2021年高考数学一轮复习《圆的方程》精选练习(含答案)
2021高考数学一轮复习专练46圆的方程含解析文新人教版
专练46 圆的方程命题范围：圆的标准方程和一般方程[基础强化]一、选择题1．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝02．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y －1)2＝23．[2020·兰州一中高三测试]已知点A 是直角△ABC 的直角顶点，且A (2a,2)，B (－4，a )，C (2a ＋2,2)，则△ABC 外接圆的方程是( )A ．x 2＋(y －3)2＝5B ．x 2＋(y ＋3)2＝5C ．(x －3)2＋y 2＝5D ．(x ＋3)2＋y 2＝54．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2y ＋a ＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B．(－2，＋∞) C ．(－∞，2) D ．(－∞，1)5．点P (5a ＋1,12a )在(x －1)2＋y 2＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．|a |<1B ．a <113C ．|a |<15D ．|a |<1136．直线y ＝kx －2k ＋1恒过定点C ，则以C 为圆心，以5为半径的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝5B ．(x －2)2＋(y －1)2＝25C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝25D ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝57．[2020·兰州一中高三测试]已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切，圆心在直线y ＝－x －4，则圆M 的方程为( )A ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1B ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝18．[2020·厦门高三测试]圆(x －1)2＋(y －1)2＝2关于直线y ＝kx ＋3对称，则k 的值是( )A ．2B ．－2C ．1D ．－19．[2020·山西孝义高三测试]已知P 为直线x ＋y －2＝0上的点，过点P 作圆O ：x 2＋y 2＝1的切线，切点为M ，N ，若∠MPN ＝90°，则这样的点P 有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个 二、填空题10．若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的个数为________．11．过点A (1，－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是________________．12．直线l ：x 4＋y3＝1与x 轴、y 轴分别相交于A 、B ，O 为坐标原点，则△AOB 内切圆的方程为________．[能力提升]13．[2020·湖南师大附中高三测试]已知一个圆的圆心在曲线y ＝2x(x >0)上，且与直线2x ＋y ＋1＝0相切，则当圆的面积最小时，该圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝5B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －2)2＋(y －1)2＝2514．在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，则切线的方程为________．15．已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.16．已知点P (x ，y )在(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，则x ＋y 的取值范围是________.专练46 圆的方程1．D 设所求的直线l 的方程为x －y ＋C ＝0，∵直线l 过圆心(0,3)，∴－3＋C ＝0，C ＝3，故所求的直线方程为x －y ＋3＝0.2．D 半径r ＝1－02＋1－02＝2，∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.3．D ∵A 为直角，∴AB ⊥AC ，∴2a ＝－4，a ＝－2，∴△ABC 外接圆的圆心(－3,0)，半径r ＝BC 2＝－4＋22＋－2－222＝5，∴所求的圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝5.4．C 由题意得D 2＋E 2－4F >0，∴4＋4－4a >0， ∴a <2.5．D 由题意得25a 2＋144a 2<1，∴a 2<1132，得|a |<113.6．B ∵y ＝kx －2k ＋1恒过定点(2,1)，则所求的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝25.7．C 3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0的距离为d ＝|10－0|32＋－42＝2，显然圆的半径r ＝22＝1，与3x －4y ＝0和3x －4y ＋10＝0的距离相等的直线为3x －4y ＋5＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋5＝0，y ＝－x －4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1，∴圆心(－3，－1)，∴所求的圆的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1.8．B 由题意得圆心(1,1)在直线y ＝kx ＋3上， ∴k ＝－2.9．B 连接OM ，ON ，则OM ＝ON ，∠MPN ＝∠ONP ＝∠OMP ＝90°， ∴四边形OMPN 为正方形，∵r ＝1，∴|OP |＝2，又原点到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|－2|12＋12＝2， ∴符合条件的点P 只有一个． 10．1解析：方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件是a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23，又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，∴仅当a ＝0时该方程表示圆．11．(x －1)2＋(y －1)2＝4解析：线段AB 的中垂直线方程为y ＝x ，则圆心坐标(x ，y )应满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －2＝0.∴x ＝y ＝1.半径r ＝1－12＋－1－12＝2，∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.12．(x －1)2＋(y －1)2＝1解析：设△AOB 内切圆的圆心为M (m ，m )(m >0)，半径为m ，直线x 4＋y3＝1可化为3x ＋4y －12＝0，由题意得|3m ＋4m －12|32＋42＝m ，得m ＝1或m ＝6(舍去)．∴△OAB 内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.13．A 设圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，2x (x >0)，r ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x ＋2x ＋15≥55＝5，当且仅当x ＝1时等号成立，所以当圆的面积最小时，即圆的半径最小时，此时圆心(1,2)，半径为5，所以圆的方程为(x－1)2＋(y －2)2＝5.14．y ＝3或3x ＋4y －12＝0解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝2x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.所以圆心C (3,2)．若k 不存在，不符合题意；若k 存在，则设切线方程为y ＝kx ＋3，可得圆心到切线的距离d ＝r ，即3k ＋3－21＋k 2＝1，解得k ＝0或k ＝－34.则所求的切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.15．4解析：如图：∵y ＝33x ＋23，∴k AC ＝－3， ∴∠ACD ＝60°，过D 作DE ⊥AC 于E ，则|DE |＝|AB |.∵圆心到直线l 的距离d ＝61＋3＝3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝r 2－d 2＝12－9＝3. ∴|AB |2＝12，则|AB |＝2 3.在Rt△DEC 中，|CD |＝|AB |sin60°＝2332＝4.16．[－2－1，2－1]解析：设x ＝2＋cos α，y ＝－3＋sin α∴x ＋y ＝sin α＋cos α－1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－1∈[－2－1，2－1]．。
【步步高】2021届高考数学第一轮知识点巩固题库 第2讲 圆的方程（含解析）新人教A版 (1)
第2讲 圆的方程一、选择题1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，那么以线段AB 为直径的圆的方程是( )． A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝2C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4解析 AB 的中点坐标为：(0,0)， |AB |＝[1－－1]2＋－1－12＝22，∴圆的方程为：x 2＋y 2＝2. 答案 A2．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，假设0<a <1，那么原点与圆的位置关系是( )． A ．原点在圆上 B ．原点在圆外 C ．原点在圆内D ．不确信解析 将圆的一样方程化为标准方程(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0<a <1，因此(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0，因此原点在圆外． 答案 B3．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，那么圆C 2的方程为( ) A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析 只要求出圆心关于直线的对称点，确实是对称圆的圆心，两个圆的半径不变．设圆C 2的圆心为(a ，b )，那么依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a －12－b ＋12－1＝0，b －1a ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，对称圆的半径不变，为1.答案 B4．假设圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，那么半径r 的取值范围是( )．A ．(4,6)B ．[4,6)C ．(4,6]D ．