ππ≤≤+，故递增区间为7[,]1212k k ππππ++（k z ∈），当0k =时，得递增区间为7[,]1212ππ，选B ．12．C 【解析】试题分析：不等式32430ax x x −++≥变形为3243ax x x ≥−−．当0x =时，03≥−，故实数a 的取值范围是R ；当(0,1]x ∈时，2343x x x a x −−≥，记2343()x x x f x x−−=，2'4489(x 9)(x 1)()0x x f x x x −++−−+==>，故函数()f x 递增，则max()(1)6f x f ==−，故6a ≥−；当[2,0)x ∈−时，2343x x x a x −−≤，记2343()x x xf x x −−=，令'()0f x =，得x 1=−或x 9=（舍去），当(2,1)x ∈−−时，'()0f x <；当(1,0)x ∈−时，'()0f x >，故min ()(1)2f x f =−=−，则a 2≤−．综上所述，实数a 的取值范围是[6,2]−−．【解析】试题分析：输入3n =，在程序执行过程中，,,i S T 的值依次为0,0,0i S T ===；1,1,i S == 1T =；2,3,4i S T ===；3,6,10i S T ===；4,10,20i S T ===，程序结束．输出20T =． 14．18 【详解】试题分析：画出可行域，如下图所示，将目标函数变形为344zy x =−+，当z 取到最大值时，直线的纵截距最大，故将直线34y x =−向上平移到过点C 时，目标函数取到最大值，240{330x y x y −+=−−=，得(2,3)C ，故max 324318z =⨯+⨯=．15．12 【详解】试题分析：设M,N 的中点坐标为P ，(,),(,),(,),(,),(,)M M N N P P A A B B M x y N x y P x y A x y B x y ,则M A M B x x x x +=−+=0,M A y y +=0,M B y y +=2,2M N P M N P x x x y y y +=+=；由于AN BN +=AN BN +=23⨯=6，所以AN BN +=12. 16．2−【解析】试题分析：法一：判别式法：令2a b t +=，则2b t a =−，代入到224240a ab b c −+−=中，得()()22422420a a t a t a c −−+−−=，即22241840a ta t c −+−=……①因为关于a 的二次方程①有实根，所以()2221842440t t c ∆=−⨯−≥，可得285c t ≤，2a b +取最大值时，或，当时，22345522a b c c −+==−=−≥−， 当时，345550a b c c c −+=+=+>， 综上可知当531,,242c a b ===时，min3452a b c ⎛⎫−+=− ⎪⎝⎭ 17．（1）3,2a c ==；（2）2327【解析】试题分析：（1）由2BA BC ⋅=及向量数量积的定义，得cos 2ca B =，从而6ca =，故再寻求关于,a c 的等式是解题关键．由1cos 3B =，3b =不难想到利用余弦定理，得2292213a c +=+⨯=，进而联立求,a c ； （2）利用差角余弦公式将cos()B C −展开，涉及,B C 的正弦值和余弦值．由1cos 3B =可求sin B ，因为三角形三边确定，故可利用正弦定理或余弦定理求sin ,cosA A 值，代入即可求cos()B C −的值．（1）由2BA BC ⋅=得，cos 2ca B =．又1cos 3B =．所以6ca =．由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+．又3b =．所以2292213a c +=+⨯=．解226,13,ac a c =⎧⎨+=⎩得2,3a c ==或3,2a c ==．因为a c >．所以3,2a c ==． （2）在ABC ∆中，sin 3B ===．由正弦定理得，2sin sin 339c C B b ==⋅=．因a b c =>，所以C为锐角．因此cos C == 79=．于是cos(B )cos cos sin sin C B C B C −=+1723393927=⋅+⋅=． 18．（1）有0095/的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”； （2）710【解析】 试题分析：（Ⅰ）将列联表中的数据代入公式计算，得24.762χ≈，然后再根据表中所提供的数据，即可得到结论；（Ⅱ）首先将从5名数学系的学生中任取3人的一切可能结果的所组成的基本事件空间列出，得到喜欢甜品的学生和不喜欢甜品的学生的基本事件，然后再利用古典概型即可求出结果． 试题解析：解：（Ⅰ）将列联表中的数据代入公式计算，得由于，所以有95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异． （Ⅱ）从5名数学系的学生中任取3人的一切肯能结果的所组成的基本事件空间，，，，，，，，，．其中表示喜欢甜品的学生，，表示不喜欢甜品的学生，，由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的， 用表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这个事件，则=，，，，，，．事件是由7个基本事件组成，因而．19．（1）详见解析；（2）12【分析】 试题分析：（1）由已知得，EF 是 ADC ∆的中位线，故//EF AD ，则可转化为证明 AD ⊥平面BCG ．易证ABC DBC ∆≅∆，则有AC DC =，则在等腰三角形ADC 和等腰三角形ABD 中，且G 是AD 中点，故CG AD ⊥，BG AD ⊥．从而AD ⊥平面BCG ，进而EF ⊥平面BCG ；（2）求四面体体积，为了便于计算底面积和高，往往可采取等体积转化法．由平面ABC ⊥平面BCD ，利用面面垂直的性质，易作出面BCD 的垂线，同时求出点A 到面BCD 的距离，从而可求出点G 到平面BCD 距离，即四面体G BCD −的高，进而求四面体体积．（1）证明：由已知得ABC DBC ∆≅∆．因此AC DC =．又G 为AD 中点，所以CG AD ⊥；同理BG AD ⊥；因此AD ⊥平面BGC ．又//EF AD ．所以EF ⊥平面BCG ．（2）在平面ABC 内．作 AO BC ⊥．交CB 延长线于 O ．由平面ABC ⊥平面BCD ．知AO ⊥平面BDC ．又G 为 AD 中点，因此G 到平面 BCD 距离h 是 AO 长度的一半．