[4,6]解析 因为圆心(3，－5)到直线4x －3y －2＝0的距离为5，因此当半径r ＝4 时，圆上有1个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，当半径r ＝6时，圆上有3个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，因此圆上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1时，4＜r ＜6. 答案 A5．已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，那么实数m 的值为( )．A ．8B ．－4C ．6D ．无法确信解析 圆上存在关于直线x －y ＋3＝0对称的两点，那么x －y ＋3＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，0，即－m2＋3＝0，∴m ＝6.答案 C6．圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3的圆与直线l ：x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，且知足OP →·OQ →＝0，那么圆C 的方程为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －3)2＝52B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋3)2＝52C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝254D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋3)2＝254 解析 法一 ∵圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，∴设圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝r 2.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．由圆方程与直线l 的方程联立得：5x 2＋10x ＋10－4r 2＝0， ∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝10－4r 25.由OP →·OQ →＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0，即： 54x 1x 2－34(x 1＋x 2)＋94＝10－4r 24＋154＝0， 解得r 2＝254，经查验知足判别式Δ>0.故圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝254.法二 ∵圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，∴设圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝r 2，在所给的四个选项中只有一个方程所写的圆心是正确的，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝254，应选C.答案 C 二、填空题7．过两点A (0,4)，B (4,6)，且圆心在直线x －2y －2＝0上的圆的标准方程是________． 解析 设圆心坐标为(a ，b )，圆半径为r ，那么圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， ∵圆心在直线x －2y －2＝0上，∴a －2b －2＝0，①又∵圆过两点A (0,4)，B (4,6)，∴(0－a )2＋(4－b )2＝r 2，②且(4－a )2＋(6－b )2＝r 2，③ 由①②③得：a ＝4，b ＝1，r ＝5， ∴圆的方程为(x －4)2＋(y －1)2＝25. 答案 (x －4)2＋(y －1)2＝258．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (0，－1)，B (0,1)．P 是圆C 上的动点，当|PA |2＋|PB |2取最大值时，点P 的坐标是________．解析 设P (x 0，y 0)，那么|PA |2＋|PB |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2， 显然x 20＋y 20的最大值为(5＋1)2，∴d max ＝74，现在OP →＝－6PC →，结合点P 在圆上，解得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫185，245.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫185，2459．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，那么圆C的方程为________．解析 由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所组成的三角形及其内部，因此覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，又△OPQ 为直角三角形，故其圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径为|PQ |2＝5，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 答案 (x －2)2＋(y －1)2＝510．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (－1,0)，B (1,0)，点P 是圆上的动点，那么d ＝|PA |2＋|PB |2的最大值为________，最小值为________．解析 设点P (x 0，y 0)，那么d ＝(x 0＋1)2＋y 20＋(x 0－1)2＋y 20＝2(x 20＋y 20)＋2，欲求d 的最值，只需求u ＝x 20＋y 20的最值，即求圆C 上的点到原点的距离平方的最值．圆C 上的点到原点的距离的最大值为6，最小值为4，故d 的最大值为74，最小值为34. 答案 74 34 三、解答题11．已知以点P 为圆心的圆通过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解 (1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，那么由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又直径|CD |＝410，∴|PA |＝210，∴(a ＋1)2＋b 2＝40，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)，∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.12．已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上． (1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．解 (1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，依照题意得：⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＋－1－b 2＝r 2，－1－a 2＋1－b2＝r 2，a ＋b －2＝0，解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)因为四边形PAMB 的面积S ＝S △PAM ＋S △PBM ＝12|AM |·|PA |＋12|BM |·|PB |，又|AM |＝|BM |＝2，|PA |＝|PB |，因此S ＝2|PA |， 而|PA |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，即S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可， 即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小， 因此|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，因此四边形PAMB 面积的最小值为S ＝2|PM |2min －4＝232－4＝2 5. 13．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r >0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值．解(1)设圆心C (a ，b )，那么⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，那么圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2， 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，那么x 2＋y 2＝2，且PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2， 令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，∴PQ →·MQ →＝x ＋y －2＝2(sin θ＋cos θ)－2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2，因此PQ →·MQ →的最小值为－4.14．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 知足|PA |＝2|PB |. (1)假设点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)假设点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2通过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值． 解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )， 则x ＋32＋y 2＝2x －32＋y 2.化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图， 由直线l 2是此圆的切线，连接CQ ， 那么|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值， |CQ |＝|5＋3|2＝42，现在|QM|的最小值为32－16＝4.。
2021版新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第3讲 圆的方程