在AOB ∆中，0sin 60AO AB =⋅=．所以01111sin12033222D BCG G BCD DBC V V S h BD BC −−∆==⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=．20．（1）；（2）22163x y +=【解析】试题分析：（1）首先设切点P 00(,)x y 00(0,,0)x y >>，由圆的切线的性质，根据半径OP 的斜率可求切线斜率，进而可表示切线方程为004x x y y +=，建立目标函数000014482S x y x y =⋅⋅=．故要求面积最小值，只需确定00x y 的最大值，由22000042x y x y +=≥结合目标函数，易求；（2）设椭圆标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，点P 在椭圆上，代入点得22221a b+=①，利用弦长公式表示AB ，利用点到直线距离公式求高，进而表示PAB △的面积，与①联立，可确定,a b ，进而确定椭圆的标准方程． （1）设切点坐标为00(,)x y 00(0,,0)x y >>．则切线斜率为00x y −．切线方程为000()x y y x x y −=−−．即004x x y y +=．此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积000014482S x y x y =⋅⋅=．由22000042x y x y +=≥知当且仅当00x y ==时，00x y 有最大值．即S 有最小值．因此点P的坐标为．（2）设C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>．点1122(,),(,)A x y B x y ．由点P 在C 上知22221a b +=．并由22221,{x y a b y x +==+得222620b x b ++−=．又12,x x是方程的根，因此1222122{62x x b bx x b +=−−=，由11y x =22y x =+，得122AB x b=−=．由点P 到直线l及2PAB S AB ∆==得429180b b −+=．解得26b =或3．因此26b =，23a =（舍）或23b =， 26a =．从而所求C 的方程为22163x y +=． 21．（1）详见解析；（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）依题意，只需证明函数()f x 在区间(0,)2π上存在唯一零点．往往转化为利用导数判断函数单调性、极值点，从而判断函数大致图象，进而说明零点分布情况．本题当(0,)2x π∈时，'()0f x >，故()f x 在(0,)2π上为增函数，再说明端点函数值异号；（2）与（1）类似，只需证明函数()g x 在区间(,)2ππ上存在唯一零点．但是不易利用导数判断函数cos 2()()11sin x xg x x x ππ=−+−+大致图象，考虑到结论中01x x π+>，故需考虑第二问与第一问的关系，利用（1）的结论，设t x π=−，则(0,)2t π∈，'()()(1sin )f t u t t π=+，根据第一问中()f t 的符号，从而可判断函数()u t 的单调性，进而判断函数()u t 大致图象，确定函数()u t 的零点，寻求函数()g x 的零点与()u t 零点的关系，从而证明不等式． 证明：（1）当(0,)2x π∈时，'()sin 2cos 0f x x x ππ=+−>，所以()f x 在(0,)2π上为增函数．又(0)20f π=−−<．2()4022f ππ=−>．所以存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =． （2）当1(,)2x ππ∈时，化简得cos 2()()11sin x xg x x x ππ=−+−+．令t x π=−．记()()u t g t π=−=−t cos 211sin t t t π−++．(0,)2t π∈．则'()()(1sin )f t u t t π=+．由（1）得，当0(0,x )t ∈时，'()0u t <；当0(,)2t x π∈时，'()0u t >．从而在0(,)2x π上()u t 为增函数，由()02u π=知，当0[,)2t x π∈时，()0u t <，所以()u t 在0[,)2x π上无零点．在0(0,x )上()u t 为减函数，由(0)1u =及0()0u x <知存在唯一00(0,x )t ∈，使得0()0u x =．于是存在唯一0(0,)2t π∈，使得0()0u t =．设10(,)2x t πππ=−∈．100()()()0g x g t u t π=−== ．因此存在唯一的1(,)2x ππ∈，使得1()0g x =．由于10x t π=−，00x t <，所以01x x π+>．22．（1）详见解析；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）要证明AB 为圆的直径，只需证明090BDA ∠=，结合0=90GFA ∠，在GFA ∆和BDA ∆中，只需证明DBA FGA ∠=∠，从而转化为证明DBA DGP ∠=∠，由弦切角定理以及PG PD =很容易证明；（2）要证明ED AB =，由（1）得，只需证明ED 为圆的直径．连接BC DC 、，只需证明DC EP ⊥．只需证明//DC AB ．因为Rt BDA Rt ACB ∆≅∆，故DAB CBA ∠=∠，根据同弧所对的圆周角相等得DCB DAB ∠=∠，故DCB CBA ∠=∠，从而．得证 （1）因为PG PD =．所以PDG PGD ∠=∠．由于PD 为切线，所以PDA DBA ∠=∠．又由于PGD EGA ∠=∠，所以DBA EGA ∠=∠．由于AF EP ⊥，所以090PFA ∠=，090BDA ∠=．故AB 为圆的直径．（2）连接BC DC 、．由于AB 是直径，故090BDA ACB ∠=∠=．在Rt BDA ∆和Rt ACB ∆中，AB BA =，AC BD =．从而Rt BDA Rt ACB ∆≅∆．于是DAB CBA ∠=∠．又因为DCB DAB ∠=∠，所以DCB CBA ∠=∠．又因为DCB DAB ∠=∠，所以DCB CBA ∠=∠．故//DC AB ．由于AB EP ⊥，所以DC EP ⊥，DCE ∠为直角．于是ED 为直径．由（1）得，ED AB =．23．（1）cos ,2sin ,x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）；（2）34sin 2cos ρθθ=−【解析】试题分析：（1）由平面直角坐标系中的伸缩变换得变换前后对应的坐标关系．即11,2,x x y y =⎧⎨=⎩，反解11,x y 并代入圆221x y +=中，得曲线C 的普通方程．进而写出 参数方程；（2）将直线220x y +−=与圆221x y +=联立，求的交点12,P P 的坐标，从而可确定与l 垂直的直线方程111(x )22y −=−．再利用cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化直线的直角坐标方程为极坐标方程．（1）设11(,y )x 为圆上的点，经变换为C 上点(x,y)．依题意，得11,2,x x y y =⎧⎨=⎩由22111x y +=得22()12yx +=．即曲线C 的方程为2214yx +=．故C 的参数方程为cos ,2sin ,x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）． （2）由221,4220,y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+−=⎩解得1,0,x y =⎧⎨=⎩或0,2,x y =⎧⎨=⎩不妨设12(1,0),(0,2)P P ．则线段12PP 的中点坐标为1(,1)2． 所求直线的斜率为12k =．于是所求直线方程为111(x )22y −=−．化为极坐标方程为2cos 4sin ρθρθ−3=−，即34sin 2cos ρθθ=−．考点：1、伸缩变换；2、曲线的参数方程；2、曲线的极坐标方程． 24．（1）403M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）详见解析. 【解析】 试题分析：（1）不等式()1f x ≤变形为2|1|11x x −+−≤，然后分类讨论去绝对号解不等式得不等式解集403M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）解不等式()4g x ≤，得1344N x x ⎧⎫=−≤≤⎨⎬⎩⎭．故304MN x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭．当x MN∈时，304x ≤≤，此时()1f x x =−．代入22()[()]x f x x f x +中为二次函数，求其最大值即可．（1）33,[1,),()1,(,1),x x f x x x −∈+∞⎧=⎨−∈−∞⎩当1x ≥时，由()331f x x =−≤得43x ≤．故413x ≤≤；当1x <时，由()11f x x =−≤得0x ≥，故01x ≤<．所以()1f x ≤的解集为403M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）由2()1681g x x x =−+4≤得1344x −≤≤．1344N x x ⎧⎫=−≤≤⎨⎬⎩⎭，故304M N x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭．当x MN ∈时，()1f x x =−，故22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +=+()xf x =(1)x x =−14=− 211()24x −≤．。
2014年全国高考文科数学试题及答案-上海卷
2014年上海市高考数学试卷（文科）考生注意：1、本试卷共4页，23道试题，满分150分．考试时间120分钟．2、本试卷分设试卷和答题纸。
试卷包括试题与答题要求。
作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。
3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚的填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名。
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1． 函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 .2. 若复数12z i =+，其中i 是虚数单位，则1()z z+z ⋅=___________.3. 设常数a R ∈，函数2()1f x x x a =-+-，若(2)1f =，则(1)f = .4. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为______. 5. 某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共抽取的学生数为 .6. 若实数,x y 满足1xy =，则2x +22y 的最小值为______________. 7. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.8. 在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 .9. 设,0,()1,0,x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围是.10.设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若134lim(...)n n a a a a →∞=+++，则q= .11．若2132()f x x x-=-，则满足0)(<x f 的x 取值范围是 .12.方程sin 1x x =在区间[0,2]π上的所有解的和等于 .13. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）.14. 已知曲线C：x =:6l x =.若对于点(,0)A m 存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 .二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15. 设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ）（A ）充分条件（B ）必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件16. 