第3讲圆的方程一、知识梳理1．圆的方程2.点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系．(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.常用结论1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2．二元二次方程表示圆的条件对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一条件．二、教材衍化1．圆x2＋y2－2x＋4y－6＝0的圆心坐标________，半径________．答案：(1，－2)112．若圆的圆心为(－8，3)，且经过点(－5，0)，则圆的标准方程为________．答案：(x＋8)2＋(y－3)2＝183．在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________．答案：x2＋y2－2x＝0一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．()(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√二、易错纠偏常见误区|(1)忽视方程表示圆的条件D2＋E2－4F＞0；(2)错用点与圆的位置关系判定．1．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A ．14＜m ＜1B ．m ＜14或m ＞1C ．m ＜14D ．m ＞1解析：选B ．由(4m )2＋4－4×5m ＞0，得m ＜14或m ＞1.2．点(1，1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为点(1，1)在圆的内部， 所以(1－a )2＋(1＋a )2＜4， 所以－1＜a ＜1. 答案：(－1，1)考点一 求圆的方程(基础型)复习指导| 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．核心素养：数学运算(1)圆心在x 轴上，半径长为2，且过点A (2，1)的圆的方程是( )A ．(x －2－3)2＋y 2＝4B ．(x －2＋3)2＋y 2＝4C ．(x －2±3)2＋y 2＝4D ．(x －2)2＋(y －1)2＝4(2)(一题多解)圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程为________．【解析】 (1)根据题意可设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝4，因为圆过点A (2，1)，所以(2－a )2＋12＝4，解得a ＝2±3，所以所求圆的方程为(x －2±3)2＋y 2＝4.(2)法一：设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a )．又该圆经过A ，B 两点，所以|CA |＝|CB |， 即(2a ＋3－2)2＋(a ＋3)2＝(2a ＋3＋2)2＋(a ＋5)2，解得a ＝－2， 所以圆心C 的坐标为(－1，－2)，半径r ＝10， 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.法二：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.法三：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－D2－2×⎝⎛⎭⎫－E 2－3＝0，4＋9＋2D －3E ＋F ＝0，4＋25－2D －5E ＋F ＝0，解得D ＝2，E ＝4，F ＝－5.故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0.【答案】 (1)C (2)x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0求圆的方程的两种方法(1)直接法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．[提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．1．(2020·内蒙古巴彦淖尔月考)在平面直角坐标系中，点O (0，0)，A (2，4)，B (6，2)，则三角形OAB 的外接圆方程是________．解析：设三角形OAB 的外接圆方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由点O (0，0)，A (2，4)，B (6，2)在圆上可得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，4＋16＋2D ＋4E ＋F ＝0，36＋4＋6D ＋2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＝－6，E ＝－2，故三角形的外接圆方程为x 2＋y 2－6x －2y ＝0.答案：x 2＋y 2－6x －2y ＝02．若圆C 经过坐标原点与点(4，0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________． 解析：因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0，0)和(4，0)，设圆心为(2，m )，又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |，解得m ＝－32，所以圆C的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254. 答案：(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254考点二 与圆有关的最值问题(综合型)复习指导| 求解此类问题常利用数形结合思想或函数思想． 角度一 借助几何性质求最值已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求yx 的最大值和最小值；(2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．【解】 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆． (1)yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3(如图1)．所以yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6(如图2)． 所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.与圆有关的最值问题的三种几何转化法(1)形如μ＝y －bx －a 形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．角度二 建立函数关系求最值设点P (x ，y )是圆：(x －3)2＋y 2＝4上的动点，定点A (0，2)，B (0，－2)，则|P A →＋PB →|的最大值为________．【解析】 由题意，知P A →＝(－x ，2－y )，PB →＝(－x ，－2－y )，所以P A →＋PB →＝(－2x ，－2y )，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程(x －3)2＋y 2＝4，故y 2＝－(x －3)2＋4，所以|P A →＋PB →|＝4x 2＋4y 2＝26x －5.由圆的方程(x －3)2＋y 2＝4，易知1≤x ≤5，所以当x ＝5时，|P A →＋PB →|的值最大，最大值为26×5－5＝10.【答案】 10建立函数关系式求最值根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值．1．(2020·厦门模拟)设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，则P A →·PB →的最大值为________．解析：由题意，知P A →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以P A →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以P A →·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.易知2≤y ≤4，所以，当y ＝4时，P A →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12.答案：122．已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y －1)2＝1，则z ＝y ＋1x 的最大值与最小值分别为________和________．解析：由题意，得y ＋1x 表示过点A (0，－1)和圆(x －2)2＋(y －1)2＝1上的动点P (x ，y )的直线的斜率．当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值．设切线方程为y ＝kx －1，即kx －y －1＝0，则|2k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝4±73，所以z max ＝4＋73，z min＝4－73. 答案：4＋73 4－73考点三 与圆有关的轨迹问题(综合型)已知A(2，0)为圆x2＋y2＝4上一定点，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．【解】(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.与圆有关的轨迹问题的四种求法已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B (3，0)．求：(1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程． 解：(1)法一：设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1， 又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．法二：设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1，0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)． (2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3，0)，M 是线段BC 的中点， 由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)， 将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．[基础题组练]1．已知圆C 的圆心为(2，－1)，半径长是方程(x ＋1)(x －4)＝0的解，则圆C 的标准方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝4B ．(x －2)2＋(y －1)2＝4C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝16D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝16解析：选C ．根据圆C 的半径长是方程(x ＋1)(x －4)＝0的解，可得半径长为4，故要求的圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝16.2．(2020·河北九校第二次联考)圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2－y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2－4x ＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0解析：选C ．由题意设所求圆的方程为(x －m )2＋y 2＝4(m ＞0)，则|3m ＋4|32＋42＝2，解得m＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，故选C ．3．方程|x |－1＝1－(y －1)2所表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．两个圆 C ．半个圆D ．两个半圆解析：选D ．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(|x |－1)2＋(y －1)2＝1，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋(y －1)2＝1，x ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，x ≤－1. 故原方程表示两个半圆．4．(2020·湖南长沙模拟)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22D ．2＋2 2解析：选A ．将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d＋1＝2＋1，选A ．5．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选A ．设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y 02，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.6．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．解析：已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆． 答案：(－2，－4) 57．过两点A (1，4)，B (3，2)且圆心在直线y ＝0上的圆的标准方程为________． 解析：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.因为圆心在直线y ＝0上，所以b ＝0，所以圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2.又因为该圆过A (1，4)，B (3，2)两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋16＝r 2，(3－a )2＋4＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，r 2＝20.所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝20.答案：(x ＋1)2＋y 2＝208．若圆C 与圆x 2＋y 2＋2x ＝0关于直线x ＋y －1＝0对称，则圆C 的方程是________． 解析：设C (a ，b )，因为已知圆的圆心为A (－1，0)，由点A ，C 关于x ＋y －1＝0对称得⎩⎨⎧ba ＋1×(－1)＝－1，a －12＋b2－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.又因为圆的半径是1，所以圆C 的方程是(x －1)2＋(y －2)2＝1， 即x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0. 答案：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0 9．求适合下列条件的圆的方程．(1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (2)过三点A (1，12)，B (7，10)，C (－9，2)．解：(1)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a ，(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ，解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2. 所以圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.法二：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝(1－3)2＋(－4＋2)2＝22， 所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(2)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0. 解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1，2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又因为直径|CD |＝410，所以|P A |＝210， 所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2. 所以圆心P (－3，6)或P (5，－2)．所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.[综合题组练]1．自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，PQ 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为( )A ．8x －6y －21＝0B ．8x ＋6y －21＝0C ．6x ＋8y －21＝0D ．6x －8y －21＝0解析：选D ．由题意得，圆心C 的坐标为(3，－4)，半径r ＝2，如图．因为|PQ |＝|PO |，且PQ ⊥CQ ， 所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x 2＋y 2＋4＝(x －3)2＋(y ＋4)2，即6x －8y －21＝0，所以点P 的轨迹方程为6x －8y －21＝0，故选D ．2．设点P 是函数y ＝－4－(x －1)2的图象上的任意一点，点Q (2a ，a －3)(a ∈R )，则|PQ |的最小值为( )A ．855－2B ． 5C ．5－2D ．755－2解析：选C ．如图所示，点P 在半圆C (实线部分)上，且由题意知，C (1，0)，点Q 在直线l ：x －2y －6＝0上．过圆心C 作直线l 的垂线，垂足为点A ，则|CA |＝5，|PQ |min ＝|CA |－2＝5－2.故选C ．3．(应用型)已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为________．解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0，0)，P (4，0)，Q (0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．因为△OPQ 为直角三角形，所以圆心为斜边PQ 的中点(2，1)，半径r ＝|PQ |2＝5，因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝54．(应用型)已知A (0，2)，点P 在直线x ＋y ＋2＝0上，点Q 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0上，则|P A |＋|PQ |的最小值是________．解析：因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0，故圆C 是以C (2，1)为圆心，半径r ＝5的圆．设点A (0，2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )，故⎩⎪⎨⎪⎧m ＋02＋n ＋22＋2＝0，n －2m －0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2，故A ′(－4，－2)．连接A ′C 交圆C 于Q ，由对称性可知 |P A |＋|PQ |＝|A ′P |＋|PQ |≥|A ′Q |＝|A ′C |－r ＝2 5. 答案：2 55．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 解：(1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5. 设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(y 0－x 0＋1)22＋16. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.6．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝1，直线l 的方程为2x －y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线P A ，PB ，切点分别为A ，B .(1)若∠APB ＝60°，求点P 的坐标；(2)求证经过A ，P ，C (其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．解：(1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0，4)，|PC |＝2，设P (a ，2a )，则a 2＋(2a －4)2＝2，解得a ＝2或a ＝65，所以点P 的坐标为(2，4)或⎝⎛⎭⎫65，125.(2)证明：设P (b ，2b )，过点A ，P ，C 的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为x (x －b )＋(y －4)(y －2b )＝0，整理得x 2＋y 2－bx －4y －2by ＋8b ＝0，即(x 2＋y 2－4y )－b (x ＋2y －8)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y ＝0，x ＋2y －8＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝85，y ＝165，所以该圆必经过定点(0，4)和⎝⎛⎭⎫85，165.。
2021年高考数学一轮复习 8.3 圆的方程课时作业 理(含解析)新人教A版
2021年高考数学一轮复习 8.3 圆的方程课时作业 理（含解析）新人教A版一、选择题1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝2 C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4解析：AB 的中点坐标为：(0,0)， |AB |＝ [1－－1]2＋－1－12＝22，∴圆的方程为：x 2＋y 2＝2. 答案：A2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1 解析：设圆心坐标为(0，b )，则由题意知0－12＋b －22＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.答案：A3．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：曲线C 的方程可以化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a )，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a >2.答案：D4．动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝12解析：设中点M (x ，y )，则动点A (2x －3,2y )， ∵A 在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1，即(2x －3)2＋4y 2＝1，故选C. 答案：C5．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95 B ．1 C.45D.135解析：圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45. 答案：C6．