已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{,}a b ={2a ,2b },则a b +=（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1- 17. 如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB 是在正方形的一条边，(1,2,,7)i P i =是小正方形的其余顶点，则(1,2,,7)i A B A P i ⋅=的不同值的个数为（ ） （A ）7 （B ）5 （C ）3 （D ）1 18. 已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）(A) 无论12,,k P P 如何，总是无解 (B) 无论12,,k P P 如何，总有唯一解 (C) 存在12,,k P P ，使之恰有两解 (D) 存在12,,k P P ，使之有无穷多解三．解答题（本大题共5题，满分74分）19、（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -, 其表面展开图是三角形123PP P ，如图，求△123PP P 的各边长及此三棱锥的体积V .20.（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
2014年高考全国2卷理科数学试题及答案（word精校详细解析版）
2014年高考数学试题（理）第1页【共11页】2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）理科数学一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 设集合M ={0, 1, 2}，N ={}2|320x x x -+£，则MN = A ．{1} B ．{2} C ．{0，1} D ．{1，2} 2. 设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =A ．- 5 B ．5 C ．- 4 + i D ．- 4 -i3. 设向量a,b rr 满足10|a b |+=r r ，6|a b |-=r r ，则a b ×r r =A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 4. 钝角三角形ABC 的面积是12，AB =1，BC =2，则AC = A ．5 B ．5C ．2 D ．15. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是A ．0.8 B ．0.75 C ．0.6 D ．0.45 6. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为A ．1727B ．59C ．1027D ．137. 执行右面程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S = A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 8. 设曲线y =ax -ln(x +1)在点(0,0)处的切线方程为y =2x ，则a = A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 9. 设x ，y 满足约束条件70310350x y x y x y +-£ìï-+£íï--³î，则2z x y =-的最大值为A ．10 B ．8 C ．3 D ．2 结束输出S 1M =，3S =开始输入x ，t1k =k t£M M xk=S M S=+1k k =+是否10. 设F 为抛物线C :23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30º的直线交C 于A , B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为的面积为A ．334B ．938C ．6332D ．9411. 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA =90º，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC =CA =CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为所成的角的余弦值为A ．110B ．25C ．3010D ．2212. 设函数()3sin x f x m p =，若存在()f x 的极值点0x 满足22200[()]x f x m +<，则m 的取值范围是值范围是A ．(,6)(6,+)-¥-¥UB ．(,4)(4,+)-¥-¥UC ．(,2)(2,+)-¥-¥UD ．(,1)(4,+)-¥-¥U第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分.）13. 10()x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________. (用数字填写答案用数字填写答案) 14. 函数()sin(2)2sin cos()f x x x j j j =+-+的最大值为_________. 15. 已知偶函数f (x )在[0, +∞)单调递减，f (2)=0. 若f (x -1)>0，则x 的取值范围是_________. 16. 设点M (0x ,1)，若在圆O :221x y +=上存在点N ，使得∠OMN =45º，则0x 的取值范围是________. 三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题12分）已知数列{a n }满足a 1 =1，a n +1 =3a n +1. （Ⅰ）证明1{}2n a +是等比数列，并求{a n }的通项公式；的通项公式；（Ⅱ）证明：123111 (2)n a a a +++<. 