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆中过点M (3,5)的最长弦、最短弦分别为AC 、BD ，则以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6解析：将圆的方程化成标准形式得(x －3)2＋(y －4)2＝25，所以圆心为P (3,4)，半径r ＝5.而|MP |＝3－32＋4－52＝1<5，所以点M (3,5)在圆内，故当过点M 的弦经过圆心时最长，此时|AC |＝2r ＝10，当弦BD 与MP 垂直时，弦BD 的长度最小，此时|BD |＝2r 2－|MP |2＝252－12＝4 6.又因为AC ⊥BD ，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |×|BD |＝12×10×46＝20 6. 答案：B 二、填空题7．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________________．解析：设圆心为(a,0)(a <0)，则|a |2＝2，解得a ＝－2，故圆O 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝2.答案：(x ＋2)2＋y 2＝28．直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________________．解析：直线过点A (b ，a )，∴ab ＝12，圆面积S ＝πr 2＝π(a 2＋b 2)≥2πab ＝π.答案：π9．(xx·杭州模拟)已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是______．解析：圆的方程变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ， ∴其圆心为(－1,2)，且5－a >0，即a <5. 又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称， ∴2＝－2＋b ，∴b ＝4.∴a －b ＝a －4<1. 答案：(－∞，1) 三、解答题10．根据下列条件求圆的方程：(1)经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上； (2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (3)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)． 解：(1)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意列出方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2a －12＋b －12＝r 2，2a ＋3b ＋1＝0解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－3r 2＝25∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.(2)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a3－a 2＋－2－b 2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2. ∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.法二：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．∴半径r ＝1－32＋－4＋22＝22，∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. (3)法一：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0. 法二：由A (1,12)，B (7,10)，得A 、B 的中点坐标为(4,11)，k AB ＝－13，则AB 的中垂线方程为3x －y －1＝0. 同理得AC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2，即圆心坐标为(1,2)，半径r ＝1－12＋2－122＝10.∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝100.11．(xx·重庆九校联考)已知⊙C 与两平行直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，且圆心C 在直线x ＋y ＝0上．(1)求⊙C 的方程；(2)斜率为2的直线l 与⊙C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点且满足OA →⊥OB →，求直线l 的方程．解：(1)由题意知⊙C 的直径为两平行线x －y ＝0及x －y －4＝0之间的距离 ∴d ＝2R ＝|0－－4|2＝22，解得R ＝2，设圆心C (a ，－a )，由圆心C 到x －y ＝0的距离|2a |2＝R ＝2得a ＝±1，检验得a ＝1.∴⊙C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.(2)由(1)知⊙C 过原点，若OA →⊥OB →，则l 经过圆心， 易得l 的方程：2x －y －3＝0.12．如右图所示，圆O 1和圆O 2的半径长都等于1，|O 1O 2|＝4.过动点P 分别作圆O 1，圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 为切点)，使得|PM |＝2|PN |.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O 1(－2,0)，O 2(2,0)．由已知|PM |＝2|PN |， 得|PM |2＝2|PN |2.因为两圆的半径长均为1，所以|PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1)． 设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]，化简，得(x －6)2＋y 2＝33，所以所求轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33. [热点预测]13．(1)(xx·安徽亳州摸底联考)已知圆C 的圆心是抛物线y ＝116x 2的焦点．直线4x －3y －3＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝8，则圆C 的方程为________．(2)(xx·吉林长春三校调研)设圆C ：(x －3)2＋(y －5)2＝5，过圆心C 作直线l 交圆于A 、B 两点，交y 轴于点P ，若A 恰好为线段BP 的中点，则直线l 的方程为________．解析：(1)y ＝116x 2的焦点为(0,4)，∴设圆的方程为x 2＋(y －4)2＝r 2(r >0) 所以弦长为|AB |＝2r 2－d 2＝ 2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|4×0－3×4－3|32＋422＝2 r 2－⎝⎛⎭⎪⎫|15|52＝8.所以r 2＝25，所以圆的方程为x 2＋(y －4)2＝25.(2)如图，A为PB的中点，而C为AB的中点，因此，C为PB的四等分点．而C(3,5)，P点的横坐标为0，因此，A、B的横坐标分别为2、4，将A的横坐标代入圆的方程中，可得A(2,3)或A(2,7)，根据直线的两点式得到直线l的方程为2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0.答案：(1)x2＋(y－4)2＝25(2)2x－y－1＝0或2x＋y－11＝09 34222 85AE 薮4q39496 9A48 驈25292 62CC 拌28418 6F02 漂35646 8B3E 謾@|26101 65F5 旵39942 9C06 鰆29311 727F 牿X。
2021年高考数学一轮精选练习：48《圆的方程》(含解析)
2021年高考数学一轮精选练习：48《圆的方程》一、选择题1.若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1=0表示的圆的个数为( )A.0B.1C.2D.32.若圆x 2＋y 2＋2ax －b 2=0的半径为2，则点(a ，b)到原点的距离为( )A.1B.2C. 2D.43.已知圆C 与直线x －y=0及x －y －4=0都相切，圆心在直线x ＋y=0上，则圆C 的标准方程为( )A.(x ＋1)2＋(y －1)2=2B.(x －1)2＋(y ＋1)2=2C.(x －1)2＋(y －1)2=2D.(x ＋1)2＋(y ＋1)2=24.在平面直角坐标系xOy 中，以点(0,1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1=0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( ) A.x 2＋(y －1)2=4 B.x 2＋(y －1)2=2 C.x 2＋(y －1)2=8 D.x 2＋(y －1)2=165.若对圆(x －1)2＋(y －1)2=1上任意一点P(x ，y)，|3x －4y ＋a|＋|3x －4y －9|的取值与x ，y无关，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－4]B.[－4,6]C.(－∞，－4]∪[6，＋∞)D.[6，＋∞)6.圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1=0关于直线ax －by ＋3=0(a ＞0，b ＞0)对称，则1a ＋3b最小值是( )A.2 3B.203C.4D.1637.已知点P(t ，t)，t ∈R ，点M 是圆x 2＋(y －1)2=14上的动点，点N 是圆(x －2)2＋y 2=14上的动点，则|PN|－|PM|的最大值是( )A.5－1B.2C.3D. 58.已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P 是圆C ：x 2＋y 2－2y=0上的动点，则△ABP 的面积的最小值为( )A.6B.5.5C.8D.10.5二、填空题9.若圆C ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12m 2=n 的圆心为椭圆M ：x 2＋my 2=1的一个焦点，且圆C 经过M 的另一个焦点，则圆C 的标准方程为 .10.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2=1，设点P 是圆C 上的动点.记d=|PB|2＋|PA|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d 的最大值为 .11.已知圆C 的圆心在直线x ＋y=0上，圆C 与直线x －y=0相切，且在直线x －y －3=0上截得的弦长为6，则圆C 的方程为 .12.设点P 是函数y=－4－x －12图象上的任意一点，点Q 坐标为(2a ，a －3)(a ∈R)，则|PQ|的最小值为 .13.如图，在等腰△ABC 中，已知|AB|=|AC|，B(－1,0)，AC 边的中点为D(2,0)，则点C 的轨迹所包围的图形的面积为 .三、解答题14.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y=x 的距离为22，求圆P 的方程.15.已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45=0上任意一点，且点Q(－2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m ，n)，求n －3m ＋2的最大值和最小值.16.已知抛物线C ：y 2=2x ，过点(2,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程.答案解析1.答案为：B ；解析：方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1=0表示圆的条件为a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)＞0，即3a 2＋4a －4＜0，解得－2＜a ＜23.又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，∴仅当a=0时，方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1=0表示圆，故选B.2.答案为：B ；解析：由半径r=12D 2＋E 2－4F=124a 2＋4b 2=2，得a 2＋b 2=2.∴点(a ，b)到原点的距离d=a 2＋b 2=2，故选B.3.答案为：B ；解析：由题意设圆心坐标为(a ，－a)，则有|a －－a |2=|a －－a －4|2，即|a|=|a －2|，解得a=1.故圆心坐标为(1，－1)，半径r=22=2，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2=2，故选B.4.答案为：B ；解析：直线x －by ＋2b ＋1=0过定点P(－1,2)，如图.∴圆与直线x －by ＋2b ＋1=0相切于点P 时，圆的半径最大，为2，此时圆的标准方程为x 2＋(y －1)2=2，故选B.5.答案为：D ；解析：设z=|3x －4y ＋a|＋|3x －4y －9|=5⎝⎛⎭⎪⎫|3x －4y ＋a|9＋16＋|3x －4y －9|9＋16，故|3x －4y ＋a|＋|3x －4y －9|可看作点P 到直线m ：3x －4y ＋a=0与 直线l ：3x －4y －9=0距离之和的5倍，∵取值与x ，y 无关，∴这个距离之和与P 无关，如图所示，可知直线m 向上平移时，P 点到直线m ，l 间的距离之和均为m ，l 间的距离，即此时与x ，y 的值无关，当直线m 与圆相切时，|3－4＋a|9＋16=1，化简得|a －1|=5，解得a=6或a=－4(舍去)，∴a ≥6，故选D.6.答案为：D ；解析：由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1=0知，其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2=9，∵圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1=0关于直线ax －by ＋3=0(a ＞0，b ＞0)对称， ∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3=0，∴a ＋3b=3(a ＞0，b ＞0)， ∴1a ＋3b =13(a ＋3b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b =13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋2 3a b ·3b a =163， 当且仅当3b a =3ab，即a=b 时取等号，故选D.7.答案为：B ；解析：易知圆x 2＋(y －1)2=14的圆心为A(0,1)，圆(x －2)2＋y 2=14的圆心为B(2,0)，P(t ，t)在直线y=x 上，A(0,1)关于直线y=x 的对称点为A ′(1,0)，则|PN|－|PM|≤|PB|＋12－⎝⎛⎭⎪⎫|PA|－12=|PB|－|PA|＋1=|PB|－|PA ′|＋1≤|A ′B|＋1=2，故选B.8.答案为：B ；解析：x 2＋y 2－2y=0可化为x 2＋(y －1)2=1， 则圆C 为以(0,1)为圆心，1为半径的圆.如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，连接BP ，AP ，这时△ABP 的面积最小，直线AB 的方程为x 4＋y－3=1，即3x －4y －12=0，圆心C 到直线AB 的距离d=165，又|AB|=32＋42=5，∴△ABP 的面积的最小值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫165－1=112.一、填空题9.答案为：x 2＋(y ＋1)2=4；解析：∵圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫0，－12m ，∴ 1m －1=12m ，m=12. 又圆C 经过M 的另一个焦点，则圆C 经过点(0,1)，从而n=4.故圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2=4.10.答案为：74；解析：设P(x 0，y 0)，d=|PB|2＋|PA|2=x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2=2(x 20＋y 20)＋2. x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max =(5＋1)2=36，∴d max =74.11.答案为：(x －1)2＋(y ＋1)2=2；解析：解法一：∵所求圆的圆心在直线x ＋y=0上， ∴设所求圆的圆心为(a ，－a).又∵所求圆与直线x －y=0相切，∴半径r=2|a|2=2|a|.又所求圆在直线x －y －3=0上截得的弦长为6，圆心(a ，－a)到直线x －y －3=0的距离d=|2a －3|2，∴d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622=r 2，即2a －322＋32=2a 2，解得a=1.∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2=2.12.答案为：5－2；解析：函数y=－4－x －12的图象表示圆(x －1)2＋y 2=4在x 轴及下方的部分， 令点Q 的坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ，y ＝a －3，得y=x2－3，即x －2y －6=0，作出图象如图所示，由于圆心(1,0)到直线x －2y －6=0的距离d=|1－2×0－6|12＋－22=5＞2，所以直线x －2y －6=0与圆(x －1)2＋y 2=4相离，因此|PQ|的最小值是5－2.13.答案为：4π；解析：由已知|AB|=2|AD|，设点A(x ，y)，则(x ＋1)2＋y 2=4[(x －2)2＋y 2]，所以点A 的轨迹方程为(x －3)2＋y 2=4(y ≠0)，设C(x ′，y ′)，由AC 边的中点为D(2,0)知A(4－x ′，－y ′)，所以C 的轨迹方程为(4－x ′－3)2＋(－y ′)2=4，即(x －1)2＋y 2=4(y ≠0)， 所以点C 的轨迹所包围的图形面积为4π.二、解答题14.解：(1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r.由题设y 2＋2=r 2，x 2＋3=r 2，从而y 2＋2=x 2＋3.故P 点的轨迹方程为y 2－x 2=1.(2)设P(x 0，y 0).由已知得|x 0－y 0|2=22.又P 点在双曲线y 2－x 2=1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧ |x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r= 3.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r= 3. 故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2=3或x 2＋(y ＋1)2=3.15.解：(1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45=0，可得(x －2)2＋(y －7)2=8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r=2 2.又|QC|=2＋22＋7－32=42＞2 2. 所以点Q 在圆C 外，所以|MQ|max =42＋22=62， |MQ|min =42－22=2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设n －3m ＋2=k ，则直线MQ 的方程为y －3=k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3=0， 因为直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3， 所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.16.解：(1)证明：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，l ：x=my ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x可得y 2－2my －4=0，则y 1y 2=－4. 又x 1=y 212，x 2=y 222，故x 1x 2=y 1y 224=4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2=－44=－1，所以OA ⊥OB.故坐标原点O 在圆M 上.(2)由(1)可得y 1＋y 2=2m ，x 1＋x 2=m(y 1＋y 2)＋4=2m 2＋4.故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m)，圆M 的半径r=m 2＋22＋m 2.由于圆M 过点P(4，－2)，因此AP →·BP →=0， 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)=0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20=0. 由(1)可得y 1y 2=－4，x 1x 2=4.所以2m 2－m －1=0，解得m=1或m=－12.当m=1时，直线l 的方程为x －y －2=0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2=10.当m=－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4=0，圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122=8516.。
2021版新高考数学一轮复习练习 (52) 圆的方程 (含解析)