18. （本小题12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB // 平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D -AE -C 为60º，AP =1，AD =3，求三棱锥E -ACD 的体积. 19. （本小题12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：据如下表：年份年份2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121ˆni i i ni i t t y y bt t ==--=-åå，ˆˆa y bt=-. 20. （本小题12分）设F 1，F 2分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . （Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a, b . 21. （本小题12分）已知函数()2x xf x e e x -=--. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；的单调性；（Ⅱ）设()(2)4()g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >，求b 的最大值；的最大值； （Ⅲ）已知1.41422 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）. 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题10分）【选修4-1:几何证明选讲】如图，P 是⊙O 外一点，P A 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B 、C ，PC =2P A ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E . 证明：（Ⅰ）BE = EC ；（Ⅱ）AD ·DE = 2PB 2. 23.（本小题10分）【选修4-4:坐标系与参数方程】在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，轴为极轴建立极坐标系，半圆半圆C 的极坐标方程为2cos r q =，[0,]2p q Î. （Ⅰ）求C 的参数方程；的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标. 24. （本小题10分）【选修4-5:不等式选讲】设函数1()||||(0)f x x x a a a=++->. （Ⅰ）证明：f (x ) ≥ 2；（Ⅱ）若f (3) < 5，求，求a 的取值范围. 2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）理 科 数 学参考答案一、选择题：1．【答案：D 】 解析：∵2={|320}{|12}N x x x x x -+£=££，∴{1,2}M N =. 2．【答案：A 】解析：∵12i z =+，复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴22z i =-+，∴2212(2)(2)2145z z i i i =+-+=-=--=-. 3．【答案：A 】解析：2222||10||6210,26,a b a b a b a b a b a b +=-=\++×=+-×=，两式相减得：1a b ×=. 4．【答案：B 】 解析：∵1||||sin 2ABC S AB BC B D =××，即：1112sin 22B =×××，∴2sin 2B =，即45B =或135．又∵222||||||2||||cos AC AB BC AB BC B =+-××，∴2||1AC =或5，又∵ABC D 为钝角三角形，∴2||5AC =，即：||5AC =. 5．【答案：A 】解析：设A =“某一天的空气质量为优良”，B =“随后一天的空气质量为优良”，则()0.6(|)0.8()0.75P AB P B A P A ===. 6．【答案：C 】解析：原来毛坯体积为π·32·6=54π (cm 2)，由三视图得，该零件由左侧底面半径为2cm ，高为4cm 的圆柱和右侧底面半径为3cm ，高为2cm 的圆柱构成，所以该零件的体积为：π·32·2+π·22·4=34π (cm 2)，则切削掉部分的体积为54π-34π =20π(cm 2)，所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为20105427p p =. 7．【答案：D 】解析：输入的x ，t 均为2．判断12£？是，1221M =×=，235S =+=，112k =+=；判断22£？是，2222M =×=，257S =+=，213k =+=，判断32£？否，输7. 8．【答案：D 】解析：∵1'1y a x =-+，且在点(0,0)处的切线的斜率为2，∴01'|201x y a ==-=+，即3a =. 9．【答案：B 】解析：作出x ，y 满足约束条件70310350x y x y x y +-£ìï-+£íï--³î所表示的平面区域为如图阴影部分，做出目标函数l 0：y =2x ，∵y =2x -z ，∴当y =2x -z 的截距最小时，z 取最大值. 当y =2x -z 经过C 点时，z 取最大值.由31070x y x y -+=ìí+-=î得C (5,2)，此时z 取最大值为2×5-2=8. 10．【答案：D 】解析：∵3(,0)4F ，∴设直线AB 的方程为33()34y x =-，代入抛物线方程得：22190216x x -+=，设11(,)A x y 、22(,)B x y ，∴12212x x +=，12916x x ×=，由弦长公式得221212||(1)[()4]12AB k x x x x =++-=，由点到直线的距离公式得：O 到直线AB 的距离2233|00|33483()(1)3d ´--==+-，∴13912284OAB S D =´´=. 【另解】直线AB 的方程33()34y x =-代入抛物线方程得：2412390y y --=，∴1233y y +=，1294y y ×=-，∴21212139()4244OAB S y y y y D =´´+-=. 11．【答案：C 】解析：取BC 的中点P ，连结NP 、AP ， ∵M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，∴四边形NMBP 为平行四边形，∴BM //PN ，∴所求角的余弦值等于∠ANP 的余弦值，不妨令BC =CA =CC 1=2，则AN =AP =5，NP =MB=6，∴222||||||cos 2||||AN NP AP ANP AN NP +-Ð=´×l 0l 1 3x-y-5=0yxo 1 2 x-3y+1=0l 2x+y-7=05 2 CAB ACB1A 1C1BNMP222(5)(6)(5)3010256+-==´´. 