[练案52]第三讲圆的方程A组基础巩固一、单选题1．(2019·江西南昌)若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是(C)A．(－1,1)B．(－3，3)C．(－2，2)D．(－22，22)[解析]∵原点(0,0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，∴(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－2 <m<2，故选C.2．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(A)A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝ 2C．x2＋y2＝1D．x2＋y2＝4[解析]AB的中点坐标为(0,0)，|AB|＝[1－(－1)]2＋(－1－1)2＝22，∴圆的方程为x2＋y2＝2.3．(2019·广州模拟)已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C 的坐标为(B)A．(0,1)B．(0，－1)C．(1,0)D．(－1,0)[解析]圆C的方程可化为(x＋k2)2＋(y＋1)2＝－34k2＋1，所以当k＝0时圆C的面积最大．故圆心C的坐标为(0，－1)，选B.4．(2020·3月份北京市高考适应性考试)圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的方程是(A) A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1C．(x－2)2＋(y－1)2＝5D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5[解析]由题意知圆的半径r＝1，∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.5．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的和是(C)A．30B．18C．102D．5 2[解析] 由圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为32，则圆上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离为|2＋2－14|2＋32＝82，最小距离为|2＋2－14|2－32＝22，故最大距离与最小距离的和为10 2.6．直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( D ) A ．－2或12 B ．2或－12 C ．－2或－12D ．2或12[解析] 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，依题意得圆心(1,1)到直线3x ＋4y ＝b 的距离d ＝|3＋4－b |32＋42＝1，即|b －7|＝5，解得b ＝12或b ＝2.故选D.7．(2019·福建厦门)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为( A )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1[解析] 设中点为A (x ，y )，圆上任意一点为B ′(x ′，y ′)，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋4＝2x ，y ′－2＝2y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x －4，y ′＝2y ＋2，故(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得，(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A. 8．(2019·华南师大附中期中)已知圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 对称，则a －b 的取值范围是( B )A ．(－∞，0)B ．(－∞，4)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)[解析] 根据圆的一般方程中D 2＋E 2－4F >0得(－2)2＋62－4×5a >0，解得a <2，由圆关于直线y ＝x ＋2b 对称可知圆心(1，－3)在直线y ＝x ＋2b 上，所以－3＝1＋2b ，得b ＝－2，故a －b <4.9．(2020·湘东五校联考)圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于2的点有( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析] 圆(x －3)2＋(y －3)2＝9的圆心为(3,3)，半径为3，圆心到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝|3×3＋4×3－11|32＋42＝2，∴圆上到直线3x ＋4y －11＝0的距离为2的点有2个．故选B.二、多选题10．在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值可以为( AB )A ．－5B ．－3C ．－2D ．－1[解析] 曲线C 的方程可化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a )，半径等于2的圆，因为圆上的点均在第四象限内，所以a <－2.故选AB.11．已知直线x －y ＋m ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且△OAB 为正三角形，则实数m 的值可能为( BD )A ．32 B ．62 C ．－32D ．－62[解析] ∵△AOB 为正三角形，∴圆心O 到直线x －y ＋m ＝0的距离为32，即|m |2＝32，∴m ＝±62，故选BD.三、填空题12．已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__(x －2)2＋y 2＝10__. [解析] 依题意设所求圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，把所给两点坐标代入方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ (5－a )2＋1＝r 2，(1－a )2＋9＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，r 2＝10，所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 13．(2019·太原模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__(x －1)2＋y 2＝2__.[解析] 因为直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，所以圆心(1,0)到直线mx －y －2m －1＝0的最大距离为d ＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，所以半径最大时的半径r ＝2，所以半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2. 四、解答题14．(2020·洛阳统考)已知圆S 经过点A (7,8)和点B (8,7)，圆心S 在直线2x －y －4＝0上．。
2021年高考数学总复习第49讲：圆的方程练习题及答案解析
2021年高考数学总复习第49讲：圆的方程1．若圆x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0的半径为2，则点(a ，b )到原点的距离为( ) A ．1 B ．2 C ．2D ．4B [由半径r ＝12D 2＋E 2－4F ＝124a 2＋4b 2＝2，得a 2＋b 2＝2.∴点(a ，b )到原点的距离d ＝a 2＋b 2＝2.]2．经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2B [由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.]3．(全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C ．3D ．2A [圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.]4．若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－3，3) C ．(－2，2)D ．⎝⎛⎭⎫－22，22 C [∵原点(0,0)在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，∴(0－m )2＋(0＋m )2＜4，解得－2＜m ＜ 2.所以，实数m 的取值范围是(－2，2)．]5．(2020·山东潍坊月考)自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，PQ 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为( )A ．8x －6y －21＝0B ．8x ＋6y －21＝0C ．6x ＋8y －21＝0D ．6x －8y －21＝0D [由题意得，圆心C 的坐标为(3，－4)，半径r ＝2，如图．因为|PQ |＝|PO |，且PQ ⊥CQ ，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x 2＋y 2＋4＝(x －3)2＋(y ＋4)2，即6x －8y －21＝0，所以点P 的轨迹方程为6x －8y －21＝0.]6．在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为________．(－∞，－2) [圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，故由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，|－a |＞2，|2a |＞2，解得a ＜－2，故实数a 的取值范围为(－∞，－2)．]7．如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为 2 的点，则实数a 的取值范围是________．[－3，－1]∪[1,3] [圆(x －a )2＋(y －a )2＝8的圆心(a ，a )到原点的距离为|2a |，半径r ＝22，由圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在点到原点的距离为2，得22－2≤|2a |≤22＋2，∴1≤|a |≤3，解得1≤a ≤3或－3≤a ≤－1. ∴实数a 的取值范围是[－3，－1]∪[1,3]．]8．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．3－2 [l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝32，则AB 边上的高的最小值为32－1. 故△ABC 面积的最小值是12×22×(32－1)＝3－ 2.]9．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C ，D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解 (1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，由点P 在CD 上 得a ＋b －3＝0.①又∵直径|CD |＝410，∴|P A |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.。
2021高考数学一轮小专题复习之圆与方程达标练习Word版含答案
圆与方程达标练习 新人教A 版必修21、两圆x 2+y 2-4x+6y=0和x 2+y 2-6x=0的连心线方程是 （ ） A 、x+y+3=0 B 、2x-y-5=0 C 、3x-y-9=0 D 、4x-3y+7=02、到原点的距离等于4的动点的轨迹方程是 （ ） A 、x 2+y 2=4 B 、 x 2+y 2=16 C 、x 2+y2=2 D 、()224(4)16x y -+-=3、以（1,1）和（2,-2）为一条直径的两个端点的圆的方程为 （ ）A 、ｘ2＋ｙ2－3ｘ＋ｙ－25＝0 B 、ｘ2＋ｙ2－3ｘ＋ｙ＝0 C 、ｘ2＋ｙ2＋3ｘ－ｙ＝0 D 、ｘ2＋ｙ2－3ｘ－ｙ－25＝04、方程ｘ2＋ｙ2＋ａｘ＋2ａｙ＋2ａ2＋ａ－1＝0表示圆，则ａ的取值范围是（ ）A 、ａ＜－2或ａ＞32B 、－32＜ａ＜2 C 、－2＜ａ＜32D 、－2＜ａ＜05、已知圆的方程是()222(3)4x y -+-=，则点P （1，2）满足 ( )A 、是圆心B 、在圆上C 、在圆内D 、在圆外6、假如方程 x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F ＞0) 所表示的曲线关于y=x 对称，成立的是 （ ） A 、D=E B 、D=F C 、E=F D 、D=E=F7、假如直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且直线l 不通过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是 （ ）A 、[0，2]B 、[0，1]C 、1[0]2， D 、1[0]3， 8、若直线x+y+m=0与圆x 2+y 2=m 相切，则m= （ ） A 、0或2 B 、2 C 2 D 、无解9、方程y=225x - ( )A 、一条射线B 、一个圆C 、两条射线D 、半个圆 10、已知x 2+y 2+4x －2y-4=0，则x 2+y 2的最大值为 ( ) A 、3+5 B 、3-5 C 、145-、1465+ 11、若方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示以（2，－4）为圆心，4为半径的圆，则F=___12、已知线段AB 的端点B(5.4)，端点Ａ在圆上运动x 2+y 2+4x －2y-4=0上运动，求ＡＢ中点Ｍ的轨迹方程.13、已知直线l ：y=x+2，一个圆的圆心C 在x 轴上且该圆与y 轴相切，该圆经过点A （-1，2）. 求圆C 的方程。
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2021年高考数学一轮复习《圆的方程》精选练习一、选择题1.若圆x 2＋y 2-2x-4y=0的圆心到直线x-y ＋a=0的距离为22，则a 的值为( ) A.-2或2 B.0.5或1.5 C.2或0 D.-2或0 2.圆x 2+y 2=1上的点到点M(3,4)的距离的最小值是( )A.1B.4C.5D.63.当a 为任意实数时，直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A.(x-1)2+(y+2)2=5 B.(x+1)2+(y+2)2=5 C.(x+1)2+(y-2)2=5 D.(x-1)2+(y-2)2=5 4.圆x 2+y 2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=（ )A.B.C. D.25.如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不通过第四象限， 那么l 的斜率的取值范围是（ ）A 、[0，2]B 、[0，1]C 、1[0]2，D 、1[0]3， 6.圆x 2+y 2+4x+2=0与直线l 相切于点(-3,-1)，则直线l 的方程为( )A.x-y+4=0B.x+y+4=0C.x-y+2=0D.x+y+2=0 7.若直线x-y=2被圆(x-a)2＋y 2=4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( )A.-1或 3B.1或3C.-2或6D.0或4 8.直线3x ＋4y=b 与圆x 2＋y 2-2x-2y ＋1=0相切，则b 的值是( )A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或129.圆x 2＋y 2-4x ＋6y-12=0过点(-1,0)的最大弦长为m ，最小弦长为n ，则m-n=( )A.10-27B.5-7C.10-33D.5-223 10.若PQ 是圆x 2＋y 2=9的弦，PQ 的中点是A(1,2)，则直线PQ 的方程是( )A.x ＋2y-3=0B.x ＋2y-5=0C.2x-y ＋4=0D.2x-y=0 11.圆x 2+y 2=16上的点到直线x-y=3的距离的最大值为( )A 、223B 、4-223C 、4+223 D 、012.若圆x 2＋y 2-4x ＋2y ＋m=0与y 轴交于A 、B 两点，且∠ACB=90°(其中C 为已知圆的圆心)，则实数m 等于( )A.1B.-3C.0D.213.已知两点A(-1,0)，B(0,2)，点P 是圆(x-1)2+y 2=1上任意一点，则△PAB 面积的最大值与最小值分别是( ) A.2，)54(21- B.)54(21+，)54(21- C.5，4-5 D.)25(21+，)25(21-) 14.点P(4,-2)与圆x 2+y 2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1 15.已知M(2,1),P 为圆C:x 2+y 2+2y-3=0上的动点,则|PM|的取值范围为( )A.[1,3]B.[22-2,22+2]C.[22-1,22+1]D.[2,4]16.圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1=0关于直线ax －by ＋3=0(a ＞0，b ＞0)对称，则1a ＋3b最小值是( )A.2 3B.203C.4D.163二、填空题17.圆(x-1)2+(y-1)2=1上的点到直线x-y=2的距离的最大值是________.18.当动点P 在圆x 2＋y 2=2上运动时，它与定点A(3,1)连线中点Q 的轨迹方程为________. 19.已知圆C 的圆心位于直线2x-y-2=0上，且圆C 过两点M(-3,3),N(1,-5),则圆C 的标准方程为 .20.圆x 2＋y 2＋2x ＋4y-3=0上到直线x ＋y ＋1=0的距离为2的点有________个.21.在满足(x-3)2+(y-3)2=6的所有实数对(x,y)中,xy的最大值是 22.已知圆的方程为x 2＋y 2-6x-8y=0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________.23.已知A 是射线x ＋y=0(x≤0)上的动点，B 是x 轴正半轴的动点，若直线AB 与圆x 2＋y 2=1相切，则|AB|的最小值是________．24.过点P(－1，1)作圆C ：(x －t)2＋(y －t ＋2)2=1(t∈R)的切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →的最小值为________． 三、解答题25.在平面直角坐标系中，曲线y=x 2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C 上.(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x-y+a=0交于A,B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，求a 的值.26.已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45=0上任意一点，且点Q(－2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m ，n)，求n －3m ＋2的最大值和最小值.27.已知圆C ：(x-3)2+(y-4)2=4，直线l 1过定点A(1，0)． (1)若l 1与圆相切，求l 1的方程；(2)若l 1与圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又l 1与l 2：x+2y+2=0的交点为N.求证：AM •AN 为定值．28.已知M为圆C：x2＋y2-4x-14y＋45=0上任意一点，点Q的坐标为(-2,3)．(1)若P(a，a＋1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；(2)求|MQ|的最大值和最小值；(3)求M(m，n)，求的最大值和最小值．29.如图，在平面直角坐标系内，已知点A(1,0)，B(-1,0)，圆C的方程为x2+y2-6x-8y+21=0，点P为圆上的动点．(1)求过点A的圆C的切线方程．(2)求∣AP∣2+∣BP∣2的最大值及此时对应的点P的坐标．答案解析30.C ； 31.B ； 32.C ； 33.A 34.A 35.B 36.D ； 37.D ； 38.A ； 39.B ； 40.C ； 41.B ；42.B43.答案为：A ；44.答案为：B ；依题意,设P(x,y),化圆C 的一般方程为标准方程得x 2+(y+1)2=4,圆心为C(0,-1),因为|MC|=22>2,所以点M(2,1)在圆外,所以22-2≤|PM|≤22+2,故|PM|的取值范围为[22-2,22+2].45.答案为：D ；解析：由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1=0知，其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2=9，∵圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1=0关于直线ax －by ＋3=0(a ＞0，b ＞0)对称， ∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3=0，∴a ＋3b=3(a ＞0，b ＞0)， ∴1a ＋3b =13(a ＋3b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b =13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋2 3a b ·3b a =163，当且仅当3b a =3ab ，即a=b 时取等号，故选D.46.答案为：1+3；47.答案为：(x-1.5)2+(y-0.5)2=0.5.48.答案为：(x-1)2+y 2=25. 49.答案为：3； 50.223+51.答案为：206;解析:点(3,5)在圆内，最长弦|AC|即为该圆直径，∴|AC|=10，最短弦BD ⊥AC ，∴|BD|=46，S 四边形ABCD =0.5AC|·|BD|=206.52.答案为：2＋22；解析：设A(－a ，a)，B(b ，0)(a ，b ＞0)，则直线AB 的方程是ax ＋(a ＋b)y －ab=0.因为直线AB 与圆x 2＋y 2=1相切，所以d=ab a 2＋（a ＋b ）2=1，化简得2a 2＋b 2＋2ab=a 2b 2， 利用基本不等式得a 2b 2=2a 2＋b 2＋2ab≥22ab ＋2ab ，即ab≥2＋22，从而得|AB|=（a ＋b ）2＋a 2=ab≥2＋22，当b=2a ，即a=2＋2，b=4＋22时，|AB|的最小值是2＋2 2.53.答案为：214；解析：圆C ：(x －t)2＋(y －t ＋2)2=1的圆心坐标为(t ，t －2)，半径为1，所以PC=（t ＋1）2＋（t －3）2=2（t －1）2＋8≥8，PA=PB=PC 2－1，cos ∠APC=AP PC ，所以cos ∠APB=2⎝ ⎛⎭⎪⎫AP PC 2－1=1－2PC 2，所以PA →·PB →=(PC 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2PC 2=－3＋PC 2＋2PC 2≥－3＋8＋14=214，所以PA →·PB →的最小值为214.54.解：55.解：(1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45=0，可得(x －2)2＋(y －7)2=8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r=2 2.又|QC|=2＋22＋7－32=42＞2 2. 所以点Q 在圆C 外，所以|MQ|max =42＋22=62， |MQ|min =42－22=2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设n －3m ＋2=k ，则直线MQ 的方程为y －3=k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3=0， 因为直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3， 所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.56.解：57.解：58.解：。