【另解】如图建立坐标系，令AC =BC =C 1C =2，则A (0, 2, 2)，B (2, 0, 2)，M (1, 1, 0)，N (0, 1, 0)， (1,1,2)(0,1,2),BM AN \=--=--，01430cos .10||||65BM AN θBM AN ×-+===×12．【答案：C 】 解析：∵()3cosxf x mmpp ¢=，令()3c o s0xf x mm pp ¢==得1(),2x m k k Z =+Î，∴01(),2x m k k Z =+Î，即01|||||()|22m x m k =+³，m x x f πsin 3)(= 的极值为3±，∴3)]([20=x f ，，34)]([22020+³+\mx f x 22200[()]x f x m +<，2234∴m m<+，即：24m >，故：2m <-或2m >. 二、填空题： 13．【答案：12】 解析：∵10110r r rr T C x a -+=，∴107r -=，即3r =，∴373741015T C x a x ==，解得12a =. 14．【答案：1 】解析：∵()sin(2)2sin cos()sin[()]2sin cos()f x x x x x j j j j j j j =+-+=++-+sin cos()cos sin()2sin cos()cos sin()sin cos()sin x x x x x xj j j j j j j j j j =+++-+=+-+=∵x R Î，∴()f x 的最大值为1. 15．【答案：(1,3)- 】解析：∵()f x 是偶函数，∴(1)0(|1|)0(2)f x f x f ->Û->=，又∵()f x 在[0,)+¥单调递减，∴|1|2x -<，解得：13x -<< 16．【答案：[1,1]-】解析：由图可知点M 所在直线1y =与圆O 相切，又1ON =，由正弦定理得sin sin ON OM OMN ONM =ÐÐ，∴1sin 22OM ONM=Ð，即2sin OM ONM =Ð，∵0ONM p £Ð£，2OM 2012x 011x . 【另解】过OA ⊥MN ，垂足为A ，因为在Rt △OMA 中，|OA|≤1，∠OMN =45º，所以||||sin 45OA OM =o=2||12OM £，解得||2OM £，因为点M (x 0, 1)，所以20||12O M x=+£，解得011x -££，故0x 的取值范围是[1,1]-. 三、解答题：17．解析：（Ⅰ）证明：∵131n n a a +=+，∴1113()22n n a a ++=+，即：112312n n a a ++=+， 又11322a +=，∴1{}2n a +是以32为首项，3为公比的等比数列．∴113322n n a -+=×，即312nn a -=. （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知312n n a -=，∴11231()3133n n n n n a -=£=Î-N*， ∴21211()11111131331[1()]133323213n n n na a a -++×××+£+++×××+==-<-故：1211132n a a a ++×××+< 18．解析：（Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于点O ，连结OE ．∵底面ABCD 为矩形， ∴点O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，∴//OE PB ，∵OE Ì平面AEC ，PB Ë平面AEC ，∴PB //平面AEC . （Ⅱ）以A 为原点，直线AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设AB a =，则(0,3,0)D ，(0,0,0)A ，31(0,,)22E ，(,3,0)C a ，∴31(0,,)22AE =，(,3,0)AC a =，设(,,)n x y z =是平面AEC 的法向量，则3102230n AE y z n AC ax y ì×=+=ïíï×=+=î，解得：33a y x z y ì=-ïíï=-î，令3x =，得(3,,3)n a a =--，PBCDEA又∵(,0,0)AB a =是平面AED 的一个法向量，∴231|cos ,|cos60234a AB n a a<>===×+， 解得32a =，∴11111313||||||332232228E ACD V AD CD AP -=´´´´=´´´´=. 19．解析：（Ⅰ）由题意得：4t =， 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 4.37y ++++++==， ∴2222222(3)(1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.110.520.93 1.60.5(3)(2)(1)0123b -´-+-´-+-´-+´+´+´+´==-+-+-++++，∴ˆ 4.30.54 2.3a y bt =-=-´=，故所求线性回归方程为：ˆ0.5 2.3yt =+. （Ⅱ）由（Ⅰ）中的回归方程的斜率0.50k =>可知，2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐渐增加．令9t =得：0.59 2.3 6.8y =´+=，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元。
2014年高考数学试卷 新课程全国卷分析 大纲全国卷 上海卷 试题的特点和启示
( D) B． s甲 s丙 s乙 D． s丙 s甲 s乙
频率 0.30 0.20 环数 7 8 9 10 环数 频率
图1
图2
图3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）已知复数 Z a bi （其中 i 为虚数单位） ，若 | a | 1 且 | b | 1 ， 则 | Z | 1 的概率为
． 4
2．思维考查，层次分明 例 2： 方程 sin x 3 cos x 1 在区间 [0, 2 ] 上的所 有解的和等于 .
2．透过现象，关注本质，考查能力 中学数学教学，不但是数学知识的教学，也是理性思维的 教学。鉴于这个特点，部分试题更注重较为深入的分析， 而不是对数学知识的机械记忆。但考虑到中学生普遍缺乏 社会实践的实际，今年结合实际背景的数学试题都没有太 大的难度，只要考生平时没有忽视教材内容，解答就不费 力，这也是鼓励考生理解数学概念的本质及其关联，养成 理性思维习惯，提高分析问题的能力。值得注意的是，有 些考题直接取自教材，这提醒考生在日常学习中切勿偏离 课本。同时数学试卷中的原创性试题，注重对探究与创新 能力的考查，也是在体现公平的基础上，尽可能兼顾题目 自身的美感。
法一：逐一计算 AP i （ i 1, 2, 计算 AB AP i (i 1, 2,
, 7 ）的模长及与 AB 的夹角，再
,7) 的值并归类；
法二：以 A 为原点建立平面直角坐标系，进行坐标运算，在归类；
法三：紧扣数量积运算的几何意义， AB AP i (i 1,2, 是 AP i 在 AB 上的投影再乘于 AB 的模。
法二：三角恒等变换： sin x 3 cos x 2sin( x
3
) 1
2014年天津卷文科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文科数学本试卷共20题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：•如果事件A ，B 互斥，那么 •圆锥的体积公式13V Sh =.()()()P A B P A P B =+其中S 表示圆锥的底面面积，•圆柱的体积公式V Sh =. h 表示圆锥的高. 其中S 表示棱柱的底面面积， h 表示棱柱的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）i 是虚数单位，复数734ii+=+（ ） （A ）1i - （B ）1i -+ （C ）17312525i + （D ）172577i -+ （2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +−⎧≥−−≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（3）已知命题p ：0x ">，总有()11xx e +>，则p Ø为（ ）（A ）00x $£，使得()0011xx e £+ （B ）00x $>，使得()0011xx e £+（C ）0x ">，总有()11x x e +£ （D ）0x "£，总有()11xx e +£（4）设2log a p =，12log b p =，2c p-=，则（ ）（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）a c b >> （D ）c b a >>（5）设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ）（A ）2 （B ）-2 （C ）12 （D ）12− （6）已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）（A ）221520x y -= （B ）221205x y -= （C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -=（7）如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF Ð；②2FB FD FA =?；③AE CE BE DE ??；④AF BD AB BF ??.则所有正确结论的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④（8）已知函数()cos f x x x w w =+()0w >，x R Î，在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3p，则()f x 的最小正周期为（ ） （A ）2p（B ）23p （C ）p （D ）2p第Ⅱ卷注意事项：1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
全国新课标2卷高考文科数学及答案
普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分， 共150分， 考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题， 每小题5分， 共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合{}{}30|,21|<<=<<-=x x B x x A ， 则=⋃B A ( )A ．(－1,3)B ．(－1,0)C ．(0,2)D ．(2,3)2．若a 为实数， 且i iai+=++312， 则=a ( )A ．－4B ．－3C ．3D ．43．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图， 以下结论中不正确的是( )A ．逐年比较， 2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4．向量()1,1-=a ， ()2,1-=b ， 则()=⋅+a b a 2 ( )A ．－1B ．0C ．1D ．25．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和， 若3531=++a a a ， 则=5S ( )A ．5B ．7C ．9D ．116.一个正方体被一个平面截去一部分后， 剩余部分的三视图如右图， 则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.157．已知三点()01，A ()30，B ， ()32，C ， 则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213 C.253D.438.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图， 若输入的a ， b 分别为14,18， 则输出的=a ( ) 第8题图A ．0B ．2C ．4D ．14 9．已知等比数列{}n a 满足411=a ， ()14453-=a a a ， 则=2a ( ) A ．2 B ．1 C.12 D.1810．已知A ， B 是球O 的球面上两点， ∠AOB ＝90°， C 为该球面上的动点．若三棱锥O ABC 体积的最大值为36， 则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π11.如图， 长方形ABCD 的边AB ＝2， BC ＝1， O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ， CD 与DA 运动， 记∠BOP ＝x ， 将动点P 到A ， B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )， 则y ＝f (x )的图象大致为( )12.设函数()()2111ln x x x f +-+=， 则使得()()12->x f x f 成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.()∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞，，131-C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13D.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞，，3131-- 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题， 每小题5分， 共20分．把答案填在题中横线上)13．已知函数()x ax x f 23-=的图象过点()4,1-， 则=a ________.14．若x ， y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0，则y x z +=2的最大值为________．15．已知双曲线过点()34，， 且渐近线方程为x y 21±=， 则该双曲线的标准方程为________． 16．已知曲线x x y ln +=在点()1,1处的切线与曲线()122+++=x a ax y 相切， 则=a ________.三、解答题(解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分) ABC ∆中， D 是BC 上的点， AD 平分BAC ∠， DC BD 2= (1)求CB sin sin (2)若︒=∠60BAC ， 求B ∠ 18.(本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度， 从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户， 根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表．图①B 地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50,60) [60,70) [70,80)[80,90)[90,100]频数 2 8 14 10 6(1)在图②中作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值， 给出结论即可)．图②(2)根据用户满意度评分， 将用户的满意度分为三个等级： 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．19.(本小题满分12分)如图， 长方体1111D C B A ABCD -中， 16=AB ，10=BC ,81=AA ， 点E ,F 分别在11B A ,11C D 上， 411==F D E A .过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交， 交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．20.(本小题满分12分)已知椭圆C ：12222=+by a x ()0.>>b a 的离心率为22， 点()22，在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴， l 与C 有两个交点A ,B ， 线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．21.(本小题满分12分)已知函数()()x a x x f -+=1ln ．(1)讨论()x f 的单调性；(2)当()x f 有最大值， 且最大值大于22-a 时， 求a 的取值范围． 请考生在第22、23、24题中任选一题作答， 如果多做， 则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ== （I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值 24.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设a ， b ， c ， d 均为正数， 且a ＋b ＝c ＋d .证明： (1)若ab >cd ， 则a ＋b>c ＋d ；(2)a ＋b>c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．1、选A2、故选D3、选D4、选C5、解：在等差数列中， 因为.,5525)(,1,335153531A a a a S a a a a 故选所以==⨯+===++6、解：如图所示， 选D.7、选B. 8、故选B.9、解：因为{}),1(4,414531-==a a a a a n 满足所以， .21241,2,2),1(4123144424=⨯=====-=q a a q q a a a a a 所以，所以又解得故选C.10、解：因为A,B 都在球面上， 又为该球面上动点，C AOB ,90︒=∠所以 三棱锥的体积的最大值为3661213132==⨯⨯R R R ， 所以R=6， 所以球的表面积为 S=14442=R ππ， 故选C.11、解：如图， 当点P 在BC 上时，,tan 4tan ,tan 4,tan ,22x x PB PA x PA x PB x BOP ++=+∴+===∠Θ当4π=x 时取得最大值51+，以A,B 为焦点C,D 为椭圆上两定点作椭圆， 显然， 当点P 在C,D 之间移动时PA+PB<51+. 又函数)(x f 不是一次函数， 故选B.12、解：因为函数时函数是增函数是偶函数，),0[,11)1ln()(2+∞∈+-+=x xx x f .131,)12(,12)12()(22<<->∴->∴->x x x x x x f x f 解得Θ故选A.第二卷一、填空题：本大题共4个小题， 每小题5分 13、答：a=-214、解：当x=3,y=2时， z=2x+y 取得最大值8.15、解：设双曲线的方程为.43,4),0(422=≠=-k k k y x ）代入方程，解得，点（1422=-∴y x 双曲线的标准方程为16、解：.122,11'-=∴+=x y xy ，切线方程为切线的斜率为.8120.08,08,021)2(12222=+=====-=∆=+++++=-=a x y a a a a a ax ax x a ax y x y 所以与切线平行，不符。